2.1.2 Sistemi a più gradi di libertà

di una struttura dà luogo a vibrazioni di elevata ampiezza. Tale fenomeno è noto come risonanza e può creare criticità sia in termini di integrità strutturale (rotture, fenomeni di fatica, ecc.) sia in termini di comfort, soprattutto se la forzante eccita per lungo tempo il sistema alla sua frequenza naturale. In assenza di smorzamento l’ampiezza della risposta potrebbe raggiungere anche valori molto grandi, al limite tendenti all’infinito. In realtà la presenza di smorzamento attenua l’ampiezza massima della risposta del sistema. Sempre in Figura 5, si osserva che all’aumentare del fattore di smorzamento, l’ampiezza in risonanza è sempre più attenuata.

2.1.2 Sistemi a più gradi di libertà

I sistemi a più gradi di libertà presentano tante pulsazioni proprie quanti sono i gradi di libertà. Nel caso di un sistema continuo si avranno di conseguenza infinite pulsazioni proprie. Ad ogni frequenza propria è possibile associare un corrispondente forma modale o modo di vibrare, come nell’esempio di una corda tesa vibrante riportato in Figura 6. Deformando il sistema secondo un modo di vibrare e lasciandolo libero, le oscillazioni avverranno ad una pulsazione pari alla pulsazione propria del modo, mantenendo inalterata la forma del modo di vibrare. L’identificazione dei modi del sistema permette di individuare un set di oscillatori indipendenti a 1 GdL, ognuno dei quali caratterizzato da una forma modale, da una massa modale, da una rigidezza modale e da uno smorzamento modale, che insieme costituiscono i parametri modali del sistema. Ciò consente di esprimere la risposta di un sistema lineare a più gradi di libertà a una data frequenza come combinazione lineare delle forme modali dei singoli oscillatori.

Figura 6

Modo 1

Modo 2

Modo 3

Modo 4 Modi di vibrare di una corda tesa

(Università degli Studi di Roma La Sapienza - DIMA in collaborazione con Università degli Studi dell’Aquila - DIIIE)

Nell’analisi del sistema a 1 GdL forzato, si è immaginato di eccitare il sistema con una forzante armonica. È da notare che il sistema può essere soggetto a forzanti con variabilità temporali molto diverse (impulsive, continue, aleatorie, ecc.) che rendono l’analisi della risposta vibratoria nel dominio del tempo piuttosto complicata. Un approccio molto efficace per lo studio di sistemi lineari soggetti a forzanti non armoniche è l’analisi nel dominio della frequenza. In tale dominio, è possibile definire il sistema attraverso la sua funzione di risposta in frequenza (FRF) definita come:

Questa rappresenta il rapporto complesso tra uscita X ed ingresso F in funzione della frequenza ω, e dipende unicamente dalle caratteristiche intrinseche del sistema. In questo dominio, la risposta del sistema a una qualsiasi forzante variabile nel tempo è data, ad ogni frequenza, dal prodotto tra il valore della FRF e l’ampiezza della forzante. Si noti che la FRF, così come il fattore di amplificazione introdotto in Figura 5, descrive le proprietà dinamiche di un sistema lineare, indipendentemente dal tipo di segnale che forza il sistema. Lo spettro della risposta in frequenza (Figura 7) mostra una serie di picchi che individuano le frequenze proprie del sistema. A queste frequenze, la forzante produrrà delle risposte particolarmente elevate a causa del fenomeno della risonanza.

In Figura 8 è mostrato il comportamento dinamico flessionale di una trave appoggiata: n la deformazione geometrica è rappresentata dalla combinazione lineare di deformazioni indipendenti, corrispondenti alla forma dei modi;

Figura 7 Modello nel dominio delle frequenze

(Università degli Studi di Roma La Sapienza - DIMA in collaborazione con Università degli Studi dell’Aquila - DIIIE)