Deel XV Vectorvlak en euclidisch vlak by Koen De Naeghel

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel XV Vectorvlak en euclidisch vlak

30/04/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2013 Versie: 30 april 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Deel XV

Algebra - Vectorvlak en euclidisch vlak

verzameling V2 d : V2 × V2 → R

+ : V2 × V2 → V2 eig. 1-3

eig. A-D

groep V2 , +

metrische ruimte V2 , d

eig. 4 commutatieve groep V2 , + · : R × V2 → V2 eig. 5-8

reële vectorruimte R, V2 , + het vectorvlak V2

h·, ·i : V2 × V2 → R

|| · || : V2 → R

eig. 9-11

euclidische ruimte R, V2 , +, h·, ·i het euclidisch vlak E2

eig. 9’-11’

genormeerde ruimte R, V2 , +, || · ||

Inhoudsopgave

Deel Vectorvlak en euclidisch vlak

1 Het vectorvlak V2

1.1 1.2 1.3

Gebonden vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrije vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewerkingen met vectoren in V2 - De vectorruimte R, V2 , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optelling van vectoren - De groep V2 , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vermenigvuldiging van een reëel getal met vector - De vectorruimte R, V2 , + . . . . . . . . . . 1.4 Toepassingen - Deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 1 - Meetkundige eigenschappen van vlakke figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 2 - Relatieve snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Puntvector van een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Toepassingen - Deel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 3 - Zwaartepunt van een veelhoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 4 - Massamiddelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 5 - Nodige voorwaarde voor een lichaam in rust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Coördinaten van punten t.o.v. een assenstelsel - Coördinaten van puntvectoren t.o.v. een basis Assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coördinaten van een punt ten opzichte van een assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ontbinding van de puntvector van een punt in componenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coördinaten van de puntvector van een punt ten opzichte van een basis . . . . . . . . . . . . . Dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coördinatenafbeelding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2 naar coördinaten - De vectorruimte R, R2 , + . . 1.9 Rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtingsvector en richtingsgetallen van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergelijking van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector . . . . . . . . . . . . Vergelijking van een rechte bepaald door twee verschillende punten . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in fysische chemie - Vorm van een druppel vloeistof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Het euclidisch vlak E2 2.1 2.2 2.3 2.4

Hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scalair product van vectoren in V2 - Het euclidisch vlak E2 . . . Norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassingen - Deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 1 - De stelling van Pythagoras . . . . . . . . . . . . . Toepassing 2 - De cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid 2.6 De metrische ruimte V2 , d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Overzicht van de verschillende structuren op V2 . . . . . . . . . 2.8 Toepassingen - Deel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 3 - Loodrechte projectie . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in sportwetenschappen - Zeiltechniek . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . genormeerde ruimte R, V2 , +, || · || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

1 2 6 6 9 11 11 12 13 15 15 16 17 18 18 18 19 19 19 19 20 23 23 24 26 27 35

37 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . De . . . . . . . . . . . .

37 39 42 44 44 44 45 46 46 47 47 48 53

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Referentielijst

Immer mit den einfachsten Beispielen anfangen. David Hilbert

(1862 - 1943)

Hoofdstuk 1

Het vectorvlak V2 Het vectorvlak ontstaat door de verzameling van alle (vrije) vectoren in het vlak te voorzien van een inwendige optelling en een uitwendige (scalaire) vermenigvuldiging met een reëel getal. Wanneer we ook een inwendige vermenigvuldiging (scalair product) opleggen, spreken we van het euclidisch vlak, dat we behandelen in Hoofdstuk 2. Het vectorvlak is een voorbeeld van een zogenaamde vectorruimte. De abstracte theorie van vectorruimten komt uitvoerig aan bod in Deel Vectorruimten en lineaire afbeeldingen.

1.1

Gebonden vector

In dit hoofdstuk werken we in een (tweedimensionaal) vlak. We noemen dit vlak Π. De verzameling van alle punten van het vlak noteren we ook met Π. 3 Definitie (gebonden vector). Een gebonden vector is een koppel punten (A, B) van het vlak Π. De verzameling van alle gebonden vectoren van het vlak noteren we met Π × Π. In symbolen: Π × Π = {(A, B) | A ∈ Π en B ∈ Π} Een gebonden vector (A, B) waarbij A 6= B wordt voorgesteld door het lijnstuk [AB] te tekenen en te voorzien van een pijl van A naar B. Voorbeeld. Hieronder staan gebonden vectoren (A, B) en (P, Q) afgebeeld. Merk op dat de gebonden vector (A, B) niet gelijk is aan de gebonden vector (B, A).

P B A Q 3 Definitie (aangrijpingspunt, richting, zin en lengte van een gebonden vector). Voor een gebonden vector (A, B) met A 6= B noemen we: . het beginpunt A het aangrijpingspunt van de gebonden vector, . de richting van de drager (rechte AB) is de richting van de gebonden vector, . de zin van het puntenkoppel is de zin van de gebonden vector, . de lengte van het lijnstuk [AB] is de lengte van de gebonden vector.1 Een gebonden vector waarbij het beginpunt samenvalt met het eindpunt noemen we een nulvector. De lengte van een nulvector is nul. De drager, richting en zin van een nulvector zijn onbepaald. Bij het voorstellen van de nulvector tekenen we dan ook geen pijl. 3 Eigenschap. Een gebonden vector (A, B) is volledig bepaald door zijn aangrijpingspunt, richting, zin en lengte. 1 Telkens we spreken over afstand, lengte en hoeken veronderstellen we impliciet dat het vlak Π voorzien is van een orthogonaal assenstelsel (zie Deel Precalculus 1) waarbij de x-as en y-as dezelfde ijk hebben. Dergelijk assenstelsel wordt ook wel een orthonormaal assenstelsel genoemd, zie §1.7. Merk echter op dat men om twee lengtes met elkaar te vergelijken geen nood heeft aan (eender welk) assenstelsel, alsook voor de termen loodrecht en evenwijdig (denk aan passer-en liniaal constructies).

XV-1

3 Voorbeeld 1. Elk lichaam op aarde ondervindt een kracht ten gevolge van de zwaartekracht. Deze kracht is volledig bepaald door zijn aangrijpingspunt, richting, zin en lengte en kunnen we dus voorstellen met behulp van een gebonden vector: de zwaartekrachtvector.

3 Voorbeeld 2. Een vectorveld van het vlak is een afbeelding die aan elk punt A van het vlak een gebonden vector (A, B) associeert. In symbolen: f :Π→Π×Π

A 7→ (A, B).

In de natuurkunde worden vectorvelden bijvoorbeeld gebruikt voor het beschrijven van de stroming van een vloeistof door van elk punt in de stroming de snelheid in grootte en richting te geven. Een nulvector betekent dan dat op die plaats het water stil staat. Dat kan ook bij een magnetisch veld of zwaartekrachtveld door in elk punt de grootte en de richting waarin de kracht werkt te geven. Verbinden van zo’n vectoren geeft de zogenaamde veldlijnen. Bij voorkeur zal men de veldlijnen dan voorstellen in een dichtheid die evenredig is met de grootte van de vector.

1.2

voorbeeld van een vectorveld

Vrije vector

3 Op ontdekking. Op onderstaande figuur is de gebonden vector (A, B) gegeven. (a) Teken een gebonden vector (P, Q) met zelfde aangrijpingspunt, richting, zin en lengte. Hoeveel mogelijkheden zijn er? (b) Teken een gebonden vector (C, D) met zelfde richting, zin en lengte. Hoeveel mogelijkheden zijn er? (c) Kun je ervoor zorgen dat (A, B) en (C, D) een verschillende drager hebben? En dezelfde drager? (d) Teken de lijnstukken [AC] en [BD]. Welke meetkundige figuur kan er zich vormen? Is dat altijd zo?

B A

Oplossing.

XV-2

3 Definitie (equipolentie).2 Twee gebonden vectoren (A, B) en (C, D) zijn equipolent, notatie (A, B) â&#x2020;&#x2018; (C, D), als er zich minstens eĚ eĚ n van de volgende vier gevallen voordoet. Geval 1. De gebonden vectoren (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden via een parallellogram ABDC: B

A Guisto Bellavitis (1803 - 1880)

C Geval 2. De gebonden vectoren (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden via twee parallellogrammen, i.e. er bestaan punten X, Y waarvoor ABY X en CDY X parallellogrammen zijn:

D C B A

Y X Geval 3. De gebonden vectoren (A, B) en (C, D) zijn gelijk, dus A = C en B = D:

B=D A=C Geval 4. De gebonden vectoren (A, B) en (C, D) zijn beide nulvectoren, dus A = B en C = D:

C=D A=B 3 Voorbeeld 1. Welke gebonden vectoren zijn equipolent? Hanteer de correcte notatie.

D A F C B E 2 Bellavitis

1832.

XV-3

3 Definitie (vrije vector).3 Zij (A, B) een gebonden vectoren. De verzameling van alle gebonden vectoren die equipolent zijn met (A, B) noemt men de (vrije) vector (of glijdende vector) bepaald door (A, B). We noteren −−→ deze vrije vector met AB. In symbolen: −−→ def AB = {(X, Y ) ∈ Π × Π | (X, Y ) ↑ (A, B)} Voorbeeld. In onderstaande figuur zijn de gebonden vectoren (C, D) en (E, F ) equipolent met (A, B). De −−→ verzameling van al die gebonden vectoren is de vrije vector AB. Schematisch:

−−→ AB B A D C F ...

−−→ 3 Definitie (representant van een vrije vector). Zij AB een vrije vector. Elke gebonden vector in de −−→ −−→ verzameling AB noemt men een representant van vector AB. Voorbeeld (vervolg). Voor bovenstaande figuur is (C, D) ↑ (A, B) en (E, F ) ↑ (A, B), ook is (A, B) ↑ (A, B). De −−→ verzameling AB wordt dan −−→ AB = {(A, B), (C, D), (E, F ), . . .} −−→ De gebonden vectoren (A, B), (C, D) en (E, F ) zijn alle een representant van de vector AB. Dat duiden we aan −−→ door het symbool AB te noteren bij elk zo’n representant (voer uit). −−→ 3 Definitie (riching, zin en lengte van een vrije vector) Zij AB een vrije vector. Alle representanten dezelfde −−→ −−→ richting, zin en lengte, die we de richting, zin en lengte van de vector AB noemen. De lengte van vector AB −−→ −−→ noteren we met |AB|. Merk op dat niet alle representanten van AB dezelfde drager en aangrijpingspunt hebben. De drager en aangrijpingspunt van een vrije vector zijn dus onbepaald. −−→ 3 Eigenschap. Een vrije vector AB is volledig bepaald door zijn richting, zin en lengte. 3 Voorbeeld 2. Laten we vanop een gebouw een steen vallen, dan zal de snelheid van de steen steeds toenemen tot die op de grond terecht komt. Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, dan is de versnelling waarmee de steen valt constant en noteert men met de letter g = 9, 81 m/s2 In het bijzonder hangt de versnelling van de steen niet af van het gewicht van die steen. Met andere woorden, zonder luchtweerstand valt een lichte steen even snel naar beneden als een zware steen! Versnelling heeft niet alleen een waarde, ze heeft ook een richting en een zin. Blijven we op een beperkte plaats met beperkte hoogte, dan is het aangrijpingspunt onbelangrijk. We mogen dus spreken van een vrije vector: de − gravitationele versnellingsvector → g.

− → g

3 Vectoren

doken voor het eerst op bij August Ferdinand Möbius

XV-4

1827.

3 Definitie (vectorvlak). De verzameling van vrije vectoren in het vlak Π noemen we het vectorvlak en noteren we met V2 . In symbolen:

−→ def − V2 = {AB | (A, B) ∈ Π × Π}

− − Vrije vectoren zullen we vaak noteren als een overpijlde Latijnse letter: → a ,→ u,... 3 Bijzondere vectoren. 1. Alle gebonden nulvectoren zijn onderling equipolent. De vrije vector −→ AA = {(C, D) ∈ Π × Π | (A, A) ↑ (C, D) } = {(C, C) ∈ Π × Π} − noemen we de (vrije) nulvector. De nulvector noteren we met → o. −−→ −−→ −−→ 2. Voor een vector AB ∈ V2 noemen we BA de tegengestelde vector van AB.4 −−→ −−→ −−→ −−→ Voorbeeld. De tegengestelde vector van AB is BA, de tegengestelde vector van BA is AB.

−−→ AB −−→ BA

− − − − 3. Niet-nul vectoren → u,→ v ∈ V2 met dezelfde richting noemt men evenwijdige vectoren, notatie → u //→ v. → − Bij afspraak is elke vector evenwijdig met de nulvector o . 3 Voorbeeld 3. Onderstaande figuur is een parallellogram. Noteer in symbolen welke vectoren gelijk of evenwijdig zijn.

− → a

−c →

− → b

− → d

4 Dat

de benaming tegengestelde nog zo gek niet gekozen is, zal blijken uit §1.3

XV-5

1.3

Bewerkingen met vectoren in V2 - De vectorruimte R, V2 , +

Optelling van vectoren - De groep V2 , +

−−→ −−→ 3 Definitie (som van vectoren). Voor twee vectoren AB en CD definiëren we de som aan de hand van twee stappen. −−→ −−→ Stap 1. Bepaal het punt B 0 waarvoor CD = BB 0 . −−→ −−→ −−→ −−→ def −−→ Stap 2. De som van de vectoren AB en CD is gelijk aan de vector AB + CD = AB 0 . −−→ −−→ Voorbeeld. Bepaal telkens de som van de vectoren AB en CD.

−−→ AB (a)

−−→ CD

−−→ AB (b)

−−→ CD

−−→ AB (c)

−−→ CD

In het bijzonder geldt de volgende 3 Eigenschap 1 (kop-staart regel, regel van Chasles-Möbius).5 Voor drie punten A, B, B 0 is −−→ −−→0 −−→0 AB + BB = AB Schematisch:

−−→ AB

A →0 −− B B

−−→ AB + B−−→ B 0 −− =A → B0

Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877)

5 Genoemd naar Michel Chasles (1793-1880) en August Ferdinand Möbius (1790-1868) ter ere van hun bijdrage in verband met vectoren, alhoewel de hier vernoemde bewerkingen van vectoren afkomstig zijn uit het baanbrekend werk van Grassmann 1844.

XV-6

Hoewel kracht een aangrijpingspunt heeft en dus een gebonden vector is, kan men ze bij sommige bewerkingen toch opvatten als een vrije vector, namelijk bij het optellen van krachten die inwerken op hetzelfde lichaam.6 Daarom → − → − noteert men de krachtvector ook als een overpijlde letter F . De lengte | F | noteert men kortweg als F . De eenheid van F is Newton, in symbolen: [F ] = N Krachten samenstellen betekent de gegeven krachten vervangen door één kracht die dezelfde uitwerking heeft als de − → gegeven krachten. Deze kracht noem je de resulterende kracht Fr of kortweg resultante. 3 Modelvoorbeeld. Om een boom bij het vellen in de gewenste richting te laten vallen heeft men er twee touwen − → aan vast gemaakt (zie figuur). Aan het ene touw trekt een eerste ploeg met een kracht F1 , met F1 = 1500 N. − → Aan het tweede touw trekt een tweede ploeg met een kracht F2 , met F2 = 2500 N. De hoek tussen de twee touwen is 45◦ .

− → − → (a) Teken de krachten F1 en F2 in het vlak, met juiste onderlinge verhouding en tussenliggende hoek. − → (b) Teken de resultante Fr . Is Fr = F1 + F2 ? (c) Met welke kracht en in welke richting moet één ploeg trekken om de boom op dezelfde plaats te laten neerkomen? Oplossing.

3 Op ontdekking. De optelling van vectoren voldoet aan de volgende vier eigenschappen. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1. De som van AB + CD met EF is hetzelfde als de som van AB met CD + EF , in symbolen: Ä−−→ −−→ä −−→ −−→ Ä−−→ −−→ä AB + CD + EF = AB + CD + EF . Verklaring aan de hand van een schets (vul aan): −−→ CD −−→ AB

−−→ EF

Men zegt dat de optelling van vectoren associatief is. In symbolen: − − − − − − − − − ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : (→ u +→ v)+→ w =→ u + (→ v +→ w) 6 Bij het berekenen van het moment van een kracht speelt de positie van het aangrijpingspunt wel een rol en kan men de krachten niet opvatten als een vrije vector.

XV-7

−−→ −−→ 2. De som van een vector AB met de nulvector is dezelfde vector AB, in symbolen: −−→ −−→ −−→ AB + BB = AB. Verklaring aan de hand van een schets (vul aan):

−−→ BB

−−→ AB

Men zegt dat de nulvector het neutraal element is voor de optelling van vectoren. In symbolen: − − − − − − ∀→ u ∈ V2 : → u +→ o =→ u =→ o +→ u

−−→ −−→ 3. De som van een vector AB met z’n tegengestelde BA is de nulvector, in symbolen: −−→ −−→ −→ AB + BA = AA Verklaring aan de hand van een schets (vul aan):

−−→ AB

−−→ BA

−−→ −−→ −−→ Men zegt dat BA het invers element voor de optelling van AB is. Het invers element van AB is dus de −−→ −−→ −−→ tegengestelde vector van AB. Om deze reden noteren we BA ook door −AB. In symbolen: − − − − − − ∀→ u ∈ V2 : → u + (−→ u) =→ o = (−→ u)+→ u

−−→ −−→ −−→ −−→ 4. De som van AB met CD is hetzelfde als de som van CD met AB, in symbolen: −−→ −−→ −−→ −−→ AB + CD = CD + AB Verklaring aan de hand van een schets (vul aan):

−−→ CD

−−→ AB

Men zegt dat de optelling van vectoren commutatief is. In symbolen: − − − − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : → u +→ v =→ v +→ u We vatten deze resultaten samen in 3 Eigenschap 2. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg optelling in V2 noemen: + : V2 × V2 → V2 − − − − (→ u,→ v ) 7→ → u +→ v en die voldoet aan de volgende eigenschappen: (1) (2) (3)

de optelling in V2 is associatief:

er is een neutraal element voor de optelling in V2 :

elke vector heeft een invers element voor optelling:

− − − − − − − − − ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : (→ u +→ v)+→ w =→ u + (→ v +→ w) → − → − → − → − → − → − ∀u ∈ V : u + o = u = o + u 2

− − − − − − ∀→ u ∈ V2 : → u + (−→ u) =→ o = (−→ u)+→ u.

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (1)-(3) noemen we de verzameling V2 voorzien van de optelling een groep, notatie V2 , +. Bovendien geldt ook de eigenschap (4)

− − − − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : → u +→ v =→ v +→ u.

de optelling in V2 is commutatief:

Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep V2 , + commutatief (of abels).7 7 Genoemd

naar Niels Henrik Abel

(1802 - 1829).

XV-8

Onze schrijfwijze voor het tegengestelde van een vector leidt tot het begrip verschil van twee vectoren. −−→ −−→ 3 Definitie (verschil van vectoren). Het verschil van twee vectoren AB en CD is per definitie de som van de −−→ −−→ vector AB met het tegengestelde van CD, dus −−→ −−→ def −−→ −−→ AB − CD = AB + (−CD) −−→ −−→ = AB + DC −−→ −−→ Voorbeeld. Bepaal het verschil van de vectoren AB en CD.

−−→ AB

−−→ CD

Vermenigvuldiging van een reëel getal met vector - De vectorruimte R, V2 , + 3 Definitie (scalaire vermenigvuldiging van een getal met een vector).8 Voor een reëel getal r (een −−→ scalair) en een vector AB definiëren we de (scalaire) vermenigvuldiging aan de hand van drie stappen. −−→ Stap 1. IJk de drager van een representant van AB door aan A de waarde 0 toe te kennen en B aan B de waarde 1.

−−→ AB A

B 1

Stap 2. Het punt op de drager dat hoort bij de waarde r noemen we het punt P .

P r

−−→ AB A

B 1

0 −−→ −→ Stap 3. Per definitie is de (scalaire) vermenigvuldiging van r met AB gelijk aan de vector AP .

−−→ AB A

−→ def −−→ = AP B r·A

P r

8 Een scalair (ook wel scalar genoemd, meervoud scalairen) duidt in de ruimste zin op een gewoon getal. In tegenstelling tot een vector heeft een scalaire grootheid alleen een grootte, geen richting of zin.

XV-9

Voorbeeld. Teken de vectoren

√ −−→ 3 −−→ AB en − 2 AB. 2

−−→ AB

− → − → 3 Modelvoorbeeld. Twee krachten F1 en F2 maken een hoek van 60◦ . Verder is F1 = 3kN en F2 = 4kN. (a) Maak een schets waarop je de gegevens aanduidt. (b) Bereken de grootte van de resultante. (c) Men wil de grootte van de resulterende kracht verdubbelen. Maar men kan enkel invloed uitoefenen op de − → grootte van de eerste kracht F1 . Met welk getal moeten we F1 vermenigvuldigen? Oplossing.

Analoog als bij de optelling van vectoren, zien we de volgende eigenschappen in. 3 Eigenschap 3. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg scalaire vermenigvuldiging in V2 noemen: · : R × V2 → V2 − − (r, → u ) 7→ r · → u en die voldoet aan de volgende eigenschappen: (5)

de scalaire vermenigvuldiging in V2 is

− − − ∀r, s ∈ R, ∀→ u ∈ V2 : (r · s) · → u = r · (s · → u)

de scalaire vermenigvuldiging in V2 is distributief

− − − − ∀r, s ∈ R, ∀→ u ∈ V2 : (r + s) · → u =r·→ u +s·→ u

de scalaire vermenigvuldiging in V2 is distributief

− − − − − − ∀r ∈ R, ∀→ u,→ v ∈ V2 : r · (→ u +→ v)=r·→ u +r·→ v

het reëel getal 1 is een neutraal element voor de

− − − ∀→ u ∈ V2 : 1 · → u =→ u.

gemengd associatief:

(6) (7)

ten opzichte van de optelling in V2 : ten opzichte van de optelling in R:

(8)

scalaire vermenigvuldiging in V2 :

Omdat de commutatieve groep V2 , +, die voldoet aan eigenschappen (1)-(4), bovendien voldoet aan eigenschappen (5)-(8) noemen we de verzameling V2 voorzien van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging een (reële) vectorruimte (of lineaire ruimte), notatie R, V2 , +. In het vervolg spreken we kortweg van het vectorvlak V2 . XV-10

1.4

Toepassingen - Deel 1

Toepassing 1 - Middenparallel van een driehoek Dankzij vectoren kunnen we eigenschappen uit de vlakke meetkunde bewijzen. We illustreren dit met een gekende eigenschap uit het derde jaar. 3 Eigenschap (middenparallel van een driehoek). Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Π en M, N de middens van de zijden [AB] en [AC]. Te bewijzen. Het lijnstuk [M N ] is evenwijdig met en half zo lang als het lijnstuk [BC]. Bewijs. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

−−→ We schrijven de vector M N als een som van vectoren.

Wegens deze eigenschap noemt men het lijnstuk [M N ] een middenparallel van driehoek ABC. Met een analoge werkwijze kun je allerlei meetkundige eigenschappen van vlakke figuren bewijzen. 3 Modelvoorbeeld. Bewijs de volgende eigenschap met vectoren: De middens van de zijden van een willekeurige vierhoek vormen een parallellogram. Oplossing.

XV-11

Toepassing 2 - Relatieve snelheid Snelheid is bepaald door zijn grootte, richting en zin en kan dus opgevat worden als een vector: de snelheidsvector.9 Aangezien snelheid altijd gemeten wordt ten opzichte van een waarnemer of referentiestelsel, spreekt men eerder van relatieve snelheid. 3 Modelvoorbeeld. Een rivier met breedte 0, 2 km stroomt met een constante snelheid van 3 km/u van west naar oost. Een boot vertrekt aan de oever in het zuiden in het punt S en hoopt aan de andere kant aan te komen in het punt N rechttegenover S. De boot vaart met een snelheid van 5 km/u ten opzichte van het water. (a) In welke richting moet de boot varen om in het gewenste punt N aan te komen? (b) Hoe lang duurt de reis? Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

0, 2 km

9 De snelheden die we gebruiken zullen steeds constant zijn in functie van de tijd. Merk ook op dat in het Nederlands taalgebruik het woord snelheid zowel kan duiden op een getal als een vector, terwijl men in het Engels taalgebruik duidelijk onderscheid maakt met speed (grootte van de snelheid) en velocity (snelheidsvector). Ten slotte merken we op dat we steeds binnen de klassieke mechanica van Isaac Newton 1667 rekenen, terwijl men in werkelijkheid rekening zou moeten houden met de speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein 1905, die stelt dat we niet zomaar snelheidsvectoren mogen optellen.

XV-12

1.5

Puntvector van een punt

We kiezen voor eens en altijd een vast punt O van het vlak Π. Dat punt noemen we de oorsprong van het vlak. Om aan te duiden dat we de oorsprong gekozen hebben, spreken we voortaan over het vlak Πo .10 −−→ 3 Definitie (puntvector van een punt). Zij P een punt. De vector OP noemen we de puntvector van punt P . −−→ → − We noteren de puntvector OP kortweg met P . Voorbeeld. Teken de puntvectoren van A en B.

A O

B 3 Beeldpunt van een vector.

→ − Elk punt P ∈ Πo bepaalt dus een vector P ∈ V2 . De actie de puntvector van . . . geeft dus een afbeelding → −· : Π → V o 2 → − P 7→ P

en bovendien: met elk punt in Πo hoort juist één vector in V2

−−→ −−→ −−→ → − Omgekeerd, voor elke vector AB ∈ V2 is er precies één punt P waarvoor AB = OP = P . We noemen dit punt −−→ P het beeldpunt van de vector AB. −−→ Voorbeeld. Bepaal het beeldpunt P van de vector AB.

A O −−→ AB

3 Verband tussen het vlak Π0 en het vectorvlak V2 .

Met elk punt in Πo hoort juist één vector in V2 en omgekeerd met elke vector in V2 hoort juist één punt in Πo . −· een bijectie (of één-één verband) is.11 Om dit te benadrukken wordt de Daarom zeggen we dat de afbeelding → → − afbeelding · voorzien van de notatie 1-1: 1-1

Πo −→ V2 → − P 7−→ P We kunnen dus stellen dat de verzameling van alle punten van Πo even groot is als de verzameling V2 van alle vrije vectoren van het vlak Π. 10 Lees Π niet als pi-nul maar wel als pi-oo. In de literatuur noemt men Π ook wel het gepunte vlak. Verwar Π niet met notaties zoals o o o N0 , Z0 , etc. die verzamelingen voorstellen zonder het getal 0. 11 Een ander voorbeeld van een bijectie is de verdubbeling van een natuurlijk getal f : N → 2N : n 7→ 2n. Bijgevolg is de verzameling van de natuurlijke getallen N even groot als de verzameling van de tweevouden 2N = {0, 2, 4, 6, . . .}.

XV-13

3 Gevolg. De optelling van puntvectoren van punten vertaalt zich in de zogenaamde parallellogramregel. → − → − Voorbeeld. Teken de som van de vectoren A en B .

− → A

− → B

B 3 Eigenschap (verband tussen vectoren en puntvectoren van punten). Voor twee punten A, B geldt

−−→ → − → − AB = B − A

Bewijs. Uit de figuur

− → A

O −−→ AB

− → B

B leiden we af dat −→ −−→ −−→ OA + AB = OB → − −−→ → − ⇒ A + AB = B −−→ → − → − ⇒ AB = B − A Deze eigenschap is uitermate handig om berekeningen met vectoren te maken, of bewijzen te leveren. 3 Modelvoorbeeld. Bewijs de volgende vectoriële identiteit: −−→ −−→ −−→ −−→ AB + CD = AD + CB Oplossing. Een vectoriële identiteit is een uitdrukking van de vorm = 4 die waar is voor alle vectoren die in −−→ −−→ −−→ −−→ of 4 voorkomen. In ons geval is dat voor alle AB, CD, AD, CB ∈ V2 (dus eigenlijk voor alle A, B, C, D ∈ Πo ) hoewel men dat doorgaans niet specifieert. Een succesvolle techniek voor het bewijzen van vectoriële identiteiten is om alle vectoren te schrijven als een verschil van puntvectoren van punten: −−→ −−→ enerzijds is LL = AB + CD = ... anderzijds is

−−→ −−→ RL = AD + CB = ...

waaruit volgt dat LL = RL. Dit bewijst het gestelde. We kunnen de vectoriële identiteit ook verklaren aan de hand van een figuur (hoewel dat maar één specifiek geval voorstelt en dus geen bewijs is). XV-14

1.6

Toepassingen - Deel 2

Toepassing 3 - Zwaartepunt van een veelhoek Dankzij puntvectoren kunnen we bijzondere punten van veelhoeken terug vinden. We illustreren dit met het zwaartepunt van een veelhoek. 3 Eigenschap (midden van een lijnstuk). Gegeven. Twee punten A, B van het vlak Πo .

− → Te bewijzen. Het midden M van het lijnstuk [AB] heeft als puntvector M = . . . Bewijs. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

− → We schrijven de puntvector M als een som van vectoren.

3 Eigenschap (zwaartepunt van een driehoek). Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Πo . Te bewijzen. De drie zwaartelijnen van driehoek ABC elkaar snijden in één punt Z en heeft als puntvector → − Z = ... Bewijs. Een zwaartelijn van een driehoek een rechte door een hoekpunt van de driehoek en door het midden (zwaartepunt) van de overstaande zijde. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

XV-15

Toepassing 4 - Massamiddelpunt Uit (een veralgemening van) Toepassing 3 volgt dat de zwaartepuntvector van een n-hoek A1 A2 . . . An in het vlak Πo gelijk is aan → − − → − → − ä 1 Ä→ Z = A1 + A2 + . . . + An (∗) n Plaatsen we in elk hoekpunt Ai een (zelfde) massa m, dan stelt het punt Z het massamiddelpunt van de groep puntmassa’s voor. Dat punt heeft als eigenschap dat het beweegt alsof alle krachten daar aangrijpen en alle massa daar geconcentreerd is. Echter, plaatsen we in elk hoekpunt Ai een (niet noodzakelijk gelijke) massa mi , dan berekent men de plaatsvector van het massamiddelpunt M door het gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren te nemen: − → M=

Ä → − → − → − ä 1 m1 A 1 + m2 A 2 + . . . + mn A n m1 + m2 + . . . + mn

In het geval dat m1 = m2 = . . . = mn dan herleidt deze formule zich tot (∗) en valt het massamiddelpunt van het systeem (de groep puntmassa’s) samen met het zwaartepunt van de figuur. 3 Modelvoorbeeld. Aan een horizontale staaf worden massa’s opgehangen (zie figuur). Blokjes van gelijke grootte wegen even zwaar. De massa van de staaf zelf is verwaarloosbaar. Op welke plaats moet men de staaf ophangen opdat ze in evenwicht is? Los op met behulp van vectoren.

Oplossing.

XV-16

Toepassing 5 - Nodige voorwaarde voor een lichaam in rust Een lichaam is in rust ten opzichte van een waarnemer als de relatieve snelheid van het lichaam ten opzichte van de waarnemer gelijk is aan nul. Uiteraard hangt het al dan niet in rust zijn van een lichaam af van de krachten die erop inwerken, bijvoorbeeld de zwaartekracht, de ondersteundende kracht van een tafel, een trek-of duwkracht, etc. − → − → Door de krachtvectoren op te vatten als vrije vectoren F1 , F2 , . . . dan is de totale krachtvector die inwerkt op het lichaam gelijk aan:12 → − − → − → F = F1 + F2 + . . . Wegens de tweede wet van Newton wordt het verband tussen de totale krachtvector en de versnellingsvector van het lichaam gegeven door:13 → − − F = m→ a waarbij m staat voor de massa van het voorwerp. Bij een lichaam in rust is de versnelling gelijk aan nul. We besluiten: − → − → → − lichaam in rust ⇒ F1 + F2 + . . . = O 3 Modelvoorbeeld. Een bol van 80 kg bevindt zich in rust in het punt C (zie figuur). Vanuit punt C zijn onder een rechte hoek twee kabels naar het plafond gespannen en komen aan in de punten A en B. De kabel van C naar A is 20 cm lang en komt aan in A onder een hoek van 30◦ . Bepaal de spankracht in de beide kabels.

B 30◦ 20

Oplossing. Omdat de bol in rust is, is de som der krachtenvectoren die inwerken op de bol gelijk aan de nulvector. We duiden alle krachten aan die inwerken op de bol en eisen dat de som van deze krachten de nulvector is.

12 Dit

proces noemt men ook wel het vrijmaken van de krachten. Newton , Principia Mathematica, 1687.

13 Isaac

XV-17

1.7

Coördinaten van punten t.o.v. een assenstelsel Coördinaten van puntvectoren t.o.v. een basis

We veralgemenen de begrippen assenstelsel en coördinaten van een punt uit Deel Precalculus 1.

Assenstelsel Een (affien) assenstelsel Oxy van Πo wordt geconstrueerd aan de hand van drie stappen. Stap 1. Kies twee punten E1 , E2 zodat OE1 en OE2 twee verschillende rechten zijn, de x-as en de y-as. Stap 2. IJk de x-as als volgt: geef het punt O abscis 0 en het punt E1 abscis 1. Stap 3. IJk de y-as als volgt: geef het punt O abscis 0 en het punt E2 abscis 1. We kiezen voor eens en altijd een vast affien assenstelsel Oxy van het vlak Πo . Indien de x-as en y-as orthogonaal zijn spreken we over een orthogonaal (of cartesisch) assenstelsel.14 Is bovendien |OE1 | = |OE2 | dan spreken we over een orthonormaal assenstelsel. Voorbeeld.

P (a, b)

b E2

P (a, b)

E1 a

orthogonaal assenstelsel

affien assenstelsel

orthonormaal assenstelsel

Coördinaten van een punt ten opzichte van een assenstelsel Bovenstaande figuur toont hoe elk punt P in het vlak uniek bepaald is door een koppel reële getallen (a, b). We noemen a en b de (affiene) coördinaten van P ten opzichte van het assenstelsel Oxy, waarbij a staat voor de abscis en b voor de ordinaat van P . We noteren P (a, b)

co(P ) = (a, b)

maar niet “P = (a, b)”

Basis − − Noem → e1 , → e2 de puntvectoren van de punten E1 , E2 . Dus −−→ − → → − e = OE = E en 1

−−→ − → → − e2 = OE2 = E2

− − − − Omdat de vectoren → e1 en → e2 een verschillende richting hebben noemen we het koppel (→ e1 , → e2 ) een (affiene, geordende) basis van V2 . In het geval van een orthogonaal resp. orthonormaal assenstelsel spreken we van een orthogonale resp. − − − − orthonormale basis. Soms noteert men ook → e1 door → ex en → e2 door → ey . Voorbeeld.

P (a, b)

− → e2

− → e2 − → e1

− → affiene basis (→ e1 , − e2 ) 14 Genoemd

naar René Descartes

P (a, b)

− → e2 − → e1

− → orthogonale basis (→ e1 , − e2 ) 1637.

XV-18

− → e1

− → orthonormale basis (→ e1 , − e2 )

Ontbinding van de puntvector van een punt in componenten → − Onderstaande figuur toont hoe elke puntvector P van een punt P (a, b) op een unieke manier kan geschreven worden als de som van een puntvector van een punt P1 op de x-as en een puntvector van een punt P2 op de y-as: → − − → − → P = P1 + P2 → − We noemen dit de ontbinding van P in componenten langs de x-as en de y-as.

P (a, b)

− → P2 − → P

1 − → e2

− → P1 − → e1

− → − → − − Het is duidelijk dat P1 = a→ e1 en P2 = b→ e2 , zodat → − − − P = a→ e1 + b→ e2 − − − − Men noemt a→ e1 + b→ e2 een lineaire combinatie van de basisvectoren → e1 en → e2 .

Coördinaten van de puntvector van een punt ten opzichte van een basis → − Bovenstaande bespreking illustreert hoe de puntvector P van een punt P uniek bepaald is door een koppel reële getallen → − − − (a, b). We noemen a en b de coördinaten van P ten opzichte van de geordende basis B = (→ e1 , → e2 ). We noteren → − P (a, b)

→ − coB ( P ) = (a, b)

→ − maar niet P = (a, b).

Dimensie → − − − Blijkbaar volstaan twee (maar niet minder) vectoren → e1 , → e2 om de puntvector van een punt P ∈ V2 te schrijven als − − een lineaire combinatie van die twee vectoren → e1 , → e2 en dit voor elke keuze van het punt P . Daarom zegt men dat de vectorruimte R, V2 , + dimensie twee heeft, notatie dim V2 = 2.

Coördinatenafbeelding → − Elke vector kan opgevat worden als de puntvector P van een punt en bepaalt een koppel reële getallen (a, b) ∈ R2 . De actie coördinaten nemen’ geeft dus een afbeelding, die we de coördinatenafbeelding ten opzichte van de basis B noemen coB (·) : V2 → R2 −−→ −−→ def → − AB 7→ coB (AB) = coB ( P )

→ − −−→ met P = AB

en bovendien: met elke vector in V2

hoort juist één koppel reële getallen in R2 .

→ − → − Omgekeerd, voor elk koppel reële getallen (a, b) ∈ R2 is er precies één puntvector P van een punt waarvoor coB ( P ) = (a, b). Bijgevolg is de afbeelding coB een bijectie. Om dit te benadrukken wordt de afbeelding coB (·) voorzien van de notatie 1-1: 1-1

V2 −→ R2 → − → − P 7−→ coB ( P ) Hierna zullen we zien dat de afbeelding coB (·) meer is dan een bijectie: het draagt bovendien de optelling en scalaire vermenigvuldiging van de vectorruimte R, V2 , + over op een natuurlijke optelling en vermenigvuldiging van de verzameling R2 . Op deze manier wordt R2 zelf een reële vectorruimte. XV-19

1.8

Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2 naar coördinaten De vectorruimte R, R2 , +

In deze paragraaf wordt besproken hoe optelling en scalaire vermenigvuldiging van puntvectoren kan vertaald worden naar coördinaten. 3 Op ontdekking. Gegeven zijn de vectoren A(2, 1) en B(1, 2), aangeduid op onderstaande figuur. → − → − → − → − (a) Teken A + B in het assenstelsel links. Wat is coB ( A + B )? → − → − (b) Teken 1/2 A in het assenstelsel rechts. Wat is coB (1/2 A )?

− → B

− → ey

− → A − → ex

3 Eigenschap 1. Als

− → ex

→ − → − → − coB ( A ) = (x1 , y1 ) dan is coB ( A + B ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) → − coB ( B ) = (x2 , y2 )

Bewijs.

3 Eigenschap 2.

− → A

→ − → − Als r ∈ R en coB ( A ) = (x1 , y1 ) dan is coB (r A ) = (rx1 , ry1 )

Bewijs.

XV-20

3 Opmerking. In de verzameling R2 dringt zich nu een optelling en scalaire vermenigvuldiging op, als volgt: we construeren een afbeelding die we in het vervolg optelling in R2 noemen: + : R2 × R2 → R2

def

((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→ (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) en we construeren een afbeelding die we in het vervolg scalaire vermenigvuldiging in R2 noemen: · : R × R2 → R2

def

(r, (x1 , y1 )) 7→ r · (x1 , y1 ) = (rx1 , ry1 ) 3 Stelling. De optelling en scalaire vermenigvuldiging in R2 voldoen aan de volgende eigenschappen: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

de optelling in R2 is associatief: ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 : ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) + (x3 , y3 ) = (x1 , y1 ) + ((x2 , y2 ) + (x3 , y3 ))

er is een neutraal element voor de optelling in R2 :

∀(x1 , y1 ) ∈ R2 : (x1 , y1 ) + (0, 0) = (x1 , y1 ) = (0, 0) + (x1 , y1 )

elk element in R2 heeft een invers element voor de optelling in R2 :

∀(x1 , y1 ) ∈ R2 : (x1 , y1 ) + (−x1 , −y1 ) = (0, 0) = (−x1 , −y1 ) + (x1 , y1 )

de optelling in R2 is commutatief:

∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 : (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) + (x1 , y1 )

de scalaire vermenigvuldiging in R2 is gemengd associatief:

∀r, s ∈ R, ∀(x1 , y1 ) ∈ R2 : (r · s) · (x1 , y1 ) = r · (s · (x1 , y1 ))

de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R2 : ∀r, s ∈ R, ∀(x1 , y1 ) ∈ R2 : (r + s) · (x1 , y1 ) = r · (x1 , y1 ) + s · (x1 , y1 )

de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R: ∀r ∈ R, ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 : r · ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) = r · (x1 , y1 ) + r · (x2 , y2 )

het reëel getal 1 is een neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging in R2 : ∀(x1 , y1 ) ∈ R2 : 1 · (x1 , y1 ) = (x1 , y1 ).

We bewijzen enkel (1). De andere bewijzen worden als oefening voor de lezer gelaten. Bewijs van (1). Neem (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 . Enerzijds is ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) terwijl anderzijds (x1 , y1 ) + ((x2 , y2 ) + (x3 , y3 )) = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ). = (x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) Hieruit volgt dat ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) + (x3 , y3 ) = (x1 , y1 ) + ((x2 , y2 ) + (x3 , y3 )), hetgeen het bewijs besluit. Omdat voldaan is aan de eigenschappen (1)-(8) noemen we de verzameling R2 voorzien van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging een (reële) vectorruimte, notatie R, R2 , +. Wegens Eigenschappen 1 en 2 voldoet de bijectie coB (·) : V2 → R2 aan de volgende eigenschappen: − − − − − − (1) ∀→ u,→ v ∈ V2 : coB (→ u +→ v ) = coB (→ u ) + coB (→ v) → − → − → − (2) ∀r ∈ R, ∀ u ∈ V : co (r u ) = r co ( u ) 2

Daarom noemen we de afbeelding coB een lineaire afbeelding.15 Een lineaire afbeelding die bovendien bijectief is noemen we een lineair isomorfisme. In ons geval is de afbeelding coB dus een lineair isomorfisme tussen de vectorruimten R, V2 , + en R, R2 , + Men zegt dat de vectorruimten R, V2 , + en R, R2 , + isomorf zijn, notatie V2 ∼ = R2 . 15 Lineaire

afbeeldingen zullen in Deel Vectorruimten en lineaire afbeeldingen in een algemene context worden bestudeerd.

XV-21

−−→ → − → − Tot slot van deze paragraaf bespreken we hoe de belangrijke formule AB = B − A kan vertaald worden naar coördinaten. 3 Op ontdekking. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(1, 2), aangeduid op onderstaand assenstelsel. −−→ −−→ (a) Duid de vector AB aan en lees coB (AB) af. → − → − −−→ (b) Wat is het verband tussen coB ( A ), coB ( B ) en coB (AB)?

− → B

− → ey

− → A − → ex

3 Eigenschap 3. Als of kortweg

→ − −−→ coB ( A ) = (x1 , y1 ) dan coB (AB) = (x2 − x1 , y2 − y1 ) → − coB ( B ) = (x2 , y2 ) −−→ → − → − coB (AB) = coB ( B ) − coB ( A )

Bewijs.

3 Opmerking. De lineaire afbeelding coB (·) : V2 → R2 in combinatie met de Eigenschappen 1, 2 en 3 laat toe om een lineaire combinatie van vectoren in V2 te vertalen naar een element van R2 . Zo kan de formule voor de plaatsvector van het midden M van een lijnstuk [AB] − → 1 Ä→ − → −ä M= A+B 2 vertaald worden door de afbeelding coB (·) te nemen van beide leden (vul telkens de verantwoording aan): Å ã − → − → − 1 → coB (M ) = coB (A + B) 2 → − → − 1 want . . . = coB ( A + B ) 2 Ä → − → − ä 1 = coB ( A ) + coB ( B ) want . . . 2 Zo herkennen we de formule uit het derde jaar (zie ook Parate kennis bij aanvang van de derde graad): Als

→ − x + x y + y − → coB ( A ) = (x1 , y1 ) 1 2 1 2 dan coB (M ) = , → − 2 2 coB ( B ) = (x2 , y2 ) XV-22

1.9

Rechten

In het derde jaar heb je de cartesische vergelijking van een rechte besproken. Het gebruik van vectoren dringt echter een nieuwe soort van vergelijkingen op, de zogenaamde parametervergelijkingen. Daarbij kan een willekeurig punt van een rechte uitgedrukt worden in functie van twee gegeven punten van de rechte en één reëel getal r, de zogenaamde parameter. In sommige situaties bieden parametervergelijkingen voordelen. Tot slot laten we zien hoe een cartesische vergelijking uit een stel parametervergelijkingen kan worden afgeleid.

Richtingsvector en richtingsgetallen van een rechte Gegeven een rechte a. We hanteren de volgende terminologie (zie figuur): 3 De richtingsrechte van a is de rechte door de oorsprong die evenwijdig is met a. We noteren die rechte met ao .16 → − → − 3 Een richtingsvector van a is een puntvector U 6= O met U een punt van de richtingsrechte ao .

→ − 3 Een stel richtingsgetallen van a is het koppel coördinaten (k, l) van een richtingsvector U van a.

− → Een richtingsvector van a noteren we meestal met Ra .

− → U

− → e2 O

− → e1

− → 3 Voorbeeld. Gegeven is de rechte a met richtingsvector Ra (2, 1). Bovendien bevat de rechte a het punt A(1, 3). (a) Teken in een affien assenstelsel de rechte a. (b) Ligt het punt P (4, 9/2) op de rechte a? −→ − → (c) Welk verband bestaat er tussen de vector AP en de richtingsvector Ra ? Oplossing.

16 Lees

ao niet als a-nul maar wel als a-oo.

XV-23

Vergelijking van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector − → Een rechte a is volledig bepaald door een punt A(x1 , y1 ) ∈ a en een richtingsvector Ra (k, l). In wat volgt formuleren we een antwoord op de volgende vraag: Aan welke voorwaarde(n) moet een punt P (x, y) voldoen om tot de rechte a te behoren?

A − → Ra

− → e2 O

− → e1

Uit bovenstaande schets leiden we af: P ∈a

⇔

−→ − → ∃r ∈ R : AP = r · Ra

⇔

→ − → − − → ∃r ∈ R : P = A + r · Ra

⇔

→ − → − − → ∃r ∈ R : co( P ) = co( A ) + r · co(Ra )

⇔

∃r ∈ R : (x, y) = (x1 , y1 ) + r · (k, l) ®

⇔

∃r ∈ R :

(kl 6= 0)

x = x1 + r · k y = y1 + r · l

dit noemen we een vectoriële vergelijking van de rechte a

dit noemen we een stel parametervergelijkingen van de rechte a

kl r = lx − lx1

⇔

∃r ∈ R :

⇔

lx − ky = lx1 − ky1

kl r = ky − ky1 dit noemen we een cartesische vergelijking van de rechte a

− → 3 Voorbeeld 1. Een rechte a bevat het punt A(1, 2) en heeft als richtingsvector Ra (−1, 2). (a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte a. (b) Geef vier verschillende punten van de rechte A. (c) Bepaal een cartesische vergelijking van de rechte a. (d) Bepaal een stel parametervergelijkingen en een cartesische vergelijking van de rechte ao . (e) Bepaal een cartesische vergelijking van de rechte b evenwijdig met de rechte a en die het punt B(7, 1) bevat. Oplossing.

XV-24

3 Voorbeeld 2. Gegeven is de rechte c : y = −2x + 1. (a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte c. (b) Geef twee verschillende richtingsvectoren van de rechte c. (c) Bepaal alle punten C van c zodat de afstand van C tot de rechte a : 3x − 2y = −7 gelijk is aan 2. Oplossing.

De interactie tussen de verschillende vergelijkingen van een rechte a en bijbehorende richtingsrechte ao kan als volgt worden voorgesteld.

elimineer de parameter > stel ( parametervergelijkingen a Cartesische vergelijking a vectoriële vergelijking a x = x1 + r · k → − − → − → (r ∈ R) ...x + ...y = ... P = A + r · Ra y = y1 + r · l < < zet om in vectoren los stelsel op neem co >

vul punt in ∧

∨ laat punt weg

vul punt in ∧

∨ laat punt weg

vul punt in ∧

∨ stel RL= 0

elimineer de parameter > stel parametervergelijkingen ao ( vectoriële vergelijking ao Cartesische vergelijking ao x =r·k → − − → (r ∈ R) P = r · Ra ...x+ ...y = 0 y =r·l < < zet om in vectoren los stelsel op neem co >

XV-25

Vergelijking van een rechte bepaald door twee verschillende punten Een rechte a is volledig bepaald door twee verschillende punten A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ a. In wat volgt formuleren we een antwoord op de volgende vraag: Aan welke voorwaarde(n) moet een punt P (x, y) voldoen om tot de rechte a te behoren?

B A ao

− → e2 O

− → e1

Uit ovenstaande schets leiden we af dat een richtingsvector van a gegeven wordt door − → Ra = . . . Een vectoriële vergelijking van a wordt dan gegeven door → − P = ... en een stel parametervergelijkingen van a wordt dan gegeven door   x = ...  

y = ...

Leid hieruit een cartesische vergelijking van de rechte a af:

XV-26

Oefeningen 1 Het vectorvlak V2

Basis ? 1

2 3

5 6

1.3 Bewerkingen met vectoren in V2 De vectorruimte R, V2 , + 1.4 Toepassingen - Deel 1

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18

19 20

1.5 Puntvector van een punt 1.6 Toepassingen - Deel 2

24 25

26 27

28 29

30 31

32 33

1.7 Coördinaten van punten t.o.v. een assenstelsel Coördinaten van puntvectoren t.o.v. een basis 1.8 Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2 naar coördinaten - De vectorruimte R, R2 , +

36 37

39 40

41 42

43 44

45 46

1.9 Rechten

48 49

50 51 52

54 55

−−→ Oefening 1. Teken drie verschillende representanten van de vector P Q.

−−→ PQ

Uitbreiding ? ??

1.1 Gebonden vector 1.2 Vrije vector

Oefeningen bij §1.1 en §1.2 B

Verdieping ? ??

Oefening 2. Gegeven zijn de onderstaande punten A, B en X. −−→ −−→ (a) Teken het punt Y zodat XY = AB. −−→ −−→ (b) Teken het punt Z zodat ZX = AB.

B X

XV-27

Oefening 3. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. (a) Een vrije vector is een verzameling van gebonden vectoren. (b) Het vectorvlak V2 is de verzameling van alle vrije vectoren. (c) Elke vrije vector is een gebonden vector, maar niet omgekeerd. (d) De vrije nulvector is de verzameling van alle gebonden nulvectoren.

B??

Oefening 4. Gegeven is een parallellogram ABP Q. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, verbeter tot een ware uitspraak. (a)

(A, B) ↑ (P, Q)

(b)

(A, A) ↑ (P, P ) −−→ −−→ AB = QP

−→ (B, P ) ∈ QA −→ −→ (e) QA ∈ QA −−→ −−→ (f) |AB| = |P Q|

(d)

Oefening 5. Gegeven zijn de onderstaande punten A, B en X. −−→ −−→ (a) Construeer het punt Y zodat XY = AB. −−→ −−→ (b) Construeer het punt Z zodat ZX = AB.

B X

Oefening 6. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. − (a) → o ∈ V2

− − − − (b) ∀→ a ∈ V2 : |→ a|=0⇔→ a =→ o

→ − → − → − − − − (c) ∀→ a , b ∈ V2 : → a // b ⇔ |→ a|=|b|

Oefening 7. Toon de volgende eigenschappen aan. −−→ −−→ −−→ −−→ (a) ∀AB ∈ V2 , ∀(P, Q) ∈ Π × Π : (P, Q) ∈ AB ⇔ P Q = AB −−→ −−→ −−→ −−→ (b) ∀AB, CD ∈ V2 : AB = CD ⇔ (A, B) ↑ (C, D)

Oefening 8 (equivalentierelatie). Toon aan dat equipolentie voldoet aan de volgende eigenschappen (a)

reflexief:

(b)

symmetrisch:

(c)

transitief:

∀(A, B) ∈ Π × Π : (A, B) ↑ (A, B)

∀(A, B), (C, D) ∈ Π × Π : (A, B) ↑ (C, D) ⇒ (C, D) ↑ (A, B)

∀(A, B), (C, D), (E, F ) ∈ Π × Π : (A, B) ↑ (C, D) en (C, D) ↑ (E, F ) ⇒ (A, B) ↑ (E, F )

Omdat equipolentie voldoet aan deze drie eigenschappen, noemen we equipolentie een equivalentierelatie.

XV-28

Oefeningen bij §1.3 en §1.4 B

− → Oefening 9. Op onderstaande figuur werken vier krachten in op een lichaam. Teken de resultante Fr .

− → F1

− → F2

− → F4

− → F3 B

Oefening 10. Gegeven zijn de volgende punten. Teken telkens een representant van de gegeven vectoren. −−→ −−→ AD + BC −−→ −→ (b) BD − 2 AC −−→ −−→ 2 −−→ (c) BC − DC + AD 3

(a)

C A

Oefening 11. Een schip vaart de haven binnen en wordt getrokken door twee sleepboten. De grootte van de kracht die ze uitoefenen is 41 000N en 25 000N. Bepaal de grootte van de resultante als je weet dat de hoek tussen de sleepboten 15◦ is.

Oefening 12. Gegeven is een vierhoek ABCD en M, N de middens van de zijden [AB] en [CD]. Toon aan dat −−→ 1 Ä−−→ −−→ä MN = AD + BC 2

Oefening 13. Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor. Bereken telkens zonder een figuur te maken. −−→ −−→ −→ (a) M S + ZM + P Z −−→ −→ −−→ (b) RE + GR + EG

−−→ −−→ −−→ AB − CB − M C −−→ −−→ −→ −−→ (d) RM + EP − ES − SM

(c)

Oefening 14. Drie krachten werken in op een lichaam. De eerste kracht werkt horizontaal naar rechts met grootte 2kN. De tweede kracht werkt verticaal naar beneden met grootte 5kN. Een derde kracht maakt een hoek van 120◦ met de eerste kracht (tegenwijzerzin) en heeft een grootte van 4kN. Bereken de grootte van de resulterende kracht.

Oefening 15. Twee sleepboten leiden een schip in de haven van Zeebrugge. De hoek α tussen de twee kabels is onbekend. De ene sleepboot trekt met een kracht van F1 = 13 000 N, de andere sleepboot trekt met een kracht van F2 = 27 000 N. (a) Maak een schets waarin je de gegevens aanduidt. − → − → (b) Bepaal de hoek α als je weet dat de grootte van de resulterende kracht F1 + F2 gelijk is aan 33 000 N. XV-29

Oefening 16. Een trein rijdt met een snelheid van 80 km/u naar het noorden, terwijl in de trein een vlieg met een snelheid van 5km/u naar het noordoosten vliegt ten opzichte van de trein. Bepaal de snelheid van de vlieg ten opzichte van de treinsporen.

B??

Oefening 17. Gegeven is een trapezium ABCD met AD//BC en M, N de middens van de lijnstukken [AB] en [CD]. Bewijs de volgende eigenschap met vectoren: Het lijnstuk [M N ] is half zo lang als de som van de lengtes van de lijnstukken [AD] en [BC]

B??

Oefening 18. De kapitein van een nachtboot weet dat de relatieve snelheid van zijn boot ten opzichte van het water een vector is met grootte 6, 5 km/u en richting noordoosten wijst. Uit de lichten op de oever kan hij afleiden dat hij eigenlijk naar het noorden vaart met een snelheid van 2 km/u. Bereken de snelheid van de wind en de windrichting.

Oefening 19. Een fietsster rijdt naar het noorden met een snelheid van 10 km/u en ze ervaart dat de wind blijkbaar uit het westen komt. Als ze haar snelheid optrekt tot 20 km/u dan ervaart ze dat de wind uit het noordwesten komt. Bepaal de snelheid en de werkelijke richting van de wind.

Oefening 20. Op een warme zomerdag worden de windrichting en windsnelheid aan de kust door twee processen beı̈nvloed. 1. Een grootschalig proces, veroorzaakt door luchtdrukverschillen boven Europa en de Atlantische Oceaan. Voor de windrichting op het noordelijk halfrond geldt volgens de wet van Buys Ballot, dat de wind waait van een gebied met hoge luchtdruk naar een gebied met lage luchtdruk, met een afwijking naar rechts.17

Als je op het noordelijk halfrond met je rug naar de wind staat, bevindt een hogedrukgebied zich rechts van je en een lagedrukgebied links.

2. Een kleinschalig proces, veroorzaakt doordat de lucht boven het (warme) land meer verwarmd wordt dan boven de (koele) zee. De lucht boven land is daardoor lichter dan de lucht boven zee, zodat in de lagere luchtlagen een wind vanuit zee ontstaat, loodrecht op de kust. De kustlijn maakt een hoek van 30◦ met het noorden. Tengevolge van een hogedrukgebied boven Noorwegen en een lagedrukgebied boven Frankrijk waait er een NO-wind met een snelheid van 3 m/s. Van zee komt een wind met een snelheid van 4 m/s, loodrecht op de kust. (a) Bepaal de resulterende windsnelheid. (b) Bepaal de resulterende windrichting (hoek ten opzichte van het noorden). V?

Oefening 21. Bewijs de volgende eigenschap met vectoren: In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor.

Oefening 22 (windschering). Windschering is de verzamelterm voor zeer lokale, plotselinge veranderingen in de wind. Er zijn drie typen windschering te onderscheiden: 3 verticale windschering is een verandering van de horizontale wind tussen twee punten in hetzelfde verticale vlak; 3 horizontale windschering is een verandering van de horizontale wind tussen twee punten in hetzelfde horizontale vlak; 3 schering van de verticale wind is een verandering van de verticale wind tussen twee punten in hetzelfde horizontale vlak. Wiskundig gezien is de windschering het verschil van de snelheidsvector van de wind in het ene punt en de snelheidsvector van de wind in het ander punt. Op 1000 meter hoogte boven het aardoppervlak waait een wind van west naar oost, met een snelheid van 16 m/s. Op 3000 meter hoogte boven het aardoppervlak waait tegelijkertijd een wind van zuidwest naar noordoost, met een snelheid van 24 m/s. (a) Teken de vectoren die deze winden voorstellen op één vlak geprojecteerd. (b) Teken de windschering. Met welke soort windschering hebben we hier te maken? (c) Bereken de grootte van de windschering.

− − Oefening 23 (lineair afhankelijke vectoren). Gegeven zijn twee vectoren → u en → v van het vlak. Toon de volgende eigenschap aan → − − u //→ v

⇔

− − − ∃a, b ∈ R : a → u + b→ v =→ o en a, b zijn niet beide gelijk aan nul

Vectoren in het vlak die evenwijdig zijn worden ook wel lineair afhankelijke vectoren genoemd. 17 Voor

het eerst beschreven door William Ferrel

, wetenschappelijk onderbouwd door Christophorus Henricus Didericus Buys Ballot

1857.

XV-30

Oefeningen bij §1.5 en §1.6 B

Oefening 24. Gegeven zijn de volgende punten. Teken telkens de gevraagde puntvectoren. → − → − A+B → − → − (b) A − B

→ − → − B −2 A − − 1→ 2→ (d) − A − B 2 3

(a)

(c)

Oefening 25. Bewijs de volgende vectoriële identiteiten. −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ (a) AB = AC + CD + DE + EF + F B −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ (b) AB + CD + EF = AF + CB + ED −−→ −→ −−→ −−→ (c) 3 BA + 2 CA = 2 CB − 5 AB

−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (d) CA − 5 BA + 2 BC = BC + 4 AB −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ (e) 3 BA + 2 DA + 6 CD = 5 CA + CB + 4 BD Ä−−→ −→ä −−→ −−→ −→ (f) AB + 5 BC − 3 CA = 4 BC + AC

Oefening 26 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 eerste ronde). De getekende figuur bestaat uit 2 ruiten die tesamen een parallellogram vormen.

→ verkort door → − − Als we vector − ox x voorstellen dan is → x gelijk aan → − → − − → − − (A) 2ab (B) b − → a (C) 2→ a − b B?

→ − − (D) → a −2b

→ − − (E) 2 b − → a

Oefening 27. Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor. Bereken telkens zonder een figuur te maken. −→ −− → −−→ −− → −−→ −→ Ä −−→ −→ä (a) 3ZU + ZY + U Y + 2Y Z (c) 4 AB + AC − 7 CB − 5 CA Ä−−→ −→ä −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Ä−−→ −→ä (b) 2 M G + 3 CX + M C − 3 M X (d) 2 XY − CA + 3 CX − AX − CA

XV-31

B??

Oefening 28. Een last van 10kN hangt aan een kabel AB, dat ondersteund wordt door een staaf BC (zie figuur). De kabel maakt een rechte hoek met de muur. Bereken de krachten die optreden in de kabel en de staaf.

B??

Oefening 29. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. (a) De puntvector van een punt is een gebonden vector. (b) Elke vrije vector is de puntvector van een punt. (c) Het verschil van twee puntvectoren van punten is opnieuw de puntvector van een punt.

Oefening 30. Zij ABC een driehoek en Z een punt. Bewijs: Z is het zwaartepunt van ∆ABC

⇔

−→ −−→ −→ → − ZA + ZB + ZC = O

figuur bij Oefening 28

Maak een schets waarin je de betekenis van deze eigenschap aanduidt. V

Oefening 31. Een last van 5000 kg hangt aan een ketting AB, dat ondersteund wordt door een staaf BC (zie figuur). Bereken de krachten die optreden in de ketting en de staaf.

Oefening 32. Bewijs dat er voor elk punt P ∈ Πo precies één punt P 0 ∈ Πo bestaat zodat − → −−→ → → − − 3 P + 2P0 + PP0 = O

Oefening 33. Gegeven is een driehoek ABC en een willekeurig punt P . (a) Toon aan dat er punten D, E en F bestaan waarvoor geldt: −−→ −→ −−→ P D = P A + BC

−−→ −−→ −→ P E = P B + CA

−−→ −−→ −−→ P F = P C + AB

(b) Toon aan dat de punten A, B en C de middens zijn van de zijden van driehoek DEF . −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (c) Toon aan dat P A + P B + P C = P D + P E + P F .

figuur bij Oefening 31

Oefening 34 (zwaartepunt van een vierhoek). Een zwaartelijn van een vierhoek is een rechte door een hoekpunt en door het zwaartepunt van de driehoek gevormd door de drie overige hoekpunten. Gegeven is een vierhoek ABCD in het vlak Πo . Toon aan met behulp van vectoren dat de vier zwaartelijnen van de → − vierhoek ABCD elkaar snijden in één punt Z en bepaal Z .

Oefening 35 (eigenschap van het massamiddelpunt). Drie massa’s m1 = 2 kg, m2 = 3 kg en m3 = 1 kg bevinden zich in punten A, B en C. (a) Bepaal de plaatsvector van het massamiddelpunt M . −−→ −−→ −−→ (b) Bepaal de vectoren M A, M B en M C. (c) Welk verband is er tussen deze drie vectoren? (d) Vul aan en bewijs de volgende eigenschap van het massamiddelpunt M van een groep puntmassa’s m1 , . . . , mn in de punten A1 , . . . , An : −−−→ −−−→ −−−→ m1 M A1 + m2 M A2 + . . . + mn M An = . . .

Oefeningen bij §1.7 en §1.8 B

Oefening 36. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. (a) Elk affien assenstelsel is een orthogonaal assenstelsel. (b) Elk orthonormaal assenstelsel is een orthogonaal assenstelsel. (c) Elk affien assenstelsel is een affiene basis.

XV-32

→ − → − − − − − − Oefening 37. Gegeven is een (affiene) basis B = (→ e1 , → e2 ) van V2 en de puntvectoren A = 3→ e 1 + 2→ e2 en B = −2→ e2 . → − → − (a) Maak een schets waarop je de vectoren A en B aanduidt. → − → − (b) Bepaal coB ( A ) en coB ( B ). → − → − − − (c) Schrijf 2 A − B als een lineaire combinatie van de basisvectoren → e1 en → e2 . → − → − (d) Bepaal coB (2 A − B ). Oefening 38. Gegeven zijn de punten A(1, 7), B(−3, 4) en C(−3, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel. (a) Bepaal met behulp van vectoren de coördinaten van het midden M van het lijnstuk [AB]. (b) Bepaal met behulp van vectoren de coördinaten van het zwaartepunt Z van driehoek ABC.

B??

Oefening 39. Gegeven zijn drie punten A(−1, 3), B(2, 5) en C(7, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel. Bepaal de coördinaten van het punt D zodat ABCD een parallellogram is. Los op met behulp van vectoren. −−→ −−→ Aanwijzing. Een vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als AB = DC.

B??

Oefening 40. Een knikker die op een hellend vlak ligt, rolt naar beneden door de werking van de zwaartekracht (zie figuur). − → − → − → (a) Ontbind de zwaartekrachtvector Fz in een component F1 evenwijdig met het hellend vlak en een component F2 loodrecht op het hellend vlak. − → − → − → (b) Druk de grootte van de krachten F1 en F2 uit in functie van de grootte van de zwaartekracht Fz en de hoek α. (c) Stel dat α = 37◦ . Bereken de lengte van de component van de versnellingvector van de knikker evenwijdig met het hellend vlak.18

− → Fz

Oefening 41. Gegeven zijn A(−3, 4) en B(5, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel Oxy. (a) Bepaal de koppels coördinaten van de punten die het lijnstuk [AB] in vijf gelijke delen verdelen. (b) Bepaal het coördinatenkoppel van het punt C als je weet dat B het midden is van het lijnstuk [AC].

Oefening 42. De middens van de zijden van ∆ABC hebben als coördinaten ten opzichte van een affien assenstelsel (−3, 2), (1, 7) en (2, 3). Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC.

Oefening 43 (toelatingsexamen koninklijke militaire school 1988). − − Ten opzichte van een orthonormale basis (→ ex , → ey ) geeft men de punten A(4, 7) en B(5, 0). Verder beschouwt men de punten D, E, F en P die zodanig zijn dat D het midden is van [OB], E ∈ ]OA[ met |OE| = 2 |EA|, F ∈ ]DA[ met −→ − −−→ − −−→ 1 −−→ v en OB = → w. |F A| = 2 |DF | en P E = OB. Stel OA = → 3 − − (a) Bepaal in functie van → v en → w −−→ −−→ −→ (i) DA, OF en P A, −→ (ii) OZ, met Z het zwaartepunt van de driehoek EF B. (b) Welke soort vierhoek is OF AP ? Leg uit.

Oefening 44. Op de x-as van een orthonormaal assenstelsel bewegen twee punten A en B zodat |AB| gelijk is aan een constante p. Op de y-as bewegen twee punten C en D zodat |CD| gelijk is aan 2p. Bewijs dat de afstand van de middens van de lijnstukken [AC] en [BD] constant is.

Oefening 45 (coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek). Gegeven is een driehoek ABC in het vlak Πo , met coördinaten A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) en C(x3 , y3 ) ten opzichte van een affien assenstelsel. Noem Z het zwaartepunt van driehoek ABC. Vul aan en bewijs de formule → − coB ( Z ) = . . . XV-33

→ − − Oefening 46 (voortbrengende vectoren). Zij → a en b twee niet evenwijdige vectoren, beide verschillend van de nulvector. −c een lineaire combinatie is van → − − (a) Toon aan dat elke vector → u en → v . Anders gezegd, toon aan dat voor elke → −c ∈ V geldt: 2 → − −c = λ→ − ∃λ, µ ∈ R : → a +µb → − − Omwille van deze eigenschap zegt men dat → a , b voortbrengende vectoren van V2 zijn.

→ − → − − −c (3, 4) als een lineaire combinatie van → − (b) Stel dat co(→ a ) = (1, 1) en co( b ) = (2, 0). Schrijf → a en b . U??

Oefening 47 (barycentrische coördinaten). 19 Zij ABC een driehoek. Als er voor een punt P getallen a1 , a2 , a3 bestaan waarvoor → − → − → − → − (a1 + a2 + a3 ) P = a1 A + a2 B + a3 C dan noemen we (a1 : a2 : a3 ) barycentrische coördinaten van P ten opzichte van de driehoek ABC. (a) Bepaal barycentrische coördinaten van de hoekpunten A, B en C ten opzichte van de driehoek ABC. (b) Bepaal barycentrische coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. (c) Bepaal barycentrische coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (d) Toon aan dat barycentrische coördinaten homogeen zijn: voor elke c ∈ R0 is ⇒

(a1 : a2 : a3 ) barycentrische coördinaten van P

(ca1 : ca2 : ca3 ) barycentrische coördinaten van P

Barycentrische coördinaten zijn op een gemeenschappelijke factor na eenduidig. Het zijn dus de verhoudingen van de cordinaten die het punt bepalen. Het is daarom wel gebruikelijk barycentrische coördinaten te scheiden door deeltekens (dubbelepunten). (e) Stel dat men drie massa’s m1 , m2 , m3 in de punten A, B en C plaatst. Bepaal de barycentrische coördinaten van het massamiddelpunt M .

Oefeningen bij §1.9 B

− → Oefening 48. Gegeven is de rechte d door het punt L(−1, 3) en met richtingsvector Ra (−1, 5). (a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van d. (b) Bepaal een cartesische vergelijking van de rechte d.

Oefening 49. Gegeven is de rechte a door de punten P (−1, 2) en Q(1, 3). (a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte a. (b) Leid uit (a) een cartesische vergelijking van de rechte a af.

Oefening 50. Gegeven is de rechte a : 7x − 10y = 12. (a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte a. (b) Geef, gebruik makend van je stel parametervergelijkingen, drie verschillende punten van a. (c) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte c evenwijdig met a en door het punt C(−2, 15). (d) Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte b die evenwijdig is met a en die door het punt B(3, −10) gaat.

Oefening 51. Bepaal telkens een stel parametervergelijkingen van de rechte door het punt P (3, 4) en die evenwijdig is met de gegeven rechte: (a) de x-as, (b) de y-as, (c) de rechte door de punten A(1, −2) en B(4, 5), (d) de rechte met als vergelijking 6x + 3y = 1. − → nemen aan dat de component F2 geen invloed op de beweging van de knikker heeft. In de natuurkunde zegt men: de rolweerstand wordt verwaarloosd. 19 Barycentrische coördinaten zijn gentroduceerd door August Ferdinand Möbius in 1827. De naam komt van de term barycentrum, een ander woord voor massamiddelpunt of zwaartepunt. 18 We

XV-34

−−→ −−→ Oefening 52. Ga telkens na of de vectoren AB en CD evenwijdig zijn. → − → − → − → − (a) A (2, 1), B (3, −7), C (5, 2), D(7, −6) → − → − → − → − (b) A (−4, 18), B (17, 25), C (0, −15), D(−3, 16)

→ − → − → − → − (c) A (1 − x, 2), B (2, 3 − 2x), C (−2 + 3x, 1 + x), D(5, −x)

B??

waarbij x ∈ R

→ − Oefening 53. Een schip vertrekt om 12 u. uit het punt A(151, −59) (in km) met een snelheidsvector P (−16, 12) (in → − km/u). Een ander schip vertrekt een uur later vanuit het punt B(−69, 8) met snelheidsvector Q (12, 5). (a) Bepaal de vectoriële vergelijking van de banen van de twee schepen. (b) In welke punten bevinden beide schepen zich om 15 u.? (c) Bereken het snijpunt van de banen van de twee schepen. (d) Bepaal wanneer de beide schepen in het snijpunt aankomen. (e) Bestaat er gevaar voor een aanvaring?

Oefening 54. Gegeven zijn vectoriële vergelijkingen van rechten a, b, c en d a: b:

→ − → − → − P = A +r B Ä → − → − → −ä → − P = A +4B +r B

c: d:

→ − → − → − P = (1 − r) A + 2r B Ä → − → − → −ä → − P = (1 − r) 4 A − 6 B + r A

Bepaal welke rechten onderling evenwijdig zijn. V

Oefening 55. Gegeven zijn twee rechten met vergelijking b : x + y − 2 = 0 en c : 2x + y − 2 = 0 en het punt A(5, 1). Bepaal een punt B op de rechte b en een punt C op de rechte c zodat de driehoek ∆ABC het punt Z(4, −3) als zwaartepunt heeft.

Oefening 56. Een veranderlijke rechte a door het punt A(2, 3) snijdt de x-as in een punt B en de y-as in een punt C. Bepaal een mogelijke vergelijking van deze rechte als het hoekpunt D van de parallellogram OBDC op de rechte b met vergelijking x + 2y = 15 ligt.

Oefening 57 (alternatieve vorm voor een vectoriële vergelijking van een rechte). Gegeven zijn twee punten A en B. Toon aan dat een vectoriële vergelijking van de rechte AB kan geschreven worden in de vorm → − → − → − P = λ A + (1 − λ) B

XV-35

met λ ∈ R

Inzicht in fysische chemie Dit voorbeeld komt uit de fysische chemie en toont hoe de vorm van een druppel vloeistof met behulp van vectoren kan worden bepaald.20 De vorm van een druppel vloeistof (l) op een vaste ondergrond (s) ligt tussen twee uitersten: een mooi rond bolletje of een vlak laagje. Deze vorm wordt bepaald door drie krachten die aangrijpen in een punt A op de rand van de druppel (zie Figuren 1 en 2). Deze krachten liggen langs de grensvlakken: in het verticale vlak door A en het centrum van de druppel (in dit vlak zijn de Figuren 1 en 2 getekend). De drie krachten zijn evenredig aan de drie grensvlakspanningen. −→ 1. De grensvlakspanning γsg tussen de vaste stof s en de lucht g wekt een kracht Fsg op die de druppelrand vanuit A horizontaal naar buiten trekt. −→ 2. De grensvlakspanning γsl tussen de vaste stof s en de vloeistof l zorgt voor een kracht Fsl die de druppelrand vanuit A horizontaal naar binnen trekt. −→ 3. de oppervlaktespanning γlg tussen de vloeistof l en de lucht g veroorzaakt een kracht Flg die aangrijpt in A en gericht is langs de raaklijn in A aan het druppeloppervlak. Naast deze drie krachten werkt er in het punt A ook nog een vierde kracht in: de zwaartekracht. Voor elke druppel in rust is de som van deze vier krachten gelijk aan de nulvector: −→ −→ −→ − → → − Fsg + Fsl + Flg + Fz = O .

(∗)

Hieronder tonen we aan dat de vorm van de druppel afhangt van de onderlinge verhouding van de grensvlakspanningen, die op hun beurt karakteristiek zijn voor de stoffen l, s en g.

Bolle druppel In Figuur 1 geldt γsg < γsl . Om evenwicht te bereiken in het horizontale vlak moet γlg een kracht hebben met een horizontale component die naar buiten gericht is. Immers, projecteren we de vier krachten op de horizontale as, dan impliceert (∗) Fsg − Fsl + Flg cos θ + 0 = 0

⇒

γsg − γsl +γlg cos θ = 0 | {z } <0

⇒

γlg cos θ > 0

Figuur 1: een bolle druppel

θ is een scherpe hoek

waarin θ de hoek is tussen de vaste stof s en het druppeloppervlak. In dit geval heeft de druppel een flink gebolde vorm. Dit is bijvoorbeeld het geval voor een vettig oppervlak met γsg = 60. Voor een waterdruppel op dit oppervlak geldt γlg = 73 en γsl = 100, zodat γsl − γsg 100 − 60 cos θ = ⇒ θ ≈ 57◦ . = γlg 73

Vlakke druppel In Figuur 2 geldt γsl < γsg . Om evenwicht te bereiken in het horizontale vlak moet γlg een kracht hebben met een naar binnen gerichte horizontale component. Immers, projecteren we de vier krachten op de horizontale as, dan impliceert (∗) Fsg − Fsl + Flg cos θ + 0 = 0

⇒

γsg − γsl +γlg cos θ = 0 | {z }

Figuur 2: een vlakke druppel

⇒

γlg cos θ < 0

θ is een stompe hoek.

In dit geval heeft de druppel een nogal platte vorm. Voor een vettig oppervlak met γsg = 60 kan men toch een vlakke druppel bereiken door aan het water oppervlakte-actieve stoffen zoals zeep toe te voegen. Voor een dunne zeepoplossing geldt γlg = 35 en γsl = 30, zodat γsl − γsg 30 − 60 cos θ = = ⇒ θ ≈ 149◦ . γlg 35 Voor een sterke zeepoplossing wordt θ = 180◦ , zodat een druppel die op het oppervlak valt deze volledig bevochtigt. 20 Ontleend

aan [1, pagina 33]. Fysische chemie is, naast de anorganische en de organische scheikunde, een van de klassieke deelgebieden van scheikunde. Zij houdt zich bezig met het grensgebied tussen natuur- en scheikunde, in het bijzonder de toepassing van fysische methoden op chemisch gebied.

XV-36

Hoofdstuk 2

Het euclidisch vlak E2 In Hoofdstuk 1 kwam de verzameling V2 van de (vrije) vectoren in het vlak aan bod. Daarnaast hebben we de verzameling V2 voorzien van structuren, door het invoeren van de inwendige optelling en de uitwendige (scalaire) vermenigvuldiging met een reëel getal. Die verzameling V2 verrijkt met deze twee bewerkingen heet het vectorvlak. Onderstaande figuur toont een (voorlopig) overzicht van de verschillende structuren op de verzameling V2 .

verzameling V2 + : V2 × V2 → V2 eig. 1-3

groep V2 , + eig. 4 commutatieve groep V2 , + · : R × V2 → V2 eig. 5-8

reële vectorruimte R, V2 , + het vectorvlak V2

In Hoofdstuk 2 zullen we het vectorvlak voorzien van een derde bewerking: de vermenigvuldiging van twee vectoren (scalair product). Die nieuwe structuur noemt men het euclidisch vlak. In dit hoofdstuk werken we uitsluitend in een − − vlak Πo , voorzien van een orthonormaal assenstelsel Oxy en bijbehorende orthonormale basis B = (→ ex , → ey ).

2.1

Hoek tussen twee vectoren

→ − → − 3 Definitie. Zij A en B twee punten, beide verschillend van de oorsprong. De hoek tussen A en B is de → −b− → (georiënteerde) hoek tussen de halfrechten [OA en [OB .1 We noteren deze hoek met ( A ,B ). → −b− → def “ In symbolen: ( A ,B ) = AOB.

[OB

[OA − → B

A − → A O

1 Voor

basisbegrippen in verband met hoeken verwijzen we naar Deel Goniometrie en precalculus 2.

XV-37

3 Definities en afspraken. → −b− → 1. Een hoek ( A ,B ) is georiënteerd en dus wordt de volgorde aangeduid met een pijl van [OA naar [OB . In de praktijk duiden we een kortste pijl aan. → −b− → Voorbeeld. Duid telkens de hoek ( A ,B ) aan.

(a)

(b)

− → B

− → A − → A O

→ − → − → − → − → − B 2. Is A of B de nulvector, dan is de hoek tussen A en B bij afspraak onbepaald. − − − − 3. Zij → u en → v vrije vectoren, beide verschillend van de nulvector. De hoek tussen → u en → v is de hoek tussen b → − → − hun representanten vanuit de oorsprong O. We noteren die hoek met ( u , v ). − − Voorbeeld. Duid de hoek (→ ub,→ v ) aan.

− → u

− → v − − − − 4. Twee vectoren → u en → v staan loodrecht op elkaar als hun hoek (→ ub,→ v ) een rechte hoek is. Bij afspraak 2 staat de nulvector loodrecht op elke vector. Vectoren die loodrecht op elkaar staan noemt men ook wel − − − − orthogonaal. Zijn twee vectoren → u en → v orthogonaal, dan noteren we → u ⊥→ v. → − → − Voorbeeld. De vectoren u en v zijn orthogonaal.

− → u O

− → v

2 De

→ → reden van deze afspraak is dat Eigenschap 1 op pagina 39 geldig blijft indien − u of − v de nulvector is.

XV-38

Scalair product van vectoren in V2 - Het euclidisch vlak E2

2.2

3 Motivatie. In natuurkunde is arbeid een begrip voor de inspanning die een kracht uitoefent op een lichaam, dat tengevolge daarvan verplaatst wordt. Die arbeid noteert men met de letter W en wordt als volgt berekend.3 → − Beschouw een lichaam dat onder invloed van een (constante) kracht F verplaatst wordt volgens verplaatsings− vector → r : de vector met als lengte de grootte van de verplaatsing en met dezelfde richting en zin als de verplaatsing.

. Bijzonder geval. De verplaatsing gebeurt volgens de richting van de kracht. Dan is de arbeid die de → − kracht F uitoefent gelijk aan het product van de getallen F en r (zie figuur).

− → F

W =Fr

− → r . Algemeen geval. De verplaatsing maakt een hoek θ met de richting van de kracht. De arbeid die de → − → − − kracht F uitoefent komt enkel van de arbeid die de loodrechte projectie van F op → r uitoefent. Noemen − → we die component F1 , dan is de arbeid dus gelijk aan F1 r (zie figuur).

− → F θ

− → F1

W = F1 r − → r

Omdat F1 = F cos θ, vinden we de algemene formule voor het berekenen van de arbeid uitgeoefend door → − kracht F : → − − W = | F | |→ r | cos θ

− − 3 Definitie (scalair product van vectoren).4 Zij → u en → v twee vectoren, beide verschillend van de nulvector. → − → − 5 Het scalair product van u en v is het getal: def − → → − − u ·→ v = |→ u | |− v | cos θ

met

b− − θ = (→ u ,→ v)

Bij definitie is het scalair product van de nulvector met een vector gelijk aan nul, alsook het scalair product van een vector met de nulvector. − − Meetkundige betekenis. Voor elke twee vectoren → u en → v is het scalair product gelijk aan (zie figuur): → − − − − − u ·→ v = ± (lengte van vector → u ) · (lengte van de loodrechte projectie van vector → v op de drager van → u)

− → v

θ − → u

− → v

θ − → u

− → u

Als 0 ≤ θ < 90◦

Als θ = 90◦

Als 90◦ < θ ≤ 180◦

− → → → → u ·− v = |− u | |− v | cos θ >0

− → → → → u ·− v = |− u | |− v | cos θ =0

− → → u ·− v =

→ → |− u | |− v | cos θ → − → − = | u | | v | (− cos(180◦ − θ)) → → u | |− v | cos (180◦ − θ) = −|−

<0 3 Naar

de eerste letter van work, de Engelse term voor arbeid. Günther Grassmann 1844. 5 Scalair product wordt ook wel inwendig product of inproduct of dot product genoemd 4 Hermann

XV-39

− − − − 3 Op ontdekking. Bereken telkens het scalair product → u ·→ v en het scalair product → v ·→ u . Wat merk je op?

(a)

(b)

− → u

− → v

2 − → u

−1

− → v Oplossing.

3 Eigenschap 1. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg scalair product in V2 noemen: h·, ·i : V2 × V2 → R def − → − − − − (→ u,→ v ) 7→ h→ u,→ vi = → u ·− v en die voldoet aan de volgende eigenschappen: (9) het scalair product in V2 is bilineair: − − − − − − − − − − ∀r ∈ R, ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : (→ u +→ v)·→ w =→ u ·→ w +→ v ·→ w → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − ∀r ∈ R, ∀ u , v , w ∈ V2 : u · ( v + w ) = u · v + u · w − − − − − − − − ∀r ∈ R, ∀→ u,→ v ∈ V : (r→ u)·→ v = r(→ u ·→ v)=→ u · (r→ v) 2

(10) het scalair product in V2 is symmetrisch (of commutatief ): − − − − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : → u ·→ v =→ v ·→ u (11) het scalair product in V2 is niet-negatief en positief definiet:

→ − − − − − − − ∀→ u ∈ V2 : → u ·→ u ≥ 0 en → u ·→ u =0⇔→ u = 0.

Bewijs van (10) en (11).

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (8)-(10) noemen we de (reële) vectorruimte R, V2 , + voorzien van het scalair product een euclidische ruimte, notatie R, V2 , +, h·, ·i.6 In het vervolg spreken we kortweg van het euclidisch vlak E2 . 6 Een

euclidische ruimte wordt ook wel een inproductruimte genoemd. Lees h·, ·i als angle brackets of chevrons.

XV-40

Tot nu toe moeten we - om het scalair product van twee vectoren te berekenen - eerst de hoek tussen die vectoren bepalen. Om dat te vermijden, gaan we na hoe het scalair product van puntvectoren kan vertaald worden naar coördinaten. Om die formule op te bouwen hebben we de volgende eigenschap nodig. 3 Eigenschap 2. − − 1. Voor twee vectoren → u en → v is → − − u ·→ v =0

⇔

→ − − u ⊥→ v

− − 2. Voor de basisvectoren → ex en → ey is → − → −   ex · ex = 1, → − → ex · − ey = 0,  → − → − e · e = 1. y

Bewijs.

3 Eigenschap 3.7

Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877)

→ − → − → − coB ( A ) = (x1 , y1 ) Als dan A · B = x1 x2 + y1 y2 → − coB ( B ) = (x2 , y2 )

Bewijs.

→ − → − → − 3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de vectoren A (−2, 6), B (5, −3) en C (3, 1). → − → − → − → − (a) Bereken het scalair product A · B en het scalair product B · C . → − → − (b) Toon aan dat A ⊥ C . → − Ä→ − → − ä Ä→ − → −ä → − (c) Is A · B · C = A · B · C ? Staaf je antwoord met een berekening.

Oplossing.

7 In

de volksmond omschrijft men deze eigenschap ook wel als de tak-tak formule.

XV-41

2.3

Norm van een vector

In deze paragraaf tonen we hoe men met de bewerking scalair product een nieuw begrip kan introduceren: de norm van een vector.8 Dit zal leiden tot formules voor de lengte van een vector en hoek tussen twee vectoren uitgedrukt met behulp van coördinaten. − u is 3 Definitie. De norm van een vector → def − ||→ u || =

√ → − − u ·→ u

− 3 Op ontdekking. Gegeven is de vector → u (−3, −4).

− − (a) Teken de vector → u in een orthonormaal assenstelsel en bereken de lengte |→ u |. → − (b) Bereken met behulp van de definitie de norm || u ||. Wat merk je op?

Oplossing.

− 3 Eigenschap. Zij → u een vector. − − − − u ||2 = → u2 . 1. Er geldt ||→ u || = |→ u | en ||→ − − 2. Voor elke r ∈ R is:9 ||r · → u || = |r| · ||→ u || . def − − − 3. Als → u = 6 → o dan is → eu =

→ − u − een vector met dezelfde richting en zin als → u , maar met norm 1. → − || u ||

Bewijs.

− − 3 Definitie. Een vector → u waarvoor ||→ u || = 1 wordt een eenheidsvector genoemd. − − Uit de vorige eigenschap volgt dat voor elke vector → u verschillend van de nulvector, de vector → eu een eenheidsvector is. 8 We kiezen voor een opbouw die kan toegepast worden in een meer algemene context, namelijk voor elke vectorruimte die voorzien is van een scalair product. Zo zal bijvoorbeeld het ander scalair product op V2 uit Oefening 24 aanleiding geven tot een andere norm, die verschillend is van de klassieke lengte van een vector. 9 Men verwijst naar deze eigenschap als de homogeniteit van de norm (zie Eigenschap op pagina 45) . In het algemeen is een afbeelding f : V → W met V en W vectorruimten homogeen als ∀r ∈ R, ∀v ∈ V : f (rv) = rf (v).

XV-42

Het begrip norm laat ons nu ook toe de lengte van een vector en de hoek tussen twee vectoren te vertalen naar coördinaten. 3 Gevolg 1 (lengte van een puntvector, afstand van een punt tot de oorsprong). » → − → − Als co( A ) = (x1 , y1 ) dan || A || = x21 + y12 Bewijs.

3 Gevolg 2 (lengte van een vector, afstand tussen twee punten). Als

→ − » −−→ co( A ) = (x1 , y1 ) dan ||AB|| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 → − co( B ) = (x2 , y2 )

Bewijs.

3 Gevolg 3 (hoek tussen twee vectoren). Als Bewijs.

→ − → −b− → x1 x2 + y1 y2 co( A ) = (x1 , y1 ) 6= (0, 0) p dan cos( A ,B ) = p 2 → − co( B ) = (x2 , y2 ) 6= (0, 0) x1 + y12 x22 + y22

→ − → − → − − Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de vectoren A (−1, −1), B (−5, 4), C (1, 0) en → u (−3, 4). → − (a) Bereken de coördinaten van de eenheidsvector eu . −−→ (b) Bereken de lengte van de vector AB. → − → − (c) Bereken algebraı̈sch de grootte van de hoek θ tussen C en A . → − → − (d) Teken de vectoren A en C in een orthonormaal assenstelsel en duid de hoek θ aan. Oplossing.

XV-43

2.4

Toepassingen - Deel 1

Toepassing 1 - De stelling van Pythagoras Dankzij vectoren kunnen we de stelling van Pythagoras uit het derde jaar op een korte manier bewijzen. 3 Stelling (stelling van Pythagoras). Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Πo . Te bewijzen. Driehoek ABC is rechthoekig in A als en slechts als a2 = b2 + c2 Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan). Er geldt

a2 = b2 + c2

⇔

−−→ −−→ −→ ||BC||2 = ||BA||2 + ||AC||2 −−→ −→ − − noem → u = BA en → v = AC. −−→ dan is BC = . . .

⇔

...

Toepassing 2 - De cosinusregel Dankzij vectoren kunnen we de cosinusregel uit het vierde jaar op een korte manier bewijzen. 3 Stelling (cosinusregel). Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Πo . Te bewijzen. a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan). Er geldt

−−→ a2 = ||BC||2 −−→ −→ − − noem → u = BA en → v = AC. −−→ dan is BC = . . .

= ...

XV-44

2.5

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid De genormeerde ruimte R, V2 , +, || · ||

3 Stelling (ongelijkheid van Cauchy-Schwarz).10 − − − − − − Voor twee vectoren → u en → v is |→ u ·→ v | ≤ ||→ u || ||→ v ||

− − − − Bewijs. Indien → u =→ o of → v =→ o dan is triviaal voldaan aan de ongelijkheid. → − − − − We mogen dus onderstellen dat u 6= → o en → v 6= → o. − − We beschouwen de functie f (x) = ||→ u − x→ v ||2 .

Stap 1. De grafiek van f is een parabool, want − − − − − − f (x) = ||→ u − x→ v ||2 = (→ u − x→ v ) · (→ u − x→ v) → − − → − → − 2 2→ = u − 2x u · v + x v 2

dus f (x) = ax2 + bx + c voor zekere a, b, c ∈ R met a 6= 0.

Stap 2. De grafiek van f ligt boven de x-as, want voor elke x ∈ R is

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

− − f (x) = ||→ u − x→ v ||2 ≥ 0. Uit Stap 1 en Stap 2 volgt dat de top van de parabool boven de x-as ligt. Dus moet ã Å → − − b u ·→ v b waarbij − = → 0≤f − − 2 2a 2a v → − → − − − → − → − 2 u · v (→ u ·→ v )2 ( u · v ) − → − → − → − → − 2 2 ⇒ 0≤→ u2−2 → v = u − u · v + − − → − (→ v 2 )2 v2 v2 → − − → − → − 2→ 2 2 ⇒ 0≤ u v −(u · v) − − − − ⇒ (→ u ·→ v )2 ≤ → u 2→ v2 → − → − → − − ⇒ | u · v | ≤ || u || ||→ v ||.

3 Stelling (driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Minkowski).11 − − − − − − Voor twee vectoren → u en → v is ||→ u +→ v || ≤ ||→ u || + ||→ v || Bewijs. We berekenen: − − − − − − ||→ u +→ v ||2 = (→ u +→ v )(→ u +→ v) → − → − → − − 2 2 = u + v +2u ·→ v

− − − − = ||→ u ||2 + ||→ v ||2 + 2→ u ·→ v → − → − → − − 2 2 ≤ || u || + || v || + 2 | u · → v|

− − − − ≤ ||→ u ||2 + ||→ v ||2 + 2 ||→ u || ||→ v || 2 → − → − = (|| u || + || v ||) .

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

− − − − Hieruit volgt dat ||→ u +→ v || ≤ ||→ u || + ||→ v ||.

3 Eigenschap. We hebben een afbeelding || · || geconstrueerd, die we in het vervolg norm in V2 noemen || · || : V2 → R → − − u 7→ ||→ u || en die voldoet aan de volgende eigenschappen: (9’) (10’)

de norm in V2 is positief homogeen:

de norm in V2 voldoet aan de driehoeksongelijkheid:

(11’) de norm in V2 is niet-negatief en positief definiet:

− − − ∀r ∈ R, ∀→ u ∈ V2 : ||r→ u || = |r| ||→ u || → − → − → − → − → − − ∀ u , v ∈ V : || u + v || ≤ || u || + ||→ v || 2

− − − − − ∀→ u ∈ V2 : ||→ u || ≥ 0 en ||→ u || = 0 ⇔ → u =→ o.

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (9’)-(11’) noemen we de (reële) vectorruimte R, V2 , + voorzien van de norm een genormeerde ruimte, notatie R, V2 , +, || · ||.12 10 Cauchy

1821 voor de euclidische ruimte Rn , Viktor Yakovlevich Bunyakovsky 1859 voor de euclidische ruimte L2 en bewezen voor alle euclidische ruimten door Hermann Amandus Schwarz 1885 (wiens naam vaak foutief als Schwartz gespeld wordt). 11 Minkowski 1896 voor alle L -ruimten, hetgeen impliceert dat alle L -ruimten ook genormeerde vectorruimten zijn. p p 12 Een genormeerde ruimte wordt ook wel een pre-banach ruimte genoemd, naar Stefan Banach (1892-1945). Omdat de norm in de genormeerde ruimte R, V2 , +, || · || door een scalair product gedefinieerd is, heet men deze genormeerde ruimte ook een pre-hilbert ruimte, naar David Hilbert (1862-1943).

XV-45

De metrische ruimte V2 , d

2.6

− − − − 3 Definitie. Zij → u en → v vrije vectoren. De (euclidische) afstand tussen → u en → v is def − − − − d(→ u,→ v ) = ||→ v −→ u ||.

3 Eigenschap. We hebben een afbeelding d geconstrueerd, die we in het vervolg afstand in V2 noemen:13 d : V2 × V2 → R − − − − (→ u,→ v ) 7→ d(→ u,→ v) Maurice René Fréchet (1878 - 1973)

en die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(A) (B) (C) (D)

− − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : d(→ u,→ v)≥0 → − → − → − → − − − ∀ u , v ∈ V2 : d( u , v ) = 0 ⇔ → u =→ v → − → − → − → − → − → − ∀ u , v ∈ V : d( u , v ) = d( v , u )

de afstand in V2 is niet-negatief:

de afstand in V2 is heterogeen:

de afstand in V2 is symmetrisch:

− − − − − − − − − de afstand in V2 voldoet aan de driehoeksongelijkheid: ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : d(→ u,→ w ) ≤ d(→ u,→ v ) + d(→ v ,→ w)

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (A)-(D) noemen we de verzameling V2 , voorzien van de afstand een metrische ruimte notatie V2 , d.14

2.7

Overzicht van de verschillende structuren op V2

Onderstaande figuur toont een volledig overzicht van de verschillende structuren op de verzameling V2 , die we in Hoofdstuk 1 en Hoofdstuk 2 besproken hebben.

verzameling V2 d : V2 × V2 → R

+ : V2 × V2 → V2 eig. 1-3

eig. A-D

groep V2 , +

metrische ruimte V2 , d

eig. 4 commutatieve groep V2 , + · : R × V2 → V2 eig. 5-8

reële vectorruimte R, V2 , + het vectorvlak V2

h·, ·i : V2 × V2 → R

|| · || : V2 → R

eig. 9-11

eig. 9’-11’

euclidische ruimte R, V2 , +, h·, ·i het euclidisch vlak E2 13 De

genormeerde ruimte R, V2 , +, || · ||

letter d van het Engels woord distance, wat afstand betekent. 1906.

14 Fréchet

XV-46

2.8

Toepassingen - Deel 2

Toepassing 3 - Loodrechte projectie Een vaak gebruikte constructie is het ontbinden van een vector in twee componenten: evenwijdig aan en loodrecht op een andere vector. Met behulp van het scalair product kunnen we formules opstellen om deze componenten te bepalen. 3 Eigenschap (ontbinden van een vector in onderling loodrechte componenten). − − − − Gegeven. Twee vectoren → u en → v van het euclidisch vlak E , waarbij → u 6= → o. 2

− − − Te bewijzen. Er bestaan unieke vectoren − v→ //→ u en − v→ ⊥→ u waarvoor → v =− v→ +− v→ , namelijk ⊥ ⊥ // // − v→ = ⊥

− v→ = //

− − We noemen → v =− v→ +− v→ een ontbinding van → v in onderling loodrechte componenten en verwijzen naar − v→ als ⊥ ⊥ // → − → − de loodrechte projectie van de vector v op (de drager van) de vector u . Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan). We bewijzen eerst de uniciteit van de ontbinding.

− → v

− − − v =− v→ +− v→ waarbij − v→ //→ u en − v→ ⊥→ u. Stel dat → ⊥ ⊥ // // → − Beide leden vermenigvuldigen met u levert → − v =− v→ +− v→ ⊥ //

− → u

⇒

...

⇒

... − − Omdat − v→ //→ u is − v→ = λ→ u ⊥ ⊥

voor een zekere λ ∈ R ⇒

...

⇒

...

Het bestaan van de ontbinding volgt nu eenvoudig uit de formules voor − v→ en − v→ : ⊥ //

3 Voorbeeld. − − (a) Bepaal de coördinaten van de loodrechte projectie van de vector → v (−7, 3) op de vector → u (12, −2). → − → − (b) Projecteer de vector v (1, −3) loodrecht op de rechte a : 6x − 2y = 8. Teken de vector v en de rechte a in een orthogonaal assenstelsel waarop je alle relevante vectoren aanduidt. Oplossing.

XV-47

Oefeningen 2 Het euclidisch vlak E2 2.1 Hoek tussen twee vectoren 2.2 Scalair product in V2 - Het euclidisch vlak E2 2.3 Norm van een vector 2.4 Toepassingen - Deel 1

2.5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid 2.6 De metrische ruimte V, d 2.7 Overzicht van de verschillende structuren op V2 2.8 Toepassingen - Deel 2

Basis ?

1 2

3 4

5 6

9 10

11 12

14 15 16

17 18 19

Verdieping ? ??

Oefeningen bij §2.1 en §2.2 B

− − Oefening 1. Bereken telkens → u ·→ v.

(a)

− → v

3 2 1

− → u −1

−1

(b)

1 − → v −10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x −1 −2 −3

− → u

−4 −5

XV-48

20 21

Uitbreiding ? ??

23 24

B B?

→ − → − − − Oefening 2. Gegeven zijn de vectoren → a (−7, 3) en b (12, 6). Bereken het scalair product → a · b. → − −2 → − − Oefening 3. Bepaal telkens de getallen → a · b,→ a en b 2 .

− → b

40◦ (a)

− → a

− → b

135◦ (b)

− → a

180◦ (c)

− → b

− → a

− − Oefening 4. Zij → u,→ v ∈ E2 . Werk uit en vereenvoudig zoveel als mogelijk enkel gebruik makend van de geziene eigenschappen van optelling, scalaire vermenigvuldiging en scalair product van vectoren. − − (a) (→ u +→ v )2 − − − − (b) (→ u +→ v ) · (→ u −→ v)

B??

Oefening 5. Toon met behulp van vectoren aan dat de rechten √ √ a : 3 108 x − 6y = −5 en b : 4x + 3 48 y = 11 loodrecht op elkaar staan. Aanwijzing. Bepaal eerst een richtingvector van de rechte a en een richtingsvector van de rechte b.

B??

− − − Oefening 6. Gegeven zijn drie willekeurige vectoren → u, → v en → w in het euclidisch vlak E2 . Beoordeel de volgende uitspraken (waar of vals) en verklaar telkens je antwoord. − (a) → u ∈ V2

− − (b) → u ·→ v ∈ V2

− − − (c) → u · (→ v ·→ w ) ∈ V2

(d)

→ − − u ·→ v ∈ V2 → − u2

→ − → − − − − − (e) → u ·→ v =0⇒→ u = 0 of → v = 0 V

Oefening 7. Bewijs de volgende gelijkheid van Euler: −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ ∀A, B, C, D ∈ Π : AB · CD + AC · DB + AD · BC = 0.

−−→ −→ Oefening 8. Een gelijkzijdige driehoek ABC heeft omtrek p. Bereken AB · AC. XV-49

Oefeningen bij §2.3 en §2.4 B

Oefening 9. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(−3, 0). (a) Duid de vectoren aan in een orthonormaal assenstelsel. → − → − (b) Bereken || A || en || B ||.

− → (c) Bepaal de coördinaten van de eenheidsvectoren − e→ A en eB . − − Oefening 10. Zij → u,→ v ∈ E2 . Bewijs het volgend verband tussen de norm en het scalair product: 1 → − − − → − − ||− u +→ v ||2 − ||→ u ||2 − ||→ v ||2 . u ·→ v = 2

Oefening 11. Bereken de grootte van de hoek tussen de rechten a : 6x − 8y = −3

b : 8x + 15y = −6.

Aanwijzing. Bepaal eerst een richtingvector van de rechte a en een richtingsvector van de rechte b. B?

Oefening 12. Gegeven zijn de punten A(−3, 1), B(2, 6) en C(1, −3). Toon met behulp van vectoren aan dat de driehoek ABC rechthoekig is.

B??

Oefening 13. Gegeven zijn de vectoren → − u (−8, 15),

→ − v (−6, −12)

− − − (a) Bereken de norm van de vectoren → u, → v en → w.

− en → w (2, −1).

− − − − − (b) Normeer de vectoren → u, → v en → w , dat wil zeggen bepaal de vectoren → eu , → ev en − e→ w. − − − (c) Ga na welke van de vectoren → u, → v en → w onderling loodrecht zijn.

− − − − − − (d) Bereken de grootte van de hoeken (→ ub,→ v ), (→ wb,→ v ) en (→ ub,→ w ). → − → − − − Oefening 14. De vectoren → a en b zijn onderling loodrecht. De norm van → a is 3, deze van b is 5. Bereken → − − − (a) → a · (→ a − b) → − → − − − (b) (→ a − b )(2→ a + b)

→ − − (→ a · b )2 → − − (d) (3→ a − 5 b )2

(c)

→ − → − Oefening 15. Bepaal de coördinaten van een vector B die een hoek van 60◦ maakt met de vector A (−3, 2).

Oefening 16. Gegeven een punt P (x1 , y1 ). Welke overgang is fout in onderstaande redenering? → − → − − − P ·− ex = (x1 → ex + y1 → ey ) · → ex → − → − → − − =x e ·e +y e ·→ e 1 x

1 y

= x1 · 1 + y1 · 0

= x1 Bijgevolg

→ − → − − − P ·− ey = (x1 → ex + y1 → ey ) · → ey → − → − → − − =x e ·e +y e ·→ e 1 x

1 y

= x1 · 0 + y1 · 1 = y1 .

→ − − − P = x1 → ex + y1 → ey Ä→ ä Ä→ − → − −ä → − = P ·− ex · → ex + P · → ey · − ey → − → → − − − − = P · (− ex · → ex ) + P · (→ ey · → ey ) → − → − = P ·1+ P ·1 → − = 2P .

→ − → − → − → − − − − − Oefening 17. Voor twee vectoren → a en b geldt ||→ a || = 3, || b || = 7 en ||→ a + b || = 5. Bereken → a · b.

Oefening 18. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(−3, 0). (a) Teken in een orthonormaal assenstelsel de bissectricerechte van OA en OB. (b) Bepaal de coördinaten van een vector met dezelfde richting als die bissecticerechte.

−−→ −−→ Oefening 19. Op een lijnstuk [AB] nemen we het midden M van het lijnstuk en het punt N zodat AN = 2N B. Bewijs dat −−→ −−→ −−→ −−→ AB · N M = −AM · N B. XV-50

V??

Oefening 20. Bewijs dat voor een willekeurige driehoek ABC geldt cos α cos β cos γ a2 + b2 + c2 + + = . a b c 2abc −−→ −−→ −→ Aanwijzing. Bereken (AB + BC + CA)2 op twee verschillende manieren.

V?? U

Oefening 21. Bewijs dat in een parallellogram de som van de kwadraten van de zijden gelijk is aan de som van de kwadraten van de diagonalen. − − Oefening 22 (delen door een vector heeft geen betekenis). Gegeven vectoren → u,→ v van het euclidisch vlak E2 . → − → − Er is verder gegeven dat u · v = 0. Beoordeel de volgende redenering: 0 → − u =→ − v → − → − en pas deze redenering toe op de vectoren u (1, 1) en v (1, −1). → − − u ·→ v =0

⇒

→ − → − u = 0

− − Oefening 23 (criterium voor gelijkheid van vectoren). Bewijs dat voor alle vectoren → u,→ v in het euclidisch vlak E2 geldt ®→ − − − − u ·→ ex = → v ·→ ex → − → − u = v ⇔ → − → − → − → − u · ey = v · ey .

Oefening 24 (ander scalair product op V2 ). In deze oefening tonen we aan dat er meerdere salaire producten mogelijk zijn in het vectorvlak V2 . − − Voor twee vectoren → u (x1 , y1 ) en → v (x2 , y2 ) definiëren we een nieuwe bewerking def → − − u ∗→ v = 2x1 x2 + x1 y2 + x2 y1 + 2y1 y2

waarmee we een nieuwe afbeelding construeren: h·, ·i2 : V2 × V2 → R def − − − − − − u ∗→ v. (→ u,→ v ) 7→ h→ u,→ v i2 = →

− − − − − − (a) Zij → u (2, −3) en → v (3, 2). Bereken → u ·→ v en → u ∗→ v.

(b) Bewijs dat de nieuwe bewerking h·, ·i2 een scalair product is, door aan te tonen dat voldaan is aan de volgende eigenschappen: (8)

bilineair:

− − − − − − − − − − ∀r ∈ R, ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : (→ u +→ v)∗→ w =→ u ∗→ w +→ v ∗→ w − − − − − − − − − − ∀r ∈ R, ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : → u ∗ (→ v +→ w) = → u ∗→ v +→ u ∗→ w → − → − → − → − → − → − → − → − ∀r ∈ R, ∀ u , v ∈ V : (r u ) ∗ v = r( u ∗ v ) = u ∗ (r v ) 2

(9)

symmetrisch (of commutatief ):

(10) niet-negatief en positief definiet: U??

− − − − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : → u ∗→ v =→ v ∗→ u → − → − → − → − → − − − ∀ u ∈ V : u ∗ u ≥ 0 en u ∗ → u =0⇔→ u = 0 2

Oefening 25 (afstand van een punt tot een rechte met behulp van vectoren). Dankzij vectoren kunnen we de formule voor de afstand van een punt tot een rechte uit het vierde jaar op een korte manier bewijzen. Zij P (x1 , y1 ) een punt en a : ax + by = c een rechte. Noem d de afstand van het punt P tot de rechte a. − → (a) Bepaal de coördinaten van een richtingsvector Ra van de rechte a. −→ − → (b) Toon aan dat de vector Na (a, b) loodrecht op Ra staat. Zo’n vector noemen we een normaalvector van rechte a. → − −→ (c) Toon aan dat voor elk punt A van het vlak geldt: A ∈ a ⇔ A · Na = c. → (d) Beschouw de eenheidsvector − e− Na en de rechte l door de oorsprong en loodrecht op de rechte a. Noem Q(x2 , y2 ) −−→ → het snijpunt van de loodlijn l met de rechte a. Waarom is QP = ±d − e− Na ? −−→ −→ −−→ |QP · Na | − − → − − → (e) Vermenigvuldig in QP = ±d eNa beide leden met eNa en leid hieruit af dat d = . → − || N || → − −→ | P · Na − c| (f) Leid uit (e) en (c) af dat d = . → − || N || (g) Leid uit (f) de formule voor de afstand van een punt tot een rechte af. XV-51

Oefeningen bij §2.5, §2.6 en §2.7 B??

Oefening 26. Bewijs dat de afstand d : V2 × V2 → R def − − − − − − (→ u,→ v ) 7→ d(→ u,→ v ) = ||→ u −→ v || voldoet aan de volgende eigenschappen: − − − − ∀→ u,→ v ∈ V2 : d(→ u,→ v)≥0 → − → − → − → − − − ∀ u , v ∈ V2 : d( u , v ) = 0 ⇔ → u =→ v − − − − − − ∀→ u,→ v ∈ V : d(→ u,→ v ) = d(→ v ,→ u)

(A) afstand is niet-negatief: (B) afstand is heterogeen: (C) afstand is symmetrisch: (D)

− − − − − − − − − ∀→ u,→ v ,→ w ∈ V2 : d(→ u,→ w ) ≤ d(→ u,→ v ) + d(→ v ,→ w)

afstand voldoet aan de driehoeksongelijkheid:

Oefening 27. Zij M een verzameling en d : M × M → R een afbeelding die voldoet aan de eigenschappen (B), (C) en (D) uit §2.6. Bewijs dat d ook voldoet aan eigenschap (A).

Oefening 28 (alternatief bewijs voor de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz). Bewijs de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door in de definitie van het scalair product → − − − − u ·→ v = |→ u | |→ v | cos θ van beide leden de absolute waarde te nemen.

− − Oefening 29 (tweede deel van de driehoeksongelijkheid). Gegeven zijn twee vectoren → u en → v. (a) Bewijs op een analoge manier als het bewijs van de driehoeksongelijkheid dat

− 2

− − − ||→ u −→ v || ≥ ||→ u || − ||→ v ||2 .

U??

(b) Bewijs met behulp van (a) en de driehoeksongelijkheid dat

→

− − − − −

||− u ||2 − ||→ v ||2 ≤ ||→ u +→ v || ≤ ||→ u || + ||→ v ||.

Oefening 30 (ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de oppervlakte van een parallellogram). − − (a) Toon aan dat voor elke twee vectoren → u,→ v geldt 2 → − − − − u 2→ v 2 − (→ u ·→ v ) ≥ 0.

−−→ −−→ − − (b) Zij ABCD een parallellogram en noem → u = AB en → v = BC. Bewijs dat de oppervlakte van het parallellogram ABCD gegeven wordt door » → − − − − u 2→ v 2 − (→ u ·→ v )2 .

Oefeningen bij §2.8 B

− − Oefening 31. Bepaal de coördinaten van de loodrechte projectie van → v (−2, 3) op de drager van → u (1, −1).

→ − Oefening 32. Bepaal de rechte a door het punt A(−2, 1) en loodrecht op de vector B (−3, 2).

− Oefening 33. Gegeven is een vector → u van het euclidisch vlak E2 . Beschouw de afbeelding f : V2 → V2 → − − − − v 7→ (→ v ·→ e )·→ e . u

− Toon aan dat f de loodrechte projectie op de drager van → u voorstelt. U?

Oefening 34 (vectoriële vergelijking van een cirkel). Gegeven is een punt M (a, b) en r ∈ R+ 0. (a) Stel een vectoriële vergelijking op van de cirkel C(M, r). (b) Leid hieruit een cartesische vergelijking van de cirkel C(M, r) af. (c) Bepaal met behulp van vectoren stel parametervergelijkingen en een cartesische vergelijking van de raaklijn t in een punt P (x1 , y1 ) aan de cirkel C(M, r). XV-52

Inzicht in sportwetenschappen Dit voorbeeld komt uit de sportwetenschappen en laat zien hoe de krachten die werken op een zeilboot kunnen berekend worden.15 In het bijzonder kan bepaald worden onder welke hoek de zeiler het zeil moet houden om de wind optimaal te benutten. Als eenvoudig model nemen we aan dat de boot stil in het water ligt, met de lengteas van de boot in de gewenste koers (zie Figuur 1). Het zeil maakt een hoek α met de lengteas en de wind een hoek β met de lengteas (zie Figuur 2). Als de wind van stuurboord (rechts) komt, dan slaat het zeil over bakboord (links) en omgekeerd. − . De koers van de boot stellen we voor met een vector → v . Omdat er → − nog geen snelheid is, zal de grootte van v geen rol spelen. We mogen − dus veronderstellen dat → v een eenheidsvector is. − . De wind stellen we door met de vector → w , waarvan de lengte overeen− − komt met de windsnelheid. De hoek tussen → v en → w is π − β.

− − . Het zeil stellen we voor met een eenheidsvector → z . We noemen → n de → − → − − eenheidsvector loodrecht op z , met richting tussen die van z en → v. → − → − De hoek tussen w en n is γ en we zien in dat β + γ = α + π/2.

Figuur 1: zeilboot en wind

→ − Krachtvector F n van de wind op het zeil De wind blaast in het zeil en ondervindt hierdoor een kracht. Om deze − kracht te bepalen ontbinden we de vector → w in een component − w→ loodrecht ⊥ − → op het zeil en een component w// langs het zeil (zie Figuur 2). De component − − w→ levert een kracht op het zeil in de richting van → n . Deze kracht is een ⊥ luchtweerstand en dus is de grootte van deze kracht evenredig met A, de oppervlakte van het zeil en |− w→ |2 , het kwadraat van de snelheid. Op die ⊥ manier kunnen we de krachtvector van de wind op het zeil schrijven als → − − F n = k A |− w→ |2 · → n ⊥ waarbij k de zogenaamde opbrengstconstante is, uitgedrukt in kg/m3 , die afhangt van de dichtheid van de lucht en de vorm van het zeil. De vector − w→ berekenen we met behulp van de formule voor de loodrechte projectie ⊥ − − van de vector → w op de vector → n

→ Figuur 2: ontbinding van − w in loodrechte componenten

π → − − w ·→ n → − → − → − → − − − − − · n = | w | cos γ · n = | w | sin − γ ·→ n = |→ w | sin (β − α) ·→ n w→ = → ⊥ − 2 n2 zodat de krachtvector van de wind op het zeil gelijk is aan → − − − F n = k A |→ w |2 sin2 (β − α) · → n.

→ − Nuttige krachtvector F v op de boot → − → − De kracht F n ontbinden we op zijn beurt in een nuttige kracht F v in de richting van de koers (en dus de lengteas → − − − van de boot) en een onnuttige kracht F l loodrecht daarop. De hoek δ tussen → n en → v is π/2 − α, zodat π → − − − − − − F v = Fn cos δ · → v = Fn sin −δ ·→ v = Fn sin α · → v = k A |→ w |2 sin2 (β − α) sin α · → v. 2

Bij een gegeven hoek β (tussen de windrichting en de lengteas) zal men de hoek α (tussen het zeil en de lengteas) bepalen door te eisen dat de nuttige kracht zo groot mogelijk is, dus bepaal de hoek α waarvoor sin2 (β − α) sin α maximaal is Dat kan door bij een gegeven β een tabel stijgen/dalen van de functie f (x) = sin2 (β − x) sin x te maken. Staat bijvoorbeeld √ de wind loodrecht op de vaarrichting, dan maakt de zeiler zo goed mogelijk gebruik van de wind als sin α = 1/ 3, i.e. α ≈ 35◦ 160 . 15 Ontleend

aan [1, pagina 88]. Sportwetenschappen is een verzamelnaam voor diverse wetenschappelijke studierichtingen die zich richten op onderzoek naar verschillende aspecten van sport. Sportwetenschappen is ook een studierichting in het ASO, met de nadruk op exacte wetenschappen (fysica-scheikunde-biologie), ondersteund door een stevig pakket wiskunde.

XV-53

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (3) (a) waar (b) waar (c) vals (d) waar (4) (a) vals (b) waar (c) waar (d) vals (e) vals (f) waar (6) (a) waar (b) waar (c) vals (11) Fr = 65 468, 67 . . . N −→ (13) (a) P S − (b) → o

−−→ (c) AM −→ (d) RP

(14) Fr = 1, 53 . . . N (15) α ≈ 74◦ 120 42, 97300 (16) 83, 61 . . . km/u (18) De snelheid van de wind bedraagt 5, 2787 . . . km/u en de wind maakt een hoek van ongeveer 119◦ 270 36, 91100 met het noorden. (19) De wind komt uit het zuidwesten, met een snelheid van 14, 1421 . . . km/u. (20) (a) 4, 3345 . . . m/s (b) ongeveer 161◦ 570 13, 31300 (22) (b) verticale windschering (c) 16, 998 . . . km/u (26) (E) −→ (27) (a) 2ZU −−→ (b) 2CG −−→ (c) 3BC −−→ (d) 2CY (28) 10kN; 5, 7735 . . . kN en 11, 5470 . . . kN XV-54

(29) (a) vals (b) waar (c) waar (31) 49 050N; 26 098, 95 . . . N en 51 404, 91 . . . N − → 1→ − − − 1→ 1→ (35) (a) M = A + B + C 3 2 6 −−→ 2 → − − − 1→ 1→ (b) M A = A − B − C 3 2 6 −−→ − − − 1→ 1→ 1→ MB = − A + B − C 3 2 6 −−→ − − − 1→ 1→ 5→ MC = − A − B + C 3 2 6 (36) (a) vals (b) waar (c) vals → − → − (37) (b) coB ( A ) = (3, 2) en coB ( B ) = (0, −2) → − → − − − (c) 2 A − B = 6→ e 1 + 6→ e2 → − → − (d) coB (2 A − B ) = (6, 6) Å ã 11 (38) (a) co(M ) = −1, 2 Å ã 5 13 (b) co(Z) = − , 3 3 (39) co(D) = (4, 0) (40) (b) F1 = Fz sin α, F2 = Fz cos α (c) 5, 9038 . . . m/s2 Å ã Å ã Å ã Å ã 7 18 1 16 9 14 17 12 (41) (a) − , , , , , , , 5 5 5 5 5 5 5 5 (b) co(C) = (16, 0) (42) (6, 8), (−2, −2) en (−4, 6) −−→ − −→ 1 − 1 − −−→ 1 → 1− 1− (43) (a) (i) DA = → v − → w , OF = − v + → w en P A = → v + → w 2 3 3 3 3 → − 1− 4− (ii) Z = → v + → w 3 9 (b) Vierhoek OF AP is een parallellogram. − 1→ −c = 4→ − (46) (b) → a − b 2 (47) (a) (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) en (0 : 0 : 1) ã Å ã Å ã Å 1 1 1 1 1 1 : :0 , 0: : en :0: (b) 2 2 2 2 2 2 Å ã 1 1 1 (c) : : 3 3 3 (e) (m1 : m2 : m3 ) ® x = −1 − r (48) (a) d : (r ∈ R) y = 3 + 5r (b) d : 5x + y = −2 ® x = −1 + 2r (49) (a) a : y =2+r

(r ∈ R)

(b) a : x − 2y = −5  x = r (50) (a) a :  y = − 12 + 7 r 10 10

(r ∈ R) XV-55

ã ã ã Å Å Å 1 1 6 en P3 2, − (b) bijvoorbeeld P1 0, − , P2 1, − 5 2 5   x = −2 + r (c) c : (r ∈ R)  y = 15 + 7 r 10 (d) b : 7x − 10y = 121 ® x=3+r (r ∈ R) (51) (a) a : y=4 ® x=3 (b) b : (r ∈ R) y =4+r ® x = 3 + 3r (c) c : (r ∈ R) y = 4 + 7r ® x=3+r (d) d : (r ∈ R) y = 4 − 2r (52) (a) niet evenwijdig (b) niet evenwijdig (c) niet evenwijdig voor elke x ∈ R

→ − → − → − (53) (a) a : K = A + t P (t ∈ R) → − → − → − b : L = B + t Q (t ∈ R)

(b) Om 15 u. bevindt het eerste schip zich in K(103, −23) en bevindt het tweede schip zich in L(−45, 18). (c) S(15, 43)

(d) Het eerste schip komt omstreeks 20.30 u. in snijpunt S aan, het tweede schip omstreeks 20 u.. (e) Er bestaat geen gevaar voor aanvaring. (54) a//b en c//d (55) B(18, −20) en C(−6, 10) (56) a : x + y = 5 of a : 3x + 4y = 18

Hoofdstuk 2 (1) (a) 48 (b) 40 (2) −66 (3) (a) 9, 1925 . . .; 16 en 9 √ (b) −3 2, 4 en 9 (c) −12, 9 en 16

− − − − (4) (a) → u 2 + 2→ u ·→ v +→ v2 − − (b) → u2−→ v2 (6) (a) waar (b) vals (c) waar (d) vals (e) vals (8)

p2 18

√ → − → − (9) (b) || A || = 5 en || B || = 3 Å ã 2 1 √ √ (c) co(− e→ ) = , en co(− e→ ) = (−1, 0) A B 5 5 XV-56

(11) 115◦ 30 27, 41 . . .00 √ √ − − − w || = 5 (13) (a) ||→ u || = 17, ||→ v || = 6 5 en ||→ Å ã Å ã Å ã 8 15 → 1 2 2 1 → − − − → √ √ √ √ (b) eu = − , , ev = − ,− en ew = ,− 17 17 5 5 5 5 − − − − − − (c) → u 6⊥ → v,→ v ⊥→ w, → u 6⊥ → w (d) 125◦ 210 44, 86 . . .00 ; 90◦ en 144◦ 380 15, 13 . . .00

(14) (a) 9 (b) −7 (c) 0

(d) 706 → − (15) bijvoorbeeld B (17) −

å √ 24 + 507 ,1 23

33 2

ã 2 1 √ √ (18) (b) bijvoorbeeld − 1, 5 5 → − → − → − → − (24) (a) u · v = 0 en u ∗ v = −3 Å

− → (25) (a) bijvoorbeeld co Ra = (−b, a) Å ã 5 5 (31) co(v// ) = − , 2 2 3 x+4 2 → − − → (34) (a) | P − M | = r

(32) a : y =

x = x1 + (y1 − b)s

(s ∈ R) y = y1 − (x1 − a)s cartesische vergelijking t : (x − x1 )(a − x1 ) + (y − y1 )(b − y1 ) = 0

XV-57

Referentielijst [1] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

XV-58