MODULO DE NUMERO Y OPERACIONES by leandro cisneros

Bloque temÂ´ atico: NÂ´ umeros y operaciones

´ EN PROGRAMA DE ESPECIALIZACION ´ MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL ´ ´ SECUNDARIA DE EDUCACION BASICA REGULAR

Bloque tem´ atico: N´ umeros y operaciones Jefe de Proyecto Coordinadora acad´ emica Equipo de especialistas

: Enrique C´ arpena Vel´ asquez : Magali Ch´ avez Taboada : Leonardo Valdivia Vel´ asquez Andr´ es Figueroa Alvarado Margarita Tejada Romero

´ EN MATEMATICA-NIVEL ´ PROGRAMA DE ESPECIALIZACION DE EDUCACION SECUNDARIA 2012- 2014 I CICLO Universidad Nacional “Pedro Ru´ız Gallo” Facultad de Ciencias Hist´ orico Sociales Educaci´ on Direcci´ on: Av. Juan XXIII 391 - Lambayeque Tel´ efono (51)(74)-283146 Correo Electr´ onico: webmaster@unprg.edu.pe. P´ agina Web: www.unprg.edu.pe. c Reproducci´ on: Derechos reservados conforme a ley. Se proh´ıbe la reproducci´ on parcial o total del texto sin autorizaci´ on del MED.

Agosto 2012

Presentación ´ El presente módulo denominado NUMERO Y OPERACIONES, forma parte del componente disciplinar del área de matemática con enfoque interdisciplinar, y tiene por objetivo justificar formalmente la construcción axiomática de los conjuntos numéricos, comprobar y contextualizar sus propiedades . El módulo consta de tres unidades distribuidas en 14 sesiones. La primera unidad hace un tratamiento de la noción de estructura algebraica, concretamente la noción de grupo ,anillo y cuerpo.Se parte de una situación concreta, la simetr´ıa de un objeto o de un sistema f´ısico en general.Luego, se presenta axiomáticamente el sistema de los n´ umeros naturales, y n´ umeros enteros. En la segunda unidad se extienden las propiedades de los enteros y se construye el espacio de los numeros racionales y paralelamente se muestran sus aplicaciones inmediatas.Finalmente la tercera unidad tiene como objetivo el estudio del espacio de los n´ umeros reales se detalla su construcción teórica a partir de axiomas previamente definidos. Cada unidad se inicia con una situación problemática contextualizada que nos permitirá generar un espacio de reflexión individual y colectiva, motivando a buscar una solución emp´ırica y lógica que necesita de una demostración matemática, creándose as´ı la necesidad de investigar sobre los sistemas numéricos para su organización cient´ıfica, ésta u ´ ltima debe hacer posible generar situaciones problemáticas similares como una generalización del modelo creado. En la ultima parte del presente trabajo, se incluye un apéndice donde encontraremos las definiciones y propiedades mas relevantes de : Algebra proposicional, Teor´ıa de conjuntos, Funciones y los métodos de demostración.

´Indice general Presentaci´ on

Introducci´ on

1. Noci´ on de estructura algebraica. El sistema de los n´ umeros naturales 1.1. Sesión 1: Estructuras Algebraicas,definición de grupo. . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sesión 2: Definición de anillo, cuerpo. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sesión 3: El Sistema de los N´ umeros Naturales N: definición axiomática de N . 1.3.1. Definición Axiomática de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sesión 4: Sustracción y división en N. Aplicaciones del principio del buen orden 1.4.1. Sustracción y División en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11) . . . . . . . . 1.5. Sesión 5: Potenciación y Radicación. Divisibilidad: definiciones y teoremas . . 1.5.1. Potenciación y Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Sistema de Numeración Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sesión 6: N´ umeros primos, máximo com´ un divisor, m´ınimo com´ un m´ ultiplo . . 1.6.1. N´ umeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Máximo Com´ un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. M´ınimo com´ un M´ ultiplo (M.C.M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. El sistema de los n´ umeros enteros y racionales. Su construcci´ on y sus aplicaciones 2.1. Sesión 7: Definición axiomática de Z. Orden en Z. Sustracción en Z . . . . . . 2.1.1. Definición axiomática de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 2.1.3. Orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Sustracción en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sesión 8: Valor absoluto. División, potenciación y radicación en Z. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

9 12 19 24 24 33 33 35 43 43 45 46 58 58 60 64

73 74 75 76 80 83 87 87

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2.2.2. División, potenciación y radicación en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Sesión 9: Definición Axiomática de Q. Sustracción, división, potenciación y orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definición Axiomática de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 2.3.3. Sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros . . . . . . . . . . . 2.3.7. Orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.9. Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Sesión 10: Representación decimal de un n´ umero racional. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Representación decimal de un n´ umero racional . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresión decimal . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y N´ umeros “Irracionales” . . . . . . . 2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los N´ umeros Racionales . . . . . . . 2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . 3. N´ umeros Reales. Su construcci´ on y aplicaciones 3.1. Sesión 11: Definición axiomática de R. Orden en R. Radicación . . . . . . . . . 3.1.1. Definición axiomática de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Definición Axiomática de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 3.1.4. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Subconjuntos notables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sesión 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo . . . . 3.2.1. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. El Sistema de los N´ umeros Reales Extendido . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sesión 13: Representación decimal de los n´ umeros reales. Valor absoluto. . . . 3.3.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Sesión 14: Proporcionalidad. Interés simple. Interés compuesto. Modelos financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Composición del interés en forma continua . . . . . . . . . . . . . . . . 5

88 89 110 110 111 115 116 117 118 119 120 124 130 130 132 134 137 140 152 153 155 156 157 160 164 171 174 175 178 181 181 208 209 210 212

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A. L´ ogica, Conjuntos y Funciones A.1. Introducción a la Lógica proposicional . . . A.1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . A.1.2. Equivalencias Lógicas Importantes . A.1.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . A.2. Métodos de demostración . . . . . . . . . . . A.2.1. Tipos de demostración . . . . . . . . A.3. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e A.3.3. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . A.4.1. Unión de conjuntos . . . . . . . . . . A.4.2. Intersección de conjuntos . . . . . . . A.4.3. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . A.4.4. Complemento de un conjunto . . . . A.5. Nociones de relación y función . . . . . . . . A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano . A.5.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . A.5.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217 217 217 219 221 222 222 224 224 224 226 229 229 230 231 232 233 233 234 234

Introducción El hombre es mortal por sus temores e inmortal por su deseos. ´goras Pita Casi todos estamos familiarizados con el uso de los n´ umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente, los n´ umeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos de n´ umeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritméticos (que tiene que ver con loa n´ umeros), que bien pueden verse como problemas algebraicos. Para comenzar a ver que la necesidad llevó al hombre a construir formas de contar (sistemas numéricos, en términos más formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutas para su familia. Sabe que su familia está formada por su pareja y su cr´ıa (hijo, en palabras más civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluyéndose él) le corresponderá una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una para cada uno de ellos. Nótese que no fue el colector de frutas quien dijo ”tres”, puesto que él todav´ıa no conoc´ıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todav´ıa el lenguaje estaba basado en se˜ nas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya hab´ıa, probablemente de manera innata, la noción de cantidad en el ser humano. Seguramente este hecho le sugirió a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar, digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y alg´ un otro objeto, por ejemplo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendrá que coleccionar una buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseerá. De aqu´ı surge la necesidad de crear otra forma de contar que sea más cómoda. A alguien se le ocurrió hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrió contar con los dedos de las manos y los pies. A alguien más se le ocurrió contar las divisiones que tenemos en los dedos me˜ nique, anular, medio e ´ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de doce divisiones, encontrándonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos, vemos que podemos contar as´ı hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y as´ı, poco a poco el hombre fue creando formas cada vez más cómodas de contar. 7

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Los Griegos usaron un sistema de numeración decimal (Al decir decimal nos referimos al hecho de que se cuenta de diez en diez). Para cada n´ umero asignaron un s´ımbolo. El n´ umero uno estaba representado por 1, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. También asignaron s´ımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M. Con estos s´ımbolos pod´ıan formar n´ umeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras, ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre los aztecas, el n´ umero veinte se dec´ıa Tzontle (en Náhuatl). También, de manera descriptiva a un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacer cálculos. Nótese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeración es más dif´ıcil que en el sistema de numeración que usamos actualmente. Evidentemente la multiplicación es a´ un más dif´ıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posición que tiene cada s´ımbolo para asignarles alg´ un valor, es decir no son posicionales. En el cap´ıtulo 7 nos encargaremos de estudiar cómo formar n´ umeros en distintos sistemas de numeración y de averiguar la forma de realizar operaciones con estos n´ umeros. Además de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numéricas. Por ejemplo, supongamos que un filósofo griego le pregunta a su disc´ıpulo: ”¿Cuánto es cinco menos cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todav´ıa no conoc´ıan el cero, entonces el disc´ıpulo debió haber respondido ”... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma época, consideremos a un matemático maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conoc´ıan el cero pueden responder: C ¸ inco menos cinco es cero.”Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones con s´ımbolos a los fenómenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invención del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como ”¿Qué n´ umero debo sumar a 5 para obtener cero?”, lo cual dio origen a los n´ umeros negativos. De una forma similar surgieron seguramente también los n´ umeros racionales, por ejemplo, imaginemos que alguien se preguntó: ”¿Por qué n´ umero debo multiplicar al n´ umero dos para obtener como resultado el n´ umero uno?”. Evidentemente, el n´ umero buscado no es ni natural, ni entero, sino racional (El n´ umero buscado es 1/2). En el presente trabajo veremos la construcción y fundamentación desde un punto de vista axiomático la naturaleza estos conjuntos de numeros.

Unidad 1 Noción de estructura algebraica. El sistema de los n´ umeros naturales Objetivos 1. Identificar una estructura algebraica mediante la simetr´ıa de un objeto geométrico. 2. Ejemplificar en una realidad concreta las propiedades de los grupos y anillos. 3. Definir las propiedades de un grupo, anillo, cuerpo. 4. Mostrar la construcción axiomática del sistema algebraico de los n´ umeros naturales. 5. Demostrar y ejemplificar las propiedades del sistema de los n´ umeros naturales. Contextualizando: Simetr´ıas de las mol´ eculas El uso de la teor´ıa de grupos por los qu´ımicos para determinar las propiedades de las moléculas es un procedimiento bien establecido. Desde el punto de vista matemático la mayor parte de los grupos que aparecen que pueden aparecer como grupos de simetr´ıas de moléculas aisladas son muy sencillos, con excepci´ on hecha del grupo alternante A5 . En 1985 una familia de moléculas fue descubierta por los investigadores H. Kroto de Inglatera y R. S. Smalley y R. Curl de EUA mientras realizaban trabajos de astrof´ısica tratando de encontrar nuevas moléculas de carbon. Las moléculas que encontraron son arreglos tridimensionales de átomos de carbono (desde 24 a´tomos hasta miles de ellos) y les dieron el nombre de fulerenos en honor al arquitecto Buckminster Fuller, quien construyo domos geodésicos con el mismo tipo de estructura. Por su descubrimiento recibieron el premio nobel de Qu´ımica de 1996. La figura de abajo muestra la representaci´ on matem´ atica de la molécula del agua. En ella observamos que esta molécula está modelada por un tri´ angulo equil´ atero. Los sistemas f´ısicos, 9

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como por ejemplo las moléculas para su estudio adecuado deben ser representados de tal manera que se puedan rescatar y en cierta forma manipular sus propiedades intr´ınsecas, por ejemplo sus propiedades de simetr´ıa. El universo de las moléculas esta clasificado de acuerdo a la simetr´ıa de estas (movimientos que dejan invariante al objeto mediante rotaciones y reflexiones), la moléculas planas mas simétricas est´ an modelas por los pol´ıgonos regulares y las moléculas tridimensionales por los cinco poliedros regulares, esta clasificaci´ on es necesaria pues, por ejemplo tanto en qu´ımica como en f´ısica lo que se requiere es predecir el comportamiento de estas al combinarlas. En el universo existen conjuntos que al operar sus elementos siempre cumplen determinadas propiedades , como por ejemplo el conjunto de las simetr´ıas de una molécula . A los conjuntos dotados de una operaci´ on y con ciertas propiedades se les 1 dará el nombre de Grupo.

Rotaciones 3

Reflexiones 3

Algebra en todas partes. Jose De la Pe˜ na

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En forma matricial las rotaciones y las reflexiones, est´ an determinadas por: ! ! 1 2 3 1 2 3 ρ0 = , µ1 = 1 2 3 1 3 2 ρ1 =

ρ2 =

! 1 2 3 , 2 3 1 ! 1 2 3 , 3 1 2

µ2 =

1 2 3 3 2 1

µ3 =

1 2 3 2 1 3

◦

1 2 3 3 1 2

1 2 3 2 3 1

= ρ0

◦

1 2 3 2 1 3

1 2 3 3 2 1

= µ2

Se operan de la siguiente forma: ρ1 ◦ ρ2 =

1 2 3 2 3 1

ρ1 ◦ µ3 =

1 2 3 3 1 2

Todas las operaciones posibles se muestran en la siguiente tabla: ◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1

µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2

µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1

µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0

El conjunto de las simetr´ıas observadas en general en un objeto, de alguna forma se pueden operar entre ellas. Esta noci´on de un conjunto y una operaci´ on en el, y que cumplen ciertas propiedades, se le llamara grupo.

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´ DESARROLLO TEMATICO

Penetran en un pais de maravillas. So˜ nando mientras pasan los dias, So˜ nando mientras mueren los est´ıos Alicia a trav´ es del espejo, LEWIS CARROLL

1.1.

Sesi´ on 1: Estructuras Algebraicas,definici´ on de grupo.

´ n: Los cristales Mosaicos de la naturaleza Contextualizacio Los cristales han ejercido una fascinación especial en los hombres. Las excavaciones hechas por investigadores en algunas cuevas en China muestran que el hombre de Pekin coleccionaba cristales de cuarzo hace 40000 a˜ nos. Los cristales se distinguen por sus colores, sus brillos, pero sobre todo por sus formas. Cuando se observa un cristal bruto, su apariencia se distingue claramente de una roca vulgar. Sus caras son prácticamente planas, su cuerpo presenta grandes simetr´ıas. La pirita viene en cubos, la fluorita y los diamantes en forma de octaedro ¿ Por que? La forma de un cristal esta determinada por los componentes mas peque˜ nos, átomos y moléculas, que lo integran. En el espacio, los átomos que forman los cristales se unen como piezas de rompecabezas. Pero hay pocas piezas de rompecabezas que puedan utilizarse: en el diamante, todas las piezas del rompecabezas son átomos de carbono; en la sal, hay átomos de cloro y de sodio. A mediados del siglo pasado, algunos cient´ıficos pensaron que el comportamiento f´ısico de los diferentes cristales deber´ıa estar determinado por su estructura geométrica, por sus simetrias. Los intentos por estudiar los cristales de esta forma fueron iniciados por Weiss en 1804 y Hessel en 1830. Bravais redescubrio los resultados de Hessel en 1848 y obtuvo la clasificación de los grupos cristalográficos puntuales, es decir, ls simetrias cristalinas con respecto a un punto fijo. Finalmente, la clasificación de los grupos cristalográficos fue obtenida por el qu´ımico ruso Fedorov en 1885, (existen 32 grupos cristalográficos clasificados respecto a tres tipos de simetr´ıas:rotacional, axial y traslacional ). Pero no fue sino hasta 1913 que Laue,usando el método de difracción por rayos X, pudo describir la estructura de los cristales y demostró que estaban formados por arreglos de átomos como un rompecabezas.2 Definici´ on 1.1. Sea G un conjunto no vac´ıo donde está definida una operación interna 2

Algebra en todas partes. Jose De la Pe˜ na

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denotada por ∗ : G×G → G (x, y) 7→ x ∗ y Decimos que el par (G, ∗) es un grupo si se cumplen las siguientes propiedades: G1 ) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ,

∀a, b, c ∈ G

G2 ) ∃ e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a ,

∀a ∈ G

G3 ) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e Si en un grupo (G, ∗) se verifica la propiedad: G4 ) a ∗ b = b ∗ a , ∀a, b ∈ G decimos que el grupo (G, ∗) es un grupo abeliano. Ejemplo 1.1. Sea S un conjunto no vac´ıo B(S) = {f : S → S/f es biyección} entonces, (B(S), ◦), donde ◦ es la composición de funciones, es un grupo. Ejemplo 1.2. Si R∗ = R − {0} y · es el producto usual de n´ umeros reales, (R∗ , ·) es un grupo. Ejemplo 1.3. Si C∗ = C − {0}, C, los n´ umeros complejos y · es el producto usual de n´ umeros ∗ complejos, (C , ·) es un grupo. Ejemplo 1.4. Si Z es el conjunto de los n´ umeros enteros y + es la adición usual (Z, +) es un grupo Ejemplo 1.5. Sea G = (−1, 1) = {x ∈ R, −1 < x < 1}, y definamos en G la operación * como sigue: ◦ :G×G → G (a, b) 7→ a ◦ b =

a+b b+a = =b◦a 1 + ab ba + 1

en donde las operaciones usuales que aparecen entre a ◦ b y b ◦ a son las usuales en R, entonces (G, ◦) es un grupo, pues para todo a, b ∈ G, a ◦ b ∈ G, es f´acil verificar este hecho, lo dejamos a cargo del lector. 1. Para todo a, b, c ∈ G, (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) 2. 0 ∈ G y a · 0 =

a+0 1+0a

3. Dado a ∈ G, existe b = −a ∈ G, tal que a ◦ (−a) = (−a) ◦ a = 13

a + (−a) = 0. 1 + (−a)a

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El lector puede verificar estos hechos. Ejemplo 1.6. Sea M2 (R) el conjunto de todas las matrices de orden 2 cuyos elementos son n´ umeros reales, en el cual se define la operaci´on ! ! ! a b e f a+e b+f + = c d g h c+g d+h para todo par de matrices

! a b , c d

e f g h

de M2 (R). Puede probarse fácilmente que ! a b (M2 (R), +) es un grupo abeliano. Si a la matriz A = ∈ M2 (R) le asociamos la c d aplicación lineal TA : R2 → R2 dada por ! a b x x x ax + by TA =A = = y y y cx + dy c d se tiene que el conjunto M2 (R) está en correspondencia biyectiva con el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 ; además x x x x x TA+B = (A + B) =A +B = (TA + TB ) y y y y y Debido a esta igualdad se obtiene que el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 con la operación + es un grupo abeliano. Con respecto a la multiplicación de matrices el conjunto M2 (R) no es un grupo; el inverso de una matriz A = M2 (R) sólo está definido si su determinante es distinto de cero, es decir det A 6= 0. Esto nos lleva a considerar el subconjunto de M2 R formado por las matrices A tales que det A 6= 0, al cual denominamos GL2 (R). Ejemplo 1.7. Sea el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3}. Definimos ⊕ : Z4 × Z4 → Z4 (a, b) 7→ a ⊕ b = resto (a + b)/4 Para verificar si ⊕ cumple con las condiciones de grupo elaboramos al siguiente tabla ⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

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1) Cerradura: a, b ∈ Z4 entonces a ⊕ b ∈ Z4 . Por ejemplo 2 ∈ Z4

2 ∈ Z4

y 1 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 1 = 3 ∈ Z4

y 3 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 3 = 1 ∈ Z4

2) Asociativa: a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c , Por ejemplo

∀a, b, c ∈ Z4 .

(1 ⊕ 2) ⊕ 3 = 1 ⊕ (2 ⊕ 3) 3⊕3 = 1⊕1 2 = 2

3) Elemento neutro: ∃ e ∈ Z4 tal que a ⊕ e = e ⊕ a = a , Por ejemplo

∀a ∈ Z4 .

0⊕2 = 2⊕0= 2

3⊕0 = 0⊕3= 3 4) Elemento inverso: ∀a ∈, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. Por ejemplo El inverso de 1 es 3; pues 1 ⊕ 3 = 0 El inverso de 2 es 2; pues 2 ⊕ 2 = 0 Ejemplo 1.8 (Un ejemplo de grupo cociente). Se tiene que (R, +), es un grupo aditivo definamos en R una relaci´on de equivalencia de la manera siguiente: ∼: R × R → R

(x, y) → x ∼ y

Definimos la siguiente relación sobre R: ∀ x, y ∈ R, x ∼ y ↔ x − y ∈ Z o equivalente x ∼ y ↔ x = y + n, n ∈ Z, afirmamos que “ ∼ ” es una relación de equivalencia, por el teorema de la partición toda relación de equivalencia particiona de manera natural al conjunto en clases de equivalencia disjuntas dos a dos de tal manera que la union cubre todo el conjunto. Coleccionamos estas clases de equivalencias en R = {[x]/x ∈ R}, donde [x] = {y ∈ R/y ∼ x} ∼ o también [x] = {x + n/n ∈ Z} R Dotamos a ∼ de estructura de grupo. Definimos la siguiente operación: + :

R ∼

R R × ∼ → ∼ ([x] , [y]) → T ([x], [y]) = [x] + [y] = [x + y]

R Luego ( ∼ , +) tiene estructura de grupo.

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Ejemplo 1.9. Considere el conjunto S ′ = {z ∈ C/kzk = 1}, donde S ′ representa la circunferencia unitaria en el plano complejo, ahora definiremos una operación en este conjunto de la siguiente manera · : S′ × S′ → S′ (z, w) → ·(z, w) = zw donde “ · ” es la multiplicación usual de n´ umeros complejos veamos que propiedades cumple ′ “ · ” en S . i) Cerradura ∀z ∈ S ′ , ∀w ∈ S ′ se debe cumplir que zw ∈ S ′ Como zw ∈ S ′ , y además: kzk = 1 y kwk = 1 como kzk = 1 ∧ kwk = 1 → kzk · kwk = 1 · 1 = 1 · · · · · · (α) pero kz · wk = 1 · · · · · · (β) Entonces de (α) y (β) se tiene que, kz · wk = 1, esto implica que z · w ∈ S ′ ii) Asociativa: ∀z, w, r ∈ S ′ se cumple que z(w · r) = (z · w)r Como z, w, r ∈ S ′ ⇒ z, w, r ∈ C y tenemos que la multiplicación de n´ umeros complejos es asociativa: z(w · r) = (z · w)r iii) Existencia del Elemento Neutro ∀ z ∈ S ′ , ∃! e ∈ S ′ tal que z · e = e · z = z tomando la ecuación z · e = z · · · · · · (γ) p z ∈ S ′ , ⇒ z ∈ C es decir de la forma z = x + iy, donde x, y ∈ R, kzk = x2 + y 2 = 1, luego x2 + y 2 = 1. Como e ∈ S ′ ⇒ e ∈ C, es decir de la forma e = e1 + ie2 donde p e1 , e2 ∈ R, kek = e21 + e22 = 1, luego e21 + e22 = 1 luego reemplazamos en (γ), se tiene: (x + iy)(e1 + ie2 ) = (x + iy)

(xe1 − ye2 ) + (xe2 + ye1 )i = x + yi xe1 − ye2 = x ye1 + xe2 = y Aplicando la regla de crammer para determinar e1 , e2 : luego e tiene la forma e = 1+0i = 1 iv) Elemento inverso Para cada z ∈ S ′ , ∃!w ∈ S ′ /z · w = 1 + 0i se tiene que z · w ∈ S ′ , es decir z, w ∈ C, z = x + iy 16

w = w1 + iw2

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tenemos z·w = 1

(x + iy)(w1 + iw2 ) = 1 ( xw1 − yw2 = 1 yw1 + xw2 = 0 Aplicando la regla de crammer para hallar w1 y w2

1 −y

0 x

w1 =

x −y

y x

w1 = x

x 1

y 0

w2 =

x −y

y x

w2 = −y

luego: w = x − iy. Por lo tanto (S ′ , ·) tiene estructura de grupo

Actividades 1. Sobre el conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4} se define una operación a través de la tabla de abajo. Compruebe que dicha operación satisface todas las propiedades de los grupos a excepción de uno ⋆ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 0 4 2 3 2 2 3 0 4 1 3 3 4 1 0 2 4 4 2 3 1 0 2. Analice la estructura algebraica que resulta de dotar al conjunto N con cada una de las siguientes operaciones: a) m ⊕ n = máx{m, n} b) m n = m

c) m ⊚ n = m.c.d(m, n) 3. Justificar que el conjunto de los n´ umeros enteros con la operaci´on suma “ + ” tiene estructura de grupo abeliano. 4. Considere los siguientes conjuntos a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R 17

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b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real c) P = Conjunto de los polinomios Defina sobre estos conjuntos una operación binaria interna (suma) y justificar que tienen estructura de grupos. 5. Construya el grupo de simetr´ıas de los siguientes pol´ıgonos regulares: hexágono, pentágono, heptágono.

Evariste Galois (1811 – 1832): Creador de la Teor´ıa de Grupos y Anillos “Los elegidos de los dioses mueren j´ovenes”

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1.2.

Sesi´ on 2: Definici´ on de anillo, cuerpo. Ejemplos

Contextualizando:Estructuras Algebraicas y Sistemas informaticos Al concepto de anillo se llego al observar la semejanza de los comportamientos de los numeros enteros y de los polinomios desde el punto de vista de la divisibilidad, uno de los problemas matemáticos clásicos. Por lo que respecta al concepto de cuerpo (traducción de alemán Korper), también llamado cuerpo (del inglés Field), se obtuvo por abstracción, como el de grupo, a partir de las estructuras algebraicas que iban surgiendo en el estudio de la resubilidad por radicales de las ecuaciones algebraicas. Los cuerpos finitos, en particular, son la base para la teor´ıa de codificación, disciplina en la que se utilizan anillos de polinomios y espacios vectoriales. En las ciencias de la computación, un programa informático viene hacer un conjunto de proposiciones encadenas de una forma lógica. El universo de las proposiciones lógicas, asociadas con los operadores conjunción, disyunción, negación, condicional, además de la noción de cero en este caso una falsedad y del 1 como una verdad, obedece a las leyes de una estructura algebraica llamada Algebra de Boole. Esta estructura ayuda a resolver problemas de optimización, como por ejemplo simplificar programas extensos y reducirlos a otros mas simples. Muchas de las propiedades en este espacio simula lo que sucede en los anillos y en los cuerpos. Definici´ on 1.2. Sea A un conjunto no vac´ıo y dos operaciones binarias definidas en G denotadas por ⊕ : A × A −→ A ; ⊙ : A × A −→ A (x, y) 7−→ x ⊕ y (x, y) 7−→ x ⊙ y Decimos que la terna (A, ⊕, ·) tiene estructura de anillo si satisface las siguientes propiedades (A1 ) (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

∀ a, b, c ∈ A

(A2 ) ∃ 0 ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0

∀a∈A

(A3 ) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0 (A4 ) a ⊕ b = b ⊕ a

∀ a, b ∈ A

(A5 ) (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A (A6 ) a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a · c) ;

(a ⊕ b) ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c)

1. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A7 ) ∃ 1 ∈ A, 1 6= 0 tal que a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a ∀a∈A decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo con unidad 1. 19

∀ a, b, c ∈ A

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2. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A8 ) a ⊙ b = b ⊙ a ∀ a, b ∈ A decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo conmutativo. 3. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A9 ) a, b ∈ A, a ⊙ b = 0 =⇒ a = 0 ´o b = 0 decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo sin divisores de cero. 4. Si (A, ⊕, ⊙) es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, decimos que (A, ⊕, ⊙) es un dominio de integridad. 5. Si (A, ⊕, ⊙) es un dominio de integridad que satisface la propiedad: (A10 ) ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ b ∈ A tal que a ⊙ b = b ⊙ a = 1 decimos que (A, ⊕, ⊙) es un Cuerpo. Ejemplo 1.10. (Z, +, ·) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad. (R, +, ·), (C, +, ·) son ejemplos de cuerpos. √ √ Ejemplo 1.11. Z y Z[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Z} son ejemplos de dominios de integridad que son cuerpos. √ Ejemplo 1.12. Q, Q[ 2] y Zp con p primo son todos ejemplos de cuerpos. √ √ Ejemplo 1.13. Z[ p] = {a + b p : a, b ∈ Z} son dominios de integridad que no son cuerpos.

√ √ Ejemplo 1.14. Q[ p] = {a + b p : a, b ∈ Q} son ejemplos de cuerpo (p primo).

Ejemplo 1.15. Sea A = F (R) = {f : R −→ R/f es funci´on}. Definiendo las siguientes operaciones + : A × A −→ A donde (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ R (f, g) 7−→ f + g ⊙ : A × A −→ A donde (f · g)(x) = f (x) · g(x) ∀ x ∈ R (f, g) 7−→ f ⊙ g se tiene que (A, +, ·) es un anillo. Ejemplo 1.16. Sean K = R2 = R × R = {(x1 , x2 )|x1 ∈ R, x2 ∈ R}. Consideremos las siguientes operaciones: + : R2 × R2 −→ R2 · : R × R2 −→ R2 definidas por: (x1 , x2 ) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) 20

(1.1)

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α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 )

(1.2)

Verifiquemos que (R2 , +, ·) tiene estructura de anillo. Sean (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) en R2 y α, β ∈ R se tiene: A1 ) (x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] + (z1 , z2 ). En efecto: (x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 ) = (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )) = ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 ) = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] + (z1 , z2 ) ∴

por (1.1) por (1.1) por asociatividad de la suma en R por (1.1) por (1.1)

(x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2)] + (z1 , z2 )

A2 ) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) En efecto: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 ) = (y1 , y2) + (x1 , x2 ) ∴

por (1.1) por conmutatividad de la suma en R por (1.1)

(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2) + (x1 , x2 )

A3 ) Existe (0, 0) ∈ R2 tal que: (x1 , x2 ) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1 , x2 ) A4 ) Existe (−x1 , −x2 ) ∈ R2 tal que: (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) = (x1 + (−x1 ), x2 + (−x2 )) = (0, 0) A5 ) α(β(x1 , x2 )) = (αβ)(x1 , x2 ) En efecto: α(β(x1 , x2 )) = α(βx1 , βx2 ) = (α(βx1 ), α(βx2 )) = ((αβ)x1 , (αβ)x2 ) = (αβ)(x1 , x2 ) α(β(x1 , x2 )) = (αβ)(x1 , x2 )

por (1.2) por (1.2) por asociatividad del producto en R por (1.2)

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A6 ) α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] = α(x1 , x2 ) + α(y1 , y2 ) En efecto: α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2)] = α(x1 + y1 , x2 + y2 ) = (α(x1 + y1 ), α(x2 + y2 )) = (αx1 + αy1 , αx2 + αy2 ) = (αx1 , αx2 ) + (αy1 , αy2) = α(x1 , x2 ) + α(y1 , y2 ) ∴

por (1.1) por (1.2) por distributibidad del producto con respecto a la suma en R por (1.2) por (1.2)

α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2]) = α(x1 , x2 ) + α(y1, y2 )

A7 ) (α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) En efecto: (α + β)(x1 , x2 ) = ((α + β)x1 , (α + β)x2 ) = (αx1 + βx1 , αx2 + βx2 ) = (αx1 , αx2 ) + (βx1 , βx2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) ∴

por (1.2) por distributividad del producto respecto a la suma en R por (1.1) por (1.2)

(α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 )

A8 ) 1(x1 , x2 ) = (1 · x1 , 1 · x2 ) = (x1 , x2 ) Generalizando el ejemplo anterior Ejemplo 1.17. Consideremos el conjunto Rn de todas las n−uplas de n´ umeros reales, es decir: K = Rn = R × R × · · · × R = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n} Se demuestra que Rn es un cuerpo con las siguientes operaciones + :

Rn × Rn −→ Rn (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) −→ (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

y · :

R × Rn −→ Rn (α, x1 , x2 , . . . , xn ) −→ α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )

la demostraci´on es an´aloga a la del ejemplo anterior.

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Ejemplo 1.18. En R2 se definen la suma como en el ejemplo 1.16 y el producto escalar como sigue · : R × R2 −→ R2 (α, (x1 , x2 )) −→ α(x1 , x2 ) = (αx1 , x2 ) Este producto verifica los axiomas A5 , A6 y A8 , pero no verifica A7 . En efecto: Si α, β ∈ R y (x1 , x2 ) ∈ R2 se tiene (α + β)(x1 , x2 ) = ((α + β)x1 , x2 ) = (αx1 + βx1 , x2 ) por otra parte, α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) = (αx1 , x2 ) + (βx1 , x2 ) = (αx1 + βx1 , 2x2 ) Luego (α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) si y s´olo si

x2 = 0

Este hecho permite afirmar que R2 , con estas operaciones, no es un cuerpo.

Actividades 1. Estudie las propiedades de la estructura algebraica (N, ⊕, △) donde m ⊕ n = 3m + 2 y m△n = 4nm. ¿Tiene estructura de anillo?, ¿tiene estructura de cuerpo? 2. Si (G, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro 0, y se define una segunda operación x△y = 0 cualesquiera que sean x e y en G, ¿qué estructura tiene (G, +, △)? 3. Respecto a la pregunta anterior. Se pide lo mismo cuando la operación sobre G es x y = y. 4. Considere los siguientes conjuntos

a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real c) P = conjunto de los polinomios Defina sobre estos conjuntos operaciones binarias internas (suma y producto) y justificar cuales de ellas tienen estructura de anillo o de cuerpo. 5. Justificar que los conjuntos num´ericos R, Q y C tienen estructura de cuerpo

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1.3.

Sesi´ on 3: El Sistema de los N´ umeros Naturales N: definici´ on axiom´ atica de N Dios hizo los n´ umeros naturales, lo dem´as es creaci´on de los hombres. Giuseppe Peano ´meros naturales Contextualizando: Los nu

En las sociedades prehistoricas cazadores y recolectores se plantean ya, que aunque sea a peque˜ na escala, la necesidad de responder a la pregunta ¿Cuantos hay? o ¿Cuantos son? También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación ¿que se hace primero? ¿que interviene en segundo lugar?,etc. A partir de esas necesidades sociales de cuantificar la diversificación de sus actividades el hombre tuvo la necesidad de crear s´ımbolos y procesos numéricos en las que se desarrollan diferentes técnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas. Cada colección de “Objetos numéricos”vamos a llamarla “sistema numeral.o sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo numero. Des este modo los numeros son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc; se dice que son “objetos ideales.o abstractos. Los primeros registros del uso de la notación posicional los encontramos en babilonia a fines de 2500 a.c. Existen diversas maneras de introducir formalmente el sistema de los n´ umeros naturales. Giussepe Peano introdujo este sistema usando el método axiomático, consideró tres conceptos primitivos: cero, uno y sucesor y cinco axiomas, a partir de los cuales desarrolló toda la teor´ıa del n´ umero natural. En cambio, George Cantor definió el sistema de los n´ umeros naturales a partir de la teor´ıa de conjuntos finitos, utilizando una adecuada relación de equivalencia denominada equipotencia y el teorema de la partición que afirma que toda relación de equivalencia definida sobre un conjunto C determina una partición de C.

1.3.1.

Definici´ on Axiom´ atica de N

Por razones didácticas se definirá el Sistema de los N´ umeros Naturales, utilizando un conjunto de axiomas “superabundante” el cual se irá ampliando progresivamente, agregando nuevos axiomas y usando el lenguaje de las funciones que permitirá definir, sucesivamente, conjuntos más “grandes” a los cuales se llamarán: Sistema de N´ umeros Enteros Z, Sistema de N´ umeros Racionales Q y Sistema de N´ umeros Reales R. Los axiomas que se agregan para “ampliar”los 24

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sistemas permitirán, desde el punto de vista aritmético, “generalizar”las operaciones de sustracción, división y radicación, y, desde el punto de vista algebraico, resolver ecuaciones cada vez más complicadas. El Sistema de los N´ umeros Naturales es un conjunto, denotado por N, provisto de dos operaciones internas: adici´ on y multiplicaci´ on. La adición es una operación interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales (a, b) ∈ N × N un u ´ nico numero natural llamado suma de a y b y que se denota por a + b ∈ N. Simbólicamente: + : N × N → N, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros naturales a y b reciben el nombre de sumandos. La multiplicación es una operación interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales (a, b) ∈ N × N un u ´ nico n´ umero natural llamado producto de a y b y que se denota a · b ∈ N o simplemente ab. Simbólicamente: · : N × N → N, tal que (a, b) → a · b Los numeros a y b reciben el nombre de factores. La adición y la multiplicación satisfacen los siguientes axiomas: ´ AXIOMAS ADICION Conmutatividad N1) a + b = b + a ∀ a, b ∈ N Asociatividad N2) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ N Existencia N3) Existe un u ´ nico n´ umero del Elemento natural llamado cero Neutro denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ N Ley de Cancelación Distributividad

N5) N6) N7)

N4) Si a + c = b + c ⇒ a = b N8) ∀ a, b, c ∈ N N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ N

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ N (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ N Existe un u ´ nico n´ umero natural llamado uno denotado por 1, 1 6= 0 tal que: a · 1 = a ∀a ∈ N Si a · c = b · c ⇒ a = b ∀ a, b, c ∈ N

Definici´ on 1.3. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que a es menor que b, y se denota a < b si, y solo si, existe un numero natural c 6= 0 tal que a + c = b . Simb´olicamente: a < b ⇔ ∃ c ∈ N, c 6= 0/a + c = b La relaci´on menor satisface los siguientes axiomas: Tricotom´ıa Buen Orden

N10) Para todo a, b ∈ N se cumple una y s´olo una de las siguientes posibilidades: a < b; a = b; b < a. N11) Todo subconjunto no vac´ıo A ⊂ N posee un elemento m´ınimo m ∈ A; es decir, m < a ∨ m = a ∀ a ∈ A. 25

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Observaciones: 1. Los axiomas de la conmutatividad y asociatividad permiten sumar tres o más n´ umeros con facilidad, asociando los sumandos y modificando el orden seg´ un convenga. Ejemplo: 20 + 35 + 60 = (20 + 35) + 60 = 55 + 60 = 115 20 + 35 + 60 = 20 + (35 + 60) = 20 + 95 = 115 O más generalmente a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 2. Como a(b + c) = ab + ac, aplicando la propiedad simétrica de la igualdad se sigue que ab + ac = a(b + c), que es conocida en el álgebra elemental como factorización. Por ejemplo: Factor com´ un: 3a + 3ab + 6ac = 3a(1 + b + 2c) Agrupar términos semejantes: 2a + 3b + 5a + 10b = (2 + 5)a + (3 + 10)b = 7a + 13b 3. Aplicando la propiedad conmutativa de la adición y multiplicación en las igualdades a + c = b + c y ac = bc, las propiedades de cancelación pueden escribirse también: c+a=c+b ⇒ a=b

ca = cb ∧ c 6= 0 ⇒ a = b

Nota Importante: Cuando se define un Sistema Numérico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda tácitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en él; en particular, la relaci´ on de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. A continuación, se enuncia algunas propiedades importantes de la adición y multiplicación, que se pueden demostrar usando los axiomas, las propiedades de la igualdad, el axioma de Sustitución y otras propiedades anteriormente mencionadas. Teorema 1.1. Dado los n´ umeros naturales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a = b ⇒ a + c = b + c ∧ c + a = c + b b) Si a = b ⇒ a · c = b · c c) Si a = b y c = d ⇒ a + c = b + d d) Si a = b y c = d ⇒ a · c = b · d 26

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Demostración. 1. [a)]a + c = a + c por la propiedad reflexiva de la igualdad; luego como a = b por hipótesis aplicando el axioma de sustitución (reemplazando a por b en el segundo miembro de la igualdad), resulta a + c = b + c. Aplicando la propiedad conmutativa de la igualdad, se tiene que c + a = c + b. c) Por lo que se acaba de demostrar, si a = b y c = d entonces a + c = b + c y b + c = b + d, luego aplicando la propiedad transitiva de la igualdad resulta a + c = b + d. Las propiedades b) y d) se demuestran de manera análoga.

Observaciones: Estas propiedades se enuncian en algunos textos, como sigue: “Si a ambos miembros de una igualdad se suma o multiplica un mismo n´ umero, la igualdad no var´ıa”, y “si se suman o multiplican miembro a miembro los términos de dos igualdades, la igualdad se mantiene”, etc. A continuación, y a modo de ejemplo, se demostrará el teorema que establece que el producto de cualquier n´ umero natural por cero es cero; no sólo por su importancia en s´ı mismo, sino porque su demostración es una bella ilustración del uso ingenioso de los axiomas y propiedades anteriormente enunciadas. Observe que esta propiedad no es un axioma de los n´ umeros naturales y por lo tanto debe ser demostrada. Teorema 1.2. Para todo a ∈ N se tiene que a,0 = 0. Demostración. De: a · 0 + a · 0 = a(0 + 0) (propiedad distributiva) resulta a · 0 + a · 0 = a · 0 (propiedad del elemento neutro) pero a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 (propiedad del elemento neutro) luego, cancelando a · 0 se tiene a · 0 = 0. Teorema 1.3. Si a y b son n´ umeros naturales, ab = 0 si, y s´ olo si, a = 0 ´ o b = 0.

Demostraci´on. Para todo numero natural a, se tiene: a = 0 o a 6= 0. Si a = 0, el teorema ya esta demostrado. Si a 6= 0, como ab = 0 y a · 0 = 0, por la propiedad transitiva, ab = a · 0, luego, aplicando la 27

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propiedad de cancelación (pues a 6= 0), se tiene b = 0. Por lo tanto, si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. Rec´ıprocamente, si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0, por el teorema anterior (1.2). Corolario 1.1. ∀ a, b ∈ N, a 6= 0 y a 6= 0 si, y sólo si, ab 6= 0 Definici´ on 1.4. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que b es mayor que a, y se denota b > a si, y solo si, a es menor que b. Simbólicamente: b>a ⇔ a b o a = b. Simbólicamente: a≥b ⇔ a>b ∧ a=b Observaci´ on: La negación de a 0, entonces a + b > b, ∀ b ∈ N Demostración. a) Por la propiedad del elemento neutro, 0 + a = a, luego existe a ∈ N y a 6= 0 (hipótesis), tal que 0 + a = a, de donde aplicando la definición de la relación menor, se tiene que 0 < a. Como consecuencia de esta afirmación se sigue que todo numero natural a es mayor o igual que cero; es decir a ≥ 0. b) Como a 6= 0, por definición de la relación menor ∀ b ∈ N a+b = b+a, implica que a+b > b.

Corolario 1.2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y a · b > 0 28

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Demostración. Por hipótesis, a > 0, luego, por tricotom´ıa, a 6= 0. Supongamos que a + b = 0 entonces, como a 6= 0 se tendr´ıa b < 0 lo que contradice el teorema (1.4 a). As´ı a + b 6= 0 y por lo tanto a + b > 0. Como a · b es un numero natural, entonces a · b > 0 ó a · b = 0. Si fuera a · b = 0, como también 0 = 0 · b (teorema 1.2), por transitividad se tendr´ıa que a · b = 0 · b y siendo b 6= 0 (por hipótesis), aplicando la propiedad de cancelación resultar´ıa a = 0, lo cual es imposible pues a > 0 (por hipótesis). Es decir, la afirmación a · b = 0 es falsa y por tanto a · b > 0. Como consecuencia de este teorema, se tiene la siguiente igualdad de conjuntos: {a ∈ N/a 6= 0} = {a ∈ N/a > 0} Esta igualdad indica que el conjunto formado por todos los n´ umeros naturales diferentes de cero es igual al conjunto de todos los n´ umeros naturales mayores que cero. Tal conjunto se + denotará por N y se llamará el “conjunto de los n´ umeros naturales positivos”. As´ı, N+ = {a ∈ N/a > 0} = N − {0} o N = N+ ∪ {0}

Teorema 1.5. Dado los n´ umeros naturales a, b, c, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a < b ∧ b < c ⇒ a < c

(Transitividad)

b) Si a < b ⇒ a + c < b + c

(Monoton´ıa)

c) Si a 0 ⇒ ac < bc d) Si a + c < b + c ⇒ a < b

(Monoton´ıa) (Cancelaci´ on)

e) Si a · c 0 ⇒ a < b

(Cancelaci´ on)

Demostración. a) Por definición, si a 0 y e > 0 tales que a + d = b y b + e = c. Luego (a + d) + e = b + e (Teorema 1.1(a)), pero b + e = c, entonces por sustitución y la propiedad asociativa se tiene a + (d + e) = c. Como d > 0 y e > 0, entonces d + e > 0, (Teorema 1.4(b)), luego se sigue de la definición de la relación menor que a < c. b) Si a < b, por definición existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego (a + d) + c = b + c (Teorema 1.1(a)) 29

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o sea (a + c) + d = b + c (propiedad asociativa y conmutativa) lo q implica que a + c 0,

pues d > 0 y c > 0 (Teorema 1.4(b))

Si sigue que a · c < b · c (definición de la relación menor) d) Si a + c 0 se sigue que a < b (definición de <)

Teorema 1.6. Dado el n´ umero natural a, siempre existe un n´ umero natural n tal que n > a.

Demostraci´on. En efecto, basta considerar n = a + 1 pues como 1 > 0, se sigue que n = a + 1 > a + 0 = a, por la propiedad de monoton´ıa y elemento neutro, lo cual implica que n > a. Definici´ on 1.5. A continuaci´on se introduce nuevos s´ımbolos para representar otros n´ umeros naturales distintos de 0 y 1. As´ı se define:

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2 3 4 5 6 7 8 9 10

= = = = = = = = =

1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1

que que que que que que que que que

se se se se se se se se se

lee lee lee lee lee lee lee lee lee

“dos” “tres” “cuatro” “cinco” “seis” “siete” “ocho” “nueve” “diez”

Y as´ı, 2 ∈ N, 3 ∈ N, 4 ∈ N, 5 ∈ N, 6 ∈ N, . . . , etc. y se pueden calcular sumas y productos sencillos, demostrando que los resultados se obtienen usando las definiciones y axiomas, como por ejemplo: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5 3 · 2 = 3 · (1 + 1) = 3 · +3 · 1 = 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6 Adem´as 1<2 2<3

pues existe 1 ∈ N+ tal que 1 + 1 = 2 pues existe 1 ∈ N+ tal que 2 + 1 = 3

En general, se prueba que a < a + 1 para todo a ∈ N luego: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ··· Posteriormente, se demuestra que no existe un numero natural entre 0 y 1 y en general, no existe numero natural entre a y a + 1, con a ∈ N. Observaci´ on: Algunos autores no consideran al cero como n´ umero natural y definen los n´ umeros naturales a partir del 1. Matemáticamente este hecho no constituye ning´ un problema ya que se demuestra que estas dos formas de definir N son equivalentes. Nosotros, como hacen la gran mayor´ıa de matemáticos, entre ellos Peano, el primero que dio una definición axiomática del conjunto de los N´ umeros Naturales, se ha considerado al cero como n´ umero natural, entre otras cosas por las siguientes razones: - Considerar un elemento neutro para la adición en N. - Considerar en el sistema de numeración decimal la cifra natural 0 de manera que se pueda escribir en N, 405 = 4 × 102 + 0 × 10 + 5, como un polinomio en “variable”x = 10, con coeficientes en N. 31

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- Al usar en el criterio de divisibilidad en N, por ejemplo un numero es divisible por 5 si la cifra de las unidades es m´ ultiplo de 5, es decir 0 ´o 5, vistos como n´ umeros naturales, etc. Si no se considera al 0 como numero natural entonces se extiende N al conjunto N ∪ {0}, extendiendo tambi´en sus operaciones.

Actividades 1. Escriba los modelos lógicos de las proposiciones dadas en esta sesión. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Un estudiante se encuentra frente a una fuente de agua y se le proporcionan dos envases ´ debe conseguir, haciendo uso solamente no graduados de 3 y 5 galones de capacidad. El de dichos galones, medir exactamente cuatro galones de agua. a) ¿Cómo resolver la tarea encomendada? b) ¿Cómo se resolver´ıa el problema si los recipientes fueran de 5 galones y 11 galones? c) ¿Cuál es el m´ınimo volumen que se puede lograr si se dispone de 2 recipientes, uno de 4 galones y el otro de 6 galones de capacidad? 4. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido una pérdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razón de 1200 por mes. ¿Después de cuánto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado? 5. El ministro de Econom´ıa de cierto pa´ıs ha decidido que en ese pa´ıs deben usarse u ´ nicamente monedas de valores 4 y 7 Lunas, siendo una Luna su unidad monetaria. ¿Qué valores, en n´ umeros naturales, no se pueden pagar exactamente con estas monedas? Por ejemplo, no se puede pagar exactamente 6 Lunas, pero si se puede pagar 38 Lunas con seis monedas de 4 y dos monedas de 7. Para investigar: Encontrar todos los n´ umeros naturales x, y, z mayores que cero, tales que 1 + 2x 3 y = z 2

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1.4.

Sesi´ on 4: Sustracci´ on y divisi´ on en N. Aplicaciones del principio del buen orden El n´ umero es el origen de todas las cosas ´n Plato Contextualizando: Programa de baloncesto

Milagros dirige un programa de baloncesto en Lambayeque. El primer d´ıa de la temporada se presentaron 60 j´ovenes y fueron clasificados por nivel de edad y por su preferencia en la posici´on de juego como se muestra en la siguiente tabla:

Secundaria (J) Edad Preparatoria (S) Universidad (C) Totales

Guardia (G) 9 12 5 26

Posici´ on Delantero (F) Centro (N) 6 4 5 9 8 2 19 15

Totales 19 26 15 60

utilizando el conjunto de etiquetas (letras) en la tabla, encuentre el n´ umero de jugadores que est´an en la edad de preparatoria y que juegan en la posici´ on de centro.

1.4.1.

Sustracci´ on y Divisi´ on en N

Definici´ on 1.6. Dado los n´ umeros naturales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al n´ umero natural c, si existe, tal que a = b + c. Es decir, a−b =c ⇔ a= b+c Ejemplo 1.19. a) 3-2=1 puesto que existe 1 ∈ N tal que 3=2+1 b) Como 7=4+3 resulta 7-4=3 o también, 7-3=4. c) En cambio, la diferencia 2-3 no existe en N puesto que no hay n´ umero natural x tal que 2 = 3 + x. d) Más generalmente, se probará en el siguiente teorema que la ecuación x + a = b tiene solución si a ≤ b.

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Teorema 1.7. Dado los n´ umeros naturales a y b, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a ≥ b, entonces existe a − b b) Si a < b, entonces no existe a − b Demostración. a) Si a ≥ b entonces a > b o a = b (definición de ≥) Si a > b entonces, existe c ∈ N tal que a = b + c (definición de >). Si a = b entonces, existe c = 0 ∈ N tal que a = b + c (propiedad del elemento neutro). Luego, si a ≥ b existe c ∈ N tal que a = b + c, es decir, por definición, existe a − b. b) Sea a 0, por definición de la relación mayor se tiene que a > b, hecho que también contradice a la hipótesis. Por lo tanto no existe c ∈ ∈ N tal que a = b + c; es decir, no existe a − b.

Teorema 1.8. Sea a, b, c, m ∈ N, y a − b = c, entonces se cumplen las siguientes propiedades, siempre que cada diferencia exista en N: a) (a + m) − b = c + m

d) a − (b − m) = c + m

b) (a − m) − b = c − m

e) (a + m) − (b + m) = c

c) a − (b + m) = c − m

f ) (a − m) − (b − m)

Demostración. a) Si a−b = c, por definición de diferencia, a = b+c, luego a+m = (b+c)+m (teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, a+m = b+(c+m). En consecuencia, aplicando la definición de diferencia se tiene (a + m) − b = c + m. b) Sea d = c − m, entonces, por definición de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b (teorema 1.1), y por las propiedades asociativa y conmutativa, se tiene que (d + b) + m = b + c. Por otra parte como a − b = c, por definición de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad transitiva, a = (d + b) + m. Entonces, aplicando la definición de diferencia se tiene a − m = d + b, y, nuevamente, por la misma definición, (a − m) − b = d y por axioma de sustitución, (a − m) − b = c − m.

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c) Sea d = c − m, entonces, por definición de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b (teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, se tiene que d + (b + m) = c + b. Por otra parte, como a − b = c, por definición de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad transitiva, a = d + (b + m). Entonces, aplicando la definición de diferencia se tiene que a − (b + m) = d y por axioma de sustitución, a − (b + m) = c − m. La prueba de d), e) y f) se deja como ejercicio.

Definici´ on 1.7. Dado los numeros naturales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a por b, y se denota ab , al numero naturales c, si existe, tal que a = b · c. Es decir ab = c ⇔ a = bc Ejemplo 1.20.

1. 4224/6 = 704, pues 4224 = 704 × 6

2. Rec´ıprocamente, 8 × 12 = 96, implica que, 96/8 = 12 3. Pero, no existe el cociente 58/3 puesto que no existe n ∈ N tal que 58 = 3n Observaciones: 1)

a 0

no existe por definici´on

2) Si 0 < a < b, no existe el cociente ab , pues a = bc ≥ b 3) Sea f la función que asigna a cada par de n´ umeros naturales su diferencia, si existe, y sea g la función que asigna a cada par de n´ umeros naturales su cociente, si éste existe en N. Ninguna de estas funciones satisface la definición de operación en N, pues no se aplican sobre todo N × N, de ese modo formalmente la sustracción y división no son operaciones binarias en N.

1.4.2.

Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11)

Teorema 1.9. No existe n´ umero natural n, tal que 0 < n < 1

Demostración. Sea A = {n ∈ N/0 < n < 1}, bastará probar que A = φ Se supone que A = φ; luego, como A es un subconjunto no vac´ıo de N, por el axioma del buen orden, A posee un elemento m´ınimo m; as´ı 0 < m < 1. Entonces, multiplicando por m, tenemos 0 < mm < m < 1, lo que indica que existe un numero mm ∈ A, menor que el m´ınimo, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, A = φ.

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Teorema 1.10 (Principio de Inducci´on Matem´atica). Sea A un subconjunto de N, tal que: i) 0 ∈ A ii) h ∈ A, implica h + 1 ∈ A Entonces, A=N

Demostración. Bastará probar que CA = N − A = φ Se supone que CA 6= φ, entonces, por el axioma del buen orden, CA posee un m´ınimo, llámenle m. Como m ∈ CA ⇒ m 6∈ A, por ello m 6= 0 (recuerda que por hipótesis (I), 0 ∈ A) Es decir, m > 0 ⇒ m ≥ 1. Luego existe m − 1 y además m − 1 < m, entonces m − 1 6∈ CA. Entonces m − 1 ∈ A que, por hipótesis (II), implica que m = (m − 1) + 1 ∈ A, lo cual contradice el hecho de que m ∈ CA. Por lo tanto, CA = φ y as´ı, A = N Ya se ha visto que no siempre es posible la division de dos numeros naturales; sin embargo, tenemos el siguiente resultado Teorema 1.11 (Algoritmo de la División de Euclides). Si a, b ∈ N con b 6= 0 existen n´ umeros naturales r y q, u ńicos, tales que a = bq + r,

con

0≤r<b

a b r q

Demostraci´on. Este teorema tiene dos partes: Existencia y Unicidad. a) Primero se ve la existencia. Con a y b fijos, se define H como el conjunto de todos los numeros naturales de la forma: a − nb, con n ∈ N. Es decir, H = {d ∈ N/d = a − nb, n ∈ N} o sea H = {a, a − b, a − 2b, a − 3b, . . .} ⊂ N

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Claramente, H es no vac´ıo, pues a ∈ H. Por el axioma del Buen Orden, en H existe un elemento m´ınimo al que se llamar´a r; luego, tambi´en existe un n´ umero natural q tal que a − bq = r ≥ 0. As´ı se ha encontrado dos n´ umeros naturales q y r, que satisfacen: y 0≤r

a = bq + r,

Falta demostrar que r < b. Si se tuviera r ≥ b, resultar´ıa r − b ≥ 0 ⇒ (a − bq) − b ≥ 0 ⇒ a − b(q + 1) ∈ H Pero a − b(q + 1) = (a − bq) − b < a − bq = r y esto significa que H tiene un elemento menor que el m´ınimo, lo cual es absurdo. Entonces r < b. Con esto se tiene a = bq + r y 0 ≤ r < b b) Ahora se ve la unicidad. Se supone que existen otros n´ umeros naturales q ′ y r ′ tales que: a = bq ′ + r ′

y 0 ≤ r′ < b

(1.3)

Entonces bq + r = bq ′ + r ′ De donde r = b(q ′ − q) + r

y r ′ = b(q − q ′ ) + r

Luego: Si q < q′ → q′ − q ≥ 1

→

r = b(q ′ − q) + r ′ ≥ b + r ′ ≥ b,

q > q′ → q′ − q ≥ 1

→

r = b(q ′ − q) + r ≥ b + r ≥ b,

y si En ambos casos se llega a contradecir el hecho de que r y r ′ < b Entonces q = q ′ .Luego de 1.4, r = r ′

Ejemplo 1.21. a) Dados los n´ umeros 47 y 8, existen los n´ umeros 5 y 7 tales que 47 = 5 × 8 + 7,

0≤7<8

b) Dados los n´ umeros 6688 y 111, se tienen los n´ umeros 60 y 8 tales que 6668 = 60 × 111 + 8 37

(1.4)

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c) Dados los n´ umeros 3003 y 231, existen los n´ umeros 13 y 0, naturales, tales que 3003 = 231 × 13 + 0 En la expresi´on a = bq + r con 0 ≤ r < b, el n´ umero a recibe el nombre de dividendo; b recibe el nombre de divisor; r el nombre de resto o residuo y q, el nombre de cociente por defecto (o simplemente cociente). Si el residuo r es cero diremos que la divisi´ on es exacta. Ejemplo 1.22. a) Dados los numeros 129 y 15 en N, existen 8 ∈ N y 9 ∈ N tales que 129 = 15 × 8 + 9,

0 ≤ 9 < 15 (divisi´on inexacta)

b) Dados los numeros 180 y 36 en N, existen 5 ∈ N y 0 ∈ N, tales que 180 = 36 × 5 + 0 (division exacta) c) To˜ no, Yola y Félix son amigos. El sábado fueron a comprar pasajes para ir a un congreso de matemática. To˜ no no llevaba dinero, entonces, entre Yola y Félix le hicieron un préstamo y pagaron los tres pasajes. Yola puso 64 soles y Félix 68 soles. ¿Cuánto debe devolverle To˜ no a Yola? ¿Y cuánto a Félix? Soluci´ on: Los tres pasajes cuestan (64+68)=132 soles. Cada uno de ellos cuesta 132/3=44 soles. Entonces, Yola prestó a To˜ no (64 − 44) = 20 soles y

Félix prestó a To˜ no (68 − 44) = 24 soles Luego, To˜ no debe devolver 20 soles a Yola y 24 soles a Félix.

Problemas Resueltos Problema 1.1 (*). La comisión directiva de una sociedad secreta esta formada por cuatro personas. Para admitir nuevos socios se rigen los siguientes criterios: - Votan solamente los 4 integrantes de la directiva, pudiéndolo hacer de tres formas:a favor, en contra o absteniéndose. - Cada aspirante debe obtener por lo menos dos votos a favor y ninguno en contra En la ultimo reunion de la directiva, se consideran 8 solicitudes de ingreso. Del total de votos emitidos, resultaron 23 votos a favor, 2 votos en contra y 7 abstenciones. ¿Cual es la mayor y cual es la menor cantidad de solicitudes que pudieron ser aceptadas en esta ocasión? 38

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Soluci´ on. Sean A, B, C, D, E, F, G y H los ocho aspirantes. Como hay votos en contra, al menos un aspirante sera admitido. En efecto, la mayor cantidad de aspirantes admitidos es 7 cuando solo un aspirante es rechazado. Los votos recibidos por cada aspirante para este caso pueden ser los siguientes: Aspirante A B C D E F G H Total

Votos a favor 3 3 3 3 3 3 3 2 23

Votos en contra 2 2

Abstenciones 1 1 1 1 1 1 1 7

Situaci´on final Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Rechazado

De otro lado, como solo hay dos votos en contra, 6 aspirantes que no reciben votos en contra. Estos seis aspirantes recibirán 23 − 6 = 17 votos a favor (pues los otros dos aspirantes reciben, en conjunto un máximo de 6 votos a favor). Para ser rechazado. alguno de estos seis aspirantes, debe recibir al menos tres votos de abstención. Pero como solo hay 7 votos de abstención, entonces a lo mas pueden ser rechazados dos de estos seis aspirantes. Esto significa que la menos cuatro de estos seis postulantes que no reciben votos en contra será aceptado. En efecto, 4 es la menor cantidad de aspirantes aceptados y la tabla siguiente muestra cuales podrán ser los votos recibidos por cada aspirante para obtener este m´ınimo: Aspirante A B C D E F G H Total

Votos a favor 4 4 4 4 1 1 2 3 23

Votos en contra 1 1 2

Abstenciones 3 3 1 7

Situaci´on final Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Rechazado Rechazado Rechazado Rechazado

Problema 1.2 (*). Rodolfo y Gabriela tiene 9 fichas enumeradas del 1 al 9 y se entretienen con el siguiente juego: Sacan alternadamente 3 fichas cada uno, con las siguientes reglas:

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Comienza el juego Rodolfo, eligiendo una ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada vez, una ficha tres unidades menos que la ultima que saco Gabriela Gabriela, a su vez, elige la primera ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada vez, una ficha 2 unidades menos que la ultima que ella misma sac´o Gana el que obtiene el numero al sumas sus tres fichas. Si el juego no se puede completar, hay empate. Si los dos juegan sin equivocarse ¿Como debe jugar Rodolfo para asegurar no perder? Soluci´ on. Sea R la primera ficha que saca Rodolfo y G la primera ficha que saca Gabriela. Si el juego terminara, las fichas de Rodolfo y Gabriela secar´ıan ser´ıan las siguientes: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo R G-3 G-5

Gabriela G G-2 G-4

Si Rodolfo comienza sacando la ficha R = 9, Gabriela puede sacar la ficha G = 8 y el juego se desarrollar´a de la siguiente manera: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo 9 5 3

Gabriela 8 6 4

Gabriela ganar´ıa pues 8 + 6 + 4 > 9 + 5 + 3 Si rodolfo saca una ficha R < 9. Gabriela puede sacar la ficha R + 1 y, si el juego termina, se desarrollar´ıa de la siguiente manera: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo R R-2 R-4

Gabriela R+1 R-1 R-3

Nuevamente Gabriela ganar´ıa, pues (R+1)+(R+1)+(R−3) = 3R−3 > RR+(R−2)+(R−4). En consecuencia, Rodolfo, para no perder, intentar´ıa que el juego no termine. Eso lo que puede conseguir si elige R = 4. Analizaremos, en este caso, cual puede ser la primera ficha que Gabriela saque: Si Gabriela comienza con G = 9, el juego terminar´a pues como ya fue sacada la ficha 4, Rodolfo no podr´a sacar su tercera ficha G − 5 = 9 − 5 = 4, pues esta ficha ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada. 40

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Si G = 8, el juego no terminará pues Gabriela no podrá sacar su tercera ficha G − 4 = 8 − 4 = 4, pues Rodolfo ya sacó esta ficha en la primera jugada. Si G = 7, el juego no terminará pues Rodolfo deber´ıa sacar en su segunda jugada la ficha G − 3 = 7 − 3 = 4, que ya la saco él mismo en su jugada anterior. Si G = 6, el juego no terminará pues Gabriela deber´ıa retirar en su segunda jugada la ficha G − 2 = 6 − 2 = 4, que ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada. Si G ≤ 5, el juego no terminará, pues no existir´ıa una ficha con el numero G − 5 que es la que corresponde a Rodolfo para su tercera jugada. As´ı, queda probado que si Rodolfo comienza retirando la ficha R = 4, él garantiza que el juego no terminará y, por tanto, se esta asegurando de no perder. Problema 1.3 (*). Tenemos 105 monedas, entre las cuales sabemos que hay tres falsas. Las monedas autenticas pesan todas lo mismo y su peso es mayor que el de las falsas, que también pesan todas lo mismo. Indicar de que manera se pueden seleccionar 26 monedas autenticas realizando sólo dos pesadas en un balanza de dos platos. Soluci´ on. Para la primera pesada, ubicamos 52 monedas en cada platillo. Si los platillos se equilibran significa que en cada platillo hay exactamente un moneda falsa. Si un platillo tiene sube y otro baja, el que baja (el mas pesado) tiene menos moneda falsas que el otro platillo. Por lo tanto, el platillo más pesado tiene a lo mas una moneda. Es decir, con la primera pesada podemos seleccionar 52 monedas de las cuales a lo mas una de ellas es falsa. Tenemos 52 monedas seleccionadas en la primera pesada. Colocamos 26 monedas en cada platillo. Si los platillos se equilibran, no hay monedas falsas en ninguno de los dos platillos. En caso contrario, el platillo que sube ( el que pesa menos) contiene una moneda falsa, mientras que el platillo que baja no contiene monedas falsas. En cualquier de los casos, hemos encontrado un platillo con 26 monedas verdaderas.

Actividades 1. Escriba los modelos lógicos de las proposiciones dadas en esta sesión. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Detalle la demostración del Teorema 1.9. 4. Para investigar: En la ciudad de “Camorra”hay 1000 habitantes. Dos cualesquiera de ellos o son amigos o son enemigos. Cada d´ıa, a lo sumo uno de los habitantes se pelea con todos sus amigos y simultáneamente, se hace amigo de todos los enemigos; además de esto, en cualquier conjunto de tres habitantes, los tres se hacen amigos entre s´ı. Demostrar que en un cierto n´ umero 41

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de d´ıas, todos los habitantes son amigos. ¿Cuál es el menor n´ umero de d´ıas suficiente para ellos?. 5. Por inducción matemática demostrar que: a. 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n+1) 2

b. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 c. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = d. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n(n+1)(2n+1) 6 h i2 n(n+1) 2

6. Ilustrar con ejemplos concretos el algoritmo de Euclides.

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1.5.

Sesi´ on 5: Potenciaci´ on y Radicaci´ on. Divisibilidad: definiciones y teoremas ¿ Has tra´ıdo ante mi a un hombre que no sabe contra sus dedos? Del libro de los muertos

´mero en potencias cu ´bicas Contextualizando: Descomponiendo un nu Cierta vez un matemático llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanuj´ an, que estaba enfermo en un hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el n´ umero me pareci´ o muy banal y espero que no sea de mal ag¨ uero. Al contrario, contesto Ramanuj´ an el n´ umero es muy interesante, es el menor n´ umero que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103 Debemos saber que Ramanuján al responder instant´ aneamente no lo hizo por arte de magia, sino como trabajaba constantemente con los n´ umeros ya sab´ıa de los cubos perfectos de memoria; sólo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.

1.5.1.

Potenciaci´ on y Radicaci´ on

Definici´ on 1.8. Sean a y n dos n´ umeros naturales, la potencia an , est´a dada por: 1) a0 ,

a 6= 0

2) an = a · an−1 , para n ≥ 1 As´ı:

Para n ≥ 2,

a1 a2 a3 a5

= = = =

a · a0 = a · 1 = a a·a a·a·a a·a·a·a·a

(2 factores) (3 factores) (5 factores)

an = a · a · a · · · a (n factores)

En la expresión an , el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. Observaci´ on: Se llama potenciación a la aplicación que hace corresponder a cada par de numeros naturales (a, n) 6= (0, 0) la potencia an . Note que (a, n) 6= (0, 0) no excluye las posibilidades (a, 0), con a 6= 0 ni (0, n) con n 6= 0, casos en los cuales existen respectivamente las potencias a0 = 1 y 0n = 0. 43

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Teorema 1.12 (propiedades de la potencia). Dado los n´ umeros naturales a, b y m, n, se cumplen las siguientes propiedades de la potencia: 1. (a · b)n = an · bn

3. (am )n = am·n

2. am · an = am+n

4. a < b ⇔ an < bn

Demostración. La definición formal de la potencia an y la demostración de sus propiedades (teorema 1.12) se efect´ uan usando inducci´ on matem´ atica. A manera de ejemplo probemos la afirmación a): a)

(i) Sean n = 1, entonces (a · b)n = (a · b) = a1 · b1 = an · bn (ii) Supongamos ahora q la propiedad es verdadera para n = h ≥ 1; es decir, (a · b)h = ah · bh

(Hip´otesis inductiva)

Probaremos la validez de esta afirmaci´on para n = h + 1. En efecto: (a · b)h+1 = = = =

(a · b) · (a · b)h (a · b) · ah · bh (a · ah ) · (b · bh ) ah+1 · bh+1

Por definición de potencia (II) Por Hipótesis Inductiva Asociado y conmutado Por definición de potencia (II)

Por lo tanto, (a · b)n = an · bn Definici´ on 1.9. Sean a y n n´ umeros naturales, n ≥ 1. Se llama ra´ız n-´ esima de a y se denota √ n n a, al n´ umero natural b, si existe, tal que b = a. √ Simb´olicamente n a = b ⇔ bn = a √ En la expresi´on n a; diremos que n es el ´ındice del radical, y a es el radicando. Teorema 1.13. Dados a, b ∈ N y n ≥ 1, se tiene: √ √ √ √ √ √ a) Si n a y n b existen, entonces existe n ab y adem´ as n ab = n a · n b √ √ √ √ b) Si n a existe, entonces existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ p√ √ √ c) Si n m a existe, entonces existen mn a y m n a y mn a = m n a √ √ m d) Si 0 < a < b y existe m a y b

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Demostraci´on. La prueba se deja como ejercicio.

1.5.2.

Sistema de Numeraci´ on Decimal

En el Sistema Decimal se emplean diez s´ımbolos, conocidos como d´ıgitos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que fueron introducidos en la definición 1.5; para representar a todos los n´ umeros naturales. Por eso se llama también sistema de base 10. Teorema 1.14. Si m es un n´ umero natural diferente de cero, entonces m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 donde ai ∈ N, an 6= 0 y 0 ≤ a < 10, para todo i = 0, 1, 2, 3, . . . , n. Esta expresión se llama expresión decimal de m y se denota por: m = an an−1 · · · a2 a1 a, de donde m es un n´ umero natural de n + 1 cifras: a0 , a1 , a2 , . . . , an Demostración. (Por inducción sobre m) I) Si m = 1, la expresión decimal es m = a = a0 , donde 0 ≤ a0 = 1 < 10 II) Si m > 1, supongamos inductivamente que la tesis del teorema es verdadera para todo n´ umero natural menor que m, probaremos que lo es también para m. Por el algoritmo de la división: Existen r, q, u ´ nicos, tales que m = 10q + r con 0 ≤ r < 10. Pero q < m, entonces el teorema es válido para q, es decir q = at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 ,

con a ≤ ai < 10

Luego, m = 10(at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 ) + r = at 10t+1 + at−1 10t + · · · + a2 103 + a1 102 + a0 10 + r

que es una expresión polinómica en base 10, equivalente al n´ umero m. La unicidad resulta de la unicidad del resto de la división por 10.

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Demostración. En la expresión decimal de m m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a1 × 10 + a0 = an an−1 · · · a2 a1 a0 cada cifra tiene una denominación, la cual es: a0 se llama cifra de las unidades (100 = 1: una unidad) a1 cifra de las decenas (101 = 10: una decena) a2 cifra de las centenas (102 = 100. una centena) a3 cifra de las unidades de millar (103 = 1000: un millar o una unidad de millar) a4 cifra de las decenas de millar (104 ) a5 cifra de las centenas de millar (105 ) a6 cifra de las unidades de millón (106 ), etc.

1.5.3.

Divisibilidad: Definiciones y Teoremas

Definici´ on 1.10. Sean a y b dos numeros naturales con b 6= 0. Diremos que a es divisible por b si existe un numero natural n tal que a = bn. Si a es divisible por b, diremos que b es divisor de a o que b divide a a y lo denotaremos ba. En caso contrario, escribiremos b|a Sean a, b ∈ N, diremos que a es m´ ultiplo de b o b es subm´ ultiplo de a si, y solo si existe k ∈ N tal que a = bk Ejemplo 1.23. a) 189 es divisible por 21, pues 189 = 21 × 9 b) 3a5 es divisible por 5, pues 3a5 = 3a0 + 5 = (3a × 2 + 1) × 5 Observaciones:

1) Como a = a · 1, para todo a ∈ N; entonces, todo numero natural es m´ ultiplo de 1, o 1 es divisor de todo numero natural. 2) Como 0 = b · 0, para todo b ∈ N; el cero es m´ ultiplo de todo numero natural y todo n´ umero natural diferente de cero divide al cero.

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En lo que sigue tendremos presente que si a 6= 0 entonces a > 0. A continuación, presentamos las propiedades mas importantes de la divisibilidad que pueden ser demostradas usando la definición de divisibilidad, el axioma de sustitución y las propiedades de la adición y multiplicación de los numeros naturales. Teorema 1.15. Sean a, b y c n´ umeros naturales. Se cumplen las siguientes propiedades: 1) a/a para todo a 6= 0 (Reflexiva) 2) Si a|b y b|c, entonces a/c

(Transitiva)

1. Sea a 6= 0. Como a = a · 1 entonces a/a.

2. Si a|b y b|c, por definici´on existen n´ umeros naturales m y n tales que b = am y c = bn. Luego, c = (am)n = a(mn). De ah´ı que a|c. 3. a/b ⇒ b = ka, k ∈ N

⇒ bc = a(kc), en particular ∀ c 6= 0 ⇒ a/bc

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6. Si a|b y a|c, por definición existen n´ umeros naturales m y n tales que b = ma y c = na. O sea b + c = ma + na, es decir b + c = (m + n)a. Luego, por definición de divisor, resulta que a|(b + c). Del mismo modo y utilizando c) se demuestra el caso general. 7. y h) se demuestran fácilmente utilizando f).

Ejemplo 1.24. a) Si 3|m y 3|n, entonces 3|(5m + 7n) b) Si a = 7b + c, entonces 7|a si y solo si 7|c. A continuaci´on presentamos un teorema de donde se deducen de manera natural, los criterios de divisibilidad por 2, por 5 y por 10. Teorema 1.16. Sea m un n´ umero natural, entonces existe un n´ umero natural b tal que m = 10b + a0 donde a0 es la cifra de las unidades de la representaci´ on decimal de m. Es un n´ umero natural b. decir, si m = an an−1 · · · a2 a1 a0 , entonces m = 10b + a0 , para alg´ Los n´ umeros an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 se llaman cifras del n´ umero natural m.

Demostración. Sea m un n´ umero natural, m = an an−1 · · · a2 a1 a0 Aplicando el algoritmo de la división, seg´ un el teorema 1.14, su descomposición en potencias de 10 es: m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 101 O sea m = 10(an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1 ) + a0 Si ponemos b = (an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1 ), b es un n´ umero natural y se tiene que m = 10b + a0 . Daremos algunos criterios que nos permitan determinar si un n´ umero natural dado es o no divisible por otro, sin realizar la operación de la división. Corolario 1.3 (Divisibilidad por 2). Un n´ umero natural es divisible por 2 si, y sólo si, la cifra de las unidades es un n´ umero par.

Demostraci´on. Sea m un n´ umero natural, entonces seg´ un el teorema 1.16, existe un n´ umero natural b tal que m = 10b + a0 . 48

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(⇒) Luego, si m es divisible por 2, como 10b = 2(5b) es divisible por 2, debe ser a0 divisible por 2, seg´ un el teorema 1.15(g). (⇐) Rec´ıprocamente, si a0 es divisible por 2, entonces m = 10b + a0 es divisible por 2, por el teorema 1.15(f), con lo que termina la demostraci´on.

Observaci´ on: Del corolario 1.3, podemos concluir que un n´ umero es par si, y s´olo si, la cifra de unidades es par. Corolario 1.4 (Divisibilidad por 5). Un n´ umero natural es divisible por 5 si, y s´olo si, la cifra de las unidades es cero o cinco.

Demostraci´on. Sea m un numero natural, por el teorema 1.16, m = 10b + a0 para alg´ un natural b. (⇒) Luego, si m es divisible por 5, y 10b = 5 × 2b es divisible por 5, se sigue que a0 es divisible por 5, seg´ un el teorema 1.15(g). Luego ∃ k ∈ N/5k = a0 y como a ≤ a0 < 10, reemplazando se tiene 0 ≤ 5k < 10 De donde se sigue que 0 ≤ k < 2, lo que implica que k = 0 ∧ k = 1 y en consecuencia a0 = 0 ∧ a0 = 5 (⇐) Rec´ıprocamente, si a0 es divisible por 5, entonces m debe ser divisible por 5 (por el teorema 1.15(f)).

Observaci´ on: Es claro que 17658 no es divisible por 5, pues evidentemente la cifra de unidades no es 5 ni cero, pero es posible determinar el resto de dividir 17658 por 5, sin efectuar la divisi´on: 17658 = 17655 + 3 = 5k + 3,

con 0 ≤ r = 3 ≤ 5

Luego seg´ un el algoritmo de la división, el resto es 3. En el caso del n´ umero 2000015926, éste es un n´ umero natural de la forma 5n + 1 ó 5m + 6, donde el resto de dividir (sin efectuar la división), tal n´ umero por 5, es igual a 1. Corolario 1.5 (Divisibilidad por 10). Un n´ umero natural es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de unidades es cero.

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La prueba se deja como ejercicio. Teorema 1.17. Para todo n´ umero natural n = c1 cr−1 · · · c2 c1 c0 , existe un n´ umero natural k, tal que n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) Demostraci´on. Sea el n´ umero n, el cual descomponemos en unidades, decenas, centenas, millares, etc.; o sea: n = c0 + 10c1 + 102 c2 + 103 c3 + 104 c4 + · · · + 10r cr donde r es un n´ umero natural. Por otra parte se tiene que: c0 10c1 102 c2 10r cr

= = = =

c0 (9 + 1)c1 = 9k1 + c1 (99 + 1)c2 = 9k2 + c2 (99 . . . 9 + 1)cr = 9kr + cr

Sumando miembro a miembro y aplicando la distributiva: n = 9(k0 + k1 + k2 + · · · + kr ) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) luego existe el n´ umero natural k = (k0 + k1 + k2 + · · · + kr ), tal que: n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr )

Corolario 1.6 (Divisibilidad por 3). Un n´ umero natural es divisible por 3 si, y s´olo si, la suma de sus cifras es m´ ultiplo de 3.

Demostraci´on. Sea n un n´ umero natural, por el teorema 1.17, n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr )

n = 3(3k) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) Entonces n es divisible por 3 si, y s´olo si, la suma de sus cifras (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) es divisible por 3. Observaci´ on: El n´ umero natural 18458 no es divisible por 3, pues 1+8+4+5+8=26 no es m´ ultiplo de 3. Pero es importante notar que si la suma hubiera resultado 24 en lugar de 26, tendr´ıamos un n´ umero 50

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divisible por 3, entonces si restamos esa diferencia de 2 unidades al n´ umero 18458, tendremos el mayor m´ ultiplo de 3, menor que 18458, es decir, usando este criterio de divisibilidad por 3, 18458 = 3k + 2,

k natural

obteniendo (sin dividir), que el resto de la divisi´on de 18458 por 3 es 2. (El mismo que deja la suma de cifras, al aplicarle el criterio de divisibilidad por 3) Corolario 1.7 (Divisibilidad por 9). Un n´ umero natural es divisible por 9 si, y s´olo si, la suma de las cifras es m´ ultiplo de 9.

Demostraci´on. An´alogo al caso de divisibilidad por 3, se deja como ejercicio. Teorema 1.18 (Divisibilidad por 11). Por comodidad consideremos un n´ umero de cuatro cifras pero el teorema vale en general Un n´ umero natural abcd es divisible por 11, si la diferencia, que exista, entre las sumas de las cifras de lugar impar, contando de derecha a izquierda, y las de lugar par, es divisible por 11.

Demostraci´on. Sea el n´ umero n, que descomponemos as´ı: n = d + 10c + 102 b + 103 a Por otra parte d = d 10c = (11 − 1)c = 11k1 − c

102 b = (99 + 1)b = 11k2 + b

103 a = (1001 − 1)a = 11k3 − a Sumando y simplificando: n = 11(k1 + k2 + k3 ) + [(b + d) − (a + c)] O bien n = 11(k1 + k2 + k3 ) − [(a + c) − (b + d)] Entonces n es divisible por 11 si y solo si la diferencia [(b + d) − (a + c)] o [(a + c) − (b + d)], seg´ un la diferencia que exista en N, es m´ ultiplo de 11. De manera an´aloga se puede extender esta idea a n´ umeros de m´as cifras. 51

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Problemas Resueltos Problema 1.4. ¿Qué sucede con un n´ umero de cinco cifras, si a su primera cifra se le aumenta en dos, a la segunda se le disminuye en cinco, a la tercera se le disminuye en cuatro, a la cuarta se le aumenta en uno y a la quinta se le disminuye en tres? Soluci´ on. Sea N el n´ umero de cinco cifras. De los datos tenemos: “A la primera se le aumenta en dos”: es decir la cifra que ocupa las decenas de millar se aumenta en 2. Luego tenemos que nos queda: N + 2 decenas de millar. Razonando en forma análoga, tenemos: N + 2 decenas de millar – 5 millares – 4 centenas + 1 decena – 3 unidades = N + 20 000 unidades – 5 000 unidades - 400 unidades + 10 unidades – 3 unidades = N + 14 607 unidades. Luego, el n´ umero aumenta en 14 607 unidades. Problema 1.5. Se tiene un n´ umero de 6 cifras que comienza a la izquierda con 2. si se hace pasar la cifra 2, del sexto orden se encuentra, al primer orden se obtendrá un nuevo n´ umero que ser´ıa el triple del original. El n´ umero primitivo es: Soluci´ on. Sea N el n´ umero original, del enunciado: “Pasar la cifra 2 del sexto orden al primer orden”. Lo que en primer lugar es “eliminar”dicha cifra 2, mediante: N − 2 × 105

Para pasarla al primer orden hacemos: [N − 2 × 105 ] × 10 + 2 Finalmente nos queda: [N − 2 × 105 ] × 10 + 2 = 3N 10N − 2 × 106 + 2 = 3N

7N = 2 × 106 − 2 1 999 998 N = = 285 714 7 Problema 1.6. Existen 6 n´ umeros de dos cifras cada uno, formado por las diferentes combinaciones de u ´ nicamente 3 cifras distintas entre s´ı. ¿Cu´antas veces es la suma de dichos 6 n´ umeros, a la suma de las mencionadas 3 cifras? Soluci´ on. Sean a, b y c las tres cifras distintas. Los 6 n´ umeros de dos cifras cada uno que se pueden formar son: ab, ba, ac, ca, bc, cb Ahora del enunciado ab + ba + ac + ca + bc + cb = 10a + b + 10b + a + 10a + c + 10c + a + 10b + c + 10c + b = 22(a + b + c) Es 22 veces la suma de las mencionadas 3 cifras. 52

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Problema 1.7. Se desea repartir S/.1 000 000 entre cierto n´ umero de personas, de tal modo lo que les corresponda sea S/.1,00; S/.7,00; S/.49,00; S/.343,00; etc y que sea más de seis personas que reciban la misma suma. Determinar cuántos fueron los beneficiados. Soluci´ on. Del enunciado: Un n´ umero “a” de personas recibirá S/.1 Un n´ umero “b” de personas recibirá S/.7 Un n´ umero “c” de personas recibirá S/.72 Un n´ umero “d” de personas recibirá S/.73 y as´ı sucesivamente, tal que a, b, c, etc. sean menores que 7. Observamos que para que ocurra esto, que es suficiente con pasar: S/.1 000 000 a base 7 y cada coeficiente x de 7k será el n´ umero de personas que reciben la cantidad 7k . As´ı: 1 000 000 = 11333311(7) = 1 × 77 + 1 × 76 + 3 × 75 + 3 × 74 + 3 × 73 + 3 × 72 + 1 × 7 + 1 El n´ umero de beneficiados es: 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16. Problema 1.8. ¿Cuántos n´ umeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? Soluci´ on. Sean U = conjunto de todos los n´ umeros de tres cifras, entonces n(U) = 900 [n(u) = n´ umero de elementos del conjunto] A = conjunto con por lo menos una cifra par/A ⊂ U B = conjunto con por lo menos una cifra impar/B ⊂ U Nos piden n(A ∩ B) =? Por teor´ıa de conjuntos: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)c = U, donde: (A ∩ B) ∩ (A ∩ B)c = ∅ Luego: n(A ∩ B) + n(A ∩ B)c = n(U)

(1)

n(A ∩ B) = 900 − n(A ∩ B)c

(2)

entonces Pero (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Donde: 53

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Ac = conjunto con ninguna cifra par/Ac ⊂ U B c = conjunto con ninguna cifra impar/B c ⊂ U umero de cifras cualesquiera. Sea abc un n´ c Para A : La cifra a puede tomar 5 valores (que son 1, 3, 5, 7 y 9) Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una Luego el conjunto Ac tiene 5 × 5 × 5 = 125 elementos. Es decir n(Ac ) = 125

(3)

Para B c : La cifra a puede tomar 4 valores (que son 2, 4, 6, 8 y 9) Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una (0, 2, 4, 6, 8) Luego el conjunto B c tiene: 4 × 5 × 5 = 100 Es decir: n(B c ) = 100

(4)

(3) y (4) en (2): n(A ∩ B)c = n(Ac ∪ B c ) = n(Ac ) + n(B c ), n(A ∩ B)c = 125 + 100 = 225

(5)

(ya que Ac ∩ B c = ∅) (5) en (1): n(A ∩ B) = 900 − 225 = 675 Problema 1.9. ¿Cuál es el menor n´ umero natural N, tal que restándole una unidad a su primera cifra de la izquierda “a” y aumentándole una unidad se obtenga el producto de (a+2) por el n´ umero N después de suprimir la cifra “a”?. Dar como respuesta la suma de cifras de dicho n´ umero N. Soluci´ on. Supongamos que el n´ umero N tiene n cifras. Del enunciado: (N − 1 × 10n−1 ) + 1 = (a + 2)[N − a × 10n−1]

N − 10n−1 + 1 = (a + 2)N − a(a + 2) × 10n−1

[(a + 2) − 1]N = a(a + 2) × 10n−1 − 10n−1 + 1 = [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1 [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1 N = a+1 54

(1)

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De (1) observamos que el numerador es un n´ umero (que termina en uno), luego para que exista N tenemos que a + 1 debe ser impar, más a´ un debe ser 3 ó 7 ó 9. Es decir a = 2; 6; 8 Si a = 2 en (1) (n−1) cifras

z }| { 700 . . . 01 7 × 10n−1 + 1 N= = 3 3 Donde tenemos que para ning´ un valor de n, N es entero. Si a = 6 en (1): (n−1) cifras

efectuando la divisi´on

z }| { 4700 . . . 01 47 × 10n−1 + 1 N= = 3 3 4 7 0 0 ... 0 1 7 5 0 671 1 0 3 ...

Del esquema observamos que conviene “bajar” un cero más, y después “bajar”la unidad. Nos queda: 470 001 67 143 N= = La suma de las cifras es: 6 + 7 + 1 + 4 + 3 = 21. Problema 1.10. El guardián de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros y en la dirección Norte un total de 27 árboles y además puede sacar agua del pozo cada vez que para el riego de un sólo árbol. ¿Cuánto tiene que andar diariamente para regar los 27 árboles y regresar al pozo? Soluci´ on. Se observa que para regar un árbol y regresar al pozo, el guardián recorre el doble de la distancia que hay del pozo al árbol respectivo. As´ı, para el primer árbol recorre 10 m; para el segundo árbol recorre 20 m y as´ı sucesivamente. LA distancia recorrida es: 10 + 20 + 30 + · · · = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + · · · + 27 × 10 27(27 + 1) = 10[1 + 2 + 3 + · · · + 27] = 10 2 = 10[27 × 14] = 3 780 Problema 1.11. Se debe almacenar 610 postes cil´ındricos en un espacio abierto disponible sin paredes, que sólo permite poner horizontalmente 40 postes, formando as´ı un lecho horizontal de 40 postes. Formado el primer lecho en el suelo, cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. Se pregunta, ¿cuántos lechos deben armarse?. Soluci´ on. Del enunciado: 55

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1. El primer lecho está formado con 40 postes 2. El segundo lecho está formado con 39 postes 3. El u ´ ltimo lecho está formado por “u” postes Como el total de postes es 610, tenemos que: [1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1) + u + (u + 1) + · · · + 39 + 40]−

−[1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1)] = 610 (40)(41) (u − 1)(u) − = 610 2 2 u(u − 1) = 420 u = 21

Ahora como el primer lecho tiene 40 postes y el u ´ ltimo tiene 21, el total será de 20. Problema 1.12. Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15 m de largo, 5 m de ancho y 6 m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1, 5 m por 2 m. ¿Cuántas piezas de papel colomural de 10 m por 80 cm c/u, deberán comprarse? Soluci´ on. Graficamos la sala rectangular

La superficie a empapelar es: SE = [2(5 × 6) + 2(15 × 5)] − 4(1,5 × 2) = 198 m2 En cada pieza entera entra una superficie de Sp = 10(0,80) = 8 m2 El total de las piezas a comprarse es 198/8 = 24,75; lo que por aproximaci´on son 25 piezas.

Actividades 1. La suma de algunos naturales es igual a 12. ¿Cu´al es el m´aximo valor que puede tomar el producto de dichos numeros? Por ejemplo: 7 + 5 = 12 ⇒ 7 × 5 = 35. 56

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2. Demostrar que: a) Si a < b y c < d, entonces a + c < a + d; a · c < b · d b) 2a · b ≥ a2 + b2 c) 0 < a < b ⇒ a2 < b2 , a3 < b3 3. Adela es una vendedora de fósforos, vendió la cuarta parte del n´ umero de cajitas de fósforos que ten´ıa a 20 céntimos cada cajita y la novena parte a 18 céntimos cada una. Si por las dos ventas obtuvo en total entre S/. 7 y S/. 14, ¿cuántas cajitas de fósforos como máximo ten´ıa ella inicialmente? Rpta. 180 4. Hallar todos los n´ umeros naturales n tales que 100 < n < 300, y sean divisibles por 4, pero no por 3. Rpta. 33

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1.6.

Sesi´ on 6: N´ umeros primos, m´ aximo com´ un divisor, m´ınimo com´ un m´ ultiplo Para Tales... la cuestion primaria no era que sabemos, sino como lo sabemos. ´ teles Aristo ´meros Contextualizando: Propiedades interesantes de los nu

El libro “The penguin Dictionary of Carious Numbers (1986)”, de David Weills, es uno de los libros más notables dentro de la teor´ıa de n´ umeros. este libro contiene n´ umeros fascinantes y sus propiedades, algunos de los cuales se aprecian aqu´ı. Los n´ umeros 113, 199 y 337 con los u ńicos tres n´ umeros de tres d´ıgitos que son primos y que cualquier combinación de sus d´ıgitos es un n´ umero primo. Determine la suma de los cubos de los d´ıgitos de 136: 13 + 33 + 63 = 244. Repite el proceso con los d´ıgitos de 244: 23 + 43 + 43 = 136. Estamos de regreso en donde empezamos. El n´ umero 635 318 657, es el más peque˜ no que puede expresarse de dos formas distintas, como la suma de dos cuartas potencias: 635 318 657= 594 + 1584 = 1334 + 1344 . El n´ umero 24 678 050 tiene una propiedad interesante: 24 678 050= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 0 8 + 58 + 08 . El n´ umero 3 435 tiene esta propiedad: 3 435= 33 + 44 + 33 + 55 .

1.6.1.

N´ umeros Primos

Como sabemos, un numero entero positivo se llama primo si y solo si es divisible por 1 y por si mismo. Los numeros primos gozan de gran popularidad en las matematicas desde el tiempo de los griegos clásicos. El estudio de la distribución y propiedades de los numeros primos forma una de las partes mas bellas y profundas de las matemáticas: La teor´ıa de los numeros. Definici´ on 1.11. Sea p un n´ umero natural, p > 1, decimos que p es un n´ umero primo si, y sólo si, sus u ´ nicos divisores son 1 y p. Ejemplo 1.25. a) 7 es primo, pues no tiene más divisores que 1 y el mismo 7. b) 12 no es primo, pues tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

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c) Los 25 primeros n´ umeros primos son: 2 13 31 53 73

3 17 37 59 79

5 19 41 61 83

7 23 43 67 89

11 29 47 71 97

Observaci´ on: 1) El n´ umero 2 es el u ´ nico n´ umero par que es primo. 2) Los u ´ nicos n´ umeros primos consecutivos son 2 y 3. 3) Todos los n´ umeros primos, mayores o iguales que 5, tienen la forma 6k ± 1. 4) A los pares de primos de la forma 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc. se les llama primos gemelos. Un resultado fundamental nos dice que los numeros primos pueden verse como ladrillos constructores de los demas numeros . En efecto, tenemos el siguente resultado, conocido como el: Teorema 1.19. “Teorema Fundamental de la Aritm´ etica” Todo n´ umero natural n > 1, se puede expresar como producto de un n´ umero finito de n´ umeros primos, en forma u ´nica, salvo el orden de sus factores.

Conocemos muchos numeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ¿hasta donde podemos seguir? Uno de los primeros resultados matemáticos de la antig¨ uedad de los que se tiene noticia es la demostración por Euclides de la existencia de infinitos numeros primos. Esta demostración es todav´ıa una muestra de la elegancia que puede tener un argumento matemático. Teorema 1.20. Existen infinitos n´ umeros primos.

Demostración. Aqu´ı seguiremos la demostración de Euclides. Supongamos que sólo existe un n´ umero finito de primos, digamos p1 , p2 , p3 , . . . , pn . Con estos primos construimos el n´ umero N = 1 + p1 × p2 × p3 × · · · × pn . Como N > 1, N es primo o es un producto de primos. Pero N no es primo, pues N > pk para todo k = 1, 2, . . . , n, esto quiere decir que N es mayor que todos los primos que hemos supuesto que existen y por tanto N no puede ser primo. Sin embargo, N tampoco es producto de primos, pues ninguno de los pk divide a N (si alguno de los pk dividiera a N, pongamos p1 |N, tendr´ıamos que p1|N y p1 |p1 ×p2 ×p3 ×· · ·×pn , y de ah´ı que p1 |(N −p1 ×p2 ×p3 ×· · ·×pn ), es decir p1 |1, lo cual es un absurdo ya que p1 > 1). Este hecho contradice el teorema anterior 59

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y por ello nuestra suposición de que sólo existe un n´ umero finito de primos no es cierta; por tanto, existen infinitos n´ umeros primos. Observaci´ on: 1) Encontrar todos los n´ umeros primos menores que un n´ umero natural dado, n, resulta muy complicado para valores de n muy grande. Una técnica razonable para n relativamente peque˜ no, es la llamada Criba de Erat´ ostenes, que consiste en escribir todos los n´ umeros de 2 hasta n, y luego ir tachando todos los m´ ultiplos de 2 a excepción del n´ umero 2, pues tales n´ umeros pares no son primos, luego tachar de los restantes eliminando todos los n´ umeros m´ ultiplos de 3, excepto 3, por ser n´ umeros compuestos, se repite el proceso con los m´ ultiplos de 5, excepto el 5, luego los m´ ultiplos de 7, excepto el 7, etc. − 17 33 50 66 82 98 112 125 138

2 18 34 51 67 83 99 113 126 139

3 19 35 52 68 84 100 114 127 140

4 20 36 53 69 85 101 115 128 141

5 21 37 54 70 86 102 116 129 142

6 22 38 55 71 87 103 117 130 143

7 23 39 56 72 88 105 118 131 144

8 24 40 58 73 89 106 119 132 145

9 25 41 57 74 90 107 120 133 146

10 26 42

59 75 91 108 121 134 147

11 27 44 60 76 92 109 122 135 148

12 28 45

61 77 93 110 123 136 149

13 29 46 62 78 94 111 124 137 150

14 15 16 31 30 32 47 48 49 63 64 65 79 80 81 97 95 96

En esta tabla los n´ umeros que no fueron tachados son primos. 2) Sea a ∈ N, a 6= 0, por el teorema 1.18, a es divisible por alg´ un numero primo. Un criterio para determinar si el numero a es primo, es verificar si alg´ un numero primo entre 2 y b, donde b es el mayor numero natural tal que b2 ≤ a, es un divisor de a. Si ninguno de estos primos divide al numero a, entonces a es primo. En general este es un teorema (Criterio de Eratostenes): √ Si todo p primo tal que p ≤ n no divide a n, entonces n es primo. Por ejemplo sea a = 217 tiene ra´ız cuadrada entre 14 y 15. Consideremos todos los numeros primos entre 2 y 14: 2, 3, 5, 7, 11 y 13, usando los criterios vemos que no es divisible por 2, 3, ni 5, pero si por 7, luego 217 no es primo. En cambio para el numero 313, cuya ra´ız esta entre 17 y 18, consideramos los n´ umeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Comprobamos que ninguno de ellos divide a 313, luego 313 es un n´ umero primo.

1.6.2.

M´ aximo Com´ un Divisor

Definici´ on 1.12. Un n´ umero d que divide a dos n´ umeros naturales a y b, se llama divisor com´ un de a y b. Por ejemplo, 1 es un divisor com´ un de todo par de n´ umeros naturales a y 60

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b. Definici´ on 1.13. Dados a, b en N, diferentes de cero, y sea d 6= 0 en N, decimos que d es el máximo com´ un divisor (MCD) de a y b si y solo si: 1. d|a y d|b 2. Si d′ |a y d′ |b ⇒ d′ |d El máximo com´ un divisor (MCD) de a y b es denotado por MCD(a, b) o simplemente < a, b >. Si < a, b >= 1 diremos que a y b son coprimos o primos entre s´ı. Dados dos n´ umeros naturales, se demuestra que el MCD existe y es u ´ nico. La demostración de esta propiedad en Z se da en el siguiente cap´ıtulo. A continuación enunciamos algunos teoremas importantes. Teorema 1.21. El MCD posee las siguientes propiedades: (a) ha, bi = hb, ai

(ley conmutativa)

(b) ha, hb, cii = hha, bi , ci (ley asociativa) (c) hac, bci = c ha, bi

(ley distributiva)

(d) ha, 1i = h1, ai = 1 (e) ha, 0i = h0, ai = |a|, para todo a 6= 0 Nota En virtud de la propiedad asociativa del MCD : ha, hb, cii = hha, bi , ci, podemos también escribir MCD(a, b, c) ó ha, b, ci. Ejemplo 1.26. a) h80, 72i = 8 b) h420000, 264000i = 1000 × h420, 264i = 1000 × 12 = 12000 c) Sea n ∈ N, n 6= 31, entonces (217n, 308n2) = n × (217, 308n) = n × 7 × h31, 44ni = 7 × n × 1 = 7n Observaci´ on: a) Para obtener el máximo com´ un divisor es necesario conocer los n´ umeros primos, y las propiedades de los n´ umeros primos relativos. b) La propiedad (c) del teorema 1.20: hac, bci = c · ha, bi, es la que justifica la validez de la llamada regla práctica para calcular el MCD. 61

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Teorema 1.22. Si un n´ umero primo p no divide a n, entonces el u ´nico divisor com´ un de p y n es la unidad.

Demostraci´on. Sea d = hp, ni. Entonces d|p, luego o d = 1 o d = p. Pero d|n, luego d 6= p pues p no divide a n. Entonces d = 1. Teorema 1.23. Si un primo p divide a ab, entonces p|a o p|b. En general, si un primo p divide a un producto a1 a2 . . . an , entonces p divide, por lo menos, a uno de los factores. Observaci´ on: Tal como se dijo, cuando a divide a b, lo denotamos con a|b; que tambi´en significa: “a es factor de b”, “a es divisor de b”, “b es m´ ultiplo de a”. En el caso de que “a no divide a b”lo denotaremos por a/b. Teorema 1.24. Sean a, b n´ umeros naturales, no nulos. a) Si a|b y b|a entonces a = b b) Si a es m´ ultiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores b; en particular, ha, bi = b. c) Si a = bq + r entonces el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores comunes de b y r. En particular ha, bi = hb, ri. Para hallar el ha, bi as´ı como para deducir sus propiedades principales, se emplea el Teorema 1.25. [calculo del M.C.D mediante divisiones sucesivas] Dados los n´ umeros naturales a, b, b > 0, si: a = bq1 + r1 0 < r1 < b b = r1 q2 + r2 0 < r2 < r1 r1 = r2 q3 + r3 0 < r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn + rn 0 < rn < rn−1 rn−1 = rn qn+1 + rn+1 , este proceso es finito y finaliza cuando se obtiene rn+1 = 0. Luego resulta rn = ha, bi

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Aplicando el teorema 1.24(c), vemos que: (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) = · · · = (rn−1 , rn ) = rn As´ı, se obtienen los siguientes resultados: 1. El conjunto de los divisores comunes de los n´ umeros a y b coincide con el conjunto de los divisores de su m´aximo com´ un divisor. 2. Este m´aximo com´ un divisor es igual a rn , es decir, es igual al u ´ ltimo resto del algoritmo de Euclides, distinto de cero. Teorema 1.26.

1. ham, bmi = ha, bi m, para todo m, n´ umero natural.

2. Si d = ha, bi y a = dα, b = dβ, entonces hα, βi = 1 3. Sea p primo, hq, pi = 1 si y sólo si p no divide a q hq, pi = p si y sólo si p|q 4. Si p es primo y p|ab ⇒ p|a o p|b 5. Si ha, bi = 1 ∧ a|bc ⇒ a|c 6. Si ha, bi = 1 ∧ ha, ci = 1 ⇒ ha, bci = 1 Este teorema tiene m´ ultiples aplicaciones, como por ejemplo en el cálculo del n´ umero, de la suma y del producto de los divisores de un n´ umero dado. Propiedades análogas a las de este teorema están demostradas en el cap´ıtulo 3. Un n´ umero arbitrario n, por el Teorema Fundamental de la Aritmética, puede descomponerse como producto de sus factores primos: n = aα · bβ · · · cγ Los divisores de n seg´ un los términos del desarrollo son: a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , aα : (α + 1) divisores b0 , b1 , b2 , b3 , . . . bβ : (β + 1) divisores ... c0 , c1 , c2 , c3 , . . . cγ : (γ + 1) divisores Luego el numero total de divisores de n es: (α + 1)(β + 1) . . . (γ + 1) Ejemplo 1.27. Tres varillas metálicas que miden 5, 25m, 7, 35m y 8, 40m serán cortadas en trozos de igual longitud. Si la longitud de cada trozo es la máxima posible, ¿cuántos trozos se tendrán? 63

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Soluci´ on: Sea L la longitud de cada trozo. L divide a 525, 735 y 840. Además L es el máximo posible, entonces L = MCD(525, 735, 840) = 105 Luego, el n´ umero total de trozos que se obtendrán es n=

525 735 840 + + = 20 105 105 105

Ejemplo 1.28. Un campesino desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 384m de largo y 216m de ancho. Si en cada vértice de las parcelas plantará un árbol, ¿cuál será el m´ınimo n´ umero de árboles que empleará? Soluci´ on: Sea L la longitud del lado de las parcelas cuadradas. L divide a 384 y 216. Además, para que el n´ umero de árboles sea el menor posible, la distancia L entre ellos debe ser la máxima. Entonces L = MCD(216, 384) = 24 Luego, n´ umero de parcelas =

216 384 × = 9 × 16 = 144 24 24

y n´ umero de ´arboles = 10 × 17 = 170

1.6.3.

M´ınimo com´ un M´ ultiplo (M.C.M)

Todo n´ umero natural que es un m´ ultiplo de todos los n´ umeros dados se llama m´ ultiplo com´ un de los mismos. El menor m´ ultiplo com´ un positivo se llama M´ınimo Com´ un M´ ultiplo. Formalmente, definimos el m´ınimo com´ un m´ ultiplo como sigue: Definici´ on 1.14. Dados a, b ∈ N, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (MCM) de a y b si, y solo si, i) a|m b|m ii) Si a|m′ y b|m′ , entonces m|m′ Notación: m = [a, b] = MCM(a, b) A continuación presentaremos algunos resultados, sin demostración.

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Teorema 1.27. 1. El conjunto de los m´ ultiplos comunes de dos n´ umeros coinciden con el conjunto de los m´ ultiplos de su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. 2. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros, es igual al producto de dichos n´ umeros, dividido por su m´aximo com´ un divisor [a, b] · ha, bi En particular, si ha, bi = 1 ⇒ [a, b] = ab As´ı por ejemplo, h12, 11i = (12)(11) = 132 3. [a, b] = [b, a]

(propiedad conmutativa)

4. [a, [b, c]] = [[a, b], c] (propiedad asociativa) En virtud de esta propiedad d), podemos escribir simplemente el MCM(a, b, c) ´ o [a, b, c] = [[a, b], c].

Ejemplo 1.29. En un almacén hay 1908 barras de jabón todas con las mismas dimensiones 24cm × 16cm × 8cm. ¿Cuál es el máximo n´ umero de cajas c´ ubicas que se necesitarán para empaquetarlas? Si todas deben estar completamente llenas? Soluci´ on: Sea L la longitud del lado de la caja c´ ubica. Como las cajas deben estar completamente llenas, los jabones deben estar exactamente contenidos en las cajas, es decir L debe ser un m´ ultiplo de 24, 16 y 8. Pero además se quiere el mayor n´ umero de cajas y para ello el volumen de las mismas debe ser el m´ınimo posible, en consecuencia, L debe ser el menor posible. As´ı L = M.C.M(24, 16, 8) = 48 Luego, en cada caja habrá

y se necesitar´an

48 48 48 × × = 36 jabones 24 16 8 1908 = 53 cajas 36

Problemas Resueltos Problema 1.13 (*). Veronica, Ana y Gabriela situadas en una ronda se divierten con el siguiente juego; una de ellas elige un numero y lo dice en voz alta; la que esta a su izquierda lo 65

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divide entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta; la que esta a su izquierda divide este ultimo numero entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta y as´ı sucesivamente. Ganará aquella que deba decir en voz alta el numero 1, momento en que el juego finaliza. Ana eligió un numero mayor que 50 y menor que 100 gano. Veronica eligió el siguiente del que eligió Ana y Veronica también gano. Dar todos los numeros que pudo elegir Ana. Soluci´ on. A medida que se desarrolla el juego, el numero inicial elegido va perdiendo uno de sus factores primos cada vez que una persona dice el n´ umero que le toca. De esta manera, considerando que la cantidad de jugadoras es 3, para que a la persona que elige el n´ umero inicial n le toque decir el n´ umero 1− y de esta manera ganar−n debe tener una cantidad de factores primos m´ ultiplo de tres Sea f (k) la cantidad de factores primos que tiene el n´ umero k. El mayor valor de f (k) cuando 50 < k < 100 ocurre cuando k tiene todos sus factores iguales a 2. Luego, k = 26 = 64 es el numero que tiene mas factores primos, en este caso, f (64) = 6. También para 96 = 25 · 3 se cumple que f (96) = 6. Los otros valores de n que permiten que una persona que elige este numero pueda ganar, deben satisfacer. f (n) = 3 Esto significa que n = p · q · r, donde p ≤ q ≤ r son numeros primos. Si el menor factor primo de n fuera mayor o igual que 5, entonces n ≥ 5 · 5 · 5 = 125, lo cual no es admisible. Por lo tanto, p = 2 ó 3. Si p = 2, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son las siguientes: {2, 2, 13}, {2, 2, 17}, {2, 2, 19}, {2, 2, 23}, {2, 3, 11}, {2, 3, 13}, {2, 5, 7}, {2, 7, 7} Los valores de n en estos casos 8 casos son 52, 68, 76, 92, 66, 78, 70, 98 Si p = 3, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son: {3, 3, 7}, {3, 3, 11}, {3, 5, 5} y los correspondientes valores de n son: 63, 99, 75 De este modo, los posibles valores de n son: 52, 63, 64, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 96, 98, 99 66

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Como Ana y Veronica ganaron comenzando sus juegos con dos n´ umeros consecutivos, estos pueden ser, respectivamente, 63 y 64; 75 y 76; 98 y 99 Problema 1.14. Un objeto tiene por precio el n´ umero de divisores de 3×2a ×5b y un segundo objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a+3 ×5b . Si se sabe que el segundo cuesta un 50 % mas que el primero y que un tercer objeto, que tiene por valor el mismo numero de divisores 2a × 5b−2 , cuesta un 60 % menos que el primero. ¿Cuánto cuesta el tercer objeto? Soluci´ on. Sean P1 · P2 y P3 los precios del primer, segundo y tercer objeto Luego: P1 = 2(a + 1)(b + 1), P2 = 2(a + 4)(b + 1), P3 = (a + 1)(b − 1) Además: P2 = P1 + 50 %P1 = 1,5P1 = 32 P1 Luego: 2(a + 4)(b + 1) = 32 · 2(a + 1)(b + 1) entonces a = 5 También: P3 = P1 − 60 %P1 = 0,4P1 = 52 P1 Luego: (a + 1)(b − 1) = 25 · (a + 1)b + 1 entonces b = 9 Entonces P3 = (a + 1)(b − 1) = 6 × 8 = 48. Problema 1.15. los divisores primos de un entero positivo A son 2 y 3, el n´ umero de divisores de su ra´ız cuadrada es 12 y el n´ umero de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuántos de tales A existen? √ Soluci´ on. Tenemos A = 2m × 3n entonces A = 2m/2 × 3n/2 m n +1 + 1 = 12 (1) 2 2 También A2 = 22m × 32n el n´ umero de sus divisores es

(2m + 1)(2n + 1) = 117 De (1) n=

48 m+2

En (2): (2m + 1)(30 − m) = 39(m + 2) ⇒ m2 + 10m − 24 = 0 ⇒ (m − 6)(m − 4) = 0 ⇒ m1 = 6, m2 = 4 Luego: Si m1 = 6 ⇒ n1 = 4; m2 = 4 ⇒ n2 = 6 Entonces: A1 = 26 × 34 o A2 = 24 × 36 y existe 2 valores para A

(2)

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Problema 1.16. ¿Cu´antos enteros de tres cifras hay, cuyo cuadrado dividido por 31 da por resto 16? Soluci´ on. Sea N el n´ umero tal que 100 ≤ N ≤ 1000

(1)

Entonces: 0

N 2 = 31 + 16 0

N 2 − 16 = 31 0

(N − 4)(N + 4) = 31

N − 4 = 31k ∨ N + 4 = 31k

donde k es un n´ umero entero positivo. Si N − 4 = 31k entonces N = 31k + 4. En (1): 100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000 96 ≤ 31k ≤ 996 3,09 ≤ k ≤ 32, 12 entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32 Luego k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, con lo cual hay 29 n´ umeros de tres cifras de la forma 31k + 4. Si N + 4 = 31k entonces N = 31k − 4. En (1): 100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000 96 ≤ 31k ≤ 996 3,35 ≤ k ≤ 32, 12 entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32 Con lo cual k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, en cuyo caso hay 29 n´ umeros de tres cifras de la forma 31k − 4. De ambos casos se observa que hay 29 + 29 = 58 n´ umeros enteros de tres cifras. Problema 1.17. Se tiene una determinada cantidad de dinero, la cual esta formada por un grupo de monedas de 1 sol, un grupo de monedas de 5 soles, y por uno de billetes de 10 soles, Esta cantidad de dinero se reparte entre una cantidad de 5 personas del modo mas equitativo posible, sin cambiar ninguna moneda o billete por otras monedas de menos valor. Suponiendo que cada uno recibi´o 12 monedas de un sol, 13 monedas de 5 soles y 14 billetes de 10 soles. ¿Calcular la suma de las cifras de la cantidad de dinero a repartir, sabiendo que esta cantidad es multiplo de 80? 68

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Soluci´ on. Si cada persona recibió de un sol, entonces entre las 5 personas se repartió 60 monedas de un sol. Como la repartición fue del modo mas equitativo posible, entones como m´ınimo se dispon´ıa de 60 monedas de un sol y máximo 64 monedas de un sol. De igual modo m´ınimo se tiene 325 soles y como máximo 345 soles en monedas de 5 soles. En forma análoga se tiene como m´ınimo 700 soles y como máximo 740 soles en billetes de 10 soles. Luego la cantidad de dinero a repartir tiene como valor m´ınimo: 60 + 325 + 700 = 1085 soles y como máximo 64 + 345 + 740 = 1149 soles. Además se sabe que esta cantidad es m´ ultiplo de 80, luego la cantidad buscada es: 80 × 14 = 1120 soles La suma de las cifras es: 1 + 1 + 2 + 0 = 4 Problema 1.18. El n´ umero de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. ¿Cuál es la suma de los alumnos que usan anteojos de la especialidad de ciencias?. Soluci´ on. Sea N el n´ umero total de alumnos, entonces 100 < N < 240 Si los 72 de N usan anteojos y los y 13 a la vez. Luego:

5 13

(1)

de N son de ciencias; entonces N debe ser m´ ultiplo de 7

N = M.C.M.(7, 13) = 91

⇒

N = 91k, k ∈ Z

(2)

(2) en (1): 100 < 91k < 240 En (2), N = 91 × 2 = 182 La suma pedida ser´a 27 (182) +

5 (182) 13

⇒

1, 09 < k < 2, 68

⇒

k=2

= 52 + 70 = 122

Problema 1.19. El n´ umero de pisos de un edificio est´a comprendido entre 100 y 130. A dicho n´ umero le falta una unidad para ser m´ ultiplo de 3; le falta 6 para ser m´ ultiplo de 8 y le sobran 2 para ser m´ ultiplo de 10. ¿Cu´al es el n´ umero de pisos?. Soluci´ on. Sea N el n´ umero de pisos del edificio. Luego 100 < N < 130 69

(31)

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si al n´ umero de pisos de N lo disminuimos en 2, entonces resulta ser m´ ultiplo de 3; 8 y 10 a la vez. Luego: 0

N − 2 = M.C.M.(3; 8; 10) = 120

⇒

N = 120 + 2

(2)

De (1) y (2) N = 122. Problema 1.20. El n´ umero de alumnos de un colegio esta comprendido entre 500 y 1000. Si salen de paseo en grupos de 3 personas forman un numero exacta de grupos, los mismo sucede si se salen en grupos de 5. El colegio esta conformado por secciones del mismo numero de alumnos. El n´ umero de secciones es igual al n´ umero de alumnos por sección, ¿cuántos alumnos tiene el colegio? Soluci´ on. Sea N el n´ umero de alumnos, entonces 500 < N < 1000 Además

((1))

N = 3, N = 5 ⇒ N = 15

((2))

También si m es el numero de alumnos por sección (y el numero de secciones igual a m), entonces: N = m2 ((3)) De (2) y (3) N = 15k = m2 . En (1) 500 < 15k = m2 1000 ⇒ k = 15 × 4 ⇒ N = m2 = 15k = 15(15 × 4) = 900 Problema 1.21. Un tornero cuenta con tornillos que ha fabricado, por decenas por docenas, y de quince en quince y siempre le resultan 9 sobrantes. Sabiendo que a razón de 10 soles por tornillo obtiene un ingreso de mas de 5000 y menos de 6000 soles, hallar el numero de tornillos fabricados Soluci´ on. Sea N el n´ umero de tornillos. Entonces: 5000 < 10N < 6000 ⇒ 500 < N < 600

((1))

El n´ umero de tornillos disminuido en 9 es un m´ ultiplo com´ un de 10, 12 y 15. Es decir: 0

N − 9 = M.C.M(10; 12; 15) = 60 ⇒ 60 + 9

((2))

De (1) y (2), N = 540 + 9 = 549 Problema 1.22. Sean A y B dos n´ umeros enteros cuyo m´aximo com´ un divisor es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar A − B 70

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Soluci´ on. Sea A > B y k el M.C.D. de ellos. Luego k = 12. Como A = kp ; B = kq , donde p ∧ q son primos entre s´ı, entonces: A2 − B 2 = 20880

k 2 (p2 − q 2 ) = 20880 20880 p2 − q 2 = k2 20880 p2 − q 2 = 144 p2 − q 2 = 145

(p + q)(p − q) = 145

(p + q)(p − q) = 29 × 5 De donde: p + q = 29 × p − q = 5. Luego: p = 17; q = 12 Por lo tanto: A = 12 × 17 = 204 y B = 12 × 12 = 144 Luego: A − B = 204 − 144 = 60 Problema 1.23. La suma de los n´ umeros a y b es 651; el cociente entre su M.C.M. y M.C.D. es 108, luego a − b es: Soluci´ on. Sea a > b, M el M.C.M. y k el M.C.D. de ellos. Como a = kp; b = kq; donde p ∧ q son primos entre s´ı, entonces: a + b = 651 ⇒ k(p + q) = 651

((1))

M kpq = 108 ⇒ = 108 ⇒ pq = 22 × 33 = 4 × 27 k k Como p ∧ q son primos entre s´ı, de (2) tenemos: p = 27 ∧ q = 4

Luego en (1); k(31) = 651 ⇒ k = 21 Entonces: a = 21 × 27 = 567; b = 21 × 4 = 84 y a − b = 567 − 84 = 483

Actividades 1. Escribir los modelos l´ogicos de las proposiciones dadas en esta sesion 2. Demuestre por inducci´on que (a + b)n = ka + bn ∀ a, b, n ∈ N, para alg´ un k ∈ N. un k ∈ N. 3. Demuestre que abcd = 7k + 6a + 2b + 3c + d para alg´ 71

((2))

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4. Demuestre que si d = MCD(a, b), entonces a = dα y b = dβ, donde α y β son primos entre si. 5. Edgar desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 408 metros por 216 metros. Si en cada vértice de cada parcela plantará un árbol, ¿cuál será el m´ınimo n´ umero de árboles que empleará? Rpta. 180 6. Se tiene 1872 barras de jabón cuyas dimensiones son 24, 16 y 8 cm. respectivamente. ¿Cuántas cajas c´ ubicas como máximo se necesitan para empaquetarlas, si todas deben estar completamente llenas? Rpta. 52 7. En un evento art´ıstico, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 d´ıas S/. 5670, S/. 4998 y S/. 5628 respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los 3 d´ıas, sabiendo que el precio de la entrada ha sido el mismo y ésta comprendió entre S/. 15 y S/. 40? Rpta. 776 8. Para que un paquete con arroz que pesa más de 6600g. complete un peso de 9 kg., se puede utilizar un n´ umero de pesas de 30g de 50g ó de 80g, para lo cual cuenta con una balanza de 2 platillos. ¿Cuál es el peso exacto del paquete con arroz? Rpta. 7,8 kg. 9. En una compa˜ n´ıa militar prestan servicios 250 hombres y cierto n´ umero de ellos se enfermaron. Si con el resto se forman grupos de 8, 10 y 12 hombres, siempre sobran 5 y si se forman grupos de 7 hombres no sobra ninguno. ¿Cuántos militares se enfermaron? Rpta. 5 10. Se dispone un terreno de forma rectangular de 540m por 120m el cual se quiere dividir exactamente en parcelas cuadradas de igual área. Si se desea obtener entre 400 y 500 parcelas, hallar la suma de las cifras del lado (en metros) de cada parcela. Rpta. 3

Unidad 2 El sistema de los n´ umeros enteros y racionales. Su construcción y sus aplicaciones Objetivos 1. Definir axiomáticamente el sistema algebraico de los n´ umeros enteros. 2. Mostrar la construcción axiomática del sistema algebraico de los n´ umeros enteros. 3. Probar las propiedades de los n´ umeros enteros. 4. Definir axiomáticamente el sistema algebraico de los n´ umeros racionales. 5. Mostrar la construcción axiomática del sistema algebraico de los n´ umeros racionales. ´ digos Contextualizando: Descifrando co En el mundo actual, la información es un recurso valioso. todas las compa˜ n´ıas privadas y los gobiernos deben guardan cierto tipo de informaci´ on es secreto. Los c´ odigos se utilizan para comunicar de manera segura informaci´ on clasificada que debe decodificarse antes para que pueda entenderse. Es esencia; que ul c´ odigo sea f´ acil de utilizar, pero muy dif´ıcil de violar. Uno de los c´ odigos más ampliamente utilizados en la industria, conocido como c´ odigo RSA se desarrolló en 1977. El código RSA empieza por cambiar el mensaje que ha codificarse por un n´ umero grande M. Después de que se construye M, se transforma en un n´ umero diferente k C mediante la fórmula C = M ( mód N) cuyos n´ umeros k y N los conoce cualquiera. Por lo regular, N contiene más de 100 d´ıgitos. La u ńica forma conocida de decodificar C en M es escribir primero N como producto de dos n´ umeros u ńicos p y q, llamados n´ umeros primos. Aunque es fácil factorizar un n´ umero de dos d´ıgitos, como N = 21 en 3 × 7, hab´ıa sido imposible hasta hace poco factorizar un n´ umero de 120 d´ıgitos. Como consecuencia, los mensajes 73

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codificados de esta manera han sido ininteligibles para quienes desconocen los valores de p y de q. En 1977, Ronald Rivest del MIT (Massachusets Institute of Technologic), desafi´ o a los investigadores a que decodificaran un mensaje que utilizaba el c´ odigo RSA, el cual ten´ıa una N con 129 d´ıgitos. Se hab´ıa estimado, sin conocimiento alguno de p y q se llevar´ıa aproximadamente 20 000 a˜ nos descifrar este mensaje. Sin embargo con ayuda de la teor´ıa de los n´ umeros, a 600 matem´aticos de 25 pa´ıses diferentes les tom´ o solo 17 a˜ nos factorizar N en n´ umeros primos de 64 y 65 d´ıgitos. El mensaje decodificado dec´ıa: “las palabras m´ agicas son fastidiosas osifrada”. Como muchos c´odigos industriales de hoy en d´ıa utilizan de 130 a 140 d´ıgitos para N, podr´ıa ser apropiado aumentar el tama˜ no de N antes de que se violen los c´ odigos importantes. En esta unidad, estudiaremos el espacio donde es posible este tipo de soluciones.

´ DESARROLLO TEMATICO

El olvido de las matem´aticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo. Roger Bacon

2.1.

Sesi´ on 7: Definici´ on axiom´ atica de Z. Orden en Z. Sustracci´ on en Z Contextualizando: Construyendo el conjunto Z

En el Sistema de los N´ umeros Naturales, la suma y el producto de dos n´ umeros naturales siempre existen y son n´ umeros naturales. En cambio, la diferencia y el cociente de dos n´ umeros naturales no siempre existen, por ejemplo 2 − 3 ´ o 23 no son n´ umeros naturales, puesto que no existen n´ umeros naturales u y v tales que: 2 = 3 + u y 2 = 3 · v. En términos algebraicos, en N no es posible resolver ecuaciones como las siguientes: x + 3 = 2 ´ o 3x = 2. Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los N´ umeros Naturales, a un nuevo conjunto que “lo contenga en el cual la suma, la diferencia y el producto de dos elementos de este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto ser´ a el de los N´ umeros Enteros. Una manera formal de introducir el conjunto de los n´ umeros enteros Z es a partir de N. Se define en N × N una adecuada relación, de equivalencia, la cual determina una partición de N × N, o sea el conjunto cociente al cual se le llama Z. Luego, se definen las operaciones de adición y multiplicación en Z, obteniéndose el sistema de los n´ umeros enteros Z. Como el caso del Sistema de los n´ umeros naturales N se introducir´ a, por razones didácticas, el Sistema de N´ umeros Enteros Z usando el método axiom´ atico. 2

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2.1.1.

Definici´ on axiom´ atica de Z

El Sistema de los N´ umeros Enteros es un conjunto, denotado por Z, provisto de dos operaciones internas llamadas adici´ on y multiplicaci´ on. • La Adici´ on es una operaci´on interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈ Z × Z un u ´ nico numero entero llamado suma de a y b, denotado por a + b. Simb´olicamente: + : Z × Z,

tal que (a, b) → a + b

Los n´ umeros enteros a y b reciben el nombre de sumandos. • La Multiplicaci´ on es una operaci´on interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈ Z × Z un u ´ nico numero entero llamado producto de a y b, denotado por a · b o simplemente ab. Simb´olicamente: · : Z × Z → Z,

tal que (a, b) → a · b

Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes diez axiomas: AXIOMAS Conmutatividad

E1)

Asociatividad

E2)

Elemento Neutro

E3)

Elemento Opuesto

E4)

´ ADICION a + b = b + a ∀ a, b ∈ Z (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ Z Existe un u ´ nico n´ umero entero llamado cero denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ Z

E6) E7)

Para todo a ∈ Z existe un u ´ nico b ∈ Z, llamado opuesto de a y denotado por −a tal que: a+b = 0 O sea, a + (−a) = 0

Cancelaci´on

Distributividad

E5)

E8)

E9)

a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ Z 75

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ Z (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ N Existe un u ´ nico n´ umero entero llamado uno denotado por 1, tal que: a · 1 = a ∀a ∈ Z

Si a · c = b · c ∧ c 6= 0 entonces a = b ∀ a, b, c ∈ N

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Nota: Cuando se define un Sistema Numérico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda tácitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en él; en particular, la relación de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

2.1.2.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 2.1. Si a, b y c son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 2.1. a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d b) a = b ∧ c = d ⇒ a · c = b · d Las demostraciones son an´alogas a las realizadas en N. Teorema 2.2. Si a y b son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: a) a · 0 = 0 b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 Las demostraciones son an´alogas a las realizadas en N.

Corolario 2.2. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0 A continuaci´on, mencionamos las propiedades m´as importantes del opuesto de un n´ umero entero

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Teorema 2.3. Si a y b son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: a) −(−a) = a, para todo a ∈ Z b) −(a + b) = (−a) + (−b) c) (−1)a = −a d) a(−b) = (−a)b = −(ab) e) (−a)(−b) = ab

Demostraci´on. 1. Como (−a) es el opuesto de a y −(−a) es el opuesto de (−a), se tiene: a + (−a) = 0

(−a) + a = 0

luego, por la unicidad del opuesto, resulta a = −(−a) 2. El opuesto de a + b es −(a + b). Por otra parte (a + b) + {(−a) + (−b)} = = = =

a + (b + (−a)) + (−b) a + ((−a) + b) + (−b) (a + (−a)) + (b + (−b)) 0+0 = 0

(asociativa) (conmutativa) (asociativa) (elemento opuesto y neutro)

Por lo tanto (−a) + (−b) es tambi´en el opuesto de a + b y como el opuesto es u ´ nico se concluye que −(a + b) = (−a) + (−b). 3. a + (−1)a = a · 1 + a(−1) = a(1 + (−1)) = a·0 = 0

(elemento neutro y conmutativa) (distributiva) (opuesto y teorema 2.2)

As´ı, (−1)a es el opuesto de a, luego como el opuesto debe ser u ´ nico, se tiene que (−1)a = −a. 4. a(−b) = = = =

a((−1)b) (a(−1))b ((−1)a)b (−a)b

(parte (c)) (asociativa) (conmutativa) (parte (c))

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Adem´as, (−a)b = ((−1)a)b = (−1)(ab) = −(ab)

(parte (c)) (asociativa) (parte (c))

Por lo tanto a(−b) = (−a)b = −(ab) 5. (−a)(−b) = (−a)((−1)b) = ((−1)(−a)b) = (−(−a)b) = ab

(parte (c)) (asociativa y conmutativa) (parte (c) y, luego, parte (a))

Por lo tanto (−a)(−b) = ab

Teorema 2.4. [Cancelaci´on en la Adici´ on] Si a, b y c son n´ umeros enteros, se tiene que: a+c=b+c

implica

a=b

Demostración. Si a + c = b + c entonces (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c), de donde se sigue que a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)), o sea a + 0 = b + 0, lo que implica a = b. A continuación, se presenta el u ´ ltimo axioma del Sistema de los N´ umeros Enteros: Teorema 2.5. Si se denota por 0N , 0Z , 1N y 1Z a los elementos neutros de la adición y multiplicación de N y Z respectivamente; se tiene: 1. f (0N ) = 0Z 2. f (1N ) = 1Z

Demostración. a) f (0N ) = f (0N + 0N ) = f (0N ) + f (0N ). Como f (0N ) = f (0N ) + 0Z resulta que f (0N )+0Z = f (0N )+f (0N ), luego aplicando la cancelación (teorema 2.4) resulta f (0N ) = 0Z b) f (1N ) = f (1N ·1N ). Como en Z f (1N ) = f (1N ) · · · (1N )1Z resulta que f (1N )·1Z = f (1N )·f (1N ), luego aplicando la cancelación (teorema 2.4) resulta f (1N ) = 1Z Si definimos 2 Z = 1Z + 1Z entonces f (2Z) = f (1Z + 1Z ) = f (1Z ) + f (1Z ) = 1Z + 1Z = 2Z 78

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Como 1 6= 2 en N y f : N → Z es inyectiva, se tiene, f (1) 6= f (2) y en consecuencia, 1Z 6= 2Z . As´ı tenemos, en general, numeros enteros diferentes: 0Z , 1Z , 2Z , f (3), f (4), . . . A continuación estableceremos las propiedades de f (Z) = {f (n)/n ∈ N} Teorema 2.6. 1. Para todo a, b ∈ f (N), se tiene que: a + b ∈ f (N) 2. Para todo a, b ∈ f (N), se tiene que: a · b ∈ f (N) Demostración. i) Para todo a, b ∈ f (N), existen m, n ∈ N tales que a = f (m) y b = f (n), luego a + b = f (m) + f (n) = f (m + n) ∈ f (N) pues m + n ∈ N, y por lo tanto, a + b ∈ f (N). ii) Para todo a, b ∈ f (N), existen m, n ∈ N, tales que a = f (m) y b = f (n), luego a · b = f (m) · f (n) = f (m · n) ∈ f (N), pues m · n ∈ N. En virtud del teorema anterior, como f (N) ⊂ Z, las operaciones internas de adición y multiplicación del conjunto de los numeros enteros Z, restringidas a f (N) ⊂ Z, inducen las mismas operaciones internas en f (N) y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante Teorema 2.7. El conjunto f (N) = {f (n)/n ∈ N}, provisto de las operaciones internas de adición y multiplicación + : f (N) × f (N) → f (N) · : f (N) × f (N) → f (N)

tal que tal que

(a, b) → a + b

(a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Z verifican N1 − N11. Demostraci´on. La verificaci´on de los axiomas N1−N9 es inmediata. N10 y N11 se demuestran en el Teorema 2.8 y el Teorema 2.10, respectivamente. Si consideramos las siguientes notaciones: + + + Z+ 0 = f (N) = {f (n)/n ∈ N} y Z = f (N ) = {f (n)/n ∈ N }

Podemos demostrar el siguiente

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Teorema 2.8. [Ley de Triconotom´ıa] Para todo a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades: a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ −a ∈ Z+ Demostración. i) Si a = 0 por el teorema 2.5, a = f (0N ). Supongamos que a ∈ Z+ , entonces existe n ∈ N+ tal que f (n) = a, luego f (n) = f (0N ) lo cual implica que n = 0N pues f es inyectiva, es decir, 0N ∈ N+ , lo que es una contradicción, por lo tanto 0 6∈ Z+ , esto es a 6∈ Z+ . Y como −0 = 0, entonces −0 6∈ Z+ ; es decir −a 6∈ Z+ ii) Si a 6= 0, por el axioma E10(iv) existe n ∈ N tal que a = f (n) o −a = f (n). Además, n ∈ N+ pues de lo contrario si n = 0N , a = 0. As´ı f (n) ∈ f (Z+ ) = Z+ , luego a ∈ Z+ o −a ∈ Z+ . Supongamos que a ∈ Z+ y −a ∈ Z+ , entonces existen m, n ∈ N+ tales que a = f (m) y −a = f (n), luego f (m + n) = f (m) + f (n) = a + (−a) = 0 = f (0N ) Y como f es inyectiva, m + n = 0N , entonces 0N∼ lo cual es una contradicción. En consecuencia, si a 6= 0 se cumple una y solo una de las dos posibilidades: a ∈ Z+

2.1.3.

´o

− a ∈ Z+

Orden en Z

Definici´ on 2.1. Sean a y b dos numeros enteros. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si, y solo si, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b. Simb´olicamente: a a si, y solo si, a a ⇔ a 0 pues existe c ∈ Z+ tal que 0 + c = c. 80

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Si c ∈ Z− , entonces c < 0 pues existe −c ∈ Z+ tal que c + (−c) = 0. Luego por la ley de tricotom´ıa si a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades: a>0

∨

a=0

∨

a<0

Luego, si a b o a = b, este hecho permite definir las relaciones: a ≤ b ⇔ a b ∨ a = b que se lee “a es mayor o igual que b”. La negación de a < b es a ≥ b. Teorema 2.9. Sean a = f (m), b = f (n) ∈ Z+ 0 , entonces m < n si, y solo si, a < b Demostración. (⇒) Si m < n en N, existe k ∈ N+ tal que m + k = n, luego f (n) = f (m + k) = f (m) + f (k) y como f (k) ∈ Z+ , por definición f (m) < f (n), es decir, a < b. (⇐) Si a < b, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b. Como c = f (k), existe k ∈ N+ tal que c = f (k) entonces f (m + k) = f (m) + f (k) = a + c = b = f (n) y como f es inyectiva, m + k = n con k ∈ N+ , por lo tanto m < n. As´ı, para todo m, n ∈ N, m < n ⇔ f (m) < f (n) y en consecuencia, como 0 < 1 < 2 < 3 < · · · < n < · · · entonces 0Z < 1Z < 2Z < f (3) < · · · < f (n) < · · · en Z Por otro parte, no existe numero entero a tal que 0Z < a < 1Z . En efecto, si tal numero existiera, seria positivo, esto es a ∈ Z+ = f (N+ ) y existe n ∈ N tal que a = f (n), luego 0Z = f (0) < f (n) < f (1) = 1. y por el teorema 2.5-2, se tiene que 0 < n < 1 con n ∈ N+ lo cual es una contradicción con el Principio del Buen Orden en N (Axioma N11). Este importante principio lo formulamos en Z mediante el siguiente Teorema 2.10. [Principio del Buen Orden en Z] Todo subconjunto no vac´ıo de Z+ 0 posee elemento m´ınimo. 1 Demostración. Sea B un subconjunto de Z+ 0 , B 6= φ entonces A = f (B) = {x ∈ N/f (x) ∈ B} es un subconjunto de N y A 6= ∅ pues f : N → Z+ 0 es subyectiva, luego por el axioma del Buen Orden en N, A posee elemento m´ınimo al cual lo designamos por m ∈ A. Probaremos ahora que f (m) es m´ınimo de B. Para todo b ∈⊂ f (N) existe n ∈ A tal que f (n) = b y como m es m´ınimo de A se tiene que m ≤ n, luego f (m) ≤ f (n) = b. As´ı, para todo b ∈ B, se tiene que f (m) ≤ b, por lo tanto f (m) es el m´ınimo de B.

Nota Importante: La funci´on f : N → f (N) cumple las siguientes propiedades: 81

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1) f : N → f (N) es una biyección 2) f (m + n) = f (m) + f (n) y f (mn) = f (m)f (n) La propiedad 1 del teorema anterior, desde el punto de vista de la teor´ıa de conjuntos nos permite identificar f con f (N) y escribir simbólicamente N ∼ = f (N), as´ı como identificar sus elementos y escribir también 0N ≡ f (0N ) = 0Z ,

1N = 1Z , . . . , nN ≡ f (nN ) = nZ

La propiedad 2, nos permite identificar desde el punto de vista algebraico a N con f (N). En los cursos avanzados de algebra, se dice que f : N → f (N) es un isomorfismo algebraico. + + ∼ Finalmente, si consideramos las siguientes notaciones Z+ 0 = f (N) y Z = f (N ), podemos + identificar Z+ ı como también llamar a los numeros naturales, 0 con f (N) y Z0 con f (N), as´ numeros enteros naturales y a los numeros naturales positivos, enteros positivos. Observaci´ on: El conjunto Z+ on y multiplicación 0 = f (N) provisto las operaciones de adici´ de n´ umeros enteros (teorema 2.5(c) y 2.5(d)) satisface todos los axiomas de N (teorema 2.5-1, 2.5-2 y 2.5-3). As´ı queda establecido que Z+ un el teorema 2.5-1, ∀ a ∈ Z, si a ∈ 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Seg´ + Z ∪ {0} entonces −a ∈ Z . Si definimos Z− = {a ∈ Z/ − a ∈ Z+ } al conjunto de los opuestos de los elementos de Z− , esto es, Z− = {−1, −2, −3, −4, . . .} llamado también conjunto de los numeros enteros negativos, entonces ∀ a ∈ Z, se tiene por la Ley de Tricotom´ıa que: a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ a ∈ Z As´ı, Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z− luego Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} . Como para todo a ∈ Z+ se tiene −(a + 1) < −a pues existe 1 ∈ Z+ tal que −(a + 1) + 1 = [(−a) + (−1)] + 1 = (−a) + [(−1) + 1] = (−a) + 0 = −a Se tiene finalmente que: · · · < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · · Se pueden “identificar”los n´ umeros enteros con ciertos puntos de la recta geométrica R. Al n´ umero entero cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta “unidad de medida.a los n´ umeros enteros positivos y a los negativos se les asigna puntos a la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura: De esta manera, se establece una aplicación α : Z → R que hace corresponder a cada numero entero un punto de la recta geométrica. 82

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2.1.4.

Sustracci´ on en Z

Definici´ on 2.2. Dados los numeros enteros a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al numero entero c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c. Los n´ umeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente Teorema 2.11. Dados los n´ umeros enteros a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ´nica.

Demostración. Dados los numeros enteros a y b, sea c = a + (−b), entonces c ∈ Z y b + c = b + (a + (−b)) = b + ((−b) + a) (axioma de sustitución y conmutativa) = (b + (−b)) + a = 0 + a = a (prop asociativa, del opuesto y elemento neutro) Luego a = b + c y aplicando la definición de diferencia, a − b = c. Es importante recordar la igualdad a − b = a + (−b) El teorema anterior nos permite decir que la aplicación “-”que asocia a cada par de n´ umeros enteros (a, b), su diferencia a − b. − : Z × Z tal que (a, b) → a − b es una operación interna que recibe el nombre de Sustracci´ on. Observaci´ on: La ecuación x+a = b: Una gran variedad de problemas y situaciones cotidianas se plantean algebraicamente con ecuaciones de la forma x+a=b y para su esclarecimiento se requiere de la solución de dicha ecuación. Pero, ¿es siempre posible resolver esta ecuación?, la solución depende de cual sea el sistema de n´ umeros en que estamos resolviendo el problema. Por ejemplo, la ecuación x+5=3 no tiene solución si nuestro universo es el conjunto de los n´ umeros naturales. En cambio tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.12. Sean a y b numeros enteros, entonces x+a=b

⇔

x= b−a

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Demostraci´on. x+a = b x + a + (−a) = b + (−a) (teorema 2.2.a) x + (a + (−a)) = b − a (asociatividad)

x + 0 = b − a prop. del opuesto

x = b − a (elemento neutro)

Es claro, entonces, que la solución de la ecuación x + a = b no siempre es posible resolverla en N, pues no siempre se puede restar dos n´ umeros naturales a menos que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Este teorema es muy importante y facilita el cálculo, pues las operaciones con n´ umeros enteros se reducen simplemente a operar con n´ umeros naturales, sumas, restas y productos en N, como se ilustrará mediante las siguientes Reglas prácticas para la suma, resta y el producto de n´ umeros enteros.

Ejemplo 2.1. a) Si a y b son n´ umeros enteros tales que a + b + a · b = 364, determina el valor de a + b. Dar todas las soluciones. Soluci´ on: Como a + b + a · b = 365

1 + a + b + a · b = 365

(a + 1)(b + 1) = 365

Al descomponer 365 en factores primos se obtiene 365=5.73. Entonces, analizando los factores, las soluciones son: i. a + 1 = 1, b + 1 = 365. En este caso a = 0, b = 364. Por lo tanto, a + b = 364. ii. a + 1 = 365, b + 1 = 1. En este caso a = 364, b = 0. Por lo tanto, a + b = 364. iii. a + 1 = 5, b + 1 = 73. En este caso a = 4, b = 72. Por lo tanto, a + b = 76. iv. a + 1 = 73, b + 1 = 5. En este caso a = 72, b = 4. Por lo tanto, a + b = 76. v. a + 1 = −1, b + 1 = −365. En este caso a = −2, b = −366 . Por lo tanto, a + b = −368. 84

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vi. a + 1 = −365, b + 1 = −1. En este caso a = −366, b = −2. Por lo tanto, a + b = −368. vii. a + 1 = −5, b + 1 = −73. En este caso a = −6, b = −74. Por lo tanto, a + b = −80. viii. a + 1 = −73, b + 1 = −5. En este caso a = −74, b = −6. Por lo tanto, a + b = −80. Luego (a + b) puede tomar los valores: 364,76,-80,-368.

Actividades 1. Escriba los modelos lógicos de las proposiciones dadas en esta sesión. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Detalle la demostración del Teorema 2.10. 4. Si Luis tuviera S/.17 menos, tendr´ıa S/.18. Si Mario tuviera S/.15 más, tendr´ıa S/.38. Si Juan tuviera S/.5 menos, tendr´ıa S/.10 más que Luis y Mario juntos. Si Dar´ıo tuviera S/.18 menos, tendr´ıa S/.9 más que la diferencia entre la suma de lo que tienen Mario y Juan y lo que tiene Luis. ¿Cuánto tienen en total los cuatro? 5. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole S/.70 por cada d´ıa que trabaje y S/.40 por cada d´ıa que, por alguna razón justificada, no pueda trabajar. Al cabo de 35 d´ıas el obrero ha recibido S/.2 000. ¿Cuántos d´ıas trabajó y cuantos no trabajó? 6. Un peque˜ no ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2900 cada una tendr´ıa una pérdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3500 cada una tendr´ıa entonces una ganancia de S/.2800. ¿Cuántas son las vacas que desea vender? 7. Ciento cinco litros de agua deben ser llenados en depósitos de 11 y 4 litros. ¿Cuántos son de 11 litros si en total se usan 21 depósitos? 8. Un barril contiene 69 litros de cierto l´ıquido. Si este l´ıquido debe ser envasado en 27 botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros. ¿Cuántas botellas de 2 litros se va a necesitar? 9. Hace 2 a˜ nos cada habitante de una urbanización recib´ıa 300 litros de agua por d´ıa. Actualmente el n´ umero de habitantes aumentó en 180 teniendo que recibir cada habitante 6 litros menos. ¿Cuántos habitantes tiene actualmente dicha urbanización? 10. La due˜ na de una cadena de tiendas de ventas de ropa, tiene la siguiente información acerca de sus ganancias (cantidades positivas) o pérdidas (cantidades negativas) mensuales, durante el a˜ no 2002: 85

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MESES DEL ˜ 2002 ANO ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

Tienda 1

Tienda 2

Tienda 3

Tienda 4

Tienda 5

+S/.1573 -S/.715 +S/.617 +S/.615 -S/.318 +S/.916 +S/.715 -S/.1607 +S/.1810 -S/.468 +S/.2315 +S/.7517

-S/.713 +S/.1812 -S/.615 +S/.819 +S/.768 -S/.105 +S/.614 +S/.813 -S/.504 +S/,617 +S/.908 +S/.6313

+S/.618 -S/.116 -S/.67 -S/.129 -S/.430 -S/.437 -S/.508 +S/.101 -S/.406 -S/.507 +S/.213 +S/.102

+S/.846 +S/.1714 -S/.84 +S/.647 +S/.259 +S/.817 -S/.511 +S/.604 -S/.508 -S/.119 +S/.205 +S/.763

-S/.324 S/.1804 -S/.10 -S/.48 -S/.701 -S/.820 -S/.613 -S/.781 -S/.659 -S/.808 -S/.101 -S/.86

a) ¿Cuál o cuáles de las 5 tiendas deber´ıan ser cerradas por sus pérdidas? b) ¿Cuál de las 5 tiendas tuvo la mayor ganancia anual? ¿Cuál fue esta ganancia? c) ¿Tuvo la due˜ na ganancia o pérdida durante el mes de Setiembre en todas sus tiendas? d ) ¿Cuál de los 12 meses fue el más dif´ıcil? ¿Cuánto perdió? o ¿Cuánto fue lo que ganó?

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2.2.

Sesi´ on 8: Valor absoluto. Divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on en Z. Divisibilidad en Z Fermat, el verdadero inventor del calculo diferencial Laplace ´ n entre montan ˜as y depresiones Contextualizando: Comparacio

Las dos tablas muestran las alturas de ciertas monta˜ nas en la profundidad de determinadas depresiones, utilice la informaci´on dada para encontrar las respuestas a las preguntas formuladas

Monta˜ na Foraker Wilson Monte Pikes

Altura (en pies) 17 400 14 246 14 110

Depresi´ on Filipinas Caim´ an Java

Profundidad en pies (como un n´ umero negativo) -32 995 -24 721 -23 376

¿Cuál es la diferencia entre la altura del Monte Foraker y la profundidad de la fosa de las Filipinas? ¿Qué tanto más profunda es la fosa del Caiman que la fosa de Java?

2.2.1.

Valor absoluto

Definici´ on 2.3. Dado el n´ umero entero a, se llama valor absoluto de a y se denota con |a|, al n´ umero entero: |a| = a,

|a| = −a,

si a ≥ 0 y si a < 0

De la definici´on se prueba inmediatamente que |a| ≥ 0, para todo entero a. Teorema 2.13.

1. |a| = 0 ⇔ a = 0

2. | − a| = |a| 3. a ≤ |a| y −a ≤ |a| 4. |a + b| ≤ |a| + |b| 5. |ab| = |a||b|

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Demostraci´on. a) (⇒) Supongamos que a 6= 0 Si a > 0, entonces |a| = a 6= 0. Si a < 0, entonces |a| = −a 6= 0. Por lo tanto a 6= 0 implica |a| = 6 0; es decir, |a| = 0 ⇒ a = 0. (⇐) Si a = 0, entonces, de la definici´on, se sigue inmediatamente que |a| = 0. 1. Sea a ∈ Z Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, as´ı a ≤ |a| y −a ≤ |a|. Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto a ≤ 0 ≤ −a = |a|,

as´ı a ≤ |a| y y − a ≤ |a|

c) Sea a ∈ Z. Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, as´ı a ≤ |a| y −a ≤ |a|. Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto a ≤ 0 ≤ a = |a|,

as´ı a ≤ |a| y − a ≤ |a|

d) a ≤ |a|, −a ≤ |a| b ≤ |b|, −b ≤ |b|, entonces a + b ≤ |a| + |b| y − (a + b) = (−a) + (−b) ≤ |a| + |b| por lo tanto, seg´ un la definici´on, |a + b| ≤ |a| + |b|. La demostraci´on de (b) y (e) son similares a las anteriores, basta analizar los distintos casos para a, b ∈ R

2.2.2.

Divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on en Z

Definici´ on 2.4. Dados los numeros enteros a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se denota a/b, al numero entero c, si existe, tal que a = b · c . Es decir, ab = c ⇔ a = b · c Por ejemplo: (−24)/3 = −8 pues −24 = (−8) × 3 . Rec´ıprocamente, (−7) × (−9) = 63, entonces 63/(−7) = −9 o también, 63/(−9) = −7 Haciendo una ligera modificación al Teorema 1.11 del Cap. 2, se prueba como en N, el siguiente Teorema 2.14. [Algoritmo de la Divisi´ on de Euclides] Sean a, b ∈ Z, con b > 0, entonces, existen numeros enteros r y q, u ńicos, tales que a = bq + r,

con 0 ≤ r < b

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Ejemplo 2.2. a) Sean los n´ umeros enteros -86 y 11, existen los n´ umeros -8 y 2 tales que −86 = 11(−8) + 2 (división inexacta) b) Sean los n´ umeros enteros -84 y 12, existen los n´ umeros -7 y 0 tales que −84 = 12(−7) + 0 (división exacta) Definici´ on 2.5. Sean a y n dos n´ umeros enteros, n no negativo, la potencia an , esta dada por: i) a0 = 1, a 6= 0 ii) an = a · an−1 , para n ≥ 1 En la expresión an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. Ejemplo 2.3. ¿Cuántos n´ umeros enteros “a” cumplen que 7 < a2 < 39? Soluci´ on. Los n´ umeros enteros positivos a que cumplen dicha condición son 3,4,5,6, cuyos cuadrados son 9,16,25 y 36. Pero como (−a)2 = a2 , entonces también cumplen la condición -3, -4, -5 y -6. En total son ocho n´ umeros. Definici´ on 2.6. Sean a ≥ 0 y n numeros enteros, n ≥ 1. Se llama ra´ız n−´ esima de a y se √ n n denota a , al numero entero positivo b, si existe, tal que b = a. Simbólicamente: √ n a = b ⇔ bn = a √ En la expresión n a, diremos que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresión subradical. Teorema 2.15. Si a, b ∈ Z y n ≥ 1, se tiene: √ √ √ √ √ √ a) Si n a y n b existen, entonces existe n ab y adem´ as n ab = n a · n b √ √ √ √ b) Si n a existe, entonces existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ p√ p√ √ c) Si n m a existe, entonces existen mn a y m n a = n m a = m n a

2.2.3.

Divisibilidad en Z

La divisibilidad en Z, se presenta de manera análoga a la desarrollada en N, pero a diferencia de N, las justificaciones de las afirmaciones en Z se hacen más sencillas, debido a que ya no tenemos la restricción de que la diferencia de dos n´ umeros enteros no esté definida. Al final de esta sesión, daremos los resultados mas importante de la teor´ıa de Congruencias que también se utilizan para llegar a los criterios de divisibilidad. 89

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Demostración. La demostración es análoga a la del Teorema 2.13 en N Lema 2.1. Sean a, b numeros enteros, el conjunto J = {ax + by/ x, y ∈ Z}, goza de las siguientes propiedades: 1. Si m, n ∈ J, entonces m + n ∈ J, m − n ∈ J 2. Si k ∈ Z y m ∈ J, entonces km ∈ J. Demostración. - Si ambos a y b son ceros, entonces J = {0}, y claramente se cumplen (a) y (b). - Si alguno de los numeros a, b es cero. Supongamos, sin perdida de generalidad, que b = 0, entonces J = {ax/x ∈ Z}, es el conjunto de m´ ultiplos enteros de a y por la parte (f ) del teorema 2.10, la suma y diferencia de m´ ultiplos de a es m´ ultiplo de a y por la parte (c) del mismo teorema, si a|m, entonces a|km, para todo k ∈ Z, cumpliéndose as´ı (a) y (b). - Sean a y b enteros diferentes de cero. Si m, n ∈ J, entonces m = ax1 + by1 , n = ax2 + by2 , donde x1 , y1 , x2 , y2 ∈ Z ⇒ m + n = a(x1 + x2 ) + b(y1 + y2 ) ∈ J, pues (x1 + x2 ), (y1 + y2 ) ∈ Z, y

⇒ m − n = a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) ∈ J, pues (x1 − x2 ), (y1 − y2 ) ∈ Z 90

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- Si k ∈ Z y m ∈ J, entonces m = ax + by, con x, y ∈ Z. Luego, km = k(ax + by) = a(kx) + b(ky) ∈ J, pues kx, ky ∈ Z Observaci´ on: Sean a, b n´ umeros enteros, a las expresiones de la forma ax + by, siendo x, y n´ umeros enteros, se les llama combinaci´ on lineal de a y b. Teorema 2.17. Sean a, b n´ umeros enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, existe un n´ umero entero positivo d, tal que: i) d|a y d|b ii) Si d′ |a y d′ |b, entonces d′ |d

Demostración. Sean J = {ax + by/x, y ∈ Z} y J + = J ∩ Z+ . J + es no vac´ıo pues 0 6= a2 + b2 ∈ J + , luego por el principio del Buen Orden, el conjunto J + posee un elemento m´ınimo, llamémosle d ∈ J + , es decir, d es positivo y d = ax0 + by0 , para alg´ un x0 , y0 ∈ Z Probaremos ahora que d divide a todo elemento de J: Sea m ∈ J, por el algoritmo de la division en Z, existen numeros enteros r, q tales que m = dq + r, 0 ≤ r < d. Si r 6= 0, entonces r = m + (−q)d, y como d, m ∈ J, por el Lema, r ∈ J y como r es positivo, entonces r ∈ J + lo que es una contradicción con la minimalidad de d. Luego r = 0 y en consecuencia, m = dq. Como a, b son elementos de J, tenemos que: i) d|a y d|b Además, sea d′ un numero entero positivo, si d′ |a y d′ |b, por el Lema, d′ |(ax0 + by0 ), entonces d′ |d. La unicidad, resulta de la observación siguiente: Si d0 es también el M.C.D de a y b, entonces d0 Πd y dΠd0 . Esto solo ocurre si d = ±d0 . Pero como estos numeros ambos son positivos, debe ser d = d0 .

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Corolario 2.3. El máximo com´ un divisor de dos numeros enteros a y b, es la menor combinación lineal positiva de a y b. Es decir, MCD(a, b) = m´ın[{ax + by/x, y ∈ Z} ∩ Z+ ] Observaci´ on: Sean a, b n´ umeros enteros, no nulos. a) A diferencia de N, en Z, si a|b y b|a, esto no implica que a = b, es decir, la relación divide no es una relación antisimétrica, pues puede ocurrir también que sea a = −b. b) Si a es m´ ultiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores b; en particular el máximo de los divisores: < a, b >= b. Si a es m´ ultiplo de b, en Z, no implica que a sea mayor que b. Definici´ on 2.8. Dado dos n´ umeros enteros a y b, se dice que a y b, son coprimos (o primos relativos o primos entre s´ı), si el máximo com´ un divisor de ellos es 1. Teorema 2.18. Sean a, b ∈ Z, a y b, coprimos, si, y solo si, existen numeros enteros m y n tales que ma + nb = 1.

Demostración. Si a y b, son primos entre s´ı, entonces MCD(a, b) = 1, luego por el teorema 2.12, existen enteros m y n tales que 1 = MCD(a, b) = ma + nb. Rec´ıprocamente, si ma + nb = 1, se tiene que 1 es combinación lineal de a y b, y es la m´ınima combinación positiva ya que 1 es el menor entero positivo, luego MCD(a, b) = 1, por el corolario ??, por lo tanto a y b son coprimos. El teorema anterior constituye una nueva definición de n´ umeros coprimos. Teorema 2.19. Si d|ab y < d, a >= 1, entonces d|b.

Demostraci´on. Si < d, a >= 1, existen enteros m y n tales que md + na = 1, luego multiplicando por b ambos miembros, aplicando propiedades en Z, resulta: (bm)d + n(ab) = b. Como d|d y d|ab, entonces d|((bm)d + n(ab)) = b, por el teorema 2.10. Teorema 2.20. Si < a, b >= 1, a|m y b|m, entonces ab|m.

Demostraci´on. Si a|m, existe un entero k tal que ak = m, por otra parte, como b|m = ak y dado que b y a son coprimos resulta b|k por el teorema 2.14, lo que implica la existencia de un n´ umero entero q tal que bq = k, de donde (ab)q = ak = m, es decir ab|m. 92

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Teorema 2.21. Si d y a son coprimos y d y b son tambi´en coprimos entonces d y ab son coprimos. Simb´olicamente: Si < d, a >= 1 y < d, b >= 1, entonces < d, ab >= 1.

Demostración. Si s y a son coprimos, existen enteros m1 , n1 , tales que m1 d+n1 a = 1 (teorema 2.10). Análogamente si d y b son coprimos, existen enteros m2 y n2 tales que m2 d + n2 b = 1, multiplicando miembro a miembro resulta (m1 m2 d + m1 n2 b + n1 m2 a)d + (n1 n2 )ab = 1, lo que implica d y ab son coprimos (teorema 2.13) Definici´ on 2.9. Sea p un numero entero, p 6= 0, p 6= ±1, p es primo si, y si solo si, p admite como u ´ nicos divisores a los numeros enteros ±1 y ±p. As´ı, son n´ umeros primos ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, . . . , etc.; es decir, p es primo en N si, y sólo si, ±p es primo en Z. Teorema 2.22. Si p es un n´ umero primo y a un entero cualquiera, entonces < p, a >= 1 o bien p|a.

Demostración. Si p/a, se cumple que p y a son coprimos, seg´ un el teorema 2.17, luego existen enteros m y n tales que mp + na = 1. Multiplicando por b ambos miembros resulta (bm)p + n(ab) = b, pero como p|bmp y p|n(ab), por definición e hipótesis, luego se concluye que p|b, por el teorema 2.10. Teorema 2.24. Si a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces existe un numero primo p > 1 tal que p|a.

Demostraci´on. Si a es primo el teorema est´a demostrado pues basta tomar p = a. Si a no es primo, consideremos el conjunto D de todos los divisores positivos de a mayores que 1. D no es vac´ıo pues, si a > 0, a ∈ D, y si a < 0, entonces a ∈ D, luego por el principio de 93

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la buena orden D posee un elemento m´ınimo: d, d > 1. Probaremos que d es primo: si no lo fuera, por definici´on de primo existir´ıa d′ > 1, d′ 6= d tal que d′ |d, de donde resultar´ıa d′ |a y d ya no ser´ıa el m´ınimo de D, lo que es una contradicci´on. Sea a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, si a no es primo diremos que es un numero compuesto. Y seg´ un el teorema que acabamos de demostrar, para todo numero compuesto existe un numero primo que lo divide. Este hecho nos permite probar parte del siguiente Teorema 2.25. Si a es un n´ umero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces se puede expresar como el producto de n´ umeros primos positivos distintos: a = ±pe11 · pe22 · · · pei i ,

ei ≥ 1, i = 1, 2, . . . , r

Tal descomposici´on es u ´nica salvo el orden de los factores.

Definici´ on 2.10. Dados a, b ∈ Z, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (MCM) de a y b si, y solo si, i) a|m b|m ii) Si a|m′ y b|m′ entonces m|m′ Notaci´ on: m = [a, b] = MCM(a, b) Teorema 2.26. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros es igual al producto de dichos n´ umeros, dividido por su máximo com´ un divisor; es decir, [a, b] · ha, bi = ab Demostración. Sea d = (a, b), existen α, β ∈ Z coprimos tales que a = dα, b = dβ y además [a, b] = dαβ, entonces (a, b)[a, b] = d(dαβ) = (dα)(dβ) = ab.

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CONGRUENCIAS Si m es un entero positivo, decimos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo m si existe un k ∈ Z talque a − b = km. Usaremos la notación a ≡ b(m) para indicar que a y b son congruentes modulo m. Si no lo son diremos que son incongruentes y escribiremos a 6≡ b(m). As´ı, por ejemplo 28 ≡ 3(5) ya que 28 − 3 = 5,5, 121 ≡ 0(11) ya que 121 = 11,11. Pero 28 6≡ 4(5) ya que 28 − 4 = 24, no es m´ ultiplo de 5. El lenguaje de las congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria. La esfera de un reloj funciona con congruencias modulo 12, los cuentakilómetros de autos los hace modulo 100,000 y los meses se representan modulo 12 Proposici´ on 2.1. La relación de congruencia m´ odulo m en Z es de equivalencia y divide a Z en clases de equivalencia de manera que dos diferentes de ellas son disjuntas.

Demostración. La relación de congruencia es reflexiva ya que para todo a ∈ Z, a − a = 0 = 0 · m; es también simétrica ya que si a − b = km, b − a = (−k)m; finalmente es transitiva, ya que si a − b = km y b − c = sm, tenemos que a − c = (a − b) + (b − c) = km + sm = (k + s)m. Aunque ya sabemos que es cierto, demostraremos que dos clases de equivalencia diferentes son disjuntas: basta probar que si dos de ellas no tienen intersección vac´ıa son iguales. Sean [a] y [b] dos clases de equivalencia módulo m tales que [a] ∩ [b] 6= ∅. Tomando c ∈ [a] ∩ [b], tenemos que c ≡ a (m) y c ≡ b (m). por la definición de congruencia c − a = km y c − b = sm con k y s n´ umeros enteros . Por tanto, a − b = (c − b) − (c − a) = (s − k)m, de donde se deduce que a ≡ b (m). Por tanto, si x ∈ [a], x ≡ a (m) y como esta relación es transitiva x ≡ b (m); as´ı pues, x ∈ [b]. La otra inclusión se demuestra de manera similar. Ejemplo 2.4. Las clases de equivalencia en Z módulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas clases de equivalencia contiene los siguientes elementos: [0] = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . . }

[1] = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . . }

[2] = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . . }

Un conjunto cualquiera de m representantes, tomados cada uno de una clase, se denomina un sistema completo de restos módulo m; por ejemplo, {0, 1, 2, . . . , m − 1} es un tal sistema. También {m, m + 1, . . . , 2m − 1} es uno de ellos. Otros sistemas pueden obtenerse mediante el siguiente resultado: Proposici´ on 2.2. Sean a y m n´ umeros enteros tales que a y m son primos entre s´ı y m es positivo. Si r1 , . . . , rm es un sistema completo de restos m´ odulo m, ar1 , . . . , arm es otro sistema completo de restos módulo m.

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Demostración. Basta comprobar que si i 6= j, ari 6≡ arj (m). Si tuviéramos ari ≡ arj (m), entonces m|ari − arj = a(ri − rj ); puesto que (a, m) = 1, ning´ un factor primo de m divide a a, esto es, todos los factores primos de m dividen a ri − rj . Por tanto, m|(ri − rj ), lo que implica ri ≡ rj (m), en contradicción con que r1 , . . . , rm será un sistema completo de restos módulo 5. Teorema 2.27. Sea m entero positivo y a, a′ , b, b′ ∈ Z. 1. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m) 2. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que ab ≡ a′ b′ (m) Demostración. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m), de la definición de congruencia se deduce que existen n´ umeros enteros r y s tales que a − a′ = rm y b − b′ = sm. Por tanto, (a + b) − (a′ + b′ ) = (a − a′ ) + (b − b′ ) = (r + s)m. De aqu´ı se deduce que a + b ≡ a′ + b′ . En las mismas condiciones, ab − a′ b′ = ab − a′ b + a′ b − a′ b′ = (a − a′ )b + a′ (b′ − b) = rbm + sa′ m = (rs + sa′ )m De aqu´ı se deduce que ab ≡ a′ b′ (m) Teorema 2.28. 1. Si m es un entero positivo y [a], [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y multiplicación en Zm mediante [a] + [b] = [a + b],

[a][b] = [ab]

2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m − a], y si m es primo, todo [a] ∈ Zm con [a] = 6 [0] tiene inverso multiplicativo y es u ńico. Demostración. Hay que comenzar comprobando que las operaciones están bien definidas. Esto lo asegura el Teorema 2.27 ya que si [a′ ] = [a] y [b′ ] = [b], a′ + b′ ≡ a + b (m) y por que a′ b′ ≡ ab(m); por tanto [a′ b′ ] = [ab]. 96

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La demostración de la propiedad (b) se deja para el lector. Para demostrar la primera parte (c) basta observar que [a] + [(m − a)] = [a + m − a] = [m] = [0] y por tanto el opuesto de [a] es la clase [m − a]. Si [a] ∈ Zm el algoritmo de la división nos permite escribir a de la forma a = cm + r con 0 ≤ r < m; por tanto [a] = [r]. Además, si [a] 6= [0] se tiene que 0 < r < m. Si m es primo (m, r) = 1. Existen n´ umeros enteros u y v tales que 1 = um + vr. Por tanto [1] = [um + vr] = [vr] = [v][a] de donde se deduce que [v] es un inverso de [a]. Para demostrar la unicidad consideraremos que existen dos inversos [x] e [y] de [a]; es decir [x][r] = [1]

[y][r] = [1],

ya que [a] = [r]. Restando ambas igualdades, se obtiene [(x − y)][r] = [0] o equivalentemente (x − y)r ≡ 0 (m). As´ı pues m divide a (x − y)r, y como m es primo con r, mha de dividir a x − y. Por tanto (x − y) ≡ 0 (m) y se deduce que [x] = [y] en Zm Proposici´ on 2.3. Un n´ umero entero es divisible entre 9 si y s´ olo si la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Demostraci´on. Sea x dicho n´ umero y x0 , x1 , . . . , xn sus cifras decimales, esto es x = x0 + x1 10 + x2 102 + · · · + xn 10n Claramente 1 ≡ 1 (9) y 10 ≡ 1 (9), con lo que 102 ≡ 12 ≡ 1 (9) y en general 10k ≡ 1 (9); entonces x0 + x1 10 + · · · + xn 10n ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9) debido al teorema 2.27. Esto es, x ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9). En particular, 9|x si y s´olo si x ≡ 0 (9) sea un divisor de x0 + x1 + · · · + xn . Proposici´ on 2.4. Un n´ umero entero es divisible entre 3 si y s´ olo si la suma de sus cifras es divisible entre 3.

Demostración. Dado que 1 ≡ 1 (3) y 10 ≡ 1 (3), 102 ≡ 12 ≡ 1 (3) y, en general, 10k ≡ 1 (3), el resultado se deduce con un razonamiento similar al usado en la demostración de la proposición anterior. 97

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Teorema 2.29 (El peque˜ no teorema de Fermat). Sea p un n´ umero primo y a un n´ umero p−1 natural tal que p no divide a a. Entonces a ≡ 1 (p). Demostración. Puesto que p no divide a a y p es primo se tiene que (a, p) = 1 y por tanto el conjunto {0, a · 1, a · 2, . . . , a · (p − 1)} es un sistema completo de restos módulo p (véase proposición 2.2). Por tanto, para cada i tal que 1 ≤ i ≤ p − 1, i es congruente con alg´ un j · a, 1 ≤ j ≤ p − 1. As´ı pues 1 · 2 · · · (p − 1) ≡ a(a · 2) · · · a · (p − 1) (p) esto es, p|a(a · 2) · · · a · (p − 1) − 1 · 2 · · · (p − 1) = (ap−1 − 1) · 1 · 2 · · · (p − 1) Como p no divide a 1 · 2 · · · (p − 1), p divide a ap−1 − 1 y por tanto ap−1 − 1 ≡ 0 (p), que era lo que quer´ıamos demostrar. Proposici´ on 2.5. Sea a ≡ b(m1 ), a ≡ b(m2 ), . . . , a ≡ b(mk ), donde a y b son n´ umeros enteros y m1 , m2 , . . . , mk son enteros positivos. Entonces a ≡ b ([m1 , m2 , . . . , mk ]) donde [m1 , m2 , . . . , mk ] es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de m1 , m2 , . . . , mk .

Demostración. De la hipótesis se deduce que m1 |(a − b), m2 |(a − b), . . . y mk |(a − b). Por tanto a−b es un m´ ultiplo com´ un a todos los m1 , m2 , . . . , mk . a−b es un m´ ultiplo de [m1 , m2 , . . . , mk ], que era lo que quer´ıamos demostrar. Corolario 2.4. Sea a ≡ b(m1 ), a ≡ b(m2 ), . . . , a ≡ b(mk ), donde a y b son n´ umeros enteros y m1 , m2 , . . . , mk son enteros positivos primos dos a dos. Entonces a ≡ b (m1 , m2 , . . . , mk ) Demostración. Basta observar que [m1 , m2 , . . . , mk ] = m1 m2 · · · mk ya que los mj son primos dos a dos. Ejemplo 2.5. Existen n´ umeros compuestos q para los que 2q−1 ≡ 1 (q). Uno de tales n´ umeros es q = 341 = 11 · 31. Para demostrarlo observar que por el peque˜ no teorema de Fermat 210 ≡ 2 (11) 98

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y por tanto 2340 = (210 )34 ≡ 134 (11) ≡ 1 (11). Adem´as 2340 = (25 )68 = (32)68 ≡ 168 (31) ≡ 1 (31)

Por el corolario 2.4, 2340 ≡ 1 (41), lo que prueba el resultado deseado. Ecuaciones con congruencias Comenzaremos resolviendo la ecuación ax ≡ b (m) donde a y b son n´ umeros enteros y m es un entero positivo. Usando la definición de congruencia módulo m se deduce que la ecuación anterior se satisface cuando existe y ∈ Z tal que ax − b = ym Es decir, si (x, y) es una solución de la ecuación ax − my = b, x es una solución de la ecuación ax ≡ b (m). Las ecuaciones del tipo ax − my = b han sido estudiadas anteriormente. Ejemplo 2.6. Queremos encontrar todas las soluciones de la ecuación 4x ≡ 2 (6). Si x es una solución entera de esta ecuación, existe un entero y tal que 4x − 2 = 6y, es decir, 4x − 6y = 2. Como (4,6)=2 y 2 es un divisor de 2, una proposición nos asegura que existen infinitas soluciones de esta ecuación y otra proposición nos dice como encontrarlas. Se calcula, en primer lugar, una solución particular usando el algoritmo de Euclides. Puesto que 6 = 1·4+2 se tiene −4 − (−6) = 2. Por tanto x0 = −1, y0 = −1 es una solución particular. El resto de soluciones son todas de la forma x = −1 − 3n, y = −1 − 2n con n ∈ Z. Por tanto x = −1 − 3n, n ∈ Z, son todas las soluciones de la ecuación 4x ≡ 2 (6). Todas estas soluciones pertenecen solamente a las clases de equivalencia módulo 6: si n es par, x ≡ −1 (6) y si n es impar, x ≡ 2 (6). Ejemplo 2.7. Encontrar todas las soluciones de la ecuación 3x ≡ 7 (6) es equivalente a encontrar todas las soluciones de la ecuación 3x − 7 = 6y. Esta ecuación es equivalente a 3x − 6y = 7, que no tiene solución ya que (3, 6) = 3 y 3 no divide a 7. Observar que 3x sólo puede ser congruente con 0 o con 3 módulo 6. La experiencia acumulada en la resolución de estos debe ayudar a comprender los siguientes resultados relativos a la solución de las ecuaciones de la forma: ax ≡ b (m) Teorema 2.30. Sean a y b dos n´ umeros enteros y m un entero positivo con (a, m) = d. Si d no divide a b, la ecuación ax ≡ b (m) no tiene soluci´ on. Si d divide a b, la ecuación ax ≡ b (m) tiene exactamente d soluciones no congruentes entre si m´ odulo m. 99

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Demostración. De acuerdo con la definición de congruencia, x es una solución de la ecuación ax ≡ b (m) si existe un n´ umero entero y tal que ax − my = b. Si d no divide a b, la ecuación no tiene soluciones enteras, y, en consecuencia, tampoco las tendrá ax ≡ b (m). Si d divide a b, todas las soluciones de la ecuación ax − my = b son de la forma x = x0 − (m/d)n,

y = y0 − (a/d)n,

n ∈ Z,

donde x0 , y0 es una solución particular de la misma ecuación. Por tanto, las soluciones de la ecuación ax ≡ b (m) son de la forma x = x0 − (m/d)n,

n∈Z

Para determinar el n´ umero de ellas que no son congruentes entre si módulo m basta estudiar cuando dos de estas soluciones son congruentes módulo m. Si x1 = x0 − (m/d)n1 y x2 = x0 − (m/d)n2 son dos de estas soluciones congruentes módulo m se tiene que x0 − (m/d)n1 ≡ x0 − (m/d)n2 (m). Por tanto (m/d)n1 ≡ (m/d)n2 (m), es decir (m/d)(n1 − n2 ) = km para alg´ un entero k. A partir de aqu´ı se deduce (n1 − n2 ) = kd, lo que implica que d divide a n1 − n. Esto es equivalente a n1 ≡ n2 (d). As´ı pues todas las soluciones no congruentes entre s´ı se obtienen tomando x = x0 + (m/d)n, donde n var´ıa en un sistema completo de residuos módulo d, es decir x = x0 − (m/d)n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1 estas d soluciones no congruentes entre s´ı y por tanto queda terminada la demostración del teorema. Ejemplo 2.8. La ecuación 15x ≡ 10 (25) tiene 5 soluciones no congruentes entre si ya que (15, 25) = 5 y 5 divide a 10. Una solución particular es −1 , que puede obtenerse usando el algoritmo de Euclides. Soluciones no congruentes entre s´ı son x = −1 + (25/5)n = −1 + 5n,

n = 0, 1, 2, . . . , d − 1

es decir −1, 4, 9, 14 y 19. Del teorema anterior se deduce que si a y m son primos entre si la ecuación ax ≡ b (m) siempre tiene solución y es u ´ nica salvo congruencias módulo m. Cuando b = 1 la ecuación resultante es la misma que [a][x] = [1] en Zm . Por tanto [x] es el inverso de [a] en Zm . Cuando m es primo y [a] 6= [0] este resultado se ha obtenido en el Teorema 2.28, en cuya demostración se ha dado la forma de calcularlo usando el algoritmo de Euclides. Ejemplo 2.9. Sean a = 5 y m = 7. Como (5, 7) = 1, [a] tiene un inverso en Z7 . La ecuación 5x ≡ 1 (7) se transform en 5x − 7y = 1. Como 1 = 3 · 5 − 2 · 7 una solución particular de la ecuación 5x ≡ 1 (7) es x0 = 3. As´ı pues [3] es el inverso en Z7 . Cuando los n´ umeros son peque˜ nos el inverso puede obtenerse con un cálculo mental: en nuestro caso 3 · 5 ≡ 1 (7). 100

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Ejemplo 2.10. Un antiguo problema chino trataba de encontrar un n´ umero que dividido entre 3 dé como resto 1, dividido entre 5 dé como resto 2 y dividido entre siete dé como resto 3. Con nuestro sistema de notación se trata de resolver simultáneamente las conguencias x ≡ 1 (3),

x ≡ 2 (5),

x ≡ 3(7)

Una solución particular de la ecuación x ≡ 1 (3) es 1; por tanto todas las soluciones de esta ecuación son de la forma x = 1 + 3n con n entero. Poniendo este resultado en la segunda ecuación se obtiene 1 + 3n ≡ 2 (5), o equivalentemente 3n ≡ 1 (5). Como (3, 5) = 1 la ecuación tiene infinitas soluciones todas ellas congruentes entre s´ı módulo 5. Usando los métodos anteriormente expuestos se obtiene que 2 es una solución particular de esta ecuación y, por tanto, todas sus soluciones son de la forma n = 2 + 5t, con t entero. Puesto que x = 1 + 3n, sustituyendo éste valor de n se obtiene x = 7 + 15t. Sustituyendo ahora en la tercera de las ecuaciones 15t ≡ −4 (7). Como (15, 7) = 1 la ecuación tiene solución u ´ nica módulo 7. Usando los mismos métodos de los ejemplos anteriores se obtiene que −4 es una solución particular y, en consecuencia, todas sus soluciones son de la forma t = −4 + 7r, con r entero. Sustituyendo en x = 7 + 15t se obtiene x = −53 + 105r con r entero. Con r = 1 se obtiene x = 52 que es una de las posibles soluciones del problema chino (¡Comprobarlo!). Observar que todas las soluciones del problema son congruentes módulo 105, que el producto de 3, 5 y 7. Los problemas como el del Ejemplo 2.10 han dado lugar al siguiente resultado, que toma el nombre de su ancestral origen. Teorema 2.31 (Teorema chino del resto). Sean a1 , a2 , . . . , ak enteros y m1 , m2 , . . . , mk enteros positivos primos dos a dos. El sistema de congruencias x ≡ a1 (m1 ),

x ≡ a (m2 ),

...,

x ≡ ak (mk )

tiene solución u ńica módulo M = m1 · m2 · · · · · mk . Demostración. Comenzaremos construyendo una solución de todas las ecuaciones. Sea M = m1 · m2 · · · · · mk y Mj = M/mj , j = 1, 2, . . . , k. Como mj es primo con todos los demás mi con i 6= j, se tiene que (Mj , mj ) = 1. Por tanto Mj tiene un inverso u ´ nico en Zmj , que escribimos bj , Es decir Mj · bj ≡ 1 (mj ). Sea x = a1 M1 b1 + a2 M2 b2 + · · · + ak Mk bk Este entero x satisface las k congruencias descritas en el enunciado del teorema ya que Mi ≡ 0 (mj ) si i 6= j y aj Mj bj ≡ aj (mj ), j = 1, 2, . . . , k. ´ Unicamente falta demostrar la unicidad de la solución módulo M = m1 · m2 · · · · · mk . Supong-

amos que x e y son soluciones de la ecuaci´on. Entonces x ≡ aj (mj ) e y ≡ aj (mj ) para todo 101

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j = 1, 2, . . . , k, de donde se deduce que x − y ≡ 0 (mj ) para todo j = 1, 2, . . . , k. Usando el Corolario 2.4 se obtiene que x − y ≡ 0 (m1 · m2 · · · · · mk ), es decir, x e y son congruentes módulo M. Ejemplo 2.11. El sistema de congruencias x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3 (7), que se ha resuelto en el ejemplo 2.10, puede resolverse de nuevo usando el procedimiento desarrollado en el teorema anterior. Seg´ un éste la solución es u ´ nica módulo M = 3 · 5 · 7 = 105 1. Como M1 = 105/3 = 35 tenemos que resolver la ecuación 35·b1 ≡ 1 (3), es decir 2·b1 = 1 en Z3 ; por tanto podemos tomar b1 = 2. 2. Como M2 = 105/5 = 21 tenemos que resolver la ecuación 21·b2 ≡ 1 (5), es decir 1·b2 = 1 en Z5 ; por tanto podemos tomar b2 = 1. 3. Como M3 = 105/7 = 15 tenemos que resolver la ecuación 15·b3 ≡ 1 (7), es decir 1·b3 = 1 en Z7 ; por tanto podemos tomar b3 = 1. La solución es, por tanto, x = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 = 157 ≡ 52 (105). Ejemplo 2.12. Queremos calcular a = 347231 módulo 35. Como 347 es congruente con 2 y módulo 5 y 4 es congruente con −1 módulo 5 tenemos a ≡ (2)131 ≡ (−1)115 2 ≡ 3 (5) Por otro lado, 347 es congruente con 4 módulo 7 y 43 es congruente con 1 módulo 7, y tenemos a ≡ (4)231 ≡ (43 )77 ≡ 1 (7) Por tanto a es un n´ umero que satisface las ecuaciones x ≡ 3 (5) y x ≡ 1 (7). Seg´ un el teorema chino del resto estas ecuaciones tienen solución u ´ nica módulo 35; una de estas soluciones es x = 8. As´ı pues 347231 ≡ 8 (35)

Problemas resueltos Problema 2.1. Calcular la capacidad máxima que debe tener una vasija para que con ella se puedan medir exactamente las cantidades de tres recipientes de 1092; 1386 y 756 lts. Soluci´ on. Como buscamos, la capacidad máxima de una vasija para medir los contenidos de otras tres, entonces esta capacidad será un divisor com´ un de los tres recipientes; como debe ser máxima, esta capacidad es el m.c.d. 1092 = 22 × 3 × 7 × 13 1385 = 2 × 32 × 7 × 11 756 = 22 × 33 × 7

m(1092; 1385; 756) = 2 × 3 × 7 = 42 lts. 102

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Problema 2.2. Pedro trabaja cinco d´ıas seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el Lunes. ¿Cuántos d´ıas tienen que transcurrir para que le toque descanso el Domingo? Soluci´ on. Sabemos que los Domingos se suceden de 7 en 7 d´ıas y el descanso sucede el sexto d´ıa, por lo tanto el tiempo que debe transcurrir para que le toque descansar un d´ıa Domingo, (primer Domingo que descansa) es el m.c.m de 6, 7 o sea 42. Luego el empleado descansa después de 42 − 1 = 41 d´ıas transcurridos. Deben transcurrir 41 d´ıas y el siguiente (d´ıa 42) descansa. Problema 2.3. ¿Cuántos rectángulos distintos se pueden formar con 60 soldados? Soluci´ on. El n´ umero de soldados descompuesto en sus factores primos es: 60 = 22 × 3 × 5 Los rectángulos a formarse ser´ıan colocados en: Longitud 30 15 12 20

Ancho 2 4 5 3

Soldados Soldados Soldados Soldados

Vemos que se pueden formar 4 rectángulos diferentes. Problema 2.4. En una fábrica de jabón existen 3 secciones: En la primera se fabrican 3600 pastillas diarias, en la segunda 9000, en la tercera 870 pastillas. ¿Cuántas cajas distintas pueden usarse con la condición de que las producciones de las tres secciones se puedan empacar exactamente en ellas?. Soluci´ on. La caja que contenga el mayor n´ umero de pastillas de jabón será tal que este n´ umero sea el mayor divisor com´ un a 3600, 9000 y 870; esto quiere decir que debemos calcular el m.c.d. de estos tres n´ umeros 3600 = 24 × 32 × 52

9000 = 23 × 32 × 53

870 = 2 × 3 × 5 × 29

m(3600; 9000; 870) = 2 × 3 × 5 = 30. El n´ umero de cajas que se pueden utilizar es igual al n´ umero de divisores del m.c.d. n = (2)(2)(2) = 8 Se pueden utilizar 8 cajas diferentes considerando las cajas que tienen una pastilla de jab´on como contenido. 103

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Problema 2.5. Dos ciclistas dan vueltas a una pista circular; el primero da la vuelta en 18 minutos y el segundo en 15 minutos. Si ambos parten del mismo punto A de la pista. ¿Dentro de cuántos minutos volverán a encontrarse en el mismo punto? Soluci´ on. Se comprende que, para que el primer ciclista se encuentre en A tendrá que transcurrir un n´ umero m´ ultiplo de minutos; análogamente para que el segundo ciclista se encuentre otra vez en A debe haber transcurrido un n´ umero de minutos m´ ultiplos de 15. Por lo que tanto este n´ umero de minutos transcurridos es un m´ ultiplo de 15 y 18. siendo el m.c.m. de 18 y 15 el primer momento que se vuelven a encontrar en el punto A. m.c.m.(18; 15) = 90 Dentro de 90 minutos. Problema 2.6. El n´ umero de páginas de un libro está comprendido entre 600 y 800. Calcular este n´ umero sabiendo que si se cuentan de 5 en 5, sobra 2; de 7 en 7 quedan 4, y de 11 en 11 sobran 8. Soluci´ on. Designemos por P , el n´ umero de páginas del libro, que de acuerdo al problema se tiene 600 < P < 800 (1) P = m·5+2

⇒

P = m·7+4

P = m · 11 + 8

P +3=m·5

⇒

P +3=m·7

⇒

P + 3 = m · 11

Por lo tanto (P + 3) es un m´ ultiplo de (5, 7, 11), siendo el menor de ellos el m.c.d., es decir, 385 y como vemos este n´ umero no ser´a P ya que no cumple con la condici´on (1). Se tiene pues: P + 3 = 385 ⇒ P = 385k − 3 Para calcular el valor de k, reemplazamos el valor de P en (1): 600 < 385k − 3 < 800 De (I) se tiene:

⇒

600 | < 385k {z − 3} (I)

∨

600 + 3 <k 385

⇒

1,5 < k

800 + 3 <k 385 De estas dos desigualdades se tiene:

⇒

k < 2,08

De (II) se tiene:

1,5 < k < 2,08 104

385k −{z3 < 380} | (II)

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como el n´ umero de p´aginas es un n´ umero entero: (k) debe ser n´ umero entero, por lo tanto tenemos que el u ´ nico valor que cumple estas condiciones es k = 2 P = 385 × 2 − 3 = 767 p´aginas Problema 2.7. Se considera la siguiente serie: 1 × 24;

2 × 24;

3 × 24;

...;

60 × 24

Se pide hallar: 1. ¿Cuál es el menor n´ umero de esta serie que es divisible por 60? 2. ¿Cuántos términos de la misma serie son divisibles por 60? Soluci´ on. 1. Debemos hallar el n´ umero que multiplicado por 24, produce un m´ ultiplo de 60 y ese n´ umero será igual al m.c.m. de 60 y 24. ) 60 = 22 × 3 × 5 M(60; 24) = 23 × 3 × 5 = 120 3 24 = 2 × 3 luego el menor n´ umero divisible entre 60 es 120. 2. La solución de esta segunda parte se halla calculando el m.c.d de 60 y 24. ) 60 = 22 × 3 × 5 m(60; 24) = 22 × 3 = 120 24 = 23 × 3 Luego hay 12 términos en la serie que son divisibles por 60 Problema 2.8. ¿Cuántos m´ ultiplos de 32 hay en la serie siguiente 27(32 + 1);

27(32 + 2);

27(32 + 3);

...;

27(32 + 915)?

Soluci´ on. Se tiene en la serie que: A = 27

n = 915

B = 12

b =???

C´alculo de m.c.d. = m(27; 32) = 1 b=

32 32 = = 32 m 1

Por lo tanto el n´ umero de m´ ultiplos de 72 que hay en la serie es: m 315 = = 28 b 32 105

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Problema 2.9. Hallar todos los divisores del n´ umero 1 134 000 que sean cubos perfectos. Soluci´ on. El n´ umero 1 134 000, lo descomponemos de sus factores primos 1 134 000 = 24 × 34 × 53 × 7 Para hallar los divisores del n´ umero dado, procedemos del modo siguiente: 1 22 2 3 2 4 3 32 3 3 3 4 5 52 5 3 7 de este modo donde todos son los divisores del n´ umero dado, vemos que los que son cubos perfectos son: 1, 23 , 33 , 53 , adem´as tendremos los productos de ´estos, dos a dos y al final de los tres: (23 × 33 ); (33 × 53 ); (23 × 53 ) y (23 × 33 × 53 ) siendo los divisores buscados: 1; 8; 27; 125; 216; 1000; 3375; 27000. Problema 2.10. Hallar todos los divisores del n´ umero 5292 que sean cuadrados perfectos. Soluci´ on. 5292 = 22 × 33 × 72 Para hallar el n´ umero entero de divisores de este n´ umero, empezamos por: 1 22 2 3 3 32 3 3 7 72 Los divisores que son cuadrados perfectos, son: 1; 22 ; 32 ; 72 ; 22 × 32 ; 32 × 72 ; y 22 × 32 × 72 Desarrollando se tiene: 1; 4; 9; 49; 36; 196; 441; 1764.

Actividades 1. El se˜ nor Salazar es el due˜ no de la Empresa GELIDO S.A. y desea hacer un balance acerca de lo que logr´o en los u ´ ltimos 5 a˜ nos con la citada empresa para lo cual analiza el siguiente cuadro-resumen en el cual falta llenar algunos espacios vac´ıos. ˜ ANO

INGRESOS (S/.)

EGRESOS (S/.)

1998 1999 2000 2001 2002

73517 195614 214818 306415 318716

68419 113417 276509

GANANCIAS PERDIDAS (S/.)

+58407 -15613 106

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Seg´ un este cuadro contestar las siguientes preguntas: a) Al final de los 5 a˜ nos, ¿cuánto ganó? o ¿cuánto perdió? b) ¿Cuánto fue el ingreso total logrado en los tres primeros a˜ nos? c) ¿A cuánto asciende el egreso total durante los 5 a˜ nos? d ) ¿En cuántos a˜ nos, de los 5, se lograron ganancias? e) ¿Cuánto se ganó o perdió en los u ´ ltimos 3 a˜ nos? 2. Demostrar en Z que 2ab ≤ a2 + b2 3. Hallar los n´ umeros enteros tales que: a. |2x − 4| + 3|2 − x| + x = 10 b. |3 − x| − |x + 2| = 5 4. ¿Cuáles de las siguientes propiedades son ciertas en el conjunto de los n´ umeros enteros? En caso de que alguna sea falsa, de un contraejemplo. i. Si a < b, entonces a2 < b2 . ii. Si a ≤ b y c ≤ d, entonces ac ≤ bd iii. Si 0 < a < b, entonces a2 < b2 iv. Si a 0, entonces ac < bc v. Si a > b, entonces b + c < a + c vi. Si a < b, entonces a < 2b 5. Si a, b son enteros tales que a y? 7. Si a y b son enteros tales que b > a, entonces ¿Cuál es el n´ umero de enteros x tales que a < x < b? 8. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido una pérdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razón de 1200 por mes. ¿Después de cuánto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado? 9. Ocho equipos juegan un torneo relámpago de f´ utbol: una sola ronda, todos contra todos durante dos semanas. Hay dos equipos, G y H, que no pueden jugar ning´ un partido la primera semana. Los seis equipos A, B, C, D, E y F , juegan todos los partidos entre ellos la primera 107

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semana. La tabla de posiciones, después de esta semana, tiene al equipo A como u ´ nico puntero. La segunda semana, los equipos G y H juegan todos sus partidos y as´ı se completa el torneo. ¿Es posible que, al finalizar el torneo, el equipo A quede u ´ ltimo absoluto, detrás de los otros siete equipos? Nota: En cada partido un equipo obtiene 2 puntos si gana, 1 punto si empata y 0 puntos si pierde 10. Si m, n son n´ umeros enteros positivos tales que 5m + 6n = 100. ¿Cuál es el mayor valor posible de mn? 11. Demostrar en Z que: a) MCD(a, b) = MCM(a, b) ⇒ a = b ∨ a = −b b) MCD(a, b) = MCD(−a, b) = MCD(a, −b) c) MCD(a, b) = MCD(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b 12. Probar que: a) Si MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(a + b, a − b)0 = 1 ó 2 b) Si m > 0 ∧ MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(am, b) = MCD(m, b) c) MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(an , b) = 1 13. Hallar x, y ∈ Z, tales que: a) 3 = 51x + 258y

c) 1 = 5x + 4y

b) 3 = 285x + 72y

d ) 4 = 400x + 164y

14. Si (a, b) = 1 ⇒ (an , bk ) = 1, ∀ n ≥ 1, k ≥ 1 15. Probar que ∀ a ∈ Z, MCD(a, 0) = |a| 16. Si (n, 7) = 1 probar que 7′ |(n12 − 1), ∀ n ∈ Z 17. Si 3/n(n2 + m2 ), m, n ∈ Z probar que 3/n y 3/m 18. Probar que 6/[(n − 1)(n)(n + 1)], ∀ n ∈ Z 19. Probar que un n´ umero primo impar puede expresarse como diferencia de cuadrados de modo u ´ nico. 20. Probar que n7 − n, es m´ ultiplo de 42, ∀ n ∈ Z+

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21. Para investigar: Los n´ umeros de Lucas son: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 47, 76 con L1 = 1, L2 = 3 y para todo n ≥ 2 Lk = Lk−2 + Lk−1 . Calcular la suma 1 1 1 1 1 − + − + 1 · 3 3 · 4 4 · 7 7 · 11 11 · 18 22. Para investigar: Resolver en Z la ecuaci´on xyz = xy + yz + zx.

23. Para investigar: Sean a, b, c ∈ Z con a > 1 y b > 2. Justificar que ab + 1 ≥ b(a + 1) y determinar cu´ando se tiene la igualdad. 24. Probar que x = x0 +x1 10+x2 102 +· · · es divisible entre 11 si y s´olo si x0 −x1 +x2 −x3 · · · es divisible entre 11. 25. Demostrar que si a, b y c son n´ umeros enteros y m es un entero positivo tales que ac ≡ bc (m), se tiene que a ≡ b (m/d) donde d = (c, m).

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Sesi´ on 9: Definici´ on Axiom´ atica de Q. Sustracci´ on,

2.3.

divisi´ on, potenciaci´ on y orden en Q La matematica: el incomovible Fundamento de todas las ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos humanos. Isaac Barrow Contextualizando: Promedio de bateo de un jugador de b´ eisbol Con la finalidad de determinar el promedio de bateo de un jugador de béisbol, dividimos el n´ umero de imparables entre el n´ umero de veces al bateo. Existe una sorprendente paradoja concerniente a los promedios, es posible que el jugador A tenga un promedio anual de bateo mayor que el del jugador B en dos a˜ nos sucesivos, aunque en el per´ıodo de dos a˜ nos el jugador B pueda tener un promedio total más alto. Véase la tabla A˜ no 2001 2003 Total en los dos a˜ nos

Jugador A 20 = ,500 40 60 = ,300 200 80 = ,333 240

Jugador B 90 = ,450 200 10 = ,450 40 100 = ,417 240

En cada uno de estos dos a˜ nos, el jugador A tuvo un promedio mayor, pero en el per´ıodo de dos a˜ nos, el jugador B tuvo el promedio m´ as alto. Este es un ejemplo en estad´ıstica de la paradoja de Simpson.

2.3.1.

Definici´ on Axiom´ atica de Q

En el Sistema de los N´ umeros Enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos n´ umeros enteros siempre existen y son n´ umeros enteros. En cambio, el cociente de dos n´ umeros enteros 2 no siempre existe, por ejemplo 3 no es un n´ umero entero, puesto que no existe un n´ umero entero v tal que: 2 = 3 · v. En términos algebraicos, en Z no es posible resolver la ecuación 3x = 2. Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los N´ umeros Enteros, a un nuevo conjunto que “lo contenga” en el cual la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos elementos de este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto será el de los N´ umeros Racionales. Una manera formal de introducir el conjunto de los n´ umeros racionales Q es a partir de Z. + Se define en Z × Z una adecuada relación, de equivalencia, la cual determina una partición de Z × Z+ o sea el conjunto cociente al cual se le llama Q. Luego, se definen las operaciones de adición y multiplicación en Q, obteniéndose el sistema de los n´ umeros racionales Q. 110

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Se introducirá, como en el caso de los Sistemas de los N´ umeros Naturales N y Enteros Z, el Sistema de N´ umeros Racionales Q usando el método axiomático. El Sistema de los N´ umeros Racionales es un conjunto, denotado por Q, provisto de dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación. La Adición es una operación interna en Q, que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b) ∈ Q × Q un u ´ nico n´ umero racional llamado suma de a y b, denotado por a + b. Simbólicamente: + : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros racionales a y b reciben el nombre de sumandos. La Multiplicación es una operación interna en Q, que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b) ∈ Q × Q un u ´ nico n´ umero racional llamado producto de a y b denotado por a · b o simplemente ab. Simbólicamente: · : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a → b Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adición y la multiplicación satisfacen los siguientes diez axiomas: Nota Importante: Cuando se define un Sistema Numérico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda tácitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en él; en particular, la relación de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

2.3.2.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 2.32. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 2.5.

a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d

b) a = b ∧ a · c = b · d La demostraci´on es an´aloga al caso de los n´ umeros naturales y enteros.

Teorema 2.33. Si a y b son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a · 0 = 0 b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0 La demostraci´on es an´aloga al caso de los n´ umeros naturales y enteros.

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Corolario 2.6. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0 Teorema 2.34 (Propiedades del Opuesto de un n´ umero racional). Si a y b son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) −(−a) = a, para todo a ∈ Q b) −(a + b) = (−a) + (−b) c) (−1)a = −a d) a(−b) = (−a)b = −(ab) e) (−a)(−b) = ab

Demostración. La demostración de todas las propiedades es análoga a la realizada en los N´ umeros Enteros. Teorema 2.35 (Propiedades del Inverso). Si a y b son n´ umeros racionales diferentes de cero, se cumplen las siguientes propiedades: a) (a−1 )−1 = a, para todo a ∈ Q b) (a · b)−1 = a−1 · b−1 Demostración. Queda como ejercicio para el lector. Se sugiere adecuar las demostraciones de las propiedades 3a y 3e. Teorema 2.36 (Cancelación en la Adición y Multiplicación). Si a y b son n´ umeros racionales se tiene: a) a + c = b + c ⇒ a = b b) Si ac = bc y c 6= 0 ⇒ a = b Demostración. racional.

a) Es an´aloga a la realizada en Z. Basta cambiar la palabra entero por

b) Si ac = bc entonces (ac) · c−1 = (bc) · c−1 de donde se sigue que a(c · c−1 ) = b(c · c−1 ), o sea, a · 1 = b · 1, lo que implica a = b. 112

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A continuaci´on, se presenta el u ´ ltimo axioma del Sistema de los N´ umeros Racionales:

Teorema 2.37. Si denotamos por 0Z , 0Q , 1Z y 1Q a los elementos neutros de la adición y multiplicación de Z y Q respectivamente; se tiene: a) g(0Z) = 0Q b) g(1Z) = 1Q c) g(−a) = −g(a), para todo a ∈ Z. Demostración. a) g(0Z) = g(0Z + 0Z ) = g(0Z) + g(0Z). Como g(0Z) = g(0Z) + 0Q , resulta que g(0Z ) + 0Q = g(0Z) + g(0Z ), luego aplicando la cancelación para la suma(Teorema 5a), se tiene que g(0Z ) = 0Q . b) Como: 0Z 1Z , entonces g(0Z ) 6= g(1Z ). Por otra parte, g(1Z) = g(1Z · 1Z ) = g(1Z) · g(1Z ). Por Q7 se tiene que g(1Z ) = g(1Z) · 1Q , de donde resulta que g(1Z) · 1Z = g(1Z ) · g(1Z ), luego, como g(1Z) 6= 0Q , aplicando la cancelación para el producto (Teorema 5.b) resulta g(1Z) = 1Q . Veamos el siguiente caso particular: g(2Z ) = g(1Z + 1Z ) = g(1Z) + g(1Z ) = 1Q + 1Q = 2Q c) Para todo a ∈ Z, por Q10ii), g(a) + g(−a) = g(a + (−a)) = g(0Z ) = 0Q , pero también g(a) + (−g(a)) = 0Q = g(a) + g(−a); luego, cancelando se tiene −g(a) = g(−a). A continuación estableceremos las propiedades de g(Z) Teorema 2.38.

i) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a + b ∈ g(Z)

ii) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a · b ∈ g(Z) Demostraci´on. i) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a + b = g(m) + g(n) = g(m + n) ∈ g(Z), pues m + n ∈ g(Z) ii) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a · b = g(m) · g(n) = g(m · n) ∈ g(Z), pues m · n ∈ g(Z).

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En virtud de este teorema, como g(Z) ⊂ Q las operaciones internas de adición y multiplicación en el conjunto de los numeros racionales Q, restringidas g(Z) ⊂ Q, inducen las mismas operaciones internas en g(Z)y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante. Teorema 2.39. El conjunto g(Z) = {g(n)/n ∈ Z}, provisto de las operaciones internas de adición y multiplicación + : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a + b · : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Q verifican E1−E10.

Demostración. La verificación de los axiomas E1-E9 es inmediata. E10 se demuestra en el siguiente Teorema 2.40. Existe una aplicación h : N → g(Z) tal que: i) h es inyectiva ii) h(m + n) = h(m) + h(n) iii) h(m · n) = h(m) · h(n) iv) Para todo q ∈ g(Z), existe m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m) Demostración. Definamos h : N → g(Z) poniendo h = g ◦ f donde f : N → Z y g : Z → Q son las funciones inyectivas de los axiomas E10 y Q10 de Z y Q respectivamente. i) Como f : N → Z y g : Z → Q. son funciones inyectivas, en virtud del Teorema 3 del capitulo 1 la función h = g ◦ f : N → Q es inyectiva. Esta demostración es un caso particular del Teorema 3.1) del capitulo 1 ii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10ii) y Q10ii), resulta h(m + n) = (g ◦f )(m+n) = g(f (m+n)) = g(f (m)+f (n)) = g(f (m))+g(f (n)), es decir h(m+n) = (g ◦ f )(m) + (g ◦ f )(n) = h(m) + h(n). iii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10iii) y Q10iii), se tiene, h(mn) = (g ◦ f )(mn) = g(f (mn)) = g(f (m)f (n)) = g(f (m)) · g(f (n)) = (g ◦ f )(m) · (g ◦ f )(n) = h(m) · h(n) iv) Para todo q ∈ g(Z), existe a ∈ Z tal que q = g(a). Si a ∈ Z, existe m ∈ N tal que a = f (m) o −a = f (m) por E10iv). 114

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Si a = f (m) entonces q = g(f (m)) = (g · f )(m) = h(m). Si −a = f (m), −q = −g(a) = g(−a) = g(f (m)) = (g · f )(m) = h(m). Es decir,∀q ∈ g(Z)∃m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m). Nota importante: El teorema anterior permite, afirmar que la función g : Z → g(Z), donde g(Z) ⊆ Q, goza de las siguientes propiedades: 1. g : Z → g(Z) es una biyección 2. g(m + n) = g(m) + g(n) y g(mn) = g(m)g(n). Estas propiedades nos permiten identificar Z con g(Z), desde el punto de vista conjuntista por 1) y desde el punto de vista algebraico por 2), as´ı como escribir Z ∼ = g(Z). En consecuencia a partir de este momento identificaremos un n´ umero entero m ∈ Z con el n´ umero racional ∼ g(m) · Q(m = g(m)), al cual también lo llamaremos racional entero; en particular: 0Z ∼ = g(0Z) = 0Q y 1Z ∼ = g(1Z) = 1Q . De esta manera también podemos escribir: “Z ⊂ Q”. En los cursos avanzados de álgebra se dice que g es un isomorfismo algebraico.

2.3.3.

Sustracci´ on

Definici´ on 2.11. Dados los numeros racionales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al numero racional c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c. Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente. Teorema 2.41. Dados los numeros racionales a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ńica. La demostración es análoga a la realizada para n´ umeros enteros; es decir basta poner c = a + (−b) y reemplazar la palabra entero por racional. El teorema anterior nos permite decir que la aplicación “−”que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b), su diferencia a − b. − : Q × Q → Q tal que (a, b) → a − b es una operación interna que recibe el nombre de Sustracción. Corolario 2.7. Si a y b son numeros racionales, entonces x+a= b↔x= b−a La demostración es análoga a la realizada para numeros enteros; es decir basta reemplazar la palabra entero por racional. 115

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2.3.4.

Divisi´ on

Definici´ on 2.12. Dados los numeros racionales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se denota ab (ó a/b), al numero racional c tal que a = b · c. Es decir, ab = c ⇔ a = b · c Teorema 2.42. Dados los numeros racionales a y b, con b 6= 0, el cociente de a y b existe y es u ńico. Demostración. Dados los numeros racionales a y b, como b 6= 0, existe 1b , luego definiendo c = a( 1b ), resulta c ∈ Q; además aplicando sucesivamente el axioma de sustitución, las propiedades asociativa, conmutativa y del inverso, se tiene: 1 1 b · c = b · [a( )] = [b( )]a = a b b Luego a = b · c y aplicando la definición de cociente, resulta ab = c Observaci´ on 2.1. Es importante recordar la igualdad: ab = a( 1b ) El teorema anterior nos permite decir que la aplicación “/”que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b), con b 6= 0, su cociente a/b / : Q × (Q − {0}) → Q tal que (a, b) → a/b es una operación interna que recibe el nombre de División. Teorema 2.43. Si a, b, c, d son numeros racionales, c 6= 0 y d 6= 0, se cumplen las siguientes propiedades: a)

a c

b c

a+b c

a c

b d

ad+bc cd

a c

b d

= b d

ab cd

⇔ ad = bc

e) Si a 6= 0, la ecuación ax + b = 0 tiene soluci´ on en Q y adem´ as es u ńica. Demostración. tiene

a) Si c 6= 0, existe c−1 ∈ Q, luego aplicando la definici´on de cociente se a+b a b = (a + b) · c−1 = a · c−1 + b · c−1 = + c c c

b) Si c 6= 0, por el corolario del Teorema 2, cd 6= 0, luego existe (cd)−1 y se tiene:

ad + bc = (ad + bc) · (cd)−1 = (ad + bc) · (c−1 · d−1 ) = (ad) · (c−1 · d−1 ) + (bc) · (c−1 · d−1 ) cd a b = ac−1 (d.d−1 ) + bd(c · c− 1) = ac−1 · 1 + bd−1 · 1 = ac−1 + bd−1 = + c d 116

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c) Si c 6= 0 y d 6= 0, entonces cd 6= 0, luego,

ab a b = ab · (cd−1 ) = (ab) · (c−1 · d−1 ) = (ac−1 ) · (bd−1 ) = · cd c d

d) b a = ⇔ ac−1 = bd−1 c d ⇔ (ac−1 )cd = (bd−1 )cd, pues cd 6= 0 ⇔ ad(c−1 c) = bc(d−1 d)

⇔ ad = bc

e) Si ax + b = 0, entonces ax = −b. Como a 6= 0 existe a−1 y se tiene. (a−1 )(ax) = (a−1 )(−b) ⇒ (a−1 a)x = (−b)a−1 ⇒ 1 · x = −(ba−1 ) ⇒ x = −

b a

Es decir, la ecuación ax + b = 0 tiene solución y es u ´ nica. En particular la ecuación ax = c tiene solución u ´ nica a x = ac .

2.3.5.

Potenciaci´ on

Definici´ on 2.13. Sea a un numero racional, a 6= 0 y n un numero natural, la potencia an , está dada por: 1. a0 = 1 2. an = an−1 · a, si n ≥ 1 En la expresión an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. De la definición, se tiene que: a1 = a0 · a = 1 · a = a (un factor) a2 = a1 · a = a · a, (dos factores) a3 = a2 · a = a · a · a, (tres factores), y en general, an = a · a · · · a, (n factores). Definiendo a−n = a1n , para los numeros naturales m y n y para el numero racional a 6= 0, se tiene: am 1 = am n = am · a−n n a a Como en el caso de los n´ umeros naturales, aplicando la inducción matemática se demuestra que: i) (a · b)n = an · bn , ii) am · an = am+n iii) (am )n = am·n 117

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2.3.6.

Numeros reales como cocientes de numeros enteros

Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n 6= 0, g(n) 6= 0, tal que r = g(m) , donde g : Z → Q es la g(n) inyección del axioma Q10. En efecto, por el axioma Q10iv), para todo r ∈ Q, existe n ∈ Z, n 6= 0 tal que, r · g(n) ∈ g(Z), es decir r.g(n) = g(m), para alg´ un m ∈ Z. . Como g(n) 6= 0, y r·g(n) = g(m), aplicando la definición de cociente, se concluye que r = g(m) g(n) ∼ ∼ En consecuencia, usando la identificación de Z con g(Z), g(m) = m y g(n) = n, son racionales enteros, luego todo numero racional r, se puede expresar como cociente de enteros racionales con denominador diferente de cero. As´ı podemos expresar r = m . n Teorema 2.44.

1. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n > 0, tal que r =

g(m) g(n)

2. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos (Definici´ on 7 cap´ıtulo 1), n > 0 tal que g(m) r = g(n)

Demostraci´on. 1. Por Q10iv)∀r ∈ Q∃k ∈ Z, k 6= 0 tal que g(k) · r ∈ g(Z) y ∃m ∈ Z. tal que g(k) · r = g(m). i) Si k > 0, basta tomar n = k, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(n) · r = g(m) de donde r = g(m) con n > 0. g(n) ii) Si k < 0, tomamos n = −k > 0, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(−n) · r = g(m). Aplicando sucesivamente los Teoremas 6c y 3, se sigue que: (−g(n))r = g(m), luego g(n) · r = −g(m) de donde g(n) · r = g(−m). Por lo tanto, r = g(−m) con n > 0. g(n) ′

) 2. Para todo r ∈ Q, por la parte (1) existen m′ , n′ ∈ Z, n′ > 0 tales que r = g(m . g(n′ ) ′ ′ ′ ′ Sea d = MCD(m , n ), entonces existen m, n ∈ Z tales que m = dm, n = dn y MCD(m, n) = 1. Como d > 0 y n′ > 0, entonces n > 0, adem´as g(n′) · r = g(m′) en Q entonces g(dn) · r = g(dm), luego g(d)g(n)r = g(d)g(m) por Q10(iii). Como g es inyectiva y d 6= 0 entonces g(d) 6= g(0) = 0 as´ı, g(n) · r = g(m), n > 0. Por lo tanto, r = g(m) donde m y n son coprimos y n > 0. g(n)

Observaci´ on 2.2. 1. La primera parte de este teorema nos indica que todo numero racional puede expresarse como un cociente de racionales enteros con denominador “positivo”(el orden lo veremos mas adelante). g(m) . En particular, para todo m ∈ Z, g(m) ∈ Q, luego g(m) = g(1 z) Y usando la identificaci´on podemos escribir: m = m1 . 2. La segunda parte de este teorema nos indica que todo n´ umero racional puede expresarse como cociente de racionales enteros coprimos. 118

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Esto es, usando la identificaci´on: Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos tal que r=m . n Corolario 2.8. Sean a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 y d 6= 0 i) Si r = m ∈ Q con m, n ∈ Z, coprimos y r = dc , d 6= 0, entonces existe k ∈ Z, k 6= 0, n tal que c = km y d = kn. ii) Si r = iii) r =

2.3.7.

a b

m n

∈ Q con m, n ∈ Z, entonces −r = − m = n c d

−m n

m −n

∈ Q si, y s´olo si, ad = bc.

Orden en Q

El orden de Z, mediante la aplicación g : Z → Q del axioma Q10 induce un orden en Q como se muestra a continuación: Definici´ on 2.14. Se dice que r ∈ Q es un n´ umero racional positivo si, y sólo s´ı, existen g(m) z) + m, n ∈ Z tales que r = g(n) . As´ı por ejemplo 1Q = g(1 es racional positivo. g(1z ) Usando la identificación se tiene que, r ∈ Q es un n´ umero racional positivo si, y sólo s´ı, existen m, n ∈ Z+ tales que r = m . n p Si r = q , por el corolario anterior, pn = qm, y como m y n son enteros positivos, entonces p y q tienen el mismo signo, luego pq > 0 en Z. As´ı en forma equivalente se tiene que r = m ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo si, n + mn > 0. Denotaremos por Q = {x ∈ Q/x es positivo} al subconjunto no vac´ıo de todos los numeros racionales positivos. Teorema 2.45.

1) Para todo r, s ∈ Q+ , se cumple r + s ∈ Q+

2) Para todo r, s ∈ Q+ , se cumple r · s ∈ Q+ 3) Para todo r ∈ Q una y s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera r ∈ Q+

∨

r=0

∨

−r ∈ Q+

Demostración. 1. Sean r, s ∈ Q+ , por definición existen a, b, c, d, ∈ Z+ , tales que r = ab y s = dc . Por el Teorema 12, r + s = ab + dc = ad+bc . bd En Z, b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y también, a > 0 y c > 0, luego ad + bc > 0 as´ı, r + s ∈ Q+ . 119

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2. Sean r, s ∈ Q+ , por definición existen a, b, c, d ∈ Z+ , tales que r = ab y s = dc . Por el Teorema 12, r · s = ab · dc = ac como b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y también, bd a > 0 y c > 0, luego ac > 0 en Z y en consecuencia r · s ∈ Q+ . . 3. Sea r ∈ Q entonces por el Teorema 13, existen m, n, ∈ Z, con n > 0, tales que r = m n Como para m ∈ Q, una y sólo una de las siguientes relaciones se cumple: m ∈ Z+ ∨ m = 0 ∨ −m ∈ Z+ resulta que, m 0 m −m ∈Q+ ∨ 0= ∨ − = ∈ Q+ n n n n De donde, como g : Z → Q es inyectiva, resulta que, una y sólo una de las siguientes relaciones es verdadera: r ∈ Q+

∨

r=0

∨

−r ∈ Q+

Si denotamos por Q− al subconjunto de Q definido por Q− = {x ∈ Q/ − x ∈ Q+ }, se tiene que Q− = φ, pues −1 ∈ Q− , y aplicando el Teorema 14 · 3, resulta que: Q = Q+ ∪ Q− {0}

2.3.8.

Consecuencias importantes del teorema 14

Teorema 2.46. Si a ∈ Q, a 6= 0 entonces a2 ∈ Q+ Demostraci´on. Si a 6= 0 entonces a ∈ Q+ ∪ Q− Si a 6= Q+ entonces a2 = a · a ∈ Q+ y si a ∈ Q− entonces −a ∈ Q+ y en consecuencia a2 = a · a = (−a) · (−a) ∈ Q+ . En particular, 1 = 1 · 1 ∈ Q+ . Definici´ on 2.15. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor que b y se denota con a a si, y solo si, a < b. 2

De la definici´on anterior resulta el siguiente: Teorema 2.47.

a) a ∈ Q+ si, y s´ olo si, a > 0.

b) a > 0 si, y s´olo si, −a < 0. 120

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Demostraci´on. a) Si a ∈ Q+ , a − 0 = a ∈ Q+ , luego 0 < a, de dondea > 0. Rec´ıprocamente, si a > 0 entonces 0 < a y a − 0 ∈ Q+ , es decir a ∈ Q+ . b) Si a > 0, a ∈ Q+ , luego a = 0 − (−a) ∈ Q+ , es decir −a < 0. El rec´ıproco es inmediato. Usando el Teorema anterior, podemos escribir: i) Dado a ∈ Q, se cumple una y s´olo una de las siguientes condiciones: 0<a

∨

a=0

∨

a < 0(Tricotom´ıa).

ii) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0

Teorema 2.48. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a < 0 ∧ b < 0 ⇒ ab > 0 b) a > 0 ∧ b < 0 ⇒ ab < 0 Demostraci´on.

a) Si a < 0 ∧ b < 0 entonces −a > 0 ∧ −b > 0 de donde ab = (−a)(−b) > 0

b) Si a > 0 ∧ b < 0 entonces a > 0 ∧ −b > 0 de donde −ab = a(−b) < 0 y ab < 0. Teorema 2.49. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a bc Demostraci´on. Se probar´an a) y d). Quedan como ejercicios b), c)ye). a) Si a < byb < c, existen r > 0 y s > 0 tales que a + r = b y b + s = c luego a + (r + s) = (a + r) + s = b + s = c, es decir, existe un n´ umero racional r + s > 0 tal que a + (r + s) = c, y en consecuencia a < c. 121

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d) Si a 0 tal que a + r = b. Como c > 0 y r > 0, rc > 0, luego ac + rc = (a + r)c = bc lo que implica que ac < bc.

Teorema 2.50. Si a y b son n´ umeros racionales diferentes de cero, el inverso multiplicativo tiene las siguientes propiedades: a) a > 0 ⇒ a−1 > 0 b) a < 0 ⇒ a−1 < 0 c) Si 0 < a 0, se tiene, por el axioma Q8, que 1 = a−1 a < 0, es decir, 1 < 0, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto a−1 > 0. c) Si 0 < a < b, por el Teorema 14, ab > 0. Pero por los Teoremas 19a y 4b resulta a−1 b−1 = (ab)−1 > 0. Entonces, b−1 = (aa−1 )b−1 = a(a−1 b−1 ) < b(a−1 b−1 ) = b(b−1 a−1 ) = (bb−1 )a−1 = a−1 .

Teorema 2.51.

i) Si a > 0 y n > 0 ⇒ an > 0

ii) Si 0 < a < b ⇒ an < bn Demostraci´on. Probar las dos propiedades por inducci´on. Teorema 2.52 (Densidad de los n´ umeros racionales). Dados los n´ umeros racionales a y b, tales que a < b, siempre existe un n´ umero racional c tal que a<c<b

122

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Demostraci´on. Si a < b, en virtud de 18(b) resulta, a + a < a + b ∧ a + b < b + b, de donde, 2a < a + b < 2b lo que implica a = 2a( 12 ) < ( a+b ) 12 < (2b) 21 , ´osea a < a+b < b. Luego, bastara 2 2 tomar c = a+b 2 Definici´ on 2.16. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor o igual que b y se denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b. En particular, 0 ≤ a si, y solo si, a < b o a = b. Se sigue de inmediato que: a ≤ b ⇔ ∃c ≥ 0/a + c = b Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b. 2

Teorema 2.53. Si a, b y c son n´ umeros racionales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes propiedades a) a ≤ a (Propiedad reflexiva) b) a ≤ ∧b ≤ a ⇒ a = b (Propiedad antisimetrica) c) a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c (Propiedad transitiva) d) a 6= b ⇒ a < b ∨ b < a (Propiedad conexa) e) a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc f ) a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc Demostración. Las demostraciones de las 6 propiedades son consecuencia de la definición de la relación menor o igual y de las propiedades de la relación menor en Q Observaci´ on 2.3. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relación menor o igual es una relación de orden en Q.Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relación menor o igual es una relación de orden conexa. Ejemplo 2.13. Si a, b y c, son n´ umeros racionales tales que 0 < a < b < 1 , determinar la verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes desigualdades: a)0 < a5 < a3 < a < 1

b−1 a−1 < 5 5

a2 < b2

Soluci´ on. a) Como 0 < a < 1 y a > 0, resulta 0 < a2 < a < 1. Repitiendo el mismo procedimiento, se obtienen las siguientes desigualdades: 0 < a3 < a2 < a < 1 y 0 < a5 < a4 < a3 < a2 < 1. En consecuencia la afirmaci´on dada es verdadera. b) Si 0 < a < b, aplicando el teorema 11c, se tiene 0 < b−1 < a−1 , de donde, como −1 −1 resulta b 5 < a 5 123

1 5

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c) Queda como ejercicio.

2.3.9.

Radicaci´ on

Definici´ on 2.17. Si a ≥ 0 es un numero racional y n ∈ N+ , se llama ra´ız n−esima de a y se √ denota n a , al u ´ nico numero real no negativo b, si existe tal que bn = a; √ Simbólicamente n a = b ⇔ bn = a. √ En la expresión b = n a ; se dirá que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresión subradical. √ √ 2 a se escribe simplemente a y se lee “ra´ız cuadrada de a”. 3 a se lee: “ra´ız cubica de a”. + Teorema 2.54. Si a, b ∈ Q+ 0 = Q ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces: √ √ √ √ a) Existe n ab y n ab = n a · · · n b . √ √ √ b) Existe n am y n am = ( n a)m p√ √ p√ √ p√ c) Existen mn a, m n a y mn a, n m a = m n a

d) Si b > 0,

p n a b

√ na √ n b

Observaci´ on Importante: Como 1 ∈ Q+ , se sigue que los numeros racionales naturales: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, · · · , n, n + 1, · · · son positivos y que, en consecuencia, que el conjunto de los racionales naturales N = N+ ∪ {0} ⊂ Q Análogamente, como 0 ∈ Q y n ∈ Q, n racional natural, entonces −n ∈ Q, es decir el conjunto de los racionales enteros Z ⊂ Q. Se puede “identificar”los n´ umeros racionales con ciertos puntos de la recta geométrica ℜ. Al n´ umero racional cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta “unidad de medida.a los n´ umeros racionales positivos y a los negativos se les asigna puntos a la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura: De esta manera, se establece una aplicación β : Q → ℜ que hace corresponder a cada n´ umero racional un punto de la recta geométrica.

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Problemas Resueltos Problema 2.11 (*). Julia tiene 289 monedas guardadas en cajas. Todas las cajas contienen la misma cantidad de monedas (que es mayor que 1) y en cada caja solo hay monedas de un mismo pais. Las monedas de Bolivia son mas del 6 % del total, las de Chile, mas del 12 % del total, las de Mexico, mas del 24 % del total y las Peru, mas del 36 % del total ¿Puede tener Julia alguna moneda de Uruguay? Soluci´ on. Sea k la cantidad de monedas que tiene cada caja. Como cada caja tiene la misma cantidad de monedas, 289 es m´ ultiplo de k. Pero 289 = 172 , solo tiene como divisores a 1, 17 y el mismo 289. Por dato k > 1. Entonces k = 17 ´o 289. Si k = 289, s´olo habr´ıa una caja y nu seria posible que haya monedas de cuatro pais distintos. En consecuencia k = 17 Como las monedas en cada caja son de un sol pais y hay un 17 monedas en cada caja, entonces la cantidad total de monedas de cada pais es un m´ ultiplo de 17. 6 Las monedas de Bolivia son mas de 100 · 289 = 17, 34. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 17, 34 es 34. Entonces, hay al menos de 34 monedas de Bolivia. 12 Las monedas de Chile son mas de 100 · 289 = 34, 68. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 34, 68 es 51. Entonces, hay al menos de 51 monedas de Chile. 24 · 289 = 69, 36. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que Las monedas de Mexico son mas de 100 69, 36 es 85. Entonces, hay al menos de 85 monedas de Mexico. 36 Las monedas de Peru son mas de 100 · 289 = 104, 04. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 104, 04 es 119. Entonces, hay al menos de 119 monedas de Peru. En resumen la cantidad de monedas que tienen, en conjunto, Bolivia, Chile, Peru y Mexico es de al menos. 34 + 51 + 85 + 119 = 289 monedas. Pero como el total de monedas es de 289, que coincide con la minima cantidad de monedas que pueden tener en conjuntos, estos cuatro pa´ıses, entonces Bolivia tiene exactamente 34 monedas, Chile tiene exactamente 51 monedas, Mexico exactamente 85 monedas y Peru tiene exactamente 119 monedas, para as´ı tener un total de 289 monedas. En consecuencia, no es posible que alguna de las monedas sea de Uruguay Problema 2.12. Para x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56, etc, encontrar un entero positivo m tal que: 1 1 1 1 + + +···+ = 0, 15 x1 x2 x3 xm

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Soluci´ on. Tenemos: x1 = 30 = 5 × 6

x2 = 42 = (1 + 5)(1 + 6) x3 = 56 = (2 + 5)(2 + 6) .. . xm = (m − 1 + 5)(m − 1 + 6) = (m + 4)(m + 5) Luego: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +···+ = + + +···+ = x1 x2 x3 xm 5×6 6×7 7×8 (m + 4)(m + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 15 3 = − + − + − +···+ − = = 5 6 6 7 7 8 m−4 m−5 100 20 1 1 3 1 1 ⇒ − = ⇒ = ⇒ m + 5 = 20 ⇒ m = 15 5 m+5 20 m+5 20 Problema 2.13. Dos n´ umeros están en la razón a/b. Sabiendo que a/b genera una fracción decimal periódica pura con dos cifras en el periodo y que a + b = 12, hallar la suma de dichos numeros si se sabe además que su diferencia es 130. Soluci´ on. Sean A y B los numeros tal que A a×k a = = B b×k b

(1)

Como a/b genera una fracción decimal periódica con dos cifras en el periodo, entonces a y b don primos entre si. Por dato: a + b = 12 ⇒ a = 1 y b = 11 ó a = 5 y b = 7, de donde descartamos la segunda posibilidad. Luego en (1): A = k y B = 11k Además A + B = (a + b)k = 12k y B − A = (b − a)k = 10k Entonces, B − A = 130 = 10k ⇒ k = 13 y en consecuencia; A + B = 12k = 12 × 13 = 156 Problema 2.14. Un fotógrafo y su ayudante tardan 2 horas en revelar y sacar copias de cierto numero de fotograf´ıas. A continuación tienen que hacer el mismo numero de fotograf´ıas, pero el fotógrafo ha de dejar el trabajo al cabo de un hora,, tardando el ayudante 3 horas mas en concluir la tarea. ¿Cuanto tiempo emplear´ıa el ayudante para hacer solo el trabajo? Soluci´ on. El fotógrafo y su ayudante en 1h hacen 12 del trabajo y les falta por hacer 12 del trabajo. Como se retira el fotógrafo, por lo tanto en 1h hace 16 del trabajo y todo el trabajo lo hará en 6 horas 126

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Problema 2.15. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a apostar y pierde el 3/5 de lo que le queda y en una tercera apuesta pierda los 4/7 del resto. ¿Que fracción del dinero que ten´ıa originalmente le ha quedado? Soluci´ on. Del enunciado tenemos: Pierde: 31 de su dinero ⇒ queda: 23 de su dinero Pierde: 35 de lo que le queda ⇒ ahora le queda: 2 2 4 [ de su dinero] Ahora pierde 74 ⇒ le queda 73 [ 25 [ 23 de su dinero]]= 35 de su dinero 5 3 Problema 2.16. Un comerciante ahorro 54000 soles durante 5 a˜ nos, sabiendo que el segundo a˜ no ahorro 2/9 sobre lo que hab´ıa ahorrado el primer a˜ no, que el tercer a˜ no ahorró 12885 soles, que el cuarto a˜ no ahorro 1/11 menos que lo hab´ıa ahorrado en el segundo a˜ no y que el quinto a˜ no ahorro lo que el segundo más 115 soles. Determinar lo que ahorró el primer a˜ no Soluci´ on. Del enunciado tenemos: Primer a˜ no ahorro: a Segundo a˜ no ahorro: a + 29 a Tercer a˜ no ahorro: 12885 1 Cuarto a˜ no ahorro: a + 29 a − 11 a + 92 a = 10 a + 29 a 11 Quinto a˜ no ahorro: a + 29 a + 115 Total ahorrado: 54000 Luego: 2 10 2 2 a + a + 12885 + a + a + a + a + 115m = 554m 9 11 9 9 2 32 64 32 a + a = 41000 ⇒ a 1 + + = 41000 ⇒a+ 11 9 11 99 651 ⇒ = 41000 ⇒ a = 9000 11 × 9 Problema 2.17. Un comerciante tenia una determinada suma de dinero. El primer a˜ no gasto 100 pesos y aumento a lo que quedaba, un tercio de este resto. Al a˜ no siguiente volvio a gastar 100 soles y aumenta a la cantidad distante un tercio de ella. El tercer a˜ no gasto de nuevo 100 soles y agrego una tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del capital inicial ¿Cual fue la capital inicial? Soluci´ on. Sea N la cantidad de dinero, del enunciado: Primer a˜ no: le quedo (N − 100) y aumento 31 (N − 100) entonces tenemos en total: 43 (N − 100) Segundo a˜ no: 43 (N − 100) − 100 + 13 43 (N − 100) − 100 entonces ten´ıa: 43 43 (N − 100) − 100 Tercer a˜ no: 43 43 (N − 100) − 100 − 100 + 13 { 34 43 (N − 100) − 100 − 100} es decir le queda: 34 { 43 43 (N − 100) − 100 − 100} lo que es doble del capital inicial. As´ı: 34 { 43 34 (N − 100) − 100 − 100} = 2N ⇒ N = 1480 127

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Problema 2.18. Se reparte una cantidad de dinero entre una cierta cantidad de personas. 1 1 La primera recibe 100 soles y 12 del resto, la segunda recibe 200 soles y 12 del resto; y la 1 del resto, y as´ı sucesivamente. tercera 300 soles y 12 De esta manera todas ellas han recibido la misma suma y se han repartido la cantidad integra. Hallar el numero de personas Soluci´ on. Sea c la cantidad a repartir, como cada una recibe los mismo, entonces: 1 1 1 100 + (c − 100) = 200 + {c − [100 + (c − 100)]} −200 12{z 12 } | {z 12 } | Recibelaprimera

(1)

Recibelasegunda

1 (c − 100) 12 1 13 [100 + (c − 100)] 12 12 13 13 13 × 100 + c − × 100 12 12 1 c 12 c 100 +

1 1 1 1 c − [100 + (c − 100)] − × 200 12 12 12 12 1 1 = 200 − × 200 + c 12 12

= 200 +

= 200 × 12 − 200

13 × 100 12 = 100 × 22 × 12 − 13 × 12 × 100 + 13 × 100 = 200 × 11 − 13 × 100 +

c = 100 × 9 × 12 + 100 × 13

c = 121 × 100

1 Luego cada una recibe, 100 + 12 (121 × 100 − 100) = 1100 121×100 El numero de personas es 11×100 = 11

Problema 2.19. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cay´o. Despu´es de tres rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro. ¿De que altura se dejo caer al empezar? Soluci´ on. Tenemos que: 2 B1 9 2 2 22 = B2 = S1 = 2 B1 9 9 9 2 23 = B3 = 3 B1 9 9

S1 = S2 S3 Por dato:

23 16 = ⇒ B1 = 54m B1 27

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Actividades 1. Un camionero realiza la ruta La Oroya−Lima. Se da cuenta que la primera sexta parte de la distancia la recorre a 10km/h, las siguientes dos terceras partes las recorre a 20km/h, mientras que la sexta parte final la realiza a 30km/h. ¿Cuál ha sido su velocidad promedio para la distancia total?. (Es interesante notar que el problema no entrega como uno de los datos la distancia L entre las dos ciudades. La velocidad promedio es igual a la distancia total entre el tiempo total de recorrido. Analizar las tres etapas del recorrido). 2. Cuatro hermanos, Antonio, Félix, Claudio y Dionisio, compran un automóvil por 36 mil soles. Antonio aportó la mitad de lo que aportaron Félix, Claudio y Dionisio juntos; Félix aportó la tercera parte de lo que aportaron Antonio, Claudio y Dionisio juntos; Claudio aportó la cuarta parte de lo que aportaron Armando, Félix y Dionisio juntos. ¿Cuánto aportó Dionisio? 3. Dos móviles A y B están separados 300Km y parten ambos a las 8 : 00 a.m., uno al encuentro del otro, con velocidades constantes y proporcionales a 3 y 2, respectivamente. Si al cabo de tres horas se encuentran: a) ¿Cuál fue la mayor de las velocidades? b) ¿Qué espacio recorrió B? 4. Un estudiante distribuye el dinero que tiene para sus gastos de la siguiente manera: 1/5 de su dinero en alquiler de habitación, 1/3 en alimentos, 1/6 en ropa y 1/4 en su educación. Si el resto de su dinero lo ahorra, ¿Qué fracción del dinero que tiene ahorrará? 5. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en cent´ımetros, de un triángulo y A es el área del mismo (cm2 ). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuáles son los posibles valores de h? 6. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relación menor entre sus inversos multiplicativos? Hallar todos los n´ umeros racionales x tales que x > 5 si, y sólo si, x < 5 7. Ordena los siguientes n´ umeros en orden creciente 210 + 2−10 ; 210 − 2−10 ; 210 + 10−3 ; 103 + 2−10 ; 103 + 10−3 8. Si x, y, z son n´ umeros enteros positivos. Encontrar los valores posibles de x + y + z, sabiendo que la suma de 1 1 1 + + x y z es un n´ umero entero.

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2.4.

Sesi´ on 10: Representaci´ on decimal de un n´ umero racional. Aplicaciones de las razones y proporciones El ´algebra es generosa: a menudo da m´as de lo que se le pide. D Alembert ´ n en porciones Contextualizando: Distribucio

La tabla siguiente aparece en un paquete de semola Quaker Microondas Porciones 1 3 taza Agua 4 S´emola 3 cucharadas Sal (opcional) Una pizza

1 1 taza 3 cucharadas Una pizza

1 4

Estufa 4 3 tazas 3 taza 4 cucharadita

1 2

6 4 tazas 1 taza cucharadita

(a) En microondas, ¿cuántas tazas de agua ser´ıan necesarias para 6 porciones? (b) En estufa, ¿cuántas tazas de sémola ser´ıan necesarias para 5 porciones? (Sugerencia: 5 es la mitad entre 4 y 6)

2.4.1.

Representaci´ on decimal de un n´ umero racional

Sabemos que todo n´ umero racional r se puede escribir como el cociente de dos n´ umeros enteros, a o sea r = b donde b, llamado también denominador, es diferente de cero. El algoritmo de la división de Euclides es un procedimiento para obtener a partir del cociente de dos enteros, una expresión decimal de la forma: a0 , a1 , a2 , a3 , · · · donde es un n´ umero entero y a1 , a2 , a3 son los n´ umeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; a los cuales llamaremos, a partir de ahora, d´ıgitos decimales. Por ejemplo, dados los n´ umeros racionales 1 3 1 1 , , y 10000 , si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos 2 4 8 1 3 1 1 = 0 · 5; = 0 · 75; = 0 · 125; = 0, 0001 2 4 8 10000 que son expresiones decimales con un n´ umero finito de d´ıgitos decimales. A éstas las llamaremos expresiones decimales finitas. En cambio, dados los n´ umeros racionales 1 1 1 7 , , y 12 si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos: 3 7 6 1 3

= 0, 33333 · · · 1 = 0, 166666 6

1 7

= 0, 142857142857142857 7 = 0, 5833333 12 130

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que son expresiones decimales con un n´ umero infinito de d´ıgitos decimales. A éstas las llamaremos expresiones decimales infinitas. Si observamos con más detenimiento las cuatro u ´ ltimas expresiones decimales infinitas: 0, 33333 · · · ; 0, 142857142857142857 · · · ; 0, 166666 · · · y 0, 5833333 · · · , notamos que en las dos primeras el d´ıgito decimal 3 y el grupo de d´ıgitos decimales 142857, se repiten indefinidamente inmediatamente después de la coma decimal, mientras que en las otras dos u ´ ltimas, el d´ıgito decimal 6 y el d´ıgito decimal 3 se repiten indefinidamente, después de un n´ umero finito de d´ıgitos decimales (el 1 y el 58). A cada una de las dos primeras las llamaremos expresión decimal infinita periódica pura y a cada una de las dos u ´ ltimas las llamaremos expresión decimal infinita periódica mixta. En general tenemos los siguientes tipos de expresiones decimales: 1) Expresiones decimales finitas de la forma: a0 , b1 b2 · · · bm 2) Expresiones decimales infinitas periódica puras de la forma: a0 , a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an · · · o en forma abreviada a0 , a\ 1 a2 · · · an (un conjunto de los d´ıgitos decimales se repite periódicamente, inmediatamente después de la coma decimal), y 3) Expresiones decimales infinitas periódica mixtas de la forma: a0 , b1 b2 · · · bm a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an · · · o en forma abreviada a0 , b1 b2 · · · bm a1 a\ 2 · · · an (un conjunto de los d´ıgitos decimales se repite periódicamente). Finalmente, como a las expresiones decimales finitas, también se les puede considerar como expresiones decimales infinitas periódicas, con per´ıodo cero, por ejemplo: 1, 25 = 1, 2500000 · · · = 1, 25b 0 y en general a0 , b1 b2 · · · bm = a0 , b1 b2 · · · bm 00000

Teorema 2.55. Todo n´ umero racional admite una representaci´ on decimal infinita periódica. La demostración general del teorema se basa en el algoritmo de la división de Euclides. A continuación daremos dos ejemplos espec´ıficos que motivan la demostración y luego comentaremos en términos generales como se efect´ ua ésta. m En general, si n ∈ Q, con m y n enteros, n > 0, se divide m entre n. En el proceso de la división al agotar las cifras de m (en base diez) se completa con ceros para seguir la división obteniendo los decimales. Por el algoritmo de la división, cada residuo que se obtiene en este 131

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proceso es alguno de los n siguientes n´ umeros: 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1. Al dividir m entre n se puede obtener un conjunto o sucesión de residuos, tan grande como se quiera. En cualquier sucesión de más de n n´ umeros, algunos de estos posibles restos, aparece más de una vez. Esta situación obligará a que produzca una repetición de los d´ıgitos decimales en el cociente obteniéndose el per´ıodo. Rec´ıprocamente, se cumple el siguiente Teorema 2.56. Dado una expresión decimal infinita peri´ odica , a0 , b1 b2 · · · bm a1 a\ 2 · · · an existe un n´ umero racional m tal que m = a0 , b1 b2 , · · · bm a1 a\ 2 · · · an . n n La demostración de este teorema nos permite determinar la fracción m a partir de la expren sión decimal infinita periódica, mediante un proceso al cual se le conoce como el proceso de calcular la fracción generatriz de una expresión decimal:

2.4.2.

Calculo de la generatriz de una expresi´ on decimal

Consideraremos tres casos: Caso 1) Hallar la fracción generatriz de una expresión decimal finita (que tiene un n´ umero finito de cifras decimales) 3,125 = 3,12500000 · · · 3, 125 × 1000 = 3125; luego 3, 125 = 3125 1000 En general, si a partir de un cierto n los d´ıgitos de la parte decimal son todos ceros, es decir a = a0 , a1 a2 a3 · · · an 000 · · · 0 · · · la expresión decimal se representa simplemente por a = a0 , a1 a2 a3 · · · an ; de donde, multiplicando por 10n se obtiene 10n a = a0 , a1 a2 a3 · · · an , es decir a=

a0 , a1 a2 a3 · · · an 10n

Caso 2) Hallar la fracción generatriz de la expresión decimal periódica pura: 0, 363636, · · · Se observa que los d´ıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, 100 × 0, 363636 · · · = 36, 363636 · · · 100 × (0, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) = (36, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) Luego, 99 × 0, 363636 · · · = 36; ósea 0, 363636 · · · 0 36 99 Una expresión decimal se denomina periódica pura, si sus k primeros d´ıgitos de la parte decimal, inmediatamente después de la coma, se repiten indefinidamente, siguiendo el mismo orden: a = 0, a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak · · · · · · Esta expresión decimal se escribe también: a = 0, a1 a\ 2 a3 · · · ak 10k · a = a1 a2 a3 · · · ak , a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak · · · · · · 132

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restando las dos expresiones anteriores se obtiene (10k − 1)a = a1 a2 a3 · · · ak 2 a3 ···ak ósea, a = a1 a999···9 , donde el denominador es igual a (10k 1), es decir tiene tantas veces nueve como d´ıgitos decimales tiene la parte periódica: a1 a2 a3 · · · ak La u ´ ltima expresión de “a”da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la generatriz de una expresión decimal infinita periódica pura. Caso 3)Hallar la fracción generatriz de la expresión decimal periódica mixta 0, 24363636 · · · . Se observa que los d´ıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, pero esto no ocurre con 2 y 4. 10000 × 0, 24363636 · · · = 2436, 363636 · · · 100 × 0, 24363636 · · · = 24, 36363636 · · · 10000 × (0, 24363636 · · · ) − 100 × (0, 24363636) (2436, 363636 · · · ) − (24, 363636) luego 9900 × 0, 24363636 · · · = 2436 − 24 ósea 0, 24363636 · · · = (2436 − 24)/9900

2412 9900 En general, dada la expresi´on decimal infinita peri´odica mixta: 0, 24363636 · · · =

a = 0, a1 a2 a2 · · · an

b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · bk · · ·

Esta expresi´on decimal se escribe m´as brevemente: a = 0, a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk 10n+k a = a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk , b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · b1 b2 b3 · · · bk de donde restando ambas expresiones, se obtiene (10n+k − 10n )a = a1 a2 a3 · · · an a1 a2 a3 · · · bk − a1 a2 a3 · · · an es decir a= siendo el denominador igual a

a1 a2 · · · an b1 b2 · · · − a1 a2 · · · an 10n+k − 10n

10n+k − 10n = |99 ·{z · · 99} 00 · · 00} | ·{z k−veces

n−veces

La expresión u ´ ltima de a da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la generatriz de una expresión decimal infinita periódica mixta: la fracción generatriz tiene numerador de la forma a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk − a1 a2 a3 · · · an y su denominador es un n´ umero cuyas cifras tiene tantas veces nueve como d´ıgitos tiene la parte periódica y tantos ceros como d´ıgitos tiene la parte no periódica. 133

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Ejemplo 2.14. Dada la expresión decimal q = 25378787878 . . . (el per´ıodo es 78) Entonces 1000q = 4253,787878 . . . 100 000 = 425378,787878 . . . Luego 100 000q − 1000q = 425378 − 4253. O sea 99000q = 421125, de donde q = 421125 . 99000 Observaci´ on 2.4. Los teoremas 2.32 y 2.33 nos permiten afirmar que a cada numero racional , n 6= 0 le corresponde una u ´ nica expresión decimal infinita (periódica pura de la forma m n o mixta) y rec´ıprocamente que a cada expresión decimal infinita le corresponde un u ´ nico numero racional (la fracción generatriz). Es decir existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto Q de los numeros racionales y el conjunto E de todas las expresiones decimales infinitas periódicas (pura o mixta) en el lenguaje moderno existe una biyección entre estos dos conjuntos. En virtud de este resultado, a partir de este momento, se identificaran los conceptos de numero racional y de expresión decimal infinita periódica (pura o mixta) y, por lo tanto, también se llamara a cada numero racional, expresi´ on decimal infinita.

2.4.3.

Expresiones Decimales Infinitas y N´ umeros “Irracionales”

En la sección anterior los teoremas 1 y 2 nos permiten identificar el conjunto Q de n´ umeros racionales con el conjunto E de las expresiones decimales infinitas peri´ odicas. Observaci´ on 2.5. En la observación 1 se han identificado los n´ umeros racionales con las expresiones decimales infinitas periódicas. Sin embargo, existen otras expresiones decimales infinitas que no son periódicas. Por ejemplo, la expresión decimal infinita 0, 1010010001000010000010000001 . . . formada de la siguiente manera: primero, el entero cero, después de la coma decimal para cada d´ıgito decimal 1, se colocan n ceros siguiendo el n−ésimo 1. Esta expresión decimal es infinita y no periódica. Variaciones de este ejemplo producen muchas otras expresiones decimales infinitas no periódicas. También existen expresiones decimales infinitas no periódicas cuya sucesión de d´ıgitos no puede ser descrita con una simple regla. En general, si consideramos ahora el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no peri´ odicas a0 , a1 a2 . . . an . . . donde a0 es un n´ umero entero y a1 , a2 , . . . , an , . . . son los d´ıgitos decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; y lo denotamos por I obtenemos un nuevo conjunto: Q ∪ I = {exp. dec.infinitas periódicas} ∪ {exp. dec. infinitas no periódicas} 134

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el cual recibe el nombre de conjuntos de numeros reales, que se denota por R y que sera estudiado con detalle en el segundo libro. A estas expresiones decimales infinitas no periódicas, que evidentemente por los teoremas 1 y 2 no son numeros racionales, se les llama numeros irracionales. El conjunto de todas estas expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas es precisamente el conjunto de los numeros reales R, sin embargo esta afirmación no la podemos tomar como la definición de R pues habr´ıa necesidad de definir relaciones como la igualdad, orden y operaciones como la de adición y multiplicación para expresiones decimales infinitas. Ejemplos de n´ umeros que no son racionales: 1. Dado la expresión decimal infinita 1,121221222122221. . . se deduce intuitivamente que esta es una expresión decimal infinita no periódica y en consecuencia por la observación anterior, no representa un n´ umero racional. √ umero racional. 2. 2 no es un n´ Antes de probar formalmente la afirmación anterior, recordaremos que un numero natural o un numero entero positivo a es par si, y solo si, es de la forma a = 2n, donde n ∈ N = Z+ 0. + Y b es impar si, y solo si, es de la forma b = 2n + 1, donde n ∈ N = Z0 . √ Supongamos ahora que exista r ∈ Q, tal que r = 2, entonces r 2 = 2. Como r se puede escribir como una fracción irreducible, es decir, r = pq donde p y q son primos entre si, reemplazando, 2

se tiene pq2 o p2 = 2q 2 , es decir, p2 es par. Esto implica que p es par; puesto que si p fuera impar, o sea, p = 2n + 1, se tendr´ıa que p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1, es decir p2 resultar´ıa impar, lo que es una contradicción. En consecuencia, p es par, o sea p = 2k, para alg´ un k ∈ Z de donde p2 = (2k)2 = 2q 2 , o sea q 2 = 2k 2 , lo que implica que q 2 es 2k par y también q, o sea q = 2k ′ y en consecuencia r = 2k on. Esta ′ , lo que es una contradicci´ √ √ contradicción viene de suponer que r = 2 es un numero racional. Por lo tanto 2 no es un numero racional. El resultado anterior se conoció en la antig¨ uedad como el Dilema de Pitágoras, debido a que si se aplicaba el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo isosceles cuyos catetos ten´ıan √ longitud 1, resultaba que la hipotenusa tenia longitud 2 que no era un numero racional. Este hecho obligo a que se creara un nuevo tipo de numero llamado irracional. Ejemplo 2.15. (a) ¿Qué valor debe ser a˜ nadido al numerador y al denominador de las fracciones que las fracciones resultantes sean iguales?

135

2 3

20 23

para

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Soluci´ on. Sea dicho valor x. Luego: 2+x 20 + x = 3+x 23 + x x2 + 25x + 46 = x2 + 23x + 60 2x = 14 x = 7 (b) Brenda y Bruno ten´ıan cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de vacaciones. Brenda gastó 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda y el resto lo ahorró. Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Brenda. Si Bruno ahorró 156 soles. ¿Cuántos soles gastó Bruno la segunda semana? Soluci´ on. Sabemos que Bruno ahorró 156 soles y que Bruno ahorró el doble de lo que ahorró Brenda. Por lo tanto, Brenda ahorró 156/2=78 soles. Pero, Brenda gastó 1/3 y 1/2 de lo que ten´ıa inicialmente en dichas dos semanas. Entonces como: 5 1 1 + = 2 3 6 Concluimos que Brenda ahorró 1/6 de lo que ten´ıa. Pero como Brenda ahorró 78 soles, entonces el dinero que ten´ıa inicialmente Brenda fue 78 × 6 = 468 soles. Bruno también ten´ıa inicialmente 468 soles. Como la primera semana gastó 1/4 de dicho dinero y al final ahorró 156, entonces la segunda semana gastó: 1 468 − · 468 + 156 = 195 soles. 4 (c) ¿Cómo se hallar´ıa todas las cifras decimales del per´ıodo de 1/23 haciendo uso de una calculadora? Seguramente el per´ıodo no se puede observar cuando se hace la división 1 entre 23, debido a que la calculadora sólo muestra 8 ó 10 d´ıgitos decimales. Sin embargo se puede usar ingeniosamente la calculadora y, sin necesidad de realizar la división, se puede calcular todas las cifras decimales del per´ıodo de dicha fracción. Soluci´ on. Supongamos que tenemos una calculadora que nos muestra a lo más ocho cifras decimales. Luego, al dividir 1/23 obtenemos: 1 = 0,04347826 23

(1)

Pero, nosotros sabemos que realmente: 1 = 23 · (0,04347826) + x

(2)

Si nosotros escribimos en la calculadora la operaci´on 23×0, 04347826 se obtiene: 0,99999998 Reemplazando en (2): x = 1 − 0,99999998 o sea x = 0,00000002. 136

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Por lo tanto, si queremos ver los siguientes d´ıgitos del desarrollo de 1/23, tomaremos los d´ıgitos de dividir 2/23, pues son los mismos d´ıgitos que se obtendr´ıan si se realiza la divisi´on 0,00000002 entre 23. Digitamos en la calculadora: 2/23: 2 = 0, 08695652 23 Si a˜ nadimos estas nuevas cifras decimales a la expresi´on (1), tenemos: 1 = 0, 0434782608695652 23

(3)

(4)

De (3): 2 = 23 × 0, 08695652 Si escribimos en la calculadora 23 × 0, 08695652 obtenemos: 1,99999996. En forma similar a (2), podemos escribir: 2 = 23 × 0, 08695652 + 0, 00000004 Entonces, los siguientes d´ıgitos del desarrollo de 1/23 son los mismos de dividir 4 entre 23. Con la calculadora: 4 = 0, 17391304 (5) 23 Si aumentamos estos nuevos d´ıgitos a (4): 1 = 0, 043478260869565217391304 23 Podemos apreciar que ya los d´ıgitos se est´an comenzando a repetir, a partir del 04. Por lo tanto, el desarrollo de 1/23 es el decimal peri´odico puro siguiente: 1 = 0, 0434782608695652173913 23

2.4.4.

Aplicaciones de las propiedades de los N´ umeros Racionales

Razones y proporciones: Antes de entrar al tema recordaremos que todo numero racional r es el cociente de dos enteros y, por lo tanto, puede escribirse r = ab donde b 6= 0. El cociente b a recibe también el nombre de fracción. En lo que sigue cuando escribamos fracciones ab , dc , m , . . . aceptaremos impl´ıcitamente n que los denominadores son diferentes de cero, es decir b 6= 0, d 6= 0, n 6= 0. Definici´ on 2.18. La razón geométrica o simplemente razón de un numero racional a con respecto a un numero racional b, (b 6= 0), es el cociente ab . Si a, b, c y d, son n´ umeros racionales diferentes de cero, se dice que las razones ab y dc , están en proporción si, y sólo si, ab = dc . De la definición se sigue que una proporción es la igualdad de dos razones. La igualdad anterior se expresa diciendo “a y b están en razón de c a d” o simplemente “a es a b como c es a d”. Los n´ umeros a, b, c y d se llaman términos de la proporción. Una denominación especial para los términos de una proporción es la siguiente: 137

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Antecedentes: T´ erminos extremos:

. ayc ayc

Consecuentes: T´ erminos medios:

byd byc

Recordemos las propiedades de las proporciones enunciadas en el siguiente: Teorema 2.57. Si a, b, c y d son n´ umeros racionales con b 6= 0, d 6= 0 , se tiene = dc si y sólo si, ad = bc Es decir, en toda proporción el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.   a+b = c+d a c 2. ab = dc ⇒  a−b = c−d a, c 6= 0

a b

c d

⇒

a+b a−b

c+d c−d

a b

c d

⇒

a±c b±d

a b

c d

⇒

a+c a−c

b+d b−d

c d

Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de cociente de dos n´ umeros racionales y de las propiedades conocidas de las operaciones con n´ umeros racionales. Observaci´ on 2.6. Para resolver ejercicios de aplicación, algunas veces, es necesario generalizar el concepto de proporción considerando sucesiones finitas de razones iguales de la forma: a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn

138

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Teorema 2.58 (Propiedades). 1. Si

a1 b1

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces

a1 + a2 + · · · + an a1 = , b1 + b2 + · · · + bn b1

para todo i = 1, 2, . . . , n.

Es decir, en toda sucesi´on finita de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como un antecedente es a su respectivo consecuente. 2. Si

a1 b1

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces: a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn a1 = , b1 s1 + b2 s2 + · · · + bn sn b1

para todo i = 1, 2, . . . , n 3.

a1 b1

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces a1 a2 · · · an (a1 )n = b1 b2 · · · bn (b1 )n

4. Si

a1 b1

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces

para todo i = 1, 2, . . . , k

√ n an1 + an2 + · · · + ank a1 p = , n n n n b1 b1 + b2 + · · · + bk

Demostración. A manera de ilustración probaremos la parte (2) del Teorema 1.6. Sean ab11 = ab22 = · · · = abnn . Entonces a1 s1 a2 s2 an sn = = ··· = , b1 s1 b2 s2 bn sn para todo i = 1, 2, . . . , n, si 6= 0 Luego aplicando (1) tenemos, a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn a1 = , b1 s1 + b2 s2 + · · · + bn sn b1 para todo i = 1, 2, . . . , n. Ejemplo 2.16. Al comienzo de una fiesta, se observó que por cada 5 mujeres hab´ıa 9 hombres. Luego de tres horas, se retiraron 4 mujeres y 8 hombres, quedando en la reunión 7 hombres por cada 4 mujeres. ¿Cuántas mujeres hab´ıa al momento que comenzó la fiesta? Soluci´ on. Sean: 139

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m = n´ umero de mujeres n = n´ umero de hombres Al comenzar la fiesta:

m h = 5 9

de donde m = 5k y h = 9k. Como se retiran 4 mujeres y 8 hombres, quedan mujeres: 5k − 4 hombres: 9k − 8 De donde:

9k − 8 7 = 5k − 4 4

lo que implica: k = 4. Luego, inicialmente hab´ıan m = 5k = 20 mujeres.

Ejemplo 2.17. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa aportando 7920 soles, 9240 soles y 10560 soles, respectivamente. Después de un tiempo se liquidó la empresa. Si el socio que recibió un total de 16560 soles obtuvo la mayor ganancia, ¿cuánto ganó el socio que obtuvo la menor ganancia? Soluci´ on. Es claro que hay ganancia en la empresa y que cada socio obtiene una ganancia cuyo monto está en razón directa al monto del capital aportado, es decir, el que aporta mayor capital obtiene mayor ganancia. Sean A, B y C los socios que aportan de menor a mayor capital Capital aportado 7920 9240 10560 Ganancia obtenida x y 6000 y x 6000 = = 10560 Se tiene entonces: 7920 9240 6000 de donde x = 10560 · 7920 = 4500. Luego, el socio que obtuvo la menor ganancia, ganó 4500 soles.

2.4.5.

Aplicaciones de las razones y proporciones

Regla de Tres Simple Es un método que se usa para resolver problemas en los cuales intervienen tres variables conocidas y una desconocida, estableciéndose una proporción entre las cuatro variables de acuerdo con las condiciones de cada problema. Se dice que las variables a y b son directamente proporcionales si, y s´ olo si, existe k > 0, tal que la raz´ on ab = k, es decir, a = kb. 140

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En particular, si la variable a toma los valores a1 , a2 , . . . , an y la variable b toma los valores b1 , b2 , . . . , bn , se tiene que la sucesión finita de razones ab11 , ab22 , . . . , abnn son iguales a la constante k; es decir, a1 a2 an = = ··· = =k b1 b2 bn Por ejemplo: La longitud l y el costo c de un alambre: c = kl. A mayor longitud, mayor costo. El peso p y el costo c de un producto alimenticio. A menor peso menor costo. El área a de un terreno y su costo c. A mayor área mayor costo. Se dice que dos variables a y b son inversamente proporcionales si, y sólo si, las variables a y 1b son directamente proporcionales; es decir, si existe k > 0 tal que a = k 1b = kb o también ab = k. Es decir, si los valores de a son cada vez mayores (aumentan), los valores de b disminuyen, y rec´ıprocamente, si los valores de a disminuyen, los valores de b aumentan. Obviamente los valores de a y b son diferentes de cero. As´ı, si se tienen dos pares de valores de a y b, Variable

a b ↓ a1 ↑ b1 ↓ a2 ↑ b2

entonces a1 · b1 = k, a2 · b2 = k Por lo tanto a1 · b1 = a2 · b2 a1 b2 = , que también se escribe: a2 b1 Por ejemplo: La velocidad v y el tiempo t en recorrer la distancia d entre 2 ciudades: d = vt. O también, t = v1 d. En este caso, a menor velocidad, mayor tiempo o a mayor velocidad menor tiempo. El tiempo t y el n´ umero n de obreros para efectuar una pared: tn = k. Cuando se presenta un problema de este tipo, se debe tener en cuenta que las condiciones del problema estén de acuerdo con la realidad; por ejemplo si 10 obreros, hacen una pared en 40 horas, ser´ıa incorrecto preguntar en cuántas horas lo harán 400 obreros, pues la respuesta ser´ıa una hora lo cual es imposible en la realidad. Las longitudes de los lados de un rectángulo de área dada. Considerando lo dicho anteriormente, la regla de tres simple, puede ser directa o inversa. La regla de tres simple es directa si intervienen variables directamente proporcionales y es inversa si intervienen variables inversamente proporcionales. A continuación veamos dos ejemplos, uno de aplicación de la regla de tres simple directa y otro de aplicación de la regla de tres simple inversa. Ejemplo 2.18. Si un ca˜ no puede llenar un cilindro de 150 litros de capacidad en 30 minutos. ¿Cuántos litros llenará en 12 minutos?

141

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Soluci´ on. Variables:

litros 150 l xl

tiempo 30′ 12′

Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en cuenta que en más tiempo se llenan más litros, la proporción de variables directamente proporcionales: 150 30 = 12 x 150×12 de donde resulta x = 30 = 60. Es decir, en 12 minutos se llenan 60 litros. Este es un ejemplo de aplicación de la regla de tres simple directa. Ejemplo 2.19. Si un ca˜ no puede llenar 150 litros de un tanque en 30 minutos y otro ca˜ no los mismos 150 litros en 50 minutos. ¿Qué capacidad tiene el tanque que es llenado por ambos ca˜ nos en 4 horas y 15 minutos? = 30 Soluci´ on. Las condiciones del problema dan origen a las siguientes proporciones: 150 x 1 50 y 150 = . Que nos permitir´ a n averiguar cu´ a ntos litros del tanque se llenan con cada ca˜ n o y 1 en un minuto, lo que da el siguiente resultado: El primer ca˜ no llena en 1 minuto 5 litros y el segundo ca˜ no, 3 litros. Abriendo los dos ca˜ nos, al mismo tiempo, en un minuto se llenan 8 litros: Variables: tiempo litros ′ 1 8 ′ 4h15 z Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en cuenta que en más tiempo se llenan más litros, una nueva proporción de variables directamente proporcionales: z 255 = 8 1 De donde z = (255)(8) = 2040 Luego, la capacidad del tanque es de 2 040 litros. Ejemplo 2.20. Para la construcción de un edificio se contratan a 10 obreros, que deben terminar la obra en 90 d´ıas. Si después de 18 d´ıas de iniciada la obra, se aumenta el n´ umero de obreros, con el objeto de concluir la obra 24 d´ıas antes de lo previsto. ¿Cuántos nuevos obreros se contrataron? Soluci´ on. Habiendo trabajado regularmente durante los primeros 18 d´ıas, plantearemos el problema en función de los d´ıas que faltan para terminar la obra; es decir en 90 − 18 = 72

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d´ıas: Se tiene entonces la siguiente tabla: Variables:

obreros 10 (10 + x)

dias 72 48

Que da origen a la siguiente proporción en la que intervienen variables inversamente proporcionales (a más obreros, menos d´ıas). 10 48 = 10 + x 72 Por ser variables inversamente proporcionales. De donde (10)(72) = (48)(10 + x), lo que implica que 720 − 10 = 15 − 10 = 5 48 Luego, para concluir la obra, 24 d´ıas antes, se deben contratar 5 obreros más. x=

Tanto por ciento El tanto por ciento es un caso particular de aplicación de la regla de tres simple directa como se ve a continuación. Sean a y b, variables directamente proporcionales, entonces existe k > 0 tal que a = kb. Si r r ; es decir, si a = 100 b, se dice que que a es el r por ciento de b, y se en esta igualdad, k = 100 escribe a = r %(b). r r La igualdad a = 100 b da lugar a la proporción ab = 100 b que incluye variables directamente proporcionales en el que uno de términos es 100 Ejemplo 2.21. Una clase de 25 alumnos está compuesta de 11 ni˜ nas y 14 ni˜ nos. La razón del n´ umero de ni˜ nas al n´ umero de alumnos de la clase puede expresarse de varias formas. Por ejemplo, la proporción del n´ umero de ni˜ nas respecto del total es 22 33 44 55 66 11 = = = = = 25 50 75 100 125 150 Si quisiéramos indicar el porcentaje de ni˜ nas de la clase, bastará considerar la proporción 11 44 = 100 o equivalentemente 11 = 44 %(25) y que significa que el 44 % del total de alumnos 25 de la clase, son ni˜ nas. 56 Análogamente se determina que la proporción entre el n´ umero de ni˜ nos es 14 = 100 esto es, 25 el 56 % del total de alumnos son ni˜ nos. 11 44 56 Si sumamos las proporciones 25 = 100 y 14 = 100 se obtiene que 25 = 100 ; es decir, 25 = 25 25 100 100 %(25). En general el 100 %(n) = n. Todo n´ umero racional ab puede ser expresado como el tanto por ciento de cualquier n´ umero c. Basta poner a c 1 = =c· = c% b 100 100 143

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Problemas Resueltos Problema 2.20. Dos trenes marchan en sentidos contrarios y sobre v´ıas paralelas con velocidades de 18 y 24km/h respectivamente. Un observador colocado en el segundo tren calculo que el primero demoro en pasar 12s ¿Cual es la longitud de este u ´ ltimo tren? Soluci´ on. Tenemos que la velocidad, con la cual se desplaza el primero con respecto al segundo, es: 18 + 24 = 42km/h Ahora como el observador calcula que el primero demor´o en pasar 12s, entonces en este tiempo el primero tren recorri´o su propia longitud, luego: Si en 1h = 3600s recorre 42km = 42000m 12s recorre x ⇒x=

12 × 42000 = 140m 3600

Problema 2.21. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros de alcohol. ¿Cuantos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25 %? Soluci´ on. Si en 30 litros de una solución contienen 12 litros de alcohol, entonces decimos que es una solución al: 12 × 100 % = 40 % 30 Ahora si la solución de 30 litros se encuentra al 40 % para diluirla habrá que agregar mas litros de agua ; es decir: ) 301 − − − 40 % 40 % × 301 ⇒x= = 481 25 % x − − − 25 % Es decir para que la solución sea al 25 % habrá que agregar: (48 − 30) = 181 de agua. Problema 2.22. Se tiene 2 toneles de 20 y 30 litros de vino de diferente calidad. Se saca de uno la misma cantidad, y se echa en el primero lo que se saco del segundo y, rec´ıprocamente ¿Que cantidad ha pasado de un deposito al otro, si el contenido de los dos toneles ha resultado de la misma calidad? Soluci´ on. Tenemos que en 50 litros de mezcla, se ha combinado 20 litros del primer tonel y 30 litros del segundo, luego en 20 litros de la mezcla habrán x litros del segundo tonel. As´ı: ) 501 − − − 301 20 × 30 = 12 litros ⇒x= 50 201 − − − x Luego, en el primer deposito hay 12 litros del segundo y rec´ıprocamente. Problema 2.23. Un ca˜ no llena la p−ésima parte de un tanque en n−horas, un desag¨ ue desocupa la q−ésima parte del mismo tanque en , −horas. ¿Cuanto demorará en llenar el tanque, si se abren ambos dispositivos en forma simultanea? 144

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Soluci´ on. Denotemos por T el tanque: la p−ésima parte será T /p Por lo tanto el ca˜ no llenara el tanque en np horas, y en una hora llenará T /pn. Análogamente el desag¨ ue vaciará el tanque en mq horas, y en una hora vaciará T /mq Ahora, cuando se abren simultáneamente ambos dispositivos, lo que quedará en el tanque después de una hora es: T T mq − np − = T np mq nmpq Por lo tanto el tanque se llenará en

mnpq mq−np

horas.

Problema 2.24. tres obreros A, B y C trabajan en cierta obra. El propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificación de 52 dólares para repartirla entre los que trabajan. En la quincena que trabajan A y B, corresponde a A los 3/4 de la gratificación y a B del resto. En la quincena que trabajan B y C, el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto. Determinar la cantidad que debe recibir B en la quincena que trabajan los tres. Soluci´ on. En la quincena que trabajan A y B, tenemos: ) A: Le corresponde 34 de la gratificación A 3 entonces : = 1 B 1 B: Le corresponde 4 de la gratificación

(1)

En la quincena que trabajan B y C ocurre: B: Le corresponde C: Le corresponde

3 4 1 4

de la gratificaci´on de la gratificaci´on

)

entonces :

B 3 = C 1

(2)

De (1) y (2) tenemos que: A9 = B3 = 1c En la quincena que trabajan los tres juntos, la cantidad que recibe B es: 3 (52) = 12 dólares 13 Problema 2.25. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se denominará “nuevo minuto”, cada “nueva hora.estará constituido por 100 “nuevos minutos”¿Que hora indicará el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 horas 48 minutos? Soluci´ on. Si 1 “hora nueva” equivale a 100 “nuevos minutos”, entonces 1500 “nuevos minutos” equivale a 15 “nuevas horas”. Ahora como 15 “horas nuevas” equivalen a 12 “horas normales” entonces en 3 “horas normales”hay 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”. También 1 “hora nueva” equivale a 4/5 “horas normales”, luego 48 “minutos normales” equivalen a 1 “hora nueva”. Entonces cuando el reloj marque los 3h48m, el nuevo reloj indicará 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”mas 1 “hora nueva”, es decir indicará 4h75min

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Problema 2.26. Si el precio de un articulo aumenta en un porcentaje p, y se quieren mantener los mismo ingresos, el porcentaje m de disminuci´on de las ventas no deber´a exceder de: Soluci´ on. Como el precio aumenta en p, entonces los ingresos ahora son 1 + p. Este ingreso 1 + p corresponde al 100 % las antiguas ventas. Ahora como el ingreso se quiere mantener en 1, para lo cual las ventas deben disminuir a 1 − n, tendremos que ) 1 + p − − − 100 % 1 × 100 % ⇒ 1−n= ⇒ 1 + p = n(1 + p) = 100 % = 1 1+p 1 −−− 1−n ⇒ p = n(1 + p) ⇒ n =

p 1+p

Problema 2.27. un libro se vende regularmente el r por 100 del precio de costo, pero un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por 100. Si el vendedor no gan´o ni perdi´o, ¿Cuanto le rebajaron al estudiante? Soluci´ on. Sea C el precio de costo, el estudiante compra el libro a: (100 + r) % de C − p %(100 + r) % de C = C (ya que no se gana ni pierde) (100 + r) % − p %(100 + r) % = 1 = 100 % ⇒ (100 + r) − p %(100 + r) = 100 100 100 − p = ⇒ 100 100 + r 100 × 100 100r 1 p = 100 − ⇒p= = 100 + r 100 + r 0, 01 + 1/r

(100 + r)(100 − p) %0100 ⇒

Problema 2.28. A le encarga a B vender un objeto y B le encarga a su vez a C, quien logra la venta en 20000 soles. C entrega a B una cantidad quedándose con un porcentaje (comisión) del valor de la venta, a su vez B retiene un porcentaje(comisión) de lo que le entrego a C. ¿Cuanto le correspondió a C y a B, si este ultimo le entrego a A 17100 soles y el porcentaje de la comisión de C fue el doble que la de B? Soluci´ on. Si r % es el porcentaje de comisión de B, entonces 2r % será el porcentaje de C. Luego A recibió, [20000 − 2r %(20000)] − r %[20000 − 2r %(20000)] = (100 − r) %[20000 − 2r %(20000)] = (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) Entonces, (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) = 17100 ⇒ 100 − r 100 − 2r × × 20000 = 17100 ⇒ 100 100 (100 − r)(100 − 2r) = 8550 ⇒ r 2 − 150r + 725 = 0 ⇒ r1 = 145, r2 = 5 De estos 2 valores nos quedamos con r = 5 % (ya que r ≤ 100 %) Entonces la comisión de C es: 2(5 %)(20000) = 2000 y la de B es 5 %(20000 − 2000) = 900 146

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Problema 2.29. En una batalla han participado 4000 hombres. De los sobrevivientes se sabe b % no fuma y el 56.756 d % no bebe ¿Cuantos han muerto en la batalla? que el 56.56 Soluci´ on. Sabemos que:

y que:

b 5656 − 56 56.56 99

d 56756 − 756 56.756 999

5600 56 %= 99 99

56000 21 %= 999 37 0

El enunciado se deduce que el numero de sobrevivientes es 99 y 37, luego el m´ ultiplo del: 0

MCM(99, 37) = 3663 Y como el total de hombres es 4000, entonces los sobrevivientes son 3663 y los muertos son: 4000 − 3663 = 337

Actividades 1. Compro igual n´ umero de caballos y cerdos por $540.18. Cada caballo cuesta $56.40 y cada cerdo $33.63. ¿Cuántos caballos y cerdos he comprado en total? Rpta. 6 caballos y 6 cerdos, 12 en total. 2. Un depósito se puede llenar por dos ca˜ ner´ıas. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el estanque, si estando vac´ıo, se abren al mismo tiempo las dos ca˜ ner´ıas, sabiendo que su capacidad es de 425.43 litros? Rpta. 29 minutos 3. Un avicultor compra 6 gallinas y 8 gallos por $8.46. Más tarde a los mismos precios, compra 7 gallinas y 8 gallos por $8.91. Hallar el precio de una gallina y de un gallo? Rpta. Una gallina, $0.45; un gallo, $0.72 4. Una constructora contrata un obrero por 36 d´ıas y como no tiene trabajo para todos los d´ıas le ofrece $1.25 por cada d´ıa que trabaje y $0.50 por cada d´ıa que no trabaje. Al cabo de los 36 d´ıas el obrero ha recibido $30. ¿Cuántos d´ıas trabajó y cuántos no trabajó? Rpta. Trabajó 16 d´ıas; no trabajó 20 d´ıas 5. Se compra cierto numero de libros y se paga S/.609 por cada 84 libros que se compra y luego se venden todos cobrando S/.369 por cada 60 libros. Si ha habido en la venta una perdida de S/.110. ¿Cuantos libros se han comprado? Rpta. 100 libros Pruebe que 2n+5 es irreducible, ∀ n ≥ 1. 3n+2 147

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6. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 d´ıas. ¿En cuántos d´ıas, 100 hombres cuya eficiencia es 50 % más que los primeros, podrán cavar una zanja de 1200 m3 cuya dureza del terreno es 3 veces la anterior? Rpta. 90 7. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 d´ıas. ¿En cuántos d´ıas realizarán el mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres; sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3 del trabajo que realiza un hombre? Rpta. 44 8. Transportar 26 vacas de 850 kg. c/u a una distancia de 700 km. ha costado S/.3500. ¿Qué distancia se habrán transportado 65 vacas de 800 kg. cada una costando el transporte S/. 17000? Rpta. 1445 km. 9. Doce obreros pueden realizar una obra en “n” d´ıas. Si después de haber realizado la mitad de la obra, 8 de los obreros aumentan su rendimiento en un 25 % con lo cual el tiempo total de trabajo fue de 13 d´ıas. Calcular “n”. Rpta. 14 10. Una guarnición de 2250 hombres tiene provisiones para 70 d´ıas. Al terminar el d´ıa 29 se retiran 200 hombres. ¿Cuánto tiempo durarán las provisiones que quedan para el resto de la guarnición? Rpta. 45 d´ıas 11. Si 18 obreros pueden hacer una obra en 37 d´ıas. ¿Cuántos obreros trabajan el u ´ ltimo d´ıa, si el primer d´ıa se empieza con un obrero, el segundo d´ıa con dos, el tercero con tres y as´ı sucesivamente hasta concluir la obra? Rpta. 36 12. Cuatro hombres y una mujer realizan un trabajo en 24 d´ıas. Si se aumenta un hombre y una mujer entonces realizan el mismo trabajo en 18 d´ıas. ¿En cuántos d´ıas har´ıan el trabajo los 4 hombres solos? Rpta. 27 13. Manuel puede hacer un trabajo en 15 horas, mientras que Victor lo har´ıa en 10 horas. Manuel, Victor y Ra´ ul juntos pueden realizar el mismo trabajo en 4 horas. Los tres juntos inician el trabajo y al realizar 1/4 del mismo, Manuel y V´ıctor se retiran. ¿Cuánto tiempo le tomará a Ra´ ul terminar dicho trabajo? Rpta. 9

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El u ´ ltimo teorema de Fermat El secreto de un antiguo problema matem´ atico La teor´ıa de n´ umeros es una de las ramas mas viejas de las matemáticas. Los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides están dedicados a ella. Euclides vivió alrededor del a˜ no 300 a.C. y la obra antes citada, cuyo estilo de presentación influyo en las matemáticas durante mas de 2000 a˜ nos, ha llegado hasta nosotros gracias a las copias que de ella hicieron los árabes y que después trajeron a Europa a través de Espa˜ na. El libro V II comienza definiendo los numeros pares, los impares, los primos, los compuestos, los planos (su descomposición en primos Pierre Fermat tiene dos factores), los solidos (su descomposición en primos tienes tres factores), y los numeros perfectos (los que la suma de sus divisores menores que el da como resultado el numero: por ejemplo 6 = 1 + 2 + 3). Para Euclides los numeros se asociaban con segmentos, y as´ı un numero con segmento AB divide a otro con segmento CD si este ultimo puede medirse con la medida AB . En el libro V II aparece también el algoritmo que hemos descrito para calcular el máximo com´ un divisor de dos numeros, as´ı como la propiedad lineal del máximo com´ un divisor. Aunque el libro V III también lo dedicara Euclides a los numeros, no aparecen en el resultados muy sabroso. sin embargo en el libro IX aparecen algunos resultados brillantes. la proposición 20 dice lo numeros primos son mas que cualquier multitud de ellos lo que demuestra que hay infinidad de estos. El siguiente momento conocido de brillantez matemática se produjo varios siglos después. Alrededor Karl Friedrich Gauss del a˜ no 300 d.C. y en pleno periodo alejandrino, Diofanto escribió una obra de 13 libros titulada Aritmética, de las que se conservan 6. En ellos aparece por primera vez la notación simbólica par describir incógnitas y las expresiones polinómicas. En sus libros, Diofanto se preocupa por encontrar las soluciones de una colección de 150 problemas, sin que en su exposición aparezca postulado. Diofanto no se limita a encontrar soluciones enteras, si no que pueden ser racionales y queda satisfecho con encontrar una solución en lugar de tratar de encontrar todas. He aqu´ı un ejemplo: encontrar dos numeros tales que cuando a uno de ellos se le suma el cuadrado del otro da un cuadrado perfecto. Diofanto procede llamando a los numeros x y 2x + 1 y suponiendo que su suma es un cuadrado de la forma ((2x − 2)2 ), con lo que ya introduce restricciones en el problema, con estas restricciones obtiene la ecuación 3 . (2x + 1)2 + x = (2x − 2)2 que tiene como solución x = 13 ´ Después de Diofanto de Alejandr´ıa, los Arabes mantuvieron vivo el esp´ıritu de la Teor´ıa de numeros , pero fue Pierre de Fermat quien le dio un considerable impulso.

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Pierre de Fermat (1601 - 1665) fue un abogado y magistrado frances para quien la matemática era su pasatiempo favorito. contribuyo al desarrollo de la Teor´ıa de numeros, tuvo influencia en el análisis, como reconocer´ıa Newton 50 a˜ nos mas tarde, manejo la Geometr´ıa Anal´ıtica o de coordenadas, que también fue estudiada por Descartes, y junto con Pascal es considerado el fundador de la Teor´ıa Andrew Wiles de la probabilidad. Pierre de Fermat nunca publico art´ıculos y todos sus descubrimientos y conjeturas han llegado a nosotros por las cartas que escribió a numerosas personas. Uno de estos libros favoritos era “Aritmética”de Diofanto, que Bachet hab´ıa traducido al lat´ın en 1621 y en cuyos márgenes Fermat Hizo numerosas observaciones. Muchas de estas, aunque no todas, eran correctas. El peque˜ no teorema de Fermat, expuesto en este trabajo, es una de las que es correcta, y la primera demostración fue publicada por Leonhard Euler (1707 - 1783) en 1736. 2 Que todos los numeros de la forma 2 n +1 era primo es incorrecta como se encargo de descifrar también Euler. Hay una de las conjeturas cuya veracidad o falsedad tardo unos 350 a˜ nos en ser demostrada; se le conoce con el nombre de El u ´ ltimo Teorema de Fermat. En su copia de la aritmética de Diofanto, y al lado del problema: dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados Pierre de Fermat escribió: “Por otro lado es imposible separar un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general cualquier potencia excepto la cuadrad de dos potencias del mismo exponente. De este hecho he descubierto una demostración maravillosa que este margen no es suficientemente grande para contener”. Si Fermat tenia la demostración nunca se ha encontrado, y numerosos matemáticos han intentado demostrar su afirmación. A pesar de los esfuerzos, de las teor´ıas desarrolladas, y de los numeroso valores de npara los que se ha comprobado el teorema de Fermat estaba en lo cierto. La muy reciente prueba fue anunciada por Andrew Wiles, de la universidad de Princenton y publicada en la revista Annals of Mathematics, bajo el nombre de Modullar elliptic curves and Fermat. A pesar de los numeroso resultados demostrados, la teor´ıa de numeros permaneció durante el siglo XVIII como una serie de resultados sorprendentes pero sin relación entre si. Tuvo que ser Karl friedrich gauss (1777 - 1855) quien sistematizara los resultados conocidos y los desarrollados por el para dar a la teor´ıa de los numeros la entidad matemática que se merec´ıa desde hacia varios siglos. Cuando acababa de cumplir 20 a˜ nos Gauss publico, por su propia cuenta, y después de haber sido rechazado por la academia francesa, un libro titulado Disquisitiones arithmeticae 150

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que se convertir´ıa en el texto de referencia de esta teor´ıa durante todo el siglo XIX. El libro conten´ıa tres ideas importantes: la teor´ıa de las congruencias, que lo veremos en este trabajo, una introducción a los numeros algebraicos y la teor´ıa de las formas para llevar acabo un análisis diofántico de las ecuaciones.1

Dorronsoro. N´ umeros, grupos y anillos.

151

Unidad 3 N´ umeros Reales. Su construcción y aplicaciones Objetivos 1. Definir axiomáticamente el sistema algebraico de los n´ umeros reales. 2. Mostrar la construcción axiomática del sistema algebraico de los n´ umeros reales. 3. Probar las propiedades de los n´ umeros reales. 4. Mostrar las aplicaciones de los modelos financieros. Contextualizando: Analizando los efectos de la luz ultravioleta El ba˜ no de sol constituye un popular pasatiempo. Sin embargo, una exposici´ on excesiva a la luz ultravioleta puede ser causa de da˜ no, tanto en la piel como en los ´ organos de la vista. La luz ultravioleta proveniente del sol es la causante del bronceado de la piel y de las quemaduras de ésta al quedar expuesta a la acción solar. S´ olo cerca de seis por ciento de la radiación solar que llega a la tierra es en forma de luz ultravioleta. A la intensidad de la luz ultravioleta le afecta los cambios estacionales de la capa de ozono, la nubosidad y la hora del d´ıa. La tabla a continuaci´ on muestra la intensidad ultravioleta m´ axima medida en miliwatts por metro cuadrado, para diferentes latitudes y fechas Latitud 0o 10o 20o 30o 40o 50o

21 de marzo 325 311 249 179 99 57

21 de junio 254 275 292 248 199 143

21 de septiembre 325 280 252 182 127 75

152

21 de diciembre 272 220 143 80 34 13

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Si un estudiante de Lima, localizado a 47.5o de latitud pasa sus vacaciones de primavera en Hawai, a 20o de latitud, los rayos solares ultravioleta en Hawai ser´ an aproximadamente 249/57≈ 4.37 veces más intenso que en Lima. En primavera, el sol en Hawai es aproximadamente 249/133≈1.74 veces más fuerte el m´ as intenso sol de Lima en el verano. Puesto que la luz ultravioleta se dispersa a causa de la reflexi´ on, la luz y la sombra no retienen por completo las quemaduras de sol. Una persona sentada a la sombra puede recibir cuarenta por ciento de la luz ultravioleta que se produce en un ´ area determinada por el sol. Las nubes poco densas transmiten el ochenta por ciento de la luz ultravioleta, en tanto que una persona que nada a 1 1/2 pies por debajo de la superficie del agua también recibe el ochenta por ciento de la luz ultravioleta. De modo que, a´ un sentado a la sombra, nuestro estudiante de Lima sentirá más intenso el sol en Hawai. Los n´ umeros reales son necesarios para cuantificar el efecto de la luz ultravioleta en los seres humanos y, por otra parte, las cantidades se describen mediante distintos tipos de n´ umero, como los n´ umeros cardinales, los decimales, las fracciones y los porcentajes. Esta unidad presenta los n´ umeros que son esenciales en la descripci´ on de fen´ omenos reales.

´ DESARROLLO TEMATICO

El progreso y el perfeccionamiento de la matemática están ´ıntimamente ligados a la prosperidad del Estado. ń I Napoleo

3.1.

Sesi´ on 11: Definici´ on axiom´ atica de R. Orden en R. Radicaci´ on Contextualizando: Oferta y demanda

La cantidad de un producto que la gente est´ a comprando voluntariamente durante alg´ un periodo depende de su precio. Por lo general, a mayor precio la demanda es menor, a menor precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de un producto que un proveedor está vendiendo voluntariamente durante alg´ un periodo también depende del precio. Por o general un proveedor estará abasteciendo m´ as de un producto a precios altos y menos de un producto a precio bajos. El modelo mas simple de proveedor y demanda es un modelo lineal. Suponga que está interesado en el análisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en particular. Usando técnicas especiales de an´ alisis (an´ alisis de regresi´ on) y recolecci´ on de datos un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-demanda y de precio-abasteciemiento: p = −0,3q + 5 p = 0,06q + 0,68

Ecuaci´ on de demanda(consumidor) Ecuaci´ on de abastecimiento(proveedor) 153

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donde q representa la cantidad en miles de libras y p representa el precio en d´ olares. Por ejemplo, se puede observar que los consumidores compran 11 miles de libras (q = 11) cuando el precio es p = −0,3(11) + 5 = $1,70 por libra. Por otra parte, los proveedores estar´ an abasteciendo voluntariamente 17 mil libras de cerezas a $1,70 (resuelva 1,7 = 0,06q + 0,68para q). Es decir, a $1,70 por libra de cerezas que los proveedores est´ an abasteciendo voluntariamente, los consumidores están comprando voluntariamente mayor n´ umero de las que se ofertar. El abastecimiento excede a la demanda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajar´ a.¿A que precio por d´ıa se estabilizarán?. Es decir¿Cual deber´ a ser el precio para que el abastecimiento sea igual a la demanda?. Este precio, se llama precio de equilibrio, y la cantidad vendida a este precio se llama cantidad de equilibrio.¿Que hacer para encontrar estas cantidades?. Se resuelva el sistema lineal. Es dif´ıcil precisar cuando, y donde, aparecen los numeros reales por vez primera. La teor´ıa de las magnitudes de Eudoxio, expuesta en el libro V de los elementos de Euclides, pueden considerarse un texto acerca de los numeros reales no negativos. Para la mayor parte de los matem´ aticos griegos exist´ıan aquellas magnitudes (en particular, longitudes) que pod´ıan representarse mediante la regla √ y el comp´ as, como r, con r ∈ Q+ . Para la escuela pitag´ orica, ni siquiera eso: solo admit´ıan aquellas magnitudes que pod´ıan ser construidas mediante la regla y el cartab´ on, es decir, los numeros racionales. Como puede verse, la aritmética (antecedente del algebra) y la geometr´ıa aparec´ıan indisolublemente unidas en aquella época.

A x O

B r

√ Figura 3.1: Construcción de r: El punto medio del segmento de extremos O y B(r, 0) se toma como centro de la circunferencia, C con la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por Q(0, 1); por ser semejantes los triángulos AQB Y BAO (ángulos iguales) los lados correspondientes son proporcionales, por lo que, llamando x a la longitud del lado AO, se tiene x1 = xr , es decir, x2 = r.

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A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidad de fundamentar rigurosamente su disciplina, introduciendo el cuerpo de los numeros reales a partir del cuerpo de los racionales. Hacia 1870 ya se conoc´ıan tres caminos que permiten efectuar dicha construcci´ on: 1. Identificar los numeros reales con los ddesarrollos decimales infinitos, eliminando los terminados en una sucesi´ on de nueves ( periodo 9)para evitar la doble representaci´ on de los P∞ −n racionales decimales (periodo 0). Pueden escribirse en la forma a0 + n=1 an 10 con a0 ∈ Z, ai ∈ 0, 1, 2, . . . , 8, 9 para i ∈ N 2. Recurrir las llamadas cortaduras en Q, que son particiones de dicho conjunto en dos subconjuntos takes que todos los elementos del primero de ellos son menores que todos los elementos del segundo (camino seguido por Dedekind). 3. Considerar ( como hicieron Cantor y Meray) el anillo cociente de cierto anillo de sucesiones de numeros racionales, cuyos elementos se llamaran sucesiones regulares, por un ideal adecuado del mismo.1

3.1.1.

Definici´ on axiom´ atica de R

En los tres cap´ıtulos anteriores hemos presentado los Sistemas de los Numeros Naturales U, de los Numeros Enteros Z y de los Numeros Racionales Q de manera que haciendo identificación N ⊂ Z ⊂ Q. Sabemos también que en Q la Adición, Sustracción y Multiplicación son operaciones internas; es decir, dados los numeros racionales a y b, la suma a + b, la diferencia a − b y el producto ab asimismo, el cociente a/b (b 6= 0) es un numero racional. O equivalentemente, siempre es posible resolver ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a 6= 0 y b son numeros racionales. Sin embargo no siempre es posible resolver ecuaciones aparentemente sencillas, como por ejemplo x2 = 2, que aparece naturalmente cuando se aplica el Teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen como longitud 1, resulta que la longitud de la hipotenusa es 2 que no es numero racional como ya se probo en el capitulo anterior. Por otra parte, en el mismo cap´ıtulo, se ha hecho notar que existe una correspondencia biun´ıvoca o biyección entre el conjunto Q y el conjunto E de todas las expresiones decimales infinitas periódicas, la que permite identificar los conceptos de n´ umero racional y de expresi´ on decimal infinita peri´ odica. Obviamente existen expresiones decimales infinitas no periódicas, por ejemplo la definida escribiendo: primero 0, después la coma decimal y, a continuación para cada d´ıgito 1 se colocan n ceros siguiendo al n−ésimo 1; es decir: 0, 1010010001000010000010000001 . . . 1

Algebra y fundamentos. Miguel Angel Goberna

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Variaciones de este ejemplo producen otras expresiones infinitas no periódicas, como por ejemplo: 0,1001000010000001. . . √ Más adelante, se sugerirá un método para probar que 2 puede escribirse como: 1;

1, 4;

1, 414;

1, 4142;

......

que es una expresión decimal infinita no periódica. Finalmente, también existen expresiones decimales infinitas no periódicas cuyas sucesión de d´ıgitos no puede ser descrita por una simple regla. Los ejemplos anteriores, inducen a considerar el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no periódicas que, evidentemente, no son n´ umeros racionales a las que se dará el nombre de n´ umeros irracionales. A este nuevo conjunto se le denota por I. Con los conjuntos Q e I construiremos un nuevo conjunto R = Q ∪ I al cual le llamamos conjunto de los n´ umeros reales. Es decir: R = Q ∪ I ={exp. dec. infinitas periódicas} ∪ {exp. dec. Infinitas no periódicas} O también R = Q ∪ I ={n´ umeros racionales} ∪ {n´ umeros irracionales} La siguiente idea será convertir a R en un sistema de n´ umeros; para lo que habrá necesidad de definir una relación de igualdad y las operaciones internas de adición y multiplicación para expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, lo cual es bastante complicado. Existen varias maneras de definir formalmente el conjunto R por encajes de intervalos (Weierstrass), por cortaduras (Dedekind), por sucesiones fundamentales (Cantor)2 y axiomáticamente (Hilbert). Se escogerá esta u ´ ltima para seguir con el mismo esquema que hemos adoptado para introducir los Sistemas de N´ umeros N, Z y Q.

3.1.2.

Definici´ on Axiom´ atica de R

El Sistema de los N´ umeros Reales es un conjunto, denotado por R, provisto de dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación, y una relación de orden. La Adici´ on es una operación interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈ R × R un u ´ nico n´ umero real llamado suma de a y b, y que se denota a + b. Simbólicamente: + : R × R → R, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros reales a y b reciben el nombre de sumandos. La Multiplicaci´ on es una operación interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈ R × R un u ´ nico numero entero llamado producto de a y b y denotado por a · b o simplemente ab. Simbólicamente: · : R × R → R, tal que (a, b) → a · b 2

Ver [] p´ags. 78-94

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Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes axiomas: AXIOMAS Conmutatividad R1)

´ ADICION a + b = b + a ∀ a, b ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R Existe un u ´ nico n´ umero real llamado cero denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ R

R5)

Asociatividad

R2)

Elemento Neutro

R3)

Elementos opuesto e inverso

R4)

Distributividad

N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ R

Para todo a ∈ R, existe un u ´ nico n´ umero real denotado por −a, llamado opuesto de a tal que a + (−a) = 0

R6) R7)

R8)

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ R (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ R Existe un u ´ nico n´ umero real llamado uno denotado por 1, 1 6= 0 tal que: a· 1 = a ∀a ∈ R Para todo a ∈ R, a 6= 0, existe un u ´ nico n´ umero real denotado por a−1 ´o a1 , llamado inverso de a tal que a · a−1 = 1

3.1.3.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 3.1. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 3.1. (a) a = b ∧ c = d entonces a + c = b + d (b) a = b ∧ c = d entonces a · c = b · d La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. 157

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Teorema 3.2. Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: (a) a · 0 = 0 (b) ab = 0 si y sólo si a = 0 ∨ b = 0 La demostración de cada propiedad es análoga a la realizada en Teorema 3.3 (Propiedades del Opuesto de un n´ umero real). Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) −(−a) = a, para todo a ∈ R (b) −(a + b) = (−a) + (−b) (c) (−1)a = −a (d) a(−b) = (−a)b = −(ab) (e) (−a)(−b) = ab Q. La demostración de cada propiedad es análoga a la realizada en Q. Teorema 3.4 (Propiedades del Inverso). Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: 1. (a−1 )−1 = a para todo a ∈ R 2. (a · b)−1 = a−1 · b−1 La demostración de cada propiedad es análoga a la realizada en Q. Teorema 3.5 (Cancelación en la adición y multiplicación). Si a, b y c son n´ umeros reales se tiene: (a) a + c = b + c entonces a = b (b) Si ac = bc y c 6= 0 entonces a = b La demostración de cada propiedad es análoga a la realizada en Q. ´ SUSTRACCION Definici´ on 3.1. Dados los numeros reales a y b, se define la diferencia de a y b y se denota 158

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por a − b al u ´ nico numero real c, tal que a = b + c. O sea, a − b = c si y sólo si a = b + c. Los numeros a y b reciben, respectivamente, los nombres de minuendo y sustraendo. Teorema 3.6. Dados los n´ umeros reales a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ńica. La demostración de cada propiedad es análoga a la realizada en Q. Observaci´ on 3.1. Es importante recordar la igualdad: a − b = a + (−b). El teorema anterior nos dice que, la función (−) : R × R/ (a, b) → a − b, que asocia a cada par (a, b) de n´ umeros reales, su diferencia a − b, es una operación interna en R. Esta operación recibe el nombre de sustracci´ on. ´ DIVISION Definici´ on 3.2. Dados dos numeros reales a y b 6= 0, se llama cociente de a y b y se denota a por b al numero real c tal que a = b · c. O sea ab = c si y sólo si a = b · c. Teorema 3.7. (a) Dados los n´ umeros reales a y b 6= 0, el cociente

a b

siempre existe y es u ´nico.

(b) Dados los numeros reales x, a 6= 0 y b, se tiene que: ax + b = 0 si y s´ olo si x = −ba−1 . Las demostraciones son análogas a las efectuadas en Q. La función ( / ) : R × (R − {0}) → R, que asocia a cada par de n´ umeros reales (a, b), b 6= 0, a su cociente b , recibe el nombre de divisi´ on. ´ POTENCIACION Definici´ on 3.3. Sean a un n´ umero real, a 6= 0, y n un n´ umero natural, se define la potencia n a , poniendo 1. a0 = 1, 2. an = an−1 a, si n ≥ 1 En la expresión an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente.

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De la definici´on, se tiene que: a1 = a1−1 · a = a0 · a = 1 · a = a

a2 = a1 · a = a · a

∀a ∈ R − {0}

a3 = a2 · a = a · a · a

(dos factores) (tres factores), y en general

a = a · a · a···a

Si a 6= 0 y n ∈ N, se define a−n =

(un factor)

(n factores)

1 an

y se tiene que, para n, m ∈ N

am 1 = am · n = am · a−n n a a Aplicando el principio de inducci´on matem´atica se prueba el siguiente: Teorema 3.8. (i) (a · b)n = an · bn (ii) am · an = am+n (iii) (am )n = am·n , ∀ n, m ∈ Z

3.1.4.

Orden en R

Presentaremos el pen´ ultimo axioma del Sistema de los N´ umeros Reales R. R10) Existe un subconjunto no vac´ıo de R, denotado por R+ , tal que: 1. Para toda a ∈ R, se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: a ∈ R+ ó − a ∈ R+ ó a = 0 2. El subconjunto no vac´ıo de R denotado por R+ , recibe el nombre de conjunto de los n´ umeros reales positivos. El subconjunto de R definido por R− = {x ∈ R/ −x ∈ R+ }, que no es vació, en virtud de R8), recibe el nombre de conjunto de los numeros reales negativos y el axioma R10), nos afirma que: R = R+ ∪ R− ∪ {0}

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Consecuencias importantes del axioma anterior Teorema 3.9. Si a ∈ R, a 6= 0 entonces a2 ∈ R+ La demostración es análoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real y el s´ımbolo Q+ por R+ . Definici´ on 3.4. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor que b” y se denota con a a si, y solo si, a < b. De la definición anterior resulta el siguiente: Teorema 3.10. 1. a ∈ R+ si y sólo si, a > 0. 2. a > 0 si, y sólo si, −a < 0 La demostración es análoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real y el s´ımbolo Q+ por R+ . Usando el Teorema anterior, R10, puede reescribirse en la forma siguiente: 1. Dado a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 0<a

∨

a=0

∨

a < 0 (Tricotom´ıa)

2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0. Teorema 3.11. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: 1. a < 0 ∧ b < 0 entonces ab > 0 2. a > 0 ∧ b < 0 entonces ab < 0 La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.

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Teorema 3.12. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: (a) Dados a, b numeros reales, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: a b. (b) a bc La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real. Teorema 3.13. Si a y b son n´ umeros reales diferentes de cero, el inverso multiplicativo tiene las siguientes propiedades: (a) a > 0 entonces a−1 > 0 (b) a < 0 entonces a−1 < 0 (c) Si 0 < a 0 y n > 0 entonces an > 0 (ii) Si 0 < a < b entonces an < bn

Demostraci´on. Probar las dos propiedades por inducci´on Definici´ on 3.5. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor o igual que b” y se denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b. Se sigue de inmediato que: a≤b

⇔

∃ c ≥ 0/a + c = b

Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a” y se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b. 162

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Teorema 3.15. Si a, b y c son numeros reales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes propiedades 1. a ≤ a, ∀ a ∈ R (Propiedad reflexiva) 2. a ≤ b ∧ b ≤ a entonces a = b (Propiedad antisimétrica) 3. a ≤ b ∧ b ≤ c entonces a ≤ c (Propiedad transitiva) 4. a 6= b entonces a < b ∨ b < a (Propiedad conexa) 5. a ≤ b ∧ c ≥ 0 entonces ac ≤ bc 6. a ≤ b ∧ c ≤ 0 entonces ac ≥ bc Demostración. La demostración de cada una de las propiedades es análoga a la realizada en Q. Observaci´ on 3.2. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relación menor o igual es una relaci´ on de orden en R. Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relación menor o igual es una relaci´ on de orden conexa. Radicaci´ on Definici´ on 3.6. Dados a ≥ 0, un n´ umero real y n ∈ N+ . Se llama ra´ız n−ésima de a y se √ denota n a, al u ´ nico numero real no negativo b tal que bn = a; √ Simbólicamente n a = b si y sólo si bn = a. √ En la expresión b = n a; se dirá que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresión subradical. √ √ 2 a se escribe simplemente a y se lee “ra´ız cuadrada de a”. √ 3 a se lee: “ra´ız cubica de a”. + Teorema 3.16. Si a, b ∈ R+ 0 = R ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces: √ √ √ √ (a) Existe n ab y n ab = n a n b √ √ √ (b) Existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ √ √ p√ (c) Existen mn a, m n a y mn a = n m a = m n a

(d) Si b > 0,

pa n

√ na √ n b

163

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Subconjuntos notables de R

3.1.5.

A continuación presentaremos los subconjuntos notables de R como son los n´ umeros reales naturales NR , reales enteros ZR y reales racionales QR ; as´ı como su relación con los conjuntos numéricos presentados en los tres cap´ıtulos anteriores. Para exhibir concretamente elementos de R, es decir n´ umeros reales, utilizamos los axiomas y teoremas de R. Empezamos mostrando los llamados n´ umeros reales naturales, importantes por que nos permitirán introducir el concepto de sistema de numeración, sin el cual no tendr´ıamos forma de trabajar con los elementos de R; éstos se reducir´ıan a simples entes abstractos. Además, a partir de NR y utilizando los axiomas de los n´ umeros reales, podremos obtener los otros subconjuntos notables de R: los reales enteros, los reales racionales y los irracionales √ umero 5. pues, por ejemplo, no tendr´ıa sentido hablar de 5 5 si antes no existiera el n´ Los n´ umeros reales naturales Los n´ umeros naturales están asociados al proceso de contar, y este proceso empieza por el 0 y el 1, “aumentando uno al anterior para obtener el siguiente”. As´ı obtenemos: 0,

0 + 1 = 1,

1 + 1 = 2,

2 + 1 = 3,

3 + 1 = 4,

...,

n + 1,

...

Es decir si tenemos un n´ umero n, el sucesor natural de ese elemento n se obtendrá, agregándole 1, al elemento n, para obtener n + 1. Esta idea intuitiva y sencilla nos servirá de punto de partida para definir los n´ umeros reales naturales. Definici´ on 3.7. Sea K un subconjunto no vac´ıo de R, se dice que K es un conjunto inductivo si, y sólo si, cumple las siguientes dos condiciones: (i) 0 ∈ K (ii) Si n es un elemento de K, el n´ umero n+1, llamado sucesor de n, es también un elemento de K. Es decir, si n ∈ K, entonces n + 1 ∈ K. Por ejemplo, el conjunto de los numeros reales R. satisface tales propiedades pues 0 ∈ R y por definición de adición, si n ∈ R, como 1 ∈ R, entonces n + 1 ∈ R. Esto prueba, que por lo menos existe un subconjunto inductivo que es el mismo R. Teorema 3.17. La intersección de todos los subconjuntos inductivos de R es también un subconjunto inductivo de R y es adem´ as el menor subconjunto inductivo de R; en el sentido que está contenido en todos los demás subconjuntos inductivos.

Demostraci´on. Sea J es la intersecci´on de todos los subconjuntos inductivos de R, 164

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(i) Si 0 es un elemento de cada conjunto inductivo, entonces 0 es un elemento de la intersección de todos los conjuntos inductivos, es decir, 0 ∈ J. (ii) Si h ∈ J, entonces h es elemento de cada conjunto inductivo, luego por definición de conjunto inductivo, h+ 1 es también un elemento de cada conjunto inductivo de R y por lo tanto h + 1 también pertenece a la intersección de todos los subconjuntos inductivos de R; o sea, h + 1 ∈ J. Por lo tanto J es un subconjunto inductivo de R y está contenido en cada subconjunto inductivo de R. Definici´ on 3.8. El conjunto anteriormente obtenido, o sea la intersección de todos los subconjuntos inductivos de R, recibe el nombre de conjunto de los reales naturales y se denota por NR . Por el teorema anterior el conjunto NR = J existe y además NR está contenido en todos los subconjuntos inductivos de R. Es decir, NR satisface las siguientes propiedades: (i) 0 ∈ NR (ii) Si n es un elemento de NR , entonces el sucesor de n, el n´ umero n + 1, es también un elemento de NR . O sea, si NR , entonces n + 1 ∈ NR . Teorema 3.18 (Inducción matemática). Si A ∈ NR goza de las propiedades 1. 0 ∈ A y 2. Si h ∈ A implica h + 1 ∈ A entonces A = NR .

Demostración. Por las condiciones (i) y (ii), A es conjunto inductivo, luego NR ⊂ A, y como por hipótesis A ⊂ NR , se sigue que A = NR . Observaci´ on 3.3. De la definición de NR , deducimos que 0 ∈ NR , y para h = 0, se tiene que h + 1 = 0 + 1 = 1 ∈ NR . Análogamente 2 = 1 + 1 ∈ N, 3 = 2 + 1 ∈ NR , . . . , etc. Luego, {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ⊂ NR . A continuación probaremos la propiedad de clausura para la adición y multiplicación de n´ umeros naturales

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Teorema 3.19. 1. Si a, b ∈ NR entonces a + b ∈ NR . 2. Si a, b ∈ NR entonces a · b ∈ NR . Demostraci´on. 1. Elijamos arbitrariamente un elemento a de NR . Fijando el elemento a, definamos el conjunto K = {b ∈ NR /a + b ∈ NR } ⊂ NR . Es decir, b∈K

⇔

a + b ∈ NR

Probaremos que K es inductivo. En efecto: (i) 0 ∈ K pues como a ∈ NR , a + 0 ∈ NR . (ii) Si h ∈ K entonces a + h ∈ NR , de donde (a + h) + 1 ∈ NR por ser NR inductivo; Luego, a + (h + 1) = (a + h) + 1 ∈ NR , usando la propiedad asociativa en R; de donde, por definici´on de K resulta, finalmente que h + 1 ∈ K. As´ı, K es inductivo, y como NR est´a contenido en todo conjunto inductivo, entonces NR ∈ K, resulta que K = NR . Esto quiere decir que para todo a ∈ NR y para todo b ∈ NR , se cumple: a + b ∈ NR . 2. Queda como ejercicio.

Sabemos que 0 ∈ NR , 1 ∈ NR y además 0 < 1, pero ¿existirán numeros reales naturales mayores que 0 y menores que 1? Seguramente diremos que no, pero ¿como justificamos nuestra respuesta? El siguiente teorema responde a esta pregunta Teorema 3.20. Sea a ∈ NR , si a > 0, entonces a ≥ 1. Demostración. Bastará probar que el conjunto K = {a ∈ R/a = 0 ∨ a ≥ 1}, es inductivo. a ∈ K ⇔ a = 0 ∨ a ≥ 1. En efecto (i) 0 ∈ K, por definición de K. (ii) Si n ∈ K entonces n = 0 ∨ n ≥ 1, luego n + 1 = 1 ∨ n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1 de donde n + 1 ∈ K. Lo que implica que K es inductivo y por lo tanto NR . As´ı, resulta finalmente que si a ∈ NR ⊂ K y a > 0 entonces a ≥ 1. 166

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Corolario 3.2. No existen numeros naturales a, tales que n < a < n + 1, con n ∈ NR . Demostración. Si suponemos que existe a ∈ NR tal que n < a < n + 1, entonces existe k ∈ NR tal que (n − 1) + k = a pues a > n − 1 en NR . Luego, (n − 1) + 1 < (n − 1) + k < (n − 1) + 2, de donde 1 < k < 2 con k ∈ NR , lo cual es imposible por la proposición anterior. Recién entonces estamos en condiciones de afirmar que NR = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

Teorema 3.21 (El principio del buen orden). Todo subconjunto, no vaci´ o, de NR , posee un elemento minimo. Es decir, si A ⊂ NR , A 6= ∅, existe un elemento m ∈ A tal que, para todo x ∈ A, m ≤ x. En virtud de esta propiedad se dice que el conjunto de los Numeros Naturales es Bien Ordenado. Una sugerencia para su demostraci´on es definir el subconjunto H de NR : h∈H

⇔

A ⊂ NR , A 6= ∅, tal que h ∈ A, A posee elemento m´ınimo.

Y probar que este conjunto H ⊂ NR es inductivo, de donde se seguirá que NR ⊂ H, y por lo tanto H = NR . Nota importante: Hemos probado, en el teorema 3.19, que la adición y multiplicación de R, restringidas a NR son también operaciones internas: + : NR × NR → NR (a, b) → a+b

· : NR × NR → NR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(a), 3.5(b), 3.13(a) y el teorema 3.21) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, N1) − N11), del Sistema de los N´ umeros Naturales. En tal sentido, podemos identificar NR con el conjunto de los n´ umeros naturales y escribir simplemente NR = N. El Conjunto de los N´ umeros Reales Enteros Hemos definido el conjunto cuyos elementos son los n´ umeros reales naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , luego, por el axioma del opuesto (R4), se obtienen los n´ umeros reales: −0 = 0, −1, −2, 167

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−3, −4, −5, . . . , Establecido NR , definimos los conjuntos Z+ = NR − {0}, Z− = {−n/n ∈ Z+ } y ZR = Z+ ∪ {0} ∪ Z− . Al conjunto ZR lo llamamos Conjunto de los N´ umeros Reales Enteros. Es decir, ZR = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }. Si restringimos la adición y multiplicación de Z a ZR , usando el teorema 3.3 (propiedades del opuesto), se obtiene que la suma y el producto de dos reales enteros siempre es un n´ umero real natural o el opuesto de un real natural y por consiguiente un n´ umero real entero, luego quedan definidas las operaciones internas de adición y multiplicación en ZR : + : ZR × ZR → ZR (a, b) → a+b

· : ZR × ZR → ZR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(b)) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, E1) - E9), del Sistema de los N´ umeros Enteros. Veamos que tambi´en se cumpla el axioma E10): Si definimos i : NR → ZR mediante i(n) = n, se tiene que 1. i es inyectiva, 2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n) 3. i(mn) = mn = i(m)i(n). En tal sentido, podemos identificar ZR con el Conjunto de los N´ umeros Enteros y escribir simplemente ZR = Z. El Conjunto de los N´ umeros Reales Racionales Dados los n´ umeros reales naturales positivos, como todo n´ umero real diferente de cero tiene inverso multiplicativo, obtenemos los inversos de n´ umeros reales naturales positivos: 1 1 1 1 1 , , , , , ...; 1 2 3 4 5 as´ı como sus opuestos

1 1 1 1 1 − , − , − , − , − , ...; 1 2 3 4 5 y usando la definici´on de cociente, otros n´ umeros como:

2 1 3 1 =2· , = 3 · , etc. 3 3 5 5 En general llamamos conjunto de los N´ umeros Reales Racionales, y lo denotamos por QR , al subconjunto de R definido de la siguiente manera: nm o QR = ∈ R/m, n ∈ Z y n 6= 0 n Y puesto que, para a, b, c, d reales y, en particular, reales enteros, se cumple: 168

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a c

b d

ad+bc cd

ab cd

∈ QR

Si restringimos la adición y multiplicación de R a QR , usando las dos propiedades anteriores, se obtiene que la suma de dos reales racionales siempre es un n´ umero real racional y el producto dos reales racionales siempre es un n´ umero real racional. Por consiguiente quedan definidas las operaciones internas de adición y multiplicación en QR : + : QR × QR → QR (a, b) → a+b

· : QR × QR → QR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, Q1) - Q9) del Sistema de los Numeros Racionales. Además, ac = db si y sólo si ad = bc. Probaremos que también se cumpla el axioma Q10) para ello bastara definir, i : ZR → QR mediante, i(m) = m1 , luego se prueba fácilmente que: 1. i es inyectiva, 2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n) 3. i(mn) = i(m)i(n). En tal sentido, podemos identificar QR con el Conjunto de los N´ umeros Racionales y escribir simplemente QR = Q. Finalmente, nos preguntamos, ¿son estos todos los numero reales? La respuesta es no. Por √ ejemplo como 2 ∈ R+ , existe 2 en R, sin embargo, ning´ un racional satisface la igualdad r 2 = 2 luego, R − Q 6= ∅. También, todo n´ umero real cuya representación decimal es infinita no periódica no es un numero racional. As´ı al subconjunto R−Q de R lo llamamos subconjunto de los Numeros Irracionales y lo denotamos con I. Es decir, I = R − Q. √ La existencia de 2 como n´ umero real y la de otros n´ umeros irracionales como e, π, etc., no puede ser obtenida a partir de los axiomas de R1) - R10). Se hace por tanto necesaria agregar un axioma para definir el Conjunto de los Numeros Reales R, que es el Axioma del Supremo (o Axioma de Completitud). La Recta Real Existe una relación entre el conjunto R de los numeros reales y el conjunto ℜ de los puntos de la recta geométrica, basada en el axioma de Cantor-Dedekind que establece una función biyectiva f : R → ℜ. Más precisamente: 1. f es inyectiva o sea x 6= y entonces f (x) 6= f (y). 169

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2. f es subyectiva o sea ∀ u ∈ ℜ tal que f (x) = u. Este axioma relaciona la aritmética con la geometr´ıa y permite identificar el conjunto de los numeros reales R con el conjunto de los puntos de la recta geométrica ℜ (R ≡ ℜ), introduciéndose de esta manera el concepto de recta numérica o recta real. Gráficamente: En la recta real, los n´ umeros reales positivos son los puntos que están a “la derecha del cero”, y los n´ umeros reales negativos son los que están a “la izquierda del cero”. En general, a < b si el punto que corresponde al n´ umero real a está a la izquierda del punto que corresponde al n´ umero real b. Definici´ on 3.9. La biyección f : ℜ → R dada por el axioma 3 de Cantor-Dedekind, que asigna a cada punto de la recta un u ´ nico numero real f (P ) recibe el nombre de Sistema de Coordenadas de la recta ℜ. El numero real f (P ) que corresponde al punto P , mediante la biyección f , recibe el nombre de coordenada del punto P . En particular, el punto cuya coordenada es el numero real 0 (cero), se denomina origen del sistema. En el gráfico anterior, el origen es P0 . Obsérvese intuitivamente que cualquier punto P de la recta puede considerarse como origen de un sistema de coordenadas (basta deslizar la regla). De esta manera se obtendrán varios sistemas de coordenadas. Por otra parte, y esto es muy importante, desde el punto de vista de la teor´ıa de conjuntos, si existe una biyección f : A → B entre dos conjuntos se pueden identificar los elementos de A con los elementos de B. En nuestro caso, identificamos el punto P de la recta ℜ con el numero real f (P ), que llamamos la coordenada de P y escribimos f (P ) = p, para todo punto P .

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3.1.6.

Axioma del Supremo

Definici´ on 3.10. Un conjunto A ⊂ R es acotado superiormente si, y solo si, existe un numero k ∈ R tal que a ≤ k, para todo elemento a ∈ A. k se llama cota superior de A. Un conjunto A ⊂ R es acotado inferiormente si, y solo si, existe un numero k ′ ∈ R tal que k ′ ≤ a, para todo elemento a ∈ A. k ′ se llama cota inferior de A. Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado. Un conjunto acotado puede tener infinitas cotas. Definici´ on 3.11. Dado un conjunto A ⊂ R se dice que el numero real s es el supremo de A si, y solo, si se cumple que: 1. s es cota superior de A; es decir, a ≤ s, ∀ a ∈ A; y 2. s es la menor cota superior de A. Es decir, si k es una cota superior de A, entonces s ≤ k. Teniendo en cuenta (1) y (2) se puede decir que: “el supremo de A es la menor cota superior de A”. Se demuestra, f´acilmente el siguiente: Teorema 3.22. Si A ⊂ R entonces, s es el supremo de A si, y solo si, se cumplen: (1’) a ≤ s, ∀ a ∈ A (s es una cota superior) (2’) ∀ ε > 0, (tan peque˜ no como se quiera) existe a′ ∈ A tal que s − ε < a′ . Ejemplo 3.1. El conjunto A = {x ∈ R/3 < x ≤ 4} tiene como supremo a 4. En efecto, (1’) 4 es una cota superior (2’) Dado ε tal que 0 < ε < 1, bastar´a tomar el valor a′ = 4 − 2ε , el cual, obviamente, pertenece al conjunto A y es tal que 4 − ε < 4 − 2ε = a′ . Es decir, dado, s = 4 existe a′ = 4 −

ε 2

∈ A tal que s − ε < a′ .

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Actividades 1. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en cent´ımetros, de un triángulo y A es el área del mismo (cm2 ). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuáles son los posibles valores de h? 2. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relación menor entre sus inversos multiplicativos? 3. Hallar todos los n´ umeros reales x tales que x > 5 si, y sólo 4. Indica los axiomas, definiciones o propiedades que justifican cada paso en los siguientes ejercicios: (a) √ 1 1 √ (3) 6 2 (3) √ = 6 2 6 2 6 2 √ 1 3 = (6 2) √ 6 2 √

= (1)(3) = 3 (b) π 4

−

π π π (48) = + − 48 6 4 6 π π = 48 + − 4 6 π π = 48 + 48 − 4 6 = 12π + (−8)π = 4π

5. Encontrar tres n´ umeros reales a, b, c de tal manera que se cumplan las tres condiciones siguientes: (a + b + c) es un n´ umero entero (a2 + b2 + c2 ) es un n´ umero irracional (a3 + b3 + c3 ) es un n´ umero racional 6. (a) ¿A cu´antos kil´ometros equivale un a˜ no luz?

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(b) La estrella m´as cercana a la tierra se encuentra a 4 300 a˜ nos luz de distancia. ¿A cu´antos metros equivale dicha distancia? (c) Si el radio de la tierra es 6,4×106 m, determina su volumen. 7. Para investigar: Si p y q son n´ umeros reales positivos, demostrar que: s s p2 + 4q p p 1≤ − 2q p + p2 + 4q

8. Para investigar: Sean a, b n´ umeros positivos tales que a3 + b3 = 2. Demostrar que a9 + b9 + 5(a12 + b12 ) ≥ 8 + 2(a15 + b15 )

173

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3.2.

Sesi´ on 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo La Matemática es la reina de las ciencias y la teor´ıa de los numeros es la reina de la Matemática. Gauss ń a úrea Contextualizando: La secuencia de Fibonacci y la razo

Unos de los problemas más famosos en las matem´ aticas elementales proviene del libro “ Liber Abaci”, escrito en 1202 por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. El problema es como sigue: Un hombre coloca un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los conejos no tienen cr´ıas, pero a partir de cada mes procrean un par nuevo de conejos. Si cada par nuevo se reproduce de la misma manera. ¿Cuántos pares de conejos habrá al final de un a˜ no? La solución de este problema lleva una secuencia de n´ umeros conocidos como la secuencia de Fibonacci. Aqu´ı están los primeros 15 términos de a secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Advierta el patrón establecido en la secuencia después de los dos primeros términos (ambos 1), cada término se obtiene a˜ nadiendo los dos términos previos. Por ejemplo, el tercer término se obtiene sumando 1 + 1 para obtener 2, el cuarto término se encuentra sumando 1 + 2 para obtener 3, etc. Esto puede describirse por medio de una f´ ormula matem´ atica conocida como una fórmula de recurrencia. Si Fn representa el n´ umero de Fibonacci, en la n−ésima posición en la secuencia, entonces F1 = 1 F2 = 1 Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

para n ≥ 3

La secuencia de Fibonacci presenta muchos patrones interesantes y por razonamiento inductivo podemos hacer muchas conjeturas acerca de estos. Sin embargo, como hemos indicado muchas veces con anterioridad, observar sencillamente un n´ umero finito de ejemplos no proporciona la prueba de un postulado. Las pruebas de las propiedades de una secuencia de Fibonacci frecuentemente implican inducci´ on matem´ atica.

174

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3.2.1.

Axioma del supremo

R11 “Si A es un subconjunto de R, diferente del vac´ıo, y acotado superiormente, entonces A tiene supremo s ∈ R”. Este axioma no se cumple en Q como probaremos a continuación mostrando el siguiente: Ejemplo 3.2. Sea {rn } un conjunto, en particular una sucesión, de n´ umeros racionales definida por inducción*, poniendo: 1. Si n = 1, r1 = 1. n 2. Supuesto definido rn−1 , definimos rn = rn−1 + 10sn−1 , donde sn es el mayor entero positivo 2 tal que rn ≤ 2.

De esta manera se obtiene el siguiente conjunto de n´ umeros racionales: {rn } = {1; 1, 4; 1,414; . . . } Se ve de inmediato que {rn2 } es acotado superiormente por 4, puesto que: 0 < rn2 ≤ 2 < 4, de √ √ donde, 0 < rn < 2. Es decir, el conjunto {rn } es acotado por 2; m´as a´ un, se puede probar √ que sup(rn ) = 2. Sin embargo, como ya sabemos, 2 no es un numero racional. Teorema 3.23. El conjunto N ⊂ R de los numeros reales naturales no es acotado superiormente.

Demostraci´on. Por el absurdo. Si N fuera acotado superiormente, existir´ıa c = sup N. Entonces, c − 1 no seria una cota superior de N, es decir, existir´ıa n ∈ N tal que c − 1 < n, de donde, c < n + 1, lo que implica que c no es una cota superior de N, en consecuencia N no es acotado superiormente. Teorema 3.24. Dados a, b ∈ R+ , existe un n´ umero real racional n tal que na > b. (Propiedad Arquimediana).

Demostraci´on. Dados a, b ∈ R+ existe n ∈ N, tal que n > ab , pues si n ≤ ab para todo n ∈ N, se tendr´ıa que el conjunto N seria acotado, lo que contradice al teorema anterior y, en consecuencia, existe n tal que n > ab , de donde na > b. Corolario 3.3. Si b es un n´ umero real, existe un n´ umero natural n > 0 tal que n > b. Demostraci´on. Basta con poner n = b + 1 para obtener n > b. 175

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Corolario 3.4. Si 0 < b, existe un n´ umero real natural n tal que 0 <

1 n

< b.

Demostración. Si 0 < b, existe el n´ umero real 1b > 0, luego por el corolario 3.3, existe un n´ umero real natural n > 1b , de donde 0 < n1 < b. Corolario 3.5. Si x es un n´ umero real, existen reales enteros m y n tales que: m<x<n Demostración. Por el corolario 3.3, dado x existen reales enteros positivos n y p tales que: n > x y p > −x Poniendo m = −p, resulta: m < x < n. Teorema 3.25 (Teorema del mayor entero). Para todo n´ umero real x siempre existe un n´ umero real entero n tal que n≤b<n+1 Demostración. Existencia: Por el corolario 3.3, existen reales enteros r y s tales que: r < x < s, y como t = s − r > 0, existe también un real entero positivo t tal que r < x < r + t. Sea p el m´ınimo real entero positivo tal que x 0 y n = r + (p − 1) ≤ x, por ser p el m´ınimo. Luego n ≤ x < r + p = n + 1, o sea n ≤ x < n + 1. Unicidad: Si existieran reales enteros m y n tales que: m ≤ x < m + 1, n ≤ x < n + 1 y m < n, se tendr´ıa que m < n ≤ x < m + 1 y en consecuencia 0 < n − m < 1, lo que es una contradicción. Análogamente se procede si n < m. Teorema 3.26. Si a y b son dos n´ umeros reales tales que a < b entonces existe un n´ umero racional r tal que a < r < b.

Demostraci´on. El corolario del teorema 3.19, dado el n´ umero real b − a > 0 existe un n´ umero 1 real natural n tal que n < b − a, o sea: El teorema 3.20 asegura que dado el n´ umero real no existe un entero m tal que m ≤ na < m + 1 De donde se sigue que

m m 1 ≤a y a< + n n n 176

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De las cuatro u ´ ltimas relaciones, se tiene: a<

m 1 1 + <a+ <b n n n

lo que implica que existe el n´ umero real racional r=

m 1 + , n n

tal que a < r < b.

A continuación, mostraremos otra manera de probar que en Q, no se cumple el axioma del supremo. Ejemplo 3.3. Sea el conjunto de n´ umeros reales racionales A = {x ∈ Q/x2 < 2} = {1; 1,4; 1,41; 1,4141; . . . } y calculemos su supremo. En primer lugar A no es vació, pues 1 ∈ A y es acotado superiormente, puesto que, si x ∈ A entonces 0 < x2 < 2 < 4, de donde se sigue que, 0 < x2 < 4 para todo x ∈ A, luego aplicando el axioma R11, existe el supremo de A al cual lo denotaremos por s. Probaremos a continuación que s2 = 2. En efecto, 2 se tiene: s < b y Si fuera s2 < 2, definiendo b = s + 2−c 5 2 − s2 2 − s2 2 − s2 2 2 2 b =s + 2s + <s + 5=2 5 5 5 La u ´ ltima desigualdad se cumple pues si s2 < 2, s2 < 4 y s < 2, de donde 2 − s2 <5 2s + 5 2

Como s < b = s + 2−c , aplicando el teorema 3.20, existe un real racional r tal que: s < r < b 5 2 lo que implica que s < r 2 < b2 < 2, o sea r 2 < 2. Es decir se ha encontrado un numero real racional r ∈ A tal que s < r: lo que contradice a la definici´on de supremo de un conjunto. 2 Si fuera s2 > 2, definiendo b = s 2+2 y como s2 + 2 < s2 + s2 = 2s2 resulta que 0 0 y b2 > 2 2s de donde resulta que si x ∈ A = {x ∈ Q/x2 < 2} entonces x2 < 2 < b2 , o sea b es una cota superior del conjunto A menor que el supremo s; lo cual contradice a la definici´on de supremo de un conjunto. En consecuencia s2 = 2 177

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Nota importante: Se ha demostrado que el conjunto A del ejemplo 3.1, posee un supremo s que no es un numero real racional, o sea s ∈ / h(Q) y que s2 = 2, luego aplicando la definici´on de ra´ız cuadrada √ s = 2. Definici´ on 3.12. Se llama “e” n´ umero de Euler al supremo del conjunto de numeros reales n racionales B = {xn ∈ Q/xn = 1 + n1 , n ∈ N+ }.

;

3.2.2.

El Sistema de los N´ umeros Reales Extendido

Definici´ on 3.13. En diversas situaciones como en el caso de los intervalos, que veremos mas adelante, se utilizan los s´ımbolos −∞ y +∞. La introducción formal de estos s´ımbolos se hace “extendiendo” el conjunto R de los n´ umeros reales a otro conjunto, al cual denotaremos + con R , cuyos elementos serán además, de los reales, los s´ımbolos −∞ y +∞. En este nuevo conjunto R∗ = {−∞} ∪ R ∪ {+∞} Se definen las operaciones de adición, multiplicación y relación menor “extendiendo”los conceptos respectivos ya definidos en R, as´ı, Para la adición se define: 1. a + (+∞) = (+∞) + a = +∞, ∀ a ∈ R 2. a + (−∞) = (−∞) + a = −∞, ∀ a ∈ R 3. (+∞) + (+∞) = (+∞) 4. (+∞) + (−∞) = (−∞) + (+∞) = 0 La adición, as´ı extendida en R∗ es conmutativa pero no asociativa [(−∞) + (+∞)] + (+∞) 6= (−∞) + [(+∞) + (+∞)] sin embargo si no se establece la propiedad (d), como muchos autores lo hacen, la adición si es asociativa. Nótese que la ecuación x + a = b no siempre tiene solución en R∗ o, si existe, ésta no siempre es u ´ nica. x + (+∞) = −∞

no tiene soluci´on

x + (+∞) = +∞

tiene infinitas soluciones

Para la multiplicaci´on se definen: 178

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1. a(+∞) = (+∞)a = +∞, si 0 < a ≤ +∞ 2. a(−∞) = (−∞)a = −∞, si 0 < a ≤ +∞ 3. a(+∞) = (+∞)a = −∞, si −∞ ≤ a < 0 4. a(−∞) = (−∞)a = +∞, si −∞ ≤ a < 0 5. 0(±∞) = (±∞)0 = 0. La multiplicación as´ı extendida, en R∗ , es conmutativa, asociativa y, como en R, ab = 0 implica que a = 0 ó b = 0 Con respecto a la sustracción y división, podemos indicar que la sustracción en R∗ , se define, al igual que en R: a − b = a + (−b) escribiendo, cuando b = −∞, −b = −(+∞) = −∞ y cuando b = −∞, −b = −(−∞) = +∞. La división en R∗ se define agregando a lo conocido en R los s´ımbolos siguientes: 1.

a ±∞

±∞ a

= 0, si a ∈ R = a1 (±∞), si 0 < |a| < +∞

∞ No se definen los s´ımbolos a0 , ∞ , −∞ , −∞ , −∞ . ∞ −∞ ∞ La relaci´on menor: a < b, se establece R∗ agregando a los axiomas y propiedades de la relaci´on menor en R, el siguiente axioma:

−∞ < a < +∞ ∀ a ∈ R EJERCICIOS 1. Probar que el supremo del conjunto definido inductivamente en la p´agina 175 √ {rn } = {1; 1, 4; 1,414; . . . } es 2 2. Probar que para todo x ∈ R, existe m ∈ Z, tal que m ∈ x < m + 1. Tal n´ umero m se llama m´aximo entero de x, y se denota JxK. 3. Probar que si a, b ∈ R, existe r ∈ Q tal que a < r < b.

4. Sea r un n´ umero real tal que: s { s { s { s { s { 1 2 3 4 5 r+ + r+ + r+ + r+ + r+ = 2001 8 8 8 8 8 (a) Determinen los valores que puede tomar r. (b) Den un ejemplo de un valor irracional de r que cumpla dicha ecuaci´on 5. Calcular el supremo de los siguientes conjuntos 179

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(a) A = 1 − n1 /n ∈ N+

(b) B = {x ∈ R − Q/x < 2}

6. Sean x, y n´ umeros reales

(a) Si x · 1 = 0, ¿Qué valor(es) puede tomar x? (b) Si x · y = 0, ¿Qué valor(es) puede tomar x e y? (c) Si x · y = 1, ¿Qué puede decir de los valores de x e y? (d) Si x2 = y 2 , ¿Cómo están relacionados x e y?

180

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3.3.

Sesi´ on 13: Representaci´ on decimal de los n´ umeros reales. Valor absoluto. No hay ninguna rama de la matem´atica, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse alg´ un d´ıa a los fen´omenos del mundo real. Lobachewsky ´ ´mero π Contextualizando: Area, volumen en t´ erminos del nu

La siguiente tabla muestra algunos ejemplo de n´ umeros racionales y de n´ umeros irracionales umeros irracionales N´ umeros racionales N´ √ 3 2 4 64 0,23233233323333 . . . √74 √ 16 5 1,618 π √ 1+ 5 2,718 El valor exacto de la raz´ on a úrea 2 e Un n´ umero importante en las matem´ aticas financieras Uno de los n´ umeros irracionales más u ´tiles es π, la raz´ on de la circunferencia al di´ ametro de un c´ırculo. Muchas fórmulas de la geometr´ıa abarcan π, como las f´ ormulas para el ´ area de un 4 2 3 nos los matemáticos c´ırculo (A = πr ) y el volumen de una esfera (V = 3 πr ). Durante 4000 a˜ han encontrado cada vez mejores aproximaciones para π. Los antiguos egipcios se serv´ıan de un método para determinar el área de un c´ırculo que es equivalente a un valor de 3.1605 para π. Los babilonios empleaban n´ umeros que dan 3 1/8 para π. En la biblia (1 Reyes 7:23) hay un verso que describe un estanque circular en el templo del rey Salom´ on, alrededor del a˜ no 1000 a. C. El estanque se dice que ten´ıa 10 codos del uno al otro lado, y que “ce˜ n´ıalo en derredor de 30 codos”. Esto implic un valor de 3 para π.

3.3.1.

Valor absoluto

Definici´ on 3.14. Dado a ∈ R, el valor absoluto negativo:     a, |a| = 0,    −a,

de a denotado por |a|; es el n´ umero real no si a > 0 si a = 0 si a < 0

Observaci´ on 3.4. De la definici´on se deduce que: 181

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(i) Si a ≥ 0 entonces |a| = a Si a < 0 entonces |a| = −a Por lo tanto ∀ a ∈ R, |a| ≥ 0 (ii) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ −a = b) ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b) Observaci´ on 3.5. Geom´etricamente |a| representa la distancia del punto P , de coordenada a > 0 al origen O, o la distancia del punto Q de coordenada a < 0, al origen O: Si a > 0: 0

|a|

Si a < 0: a

|a|

Definici´ on 3.15. La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b respectivamente se define por: d(P, Q) = |a − b|. Teorema 3.27 (Propiedades del valor absoluto). (a) |a| ≥ 0 ∀ a ∈ R

(f ) −|a| ≤ a ≤ |a|

(b) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

(g) |a| ≤ k ⇔ k ≥ 0 ∧ (−k ≤ a ≤ k)

(h) |a| ≥ k ≥ 0 ⇔ a ≥ k ∨ −a ≥ k

(d) |ab| = |a||b|

a |a|

(e) = , b 6= 0 b |b|

(i) |a + b| ≤ |a| + |b| (j)

182

√

a2 = |a|

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Problemas resueltos Problema 3.1. Rescate de un Bono La mesa directiva de cierta compa˜ n´ıa acuerda amortizar algunos de sus bonos en 2 a˜ nos. En ese tiempo se requerirán $1,102,500. Suponga que en este momento reservan $1,000,000. ¿A que tasa de interés anual, compuesto anualmente, se debe tener invertido este dinero a fin de que su valor futuro sea suficiente para rescatar los bonos? Soluci´ on. Sea r la tasa anual necesaria. Al final del primer a˜ no, la cantidad acumulada será $1,000,000 más el interés 1, 000, 000r, para un total de 1, 000, 000 + 1, 000, 000r = 1, 000, 000(1 + r) Bajo interés compuesto, al final del segundo a˜ no la cantidad acumulada será de 1, 000, 000(1 + r) más el interés de esto, que es [1, 000, 000(1 + r)]r. As´ı, el valor total al final del segundo a˜ no será 1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r Esto debe ser igual a $1,102,500: 1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r = 1, 102, 500.

(3.1)

Ya que 1, 000, 000(1+r) es un factor com´ un de ambos términos del miembro izquierdo, tenemos 1, 000, 000(1 + r)(1 + r) = 1, 102, 500 1, 000, 000(1 + r)2 = 1, 102, 500 1, 102, 500 11, 025 441 (1 + r)2 = = = 1, 000, 000 10, 000 400 r 441 21 = 1+r = ± 400 20 21 r = −1 ± 20 Por tanto r = −1 + (21/20) =0.05 o r = −1 − (21/20) = −2.05. Aunque 0.05 y -2.05 son ra´ıces de la ecuación (3.1), rechazamos -2.05 ya que necesitamos que r sea positiva. Entonces r =0.05, de modo que la tasa buscada es 5 por ciento. En ocasiones puede haber más de una manera de modelar un problema que está dado en palabras, como lo muestra el ejemplo 7. Problema 3.2. Se construirá una plataforma de observación que dominará un valle. Veáse la figura 3.2(a). Sus dimensiones serán de 6m por 12m. Un cobertizo rectangular de 40m2 de área estará en el centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de ese pasillo? 183

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w w

w 12−2w

6−2w

12 (b)

(a)

Figura 3.2: Pasillo de la plataforma Soluci´ on. Un diagrama de la plataforma se muestra en la figura 3.2(b). Sea w =ancho (en metros) del pasillo. Entonces, si la parte destinada al cobertizo tiene dimensiones de 12 − 2w por 6 − 2w, y como su ´area debe ser de 40m2 , en donde ´area=(largo)(ancho), tenemos (12 − 2w)(6 − 2w) = 40 72 − 36w + 4w 2 = 40 4w 2 − 36w + 32 = 0 w 2 − 9w + 8 = 0

(w − 8)(w − 1) = 0

w = 8,1

Aunque 8 es una solución de la ecuación, no es una solución para nuestro problema, ya que una de las dimensiones de la plataforma es de sólo 6m. As´ı la u ´ nica solución posible es que el pasillo mida 1m de ancho. Problema 3.3. La iluminación de una fuente de luz espec´ıfica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ella. (a) Exprese el n´ umero de luxes (lx) de la iluminación como una función del n´ umero de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminación es 225lx a una distancia de 5m de la fuente. (b) Encuentre la iluminación en un punto a 15m de la fuente. Soluci´ on. (a) Sea f (x) luxes la iluminación de la fuente de luz a xm de ella, entonces: f (x) = xk2 Debido a que la iluminación es 225lx a una distancia de 5m de la fuente, si se sustituye x por 5 y f (x) por 225 se obtiene: k 52 K = 5625

225 =

184

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De donde al sustituir este valor de k se tiene: f (x) =

5625 x2

(b) A partir de la expresi´on anterior para f (x), se obtiene: 5625 152 f (15) = 25 f (15) =

Conclusi´ on: La iluminación en un punto a 15m de la fuente es 25lx. Problema 3.4. Si x representa la temperatura de un objeto en grados Celsius, entonces la temperatura en grados Fahrenheit es una función de x, dada por: (a) El agua se congela a 0o C (C = Celsius) y hierve a 100oC. ¿Cuáles son las temperaturas correspondientes en grados Fahrenheit?. (b) El aluminio se funde a 660o C ¿Cuál es su punto de fusión en grados Fahrenheit? Soluci´ on.

(a) 9 (0) + 32 = 32 El agua se congela a 32o F. 5 9 f (100) = (100) + 32 = 180 + 32 = 212 El agua hierve a 1212oF. 5 f (0) =

(b) f (660) =

9 (660) + 32 = 1188 + 32 = 1220 5

El aluminio se funde a 1220o F.

Problema 3.5. Suponga que cierto cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a su tama˜ no. En el tiempo t = 0, hay aproximadamente 20000 bacterias presentes. En 5 horas hay 400000 bacterias. Determine una función que exprese el tama˜ no del cultivo como función del tiempo, medido en horas. Soluci´ on. Sea P (t) el n´ umero de bacterias presentes en el tiempo t. Por hipótesis P (t) satisface una ecuación diferencial de la forma y ′ = ky, por lo que P (t) es de la forma: P (t) = P 0ekt donde habrá que determinar las constantes P0 y k. Los valores de P0 y k se pueden obtener a partir de los datos que proporcionan el tama˜ no de la población en dos tiempos diferentes: P (0) = 20000

(3.1)

P (5) = 400000

(3.2)

La primera condici´on implica que P0 = 20000 por lo que: P (t) = 20000ekt

185

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Utilizando la segunda condici´on, se tiene: 20000ek∗5 = P (5) = 400000 e5k = 20 k=

ln20 ≈ 0,60 5

Por lo tanto se puede tomar: P (t) = 20000e0,6t Problema 3.6. (Decisiones sobre Fijaci´ on de Precios) La demanda mensual x de cierto art´ıculo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación: x = 1350 − 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual? Soluci´ on. El costo total C (en dólares) de producir x unidades al mes es: C = Costos variables + Costos fijos C = 5x + 2000 La demanda x está dada por: x = 1350 − 45p Sustituyendo este valor de x en C, resulta que: C = 5(1350 − 45p) + 2000

C = 8750 − 225p

El ingreso R (en d´olares) obtenido por vender x utilidades a p d´olares por unidad es: R = Precio por unidad ∗ N´ umero de unidades vendidas R = px = p(1350 − 45p)

R = 1350p − 45p2

La utilidad P (en d´olares) est´a dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo: P = R−C

P = 45p2 + 1350p − (8750 − 225p) P = 45p2 + 1575p − 8750 186

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La utilidad P es una función cuadrática de p. Puesto que a = −45 < 0, la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso tenemos que: a = −45, b = 1575 y c = −8750 El vértice de la parábola está dado por: 1575 1575 b =− = 2a 2(−45) 90 p = 17,5 p = −

En consecuencia un precio de p = $17,5 por unidad debe fijarse al consumidor con el propósito de obtener una máxima utilidad. La utilidad máxima está dada por: p = −45(17,5)2 + 1575(17,5) − 8750

p = 5031,25 o $5031,25 al mes.

Problema 3.7. (Decisiones sobre Fijaci´ on de Rentas) El se˜ nor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitación. A una renta más alta, algunas habitaciones quedarán vac´ıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5, una habitación quedará vac´ıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el n´ umero de habitaciones vac´ıas. ¿Qué renta mensual maximizar´ıa el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso máximo? Soluci´ on. Sea x el n´ umero de unidades vac´ıas. El n´ umero de de departamentos rentados es entonces: (60 − x) y la renta mensual por habitación es (200 + 5x) dólares. Si R denota el ingreso mensual total (en dólares), se sigue que: R = (Renta por unidad) ∗ (N´ umero de unidades rentadas) R = (200 + 5x) ∗ (60 − x)

R = 5x2 + 100x + 12000

El ingreso mensual total R es una funci´on cuadr´atica de x con: a = 5,

b = 100 y

c = 12000

La gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo(dado que a < 0) y su vértice es el punto máximo. El vértice está dado por: b 100 =− 2a 2(−5) x = 10

x = −

187

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R = −5(10)2 + 100(10) + 12000

R = 12500

En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. La renta por habitación es entonces de (200 + 5x) dólares ó $250 y el ingreso total es de $12500 al mes. Problema 3.8. Un pomar produce una ganancia de $40 por árbol cuando tiene 1000 árboles plantados. Debido a la sobreproducción la ganancia por árbol (por cada árbol en el pomar) se reduce en dos centavos por cada árbol adicional que se plante. ¿Cuántos árboles se deben plantar de manera que se tenga la ganancia total máxima del pomar? Soluci´ on. Sea: T = la ganancia total Como se pide el “n´ umero de árboles” óptimo. Sea: x = el n´ umero de árboles que deben plantarse La otra cantidad que var´ıa es la ”ganancia por árbol”. Sea: g = la ganancia por árbol El objetivo es maximizar la ganancia total, entonces: [ganancia total] = [ganancia por árbol] − [n´ umero de árboles] T =g∗x Entonces: [ganancia por árbol] = [ganancia original por árbol] − [pérdida por árbol en la ganancia debido al incremento] g = 40 − (x − 1000)(0,02) g = 60 − 0,02x

La pérdida en la ganancia (por árbol) debido al incremento en el n´ umero de árboles se obtuvo multiplicando (x − 1000), el n´ umero de árboles excedentes de 1000, por la cantidad de dinero perdido (por árbol) por cada árbol excedente. De ah´ı: g = p ∗ x = (60 − 0,02x)x

g = 60x − 0,02x2

Se observa que la ganancia es m´axima cuando x = 1500. Por lo tanto, se deben plantar 1500 ´arboles. 188

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Problema 3.9. Para una compa˜ n´ıa que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la producción) son de $60, 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuántos deben venderse para que la compa˜ n´ıa obtenga utilidades? Soluci´ on. Recuerde que ganancia = ingreso total − costo total debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuándo su diferencia es positiva. Sea q el n´ umero de termostatos que deben ser vendidos. Entonces su costo es 5q. Por tanto, el costo total para la compa˜ n´ıa es 5q + 60, 000. El ingreso total de q termostatos será 7q. Ahora, utilidad = ingreso total − costo total y queremos una utilidad> 0. As´ı, ingreso total − costo total > 0 7q − (5q + 60, 000) > 0

2q > 60, 000 q > 30, 000

Por tanto, se deben vender al menos 30, 001 termostatos para que la compa˜ n´ıa obtenga utilidades. Problema 3.10. Distancia, rapidez y tiempo La distancia de una ruta en barco entre San Francisco y Honolul´ u es 2100 millas náuticas. Si un barco sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolul´ u, y si el primero viaja a 15 nudos y el tro a 20¿Cuanto tiempo les tomará a los barcos encontrarse?¿A que distancia de Honolul´ u y de San Francisco estarán de ese tiempo? Soluci´ on. Sea T = n´ umero de horas que pasar´ıan antes de que se encuentran. Dibuje un diagrama y marque las partes conocidas e incógnitas. Ambos barcos tendrán que viajar la misma cantidad de tiempo para encontrarse      Distancia que recorre Distancia que recorre Distancia total  el barco 1 desde   el barco 2 desde        u hasta +  = desde Honolul´   Honolul´ u hasta el  San Francisco hasta el San Francisco punto de encuentro punto de encuentro D1 + D2 = 2100 

20T + 15T = 2100 35T = 2100 T = 60 189

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Por lo tanto, pasar´an 60 horas o 2,5 dias para que se encuentren Problema 3.11. Distancia, rapidez y tiempo Un bote para excursiones tarda 1,5 veces mas en recorrer 360 millas en el viaje de ida que en el de regreso. SI el bote viaja a 15 millas por hora en aguas tranquilas ¿cual es la rapidez de la corriente? Soluci´ on. Sea: x = rapidez de la corriente (en millas por hora) 15 − x = rapidez del bote en contra de la corriente 15 + x = rapidez del bote a favor de la corriente

Tiempo en contra de la corriente = (1,5) (Tiempo a favor de la corriente) Distancia recorrida en contra de la corriente

= (1,5)

Distancia recorrida a favor de la corriente

Recuerde T =

Rapidez en contra Rapidez a favor de la corriente de la corriente 360 360 = (1,5) 15 − x 15 + x 360 540 = 15 − x 15 + x Multiplique ambos lados por 360(15 + x) = 540(15 − x) (15 − x)(15 + x) 5400 + 360x = 8100 − 540x

D R

900 = 2700 x = 3

Por lo tanto, la rapidez de la corriente es de 3 millas por hora. Se deja la comprobaci´on al lector Problema 3.12. Distancia, rapidez y tiempo Una compa˜ n´ıa de publicidad tiene una computadora vieja que para reparar todo ele cerreo tarda 6 horas. Con la ayuda de de un nuevo modelo se termina el trabajo en 2 horas ¿Cuanto tiempo le tomar´a al nuevo modelo hacer solo el trabajo?

190

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Soluci´ on. Sea x = tiempo (en horas) que emplea el nuevo modelo en hacer solo el trabajo ! Parte del trabajo terminado = (Rapidez)(Tiempo) en un tiempo dado 1 Rapidez del viejo modelo = Trabajo por hora 6 1 Rapidez del nuevo modelo = Trabajo por hora x     Parte del trabajo Parte del trabajo     terminado por el modelo + terminado por el modelo = 1Trabajo Terminado viejo en 2 horas nuevo en 2 horas ! ! ! ! Rapidez del Tiempo del Rapidez del Tiempo del + = 1 Recuerde Q = RT modelo viejo modelo viejo modelo nuevo modelo nuevo 1 1 (2) + (2) = 1 x 6= 0 6 x Problema 3.13. Mezclas ¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se tendr´ıan que agregar a 5 litros de una solución al 20 % para obtener una solución al 30 %? Soluci´ on. Sea x = cantidad usada de solución al 80 % x + 5 litros} = (x + 5) litros | litros {z | {z } Antes de mezclar



Despu´ es de mezclar

     Cantidad de Cantidad de Cantidad de        alcohol en la  +  alcohol en la  =  alcohol en la  primera soluci´on segunda soluci´on mezcla 0,8x + 0,2(5) = 0,3(x + 5)

Se agrega un litro de la soluci´on al 80 % Problema 3.14. Dieta Una persona quiere incluir en su dieta leche y jugo de naranja, para aumentar la cantidad de calcio y vitamina A. Una onza de leche contiene 38 miligramos de calcio y 56 microgramos de vitamina A. Una onza de jugo de naranja contiene 5 miligramos de calcio y 60 miligramos de vitamina A. ¿Cuantas onzas de leche y jugo de naranja deber´a tomar al d´ıa para obtener exactamente 550 miligramos de calcio y 1200 microgramos de vitamina A? Soluci´ on. Primero se definen las variables importantes: x = y =

N´ umero de onzas de leche N´ umero de onzas de jugo de naranja 191

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En seguida se resume en una tabla, la informaci´on con que se cuenta. Es conveniente organizar la informaci´on en las tablas de manera que las cantidades representadas por las variables se encuentren en las columnas (en vez de renglones), como se muestra.

Calcio Vitamina A

Leche 38 56

Juego de naranja Necesidades totales 5 550 60 1200

Ahora, se usa la informaci´on de la tabla para formar ecuaciones que implican a x y y. ! ! ! Calcio en x Calcio en y onzas Calcio total + = onzas de leche de juego de naranja necesario(mg) 38x + 5y = 550 ! ! ! Vitamina A en x Vitamina A en y onzas Vitaminas A total + = onzas de leche de jugo de naranja necesaria (µg) 56x + 60y = 1200 5y = 550 − 8x

resuelva la primera ecuaci´on para y

Problema 3.15. Velocidad del viento Un avion recorre las 2400 millas de Washington, D.C., a San Francisco en 7,5 horas y hace el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avion viaja a una velocidad constante y que el viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avion y la rapidez del viento. Soluci´ on. Sea que x represente la velocidad del avion y que y representa la rapidez con la cual sopla el viento (ambas en millas por hora). La velocidad terrestre del avion se determina al combinar estas dos velocidades; es decir, x-y x+y

= velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente) = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola)

Aplicando la conocida formula D = RT para cada parte del viaje se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 2400 = 7,5(x − y) 2400 = 6(x + y)

De Washington a San Francisco De San Francisco a Washington

Despu´es de simplificar, se tiene x − y = 320 x + y = 400

192

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Usando sustituciones para resolver: x = y + 320 Resuelva la primera ecuaci´on para x y + 320 + y = 400

Sustituya y en la segundo ecuaci´on

2y = 80 y = 40mph Sustituya en (1) x = 40 + 320 x = 360mph Velocidad del avion Problema 3.16. Distancia, rapidez y tiempo A una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje de ida y vuelta 36 millas aguas arriba. SI la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora ¿cual es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas? Soluci´ on. Sea x x+4 x−4 Tiempo a corriente

= Rapidez de la lancha en aguas tranquilas = Rapidez con la corriente a favor = Rapidez a contracorriente ! Tiempo con la − = 1,6 corriente a favor 36 36 D − = 1,6 T = , x 6= 4, x 6= −4 x−4 x+4 R 36(x + 4) − 36(x − 4) = 1,6(x − 4)(x + 4)

36x + 144 − 36x + 144 = 1,6x2 − 25,6 1,6x2 = 313,6

x2 = 196 √ x = 196 = 14 La rapidez en aguas tranquilas es de 14 millas por hora Problema 3.17. Cantidad, rapidez y tiempo Una nomina se puede terminar en 4 horas en dos computadoras simult´aneamente ¿Cuantas horas ser´an necesarias para cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarde 3 horas mas que el nuevo?.Calcule la respuesta con dos cifras decimales Soluci´ on. Sea x = x+4 = 4 =

Tiempo que tarda el nuevo modelo en terminar solo la nomina Tiempo que tarda en terminar la nomina solo el modelo viejo Tiempo en que terminan la nomina ambas computadoras trabajando juntas 193

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Entonces, 1 x 1 x+3

= =

Rapidez del modelo nuevo Rapidez del modelo viejo



   Parte del Parte del trabajo terminada trabajo terminada      +  = 1 trabajo completo  por el modelo   por el modelo  viejo en 4 horas 1 1 (4) − (4) = 1 x 6= 0, x 6= −3 x x+3 4 4 + = 1 x x+3 4(x + 3) + 4x = x(x + 3)

nuevo en 4 horas

√ 2

≈ 6,77

x2 − 5x − 12 = 0 √ 5± 2 x= 2 √ 5 − 73 ≈ −1,77 | 2 {z }

se descarta puesto que x no puede ser negativa

x + 3 = 9,77

El modelo nuevo terminar´a la nomina en 6,77 horas trabajando sola, y el modelo viejo la terminar´ıa en 9,77 horas

Actividades 1. Una l´ınea telefónica debe tenderse entre dos torres situadas en orillas opuestas de un r´ıo en puntos A y B. El ancho del r´ıo es de 1 kilómetro y B está situado a 2 kilómetros r´ıo abajo de A. Tiene un costo de c dólares por kilómetro tender la l´ınea por tierra y 2c dólares por kilómetro bajo el agua. La l´ınea telefónica deberá seguir la orilla del r´ıo empezando en A una distancia x (en kilómetros) y luego cruzar el r´ıo diagonalmente en l´ınea recta hacia B. Determine el costo total de la l´ınea como función de x. Respuesta: El costo está dado por: √ y = cx + 2c x2 − 4x + 5 2. El se˜ nor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitación. A una renta más alta, algunas habitaciones quedarán vac´ıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5, una habitación quedará vac´ıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine 194

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la relación funcional entre el ingreso mensual total y el n´ umero de habitaciones vac´ıas. ¿Qué renta mensual maximizar´ıa el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso máximo? Respuesta: La renta por habitación es entonces de (200 + 5x) dólares ó $250 y el ingreso total es de $12500 al mes. 3. Un trabajador com´ un de cierta fábrica puede producir f (t) unidades por d´ıa después de t d´ıas de haber ingresado al trabajo, donde: f (t) = 50(1 − e−0,34t ) ¿Cuántas unidades por d´ıa puede producir el trabajador después de 7 d´ıas de trabajo? Respuesta: El trabajador puede producir 45 unidades por d´ıa después de 7 d´ıas de trabajo. 4. Suponga que a la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $8 por unidad y de $200 unidades si son a $51 cada una. Determinar la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. 7 Respuesta: p = − 100 q + 65

5. El gerente de una tienda de departamentos quiere construir en el estacionamiento de la tienda, un anexo rectangular que tenga un área de 600 pies cuadrados para poder exhibir cierto equipo. Las paredes de tres lados del anexo se construirán en madera que tiene un costo de $57 el pie lineal. La cuarta pared se construirá con tabiques de block que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de manera que minimicen el costo total de los materiales de construcción. Respuesta: costo m´ınimo de $840 es cuando x = 20. 6. La l´ınea de autobuses WMA ofrece paseos tur´ısticos para visitar lugares de interés en Washington DC. Uno de los paseos que cuesta $7 por persona, ha tenido una demanda promedio de 1000 usuarios a la semana. Cuando se redujo el precio a $6, la demanda semanal pasó a ser alrededor de 1200 usuarios. Suponiendo que la ecuación de demanda es lineal, encuentre el precio del paseo que maximiza el ingreso total semanal. Respuesta: el precio de $6 es el más adecuado para obtener mayores ingresos semanales. 7. Un fabricante de cajas de cartón piensa producir cajas abiertas a partir de láminas de cartón con dimensiones de 10 por 17 pulgadas, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si x pulgadas es la longitud del lado del cuadrado que va a ser cortado, exprese el n´ umero de pulgadas c´ ubicas del volumen de la caja como una función de x. Respuesta: V (x) = 4x3 − 54x2 + 170x 8. En 1984, los soviéticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con mas profundidad en la corteza terrestre(con mas de 12 kilómetros de profundidad). Al 195

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perforar descubrieron que después de los 3 kilómetros la temperatura aumentaba 2,5o C por cada 100 metros de profundidad que aumentaban. (A) Si la temperatura a los 3 kilómetros es de 30o C y x es la profundidad del pozo en kilómetros, plantee una ecuación usando x de manera que indique la temperatura T en el pozo a mas de 3 kilometros de profundidad (B) ¿Cual ser´ıa la temperatura a 15 kilómetros? (La temperatura limite de soportaba su equipo de perforación era alrededor de 300o C) (C) ¿A que profundidad (en kilómetros) encontrar´ıan una temperatura de 280o C? Respuesta: (A) T = 30 + 25(x − 3)

(B) 330o C

9. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria alrededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de los dos ondas a una estación sismica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga que una estación mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. ¿A que distancia de la estación esta el epicentro del temblor? (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia del barrido en tres o mas estaciones) Respuesta: 90ml 10. Una naturista de un departamento de pesca calculo el n´ umero total de truchas en cierto lago mediante la popular técnica de captura, marcaje y recaptura. En total pescó, marcó y libero 200 trucha. Una semana después durante la cual se pudieron mezclar volvió a pescar 200 truchas entre las que se encontró 8 marcadas. Suponiendo que el porcentaje de truchas marcadas con relación al n´ umero total de la segunda muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en a primera muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en la primera muestra con relación al total de la población de truchas, estime el n´ umero total de peces en el lago. Respuesta: 5000 Truchas 11. En un experimento sobre motivación, el profesor Brown entrenó a un grupo de ratas para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arnes y lo conectó a un alambre unido a un medidor. Después colocó a las ratas a diferentes distancias de la comida y midió el jalón (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontró que la relación entre motivación (jalón) y la posición estaba dada aproximadamente por la ecuación 1 p = d + 70 5

196

30 ≤ d ≤ 70

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donde el jalón p se midió en gramos y la distancia d en cent´ımetros. Cuando el jalón registrado fue de 40 gramos, ¿a que distancia de la caja objetivo llego la rata? Respuesta: 150 cm 12. A una compa˜ n´ıa de grabación peque˜ na cuesta $17680 producir un álbum. Este es un costo fijo que incluye la grabación, el dise˜ no del album, etcetera. Los costos variables, incluyendo la producción, comercialización y regal´ıas son de $4,60 por album. Si el album se vende en las tiendas de discos s $8 cada uno. ¿Cuantos debe vender la compa˜ n´ıa para llegar al punto de equilibrio? Respuesta: 5200 discos 13. Un proveedor de la industria electrónica fabrica los teclados y pantallas para calculadoras gráficas en plantas de México y Taiwan. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta ¿Cuantas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4000 teclados y pantallas? Planta Teclados Mexico 40 Taiwan 20

Pantallas 32 32

Respuesta: Planta en Mexico: 75 h; Planta en Taiwan: 50 h 14. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a recibir, entre otro alimentos, 20 gramos de prote´ına y 6 gramos de grasa. El laboratorista puede comprar dos mezclas de alimentos que tiene la siguiente composición: La mezcla A tiene 10 % de prote´ına y 6 % de grasa., la mezcla B tiene 20 % de prote´ına y 2 % de grasa. ¿Cuantos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada para un solo animal? Respuesta: Mezcla A = 80gr; mezcla B = 60gr 15. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleración constante. Si s es la distcnaia sobre el suelo (en pies), ala que está el objeto t segundos después de que se soltó, entonces s y t están relacionado por una ecuación de la forma s = a + bt2 donde a y b son constante. Suponga que el objeto está a 180 pies sobre el suelo un segundo despues de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos después: (A) Encuentre las constantes a y b (B) ¿Que altura tiene el edificio? 197

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(C) ¿Cuanto tiempo cae el objeto? Respuesta: (A)a = 196 b = −96, (B)196 pies (C) 3,5 seg. 16. La compa˜ n´ıa electrónica del problema 79 encuentre que si aumentan los precios de las partes aumentan los costos variables a $50,5 por calculadora (A) Analice las posibles estrategias que la compa˜ n´ıa podr´ıa usar para tratar de solucionar este aumento de costos (B) Si la compa˜ n´ıa continua vendiendo la calculadora a $63 ¿cuantas tiene que vender hora para obtener utilidades? (C) Si la compa˜ n´ıa quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de producción que tenia antes del aumento de costos ¿en cuanto tendr´ıa que incrementar el precio de venta al mayoreo? Respuesta: (B)x > 5200 (C) Aumento de precio al mayoreo de $3,50 a $66,50 seg. 17. Si en un casa, la demanda de potencia en un circuito eléctrico de 110 volts varia entre 220 y 2750 watts, ¿Cual es el rango de corriente que fluye a través del circuito? (W = EI, donde W = potencia de watts, E = voltaje den volts, I = corriente en amperios) Respuesta: 1 ≤ 1 ≤ 25 ó [2, 25] 18. Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo y viajan en ángulo recto uno con respecto del otro. Una hora después están separados por 260 millas. Si uno viaja 140 millas por hora más rápido que el otro, ¿cuál es la rapidez de cada uno?. Respuesta: 100 millas por hora, 240 millas por hora. 19. Para un carro que viaja a una velocidad de v millas por hora, en las mejores circunstancias posibles, la distancia más corta d que necesita para detenerse (incluyendo el tiempo de reacción) está dada por la fórmula emp´ırica d = 0,044v 2 + 1,1v, donde d se mide en pies. Calcule la velocidad de un carro que requiere de 165 pies de distancia para detenerse en una emergencia. Respuesta: 50 millas por hora. 20. Un arquitecto quiere construir un edificio rectangular en un terreno de forma triangular que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo (véase la figura). Encuentre las dimensiones del edificio si la sección transversal de au área mide 15 000 pies cuadrados. [Sugerencia: Use el teorema de Euclides para encontrar una relación entre el largo y el ancho del edificio] Respuesta: 50 pies de ancho, 4 300 pies de largo ó 150 pies de ancho y 100 pies de largo. 198

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200 pies 15 000 pies cuadrados 400 pies

21. Un aserradero corta rectÂángulos de un tronco (vÂéase la figura). Si el diÂámetro del tronco mide 16 pulgadas y el Âárea de la secciÂón transversal de la viga 120 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones de la secciÂón transversal de la viga correcta con una cifra decimal

Respuesta: 13.1 pulgadas por 9.1 pulgadas. 22. Una artesa para agua estÂá construida una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies, con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre si exactamente enmedio del rectÂángulo, forman un triÂángulo en cada lado (vÂéase la figura). Si el volumen de la artesa es de 9 pies cÂ´ ubicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales. 6 pies

2 pies

Respuesta: 1.65 pies Â´o 3.65 pies. .

2x â&#x2C6;&#x2019; 6

23. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R

< 4 y B = {x â&#x2C6;&#x2C6; R/|3x + 2| â&#x2030;¤ |2x â&#x2C6;&#x2019; 1| + |x + 3|}. xâ&#x2C6;&#x2019;1

Hallar: A â&#x2C6;Š B, Ac â&#x2C6;Š B, B â&#x2C6;Ş (B â&#x2C6;&#x2019; A)c . |x2 â&#x2C6;&#x2019; 2| 24. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R 0 â&#x2030;¤ < x + 1 , encontrar Ac â&#x2C6;&#x2019; A 1â&#x2C6;&#x2019;x . x|x â&#x2C6;&#x2019; 4| 25. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R > 0 , hallar Ac . 16 â&#x2C6;&#x2019; x2 199

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p 26. Si A = {x â&#x2C6;&#x2C6; Z/ 8 â&#x2C6;&#x2019; |x2 â&#x2C6;&#x2019; 1| Âˇ (x2 â&#x2C6;&#x2019; x + 6) â&#x2030;Ľ 0}, dar por expansiÂ´on el conjunto A. . x |x| 27. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R <0 â&#x2C6;¨ > 0 =â&#x2021;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;5, 0] â&#x2C6;Ş {5}, hallar â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? |x| â&#x2C6;&#x2019; a xâ&#x2C6;&#x2019;a

28. Sean las proposiciones siguientes:

A1 ) Sea x â&#x2C6;&#x2C6; R. Luego, |x â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2C6;&#x2C6; {a â&#x2C6;&#x2019; x}, si x â&#x2030;Ľ a, â&#x2C6;&#x20AC; a â&#x2C6;&#x2C6; R A2 ) Para cada nÂ´ umero real x, |x + 1| > |x|

p A3 ) Si A = {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/existe un nÂ´ umero real x con la propiedad |x â&#x2C6;&#x2019; 1| > m, entonces: A = {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/m â&#x2030;¤ 0} â&#x2C6;Ş {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/existe un nÂ´ umero real x con la propiedad p m â&#x2030;Ľ |1 â&#x2C6;&#x2019; x|

ÂżCuÂ´ales de las proposiciones anteriores son verdaderas o falsas y por quÂ´e?

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Federico Villareal Villareal Sabio Lambayecano Federico Villarreal nació el 31 de agosto de 1850 en T´ ucume, departamento de Lambayeque (Per´ u). A los 14 a˜ nos fue cajero en una empresa despepitadora de algodón, pero no dejó de lado sus estudios que lo llevar´ıan hacer profesor y as´ı fue: a los 20 a˜ nos obtuvo el t´ıtulo de preceptor otorgado por la comisión departamental de Instrucción p´ ublica de Trujillo el cual le permitió dirigir la escuela oficial de T´ ucume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigió un colegio de instrucción media en la ciudad de Lambayeque, ense˜ nó all´ı matemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque. La experiencia de Villarreal como maestro elemental se˜ naló sólo una primera etapa. Su vocación de matemático bull´ıa desbordando su ense˜ nanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 a˜ nos descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de ciencias matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose como bachiller en 1879 con la tesis: “Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras como licenciado con la tesis: .Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros”(1880). En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: “Clasificación de Curvas de Tercer Grado”destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le mereció a Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Per´ u. Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880, donde dictó su primer curso: Astronom´ıa; luego en esa misma casa de estudio se encarga de los cursos: Revisión de Matemáticas, Mecánica Racional, Geodesia y Teor´ıa General de Motores y Máquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e intelectuales, llegar´ıa a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a 1923. Siguió estudios en la Escuela nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero civil y de minas en 1886. En este centro docente ense˜ nó los cursos de f´ısica, cálculo infinitesimal, teor´ıa de caminos, puentes y ferrocarriles, Topograf´ıa y luego los cursos de Resistencia de Materiales e Hidráulica. También fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde ense˜ nó los cursos de: Cosmograf´ıa, Trigonometr´ıa Esférica, Construcción de Cartas Topográficas y Cálculo de Probabilidades. Fundó la Revista de Ciencias en 1897. F. Villarreal participó activamente formando parte del contingente sanmarquino en la Guerra con Chile espec´ıficamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero 2

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de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente- En 1893 se enrola en la Guardia Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batallón “Defensores de la Patria”. También incursionó en la pol´ıtica. En1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido Civil en el distrito de Mochumi (Lambayeque). Posteriormente, en el a˜ no 1892 fue elegido senador suplente de su departamento. Más tarde, es elegido nuevamente senador por Lambayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significación sus discursos sobre la ”Ley de Enfiteusis sobre la ”Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios”. Fue uno de los iniciadores de la ley que estableció el examen de ingreso a la universidad. Villarreal también pose´ıa una notable cultura filosófica de manifiesta preferencia por la corrientes mecanicistas propias de aquella época y sostenidas entre otros por Wronski, corrientes que parec´ıan tener la posibilidad de lograr una s´ıntesis entre la filosof´ıa y la Mecánica Celeste como sistema de descripción causalista del equilibrio universal cualesquiera que fuera le estructura y consistencia del Universo. Sobre el lado humano de Vilarreal, Basadre dice al respecto: “Villarreal no fue un sabio pac´ıfico e inofensivo. Muchas veces refutó a presuntos expertos e inventores y polemizó con ellos implacablemente sin desde˜ nar su poca jerarqu´ıa intelectual. Tuvo también veleidades ling¨ u´ısticas. A pesar de su genio, Villarreal no tuvo brillo como profesor. En sus lecciones, su gran dificultad de expresión levantó un muro ante sus alumnos, dando lugar, de un lado a monólogos acompa˜ nados por complicados cálculos en la pizarra y, de otro a escenas cómicas o grotescas. Hombre apasionado como decano en la Facultad de Ciencias de la UNMSM ejerció una verdadera dictadura. A pesar de humanas debilidades y de deficiencias ahondadas por la falta de una educación adecuada o por las limitaciones del ambiente, Villarreal es todo un personaje en la historia del Per´ u”. El Dr. Federico Villarreal fallece en Barranco (Lima) el 3 de Junio de 1923.3 2

Trabajos del Dr. Villarreal Federico Villarreal dejó un aproximado de 538 trabajos en diversos campos de la ciencia y tecnolog´ıa fundamentalmente en matemáticas, ingenier´ıa, f´ısica, pedagog´ıa, geograf´ıa, historia y ling¨ u´ıstica. 1. En matemáticas sus principales trabajos fueron: a) “Elevación de polinomios a una potencia cualquiera”(1879) b) “Clasificación de las curvas de tercer grado”(tesis doctoral de 1881) En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matemáticamente 80 curvas de tercer grado 3

En marzo del 2011 durante el segundo congreso del Colegio de Matemáticos del Per´ u realizado en la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo se declaró oficialmente el d´ıa del fallecimiento de Villareal como el “D´ıa del Matemático Peruano”

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c) “Aportes a la teor´ıa de los n´ umeros”(1897) La teor´ıa de los n´ umeros atrajo siempre la atención de Villarreal tal es as´ı que le dedicó numerosos art´ıculos. Entre ellos se destacan dos teoremas referentes a criterios de divisibilidad que el descubrió: La diferencia de dos n´ umeros que son representados por las mismas cifras en dos sistemas de numeración de bases diferentes es divisible por la diferencia de las bases Un n´ umero es divisible por un cierto divisor si lo es la suma de sus cifras cuando se le escribe en el sistema de numeración cuya base es el divisor aumentado en la unidad; o bien si los es la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de las de lugar impar cuando se le escribe en el sistema de numeración cuya base es el divisor disminuido en al unidad d) “Geometr´ıa no Euclideana”(1898) Este trabajo fue presentado por Villarreal en el Primer Congreso Cient´ıfico Latinoamericano realizado en Buenos Aires (Argentina) en 1898. Aqu´ı describe los fundamentos de las geometr´ıas de Lobatschewsky y Riemann. e) “Poliedros Regulares y semiregulares”(1906-1907) Esta obra contiene una exposición histórica y el cálculo de vol´ umenes de los poliedros regulares y semiregulares empleando los principios de la trigonometr´ıa esférica. f) “Integración por Traspasos”(1920) Trabajo que apareció por primera vez como parte de su tesis de bachiller en 1879 en que valiéndose del método de integración por partes obtiene una fórmula que generaliza la llamada fórmula de integración de Bernouilli. g) “Resolución general de las ecuaciones de quinto grado” Estudio cr´ıtico de un método propuesto por Wronski en 1827 para la resolución de las ecuaciones de quinto grado , traducido, analizado y corregido por Villarreal. ´ llega a la conclusión que Wronski hace en este trabajo el empleo de una función Este que llama ”función Shin”que corresponde a los actuales determinantes, explica los errores de Wronski y concluye con la imposibilidad de la solución algebraica de las citadas ecuaciones 2. En Ingenier´ıa: a) “Tratado de resistencia de Materiales”(1911) En este importante trabajo de Villarreal están insertos dos trabajos originales: “Cálculos de los momentos de flexión en una viga empotrada en sus dos extremos” 203

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En este trabajo Villarreal analiza los problemas de las vigas empotradas ya sea en ambos lados o empotradas en un extremo y libre en el otro descubriendo los llamados ”momentos de empotramiento”que hasta esa época no se hab´ıa podido calcular. “Deformación de las vigas que trabajan a la flexión” Aqu´ı el problema de la flexión de una viga Villarreal lo reduce a una ecuación diferencial de cuarto grado y sus integrales sucesivas dan: la primera, el esfuerzo cortante; la segunda, los momentos de flexión; la tercera, la deflexión de una viga; y la cuarta y u ´ ltima, la ecuación del eje deformado. b) ”Teor´ıa de Máquinas y Motores”(No se conoce a˜ no de publicación) En la que hace una exposición sistemática y rigurosa de todas las condiciones referentes al equilibrio de las máquinas. 3. En F´ısica: a) “Principio de la Relatividad”(1909) Raro trabajo de Villarreal en la que logra interpretar el principio de relatividad restringida formulado por Einstein en 1905 y expone un desarrollo metódico de las modificaciones que debido a este principio experimentan las leyes clásicas de la mecánica. Es de advertir que en aquella época no fue tarea fácil la interpretación inmediata del principio de la relatividad para muchos hombres de ciencia, debido en gran parte a que la mentalidad clásica se mostró hermética ante la consideración de las condiciones epistemológicas en le técnica de la observación de los fenómenos. b) “Descarga Oscilante en un Condensador”(1916) Interesante trabajo de electrodinámica en el que resuelve el problema teórico de la descarga Disruptiva obteniendo la fórmula de Thompson para el periodo de las oscilaciones. c) “Dinámica Anal´ıtica”(1917) En esta obra está incluida el importante trabajo sobre “Choques de un n´ umero cualquiera de Cuerpos”. d) “Trabajo mecánico del Hombre”(No se conoce a˜ no de publicación) En él se refiere a cuestiones realmente curiosas y algunas de ellas muy u ´ tiles , tales como: el equilibrio del hombre, la marcha de un hombre con carga, la fatiga m´ınima del cargador, la condición para que se haga el máximo camino antes del cansancio, etc todo en base a datos experimentales y resultados matemáticos. 4. En Pedagog´ıa: a) “Memorias Pedagógicas”(No se conoce a˜ no de publicación) 204

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b) “Recreaciones matemáticas”(No se conoce a˜ no de publicación) 5. En Geograf´ıa: a) Método para determinar la latitud y longitud de los lugares del Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicación) Este trabajo lo inicia con una introducción sobre la metodolog´ıa a seguir para la medición De coordenadas geográficas de un lugar y expone a continuación una técnica simple para la determinación de meridianos, la hora solar, las latitudes y longitudes geográficas. Contiene una tabla de latitudes y longitudes de 700 lugares del Per´ u. b) “Trazo del meridiano por la Cruz del Sur”(No se conoce a˜ no de publicación) c) “Coordenadas geográficas del Departamento de Lambayeque y Cuzco”(1905) d) “Extensión Superficial del Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicación) 6. En historia: a) “Historia de las matemáticas en el Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicación) Este trabajo comprende una introducción y estudios sobre la numeración, la geometr´ıa, la mecánica, la astronom´ıa y la hidráulica en el Imperio de los Incas ; sigue con un estudio sobre la ense˜ nanza académica de las matemáticas en el virreinato y finalmente se ocupa de las matemáticas en la Rep´ ublica. b) “Los cometas en los tiempos de Huayna Capac”(1894) Utilizando como fuente principal al cronista Inca Garcilazo de la Vega, Villarreal realiza una confrontación entre las observaciones realizadas por la ciencia occidental desde la aparición de los primeros instrumentos de observación y los datos proporcionados por Garcilazo, llegando a identificar los cometas descritos en las crónicas de la conquista c) “El Archivo de Raymondi”(No se conoce a˜ no de publicación) d) “Or´ıgenes del Sistema métrico”(No se conoce a˜ no de publicación) 7. En ling¨ u´ıstica: a) “Manual y Diccionario de Esperanto”(1900) Idioma nuevo y universal, el esperanto al que Villarreal le prodigó lastimosamente tiempo, dinero y energ´ıa, y a dirigir y redactar como colaborador u ´ nico la revista ”¡Antuanen esperantistoj!”(Adelante Esperantistas) que fundara en 1903. b) “La Lengua Yunga”(1921) Villarreal publicó una gramática y un vocabulario de la lengua mochica o Yunga. Esta lengua se hablaba en los departamentos de la costa norte del Per´ u En la actualidad esta lengua esta completamente extinguida. 205

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Problemas de Villarreal Formulado por Villarreal en 1906 y denominado por él como: .El Problema del Ni˜ no dice ¨ as´ı: Un móvil se desplaza en l´ınea recta con una velocidad constante y otro móvil se mueve también a velocidad constante, de modo que la tangente a su trayectoria pasa constantemente por el primer móvil. Hallar la ecuación de la curva descrita por el segundo móvil”. En una nota de 1908 Villarreal plantea y resuelve los dos problemas siguientes: 2

1. “Hallar dos n´ umeros terminados en la misma cifra y tales que las dos u ´ ltimas cifras de su producto constituyan el cuadrado de la cifra en que terminan los dos n´ umeros dados”. 2. “Hallar tres n´ umeros terminados en la misma cifra cuyo producto termina en tres cifras que constituyan el cubo de la cifra en que terminan los n´ umeros dados”. ¿Puede Ud. resolverlos?. Una an´ ecdota en la vida del Dr. Villarreal Esta es una de las muchas anécdotas de Villarreal que a continuación les relato: “En la Maison de Santé (que es un hospital) falleció en diciembre de 1909, a la edad de 86 a˜ nos, José Sebastian Barranca, antiguo catedrático de Botánica en la Facultad de Ciencias de la UNMSM, filólogo naturalista, Sebastian Barranca vivió para sus estudios e investigación. Su sepelio fue modest´ısimo. El estado y la universidad estuvieron en él ausentes. Los colegas que acudieron no pasaron de media docena. No estuvo representada la juventud estudiantil. El mayor porcentaje de oyentes que tuvo Villarreal cuando pronunció su discurso f´ unebre fue el de unos 40 negritos de humilde condición que ni conoc´ıan al muerto pues ellos hab´ıan asistido a otro entierro. Seg´ un se dijo,la Beneficencia negó un nicho perpetuo al sabio Barranca por no haber pagado el precio respectivo” Se imaginan al ilustre Dr. F Villarreal pronunciando un discurso f´ unebre a personas que en su mayor´ıa eran negritos y donde casi ning´ un catedrático y alumno asistieron y para colmo los negritos eran de otro entierro.¡¡¡¡¡!!!!!!!. Y surge una pregunta en mi mente: ¿porqué no asistieron? acaso pocos fueron avisados de la muerte del sabio? o quizá fue un pésimo profesor y nadie quiso asistir a su sepelio?........ahhhh cosas de la Vida. Comentario acerca de la vida del Dr. Villarreal Villarreal fue un personaje multifacético y dinámico le entró a casi todo desde modesto profesor de primaria y secundaria, a profesor universitario, matemático, ingeniero, soldado, pol´ıtico y hasta ling¨ uista, ¡que tipo! muy pocas veces se encuentra en la historia de un pa´ıs latino 206

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un personaje como éste. Es notable que encontrándose lejos de la influencia de los grandes matemáticos de la época, Villarreal haya podido arribar a importantes estudios y descubrimientos como los que efectuó, lo que resalta su talento. Su dominio en el campo de la ciencia es bastante amplio pues ense˜ nó varios cursos, algunos sin relación directa como: astronom´ıa, mecánica racional, hidráulica, teor´ıa de probabilidades, topograf´ıa, cálculo infinitesimal, f´ısica, etc.. Siendo un sencillo profesor de secundaria, con sólo 23 a˜ nos y sin haber estudiado en una universidad, Villarreal descubre el método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera, asombroso verdad?. Sin embargo lo mas interesante de su vida cient´ıfica es el hecho de que efectuó contribuciones originales al desarrollo de las matemáticas e ingenier´ıa,algo pocas veces visto en los matemáticos de habla espa˜ nola. Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: “El Newton del Per´ u”

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3.4.

Sesi´ on 14: Proporcionalidad. Inter´ es simple. Inter´ es compuesto. Modelos financieros En la mayor parte de las ciencias una generaci´on derriba lo que otra hab´ıa construido, y lo que uno parec´ıa haber demostrado firmemente otro lo deshace. Solo en la matemati ca cada generaci´on construye un nuevo piso sobre la vieja estructura. Hermann Hankel ´ticas del consumidor Contextualizando: Matema

Es fácil posponer la cuestion de labor para los a˜ nos en que nos retiremos. El retiro puede parecer distante y con frecuencia hay muchas razones para no iniciar un plan de ahorro para ese entonces. ¿Retrazar el comienzo de un fondo de retiro tiene un marcado efecto en la cantidad de dinero que un individuo posee a los 65 a˜ nos de edad? Considere dos planes de jubilación. En el plan A, una persona empieza ahorrar a los 20 a˜ nos y deposita 2000 d´ olares en un fondo de retiro cada a˜ no, desde los 21 a˜ nos de edad a los 30. después de esta edad, no hace más contribuciones. En el plan B, la persona espera hasta los 30 a˜ nos de edad para empezar ahorrar y entonces deposita 2000 d´ olares en el fondo de retiro en cada cumplea˜ nos entre los 31 y los 65 a˜ nos de edad. Si el fondo de retiro paga 12 % de interés, ¿qué plan implicara una mayor cantidad de dinero acumulada?. La tabla indica la cantidad de dinero (en dólares) en el fondo para cada plan a las distintas edades Edad 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Plan A 0 12,706 35,097 61,864 109,007 192,108 338,560 596,659 1,051,517 1,853,133

Plan B 0 0 0 12,706 35,097 74,559 144,105 1266,668 482,665 863,327

El plan A tiene como consecuencia la acumulaci´ on de $1,853,133, mientras que el plan B produce $863,327. Las primeras contribuciones pueden significar una diferencia sustancial. En esta unidad, aprenderemos acerca del interés compuesto. El interés compuesto, a lo largo del tiempo, es la razón del crecimiento de una cantidad relativamente peque˜ na a más de 1 millon de dólares. 208

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3.4.1.

Inter´ es simple

Una aplicación natural de las funciones lineales al mundo de las finanzas aparece en el cálculo del interés simple, que es el interés calculado sobre el capital. As´ı, si I denota el interés sobre un capital P (en dólares) con una tasa de interés de r por a˜ no durante t a˜ nos, entonces se tiene I = P rt (3.3) La cantidad acumulada A, la suma del capital y el interés después de t a˜ nos, está dada por A = P + I = P + P rt = P (1 + rt)

(3.4)

y es una función lineal de t. Por lo general, en las aplicaciones de administración, sólo interesa en caso en que t es positivo, de modo que sólo importa la parte de la recta que está en el primer cuadrante. Ejemplo 3.4. Un banco paga un interés simple a razón de 8 % anual para ciertos depósitos. Si un cliente deposita $1000 y no realiza retiros durante tres a˜ nos, ¿cuál es la cantidad depositada al final de tres a˜ nos?, ¿cuántos intereses se generarron en ese per´ıodo? Soluci´ on. Al utilizar (3.4) con P = 1000, r = 0,08 y t = 3, la cantidad total depositada al final de tres a˜ nos está dada por A = P (1 + rt) = 1000[1 + (0,08)(3)] = 1240 El interés generado durante el per´ıodo de tres a˜ nos está dado por I = P rt = 1000(0,08)(3) = 240 Ejemplo 3.5. Se invierte una cantidad de $2000 en un fideicomiso a 10 a˜ nos que paga 6 % de interés simple anual. ¿Cuál es la cantidad total en el fideicomiso al final de los diez a˜ nos? Soluci´ on. La cantidad total en el dideicomiso al final de diez a˜ nos está dada por A = P (1 + rt) = 2000[1 + (0,06)(10)] = 3200 o $3200.

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3.4.2.

Inter´ es compuesto

En contraste con el interés simple, el interés generado que se suma en forma periódica al capital y que por lo mismo gana intereses con la misma tasa, se llama inter´ es compuesto. A fin de determinar una fórmula para la cantidad acumulada, consideraremos un ejemplo numérico. Supóngase que se depositan $1000 (el capital) en un banco durante tres a˜ nos, que genera un interés de 8 % por a˜ no (llamada tasa nominal o establecida) compuesto anualmente. Entonces, al utilizar (3.3) con P = 1000, r = 0,08 y t = 1, la cantidad acumulada al final del primer a˜ no es A1 = P (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)] = 1000(1,08) = 1080 o $1080. Para hallar la cantidad acumulada A2 al final del segundo a˜ no, se vuelve a usar (3.4), esta vez con P = A1 , (Recuérdese que ahora el capital y el interés generan intereses en el segundo a˜ no.) Se obtiene A2 = P (1 + rt) = A1 (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)][1 + 0,08(1)] = 1000[1 + 0,08]2 = 1000(1,08)2 = 1166,40 Por u ´ ltimo, la cantidad acumulada A3 al final del tercer a˜ no se encuentra utilizando (3.4) con P = A2 , de donde A3 = P (1 + rt) = A2 (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)]2 [1 + 0,08(1)] = 1000[1 + 0,08]3 = 1000(1,08)3 = 1259,71 o alrededor de $1259.71. Al reexminar estos calculando, se ve que las cantidades acummuladas al final de cada a˜ no tienen esta forma: Primer a˜ no: A1 = 1000(1 + 0,08), o A1 = P (1 + r) Segundo a˜ no: A2 = 1000(1 + 0,08)2 , o A2 = P (1 + r)2 Tercer a˜ no: A3 = 1000(1 + 0,08)3 , o A3 = P (1 + r)3 Estas observaciones sugieren el siguiente resultado general: si se invierten P dólares en un término de t a˜ nos con intereses a una tasa r por a˜ no compuesta anualmente, entonces la cantidad acumulada es A = P (1 + r)t (3.5) 210

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La fórmula (3.5) se dedujo suponiendo que el interés fue compuesto anualmente, sin embargo en la práctica el interes compuesto más de una vez al a˜ no. El lapso entre el cálculo de los intereses sucesivos es el periodo de conversi´ on o per´ıodo de capitalizaci´ on. Si los intereses a una tasa nominal r por a˜ no se componen m veces al a˜ no sobre un capital de P dólares, la tasa de interés simple por per´ıodo de conversión es i=

Tasa de inter´es anual Per´ıodos por a˜ no

r m

por ejemplo, si la tasa de inter´es nominal es de 8 % por a˜ no (r = 0,08) y el inter´es es compuesto cada trimestre (m = 4), entonces i=

r 0,08 = = 0,02 m 4

o 2 % por per´ıodo. A fin de establecer una fórmula general para la cantidad acumulada cuando se deposita u capital de P dólares en un banco durante un lapso de t a˜ nos, con intereses a una tasa (nominal) r por a˜ no compuesta m veces al a˜ no, se procede como antes, utilizando (3.4) en forma repetida con la tasa de interés i = r/m. Vemos que la cantidad acumulada al final de cada per´ıodo es Primer per´ıodo: Segundo per´ıodo: Tercer per´ıodo: .. .

A1 = P (1 + i) A2 = A1 (1 + i) = [P (1 + i)](1 + i) = P (1 + i)2 A3 = A2 (1 + i) = [P (1 + i)2 ](1 + i) = P (1 + i)3 .. .

n−ésimo per´ıodo: An = An−1 (1 + i) = [P (1 + i)n−1 ](1 + i) = P (1 + i)n Pero existen n = mt per´ıodos en t a˜ nos (n´ umero de per´ıodos de conversión por el lapso). Por tanto, la cantidad acumulada al final de t a˜ nos está dada por A = P (1 + i)n

(3.6)

Ejemplo 3.6. Determinan la cantidad acumulada despu´es de tres a˜ nos si se invierten $1000 con una tasa de 8 % por a˜ no compuesta a) anualmente, b) semestralmente, c) trimestralmente, d) mensualmente y e) diariamente. Soluci´ on. (a) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 1. As´ı, i = r = 0,08 y n = 3, por lo que la f´ormula (3.6) implica A = 1000(1 + 0,08)3 = 1259,71 211

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(b) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 2. As´ı i = 0,08/2 y n = (3)(2) = 6, por lo que (3.6) significa 6 0,08 A = 1000 1 + 2 = 1265,32 o sea $1265,32 (c) Ahora, P = 1000, r = 0,08 y m = 4. As´ı i = 0,08/4 y n = (3)(4) = 12, por lo que (3.6) implica 12 0,08 A = 1000 1 + 4 = 1268,24 o $1268,24 (d) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 12. As´ı i = 0,08/12 y n = (3)(12) = 36, por lo que (3.6) significa 36 0,08 A = 1000 1 + 12 = 1270,24 o $1270,24. (e) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 365. As´ı i = 0,08/365 y n = (3)(365) = 1095, por lo que (3.6) significa 1095 0,08 A = 1000 1 + 365 = 1271,22 o $1271.22.

3.4.3.

Composici´ on del inter´ es en forma continua

El cálculo a menudo es u ´ til para los economistas en la evaluación de ciertas decisiones sobre cuestiones financieras. Sin embargo, para aplicar el cálculo debe tratarse co funciones continuas. Considere, por ejemplo, la siguiente fórmula, la cual proporciona A, el monto de inversión a los t a˜ nos, si P dólares se invierten a una tasa anual de 100i %, compuesto m veces al a˜ no mt i A=P 1+ (3.7) m 212

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Imagine una situación en la cual el interés se compone continuamente; esto es, considere la fórmula (3.7), donde se permite que el n´ umero de per´ıodos de interés por a˜ no aumente sin l´ımite. Entonces tomando el l´ımite en la fórmula (3.7) se tiene mt i A = P l´ım 1 + m→∞ m el cual puede escribirse como " m/i #it i A = P l´ım 1+ m→∞ m

(3.8)

Para calcular este l´ımite primero debemos determinar si m/i i l´ım 1 + m→∞ m existe. Considerando h = i/m se tiene que m/i = 1/h; y como m → ∞ es equivalente a h → 0+ , entonces m/i i l´ım 1 + = l´ım+ (1 + h)1/h m→∞ h→0 m = e En consecuencia

" m/i #it i l´ım 1+ = eit m→∞ m

y as´ı, (3.8) se transforma en A = P eit

(3.9)

Si se considera que t var´ıa en el conjunto de los n´ umeros reales no negativos, se observa que (3.9) expresa a A como una función continua de t. Ejercicio 1. Un banco anuncia que la tasa de interés en cuentas de ahorro se calcula al 4 % anual compuesto diariamente. Si se deposita $1000 en una cuenta de ahorro en el banco, calcule (a) el monto aproximado al final de un a˜ no considerando la tasa de interés. (b) el monto exacto al cabo de un a˜ no considerando una tasa de interés anual de 4 % compuesto 365 veces al a˜ no. (c) obtenga la tasa efectiva de interés anual. Soluci´ on. (a) Sean A dólares el monto final de 1 a˜ no. de (3.9) con P = 1000, i = 0,04 y t = 1, se tiene A = 1000e0,04 = 1040,81 Conclusi´ on: $1040.81 es un monto aproximado del depósito al término de 1 a˜ no 213

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(b) De (3.7) con P = 1000, i = 0,04, m = 365 y t = 1, y si A365 d´olares es el monto, entonces A365

365 0,04 = 1000 1 + 365 = 1040,81

Conclusi´ on: El monto exacto al final de un a˜ no es $1040,81 % (c) Sea j la tasa efectiva de interés anual. Por tanto: 1000(1 + j) = 1040,81 1 + j = 1040,81 j = 0,0481 Conclusi´ on: La tasa efectiva de interés anual es 4,81 % Ejercicio 2. Suponga que Juan pone $500 en el banco al 13 % de interés compuesto, capitalizable todos los d´ıas. ¿Cuánto obtendrá al término de 2 a˜ nos? Soluci´ on. Aqu´ı, r = 0,13 y n = 365, por lo que 365(2) 0,13 A = 500 1 + ≈ $648,43 365 Consideremos ahora lo que ocurre con el interés compuesto continuo (es decir, cuando el n´ umero de n per´ıodos de capitalización por a˜ no tiende al infinito). Declaramos que entonces rt r nt r n/r A = l´ım A0 1 + = A0 l´ım 1+ n→∞ n→∞ n n h irt 1/h = A0 l´ım (1 + h) = A0 ert

h→0

Ejercicio 3. En sus cuentas de ahorros, el Piggy Bank de Nueva York ofrece ua tasa de interés nominal anual del 6 %, capitalizable diariamente. El banco desea calcular una tasa de interés anual efectiva (esto es, la tasa anual equivalente) para usarla en su publicidad. Soluci´ on. Vimos antes que las cantidades capitalizables diariamente son equivalentes a capitalización continua, redondeándola a centésimos en 100 dólares por tanto usamos la fórmula 6 de capitalización continua. Aqu´ı R = 6 e i = 100 = 0,06. En un a˜ no, cualquier inversión se 1 0,06 incrementa en un factor e = e = 1,0618. Esto es equivalente a una tasa de interés anual de 6,18 %, de modo que el banco deber´ıa anunciar su tasa de interés efectiva como 6,18 %.

214

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Decaimiento exponencial

Figura 3.3:

Actividades 1. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/.20 000 soles por tm. 45 d´ıas después se incremento a S/.22 000 soles. ¿cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 d´ıas contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 d´ıas) en el mismo porcentaje original? 2. En el u ´ ltimo semestre la gasolina ha venido incrementándose en 2 % cada 18 d´ıas en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuánto costará un galón de gasolina dentro de un a˜ no, si el precio es de hoy S/.3,50? 3. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/.1 000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4 % con capitalización diaria. El 2 de mayo retira 400 soles, el 15 de mayo retira S/.200 y el 3 de Junio depósita S/.100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial hasta el 24 de Junio fecha en que canceló la cuenta? 4. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interés efectivo mensual del 3 % sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3 % con capitalización diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarias). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto cuyo movimiento fue el siguiente: Fecha Depósito Retiro

4/8 10 000

6/8 5 000 2 000

9/8 3 000

12/8

13/8 30 000

15/8 9 000

31/8 15 000

37 000

5. Margarita ganó un juicio por da˜ nos de $150000 contra su patrón hace 5 a˜ nos. En interés (simple) impuesto en el juzgado incrementa la cantidad con una tasa de 12 % anual 215

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desde la fecha del fallo. Si el caso fuera ganado ahora, ¿cuánto recibir´ıa Margarita al final del juicio? 6. Andrés posee bonos con un valor de $20000 con vencimiento a 10 a˜ nos de la corporación Ace. Estos bonos pagan interés cada 6 meses a una tasa 7 % anual (interés simple). ¿Cuánta ganancia recibirá David de esta inversión cada 6 meses? ¿Cuánto interés recibirá Andrés durante la vida de bonos? 7. Maya pagó $10000 por un bono con vencimiento a 7 a˜ nos emitidos por una ciudad. Recibió intereses por la cantidad de $3500 durante la vida de los bonos. ¿Qué tasa de interés (simple) pagó el bono? 8. El banco BCP paga intereses a una tasa de 4.25 % anual compuesto semanalmente en una cuenta de ahorros, mientras que el banco Continental paga intereses a una tasa de 4.125 % anual compuesto diariamente (suponga 365 d´ıas por a˜ no). ¿Qué banco paga la mejor tasa de interés? 9. Los propietarios del hotel Costa del sol ten´ıan dos préstamos del Banco Interbank: uno por $8000 con vencimiento en tres a˜ nos y otro por $15000 con vencimiento en seis a˜ nos, ambos con una tasa de interés del 10 % por a˜ no, compuesta semestralmente. El banco aceptado que los dos préstamos se consoliden en uno solo, con vencimiento en cinco a˜ nos, con la misma tasa de interés. ¿Qué cantidad deberán pagar los propietarios del hotel al final de los cinco a˜ nos?. 10. Al recibir una enorme herencia, los padres de un ni˜ no quieren establecer un fondo para la educación superior de éste. Si se necesitan un estimado de $70000 dentro de siete a˜ nos, ¿Cuánto dinero deben destinar, si lo invierten a 10.5 % compuesto trimestralmente? ¿Y si lo componen trimestralmente?.

216

Ap´ endice A L´ogica, Conjuntos y Funciones A.1.

Introducci´ on a la L´ ogica proposicional

El propósito de esta sección es describir, brevemente, las proposiciones y conectivos lógicos; sus leyes a fin de exponer con claridad las ideas matemáticas, formulando con precisión las definiciones, axiomas, teoremas y sus demostraciones.

A.1.1.

Proposiciones

Se llamará proposición a toda oración o frase de nuestro lenguaje al cual es posible asignarle uno y sólo uno de los siguientes valores: Verdadero (V)

Falso (F)

Por ejemplo “El n´ umero cero es par”. En este caso se tiene una proposición verdadera, evidentemente, si se dice “El n´ umero cero no es par”, se está negando la proposición inicial y se tendrá una proposición falsa. A la primera proposición, se la puede llamar p y a la segunda (su negación) ∼ p, que se lee “no p”. As´ı: p : La suma de dos n´ umeros pares es un n´ umero par ∼ p : La suma de dos n´ umeros pares no es un n´ umero par La Negación de una proposición p, denotada tabla: p V F

(verdadero) (falso)

∼ p, que se lee “no p”, se define mediante la ∼p F V

Es decir, si p es verdadera, entonces ∼ p es falsa; y si p es falsa, ∼ p es verdadera.

217

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La Disyunci´ on de las proposiciones p y q, denotada por p ∨ q, que se lee “p o q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

Significado la proposición p ∨ q es falsa solo cuando ambas proposiciones, p y q, son falsas. En todos los demás casos, p ∨ q es verdadera. La Conjunci´ on de las proposiciones p y q, denotada por p ∧ q, que se lee “p y q”, es la proposición definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

Significado: la conjunción de dos proposiciones es verdadera solo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas. En todos los otros casos la conjunción es falsa. La Condicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇒ q, que se lee “si p, entonces q”, es la proposición definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p⇒q V F V V

En toda proposición condicional, p ⇒ q, la proposición p se denomina antecedente y la proposición q, consecuente de la condicional. Significado: la proposición p ⇒ q es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los otros casos, la proposición condicional es verdadera. Otras denominaciones para la proposición p ⇒ q, que son “p es condición suficiente para q”, o “q es condición necesaria para p”. Este modelo lógico es muy usado en la formulación de los enunciados de teoremas, proposiciones, etc.

218

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La Bicondicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇔ q, que se lee “p si, y solo si q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p⇔q V F F V

Significado: la proposición p ⇔ q es verdadera cuando tienen las proposiciones del mismo valor de verdad. En los otros casos, la bicondicional es falsa. Una proposición compuesta se llama tautolog´ıa si es verdadera para cualquiera de los valores de las proposiciones que la componen, en este caso, su tabla esta formada solo por el valor “V ”. Por ejemplo: p ⇒ (p ∨ q), (p ∧ q) ⇒ p, ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q), son proposiciones tautológicas pues: p q p ⇒ (p ∨ q) p q (p ∧ q) ⇒ p V V V V V V V V V F V F V V F V F V V V F V F V F F F F V F F V p V V F F

q V F V F

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) F V F F V F F V F V V V

Se dice que las proposiciones p y q son l´ogicamente equivalentes si la bicondicional p ⇔ q es una tautolog´ıa, en este caso se denota p ≡ q. Observaci´ on A.1. Es muy importante comprender la equivalencia: p ⇔ q ≡ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒⇒ p)] presente en muchos teoremas y en todas las definiciones. Por ejemplo demostrar la bicondicional: Sea n ∈ Z, “n es par si, entonces “si n es par, entonces n2 es par” y “si n2 es par, entonces n es par”.

A.1.2.

Equivalencias L´ ogicas Importantes

Usando las tablas de valores de verdad se puede demostrar la equivalencia l´ogica de las siguientes proposiciones: 219

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1) Conmutativa: p ∨ q ≡ q ∨ p,

p∧q ≡p

2) Asociativa: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r 3) Distributiva: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 4) Condicional: p ⇒ q ≡∼ p ∨ q 5) Doble Negaci´on: ∼ (∼ p) ≡ p 6) Leyes de De Morgan: ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p∧ ∼ q 7) Leyes de absorci´on: p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p

Usando las equivalencias anteriores se puede demostrar otras equivalencias como por ejemplo: 8) Principio de contraposici´on : p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p Prueba: p ⇒q ≡ ∼p∨q

≡ ∼ p∨ ∼ (∼ q) ≡ ∼ (∼ q)∨ ∼ p

≡ ∼ q ⇒∼ p

Determine, que propiedades se han utilizado en esta prueba.

220

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9) Pruebe como en el caso anterior (usando las propiedades) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q Principios lógicos: (tautolog´ıas) 10) Tercio excluido: p∨ ∼ p 11) ∼ (p∧ ∼ p) 12) [(p∧ ∼ q) ⇒ (r∧ ∼ r)] ⇒ (p ⇒ q) 13) p ⇒ (p ∨ q) 14) (p ∧ q) ⇒ p 15) p ⇒ p Observaci´ on A.2. Como se vera en el siguiente tema, existe una estrecha relación entre la conjunción (∧) y la intersección de conjuntos, entre la disyunción (∨) y la union de conjuntos, entre la condicional (⇒) y la inclusion de conjuntos y entre la negación (∼) y el complemento de un conjunto, tanto en la definición de tales operaciones con conjuntos como en sus propiedades.

A.1.3.

Cuantificadores

El enunciado u oración p(n): “n es par”no es una proposición pues, a pesar de ser una oración, no es posible asignarle el valor de verdadero o falso, pero al sustituir n por un valor numérico esta oración se transforma en una proposición. Este tipo de oraciones o enunciados que dependen de una o varias variables que al ser sustituidas con elementos de un determinado conjunto se transforman en proposiciones, se llaman funciones proposicionales. Sin embargo los siguientes enunciados, formulados en base a la función proposicional p(n): r : “Para todo n´ umero entero n, n es par” s : “Existe un n´ umero racional n, tal que es par” son proposiciones. La expresión “para todo”se denota con el s´ımbolo “∀” y se llama cuantificador universal, y la expresión “existe”, denotado con el s´ımbolo “∃”, se llama cuantificador existencial. Estos cuantificadores unidos a una función proposicional la transforman en una proposición. Podemos escribir las proposiciones r y s como: r : “∀n ∈ Z/n es par” s : “∃n ∈ Q/nes par” 221

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A.2.

M´ etodos de demostraci´ on

La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. Sabemos que todas las proposiciones de una teor´ıa matemática se clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los axiomas o postulados (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas teoremas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada). No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez. Estructura de la demostración La demostración consta de tres partes: (a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema) cuya validez se trata de probar. (b) Los fundamentos empleados como base de la demostración. (c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la tesis que as´ı se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.

A.2.1.

Tipos de demostraci´ on

Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una proposición condicional de la forma h ⇒ t, es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los cosos posibles) donde h es la hipótesis o conjunción de las premisas y t es la conclusión del argumento.

222

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Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen expl´ıcitamente las proposiciones de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis h, se puede demostrar otra proposición t, llamada tesis. Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán estudiados separadamente. Los principales tipos de demostración son: 1. Demostración directa. 2. Demostración indirecta. 3. Demostración por recursión. Observaci´ on A.3. El problema de la construcción de una demostración consiste en preparar una serie de pasos que conduzcan a la conclusión deseada. No hay caminos automáticos para hacerlo y, por ello, la demostración constituye un proceso creador dentro del conocimiento cient´ıfico “es una cuestión personal que se adquiere con la práctica y el desarrollo de la iniciativa de cada uno”. 1. Demostraci´ on directa Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como consecuencia la tesis, a través de una serie de inferencias, se establece una demostración directa. En ella se prueba la validez de una tesis estableciendo que ésta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina correspondiente (matemática en nuestro caso). Una demostración directa de una proposición t (al que llamaremos teorema), consiste en un conjunto de proposiciones p1 , p2 , . . . , pn (premisas), que son postulados o proposiciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposición t, como consecuencia inmediata. En una demostración directa, cada paso debe ir acompa˜ nado de una explicación que justifique la presencia de ese paso. Decimos que t es una consecuencia inmediata de p1 , p2 , . . . , pn , si se produce la implicación: (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) ⇒ t. Para mayor brevedad, llamaremos h (hipótesis) al antecedente del esquema proposicional anterior. 2. Demostraci´ on Indirecta Si se tiene dificultades en la construcción de una demostración directa, se puede a veces obtener resultados más importantes y mejores, empleando algunos otros métodos. Cuando se establece validez de una tesis t, probando, que las consecuencias de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostración indirecta. 223

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El método de demostración indirecta se basa en el hecho de que si ∼ t es falsa, entonces t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que ∼ t no es compatible con las afirmaciones dadas en la hipótesis. De otro modo, suponiendo que la proposición ∼ t es verdadera, consideremos el conjunto formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto as´ı considerado nos lleva a una contradicción. Cuando se llega a la contradicción, sabemos que la verdad de ∼ t no es compatible con nuestra hipótesis (verdadera) y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, es verdadera. Luego, para demostrar un teorema de la forma h → t, basta deducir alguna contradicción a partir de la hipótesis h. Hay diferentes formas para utilizar el método de demostración indirecta; Para demostrar h → t podemos hacerlo demostrando que: (a) ∼ t → ∼ h (b) (h∧ ∼ t) → ∼ h (c) (h∧ ∼ t) → t (d) (h∧ ∼ t) → (p∧ ∼ p) 3. Demostraci´ on por Recursi´ on (Inducci´ on Matem´ atica) Cuando la tesis se prueba por medio de la inducción matemática recursiva, se efect´ ua una demostración por recursión. La demostración por recursión se utiliza principalmente en la teor´ıa de n´ umeros y consiste en probar la validez de un teorema estableciendo: Primero: su cumplimiento para el caso limitante (caso inicial) Segundo: admitiendo que se cumple en el general, (hipotésis inductiva) Tercero: se prueba que se cumple igualmente para el caso siguiente. Por u ´ ltimo, comprobamos que se cumple para el caso siguiente

A.3.

Conjuntos

A.3.1.

Conjunto

un conjunto es una cierta colección o agrupación de objetos llamados elementos. Los conjuntos se representarán con letras may´ usculas como A, B, C, etc.

A.3.2.

Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusi´ on

Una de las relaciones más elementales e importantes que existe entre los objetos, elementos o conjuntos, es la relación de igualdad, la cual se representa por el s´ımbolo “ = ” y se lee “igual”. La expresión “a = b” se lee “a es igual a b” y significa que “el elemento representado 224

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por a es el mismo que el elemento representado por b”. En lo que sigue del libro, por razones de comodidad, se dirá simplemente “el elemento a”, en lugar de “el elemento representado por a” y “el conjunto A” en lugar de “el conjunto representado por A”. La negación de la relación “a = b” se denota por “a 6= b” y se lee “a es diferente a b” o “a no es igual a b”. Teorema A.1. La relación de igualdad cumple con las siguientes propiedades: Sean a, b, c elementos de A (i) ∀ a ∈ A, a = a (Reflexiva) (ii) Si a = b entonces b = a (simétrica) (iii) Si a = b y b = c entonces a = c (transitiva)

Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de a = b. Corolario A.1. Si u 6= v entonces v 6= u. Demostración. Basta aplicar el principio de contraposición a la propiedad simétrica (ii). Observaci´ on A.4. En lo que sigue del módulo esta relación de igualdad y sus propiedades quedaran fácilmente establecidas en cada sistema numérico que se define, como en el sistema de los numeros naturales, enteros, racionales y reales. Otra relación importante es la que existe entre elementos y conjuntos, llamada relación de pertenencia, que se denota con el s´ımbolo ∈ y se lee “pertenece”. No se define la relación de pertenencia; se la aceptara como concepto primitivo y se le dará el sentido intuitivo que todos tienen de ella. As´ı, si A es un conjunto y si x es un elemento de A, la expresión simbólica x ∈ A, se lee “x pertenece a A” y significa que “x es un elemento del conjunto A”. La negación de la relación x ∈ A se denota por x ∈ / A y se lee: “x no pertenece al conjunto A”. Una tercera relación entre objetos, en este caso entre conjuntos, es la relación de inclusion, que se representa por el s´ımbolo ⊂ y que se lee “incluido en h” o “contenido en h”. Definici´ on A.1. Sean A y B dos conjuntos, A esta incluido en B, lo que se denota A ⊂ B si, y solo si, todo elemento de A es elemento de B. Simbólicamente: a⊂B

⇔

(∀ x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Si A ⊂ B se dirá también que A es un subconjunto de B, o que A esta contenido en B. La negación de la relación A ⊂ B se denota por A 6⊂ B y se lee “A no está incluido (o no 225

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está contenido) en B”, significa que “existe por lo menos un elemento x ∈ A tal que x ∈ / B”. Simbólicamente A 6⊂ B ⇔ (∃ x ∈ A/x ∈ B) Teorema A.2. (a) A ⊂ A; para todo conjunto A (b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C entonces A ⊂ C Demostración. (b) Para todo x, la proposición compuesta: [x ∈ A

⇒

x ∈ B ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)]

⇒

(x ∈ A ⇒ x ∈ C)

es verdadera (tautolog´ıa) luego aplicando la definici´on de inclusi´on se tiene: (A ⊂ B ∧ B ⊂ C)

⇒

A⊂C

De la Teor´ıa Axiomática de Conjuntos, debido a su complejidad, se mencionará sólo cinco axiomas: Sustitución, Extensión, Especificación, del Conjunto Potencia, y la existencia de la Unión de Conjuntos. Estos axiomas serán descritos a continuación y al mismo tiempo se irá explicando su importancia.

A.3.3.

Axiomas

Axioma A.1 (Axioma de Sustitución). Sea P (x) una proposición respecto a la variable x. Si P (x) es verdadera y si u = x, entonces P (u) es también verdadera. As´ı por ejemplo, sea P (x) la proposición dada por la expresión “x ∈ E”. Si P (x) es verdadera, o sea “x ∈ E” es verdadera, y si u = x, entonces P (u) es verdadera, o sea “u ∈ E” es verdadera.

226

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Axioma A.2 (Axioma de Extensión). Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. O sea, A es igual a B si, y solo si, todo elemento de A pertenece a B y, rec´ıprocamente, todo elemento de B pertenece a A. Simbólicamente A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) O también A=B

⇔

(∀ x) [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]

La negación de la relación A = B se denota con A 6= B, se lee “A no es igual a B” o “A es diferente de B”, y significa que existe por lo menos un elemento de A que no esta en B o que existe por lo menos un elemento de B que no esta en A. Simbólicamente A 6= B

⇔

(∀ x) (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (∃ y) (y ∈ B ∧ x ∈ / A)]

Definici´ on A.2. Dados los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto propio de B o que A es parte propia de B, y se denota por A $ B; si, y solo si A ⊂ B ∧ A 6= B. Simbólicamente A $ B ⇔ A ⊂ B ∧ ∃ z ∈ B/z ∈ /A Hasta ahora, se ha utilizado la noción de pertenencia para definir nuevas relaciones y se han dado ejemplos de conjuntos. Pero, ¿cómo construir nuevos conjuntos a partir de un conjunto dado? Para hacerlo, es necesario el siguiente axioma. Axioma A.3 (Axioma de Especificación). Dado un conjunto E y una proposición P (x) con x ∈ E, existe un u ´ nico subconjunto A de E, cuyos elementos son todos los elementos x ∈ E tales que P (x) es verdadera. Tal subconjunto se denota por: A = {x ∈ E/P (x) es verdadera} o simplemente, A = {x ∈ E/P (x)} que se lee “A es el subconjunto de E formado por todos los elementos x ∈ E, tales que la proposición P (x) es verdadera”. As´ı, el conjunto A se caracteriza por la condición x∈A

⇔

P (x) es verdadera

227

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En algunos textos de secundaria, este axioma es presentado como la definición de un conjunto determinado por comprensión; es decir, aquel conjunto en el que se indica la propiedad P(x), que caracteriza a los elementos del conjunto. En este sentido, la llamada definición de conjunto determinado por extensión, en la que se enumeran o indican sus elementos no es más que un caso particular del axioma de especificación. Se usara el Axioma de Especificación para presentar algunos conjuntos especiales: Para completar el lenguaje de los conjuntos se necesita introducir un nuevo conjunto llamado conjunto vació, el cual se denota por ∅, que no tiene ning´ un elemento y que esta contenido en cualquier conjunto A, o sea, ∅ ⊂ A. Usando el axioma de especificación, este conjunto se puede definir de la siguiente manera: ∅ = {x ∈ A/x 6= x}. Como la definición de ∅ depende del conjunto A, se puede denotarlo también por ∅A . En cursos avanzados; se define, finalmente, el conjunto vac´ıo ∅, se demuestra que es u ´ nico y que ∅ ⊂ A para todo conjunto A. Sean E un conjunto no vac´ıo, a ∈ E, y P (x) la propiedad: x = a, entonces por el axioma de especificación, existe un u ´ nico subconjunto A de E tal que: A = {x ∈ E/x = a} = {a}. A este tipo de conjunto, que tienen un solo elemento, se les llama Conjunto Unitario. A continuación se presenta otro axioma que permite construir nuevos conjuntos a partir de uno Axioma A.4 (Axioma del conjunto potencia). Dado un conjunto E, existe un conjunto y solamente uno cuyos elementos son todos los subconjuntos de E. Tal conjunto se denota con P(E) y se le llama conjunto potencia de E o conjunto de partes de E. En s´ımbolos: P(E) = {A/A ⊂ E}, es decir: A ∈ P(E)

dado

⇔

A⊂E

o equivalentemente, A no es elemento de P(E) si, y s´olo si, A no es subconjunto de E. En s´ımbolos: A∈ / P(E) ⇔ A ⊂ 6 E

Observaci´ on A.5. 1. Como para todo conjunto E, ∅ ⊂ E y E ⊂ E, entonces ∅ ∈ P(E) y E ∈ P(E) 228

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2. Se demuestra que, si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos. Este resultado puede demostrarse usando inducci´on matem´atica.

A.4.

Operaciones con conjuntos

A partir de dos conjuntos dados se construirá nuevos conjuntos, usando los axiomas de la unión y de especificación.

A.4.1.

Uni´ on de conjuntos

Axioma A.5 (Axioma de la unión de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto U tal que A ⊂ U yB ⊂ U. Este axioma garantiza la existencia de un conjunto, por ejemplo un conjunto que se puede denotar por U y considerarse como conjunto universal. Con elementos de este conjunto U, usando el axioma de especificación se puede definir nuevos conjuntos. Definici´ on A.3. Sean A ⊂ U y B ⊂ U dos conjuntos, la union de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto formado por todos los elementos x ∈ U tales que x ∈ A o x ∈ B. Simbólicamente A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B} Observaci´ on A.6. Notar que se esta usando la disyunción (∨). Aplicando la Ley de De Morgan para la disyunción (ver el cuadro de las propiedades y principios lógicos) se formula la definición equivalente “por negación”: x no es elemento de A ∪ B si y solo si, x no es elemento de A y x no es elemento de B. Simbólicamente: x∈ / (A ∪ B) ⇔ [x ∈ /A ∧ x∈ / B]

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Teorema A.3 (Propiedades de la uni´on). Dados los conjuntos A, B, C, D y ∅, en un conjunto universal U, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A ⊂ A ∪ B ∧ B ⊂ A ∪ B (b) A ⊂ D ∧ B ⊂ D entonces A ∪ B ⊂ D (c) A ∪ A = A (idempotencia) (d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Asociativa) (e) A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa) (f ) A ∪ ∅ = A (Elemento neutro) (g) A ⊂ B entonces A ∪ B = B

A.4.2.

Intersecci´ on de conjuntos

Definici´ on A.4. Sean A ∪ U y B ∪ U dos conjuntos, la intersecci´on de A y B, denotada por A ∩ B es el conjunto formado por todos los elementos x de U, tales que x ∈ A y x ∈ B. A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B} Es decir x ∈ (A ∩ B)

⇔

[x ∈ A ∧ x ∈ B]

O, equivalentemente, por negaci´on: x no es elemento de A ∩ B si, y solo si, x no es elemento de A o x no es elemento de B. Simb´olicamente: x∈ / (A ∩ B) ⇔ [x ∈ /A ∧ x∈ / B]

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Teorema A.4 (Propiedades de la intersecci´on). Dados los conjuntos A, B, C y ∅, en un conjunto universal U, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A ∩ B ⊂ A ∧ A ∩ B ⊂ B (b) A ∩ A = A (idempotencia) (c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asociativa) (d) A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa) (e) A ⊂ B entonces A ∩ B = A (f ) A ∩ ∅ = ∅; A ∩ U = A Teorema A.5 (Propiedades distributivas). Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades distributivas: (a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A.4.3.

Diferencia de conjuntos

Definici´ on A.5. Dados los conjuntos A ∪ U y B ∪ U, la diferencia de A y B, denotado por A − B, es el conjunto formado por todos los elementos x de U tales que x ∈ A y x ∈ / B. Simb´olicamente: A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ / B} Es decir, x∈A−B

⇔

[x ∈ A ∧ x ∈ / B]

x∈ / A−B

⇔

[x ∈ / A ∨ x ∈ B]

o equivalentemente

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Teorema A.6. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A − ∅ = A (b) A − A = ∅ (c) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C) (d) A − B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B) La demostraci´on se deja como ejercicio.

A.4.4.

Complemento de un conjunto

Definici´ on A.6. Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊂ B ⊂ U. Se llama complemento de A con respecto al conjunto B, y se denota por CB A, a la diferencia B − A. Es decir, CB A = B − A. El complemento de un conjunto con respecto a otro es un caso particular de la diferencia de conjuntos. Si B = U, el complemento de A respecto a U se denota simplemente por: CA. En este caso se tiene por definici´on que: x pertenece a CA si, y solo si, x no es elemento de A. En s´ımbolos, x ∈ CA

⇔

x∈ /A

x∈ / CA

⇔

x∈A

o, equivalentemente

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Teorema A.7. Dados los conjuntos ∅, A ⊂ U y B ⊂ U, se cumplen las siguientes propiedades 1. C(CA) = A 2. A ⊂ B entonces CB ⊂ CA; CB ⊂ CA entonces A ⊂ B 3. C(A ∩ B) = CA ∪ CB 4. C(A ∪ B) = CA ∩ CB 5. A ∩ CA = ∅ 6. A ∪ CA = U 7. C∅ = U y CU = ∅

A.5.

Nociones de relaci´ on y funci´ on

A.5.1.

Par ordenado y producto cartesiano

Un conjunto que tiene dos elementos es un par ordenado si, y sólo si, dicho conjunto tiene la propiedad de que un elemento puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Definici´ on A.7. Dado los conjuntos no vac´ıos A ⊂ U y B ⊂ U y los elementos a ∈ A y b ∈ B, se llama par ordenado de componentes a y b, que se denota por (a, b), al conjunto {{a}, {a, b}}; o sea, por definición (a, b) = {{a}, {a, b}}. En el par ordenado (a, b), el elemento a se llama primera componente; y b se llama segunda componente del par. Teorema A.8. (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c ∧ b = d, o equivalentemente, (a, b) 6= (c, d) si y sólo si a 6= c ∨ b 6= d. Definici´ on A.8. Dado los subconjuntos A y B, de un conjunto universal U, se llama producto de A y B, y se denota por A × B, al conjunto formado por todo los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Simbólicamente: A × B = {(a, b) ∈ E/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

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A.5.2.

Relaciones

Definici´ on A.9. Dado los conjuntos X e Y , se da el nombre de relación binaria entre elementos del conjunto X y elementos del conjunto Y a todo subconjunto R de X × Y . Si el par (x, y) ∈ R diremos que x e y están en la relación determinada por R, y escribiremos simplemente xRy. Si por el contrario, el par (x, y) ∈ / R diremos que x e y no están en la relación determinada por R, y escribiremos simplemente x ∈ / Ry. En adelante diremos simplemente relación en lugar de relación binaria, ya que estas u ´ ltimas, serán las u ´ nicas con las cuales trataremos. Si R es una relación entre los elementos de X e Y , se llama a X conjunto de partida de la relación y a Y conjunto de llegada. Definici´ on A.10. Se llama dominio o conjunto de definición de la relación R, al conjunto de los elementos de X que son las primeras componentes de pares del subconjunto R, es decir todos los elementos x ∈ X, para los cuales existe un elemento y ∈ Y tales que (x, y) ∈ R. Se llama rango o conjunto de valores al conjunto de los elementos y ∈ Y , que son segundos componentes de pares del subconjunto R, es decir al conjunto de todos los elementos de y ∈ Y para los cuales existe un elemento x ∈ X tales que (x, y) ∈ R. Definici´ on A.11. Una relación R definida entre elementos de un conjunto X es total si su dominio coincide con el conjunto de partida X, Diremos en este caso que la relación es definida sobre el conjunto X. Definici´ on A.12. Se dice que una relación R definida sobre un conjunto X, es una relación de equivalencia si goza de las siguientes propiedades: 1. xRx para todo x ∈ R (reflexividad) 2. si xRy, entonces yRx. (simetr´ıa) 3. Si xRy e yRz entonces xRz. (transitividad) De (a) resulta que toda relación de equivalencia es una relación total. Cuando una relación R es de equivalencia es usual escribir x = y ( mód R) o simplemente x ≡ y, en lugar de xRy, se lee entonces “x es equivalente a y módulo n” o simplemente “x es equivalente a y”

A.5.3.

Funciones

Definici´ on A.13. Dados dos conjuntos A y B se llama función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B, a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x ∈ A un u ´ nico elemento y ∈ B. El conjunto A recibe el nombre de Dominio de la función f. 234

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La palabra correspondencia se aceptará como concepto primitivo y se le dará la interpretación intuitiva que todos tienen de ella. Las funciones reciben también el nombre de aplicaciones y se denotan simbólicamente por: f : A −→ B

´o A −→ B

Para indicar que f hace corresponder a cada elemento x de A un u ´ nico elemento y ∈ B, se escribe f f : x −→ y, x −→ y, ó y = f (x) y se dice que y es la imagen de x mediante f , o que x es una preimagen de y mediante f . Definici´ on A.14. Dada una función f : A −→ B, C ⊂ A y D ⊂ B, se llama Imagen Directa de C mediante f , al conjunto f (C) = {y ∈ B/y = f (x), x ∈ C}. Análogamente, se llama Imagen Inversa de D mediante f , al conjunto f −1 (D) = {x ∈ A/f (x) ∈ D}. El conjunto f (A) recibe el nombre de Rango de la función f . Teorema A.9. (a) f (A1 − A2 ) ⊇ f (A1 ) − f (A2 ) (b) Si A1 ⊆ A2 entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 ) (c) f (∪Ai ) = ∪f (Ai ) (d) f (∩Ai ) = ∩f (Ai ) Definici´ on A.15 (Restricción de una función). Dada una función f : A −→ B. La función g : C −→ B con C ∈ A definida por g(x) = f (x) para todo x ∈ C se llama restricción de la función f al conjunto C y se denota f /C , o simplemente f , si no hay lugar a confusion. En este contexto, la función f : A −→ B se llama extension de g al conjunto A. Un caso particular muy importante de función es el de Operación Interna o Ley de Composición Interna. Definici´ on A.16. Si A es un conjunto no vac´ıo, A 6= ∅, una ley de composición interna u operación interna en A es una función o aplicación definida en el producto A×A y con valores en el conjunto A. Es decir, una aplicación, f : A × A −→ A (x, y) 7−→ f (x, y) Definici´ on A.17. Se dice que la función f : A −→ B es inyectiva s´ı y sólo si, se cumple que: ′ Si x 6= x entonces f (x) 6= f (x′ ). O equivalentemente: Si f (x) = f (x′ ) entonces x = x′ . 235

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Teorema A.10. 1. Si x ∈ A entonces f (x) ∈ / f (A) 2. f (A1 − A2 ) ⊆ f (A1 ) − f (A2 ) 3. f (∩Ai ) ⊇ ∩f (Ai ) Definici´ on A.18. Se dice que una función f : A −→ B es suryectiva si, y solo si, se cumple que: Para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y. O equivalentemente: Si f (A) = {y = f (x)/x ∈ A} = B. Finalmente, se dice que una función f : A −→ B es biyectiva si, y solo si, f es inyectiva y suryectiva. Definici´ on A.19. Dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D donde B ⊂ C, se define la función h : A −→ D de la siguiente manera: h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para todo x ∈ A La función h : A −→ D recibe el nombre de función compuesta de f y g, y se denota con g ◦ f , es decir, h = g ◦ f .

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Bibliograf´ıa [1] Boyer, C. “Historia de las Matematicas”. Editorial Alfa omega. 2003. [2] Carmen Bonell. “La Divina Proporci´ on. Las formas Geométricas”. Editorial Alfa omega. 2003. [3] Carranza C.. “Tópicos de matem´ atica para el bachillerato”. 18o Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana. Lima 2000. [4] Carranza, Alex Molina. “Tópicos de Aritmética y Algebra”. Pontificia Universidad Católica del Per´ u. 2006 ´ [5] Carranza C.. “Algebra”. Libreria Studium. Lima, 1970. [6] Carranza, C.; Kong, M. “Teor´ıa de conjuntos y n´ umeros naturales”. Per´ u Offset. Lima, 1980. [7] De la Pe˜ na, J; “Algebra en todas partes ”. Editorial La ciencia para todos, 2008. [8] Fraleigh,J; “Algebra Abstracta ”. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana , 2008. [9] Numeros, grupos y anillos ; “Dorronsoro, Jose”. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana 2008. [10] Emma Castelnuova. “De viaje con la Matem´ atica. Imaginaci´ on y Razonamiento Matemático”. Editorial Trillas. 2002. ´ [11] F´ elix Escalante Del Aguila. “Construcci´ on Geométrica de N´ umeros”. Sociedad Matemática Peruana. 2003. [12] Gentile, E; “Aritmética elemental ”. Serie de Matemáticas. Monograf´ıa de la OEA, 1985. [13] Grabiel Navarro. “Un Curso de Numeros”. Universidad de Valencia. 2007 [14] Mathema. “El arte del Conocimiento”. Editorial Ciencia para todos. México. 2010. [15] Tereza Gonzales Monteiza. “Modelos Matem´ aticos discretos en las ciencias de la naturaleza. Teor´ıa y Problemas”. Ediciones D´ıaz Santos. Madrid 2007. 237

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[16] Verastegui Teodulo. “Introducci´ on a La Teor´ıa de Numeros”. Fondo Editorial PUCP. 1999

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