Matemรกticas aplicadas: Relaciones y funciones
Pares ordenados Al escribir un conjunto de la forma đ?‘Ž, đ?‘? no prestamos atenciĂłn al orden en que aparecen los elementos, ya que por definiciĂłn đ?‘Ž, đ?‘? = đ?‘?, đ?‘Ž . ďƒ En este caso llamamos a los elementos a, b un par no ordenado. ďƒ Si tenemos en cuenta el orden, de tal forma que (a,b)≠(b,a), lo llamaremos un par ordenado.
Conjuntos ordenados Inscritos a la competencia
Tabla de posiciones
El plano cartesiano El plano xy es un conjunto infinito de puntos, cada uno de los cuales representa un par ordenado cuyo primer elemento es un valor x y el segundo un valor y. ďƒ (x,y) Un par ordenado (4,2) es diferente al par (2,4) ďƒ El orden es significativo
Producto cartesiano Se dice producto cartesiano de los conjunto đ?‘Ľ y đ?‘Ś (denotado đ?‘Ľ x đ?‘Ś ) al conjunto de todos los posibles pares ordenados tomando un elemento del conjunto x y un elemento del conjunto y đ?‘Ľxđ?‘Ś= đ?‘Ľxđ?‘Ś=
đ?‘Ž, đ?‘? , đ?‘?, đ?‘‘ , (đ?‘’, đ?‘“) đ?‘Ž, đ?‘? \a ∈ đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘? ∈ đ?‘Ś
Cada par ordenado corresponde a un Ăşnico punto del plano cartesiano y, recĂprocamente, cada punto en el plano cartesiano tambiĂŠn corresponde a un Ăşnico par ordenado del conjunto đ?‘Ľ x đ?‘Ś ďƒ se dice que existe una correspondencia uno a uno
Como todo par ordenado asocia un valor y con un valor x, toda colección de pares ordenado, constituirå un relación entre � x � Ejemplo 1: � = 2� Ejemplo 2: El conjunto (�, �)\y ≤ �
En el ejemplo 2, cuando 𝑥 toma un valor, ejemplo 𝑥 = 4 , 𝑦 puede tomar diferentes valores. En el ejemplo 1, existe una relación uno a uno, de tal manera que, para cada valor de 𝑥 existe un único valor de 𝑦
En este caso se dice que 𝑦 es una función de 𝑥, y se denota como 𝑦 = 𝑓(𝑥). NOTA 1: Una función es una relación, pero una relación puede que NO sea una función. NOTA 2: La definición implica que para un único valor de 𝑥 existe un único valor de 𝑦, pero no lo contrario.
Una funciĂłn tambiĂŠn se denomina una transformaciĂłn. En la connotaciĂłn y = đ?‘“ đ?‘Ľ , đ?‘“ se interpreta como la regla mediante la cual el conjunto đ?‘Ľ transformado en el conjunto đ?‘Ś ďƒ podemos reescribirlo como đ?‘“: đ?‘Ľďƒ đ?‘Ś
En la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ : x se conoce como el argumento de la funciĂłn y, el valor de la funciĂłn xďƒ ExĂłgena(dependiente), yďƒ EndĂłgena(independiente)
Tipos de funciones • Funciones constantes: Una funciĂłn cuyo rango estĂĄ constituido por un solo elemento. ďƒ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5 • Funciones polinomiales: Una funciĂłn polinomial de una variable đ?‘Ľ tiene la forma general: đ?‘Œ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘›
Tipos de funciones Dependiendo de n, tenemos varias subclases de funciones polinomiales:
a. b. c. d.
đ?‘› = 0 ďƒ đ?‘Œ = đ?‘Ž0 đ?‘› = 1 ďƒ đ?‘Œ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ đ?‘› = 2 ďƒ đ?‘Œ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 đ?‘› = 3 ďƒ đ?‘Œ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ľ 3
Tipos de funciones • Funciones racional: Una funciĂłn expresada como la razĂłn entre dos polinomio en la variable đ?‘Ľ ďƒ đ?‘Ś = 1/đ?‘Ľ rectangular
ďƒ
HipĂŠrbola
• Funciones trigonomĂŠtricas • Funciones exponenciales • Funciones logarĂtmicas
equilĂĄtera
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