2.1.1 Sistemi ad 1 grado di libertà

n sistemi non lineari: hanno almeno un elemento che presenta un comportamento non lineare e sono descritti da equazioni differenziali non lineari, analiticamente più complesse.

Una ulteriore classificazione può essere effettuata in base alla tipologia di forze agenti: n vibrazioni libere: quando il sistema vibra sotto l’azione di forze inerenti al sistema stesso, in assenza di forze esterne impresse, o meglio dopo che queste sono cessate (in assenza di forze esterne, il sistema rimarrebbe in quiete); n vibrazioni forzate: avvengono sotto l’azione di forze esterne applicate al sistema.

2.1.1 Sistemi ad 1 grado di libertà

A titolo di esempio, si riporta l’analisi delle vibrazioni libere di un sistema elementare a 1 GdL, costituito da una massa m che può muoversi in direzione orizzontale, collegata ad un supporto fisso attraverso una molla di costante elastica k. Nella Figura 3 è riportato il modello, l’equazione di moto e la risposta di tale sistema. Si osserva che la risposta è un’oscillazione di ampiezza costante nel tempo la cui frequenza, detta frequenza naturale o propria, dipende unicamente dalle caratteristiche intrinseche del sistema, la rigidezza k e la massa m.

Figura 3 Vibrazioni libere di un sistema non smorzato a 1 GdL

Risposta ad una condizione iniziale x0: Equazione di moto:

Frequenza naturale: Pulsazione naturale:

(Università degli Studi di Roma La Sapienza - DIMA in collaborazione con Università degli Studi dell’Aquila - DIIIE)

Nella realtà, tutti i sistemi vibranti sono in maggior o minor misura soggetti a smorzamento in quanto si dissipa energia per attrito e per altre cause resistenti. Nel caso precedente, avendo trascurato gli smorzamenti, si parla di vibrazioni non smorzate. Nelle vibrazioni libere smorzate, in assenza di energia fornita dall’esterno, le forze dissipative fanno diminuire l’ampiezza delle oscillazioni nel tempo. Nel modello in Figura 4 è rappresentato un sistema con le stesse caratteristiche del modello in Figura 3, in cui si tiene conto anche dello smorzamento.

La pulsazione naturale ωs del sistema smorzato dipende ancora unicamente dalle caratteristiche intrinseche del sistema e rispetto alla pulsazione naturale ωn del sistema non smorzato è moltiplicata per un fattore correttivo minore di uno che dipende dallo smorzamento. La risposta del sistema dipende dal valore assunto dal fattore di smorzamento. In particolare, si possono distinguere tre casi: n sistema sotto smorzato (ζ < 1): il sistema risponde con un moto oscillatorio attorno alla posizione di equilibrio la cui ampiezza si riduce con il tempo; n sistema sovra smorzato (ζ > 1): il sistema risponde con un moto aperiodico in cui la massa tende a raggiungere la posizione di equilibrio, senza oscillazioni;

Figura 4 Vibrazioni libere di un sistema smorzato a 1 GdL

Risposta: Equazione di moto:

Pulsazione naturale smorzata: ζ

Fattore di smorzamento: ç

Rappresentazione di un sistema a 1GdL smorzato, corredato dall’equazione e rappresentazione della sua risposta nel tempo, in base al valore del fattore di smorzamento

(Università degli Studi di Roma La Sapienza - DIMA in collaborazione con Università degli Studi dell’Aquila - DIIIE)

n sistema a smorzamento critico (ζ = 1): il sistema risponde con un moto aperiodico in cui la massa tende a raggiungere la posizione di equilibrio nel tempo più breve possibile.

Ai fini del controllo delle vibrazioni può essere opportuno utilizzare dei sistemi sovra smorzati che evitano le oscillazioni del sistema prima dell’estinzione della risposta. Per quanto riguarda le vibrazioni forzate, si consideri il sistema a 1 GdL smorzato soggetto a una forzante armonica con pulsazione ω e ampiezza F0. In questo caso la risposta del sistema è armonica, alla stessa frequenza della forza con un’ampiezza X0 che dipende dall’ampiezza della forza e dalle caratteristiche intrinseche del sistema.

La Figura 5 riporta il grafico del fattore di amplificazione, definito come il rapporto tra l’ampiezza della risposta dinamica X e l’ampiezza della risposta statica X0=F0/k a frequenza nulla. Essendo ω la pulsazione della forza eccitante e ωn la pulsazione propria del sistema, si osserva che: n per ω << ωn, il sistema oscilla con un’ampiezza prossima al rapporto F0/k; n per ω >> ωn, il sistema oscilla con ampiezze decrescenti al crescere delle frequenze; n per ω ≈ ωn, il sistema oscilla con un’ampiezza elevata, limitata dalla presenza dello smorzamento.

Il grafico mostra che quando una forza variabile nel tempo eccita la frequenza naturale

Figura 5 Vibrazioni forzate di un sistema a 1 GdL

Equazione del moto: Forzante di tipo armonico:

Fattore di amplificazione:

(Università degli Studi di Roma La Sapienza - DIMA in collaborazione con Università degli Studi dell’Aquila - DIIIE)