Circunferencia

´diz Universidad de Ca Departamento de Matem´aticas

´ MATEMATICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas

Tema 5 La circunferencia

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ıa Teresa Gonz´alez Montesinos

´Indice 1. Ecuaci´ on de la circunferencia

1

2. Determinaci´ on de una circunferencia

2

3. Intersecci´ on de la circunferencia con otra l´ınea 3.1. Intersecci´ on de una circunferencia con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Intersecci´ on de dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4

4. Eje radical de dos circunferencias 4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Eje radical de dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6

5. Ejercicios propuestos

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1

Tema 5

1. Ecuaci´on de la circunferencia Definici´ on 1.1 Una circunferencia es el lugar geom´etrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro.

Y

P (x, y) Q

r C(a, b)

y−b

x−a

M X

Figura 1: Circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

Expliquemos brevemente la definici´ on teniendo en cuenta la figura 1: sea C(a, b) el centro. Cualquier punto P , Q, M , ..., est´ a a la misma distancia –equidista– de C. Esta distancia recibe el nombre de radio, r. Abreviadamente, el lugar geom´etrico viene dado por el conjunto

C = P (x, y) ∈ R2 / d(P, C) = r .

(1) Para deducir la ecuaci´ on de la circunferencia, expresemos anal´ıticamente (1): p 2 2 2 d(P, C) = (x − a)2 + (y − b)2 = r =⇒ (x − a) + (y − b) = r .

(2)

Desarrollando la ecuaci´ on anterior, se obtiene x2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 = r 2 , que usualmente se escribe en la forma x2 + y 2 + Ax + By + C = 0,

(3)

donde A = −2a, B = −2b y C = a2 + b2 − r 2 .

N´ otese que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, su ecuaci´ on viene dada por x2 + y 2 = r 2 .

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Ejemplo 1.1 1. La ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C(1, −2) y cuyo radio es igual a 2 viene dada por (x − 1)2 + (y + 2)2 = 4.

2. Dada la circunferencia (x + 3)2 + (y − 2)2 = 9, su centro es el punto C(−3, 2) y su radio es r = 3.

3. Dada la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 6y − 3 = 0, determinar su centro y su radio.

Agrupamos los t´erminos en x e y para expresar la ecuaci´ on de la circunferencia como en (2): (x2 − 4x) + (y 2 + 6y) = 3.

Para obtener el cuadrado de una suma o diferencia en x e y, sumamos y restamos, respectivamente, 4 y 9 a los dos par´entesis: (x2 − 4x + 4) − 4 + (y 2 + 6y + 9) − 9 = 3 =⇒ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16.

De este modo, el centro de la circunferencia es C(2, −3) y el radio es r = 4.

2. Determinaci´on de una circunferencia Para hallar la ecuaci´ on de una circunferencia, se precisan varios datos que ir´ an formulados de forma expl´ıcita o impl´ıcita en el enunciado del problema. En general, se reducir´ an a los siguientes: a) Si los datos son las coordenadas del centro, C(a, b), y el radio, r, la ecuaci´ on es inmediata. b) Conocidos tres puntos no alineados de la circunferencia –tres puntos no alineados determinan una u ´nica circunferencia–, bastar´ a sustituir sus coordenadas en (2) o en (3), lo cual nos proporcionar´ a un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas.

Ejemplo 2.1 Calcular la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por los puntos M (1, 4), N (1, 0) y P (3, 2).

Si C : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 es la ecuaci´ on de la circunferencia que buscamos, debemos hallar los coeficientes A, B y C. Para ello imponemos que los tres puntos pertenezcan a la circunferencia:   M (1, 4) ∈ C =⇒ 12 + 42 + A + 4B + C = 0  A + 4B + C = −17  N (1, 0) ∈ C =⇒ 12 + 0 + A + 0B + C = 0 =⇒ A + C = −1 .   2 2 P (3, 2) ∈ C =⇒ 3 + 2 + 3A + 2B + C = 0 3A + 2B + C = −13

Resolviendo este sistema resulta A = −2, B = −4 y C = 1, de modo que la circunferencia pedida es C : x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0.

Otra forma de resolver el problema consistir´ıa en tener en cuenta que la perpendicular en el punto medio, mediatriz, de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro, con lo que bastar´ıa hallar la intersecci´ on de las mediatrices de M P y N P , pues se cortan en el centro C de la circunferencia.

c) Puede ocurrir que los datos sean distintos de los contemplados en los dos casos anteriores. Pero este hecho es s´ olo aparente, pues un examen cuidadoso del enunciado nos permite reducir cualquier problema a los dos casos precedentes.

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Tema 5

Ejemplo 2.2 1. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por el punto P (1, −2) y tiene su centro en C(2, 0). √ √ Este problema se puede englobar en el caso a), pues d(P, C) = 1 + 4 = 5 = r. As´Ĺ, la ecuaci´ on de la circunferencia viene dada por C : (x − 2)2 + y 2 = 5.

2. Calcular la ecuaci´ on de una circunferencia de centro C(2, 1), sabiendo que es tangente a la recta t : x − y + 4 = 0. ´ Este tambi´en queda dentro del caso a), ya que el radio r es perpendicular a la tangente en el punto de contacto –v´ease la figura 2–:

P r C t

Figura 2: La recta tangente, t, a una circunferencia es perpendicular al radio, r, de ´esta en el punto, P , de tangencia.

d(C, t) =

5 |2 ¡ 1 + 1 ¡ (−1) + 4| √ =√ .

1+1 2

La circunferencia pedida es pues (x − 2)2 + (y − 1)2 =

25 .

2

3. Intersecci´on de la circunferencia con otra l´Ĺnea Para calcular los puntos de intersecci´ on de dos l´Ĺneas cualesquiera, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones correspondientes a dichas l´Ĺneas. Ve´ amoslo para algunos casos sencillos:

3.1. Intersecci´on de una circunferencia con una recta Se resuelve el siguiente sistema: C : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 s : y = mx + n

.

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Sustituyendo y = mx + n en la primera ecuaci´ on, resulta una ecuaci´ on de segundo grado en x: 2 ax + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes conocidos. Esta ecuaci´ on podr´ a tener dos soluciones, una o ninguna, seg´ un el valor del discriminante, ∆ = b2 − 4ac:

∆ > 0: secante

∆ = 0: tangente

â&#x2C6;&#x2020; < 0: exterior

Ejemplo 3.1 1. Determinar la posici´ on de la circunferencia (x â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + (y + 4)2 = 4 y de la recta x â&#x2C6;&#x2019; y = 0.

(x â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + (y + 4)2 = 0 Resolviendo el sistema , se obtiene la ecuaci´ on 2x2 + 4x + 16 = 0, x = y cuyo discriminante es â&#x2C6;&#x2020; = 16 â&#x2C6;&#x2019; 72 < 0, por lo que la recta es exterior a la circunferencia.

2. La circunferencia x2 + y 2 + 11x â&#x2C6;&#x2019; 7y â&#x2C6;&#x2019; 60 = 0 y la recta y = 2x â&#x2C6;&#x2019; 8 se cortan en los puntos P (4, 0) y Q(3, â&#x2C6;&#x2019;2), como debe comprobar el alumno.

5 2 125 2 3. La recta 2x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0 es secante a la circunferencia x + y â&#x2C6;&#x2019; = en los puntos 2 4 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; P (5 + 30, 2 30) y Q(5 â&#x2C6;&#x2019; 30, â&#x2C6;&#x2019;2 30), como puede comprobar el alumno.

3.2. Intersecci´on de dos circunferencias Las coordenadas de los puntos comunes han de verificar las ecuaciones de ambas circunferencias, es decir, han de ser soluci´ on del sistema

x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 , x2 + y 2 + Aâ&#x20AC;˛ x + B â&#x20AC;˛ y + C â&#x20AC;˛ = 0 que es equivalente al que resulta de sustituir una ecuaci´ on por una combinaci´ on lineal de las otras:

x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 .

(A â&#x2C6;&#x2019; Aâ&#x20AC;˛ )x + (B â&#x2C6;&#x2019; B â&#x20AC;˛ )y + C â&#x2C6;&#x2019; C â&#x20AC;˛ = 0 La segunda ecuaci´ on, que corresponde a la de una recta, se ha obtenido restando las dos ecuaciones del sistema anterior.

As´Ĺ, la intersecci´ on de dos circunferencias queda reducida a la intersecci´ on de una cualquiera de ellas con la recta que pasa por los puntos comunes, si existen.

2 x + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2x â&#x2C6;&#x2019; 4y + 3 = 0 Ejemplo 3.2 Para determinar la posici´ on de las circunferencias , se resx2 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2x + 6y â&#x2C6;&#x2019; 7 = 0 tan las dos ecuaciones y obtenemos el sistema equivalente

x2 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2x â&#x2C6;&#x2019; 4y + 3 = 0 , â&#x2C6;&#x2019;10y + 10 = 0 que admite dos soluciones, (0, 1) y (2, 1), que son las coordenadas de los puntos de corte.

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4. Eje radical de dos circunferencias 4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia La potencia de un punto P respecto de una circunferencia C est´ a definida como el valor constante de los productos de las distancias entre dicho punto y los puntos determinados en la circunferencia por cualquier secante que pasa por P, y se denotar´ a por PotC (P ). Seg´ un la figura 3, Y

P (x0 , y0 ) M N C(a, b)

A d

B X

Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

PotC (P ) = |P M ||P N | = · · · = |P A||P B| =

= |P C| − |AC| |P C| + |CB| = (d − r)(d + r) = d2 − r 2 ,

donde d = |P C| y r es el radio de la circunferencia.

Como d2 = |P C|2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2 , se obtiene la expresi´ on anal´ıtica de la potencia: PotC (P ) = d2 − r 2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2 − r 2 , o bien PotC (P ) = x20 + y02 + Ax0 + By0 + C. N´ otese que la primera expresi´ on es el resultado de sustituir en el primer miembro de la ecuaci´on de la circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 − r 2 = 0 las coordenadas del punto P , mientras que la segunda se obtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuaci´ on de la forma x2 + y 2 + Ax + By + C = 0.

2 2 Como d − r T 0, un punto P (x0 , y0 ) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, seg´ un se verifique, respectivamente, x20 + y02 + Ax0 + By0 + C T 0.

Ejemplo 4.1 1. La potencia de P (−2, 3) respecto de la circunferencia C : x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 es PotC (P ) = (−2)2 + 32 − 2(−2) − 4 · 3 + 1 = 6.

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e

e C’

C C′

C

Secantes

C’

C C′

C

Tangentes

e P

C’

C C′

C

Exteriores Figura 4: Eje radical de dos circunferencias.

2. Los puntos M (1, 4) y N (1, 1) est´ an, respectivamente, en la circunferencia y en el interior del c´ırculo, como puede comprobar el alumno.

4.2. Eje radical de dos circunferencias El eje radical de dos circunferencias es el lugar geom´etrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ellas, es decir, si C y C ′ son dos circunferencias, el eje radical est´ a definido por

e(C, C ′ ) = P ∈ R2 / PotC (P ) = PotC ′ (P ) .

(4) Si P (x, y) es un punto cualquiera de dicho lugar geom´etrico, y C : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 y C ′ : x2 + y 2 + A′ x + B ′ y + C ′ = 0, en virtud de (4) se tiene que x2 + y 2 + Ax + By + C = x2 + y 2 + A′ x + B ′ y + C ′ , de donde e(C, C ′ ) : (A − A′ )x + (B − B ′ )y + C − C ′ = 0,

(5)

esto es, el eje radical de dos circunferencias es una recta.

Es m´ as, puede probarse sin ninguna dificultad que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias.

Dadas dos circunferencias, si ´estas son secantes, el eje radical es la recta que une los puntos de corte; si son tangentes, el eje radical es la recta tangente a las dos en su punto de contacto. Si son exteriores, el eje radical se construye del siguiente modo: se traza una circunferencia auxiliar arbitraria que sea secante a ambas circunferencias, se trazan las rectas secantes correspondientes y ´estas se cortar´ an en un punto P ; el eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias C y C ′ y que pasa por el punto P . Todo ello puede verse en la figura 4.

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Ejemplo 4.2 El eje radical de las circunferencias C : x2 +y 2 −4x+6y−10 = 0 y C ′ : x2 +y 2 +2x−4y−8 = 0 viene dado por e(C, C ′ ) : 3x − 5y + 1 = 0.

5. Ejercicios propuestos (1) Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio son: a) C(3, −2), r = 4;

b) C(0, 3), r = 3;

c) C(2, 3), r = 1.

(2) Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0;

b) x2 + y 2 + 3x + y + 10 = 0;

c) 4x2 + 4y 2 − 4x + 12y − 6 = 0; 1 1 d) x2 + y 2 + 3x + y + 5 = 0.

2 2 (3) Calcula la ecuaci´ on de la circunferencia que a) tiene su centro en (2, −3) y pasa por el punto (1, 4);

b) tiene su centro en (2, −3) y es tangente al eje de abscisas;

c) tiene su centro en el punto de intersecci´ on de las rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5;

d) tiene su centro en (−1, 4) y es tangente al eje de ordenadas; e) tiene su centro en (2, 0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante; f) tiene su centro en (1, 3) y es tangente a la recta 3x + 4y + 10 = 0; g) tiene su centro en la recta 5x − 3y − 2 = 0 y pasa por los puntos (4, 0) y (0, 4);

h) tiene su centro en la recta x + y = −2 y pasa por los puntos A(2, 1) y B(−1, 5);

i) pasa por el punto (−2, 2) y es tangente a las rectas 4x + 3y − 8 = 0 y 4x − 3y + 24 = 0;

j) tiene por di´ ametro el segmento AB, con A(2, 0) y B(−6, 6).

(4) Determina la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por los puntos a) A(3, −2), B(4, 0), C(0, 5);

b) A(1, 1), B(−2, 3), C(−1, −1).

(5) Halla las coordenadas de los puntos de intersecci´ on, si existen, de la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 20 = 0 con cada una de las siguientes l´ıneas: a) x + 7y − 20 = 0;

b) 3x + 4y − 27 = 0; c) x + y − 10 = 0;

d) x2 + y 2 − 6x − 2y − 14 = 0;

e) x2 + y 2 + 6x − 4y + 10 = 0.

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(6) Dada la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 10y − 66 = 0, halla las ecuaciones de las tangentes paralelas a la recta 4x − 3y + 2 = 0.

(7) Dados los puntos de coordenadas (0, 2) y (0, −2), se pide: a) Escribir la ecuaci´ on general de todas las circunferencias que pasen por esos puntos; b) de estas circunferencias, determinar el centro y el radio de aquella que es tangente a la recta y = 3x + 2.

(8) Determina la longitud del segmento de tangente trazado desde el punto (9, 4) a la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 2y − 4 = 0.

(9) Calcula las distancias m´ axima y m´ınima del punto (8, −3) a la circunferencia x2 +y 2 +6x−4y +9 = 0.

(10) Halla sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 el punto m´ as alejado del (1, 0) y el punto m´ as cercano al (5, 5).

(11) Halla las ecuaciones de las tangentes y de las normales, en los puntos de abscisa 2, a las circunferencias a) x2 + y 2 = 4; b) x2 + y 2 + 4x + 6y = 12; c) x2 + y 2 − 10x − 2y = −1.

(12) Respecto de las tres circunferencias del ejercicio anterior: a) calcula las potencias de los puntos (−2, 3) y (2, −1), indicando en cada caso sus posiciones respecto al c´ırculo correspondiente; b) halla las ecuaciones de sus ejes radicales, tomadas las circunferencias dos a dos.

(13) Demuestra anal´ıticamente que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une sus centros.

1 1 (14) Dadas las circunferencias x2 + y 2 = 4 y x2 + y 2 − 3x − 4y = 3, encuentra las coordenadas 2 2 de un punto que tiene igual potencia respecto de las dos circunferencias, y equidista de los ejes coordenados.

(15) Halla las ecuaciones de las circunferencias y el a´rea del c´ırculo correspondiente, si sabemos de cada una que: a) es tangente a la bisectriz del segundo cuadrante y tiene su centro en (−5, 0); b) pasa por el punto (1, 4) y es conc´entrica con x2 + y 2 + 6x − 4y = 0; c) pasa por el punto (3, 0) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0 en el punto (3, 3); d) es tangente al eje de abscisas en el punto M (2, 0) y a la recta y = x.

(16) Calcula la longitud de la cuerda: a) determinada por la recta x + 1 = y con la circunferencia x2 + y 2 = 25; b) determinada por la intersecci´ on de las circunferencias siguientes: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 y (x − 3)2 + (y + 1)2 = 17.

(17) Calcula el a´rea del cuadril´ atero cuyos v´ertices son los puntos de intersecci´ on de los ejes coordenados con la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 11y − 12 = 0.