• Método popular, gracias a su versatilidad en la resolución de problemas de programación lineal. • Consiste en un procedimiento matricial para manejar variables no negativas, de fácil manipulación en computadoras, que permite solucionar problemas con un gran número de variables y restricciones.
El método simplex toma como posible solución un punto correspondiente a uno de los vértices de la región factible, siendo la primera aproximación el origen. El método itera hacia otros vértices, hasta que alguno de ellos sea el óptimo.
Etapas del método simplex 1. Etapa inicial: Consiste en dar la primera solución factible en el vértice correspondiente al origen. 2. Etapa iterativa: Implica que el método busque una mejor solución a la anterior en otro vértice. 3. Etapa de prueba de optimalidad: Se logra cuando la solución de un vértice es mejor que la de los vértices adyacentes a él.
Propiedades de las soluciones factibles 1. En caso de existir solución óptima, ésta se localizará en uno de los vértices de la zona de solución 2. Si existen soluciones múltiples, éstas se ubicarán en vértices adyacentes a la región factible de solución 3. Habrá siempre un número finito de soluciones factibles en los vértices 4. La solución óptima en un vértice será aquella que sea mejor que las soluciones de vértices adyacentes a aquél.
MĂŠtodo simplex paso a paso Tenemos el siguiente problema: đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 10đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś đ?‘ . đ?‘Ž 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś ≤ 3.6 đ?‘Ľ+đ?‘Ś =1 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś ≼ 2.4
Paso 1: Transformación de desigualdades en igualdades Se convierten las desigualdades de las restricciones en igualdades, mediante la incorporación de variables de holgura y/o variables artificiales, las cuales se agregan a las restricciones con un coeficiente cuyo valor muestra la siguiente tabla: Tipo de restricción
Coeficiente de la variable de holgura (H)
Coeficiente de la variable artificial (F)
≤ ≥ =
1
0
-1
1
0
1
Paso 2: Incluir las variables de holgura y artificiales en la funciรณn objetivo
Las variables de holgura y artificiales, se incluirรกn en la funciรณn objetivo con un coeficiente de 0 para las variables H y con un coeficiente de -M para las variables F (en el caso de minimizaciรณn el coeficiente serรก +M)
Paso 3: Encontrar la primera soluci贸n
Para lograrlo, se debe expresar las ecuaciones de las restricciones y la funci贸n objetivo de la siguiente manera: Coeficientes de la funci贸n objetivo
Zona de soluci贸n
Constantes
Objetivo
Variables Coeficientes de las restricciones
La primera solución o solución básica (o solución inicial), será aquella donde los coeficientes con +1 en la parte identidad (columnas de coeficientes de las variables H y F).
En este punto, z será igual a cero, ya que no se está dentro de la zona de solución
10
12
0
0
-M
-M
x
y
𝑯𝟏
𝑯𝟐
𝑭𝟏
𝑭𝟐
0
𝑯𝟏
3.6
4
3
1
0
0
0
-M
𝑭𝟏
1
1
1
0
0
1
0
-M
𝑭𝟐
2.4
2
3
0
-1
0
1
𝑯𝟏 = 𝟑. 𝟔 𝑭𝟏 = 𝟏 𝑭𝟐 = 𝟐. 𝟒 𝒛=𝟎
Ahora se debe agregar el renglón de utilidad (índices), así: Número índice = (a) Sumatoria de los productos de los elementos de la columna por el respectivo elemento del objetivo columna en el renglón objetivo
–
(b) elemento correspondiente a la
Nota: en casos de minimización, los signos se intercambian.
Para la variable x, el nĂşmero Ăndice serĂĄ: (a) 4 đ?‘Ľ 0 + 1 đ?‘Ľ (−đ?‘€) + 2 đ?‘Ľ (−đ?‘€) = −3 đ?‘€ (b) −3 đ?‘€ − 10 Este Ăndice tiene dos partes, la dependiente de M y la numĂŠrica. Estas partes se agregan por separado a la tabla que venimos construyendo
Paso 4: Mejorar la aproximación Seleccionar una columna de trabajo, correspondiente a la columna con el menor índice (en caso de empate se es indiferente en la selección), considerando primero la parte dependiente del término M y luego la numérica. 10
12
0
0
-M
-M
x
y
𝑯𝟏
𝑯𝟐
𝑭𝟏
𝑭𝟐
0
𝑯𝟏
3.6
4
3
1
0
0
0
-M
𝑭𝟏
1
1
1
0
0
1
0
-M
𝑭𝟐
2.4
2
3
0
-1
0
1
0
-10
-12
0
0
0
0
-3.4
-3
-4
0
1
0
0
Puede omitirse
Seleccionar un renglón de trabajo, correspondiente al menor cociente obtenidos al dividir cada elemento de la columna de constantes entre cada elemento de la columna clave (en caso de empate se es indiferente en la selección. 10
12
0
0
-M
-M
x
y
𝑯𝟏
𝑯𝟐
𝑭𝟏
𝑭𝟐
0
𝑯𝟏
3.6
4
3
1
0
0
0
-M
𝑭𝟏
1
1
1
0
0
1
0
-M
𝑭𝟐
2.4
2
3
0
-1
0
1
0
-10
-12
0
0
0
0
-3
-4
0
1
0
0
• • •
Determinar el nĂşmero clave o elemento pivote, que corresponde a la intersecciĂłn de la columna de trabajo con el reglĂłn de trabajo. Luego se divide todo el reglĂłn en el nĂşmero clave. Se sustituye en la parte de la zona objetivo y de soluciĂłn, por el coeficiente y la variable correspondiente a la funciĂłn objetivo
10
12
0
0
-M
-M
x
y
đ?‘Żđ?&#x;?
đ?‘Żđ?&#x;?
đ?‘đ?&#x;?
đ?‘đ?&#x;?
0
đ?‘Żđ?&#x;?
3.6
4
3
1
0
0
0
-M
đ?‘đ?&#x;?
1
1
1
0
0
1
0
12
đ?’š
0.8
0.667
1
0
-0.333
0
0.333
0
-10
-12
0
0
0
0
-3
-4
0
1
0
0
En este caso, el proceso elimina la variable artificial đ?‘đ?&#x;? , la cual puede salir de la tabla
• Hacer 0 los demås elementos de la columna clave, a travÊs del proceso de reducción de Gauss (utilizando como referencia el reglón clave) 10
12
0
0
-M
x
y
đ?‘Żđ?&#x;?
đ?‘Żđ?&#x;?
đ?‘đ?&#x;?
0
đ?‘Żđ?&#x;?
1.2
2
0
1
1
0
-M
đ?‘đ?&#x;?
0.2
0.333
0
0
0.333
1
12
đ?’š
0.8
0.667
1
0
-0.333
0
9.6
-2
0
0
-4
0
-0.333
0
0
-0.333
0
SoluciĂłn
đ?‘Żđ?&#x;? = đ?&#x;?. đ?&#x;? đ?‘đ?&#x;? = đ?&#x;Ž. đ?&#x;? đ?’š = đ?&#x;Ž. đ?&#x;– đ?’› = đ?&#x;—. đ?&#x;”
Paso 5: Repetir el paso 4 hasta encontrar la solución óptima El paso anterior encontró una solución mejor que la primera, pero aún no es el óptimo. Resultado iteración 2: 10
12
0
0
x
y
𝑯𝟏
𝑯𝟐
0
𝑯𝟏
0
0
0
1
-1
10
𝒙
0.6
1
0
0
1
12
𝒚
0.4
0
1
0
-1
10.8
0
0
0
-2
𝑯𝟏 = 𝟎 𝒙 = 𝟎. 𝟔 𝒚 = 𝟎. 𝟒 𝒛 = 𝟏𝟎. 𝟖
Realizando una tercera iteración: 10
12
0
0
x
y
𝑯𝟏
𝑯𝟐
0
𝑯𝟏
0.6
1
0
1
0
0
𝑯𝟐
0.6
1
0
0
1
12
𝒚
1
1
1
0
0
12
2
0
0
0
𝑯𝟏 = 𝟎.6 𝑯𝟏 = 𝟎. 𝟔 𝒚 =12 𝒛 = 𝟏𝟐
Material adaptado del libro Investigaci贸n de operaciones de Juan Manuel Izar Landeta. Editorial Trillas.2008