Deel II Goniometrie en precalculus 2 by Koen De Naeghel

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel II Goniometrie en precalculus 2

09/11/2021

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2013 Versie: 9 november 2021 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel II

Algebra en meetkunde - Goniometrie Analyse - Precalculus 2

√ f (x) = cos x + cos( 2 x)

Inhoudsopgave

Deel Goniometrie en Precalculus 2

1 Basisbegrippen

1.1 1.2

Basisbegrippen in verband met hoeken . . . . . . . . . . . . . Waarden van een hoek - Graden en radialen . . . . . . . . . . Graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verband tussen graden en radialen . . . . . . . . . . . . . . . . Lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α 1.3 Goniometrische getallen en grondformule van de goniometrie . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in navigatie - afstandsbepaling op aarde . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. 1 . 5 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 11 . 15

Formules voor verwante hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdubbelingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules van Carnot en halveringsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t-formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 1 - De formule van Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 2 - De goniometrische getallen van π/2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 3 - Herleiden van goniometrische identiteiten naar rationale identiteiten 2.7 Som-naar-product formules (formules van Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Product-naar-som formules (omgekeerde formules van Simpson) . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in astronavigatie - prosthaphaeresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

2 Formules van de goniometrie

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden

3.1

Basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Type 1. sin x = sin a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Type 2. cos x = cos a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Type 3. tan x = tan a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen . . . . Type 1. Ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . Type 2. Vergelijkingen oplossen met een hulponbekende Type 3. Homogene vergelijkingen in sin x en cos x . . . Type 4. Vergelijkingen van de vorm a sin x + b cos x = c 3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

4 Goniometrische functies 4.1 4.2

4.3 4.4

Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . Elementaire goniometrische functies . . . . De sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . De cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . De tangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . Andere goniometrische functies . . . . . . . De algemene sinusfunctie . . . . . . . . . . Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 1 - Bewerkingen met periodieke

16 19 22 23 24 25 25 26 27 28 29 30 37

38 38 39 40 41 41 41 42 43 44 45

48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . functies

. . . . . . . . .

48 51 51 53 55 56 57 62 62

Toepassing 2 - De harmonische trilling . Toepassing 3 - De golfbeweging . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in kinematica - Lissajousfiguren . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . π

. . . . . . .

5 Cyclometrische functies

5.1

Elementaire cyclometrische functies . . . . . . . . . . . . De boogsinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De boogcosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De boogtangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Cyclometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in geschiedenis van de wiskunde - benaderingen van het

64 65 68 76

Formules van de goniometrie - Overzicht

. . . . . . . . . . . . . . . . . . getal

77 77 79 81 83 85 87

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Referentielijst

II-ii

Sybil: They’re not just for decoration, they have symbolic meaning. [. . . ] It goes back to the dawn of civilization. John Cleese & Connie Booth, Fawlty Towers: The Psychiatrists, 1979

Hoofdstuk 1

Basisbegrippen Het doel van dit hoofdstuk is hoofdzakelijk om voorkennis in verband met goniometrie te activeren. Daarbij werken we uitsluitend in het vlak. Voor hoeken in de ruimte verwijzen we naar Deel Ruimtemeetkunde.

1.1

Basisbegrippen in verband met hoeken

In het vierde jaar heb je geleerd hoe je een binnenhoek van een driehoek kan oriënteren. Dat zullen we hieronder herhalen. Daarna zullen we het begrip georiënteerde hoek op een algemene en formele manier definiëren. b vastgelegd door de twee halfrechten Beschouw een driehoek met hoekpunten A, B en C. Dan wordt de (binnen)hoek A b [AB en [AC , zie linkerfiguur hieronder. Die halfrechten noemen we de benen van de hoek A.

b de halfrechte [AB als beginbeen nemen en de halfrechte [AC als eindbeen zien, dan hebben Als we bij deze hoek A b (middelste figuur). We duiden de oriëntatie aan door een pijltje we een georiënteerde hoek die we noteren met B AC te tekenen van het beginbeen naar het eindbeen. Om zo’n pijl te tekenen, heb je heel wat mogelijkheden. Het gaat b telkens om dezelfde georiënteerde hoek B AC. Als we daarentegen de halfrechte [AC als beginbeen en de halfrechte [AB als eindbeen nemen, dan verkrijgen we een b (rechterfiguur). Die zullen we de tegengestelde van B AC b noemen, en we andere georiënteerde hoek, namelijk C AB b b schrijven C AB = −B AC.

[AC

b A b de hoek A

C b B AC

[AB

b B AC

A B

b de georiënteerde hoek B AC

b = −B AC b C AB B

b de georiënteerde hoek C AB

Deze bespreking uit het vierde jaar inspireert ons om het begrip georienteerde hoek als volgt formeel te definiëren.1 3 Definitie. Een georiënteerde hoek is een koppel halfrechten (a, b) met hetzelfde beginpunt. Doorgaans noteren we een georiënteerde hoek met een Griekse letter, bijvoorbeeld α = (a, b). 1 Tot en met het derde jaar bedoelden we met een (niet-georiënteerde) hoek altijd een vlakdeel begrensd door twee snijdende rechten, b1 en Sb2 . Een notatie als waarbij in een figuur een cijfer werd genoteerd om duidelijk te maken over welk vlakdeel het ging, bijvoorbeeld S b of kortweg Cb verwees dan steeds naar het vlakdeel met het kleinste maatgetal in graden, bijvoorbeeld bij een binnenhoek van een ACB b willen hanteren ook al hebben we geen kennis over het maatgetal in driehoek. Daar we vanaf het vierde jaar ook de schrijfwijze ACB graden, is het in principe nodig om ook het begrip (niet-georiënteerde) hoek te formaliseren. Dat kan met behulp van het begrip cirkelboog, en wel als volgt. Een (niet-georiënteerde) hoek is bij definitie een verzameling van twee halfrechten {a, b} met hetzelfde beginpunt. Noem nu dat beginpunt C, beschouw een willekeurige cirkel met middelpunt C en noem A en B de respectievelijke snijpunten van de cirkel met ˆ ˆ a en b. Dan kunnen we met de hoek {a, b} twee cirkelbogen associëren: A B (van A naar B in tegenwijzerzin) en B A (van B naar A in b en B CA b noteren. Spreken tegenwijzerzin). Zo’n twee cirkelbogen bepalen nu eenduidig twee vlakdelen, die we respectievelijk met ACB b dan bedoelen we eigenlijk het vlakdeel bepaald door de boog A ˆ we voortaan van de niet-georiënteerde hoek ACB B van een cirkel met als middelpunt C het snijpunt van de twee halfrechten [AC en [BC . Bij elke (niet-georiënteerde) hoek horen dus twee verschillende vlakdelen, en de context of schrijfwijze moet duidelijk maken welk vlakdeel nu met die (niet-georiënteerde) hoek bedoeld wordt, bijvoorbeeld door op de figuur een boogje bij het vlakdeel in kwestie te plaatsen. Zie [6].

II-1

3 Definities, notaties en afspraken. (i) In het vervolg van dit deel zijn alle hoeken georiënteerd. We korten dan ook georiënteerde hoek af tot hoek. (ii) Voor een hoek (a, b) wordt de volgorde van het koppel aangegeven door een pijl van a naar b. Bij elke hoek horen dus oneindig veel pijlen. In de praktijk duiden we meestal een kortste pijl aan.2 b (iii) Als a = [AB en b = [AC dan schrijven we (a, b) = B AC. (iv) De tegengestelde hoek van de hoek α = (a, b) is de hoek (b, a). Die hoek zullen we met −α noteren. In symbolen: α = (a, b)

⇔

−α = (b, a)

Merk op dat de tegengestelde hoek van −α gelijk is aan de hoek (a, b) = α, anders gezegd: −(−α) = α. Voorbeeld.

α α

−α

A B

b de hoek α = (a, b) = B AC

b de hoek −α = (b, a) = C AB

(v) Twee hoeken (a, b) en (c, d) zijn gelijk als we door translatie en/of rotatie de koppels halfrechten in elkaar kunnen transformeren. In dit geval noteren we (a, b) = (c, d). Voorbeeld. Gegeven zijn de onderstaande hoeken α en β. Ga met behulp van een passer na dat α = β. Nummer je constructielijnen. Controleer door de hoeken te meten met een gradenboog.

b c β α

a d (vi) Een hoek (a, b) is een nulhoek indien a = b. Alle nulhoeken zijn gelijk, we kunnen dus spreken over de nulhoek. We noteren de nulhoek met b 0. Voorbeeld. Onderstaande hoeken stellen de nulhoek voor.

b 0

b 0 a 2 Bedenk

dat er bij een gestrekte hoek twee kortste pijlen zijn.

II-2

(vii) Voor twee hoeken (a, b) en (c, d) definiëren we de som aan de hand van twee stappen. (1) Bepaal de halfrechte b0 waarvoor (c, d) = (b, b0 ) def

(2) De som van de hoeken (a, b) en (c, d) is gelijk aan (a, b) + (c, d) = (a, b0 ). Voorbeeld. Construeer de som van de onderstaande hoeken α en β. Nummer je constructielijnen.

β d

? Eigenschap 1. Noem H de verzameling van alle hoeken in het vlak. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg optelling noemen: +:H×H→H

(α, β) 7→ α + β

en die voldoet aan de volgende eigenschappen: (1) (2) (3)

∀α, β, γ ∈ H : (α + β) + γ = α + (β + γ) ∀α ∈ H : α + b 0=α=b 0+α

optelling is associatief: de nulhoek b 0 is het neutraal element voor de optelling:

∀α ∈ H : α + (−α) = b 0 = −α + α.

invers element voor optelling:

Omdat voldaan is aan deze drie eigenschappen noemen we de verzameling H voorzien van de optelling een groep, notatie H, +. Bovendien geldt ook de eigenschap (4)

∀α, β ∈ H : α + β = β + α.

optelling is commutatief:

Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep H, + commutatief (of abels).3 Merk op dat deze groep H, + wezenlijk verschillend is van groepen zoals Z, + want zo is voor de gestrekte hoek ω bijvoorbeeld ω + ω = b 0 (of kortweg 2 · ω = b 0) terwijl toch ω 6= b 0, zie onderstaande figuur.

a 3 Definitie. Zij α en β hoeken. Dan is β een helft van α indien β + β = α. Voorbeeld. Construeer de helft(en) van de onderstaande hoek α.

a 3 Genoemd

naar Niels Henrik Abel

(1802-1829).

II-3

3 Eigenschap 2. Elke hoek heeft twee verschillende helften. 3 Opmerking. Wegens de vorige eigenschap heeft het geen zin om van de helft van een hoek te spreken.4 Bijgevolg heeft de notatie α2 geen betekenis. We voorzien wel de volgende uitzondering. Indien α een binnenhoek van een driehoek ABC is dan schrijven we toch α2 voor de helft van α die binnen deze driehoek valt (zie figuur). We verwijzen naar die helft als de helft van een (binnen)hoek van een driehoek.

α 2

3 Voorstellen van hoeken op de goniometrische cirkel. Is α een (georiënteerde) hoek, dan kunnen we ze verschuiven en draaien zodat het beginbeen samenvalt met de positieve x-as (zie figuur). Nu tekenen we de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1. Deze cirkel noemen we de goniometrische cirkel. Ze snijdt het nieuwe eindbeen van de hoek α in een punt. Dat punt noemen we het beeldpunt van de hoek α, die we noteren met Eα .

Eα

α 1

III

3 Kwadranten. De x-as en de y-as verdelen het vlak in vier gebieden, die we kwadranten noemen. We zullen ze met een Romeins cijfer aanduiden, tegen de wijzers van de klok in, zoals aangeduid op de figuur hierboven: I is het eerste kwadrant, II is het tweede kwadrant, III is het derde kwadrant en IV is het vierde kwadrant. Zo ligt bijvoorbeeld het punt Eα op de figuur in het eerste kwadrant. We zeggen dan dat de hoek α in het eerste kwadrant ligt, in symbolen: α ∈ I. Bij afspraak ligt een punt op de x-as of op de y-as in geen enkel kwadrant. 4

Het feit dat een hoek twee helften bezit, heeft als gevolg dat (1) elk strikt positief reëel getal twee verschillende vierkantswortels heeft (zie Deel Complexe getallen) en (2) we de commutatieve groep H, + niet kunnen opvatten als een reële vectorruimte (zie Deel Vectorruimten).

II-4

1.2

Waarden van een hoek - Graden en radialen

3 Graden. Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (linkerfiguur). We duiden het beeldpunt van α aan. We duiden ook het beeldpunt van de nulhoek b 0 aan. y y

Eα

α Eb0

Eb0

Om de hoek α in graden te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur). (1) Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van E0̂ naar Eα beweegt. Zo ontstaat een cirkelboog. (2) Meet die cirkelboog in graden. (3) Schrijf voor dat getal in graden: een plusteken als het punt P in tegenwijzerzin beweegt, en een minteken als het punt P in wijzerzin beweegt. Het getal in graden, voorzien van het plus- of minteken, noemen we een (hoek)waarde in graden van α. 3 Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek α. Geef bij elke aangeduide boog de hoekwaarde in graden van α.

Eα

α Eb0

Eb0

de boog is . . .

een hoekwaarde van α is . . .

De verzameling van alle hoekwaarden in graden is in dit voorbeeld: {90◦ + k · 360◦ | k ∈ Z} = {90◦ , 90◦ + 360◦ , 90◦ − 360◦ , 90◦ + 2 · 360◦ , 90◦ − 2 · 360◦ , . . .} . Krijgen we één element van die verzameling, dan weten we meteen over welke hoek het gaat. Daarom schrijven we α = 90◦ of α = 450◦ of α = −270◦ enzovoort. Om te benadrukken dat 90◦ + k · 360◦ een hoekwaarde in graden van α voor elk geheel getal k, schrijft men ook wel: α = 90◦ + k · 360◦

(k ∈ Z)

3 Bijzondere hoekwaarden in graden. Elke hoek α heeft oneindig veel hoekwaarden in graden. (1) Er is precies één waarde in graden die behoort tot ]−180◦ , 180◦ ]. Die noemen we de hoofdwaarde van α. (2) Er is precies één waarde in graden die behoort tot [0◦ , 360◦ [. Die is de kleinst positieve waarde van α. II-5

3 Radialen. Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (linkerfiguur). We duiden het beeldpunt van α aan. We duiden ook het beeldpunt van de nulhoek b 0 aan.

Eα

α Eb0

Eb0

Om de hoek α in radialen te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur). (1) Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van E0̂ naar Eα beweegt. Zo ontstaat een cirkelboog. (2) Meet de lengte van zo’n cirkelboog. (3) Schrijf voor de lengte van die cirkelboog: een plusteken als het punt P in tegenwijzerzin beweegt, en een minteken als het punt P in wijzerzin beweegt. De lengte van zo’n boog, voorzien van het plus- of minteken, noemen we een (hoek)waarde in radialen van α. 3 Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek α. Geef bij elke aangeduide boog de hoekwaarde in radialen van α.

Eα

α Eb0

Eb0

de boog is . . .

een hoekwaarde van α is . . .

Meestal laten we het bijschrift rad achterwege. De verzameling van alle hoekwaarden in radialen is in dit voorbeeld: nπ o nπ π o π π π + k · 2π | k ∈ Z = , + 2π, − 2π, + 2 · 2π, − 2 · 2π, . . . . 2 2 2 2 2 2 Krijgen we één element van die verzameling, dan weten we meteen over welke hoek het gaat. Daarom schrijven 3π π we α = π2 of α = 5π 2 of α = − 2 enzovoort. Om te benadrukken dat 2 + k · 2π een hoekwaarde in radialen van α is voor elk geheel getal k, schrijft men ook wel: α=

π + k · 2π 2

(k ∈ Z)

3 Bijzondere hoekwaarden in radialen. Elke hoek α heeft oneindig veel hoekwaarden in radialen. (1) Er is precies één waarde in radialen die behoort tot ]−π, π]. Die is de hoofdwaarde in radialen van α. (2) Er is één waarde in radialen die behoort tot [0, 2π[. Die is de kleinst positieve waarde in radialen van α. II-6

Verband tussen graden en radialen Drukken we, op de goniometrische cirkel, de volledige cirkelboog uit in graden en in radialen dan vinden we het verband 360◦ = 2π rad Dat verband laat ons toe om een hoekwaarde in graden om te zetten naar een hoekwaarde in radialen, en omgekeerd. 3 Modelvoorbeeld 1. Zij α = 15◦ . Bepaal algebraı̈sch een hoekwaarde in radialen van α (exacte waarde noteren). Controleer met je grafische rekenmachine. Oplossing.

MODE

2ND

ANGLE

1:◦

ENTER

3 Modelvoorbeeld 2. Zij β = − 4π 3 rad. Bepaal algebraı̈sch de kleinst positieve waarde in graden van β (exacte waarde noteren). Controleer met je grafische rekenmachine. Oplossing.

MODE

Å ã 4π − 3

2ND

ANGLE

II-7

3:r

ENTER

Lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α Beschouw op een cirkel met straal r een cirkelboog. Noem α de hoek die hoort bij deze cirkelboog (zie figuur). Men noemt α de middelpuntshoek van de cirkelboog.

L=? l = ... α 1 r Hoe kunnen we de lengte L van deze cirkelboog bepalen? Oplossing.

Antwoord. De lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α is L = ... waarbij α uitgedrukt wordt in de kleinst positieve waarde in radialen. 3 Modelvoorbeeld. Communicatiesatellieten verzorgen telefoon, radio, televisie en internet over lange afstanden. In 1945 ontdekte men dat een satelliet in een baan om de aarde op een hoogte van ongeveer 36 000 km boven de evenaar altijd boven hetzelfde aardoppervlak zweeft.5 Deze baan noemt men dan ook een geostationaire baan. We nemen aan dat een satelliet in geostationaire baan een cirkelvormige baan om de aarde beschrijft, de gemiddelde straal van de aarde langs de evenaar is 6378 km. (a) Bepaal de hoek die de satelliet op deze cirkel aflegt in een tijdspanne van drie uur.

communicatiesatelliet in Artemis geostationaire baan

(b) Bepaal de afstand die de satelliet op deze cirkel aflegt in een tijdspanne van drie uur. Afronden op 1 km nauwkeurig. (c) Bepaal de lengte van een geostationaire baan. Afronden op 1 km nauwkeurig. (d) Bepaal de rotatiesnelheid van de satelliet (in km/u). Oplossing.

5 Ontdekt door de Engelse sience-fiction schrijver, uitvinder en futuroloog Sir Arthur Charles Clarke wordt om die reden ook wel de Clarke-Belt genoemd.

II-8

, zie [4]. De geostationaire baan

1.3

Goniometrische getallen en grondformule van de goniometrie

Uit het vierde jaar herhalen we de goniometrische getallen van willekeurige hoeken, alsook de grondformule van de goniometrie. Zie ook Parate kennis bij aanvang van het vijfde jaar. 3 Definitie (goniometrische getallen). Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel. We definiëren de volgende reële getallen. . De cosinus van α, notatie cos α, is de x-coördinaat van het beeldpunt Eα . . De sinus van α, notatie sin α, is de y-coördinaat van het beeldpunt Eα . Dit betekent dat co(Eα ) = (cos α, sin α) def

. De tangens van α is tan α =

sin α cos α

Onderstaande figuren illustreren hoe we de sinus, cosinus en tangens van α aflezen. y y

Eα

x=1

1 Eα

sin α

α cos α

1 x

1 x tan α

Verder definiëren we nog de volgende reële getallen. def

1 cos α

. De secans van α is

sec α =

. De cosecans van α is

cosec α =

def

. De cotangens van α is cot α =

1 sin α

1 tan α

De sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans en cotangens van α noemen we de goniometrische getallen van α. Voor het aflezen van tangens, cotangens, secans en cosecans verwijzen we naar de oefeningen bij §1.3. 3 Notaties. Zoals eerder gezegd noteren we hoeken met Griekse letters α, β, . . . . Hoekwaarden daarentegen zijn reële getallen en worden zoals gewoonlijk aangeduid met Latijnse letters a, b, . . . . . Is α = a◦ dan schrijven we ook sin a◦ in plaats van sin α, cos a◦ in plaats van cos α, etc. . Is α = a rad dan schrijven we ook sin(a rad) of sin a in plaats van sin α, etc. Meestal laten we dan ook het bijschrift rad achterwege. Zo schrijven we dus sin (π rad) kortweg als sin π. Voor een hoek α schrijven we ook α + π of α + 180◦ voor de som van α met de gestrekte hoek, α + π2 of α + 90◦ voor de som van α met de rechte hoek, etc. Voorbeeld. tan 2π = tan 360◦ = tan 0◦ 3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken. Aan de hand van de definitie van goniometrische getallen en de stelling van Pythagoras verkrijgen we onderstaande tabel. Voor het opstellen van deze tabel verwijzen we naar Oefening 17 en Oefening 18 van dit hoofdstuk. α

0◦

sin α

cos α

tan α

30◦ 1 √2 3 2 1 √ 3 II-9

45◦ √ 2 √2 2 2 1

60◦ √ 3 2 1 2 √ 3

90◦ 1 0 |

Uit de definitie van sinus en cosinus volgt onmiddellijk de volgende 3 Stelling (grondformule van de goniometrie). Voor elke hoek α geldt: sin2 α + cos2 α = 1 . Bewijs. Neem een willekeurige hoek α. Het beeldpunt Eα ligt op de goniometrische cirkel. Bijgevolg voldoen de coördinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel: Eα ∈ C(O, 1)

⇒

⇒ ⇒

co(Eα ) = (cos α, sin α) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y 2 = 1

(cos α)2 + (sin α)2 = 1 sin2 α + cos2 α = 1.

3 Gevolgen (afgeleide formules van de grondformule). 1. Delen we beide leden van de grondformule door cos2 α dan verkrijgen we tan2 α + 1 =

1 cos2 α

voor elke hoek α waarvoor cos α 6= 0.

2. Delen we beide leden van de grondformule door sin2 α dan verkrijgen we 1 + cot2 α =

1 sin2 α

voor elke hoek α waarvoor sin α 6= 0.

3 Opmerkingen. 2

1. Hierboven en in het vervolg is sin2 α een andere schrijfwijze voor (sin α) . Analoog voor andere machten en goniometrische getallen.6 2. De grondformule en de twee afgeleide formules zijn voorbeelden van wat men noemt goniometrische identiteiten: uitdrukkingen van de vorm = 4 die opgaan voor alle hoeken α, β, . . . waarvoor de uitdrukking gedefiniëerd is. Veelal laat men de specificaties zoals voor elke hoek α of voor elke hoek α waarvoor cos α 6= 0 weg. Goniometrische identiteiten blijven uiteraard geldig indien we de hoeken vervangen door een hoekwaarde. Voorbeeld. Voor elke reëel getal a is sin2 a + cos2 a = 1. 3. Is van een hoek α één goniometrisch getal gekend, dan laat de grondformule en de twee afgeleide formules toe om andere goniometrische getallen te berekenen (zie onderstaand schema). Is daarenboven het kwadrant van de hoek α gekend, dan zijn alle goniometrische getallen welbepaald.

sin α

cosec α =

sin2 α + cos2 α = 1

cos α

1 sin α

sec α =

cosec α

sec α

1 + tan2 α = sec2 α

1 + cot2 α = cosec2 α

cot α

6 Deze

1 cos α

1 cot α = tan α

tan α

notatie is conform met onze afspraken uit Deel Precalculus 1 waar voor een functie f ook f 2 (x) = (f (x))2 .

II-10

Oefeningen 1 Basisbegrippen

Basis ?

Verdieping ? ??

1.1 Basisbegrippen in verband met hoeken

1.2 Waarden van een hoek - Graden en radialen

4 5 6 7

8 9

10 11

4 12

1.3 Goniometrische getallen en grondformule van de goniometrie

15 16

16 17

16 18

16 19 20

20 21

Uitbreiding ? ?? 14

24 25

Oefeningen bij §1.1 B

Oefening 1. Duid in een goniometrische cirkel het beeldpunt van de nulhoek b 0, het beeldpunt van een rechte hoek δ en het beeldpunt van de gestrekte hoek ω aan.

Oefening 2. Bepaal de helft(en) van de nulhoek b 0.

B??

Oefening 3. Gegeven zijn de onderstaande hoeken α en β. (a) Construeer de som α + β. (b) Construeer het verschil α − β. (c) Construeer de twee helften van de hoek α.

β d

Oefeningen bij §1.2 Oefening 4. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine een hoekwaarde in radialen (exacte waarde noteren). Controleer met je grafische rekenmachine.

α = 180◦

(a)

(b) β = −135◦

(c)

(d) θ = 100◦ 170

Oefening 5. Bepaal telkens met je grafische rekenmachine een hoekwaarde in radialen. (a) α = 1000◦ 500 4000

γ = 25◦

(b) β = 63◦ 4500

Oefening 6. Vul in de volgende tabel de kleinst positieve hoekwaarde in radialen. α (in graden)

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

α (in radialen)

...

II-11

Oefening 7. Bepaal telkens met je grafische rekenmachine een hoekwaarde in graden. (a) α = 1 rad

(b) β = 7, 4 rad

Oefening 8. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine een hoekwaarde in graden (exacte waarde noteren). Controleer met je grafische rekenmachine. 3π π (a) α = rad (c) γ = rad 2 12 7π 2π (d) θ = 3 16 Oefening 9. Gegeven zijn onderstaande regelmatige veelhoeken. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine een hoekwaarde van de aangeduide hoek in radialen. (b) β = −

γ β

α B??

Oefening 10. De grote wijzer van een moderne wandklok heeft een lengte van 31 cm, de kleine wijzer meet 23, 5 cm. (a) Welke afstand legt de top van de grote wijzer af in 17 minuten? (b) Welke afstand legt de top van de kleine wijzer af in 17 minuten?

B??

Oefening 11. Veronderstellen we dat de aarde bolvormig is, dan wordt de kortste afstand tussen twee punten op aarde gemeten op een zogenaamde grote cirkel: een denkbeeldige cirkel met als middelpunt het centrum van de aarde en als straal de straal van de aarde (neem 6370 km).7 (a) Een zeemijl is de lengte gemeten op een grote cirkel die overeenkomt met een hoek van 10 gezien vanuit het centrum van de aarde. Bereken hoeveel kilometer er in een zeemijl gaan. (b) Een vliegtuig vliegt van Brussel naar Kaap de Goede Hoop volgens de meridiaan 4◦ oosterlengte. De noorderbreedte van Brussel is 50◦ 300 , de zuiderbreedte van Kaap de Goede Hoop is 34◦ 250 1500 . Het vliegtuig vliegt op een hoogte van gemiddeld 10 km. Bepaal de afstand die het vliegtuig aflegt.

Oefening 12. Zij α =

π 3

rad.

(a) Schets het beeldpunt van α op de goniometrische cirkel en geef alle hoekwaarden in radialen van α.

poster Vlaamse Wiskunde Olympiade, 2007

(b) Bepaal alle hoeken β waarvoor 3β = α en duid aan op de goniometrische cirkel. V?

Oefening 13. Een fietsketting draait rond over een klein tandwiel achteraan (diameter 75 mm) en een groot tandwiel vooraan aan de pedalen (diameter 185 mm). Als de pedalen ronddraaien over een hoek van 5 radialen, over welke hoek (in radialen) is het achterste tandwiel dan gedraaid?

Oefening 14 (oppervlakte van een cirkelsector). Een cirkelsector is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de twee lijnstukken van de eindpunten van de cirkelboog naar het middelpunt van de cirkel (zie figuur). Noem r de straal van de cirkel en α de hoek die hoort bij deze cirkelboog. Toon aan dat de oppervlakte van de cirkelsector gegeven wordt door

A α r

1 A = αr2 2 waarbij α uitgedrukt wordt in de kleinst positieve waarde in radialen.8 7 In de praktijk beschouwt men de vorm van de hypothetische zeespiegel die de hele aarde omvat. Deze vorm noemt men de geoı̈de en wijkt af van zowel een ideale bolvorm als een ellipsoı̈de. De geoı̈de is wiskundig niet eenvoudig te beschrijven, toch heeft ze specifieke toepassingen zoals in de oceanografie, fysische geodesie en de gravimetrie. 8 Merkwaardig genoeg kunnen we een cirkelsector opvatten als een driehoek met als basis de booglengte en hoogte de straal, want dan is de oppervlakte inderdaad gelijk aan (basis × hoogte)/2 = (rα × r)/2 = 1/2 αr2 .

II-12

Oefeningen bij §1.3 Oefening 15. De uitdrukking

tan α − sin α cos α tan α

is gelijk aan (A) sin α

(B) cos α

(D) cos2 α

(E) 1

Oefening 16. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. 2

(a)

(4 sin α − cos α) + (sin α + 4 cos α) = 17

B?? (f)

(cosec α − sin α)(sec α − cos α) =

(b)

tan2 α = sin2 α 1 + tan2 α

B?? (g)

tan α = (1 − cos2 α) sec α cosec α

1 tan α + cot α

B? (c)

sin2 α − cos2 α =

tan2 α − 1 tan2 α + 1

(h)

B? (d)

tan α + cot α = cosec α sec α

(i)

sin α 1 + cos α = sin α 1 − cos α

B?? (e)

sin2 α cos2 β − sin2 β cos2 α = sin2 α − sin2 β

(j)

(sin α + cos α + 1) (sin α + cos α − 1) = 2 sin α cos α

sec2 α cosec2 α − tan2 α − cot2 α = 2

1 2

Oefening 17. Zij α een hoek waarvoor sin α = 35 . Bereken algebraı̈sch de mogelijke waarden voor de goniometrische getallen cos α, tan α. Duid de betekenis aan op de goniometrische cirkel.

B??

Oefening 18. Zij β een hoek waarvoor cot β = − 34 . Bereken algebraı̈sch de mogelijke waarden voor de goniometrische getallen cos β, tan β. Duid de betekenis aan op de goniometrische cirkel.

Oefening 19. Zij α een hoek waarvoor sec α + tan α =

22 7 .

Bepaal algebraı̈sch cosec α + cot α zonder α te berekenen.

Oefening 20. Bewijs dat de volgende uitdrukkingen constant zijn, dus niet afhangen van de keuze van de hoek α. 2 V (a) sin4 α − cos4 α + 4 sin2 α cos2 α V? (c) sin6 α + 3 sin2 α cos2 α + cos6 α V (b) 3 sin4 α + cos4 α − 2 sin6 α + cos6 α V? (d) sin2 α tan2 α − sec2 α − cos2 α Oefening 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1986 eerste ronde).

Welk is de lengte van de straal R van de gegeven cirkel indien de lengte van [P Q] precies tan θ is?

y Q R θ P

(A) V??

tan θ cos θ

(B) sin θ · tan θ

1 2

(C)

1 sin θ

(D)

1 cos θ

Oefening 22 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel). Toon aan dat de wortels van de vierkantsvergelijking (1 + sin a)x2 − (2 sin a + cos2 a)x + sin a (1 − sin a) = 0 rationale vormen in sin a zijn. II-13

(E) geen van vorige

1 2

Oefening 23. Beschouw de nevenstaande gelijkbenige rechthoekige driehoek. (a) Toon aan dat α = β = 45◦ .

(b) Bewijs dat

1 sin 45◦ =

√

2 2

cos 45◦ =

√

2 2

tan 45◦ = 1.

Oefening 24. Beschouw de nevenstaande gelijkzijdige driehoek met zwaartelijn z. (a) Toon aan dat α = 60◦ .

(b) Bewijs met behulp van congruente driehoeken dat β = 30◦ .

◦

sin 60 = cos 30 =

√

3 . 2

1/2

Oefening 25 (meetkundige voorstelling van tangens en cotangens). Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel. Bewijs dat we de tangens en cotangens van α als volgt kunnen aflezen. (a) De tangens van α is de y-coördinaat van het snijpunt van de rechte OEα met de rechte x = 1. (b) De cotangens van α is de x-coördinaat van het snijpunt van de rechte OEα met de rechte y = 1.

x=1

y=1

cot α 1

1 Eα

Eα α

α 1

tan α

U??

Oefening 26 (meetkundige voorstelling van secans en cosecans). Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel. Bewijs dat we de secans en cosecans van α als volgt kunnen aflezen. (a) De secans van α is de x-coördinaat van het snijpunt van de x-as met de raaklijn t in Eα aan de cirkel C(O, 1). (b) De cosecans van α is de y-coördinaat van het snijpunt van de x-as met raaklijn t in Eα aan de cirkel C(O, 1).

y 1

Eα

Eα α

sec α

cosec α α

II-14

Inzicht in navigatie In dit voorbeeld laten we zien hoe de afstand tussen twee punten op aarde, relatief ver van elkaar verwijderd, kan berekend worden.9 Voor het meten van afstanden op aarde maakt men onderscheid tussen landmeetkunde en navigatie. De landmeetkunde, onderdeel van de geodesie, richt zich op de meetkundige beschrijving van stukken land waarbij het effect van de aardkromming kan worden verwaarloosd. Doorgaans neemt men 40 km als bovengrens. Voor het berekenen van deze kleine afstanden maakt men gebruik van driehoeksmeetkunde: de tak van de meetkunde die zich bezighoudt met het berekenen van zijden en hoeken van driehoeken in het vlak. Daarbij maakt men uitvoerig gebruik van de sinusregel en de cosinusregel in een driehoek (zie Parate kennis bij aanvang van de derde graad). Bij navigatie gaat het om relatief grote afstanden. Daarbij veronderstelt men de aarde bolvormig en om de (kortste) afstand tussen twee punten te bepalen maakt men gebruik van boldriehoeksmeetkunde: de tak van de meetkunde die zich bezighoudt met het het berekenen van zijden en hoeken van zogenaamde boldriehoeken in de ruimte. Noemen we R de straal en O het middelpunt van de bol, dan is de kortste afstand tussen twee punten A en B altijd een deel van de grote cirkel door A en B: de cirkel met straal R die we verkrijgen door het vlak ABO te snijden met het boloppervlak. Een boldriehoek is een ruimtelijke figuur op een bol die verkregen wordt door drie niet-coplanaire punten op een bol te verbinden door delen van grote cirkels (Figuur 1). De grondformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is geldig voor R = 1 en luidt als volgt: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.

Figuur 1: boldriehoek ABC

Om deze formule toe te passen op de navigatie, moet de plaats van een punt A op aarde vastgelegd worden. Daarbij maken we gebruik van de meridiaan door A: dat is de grote cirkel door A die een rechte hoek maakt met de evenaar (grote cirkel AA0 in Figuur 2). Zo’n meridiaan gaat door de polen P en P 0 . Nemen we voor A het Koninklijk Observatorium van Greenwich te Engeland, dan verkrijgen we de nulmeridiaan (grote cirkel P W in Figuur 2). De positie van een willekeurig punt A laat zich dan beschrijven door de zogenaamde geografische coördinaten (LA , φA ), die als volgt gedefinieerd worden. “ 0 . Voor R = 1 is de hoek LA in radialen ook . De lengte LA is de hoek W OA Figuur 2: geografische coördinaten (LA , φA ) gelijk aan de lengte van de grote cirkelboog W A0 . Er wordt onderscheid gemaakt tussen ooster- en westerlengte. “ 0 . Voor R = 1 is de hoek φA in radialen ook gelijk aan de lengte van de grote . De breedte φA is de hoek AOA 0 cirkelboog AA . Hier wordt onderscheid gemaakt tussen noorder- en zuiderbreedte.

Afstand tussen twee punten op aarde Kennen we van twee punten A en B de geografische coördinaten, dan kunnen we de afstand tussen A en B berekenen door de grondformule van de boldriehoeksmeetkunde toe te passen op de boldriehoek P AB (zie Figuur 3): cos x = cos(90◦ − φA ) cos(90◦ − φB ) + sin(90◦ − φA ) sin(90◦ − φB ) cos(LB − LA ). Voorbeeld. We berekenen de afstand tussen Brussel en Athene. Brussels Airport (BRU) heeft als geografische coördinaten (LA , φA ) = (50◦ 540 500 , 4◦ 290 400 )

Figuur 3: boldriehoek P AB

en Athens International Airport (ATH) heeft als geografische coördinaten (LB , φB ) = (37◦ 560 1100 , 23◦ 560 4100 ). Bovenstaande formule geeft dan cos x = cos(85◦ 300 5600 ) cos(66◦ 30 1900 ) + sin(85◦ 300 5600 ) sin(66◦ 30 1900 ) cos(12◦ 570 5400 ) = 0, 91964527 . . . zodat x ≈ 23◦ 70 32, 59500 = 0, 403619971 . . . rad. Dat is de afstand op de bol met straal 1. Stellen we de straal van de aarde gelijk aan 6370 km, dan vinden we dat de afstand tussen Brussel en Athene ongeveer gelijk is aan 2571 km. 9 Gebaseerd op [22, Boldriehoeksmeting]. Navigatie is het gebied van studie dat zich focust op plannen en volgen van een route om zich daarmee van de huidige positie naar de bestemming te verplaatsen.

II-15

Hoofdstuk 2

Formules van de goniometrie In dit hoofdstuk bespreken we de belangrijkste formules van de goniometrie. Zij komen van pas bij het vereenvoudigen van goniometrische functies (zie Hoofdstuk 4). De belangrijkste toepassing is wellicht het integreren van functies met behulp van goniometrische substitutie, we verwijzen hiervoor naar Deel Integralen.

2.1

Formules voor verwante hoeken

Herhaal uit Hoofdstuk 1 de goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende hoeken in het eerste kwadrant (zie nevenstaande tabel). Het doel van deze paragraaf is om deze tabel uit te breiden naar veelvoorkomende hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant (zie Oefening 1). In het algemeen achterhalen we betrekkingen voor de goniometrische getallen van −α, π ± α en π/2 ± α in functie van de goniometrische getallen van een hoek α. We pleiten er voor om de formules die in deze paragraaf aan bod komen visueel te onthouden: maak geen in te studeren formularium, maar lees de formules af van een sleutelfiguur. In de praktijk (bijvoorbeeld bij oefeningen) volstaat het om een schets te maken van de goniometrische cirkel waarbij je enkel de verwante hoeken aanduidt die je op dat moment nodig hebt.

sin α

cos α

tan α

π 6

π 4 √

1 2 √ 3 2 √ 3 3

2 2 √ 2 2 1

π 3

π 2

√

3 2

1 2

√

3 Tegengestelde hoeken. We noemen α en −α tegengestelde hoeken omdat hun som gelijk is aan de nulhoek.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van −α en stel vast.

x=1

Eα sin(−α) =

tan α

sin α α

cos(−α) =

cos α

tan(−α) =

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). π (a) sin − = ... 4 π (b) cos − = ... 3 II-16

3 Supplementaire hoeken. We noemen α en π − α supplementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan de gestrekte hoek.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van π − α en stel vast.

x=1

Eα sin(π − α) =

tan α

sin α α

cos(π − α) =

cos α

tan(π − α) =

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Å ã 2π (a) cos = ... 3 Å ã 5π (b) tan = ... 6 3 Antisupplementaire hoeken. We noemen α en π + α antisupplementaire hoeken omdat hun verschil gelijk is aan de gestrekte hoek. Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van π + α en stel vast.

x=1

Eα sin(π + α) =

tan α

sin α α

cos(π + α) =

cos α

tan(π + α) =

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Å ã 7π = ... (a) sin 6 Å ã 4π (b) cos = ... 3

II-17

3 Complementaire hoeken. We noemen α en hoek.

π 2

− α complementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan de positief georiënteerde rechte

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van

π 2

− α en stel vast.

x=1

Eα sin

−α =

2 π

−α =

2 π

cos tan

tan α

sin α

−α =

α cos α

Voorbeeld. Toon telkens aan met behulp van de formules voor complementaire hoeken. π π (a) cos = sin 6 3 π π (b) tan = cot 3 6 3 Anticomplementaire hoeken. We noemen α en rechte hoek.

π 2

+ α anticomplementaire hoeken omdat hun verschil gelijk is aan de positief georiënteerde

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van

π 2

+ α en stel vast.

x=1

Eα sin

+α =

2 π

+α =

cos tan

2 π

tan α

sin α

+α =

α cos α

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Å ã 3π (a) sin = ... 4 Å ã 5π (b) tan = ... 6 II-18

2.2

Som- en verschilformules

In deze paragraaf bepalen we formules voor de sinus, cosinus en tangens van α ± β in functie van de sinus, cosinus en tangens van hoeken α en β onderling. 3 Op ontdekking. Hoe kunnen we sin (α + β) uitdrukken? ? . Is sin (α + β) = sin α + sin β? ? ◦ ◦ We gaan dit na met een voorbeeld: sin (60◦ + 30◦ ) = sin | {z60} + |sin{z30} {z } | ...

...

. Wel is sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. ? ◦ ◦ ◦ ◦ En inderdaad, zo is sin (60◦ + 30◦ ) = sin | 60 {zcos 30} + |cos 60 {zsin 30} | {z } ...

...

3 Stelling (som- en verschilformules).1 We hebben de identiteiten: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β tan(α + β) = 1 − tan α tan β tan α − tan β tan(α − β) = 1 + tan α tan β Bewijs van cos(α − β). Noem P het beeldpunt van α en Q het beeldpunt van β (figuur 1). Wanneer we het assenstelsel Oxy draaien over hoek β, dan verkrijgen we een nieuw assenstelsel Ox0 y 0 (figuur 2).

Claudius Ptolemaeus (87 - 150 n.Chr.) op een middeleeuwse afbeelding

Het idee van het bewijs is om de afstand |P Q| op twee manieren te berekenen. . Eerste manier. Bereken |P Q| ten opzichte van het oud assenstelsel Oxy. De coördinaten van P en Q ten opzichte van Oxy zijn gelijk aan co(P ) = (x1 , y1 ) = . . .

co(Q) = (x2 , y2 ) = . . .

en uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt

|P Q|2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

= ...

β x

= ... = ...

C(O, 1)

. Tweede manier. Bereken |P Q| ten opzichte van het nieuw assenstelsel Ox0 y 0 . De coördinaten van P en Q ten opzichte van Ox0 y 0 zijn gelijk aan co(P ) = (x01 , y10 ) = . . .

co(Q) = (x02 , y20 ) = . . .

en uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt |P Q|2 = (x02 − x01 )2 + (y20 − y10 )2

y′ Q

P α−β

x′

= ...

= ... = ... Vergelijken we beide uitdrukkingen voor |P Q|2 , dan vinden we

C(O, 1)

cos(α − β) = . . . 1

Archimedes van Syracuse ± 250 v.Chr. som-en verschilformules voor sinus in elementaire vorm, Ptolemaeus ± 150 n.Chr. som-en verschilformules voor sinus en cosinus in elementaire vorm, in huidige vorm opgesteld door Abū al-Wafā’ al-Būzjānı̄ (940 - 998) en Jabir ibn Aflah ±1150 en overgenomen door Johannes Müller von Königsberg (Latijnse naam: Regiomontanus) 1464 [20].

II-19

Bewijs van cos(α + β). We vinden cos(α + β) = cos(α − (−β)) = ...

Bewijs van sin(α + β). We vinden π sin(α + β) = cos − (α + β) Å 2 ã π = cos −α −β 2 = ...

Bewijs van sin(α − β). We vinden sin(α − β) = sin(α + (−β)) = ...

Bewijs van tan(α + β). We vinden tan(α + β) =

sin(α + β) cos(α + β)

= ...

Bewijs van tan(α − β). We vinden tan(α − β) = tan(α + (−β)) = ...

De som-en verschilformules laten toe om van sommige goniometrische getallen de exacte waarde te bepalen. 3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal cos 15◦ zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Oplossing.

II-20

Inoefenen van de som- en verschilformules kan door het bewijzen van goniometrische identiteiten. Lukraak formules toepassen geeft meestal een uitzichtloze berekening die zelden tot een bewijs leidt. Het advies hierbij is om, startend met het linker- of rechterlid, enkel formules toe te passen die je dichter bij het ander lid brengen. Getuige hiervan is volgend 3 Modelvoorbeeld 2. Bewijs de volgende goniometrische identiteit sin(α + β) sin(α − β) = cos2 β − cos2 α. Bewijs. In het linkerlid kunnen we meteen de som-en verschilformules toepassen. Op die manier drukken we het linkerlid uit in functie van de sinus en cosinus van α en β. LL = sin(α + β) sin(α − β)

= (sin α cos β + cos α sin β)(sin α cos β − cos α sin β)

Deze uitdrukking moeten we zien te vereenvoudigen. Een optie is het uitwerken met behulp van distributiviteit. Een geoefend oog herkent echter een uitdrukking van de vorm (A + B)(A − B), wat meteen de vereenvoudigde vorm A2 − B 2 oplevert. LL = . . . = (sin α cos β + cos α sin β)(sin α cos β − cos α sin β) = (sin α cos β)2 − (cos α sin β)2 = sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β

In de volgende stap gaan we doordacht te werk. In het rechterlid komen enkel de goniometrische getallen cos α en cos β voor. We wensen dus sin2 α en sin2 β uit te drukken in functie van cos α en cos β. Dat kan met behulp van de grondformule van de goniometrie. Vereenvoudigen geeft: LL = . . . = sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β

= (1 − cos2 α) cos2 β − cos2 α(1 − cos2 β)

= cos2 β − cos2 α cos2 β − cos2 α + cos2 α cos2 β = cos2 β − cos2 α = RL.

We kunnen de formules van de goniometrie ook aanwenden om identiteiten in de driehoeksmeetkunde te bewijzen. 3 Modelvoorbeeld 3. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een niet-rechthoekige driehoek. Toon aan

tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ. Bewijs. Op het eerste zicht zijn de som- en verschilformules niet inzetbaar, omdat geen van beide leden de som van twee hoeken bevat. Maar omdat α, β en γ de binnenhoeken van een driehoek zijn, kennen we een verband tussen deze drie hoeken: α + β + γ = π.

γ a

b α A

β c

Hiermee kunnen we bijvoorbeeld γ uitdrukken in functie van α en β. Starten we met het linkerlid, dan is LL = tan α + tan β + tan γ = tan α + tan β + tan(π − (α + β)) = ...

II-21

2.3

Verdubbelingsformules

De verdubbelingsformules drukken de sinus, cosinus en tangens van 2α uit in functie van de sinus, cosinus en tangens van de hoek α. 3 Op ontdekking. Hoe kunnen we sin (2α) uitdrukken? ? . Is sin (2α) = 2 sin α? ? We gaan dit na met een voorbeeld: sin (2 · 30◦ ) = 2 |sin{z30◦} {z } | ...

...

. Wel is sin (2α) = 2 sin α cos α. ◦ ◦ En inderdaad, sin (2 · 30◦ ) = 2 sin | 30 {zcos 30} {z } | ...

...

3 Stelling (verdubbelingsformules). We hebben de identiteiten: sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos2 α − sin2 α 2 tan α tan(2α) = 1 − tan2 α Bewijs van sin(2α). We passen de somformule voor de sinus toe: sin(2α) = sin(α + α) = . . .

Bewijs van cos(2α). We passen de somformule voor de cosinus toe: cos(2α) = cos(α + α) = . . .

Bewijs van tan(2α). We passen de somformule voor de tangens toe: tan(2α) = tan(α + α) = . . .

3 Modelvoorbeeld. Zij α de hoek in het tweede kwadrant waarvoor sin α = 3/5. (a) Bereken zonder grafische rekenmachine sin(2α), cos(2α), tan(2α) en tan(4α). (b) In welk kwadrant liggen de hoeken 2α en 4α? Verklaar zonder die hoeken te berekenen of voor te stellen op de goniometrische cirkel. Oplossing. Om een idee te krijgen over welke hoek het gaat, stellen we α voor in de goniometrische cirkel (zie figuur).

3/5 α x

II-22

2.4

Formules van Carnot en halveringsformules

De verdubbelingsformules drukken de sinus, cosinus en tangens van een hoek 2α uit in functie van de sinus, cosinus en tangens van de hoek α. De halveringsformules zullen sinus, cosinus en tangens van een helft van een hoek α uitdrukken in functie van de sinus, cosinus en tangens van die hoek α.2 3 Stelling (formules van Carnot en halveringsformules).3 We hebben de identiteiten (α is een hoek, a is een hoekwaarde): 1 − cos(2α) sin α = 2 1 + cos(2α) 2 cos α = 2 2

…

1 − cos a 2 2 … a 1 + cos a cos =± . 2 2 sin

=±

Bewijs van de formules van Carnot. We starten vanuit de grondformule van de goniometrie (1) en de verdubbelingsformule voor cosinus (2): (1) :

cos2 α + sin2 α = 1

(2) :

cos2 α − sin2 α = cos(2α).

Lazare Nicolas Marguerite, comte Carnot (1753-1823)

Uit de som en het verschil van (1) en (2) vinden we: (1) + (2) :

2 cos2 α = 1 + cos(2α)

⇒

(1) − (2) :

2 sin2 α = 1 − cos(2α)

⇒

1 + cos(2α) 2 1 − cos(2α) 2 . sin α = 2 cos2 α =

Bewijs van de halveringsformules. Zij α een en a een reëel getal waarvoor a/2 een hoekwaarde van α is. ahoek a en cos uit de formules van Carnot. 2 2

Dan volgen de halveringsformules voor sin

3 Modelvoorbeeld 1. Zij a een hoekwaarde van de hoek in het derde kwadrant waarvoor cos(2a) = 3/4. Bereken algebraı̈sch de exacte waarden van sin a, cos a, tan a en cot a. Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Ontbind de volgende uitdrukking in factoren (hierbij stelt x een hoekwaarde voor): 1 + 2 cos x + cos(2x). Oplossing.

2 Omdat

elke hoek twee helften heeft, zijn de uitdrukkingen sin

α 2

en cos

α 2

niet ondubbelzinnig bepaald en dus zinloos. Daarom

hoort men ofwel de halveringsformules voor sinus en cosinus uit te drukken in hoekwaarden, ofwel de formules uit te drukken in sin2 cos2

α 2

en tan 2 die wel onafhankelijk zijn van welke helft van α men kiest (zie Oefening 9). 2 Ptolemaeus ±150 n.Chr. in elementaire vorm. Hoewel Carnot bijdragen leverde aan de projectieve meetkunde en de boldriehoeksmeetkunde, werden bovenstaande formules niet door hem beschreven. De onterechte naamsverwijzing stoelt blijkbaar op een hardnekkige mythe die vooral in de Lage Landen zijn weerklank vindt. 3

II-23

2.5

t-formules

De volgende formules drukken sinus, cosinus en tangens van α uit in functie van de tangens van een helft van α. 3 Stelling (t-formules). We hebben de identiteiten:4 2t 1 + t2 1 − t2 cos α = 1 + t2 2t tan α = 1 − t2 sin α =

met t = tan

α 2

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld 1. Zij α een hoek waarvoor tan sin α, cos α, tan α en tan(2α).

α 2

= 2−

√

3. Bepaal algebraı̈sch de exacte waarden van

Oplossing.

De t-formules laten toe om elke uitdrukking in de goniometrische getallen van α te herschrijven als een rationale vorm.5 3 Modelvoorbeeld 2. Herschrijf de volgende uitdrukking in een rationale vorm en vereenvoudig 2 + sin α sin α(1 + cos α) Oplossing.

we niet kunnen spreken over de helft van een hoek α is de uitdrukking tan α toch zinvol, zie Oefening 9. 2 5 De kracht hiervan valt nauwelijks te onderschatten. We verwijzen naar zie Toepassing 3 op pagina 27 en Deel Maple. 4 Hoewel

II-24

2.6

Toepassingen

Toepassing 1 - De formule van Heron Goniometrische identiteiten kunnen leiden tot een formule uit de driehoeksmeetkunde, zoals bijvoorbeeld de formule van Heron. Deze formule werd ook besproken in het vierde jaar en drukt de oppervlakte van een driehoek uit in functie van de lengtes der zijden. Alvorens we het verrassend korte bewijs geven, vermelden we twee hulpresultaten die we nodig zullen hebben.6 3 Lemma 1. De oppervlakte van een driehoek ABC is gelijk aan het product rs, waarbij r staat voor de straal van de ingeschreven cirkel en s staat voor de halve omtrek van de driehoek:7 Opp. ∆ABC = rs.

C z z r

Bewijs. Uit nevenstaande figuur volgt

Opp. ∆ABC = Opp. ∆ABO + Opp. ∆BOC + Opp. ∆AOC 1 1 1 = cr + ar + br 2Å 2 ã2 a+b+c = rs. =r 2

x A

O r

3 Lemma 2. In een driehoek ABC geldt de goniometrische identiteit Å ã Å ã α γ α γ β β 1 = tan tan + tan tan . + tan tan 2 2 2 2 2 2 Bewijs. Dit volgt uit 1 = tan

α 2

cot

α 2

Ä ä Å ã α α tan β + tan γ α β γ 2 2 Ä ä = tan tan − = tan tan + = tan . 2 2 2 2 2 2 2 1 − tan β tan γ 2 2 α

3 Stelling (formule van Heron).8 In een driehoek ABC wordt de oppervlakte gegeven door » a+b+c Opp. ∆ABC = s(s − a)(s − b)(s − c) waarbij s = . 2 Bewijs. Uit de notaties in de figuur van Lemma 1 leiden we af dat a+b+c = x + y + z = x + a, 2 zodat s − a = x. Analoog is s − b = y en s − c = z. Zo vinden we: Å ã α γ r β r r tan = , tan = en tan = . 2 s−a 2 s−b 2 s−c s=

De goniometrische identiteit uit Lemma 2 geeft dan: 1=

r2 r2 r2 + + (s − a)(s − b) (s − b)(s − c) (s − c)(s − a)

r2 (s − c + s − a + s − b) (s − a)(s − b)(s − c)

r2 s (s − a)(s − b)(s − c)

zodat r2 s2 = s(s − a)(s − b)(s − c). Uit Lemma 1 volgt nu dat Opp. ∆ABC = rs =

» s(s − a)(s − b)(s − c).

6 Dit bewijs geldt als een van de kortste en meest efficiënte redeneringen om de formule van Heron aan te tonen. Het is afkomstig van John Perry Ballantine 1954 [1]. Nadien werd zijn bewijs meermaals opnieuw gepubliceerd zonder verwijzing naar Ballantine en zijn origineel artikel. Dat gebeurde onder meer in 1984 door David Dobbs [10] en in 1993 door Barney Oliver [18]. Sindsdien werd Ballantine’s creatieve bewijs vaak toegeschreven aan Oliver of Dobbs, ten onrechte en wellicht uit onwetenheid. Dat was onder meer zo in de historische overzichten van William Dunham [?, Chapter 7] in 1991 en Ellina Grigorieva [12, Chapter 1] in 2013. Roger Nelsen had het in 2001 dan weer juist, toen hij in zijn bewijs zonder woorden van Lemma 1 en Lemma 2 hierboven de referentie naar het artikel van Ballantine uit 1954 gaf [17]. Voor de geschiedenis, bewijzen en veralgemeningen van de formule van Heron verwijzen we naar het overzichtsartikel [8]. 7 De letter s is de eerste letter van semiperimeter, de Engelse term voor halve omtrek. 8 Toegeschreven aan Heron van Alexandrië (± 75 n.Chr.) die de formule met bewijs publiceerde in zijn boek Metrica, Propositie I.8.

II-25

Toepassing 2 - De goniometrische getallen van π/2n In deze toepassing bepalen we de exacte waarde van de sinus en de cosinus van π/4, π/8, π/16, π/32, . . . Uit de halveringsformules volgt …  a 1 − cos a   =±  sin 2 2 (voor elke hoekwaarde a) … a  1 + cos a   cos =± 2 2

 x …1 1   = − cos x  sin 2 2 2 (voor elke x ∈ [0, π]). …    cos x = 1 + 1 cos x 2 2 2

⇒

Stellen we x = π/2, dan vinden we π

… π …1 1 1 1 1 sin = = − cos − 0= 4 2 2 2 2 2 2 … π …1 1 π …1 1 1 cos = + cos = + 0= . 4 2 2 2 2 2 2 …

Opnieuw toepassen met x = π/4 geeft nu

… π 1 1 1 1 1 sin = − cos = − 8 2 2 4 2 2 2 … π …1 1 π 1 1 1 cos = + cos = + . 8 2 2 4 2 2 2 …

Op die manier bouwen we de volgende tabel op, waarbij x = n 2 3 4 5 .. . n

π : 2n

sin x … 1 2 … 1 1 1 − 2 2 2 s … 1 1 1 1 1 − + 2 2 2 2 2 Ã s … 1 1 1 1 1 1 1 − + + 2 2 2 2 2 2 2 .. . Ã s … 1 1 1 1 1 1 1 − + + ··· + 2 2 2 2 2 2 2 | {z }

π 4 π 8 π 16 π 32 .. . π 2n

n − 1 wortels

of na vereenvoudiging n 2 3 4 5 .. . n

sin x

π 4 π 8 π 16 π 32 .. .

1√

π 2n

cos x … 1 2 … 1 1 1 + 2 2 2 s … 1 1 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 Ã s … 1 1 1 1 1 1 1 + + + 2 2 2 2 2 2 2 .. . Ã s … 1 1 1 1 1 1 1 + + + ··· + 2 2 2 2 2 2 2 | {z } n − 1 wortels.

cos x

2 » √ 1 2− 2 q2 » √ 1 2− 2+ 2 …2 q » √ 1 2− 2+ 2+ 2 2 .. . … q » √ 1 2 − 2 + 2 + ··· + 2 2 | {z } n − 1 wortels

II-26

1√ 2 2 » √ 1 2+ 2 q2 » √ 1 2+ 2+ 2 …2 q » √ 1 2+ 2+ 2+ 2 2 .. . … q » √ 1 2 + 2 + 2 + ··· + 2 2 | {z } n − 1 wortels

Toepassing 3 - Herleiden van goniometrische identiteiten naar rationale identiteiten In deze toepassing gaan we na hoe je met behulp van de t-formules elke goniometrische identiteit kan bewijzen. 3 Voorbeeld 1. Bewijs de goniometrische identiteit (sin α + cos α + 1)(sin α + cos α − 1) = 2 sin α cos α door enkel gebruik te maken van de t-formules. Oplossing. We hebben (sin α + cos α + 1)(sin α + cos α − 1) = 2 sin α cos α ⇔

ã Å ã 1 − t2 2t 1 − t2 2t 1 − t2 2t + + 1 · + − 1 = 2 · · 1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2

met t = tan

α 2

⇔

3 Algemeen. In principe kan men deze techniek doordrijven om elke goniometrische identiteit te bewijzen en wel als volgt. Stap 1. Herleid de identiteit naar een identiteit met sinus, cosinus en tangens van α, β, γ, . . . . Hanteer voor lineaire combinaties van α, β, γ, . . . de som-en verschilformules. α Stap 2. Noem t = tan Å2 ã β s = tan 2 γ u = tan 2 .. . en vervang elke sinus, cosinus en tangens van α, β, γ, . . . door de t-formules 2t 1 − t2 2t , cos α = , tan α = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 2s 1 − s2 2s sin β = , cos β = , tan β = 2 1+s 1 + s2 1 − s2 2u 1 − u2 2u sin γ = , cos γ = , tan γ = 2 2 1+u 1+u 1 − u2 .. .

sin α =

Stap 3. De goniometrische identiteit herleid zich nu tot een rationale identiteit in t, s, u, . . . Rationale identiteiten aantonen is een kwestie van rekenwerk en kan zelfs aan een computer overgelaten worden. 3 Besluit. Dit inzicht is vooral van theoretisch belang. Men zou kunnen stellen dat het bewijzen van goniometrische identiteiten triviaal - en dus onbelangrijk - geworden is. Dankzij deze methode kan een computer goniometrische identiteiten bewijzen zonder enige inspiratie. Maar zelfs voor alledaagse goniometrische identiteiten worden de rationale identiteiten snel omslachtig (zie voorbeeld hierboven) en maakt men gebruik van een arsenaal van goniometrische formules en de nodige dosis inzicht. II-27

2.7

Som-naar-product formules (formules van Simpson)

De som-naar-product formules laten toe om een som van sinussen en/of cosinussen te schrijven als een product.9 3 Stelling (som-naar-product formules of formules van Simpson).10 We hebben de identiteiten (a en b zijn hoekwaarden) ã Å ã Å a−b a+b cos sin a + sin b = 2 sin 2 2 ã Å ã Å a+b a−b cos sin a − sin b = 2 sin 2 2 ã Å ã Å a−b a+b cos cos a + cos b = 2 cos 2 2 Å ã Å ã a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 Bewijs. We noemen p de halve som en q het halve verschil van a en b, dus   a+b a+b a−b   p + q = p = + =a 2 2 2 dan is   q = a−b  p − q = a + b − a − b = b. 2 2 2

Tycho Brahe (1546-1601)

De som- en verschilformules geven nu

sin a + sin b = sin(p + q) + sin(p − q) = . . .

sin a − sin b = sin(p + q) − sin(p − q) = . . .

cos a + cos b = cos(p + q) + cos(p − q) = . . .

cos a − cos b = cos(p + q) − cos(p − q) = . . .

De belangrijkste toepassing van de som-naar-product formules is wellicht het ontbinden van factoren. Op die manier kunnen we goniometrische vergelijkingen oplossen (zie Hoofdstuk 3). 3 Modelvoorbeeld 1. Ontbind de volgende uitdrukking in factoren: sin(3a) + sin a = . . . 3 Modelvoorbeeld 2. Vereenvoudig de volgende uitdrukking: sin a + sin(3a) + sin(5a) + sin(7a) = ... cos a + cos(3a) + cos(5a) + cos(7a)

formules van Simpson gelden enkel voor hoekwaarden a, b en niet voor hoeken α, β, want een uitdrukking zoals sin α+β cos α−β 2 2 hangt af van welke helften van α + β en α − β men kiest. Deze uitdrukking is niet ondubbelzinnig bepaald en dus zinloos. 10 Ontdekt door Johannes Werner 1510, gepopulariseerd door Brahe en ten onrechte genoemd naar Thomas Simpson (1710-1761), zie [21]. Deze formules worden ook wel de Werner formules of prosthaphaeresis formules genoemd, naar een algoritme om vermenigvuldiging en deling uit te voeren met behulp van goniometrische formules. Het was via Brahe dat John Napier kennis maakte met dit algorime en een nieuwe methode bedacht om zulke berekeningen te vereenvoudigen: logaritmen. 9 De

II-28

2.8

Product-naar-som formules (omgekeerde formules van Simpson)

De product-naar-som formules laten toe om een product van sinussen en/of cosinussen te schrijven als een som. 3 Stelling (product-naar-som formules of omgekeerde formules van Simpson). We hebben de identiteiten (p en q zijn hoekwaarden): 1 sin p cos q = (sin(p + q) + sin(p − q)) 2 1 cos p sin q = (sin(p + q) − sin(p − q)) 2 1 cos p cos q = (cos(p + q) + cos(p − q)) 2 1 sin p sin q = − (cos(p + q) − cos(p − q)) 2 Bewijs. We noemen a de som en b het verschil van p en q, dus  (p + q) + (p − q) a+b ®   = =p a=p+q 2 2 dan is  b=p−q  a − b = (p + q) − (p − q) = q. 2 2 De formules van Simpson geven nu Å ã Å ã a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos ⇒ ... 2 2 Het bewijs van de overige formules wordt als oefening voor de lezer gelaten. 3 Modelvoorbeeld. Bewijs de goniometrische identiteit a

Å ã Å ã b a+b sin a + sin b + sin(a + b) = 4 cos cos sin . 2 2 2 Oplossing. We kunnen op twee manieren te werk gaan: ofwel starten we met het linkerlid en gebruiken we de som-naar-product formules (Simpson), ofwel starten we met het rechterlid en wenden we de product-naar-som formules (omgekeerde Simpson) aan. Bij wijze van voorbeeld werken we beide manieren uit. . Eerste manier. Met behulp van de som-naar-product formules (Simpson): LL = sin a + sin b + sin(a + b) = . . . = ... = ... = ... . Tweede manier. Met behulp van de product-naar-som formules (omgekeerde Simpson): Å ã Å ã a b a+b sin = ... RL = 4 cos cos 2 2 2 = ... = ... = ... Beide manieren leiden tot een bewijs. Maar als we starten met de som (eerste manier), dan hebben we een Å ã a+b kunstgreep nodig om de factor sin te kunnen afzonderen (verdubbelingsformule). Starten we daarente2 gen met het product, dan hebben we enkel de product-naar-som formules nodig om het bewijs rond te krijgen. We onthouden dat we bij het bewijzen van soortgelijke identiteiten beter starten vanuit het product. II-29

Oefeningen 2 Formules van de goniometrie

Basis ?

Verdieping ? ??

Uitbreiding ? ??

2.1 Formules voor verwante hoeken

1 2 3

3 4

4 5 6

7 8

9 10

2.2 Som- en verschilformules

12 13 14

12 13 15

12 13 16

13 17 18

19 20 21

22 23

2.3 Verdubbelingsformules

26 27

28 29

2.4 Formules van Carnot en halveringsformules 2.5 t-formules 2.6 Toepassingen

31 32

32 33

2.7 Som-naar-product formules (Simpson) 2.8 Som-naar-product formules(omgekeerdeSimpson)

37 38 39

37 39 40 41

37 44 45

46 47 48

38 49 50 51

37 42 43

Oefeningen bij §2.1 B

Oefening 1. In onderstaande goniometrische cirkel zijn de beeldpunten van zestien veelvoorkomende hoeken aangeduid. Geef van elk beeldpunt de coördinaten.

Oefening 2 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2002). Welk van de volgende waarden van x voldoet aan de vergelijking 4 cos2 (4x − 30◦ ) = 3?

B B B B B

(A) −40◦

(B) −30◦

(D) 40◦

Oefening 3. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Å ã 3π ◦ ? (a) cos 120 B (f) tan 4 Å ã Å ã 9π 5π (b) cot B? (g) sin 4 3 Å ã 14π (c) sin 210◦ B? (h) sec − 12 Å ã 11π (d) sin B? (i) cos 930◦ 6 Å ã 27π ◦ ? (e) tan 150 B (j) sin − 4 II-30

Oefening 4. Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen door gebruik te maken van de formules voor verwante hoeken. B? (a)

B?? (b)

sin (90◦ − α) cos (360◦ + α) tan (180◦ − α) tan (720◦ − α) cot (α + 180◦ ) cos(−α) π π sin − α sin (π + α) sin(9π − α) tan α − 2 ã 2π Å + cos + α cos(π − α) cot(α + 5π) cos 3π − α 2 2

B??

Oefening 5. Herleid telkens zonder grafische rekenmachine naar plus of min een goniometrisch getal van een hoek uit het eerste kwadrant (tussenstappen opschrijven). Å ã 38π (a) cos 315◦ (f) sin − 7 Å ã 204π (b) sin 275◦ (g) cot − 5 ã Å 32π (c) tan (−200◦ ) (h) tan − 17 π (d) cos 3934◦ (i) cos (−454◦ ) 12 Å ã Å ã 204π 5π (j) sec − (e) sin 7 5

B??

Oefening 6 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1988 eerste ronde). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P, Q en R op deze rechten zodanig dat |P Q| = 14 en “R = 110◦ . Welke is de afstand tussen beide evenwijdige rechten? QP

a Q

14 110

◦

P R (A) 14 cos 110◦

1 2

(B) 14 sin 110◦

1 2

(D)

14 cos 110◦

(E)

14 sin 110◦

Oefening 7. Bereken zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine: tan2 20◦ − sin2 20◦ . tan2 20◦ sin2 20◦

Oefening 8. Bepaal algebraı̈sch de waarde van het product Å ã Å ã Å ã Å ã π 2π 3π 4π 5π tan tan tan tan tan . 12 12 12 12 12

Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 tweede ronde). Hoeveel is

√

3 (A) 0 2

log10 (tan 1◦ ) + log10 (tan 2◦ ) + log10 (tan 3◦ ) + · · · + log10 (tan 88◦ ) + log10 (tan 89◦ )? √ 1 3 (B) log10 2 2

√ 1 3 (C) log10 2 2 2 II-31

√

3 (D) 1 2

√

(E) geen van vorige

3 2

Oefening 10. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. π π (b) sec2 (30◦ + β) = 1 + cot2 (60◦ − β) (a) cos2 α − + cos2 α + =1 6 3

Oefening 11 (goniometrische getallen van de helften van een hoek). Zij α1 , α2 de twee helften van een hoek α. Toon aan met behulp van de formules voor verwante hoeken: sin α1 = − sin α2 ,

cos α1 = − cos α2

tan α1 = tan α2 .

Opmerking. Hoewel we niet kunnen spreken over de helft van een hoek (zie opmerking op pagina 4) zijn volgende uitdrukkingen blijkbaar onafhankelijk van de keuze van een helft van α:  2 α  sin      sin2 α1 = sin2 α2 2     2 α    cos2 α = cos2 α  cos 1 2 α2 en kunnen we ondubbelzinnig schrijven   tan α = tan α   1 2 tan       2 sin α1 cos α1 = sin α2 cos α2    sin α cos α . 2 2

Oefeningen bij §2.2

Oefening 12. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). Å ã 7π ◦ ? B (a) sin 75 B (d) cos 12 π B (b) tan 105◦ B? (e) sin 12 π B (c) cos 135◦ B?? (f) cot 195◦ 12 Oefening 13. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. π B (a) sin(α + β) cos α − cos(α + β) sin α = sin β 12 π B (b) cos(α + β) cos(α − β) = cos2 β − sin2 α 12 B

(c)

π sin α sin(β − γ) + sin β sin(γ − α) + sin γ sin(α − β) = 0 12 sin(β − α) sin α sin β

B? (d)

cot α − cot β =

B? (e)

sin(α − β) sin(β − γ) sin(γ − α) + + =0 cos α cos β cos β cos γ cos γ cos α

B?? (f)

tan α =

B?? (g)

2 sin(α + β) = tan α + tan β cos(α + β) + cos(α − β)

B?? (h)

tan2 α − tan2 β =

tan(α − β) + tan β 1 − tan(α − β) tan β

sin(α + β) sin(α − β) cos2 β cos2 α

(i)

π cos α − sin α = cot +α cos α + sin α 4

(j)

tan α + tan β sin(α + β) = tan α − tan β sin(α − β) II-32

Oefening 14. Vereenvoudig zoveel als mogelijk: sin(2x) cos(2x) − . sin x cos x

Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007 tweede ronde). Gegeven: α, β ∈ ]0◦ , 90◦ [ en sin(α + β) = 2 sin(α − β) = 1. Dan is tan(α + 3β) gelijk aan √ √ √ √ √ 2 3 2 3 (A) − 3 (B) − (C) (D) 2 3 2 3

(E)

√

2 2

B??

Oefening 16. Vereenvoudig de volgende uitdrukking: √ 3 sin(x + 30◦ ) − cos(x + 30◦ ) . 4 cos x sin(x + 30◦ ) − 4 sin x cos(x + 30◦ )

Oefening 17. Als tan x + tan y = 25 en cot x + cot y = 30, bepaal dan tan(x + y).

Oefening 18. Zij α en β twee hoeken waarvoor α + β = 45◦ en waarvoor tan α en tan β bestaan. Toon aan dat (1 + tan α)(1 + tan β) = 2.

Oefening 19. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan: (a)

(b) sin2 α + sin2 β + sin2 γ − 2 cos α cos β cos γ = 2.

cos2 α + cos2 β + cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ = 1,

Oefening 20. Toon zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine aan dat cot 8◦ + tan 4◦ = cosec 8◦ .

Oefening 21. Een schilderij dat 1 meter hoog is, bevindt zich 3 meter boven de grond en wordt door bewonderaar Jan Hoet bekeken onder een hoek θ (zie figuur). De ogen van Jan bevinden zich op 1, 75 meter boven de grond. Druk tan θ uit in functie van de afstand x van Jan Hoet tot het schilderij.

schilderij

oog

Ridder Jan Hoet (1936 - 2014)

grond

V??

Oefening 22. Voor twee scherpe hoeken α en β is gegeven dat tan α+tan β+tan α tan β = 1. Bovendien is α−β = 41◦ . Bereken een hoekwaarde voor α.

V??

Oefening 23. Zij α, β hoeken waarvoor tan α, tan β de oplossingen zijn van een vierkantsvergelijking x2 + px + q = 0. Bereken sin2 (α + β) + p sin(α + β) cos(α + β) + q cos2 (α + β) in functie van p en q en vereenvoudig zoveel mogelijk. 11 Jan Hoet was een Belgisch curator en kunstkenner die zich bezighield met het bestuderen, begeleiden en beschermen van de hedendaagse beeldende kunst. In de Vlaamse media werd hij vaak kunstpaus genoemd. In 1994 nam Hoet voor de CVP als lijstduwer deel aan de gemeenteraadsverkiezingen voor Gent. Hij werd verkozen, maar nam zijn mandaat niet op. In 2000 veroverde de kunst de binnenstad van zorgden daarbij voor ophef. [22] Gent met Hoet’s concept Over the Edges. Vooral de hamzuilen van kunstenaar Jan Fabre

II-33

Oefening 24 (som- en verschilformules voor cotangens).

Bewijs de volgende som- en verschilformules voor cotangens: (a) cot(α + β) = U?

cot α cot β − 1 , cot α + cot β

(b) cot(α − β) = −

cot α cot β + 1 . cot α − cot β

Oefening 25 (somformules met drie hoeken). Bepaal de somformules met drie hoeken voor de sinus en cosinus, m.a.w. bepaal uitdrukkingen voor sin(α + β + γ)

cos(α + β + γ)

in functie van de sinus en/of cosinus van α, β en γ.

Oefeningen bij §2.3 Oefening 26. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. π B (a) 8 cos(4α) cos(2α) cos α sin α = sin(8α) 6 π B (b) cos4 α − sin4 α = cos(2α) 6 π B (c) cot α − 2 cot(2α) = tan α 6 B? (d)

cos(2α) cos α + sin α = cos α − sin α 1 − sin(2α)

B?? (e)

tan4 α =

B??

(f)

sin2 (2α) − 4 sin2 α sin2 (2α) + 4 sin2 α − 4

1 cos3 α + sin3 α = 1 − sin(2α) cos α + sin α 2

V? (g)

tan(3α) − tan(2α) − tan α = tan(3α) tan(2α) tan α

V?? (h)

tan

π 6

π 2 cos(2α) − 1 + α tan −α = 6 6 2 cos(2α) + 1

Oefening 27. Zij α de hoek in het vierde kwadrant waarvoor tan α = − 34 . Bereken zonder grafische rekenmachine de exacte waarde van de volgende goniometrische getallen. (a) sin(2α)

(b) cos(2α)

(d) sin(4α)

Oefening 28 (verdubbelingsformule voor cotangens). Bewijs de volgende verdubbelingsformule voor cotangens: cot(2α) =

cot2 α − 1 . 2 cot α

Oefening 29 (formules voor drievoudige hoek). Toon de volgende formules voor de drievoudige hoek aan.12 (a) sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α

3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α

(b) cos(3α) = 4 cos3 α − 3 cos α (c) tan(3α) =

3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α

Abraham de Moivre (1667-1754)

3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α

12 Algemene formules voor sin(nα) en cos(nα) met n ∈ N werden gevonden door De Moivre 1730. Deze formules komen ook aan bod in Deel Complexe getallen.

II-34

Oefeningen bij §2.4, §2.5 en §2.6 Oefening 30. Schrijf de volgende uitdrukkingen als een rationale vorm en vereenvoudig.

(a)

1 2 + sin α

(c)

1 − cos α sin α

(b)

cos α 1 + cos α

(d)

1 3 sin α − 2 cos α + 2

Oefening 31. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. cot2 2 cot α2 (b) cos α = (a) sin α = 1 + cot2 α2 cot2

α 2 α 2

−1 +1

Oefening 32. Zij x een hoekwaarde van de hoek in het vierde kwadrant waarvoor cos x = 23 . Bereken zonder grafische rekenmachine: x B? (a) sin , 2 x B? (b) cos , 2 x V (c) tan . 2 π

zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

Oefening 33. Bepaal tan

Oefening 34. In een driehoek ABC geldt 3a = 7c en 3b = 8c. Bepaal tan2 berekenen.

V??

Oefening 35. Bereken algebraı̈sch:

α 2

zonder (de helften van) de hoek α te

(sin 1◦ )(sin 3◦ )(sin 5◦ ) . . . (sin 177◦ )(sin 179◦ ). U?

Oefening 36 (halveringsformule voor tangens). Bewijs de volgende halveringsformule voor tangens: a sin a 1 − cos a tan = = . 2 1 + cos a sin a

Oefeningen bij §2.7 en §2.8 Oefening 37. Ontbind telkens de gegeven uitdrukking in factoren. B

(a)

sin(7a) + sin(3a)

B? (d)

sin a + sin(2a) + sin(3a)

(b)

cos(5a) − cos a

B?? (e)

cos(4a) + cos(5a) + cos(6a)

cos a + sin a

B? (c)

(f)

tan a + sin a

Oefening 38. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). B

(a)

cos 75◦ cos 15◦

(b)

sin 15◦ sin 105◦

V?? (c)

sin 20◦ sin 40◦ sin 60◦ sin 80◦

II-35

Oefening 39. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. B

(a)

B? (b)

cos(2a) + cos(2b) = cot(a + b) sin(2a) + sin(2b) ã Å ã Å 4π 2π + sin a + =0 sin a + sin a + 3 3

Oefening 40. Bereken algebraı̈sch: sin 13◦ + sin 47◦ + sin 73◦ + sin 107◦ . cos 17◦

Oefening 41. Vereenvoudig de uitdrukking: sin(5a) − sin(3a) + sin(7a) − sin a . cos(5a) − cos(3a) + cos(7a) − cos a

B??

Oefening 42. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan: Å ã γ α β sin (a) cos α + cos β + cos γ − 1 = 4 sin sin 2 2 2 sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sin α sin β sin γ

(c)

cos(2α) + cos(2β) + cos(2γ) = −1 − 4 cos α cos β cos γ

(d)

sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ

β 2

Oefening 43 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985). Bewijs de volgende identiteit: sin θ cos4 θ =

β 2

(b)

1 (sin(5θ) + 3 sin(3θ) + 2 sin θ) . 16

Oefening 44. Bereken zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine: cos3 15◦ + sin3 15◦ . cos 15◦ + sin 15◦

Oefening 45. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. cos a+b cos sin(a + b) 2 2 2 (a) sin (2a) − sin a = sin(3a) sin a (b) = a−b sin a + sin b cos 2 cos

a+b 2 a−b 2

Oefening 46. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de uitdrukking cos(4a) − 1 . sin a − sin(3a)

Oefening 47. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan: cos α cos β cos γ + + = 2. sin β sin γ sin γ sin α sin α sin β

Oefening 48. Zij α, β en γ de hoeken van een driehoek. Toon aan: ∆ABC is een rechthoekige driehoek

⇔

II-36

sin(4α) + sin(4β) + sin(4γ) = 0.

V??

Oefening 49. Bereken algebraı̈sch cos 1◦ + cos 2◦ + cos 3◦ + · · · + cos 43◦ + cos 44◦ . sin 1◦ + sin 2◦ + sin 3◦ + · · · + sin 43◦ + sin 44◦

V??

Oefening 50. Zij x ∈ R. Bepaal a, b ∈ R zodat Å ã Å ã Å ã x 7x 3x + cos(2x) + cos cos + cos(5x) sin = sin(ax) cos(bx). 2 2 4

V??

Oefening 51. Zij a, b en c hoekenwaarden van de (binnen)hoeken van een driehoek. Er is gegeven dat één van de hoekwaarden het gemiddelde van de twee andere hoekwaarden is. Toon aan dat de uitdrukking sin a + sin b + sin c cos a + cos b + cos c onafhankelijk van a, b en c is.

Inzicht in astronavigatie Astronavigatie is een techniek om de plaats en de richting van een vaartuig te kennen aan de hand van hemellichamen. Aanvankelijk was dit beperkt tot het bepalen van de richting, later werd het ook mogelijk om de breedte te bepalen. Met de komst van de chronometer werd het ook mogelijk om de lengte te bepalen. Tot de komst van de navigatiesatelliet Transit (1964) was het de enige wereldwijd bruikbare methode voor plaatsbepaling. In de 16e eeuw was de positiebepaling van een schip sterk afhankelijk van zogenaamde efemeriden: tabellen die de posities aangeven van een hemellichaam dat zich langs de hemel beweegt, voor een reeks van toekomstige tijdstippen. Efemeriden werden opgesteld door astronomen, waarbij men gebruik maakte van de grondformule van de boldriehoeksmeetkunde (zie pagina 15). Astronomen moesten hierbij duizenden berekeningen maken, waaronder het vermenigvuldigen van getallen. Het rekenwerk werd aanzienlijk verkort met de zogenaamde prosthaphaeresis: een manier om snel het product of quotiënt van twee getallen bij benadering te kennen door gebruik te maken van de product-naar-som formules. Deze techniek werd ontwikkeld in de jaren 1580 en werd gebruikt tot de komst van de logaritmen in de eerste helft van de 17e eeuw. Voorbeeld. We zoeken het product van 1, 5732 en 3, 5762. We schrijven dit product als 100 · 0, 15732 · 0, 35762. Met behulp van een tabel vinden we 0, 15732 ≈ cos(80◦ 560 5500 )

0, 35762 ≈ cos(69◦ 20 4500 ).

Toepassen van de product-naar-som formules geeft dan: 1, 5732 · 3, 5762 = 100 · 0, 15732 · 0, 35762 ≈ 100 · cos(80◦ 560 5500 ) cos(69◦ 20 4500 ) = 100 ·

1 (cos(80◦ 560 5500 + 69◦ 20 4500 ) + cos(80◦ 560 5500 − 69◦ 20 4500 )) 2

= 100 ·

1 (cos(149◦ 590 4000 ) + cos(11◦ 540 1100 )) 2

≈ 100 ·

1 (−0, 86598 + 0, 97850) 2

= 5, 6260 waarbij de voorlaatste gelijkheid verkregen wordt na opzoekwerk in een tabel. Merk op dat de exacte waarde van het product gelijk is aan 5, 62607784. II-37

Hoofdstuk 3

Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden In dit hoofdstuk brengen we enkele technieken aan om goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen.

3.1

Basisvergelijkingen

We onderscheiden drie types van goniometrische basisvergelijkingen.

Type 1. sin x = sin a 3 Op ontdekking. Bepaal alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking sin x = 1/2.

Oplossing. Omdat sin(π/6) = 1/2 is x = π/6 alvast één oplossing van de vergelijking sin x = 1/2. Maar gevraagd zijn alle oplossingen van de vergelijking. Door op de goniometrische cirkel die ene oplossing x = π/6 aan te duiden, kunnen we alle andere oplossingen aflezen.1 y

π−

o π π π , π − + 2π, π − − 2π, . . . 6 6 6

o nπ π π π , + 2π, − 2π, + 4π, . . . 6 6 6 6

1/2 π/6

Dit resulteert in de volgende redenering. π 1 sin x = ⇔ sin x = sin 2 nπ π 6 o π π ⇔ x∈ , + 2π, − 2π, + 4π, . . . 6 6 6 6  π  x = + k 2π  6 of ⇔ (k ∈ Z).   x = π − π + k 2π 6

n o π π π of x ∈ π − , π − + 2π, π − − 2π, . . . 6 6 6

3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking sin x = sin a:    x = a + k 2π of sin x = sin a ⇔ (k ∈ Z)   x = (π − a) + k 2π

1 Het

is gebruikelijk om bij het beeldpunt van een hoek alle hoekwaarden van die hoek te noteren.

II-38

Type 2. cos x = cos a √

2 . 2 Oplossing. Ook nu kunnen we door één oplossing x = 3π/4 aan te duiden alle andere oplossingen aflezen.

3 Op ontdekking. Bepaal algebraı̈sch alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking cos x = −

y 1

3π 3π 3π 3π , + 2π, − 2π, + 4π, . . . 4 4 4 4

3π/4 √ − 2/2

3π 3π 3π 3π − ,− + 2π, − − 2π, − + 4π, . . . 4 4 4 4

Dit resulteert in de volgende redenering. √ Å ã 2 3π cos x = − ⇔ cos x = cos 2 4 ß ™ 3π 3π 3π 3π ⇔ x∈ , + 2π, − 2π, + 4π, . . . 4 4 4 4  3π  x = + k 2π   4  of (k ∈ Z). ⇔    3π  x = − + k 2π 4

ß ™ 3π 3π 3π of x ∈ − , − + 2π, − − 2π, . . . 4 4 4

3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking cos x = cos a:    x = a + k 2π of (k ∈ Z) cos x = cos a ⇔   x = −a + k 2π

x 1 3 Modelvoorbeeld. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking cos − =− . 5 3 Oplossing.

II-39

Type 3. tan x = tan a 3 Op ontdekking. Bepaal algebraı̈sch alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking tan x =

√

Oplossing. Ook nu kunnen we door één oplossing x = π/3 aan te duiden alle andere oplossingen aflezen.

√ 3 1

nπ π o π π , + 2π, − 2π, + 4π, . . . 3 3 3 3

π/3 1

nπ 3

+ π,

o π π + π + 2π, + π − 2π, . . . 3 3

x=1

Dit resulteert in de volgende redenering. π √ tan x = 3 ⇔ tan x = tan 3 nπ π o nπ o π π π π ⇔ x∈ , + 2π, − 2π, + 4π, . . . of x ∈ + π, + π + 2π, + π − 2π, . . . 3 3 3 3 3 3 3 nπ π o π π π ⇔ x∈ , + π, − π, + 2π, − 2π, . . . 3 3 3 3 3 π ⇔ x = + k π (k ∈ Z). 3 3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking tan x = tan a: tan x = tan a

⇔

x = a+kπ

(k ∈ Z)

3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraı̈sch alle oplossingen van de vergelijking tan(3x) = − tan x en stel de oplossingen voor op een goniometrische cirkel. Oplossing.

II-40

3.2

Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen

In deze paragraaf behandelen we enkele types van goniometrische vergelijkingen die met een bepaalde werkwijze kunnen herleid worden naar een basisvergelijking.

Type 1. Ontbinden in factoren 3 Modelvoorbeeld. Los algebraı̈sch de volgende vergelijking op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel: sin(5x) + sin(3x) = cos(2x) − cos(6x). Oplossing.

y 1

Type 2. Vergelijkingen oplossen met een hulponbekende 3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraı̈sch de oplossingen van de volgende vergelijking en stel voor op de goniometrische cirkel: 2 sin2 (2x) + sin(2x) = 1. Oplossing.

y 1

II-41

Type 3. Homogene vergelijkingen in sin x en cos x 3 Definitie. De vergelijking

√

2 A3 B 2 − 3AB 4 + 16B 5 = 0

noemt men een homogene vergelijking in A en B omdat in elke term de som van de machten van A en B gelijk is, namelijk 5. We noemen 5 de graad van de homogene vergelijking. 3 Modelvoorbeeld. Los op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel −4 cos3 x − sin x cos2 x + 3 cos x sin2 x = 0. Oplossing. Deze vergelijking is homogeen in sin x en cos x. Om deze vergelijking op te lossen doorlopen we de volgende stappen.

− 4 cos3 x − sin x cos2 x + 3 cos x sin2 x = 0

Stap 1. De hoogste gemeenschappelijke macht van cos x afzonderen.

⇔

Stap 2. Deel beide leden van de nieuwe homogene vergelijking van graad n door cosn x.

⇔

Stap 3. Los deze vergelijking op met de hulponbekende t = tan x.

y 1

II-42

Type 4. Vergelijkingen van de vorm a sin x + b cos x = c 3 Modelvoorbeeld. Los algebraı̈sch op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel √ √ 2 sin x + 6 cos x = 2. Oplossing. Deze vergelijking is van de vorm a sin x + b cos x = c met a, b, c ∈ R0 . Om deze vergelijking op te lossen doorlopen we de volgende stappen. √

2 sin x +

√

6 cos x = 2

Stap 1. Schrijf de vergelijking in de vorm b c cos x = . a a

sin x +

⇔

Stap 2. Noem ϕ de hoek waarvoor

⇔

sin x + tan ϕ cos x =

b = tan ϕ. Dan is a c . a

Stap 3. Vermenigvuldig beide leden met cos ϕ zodat c sin x cos ϕ + sin ϕ cos x = cos ϕ. | {z } a sin(x+ϕ)

Stap 4. Los deze basisvergelijking op.

y 1

II-43

3.3

Eenvoudige goniometrische ongelijkheden

3 Modelvoorbeeld. Bepaal alle x ∈ R die voldoen aan de ongelijkheid x 1 sin ≥ . 2 2

Oplossing. Om deze ongelijkheid op te lossen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Noem y = . . . zodat we een ongelijkheid in sin y, cos y, . . . verkrijgen. sin

⇔

x 2

sin y ≥

1 2

≥

noem y =

x 2

Stap 2. Bepaal eerst de oplossingen y van de goniometrische gelijkheid, stel die oplossingen voor op de goniometrische cirkel en lees hieruit de oplossingen y af van de goniometrische ongelijkheid.

1 2

Stap 3. Keer terug naar de onbekende x.

We bepalen eerst de oplossingen van de goniometrische vergelijking in y. sin y =

1 2

⇔ ⇔ We stellen deze oplossingen y voor op de goniometrische cirkel:

y 1

1 x

Hieruit kunnen we de oplossingen van de goniometrische ongelijkheid in aflezen.

⇔

⇔ Kunnen we de oplossingen van de ongelijkheid sin Waarom (niet)?

x 2

II-44

≥

1 voorstellen op de goniometrische cirkel? 2

Oefeningen 3 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden

Basis ?

Verdieping

Uitbreiding

3.1 Basisvergelijkingen

1 2 3

1 3

3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen

4 5

4 5 6

4 5 7

4 5 8

4 5 9

3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden

13 14

13 15

Oefeningen bij §3.1 Oefening 1. Los algebraı̈sch de volgende goniometrische vergelijkingen op. √ √ 3 3 ? B (a) cos x = − B (e) cot(2x) = − 2 3 Å ã √ π 1 B (b) tan x = 1 B? (f) tan − x =− 3 3 4 B

(c)

sin (5x) = −3

B?? (g)

(d)

cos(3x) = 0

B?? (h)

1 2 ã Å ã Å 7π 2π = − cos 2x − sin 2x + 9 18

sin x = cos x

Oefening 2. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. B

(a)

sin(3x) = 0, 4321

(c)

(b)

4 sin x + 3 = 0

B? (d)

8 − 15 tan(4x) = 0 x = −3 sec − 5

1 2

Oefening 3. Los algebraı̈sch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Controleer ook telkens je oplossingen. π B (a) 5 cos x − 3 = 3 cos x − 4 B?? (d) tan(2x) cot x + =1 3 Å ã √ 1 5π B? (b) 2 cos B?? (e) tan(3x) + tan x = 0 x− + 2=0 3 12 B?? (c)

cos(2x) + cos(3x) = 0

1 2

Oefeningen bij §3.2 Oefening 4. Los algebraı̈sch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Stel de oplossingen telkens voor op de goniometrische cirkel. 1 2

(a)

cos3 x + 4 cos2 x + 3 cos x = 0

(b)

2 sin2 x − 4 sin x cos x − cos2 x = 0

B? (c)

sin(2x) − cos2 x = 0

B? (d)

sin(2x) −

B? (e)

√

3 cos x = 0

3 cos x + 3 sin x = 5

1 2

B?? (f) 1 2

√

3 cos(2x) − sin(2x) = 2

(g)

4 sin4 x − 5 cos2 x + 1 = 0

(h)

2 tan2 x + 6 =

5 cos2 x

V? (i)

2 cos x cos(3x) = −1

V? (j)

sin3 x + cos3 x = sin x cos x (sin x + cos x)

II-45

Oefening 5. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B??

1 2 x

(a)

sin x + cos x = −1

(b)

sec

x 2

− cos

√

2 2

B? (c)

2 cos3 x + 2 sin2 x cos x − 5 sin x cos2 x = 0

B? (d)

cos(2x) + sin2 x =

B? (e)

3 sin(4x) = 2 sin(2x)

1 2

B? (f)

tan x tan(4x) + tan2 x = 0

B?? (g)

sin3 x − sin2 x −

(h)

1 1 sin x + = 0 4 4

3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2

11 22

V? (i)

cos x + cos(3x) − 1 − cos(2x) = 0

1 2

V? (j)

sin2 (2x) + sin(4x) = 2

Oefening 6 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los de volgende vergelijking op: sin x + sin(3x) + sin(9x) = sin(5x).

B??

Oefening 7 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel). Los de volgende goniometrische vergelijking op: 2 sin2 (3x) + sin2 (6x) = 2.

Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988). Los de vergelijking

√

2 2 op en teken de oplossingen op de goniometrische cirkel. Geef alle oplossingen gelegen tussen 1080◦ en 1440◦ . sin(3x) = −

Oefening 9. Bewijs dat een vergelijking van de vorm a sin x + b cos x = c

met a, b, c ∈ R0

oplossingen heeft als en slechts als c2 ≤ a2 + b2 . V??

Oefening 10 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1987). Bepaal de oplossingen in R van de vergelijking sin(4 sin x) = cos(5 cos x).

Oefening 11 (gebruik van de t-formules). Los algebraı̈sch de volgende vergelijking op met behulp van de t-formules: tan(2x) tan x = 1.

Oefening 12 (vergelijkingen symmetrisch in sin x en cos x). De vergelijking 2A3 + 2B 3 − 3AB + 6A3 B 3 −

√

17 = 0

noemt men symmetrisch in A en B omdat, als men A vervangt door B en vice versa, de vergelijking dezelfde blijft. Een vergelijking die symmetrisch is in sin x en cos x lost men op door de volgende substitutie: t = sin x + cos x. (a) Als t = sin x + cos x, toon dan aan dat sin x cos x =

t2 − 1 . 2

(b) Los algebraı̈sch de volgende vergelijking op: sin x + cos x − sin x cos x = −1. II-46

Oefeningen bij §3.3 Oefening 13. Los de volgende goniometrische ongelijkheden op. √ √ B (a) 2 sin x + 3 ≥ 0 B? (e) 3 sin(x + 2) − 3 > 0 ã Å π 1 +2>4 B?? (f) 4 cos 3 x + B (b) tan(2x) < 3 5 π π √ B? (c) 2 sin 2x − +1<0 V (g) tan 2x + < 3 3 6 x π √2 √ √ ? < B (d) cos + V? (h) 2 cos2 (2x) + ( 3 + 2) cos(2x) + 3 < 0 2 4 2 B??

Oefening 14 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los op:

sin x 1 − sin x . > 2 sin x − 1 4 sin2 x − 1

Oefening 15 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984). Zij α in het tweede kwadrant, bepaal de oplossingenverzameling van de ongelijkheid √ 1 2 ≤ sin α ≤ . 2 2

II-47

L’analyse mathematique est aussi étendue que la nature elle-même. [. . . ] Elle rapproche les phénomènes les plus divers, et découvre les analogies secrètes qui les unissent. Joseph Fourier, 1822 [11, p.xiv]

Hoofdstuk 4

Goniometrische functies Van sommige functies vertoont de grafiek een zogenaamde translatiesymmetrie: verschuiven we de grafiek met een bepaald aantal eenheden volgens de x-as, dan verkrijgen we dezelfde grafiek. Zo’n functies worden periodieke functies genoemd. Periodieke functies kennen hun toepassingen in het beschrijven van trillingen, golven en andere verschijnselen die een vorm van periodiciteit toelaten. De belangrijkste voorbeelden van periodieke functies vinden we bij de zogenaamde goniometrische functies, die ontstaan vanuit de goniometrische getallen uit Hoofdstuk 1.1

4.1

Periodieke functies

In het dagelijks leven komen verschijnselen voor die zich op geregelde tijdstippen herhalen volgens een vast patroon. We noemen ze periodieke verschijnselen. Voorbeelden van periodieke verschijnselen zijn: 3 de baan van een planeet om een ster, 3 de fasen van de maan, 3 de jaarlijkse terugkeer van de seizoenen, 3 de beweging van een zuiger in de cilinder van een motor, 3 het FIFA wereldkampioenschap voetbal. Bij een periodiek verschijnsel vertoont een bepaalde grootheid een periodiek gedrag. Die grootheid kan beschreven worden door een functie. We bespreken enkele voorbeelden. 3 Voorbeeld 1. De hartslag van een mens in rust is een periodiek verschijnsel, ruwweg tussen 60 en 100 slagen per minuut (30-40 voor sporters in topconditie en 80 of meer voor mensen die weinig of niet aan sport doen, 70 is een gemiddelde waarde). Theoretisch gezien blijft het basispatroon zich voortdurend herhalen. De spiercellen in het hart trekken samen onder invloed van natrium-, kaliumen calciumionen die door het celmembraan heen en weer worden getransporteerd. Het transport van die ionen induceert een potentiaalverschil. Met een elektrocardiogram (kortweg ECG) registreert men de resulterende som van al die afzonderlijke potentialen van alle hartspiercellen samen in de tijd.

elektrocardiogram

3 Voorbeeld 2. Het getij is de periodieke wisseling van de waterstand die op aarde optreedt als gevolg van de zwaartekracht van de maan en, in mindere mate, die van de zon. Zo is ook de waterstand aan de kaai van Oostende een periodiek verschijnsel. Ongeveer elke 12 uur bereikt de waterstand er een piek en een dal. De volgende grafiek geeft de waterstand op dinsdag 21 februari 2012. Het stelt de hoogte van het water in functie van de tijd voor. Theoretisch gezien blijft deze golf zich herhalen.

1 Dat

goniometrische functies in zekere zin alle periodieke functies voortbrengen, moge blijken uit de zogenaamde stelling van Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 [11], die stelt dat men onder geschikte voorwaarden een periodieke functie kan schrijven als een (mogelijk oneindige) som van goniometrische functies.

II-48

In de volgende verkenning laten we zien hoe je de grafiek van een periodieke functie nauwkeurig kan schetsen. 3 Op ontdekking. De propeller van een vliegtuig maakt 1 omwenteling per seconde, in tegenwijzerzin. Op het uiteinde van een blad van de propeller nemen we een vast punt P (zie figuur). De diameter van de propeller is 4 m. (a) Schets de grafiek van de functie h(t) die de hoogte van het punt P (ten opzichte van de as) in functie van de tijd t beschrijft. (b) Welke transformatie moet je uitvoeren op de functie h(x) om de functie h(x − 2) te verkrijgen? Verklaar waarom de functie h(x) gelijk is aan de functie h(x − 2). Analoog voor de functie h(x + 2). Omdat er een reëel getal p > 0 bestaat waarvoor h(x−p) = h(x) = h(x+p) noemen we h een periodieke functie.

propeller

(c) Wat is het kleinste reëel getal p > 0 waarvoor h(x − p) = h(x) = h(x + p)? Dat getal p wordt de periode van h genoemd. Oplossing. (a) Het punt P beschrijft de baan van een cirkel. Door op enkele tijdstippen de hoogte van het punt te meten, verkrijgen we een tabel van enkele functiewaarden van h (vul aan met benaderde waarden). . Tabel van enkele functiewaarden: t

0, 125

0, 25

0, 375

0, 5

0, 625

0, 75

0, 825

h(t)

Op die manier verkrijgen we de grafiek van h. Het uitzetten van de hoogtes gaat eenvoudiger door het assenstelsel ter hoogte van de as van de propeller tekenen en horizontale hoogtelijnen aan te brengen, zoals aangeduid op onderstaande figuur. Schets op deze manier de grafiek van h. . Grafiek: y

0.5

1.0

1.5

2.0

(b) Om vanuit de functie h(x) de functies h(x − 2) en h(x + 2) te verkrijgen, voeren we de transformaties besproken in Deel Precalculus 1 uit (vul aan):

. h(x)

vervang x door x − 2:

vervang x door x + 2:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

h(x − 2)

h(x + 2)

De functie h(x − 2) is gelijk aan de functie h(x) omdat hun grafiek dezelfde is. Analoog is h(x) = h(x + 2). (c) Het kleinste strikt positief reëel getal p waarvoor h(x − p) = h(x) = h(x + p) is p = . . . (vul aan). II-49

3 Definitie. Een periodieke functie is een functie f waarbij er een reëel getal p > 0 bestaat waarvoor:2 ∀x ∈ dom f : f (x − p) = f (x) = f (x + p)

(∗)

Indien er een kleinste reëel getal p > 0 bestaat waarvoor (∗) geldt, dan noemen we p de (kleinste) periode van f . Meetkundige betekenis. Bij een periodieke functie f bezit de grafiek een translatie-symmetrie: na het verschuiven met een geheel veelvoud van p eenheden volgens de x-as blijft de grafiek ongewijzigd (zie figuur).

f (x−p)

f (x)

f (x+p)

x−p

y = f (x)

x+p

Opmerking. Beperkt men een periodieke functie tot een interval van de vorm [a, +∞[ of ]a, +∞[ voor een zekere a ∈ R, dan bekomt men een zogenaamde rechts-periodieke functie. Analoog definiëren we een links-periodieke functie. Rechts- en links periodieke functies noemt men ook wel half-periodieke functies. Zij kennen vooral hun toepassingen in natuurkunde, waarbij de horizontale as de tijd voorstelt. 3 Modelvoorbeeld. Welke grafieken zijn de grafiek van een half-periodieke of periodieke functie? Bepaal bij een periodieke functie ook de periode (indien mogelijk).

(a)

(b) graf f

−1

graf f

−1

−1 −2

periodiek/half-periodiek/geen van beide (schrap wat niet past)

periodiek/half-periodiek/geen van beide

indien periodiek: f heeft periode . . .

(c)

(d) graf f

graf f

1 x

π/2 −1

−1

periodiek/half-periodiek/geen van beide (schrap wat niet past)

periodiek/half-periodiek/geen van beide

indien periodiek: f heeft periode . . .

2 Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f (x − p) = f (x) voluit: f (x − p) bestaat en is gelijk aan f (x). Analoog voor de schrijfwijze f (x) = f (x + p). Bijgevolg is onze definitie equivalent met ∀x ∈ dom f : x − p ∈ dom f en x + p ∈ dom f en f (x − p) = f (x) = f (x + p).

II-50

4.2

Elementaire goniometrische functies

Door met elke x-waarde de sinus van x (in radialen) te associeren, verkrijgen we de zogenaamde (elementaire) sinusfunctie. Analoog bouwt men andere (elementaire) goniometrische functies op zoals de cosinusfunctie en de tangensfunctie. In deze paragraaf bespreken we deze drie functies. De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor Deel Calculus, Deel Afgeleiden en Deel Integralen. In het bijzonder wordt verwacht dat de lezer de grafieken van deze elementaire functies onmiddellijk voor de geest kan halen. Bewerkingen van elementaire goniometrische functies zoals veelvoud, optellen en vermenigvuldigen geven nieuwe, meer algemene goniometrische functies. Zij laten toe om het periodiek gedrag van verschijnselen kwantitatief te beschrijven en goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden meetkundig op te lossen.

De sinusfunctie 3 Functievoorschrift: f (x) = sin x (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt). 3 Tabel van enkele functiewaarden: π x 0 6 f (x)

...

3 Grafiek:

π 4

π 3

π 2

3π 2

2π

...

y 1

2π

−1

3 Eigenschappen van de functie f (x) = sin x: 1. Domein. Algebraı̈sch: dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} = ... Grafisch:

dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as = ...

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as = ...

3. Nulwaarden. Algebraı̈sch: los op

f (x) = 0 ⇔ ...

Grafisch:

ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as = ...

II-51

4. Symmetrieën. . De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . Bewijs.

. De functie f is periodiek met periode 2π. Bewijs. Om aan te tonen dat f periodiek is, moeten we aantonen dat er een reëel getal p > 0 bestaat waarvoor ∀x ∈ dom f : f (x − p) = f (x) = f (x + p). De grafiek van f suggereert de keuze p = 2π, zodat we moeten aantonen dat ∀x ∈ R : sin(x − 2π) = sin x = sin(x + 2π). Dit volgt onmiddellijk uit de formules voor verwante hoeken uit Hoofdstuk 2, want sin(α − 2π) = sin α = sin(α + 2π) voor elke hoek α. Om aan te tonen dat de periode van f gelijk is aan 2π, moeten we nagaan dat er geen enkel reëel getal p met 0 < p < 2π bestaat waarvoor geldt dat ∀x ∈ R : sin(x − p) = sin x = sin(x + p). Stel, uit het ongerijmde, dat er toch zo’n p bestaat. Dan zou voor de keuze x = π/2 gelden dat π π = sin +p met 0 < p < 2π. sin 2 | {z2 } | {z }

(∗)

cos p

We beweren dat de uitspraak (∗) vals is. Om dat aan te tonen, beschouwen we de vergelijking cos p = 1. Uit Hoofdstuk 3 (oplossen van de basisvergelijking cos x = cos a) volgt dan: cos p = 1

⇔

cos p = cos 0    p = 0 + k2π

⇔

 

⇔

p = −0 + k2π

p = k2π

(k ∈ Z)

(k ∈ Z).

Er bestaat dus geen enkele p ∈ ]0, 2π[ waarvoor cos p = 1. Of equivalent: er bestaat geen enkele p ∈ ]0, 2π[ waarvoor sin (π/2 + p) = 1. Hieruit volgt dat de uitspraak (∗) vals is, hetgeen impliceert dat de periode van f (x) = sin x gelijk is aan 2π. 5. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en reële randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f (x). Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tekentabel te beperken tot een interval met lengte 2π, bijvoorbeeld het interval [0, 2π]: x f (x) 6. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en reële randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan. Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tabel stijgen/dalen te beperken tot het interval [0, 2π]: x f (x) 7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan): lim sin x = . . .

x→−∞

II-52

lim sin x = . . .

x→+∞

De cosinusfunctie 3 Functievoorschrift: f (x) = cos x (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt). 3 Tabel van enkele functiewaarden: x

π 6

π 4

π 3

π 2

3π 2

2π

f (x)

...

3 Grafiek:

y 1

2π

−1

3 Eigenschappen van de functie f (x) = cos x: 1. Domein. Algebraı̈sch: dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} = ... Grafisch:

dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as = ...

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as = ...

3. Nulwaarden. Algebraı̈sch: los op

f (x) = 0 ⇔ ...

Grafisch:

ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as = ...

4. Symmetrieën. . De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . Bewijs.

II-53

. De functie f is periodiek met periode 2π. Bewijs. Uit de formules voor verwante hoeken uit Hoofdstuk 2 volgt cos x = sin (x + π/2). Bijgevolg wordt de grafiek van cos x verkrijgen door de grafiek van sin x te verschuiven met π/2 eenheden naar links. Omdat sin x een periodieke functie met periode 2π is, volgt hieruit dat ook cos x een periodieke functie met periode 2π is. 5. Tekentabel. Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tekentabel te beperken tot het interval [0, 2π]: x f (x) 6. Tabel stijgen/dalen. Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tabel stijgen/dalen te beperken tot het interval [0, 2π]: x f (x) 7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan): lim cos x = . . .

x→−∞

lim cos x = . . .

x→+∞

3 Controle met behulp van de grafische rekenmachine: MODE

RADIAN

WINDOW

Analoog plotten we de sinusfunctie, in de schermafdruk hieronder is de grafiek geplot in stippellijn. Met Xscl kunnen we de markeringen op de x-as laten samenvallen met de gehele veelvouden van π/4.

3 Modelvoorbeeld. Bepaal het aantal oplossingen van de vergelijking sin x = cos x waarbij x ∈ [0, 100].

Oplossing. Om zicht te krijgen op het probleem, vatten we het linker- en rechterlid op als een functie en plotten hun grafiek (zie bovenstaande schermafdruk). Gevraagd is het aantal snijpunten van deze twee grafieken over het interval [0, 100]. Beperken we ons over het interval [0, 2π], dan tellen we twee snijpunten, namelijk (vul aan): Å ã Å ã P1 . . . , . . . en P2 . . . , . . . .

Omdat de sinus- en cosinusfunctie beide periode 2π hebben, zullen er ook twee snijpunten zijn over de intervallen [2π, 4π], [4π, 6π], etc. De x-coördinaten van die snijpunten zijn π/4, π/4 + π, π/4 + 2π, π/4 + 3π, π/4 + 4π, enzovoort. Het komt er op neer om te tellen hoeveel van deze x-coördinaten binnen het interval [0, 100] passen. Daartoe lossen we de volgende vergelijking op: 100 − π/4 π + kπ = 100 ⇔ k = = 31, 58 . . . 4 π De x-coördinaat van het laatste snijpunt over het interval [0, 100] is dus π/4 + 31π. Op die manier vinden we 32 snijpunten (waarom?) en dus 32 oplossingen van de vergelijking sin x = cos x over het interval [0, 100]. II-54

De tangensfunctie 3 Functievoorschrift: f (x) = tan x (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt). 3 Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−

π 2

−

...

π 3

−

...

π 4

−

...

3 Grafiek:

π 6

...

π 6

π 4

π 3

π 2

...

y 3 2 1

2π

−1 −2 −3

3 Eigenschappen van de functie f (x) = tan x: 1. Domein. Algebraı̈sch: dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} = ...

Grafisch:

dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as = ...

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as = ...

3. Nulwaarden. Algebraı̈sch: los op

f (x) = 0 ⇔ ...

Grafisch:

ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as = ...

II-55

4. Symmetrieën. . De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . Bewijs.

. De functie f is periodiek met periode π. Bewijs. Het bewijs verloopt analoog aan het bewijs van de periodiciteit van de sinusfunctie, waarbij men de vergelijking sin x = 1 vervangt door de vergelijking tan x = 0. 5. Tekentabel. Omdat f een periodieke functie met periode π is, volstaat het om de tekentabel te beperken tot het interval [0, π] of [−π/2, π/2]: x f (x) 6. Tabel stijgen/dalen. Omdat f een periodieke functie met periode π is, volstaat het om de tabel stijgen/dalen te beperken tot het interval [0, π] of [−π/2, π/2]: x f (x) 7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan): lim tan x = . . .

x→−∞

lim tan x = . . .

x→+∞

8. Asymptoten. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan): limπ tan x = . . .

x→

< 2

limπ tan x = . . .

x→

> 2

waaruit we afleiden dat de rechte x = π/2 een verticale asymptoot is aan de grafiek van f . Uit de periodiciteit van f volgt dat de rechten x = π/2 + kπ (met k ∈ Z) alle een verticale asymptoot aan de grafiek van f zijn. 3 Controle met behulp van de grafische rekenmachine:

Andere goniometrische functies We vermelden de grafiek van de cotangensfunctie, cosecansfunctie en secansfunctie. In de tweede en derde schermafdruk wordt de sinusfunctie en cosinusfunctie in stippellijn geplot.

II-56

4.3

De algemene sinusfunctie

Passen we transformaties (uitrekken, spiegelen en verschuiven volgens de x-as en de y-as) toe op de elementaire functie sin x, dan heeft de grafiek een analoge vorm. Dit geeft aanleiding tot de zogenaamde algemene sinusfuncties. y

3 Op ontdekking 1. Voer de volgende transformaties uit op de grafiek van g en observeer wat er gebeurt met het functievoorschrift.

graf g

g(x) = sin x

π 2

3π 2

2π

π 2

3π 2

2π

π 2

3π 2

2π

π 2

3π 2

2π

π 2

3π 2

2π

−1 rek uit volgens y-as met factor 2 vervang . . . door . . .

y 1

f1 (x) = . . . −1 rek uit volgens x-as met factor

1 3

vervang . . . door . . .

y 1

f2 (x) = . . . −1 verschuif volgens x-as met

π naar rechts 2

vervang . . . door . . .

y 1

f3 (x) = . . . −1 verschuif volgens y-as met 1 naar boven vervang . . . door . . .

y 2

f (x) = . . .

−1

II-57

3 Op ontdekking 2. Meer algemeen kunnen we die transformaties voorzien van parameters.34 Door enkel een hoofdtak van de sinusfunctie te transformeren, ontdekken we de invloed van de parameters a, b, c en d (vul aan).

y 1

g(x) = sin x

vervang y door ay (waarbij a > 0)

2π

.................................

y ...

f1 (x) = . . .

vervang x door bx (waarbij b > 0)

2π

.................................

y ...

f2 (x) = . . .

vervang x door x − c

...

.................................

y ...

f3 (x) = . . .

x ...

vervang y door y + d

...

.................................

y ...

f (x) = . . .

... x ... ...

Zo komen we tot de volgende 3 Definitie. Een algemene sinusfunctie is een functie f met als functievoorschrift Å ã f (x) = a sin b (x − c) + d

waarbij a, b, c, d ∈ R met a, b > 0 .

Bovenstaande schrijfwijze wordt ook wel de standaardvorm van een algemene sinusfunctie genoemd. De observaties uit Op ontdekking 2 leiden tot de volgende eigenschap van een algemene sinusfunctie. 3 Men kan nagaan dat het toepassen van een willekeurig aantal transformaties uitrekken, spiegelen en verschuiven volgens de x-as en y-as op de elementaire sinusfunctie kan herleid worden tot het toepassen van deze vier transformaties en wel in deze volgorde. Bij het uitrekken volgens de x-as of de y-as is de factor strikt positief (zie Deel Precalculus 1), vandaar de eis dat a > 0 en b > 0. 4 In wiskunde is een parameter een variabele die een uitdrukking bepaalt wanneer deze een waarde toegekend krijgt.

II-58

Å ã 3 Eigenschap. Zij f (x) = a sin b (x − c) + d een algemene sinusfunctie. Dan kunnen we f (x) verkrijgen uit g(x) = sin x door middel van transformaties. Bijgevolg is f een periodieke functie en heeft de grafiek van f de volgende vorm: y y = a sin b(x − c) + d

... y = ...

...

... . De parameter d is het gemiddelde van de maximale waarde en de minimale waarde van f (x). De horizontale rechte y = d noemt men de evenwichtslijn (of evenwichtsas). . De parameter c is de abscis van een startpunt S van de grafiek van f : een punt op de evenwichtslijn y = d waar de grafiek van f stijgend is. We noemen c een verschuiving naar rechts. . De parameter a is de afstand tussen een extremum (maximum of minimum) en de evenwichtslijn, ook wel de amplitude genoemd. 2π . Op een afstand van p eenheden vertoont de . De parameter b bepaalt de periode p via de formule p = b grafiek van f één hoofdtak (ook wel trilling genoemd). Dus op een afstand van 1 eenheid vertoont de grafiek b 1 1/p trillingen, ook wel de frequentie f genoemd. In symbolen: f = = . p 2π 3 Modelvoorbeeld 1. De Singapore Flyer was van 2008 tot 2014 het grootste reuzenrad ter wereld. Het heeft 28 cabines ter grootte van een stadsbus. Bij een vol reuzenrad zitten er 980 mensen in, die vrij kunnen rondlopen. Bertha wil een ritje maken en stapt in het reuzenrad. De hoogte van Bertha (in meter) op tijdstip t (in minuten) na het instappen wordt gegeven door de functie Å ã π h(t) = 82, 5 sin (t − 7, 5) + 87, 5 15 waarbij de hoogte wordt gemeten vanaf de begane grond.

Singapore Flyer5

(a) Plot de grafiek van de functie h met behulp van je grafische rekenmachine, waarbij je zorgt dat één hoofdtak precies op je scherm past. Noteer je vensterinstellingen. (b) Bepaal de diameter van het reuzenrad. (c) Hoeveel omwentelingen maakt het rad per minuut? En per uur? (d) Op welke hoogte bevindt Bertha zich na 10 minuten? (e) Hoe lang bevindt Bertha zich tijdens één omwenteling hoger dan 100 m boven de grond? Los grafisch op. Oplossing.

5 De Singapore Flyer te Singapore werd geopend op 11 februari 2008, maar kende sindsdien heel wat gebreken zoals een fout in het remsysteem, een brand in de controlekamer en het falen van de air-conditioning ten gevolge van blikseminslag. Meermaals zaten tientallen passagiers urenlang vast. Het moest de titel van grootste rad in 2014 overdragen aan de High Roller in Las Vegas (Nevada) die 168, 5 meter hoog is. [22]

II-59

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie ã Å 5x − 3. f (x) = 4 sin 10 + 2 (a) Toon aan dat f een algemene sinusfunctie is. (b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f . (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f . (e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = sin x om de functie f (x) te verkrijgen? Oplossing. Å ã (a) We herschrijven het functievoorschrift in de vorm a sin b (x − c) + d ã Å 5x − 3 = ... f (x) = 4 sin 10 + 2 zodat a = . . . , b = . . . , c = . . . en d = . . . . Bovendien is a > 0 en b > 0. (b) Om de grafiek van een algemene sinusfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Evenwichtslijn: y = . . .

Schets:

Teken de evenwichtslijn, daarna graf f . Stap 2. Amplitude: a = . . . Teken de x-as. Stap 3. Verschuiving naar rechts: c = . . . Teken een mogelijk startpunt S. Stap 4. Periode: p = . . .

Teken de y-as. (c) Dankzij (b) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen: Y=

WINDOW

GRAPH

(d) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . (e)

en bld f = . . .

g(x) = sin x vervang . . . door . . . . . . . ........................ ...

II-60

3 Modelvoorbeeld 3. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een algemene sinusfunctie f voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine. y

y = f (x)

5 4 3 2 1

−1

−1 −2

Oplossing. Omdat f een algemene sinusfunctie is, wordt het functievoorschrift gegeven door Å ã f (x) = a sin b(x − c) + d voor zekere a, b, c, d ∈ R en a, b > 0. Om de waarden van a, b, c, d te vinden, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Bepaal de evenwichtslijn y = d. Omdat bld f = [. . . , . . .] is het gemiddelde van de grootste en de kleinste y-waarde gelijk aan d = . . . . Stap 2. Bepaal de amplitude a. De afstand tussen een extremum (maximum of minimum) en de evenwichtslijn is a = . . . . Stap 3. Bepaal een mogelijk startpunt S(c, d). We nemen bijvoorbeeld S(c, d) = S(. . . , . . .) zodat c = . . . . Stap 4. Bepaal de periode p. We lezen af dat p = . . . en de waarde van b vinden we met de formule p = Een mogelijke keuze voor a, b, c, d is bijvoorbeeld:  a = ...       b = ...

zodat

  c = ...      d = ...

2π b

⇒

...

f (x) = . . .

Opmerking. Zijn er nog andere mogelijke keuzes voor a, b, c, d? Wat wordt het functievoorschrift van f dan?

II-61

4.4

Toepassingen

Toepassing 1 - Bewerkingen met periodieke functies In deze paragraaf gaan we na onder welke voorwaarden bewerkingen van periodieke functies opnieuw periodiek zijn. Op een analoge manier als bij de bespreking van de algemene sinusfunctie volgt uit het toepassen van transformaties op de grafiek van een periodieke functie alvast onderstaande Eigenschap 1. Ook Eigenschap 2 is eenvoudig in te zien, het bewijs laten we als oefening voor de lezer. 3 Eigenschap 1. Zij f (x) een periodieke functie met periode p. Dan geldt voor elke k ∈ R0 : (a) de functie f (x + k) is periodiek met periode p, (b) de functie f (x) + k is periodiek met periode p, (c) de functie kf (x) is periodiek met periode p, p (d) de functie f (kx) is periodiek met periode . k 3 Eigenschap 2. Zij f (x) een periodieke functie met periode p. Dan is de functie 1/f (x) ook een periodieke functie met periode p. 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de volgende periodieke functies. Bepaal telkens de periode. (a) f (x) = cos(3x − 7) x (b) f (x) = 8 tan 5π √ (c) f (x) = sec( 2 x − 6) + 15 (d) f (x) = sin2 x

Oplossing.

Bij het optellen van periodieke functies moet men wat voorzichtiger te werk gaan, zo moge blijken uit de volgende ? Op ontdekking. Ga telkens na of voor gegeven periodieke functies f en g geldt dat f + g een periodieke functie is. Zo ja, wat vermoed je voor de periode van f + g? Zo neen, bewijs dat f + g geen periodieke functie is. ã Å ã Å 1 1 x+1 en g(x) = 3 sin x+2 (a) f (x) = 2 sin 2 3 Ä√ ä (b) f (x) = cos 2x en g(x) = cos x Oplossing. (a) Na het plotten (zie schermafdruk) vermoeden we dat de functie f + g periodiek is. Om de periode te bepalen, zoeken we een r > 0 waarvoor ∀x ∈ R : (f + g)(x − r) = (f + g)(x) = (f + g)(x + r) of nog: ∀x ∈ R : f (x − r) + g(x − r) = f (x) + g(x) = f (x + r) + g(x + r). Daaraan zal zeker voldaan zijn als voor elke x-waarde geldt dat f (x − r) = f (x) = f (x + r) en g(x − r) = g(x) = g(x + r). We verwachten dan ook dat de periode van f + g een geheel veelvoud is van de periode van f en een geheel veelvoud is van de periode van g.

x ∈ [−30, 80] en y ∈ [−6, 10]

Uit Eigenschap 1 volgt dat (vul aan): de periode van f is p = . . .

en de periode van g is q = . . .

Zo geldt voor elke x ∈ R f (x) = f (x + 4π) = f (x + 8π) = f (x + 12π) = f (x + 16π) = . . . g(x) = g(x + 6π) = g(x + 12π) = g(x + 18π) = g(x + 24π) = . . . II-62

zodat alvast (vul aan) ∀x ∈ R : f (x) + g(x) = f (x + . . .) + g(x + . . .)

We vermoeden dan ook dat de periode van f + g gelijk is aan r = . . ..

Deze werkwijze slaagt omdat er een geheel veelvoud is van p dat ook een geheel veelvoud is van q, namelijk 3p = 2q. Of anders uitgedrukt, p/q ∈ Q. Derhalve kunnen we stellen: p ∈Q q

⇒

f + g is periodiek

en schrijven we p/q als een onvereenvoudigbare breuk, dan vinden we de periode van f + g terug: p 2 = ∈Q q 3

⇒

f + g is periodiek met periode 3p = 12π.

(b) We gaan analoog te werk zoals in (a). Uit Eigenschap 1 volgt (vul aan): de periode van f is p = . . .

en de periode van g is q = . . .

Zo geldt voor elke x ∈ R: √ √ √ √ f (x) = f (x + 2 π) = f (x + 2 2 π) = f (x + 3 2 π) = f (x + 4 2 π) = . . . g(x) = g(x + 2π) = g(x + 4π) = g(x + 6π) = g(x + 8π) = . . .

x ∈ [−10, 30] en y ∈ [−3, 3]

√ Omdat 2 geen breuk is, zullen we er niet in slagen om een geheel veelvoud van 2 π te vinden dat ook een geheel veelvoud van 2π is. We vermoeden dan ook dat f + g geen periodieke functie is, met andere woorden: p ∈ / Q ⇒ f + g is niet periodiek. q Er rest ons te bewijzen dat f + g niet periodiek is. Stel, uit het ongerijmde, dat f + g toch periodiek is, zodat er een reëel getal r > 0 bestaat waarvoor geldt: Ä√ ä Ä√ ä ∀x ∈ R : cos 2 x + cos x = cos 2 (x + r) + cos(x + r). √

In het bijzonder geldt voor de keuze x = 0 dat cos 0 + cos 0 = cos {z } |

Ä√

ä 2 r + cos r.

Hoe vinden we op deze manier een tegenstrijdigheid?

Bovenstaande bespreking wordt samengevat in de volgende 3 Eigenschap 3. Zij f een periodieke functie met periode p en g een periodieke functie met periode q.6 Dan is f + g is een periodieke functie

⇔

p ∈Q q

Schrijven we in dat geval p/q als onvereenvoudigebare breuk m/n, dan is de periode van f + g (indien ze bestaat) gelijk aan np. 3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal telkens of de functie periodiek is. Zo ja, bepaal de periode. Å ã 2x (a) f (x) = tan + 2 sin(3x + 1) 3 (b) f (x) = sin x + cos(2πx) Oplossing.

6 . . . waarvoor

f is begrensd en er een interval bestaat waarover f continu is. Deze voorwaarden kunnen nog afgezwakt worden, zie [19].

II-63

Toepassing 2 - De harmonische trilling Een periodiek verschijnsel waarbij een grootheid ten opzichte van zijn evenwichtsstand verandert in functie van de tijd, noemt men een trilling (of oscilatie). Voorbeelden van trillingen zijn: 3 de op- en neergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een veer (massa-veersysteem), 3 de heen- en weergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een draad (slinger), 3 een trillende stemvork, 3 de naald van een platenspeler die de groef in een grammofoonplaat volgt (al is deze trilling niet meteen periodiek), 3 ook licht kan gezien worden als een trilling (van een elektromagnetisch veld), 3 wisselstroom (een elektrische stroom met periodiek wisselde stroomrichting), 3 klimaatoscilatie, waarbij een specifiek gedrag van het klimaat periodiek terugkeert, zoals de ijstijden en het verschijnsel El Niño. Bij een (vrije en ongedempte) harmonische trilling wordt het periodiek gedrag van de grootheid beschreven door een algemene sinusfunctie van de vorm f (t) = A sin(ωt + ϕ) Aan de parameters A, ω en ϕ kent men de volgende betekenis toe. 3 De parameter ϕ is de beginfase van de trilling, ze geeft aan welke positie de trilling aanneemt op het ogenblik dat de trilling begint (t = 0). 3 De amplitude A is de (absolute waarde van) de maximale uitwijking die f (t) kan hebben. 3 De parameter ω is de pulsatie van de trilling. De periode T van de trilling is (zie §4.3): T =

2π ω

zodat

ω=

2π = 2πf T

We bespreken enkele voorbeelden. 3 Voorbeeld 1 (massa-veersysteem). Aan een volkomen elastische veer, die verticaal wordt opgehangen, hangen we een massa m. We geven aan de massa een kleine uitwijking in verticale richting. Na loslaten zal de massa omheen haar evenwichtsstand bewegen. Noemen we y(t) de verticale positie van de massa m ten opzichte van de evenwichtsstand op tijdstip t (zie figuur), dan kan men aantonen dat: … k y(t) = A sin(ωt + ϕ) met ω = m waarbij k staat voor de zogenaamde veerconstante.7 In dit eenvoudig model hebben we de luchtweerstand verwaarloosd.8 3 Voorbeeld 2 (wiskundige slinger). Een puntmassa m wordt opgehangen aan een draad met lengte l waarvan de massa verwaarloosbaar is. Wordt de puntmassa m uit haar evenwichtsstand gebracht en vervolgens losgelaten, dan voert deze onder invloed van de zwaartekracht een heen- en weergaande beweging uit omheen haar evenwichtsstand. Noemen we θ(t) de hoek van de slinger ten opzichte van de evenwichtsstand op tijdstip t (zie figuur), dan kan men aantonen dat (bij een kleine uitwijking): … g θ(t) ≈ A sin(ωt + ϕ) met ω = l waarbij g staat voor de valversnelling 9, 81 m/s2 .9 Ook in dit model werd de luchtweerstand verwaarloosd. 7 De wet van Robert Hooke 1678 [13] stelt dat de uitrekking van een veer recht evenredig is met de kracht die op de veer wordt uitgeoefend. Die evenredigheidsfactor noemt men de veerconstante k. Voor een afleiding dat de uitwijking y(t) voldoet aan deze harmonische trilling, verwijzen we naar Deel Afgeleiden. 8 In de realiteit zal de massa een wrijvingskracht ondervinden, die haar uiteindelijk tot stilstand brengt. Een model dat daaraan tegemoet komt, is de zogenaamde gedempte trilling, waarbij het periodiek gedrag van de grootheid y beschreven wordt door y(t) = Ae−γt sin(ωt + ϕ) waarbij A, γ, ω en ϕ constanten zijn,p zie Deel Afgeleiden. 9 Hieruit leidt men af dat T ≈ 2π l/g, wat bekend staat als de wet van Christiaan Huygens 1673 [14], door sommigen aanzien als de oudste formule van de natuurkunde.

II-64

Toepassing 3 - De golfbeweging Het golfbegrip komt in veel domeinen van de natuurkunde voor. Zo spreken we van geluidsgolven, warmtegolven, lichtgolven, elektromagnetische golven enzovoort. In deze toepassing tonen we hoe de voortplanting van een trilling wiskundig beschreven wordt. 3 Algemene golfbeweging. Beschouw een willekeurige functie y = f (x) en kies een reëel getal c. Vervangen we x door x − c, dan verschuiven we de grafiek van f volgens de x-as met c eenheden naar rechts (zie onderstaande figuur). Uiteraard verandert hierdoor de vorm van de grafiek niet.

y = f (x − c)

y = f (x)

x Als we op elk tijdstip t een andere waarde voor c kiezen, dan hebben we op elk tijdstip t een andere verschuiving van de grafiek. Een voor de hand liggende manier om c afhankelijk te maken van de tijd t, is om c gelijk te stellen aan c = vt met v > 0. Voor opeenvolgende tijdstippen t = 0, 1, 2, . . . wordt de grafiek verschoven met achtereenvolgens 0, v, 2v, . . . eenheden naar rechts. Op die manier verkrijgen we een voortplanting van de grafiek, die we ook wel een lopende kromme noemen (zie onderstaande figuur). Men noemt v de fasesnelheid van die kromme.

y = F (x, 0) = f (x) v

t=0

x y

y = F (x, 1) = f (x − v) v

t=1

x y

y = F (x, 2) = f (x − 2v) v

t=2

x Het voorschrift y = f (x) wordt nu y = f (x − vt) en is afhankelijk van zowel de variabele x (lengte) als de variabele t (tijd). We krijgen dus een (reële) functie in twee variabelen F (x, t) = f (x − vt) die een fysische situatie beschrijft die zonder vervorming loopt of zich voortplant langs de positieve x-as. Dit wordt een (algemene) golfbeweging genoemd. De grootheid F (x, t) kan een grote verscheidenheid van fysische grootheden voorstellen, zoals de vervorming in een vaste stof, de druk in een gas, een elektrisch of magnetisch veld enzovoort. II-65

3 Harmonische golfbeweging. Beschouw een algemene sinusfunctie f (x) = A sin(kx) met A, k > 0. Passen we het voorgaande toe op deze functie, dan verkrijgen we de golfbeweging Å ã F (x, t) = A sin k(x − vt) die men een harmonische golfbeweging noemt. We bespreken de periodiciteit van deze functie. 2π dan verkrijgen hetzelfde voorschrift: k ãã Å Å 2π − vt = A sin(k(x − vt) + 2π) = A sin(k(x − vt)) = F (x, t). F (x + p, t) = A sin k x + k

. Vervangen we x door x + p met p =

2π De golfbeweging is dus periodiek in de ruimte, met (ruimtelijke) periode p = . Dit noemt men ook wel k de golflengte, notatie λ. Dus 2π 2π λ= = 2πf of nog k = k λ met f = 1/p de (ruimtelijke) frequentie. Meetkundige betekenis. De golflengte λ is afstand waarop de kromme zich herhaalt (op een vast tijdstip t). 2π . Vervangen we t door t + P met P = dan verkrijgen we hetzelfde voorschrift: kv ããã Å Å Å 2π = A sin(k(x − vt) − 2π) = A sin(k(x − vt)) = F (x, t). F (x, t + P ) = A sin k x − v t + kv De golfbeweging is dus ook periodiek in de tijd, met (tijds)periode P = P =

2π ω

of nog

ω=

2π . Schrijven we ω = kv, dan is kv

2π = 2πν P

met ν = 1/P de (tijds)frequentie. De parameter ω noemt men de cirkelfrequentie. Meetkundige betekenis. De periode P is de tijd waarin de kromme zich herhaalt (op een vaste plaats x).

λ y y = A sin(kx) t=0

P 2

y y = A sin(kx − ωP ) t=P

II-66

De harmonische beweging heeft dus twee periodiciteiten: één in de ruimte (golflengte λ) en één in de tijd (periode P ). In het bijzonder wordt in een tijd P de afstand λ afgelegd, wat resulteert in de betrekking v=

λ . P

We kunnen het voorschrift dan ook schrijven in functie van deze twee periodes: Å ã F (x, t) = A sin k(x − vt) = A sin(kx − ωt) ã Å 2π 2π x− t = A sin λ P Å Å ãã x t = A sin 2π − . λ P zodat het voorschrift van de harmonische golfbeweging herschreven wordt als ãã Å Å x t F (x, t) = A sin 2π − λ P Meer algemeen kan men de algemene golfbeweging ook toepassen op de functie f (x) = A sin(kx+ϕ) met A, k > 0 en ϕ ∈ [0, 2π[. De behandeling zoals hierboven is analoog enkel de meetkundige betekenis verandert: op t = 0 zal de hoofdtak starten in x = −ϕ in plaats van x = 0 (zie figuur vorige pagina). Men noemt ϕ de beginfase van de harmonische beweging. 3 Te onthouden. De harmonische golfbeweging (met beginfase ϕ) is een functie in twee variabelen x en t en heeft als voorschrift Å ã F (x, t) = A sin k(x − vt) + ϕ (1) ã ã Å Å x t − +ϕ . (2) = A sin 2π λ P Volgende formules verkrijgen we door het vergelijken van (1) en (2) en omdat in de tijdsperiode P de ruimtelijke periode (golflengte) λ wordt afgelegd: k=

2π λ

ω = kv =

2π P

3 Modelvoorbeeld. Geluid is een (kleine) verandering in de luchtdruk, die zich door de lucht voortplant. Als de veranderingen van de druk tussen 20 en 20 000 keer per seconde (Hertz) voorkomen dan is geluid hoorbaar. Hoe hoger de frequentie, hoe hoger de waargenomen toon. De geluidssnelheid, de snelheid waarmee geluidsgolven zich voortbewegen, hangt af van de vastheid, temperatuur en samenstelling van de stof(fen) waarin dat gebeurt: door lucht bij kamertemperatuur is dat ongeveer 343 meter per seconde, in vloeistoffen en vaste stoffen is dat meestal hoger. De amplitude bepaalt hoe luid een klank ervaren wordt. In een medium wordt geluid gemaakt. De geluidsgolf heeft een periode van 0, 004 s en een golflengte van 1, 2 m. (a) Bepaal het functievoorschrift van de harmonische golfbeweging. (b) Bepaal de snelheid van het geluid in dat medium. Oplossing.

II-67

λ P

Een jachtbommenwerper vliegt door de geluidsmuur. De witte halo wordt gevormd door gecondenseerde waterdruppels die onstaan door een val in luchtdruk omheen het vliegtuig.

Oefeningen 4 Goniometrische functies

Basis ?

4.1 Periodieke functies

Verdieping ? ??

Uitbreiding ? ??

4.2 Elementaire goniometrische functies

4.3 De algemene sinusfunctie

5 6 7

7 8 9 10

7 11 12

7 13 14 15

7 16 17

4.4 Toepassingen

21 22 23 24

21 25 26

21 27 28

7 18

19 20

Oefeningen bij §4.1 Oefening 1. Welke grafieken zijn de grafiek van een half-periodieke of periodieke functie? Bepaal bij een periodieke functie ook de periode (indien mogelijk).

(a)

−1

(c)

(b)

−1

(d)

−1

Oefening 2. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld. B

(a) Elke periodieke functie heeft een (kleinste) periode.

B? (b) Geen enkele veeltermfunctie is periodiek. B? (c) Er bestaat een rationale functie die periodiek is. B? (d) Geen enkele periodieke functie met domein R is inverteerbaar. V

(e) Zij f een functie waarvoor f beperkt tot [0, +∞[ rechtsperiodiek is en f beperkt tot ] − ∞, 0] linksperiodiek is. Dan is f periodiek.

II-68

U??

Oefening 3 (niet-constante periodieke functie zonder periode). Elke constante functie is een periodieke functie zonder (kleinste) periode. Er bestaan echter ook niet-constante periodieke functies zonder periode.10 Beschouw de Dirichletfunctie:11 ß 1 als x ∈ Q f : R → R : x 7→ f (x) = 0 als x ∈ / Q. (a) Toon aan dat voor elke q ∈ Q geldt: ∀x ∈ R : f (x − q) = f (x) = f (x + q). (b) Bewijs dat f een periodieke functie is. (c) Bewijs dat f geen (kleinste) periode heeft.

Oefeningen bij §4.2 V?

Oefening 4. Bepaal het aantal oplossingen van de vergelijking

x = sin x. 100

Oefeningen bij §4.3 B

Oefening 5. Bepaal een voorschrift van een algemene sinusfunctie met periode 8π/5, amplitude 1, 75; evenwichtslijn y = −2, 23 en een horizontale verschuiving van 3π/5.

Oefening 6. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken). (a) (b)

y y = f (x)

3 y = f (x)

π 2

− π2

π 2

− π2

−1

−2

Oefening 7. Schrijf de volgende algemene sinusfuncties in standaardvorm. f (x) = 3 cos(2x − 5)

B? (b)

f (x) = −3 sin(2x − 5)

(d) f (x) = sin x + cos x √ 3 ? V (e) f (x) = sin(2x) + cos(2x) 3

B?? (c)

f (x) = 3 sin(5 − 2x)

V? (f) f (x) = 3 sin(5x) cos(5x) − 1

(a)

10 Het

is wel zo dat de enige continue periodieke functies zonder periode de constante functies zijn. Dirichlet 1829 [9]. De Dirichletfunctie is een voorbeeld van een functie die nergens continu is, zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit. 11 Johann

II-69

Oefening 8. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken). (a) (b)

−2

−1

1 −1

− π2

π 2

−1

y = f (x)

−2

x y = f (x)

−2

Oefening 9. Welke transformaties moet je uitvoeren op de sinusfunctie g(x) = sin x om de functie f (x) = 3 sin (2x − 5)− 8 te verkrijgen? Wees volledig.

Oefening 10. Het tijverschil (verschil tussen hoogste en laagste waterstand) aan de Belgische kust bedraagt 3, 90 meter. De getijdenbeweging te Oostende wordt benaderd door h(t) = 1, 95 sin(0, 52 t) met h de hoogte (in meter) ten opzichte van de gemiddelde waterstand en t de tijd (in uur). (a) Wat is de minimale en maximale waterhoogte ten opzichte van de gemiddelde waterstand? (b) Bepaal algebraı̈sch hoeveel uur er verstrijkt er tussen twee laagwaterstanden? Afronden tot op 1 seconde nauwkeurig.

B??

Oefening 11. Gegeven zijn de volgende algemene sinusfuncties. Geef telkens de de amplitude, de periode, een horizontale verschuiving, de verticale verschuiving, de evenwichtsas, domein en beeld en de nulwaarden. Å Å ãã x 1 (c) f (x) = sin 10π x + +3 (a) f (x) = 3 sin 2π 2 Å ã 2 2 π (b) f (x) = sin x− − 11 (d) f (x) = 2 sin(3x − 2) + 1 3 3 4

B??

Oefening 12. Een draaimolen op de kermis maakt horizontale en verticale bewegingen. De hoogte (in meter) van de vloer van de attractie in functie van de tijd t (in seconden) is Å ã π h(t) = 1, 8 sin (t − 3) + 2, 3. 3 (a) Hoe hoog bevindt de vloer zich bij de start? (b) Plot de grafiek van h(t) met behulp van je grafische rekenmachine. Noteer de vensterinstellingen waarvoor de grafiek duidelijk op je grafische rekenmachine verschijnt en neem een schets over op je blad. (c) Een toeschouwer laat zijn tas met hoogte 20 cm vallen. Dreigt de tas verpletterd te worden? Los algebraı̈sch op. (d) Hoe lang bevindt de vloer zich hoger dan 3 m per draaibeweging? Los op met behulp van je grafische rekenmachine.

Oefening 13. Van een fietser merkt men in het donker enkel de zijwaartse reflectoren van de pedalen op. Voor het linkerpedaal wordt de beweging beschreven door h(t) = 11 sin (πt) + 38 met h de hoogte (in centimeter) en t de tijd (in seconden). (a) Bepaal een voorschrift van de functie die de beweging van het rechterpedaal beschrijft. (b) Bij elke omwenteling legt de fietser 10 m af. Hoe snel rijdt de fietser? Zet om in kilometer per uur. II-70

Oefening 14. Beantwoord bij onderstaande functies telkens de volgende vragen. (i) Is de functie periodiek? Zo ja, lees de periode af. (ii) Stelt de functie een algemene sinusfunctie voor? Zo ja, bewijs je antwoord. (iii) Is de functie even, oneven of geen van beide? Indien even of oneven, bewijs je antwoord. Maak hierbij gebruik van de formules van de goniometrie (zie Bijlage A). Bij vraag (h) steun je op Oefening 20.

(a)

f1 (x) = 4 sin x + sin(2x)

(e)

f5 (x) = 8 sin x cos x y

graf f1

π 2

(b)

f2 (x) = 6 sin2 y

x 2

−2

graf f5

(f)

f6 (x) = sin2 x + 3 sin x y

graf f2

f3 (x) = 4 −

8 tan4 x 1 + tan4 x

x2 + 100 4

4000 cos(2x) 1000 + x2

graf f7

π 2

(h)

f8 (x) = sin(2x) + 4 cos(2x) y

graf f4

π 2

f7 (x) = y

graf f3

f4 (x) = sin

π 2

(g)

π 2

(d)

graf f6

π 2

(c)

π 2

graf f8

π 2

II-71

Oefening 15. Een volwassene ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid L (in liter per seconde) is positief bij het inademen, negatief bij het uitademen. De luchtstroomsnelheid in functie van de tijd t (in seconden) wordt gegeven door de volgende grafiek.

y 1

−2

−1

y = L(t) 1

−1

Bij een grote inspanning wordt de periode van de ademhaling gedeeld door drie en wordt de luchtstroom vier keer zo groot. Geef een functievoorschrift van beide functies. Controleer met je grafische rekenmachine. Enkel roosterlijnen gebruiken! V?

Oefening 16. Gegeven is de functie f (x) = 3 sin2 (5x). (a) Schets de grafiek van f . (b) Toon aan dat f een algemene sinusfunctie is en bepaal de periode van f . Oefening 17. In een Amerikaanse staat snijden de wegen Highway 20 en Highway 32 elkaar loodrecht. In het landschap ligt een boerderij, op 256 voet van Highway 20 en 108 voet van Highway 32. Men wil nu een nieuwe (rechte) weg aanleggen die Highway 20 en Highway 32 met elkaar verbindt en die de boerderij bereikt. Voor welke hoek α is de lengte van de nieuwe weg het kortst? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Highway 20

108 voet

boerderij

α Highway 32 256 voet

V??

Oefening 18. Een jager bevindt zich momenteel in een punt P langs een verharde, rechte weg. Hij wil zo snel mogelijk een uitkijktoren (punt R) in het bos bereiken. De uitkijktoren ligt op 1 km afstand van een punt Q op de verharde weg. De afstand tussen de punten P en Q langs de weg bedraagt 4 km. De jager besluit de weg een eindje te volgen om vanaf punt S in vogelvlucht naar de uitkijktoren te stappen. Langs de weg stapt de jager aan een snelheid van 7 km/u en door het bos aan een snelheid van 2 km/u. Onder welke hoek α moet de jager het bos ingaan om de uitkijktoren het snelst te bereiken? Los op met behulp van je grafische rekenmachine.

R bos

1 α

verharde weg Q

4 II-72

Oefening 19 (astronomische daglengte). Onder astronomische daglengte verstaan we de tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang. Die tijd varieert van dag tot dag. Bij het begin van de lente (21 maart) en de herfst (21 september) is de daglengte ongeveer 12 uur. Voor de daglengte in 2018 te Brugge hebben we de volgende gegevens: datum

dag van het jaar

daglengte

datum

dag van het jaar

daglengte

1 1 1 1 1 1

1 32 60 91 121 152

7u57 9u11 10u53 12u54 14u46 16u13

1 1 1 1 1 1

182 213 244 274 305 335

16u27 15u19 13u31 11u35 9u39 8u12

januari februari maart april mei juni

juli augustus september oktober november december

(a) Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de best passende algemene sinusfunctie (daglengte in functie van de tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat. (b) Bepaal, uitgaande van de algemene sinusfunctie in (a), de periode. (c) Bepaal met behulp van (a) de daglengte op 21 juni 2018, afronden op één minuut nauwkeurig (de werkelijke daglengte was toen 16 uur en 47 minuten). (d) Vallen de resultaten op vragen (b) en (c) binnen de verwachtingen? Waarom (niet)? Aanwijzing bij (a). Het idee dat men bij een aantal meetpunten de best passende functie vindt onder de veronderstelling dat het gaat om een verband als algemene sinusfunctie, noemt men sinusregressie. De werkwijze om sinusregressie uit te voeren met de grafische rekenmachine is analoog aan exponentiële regressie (zie Deel Precalculus 1). 3 Invoeren van de gegevens in een lijst. STAT

EDIT

1:Edit

ENTER

etc.

3 Plotten van de meetpunten. 2ND

STAT PLOT

1:Plot1

opties wijzigen

WINDOW

3 Berekenen van de algemene sinusfunctie door de meetpunten. STAT

CALC

C:SinReg

Calculate

ENTER

II-73

GRAPH

3 Plotten van de algemene sinusfunctie. VARS

5:Statistics...

1:RegEQ

GRAPH

Oefening 20 (lineaire combinatie van sinusfunctie en cosinusfunctie). In een cartesisch assenstelsel beschouwen we een punt P (a, b), met P 6= O. Noem c = |OP | en ϕ de hoek tussen de positieve x-as en de halfrechte [OP (zie figuur). Bewijs de volgende gelijkheid van functies

y P

b c

a cos x − b sin x = c cos(x + ϕ) waarbij c =

√

b a2 + b2 en tan ϕ = . a

Oefeningen bij §4.4 Oefening 21. Ga na of de volgende functies periodiek zijn en zo ja bepaal de periode. Å ã 1 1 B? (d) f (x) = 3 sin(12x − 5) − 2 tan(18x − 7) B (a) f (x) = − tan πx − 2 5 Å√ ã √ √ 7 B (b) f (x) = −8 cot 5x + B?? (e) f (x) = 3 sec( 2 x) − 5 cosec( 3 x) 6 Å ã 5πx B? (c) f (x) = sin + cos (πx) V (f) f (x) = sin x + cos(2x) + tan(3x) 2 B

Oefening 22. Een wiskundige slinger heeft een lengte van 50 cm. (a) Bereken de periode en de frequentie van de slingerbeweging. (b) We verdubbelen de lengte van de slinger. Bepaal de nieuwe periode en de frequentie van de slingerbeweging.

Oefening 23. De bewegingsvergelijking van een harmonische golfbeweging in een koord is y = 0, 2 sin(2x − 600t). Bepaal de amplitude, de ruimtelijke frequentie, de tijdsfrequentie, de voortplantingssnelheid en de golflengte.

Oefening 24. Een lopende golf heeft amplitude 0, 15 m, frequentie 550 Hz en voortplantingssnelheid 330 m/s. Bepaal de bewegingsvergelijking van deze lopende golf. II-74

Oefening 25. Elektromagnetische straling is de voortplanting door de ruimte van elektrische en magnetische trillingen. Licht is een vorm van elektromagnetische straling. Alle soorten elektromagnetische straling hebben in het vacuüm een snelheid gelijk aan de lichtsnelheid, die ongeveer gelijk is aan 3·108 m/s. De bekendste toepassing van elektromagnetische straling is het uitzenden van radio- en televisieprogramma’s. Een televisiezender is te ontvangen op 100 MHz. (a) Bepaal het functievoorschrift van de harmonische beweging die het signaal representeert. (b) Bepaal de golflengte van het signaal.

Oefening 26. Een bepaalde groef van een grammofoonplaat loopt met een snelheid van 0, 6 m/s aan de naald voorbij. Het voortgebrachte geluid heeft een frequentie van 660 Hz. Bereken de golflengte van de in de plaat gegrifte groef.

B??

Oefening 27. Een massa van 100 gram voert een harmonische trilling uit met amplitude 0, 050 m, pulsatie 3, 14 rad/s en beginfase π/8 rad.

televisietoren Fernsehturm, Berlijn

(a) Bepaal de periode en de frequentie van de trillende massa. Afronden op twee decimalen nauwkeurig. (b) Op welk ogenblik is de uitwijking respectievelijk maximaal en minimaal? B??

Oefening 28. Een dobber trilt in stilstaand water. De veroorzaakte golven planten zicht voort met een snelheid van 0, 8 m/s en de golflengte bedraagt 30 cm. (a) Bereken de frequentie. (b) Geef de bewegingsvergelijking van een punt op 2, 4 cm van het storingscentrum.

Oefening 29. Een man van 75 kg staat op het uiteinde van een springplank. Dit uiteinde zakt hierbij 0, 30 m ten opzichte van zijn onbelaste stand. De man maakt een kleine opwaartse beweging. Bepaal de periode van de harmonische trilling die het uiteinde van de plank krijgt.

Oefening 30 (som van harmonische golfbewegingen en interferentie). Interferentie is de samen- of tegenwerking van verscheidene golfbewegingen op dezelfde tijd en plaats. Er kunnen zich verschillende verschijnselen voordoen, afhankelijk van de frequentie, amplitude en beginfase van de golven en de eigenschappen van het medium. In een medium zijn twee golven werkzaam, elk beschreven met een harmonische golfbeweging met dezelfde amplitude, golflengte en tijdsperiode. De absolute waarde van het verschil van de beginfasen wordt het faseverschil genoemd. (a) Bepaal de voorwaarde(n) op het faseverschil waarvoor de som van beide golfbewegingen opnieuw een harmonische golfbeweging is. (b) Constructieve interferentie treedt op wanneer de amplitude van de harmonische golfbeweging maximaal is. Toon aan dat constructieve interferentie voorkomt precies wanneer het faseverschil 0 is. In dat geval zegt men dat beide golven in fase zijn. (c) Destructieve interferentie treedt op wanneer de som van beide golfbewegingen de nulfunctie (in twee variabelen!) is. Toon aan dat destructieve interferentie voorkomt precies wanneer het faseverschil π is. In dat geval zegt men dat beide golven in tegenfase zijn.

Grafiek van twee harmonische golfbewegingen en hun som op een bepaald tijdstip t (faseverschil resp. 0, π/2, π en 3π/2).

U??

Oefening 31 (som van harmonische trillingen). Zij f1 en f2 twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie f1 (t) = A1 sin(ωt + ϕ1 )

f2 (t) = A2 sin(ωt + ϕ2 )

Toon aan dat f1 + f2 opnieuw een harmonische trilling is met dezelfde frequentie, i.e. A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + ϕ2 ) = A sin(ωt + ϕ) waarbij A=

A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) II-75

tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

Inzicht in kinematica Een stel parametervergelijkingen van een vlakke kromme K is een stelsel van de vorm ® x = f (t) waarbij t ∈ R K: y = g(t)

K P (f (t), g(t))

en waarbij f en g functies zijn. Een willekeurig punt P van de kromme K heeft dan coördinaten co(P ) = (f (t), g(t)) voor een zekere waarde t (zie rechterfiguur). Typisch is dat de parameter t waarden aanneemt die beperkt worden tot een interval [a, b]. In kinematica wordt een stel parametervergelijkingen gezien als de beweging van een punt P op een kromme, waarbij de parameter t de tijd voorstelt.12 Voorbeeld 1. Een stel parametervergelijkingen van de parabool P : y 2 = x is bijvoorbeeld (zie rechterfiguur): ® x = t2 P: waarbij t ∈ R. y=t Voorbeeld 2. Een stel parametervergelijkingen van de cirkel C : x2 + y 2 = 1 met middelpunt de oorsprong O en straal 1 is bijvoorbeeld: ® x = cos t C: waarbij t ∈ [0, 6π[. y = sin t Vatten we de parameter t op als tijd, dan wordt in het interval [0, 6π[ de cirkel C drie keer in tegenwijzerzin doorlopen.

y t=2 P

2 t=1 1 t=0 1 −1 −2

t = −1 t = −2

Lissajousfiguren Is bij zo’n stel parametervergelijkingen zowel f (t) als g(t) een harmonische trilling, dan spreekt men van een Lissajousfiguur:13 ® x = A1 sin(ω1 t + ϕ1 ) L: waarbij t ∈ R. y = A2 sin(ω2 t + ϕ2 ) Als vereenvoudiging kiest men voor tijdstip t = 0 een snijpunt met de y-as: dan is x = 0 zodat we mogen stellen dat ϕ1 = 0. De vorm van de figuur wordt beı̈nvloed door de verhouding a/b. Met behulp van Toepassing 1 kun je aantonen dat de figuur een gesloten kromme is als en slechts als ω1 /ω2 ∈ Q. Onderstaande figuur toont enkele voorbeelden van Lissajousfiguren, waarbij telkens t ∈ [0, 2π[.

t = π/2

t=0

t = 0, π

t = 0,π x

t = 3π 2

t = π2 x

t =0,π

t = 3π 2

t = π2

t=π t = 3π/2   x = sin t

 y = 2 sin t

   x = sin t

  x = sin t

3π   y = 2 sin t + 4

 y = 2 sin (2t)

  x = sin(3t)

 y = 2 sin (2t)

12 Kinematica of bewegingsleer is een onderdeel van de klassieke mechanica dat de beweging van punten, objecten en groepen van objecten beschrijft, waarbij de oorzaak van de beweging buiten beschouwing wordt gelaten. Dat laatste, meerbepaald het verband tussen kracht(en) en beweging, wordt bestudeerd in de dynamica. 13 Lissajousfiguren werden door James Dean 1815 [5] opgemerkt bij zijn studie van de beweging van de maan om de aarde, zoals iemand die de aarde zou zien mocht hij op de evenaar van de maan staan. Dean merkte op dat deze beweging eenvoudig nagemaakt kon worden door een massa op te hangen aan een draad in de vorm van een Y. In hetzelfde jaar veralgemeende Nathaniel Bowditch [3] deze ideeën en voorzag een gedetailleerde wiskundige analyse van de bewegingen gemaakt door een Y-pendulum. In 1857 produceerde Jules Antoine Lissajous [16] deze figuren aan de hand van een tweetal vibrerende stemvorken.

II-76

Hoofdstuk 5

Cyclometrische functies De sinusfunctie f (x) = sin x is niet inverteerbaar, omdat er bij sommige y-waarden meer dan een (zelfs oneindig veel) x-waarden horen. Om de zelfde reden zijn ook de elementaire cosinusfunctie en tangensfunctie niet inverteerbaar. Maar de beperking van zo’n functie over een goed gekozen interval is wel inverteerbaar. De inverse functies van zo’n beperkte goniometrische functies worden cyclometrische functies genoemd. Hun toepassingsgebied ligt in het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

5.1

Elementaire cyclometrische functies

De boogsinusfunctie 3 Op ontdekking. Beschouw de sinusfunctie f (x) = sin x.

y y = sin x 1

− π2

π 2

2π

3π 2

5π 2

−1

De sinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . . Daarom beperken we de sinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [−π/2, π/2]. We noemen dit de beperkte sinusfunctie en noteren f (x) = Sin x. We zoeken de inverse functie van de beperkte sinusfunctie. . Functievoorschrift: f (x) = Sin x

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

−

x f (x) = y

π 2

−

π 4

///

. Grafiek:

π 2

y ///

x = g(y)

. Grafiek:

π 2

y = Sin x 1

π 2

− π2

−1

1 − π2

II-77

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt: f (x) = y ⇔ x = g(y) . De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogsinusfunctie (of de arcsinusfunctie) en we schrijven:1 g(y) = Arcsin y. Zo wordt bovenstaande formule sin x = y

⇔

h π πi x∈ − , , y ∈ [−1, 1]. 2 2

x = Arcsin y

. Elimineren van x respectievelijk y levert sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1]

h π πi Arcsin(sin x) = x voor alle x ∈ − , 2 2

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren). Å ã 1 (a) Arcsin = ... 2 (b) (c)

Arcsin(−1) = . . . Ç √ å 3 Arcsin − = ... 2

3 Boogsinusfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ongelukkig genoeg wordt de notatie voor Arcsin x in de grafische rekenmachine gegeven door sin−1 (x). Toch is duidelijk 1 Arcsin x 6= (sin x)−1 = sin x 3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine. (d)

Arcsin(−0, 275) = . . .

(e)

Arcsin(1, 3) = . . .

y C(O, 1)

3 Meetkundige betekenis van de boogsinus. Neem een waarde y ∈ [−1, 1]. Dan is sin(Arcsin y) = y, zodat Arcsin y een hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor sin α = y (zie figuur). Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot − π2 , π2 .

Omdat Arcsin y wordt uitgedrukt in radialen, is Arcsin y tevens de lengte van bijbehorende cirkelboog, voorzien van het teken (pagina 6). Samengevat:2

Arcsin y

y α O

de boogsinus van y is de boog waarvoor de sinus gelijk is aan y 1 In de literatuur noteert men naast Arcsin x ook Bgsin x. Lees: de arcsinus van y of de boogsinus van y. Analoog voor de arccosinusfunctie en de arctangensfunctie. 2 In deze context bedoelen we met de boog: de lengte van de kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E , voorzien 0̂ van het teken (pagina 6).

II-78

De boogcosinusfunctie 3 Op ontdekking. Beschouw de cosinusfunctie f (x) = cos x.

y y = cos x 1

− π2

π 2

2π

3π 2

5π 2

−1

De cosinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . . Daarom beperken we de cosinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [0, π]. We noemen dit de beperkte cosinusfunctie en noteren f (x) = Cos x. We zoeken de inverse functie van de beperkte cosinusfunctie. . Functievoorschrift: f (x) = Cos x

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

π 4

f (x) = y

π 2

3π 4

///

y ///

x = g(y)

. Grafiek:

y = Cos x 1

π 2

−1 −1

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f (x) = y ⇔ x = g(y) De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogcosinusfunctie (of de arccosinusfunctie) en we schrijven g(y) = Arccos y. Zo wordt bovenstaande formule cos x = y

⇔

x = Arccos y

x ∈ [0, π] , y ∈ [−1, 1].

. Elimineren van x respectievelijk y levert cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1]

II-79

Arccos(cos x) = x voor alle x ∈ [0, π]

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren). Å ã 1 = ... (a) Arccos 2 (b) (c)

Arccos(−1) = . . . Ç √ å 3 Arccos − = ... 2

3 Boogcosinusfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is Arccos x 6= (cos x)−1 =

1 cos x

3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine. (d)

Arccos(−0, 275) = . . .

(e)

Arccos(1, 3) = . . .

y C(O, 1)

3 Meetkundige betekenis van de boogcosinus. Neem een waarde y ∈ [−1, 1]. Dan is cos(Arccos y) = y, zodat Arccos y een hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor cos α = y (zie figuur). Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot [0, π]. Omdat Arccos y wordt uitgedrukt in radialen, is Arccos y tevens de lengte van de bijbehorende cirkelboog.

Arccos y α O

Samengevat:3 de boogcosinus van y is de boog waarvoor de cosinus gelijk is aan y Analoog als bij goniometrische getallen kan men ook cyclometrische identiteiten bewijzen. 3 Modelvoorbeeld (identiteit). y . 1 − y2 (b) Bepaal het domein van de functie f (x) = cot(Arccos x). (a) Bewijs de identiteit cot(Arccos y) = p

Bewijs. (a) Noemen we x = Arccos y, dan is cos x = y, zodat (vul aan): cos x cot(Arccos y) = cot x = sin x cos x want . . . = √ ± 1 − cos2 x cos x =√ want . . . 1 − cos2 x y =p want . . . 1 − y2

(b) We vinden dom f = {x ∈ R | cot(Arccos x) bestaat} = ... 3 In

deze context bedoelen we met de boog: de lengte van een kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E0̂ .

II-80

De boogtangensfunctie 3 Op ontdekking. Beschouw de tangensfunctie f (x) = tan x. y

y = tan x 3 2 1 π

π 2

− π2

2π

3π 2

5π 2

−1 −2 −3 De tangensfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de tangensfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval − π2 , π2 . We noemen dit de beperkte tangensfunctie en noteren f (x) = Tan x. We zoeken de inverse functie van de beperkte tangensfunctie. . Functievoorschrift: f (x) = Tan x . Tabel van enkele functiewaarden: −

x f (x) = y

π 2

−

π 4

. Functievoorschrift: g(y) = ? . Tabel van enkele functiewaarden:

π 4

π 2

///

. Grafiek:

y ///

x = g(y) . Grafiek:

y y = Tan x 3

x 2

π 2

− π2

−3

−1

−2

−1

− π2

−2 −3

. De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogtangensfunctie (of de arctangensfunctie) en we schrijven g(y) = Arctan y. Zo volgt uit bovenstaande tabel i π πh tan x = y ⇔ x = Arctan y x∈ − , , y ∈ R. 2 2 . Elimineren van x respectievelijk y levert i π πh tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ R en Arctan(tan x) = x voor alle x ∈ − , 2 2 II-81

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren). √ (a) Arctan( 3) = . . . (b) (c)

Arctan (−1) = . . . Ç √ å 3 Arctan − = ... 3

3 Boogtangensfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is Arctan x 6= (tan x)−1 =

1 tan x

3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine. (d)

Arctan(−12) = . . .

(e)

Arctan(0, 12) = . . .

3 Meetkundige betekenis van de boogtangens.

C(O, 1)

Neem een waarde y ∈ R. Dan is tan(Arctan y) = y, zodat Arctan y een hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor tan α = y (zie figuur). Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot − π2 , π2 .

y arctan y α O

Omdat Arctan y wordt uitgedrukt in radialen, is Arctan y tevens de lengte van bijbehorende cirkelboog, voorzien van het teken (pagina 6). Samengevat:4 de boogtangens van y is de boog waarvoor de tangens gelijk is aan y

3 Modelvoorbeeld (goniometrische getallen van cyclometrische waarden). Bepaal zonder het gebruik van een grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren): Å Å ãã 17 sin Arctan . 25 17 Oplossing. Noemen we x = Arctan 25 , dan is tan x = 17 25 . Beschouwen we een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 17 en 25, dan zal de tangens van één van de hoeken gelijk zijn aan 17 25 (zie figuur). Op die manier zien we in dat (vul aan): Å Å ãã 17 sin Arctan = sin x 25 =

17 x 25

overstaande rechthoekszijde schuine zijde

= ... Controle met de grafische rekenmachine. We vergelijken de exacte waarde met een decimale voorstelling van de opgave. 4 In deze context bedoelen we met de boog: de lengte van de kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E , voorzien 0̂ van het teken (pagina 6).

II-82

5.2

Cyclometrische vergelijkingen

Aan de hand van enkele modelvoorbeelden bespreken we een werkwijze om cyclometrische vergelijkingen op te lossen. In tegenstelling tot het oplossen van rationale en irrationale vergelijkingen zullen we het gebruik van de equivalentie ⇔ niet langer volhouden, hetgeen betekent dat we o.a. bestaansvoorwaarden niet langer hoeven te vermelden. We hanteren dus de implicatie ⇒, maar dienen op het einde van de oefening wel de kandidaat oplossingen te verifiëren door substitutie in de oorspronkelijke cyclometrische vergelijking.5 3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraı̈sch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking π Arccos(1 − 2x) = . 6 Oplossing. Door van beide leden de cosinus te nemen, verkrijgen we: Arccos(1 − 2x) =

π 6

⇒ ⇒ ⇒

cos(Arccos(1 − 2x)) = cos 1 − 2x =

√

3 2

π 6

√ 2− 3 x= . 4

Substitutie in de oorspronkelijke vergelijking geeft (vul aan): √ 2− 3 ) = ... Arccos(1 − 2 · 4 We besluiten dat (vul aan): OplV = . . .

Uiteraard kon deze controle ook met behulp van de grafische rekenmachine uitgevoerd worden. Een efficiënte werkwijze is het opslaan van de kandidaat oplossing en beide leden van de cyclometrische vergelijking berekenen (of het verschil daarvan). Een alternatief - en handiger als er meerdere kandidiaat oplossingen zijn - is het verschil van beide leden als functie ingeven en de functiewaarde van de kandidaat oplossingen berekenen. STO>

VARS

Y-VARS

Function

1:Y1

5 Al is het zinvol om bij elke oefening na te gaan welke voorwaarden men moet vermelden opdat men elke implicatie ⇒ mag vervangen door een equivalentie ⇔.

II-83

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraı̈sch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking Å ã π 8 = . Arcsin x + Arcsin 17 6 Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal algebraı̈sch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking ã Å ã Å x x + Arctan + Arctan 16 = 0. Arctan x−1 x+1 Oplossing.

II-84

Oefeningen 5 Cyclometrische functies

Basis ?

Verdieping ? ??

5.1 Elementaire cyclometrische functies

1 2 5

2 3 5

2 4 5

2 5 7

5.2 Cyclometrische vergelijkingen

12 13

14 15

Uitbreiding ? ?? 9

Oefeningen bij §5.1 Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, argumenteer waarom.

Arcsin x voor x ∈ [−1, 1[ Arccos x (b) De boogsinusfunctie is een even functie. (a)

Arctan x =

(c)

De boogcosinus is een oneven functie.

(d)

Arcsin(sin x) = x voor alle x ∈ R

Oefening 2. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren). Ç √ å Ç √ åã Å 3 2 ? B (a) Arccos − B (d) sin Arccos 2 2 ãã Å Å 1 B? (e) Arccos (sin(Arctan(−1))) B? (b) tan Arcsin − 2 Å Å ãã Å Ä√ äã 2 3 B?? (f) cos 2 Arcsin B? (c) sin 2 Arctan 5 B?

Oefening 3. Vereenvoudig algebraı̈sch (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren): Ä √ ä Ä√ ä Arcsin − 23 + Arctan 33 √ . Arctan(− 3) − Arccos 0

B??

Oefening 4. Bereken telkens zonder het gebruik van een grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren). Å ãã Å Å ã Å ãã Å Å ã 28 4 3 56 + Arcsin (d) sin Arccos + Arctan − (a) cos Arctan 4 5 53 33 Å Å ã Å ãã Å Å ãã Å Å ãã 5 12 80 80 (b) sin Arctan + Arcsin (e) sin − Arccos − cos Arcsin − 12 13 89 89 Å Å ã Å ãã Å Å ã ã 8 8 1 (c) tan Arcsin − Arctan (f) tan Arcsin √ − Arctan(−3) 17 15 5 Oefening 5. Bepaal het domein van de volgende functies (algebraı̈sch of met behulp van elementaire functies). B

(a)

f (x) = Arcsin(5x)

(b) f (x) = Arctan(x3 + 1) Å ã 1 B? (c) f (x) = Arcsin x

B?? (d) f (x) = Arccos(x2 − 3) Å ã 6 V (e) f (x) = Arccos Arcsin x π Å ã 4 V (f) f (x) = Arcsin Arccos(2x) π

Oefening 6. Bereken telkens algebraı̈sch (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren). Å Å ãã Å Å ãã 32π 37π (a) Arcsin sin (c) Arcsin sin 5 5 Å Å ãã Å Å ãã 39π 36π (b) Arcsin sin (d) Arccos cos 5 5

Oefening 7. Beschouw de functie f (x) = Arccos(a · Arcsin x) waarbij a ∈ R+ 0. (a) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor het domein van f zo groot mogelijk is. ï ò 1 1 (b) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor dom f = − , . 2 2 II-85

Oefening 8. Bewijs dat Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π. Aanwijzing. Maak gebruik van nevenstaande figuur.

Oefening 9 (samenstelling van een goniometrische met een cyclometrische functie). Bewijs de volgende identiteiten. ◦

Arcsin x

sin

cos tan

p √

Arccos x p 1 − x2

1 − x2

x 1 − x2

x √

1 − x2 x

Arctan x √

x 1 + x2

√

1 1 + x2

D π 2

Oefening 10 (verband tussen boogsinus en boogcosinus). Bewijs de identiteit Arcsin y + Arccos y =

U??

Oefening 11 (boogcotangensfunctie en verband tussen boogtangens en boogcotangens). De beperkte cotangensfunctie f (x) = Cot x is de functie die men bekomt door de cotangensfunctie te beperken tot het interval [0, π]. De boogcotangensfunctie (of arccotangensfunctie) is dan de inverse functie van de beperkte cotangensfunctie. Je gaat eenvoudig na dat x ∈]0, π[, y ∈ R. cot x = y ⇔ x = Arccot y Ç å y (a) Bewijs de identiteit Arccot y = Arccos p . 1 + y2 (b) Plot de grafiek van de boogcotangensfunctie met behulp van je grafische rekenmachine. (c) Is Arccot y gelijk aan

1 ? Argumenteer je antwoord. Arctan y

(d) Bewijs de identiteit Arctan y + Arccot y =

π 2

Oefeningen bij §5.2 Oefening 12. Bepaal algebraı̈sch de oplossingsverzameling van de volgende cyclometrische vergelijkingen. Controleer je oplossingen nadien met je grafische rekenmachine. Å ã Å ã Å ã 3 π 1 1 ?? B (a) Arcsin x + Arcsin = B (d) Arctan x = Arccos + 2 Arctan 5 2 2 3 Ç √ å ã Å ã Å π x+1 x−1 3 13 ? ?? B (b) Arctan(1) + Arctan(x) + Arctan(2x) = − B (e) Arctan − Arctan = Arccos 2 x+2 x−2 13 Å ã x π Ä√ ä 2x π = V (f) Arccos 2 − x + Arcsin √ = B? (c) Arctan x + Arctan 2 4 2 7 V

Oefening 13 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985). Los volgende vergelijking op in R (algebraı̈sch oplossen, controle kan met de rekenmachine). x π Arcsin − Arcsin (2x) = 2 6

Oefening 14. Zij a ∈ R+ 0.

ã i 1 πh ∈ 0, . 1+a 4 Å ã Å ã Å ã 1 1 1 (b) Toon aan dat Arctan = Arctan + Arctan . a 1+a 1 + a + a2 Å

(a) Toon aan dat Arctan

Oefening 15 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven). Bereken x uit de vergelijking Å ã Å ã 1 1 4 Arctan − Arctan = Arctan x. 5 239 II-86

Inzicht in geschiedenis van de wiskunde6 Het spreekt voor zich dat alle cirkels gelijkvormig zijn. Achter deze eenvoudige waarneming schuilt een diepzinnig resultaat: voor alle cirkels is de verhouding van de omtrek tot de diameter dezelfde. Deze constante noemen we het getal π.7 Hieruit volgt dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr. De oppervlakte van een cirkel met straal r kan gevonden worden door de oppervlakte van een ingeschreven regelmatige n-hoek te schrijven in functie van de omtrek van die n-hoek (zie rechterfiguur) en daarna de limiet te nemen voor n → +∞:

r h5 b5

opp. cirkel = lim (opp. n-hoek) n→+∞

opp. vijfhoek = 5 × opp. 1 hn × (omtrek n-hoek) n→+∞ 2 b 5 · h5 =5× 1 2 = lim hn × lim (omtrek n-hoek) 1 n→+∞ 2 n→+∞ = h5 × (omtrek vijfhoek) 1 2 = r × 2πr = πr2 2 Om in de praktijk de omtrek of oppervlakte van een cirkel te berekenen moeten we een benadering voor de waarde van π kennen. Al in het Oude Egypte kende men de benadering π ≈ (16/9)2 = 3, 1604 . . ., correct tot op één decimaal. Doorheen de geschiedenis heeft men steeds betere technieken ontwikkeld om de waarde van π af te schatten. = lim

In de klassieke oudheid benaderde Archimedes van Syracuse (287 v.Chr. - 212 v.Chr.) het getal π met behulp van ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. Voor een cirkel met straal 1 geldt (vierde jaar, zie rechterfiguur): π omtrek ingeschr. n-hoek = 2n sin nπ omtrek omgeschr. n-hoek = 2n tan n zodat voor elk natuurlijk getal n > 3 geldt:8 π π n sin < π < n tan n n

b5 B5

Passen we deze ongelijkheden toe voor n = 6 dan vinden we alvast √ dat 3 < π < 6/ 3. Voor n = 12 berekenen we sin(π/12) en tan(π/12) met behulp van de formules van Carnot uit cos(π/6), waaruit p √ » √ 2− 3 6 2 − 3 < π < 12 p √ . 2+ 3

omtrek ingeschr. vijfhoek = 5 × b5

= 5 × 2 sin α π = 2 · 5 sin 5 omtrek omgeschr. vijfhoek = 5 × B5 π = 2 · 5 tan 5

Herhalen we deze werkwijze voor n = 24, n = 48 en ten slotte n = 96 dan verkrijgen we uiteindelijk … q » p … √ q » 2− 2+ 2+ 2+ 3 √ 48 2 − 2 + 2 + 2 + 3 < π < 96 … q » p √ 2+ 2+ 2+ 2+ 3

(1)

Berekenen we linker-en rechterlid, dan verkrijgen we 3, 1410 . . . < π < 3, 1425 . . .. Door dit handmatig af te schatten tot eenvoudige ongelijkheden bewees Archimedes zijn genialiteit: 3+

10 10 <π <3+ 71 70

Het gemiddelde van deze grenzen geeft een benadering π ≈ 3, 14185 . . . die juist is tot op drie cijfers na de komma. 6 Dit

inzicht verscheen als publicatie [7]. getal π is per definitie gelijk aan C/D waarbij C de omtrek is van een willekeurige cirkel en D de diameter van die cirkel. Deze definitie en bovenstaande afleiding voor de omtrek en oppervlakte van een cirkel zijn afkomstig van Archimedes, waarbij we de door hem gebruikte uitputtingsmethode vertaald hebben naar het hedendaagse begrip limiet, zie Deel Rijen. De notatie π werd ingevoerd door 1706 [15] als afkorting voor perimeter, een synoniem voor omtrek. William Jones sin x 8 Nemen we in de linkerongelijkheid de limiet voor n → +∞ dan verwijst dit naar het belangrijk resultaat lim = 1, zie Deel x→0 x Limieten, asymptoten en continuı̈teit. 7 Het

II-87

In de eeuwen daarna werd π berekend in India en China. Rond 265 gebruikte ook de Chinese wiskundige Liu Hui veelhoeken. Hij bedacht dat het verschil tussen de oppervlakte van een ingeschreven n-hoek en een ingeschreven n/2-hoek ongeveer gelijk is aan 1/4 en dat hielp hem om π te schatten op 3, 1416, een resultaat die hij controleerde met de methode van Archimedes voor de in- en omgeschreven regelmatige 3072-hoek. Tijdens de middeleeuwen bleken alle pogingen om deze benadering van π te verbeteren vruchteloos. Uiteindelijk slaagde François Viète 1579 er in om π te benaderen tot op 9 decimalen. Hij deed dit door de methode van Archimedes toe te passen voor de regelmatige 393 216-hoek. Vermeldenswaardig is ook zijn ontdekking uit 1593 dat 2 2 2 2 · q · ... π =2· √ · p √ · » » p √ p √ 2 2+ 2 2+ 2+ 2 2+ 2+ 2+ 2

wat bekend staat als het eerste oneindig product in de geschiedenis van de wiskunde (zie Deel Reeksen). In 1580 vond Adriaan van Roomen na jaren van rekenwerk een benadering tot op 20 decimalen. Hiervoor gebruikte hij een regelmatige 230 -hoek.9 Zijn interesse in π was mede te danken aan het werk van zijn vriend, degene die de methode van Archimedes tot een climax bracht door met behulp van de regelmatige 6 · 260 -hoek het getal π Na zijn dood heeft zijn vrouw de 35 decimalen te bepalen tot op 35 decimalen (1596, 1616).Ludolph van Ceulen in zijn grafsteen in de Leidse Pieterskerk laten beitelen, wat meteen de eerste wetenschappelijke publicatie op een grafsteen was. In de oudere Duitse literatuur en tot op heden in Tsjechië en Slowakije, wordt het getal π aangeduid als getal van Ludolph ter ere van zijn levenswerk. Elk van bovenstaande benaderingen zijn gebaseerd op ongelijkheden zoals (1) op de vorige pagina, een streling voor het oog maar een nachmerrie voor de pen: men moest bij elke stap handmatig een vierkantswortel berekenen. Voor van Ceulen betekende dat 60 vierkantswortels berekenen, elk van hen nauwkeurig tot op 35 plaatsen na de komma. Een alternatieve en meer efficiënte methode liet op zich wachten tot de verdere ontwikkeling van de wiskunde. In dat de boogtangens kan geschreven worden als een oneindige som, zie Deel Reeksen:10 1671 bewees James Gregory x3 x5 x7 x9 x11 x13 + − + − + − ... 3 5 7 9 11 13 Stellen we x = 1 dan vinden we de zogenaamde reeks van Leibniz:11 Arctan x = x −

voor x ∈ [−1, 1].

(2)

1 1 1 1 1 1 π =1− + − + − + − ... 4 3 5 7 9 11 13 Hoe merkwaardig dit resultaat ook moge zijn, omwille van de zogenaamde trage convergentie doet het geen dienst om het getal π te benaderen: het optellen van de eerste 300 termen in het rechterlid geeft een slechts een benadering van π nauwkeurig tot op één cijfer na de komma. Het was Leonhard Euler die in 1779 een algemene techniek bedacht om de reeksontwikkeling van de boogtangens (2) erg zinvol aan te wenden. Naarmate x dichter bij 0 ligt, zal de reeks sneller convergeren. Anderzijds is het vermijden van vierkantswortels wenselijk, zodat de berekeningen tot een minimum herleid worden. Dat kan als volgt: nemen we twee hoeken α, β ∈] − π/2, π/2[ en stellen we x = tan α, y = tan β dan geeft de somformule tan (α + β) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

⇒

tan(Arctan x + Arctan y) =

Indien |Arctan x + Arctan y| < π/2 dan volgt hieruit samenstellingsformule Å ã x+y Arctan x + Arctan y = Arctan 1 − xy

x+y . 1 − xy

(3)

Hierin koos Euler zorgvuldig de volgende waarden voor x en y: . x = 1/2 en y = 1/3 zodat Arctan 12 + Arctan 31 = π4 . x = 1/2 en y = −1/7 zodat Arctan 12 − Arctan 17 = Arctan 31 2 . x = 1/3 en y = −1/7 zodat Arctan 13 − Arctan 17 = Arctan 11 2 3 . x = 2/11 en y = −1/7 zodat Arctan 11 − Arctan 17 = Arctan 79

Aan elkaar rijgen van deze vier formules resulteert in de volgende formule van Euler Å ã Å ã 1 3 π = 20 Arctan + 8 Arctan 7 79 Gebruiken we slechts zes termen van de reeksontwikkeling van de boogtangens (2), dan verkrijgen we een benadering

9 Adriaan

van Roomen was een Vlaamse arts en wiskundige, die ook bekend is onder zijn Latijnse naam Adrianus Romanus. reeksontwikkeling voor Arctan x werd eerder in versvorm beschreven door de Indische wiskundige Nilakantha Somayaji 1501. 11 Genoemd naar Gottfried Wilhelm Leibniz die in 1674 deze reeks vond, onafhankelijk van de resultaten van Gregory en Nilakantha.

10 Deze

II-88

die correct is tot op 10 decimalen, beter dan Viète die daarvoor 17 genestte vierkantswortels moest berekenen: Å ã Å ã 3 1 + 8 Arctan π = 20 Arctan 7 79 ï ò ï ò 1 (1/7)3 (1/7)5 (1/7)7 (1/7)9 (1/7)11 3 (3/79)3 (3/79)5 (3/79)7 (3/79)9 (3/79)11 ≈ 20 − +8 + − + − − + − + − 7 3 5 7 9 11 79 3 5 7 9 11 = 3, 141 592 653 574 . . . Op deze manier kon Euler in slechts één uur tijd 20 decimalen van π berekenen en deed daarmee zijn bijnaam de incarnatie van efficiëntie alle eer aan. Eerder vond John Machin 1706 op een soortgelijke maar specifieke manier de bekende formule van Machin (hoewel deze trager convergeert dan de voorgenoemde reeks van Euler), waarmee hij π bepaalde tot op 100 decimalen Å ã Å ã 1 1 − 8 Arctan π = 16 Arctan 5 239 Later kwamen soortgelijke, meer efficiënte formules aan het licht. In 1948, vlak voor de komst van computeralgebra, was π bekend tot op 808 decimalen. In 1949 gebruikten John Wrench and Levi Smith een rekenmachine om zo 1120 decimalen te verkrijgen. Later in dat jaar berekende de eerste computer ENIAC, onder leiding van John von Neumann , na 70 uur werktijd 2037 decimalen van π. De records, waarvoor men nog steeds steunde op de reeksontwikkeling van de boogtangens (2), volgden elkaar snel op: 7480 decimalen in 1957, 10 000 decimalen in 1958, 100 000 decimalen in 1961, 1 000 000 decimalen in 1973. Rond 1980 vond men nieuwe formules om π te berekenen. Onderstaande figuur heeft de evolutie van deze records weer.

In 2011 berekenden Alexander Yee and Shigeru Kondo π tot op 10 biljoen (1013 ) decimalen. De berekening duurde 371 dagen en het werkgeheugen nam 44 terrabyte in beslag. De computer maakte gebruik van de formule van Chudnovsky, gevonden door broers David en Gregory Chudnovsky in 1987: √ +∞ (6k)! (13591409 + 545140134k) 1 10005 X (−1)k = . π 4270934400 (k!)3 (3k)! 6403203k k=0

en de decimale ontwikkeling werd geverifieerd door onder andere de formule van Plouffe, ontdekt door Simon Plouffe in 2006:12 Å ã +∞ X 1 4 2 1 1 π= − − − . 16k 8k + 1 8k + 4 8k + 5 8k + 6 k=0

Men kan zich de vraag stellen welk nut het heeft om zoveel decimalen van π te kennen. Voor dagelijks gebruik volstaat een handvol cijfers na de komma en volgens Jörg Arndt and Christoph Haenel zijn 39 decimalen voldoende om de meeste kosmologische berekeningen uit te voeren: 39 decimalen volstaan om het volume van het universum te berekenen met een nauwkeurigheid tot op atoomschaal. Het berekenen van decimalen vindt dan ook zijn motivatie in het testen van supercomputers, numerieke algoritmen en het voorzien van data om de willekeur in de decimalen van π te begrijpen. Zo is het tot op heden onbekend of π een zogenaamd normaal getal (in basis 10) is: komt in de decimale voorstelling van π elk cijfer voor met frequentie 1/10, elk tweetal cijfers voor met frequentie 1/100, elk drietal cijfers voor met frequentie 1/1000, . . . ?13 In feite weten we zelfs niet of in de decimale voorstelling van π het cijfer 2 oneindig veel keer voorkomt. 12 Het geniale van de formule van Plouffe is dat het toelaat om in het binaire talstelsel een cijfer te berekenen zonder de voorafgaande cijfers te kennen. Plouffe is ook bekend voor zijn website Plouffe’s Inverter , een database dat meer dan 215 miljoen constanten uit de wiskunde bevat. 13 Het begrip normaal getal werd ingevoerd door Émile Borel 1909 [2].

II-89

Bijlage A Formules van de goniometrie - Overzicht definities

def

sin α cos α

cot α =

def

1 cos α

cosec α =

tan α = sec α =

def

grondformule

sin2 α + cos2 α = 1

aanverwanten

1 + tan2 α =

som- en verschilformules

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

1 cos2 α

formules van Carnot

1 + cot2 α =

sin2 α = a

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

2 tan α 1 − tan2 α

1 − cos(2α) 2 … =±

halveringsformules

sin

t-formules

sin α =

2t 1 + t2

cos α =

1 − t2 1 + t2

tan α =

2t 1 − t2

1 sin2 α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

sin(2α) = 2 sin α cos α tan(2α) =

1 sin α

tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

tan(α ± β) = verdubbelingsformules

cos α sin α

cos2 α =

1 − cos a 2

cos

met t = tan

a 2

1 + cos(2α) 2 … =±

α 2

(formules van Simpson)

ã Å ã a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a+b a−b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2

product-naar-som formules

sin p cos q =

Å ã 1 sin(p + q) + sin(p − q) 2

cos p sin q =

cos p cos q =

Å ã 1 cos(p + q) + cos(p − q) 2

sin p sin q = −

som-naar-product formules

1 + cos a 2

ã Å ã a−b a+b sin a − sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a−b a+b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 Å

Å ã 1 sin(p + q) − sin(p − q) 2

(omgekeerde formules van Simpson)

II-90

Å ã 1 cos(p + q) − cos(p − q) 2

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (1) b 0 (de nulhoek) en ω (de gestrekte hoek)

(4) (a) α = π

3π 4 5π (c) γ = 36 6017π (d) θ = 10 800 (b) β = −

(5) (a) α = 17, 4680308 . . . (b) β = 1, 09977559 . . . (6)

α (in graden)

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

α (in radialen)

π 6

π 4

π 3

π 2

(7) (a) α = 57◦ 170 44, 80 . . .00 (b) β = 423◦ 590 19, 56 . . .00 (8) (a) α = 270◦ (b) β = −120◦ (c) γ = 15◦

(d) θ = 78◦ 450 (9) α = π/3, β = π/2, γ = π/4, δ = 2π/3, = π/6 (10) (a) 55, 1873 . . . cm (b) 3, 4862 . . . cm (11) (a) In één zeemijl gaan er 1, 85 . . . kilometer. (b) Het vliegtuig legt een afstand af van 9456, 10 . . . km. π + k 2π (k ∈ Z) 3 π 2π (b) β = + k (k ∈ Z) 9 3

(12) (a) α =

(13) Dan is het achterste tandwiel gedraaid over een hoek van 12, 33 . . . radialen. (15) (C) (17) cos α = ±

4 3 en tan α = ± 5 4

(18) tan β = −

4 3 en cos β = ± 3 5

(19) cosec α + cot α =

29 15

(21) (D)

II-91

Hoofdstuk 2 (2) (B) (3) (a) −

1 2

(b) 1 1 2 1 − 2 1 −√ 3 −1 √ 3 − 2 2 −√ 3 √ 3 − 2 √ 2 − 2

(4) (a) sin α (b) 0 (5) (a) cos 45◦ of ook sin 45◦ (b) − sin 85◦ of ook − cos 5◦

(d) cos 26◦ of ook sin 64◦ Å ã Å ã 3π 2π of ook cos (e) sin 7 14 Å ã π 3π (f) sin of ook cos 7 14 Å ã π 3π (g) cot of ook tan 5 10 Å ã Å ã 13π 2π of ook cot (h) tan 17 34 ◦ ◦ (i) − cos 86 of ook − sin 4 Å ã π 3π (j) − sec of ook − cosec 5 10

(6) (B) (7) 1 (8) 1

(9) (A) (12) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

√

√ 2+ 6 4√ 1+ 3 √ 1− 3 √ 2 − 2 √ √ 2− 6 √ 4√ 6− 2 4√ √ 3+1 3+ 3 √ of ook √ 3− 3 3−1 II-92

(14) sec x (15) (B) (16) sin x (17) 150 (18) 2 (21) tan θ =

x + 2, 8125

(22) α = 43◦ (23) q (25) sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ cos(α + β + γ) = cos α cos β cos γ − sin α sin β cos γ − sin α cos β sin γ − cos α sin β sin γ (27) (a) −

24 25

7 25 24 (c) − 7 336 (d) − 625 (b)

α 1 + t2 waarbij t = tan 2(1 + t + t2 ) 2 2 1−t α (b) waarbij t = tan 2 α 2 (c) t waarbij t = tan 2 α 1 + t2 (d) waarbij t = tan 2t(3 + 2t) 2 √ 6 (32) (a) ± 6 √ 30 (b) ± √6 5 (c) − 5 s √ 2− 2 √ (33) 2+ 2 (30) (a)

1 3 1 (35) 89 2 (37) (a) 2 sin(5a) cos(2a) (b) −2 sin(3a) sin(2a) π √ (c) 2 cos −a 4 Å ã Å ã 3a + π 3a − π (d) 4 sin(2a) cos cos 6 6 Å ã Å ã 3a + π 3a − π (e) 4 cos(5a) cos cos 6 6 a (f) 2 tan a cos2 2 1 (38) (a) 4 1 (b) 4 3 (c) 16 (34)

II-93

(40) 3 (41) − cot(4a) (44)

3 4

(46) 2 tan(2a) cos a of ook

(49)

√ 2+ 2 √ 2− 2

(50) a = 3 en b =

4 sin a 1 − tan2 a

11 4

Hoofdstuk 3 5π 5π + k 2π of x = − + k 2π (k ∈ Z) 6 6 π x = + k π (k ∈ Z) 4 geen oplossingen π 2π π 2π x= +k of x = − + k (k ∈ Z) 6 3 6 3 π π (k ∈ Z) x=− +k 6 2 8π − k 4π (k ∈ Z) x= 3 π x = + k π (k ∈ Z) 4 5π π x= +k (k ∈ Z) 12 2 2π 2π x = 0, 1489 . . . + k of x = 0, 8982 . . . + k (k ∈ Z) 3 3 x = −0, 8480 . . . + k 2π of x = 3, 9896 . . . + k 2π (k ∈ Z) π x = 0, 1224 . . . + k (k ∈ Z) 4 x = ±9, 5531 . . . − k 10π (k ∈ Z)

(1) (a) x = (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (2) (a) (b) (c) (d)

2π + k 2π (k ∈ Z) 3 7π x= + k 6π of x = −π + k 6π (k ∈ Z) 2 π 2π x= +k of x = π − k 2π (k ∈ Z) 5 5 π x = + k π (k ∈ Z) 3 π x=k (k ∈ Z \ {±2, ±4, ±6, . . .}) 4 π x = ± + k 2π of x = π + k 2π (k ∈ Z) 2 x = 1, 1483 . . . + k π of x = −0, 2210 . . . + k π (k ∈ Z) π x = ± + k 2π of x = 0, 4636 . . . + k π (k ∈ Z) 2 π π 2π x = ± + k 2π of x = + k 2π of x = + k 2π (k ∈ Z) 2 3 3 geen oplossingen π x = − + kπ (k ∈ Z) 12 x = ±0, 8397 . . . + k 2π of x = ±2, 3018 . . . + k 2π (k ∈ Z) π x = ± + k π (k ∈ Z) 6 π π x = ± + k π of x = ± + k π (k ∈ Z) 4 3 π 3π x = + k π of x = + k π (k ∈ Z) 4 4

(3) (a) x = ± (b) (c) (d) (e) (4) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

II-94

π 2 π x=± 2 π x=± 2 π x=± 4 x = kπ

(5) (a) x = − (b) (c)

+ k 2π + k 4π + k 2π

x = π + k 2π

(k ∈ Z)

(k ∈ Z) of

x = 1, 1071 . . . + k π

x = 0, 4636 . . . + k π

(k ∈ Z)

3π + k 2π (k ∈ Z) 4 π (e) of x = + k π of x = ±0, 6154 . . . + k π (k ∈ Z) 2 π (f) x = k π of x = k (k ∈ Z) 5 5π 7π π π + k 2π of x = + k 2π of x = + k 2π (g) x = ± + k 2π of x = 6 6 6 2 (h) x = −0, 2578 . . . + k 2π of x = 0, 9013 . . . + k 2π (k ∈ Z) π (i) x = ± + k 2π of x = k π (k ∈ Z) 2 (j) geen oplossingen π π π π π (6) x = ± + k of x = k of x = + k (k ∈ Z) 8 2 2 6 3 π 2π π 2π 3π 2π (7) x = ± + k of x = ± + k of x = +k (k ∈ Z) 6 3 12 3 12 3 (8) x = −15◦ + k 120◦ of x = 45◦ + k 120◦ (k ∈ Z) 1155◦ , 1185◦ , 1275◦ , 1305◦ , 1395◦ , 1425◦ (d)

+ k 2π

x=±

(k ∈ Z)

(10) x = −0, 6482 . . . + k 2π of x = 1, 1439 . . . + k 2π of x = 1, 9976 . . . + k 2π of x = 4, 6858 . . . + k 2π of x = −1, 7231 . . .+k 2π of x = 0, 0689 . . .+k 2π of x = 3, 0726 . . .+k 2π of x = 4, 8647 . . .+k 2π (k ∈ Z) π (11) x = ± + kπ (k ∈ Z) 6 π (12) x = − + k 2π of x = π + k 2π (k ∈ Z) 2 π 4π (13) (a) − + k 2π ≤ x ≤ + k 2π (k ∈ Z) 3 3 π π π (b) − + k < x < 0, 1608 . . . + k (k ∈ Z) 4 2 2 3π 13π (c) +kπ < x < + k π (k ∈ Z) 4 12 (d) k 4π < x < 3π + k 4π (k ∈ Z) (e) geen oplossingen 14π 2π 4π 2π (f) − +k <x<− +k (k ∈ Z) 45 3 45 3 π π 7π π (g) +k <x< +k (k ∈ Z) 6 2 12 2 5π π π 7π (h) + k π < x < + k π of +kπ < x < + k π (k ∈ Z) 12 2 2 12 7π π 5π π (14) − +k 2π < x < 0, 3747 . . .+k 2π of 2, 7668 . . .+k 2π < x < +k 2π of +k 2π < x < +k 2π (k ∈ Z) 6 6 6 6 3π 5π (15) + k 2π ≤ α ≤ + k 2π (k ∈ Z) 4 6

Hoofdstuk 4 (1) (a) (b) (c) (d)

halfperiodiek periodiek, periode 1 Deze grafiek stelt niet de grafiek van een functie voor. halfperiodiek

(2) (a) (b) (c) (d) (e)

vals vals waar waar vals II-95

(4) 63 snijpunten (5) f (x) = 1, 75 sin

Å Å ãã 5 3π x− − 2, 23 4 5

(6) (a) f (x) = 2 sin(3x) π (b) f (x) = 4 sin 2x + +2 2 ãã Å Å 10 − π (7) (a) f (x) = 3 sin 2 x − 4 Å Å ãã 5−π (b) f (x) = 3 sin 2 x − 2 Å Å ãã 5−π (c) f (x) = 3 sin 2 x − 2 √ π (d) f (x) = 2 sin x + 4 ã Å 2 π (e) f (x) = √ sin 2 x + 12 3 3 (f) f (x) = sin(10x) − 1 2 Å ã 1 2π (8) (a) f (x) = sin x −2 3 3 (b) f (x) = 2 sin(4x − π) + 1 (10) (b) ongeveer 12 uur, 4 minuten en 59 seconden (12) (a) 2, 3m (c) De tas dreigt niet verpletterd te worden. (d) 2, 237 . . . seconden (13) (a) f (t) = 11 sin (π(t − 1)) + 38 (b) 18 km/u

(17) De lengte van de weg is minimaal voor α = 36◦ 520 12, 03 . . .00 . (18) De jager bereikt de uitkijktoren het snelst als hij onder een hoek van α = 73◦ 230 54, 66 . . .00 het bos ingaat. (19) (b) 377, 06917 . . . dagen (c) 16 uur en 21, 9 . . . minuten (21) (a) periodiek met periode 1

√ (b) periodiek met periode π/ 5 (c) periodiek met periode 4 (d) periodiek met periode π/6 (e) niet periodiek (f) periodiek met periode 2π

(22) (a) periode 1, 4185 . . . seconden, frequentie 0, 7049 . . . Hz (b) periode 2, 0060 . . . seconden, frequentie 0, 4984 . . . Hz (23) f = 0, 3183 . . . m−1 , ν = 95, 4929 . . . Hz, v = 300 m/s, λ = 3, 14 . . . m Å ã 10π (24) F (x, t) = 0, 15 sin x − 1100πt 3 Å ã x 8 (25) (a) F (x, t) = A sin 2π − 10 t 3 (b) λ = 3 m (26) λ = 0, 001 m (27) (a) De periode is ongeveer 2, 00 seconden en de frequentie is ongeveer 0, 50Hz. (b) De uitwijking is maximaal op tijdstippen t = 0, 375 . . . + k · 2, 001 . . . seconden (k ∈ Z). De uitwijking is minimaal op tijdstippen t = 1, 375 . . . + k · 2, 001 . . . seconden (k ∈ Z). II-96

(28) (a) f = 2, 666 . . . Hz Å ã 16π (b) y(t) = A sin 0, 16 π − t 3 (29) T = 1, 0987 . . . seconden (30) (a) De som van beide golfbewegingen is opnieuw een harmonische golfbeweging als en slechts als het faseverschil niet gelijk is aan π.

Hoofdstuk 5 (1) (a) (b) (c) (d)

vals vals vals vals

(2) (a)

5π 6

1 (b) − √ 3 √ 3 (c) 2 √ 2 (d) 2 3π (e) 4 17 (f) 25 1 (3) 5 (4) (a) 0 (b) 1 (c) 0 83 3445 78 − 89 −7 ï ò 1 1 − , 5 5 R ]−∞, −1] ∪ [1, +∞[ î √ ó î√ ó −2, − 2 ∪ 2, 2 ò ï 1 1 − , 2 2 ñ √ ô 2 1 − , 4 2

(d) − (e) (f) (5) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (6) (a) (b) (c) (d) (7) (a) (b)

2π 5 π − 5 2π − 5 4π 5 ò ò 2 a ∈ 0, π π a= 6 II-97

ß ™ 4 5 ® √ ´ 3 + 17 (b) OplV = − 4 ® √ ´ −3 + 17 (c) OplV = 2

(12) (a) OplV =

(d) OplV = ∅ ™ ß 5 (e) OplV = − , 1 2 ® ´ √ −7 + 273 (f) OplV = 8   √   17 + 4 3 (13) OplV = −  241 

II-98

Referentielijst [1] J.P. Ballantine, Note on Hero’s formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 61, p. 337, 1954. [2] E. Borel, Les probabilitś dnombrables et leurs applications arithmétiques, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27: 247271, 1909. [3] N. Bowditch, On the Motion of a Pendulum suspended from two Points, Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences 3 (Part II), 416436, 1815. [4] A.C. Clarke, Extra-Terrestrial Relays Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?, Wireless World October 1945, p. 305-308, 1945. [5] J. Dean, Of the Apparent Motion of the Earth Viewed from the Moon, Arising from the Moons Librations, Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences 3 (Part II), 241245, 1815. [6] K. De Naeghel, Begrippen, redeneringen en werkwijzen in het vierde jaar: wat en hoe . . . maar ook waarom en waarvoor!, voordracht op Dag van de wiskunde K.U. Leuven campus Kortrijk, 16 november 2019. Handouts beschikbaar op https://koendenaeghel4.webs.com/presentatieBRWweb.pdf . [7] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, Wiskunde & Onderwijs 169, p. 58-64, 2017. [8] K. De Naeghel, De formule van Heron, Uitwiskeling 34/1, p. 2-15, 2018. [9] G.L. Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal für die reine und angewandte Mathematik 4, 157-169, 1829. [10] D.E. Dobbs, Proving Heron’s formula tangentially, The College Mathematics Journal, Vol. 15, p. 252-253, 1984. [11] J.B.J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris: Firmin Didot Père et Fils, 1822. [12] E. Grigorieva, Methods of Solving Complex Geometry Problems, Birkhäuser, Springer International Publishing Switzerland, 2013. [13] R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, Or of Spring Explaining the Power of Springing Bodies, John Martyn, London, 1678. [14] C. Huygens, Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum (opgedragen aan Lodewijk XIV), Paris: F. Muguet, 1673. [15] W. Jones Synopsis Palmariorum Matheseos, Wale, London, 1706. [16] J.A. Lissajous, Mémoire sur l’Étude Optique des Mouvements Vibratoires, Paris: Mallet-Bachelier, 1857. [17] R.B. Nelsen, Heron’s formula via proofs without words, The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 4, 2001. [18] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, p. 161-163, 1993. [19] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 3, No. 1, p. 33-38, 1972. [20] Regiomontanus (Johannes Müller von Königsberg), Triangulis omnimodis libri quinque (afgewerkt in 1464), Nuremberg, 1533. [21] V.E. Thoren, Prosthaphaeresis Revisited, Historia Mathematica 15, p. 32-39, 1988. [22] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

II-99