Wie Primzahlen zur Faszination

Wie Primzahlen zur Faszination Mathematik beitragen

von Sarah Holthaus

Primzahlen lassen sich nur durch sich selbst und 1 ohne Rest tei-

len. Für die 7 heißt das: Die Zahl ist nur durch 7 und 1 teilbar. 2,

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sind die Primzahlen bis 20. Das klingt erstmal langweilig, aber Primzahlen lassen längst nicht mehr nur die Herzen von Mathematiker*innen höher schlagen. Primzahlen faszinieren zwar die Welt der Mathematik so sehr, dass es ganze Vorlesungen nur über Primzahlen gibt, sie spielen aber auch in der Natur und in unserer digitalisierten Welt eine wichtige Rolle. Es folgen nun 7 Gründe, warum Mathematik im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen faszinierend sind.

1. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Es fällt leicht, sich vorzustellen, dass es unendlich viele Zahlen gibt. Der Zahlenstrahl geht einfach immer, immer weiter. Jetzt schaut man sich nur die Menge aller Primzahlen an, das sind einzelne Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Also ein kleinerer Teil aller Zahlen. Und auch dieser kleinere Teil ist unendlich groß. Das scheint absurd, Unendlichkeit ist für uns nicht greifbar und fasziniert.

2. Mathematiker*innen auf der ganzen Welt sind auf Primzahljagd, denn es ist schwierig, neue, große Primzahlen zu entdecken. Schon in der Antike kannten die Menschen Methoden, um Primzahlen zu finden. Besonders bekannt ist das Sieb des Eratosthenes. Dazu schreibt man alle natürlichen Zahlen der Reihe nach auf. Dann streicht man die 1 (s. u.). Die zwei darf bleiben, sie ist eine Primzahl. Danach streicht man alle Vielfachen von zwei (4, 6, 8, 10, …). Man siebt also alle Vielfachen von zwei aus. Weiter geht es mit der drei, auch diese ist bekannterweise eine Primzahl. Man muss jetzt wieder die Vielfachen aussieben (3, 6, 9, 12, 15, …). So geht man weiter vor, bis man bei der letzten Zahl angekommen ist, die man aufgeschrieben hat. Nach dem „Aussieben“ bleiben dann schließlich nur noch Primzahlen über.

Heute macht man das zwar nicht mehr von Hand, aber auch mit Computern ist es nicht ohne weiteres möglich, große Primzahlen zu finden. Es bedarf einer großen Rechenleistung und anschließend muss man beweisen, dass es sich um eine Primzahl handelt. Der Beweis wird dann noch von mehreren unabhängigen Expert*innen geprüft. Die momentan größte bekannte Primzahl hat 24.862.048 Stellen. Sie wurde 2018 entdeckt. Ihr Entdecker, Patrick Laroche aus Florida, erhielt dafür einen Preis von 3.000 $. In voller Länge können wir sie leider nicht abdrucken, für die Nerds unter euch (und wenn ihr bis hierher gelesen habt, zählt ihr vielleicht dazu) kommt sie hier in Potenzschreibweise: 282.589.933-1 .

3. Die 1 ist keine Primzahl. Mathematiker*innen sind in ihren Definitionen sehr spitzfindig. Die mathematisch korrekte Definition lautet: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei unterschiedliche Teiler hat: Die Zahl 1 und sich selbst. Und die 1 hat eben nur einen Teiler, da – und auch sonst – nehmen es Mathematiker*innen ganz genau.

4. Primzahlen verdeutlichen auf einfache Weise die besondere Schönheit der Mathematik, denn jede natürliche Zahl lässt sich als einzigartiges Produkt von Primzahlen darstellen. So ist 6=2∙3 und 235=5∙47 oder 210=2∙3∙5∙7. Damit sind Primzahlen für die Mathematik so etwas wie Atome in der Chemie, die kleinsten Teilchen, in die man alles zerlegen kann. Die Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus Primzahlen ist damit die einzigartige DNA dieser Zahl. Die Relevanz von Primzahlen steckt schon im Begriff Primzahl. Der leitet sich nämlich vom Lateinischen numerus primus (= erste Zahl) ab.

5. Primzahlen verschlüsseln unsere Daten in der digitalen Welt. Immer dann, wenn wir im Online-Banking eine Überweisung durchführen oder eine Mail schicken, werden unsere Daten verschlüsselt. Dazu werden zwei große Primzahlen miteinander multipliziert. Großen Primzahlen haben mehr als 500 Stellen. Ein Computer kann das Ergebnis schnell ausrechnen, was aber fehlt und damit unsere Daten verschlüsselt, ist eine schnelle Möglichkeit anhand des Ergebnisses wieder die beiden Primzahlen zu finden, die miteinander multipliziert wurden. Selbst mit heutiger Technologie würde das mehrere Millionen Jahre dauern und eine enorme Rechenstärke brauchen. Zur Einordnung: 2003 war man in der Lage die Faktoren einer 174-stelligen Zahl zu berechnen, die Zahlen, welche heute zur Verschlüsselung genutzt werden, haben mehr als 617 Stellen. Firmen, die an der Verschlüsselungstechnologie forschen, setzen sogar Preise aus: Jens Franke beispielsweise erhielt 10.000 $ als er 2003 die zwei Faktoren einer 174-stelligen Zahl herausfand.

6. In der Natur gibt es Primzahl zyklen. Einige Tier- und Pflanzenarten vermehren sich in Primzahlzyklen besonders stark, also z.B. alle 5, 13 oder 17 Jahre. Evolutionsbiologisch kann man das so erklären, dass sie so besser vor Fressfeinden geschützt sind. Durch Primzahlzyklen ist es unwahrscheinlicher, dass sie sich mit den Vermehrungszyklen ihrer Fressfeinde überschneiden. (Vermehren sie sich beispielsweise alle 17 Jahre, dann gibt es nur alle 170 Jahre eine Überschneidung mit einem Zehn-Jahres-Rhythmus. Vermehren sie sich alle 15 Jahre, dann ist schon alle 30 Jahre eine Überschneidung mit einem Zehn-JahresRhythmus möglich.) Ein Beispiel für einen Primzahlzyklus in der Natur ist die nordamerikanische Zikade. Zikaden sind Insekten, die – ähnlich wie unsere Grillen – zirpende Töne hervorbringen. In Tennessee beobachtet man schon seit 1634 regelmäßig, alle 17 Jahre, ein besonders starkes Aufkommen der Zikaden. Die nächste massenhafte Zikadenvermehrung wird für das Jahr 2025 erwartet. Es gibt außerdem einige Fichtenarten,