modulo del numero y operaciones by leandro cisneros

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

COMPONENTE PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ORIENTACIÓN INTERCULTURAL Bloque Temático: Marco situacional educativo y didáctica del número y operaciones

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓNEN MATEMÁTICA MÓDULO FORMATIVO I CICLO

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Componente: Pedagogía y didáctica del área de matemática con orientación intercultural

Bloque temático:Marco situacional educativo y didáctica del número y operaciones

Jefe de Proyecto

: Enrique Carpena Velásquez

Coordinador académico

: Jenny Magaly Chávez Taboada

Diagramación y corrección de estilo

: Jorge Luis Miranda Vílchez

Equipo de especialistas

:José Melanio García Flores Jorge Luis Miranda Vílchez Edwin Chávez Sánchez

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA-NIVEL DE EDUCACION SECUNDARIA 2012- 2014 I CICLO Universidad Nacional “Pedro Ruíz Gallo. Facultad de Ciencias Históricos Sociales y Educación. Dirección: Av. Juan XXIII N° 391 Lambayeque. Teléfono: (51) (74)-283146 Correo Electrónico: webmaster@unprg.edu.pe Página Web: www.unprg.edu.pe © Reproducción: Derechos reservadosconforme a ley. Se prohíbe la reproducciónparcial o total del texto sin autorización del MED.

Agosto 2012 2

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

PRESENTACIÓN En este MÓDULO “Marco situacional educativo y didáctica del número y operaciones” para docentes de las instituciones educativas públicas de Educación Básica Regular- nivel de educación secundaria. Proponemos ofrecer una visión general de la educación matemática. Tratamos de crear un espacio de reflexión y estudio sobre las matemáticas, en cuanto objeto de enseñanza y aprendizaje, y sobre los instrumentos conceptuales y metodológicos de índole general que la Didáctica de las Matemáticas está generando como campo de investigación.

Deseamos que los docentes adquieran una visión de la enseñanza de las matemáticas enmarcados en los enfoques que orientarán el diseño, ejecución y evaluación de los programas de especialización docente son: La perspectiva de formación docente crítico reflexiva, que pone énfasis en el desarrollo de su autonomía profesional y la capacidad para investigar, innovar y reflexionar críticamente sobre su práctica pedagógica para auto-regularla,

resinificarla y producir el saber

matemático. El enfoque de interculturalidad crítica que orienta la afirmación de una docencia mediadora del diálogo intercultural, con actitud crítica frente a las inequidades que imposibilitan el diálogo y con capacidad para indagar y proponer alternativas educativas pertinentes a cada contexto sociocultural y sociolingüístico del país. Además teniendo en cuenta los principios de la enseñanza de las matemáticas descritos en los Principios y Estándares 2000 del NCTM 1. Equidad. La excelencia en la educación matemática requiere equidad unas altas expectativas y fuerte apoyo para todos los estudiantes. 2. Currículo. Un currículo es más que una colección de actividades: debe ser coherente, centrado en unas matemáticas importantes y bien articuladas a lo largo de los distintos niveles. 3. Enseñanza. Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere comprensión de lo que los estudiantes conocen y necesitan aprender, y por tanto les desafían y apoyan para aprenderlas bien. 4. Aprendizaje.

Los

estudiantes

deben

aprender

matemáticas

comprendiéndolas,

construyendo activamente el nuevo conocimiento a partir de la experiencia y el conocimiento previo. 3

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

5. Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas matemáticas importantes y proporcionar información útil tanto a los profesores como a los estudiantes. 6. Tecnología. La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y estimula el aprendizaje de los estudiantes.

Este módulo consta de tres unidades, distribuidas en 17 sesiones Cada actividad ha sido estructurado en tres secciones. En la primera sección, que denominamos Analizando mi práctica, proponemos una situacióninicial de reflexión y discusión colectiva sobre un aspecto del tema, En la segunda, Construyamos nuestro aprendizaje, presentamos las principales posiciones e informaciones, así como una colección de actividades o tareasintercaladas en el texto que pueden servir como situaciones introductorias alos distintos apartados, o bien como complemento y evaluación del estudio. La tercera sección, Reflexionando sobre lo aprendido, incluye una colección de"problemas de didáctica de las matemáticas" que amplían la reflexión y el análisis de los conocimientos propuestos en cada tema.

José Melanio, Jorge Luis y Edwin

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

ENFOQUE Y RUTA METODOLÓGICA

Propuesta pedagógica alternativa

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA

ENFOQUES

Crítico reflexivo

Profesionalismo docente

 Realidad Política y lineamientos educativos.  Práctica educativa del área de Matemática  Teoría de los camposconceptuales y

INTERCULTURAL

Docentes de instituciones educativas públicas del nivel de educación secundaria especialidad Matemática de educación básica regular 2012 – 2014,

COMPONENTE

PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA

COMPETENCIA

recursos didácticos-

REFLEXIVO CRÍTICO

INVESTIGACIÓN

ACCIÓN El Marco Situacional

 Didáctica del Numero y Operaciones  La docencia crítico reflexiva,

INDICADORES

UNIDADES

Busca

MÓDULO

Fortalecer Las competencias profesionales, para mejorar su desempeño docente.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

ENFOQUES El enfoque crítico reflexivo El enfoque crítico – reflexivo, busca que los docentes participantes del Programa de especialización se involucren en un proceso de cambio educativo y compromiso con las necesidades del desarrollo regional y nacional a partir de la deconstrucción y reconstrucción crítica de su propia práctica pedagógica y de la investigación acción como ejes centrales del proceso formativo y estrategias efectivas para la producción de un saber pedagógico situado. El enfoque intercultural crítico 

La interculturalidad como concepto y práctica significa “entre culturas” la cual hace referencia a la relación armónica, respetuosa y valorativa entre dos o más culturas caracterizados por la diversidad cultural y lingüística. Esta coexistencia y la interrelación permanente de comunicación y aprendizaje entre personas y grupos propician la interculturalidad. Sin embargo, cuando hablamos de la relación de una cultura consigo misma, mediante procesos de recuperación, revitalización y desarrollo identidario con la propia cultura, estamos refiriéndonos a la interculturalidad. El profesionalismo docente 

El profesional de la educación considerado dentro del profesionalismo docente es ético, reflexivo e innovador, capaz de autoevaluarse y actualizarse constantemente para construir nuevos saberes, asumir compromisos con la sociedad, trazarse objetivos y metas con sus estudiantes y con la colectividad profesional. Los Programas de Especialización del MED, asumen el compromiso de formar docentes con profesionalismo, para transformar la práctica pedagógica considerando como elementos fundamentales de la docencia, tres aspectos:  La enseñanza como acción social, corresponde a una docencia con una perspectiva intercultural crítica, que construya una cultura que refleje un impacto social y político en los contextos de enseñanza-aprendizaje para el desarrollo integral del país.  La ética de educar, que nutre y emerge desde la pedagogía social, mediante la reflexión ética, política y la autorreflexión sobre las creencias y formas de actuar del docente y los recursos que posee para educar a sus estudiantes, hacia el logro del bien común sobre los derechos humanos universales.  El saber específico sobre la pedagogía, permite fortalecer la docencia como una profesión autónoma, que protagonice la construcción de una educación intercultural, inclusiva y de calidad; a fin de concebir saberes que promuevan la reflexión en los estudiantes, basados en el amor, el saber ser, conocer y hacer, a partir de la relación con su historia, el contexto cultural y la acción pedagógica.

BENEFICIARIOS 

Docentes de instituciones educativas públicas del nivel de educación secundaria de educación básica regular 2012 – 2014.

FINES DEL MÓDULO BENEFICIARIOS  Fortalecer sus competencias

profesionales y personales, para mejorar su

desempeño docente.

PRODUCTOS A LOGRARSE  Diseño metodológico para el diagnóstico del problema.

BENEFICIARIOS BENEFICIARIOS

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

COMPETENCIAS, CONTENIDOS, EJES E INDICADORES

INDICADORESDE DESEMPEÑO

UNIIDAD I

MÓDULO I

Realidad, Política y Lineamientos Educativos

PEDAGOGIA Y DIDACTICA C

UNIDAD II Práctica educativa del área de matemática. Concepciones de enseñanza aprendizaje. UNIDAD III Teoría de los campos conceptuales y recursos didácticos

O N T

COMPETENCIAS

E N I D

Demuestra en su práctica, conocimientos sobre el marco situacional educativo, enfoques, fundamentos teóricos y estrategias innovadoras para el desarrollo del Número y operaciones, en espacios de aprendizaje colaborativo como medio para desarrollar y compartir información a través de la resolución de problemas, tomando en cuenta su contexto.

O S

 Analiza

las Políticas educativas nacionales, regionales y establece la relación entre ellas, mediante un cuadro comparativo.  Analiza el proyecto educativo regional y establece la relación con los contenidos del DCN  Desarrolla capacidades utilizando recursos del contexto

INDICADORES DE LOGRO

EJES TRANSVERSALES   

 Conoce el enfoque y tratamiento del área de matemática en el marco de las políticas educativas regionales y nacionales.  Maneja diversidad de estrategias, innovaciones para el tratamiento didáctico de números y operaciones, fortaleciendo la resolución de problemas contextualizados a su entorno.

La enseñanza como acción social La ética del educar La producción del saber pedagógico

 Analiza las diferentes concepciones de la enseñanza y aprendizaje.  Aplica el método heurístico y el método de Polya en la solución de problemas  Diseña estrategias para resolver problemas aplicando propiedades de razones y porcentajes

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

LEYENDA ICONOGRAFICA

En este momento los docentes analizan su práctica a través de situaciones o pequeñas actividades que le permitan reflexionar.

En este momento los estudiantes van a ir construyendo los aprendizajes haciendo uso de los contenidos presentados.

En este momento los esrtudiantes reflexionan en situaciones propuestas de tal forma que puedan transformar su realidad.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

INDICE Pág. Presentación Enfoque y ruta metodológica Competencias, contenidos, ejes e indicadores Leyenda iconográfica UNIDAD N° I: REALIDAD, POLÍTICA Y LINEAMIENTOS EDUCATIVOS Sesión1.- Políticas educativas nacionales y regionales: resultados de

10 11

programas realizados Sesión 2.- Enfoque y práctica curricular según el Diseño Curricular Nacional

Sesión 3.- Características del Proyecto Educativo Regional

Sesión 4.- Enfoques del área de matemática, competencias y capacidades

Sesión 5.- Desarrollo de capacidades utilizando recursos del contexto

UNIDAD N° II: PRACTICA EDUCATIVA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

CONCEPCIONES

ENSEÑANZA

APRENDIZAJE.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS Sesión 6.- Concepciones de la enseñanza y aprendizaje, fundamentos

teóricos Sesión 7.- Método Heurístico y Método de Polya para resolver problemas del

contexto. Sesión 8.- Estrategias para resolver problemas relacionados al entorno real

utilizando el sistema internacional de unidades, unidades de tiempo. Sesión 9.- Estrategias para resolver problemas relacionados a temas locales y

reales utilizando propiedades de las razones, porcentaje y regla de tres.

UNIDAD N° III: TEORIA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES Y RECURSOS DIDACTICOS Sesión 10.- Teorías de los campos conceptuales de Vergnaud

106

Sesión 11.- Recursos didácticos para el aprendizaje de los sistemas

113

numéricos. Sesión12.- Estrategias para desarrollar situaciones problemáticas de números

130

y operaciones por niveles de demanda cognitiva Sesión 13.- Recursos didácticos propuestos por el MED y alternativos para la

140

enseñanza de la matemática Sesión 14.- Simuladores virtuales para la solución de situaciones

147

problemáticas 9

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Sesión 15. Elaboración y manipulación de materiales educativos para el área

151

de matemática utilizando recursos y elementos de la localidad Sesión 16.- Principles and StandardsforSchoolMathematicsNCTM,

162

Competencias en el VI y VII ciclo de la EBR, Análisis, convergencias y divergencias Sesión 17.- PISA. Marco teórico. Análisis de resultados de las ultimas

168

evaluaciones (en función a los estándares que se propone) BIBLIOGRAFÍA

174

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

PRIMERA UNIDAD: REALIDAD, POLÍTICA Y LINEAMIENTOS EDUCATIVOS

Esta unidad consta de cinco sesiones de aprendizaje: Políticas educativas nacionales y regionales, resultados de programas realizados, Enfoque y práctica curricular según el Diseño Curricular Nacional, Características del Proyecto Educativo Regional, Enfoques del área de matemática, competencias y capacidades y Desarrollo de capacidades utilizando recursos del contexto

Política educativa nacional y regional. Resultados de programas realizados

Enfoque y práctica curricular según el Diseño Curricular Nacional. REALIDAD, POLÍTICA Y LINEAMIENTOS EDUCATIVOS

Características del Proyecto Educativo Regional.

Enfoque del área matemática: competencias y capacidades.

Desarrollo decapacidades utilizando recursos del contexto.

SESIÓN 1

POLÍTICAS EDUCATIVAS NACIONALES Y REGIONALES: RESULTADOS DE PROGRAMAS REALIZADOS

INDICADORES DE LOGRO - Analiza las Políticas educativas nacionales, regionales y establece la relación entre ellas, mediante un cuadro comparativo - Analiza los resultados de programas de especialización realizados por la universidad.

Te invitamos a reflexionar sobre las políticas educativas nacionales y regionales  Qué opinas del PEN?  Qué opinas del proyecto educativo regional?  ¿Por qué crees que no tenemos un 11 proyecto curricular regional?

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

POLÍTICAS NACIONALES Como todos sabemos, el Perú creció económicamente de manera acelerada en los últimos años. Hay quienes piensan de que, a pesar de la crisis financiera internacional, sus perspectivas siguen siendo prometedoras, mientras otros vaticinan años difíciles. En cualquiera de los dos escenarios, no existen para el país alternativas de respuesta que puedan prescindir de la educación. Por ahora, el crecimiento no necesitó mucho de la educación, pues hubo un progreso de los indicadores económicos no acompañado de progresos en la calidad de la educación. En realidad, se trató de un progreso poco ordenado y orgánico, que ha mantenido las grandes desigualdades en la calidad de los servicios que reciben sobre todo las comunidades rurales e indígenas, aunque también las grandes ciudades. Lo cierto es que un desarrollo extendido a todas las capas sociales, acompañado con progreso y bienestar, exige revisar la escasa prioridad que la sociedad y los gobiernos han venido dando a la educación. Sea que se trate de remontar la crisis o de hacer sostenible un nuevo periodo de crecimiento económico, como lo demuestra la experiencia de varios países del mundo, se necesita una educación de calidad. Esto significa colocar la educación rural a la altura de la urbana y ambas a la altura de los países de vanguardia, reducir a cero la desnutrición crónica de los niños y desarrollar el talento humano desde la primera infancia, así como transferir a nuestros jóvenes las capacidades necesarias para actuar en las economías del conocimiento. Naturalmente, nada de eso es posible con una educación cuya participación en el PBI no llega a pasar del 3%, en tanto un país como México alcanza el 8.2%. El Proyecto Educativo Nacional y las reformas pendientes Pero la frágil situación de la educación peruana y su desfase respecto a los grandes desafíos nacionales es producto de una larga historia y ha llegado en la actualidad a límites insostenibles. A fines de los años 90 e inicios del siglo XXI, estaba claro que nuestra educación había perdido el paso respecto a los cambios que se venían produciendo en el mundo y en nuestro propio país. Los retos que se nos presentaban para superar la pobreza, alcanzar un desarrollo con progreso, justicia y bienestar para todos e integrarnos como país superando viejas divisiones, heridas y prejuicios, estaba claro, no se podían afrontar sin educación. No obstante, la educación nacional arrastra tres herencias muy pesadas. La primera es la desigualdad, que nos ha acostumbrado a una educación de calidad para unos pocos y una educación sin calidad para muchos. La segunda es el atraso, pues a nuestros jóvenes se les sigue enseñando lo que quizás fue útil en el pasado pero ya no lo es en la época actual. La tercera es el abandono, pues la calidad de la educación ha sido siempre el pariente pobre del presupuesto público y no tuvo un lugar preferencial en la agenda política de los gobiernos. El Proyecto Educativo Nacional surge, justamente, como respuesta a un clamor cada vez más unánime: contar en el país con políticas de Estado en educación que emprendan soluciones sostenibles a largo plazo al problema de una educación inequitativa, desfasada de las exigencias de la época, por añadidura ineficaz y relegada de las prioridades nacionales. Políticas que trasciendan ministros y gobiernos por tener pertinencia, viabilidad y aceptación general.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En efecto, la fortaleza del PEN estuvo siempre en el consenso, pues se concibió desde el inicio no como un producto de gabinete, sino como expresión de un proceso de concertación con la ciudadanía, los maestros, la comunidad académica y diversas instituciones sociales en todas las regiones del país. Su segunda fortaleza fue su mirada de conjunto y su perspectiva de largo plazo. Por lo mismo, fue diseñado no como un conjunto de iniciativas y actividades coyunturales, aisladas y dispersas, dirigidas a mejorar uno u otro aspecto particular de la educación, sino como un proyecto de cambio a gran escala que necesitaba implementarse de manera articulada y coherente. Estas dos características son las mismas que distinguirían el proceso de los Proyectos Educativos Regionales: sustento en consensos plurales muy amplios y visión transformadora de sus propios desafíos educativos. De hecho, la construcción del PEN se inicia en un momento de florecimiento de los Proyectos Educativos Regionales, los que en cumplimiento de la Ley General de Educación del 2003, surgen de procesos de construcción participativa que buscaban en cada región comprometer a la ciudadanía y al sector público con los cambios a emprender en su educación. No obstante, la anhelada implementación articulada, coherente y efectiva del Proyecto Educativo Nacional y de los PER que fueron aprobándose, se tropezó con diversas barreras, haciéndose evidente las enormes limitaciones del Estado peruano para hacerse cargo de un proyecto de reforma estructural del sistema educativo, sin reformarse primero a sí mismo. Como producto de la experiencia de estos años, podemos decir hoy que su implementación depende en buena medida de nuestra capacidad para responder acertadamente estas cinco preguntas:     

¿Cómo debe reestructurarse el sector para implementar los Proyectos, asegurar sus resultados y mejorar los aprendizajes en los diversos escenarios regionales? ¿Cómo aseguramos el financiamiento necesario y sostenido a cada iniciativa hasta obtener los resultados buscados? ¿Cómo garantizamos a los niños, en especial a los más pequeños y más pobres, todas las condiciones que les permitan un inicio auspicioso de su escolarización? ¿Cómo reformamos la profesión docente de un modo que abra paso a prácticas más efectivas de enseñanza en escuelas, a su vez, rediseñadas y fortalecidas? ¿Cómo dotarnos de instituciones de educación superior seriamente acreditadas que aporten el capital humano que la sostenibilidad de estas reformas requiere?

La primera y la segunda pregunta nos remiten a dos barreras, a veces insalvables aunque imprescindibles de vencer, para cualquier proceso serio de cambio en educación: la gestión y el presupuesto, ámbitos que requieren urgentes reformas estructurales, empezando por la institución educativa, pasando por los órganos descentralizados y terminando en el sistema nacional de gestión. La tercera pregunta alude a una condición esencial para una escolarización exitosa: la atención y reducción de las desventajas sociales con las que llegan a la escuela los niños de las zonas más pobres del país, en particular las rurales, y que condicionan fuertemente su posterior rendimiento. La cuarta nos traslada al terreno de una reforma particularmente crítica: la de la profesión docente, es decir, de su rol y sus prácticas pedagógicas, de su formación y evaluación, hasta ahora desalineadas de las principales demandas de aprendizaje que se afronta la educación básica y de los cambios en el sistema de gestión de la educación. La quinta, finalmente, nos remite a los procesos de acreditación de la calidad de la educación superior, una reforma largamente esperada y que hoy necesitamos impulsar, acompañar, 13

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

consolidar, vigilar, para contar con instituciones que aporten al país los profesionales y el nuevo conocimiento que hagan posible un desarrollo nacional con equidad y justicia sostenible a largo plazo.

Objetivos de Dakar Objetivo Estratégico de Dakar 1 Extender y mejorar la protección y educación integrales de la primera infancia, especialmente para los niños más vulnerables y desfavorecidos. Objetivo Estratégico de Dakar 2 Velar por que antes del año 2015 todos los niños, sobre todo las niñas y los niños que se encuentran en situaciones difíciles, y los pertenecientes a minorías étnicas, tengan acceso a una enseñanza primaria gratuita y obligatoria de buena calidad, y la terminen. Objetivo Estratégico de Dakar 3 Velar porque sean atendidas las necesidades de aprendizaje de todos lo jóvenes y adultos mediante el acceso equitativo a un aprendizaje adecuado y a programas de preparación para la vida activa. Objetivo Estratégico de Dakar 4 Aumentar el 50% de aquí al año 2015 el número de adultos alfabetizados, en particular mujeres, yfacilitar a todos los adultos el acceso equitativo a la educación básica y a la educación permanente. Objetivo Estratégico de Dakar 5 Suprimir las disparidades entre géneros en la enseñanza primaria y secundaria de aquí al año 2005 y lograr antes del año 2015 la igualdad entre géneros en relación con la educación, en particular garantizando a las niñas un acceso pleno y equitativo a una educación básica de buena calidad, así como un buen rendimiento. Objetivo Estratégico de Dakar 6 Mejorar todos los aspectos cualitativos de la educación, garantizando los parámetros más elevados,

para

conseguir

resultados

aprendizajes

reconocidos

mesurables,

especialmente en lectura, escritura, aritmética y competencias prácticas esenciales.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

PROYECTO EDUCATIVO NACIONAL AL 2021 La educación que queremos para el Perú Propuesta del Consejo Nacional de Educación Noviembre de 2006 Este documento ha sido elaborado por el Consejo Nacional de Educación, luego de un intenso proceso de diálogos y consultas con la ciudadanía, en cumplimiento del mandato del artículo 81 de la Ley General de Educación, tomando como base las políticas acordadas en el Acuerdo de Gobernabilidad del Foro del Acuerdo Nacional, en la Ley General de Educación 28044, en el plan de Educación Para Todos, entre otros. OBJETIVO ESTRATÉGICO 1 OPORTUNIDADES Y RESULTADOS EDUCATIVOS DE IGUAL CALIDAD PARA TODOS Políticas: 1. Asegurar el desarrollo óptimo de la infancia a través de la acción intersectorial concertada del Estado en cada región. 2. Ampliar el acceso a la educación básica a los grupos hoy desatendidos. 3.

Asegurar condiciones esenciales para el aprendizaje en los centros educativos que atienden las provincias más pobres de la población nacional.

4. Prevenir el fracaso escolar en los grupos sociales más vulnerables. OBJETIVO ESTRATÉGICO 2 ESTUDIANTES E INSTITUCIONES QUE LOGRAN APRENDIZAJES PERTINENTES Y DE CALIDAD Políticas: 5.

Establecer un marco curricular nacional compartido, intercultural, inclusivo e integrador, que permita tener currículos regionales.

6. Definir estándares nacionales de aprendizajes prioritarios y evaluarlos regularmente. 7. Transformar las prácticas pedagógicas en la educación básica. 8. Impulsar de manera sostenida los procesos de cambio institucional. 9. Articular la educación básica con la educación superior técnica o universitaria OBJETIVO ESTRATÉGICO 3 MAESTROS BIEN PREPARADOS QUE EJERCEN PROFESIONALMENTE LA DOCENCIA Políticas: 15

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

10. Mejorar y reestructurar los sistemas de formación inicial y continua de los profesionales de la educación. 11. Implementar una nueva Carrera Pública Magisterial. OBJETIVO ESTRATÉGICO4 UNA GESTIÓN DESCENTRALIZADA, DEMOCRÁTICA, QUE LOGRA RESULTADOS Y ES FINANCIADACON EQUIDAD Políticas: 12. Cambiar el actual modelo de gestión pública de la educación basándola en procedimientos democráticos y en el planeamiento, promoción, monitoreo y evaluación de políticas estratégicas nacionales. 13. Reformar la gestión educativa regional y articularla con los ejes de desarrollo nacional y regional con criterios de coordinación intersectorial. 14. Fortalecer las capacidades de las instituciones y redes educativas para asumir responsabilidades de gestión de mayor grado y orientadas a conseguir más y mejores resultados. 15. Fortalecer una participación social responsable y de calidad en la formulación, gestión y vigilancia de las políticas y proyectos educativos. 16. Moralizar la gestión en todas las instancias del sistema educativo 17. Incrementar sostenidamente el presupuesto asegurando calidad educativa para todos, asignando recursos con criterios de equidad, calidad y eficiencia. 18. Estimular y procurar el aumento de la contribución social al financiamiento de la educación. OBJETIVO ESTRATÉGICO 5 EDUCACIÓN SUPERIOR DE CALIDAD SE CONVIERTE EN FACTOR FAVORABLE PARA ELDESARROLLO Y LA COMPETITIVIDAD NACIONAL Políticas: 19. Renovar la estructura del sistema de la educación superior, tanto universitaria cuanto técnico-profesional. 20. Consolidar y dar funcionamiento efectivo al Sistema Nacional de Acreditación y Certificación de la Calidad de la Educación Superior. 21. Incrementar el financiamiento del sistema nacional de educación superior y enfocar los recursos en las prioridades de dicho sistema. 22. Renovar la carrera docente en educación superior sobre la base de méritos académicos. 23. Articulación de la educación superior con la realidad económica y cultural.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

24. Educación superior ligada a la investigación y a la planificación. 25. Transformación de la calidad de la formación profesional. OBJETIVO ESTRATÉGICO 6 UNA SOCIEDAD QUE EDUCA A SUS CIUDADANOS Y LOS COMPROMETE CON SU COMUNIDAD Políticas: 26. Municipios fomentan la identidad local y la cohesión social. 27. Participación y movilización social en torno a desafíos centrales 28. Familias asumen rol educador y colaboran con los aprendizajes y con prácticas de vida en comunidad. 29. Fomento de la responsabilidad social de las empresas locales a favor de la educación. 30. Fomento de compromisos de líderes e instituciones con la educación. 31. Promoción de la función educativa, informativa y cultural de los medios de comunicación. 32. Autorregulación de la prensa a favor de los derechos ciudadanos. 33. Observatorio ciudadano para mejorar la responsabilidad cívica de los medios.

PROYECTO EDUCATIVO REGIONAL DE LAMBAYEQUE VISIÓN EDUCATIVA REGIONAL NUESTRA VISIÓN Todas las personas en la región Lambayeque, desarrollan capacidades para enfrentar retos en un mundo diverso, globalizado y cambiante, contribuyendo al desarrollo humano sostenible de la región y del país. Participan de una educación integral, de calidad, innovadora con equidad e interculturalidad que se desarrolla en forma descentralizada y democrática, en el marco de la ética y la participación comprometida con el Estado y la Sociedad Civil. Para lograr esta Visión se han formulado seis Objetivos de Desarrollo Educativo, con susrespectivos resultados, políticas y medidas, todo ello a partir del análisis de nuestra realidadregional, nacional y mundial. Los objetivos planteados se refieren a los temas

Calidad

Interculturalidad,

delos

Aprendizajes,

Desarrollo

Magisterial,

Equidad

Educativa,

GestiónEducativa

Democrática y Descentralizada y Educación Superior Articulada al 17

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

DesarrolloRegional. OBJETIVO 1: CALIDAD DE LOS APRENDIZAJES Lograr aprendizajes de calidad en los y las estudiantes de educación básica con la participación de la familia y la comunidad en general para su desarrollo personal y social que les permitan ser ciudadanos y ciudadanas promotores de cambio. Políticas: POLÍTICA 1: Implementación de una práctica pedagógica intercultural de calidad basada en valores, en el buen trato y en la investigación, que garantice a los estudiantes una educación trascendente para su vida personal y social. POLÍTICA 2: Implementación de un Proyecto Curricular Intercultural Diversificado, formulado concertadamente con un enfoque de desarrollo humano sostenible, que sirva de soporte al proceso de descentralización en todos los niveles y modalidades. POLÍTICA 3: Orientación de la gestión pedagógica, administrativa e institucional de las instituciones educativas al logro de aprendizajes de calidad. POLÍTICA 4: Implementación de mecanismos de monitoreo, evaluación e información periódica de logros de aprendizajes para la toma de decisiones en todos los niveles de gestión. POLÍTICA 5: Promoción de la participación significativa de las familias en el proceso de aprendizaje de sus hijos e hijas. POLÍTICA 6: Movilización permanente de la sociedad lambayecana para su involucramiento en la educación y el logro de aprendizajes de calidad. OBJETIVO 2: EQUIDAD EDUCATIVA Promover y garantizar la igualdad de oportunidades en la asignación de los recursos, acceso, permanencia y calidad de los procesos y logros de aprendizajes. Políticas: POLÍTICA 7: Aseguramiento del acceso, permanencia y culminación exitosa de la educación básica, en particular de las niñas y adolescentes de las poblaciones rurales y urbanas periféricas. POLÍTICA 8: Generalización del uso de la lengua materna y la incorporación progresiva de una segunda lengua en los procesos de aprendizaje escolar de la población quechua hablante. 18

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

POLÍTICA 9: Atención prioritaria a la educación en las áreas rurales para mejorar la calidad educativa y disminuir las brechas existentes de inequidad. POLÍTICA 10: Promoción de una educación con enfoque de equidad de género que erradique estereotipos y prácticas discriminatorias. POLÍTICA 11: Atención oportuna de la primera infancia en nutrición, salud física y mental con participación intersectorial, comunal, gobierno local y regional. POLÍTICA 12: Implementación y aseguramiento de las instituciones educativas menos favorecidas, especialmente de áreas rurales y urbano-periféricas, con participación de gobiernos locales, de acuerdo a sus necesidades y contexto con infraestructura y equipamiento de calidad. POLÍTICA 13: Fomento a la inclusión de niños con necesidades educativas especiales al sistema educativo y generación de condiciones que posibiliten y optimicen su aprendizaje. OBJETIVO 3: INTERCULTURALIDAD Promover en la sociedad regional lambayecana el compromiso de valorar y respetar la diversidad natural y cultural para desarrollar y afirmar la identidad personal, local, regional y nacional a partir de relaciones equitativas e integradoras. Políticas: POLÍTICA 14: Mejoramiento institucional con orientación intercultural en la formulación, ejecución y evaluación de los instrumentos de gestión en las instancias del sistema educativo. POLÍTICA 15: Promoción y desarrollo permanente de programas y proyectos interculturales en las instituciones educativas y en la comunidad. POLÍTICA16: Movilización social por un permanente diálogo intercultural que respete las diferencias y que contribuya a la construcción de relaciones de equidad e intercultural. POLÍTICA 17: Promoción de canales de información y comunicación entre las instituciones públicas, privadas y comunidad para el desarrollo de relaciones y actividades interculturales que fortalezcan la identidad e integración lambayecana. POLÍTICA18: Fomento de la investigación sobre diversidad natural y cultural que contribuya a la formación de ciudadanías responsables e interculturales para el desarrollo local y regional. 19

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

OBJETIVO 4: DESARROLLO MAGISTERIAL Contar con profesores idóneos en lo personal y profesional, que asumen sus responsabilidades con los aprendizajes de los estudiantes y se constituyen en agentes de cambio, con condiciones laborales dignas, revalorados socialmente y que contribuyen al desarrollo regional y nacional. Políticas: POLÍTICA 19: Formación inicial docente basada en la ética, investigación, innovación y conservación de los recursos naturales, para garantizarel desarrollo de una cultura ecológica; así como de capacidades personales y profesionales de calidad. POLÍTICA 20: Mejoramiento de la gestión en las instituciones de formación docente para lograr una formación inicial de calidad articulada al desarrollo local, regional y nacional. POLÍTICA 21: Generación de un sistema de regulación de la oferta de formación en servicio, basada en indicadores de calidad concertados que aseguren pertinencia, oportunidad y accesibilidad a las necesidades y posibilidades de los profesores. POLÍTICA 22: Impulsar el desarrollo profesional del docente en el marco de la carrera pública magisterial, que permita su revaloración involucrando a la sociedad civil, gobiernos locales e instituciones públicas y privadas organizadas. OBJETIVO

GESTIÓN

DEMOCRATICA

DESCENTRALIZADA Garantizar que las diferentes instancias de gestión educativa ejerzan sus funciones en forma autónoma, democrática y descentralizada en beneficio de la sociedad. Políticas: POLÍTICA 23: Fortalecimiento de los espacios de participación social en las decisiones educativas que incorpore los intereses de los diversos actores. POLÍTICA 24: Funcionamiento efectivo de mecanismos de transparencia y de rendición de cuentas, en todas las instancias de gestión educativa descentralizada y gobiernos locales, con criterios de pertinencia a la diversidad social y cultural.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

POLÍTICA 25: Erradicación oportuna de casos de corrupción en el Sector educación de la región. POLÍTICA 26: Desarrollo de la autonomía en las diferentes instancias de gestión educativa descentralizada del sistema educativo de la región. POLÍTICA 27: Fortalecer la intersectorialidad y la participación de los gobiernos locales, en las diversas instancias de gestión educativa descentralizada para contribuir al desarrollo humano local y regional. POLÍTICA 28: Optimización del desempeño de competencias transferidas en el marco del proceso de descentralización. POLÍTICA 29: Aseguramiento de los recursos financieros necesarios para el desarrollo de las políticas educativas regionales, gestionados de manera eficaz, eficiente y transparente. OBJETIVO 6: EDUCACIÓN SUPERIOR ARTICULADA AL DESARROLLO REGIONAL Asegurar la formación de profesionales competentes y honestos en el marco de la investigación, innovación y la tecnología, comprometidos en el desarrollo Regional y Nacional, en Instituciones acreditadas. Políticas: POLÍTICA 30: Asegurar la aplicación de un currículo intercultural articulado a la educación básica, al desarrollo regional y a la conservación y manejo de los recursos naturales. POLÍTICA 31: Promoción de la investigación científica y aplicación de conocimientos en los diferentes campos del saber orientados a mejorar la calidad de vida. POLÍTICA 32: Promoción de proyectos de inversión acorde con las necesidades de la Región, a través del Estado, colegios profesionales y otras organizaciones de la Sociedad Civil. POLÍTICA 33: Implementación de un programa de evaluación y acreditación de las instituciones educativas de Educación Superior para optimizar la calidad de la formación profesional. POLÍTICA 34: Promoción permanente de la investigación científica e innovación tecnológica que contribuya al desarrollo local y regional. POLÍTICA 35: Optimización y mejoramiento del proceso de extensión y proyección social para el desarrollo y crecimiento de la región. 21

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Ahora a evaluar los avances de los objetivos estratégicos y políticas del proyecto educativo regional. Desde la perspectiva de la realidad de mi localidad. Elabora una propuesta de aplicación del PEN en tu institución educativa enlazadas con las políticas propuestas con el PER.

SESIÓN 2

ENFOQUE Y PRÁCTICA CURRICULAR SEGÚN EL DISEÑO CURRICULAR NACIONAL INDICADORES DE LOGRO

- Analiza el diseño curricular nacional, especialmente en el área de Matemática

Observa, lee y comenta

Te invitamos a reflexionar sobre la enseñanza de la matemática en nuestras aulas: 1. 2. 3. 4. 5.

¿Cuál es tu opinión del cómic presentado? ¿Cuáles son las inquietudes de la estudiante como Mafalda y sus compañeros? ¿Cómo se viene desarrollando el proceso de enseñanza aprendizaje del área en el aula? ¿De qué manera nuestros estudiantes manifiestan su interés por el estudio de la matemática? ¿Qué estrategias resultan más adecuadas para el tipo de estudiante que tenemos?

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

ACTIVIDAD 2: Dialoguemos sobre el ENFOQUE DEL AREA DE MATEMÁTICA en el marco del DCN

“…la sociedad cambió, se volvió mucho más compleja. Ser un ciudadano autónomo hoy exige – entre muchas otras cuestiones- dominar conjuntos de relaciones, interpretar sistemas de símbolos, plantear problemas y resolverlos, producir formas de representación en función de la solución que se busca, justificar métodos elegidos…. ¿Entonces? Entonces es necesario repensar la matemática escolar de manera tal que el diálogo entre la escuela y la comunidad recobre su sentido principal: lograr que los jóvenes puedan estudiar los productos de la cultura que mejor los prepararán para comprender la sociedad en la que van a entrar. (…) Hoy más que nunca importan los recorridos transitados para conocer. (…) el sentido de un concepto está ligado a las prácticas que se pusieron en juego durante su elaboración y esas prácticas son las que determinan la potencialidad del concepto para ser reutilizado” (Sadovsky 1999:32).

1. FUNDAMENTOS Y ENFOQUE DEL ÁREA En nuestra sociedad actual la matemática se presenta en diversas situaciones: en la familia, la escuela, el trabajo, el ocio, entre otros. Es decir, en nuestra vida diaria estamos siempre relacionados con aspectos sociales, culturales y de la naturaleza, existiendo en esta relación aspectos matemáticos que involucran un entendimiento y un desenvolvimiento adecuados que nos permiten entender el mundo que nos rodea. Por ejemplo, podemos cuantificar el número de integrantes de la familia, hacer un presupuesto familiar, desplazarnos de la casa a la escuela, estimar el tiempo empleado para cuando nos transportamos, esperar la cosecha del año considerando el tiempo y los fenómenos de la naturaleza, hacer los balances contables de negocios en una microempresa, así como practicar juegos en los que podríamos hacer cálculos probabilísticos.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Por otro lado, la matemática es un sistema comunicativo-representativo en el que está escrito el desarrollo de las demás ciencias; gracias a ello ha habido un desarrollo dinámico

combinado

ciencia-

tecnología, que ha cambiado la vida del ciudadano moderno. En las últimas décadas, la matematización ha alcanzado diversas disciplinas científicas (economía, química, ciencias sociales, entre otras). Por ejemplo, en medicina se realizan estudios epidemiológicos de tipo estadístico, también es necesario cuantificar el estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etcétera) y seguir su evolución, mediante tablas y gráficos, comparándola con los valores promedios en un sujeto sano. Todo ciudadano está dotado para la matemática de forma natural, presentándose en la educación de manera formal e informal. Su desarrollo es fruto de la vida misma de la persona relacionada con diversos aspectos. Decimos que la persona redescubre y construye sus conocimientos científicoscon la ayuda de la matemática, en el sentido de que las disciplinas científicas usan como lenguaje y representación de lo factual los códigos, procesos y conceptos de un cuerpo de conocimiento matemático El Diseño Curricular Nacional plantea el desarrollo del pensamiento matemático como parte de todo un pensamiento que busca ser integral y crítico, por lo que la formación del ciudadano moderno, en el área, se orienta hacia el desarrollo y aplicación de estrategias en la resolución de problemas en un mundo cultural, social, científico e intelectual. Es por ello que los futuros ciudadanos tendrán seguridad al resolver situaciones problemáticas, mostrando actitudes como la honestidad y transparencia al comunicar procesos de solución y resultados; perseverancia para lograrlos; rigurosidad para representar relaciones y plantear argumentos; iniciativa, capacidad de trabajo en equipo, curiosidad por los nuevos avances, capacidad para afrontar diferentes problemas y dificultades. El conocimiento matemático hasta la actualidad es consecuencia de experiencias numerosas y variadas en relación con la evolución cultural, histórica y científica, de modo que se puede apreciar, asimismo el rol en el desarrollo de nuestra sociedad actual y explorar qué relaciones existen entre la matemática y las disciplinas científicas. Debe concebirse como parte del proceso, mediante el cual la persona en formación es iniciada en su herencia cultural, de modo que cada generación transmite a las siguientes sus pautas culturales básicas.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Por ello, se debe resaltar el rol que cumple la institución educativa en lavalorización de un legado de conocimientos desarrollados en un contexto regional y local, permitiendo a partir de ello un conocimiento que en momentos va a hacer contraste con lo vivido (ejemplo: sistemas de medidas usadas en la región y sistemas de medidas de los que haceuso las ciencias), expresar sus aplicaciones o utilidades en un contexto (ejemplo: qué rol cumple el sistema numérico en las actividades de la región), propiciar el acercamiento a razonamientos y argumentos matemáticos de un grupo cultural (ejemplo: un estudiante quechua de Quispicanchis y un estudiante machiguenga del Bajo Urubamba tienen un razonar diferente en la sucesión de tamaños). Por lo expuesto, el enfoque del área se orienta a reconocer: La perspectiva intercultural del área. El desarrollo del pensamiento matemático, valorando a su vez el papel formativo y social. El área se orienta en una perspectiva intercultural, a través de un proceso dinámico que permite construir relaciones más equilibradas basadas en el respeto y el diálogo entre actores de diversos universos sociales y culturales coexistenciales, posibilitando en ellos reconocer y valorar las construcciones matemáticas y formas de pensamiento matemático, así como potenciar en el estudiante la racionalidad y los sentimientos que se expresan en la interacción con su comunidad. El desarrollo del pensamiento matemático es la búsqueda crítica y reflexiva de conclusiones válidas orientadas a la resolución de problemas, que nos permite comprender las relaciones que se dan en el mundo circundante y posibilita cuantificar y formalizar para entenderlas mejor y poder comunicarlas. En consecuencia, esta forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de capacidades, como razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar, calcular, inferir, efectuar algoritmos y modelar, entre otros, conocimientos matemáticos, permitiendo el avance del pensamiento matemático, que es susceptible al aprendizaje. Es importante dejar establecido que el pensamiento matemático se construye siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica, existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en matemática es de tipo intuitivoconcreto; el pensamiento racional, que es gráfico-representativo, y el pensamiento lógico, que es de naturaleza conceptual o simbólico El siguiente esquema nos muestra ese proceso:

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

COGNICIÓ N DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO SENSORIAL

METACOGNICIÓN

CAPACIDADES DE: Aprender a aprender Aprender a pensar Aprender a hacer Aprender a vivir Aprender a ser

ETAPA CONCEPTUAL O SIMBÓLICA

Aprehender la realidad que nos rodea a través de nociones, conceptos, teorías, leyes, principios, símbolos, etcétera.

ETAPA CONCEPTUAL O SIMBÓLICA

ETAPA INTUITIVO CONCRETA

Aprehender la realidad que nos rodea a través de nociones, conceptos, teorías, leyes, principios, símbolos, etcétera. Aprehender la realidad a través de sus diversas sensaciones, es decir, mediante la información que nos proporcionan los sentidos

Para aprender nociones abstractas o generalizaciones teóricas de la matemática, es necesario que en el cerebro humano se hayan configurado determinadas estructuras mentales que hagan posible su asimilación, acomodación y conservación. Es indispensable, en consecuencia, que el mediador del aprendizaje sea consciente de que, para aprender una estructura matemática, el estudiante debe haber desarrollado una determinada estructura mental que haga posible ese aprendizaje. De lo contrario, será indispensable realizar las manipulaciones, clasificaciones, construcciones, análisis y agrupaciones necesarios con material objetivo-concreto o con representaciones gráficas para luego abordar las formalizaciones que caracterizan a la matemática. De nada sirve obviar estos procesos. Existe la ventaja, sin embargo, de que el cerebro humano no tiene una edad límite para crear sus estructuras mentales. El valor formativo del área se sustenta en proporcionar, junto con el lenguaje, los pilares de la formación de los estudiantes. Desarrolla el pensar, ordena las ideas lógicamente y requiere de un desarrollo progresivo que permita apreciar el desarrollo alcanzado por cada estudiante, quien deberá adquirir modos de pensamiento adecuado, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante situaciones no familiares que les serán útiles fuera de la clase de matemática. Por lo tanto, fomenta actitudes de orden, flexibilidad, persistencia, decisión, sensibilidad frente a los problemas, aceptación de la responsabilidad por el proceso y el resultado, objetividad, capacidad crítica y creativa. Asimismo se forman actitudes de humildad a la 26

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

aceptación del error, serenidad reflexiva hacia el averiguar las causas de un problema, constancia hacia la búsqueda del acierto. Todos estos aspectos contribuyen a la confianza en sí mismo y afirmación de su personalidad. El valor social del área aparece en todas las formas de expresión humana, permite codificar y obtener información del medio social, natural y cultural para efectuar una actuación posterior sobre dicho medio. El estudiante empieza a tener conciencia de los múltiples problemas que diariamente vive su familia, tales como cuestiones laborales, jornadas y valor del trabajo, sueldo, ingresos, gastos, compra-venta, declaración de renta, etcétera. Igualmente, da la oportunidad para insertarse adecuadamente en la formación y práctica de un futuro ámbito laboral y profesional. Por ello el estudiante puede desenvolverse haciendo de la matemática. 

Un instrumento intelectual La matemática no solo es la herramienta mediante la cual se han estructurado y llegado a desarrollar los conocimientos científicos, como la física, la química, las ciencias de la naturaleza y la tecnología, sino que también es aplicable a otras ciencias, como la economía y las ciencias sociales. Las ciencias, en general, nacen de un conjunto de hechos observados. Estas observaciones son cualitativas en primera instancia, pasan seguidamente a ser medidas y proponen relaciones sistemáticas de condiciones por las que se obtienen conclusiones cuantitativas que dan origen a las leyes científicas.



Una práctica en la vida diaria La matemática tiene un uso tanto en la escuela como en las actividades de la vida cotidiana. En el trabajo y en momentos recreativos el estudiante debe llegar a conocer y dominar una serie de conceptos y estrategias para comprender la realidad en la que está inmerso. Las capacidades que despliega el estudiante toman sentido cuando están

incluidas

las

actividades

que

involucran

visualización

espacial,

representaciones cualitativas, cuantitativas y predictivas. 2. PROPÓSITO DEL ÁREA  Resolver problemas de la vida cotidiana. La matemática debe desarrollar en los estudiantes la capacidad para plantear y resolver problemas, si queremos contar en el futuro con ciudadanos productivos. El desarrollo de la capacidad de resolución de problemas es la espina dorsal en la enseñanza de la matemática en el nivel secundario, y obliga a que algo tan evidente sea enfatizado. Sin embargo, tan importante como la capacidad de resolver problemas es la de saber plantearlos creativamente.  Aprender a razonar matemáticamente. El trabajo matemático debe permitir al estudiante desarrollar su habilidad para elaborar y comprobar conjeturas, formular contraejemplos, 27

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

seguir argumentos lógicos, juzgar la validez de un argumento, construir argumentos sencillos y válidos, etcétera. La matemática es una fuente fecunda de raciocinio.  Utilizar la matemática como medio de comunicación. El lenguaje matemático permite expresar ideas diversas, formular enunciados, leyes y principios, y realizar generalizaciones; asimismo permite reflexionar y clarificar conceptos y relaciones entre objetos, es decir, que el uso y manejo de signos, símbolos y términos para recibir y emitir información matemática, sea lo que deba enfatizarse en el trabajo de aprender matemática.  Aprender a valorar positivamente la matemática. Los estudiantes deben saber apreciar el papel que cumple la matemática en el desarrollo científico y tecnológico, experimentado en el mundo actual, y explorar sus conexiones con las otras áreas y disciplinas del conocimiento. Deben aprender a apreciar, igualmente, el valor de la matemática en el desarrollo de la capacidad de aprender a pensar, puesto que el pensamiento matemático es, en particular, una de las formas más eficientes de hacerlo.  Adquirir confianza en las propias capacidades para hacer matemática. El aprendizaje de la matemática debe permitir a los estudiantes

desarrollar

las

capacidades de uso de todas sus potencialidades, aprender

nuevas

solo

para

nociones,

conceptos y algoritmos, sino para dar sentido y direccionalidad a sus intervenciones en la solución de las situaciones problemáticas que les plantee la vida cotidiana en el ambiente al que pertenecen. 3. ORGANIZACIÓN CURRICULAR DEL ÁREA Todo el quehacer educativo en el área ha de centrarse en conseguir que los estudiantes desarrollen niveles de competencias a través de los ciclos, como parte de la formación integral con otras áreas, para garantizar en la evolución de una educación integradora. El área de Matemática en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular está organizada en competencias, capacidades, conocimientos y actitudes.

COMPETENCIAS • Resolución de problemas en número, relaciones y funciones • Resolución de problemas en geometría y medición • Resolución de problemas en estadística y probabilidad

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

COMPETENCIAS Las competencias describen los logros que los

NÚMERO RELACIONES Y FUNCIONES

estudiantes alcanzarán en cada uno de los dos ciclos

que

comprende

Educación

Secundaria. El nivel de complejidad de las competencias se incrementa de un ciclo a otro. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Estos logros están expresados en desempeños eficientes, actuaciones eficaces o en un saber hacer idóneo. En el área de Matemática, las competencias tienen su expresión en la

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

GEOMETRÍA Y MEDICIÓN

Resolución de problemas relacionados con: 

Número, relaciones y funciones.



Geometría y medición.



Estadística y probabilidad.

Presentación de las competencias en el Diseño Curricular Nacional COMPONENTES NÚMERO, RELACIONES Y FUNCIONES

GEOMETRÍA

MEDICIÓN

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

CICLO VI

CICLO VII

• Resuelve problemas con números reales y polinomios; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

• Resuelve problemas de programación lineal y funciones; argumenta y comunica los procesos de solución y resulta-dos utilizando lenguaje matemático.

• Resuelve problemas que relacionan figuras planas y sólidos geométricos; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

• Resuelve problemas que requieren de razones trigonométricas, superficies de revolución y elementos de Geometría Analítica; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

• Resuelve problemas que requieren de las conexiones de datos estadísticos y probabilísticos; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

• Resuelve problemas de traducción simple y compleja que requieren el cálculo de probabilidad condicional y recursividad; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

capacidades Las capacidades describen los aprendizajes que los estudiantes alcanzarán en cada grado, en función de las competencias por ciclos propuestas para el área. Para el logro de cada una de las competencias, es necesario el desarrollo de un conjunto de capacidades, conocimientos y actitudes que están esta-blecidos en el interior de las competencias. Las capacidades se desarrollan a través de los procesos transversales, que son: ® Razonamiento y demostración Permite la expresión ordenada de ideas en la mente para llegar a una conclusión. Esto implica varios supuestos:  El que el estudiante tenga ideas, conceptos y procedimientos establecidos y que se constituyen gracias a la capacidad de abstracción.  Se asume un ordenamiento de ellas con un propósito, siendo el ideal resolver situaciones problemáticas.  Esto implica construir y descubrir patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como en objetos simbólicos, y ser capaz de desarrollar el aprecio por la justificación matemática en el estudio escolar.  El razonamiento y la demostración no son actividades especiales reservadas para momentos determinados o temas específicos del currículo; constituyen una forma continua y habitual en las discusiones en el aula para formular e investigar fenómenos, conjeturas

matemáticas,

desarrollar

ideas

evaluar

argumentos,

comprobar

demostraciones matemáticas, elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración para que el estudiante pueda reconocer estos procesos fundamentales de la matemática. ® Comunicación matemática  Permite expresar, compartir y aclarar las ideas, conceptos y categorías, los cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento, discusión, análisis, valoración, acuerdos y conclusiones. El proceso de comunicación ayuda a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas con claridad, tanto de forma oral como por escrito.  Debido a que la matemática se expresa mediante símbolos, la comunicación oral y escrita de las ideas matemáticas es una parte importante de la educación matemática que, según se va avanzan-do en los grados de escolaridad,

aumenta

sus

niveles

complejidad. 30

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

® Resolución de problemas  Es de suma importancia por su carácter integrador con los otros procesos mencionados, ya que posibilita un perfil sistémico, de desarrollo y complejidad de diversas capacidades.  Resolver un problema implica encontrar un camino que no se conoce, es decir, desarrollar una estrategia para encontrar una solución. Para ello se requiere de conocimientos previos y capacidades en un nivel de complejidad. Y es a través de la resolución de problemas que muchas veces se construyen nuevos conocimientos matemáticos y se desarrollan capacidades cada vez más complejas.  La resolución de problemas en matemática involucra un compromiso de los estudiantes en formas de pensar, hábitos de perseverancia, confianza en situaciones no conocidas proporcionándoles beneficios en la vida diaria, en el trabajo y en el campo científico e intelectual. Conocimientos  Estos responden a una organización pedagógica y de complejidad del conocimiento de acuerdo con cada uno de los grados de la educación secundaria. Estos conocimientos son el soporte teórico del área; asimismo son los "medios" que permiten desarrollar capacidades.  Están ordenados en organizadores que representan un conjunto de conocimientos seleccionados para ser enseñados y aprendidos por los estudiantes. Estos conocimientos planteados en el área sintetizan los grandes desafíos de la educación matemática en nuestra realidad peruana y en el mundo, tienen una íntima relación con los elementos de la problemática contextual (los aprendizajes) y permiten que estos sean significativos para los estudiantes. ® Número, relaciones y funciones Con respecto a los números, se refiere a los conocimientos relativos a contar, ordenar y representarlos, así como una forma de comprender los conjuntos numéricos y sus estructuras. Esto incluye los conceptos y algoritmos de la aritmética elemental y las características de las clases de números que intervienen en los inicios de la teoría de números. Los principios que rigen la resolución de ecuaciones en álgebra coinciden con las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos. En geometría y medida, los atributos se describen con números. El análisis de datos conlleva a dar sentido a los números.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

El organizador de conocimiento referido a las relaciones y funciones permite plantear formas de representación de relaciones matemáticas y el análisis del cambio. Las relaciones

funcionales

expresan

usando

notación

simbólica,

expresando

implícitamente conocimientos matemáticos complejos. En la actualidad, el trabajo en muchas áreas se apoya en estos métodos e ideas del álgebra. Por ejemplo, las leyes de la física, los modelos de población y los resultados estadísticos pueden expresarse en el lenguaje simbólico algebraico. Para el estudio de los conocimientos algebraicos, relaciones y funciones, es necesario comprender sus conceptos, las estructuras y principios que rigen la manipulación de los símbolos y cómo pueden usarse para expresar ideas y ampliar su comprensión de las situaciones. ® Geometría y medición La geometría está referida al cuerpo de conocimientos espaciales que se expresan en diversas formas, estructuras y relaciones. Brinda la oportunidad de vivir experiencias para una adecuada percepción, imaginación, representación y simbolización del espacio, mediante exploraciones, investigaciones y discusiones que les ayuden a familiarizarse con la localización, proyección, traslación y transformación. El conocimiento geométrico posibilita representar y resolver problemas en otros aspectos de la matemática y en situaciones del mundo real; posibilitando la integración en el área misma de matemática, así como en otras áreas curriculares. La educación en geometría permite describir relaciones, razonar y demostrar a partir de las nociones y creencias que tiene el estudiante para desarrollar y alcanzar un orden simbólico, jerárquico, racional y lógico del conocimiento geométrico. El organizador de medición se ha de tener presente al asignar un valor numérico a un atributo de un fenómeno, por ejemplo, la altura de un poste, la cantidad de pesca realizada, la capacidad aproximada de lluvia recolectada. El estudio de la medida está presente en muchos aspectos de la vida diaria, en las ciencias sociales, las ciencias naturales, el arte y la educación física. Ejemplo

© Estadística y probabilidad Es necesario recoger datos, organizarlos y representarlos en gráficos y diagramas que resulten útiles. El cuerpo de conocimientos de estadística y probabilidad está relacionado 32

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

con comprender algunos métodos que implican analizar los datos y algunas formas de hacer inferencias y obtener conclusiones a partir de ellas. También se abordan los conceptos y las aplicaciones básicas de la probabilidad. El método de trabajo relacionado con este conocimiento ayuda a que los estudiantes encuentren nuevas ideas y procedimientos. El análisis de datos y la estadística permiten relacionar conocimientos y procedimientos de los otros organizadores del área (números, relaciones y funciones, geometría y medida), así como con otras áreas del currículo y de la vida cotidiana. Al realizar análisis de datos y actividades de estadística, los estudiantes pueden también aprender que las soluciones a algunos problemas dependen de las hipótesis que se establezcan y del grado de incertidumbre de las mismas. Ejemplo. Dias de la semana

El gráfico representa las temperaturas máximas y mínimas

de Puno y en una semana del año. ¿Cuál fue la menor de las temperaturas máximas? ¿Y la

- Máximas - Mínimas

(en grados centígrados) registradas por día en una localidad

mayor de las temperaturas mínimas?

Actitudes Las actitudes contribuyen y consolidan la formación integral de los estudiantes. Al estar consideradas en el currículo, el proceso de enseñanza-aprendizaje relacionado con estas deja de ser aleatorio y asistemático, y por el contrario es programado y planificado. Las actitudes, al igual que los valores, constituyen las orientaciones del comportamiento hacia el área de la Matemática, propiciando acciones hacia metas específicas en la dimensión personal y del área hacia las cuales los estudiantes sientan un fuerte compromiso emocional. El proceso de desarrollo y renovación de actitudes está relacionado con la evolución y el cambio cognitivo, afectivo y comportamental a lo largo de toda la vida en función de las vivencias que los estudiantes experimentan. En el sistema educativo es primordial reconocer que este desarrollo de actitudes se da como resultado de la interacción de todos los agentes educativos que están en torno al estudiante; los más resaltantes son la familia, los compañeros, los docentes, las autoridades institucionales. Relación del área con los propósitos de la EBR al 2021 33

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

 Desarrollo de la identidad personal, social y cultural en el marco de una sociedad intercultural y ética en el Perú La educación matemática, al considerar la diversidad del pensamiento, de la forma de aprender y la diversidad del entorno social y cultural, en el desarrollo de las capacidades y el conocimiento del área, contribuye a generar una persona autónoma con identidad, compromiso y conciencia social y cultural.  Dominio del castellano para promover la comunicación entre todos los peruanos La acción educativa por sí misma es un acto comunicativo. Es en este espacio que la educación matemática, a través de las estrategias de enseñanza y aprendizaje, se orienta, en parte, a desarrollar el proceso de la comunicación matemática, de manera oral o escrita. Es en las estrategias planteadas en el área donde el estudiante tiene una interacción social dinámica de experiencias que comparte con sus compañeros, propiciando el uso adecuado de la lengua castellana. ® Preservar la lengua materna y promover su desarrollo y práctica El desarrollo del pensamiento matemático en la persona, en primera instancia, involucra reconocer la variedad de formas de representar el mundo que nos rodea. Para poder reconocer esta representación, es importante valorar el aporte de la lengua materna en la educación matemática; asimismo, manteniendo el uso de la lengua oral y escrita materna, es posible fortalecer la significatividad del conocimiento y de desarrollo de capacidades en la persona. ® Conocimiento del inglés como lengua internacional Los mayores descubrimientos y aportes de la matemática se han dado en Europa y Estados Unidos. Por ello, al reconocer en la historia el aporte de la matemática también reconocemos el uso del inglés como una lengua de divulgación científica a nivel internacional. El conocimiento matemático contribuye a que el inglés sea considerado como lengua internacional, al reconocer que es una parte de la cultura científica y tecnológica. ® Comprensión y valoración del medio geográfico, la historia, el presente y el futuro de la humanidad mediante el desarrollo del pensamiento crítico

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

La educación matemática en la contextualización y diversificación busca abordar aquellos temas que son de interés para el estudiante; esto involucra reconocer aspectos geográficos que en algunos casos tienen matices históricos, por lo que existe una confrontación entre los espacios del pasado, presente y futuro. Es en este sentido que la educación matemática no solo se restringe al conocimiento netamente matemático, sino que también se proyecta en un espacio de reflexión y crítica de la persona, de su identidad y de su contexto sociohistórico y cultural. ® Comprensión del medio natural y su diversidad, así como desarrollo de una conciencia ambiental orientada a la gestión de riesgos y el uso racional de los recursos naturales, en el marco de una moderna ciudadanía La educación matemática no se circunscribe a un aula de cuatro paredes, sino que busca ampliar y hacer uso del conocimiento a situaciones en las que la diversidad natural, social y cultural sean espacios ricos en la exploración y la búsqueda del conocimiento. Este proceso, en su complejidad, tiene matices de valores de respeto y conciencia ambiental, así como el adecuado uso de recursos, lo que genera un ciudadano responsable con su entorno. •

Desarrollo de la capacidad productiva, innovadora y emprendedora, como parte de la construcción del proyecto de vida de todo ciudadano La matemática contribuye a que el estudiante desarrolle una actitud proactiva y creadora en la toma de decisiones, que le permita elaborar su proyecto de vida en un espacio en donde los estudiantes sientan satisfacción por alcanzar retos, sean perseverantes, se sientan personas seguras para emitir opiniones, sean autónomos, innovadores; y así extender su capacidad productiva, innovadora y emprendedora a su desempeño en la familia, en la localidad, en el ámbito social, económico, político y cultural.

•

Desarrollo de la creatividad, innovación, apreciación y expresión a través de las artes, las humanidades y las ciencias El estudiante, a través de la matemática, expresa y aprecia las diferentes variables de las artes, las ciencias y las humanidades, donde son elementos indispensables la creatividad, la libertad, los afectos y los sentidos de trascendencia. Utilizando diversos lenguajes, técnicas y recursos en contextos diferenciados, descubre sentimientos de valoración y aprecio en la percepción del mundo real e imaginario; ya que la matemática es un arte, es la expresión ordenada de nuestro pensamiento lógico con matices propios

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

de cada persona, ante un problema una persona puede presentarlo con características tan peculiares y diferentes respecto a otras personas. ® Desarrollo corporal y conservación de la salud física y mental Al cuantificar y cualificar insumos necesarios para el bienestar físico, fisiológico y mental de los estudiantes, se está contribuyendo a que este tome conciencia del valor de desarrollar hábitos alimenticios y del cuidado del ambiente que posibiliten un adecuado progreso y permanencia de estados físicos, fisiológicos y mentales acorde con su edad, donde el estudiante conoce el funcionamiento de su organismo, las posibilidades de su propio cuerpo, superando sus limitaciones. © Dominio de las tecnologías de la información y comunicación Las tecnologías de la información y comunicación son un instrumento que permite interactuar con diferentes agentes sociales del país y el mundo para validar estrategias y recursos de aprendizajes individuales y colectivos. En este sentido, la matemática contribuye a desarrollar los procesos lógicos pertinentes. Relación del área de Matemática con otras áreas ® Comunicación. La comunicación es concebida como un área que desarrolla la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. La educación matemática, a través de la resolución de problemas, requiere de la lectura comprensiva, en el lenguaje del idioma materno, castellano o simbólico, según sea el caso; asimismo, la descripción y explicación es resultado de hacer observaciones cualitativas, cuantitativas, espaciales y predictivas de sucesos; con la intención de resolver situaciones problemáticas, ayudando a formalizar el pensamiento como consecuencia de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos. ® Arte. La matemática se relaciona con la expresión musical, cultural y artística, porque el cono-cimiento matemático es expresión universal del pensamiento humane En la música el ritmo, el compás y las reglas de composición siguen un nivel de razonamiento, proporción y expresión. En la pintura, arquitectura, escultura y cerámica, la predominancia de los valores estéticos requiere de conocimientos geométricos referidos a la proporción, la simetría, el modelo bidimensional y tridimensional, la medida de longitudes, áreas y volúmenes, orientándose, a la vez, a fomentar la sensibilidad, la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético que son objetivos de esta materia. 36

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

® Persona, Familia y Relaciones Humanas. Los procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomentar la autonomía e iniciativa personal, utilizando la planificación de estrategias, la reflexión y el transmitir adecuadamente los retos y contribuciones que implica formar en el estudiante procesos de toma de decisiones. ® Formación Ciudadana y Cívica. Está orientada a los acontecimientos relacionados con la familia y grupos sociales como el realizar ahorros, inversiones, gastos, considerar el valor del dinero, los precios, las medidas, tener en cuenta en los viajes, el costo, la distancia y el tiempo. Requieren del análisis funcional y la estadística para resolver e interpretar estas situaciones problemáticas. ® Historia, Geografía y Economía. La matemática se manifiesta como una expresión cultural que facilita estructurar el espacio, el tiempo y los recursos. Asimismo, el uso de la matemática permite resolver e interpretar problemas de economía (ahorro, inversión y gasto), compras (valor del dinero, precios, pesos y medidas), viajes y ocio (distancias, tiempo, divisas y precios). El pensamiento matemático posibilita a la persona conocer, interpretar datos estadísticos, describe la realidad social e histórica y, a partir de la reflexión, generar un conjunto de acciones de mejoramiento o transformación de su contexto sociocultural y ecológico, en el marco de procesos de desarrollo humano sostenible. ® Educación Religiosa. En la práctica de aprender y enseñar matemática se consolida la formación de valores a través de las actitudes y respeto al prójimo, se despliegan procesos inductivos, deductivos, cuantitativa y cualitativamente, integrando sensaciones y otorgando significados a diversas situaciones problemáticas. Así como entender hechos bíblicos en la línea de tiempo. ®Educación Física. El análisis funcional y estadístico es útil para estudiar, difundir datos sobre hechos extraídos del entorno deportivo, describir fenómenos y problemas del entorno físico-corporal organizados en coloquios, diálogos, entrevistas simuladas, debates que exijan argumentación respecto a problemas deportivos. Se usan diagramas de barras, histogramas, polígonos de frecuencias, diagramas de sectores para la representación e interpretación de las características relevantes de una situación real expresadas en pautas de comportamiento corporal, entrenamiento deportivo, regularidades e invariantes, y, finalmente, hacer predicciones sobre la evolución, probabilidades y limitaciones del modelo físico-corporal y deportivo planteado.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

®Educación para el Trabajo. Los estudiantes mostrarán más seguridad y confianza al usar la tecnología, que les permitirá comprender la funcionalidad de sus productos, así como la comercialización de los mismos, empleando sus conocimientos matemáticos para su inserción en el mercado comercial y laboral. ® Ciencia, Tecnología y Ambiente. La realidad físico-natural-tecnológica tiene una relación di-recta con la matemática en la medida en que permite el desarrollo de modelos matemáticos, análisis funcional y el uso de datos estadísticos y probabilísticos que tratan de dar una descripción, interpretación y predicción al comportamiento de fenómenos físiconaturales-tecnológicos, relaciones causales espacio-temporales. Por otro lado, a través del uso de las capacidades y conocimientos matemáticos se genera un espacio para la toma de conciencia del uso adecuado de los recursos naturales, del cuidado del medio ambiente y acciones preventivas de salud. ® Inglés. La matemática entra en relación con el inglés, debido a que ambos son espacios de expresión de ideas que tienen que guardar un orden lógico y coherente, así como en la medida en que se hacen recopilaciones históricas en matemática, se usan términos o expresiones provenientes de la cultura de habla inglesa.

Describe cómo aplicarías los enfoques del área y como articularias las diferentes áreas en tu programación anual, de unidad y sesiones de aprendizaje. Para desarrollar capacidades matemáticas en tu labor docente, de manera individual, y luego comparte con tus colegas.

SESIÓN 3

CARACTERÍSTICAS DEL PROYECTO EDUCATIVO REGIONAL

INDICADORES DE LOGRO - Analiza el proyecto educativo regional y establece la relación con los contenidos del DCN

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Te invitamos a reflexionar sobre la enseñanza de la matemática en nuestras aulas y que relación tiene con los retos regionales: 1. ¿Cuál es tu opinión del proyecto educativo regional de Lambayeque? 2. ¿Cuáles son las inquietudes de los estudiantes en tu institución educativa?

EDUCACIÓN Los

indicadores

coberturade

educación

regiónLambayeque

son

relativamentepositivos, la cobertura de laeducación primaria es casiuniversal y a la educaciónsecundaria accede más del80 por ciento de la población. Sin embargo, aún se observan diferencias entre el área urbana y rural, en particularen la asistencia a inicial y secundaria. Las áreas rurales con menor proporción de niños en el rango de edad de 3 a 17 años que asiste a primaria y secundaria se localizan en las provincias de Ferreñafe y Lambayeque. El 92,8 por ciento de la población mayor de 15 años de la región tiene algún niveleducativo (inicial, primaria, secundaria y superior); sin embargo, sólo el 67,3 por cientotiene educación secundaria y superior, lo que es menor al promedio nacional. ¿Qué estamos haciendo los maestros para revertir esta situación? ¿Conocemos los lineamientos regionales para saris de este problema en educación?

RETOS Y PERSPECTIVAS DE LA EDUCACIÓN REGIONAL La educación nos plantea una serie de retos a nivel regional que es necesario asumir paraalcanzar el desarrollo. Uno de ellos es el relacionado a la pobreza (54% de la población y 19%en extrema pobreza) que genera desigualdades en el acceso a los servicios de salud, educación, empleo digno y el no reconocimiento de los derechos humanos. Esta situaciónafecta principalmente a los sectores más vulnerables como la niñez, juventud, mujeres, personas con discapacidad, quechua hablantes, analfabetos, etc. La globalización, como proceso social económico, científico y tecnológico, plantea una seriede retos para la sociedad actual que tienen un correlato en el sistema educativo. Esteproceso debe analizarse en su doble dimensión: como una oportunidad para crecer, aprendery comunicarse, y como un factor que acentúa las diferencias y fomenta las desigualdades conel peligro de perder identidad y compromiso solidario. Ello nos obliga a reflexionar en loscontenidos y capacidades a desarrollar para que no se constituya en una amenaza. 39

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Asimismo, el actual proceso de descentralización y la reforma del Estado, con sus avances ydificultades, nos colocan en un escenario diferente a las décadas pasadas. Representa unaoportunidad para democratizar el país e institucionalizar la cultura del diálogo, concertacióny participación ciudadana. Los procesos de elaboración de planes de desarrollo, participaciónen el presupuesto participativo, acciones de transparencia, rendición de cuentas y vigilancia, requieren de ciudadanos y ciudadanas que se sientan sujetos de derechos y que cuenten concapacidades para intervenir en asuntos públicos, así como actitudes democráticas y solidariasque les permita ser agentes de su propio desarrollo. La apertura de nuevos espacios e instancias de participación, consulta y concertación para latoma de decisiones, tales como los Consejos de Coordinación Regional y Local (CCR, CCL), lasMesas de Concertación para la Lucha contra la Pobreza (MCPLCP), mesas sectoriales y derendición de cuentas, las audiencias públicas y cabildos, y otros espacios de diálogogenerados en el proceso de descentralización y democratización son los que desafían almodelo de gestión centralista y lo llevan hacia un nuevo modelo basado en la participaciónciudadana, revisando sus roles y desarrollando nuevas capacidades en todos los actores delEstado y Sociedad Civil, especialmente sus capacidades críticas y de vigilancia. Frente a estos retos, el Plan de Desarrollo Regional Concertado 2010 del Gobierno Regional de Lambayeque (2003) considera como objetivos estratégicos los siguientes: • Mejorar las condiciones de vida de la población regional con énfasis en los sectoresvulnerables. • Promover la competitividad en la región para lograr un desarrollo económicosostenido. • Desarrollar la integración regional respetando la diversidad cultural. •

Fortalecer la democracia, la gestión pública y el liderazgo en el impulso deldesarrollo humano.

• Proteger y conservar el medio ambiente. • Desarrollar la ciencia y la tecnología regional. El desarrollo socio económico de la región Lambayeque gira en torno a las actividades productivas comerciales sostenibles cuya base es la agricultura, el turismo y sus recursos hidrobiológicos. Por lo mismo, se considera que la educación es un instrumento clave en el Desarrollo Humano Sostenible de los pueblos por lo que constituye un reto importante para el Proyecto Educativo Regional tomar en cuenta los problemas y aspiraciones planteados en elPlan de Desarrollo Regional Concertado (2003) para generar capital social que permitadesplegar y desarrollar el potencial existente en la Región que asegure la igualdad de oportunidades de todas las personas y el justo reconocimiento de los Derechos Humanos. El Sistema Educativo debe responder a las demandas de la población alentando su desarrollohumano, es necesario por ello dar pasos decisivos para brindar una educación que 40

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

desarrolle ypotencie sus capacidades de tal manera que les permita lograr su realización personal ysocial, respondiendo de esta manera a las exigencias del nuevo milenio. SENTIDO Y ENFOQUE DEL PER LAMBAYEQUE El Proyecto Educativo Regional (PER) surge como una iniciativa destinada a promover unproceso social amplio de reflexión, discusión y concertación respecto de la educación que seespera tener en la región y la generación de políticas educativas que respondan a susprincipales problemas, demandas y desafíos. El PER LAM, además de ser una herramienta de planificación y gestión educativa, apunta adar un nuevo sentido a la educación, sobre la base de la participación social en la definiciónde una visión educativa regional, objetivos, resultados, políticas y medidas que legitimensocialmente las acciones educativas que se desarrollan en Lambayeque. En este contexto el PER LAM debe responder a los siguientes desafíos: •

Reconocer que Lambayeque es una Región en la que se expresa una gran diversidad étnica, cultural y regional, constituyendo un imperativo implementar políticas, medidas y acciones que conduzcan a la identificación y valoración de la misma, apartir de la promoción del diálogo entre los actores de la comunidad educativa, el fortalecimiento de relaciones equitativas, la recuperación de valores, costumbres y lenguas nativas..

•

Elaborar un Proyecto Curricular Regional Intercultural, que recoja los avances yexperiencias innovadoras diversificadas que vienen desarrollándose en los diferentesámbitos regionales, emprendidas desde la escuela, los organismos nogubernamentales, los gobiernos locales; todos ellos orientados a construir la identidadregional para contribuir a la integración nacional .

•

Establecer de manera precisa las capacidades y actitudes que deben desarrollar losdocentes para llevar a cabo una buena práctica pedagógica, definiendo losestándares de desempeño para elevar el profesionalismo de los docentes.

•

Fortalecer la democracia y la participación ciudadana para que la educación regionalpueda asumir efectivamente sus desafíos de Equidad y Calidad. Esto implicadesarrollar aprendizajes significativos en la escuela y fortalecer el desarrollo personalde los actores para el ejercicio de una ciudadanía acorde al desarrollo de la regiónLambayeque, principalmente las que se orientan a la ética social.

•

Constatar

demanda

población

Lambayecana

por

cambio

para

una

efectivatransformación de nuestra educación, lo que debe concretarse en políticas articuladasy consensuadas entre los organismos del Estado y la sociedad, que en definitiva es loque el Proyecto Educativo Regional busca concretar. •

Renovar y descentralizar la gestión educativa haciendo que cada institución educativase constituya en la base de la toma de decisiones, potenciando su autonomía con unagestión eficaz y transparente, pero con participación de la sociedad en espacios dediálogo y vigilancia, de tal manera que garantice aprendizajes de calidad a todos losestudiantes.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

•

Asegurar que el servicio educativo (proceso de aprendizaje-enseñanza) que brindanlas instituciones educativas sea pertinente, relevante y de elevada calidad contandocon moderna infraestructura, equipamiento suficiente y con medios y materialeseducativos adecuados.

•

Garantizar que niños, niñas, adolescentes, jóvenes y adultos cuenten con iguales oportunidades de acceso a una educación de calidad, desarrollo personal y social, querevierta la situación histórica de exclusión y discriminación por razones de raza, idioma, sexo, cultura, condición económica y discapacidad de la que son objeto.

•

Promover una educación con enfoque de género, que permita cambiar los patronesculturales para que ubiquen a mujeres y hombres en igualdad de derechos y oportunidades y de esta manera disminuir las brechas existentes de acceso ypermanencia en las escuelas de las zonas urbanas y rurales. De igual manerapromover la inclusión al sistema educativo de niñas y adolescentes del sector rural ypersonas con discapacidad. Asimismo velar por la calidad de la educación, lapertinencia de los contenidos educativos a las distintas realidades y mayor inversiónen los sectores de mayor pobreza y exclusión

NUESTRA PROPUESTA Como región buscamos cambios fundamentales en la educación regional y para ello generamos una propuesta de políticas educativas consensuada en la que se encuentranincorporados los planteamientos, demandas, exigencias y reivindicaciones de los diversossectores de la sociedad, desde una perspectiva intercultural. Requerimos de un Proyecto Educativo Regional que nos dé las pautas generales que orientenla gestión del sistema educativo en la región a largo plazo. En este sentido, concebimos al PER como el instrumento principal de planeamiento concertado, constituido por un conjuntode políticas pensadas a implementar en el mediano y largo plazo y que son el marcoestratégico para las decisiones que conducen el desarrollo de la educación. Desde sudimensión social y aspiración al cambio, el PER expresa la voluntad colectiva porque ha sidoconstruido con el esfuerzo conjunto y consensuado de los actores y organizaciones sociales, civiles, educativas, gobiernos locales, fuerzas armadas y policiales, instituciones públicas yprivadas de nuestra región. Siendo entonces una oportunidad para repensar la orientación que se quiere dar a laeducación en Lambayeque se consideran prioritarias las siguientes ideas fuerza que inspiran laestrategia del cambio. a) Una educación centrada en la persona Postulamos que el desarrollo en la región Lambayeque tiene como centro de preocupacióneducativa a la persona, ser único e irrepetible en toda su dimensión, desde el inicio hastala culminación de su ciclo vital, susceptible de ir modificándose en las interacciones consus semejantes, como parte de una comunidad, con identidad propia y derecho a su plenarealización. 42

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En ese contexto la educación regional se liga igualmente a una concepción de DesarrolloHumano Sostenible el cual se sustenta prioritariamente en el desarrollo de capacidadesinternas de los diversos actores sociales y en el que se reconocen las necesidadesfundamentales que sienten y expresan las personas, comprometiéndose a atenderlas paraprocurar elevar su calidad de vida considerando el desarrollo de habilidades paraestablecer relaciones interpersonales saludables, con respeto, empatía, confianza yaceptación. En el mismo propósito, se alienta una nueva concepción de la niñez asegurando que searespetada en sus intereses, reconocida en su participación activa en la vida social, afirmando su autonomía y amor propio. b) Una educación acorde a la realidad de Lambayeque Apostamos por una educación que responda a la realidad regional y local, que fortalezca laidentidad lambayecana y que garantice su continua vigencia, pues el proceso culturalproducido en la región tiene particularidades significativas. Es así que es indispensable quenuestros niños, niñas, adolescentes, jóvenes y adultos reconozcan los procesos detransculturación que Lambayeque afronta (y nuestro país en general), reflejado en losprocesos migratorios de las regiones de Cajamarca, Piura, Amazonas y San Martín, principalmente, y que como efecto de factores sociales políticos, geográficos se hanestablecido como grandes grupos poblacionales. La interrelación de las múltiples culturasha generado un complejo proceso de interculturalidad, lo que nos convierte en ciudadanoscon características diversas. Es por ello que ahora esta realidad se presenta como unaoportunidad para plasmar nuestras diferencias en un proceso de amplia participación yconcertación. El PER fortalece la identidad personal y social con un modelo educativo propio, que rompelos esquemas tradicionalistas adoptados de otras realidades que se han mantenido porgeneraciones y que de alguna manera han aumentado las brechas de inequidad, limitandola participación crítica y creativa de la población. c) Una educación de calidad para todos Otra idea fuerza del PER Lambayeque es avanzar hacia el logro de una educación decalidad que establezca objetivos socialmente relevantes, que demuestre eficacia en ellogro de sus objetivos y que sean alcanzados por el mayor número de estudiantes, por loque se trata de una educación que posibilite ayudar diferencialmente a los alumnos deacuerdo a sus requerimientos individuales y su entorno social. Una educación de calidad orientada a mejorar los procesos de aprendizaje en las aulas, priorizando recursos, asegurando un currículo intercultural diversificado con accesouniversal al conocimiento y las habilidades necesarias para participar en la sociedad.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Calidad en un sentido práctico, que permita a los estudiantes ir aprendiendo a encontrarsoluciones, resolver problemas cotidianos y tomar decisiones a lo largo de su vida. Suponeestablecer un ambiente y relación socio emocional y afectivo que permita a los profesoresguiar a los estudiantes en su desarrollo humano. d) Una educación como derecho El derecho de todas las personas a la educación se encuentra establecido en la DeclaraciónUniversal de los Derechos Humanos, en la Convención de los Derechos del Niño y otrostratados, pactos y declaraciones internacionales. Este derecho se considera fundamentalpuesto que permite el completo ejercicio y disfrute de todos los demás derechos humanos,a la vida, a la salud, a tener un trabajo digno, a expresar sus ideas con libertad; sinembargo la falta de educación cierra las posibilidades de que éstos y otros derechos secumplan. La Región Lambayeque se suscribe a estos acuerdos, apostando por el acceso a unaeducación de calidad de todos los pobladores de nuestra región. Sin embargo, nuestravisión va más allá de la promoción de la cobertura educativa. Buscamos que todos los niñosy niñas puedan acceder al sistema educativo, permanecer en él y obtener buenosresultados de aprendizaje. La recuperación del aspecto socio afectivo de niños y niñas enel currículo, será el primer paso para que se desarrolle como sujeto de derechos y sujetoactivo de aprendizaje, centro de una educación de calidad. También asumimos que los procesos de gestión educativa son herramientas que permitenadministrar de la manera más eficiente los procesos educativos que tienen lugar en laescuela, haciendo que la gestión esté centrada fundamentalmente en lo pedagógico, estoes, en el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes. Además, la escuela tiene un rol social muy importante, pues busca convertirse en unainstitución que revierta la situación de discriminación y exclusión de la que son objetomuchos pobladores, principalmente de zonas rurales y pobres, buscando detener lareproducción de la pobreza, al desarrollar en ellos competencias que los preparen paraintegrarse con éxito al mundo laboral y productivo con todas las exigencias y desafíos queplantea. Esto ayudará a eliminar las brechas que se generan constantemente entre el ámbito rural y urbano. Finalmente, apostamos por la calidad educativa en cuanto a contenido, por una educaciónque quiere lograr la construcción de ciudadanos activos, que ejerzan sus derechos y losdefiendan, que disfruten de una mejor calidad de vida como producto de su educación, dignificándolos en su calidad de seres humanos.

EVALUAMOS LOS AVANCES DEL PER EN LAMBAYEQUE

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

OBJETIVOS

RESULTADOS ESPERADOS

GUIA PARA EVALUAR LOS AVANCES DEL PER L AMBAYEQUE EN BASE A TU EXPERIENCIA Y CONOCIMIENTODE TU REALIDAD DE TU I.E., RED O LOCALIDAD, ¿EN CUANTO CREES QUE HEMOS AVANZADO EL LOGRO ESPEADO DE POLÍTICAS CADA POLÍTICA PROPUESTA EN LOS OBJETIVOS ESTRATÉGICOS 0% al 25% 28% al 50% 51% al 75 % 76% al 100%

EN BASE AL LOGRO SEÑALADO, EL NIVEL DE EECTIVIDAD CREES QUE FUE… Optimo

Bueno

Malo

Deficiente

CALIDAD DE LOS APRENDIZAJES

POLÍTICA 1: Implementación de una práctica pedagógica intercultural de calidad basada en valores, en el buen trato y en la investigación, que garantice a los estudiantes una educación trascendente para su vida personal y social. RESULTADO 1 En la región Lambayeque los y las estudiantes logran aprendizajes de calidad que le permiten desarrollarse plenamente como personas y aportar a la integración regional y al desarrollo de su espacio local, regional y nacional.

POLÍTICA 3: Orientación de la gestión pedagógica, administrativa e institucional de lasinstituciones educativas al logro de aprendizajes de calidad POLÍTICA 4: Implementación de mecanismos de monitoreo, evaluación e informaciónperiódica de logros de aprendizajes para la toma de decisiones en todos los niveles degestión.

RESULTADO 2 Instituciones educativas, familia y comunidad asumen sus roles con responsabilidad, coordinan y unen esfuerzos para el logro de aprendizajes de calidad.

EQUIDAD EDUCATIVA

POLÍTICA 2: Implementación de un Proyecto Curricular Intercultural Diversificado, formuladoconcertadamente con un enfoque de desarrollo humano sostenible, que sirva de soporte alproceso de descentralización en todos los niveles y modalidades.

RESULTADO 3. En la región Lambayeque disminuye significativamente las brechas de inequidad en el acceso, permanencia y culminación exitosa.

POLÍTICA 5: Promoción de la participación significativa de las familias en el proceso deaprendizaje de sus hijos e hijas. POLÍTICA 6: Movilización permanente de la sociedad lambayecana para su involucramiento enla educación y el logro de aprendizajes de calidad. POLÍTICA 7: Aseguramiento del acceso, permanencia y culminación exitosa de la educaciónbásica, en particular de las niñas y adolescentes de las poblaciones rurales y urbanoperiféricas. POLÍTICA 8: Generalización del uso de la lengua materna y la incorporación progresiva de unasegunda lengua en los procesos de aprendizaje escolar de la población quechua hablante.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR RESULTADO 4.La comunidad educativa practica y promueve relaciones equitativas aportando a la construcción de una sociedad justa y sin discriminación

POLÍTICA 9: Atención prioritaria a la educación en las áreas rurales para mejorar la calidadeducativa y disminuir las brechas existentes de inequidad.

EQUIDAD EDUCATIVA

POLÍTICA 10: Promoción de una educación con enfoque de equidad de género que erradiqueestereotipos y prácticas discriminatorias. RESULTADO 5. El gobierno regional garantiza condiciones que favorecen la educabilidad de los sectores menos favorecidos.

POLÍTICA 11: Atención oportuna de la primera infancia en nutrición, salud física y mental conparticipación intersectorial, comunal, gobierno local y regional. POLÍTICA 12: Implementación y aseguramiento de las instituciones educativas menosfavorecidas, especialmente de áreas rurales y urbanoperiféricas, con participación degobiernos locales, de acuerdo a sus necesidades y contexto con infraestructura yequipamiento de calidad. POLÍTICA 13: Fomento a la inclusión de niños con necesidades educativas especiales alsistema educativo y generación de condiciones que posibiliten y optimicen su aprendizaje.

INTERCULTURALIDAD

RESULTADO 6. Instancias de gestión educativa descentralizada desarrollan sus funciones desde la perspectiva intercultural para afirmar la identidad personal, local, regional y nacional.

POLÍTICA 14: Mejoramiento institucional con orientación intercultural en la formulación, ejecución y evaluación de los instrumentos de gestión en las instancias del sistema educativo. POLÍTICA 15: Promoción y desarrollo permanente de programas y proyectos interculturales enlas instituciones educativas y en la comunidad.

RESULTADO 7. Instituciones públicas y privadas desarrollan y promueven relaciones interculturales para fortalecer la identidad e integración lambayecana

POLÍTICA16: Movilización social por un permanente diálogo intercultural que respete lasdiferencias y que contribuya a la construcción de relaciones de equidad intracultural e intercultural. POLÍTICA 17: Promoción de canales de información y comunicación entre las institucionespúblicas, privadas y comunidad para el desarrollo de relaciones y actividades interculturalesque fortalezcan la identidad e integración lambayecana. POLÍTICA18: Fomento de la investigación

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR sobre diversidad natural y cultural que contribuyaa la formación de ciudadanías responsables e interculturales para el desarrollo local yregional.

DESARROLLO MAGISTERIAL

RESULTADO 8. La formación inicial docente en la región Lambayeque se desarrolla en instituciones acreditadas, con liderazgo y comprometidas con los procesos de desarrollo local, regional y nacional

POLÍTICA 20: Mejoramiento de la gestión en las instituciones de formación docente paralograr una formación inicial de calidad articulada al desarrollo local, regional y nacional. RESULTADO 9. Todos los profesores participan en procesos sistémicos de formación personal y profesional de calidad, contribuyendo al desempeño eficiente de sus funciones pedagógicas y agentes de cambio social. RESULTADO 10. Los profesores en Lambayeque son profesionales realizados y reconocidos por su liderazgo y aporte al desarrollo social.

GESTIÓN DEMOCRATICA Y DESCENTRALIZADA

POLÍTICA 19: Formación inicial docente basada en la ética, investigación, innovación yconservación de los recursos naturales, para garantizar el desarrollo de una cultura ecológica; así como de capacidades personales y profesionales de calidad.

RESULTADO 11. Estado y Sociedad Civil asumen y comparten responsabilidades, de maneraconcertada, en beneficio de los intereses y necesidades educativas de lapoblación, para contribuir a mejorar su calidad de vida.

POLÍTICA 21: Generación de un sistema de regulación de la oferta de formación en servicio, basada en indicadores de calidad concertados que aseguren pertinencia, oportunidad yaccesibilidad a las necesidades y posibilidades de los profesores. POLÍTICA 22: Impulsar el desarrollo profesional del docente en el marco de la carrerapública magisterial, que permita su revaloración involucrando a la sociedad civil, gobiernoslocales e instituciones públicas y privadas organizadas. POLÍTICA 23: Fortalecimiento de los espacios de participación social en las decisioneseducativas que incorpore los intereses de los diversos actores. POLÍTICA 24: Funcionamiento efectivo de mecanismos de transparencia y de rendición decuentas, en todas las instancias de gestión educativa descentralizada y gobiernos locales, concriterios de pertinencia a la diversidad social y cultural. POLÍTICA 25: Erradicación oportuna de casos de corrupción en el Sector educación de laregión.

RESULTADO 12. Las instancias de gestión educativa descentralizada ofrecen servicio educativo de manera óptima, mediante la acción intersectorial.

POLÍTICA 26: Desarrollo de la autonomía en las diferentes instancias de gestión educativadescentralizada del sistema educativo de la región. POLÍTICA 27: Fortalecer la

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR intersectorialidad y la participación de los gobiernos locales, enlas diversas instancias de gestión educativa descentralizada para contribuir al desarrollohumano local y regional. POLÍTICA 28: Optimización del desempeño de competencias transferidas en el marco delproceso de descentralización. POLÍTICA 29: Aseguramiento de los recursos financieros necesarios para el desarrollo de laspolíticas educativas regionales, gestionados de manera eficaz, eficiente y transparente.

EDUCACIÓN SUPERIOR ARTICULADA AL DESARROLLO REGIONAL

RESULTADO 13. Profesionales lambayecanos idóneos y competitivos, sonpromotores principales del desarrollo regional y nacional.

POLÍTICA 30: Asegurar la aplicación de un currículo intercultural articulado a la educaciónbásica, al desarrollo regional y a la conservación y manejo de los recursos naturales. POLÍTICA 31: Promoción de la investigación científica y aplicación de conocimientos en losdiferentes campos del saber orientados a mejorar la calidad de vida. POLÍTICA 32: Promoción de proyectos de inversión acorde con las necesidades de la Región, através del Estado, colegios profesionales y otras organizaciones de la Sociedad Civil.

RESULTADO 14. Instituciones de Educación Superior desarrollan procesos de evaluación, acreditación y certificación para asegurar una formación profesional decalidad. RESULTADO 15. Docentes de Educación Superior desarrollan innovación, investigacióncientífica y tecnológica que promuevan la extensión y proyección socialpara contribuir al desarrollo de la región.

POLÍTICA 33: Implementación de un programa de evaluación y acreditación de lasinstituciones educativas de Educación Superior para optimizar la calidad de la formaciónprofesional. POLÍTICA 34: Promoción permanente de la investigación científica e innovación tecnológicaque contribuya al desarrollo local y regional. POLÍTICA 35: Optimización y mejoramiento del proceso de extensión y proyección social parael desarrollo y crecimiento de la región.

Después de analizar el PER, realiza 3 propuestas para mejorar nuestros resultados en el PER a nivel educativo. PRPUESTA SOSTENIBILIDAD

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

ENFOQUES DEL ÁREA: COMPETENCIAS Y CAPACIDADES

SESIÓN 4

INDICADORES DE LOGRO

- Define lo que es competencia y capacidad, partiendo del enfoque del área

Te invitamos a reflexionar sobre las definiciones de competencia y capacidad: 1. ¿Cuál es tu opinión del concepto de capacidad? 2. ¿Cuál es tu definición de competencia? 3. ¿Qué es una competencia educativa?

Los niños son sensibles al mundo de las matemáticas. Tanto en lo quevan creando como en lo que van haciendo tienen en cuenta el sentido depropiedad, su afán por las colecciones, su gusto por repetir, por observar,ordenar. En su mundo, practica sin saberlo, la matemática. Lo importante esinsistir en que la iniciación matemática es una construcción mental vivida yexperimentada paso a paso. Por ello, debe ser fuertemente motivadora yestar conectada con la realidad que se vive. De ninguna manera es motivador para el niño hacer planas de númerosante la creencia que así los está “aprendiendo”. Para desarrollar capacidades lógico matemáticas es necesario que:  En la planificación de las acciones debemos establecer la distanciaentre los saberes previos de los niños y el contenido que se pretendeenseñar a fin de seleccionar los contenidos y la metodología másadecuada (zona de desarrollo próximo). Si en los saberes previos delos niños encontramos conceptos erróneos, habrá que elegir laestrategia más adecuada para que ellos mismos descubran el error ytomen conciencia de ello para poder realizar el cambio conceptual.  Tener una actitud reflexiva que nos lleve a preguntarnos ¿Qué nuevoconocimiento debo incorporar a la planificación? ¿Cuál es el momentomás propicio para tratarlo? ¿Qué formas de abordar el tema son lasmás pertinentes?  Desarrollar en las niñas y los niños además del pensamiento lógico lareflexión, la argumentación de sus ideas, la capacidad de dar y escucharrazones sobre cada opinión entre otras. 49

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Por otro lado, existen una serie de actividadesque desarrollan capacidadeslógico matemáticas.

1.- COMPETENCIAS EDUCATIVAS 1.1. Concepto de “competencia” en el lenguaje coloquial y en los campos de la lingüística, psicología y del trabajo La utilización del término de competencia ha sido y sigue siendo habitual en el lenguaje coloquial. Por ejemplo, se dice de un profesor, médico… que es competente (lo hace bien), o se habla de las competencias (funciones, atribuciones) que tienen las Autonomías, el director, el juez…, o se hace referencia a la competencia (disputa) entre las empresas por ganar el mercado. En el ámbito lingüístico Saussure distingue “lengua” y “habla”. Chomsky retoma esta distinción para diferenciar la “competencia” lingüística (competence) de la “actuación o desempeño” lingüístico (performance). La distinción de los lingüistas entre competencia y actuación/desempeño es retomada por los psicólogos y la aplican al ámbito del desarrollo cognitivo. En el ámbito del mundo laboral y de las ciencias empresariales adoptaron en un principio el concepto de “cualificación”, pero últimamente lo están sustituyendo por el de “competencia”. El cambio no es gratuito, sino que traduce un cambio de pensamiento que va desde el enfoque instrumentalista que prima la cualificación, a un enfoque más relativista que entiende la competencia como acción dentro de un contexto. La “cualificación” se ha entendido como el saber y el saber hacer evaluables que una persona debe adquirir y disponer para hacer determinado trabajo. Están definidas a priori las cualidades a observar en un individuo (listado pormenorizado de cualidades) para que sea oficialmente cualificado para hacer determinada tarea. Esta cualificación se obtiene a través del proceso de formación y aprendizaje, frecuentemente descontextualizado y alejado de la situación de trabajo real. La “competencia” se entiende como la capacidad que posee un individuo para gestionar su potencial en una situación. La referencia a la acción del sujeto en situación y al contexto son cuestiones relevantes desde esta perspectiva. 1.2. Justificación de la introducción del término “competencia” y“competencias básicas” en el ámbito educativo. Tras el cambio terminológico y el uso del término “competencia” se plantea un enfoque evolucionado del currículo académico en el que se ha primado la transmisión y el aprendizaje de los saberes declarativos y procedimentales que se han ido incorporando al desarrollo de las diferentes ciencias. Por la propia finalidad tradicional de la escuela, los sistemas 50

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

educativos tienden a dar prioridad a la adquisición de hechos y conceptos como formas básicas de aprendizaje. El planteamiento de un currículo por competencias va más allá del currículo tradicional y académico, ya que partiendo de la lógica del “saber” desemboca en la lógica del “saber hacer”. Desde este enfoque, lo importante no es sólo que el alumno sepa, por ejemplo, sumar, restar, multiplicar y dividir, sino que sepa además usar y aplicar esos conocimientos en situaciones y contextos reales. Es cierto que para “saber hacer” se precisa “saber”, pero el “saber” deja de ser suficiente y se conecta intencionalmente con su uso. De esta forma se puede reducir la brecha entre la teoría y la práctica, entre el conocimiento y la acción. El término de “competencias básicas” añade un matiz importante al de“competencia”. Se trata de que los alumnos que terminan la Educación Básica nosólo sean competentes, sino que adquieran las competencias que se consideranbásicas, es decir, esenciales e imprescindibles para toda la vida. Esa perspectiva queda un nuevo sentido a la Educación Básica trata de encontrar una respuestaadecuada al conjunto de problemas que generan los cambios que se producen ennuestra sociedad. Como consecuencia de los cambios en la sociedad, la situación yel contexto educativo han cambiado

1.3. Diferentes enfoques teóricos Enfoque

Conductual

Definición

Enfatiza en asumir las competencias como: comportamientos clave de las personas para la competitividad de las organizaciones.

Epistemología

Empírico-analítica Neo-positivista

Metodología Curricular Entrevistas Observación y registro de conducta Análisis de casos

Funcionalista

Enfatiza en asumir las competencias como: conjuntos de atributos que deben tener las personas para cumplir con los propósitos de los procesos laborales-profesionales, enmarcados en funciones definidas

Funcionalismo

Método del análisis funcional

Constructivista

Enfatiza en asumir las competencias como: habilidades, conocimientos y destrezas para resolver dificultades en los procesos laborales-profesionales, desde el marco organizacional.

Constructivismo

ETED (Empleo Tipo Estudiado en su Dinámica)

Complejo

Enfatiza en asumir las competencias como: procesos complejos de desempeño ante actividades y problemas con idoneidad y ética, buscando la realización personal, la calidad de vida y el desarrollo social y económico sostenible y en equilibro con el ambiente.

Pensamiento complejo

Análisis de procesos Investigación acción

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Marco cognitivo El enfoque conductistacognitivo postula que los saberes, objeto del aprendizaje, son en el contexto escolar exteriores al sujeto que aprende. Se asume el carácter objetivo del conocimiento, independiente y anterior al observador que lo describe y a los alumnos que tratan de aprenderlo. El conocimiento que concierne a la escuela no se puede construir, en sentido estricto, puesto que preexiste a los alumnos y se genera por otras instituciones sociales. En todo caso se puede comunicar, transferir y enseñar. Desde esta perspectiva de la teoría del conocimiento, será alumno competente el que reproduzca fielmente los saberes preestablecidos desde fuera en los objetivos operativos, tanto de carácter declarativo como procedimental. A comienzos de la década de los años 60 se introduce el concepto decompetencia en los Estados Unidos de América, formulando los programas deestudio desde el enfoque conductista, de tal manera que las competencias seprecisan en términos de objetivos operativos que se caracterizan por definircomportamientos observables y medibles. Más tarde en la década de los 70 se formulan las competencias desde un enfoque cognitivo. Ya no se habla de comportamientos, sino de taxonomías que detallan habilidades, conocimientos, capacidades, saberes procedimentales… Progresivamente el enfoque cognitivo se va ampliando incluyendo, además de las capacidades cognitivas, las afectivas, las conativas, las prácticas y las exploratorias. No obstante lo anterior, el llamado “enfoque cognitivo” mantiene, en loesencial, sus rasgos epistemológicos característicos: 1) Otorga un papel básico al aprendizaje intelectual y se centra en la cogniciónen tanto que acto de conocimiento vinculado a la capacidad de recibir, recordar, comprender, organizar y hacer uso de la información recibida porel sujeto. 2) Conecta con la tradición ilustrada y liberal que, sin ignorar otras finalidadesde la escuela, asigna a la institución escolar la misión primordial de instruira todos los ciudadanos a través de la educación general; es decir, depromover en el alumno el conocimiento establecido de un modo progresivo, ordenado y sistemático. 3) Se adscribe al llamado “racionalismo crítico” que acepta como elementoclave de validez de las construcciones del pensamiento humano sucoordinación con la experiencia. 4) En la confrontación ya clásica entre las dos tradiciones epistemológicasconsolidadas la “anglosajona” y la “continental” se alinea con la primera yrefuerza su consideración de la evidencia empírica. Marco socioconstructivista e interactivo. El constructivismo postula que el conocimiento no es el resultado de unarecepción pasiva de objetos exteriores, sino fruto de la actividad del

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

sujeto.

Elsujeto

construye

sus

conocimientos

contrastando

adaptando

sus

conocimientosprevios con los nuevos. El socioconstructivismo, plantea que se precisa la intervención conjunta e indisociable de tres dimensiones para aprender en el contexto escolar: 1) Dimensión social (S). Se trata de los aspectos relacionados con la organización delas interacciones sociales con los demás alumnos y con el docente y de lasactividades de enseñanza que se realizan bajo el control del docente. 2) Dimensión constructivista (C). Se trata de los aspectos relacionados con laorganización del aprendizaje, situando al alumno en condiciones para queconstruya sus conocimientos a partir de lo que conoce, estableciendo unarelación dialéctica entre los antiguos y nuevos conocimientos. 3) Dimensión interactiva (I). Se trata de los aspectos relacionados con laorganización del saber escolar objeto de aprendizaje, adaptando las situacionesde interacción con el medio físico y social, de acuerdo con las características delobjeto de aprendizaje. Dicho de otra manera, lo que determina el aprendizaje noson los contenidos disciplinares, sino las situaciones en las el alumno utiliza lossaberes para resolver la tarea. Complementariedad entre los distintos enfoques No se trata de crear dualismos entre los dos enfoques, sino que ambospueden ser complementarios. Para resolver situaciones complejas se precisadisponer previamente de saberes: saberhacer y saberser. Las metodologías que seinspiran en la corriente conductista y cognitiva de la pedagogía por objetivos, porejemplo, pueden ser válidos para aprender los saberes y sabereshacer que seprecisan para ser competente. Sobre la base de esos conocimientos o recursos setrata de aplicarlos de forma conjunta e integrada para resolver una situaciónauténtica. 1.4.- Caracterización del concepto de competencia Si en algo hay unanimidad en el discurso en torno a las competencias es en la afirmación de que se trata de un concepto polisémico sobre el que no hayunanimidad. No es nada difícil elaborar un largo listado de definiciones diferentes de competencia formuladas por distintas instancias, instituciones y autores. Volveríamos a encontrarnos con la misma problemática de los enfoques teóricos ydentro de cada enfoque teórico con sensibilidades y matices diferentes. Sinembargo dentro de esa diversidad se pueden reconocer algunos elementosnucleares comunes: a) Carácter integrador. En la mayoría de las definiciones se entiende que las competencias incluyen diversos elementos de forma integrada. La identificación de los elementos concretos que conforman la competencia varía de una definición a otra, pero básicamente coinciden con lo que en nuestra cultura pedagógica identificamos como conceptos,

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

procedimientos y actitudes. Es decir, que para ser competente en algo se precisa hacer uso de forma conjunta y coordinada de conocimientos o saberes teóricos conceptuales, de procedimientos, reglas o pautas para actuar, así como de destrezas y habilidades y de actitudes o disposiciones motivacionales, que permiten llevar a cabo una tarea. Esta forma integrada de entender los contenidos del proceso de enseñanza - aprendizaje supone un avance con respecto a la comprensión que se ha hecho de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. b) Transferibles y multifuncionales. Esta característica se aplica más a lascompetencias generales que a las específicas. Son transferibles puesto que sonaplicables en múltiples situaciones y contextos tanto académicos como familiares, lúdicos, laborales, sociales y personales. Son multifuncionales puesto que puedenser utilizadas para conseguir varios objetivos, para resolver diferentes tipos deproblemas y para acometer diferentes tipos de trabajos. Deben proveer unarespuesta adecuada a los requisitos de situaciones o trabajos específicos y son, paratodos, un prerrequisito para un adecuado desempeño de su vida personal, laboraly subsiguientes aprendizajes. Tienen, en otras palabras, valor predictivo en cuantoal comportamiento de cada individuo. c) Carácter dinámico e ilimitado. Por otra parte, el grado de perfectibilidad de lascompetencias no tiene límites, ya que se trata de un continuo en el que cadapersona de manera dinámica de acuerdo con sus circunstancias va respondiendocon niveles o grados de suficiencia variables (perfectibilidad mayor o menor) a lolargo de toda su vida. Se entiende que una persona es competente para algocuando es capaz de resolver los problemas propios de ese ámbito de actuación. Será tanto más competente cuanto mejor resuelva el problema o la tarea encuestión. d) Evaluables.

Las

competencias

presuponen

capacidades,

pero

esascapacidades

disponibles se manifiestan por medio de las acciones o tareas querealiza una persona en una situación o contexto determinado. Las capacidades noson evaluables, por el contrario el desempeño de las competencias sí sonverificables y evaluables. Esta forma de entender las capacidades y lascompetencias permite relacionarlas y diferenciarlas: una persona sin capacidadesdisponibles no puede ser competente, pero se demuestra que se tienen capacidadesen la medida que se traducen en acciones competentes. Y a su vez el logro decompetencias va desarrollando capacidades. La característica de ser evaluable seaplica sobre todo a las competencias específicas. La evaluación de las competenciasgenerales o transversales es posible en su desempeño, es decir, se tendrán másindicadores del logro de una competencia transversal en la medida que se aplica endistintas situaciones y contextos. Las competencias son actuaciones integrales para identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas con idoneidad y compromiso ético, movilizando los diferentes saberes: ser, hacer y conocer (Tobón, 2010).

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Concepto de competencias desde el enfoque socioformativo

COMPETENCIAS SON ACTUACIONES INTEGRALES

Para identificar, Analizar y resolver problemas del contexto

En distintos escenarios, integrando:  El saber ser (actitudes y valores)  El saber conocer (conceptos y teorías)  El saber hacer (habilidades procedimentales y técnicas) El área de Matemática en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular. Las competencias describen los logros que los estudiantesalcanzarán en cada uno de los dos ciclos que comprende la Educación Secundaria. El nivel de complejidad de las competenciasse incrementa de un ciclo a otro. Estos logros estánexpresados en desempeños eficientes, actuaciones eficaces oen un saber hacer idóneo. En el área de Matemática, las competenciastienen su expresión en la Resolución de problemasrelacionados con:Número, relaciones y funciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidad. Las capacidades describen los aprendizajes que los estudiantes alcanzarán en cada grado, en funciónde las competencias por ciclos propuestas para el área. Para el logro de cada una de las competencias,es necesario el desarrollo de un conjunto de capacidades, conocimientos y actitudes que están establecidosen el interior de las competencias. Las capacidades se desarrollan a través de los procesos transversales, que son: Razonamiento y demostración, Comunicación matemática y Resolución de problemas.

Describe porque desarrollarías competencias y capacidades matemáticas en tu labor docente, de manera individual, y luego comparte con tus colegas. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN 5

DESARROLLO DE CAPACIDADES UTILIZANDO RECURSOS DEL CONTEXTO

INDICADORES DE LOGRO

- Desarrolla capacidades utilizando recursos del contexto

Recordando mis aprendizajes en secundaria  Haz un breve resumen acerca de tus experiencias en el aprendizaje de la Matemática.  ¿Qué es un modelo?  ¿Para qué sirven los modelos?  ¿Qué diferencia existe entre un problema y un ejercicio?

La Matemática forma parte esencial de la cultura humana, pues es uno de los mayores logros culturales e intelectuales de la humanidad; por este hecho tenemos la obligación de transmitirla de generación en generación, ya que constituye una posibilidad para el desarrollo de las capacidades fundamentales y no un obstáculo en la vida de las personas. Es suﬁciente observar en nuestro entorno que todo profesional hace uso de sus capacidades matemáticas. Hoy en día no es posible concebir la acción de un comerciante, de un vendedor, de un trabajador cualquiera de la construcción, con mayor razón de un ingeniero, de un arquitecto, de un médico, de un economista, de un químico, de un físico, de un biólogo, sociólogo, estadístico o cualquier profesional que no haga uso de la Matemática y de sus capacidades matemáticas. Por ello es importante que la Matemática forme parte de nuestra vida, aprenderla nos permitirá el dominio de algunos aspectos de la realidad. Por lo planteado líneas arriba, nunca ha sido mayor la necesidad de entender y de ser capaz de usar la Matemática en la vida diaria y en el trabajo, por lo que es imprescindible el desarrollo de las capacidades matemáticas.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

La Matemática dirigida a los estudiantes presenta dos facetas claramentediferenciadas. En primer lugar, está la “enseñanza de la Matemática”, quemuestra cómo es que debe presentarse los conocimientos al estudiante, esdecir, la serie de procedimientos pedagógicos que facilitan la asimilaciónde la teoría matemática. Y, en segundo lugar, tenemos el “aprendizajede la Matemática”, el cual se centra en la pregunta “¿cómo se aprende?”, interesándose en los mecanismos de asimilación y construcción delconocimiento matemático en la mente de los estudiantes. Precisamente, estaes la faceta en la que ahora nos vamos a centrar. 1. Consideraciones para el aprendizaje de la Matemática Dado que sólo un trabajo planificado puede rendir frutos positivos, es conveniente enumerar ahora algunos lineamientos que deben de ser unaconstante en la labor educativa de los docentes: 

El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta que la Matemática funciona de acuerdo con el principio 57

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

cognitivo según el cual todo conocimiento nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos. 

El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabajo de aprendizaje. De esta manera, el estudiante desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo concreto y loperceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes.



Se debe de alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen su capacidad argumentativa.



Los intercambios de ideas y conocimientos no deben de limitarse a la institución educativa, sino que deben de extenderse al entorno familiar y social. Así, los estudiantes deben de estar en condiciones de participar en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc.



Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente “esperan” que los conocimientos entren a su conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con grandes potencialidades, las cuales, a su vez, tienen que desarrollar

basándose en su interés por

aumentar el caudal de sus conocimientos. 

En relación con lo anterior, está también el fomento de la creatividad en los estudiantes, de modo

que

las

actividades

mecánicas,

repetitivas y rutinarias deben de ser dejadas de lado, y se debe incentivar a que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al final de los cuales, puede aparecer

conocimiento valioso e inédito. 2. ¿Por qué aprender Matemática en la Educación Secundaria? La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas yejecutar actividades que faciliten la existencia individual y colectiva de losseres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se llega aabstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teoríasmatemáticas, la ciencia y la tecnología. En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, éstasiempre ha estado orientada hacia la finalidad práctica de proporcionar a losestudiantes las herramientas operativas básicas que les permitan enfrentarsea los retos que se les vayan presentando en su sociedad.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En un mundo que está en constante transformación, la educación matemáticaen la secundaria también ha buscado dotar al estudiante de la capacidad deadaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que se presentanen el ámbito laboral. Por esto, ahora más que nunca, la Matemática debede tener una vocación inclusiva de manera tal que la mayor cantidad deestudiantes resulte beneficiada. Para ello, los docentes deben estar preparadospara acercarse al estudiantado de manera tal que una ciencia tan importante nosea vista como una traba, pesada e inútil, sino, por el contrario, una aliadapara el camino hacia el éxito y el desarrollo humano. Los avances tecnológicos se han extendido de tal manera en todos los ámbitosde la vida diaria, que es casi imposible que alguien pueda mantenerse ajenoa ellos. La Matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridad antela tecnología. Nos enseña, además, a realizar planificaciones, interpretarestadísticas, administrar nuestros ingresos y consolidar nuestros proyectoscomerciales. 3. Capacidades matemáticas. Se ha tomado en cuenta tres capacidades matemáticas, propuestas en elDiseño Curricular de Educación Secundaria, las cuales describiremos acontinuación. Resolución de problemas Cuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener encuenta que “resolver”

significa

simplemente

realizar un proceso de modomecánico para llegar a una solución. Pues, en el camino hacia la respuesta,el estudiante

COMUNICACIÓN

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICA

participa activamente, ya sea realizando conexiones

conconocimientos

previamente adquiridos (lo cual puede

RAZONAMIENTO

hacer que se llegue ala solución de una

DEMOSTRACIÓN

manera

más

rápida),

nuevas

propuestas,

arriesgando

esdecir,

dando

entrada libre a la creatividad. Los estudiantes deben de ser constantemente retados con problemas que, yendo de lo simple a lo complejo, les permitan aumentar su capacidad deraciocinio matemático. Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizajede la Matemática, por lo cual debe buscarse problemas cuya proximidad conel entorno del estudiante lo motiven a comprometerse con su resolución. Los problemas idóneos serán aquellos que integren temas variados ymatemáticas significativas. 59

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

A través del aprendizaje de la Matemática se debe capacitar a todos losestudiantes para:  Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de describir.  Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otroscontextos.  Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución deproblemas.  Hacer un control del proceso de resolución de problemas matemáticos,propiciando la reflexión sobre el mismo. Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de maneraespontánea, en su diario acontecer, de modo que es labor de los docentesestimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello, deben crear en clase unclima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas, así como a participar en un intercambio de ideas. El docente se convierte así en un apoyo que indudablemente fortalecerá la confianza del estudiante. Razonamiento y demostración El razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de laMatemática. Los estudiantes deben de tener claro que ésta posee un sentidoque hay que reconstruir mediante el desarrollo de ideas, la justificación deresultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuentaque ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues noexiste individuo carente de nociones básicas de Matemática, los docentesbuscarán estimular el natural desarrollo hacia la resolución de problemasmás complejos. Entonces, los estudiantes también tienen que estar capacitados para:  Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia en la resolución de problemas matemáticos.  Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en elproceso argumentativo.  Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas.  Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema en particular. Los docentes explicarán a los estudiantes que toda afirmación matemáticadebe llevarnos a preguntar sobre su origen y validez. Es decir, no se trata de“aceptar” sin discusión lo propuesto, sino de ir hasta sus raíces para verificarsu validez, cuando sea pertinente.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidosde manera tal que adquieran seguridad al momento de conducirse en suspropias investigaciones. Debe quedar de lado la errada idea de que algoes válido sólo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, elúnico criterio que debe de tenerse en cuenta al momento de respaldar

unaafirmación

matemática

razonamiento,

decir,

encadenamientoconsistente de demostraciones. Como se ve, se trata de fomentar una actitud de búsqueda constante denuevos conocimientos, pues esto no se consigue si se avanza sobre basesinconsistentes o caminos demasiado recorridos. La Matemática implica eldescubrimiento, la novedad, lo inesperado y lo original. El estudiante debe ser constantemente estimulado con preguntas y debede ser llevado siempre a la formulación de conjeturas que, como hemosseñalado, robustecerán su capacidad de raciocinio. Indudablemente, algo que también debe de acompañar al estudiante esta preocupación por mejorar su expresión, es decir, el interés por sercomprendidos claramente cuando exteriorizan libremente su pensamiento. Esto forma parte del proceso de aprendizaje, que concebimos como unentramado de conexiones con diversos aspectos del conocimiento. En la medida en que nos referimos a la importancia de la claridad expresiva, también debemos señalar que los trabajos en grupo tienen capital importanciaen el aprendizaje matemático. Ellos favorecen el desarrollo social de losestudiantes y enseñándoles que los valores como la tolerancia, el respeto yla capacidad de escuchar, son importantes también para la adquisición denuevos conocimientos. Comunicación matemática Debe de acostumbrarse al alumnado a la escritura. El encuentro que tendrán con la palabra será constante (en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráficas, etc.). Por ello será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas, primero debemos de realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que éstas lleguen al papel de una forma coherente. Dicho

proceso

permite

que

los

matemáticos

revisen

Un mate de risa

detenidamente sus ideasy demostraciones.

Así, el desarrollo de la capacidad verbal aumentará la

¿Hasta qué parte puedes entrar en un bosque? Hasta la mitad, porque después comienzas a salir.

comprensión de losconceptos matemáticos. No olvidemos que el pensamiento abstracto tambiénrecurre a la palabra como instrumento de análisis. Por 61

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

eso es importanteconocer exactamente el vocabulario matemático que corresponde utilizar encada ocasión. En los debates e intercambios de ideas, este aspecto de la comunicación matemáticacobra notoriedad, pues en ellos los estudiantes tienen innumerables oportunidades de formular preguntas, refutar argumentos y exteriorizar sus inquietudes. Tal y como lo establecen los estándares curriculares, no bastacon que ellos presenten las soluciones a los problemas, sino que deben de estarcapacitados para mostrar a su docente y a sus compañeros y compañeras el camino que han seguido para llegar a ellas. Y, además, es muy valioso que los estudiantes sean conscientes de los obstáculos y limitaciones con las que tropezaron en dicho camino, pues así podrán elaborar estrategias adecuadas para superarlos con facilidad en situaciones futuras. Además, tal como lo hemos señalado en los anteriores apartados, se debeincentivar constantemente a que los estudiantes apliquen o relacionen losconocimientos adquiridos con la realidad que los circunda. El aspectocomunicativo, como es de suponerse, facilita esta intención. Por ello, y de acuerdo con lo que acabamos de exponer, en el aprendizaje dela Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para: Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como laimportancia que tiene en el desarrollo de las ideas relacionadas con laresolución de problemas matemáticos.  Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.  Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en losproblemas matemáticos.  Formular definiciones matemáticas y compartir con sus compañeros ycompañeras las generalizaciones que han obtenido como fruto de susinvestigaciones.

Describe cómo aplicarías las capacidades matemáticas en tu labor docente, de manera individual, y luego comparte con tus colegas. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SEGUNDA UNIDAD: PRACTICA EDUCATIVA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CONCEPCIONES DE LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Esta unidad consta de cuatro sesiones de aprendizaje: Concepciones de la enseñanza y aprendizaje, fundamentos teóricos,Método Heurístico y Método de Polya para resolver problemas del contexto. Estrategias para resolver problemas relacionados al entorno real utilizando el sistema internacional de unidades, unidades de tiempo Estrategias para resolver problemas relacionados a temas locales y reales utilizando propiedades de las razones, porcentaje y regla de tres.

Concepciones de la enseñanza y aprendizaje, fundamentos teóricos

Método Heurístico y Método de Polya para resolver problemas del contexto

PRÁCTICA EDUCATIVA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CONCEPCIONES DE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE, FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Estrategias para resolver problemas relacionados al entorno real utilizando el sistema internacional de unidades, unidades de tiempo

Estrategias para resolver problemas relacionados a temas locales y reales utilizando propiedades de las razones, porcentaje y regla de tres. .

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

INDICADORES DE LOGRO

SESIÓN 6

- Analiza las diferentes concepciones de la enseñanza y aprendizaje. - Explica los fundamentos teóricos

Mediante tres desafíos analicemos nuestra práctica mediante las interrogantes ejes: Desafíos

Interrogantes - eje

1. Organizar los conocimientos producidos durante la práctica

¿Cómo organizamos los conocimientos producidos durante la práctica? - ¿Qué sabíamos antes de comenzar la práctica? - ¿Cuáles son los conocimientos (teoría/s) disponibles? - ¿Qué sucedió durante la práctica con el conocimiento previo y disponible?

2. Contrastar el saber previo con el saber aprendido durante la práctica

3. Producir aprendizaje para orientar la nueva práctica

-¿Qué necesitamos aprender enfrentar nuevas prácticas?

para

1. Teoría Conductista El conductismo parte de una concepción empirista del conocimiento, su mecanismo central del aprendizaje es el asociacionismo, se basa en los estudios del aprendizaje mediante condicionamiento (la secuencia básica es la de estímulo-respuesta) y considera

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

innecesario el estudio de los procesos mentales superiores para la comprensión de la conducta humana. El conductismo se preocupa por usar el método científico (en sentido restrictivo) y considera que sólo se debe hablar de los aprendizajes observables y medibles objetivamente (Marqués y Sancho, 1987).Para el conductismo el aprendizaje es un cambio relativamente permanentemente de la conducta que se logra mediante la práctica y con la interacción recíproca de los individuos y su ambiente, lo cual se logra a través de los programas de adiestramiento y los tutoriales pues son diseñados en términos de una práctica guiada y presentan un feedback que contribuye a reforzar destrezas específicas. 2. Teoría Cognitivista El cognitivismo, presenta una gran variedad de formas y a continuación enumeramos algunas de ellas, las citadas frecuentemente, para el desarrollo de esta corriente psicológica. a) En el aprendizaje por descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su forma final, sino que debe ser reconstruido por el alumno al seguir o no un modelo, antes de ser aprendido e incorporado significativamente en su estructura cognitiva. En el aprendizaje por descubrimiento se trata de «descubrir» una regla, concepto o asociación que se ha enseñado (un fin). b) Aprendizaje como procesamiento de información. Para Gagné (1979), “el aprendizaje es un cambio en las disposiciones o capacidades humanas, que persiste durante cierto tiempo y que no es atribuible solamente a los procesos de crecimiento”. El procesamiento de información defiende la interacción de las variables del sujeto y las variables de la situación ambiental en la que está inmerso, ya no es un sujeto pasivo y receptivo (conductismo), ahora se transforma en un procesador activo de la información. En este enfoque se concibe al ser humano como procesador de información basándose en la aceptación de la analogía entre la mente humana y el funcionamiento de las computadoras. Para ello indaga cómo se codifica la información, transforma, almacena, recupera y se transmite al exterior. Los principios de la teoría de Gagné se basan en el modelo de procesamiento de información. El modelo señala que un acto de aprendizaje consta de fases: se inicia con la estimulación de los receptores, posee fases de elaboración interna y finaliza con retroalimentación que acompaña a la ejecución del sujeto, esta estimulación externa (condiciones externas) apoyan los procesos internos y favorecen el aprendizaje. c) Aprendizaje como actividad. El aprendizaje activo implica interacción con el medio y las personas que rodean al niño, puede hacerse en forma individual o en grupo y supone cooperación y/o colaboración. Estas interacciones provocan en el niño

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

experiencias que modifican su comportamiento presente y futuro, porque las disposiciones conductuales y el ambiente no son entidades separadas, lo que ocurre es que cada una de ellas determina la actuación del ambiente (Bandura, 1982). d) Aprendizaje significativo. Para Ausubel, es el aprendizaje en donde el alumno relaciona lo que ya sabe con los nuevos conocimientos, lo cual involucra la modificación y evolución de la nueva información así como de la estructura cognoscitiva envuelta en el aprendizaje y según Serrano (1990), aprender significativamente “consiste en la comprensión, elaboración, asimilación e integración a uno mismo de lo que se aprende”. El aprendizaje significativo combina aspectos cognoscitivos con afectivos y así personaliza el aprendizaje. Ausubel y otros (1997) señalan tres tipos de aprendizajes, que pueden darse en forma significativa, éstos son: 1. Aprendizaje de Representaciones: Es el aprendizaje más elemental, que se da cuando el niño adquiere el vocabulario. Consiste en la atribución de significados a determinados símbolos al igualarlos con sus referentes (objetos, por ejemplo). El niño primero aprende palabras que representan objetos reales con significado para él aunque no los identifica como categorías. 2. Aprendizaje de Conceptos: Los conceptos se definen como objetos, eventos, situaciones o propiedades que se designan mediante algún símbolo o signos (Ausubel y otros, 1997). El niño, a partir de experiencias concretas, comprende que la palabra "pelota" pueden usarla otras personas refiriéndose a objetos similares. Los conceptos son adquiridos a través del proceso de formación (las características del concepto se adquieren a través de la experiencia directa, por ejemplo, el niño aprenda el concepto de "pelota" a través de varios encuentros con su pelota y las de otros niños) y de asimilación (se produce a medida que el niño usa las combinaciones disponibles en su estructura cognitiva, por ejemplo, el niño podrá distinguir distintos colores, tamaños y texturas y reconocer que se trata de una "pelota"). 3. Aprendizaje de Proposiciones: Exige captar el significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones, las cuales se obtienen cuando el alumno forma frases que contienen dos o más conceptos, este nuevo concepto es asimilado al integrarlo en su estructura cognitiva con los conocimientos previos. Dicha asimilación puede hacerse por: diferenciación progresiva (cuando el concepto nuevo se subordina a conceptos más inclusores ya

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

conocidos por el alumno), por reconciliación integradora (cuando el concepto nuevo es de mayor grado de inclusión que los conceptos que el alumno ya conocía) y por combinación (cuando el concepto nuevo tiene la misma jerarquía que los conocidos). 3. Teoría Constructivista Para Piaget y sus discípulos el aprendizaje es una construcción del sujeto a medida que organiza la información que proviene del medio cuando interacciona con él, que tiene su origen en la acción conducida con base en una organización mental previa, la cual está constituida por estructuras y las estructuras por esquemas debidamente relacionados. La estructura cognitiva determina la capacidad mental de la persona, quien activamente participa en su proceso de aprendizaje mientras que el docente trata de crear un contexto favorable para el aprendizaje. La idea fundamental de los trabajos de Piaget son los esquemas mentales, que básicamente se refieren a la construcción de una organización intelectual que guía la conducta del individuo. Todos los esquemas surgen de la asimilación recíproca de las estructuras y la acomodación a la realidad exterior. 4. Teoría Sociocultural En la corriente sociocultural distinguimos a Lev Vygotsky (1896-1934), quien es considerado el precursor del constructivismo social. A partir de él, se han desarrollado diversas concepciones sociales sobre el aprendizaje que amplían o modifican algunos de sus postulados, pero la esencia de él aún permanece. El constructivismo es una teoría del aprendizaje que se basa en el supuesto de que los seres humanos construyen su propia concepción de la realidad y del mundo en que viven, la corriente sociocultural sienta sus postulados en la convicción del rol preponderante que la interacción social tiene en el desarrollo cognitivo. La actividad del sujeto que aprende supone una práctica social mediada, al utilizar herramientas y signos para aprender. De este modo el sujeto que aprende por un lado transforma la cultura y por otro la interioriza. La interiorización o internalización la define De Pablos (1998) como: “la incorporación al plano individual, intrapsicológico, de lo que previamente ha pertenecido al ámbito de nuestras interacciones con los demás”. 5. Enfoques de la Enseñanza Al revisar las teorías procedentes de las diversas escuelas psicológicas, nos encontramos con muchas diferencias entre ellas, para el enfoque técnico seguimos al neoconductismo de Tolman y Skinner, donde el estudiante es activo en relación con los arreglos contingencial es del profesor–programador y la actividad está condicionada por las características prefijadas por el programa de estudios.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En el enfoque heurístico destacan Piaget, Bruner y Stenhouse, para quienes es importante el desarrollo de habilidades de aprendizaje, la actuación del docente como propiciador de ambientes para la organización de esquemas y aprendizajes significativos y el alumno como activo procesador de información. Mientras que en el enfoque socio crítico son importantes los trabajos de Vigotsky, Luria, Leontiev, Galperin y Elkonin, quienes se plantean la problemática de los vínculos entre los procesos psicológicos y los socioculturales, en este enfoque el docente es un promotor de zonas de desarrollo próximo con dominio de la tarea, maneja mediadores y es sensible a los avances progresivos de los alumnos, quienes toman conciencia y ejecutan las tareas con un desarrollo integral. Desde la concepción de Piaget para la enseñanza y el aprendizaje, debe considerarse que en las distintas etapas de desarrollo del niño, varían sus estrategias y operaciones cognoscitivas, razón por la cual, el docente debe estar alerta para hacerles las exigencias adecuadas, organizar situaciones de aprendizaje acordes a su desarrollo y así lograr su participación (cognitiva) activa, como persona con afectos y vivencias particulares. Para Bruner (1974), una manera de enseñar que provoque transferencia en el niño cuando utiliza el material que ha aprendido, debe considerar seis factores:  La actitud del niño debe llevarlo a trascender los datos y usar la cabeza para resolver un problema.  Los materiales nuevos aprendidos deben ajustarse al marco de referencia de manera que se adueñe de ellos y use tal información de modo compatible con lo que ya sabe.  El niño activa su propia capacidad de resolver problemas.  El niño práctica las aptitudes relacionadas con el empleo de la información y la solución de problemas.  Los niños no consiguen explicar cómo hacen algunas cosas pero al volver sobre su propia conducta tienen la oportunidad de reflexionar sobre ello.  La capacidad de manipular la información, para emplearla en la solución de problemas. Según Bruner, la enseñanza puede facilitar el proceso de descubrimiento de los niños por sí mismos, sin que ello signifique encontrar verdades totalmente nuevas. Y para ello la enseñanza debe propiciar un ambiente lleno de situaciones que el niño pueda abordar, que favorezcan su autonomía y que lo estimulen a aprender haciendo; debe tomar en cuenta el orden eficaz de los materiales y que el alumno aprenda a través de su actividad, que aprenda descubriendo y resolviendo problemas (Serrano, 1990). 6. Enfoque Contextual del Aprendizaje-Enseñanza El aprendizaje contextual es un concepto que incorpora mucha de la investigación más reciente de la ciencia cognoscitiva. 68

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

También es una reacción a las teorías esencialmente conductistas que han dominado la educación por muchas décadas. El enfoque contextual reconoce que el aprendizaje es un proceso complejo y multifacético que va más allá de las metodologías prácticas, basadas en la relación estímulo respuesta. Según la teoría del aprendizaje contextual, el aprendizaje tiene lugar sólo cuando el estudiante procesa información y conocimiento nuevos de tal manera que les da sentido en su marco de referencia (su propio mundo interno de memoria, experiencia y respuesta).

Este enfoque de

aprendizaje y enseñanza supone que la mente busca, de forma natural, el significado en el contexto o sea, en el ámbito donde la persona se encuentra y que lo hace así buscando relaciones que tengan sentido y parezcan ser útiles. En función de eso, la teoría del aprendizaje contextual enfoca los múltiples aspectos de cualquier ambiente de aprendizaje. Un ambiente de aprendizaje puede ser un aula, un laboratorio, un lugar de trabajo o un campo sembrado. El aprendizaje contextual alienta a los educadores a escoger y/o diseñar ambientes de aprendizaje que incorporen muchas formas diferentes de experienciassociales, culturales, físicas y psicológicastrabajando en la búsqueda de los resultados de aprendizaje deseados. En dichos ambientes, los estudiantes descubren relaciones significativas entre ideas abstractas y aplicaciones prácticas en el contexto del mundo real y dichos conceptos son internalizados a través del proceso de descubrir, reforzar e interrelacionar.

Reflexionemos la importancia de seguir un proceso en la resolución de problemas:

¿Existe una teoría única y mejor, y es una más eficiente que otra? ¿Cómo aplicas una de las teorías en la construcción de los aprendizajes de tus estudiantes? ¿Cómo puede un docente realizar la selección adecuada de contenidos y estrategias que se correspondan una teoría? ¿Cuál teoría resulta más efectiva para contribuir con el dominio de tareas específicas por parte de estudiantes particulares?

…………………………………………………………………………………………………………… 69

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN 7

MÉTODO HEURÍSTICO Y MÉTODO DE POLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS DEL CONTEXTO. INDICADORES DE LOGRO

- Aplica el método heurístico y el método de Polya en la solución de problemas

Recordando mi práctica docente  ¿Qué estrategias utilizan mis estudiantes para resolver problemas?  ¿Qué importancia tiene el método heurístico en la resolución de problemas?  ¿Aplico el método de Polya para resolver problemas con mis estudiantes?

Durante los últimos años los docentes de matemática hemos pasado por diversas"Modas Pedagógicas" que han marcado una tendencia en la forma de enseñar estaciencia.En un primer momento hubo una centralización exclusiva en torno a loscontenidos, se trataba de reducir la distancia entre el saber de la disciplina y el saberenseñado.Las desilusiones no tardaron en hacerse sentir; las Matemáticas no se habíanconvertido en fáciles de aprender; ciertos objetos de enseñanza introducidos, maladaptados, soportaban transformaciones no previstas por los autores de las reformas;las múltiples innovaciones realizadas en el campo educativo no permitieron que laenseñanza de la matemática se constituya en un cuerpo de conocimiento fiable. Es desde esta toma de conciencia que nació de algún modo la Didáctica de laMatemática (Francia, años 60). La producción en este campo es ya muy vasta y sólida. Sin embargo en un siglo en que los cambios y los avances tecnológicos se hansucedido de manera vertiginosa, la educación no había mostrado un cambio estructuralimportante; incluso los programas, salvo detalles, han conservado la esencia de loscontenidos. Hoy en día no podemos centrar el aprendizaje en torno a contenidos que en unfuturo no muy lejano le serán obsoletos, debemos lograr que el alumno adquiera ciertascapacidades que le permitan construir por sí solo el conocimiento, debemos darleherramientas que le permitan adaptarse al medio.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Somos conscientes de que la educación necesitaba un cambio, un cambioprofundo, ya no es una tendencia que marca determinada corriente pedagógica sino unverdadero cambio estructural, una nueva visión de abordar la enseñanza, nuevasmetodologías de trabajo, nuevas herramientas. A todos nos resulta difícil afrontar el cambio, no es fácil desarraigar tradiciones nisubstraerse a la gran responsabilidad que significa realizar cambios en la educación;sin embargo esta responsabilidad no debe ahogar la acción. La propuesta no es fácil pero creemos que el desafío valdrá la pena¿Cuál es la Matemática que se debe enseñar? ¿Cuál es la Matemática que le puede ser útil a profesionales nomatemáticos? ¿Cuál es la Matemática que puede servir a un ciudadano en este nuevomilenio? Algunas de las respuestas a estos interrogantes que generalmente nos hacemoslos docentes de matemática se encuentran en el libro “Didáctica de matemáticas”Cecilia Parra e Irma Saiz (compiladoras) en el capítulo “Matemática para nomatemáticos” por Luis Santaló.“La misión de los educadores es preparar a las nuevas generaciones para elmundo en que tendrán que vivir. Es decir impartirles las enseñanzas necesarias paraque adquieran las destrezas y habilidades que van a necesitar para desempeñarse concomodidad y eficiencia en el seno de la sociedad con que se encontrarán al terminar elperíodo escolar. Por esto, como el mundo actual es rápidamente cambiante, también la escueladebe estar en continuo estado de alerta para adaptar su enseñanza, tanto encontenidos como en metodología, a la evolución de estos cambios, que afectan tanto alas condiciones materiales de vida como al espíritu con que los individuos se vanadaptando a ellas. En caso contrario, si la escuela se descuida y sigue estática, o conmovimiento lento en comparación con la velocidad exterior, se origina un desfase odivorcio entre la escuela y la realidad ambiental que hace que los alumnos se sientanpoco atraídos por las actividades del aula y busquen adquirir por otros medios losconocimientos que consideran necesarios para comprender, a su manera, el mundo dela calle que perciben directamente o a través de los medios de comunicación”. “A los profesores de Matemática nos corresponde seleccionar entre toda lamatemática existente, la clásica y la moderna, aquella que pueda ser útil a loseducandos en cada uno de los distintos niveles de la educación”. “La elección de la Matemática para quienes van a ser matemáticos profesionaleses relativamente fácil, pues basta mostrar las grandes líneas generales y enseñar aaprender, dejando que cada educando vaya seleccionando según sus gustos y suvocación la Matemática que más le interese, pues tiene toda la vida para ircompletando la formación recibida en la escuela.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

El problema radica en la selección de la matemática para la educación de quienesno tienen interés particular por ella y sólo la aceptan como una necesidad que lesayude a desempeñar mejor sus ocupaciones y a entender mejor su sostén básico”. Hasta hace unos años la matemática de la enseñanza obligatoria, consistía ensaber operar con números enteros y racionales, con mucha práctica de los decimales, ydespués iniciar e insistir en la proporcionalidad en sus diversos aspectos de la regla detres, porcentajes, semejanza de figuras planas, escalas e interpretación de mapas ygráficos, sistema métrico decimal, definiciones y propiedades simples de las figurasgeométricas más usuales. Actualmente vista la complejidad creciente de la sociedad,se considera que tales conocimientos resultan insuficientes, más aun considerando quese ha extendido la obligatoriedad. “Hay que decidir sobre los contenidos y también sobre la metodología másconveniente. Además de los contenidos tradicionales, ya mencionados, es mucho loque se puede y debe añadir, suprimiendo en compensación muchas cosas que porcostumbre han seguido formando parte de los programas pero que han devenidoinútiles el día de hoy.” “Los conceptos fundamentales deben abordarse desde distintos enfoques,indicando el camino para sus posibles extensiones y aplicaciones que el alumno tendráque buscar en el futuro por su propia cuenta, cuando las necesite. Puesto que elaprendizaje va a ser permanente, es importante enseñar a aprender, cosa que elalumno tendrá que hacer por sí solo cuando termine la escuela.Hay cosas que actualmente figuran en los programas y que en sus ideasgenerales, deben seguir dándose, pero en forma muy simplificada. Por ejemplo, esimportante instruir cuanto antes en las manipulaciones simples del cálculo literal y en lainterpretación y manipuleo de fórmulas, pero basta limitarse a expresiones simples deuso común, sin necesidad de aburrir con fatigosos cálculos con monomios, polinomiosy expresiones algebraicas complicadas.” Hay muchos temas que hasta hace un tiempo se consideraban pertenecientes aniveles superiores de la enseñanza y seguramente no serán de fácil inclusión pero estees

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

precisamente el desafío que tenemos que enfrentar los educadores. La resolución de problemas es la actividad más complicada e importante que seplantea en Matemáticas. Los contenidos del área cobran sentido desde el momentoen que es necesario aplicarlos para poder resolver una situación problemática. Cuando se trabajan en el aula de forma sistemática, dando opción al alumno a querazone y explique cuál es su forma de afrontar y avanzar en el desarrollo de la actividad,salen a la luz las dificultades que el propio proceso de resolución de problemasconlleva. Dichas dificultades están relacionadas en algunos casos con la falta de asimilaciónde contenidos propios de los diferentes bloques del área; en otras ocasionesse basan en la comprensión lectora, en el uso del lenguaje o en el desconocimientode conceptos propios de otras disciplinas que intervienen en la situación planteada. No obstante, suponen una importante fuente de información para dar a conocer losaspectos que se debieran retomar e incorporarlos nuevamente al proceso de enseñanzaaprendizaje. Un problema es una situación que un individuo o grupo quiere o necesita resolver ypara la cual no dispone, en principio, de un camino rápido y directo que le lleve a lasolución; consecuentemente eso produce un bloqueo. Conlleva siempre un grado dedificultad apreciable, es un reto que debe ser adecuado al nivel de formación de la personao personas que se enfrentan a él. Si la dificultad es muy elevada en comparacióncon su formación matemática, desistirán rápidamente al tomar consciencia de la frustraciónque la actividad les produce. Por el contrario, si es demasiado fácil y su resoluciónno presenta especial dificultad ya que desde el principio ven claramente cuál debe serel proceso a seguir para llegar al resultado final, esta actividad no será un problema paraellos sino un simple ejercicio. De este modo podemos decir que la actividad que paraalumnos de ciertas edades puede concebirse como un problema, para otros no pasa deser un mero ejercicio. Los ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para su resolución. Alrealizarlos, el alumno se da cuenta muy pronto de que no le exigen grandes esfuerzos. Generalmente

tienen

una

sola

solución,

son

actividades

entrenamiento,

aplicaciónmecánica de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados. Le sirven al profesor paracomprobar que los alumnos han automatizado los conocimientos que él pretendía enseñarlesy, a su vez, al alumno para consolidar dichas adquisiciones. Hacer ejercicios en serie puede provocar aburrimiento, ya que generalmente son repetitivosy pueden resultar poco interesantes. Sin embargo, en algunas ocasiones sirven paramotivar a los alumnos, pues de esa manera toman conciencia de los conocimientos que vanadquiriendo. Son un tipo de actividades muy abundantes en los libros de texto. Como profesores/as no debemos abusar de su realización, sino seleccionar cuidadosamente aquellosque nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los conceptos y

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

laadquisición de algoritmos matemáticos por parte de los alumnos. Por contraposición, los problemas no se resuelven con la aplicación de una regla o recetaconocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su interior para navegar entre losconocimientos matemáticos que posee y rescatar de entre ellos los que pueden serle útilespara aplicar en el proceso de resolución. Puede servirse de experiencias anteriores quehagan referencia a situaciones parecidas, para rememorar cuál fue el camino o vía seguidaen caso de poder volver a utilizarlos en esta nueva situación. Los problemas pueden tener una o varias soluciones y en muchos casos existen diferentesmaneras de llegar a ella(s). Cuando un alumno o un grupo se implica en esta actividad, se vuelca en ella, muestra entusiasmo y desarrolla su creatividad personal. Es frecuente manifestar cierto nivel de satisfacción al descubrir el camino que le conduceal resultado final como fruto de la investigación llevada a cabo. El tiempo que se dedicaa la resolución de un problema es bastante mayor que el que lleva la realización deun ejercicio. El cuadro que viene a continuación recojamos de una manera más gráfica y comparada lasprincipales diferencias que existen entre estos dos tipos de actividades: CARACTERISTICAS DE LOS EJERCICIOS

CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS

1. HEURÍSTICA Ciencia que estudia los procesos de decisión respecto a un campo de conocimiento concreto, como son las estrategias cognitivas. Su contrapartida formal en computación es el algoritmo. La palabra heurística proviene de la palabra griega heuriskein que significa descubrir, encontrar. Por heurística entendemos una estrategia, método, criterio o truco usado para hacer más sencilla la solución de problemas difíciles. El conocimiento heurístico es un tipo especial de conocimiento usado por los humanos para resolver problemas complejos. En este caso el adjetivo heurístico significa medio para descubrir. Debido a la existencia de algunos problemas importantes con un gran interés práctico difíciles de resolver, comienzan a surgir algoritmos capaces de ofrecer posibles soluciones que aunque no consiguen el resultado óptimo, sí que se acercan en un tiempo de cálculo razonable. Estos algoritmos están basados en el conocimiento heurístico y por lo tanto reciben el nombre de algoritmos heurísticos. 74

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Por lo general, los algoritmos heurísticos encuentran buenas soluciones, aunque a veces no hay pruebas de que la solución pueda hallarse en un tiempo razonablemente corto o incluso de que no pueda ser errónea. Frecuentemente pueden encontrarse casos particulares del problema en los que la heurística obtendrá resultados muy malos o que tarde demasiado en encontrar una solución. Un método heurístico es un conjunto de pasos que deben realizarse para identificar en el menor tiempo posible una solución de alta calidad para un determinado problema. Al principio esta forma de resolver problemas no fue bien vista en los círculos académicos, debido fundamentalmente a su escaso rigor matemático. Sin embargo, gracias a su interés práctico para solucionar problemas reales fue abriendo poco a poco las puertas de los métodos heurísticos, sobre todo a partir de los años 60. Actualmente las versiones matemáticas de métodos heurísticos están creciendo en su rango de aplicaciones, así como en su variedad de enfoques. Nuevas técnicas heurísticas son utilizadas a diario por científicos de computación, investigadores operativos y profesionales, para resolver problemas que antes eran demasiado complejos o grandes para las anteriores generaciones de este tipo de algoritmos. 2. MÉTODOHEURÍSTICO. Como se aplica: Como disciplina científica, la heurística es aplicable a cualquier ciencia e incluye la elaboración de medios auxiliares, principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas; o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para las que no se cuente con un procedimiento algorítmico de solución. Según Horst Müler: Los Procedimientos Heurísticos son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes. Los Procedimientos Heurísticos como Método científico pueden dividirse en principios, reglas y estrategias. Principios Heurísticos: constituyen sugerencias para encontrar (directamente) la idea de solución; posibilita determinar, por tanto, a la vez, los medios y la vía de solución. Dentro de estos principios se destacan la analogía y la reducción. Reglas Heurísticas: actúan como impulsos generales dentro del proceso de búsqueda y ayudan a encontrar, especialmente, los medios para resolver los problemas. Las Reglas Heurísticas que más se emplean son: * Separar lo dado de lo buscado. * Representar magnitudes dadas y buscadas con variables. * Determinar si se tienen fórmulas adecuadas. * Utilizar números (estructuras más simples) en lugar de datos.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

* Reformular el problema. Estrategias Heurísticas: se comportan como recursos organizativos del proceso de resolución, que contribuyen especialmente a determinar la vía de solución del problema abordado. Existen dos estrategias:  El trabajo hacia adelante: se parte de lo dado para realizar las reflexiones que han de conducir a la solución del problema.  El trabajo hacia atrás: se examina primeramente lo que se busca y, apoyándose de los conocimientos que se tienen, se analizan posibles resultados intermedios de lo que se puede deducir lo buscado, hasta llegar a los dados. Se denomina heurística a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente. La palabra heurística procede del término griego εuρίσκειν, que significa «hallar, inventar» (etimología que comparte con eureka). La palabra heurística aparece en más de una categoría gramatical. Cuando se usa como sustantivo, identifica el arte o la ciencia del descubrimiento, una disciplina susceptible de ser investigada formalmente. Cuando aparece como adjetivo, se refiere a cosas más concretas, como estrategias heurísticas, reglas heurísticas o silogismos y conclusiones heurísticas. Claro está que estos dos usos están íntimamente relacionados ya que la heurística usualmente propone estrategias heurísticas que guían el descubrimiento. La popularización del concepto se debe al matemático George Polya, con su libro Cómo resolverlo (Howtosolveit). Habiendo estudiado tantas pruebas matemáticas desde su juventud, quería saber cómo los matemáticos llegan a ellas. El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus alumnos de matemáticas. Cuatro ejemplos extraídos de él ilustran el concepto mejor que ninguna definición:  Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema.  Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes deducir de ella (razonando a la inversa). 

Si el problema es abstracto, prueba a examinar un ejemplo concreto.

 Intenta abordar primero un problema más general (es la “paradoja del inventor”: el propósito más ambicioso es el que tiene más posibilidades de éxito).

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos. Paso 1: Entender el Problema. 

¿Entiendes todo lo que dice?



¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?



¿Distingues cuáles son los datos?



¿Sabes a qué quieres llegar?



¿Hay suficiente información?



¿Hay información extraña?



¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan. 

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).



Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).



Usar una variable.



Buscar un Patrón



Hacer una lista.



Resolver un problema similar más simple.



Hacer una figura.



Hacer un diagrama



Usar razonamiento directo.



Usar razonamiento indirecto.



Usar las propiedades de los Números.



Resolver un problema equivalente.



Trabajar hacia atrás.



Usar casos



Resolver una ecuación



Buscar una fórmula.



Usar un modelo.



Usar análisis dimensional.



Identificar sub-metas.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR



Usar coordenadas.



Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan. 

Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.



Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).



No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás. 

¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?



¿Adviertes una solución más sencilla?



¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas. Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Acepta el reto de resolver el problema. 2. Reescribe el problema en tus propias palabras. 3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 79

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después. 15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa. Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos, debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. Algunas de estas estrategias se describen a continuación:  De atrás hacia adelante Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante. Ejemplo: 01 El museo de sitio de Sipán, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron 80 personas menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Alcuarto día fueron 500 personas. ¿Cuántaspersonasvisitaron el museo el primer día? Solución: Comprender el Problema Se desea determinar el número de personas que fueron a visitar el museo el primer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se presentaron 500 personas.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Desarrollar un Plan Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer día. Llevar a cabo el Plan Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día. Esto da 220 personas. Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DÍA

VISITANTES

CUARTO

500

TERCERO

500 + 50 = 550

SEGUNDO

550 – 250 = 300

PRIMERO

300 – 80 = 220

Comprobar: Se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si el primer día fueron 220 personas, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el segundo; es decir 550. El cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas.  Tanteo y error Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Ejemplo: 02 Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos 3591053 De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Solución: Comprender el problema: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3,5,9,1,0,5y3. Además, el resultado tiene que ser 257. Desarrollar un Plan 81

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300. Llevar a cabo el Plan A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma: 359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta; 35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105: 359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto! Comprobar: Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.  Elaboración de una tabla: Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información, acomodada en filas y columnas. Ejemplo 03 Los estudiantes de una clase de CTA llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas?

Comprender el problema: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas. Desarrollar un Plan Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución. Llevar a cabo el Plan

En este paso se prepara la tabla mencionada:

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

DÍA

HOJAS ESTUDIADAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1O 15 20 25 30 35 40 45 50 30

TOTAL DE HOJAS ESTUDIADAS 10 25 45 70 100 135 175 220 270 300

Comprobar Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar. En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas.

ACTIVIDAD: Resuelvo problemas aplicando el método de Polya 1. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el

padre tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre? 2. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge un estudiante, en el segundo recoge dos, en la tercera recoge tres y así sucesivamente. Sin ningún estudiante se baja del autobús, después de que parada se llenará el autobús? 3. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta de rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no tienen pintada ninguna cara? 4. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las dos páginas donde se abrió el libro 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro? 5. Para celebrar el inicio de las clases, los alumnos de sexto año deciden organizar una fiesta en la casa de María. Su hermano observa que al abrir la puerta por primera vez llega un invitado, la segunda vez llegan tres invitados, al abrir por tercera ocasión la puerta entran cinco invitados, y así sucesivamente. ¿Cuántos invitados abran entrado en la novena vez que se abre la puerta? ¿Cuántas veces se ha abierto la puerta cuando han entrado 23 invitados?

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Reflexionemos la importancia de seguir un proceso en la resolución de problemas:

¿Cómo se resuelven los problemas matemáticos en la escuela? ¿Cómo profesores nos damos cuenta de la claridad de las lagunas que tienen los estudiantes? ¿Cómo se debe afrontar la resolución de problemas?

SESIÓN 8

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS AL ENTORNO REAL UTILIZANDO EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, UNIDADES DE TIEMPO. INDICADORES DE LOGRO

- Aplica el sistema internacional para resolver problemas contextualizados

Recordando mi práctica docente  ¿Qué estrategias utilizan mis estudiantes para resolver problemas aplicando el sistema internacional de medidas?

CARTA DE UN NIÑO CON PROBLEMAS DE APRENDIZAJE A SU PROFESOR/A... Sé que no soy un niño fácil, que me distraigo con frecuencia y que no obedezco. Sé que a veces interrumpo las clases e incluso hago que los otros niños no aprendan. Sé que hago tu trabajo más difícil de lo que habitualmente es. Me duele pero sé que no soy lo que a los demás les gustaría que yo fuera. Pero todo eso es por fuera, porque por dentro soy un niño como los otros con una inteligencia maravillosa y un gran corazón, sólo que cubierto con una camisa de tristeza Y un abrigo de indiferencia para disimular. 84

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Precisamente con ese gran corazón es que puedo decirte: GRACIAS. Gracias por ser paciente y aguantar mi inconstancia. Gracias por protegerme: a veces de los adultos que no me soportan, a veces de los otros niños y gracias por protegerme a ellos de mí. Creo que en ocasiones sin querer les hago mal. Gracias por recogerme cuando los demás me desechan, por no reírte cuando los demás se burlan de mí, por entenderme cuando no sé expresarme. Gracias por creer en mí. aún cuando nadie cree. Por estar segura de que yo saldré adelante aún cuando todo el mundo apuesta por mi fracaso. Gracias por no darte por vencida, aún cuando a veces te sientes cansada. Gracias por aceptar el reto que significa el manejar un niño como yo. Gracias por ser ingeniosa y recursiva; por inventarte mil cosas para que yo logre mis objetivos. Gracias por ser muda cuando me merezco una crítica, gracias por ser sorda cuando otros te hablan de mí. Gracias por gritar mis logros, sabiendo que costaron un poco más de esfuerzo que para los otros. Gracias en fin por todo. Sin ti, sin tu esfuerzo no saldré adelante, tu eres mi gran aliad@, nunca me faltes. Un abrazo

Cómo resolver problemas En algún punto de sus estudios, casi todos los estudiantes de matemática sienten que, pese a entender los conceptos, simplemente no pueden resolver los problemas. ¿Cómo aprendemos a resolver problemas? Tenemos estrategias para resolver problemas que sugieren técnicas para plantear y resolver problemas de forma eficiente y correcta. Después de cada Estrategia para resolver problemas hay uno o más Ejemplos resueltos que muestran esas técnicas en acción. No obstante, sea cual sea el tipo de problema, hay ciertos pasos básicos que se deben seguir siempre. Estrategia para resolver problemas  IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Primero, decida qué ideas de las unidades son relevantes para el problema. Aunque este paso no implica hacer cálculos, a veces es la parte más difícil. Nunca lo omita; si desde el principio se escoge el enfoque equivocado, el problema se dificultará innecesariamente, e incluso podría llevar a una respuesta errónea. 85

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

A estas alturas también se debe identificar la incógnita del problema: la cantidad cuyo valor se desea encontrar. Podría ser la rapidez con que un proyectil choca contra el suelo, la intensidad del sonido producido por una sirena o la fuerza de un campo magnético generado por un electroimán. (En ocasiones, la meta será hallar una expresión matemática para la incógnita, no un valor numérico. Otras veces, el problema tendrá más de una incógnita.) Esta variable es la meta del proceso de la resolución de problemas; asegúrese de no perderla de vista durante los cálculos.  PLANTEAR el problema: Si resulta apropiado, dibuje la situación descrita en el problema. Con base en los conceptos que escogió en el paso de Identificar, seleccione las ecuaciones que usará para resolver el problema y decida cómo las usará.  EJECUTAR la solución: En este paso, se “hacen las cuentas”. Antes de meterse en los cálculos, haga una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, e indique cuál o cuáles son las variables meta. Después, despeje las incógnitas de las ecuaciones.  EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemas no es sólo obtener un número o una fórmula; es entender mejor. Ello implica examinar la respuesta para ver qué nos dice. En particular, pregúntese: “¿Es lógica esta respuesta?” Si la incógnita era el radio de la Tierra y la respuesta es 6.38 cm (¡o un número negativo!), hubo algún error en el proceso de resolución de problemas. Revise su trabajo y modifique la solución según sea necesario. Conversiones de unidades Estrategia para resolver problemas  IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La conversión de unidades es importante, pero también lo es saber cuándo se requiere. En general, lo mejor es usar las unidades SI fundamentales (longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos) dentro de un problema. Si la respuesta se debe dar en otras unidades (kilogramos, gramos u horas, por ejemplo), espere hasta el final para efectuar la conversión.  PLANTEAR el problema y EJECUTAR la solución: Las unidades se multiplican y dividen igual que los símbolos algebraicos ordinarios. Esto facilita la conversión de una cantidad de un conjunto de unidades a otro. La idea clave es que podemos expresar la misma cantidad física en dos unidades distintas y formar una igualdad.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Por ejemplo, al decir 1 min = 60 s, no implicamos que el número 1 es igual al número 60, sino que 1 min representa el mismo intervalo de tiempo que 60 s. Por ello, el cociente (1 min)/ (60 s)es igual a 1, lo mismo que su recíproco (60 s)/(1 min). Podemos multiplicar una cantidad por cualquiera de estos factores, sin alterar el significado físico de la cantidad. Para averiguar cuántos segundos hay en 3 min, escribimos.

EVALUAR la respuesta: Si convertimos las unidades correctamente las unidades no deseadas se eliminarán, como en el ejemplo. Si hubiéramos multiplicado 3 min por (1 min)/(60 s), el resultado habría sido una forma un tanto rara de medir el tiempo. Para asegurarse de convertir bien las unidades, debe incluirlas en todas las etapas del cálculo. Por último, verifique si la respuesta es lógica. ¿El resultado3 min = 180 s es razonable? Sí; el segundo es más pequeño que el minuto, por lo que habrá más segundos que minutos en el mismo intervalo de tiempo. El maestro, al pretender enseñar al estudiante la resolución de problemas, debe reflexionar sobre los propósitos que persigue: ¿Quiere que el estudiante aprenda y recuerde fórmulas (algoritmos) y la manera de aplicarlos?, o ¿quiere que el alumno desarrolle habilidades para aplicar adecuadamente lo que conoce?, o más aún ¿quiere que el alumno resuelva el problema sin importar de qué manera lo haga?, ya que los propósitos definidos influirán sobre las demandas que se le hagan al alumno y los procesos que éste ponga en juego, y recordar que el proceso de solución de problemas va más allá de la sola aplicación de algoritmos o fórmulas. Análisis de un problema Para ilustrar el quehacer del maestro ante los intentos de un alumno por resolver un problema abordaré el análisis de un caso real ocurrido en un taller sobre desarrollo cognitivo. El problema establece saber en qué hora del día se hallan dos personas, cuando a la pregunta de una de ellas de ¿Qué hora es?”, la otra responde con el siguiente problema: “Si sumas una cuarta parte del tiempo transcurrido desde la medianoche de ayer a la mitad del tiempo que falta para la medianoche de hoy, sabrás qué horas es”. Enfrentado con este enunciado el alumno requiere manejar 87

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

suficientemente el lenguaje para saber el sentido de los términos “medianoche de ayer” de modo que no confunda el lapso de tiempo que implica, así mismo, requiere saber que la media noche se contabiliza como las cero horas y la medianoche marca el inicio de un nuevo conteo de horas, y que el día tiene en total 24 horas. Sin estos elementos de la base de conocimiento el alumno no podrá resolver adecuadamente el problema. Algunos errores comunes cometidos por los alumnos ante este problema, y que requieren de orientación del maestro mediante cuestionamiento de sus decisiones, son: considerar el lapso de tiempo a emplear como de doce horas, confundir la extracción de una cuarta parte del tiempo transcurrido como equivalente a la cuarta parte del día o de una hora y considerar el tiempo que falta para la medianoche siguiente, con base en un esquema de la carátula del reloj, como el trayecto de las manecillas hacia el número doce. Al tratar de resolver este problema algunos alumnos procedieron mediante dibujarla carátula de un reloj y tomar como la cuarta parte solicitada los primeros 15minutos (trayecto de las doce a las tres) para luego considerar la mitad del tiempo faltante para la medianoche como 12/2 = 6, y sumando, finalmente, 3 + 6 para concluir que la respuesta es 9 (véase diagrama).

El papel del profesor será, sin asumir nunca que la respuesta es errónea ni decirlo así, cuestionar al alumno sobre las consecuencias de su respuesta o razonamiento y sobre datos que no ha considerado al resolver el problema, por ejemplo: a) Cómo puedes saber si son las nueve de la noche o de la mañana. b) Al dar una vuelta al reloj estás considerando doce horas solamente y no 24 que tiene el día. c) Al sacar como cuarta parte 15 minutos estás solo considerando una hora y no un día (o al obtener las tres como la cuarta parte estás considerando solamente doce horas de un día). d) Cuál es la cuarta parte de un día. Estos cuestionamientos enfocan la atención del alumno hacia la lectura nuevamente de lo que el problema establece y la revisión del conocimiento y experiencia que está utilizando, la idea que los anima no es ahorrarle camino de reflexión al alumno sino hacerle dudar de su razonamiento y buscar criterios para que pueda demostrarse a sí mismo que éste es correcto, ya que eso es lo que debemos entender por pensar críticamente. Por otro lado, dado que el problema solicita del alumno saber qué es una cuarta parte y una mitad, y cómo obtenerlas, algunos alumnos concluyen que se trata de un problema matemático y buscan algoritmos que aplicar (generalmente “regla de tres” o ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita). Otros alumnos “descubren” una tautología (razonamiento circular) en el planteamiento del problema, ya que para obtener la hora deben sacar la cuarta parte de la hora que buscan, es decir, requieren saber de antemano la hora 88

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

para poder buscarla; y concluyen que se trata de un problema capcioso o sin solución. Estos últimos

alumnos no llegan a comprender que el planteamiento, en apariencia circular,

contiene el criterio para saber si la respuesta encontrada es correcta. En este caso algunos alumnos trataron de poner en símbolos matemáticos el planteamiento del problema, razonando del siguiente modo: “Un día tiene 24 horas, por lo que la hora buscada (igual a x) más lo que falta para la medianoche (igual a 24 horas menos x) dará el día completo (igual a 24 horas): x + (24 – x) = 24” Tratando luego de resolver esa igualdad pero llegando a la tautología de que 24 =24, ya que las x se eliminan por ser de signos contrarios. En este caso el papel del profesor es hacerle notar al alumno que en ningún momento está considerando las operaciones de obtener una cuarta parte y la mitad de ciertas cantidades que el problema pide, y que no necesariamente su razonamiento va por mal camino. Luego de estas indicaciones, algunos alumnos buscaron “traducir” uno a uno el planteamiento del problema a símbolos matemáticos, iniciando por formular el problema así: ¼ de la hora actual (que desconozco) más ½ del número de horas que faltan para que sea medianoche (igual a 24 horas menos la hora que desconozco) será igual a la hora buscada (que será la misma que desconozco). Y “traduciéndolo” a:¼ x + ½ (24 – x) = x Aquí la ecuación incorpora las cantidades planteadas en el problema y refleja la “circularidad” respecto a la hora buscada como incógnita y como dato a despejar. El resto es aplicación del algoritmo para resolver estas ecuaciones, por lo que vemos una combinación de heurística para definir la igualdad más algoritmo para resolverla una vez definida. En otros casos al tratar de incluir la hora como incógnita algunos alumnos definieron dos variables (x, y) complicando la ecuación: ¼ x + ½ (24 – x) = y. Este problema (y una gran mayoría) no necesariamente se resuelve mediante conocimientos escolares, sino que se puede proceder a partir del enunciado mediante tanteos guiados por la meta. Esta vía puede resultar muy compleja ya que hay que considerar todas las posibilidades de la igualdad que expresa el enunciado, pero con las hojas de cálculo computarizadas actuales el problema se reduce a poner en una columna las horas y en la siguiente la relación definida por la hora) + la mitad de 24 horas – la hora que es. El método por tanteo guiado por la meta requiere de esta clase de criterios y, además, es un método hipotético deductivo de “qué tal si…” o de “si…, entonces…”, ya que se necesita “suponer” una solución y probarla contra el criterio. Así, podemos suponer que son las 8 o las 3 o la una… y ver que pasa con el criterio, esto es:

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

 Si son las 8 la cuarta parte de 8 es 2 (8 / 4 = 2),  más la mitad de 24 menos 8 (24 – 8 = 16 entre 2 = 8),  entonces serán las 10 (2 + 8 = 10) Pero si son las 8 no pueden ser las 10, por lo tanto: No son las 8. Y procediendo de esta forma se probarían las otras horas, una tras otra: Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Resultado 11.75 11.50 11.25 11.00 10.75 10.50 10.25 10.00 9.75 9.50 9.25 9.00

Hora 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Resultado 8.75 8.50 8.25 8.00 7.75 7.50 7.25 7.00 6.75 6.50 6.25 6.00

En esta tabla vemos que hay dos casos en que el valor de las dos columnas se aproxima (ya que buscamos que la hora supuesta coincida con el resultado), si son las 9 o las 10, pero al no obtener el valor exacto pensamos que la hora no es exacta sino que tiene una determinada cantidad de minutos. Este resultado se hace evidente mediante una gráfica.

Conociendo el procedimiento lo que hacemos ahora es buscar dentro del rango 9-10 los valores para los decimales: Hora 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0

Resultado 9.75 9.73 9.70 9.68 9.65 9.63 9.60 9.58 9.55 9.53 9.50

Y obtenemos que los valores que coinciden son 9.6 para ambos casos, que corresponde a la hora buscada (el mismo resultado se obtiene de despejar la incógnita algebraicamente). Sin embargo hemos estado trabajando con valores numéricos y no con valores horarios, es decir ¿a qué equivale que sean las 9.6? La respuesta es: a 9 más 6 décimas de hora igual a las 9:36. La solución de problemas no se queda en el mero ejercicio de resolver el problema, pero la riqueza que encierra dependerá de la creatividad del docente y de su conocimiento sobre sus propios procesos y los de sus alumnos. 90

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Reflexionemos la importancia de seguir un proceso en la resolución de problemas: ¿Cómo influye en el desarrollo de capacidades el uso de problemas contextualizados? ¿Cómo puede un docente realizar la selección adecuada de problemas contextualizados. Describe cómo aplicarías los enfoques del área y como articularias las diferentes áreas en tu programación anual, de unidad y sesiones de aprendizaje. Para desarrollar capacidades matemáticas en tu labor docente, de manera individual, y luego comparte con tus colegas.

SESIÓN 9

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS A TEMAS LOCALES Y REALES UTILIZANDO PROPIEDADES DE LAS RAZONES, PORCENTAJE Y REGLA DE TRES. INDICADORES DE LOGRO

Diseña estrategias para resolver problemas aplicando propiedades de razones y porcentajes

Recordando mi práctica docente  ¿Qué estrategias utilizan mis estudiantes para resolver problemas del contexto?  ¿Qué importante es aplicar estrategias para resolver situaciones problemáticas de mi entorno?

El punto de vista que considera la comprensión en términos de competencia resalta que hablar de competencia es hablar de uso competente en situaciones reales, con lo cual pone al contexto en primer plano de la reflexión. A su vez, aunque en menor medida, el punto de vista que considera la comprensión en términos de procesos mentales también da importancia al contexto La importancia que tiene contextualizar el conocimiento matemático es hoy en día ampliamente asumida, ya que se considera que el ((contexto)) puede ser la clave para relacionar lo que los psicólogos han aprendido sobre el modo en que los humanos razonan, 91

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

sienten, recuerdan, imaginan y deciden con lo que, por su parte, han aprendido los antropólogos sobre la manera en que el significado es construido, aprendido, activado y transformado. En palabras del antropólogo Geertz, este intento de relación. Supone el abandono de la idea de que el cerebro del Homo sapiens es capaz de funcionar autónomamente, que puede operar con efectividad, o que puede operar sin más, como un sistema conducido endógenamente y que funciona con independencia del contexto. Para las situaciones extra matemáticas que contextualizan un objeto matemático se han propuesto diferentes nombres y clasificaciones. Problemas contextualizados son sólo algunos de los diferentes nombres que se da a las tareas escolares que simulan situaciones del mundo real.

1. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE El razonamiento proporcional se considera como uno de los componentes importante del pensamiento formal adquirido en la adolescencia. Las nociones de comparación y covariación están en la base subyacente al razonamiento proporcional, siendo a su vez los soportes conceptuales de la razón y la proporción. El desarrollo deficiente de estas estructuras conceptuales en los primeros niveles de la adolescencia obstaculiza la comprensión y el pensamiento cuantitativo en una variedad de disciplina que van desde el álgebra, la geometría y algunos aspectos de la biología, la física y la química. Diversas investigaciones han mostrado, sin embargo, que la adquisición de las destrezas de razonamiento proporcional es insatisfactoria en la población en general. Estas destrezas se desarrollan más lentamente de lo que se había supuesto; incluso hay evidencias de que una gran parte de las personas nunca las adquieren en absoluto. Estas cuestiones no se enseñan bien en las escuelas, que con frecuencia sólo estimulan la manipulación de símbolos y fórmulas carentes de significado 1.1. Desarrollo del razonamiento proporcional El esquema de proporción es considerado por Piaget como un componentes básico del razonamiento formal, que será necesario, entre otros, para adquirir conceptos como el de probabilidad y correlación. Sin embargo, esto no quiere decir que los niños no tengan una percepción progresiva de las proporciones. El desarrollo de esta idea, también sigue las etapas típicas de la teoría de Piaget, quien estudió cómo los niños la usan cuando tienen que estimar la probabilidad de un suceso. Una tarea típica es la siguiente: Tarea 1. En la caja A se han metido 2 fichas azules y 1 ficha roja. En la caja B se han metido 3 fichas azules y 1 ficha roja. (Mira el dibujo) 92

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Con los ojos vendados tienes que sacar una ficha roja para ganar un premio (primero movemos bien la caja para que las fichas se mezclen). ¿Cuál caja elegirías para hacer la extracción? Señala la respuesta correcta: (A) La caja A da mayores posibilidades de obtener una ficha roja A

(B) La caja B da mayores posibilidades de obtener una ficha roja (C) Las dos cajas dan la misma posibilidad (D) No lo se

La comparación de probabilidades implica una comparación de fracciones, pero se añade la dificultad de que también se requieren las ideas de azar, casos favorables y posibles. Los autores que han trabajado el tema sugieren que una tarea de comparación de probabilidades es siempre más difícil que otra tarea de comparación de fracciones en un contexto determinista. Un ejemplo típico de tarea proporcional en contexto determinista es la siguiente: Tarea 2. Mi madre ha preparado dos jarras de limonada. En la jarra A ha mezclado dos vasos de agua y un vaso de zumo de limón. En la jarra B ha mezclado tres vasos de agua y uno de zumo de limón. ¿En cuál de las dos jarras el sabor a limón es más intenso? Ejercicios: 1. ¿Crees que puedes variar la dificultad de la tarea 1 para los niños, cambiando el número de bolas rojas y azules en cada caja? Pon un ejemplo de forma que la tarea sea más difícil. 2. ¿En qué se parecen las tareas 1 y 2? ¿En qué se diferencian? ¿Puedes cambiar el número de vasos de agua y limón en las jarras para que la tarea resulte más fácil o más difícil a los niños? ¿Qué tipos de razonamientos seguirán los estudiantes para resolver la tarea?

En estas tareas hay cuatro datos, dos pares de datos para cada una de las jarras o cajas que queremos comparar: a = número de vasos de limón en la Jarra A en la tarea 2 (o número de casos favorables en la urna A en la tarea 1). b = número de vasos de agua en la Jarra A en la tarea 2 (o número de casos desfavorables en la urna A en la tarea 1). c = número de vasos de limón en la Jarra B en la tarea 2 (o número de casos favorables en la urna B en la tarea 1). d = número de vasos de agua en la Jarra B en la tarea 2 (o número de casos desfavorables en la urna B en la tarea 1). 93

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

La dificultad de estas tareas depende de los valores relativos de estos cuatro datos 2. LA PROPORCIONALIDAD COMO OBJETO DE ENSEÑANZA DEL DOCENTE Tal como se compara dos magnitudes, resultando una razón, también se puede comparar dos razones, de donde resulta una proporción. D'Alambert

¿Qué es una proporción? En una proporción intervienen dos razones. Si ambas razones arrojan un mismo valor entonces esa igualdad se llama proporción. Es decir, una proporción es una igualdad entre dos razones. ¿Cómo se escriben y leen las proporciones? Consideremos las razones 12 m : 4 m y 15 m : 5 m. Ambas son iguales a 3. Entonces en este caso podemos escribir la proporción

o también 12:4=15:5

La proporción anterior se lee " 12m es a 4m como 15m es a 5m”. En general, si las razones a : b y c : d forman una proporción se expresa diciendo que " a es a b como c es a d ". Cabe recordar al respecto que a veces los profesores de matemática presentan discordancias entre su registro escrito y su expresión oral. En el fondo el alumno estaría recibiendo mensajes contradictorios que podrían confundirlo, obstaculizando su aprendizaje de las proporciones. Observemos que en una proporción las magnitudes que se comparan en cada razón pueden ser de una misma naturaleza -en el ejemplo anterior la magnitud es longitud- o pueden provenir de dos dominios diferentes, tal como en el siguiente caso, en el que se comparan magnitudes de longitud y de tiempo He aquí otra fuente de dificultades para el aprendizaje de las proporciones. Es esperable que el pasar de una trabajo con magnitudes de un mismo dominio a otro con magnitudes de dos dominios, provoque un conflicto cognitivo en el alumno, particularmente si se omiten en forma prematura las unidades que dan sentido a las razones comparadas. 2.1. Magnitudes proporcionales Consideremos el siguiente problema Ana y Julia estuvieron corriendo igual de rápidas alrededor de una pista. Ana empezó primero. Cuando ella llevaba corridas 9 vueltas, Julia había recorrido 3 vueltas. Cuando Julia completó 15 vueltas, ¿cuántas vueltas había recorrido Ana? Cramer, Post y Currier (1993) indican, en relación con este problema, que 32 de 33 profesores de educación primaria en prácticas, en una clase de métodos matemáticos, resolvieron este problema mediante una proporción

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

9/3 = x/15; 3x = 135; x=45 Mientras estos estudiantes utilizaban el algoritmo tradicional para resolver la proporción (regla de tres), no se daban cuenta de que este problema particular no representa una situación proporcional. El algoritmo usado no era una estrategia apropiada para el problema. En cambio, en un segundo problema 3 dólares USA han sido cambiados por 2 libras británicas. ¿Cuántas libras equivaldrán a 21 dólares USA? que expresa una situación de proporcionalidad, todos los estudiantes lo resolvieron correctamente usando el tradicional algoritmo de proporcionalidad. Pero ninguno explicó por qué este problema reflejaba una situación de proporcionalidad mientras que el anterior no. Superficialmente, los dos problemas son similares; cada uno contiene tres elementos de información con un número desconocido. La diferencia profunda entre las dos tareas da luz sobre lo que es especial en situaciones de proporcionalidad. En el problema de correr vueltas, la relación entre el número de vueltas que Ana corrió y el número de vueltas que Julia corrió puede ser expresada mediante adición o substracción: vueltas de Ana = vueltas de Julia + 6 vueltas de Julia = vueltas de Ana – 6 En el problema de dinero, la relación entre dólares USA y libras británicas puede ser expresada mediante multiplicación: libras británicas = 2/3 x dólares USA dólares USA = 3/2 x libras británicas El componente crítico de las situaciones de proporcionalidad es la relación multiplicativa que existe entre las cantidades que representan la situación. El problema de correr vueltas no es una situación de proporcionalidad, mientras que el problema de intercambio de dinero sí lo es. Dos magnitudes son (directamente) proporcionales cuando los valores de una magnitud son iguales a los de la otra magnitud, multiplicados por un mismo número k. A ese número k se le llama constante de proporcionalidad.

Por

ejemplo,

deportista

recorre

Tiempo transcurrido

Espacio recorrido

Km.

cada

hora.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Los valores del Espacio recorrido son iguales a los del Tiempo transcurrido, multiplicados por 10, que es la constante de proporcionalidad. Espacio = 10*Tiempo Desde un punto de vista algebraico, la proporcionalidad aparece ligada a la función afín. En lugar de valores de magnitud, se consideran variables, conjuntos de números abstractos (el conjunto de los números reales). La función afín relaciona la variable dependiente y con la variable independiente x, mediante la expresión: y = k*x La gráfica de una función afín es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas:

Existen variadas situaciones de la vida cotidiana donde son aplicables las relaciones de proporcionalidad. Un contexto familiar es el de recetas de cocina. La relación existente entre el número de personas para las que se va a cocinar y el peso de los alimentos que aparecen en la receta. Así, en el problema: Vamos a hacer una tarta de chocolate para 4 personas. Necesitamos: -

200 gramos harina,

10 gramos de levadura,

0.2 litros de leche,

0.2 litros de nata,

200 gramos de chocolate y

0.1 litro de aceite. Si vienen más personas, la tarta debe ser más grande. Completar la tabla:

Ingredientes

4 personas

200 g harina

200

5 personas

6 personas

7 personas

300

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

10 g levadura

0.2 l leche

0,2

0,3

0.2 l nata

0,2

0,3

200 g chocolate

200

300

0.1 l aceite

0,1

0,15

También es familiar el contexto de las relaciones entre objetos y precio. Por ejemplo: Pedro ha pagado 20 euros por 2 entradas para un partido del Córdoba C.F. ¿Cuánto le cobrarán por 7 entradas para todos sus amigos? Nº de entradas

Precio

También es habitual el contexto de las relaciones entre existente número de objetos y peso.

Nº monedas

Peso

35 g

100 g

Un contexto de proporcionalidad importante es el relativo a las figuras semejantes. Por ejemplo, las figuras que resultan o reducir de ampliar mediante fotocopias o fotografías:

5 cm

15 cm 4 cm

16 cm

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Un subcontexto particularmente interesante es el de relaciones de semejanza existente en planos y mapas. En este contexto, la relación de proporcionalidad entre las longitudes de las figuras en el plano o mapa y sus longitudes en la realidad viene expresada por la escala, que es una forma específica de indicar la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, al decir que la escala es 1:10000, estamos diciendo que la constante de proporcionalidad es 10000, de manera que 1 centímetro de longitud en el plano o mapa representa 10000 centímetros en la realidad, es decir 100 metros. El tipo de relación de proporcionalidad hasta ahora considerada se llama directa. También se puede considerar la relación de proporcionalidad inversa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando los valores de una magnitud son directamente proporcionales a los inversos de otra magnitud. y = k . 1/x O, también, y=k/x E, incluso, x.y=k Es el caso, por ejemplo de las relaciones entre las longitudes de los lados de rectángulos de igual área. Supongamos que el área es 36, número que coincidirá con el producto de las longitudes de los lados. Los lados serán, por ejemplo

Base 2 3 4 6

Altura 18 12 9 6

Las propiedades de la relación de proporcionalidad inversa se pueden obtener con facilidad, después de estudiar las propiedades de la relación de proporcionalidad directa. En lo que sigue nos vamos a limitar a la proporcionalidad directa. Tampoco consideraremos la proporcionalidad múltiple o compuesta, que puede reducirse al estudio de la proporcionalidad directa e inversa. 2.2 Problemas de proporcionalidad. Aplicaciones de la proporcionalidad en la vida cotidiana De acuerdo con Baxter y Junker (2001), pueden considerarse básicamente dos tipos básicamente diferentes de problemas de proporcionalidad (directa): problemas de valor desconocido y problemas de comparación cuantitativa.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En los problemas de valor desconocido, se conocen tres valores numéricos y se trata de calcular un cuarto valor desconocido (Elisa y Raquel conducen igual de rápido por una carretera. Elisa tardo 6 minutos en recorrer 4 Km. ¿Cuántos tardará Raquel en recorrer 6 Km.?). En los problemas de comparación, se dan dos razones y se pide su comparación (Raquel recorre con su coche cuatro Km. en seis minutos, a velocidad constante. Elisa corre nueve Km. en once minutos. ¿Quién va más deprisa? Vergnaud (1983) ha usado un modelo basado en el concepto de espacio de medida que ayuda a clarificar la naturaleza de la relación multiplicativa que existe en los problemas de valor desconocido. Un espacio de medida puede ser entendido en términos de magnitudes físicas tales como longitud, peso o dinero. Una proporción puede ser vista como la relación existente entre las cantidades correspondientes de dos espacios de medidas. La notación de Vergnaud es la siguiente: M1

M1 y M2 representan dos espacios de medida genéricos y a, b y c son las cantidades que forman las razones en una proporción. Por ejemplo, recordemos la situación de intercambio de dinero del apartado 1: si 3 dólares USA son cambiados por 2 libras británicas, entonces con esta razón 21 dólares USA deben ser cambiados por 14 libras británicas. Trasladando a la notación del espacio de medidas, Dólares

Libras

Vergnaud ha identificado cuatro subclases de los problemas de valor desconocido: multiplicación, división (1), división (2), y caso general de regla de tres. El esquema siguiente ilustra la estructura de la multiplicación M1

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Ejemplo: Pedro tiene 15 soles para gastar y le gustaría comprar coches de miniatura. Cada coche cuesta 3 soles ¿Cuántos coches puede comprar? El esquema siguiente ilustra la estructura del caso general de la regla de tres M1

Ejemplo: El consumo de mi coche es de 7,5 litros a los 100 Km. ¿Cuánta gasolina usaré para un viaje de vacaciones de 6580 Km? 2.3. Propiedades de la relación de proporcionalidad Consideremos la tabla de valores de uno de los ejemplos anteriores:

Pueden

Tiempo transcurrido

Espacio recorrido

comprobarse

ella

las

siguientes

propiedades

las

relaciones

proporcionalidad: - La constante de proporcionalidad es el valor de la variable dependiente correspondiente al valor 1 de la variable independiente. - Si los valores de la variable independiente se duplican, triplican, cuadriplican, etc., los correspondientes valores de la variable dependiente también se duplican, triplican, cuadriplican, etc. - Si los valores de la variable independiente se reducen a la mitad, tercera parte, cuarta parte, etc., los correspondientes valores de la variable dependiente también se reducen a la mitad, tercera parte, cuarta parte, etc. - La razón constituida por dos valores de una variable es igual a la razón constituida por los dos valores correspondientes de la otra variable : Ésta última propiedad expresa el significado tradicional de la proporcionalidad. Una proporción es la igualdad de dos razones (una razón es un cociente indicado). En una tradición que se remonta a la matemática de Euclides, en la Grecia antigua, los valores correspondientes a dos magnitudes proporcionales dan lugar a proporciones, siendo iguales

100

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

las correspondientes razones. Dos magnitudes son proporcionales si sus correspondientes valores aparecen como proporciones. Estas propiedades se pueden demostrar matemáticamente. Si partimos de la relación y = k. x - La primera propiedad se demuestra sin más que hacer x = 1 - Tomemos dos pares de valores (x1, y1) y (x2, y2) de la función. Se tendrá y2 = k. x2 ; y1 = k. x1 Si x2 es doble que x1: x2 = 2. x1 De donde resultará y2 = k . x2 = k . (2 . x1) = 2 . (k . x1) = 2 . y1 Análogamente si x2 es triple, o cuádruplo, etc., que x1. - Si x2 es la mitad, o la tercera parte, o la cuarta parte, etc., de x1, la demostración es similar a la anterior - Para la demostración de la cuarta propiedad, partamos de que y2 = k . x2 ; y1 = k . x1 Se tendrá k = y2/ x2 ; k = y1/ x1 Y, en definitiva y2/ x2 = y1/ x1 2.4. Estrategias de cálculo usadas por los estudiantes en los problemas de proporcionalidad Cramer y Post (1993) y Cramer, Post, y Currier, S. (1993), especifican cuatro tipos de estrategias correctas usadas por los estudiantes en problemas de proporcionalidad: razón unidad, factor de cambio, fracción, y producto cruzado. Para ejemplificar estas estrategias, consideremos el siguiente ejemplo: Ana y Cati han comprado cada una la misma clase de chicle en la misma tienda. Ana compró dos piezas de chicle por seis céntimos. Si Cati compró ocho piezas de chicle, cuánto pagó. Razón unidad. Es una estrategia de “¿Cuántos por uno?”. Esta estrategia implica (a) calcular el precio de una pieza de chicle y entonces (b) calcular el precio de las ocho piezas, multiplicando el precio unidad por las ocho piezas compradas, para generar la respuesta deseada. Para este problema, cada pieza cuesta tres céntimos, de manera que las ocho piezas costarán 24 céntimos, pues 8 piezas x 3 céntimos/pieza = 24 céntimos. Factor de cambio. Es una estrategia de “¿Cuántas veces? Esta estrategia implica (a) comparar el número de piezas de chicle que cada persona compró (b) determinar el factor de

101

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

cambio el cual indica cuántas veces una persona compró más piezas de chicle que otra y (c) multiplicar el factor veces por el precio que la persona pagó. Para este problema, Cati compró cuatro veces más chicle que Ana, de forma que Cati debe pagar cuatro veces más, o sea 4 x 6 = 24 céntimo. Fracción (Nosotros proponemos llamar a esta estrategia “equivalencia de fracciones”). Esta estrategia implica considerar las razones como fracciones y tratar una proporción como una equivalencia de fracciones. La tarea es hallar una fracción equivalente a una dada. La razón con valor dado se multiplica por una fracción de la forma n/n igual a uno, de manera que la razón producto tenga un término igual a la respuesta deseada. Para este problema, la proporción es 2/6 = 8/x. Se busca una razón (fracción) que tiene un numerador de ocho piezas y es equivalente a 2 piezas/6 céntimos. La fracción (razón) 2 piezas/6 céntimos se multiplica así por 4/4 para producir 8 piezas/24 céntimos. La respuesta deseada es entonces 24 céntimos, puesto que el numerador es ocho piezas. Producto cruzado (Regla de tres). Esta estrategia implica la formulación de una proporción determinada por la igualdad de dos razones de piezas/céntimos. Se calculan los productos cruzados y se calcula la incógnita en la ecuación resultante. En otras palabras, si d/e = f/x, entonces d.x = e.f, ó también, x = e.f/d, o si d/e = x/f, entonces x = df/e. Para este problema, la proporción puede ser expresada como 2 piezas/6 céntimos = 8 piezas/x céntimos. Por tanto x = 8 piezas . 6 céntimos / 2 piezas = 24 céntimos. Numerosos estudios han mostrado que los niños y muchos adultos tienen una gran dificultad con conceptos básicos de fracción, razón y proporción Algunos estudios (Noelting, 1980; Karplus y col., 1983) indican que muchos niños usan un defectuoso razonamiento cualitativo, a la vez incorrecto e inapropiado. Algunos niños usan comparaciones aditivas cuando se requieren comparaciones multiplicativas (Hart, 1981). Muchos niños no ven relaciones de causa y efecto entre componentes de ecuaciones como a/b = c/d. Como consecuencia de su estudio sobre las estrategias de razonamiento proporcional utilizadas por los estudiantes, Heller, Post y Behr, M. (199?). han añadido tres tipos de estrategias poco operativas o incorrectas que también los estudiantes usan en los problemas de proporcionalidad: clase de equivalencia, generación de razones y aditiva. Clase de equivalencia. Esta estrategia implica determinar la razón dada como una fracción. El estudiante genera entonces una clase de fracciones equivalentes hasta que la deseada fracción es identificada. Para este problema, la razón dada es 2 piezas/6 céntimos. “Mi clase de fracciones equivalentes es 2/6 = 4/12 = 6/8= 8/24. La razón deseada es entonces 8 piezas/24 céntimos, que corresponde a la fracción 8/24. La respuesta es por tanto 24. Generación de razones. Esta estrategia implica (a) empezar con la razón dada en el problema y generar razones equivalentes hasta que la razón deseada es generada. Una

102

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

manera de generar razones equivalentes es doblando los componentes de la razón previa. Para este problema, la razón dada es dos piezas por seis céntimos. De esta razón resulta (a) cuatro piezas por veinte céntimos y (b) ocho piezas por veinticuatro céntimos. Por tanto la respuesta es 24 céntimos, puesto que Cati compró ocho piezas de chicle. Aditiva. Esta inadecuada estrategia se orienta a determinar la cantidad que hay añadir a los valores de una razón dada para originar una razón semejante. En el problema en cuestión, como en relación a las piezas hay que sumar 6 para pasar del valor 2 de Ana al valor 8 de Cati, se considera que, para calcular el precio que pagó Cati, hay que sumar 6 a los 6 céntimos que pagó Ana. Así Cati pagó 12 céntimos. 2.5. Esquemas de razonamiento proporcional Las estrategias, señaladas en el apartado anterior, que usan los estudiantes en los problemas de proporcionalidad sirven para estudiar los esquemas de razonamiento proporcional de los estudiantes. Por esquemas de razonamiento entendemos modelos mentales, que incluyen conceptos y relaciones entre conceptos, por una parte, y estrategias de resolución de problemas, por otra, que los individuos aplican en situaciones de resolución de problemas. Los esquemas de razonamiento son el resultado de experiencias pasadas y sirven para afrontar experiencias nuevas. Cuando un individuo intenta resolver un problema nuevo, busca un esquema de razonamiento que pueda ser apropiado a la situación planteada. Es decir, busca conceptos que le ayuden a interpretar la nueva situación y estrategias que le ayuden a resolver el problema. Hart

(1981)

explicita

cuatro

esquemas

razonamiento

proporcional.

fundamentación de esos esquemas de razonamiento apuntados por Hart (1981) responde a criterios estadísticos. Las estrategias de resolución de problemas de proporcionalidad empleadas por una amplísima muestra de estudiantes ingleses entre 12 y 16 años fueron clasificadas mediante criterios estadísticos, dando lugar así a tipos específicos de razonamientos, a esquemas de razonamiento proporcional. Nosotros entendemos que ese criterio no es del todo correcto, pues dos problemas pueden tener índices de dificultad similares no sólo porque impliquen esquemas de razonamientos similares, sino por razones diversas (dificultad del enunciado, número y complejidad de las operaciones que implican, familiaridad con el contexto, ...). Haciendo un estudio detallado del test de Hart (1981), y apoyándonos en su propuesta, nosotros planteamos también cuatro esquemas de proporcionalidad,

basados en los

conceptos y estrategias que comportan:

103

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR



Esquemas aditivos. Se apoyan en la familiaridad con la estructura aditiva del conjunto de los números naturales. Las razones se interpretan como relaciones entre números naturales. Se considera que para conseguir una razón semejante, se deben sumar un mismo número natural a los dos miembros de una razón dada. Es decir, se usan estrategias aditivas de razonamiento proporcional.



Esquemas multiplicativos. Se apoyan en la familiaridad con la estructura multiplicativa del conjunto de los números naturales. Las razones se interpretan como relaciones entre números naturales. Para buscar una razón semejante a una dada se acude a multiplicar o dividir por un mismo número natural los dos miembros de la razón dada. Es decir, se acude a estrategias de generación de razones, factor de cambio o de razón unidad.



Esquemas racionales informales. Se apoyan en un conocimiento informal de los números racionales. Las razones se interpretan como relaciones entre números racionales. Como estrategias se utilizan la de razón unidad, operando con números racionales,

o las de igualdad de fracciones y producto cruzado, utilizadas de forma

mecánica, sin una comprensión profunda de su sentido. 

Esquemas racionales formales. Se apoyan en un conocimiento formal de los números racionales. Las razones se interpretan como números racionales. Se utilizan, comprendiendo bien su significado, estrategias tales como las de igualdad de fracciones y producto cruzado. Las estrategias aparecen fundamentadas en las propiedades de la igualdad de fracciones.

2.6. Recursos didácticos para la enseñanza de la proporcionalidad. Con las regletas Cuisanaire, los bloques multibase o el geoplano se puede iniciar el estudio de la proporcionalidad, reconstruyendo una figura dada a una escala predeterminada. Un buen recurso para enseñar la proporcionalidad lo constituyen las representaciones a escala de objetos de la realidad. Por ejemplo, el dibujo a escala de objetos presentados como muestra. O la construcción de maquetas de objetos sencillos presentados como muestra. También el manejo de planos y mapas, jugando con los cambios de escala. Las relaciones de proporcionalidad geométrica son un elemento natural de aproximación al estudio aritmético de la proporcionalidad. Por ejemplo, el estudio de las relaciones numéricas entre triángulos de la misma forma. Entre la longitud y el radio en la circunferencia (ejemplificada mediante la relación entre las vueltas que da una rueda de bicicleta para recorrer una distancia y el radio de la rueda). Entre ángulo central y arco correspondiente.

. Desde tu contexto plantea 5 problemas utilizando razones, proporciones y regla de tres; proponiendo estrategias que te han servido para mejorar el logro de la capacidad de resolución de problemas

104

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

TERCERA UNIDAD: TEORIA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES Y RECURSOS DIDACTICOS

Esta unidad consta de ocho sesiones de aprendizaje distribuidas en los conocimientos: Teorías de los campos conceptuales de Vergnaud, Aprendizaje significativo, resolución de problemas y representaciones mentales, Recursos didácticos para el aprendizaje de los sistemas numéricos, Recursos didácticos propuestos por el MED y alternativos para la enseñanza de la matemática y Elaboración y manipulación de materiales educativos para el área de matemática utilizando recursos y elementos de la localidad. Todos ellos se enfocan en los marcos conceptuales para la resolución de problemas a partir de los recursos didácticos creados a partir de elementos de su entorno y propuestos por el MED.

Teorías de los campos conceptuales de Vergnaud.

Recursos didácticos para el aprendizaje de los sistemas numéricos

Estrategias para desarrollar situaciones problemáticas de números y operaciones por niveles de demanda cognitiva

TEORIA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES Y RECURSOS DIDACTICOS

Recursos didácticos propuestos por el MED y alternativos para la enseñanza de la matemática

Simuladores virtuales para la solución de situaciones problemáticas

Elaboración y manipulación de materiales educativos para el área de matemática utilizando recursos y elementos de la localidad.

Principles and Standards for School Mathematics NCTM, Competencias en el VI y VII ciclo de la EBR, Análisis, convergencias y divergencias

PISA. Marco teórico. Análisis de resultados de las últimas evaluaciones (en función a los estándares que se propone) 105

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN 10

TEORÍAS DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES DE VERGNAUD. INDICADORES DE LOGRO

Analiza la teoría de campos conceptuales de Vergnaud

Recordando mi práctica docente 123456-

¿Qué principios teóricos del aprendizaje utilizo en el desarrollo de mi práctica docente? ¿Cuál es la visión general que poseo acerca de la teoría acerca de la teoría conceptual? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el alumno logre el dominio de un campo conceptual? ¿Con cuales campos conceptuales trabajó? Solo en matemática? ¿Cuáles son los argumentos que llevan al autor al concepto de campo conceptual? ¿Qué relación encuentras entre concepciones previas de los alumnos y teoremas en acción o conceptos en acción?

De acuerdo con la teoría del Aprendizaje Significativo de Ausubel, quien aprende relaciona la información nueva con los conocimientos que ya posee. De este modo, el aprendizaje significativo se produce cuando el estudiante puede relacionar la información que recibe con un concepto relevante que ya posee. Por otra parte, el aprendizaje se logra solo si el alumno se interesa por aprender lo que se le está proponiendo. El aprendizaje significativo implica que quien aprende guarda la información en la memoria de largo plazo y puede traerla a la memoria de trabajo en el momento que lo requiera. Esto le facilita la adquisición de nuevos conocimientos relacionados con los anteriormente adquiridos de manera significativa. Por otra parte, quien aprende debe jugar un papel activo, en la adquisición de los conocimientos, para que ellos se produzcan de manera significativa. (Maldonado)

Rodríguez (2004), establece una coincidencia entre la teoría del aprendizaje significativo y la teoría de los campos conceptuales puesto que ambas consideran que la significatividad del aprendizaje es un proceso progresivo que requiere tiempo. Ambas hacen patente la necesidad de realizar el análisis conceptual del contenido objeto de estudio. Se trata de teorías psicológicas (una del aprendizaje y otra de la conceptualización de lo real) cuyos 106

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

objetos de análisis, conceptos-clave, procedimientos de validación y ampliación son distintos, pero que tienen muchos aspectos en común. Concluye que la teoría de los campos conceptuales aporta un nuevo abordaje del aprendizaje significativo, sobre todo en lo que se refiere a los conceptos. Ante lo expuesto anteriormente ¿Qué ideas básicas tienes acerca de la teoría del aprendizaje significativo y la teoría del procesamiento de la información? ¿Cómo está organizado el conocimiento para Vergnaud? ¿Durante mis procesos de enseñanza aplique la teoría de los campos conceptuales? ¿Qué son campos conceptuales?

LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES DE VERGNAUD Una situación es una combinación de tareas y problemas, y a través de la acción y dominio progresivo de las situaciones, una persona adquiere los campos conceptuales que modelan su conocimiento (Vergnaud, 1990). El sentido que se le atribuye a una situación es el resultado de la interacción entre ésta y la representación que la persona hace de la misma. El vínculo entre el desempeño y la representación, está descrito por el concepto de esquema introducido por Piaget (Vergnaud, 1990; 1996). Uno de los elementos principales que determina la organización de un esquema, son los invariantes operatorios (o conocimientos – en-acción) que constituyen la base conceptual implícita o explícita, de la cual se obtiene información relevante para inferir reglas de acción apropiadas según el propósito por alcanzar. Se distinguen dos tipos de invariantes operatorios: los conceptos-en-acción y teoremas-en-acción. Al mismo tiempo, es necesario operatorios: los conceptos-en-acción y teoremas-en-acción. Al mismo tiempo, es necesario recordar que la actividad humana está mediatizada por la interacción social y por el uso de signos e instrumentos (Vygotsky, 1995). En este sentido, el lenguaje es la herramienta que permite apartarse de referentes concretos y por ello, facilita el desarrollo de los procesos mentales superiores que dependen de la descontextualización; por tanto, el aprendizaje de conceptos científicos se facilita a través del proceso de mediación semiótica (Riviere, 1994). Con el propósito de otorgar sentido y coherencia al contenido se presentan y describen a continuación las principales características de la teoría de campos conceptuales. La teoría de campos conceptuales ha sido desarrollada por Gérard Vergnaud, quién al igual que Piaget, considera al conocimiento esencialmente como un proceso de adaptación. Para este autor el problema central de la cognición es la conceptualización, y a partir de esta premisa desarrolla una teoría psicológica, que postula que el conocimiento se encuentra 107

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

organizado en campos conceptuales, de los cuales las personas se apropian a lo largo del tiempo. Un campo conceptual se define como “… un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones de pensamiento, conectadas entre sí y entrelazadas durante el proceso de adquisición…” (Vergnaud, 1982, p.40). El objetivo de esta teoría es proporcionar una estructura para la investigación sobre actividades cognitivas complejas, en especial el aprendizaje del conocimiento científico, “... se trata de una teoría psicológica del conocimiento o de la conceptualización de lo real que permite estudiar las filiaciones y rupturas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual...” (Vergnaud, 1993).

Los presupuestos fundamentales de esta teoría son: i) un concepto no se adquiere dentro de un solo tipo de situaciones; ii) una situación no se analiza con un solo concepto; iii) la construcción y apropiación de todas las propiedades de un concepto es un proceso lento que se realiza a lo largo de mucho tiempo. Esta teoría es compleja y permite abordar desde una perspectiva única el desarrollo de situaciones progresivamente dominadas, de los conceptos y propiedades necesarias para operar eficientemente en las situaciones, con las expresiones lingüísticas y símbolos que pueden representar eficazmente los conceptos y operaciones por parte de los estudiantes, en acuerdo con sus niveles cognitivos. En consecuencia, la teoría de los campos conceptuales permite analizar la relación entre los conceptos científicos en su dimensión de conocimientos explícitos y los invariantes operatorios implícitos del comportamiento de las personas en determinadas situaciones, así como profundizar en el análisis de las relaciones entre los significados y significantes de un concepto o de un campo conceptual (Vergnaud, 1993). Para una mejor comprensión de esta teoría se describen a continuación en forma sucinta los conceptos centrales de la misma.

1. SITUACIÓN Y ESQUEMA Una situación es entendida como una tarea cognitiva. Por tanto, toda situación es compleja, es una combinación de tareas y problemas, de modo que los procesos y las respuestas cognitivas de una persona, por ejemplo un estudiante, están determinadas por las situaciones que enfrenta. Luego, a través de su acción y dominio progresivo de las situaciones es como una persona adquiere los campos conceptuales que modelan su conocimiento (Vergnaud, 1990). Desde el punto de vista cognitivo, el sentido que una persona atribuye a una situación es el resultado de la interacción entre la situación y la representación que la persona hace de la 108

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

misma. Según Vergnaud, el vínculo entre el comportamiento y la representación está descrito por el concepto de esquema introducido por Piaget, el cual, define como “...una organización invariante del comportamiento para una clase de situaciones determinada...” Vergnaud (1994, p.393). La organización de un esquema se basa en cuatro clases de elementos principales: 1) Objetivos y anticipaciones; 2) Reglas de acción; 3) Invariantes operatorios y 4) Posibilidades de inferencia (Vergnaud, 1996).

Por objetivos y anticipaciones, se entiende que un esquema se dirige siempre a una clase de situaciones, en las que una persona puede descubrir un posible propósito de su actividad, sus objetivos, o bien esperar ciertos efectos o fenómenos. Las reglas de acción son la parte generadora de un esquema, y permiten generar la continuación de las acciones de transformación de lo real, de la recogida de información y del control de los resultados de la acción. Son reglas del tipo si, ..., entonces, que permiten a una persona garantizar el éxito de su actividad en un contexto que puede estar en permanente cambio. Los invariantes operatorios constituyen la base conceptual implícita o explícita, que permiten a una persona obtener la información pertinente, e inferir a partir de esta información y del propósito por alcanzar, las reglas de acción más apropiadas. Se distinguen dos categorías principales de invariantes operatorios: los conceptos-en-acción y teoremas-en-acción que se explican más adelante. Las posibilidades de inferencia son los razonamientos o posibilidades de inferencia, que contiene necesariamente un esquema para anticiparse a una situación concreta, es decir, un esquema es un instrumento de adaptación de la actividad y del comportamiento a los valores tomados por los diferentes parámetros en una situación particular.

2. CONCEPTO-EN-ACCIÓN Y TEOREMA-EN-ACCIÓN El interés central del concepto de esquema es establecer el vínculo teórico entre el comportamiento y la representación. Los invariantes operatorios son los elementos que establecen esta articulación esencial, ya que la percepción, la búsqueda y selección de la información quedan determinadas completamente por los conceptos-en-acción disponibles en la estructura cognitiva de una persona (objetos, atributos, relaciones, condiciones, circunstancias, etc.) y por los teoremas-en-acción subyacentes en su comportamiento. Para Vergnaud, “…un teorema-en-acción es una proposición considerada como verdadera sobre lo real, y un concepto-en-acción es una categoría de pensamiento considerada como pertinente” (Vergnaud, 1996, p.202). Con estos conceptos, Vergnaud se está refiriendo a un conocimiento implícito de los conceptos, que aunque formen parte de la estructura cognitiva, no lo serán del todo hasta que la persona sea capaz de explicitarlos. A este conocimiento, 109

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Vergnaud llama también en forma sucinta, conocimiento –en-acción, ya que es el conocimiento que permite la adaptación y capacidades de las personas para enfrentar nuevas situaciones.

3. CONCEPTOS Respecto de los conceptos, la teoría de campos conceptuales considera que los conceptos no deben ser definidos sólo por su estructura, sino que se requiere considerar las propiedades, y las situaciones en las cuales los conceptos son usados, como también, las representaciones simbólicas que una persona utiliza para pensar, escribir o hablar acerca de un concepto. De este modo, los conceptos están constituidos por elementos que se relacionan. Estos elementos corresponden a un conjunto de situaciones, invariantes operatorios y sus propiedades expresadas por medio de diferentes representaciones simbólicas. Estas consideraciones, llevan a definir un concepto como un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto, son el referente de un concepto; más un conjunto de invariantes operatorios en que se basa la operacionalidad de los esquemas, que constituyen el significado del concepto, más un conjunto de representaciones simbólicas de diferentes formas de lenguaje que representan simbólicamente a un concepto, o sea, representan a los invariantes operatorios y sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de enfrentamiento con éstas. Las representaciones

simbólicas son el significante de un

concepto, (Vergnaud, 1993; 1998). En términos psicológicos, las situaciones corresponden a la realidad, y los invariantes operatorios y las representaciones simbólicas a su representación, considerados

ambos

como dos aspectos del pensamiento, el significado y su significante respectivamente. Así, desde la perspectiva de la teoría de campos conceptuales de Vergnaud (1998), un concepto va adquiriendo sentido para una persona, y en particular para un estudiante, a través de su interacción con situaciones y problemas, ya que solo de esta manera un estudiante asimilará las propiedades que formarán sus conceptos-en-acción y teoremas-en-acción, o en forma resumida, sus conocimientos-en-acción, que en la medida que sean expresados en forma explícita mediante sus significantes (representaciones simbólicas), esos invariantes o conocimientos-en-acción pasan a conformar el concepto de una persona y de un estudiante. En este punto, se hace necesario incorporar la visión que plantea Vergnaud (1998) en torno a la enseñanza, la interacción entre los esquemas y sus componentes y la situación, se realiza a través de diversos actos de mediación, entendida ésta en el sentido que la plantea Vygotsky. Este autor plantea que el desarrollo cognitivo se da a instancias de la mediación social, lo cual supone un aprendizaje colectivo mediado por alguien más competente y de la

110

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

mediación semiótica, preferentemente a través del lenguaje y los símbolos que permiten la internalización de lo aprendido. Este proceso se explica a través de la Ley de la doble función, referidas a los procesos interpsicológicos (mediación social) mediante los cuales se aprende junto a otros y los procesos intrapsicológicos a través de los cuales el estudiante internaliza lo aprendido colectivamente por medio del lenguaje y los símbolos (Riviere citando a Vygotsky, 1994). De este modo, el profesor tiene un papel de mediador, ayudando a los estudiantes a desarrollar sus esquemas y representaciones, utilizando el lenguaje y los símbolos de las disciplinas para explicar, preguntar, seleccionar información, proponer objetivos, reglas y expectativas. Esto permitiría que al presentar situaciones con tareas y problemas de complejidad creciente, los estudiantes desarrollen nuevos esquemas a partir de nuevos invariantes operatorios, lo cual posibilitará la asimilación y aprendizaje de nuevos significados y la aprehensión de nuevos conceptos. La organización cognitiva de los individuos para interpretar la realidad e interiorizarla está provista de esquemas. Se trata de estructuras flexibles que confieren funcionalidad al desenvolvimiento cognitivo. Son los esquemas los responsables de la posibilidad de adaptación frente a las situaciones con las que se enfrenta un sujeto. "La mayor parte de la actividad cognitiva está hecha de esquemas". (Vergnaud, 1998, p. 172). "Los esquemas forman parte de todos los registros posibles de la conducta, incluidas competencias bien diferentes como los gestos, las actividades intelectuales, la afectividad, las conductas lingüísticas". (Vergnaud 1996, p. 202). Vergnaud sostiene que es posible reconocer cuatro ingredientes que componen los esquemas: reglas del tipo "si ... entonces", son las verdaderas generadoras de los esquemas núcleo conceptual implícito o explícito de los esquemas. Finalidades y anticipaciones: "un esquema está siempre dirigido a situaciones en las cuales el sujeto puede descubrir una posible finalidad de su actividad, o ciertos efectos o ciertos fenómenos que ella envuelve". (Vergnaud, 1996, p. 201) Reglas de acción, búsqueda de la información y control: son reglas del tipo "si ... entonces", son las verdaderas generadoras de los esquemas, las que ponen en marcha la secuencia de acciones. Invariantes operacionales: son los conocimientos que están contenidos en los esquemas. Constituyen el núcleo conceptual implícito o explícito de los esquemas. Contienen la información que permite inferir las reglas de acción y el objetivo a alcanzar. "Se trata de un conocimiento que está en la mente, que es implícito, pero que no será del todo un concepto si el sujeto no es capaz de explicitarlo y desde ese lugar, la posibilidad de analizar la

111

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

explicitación permitirá construir progresivamente objetos más explicativos". (Vergnaud, 1998, p. 173) Hay dos grandes clases de invariantes, los teoremas-en-acto y los conceptos-en-acto. Los teoremas-en-acto son proposiciones tenidas como verdaderas sobre el real. Los conceptosen-acto, por su parte, son los predicados, las categorías llamadas a ser relevantes para la situación que se presenta. Hay una relación dialéctica entre ambos: los conceptos son parte de los teoremas en acción, pero estos últimos son quienes les dan su contenido a los primeros. Posibilidades de inferencia: son las posibilidades de hacer anticipaciones en función de los invariantes que dispone el sujeto y de las informaciones con que cuenta

Finalidades y anticipaciones •Dirigido a descubrir una posible finalidad de su actividad.

Reglas de acción, búsqueda de la información y control •Reglas del tipo "si ... entonces", son las verdaderas generadoras de los esquemas

Invariantes operacionales

Posibilidades de inferencia

•Núcleo conceptual implícito o explícito de los esquemas.

•Anticipaciones en función de los invariantes

IMPORTANCIA DE GENERAR NUEVOS CONCEPTOS, EMPLEANDO LA TEORÍA DE VERGNAUD: ¿Cómo aplicarías la teoría de Vergnaud, para generar aprendizajes significativos? ¿Desde tu función de docente, como ayudara la teoría de Vergnaud a cambiar tu rol en el proceso de enseñanza?

112

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN11

RECURSOS DIDÁCTICOS PARA EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.

INDICADORES DE LOGRO

Diseña recursos didácticos para el aprendizaje de los sistemas numéricos

Recordando mi práctica docente ¿Utilizo recursos didácticos en mis sesiones de aprendizaje? ¿Los resultados serán los mismos? ¿Cuánto mejoraran mis resultados?

En las aulas se constata cada día que pese a los recursos didácticos que se utilizan, "las agrupaciones y la escritura numérica son un enigma para los niños y las niñas" (Lerner y Sadovsky, 1994). Éstos parecen tener muchas dificultades para comprender que las operaciones numéricas que realizan están basadas en nuestro sistema de numeración, en el cual hay que diferenciar los valores propios de las cifras y el de la posición que ocupan en el número. La mayoría de las veces el estudiante no comprende lo que está haciendo, porque los algoritmos y la simbología matemática se han introducido desde una perspectiva adulta. La sociedad, el mundo está lleno de números; los niños y las niñas los ven y se interesan por ellos. Hemos de saber aprovechar los recursos que están presentes donde vivimos. En todos los niveles y en todos los aspectos, la matemática debe tener una serie de características que ayuden a comprender las cosas, cuestión básica en la sociedad en la que nos ha tocado vivir. Los problemas matemáticos no son nada más que juegos que, convenientemente escogidos y dosificados, pueden ser muy útiles en el desarrollo del pensamiento matemático Conseguir que los alumnos se interesen por lo que se hace en la clase de matemáticas, hasta el punto de que intenten continuar fuera de hora o que sigan por su cuenta en la casa, es, a 113

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

buen seguro, una experiencia agradable para cualquier profesor interesado en su trabajo. Ciertamente, la situación descrita no es frecuente en un aula normal de una institución educativa

normal,

como

tampoco

fácil

encontrar

planteamiento

didáctico

mayoritariamente orientado a cubrir las necesidades de formación integral del individuo o una concepción de la Educación Matemática que vaya mucho más allá de la mera instrucción en técnicas y destrezas, del aprendizaje memorístico y machacón de fórmulas, tablas, procedimientos y definiciones vacías de significado. Sin embargo, no son situaciones y aspectos utópicos si nos adentramos en el mundo de los recursos y materiales didácticos específicos para el Área de Matemáticas; de hecho, nosotros hemos sido testigos directos de tales situaciones y estamos convencidos de que se pueden volver a reproducir en condiciones normales sin demasiado esfuerzo. Nos estamos refiriendo, en definitiva, a que enseñar y aprender matemáticas mediante recursos y materiales didácticos no tradicionales, es decir, materiales y recursos distintos de la tiza, la pizarra y el libro de texto, entre otros, son, realmente, nuevas formas de enseñar y aprender matemáticas. Pero no es nuestra intención presentar aquí estas nuevas formas como una alternativa global a lo que hoy en día es habitual en las aulas, como si de una cuestión pendular se tratara. Antes bien, pensamos que este punto de vista debe ser un complemento imprescindible de otros aspectos que ya se encuentran en la actualidad bien cubiertos y tratados por el sistema educativo. ¿Qué son recursos didácticos? ¿Qué recursos puedo emplear para enseñar sistemas de numeración? ¿Para qué me ayudaran los recursos didácticos? ¿Aprenderá significativamente mi estudiante si utilizamos recursos didácticos?

ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las cantidades para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y con esto surgieron los primeros sistemas de numeración.

Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios. Principio Aditivo.- Se suman los valores de los símbolos que lo forman. 114

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Principio Sustractivo.- Se restan los valores de los símbolos que lo forman. Principio Multiplicativo.- Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica por cierta cantidad.

SISTEMAS DE NUMERACION NO POSICIONALES Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta determinado por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto. Algunos sistemas numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano.

SISTEMAS DE NUMERACION EGIPCIO



El sistema de numeración de los egipcios era decimal (base 10).



Utilizó el principio aditivo.



Sus símbolos sólo tenían valor absoluto (eran jeroglíficos).



Cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces.



La posición de sus símbolos no importaba

Ejemplos:

EL SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a 115

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios. SISTEMAS DE NUMERACIÓN ROMANO 

En su sistema de numeración se emplean 7 símbolos: l

100

500

1000



Hacían agrupamientos de 10 en 10 (sistema decimal).



Solamente los símbolos l, X, C, M; se repetían 3 veces.



Podemos observar que: l sólo se resta de V y X; X sólo se resta de L y C; C sólo resta de D y M.



Una barra horizontal sobre un símbolo significa que el valor del símbolo se multiplica por 1000.

Ejemplos: 116

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lX = 9; Principio multiplicativo Vl = 6000

Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000 Ejemplos: V = (5)(1000000)  5000000 ; XLl = (41)(1000000)  41000000

.SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALES Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor relativo. En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Algunos sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el egipcio y el romano.

SISTEMA DE NUMERACION MAYA

Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 20, es decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo.

Del número 20 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por 20 0 ,201 ,20 2 ,20 3 , etc según el lugar que ocupe.

203  8000

Valores

20 2  400

Posicionales

201  20

20 0  1

117

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Ejemplo

3X 20 2 =1200 2X 201 =

1X 20 0 =

1 ______

1241 EL SISTEMA DE NUMERACION BABILONICO

La escritura en Babilonia se hacia en pequeñas tablas con ayuda de un estilete o punzón que producía símbolos en forma de cuña, llamados escritura cuneiforme. El símbolo que representaba el uno era la cuña sencilla, se ponían tantos hasta llegar al diez que tenia su propio símbolo.

El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90° en la dirección en que giran las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman como en el sistema egipcio (principio aditivo).

Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo Ejemplo:

118

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de 360 días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual sistema de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses, días, horas, minutos y segundos.

SISTEMA DECIMAL

Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente. Ejemplo

La cantidad 280501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar. Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente:

Valor del dígito de acuerdo a su posición: 2 8 0 5 0 1

1x1 =

1 unidad

0 x 10 =

0 decenas

5 x 100 =

500

5 centenas

0 x 1000 =

0000

0 unidades de millar

8 x 10000 =

80000

8 decenas de millar

2 x 100000 =

200000

2 centenas de millar

280501 Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente: 280501 = 2 x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1 La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos de 10. Para las unidades, tenemos: Para las decenas: Para las centenas: Para las U. de millar: Para las D. de millar: Para las C. de millar:

1=1 10 = 101 100 = 10 x 10 = 102 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 104 100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105

119

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Así se tiene que la cantidad, 280501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda de la forma siguiente: 2 x 105 + 8 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 1 x 1

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS

A) Valor posicional de los números. Ejemplo * Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 , 33/3 y

33 , 3

 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333).  La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 .  La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 .  La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y de acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 .  La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres resultando un valor numérico de

De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333.

De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma:

33/3 ,

33 , 333 , 333 , 333. 3 120

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

B) Método de Gauss. Para sumas de series de números. Ejemplo * Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss.

La serie, es: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 =

Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 42 42

42 42

42 42 42

La suma de cada par de extremos da 42 , y como la serie se compone de 20 elementos, entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas: 42 x 10 = 420 C) Multiplicación por duplicación egipcia. Ejemplo * Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación egipcia.  Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12. 1 2 4 8  Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del factor menor (12). 1 2  4  8 12

121

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad. 1 16 2 32  4  64  8  128 12  Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y esa suma es el resultado de la multiplicación. 64 + 128 = 192 TALLER DE TALENTO MATEMÁTICO

1. INTRODUCCIÓN Nuestro sistema decimal viene de antiguo y nunca nos hemos percatado de darle la importancia que tiene. ¿Por qué está compuesto de 10 símbolos diferentes?, ¿Quién inventó esos símbolos?,¿Por qué precisamente esos símbolos y no otros? Son algunas de las cuestiones que a lo mejor nos han venido en algún momento a la cabeza y a las que vamos a intentar dar respuesta. 2. SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

Todos conocemos que nuestro sistema de numeración decimal está compuesto por diez símbolos diferentes, 0,1, 2, …..,8 y 9 y que dependiendo de en qué posición los ponemos valen una cosa u otra y reciben un nombre u otro. Es decir:

1 2 3 5



1. unidades de millar 2. centenas 3. decenas 5. unidades

Utilizamos por tanto un sistema de numeración posicional, es decir, cada número tiene un valor diferente dependiendo de su posición. Así, el número anterior es completamente diferente a

2 3 5 1



2. unidades de millar 3. centenas 5. decenas 1. unidades 122

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

aunque los números utilizados sean los mismos. Sin embargo esto que para nosotros es tan usual y común no siempre fue así. Desde tiempos remotos el asignar una grafía, es decir, un símbolo, a algo tangible ha sido una preocupación. De hecho cada una de las grandes civilizaciones que dominaron el mundo, babilonios, griegos, romanos o árabes, creaba su propio sistema de numeración y en algunos casos incluso dos. Babilonios: Disponían de un sistema llamado pseudoposicional con dos símbolos uno para el 10 y otro para el 1. Colocados en cualquier lugar valían lo mismo, siempre que hablaran de números por debajo de 60. Para estos separaban los símbolos por un espacio. Griegos: Contaban con dos sistemas de numeración. Uno llamado Ático donde usaban la primera letra del alfabeto para designar la cifra en cuestión y otro de nombre Jónico donde usaban 27 símbolos divididos en tres grupos de 9 para designar los números del 1 al 9, del 10 al 90 y del 100 al 900. Romanos: Sin duda es el más conocido y no hablaremos más de él. Todo el mundo conoce sus cifras y sus reglas. Mayas: Sin relación alguna, es evidente, con el mundo occidental disponían de un sistema de numeración donde eran capaces de escribir hasta el 20 sólo con dos símbolos: un punto y una raya. Sin duda nos han llegado hasta nuestros días sistemas de numeración

llamémosles

extraños, como por ejemplo la forma de contar los huevos (¿Por qué contamos de 12 en 12?), pero que no prosperaron como lo hizo el sistema de numeración decimal, el que usamos, que viene de la civilización india inventores de nuestra grafía actual, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en occidente. Pero, ¿por qué tenemos que usar diez símbolos para escribir cualquier número y no por ejemplo 2 o 3?. ¿Tiene alguna ventaja utilizar 2 símbolos en lugar de 10 aparte de ahorrar tinta y no tener problemas a la hora de escribir el 8?. Sin duda si nos centramos en esta clase no, pero si pensamos en el mundo de la informática, ese dominado actualmente por Bill Gates, sí. Pensemos que lo que realmente usa un ordenador son cosas guardadas en unos chips que valen mucho dinero a la hora de comprarlos nuevos. Conviene por tanto, ahorrar espacio a la hora de almacenar datos y para ello que mejor que usar 2 símbolos en lugar de 10, si es que lo conseguimos. Intentémoslo por tanto, el mundo nos lo agradecerá. Examinemos lo que usamos hasta ahora y traduzcámoslo a nuestro invento:

85439  9  3·10  4·100  5·1000  8·10000  0 1 2 3 4 9·10  3·10  4·10  5·10  8·10

123

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Cualquier número lo podemos descomponer como suma de potencias de 10 multiplicado por un coeficiente que resulta ser el número que luego ponemos. De la misma forma podemos descomponer, por ejemplo, el número 19, 23 o 50 como: 19 = 1 + 2 + 16 23 = 1 + 2 + 4 + 16 50 = 2 + 16 + 32 y ¿alguien nota algo de particular en esta manera de descomponer estos números? 3. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Escribámoslos de otra manera 19 = 1 + 2 + 0 + 23 = 1 + 2 + 4 + 50 = 0 + 2 + 0 +

0 + 16 + 0 0 + 16 + 0 0 + 16 + 32

Ahora quizá suenen más: Efectivamente son potencias de 2; la primera columna corresponde a la potencia 20, la segunda corresponde a la potencia 21, la tercera 22, 23 la cuarta y la quinta y sexta 24 y 25, respectivamente. Así, y para ir comenzando, podemos escribir cualquier número y ponerlo como potencias de dos. O no? 23 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 + 1·24 23 = 1·1 + 1·2 + 1·4 + 0·8 + 1·16 Y al igual que hemos escrito antes: 85439 = 9 + 3·10 + 4 ·100 + 5·1000 + 8·10000 9·100 + 3·101 + 4·102 + 5·103 + 8·104

23 = 1·1 + 1·2 + 1·4 + 0·8 + 1·16 1·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 + 1·24 23 = 10111 Parece interesante. Probemos con otro número: 19 = 1· 1 + 1 · 2 + 0 · 4 + 0 · 8 + 1· 16 1·20 + 1 · 21 + 0 · 22 + 0 · 23 + 1· 24 A nadie se le escapa que estamos ante un sistema de numeración nuevo, escrito sólo con dos símbolos y que con el que además, a priori, cualquiera de las operaciones y reglas hasta ahora existentes funcionan perfectamente. Y digo a priori, porque todavía no hemos probado nada y ni tan siquiera sabemos que pinta tienen que tener las sumas o restas que tengamos que hacer. Pero sólo hace falta pensar y recordar un poco cuando operábamos con esas insufribles sumas y restas con grados, minutos y segundos o con horas, minutos 124

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

y segundos. ¿Qué ocurría cuando en una de las columnas que estábamos operando salía un número por encima de 60?, efectivamente, restábamos 60 y pasamos una unidad más a la izquierda. Pues esto mismo vamos a tener que hacer ahora, no en vano no olvidemos, que los números por encima de 1 están prohibidos. ¿2? ¿Qué es eso?.

SUMAS Pongamos un ejemplo:

101101 = 45 1011 = 11 ____________________ 102112 = ¿? 102120

¿?

110200

¿?

111000

RESTAS Podemos hacer la operación contraria con la resta, es decir, igual que cuando restábamos horas, minutos y segundos:

101101 = 45 1011 = 11 ____________________ 101021 1011 ____________________ 100010 = 34

Otro ejemplo:

11001 = 25 11011 = 27 ____________________ 0 0 0 -1 0 = -2

Seguro que hay otras formas de hacerlo, pero te dejo a ti que las averigües. Ejercicio: Transforma a binario los siguientes números: 23, 39, 87, 99, 102, 124 Ejercicio: Opera los siguientes números transformándolos primero a binario, y comprobando el resultado: 234 – 104; 68 + 49; 39 – 20; 126 + 100; 23 · 4; 36 · 10; 60 · 15

125

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

PRODUCTOS Quizá no haría falta explicarlo o poner un ejemplo, pues sólo con la propia observación de lo que se ha hecho ya bastaría. En cualquier caso, ahí va: Ejemplo:

100110 = 38 1101 = x 13 ____________________

100110 114 000000 38 100110 100110 __________________________ 110221110 111101110

494

No hace falta que yo haga más; los puedes hacer tú: Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de números, transformándolos previamente a sistema binario: 345 · 23;

298 · 45;

500 · 26

Dejaremos la división para mejor ocasión, ya que tampoco ha contar todo hoy, porque si no otro día no tendremos nada que decir. 4. JUGANDO CON LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Ha llegado ahora la parte lúdica de la lección. Vamos a realizar juegos matemáticos para que cuando venga a visitarnos el tío de América o el amigo plasta del pueblo que “controla mucho de todo”, podamos proponerle juegos sin miedo a perder. Y si además, apostamos y nos ganamos unos euros, pues mucho mejor.

Propongo un juego chino milenario llamado NIM que seguro que alguno de vosotros ha jugado alguna vez, el cual podéis encontrar en multitud de páginas del oráculo del siglo XXI, Internet. Se trata de un juego

uno contra uno, en el que en un tablero se colocan

aleatoriamente fichas en filas. Los jugadores retiran de la fila que elijan, el número de fichas que elijan, de forma que ganará el jugador que elimine la última ficha del tablero. El número de filas que coloquemos y el número de fichas por fila es independiente, y esta es una de las grandezas del juego. Supongamos por tanto que tenemos el siguiente tablero:

126

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

xxxxxxx xxxx xxxxx xx

Los jugadores retirarán, ya se ha dicho la cantidad de fichas que quieran de la fila que quieran, pero sólo de una fila. ¿Quién gana?. Unos pasos después el tablero que podría quedar sería el siguiente: xxxx xx xx x Y unos pasos más y podemos vernos abocados a la siguiente fase: xx x x Ahora quizá se vea más claro quién va a ganar. Es evidente que el jugador que empezó a jugar en primer lugar. Supongamos que retira todas las fichas de la primera fila, quedando para el otro jugador dos filas de una ficha cada una con lo cual seguro que gana. Pero ¿Es esta la única posibilidad de que gane el jugador, llamémosle A?, ¿Se debe llegar a esta posición después de diferentes movimientos para saber quién va a ganar la partida? Y además ¿Va a ganar siempre el jugador que empiece en primera opción? Tengamos en cuenta que, de lo que estamos hablando, es de un juego con lo que se llama posición ganadora. Es decir, una posición a partir de la cuál siempre que se llegue a ella, el jugador que posea el turno ganará la partida. Esto es lo que ocurre en el ajedrez. Es fácil darse cuenta de que llegando a la posición de jaque mate, el jugador que le toca turno gana, por tanto, sólo hay que saber qué posición había antes del jaque mate para saber que con un movimiento tendremos la partida ganada. Esto llevado hasta el inicio de la partida puede dar al traste con un deporte como este. Pero es que las cosas no son tan sencillas ya que en este juego el número de posibilidades diferentes de mover una ficha que tiene un jugador es tan grande que es prácticamente imposible estudiar todas las variantes. Pero volvamos al juego y a las preguntas que de él nos hemos hecho. Un juego no sería tal si tuvieras que empezar para poder ganar, puesto que tu truco enseguida se vería descubierto. Por tanto, en el NIM no hay que empezar a jugar para poder ganar. Si además tuviéramos que llegar a una posición determinada para poder ganar, el juego perdería la gracia en cuanto un movimiento del contrario trastocara nuestros planes. Por tanto, en el NIM tampoco hace falta llegar a una posición final. Entonces ¿en qué consiste?.

127

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Fijémonos en que, cómo sólo está permitido eliminar fichas de una fila, si consigo dejar al contrario dos filas con una ficha en cada una de ellas, habré ganado seguro, puesto que él sólo podrá quitar una ficha de la fila que quiera, dejándome a mí la última ficha. Por tanto, esa es la única posición a la que debemos llegar. Para ello, si en lugar de mirar filas observamos columnas nos daremos cuenta de que tenemos un par de fichas en una única columna. Y si ampliamos nuestro pensamiento a cuatro fichas en filas diferentes, tendremos de nuevo por la misma razón una posición ganadora. ¿Qué tienen en común 4 y 2? ¿Quizá que son pares, o quizá que son potencias de dos? En efecto, la solución es la segunda. De no ser así, no llevaríamos hablando 7 hojas sobre números binarios y potencias de dos.

Así que para ganar unos cuantos euros jugando al NIM, sólo tenemos que recolocar mentalmente las fichas de cada fila en columnas donde cada una de ellas sea una potencia de dos y dejar al contrario siempre un número par de elementos en cada columna. Dificultad: transcribir mentalmente todas las filas de fichas a potencia de dos. Truco: no insistáis demasiado en que el contrario ponga muchas fichas por fila.

Para aclarar todo esto veamos un ejemplo: Paso Inicial: Nº fichas

xxxxxxx xxxx xxxxx xx

7 fichas 4 fichas 5 fichas 2 fichas

0 0 0

1 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

xxxx xx xx x

4 fichas 2 fichas 2 fichas 1 ficha

0 0 0

1 0 0

0 1 1

0 0 0 1

2 fichas 1 ficha 1 ficha 0 fichas

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 1 0

Tablero

21 20

Paso 2:

Paso 3: xx x x

La columna de 21 tiene un solo elemento, por lo tanto si me toca jugar a mí, deberé eliminar ese elemento para dejarle a él un número par de elementos en la columna correspondiente a 20. De esta forma he ganado seguro.

128

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Si mi contrario no conoce el truco, gano seguro, independientemente de quién empiece y de cuantas fichas halla, porque siempre puedo quitar lo que yo quiera para poder dejar un número par de elementos en todas las columnas. Incluso si me equivoco, raro sería que a lo largo de la partida no lo pueda solucionar eliminando lo que a mí me interese. Buscaremos para ello la fila que tenga más fichas y seleccionamos el número de fichas que me hacen falta para todas las columnas sean pares. Entonces eliminamos el resto. Imaginemos que tengo un elemento en la columna 21 y que el resto de las columnas sean pares. Elegiré la fila que tenga más elementos y eliminaré todos los elementos menos dos, consiguiendo así que todas las columnas sean pares.

Sólo se requiere práctica para transformar cualquier número en binario, siento decir que para eso no hay truco. Con números en binario existen multitud de aplicaciones, que en ocasiones pueden llegar a parecer mágicas. Si no por ejemplo, piensa en un número del 1 al 9. Súmale 2, multiplícalo por 5, réstale 6 y multiplícalo por 4. ¿Qué número de dos cifras te ha salido? ¿Acaba en 8? ¿Y cuál es la primera cifra? ¿Te atreves a averiguar cómo lo he hecho? Te lo dejo como ejercicio. La “magia” es lo que tiene, nunca revela sus secretos. Después de esta amigable charla saca tus propias conclusiones. Creo que los números son esos entes extraños que nos acompañan desde nuestra infancia y por tanto merecen toda nuestra consideración. No en vano, de algún modo estamos en sus manos, NO?

RECURSOS DIDÁCTICOS PARA EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS Los

recursos

didácticos,

permiten

generar

aprendizajes

significativos, describe brevemente ¿como los empleaste? En tu desempeño profesional, que características deben de tener los recursos didácticos para seleccionar adecuadamente? Elabora una lista de recursos didácticos para los sistemas numéricos y descríbelos como los utilizarías en tus sesiones de aprendizaje y su estrategia de empleo.

129

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN12

ESTRATEGIAS PARA DESARROLLAR SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE NÚMEROS Y OPERACIONES POR NIVELES DE DEMANDA COGNITIVA

INDICADORES DE LOGRO

Diseña estrategias para desarrollar situaciones problemáticas

Recordando mi práctica docente ¿Las estrategias que uso son las adecuadas para resolver situaciones problemáticas con mis estudiantes?

Durante nuestras jornadas en el aula podemos observar una gran diversidad de estudiantes, cada uno ellos representan un mundo donde aprende a su ritmo; para poder ayudar a elevar el nivel desarrollo de ellos, ¿Qué son estrategias de aprendizaje? ¿Qué entiendes por demanda cognitiva? ¿Qué estrategias vienes empleando en tu aula? ¿Considerar que nuestros estudiantes mejorar sus aprendizajes si cambiamos nuestras estrategias?

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS Las estrategias nos permiten transformar el problema en una situación más sencilla y que sepamos resolver. A la hora de resolver problemas, es conveniente y necesario conocer las posibles estrategias o herramientas heurísticas que existen. Estas son:

1.- ANALOGÍA O SEMEJANZA 2.- SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR

130

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

3.- ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN -Técnicas asociadas: esquema, notación, lenguaje, figura, diagrama, gráfico. 4.- ENSAYO Y ERROR 5.-TRABAJAR MARCHA ATRÁS O CONSIDERAR EL PROBLEMA RESUELTO 6.- EXPERIMENTACIÓN: sacar pautas, regularidades y leyes. 7.- MODIFICAR EL PROBLEMA -Descomponer en problemas más pequeños. -Proponer subproblemas, submetas. -Utilizar menor número de variables, datos, etc. 8.- CONJETURAR - Empezar por casos sencillos - Intentar llevar adelante las conjeturas. 9.- HAZ RECUENTO -Realiza un conteo parcial -Practica los recuentos exhaustivos. 10.- EXPLORACIÓN -Sacar partido a la simetría. -Analizar los casos límite. A continuación vamos a describir de forma detenida alguna de estas estrategias, además un problema que ejemplifique dicha estrategia. Posteriormente, al final de cada una, se dará una lista de problemas para trabajar y así conseguir una buena práctica en la aplicación de la estrategia. Se debe tener en cuenta que muy pocos problemas se resuelven utilizando una única estrategia, en general se necesitará la utilización de varias.

1.- ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto. A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: - ¿A qué nos recuerda? 131

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

- ¿Es como aquella otra? Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscar situaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa. Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas. Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. Ejemplo. Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura

Solución: El área lateral corresponde al siguiente desarrollo

Se parece a ....¡ Un trapecio ¡ ( Estamos utilizando la analogía ) . El área del trapecio es igual a :

h= lado generatriz del tronco de cono

h  H 2  ( R  r) 2

luego Area 

2R  2r 2  H 2   R  r  ¿Será cierto? 2

Problemas para trabajar: 1.-Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1? Nota: como el resultado de 100! es un numero muy grande, intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 2.-Cuadrados Mágicos

132

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Este cuadrado relleno de números (9 primeros números) se llama CUADRADO MÁGICO. Su disposición es notable. La suma de los números en una misma fila, columna o diagonal es la misma. 2+7+6 = 15 (suma de los números de la 1ª fila) 9+5+1 = 15 (suma de los números de la 2ª fila) 2+5+8 = 15 (suma de los números de una diagonal) 6+1+8 = 15 (suma de los números de la 3ª columna)

Al número 15 se le llama característica del cuadrado mágico. Se pide: construir cuadrados mágicos de característica 24, 375 y –120 (considera cuadrados 3x3). 3.-Sumar quince. Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar. Nota.- Analogía: cuadrado mágico 3x3

4.-Caja de zapatos. Para una caja de zapatos (paralelepípedo) de medidas a, b y c; encuentra la expresión de su diagonal en función de las medidas anteriores. Nota.- Analogía: plano-espacio 5.-Uso de cartas. Con todos los ases, sotas, caballos y reyes de una baraja (16 cartas) construye un cuadrado 4x4 de forma que: 1.- En cada fila, columna y diagonal sólo haya una carta de cada figura 2.- En cada fila, columna y diagonal sólo haya una carta de cada palo. 133

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Soluciones: 1.- 24 3.- No hay estrategia ganadora, si se juega bien no hay vencedor 4.- D  a 2  b 2  c 2 5.Ao Rb Sc Ce Se Cc Ab Ro Cb So Re Ac Rc Ae Co Sb

Esta es una solución, pero hay 71 más. Nota: A=As; R=Rey; S=Sota; C=Caballo; o=Oros; b=Bastos; c=Copas y e=Espadas 2.- SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente. Otras veces el problema visto en su conjunto resulta inabordable, entonces para empezar se puede abordar una parte de él que parezca más simple. Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y, en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general. 134

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación del problema, la experimentación. Veamos un ejemplo 16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Solución: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos con dos jugadores; claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos. Si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo) ¿Serías capaz de encontrar una ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores? Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y acar conclusiones 1

SÍ

2 jugadores; un emparejamiento

SÍ

4 jugadores; 6 emparejamientos

Problemas para trabajar

1.- Cuadrados.Alguien dijo una vez que el tablero de ajedrez contiene 204 cuadrados ¿Estará en lo cierto? 2.-Uno de números. ¿Puede terminar el cuadrado de un número entero por tres cifras idénticas distintas de cero? 135

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

3.-Castillo de cartas. Este es un castillo de cartas de tres pisos. Se necesitan 15 cartas. -¿Cuántas cartas se necesitarán para un castillo similar de 10 pisos de altura? - El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas cartas necesitarías para batir ese record y hacer un castillo de 62 pisos de altura?. 4.- La rosa mística. Este diagrama se ha realizado uniendo entre sí con líneas rectas los 18 puntos del círculo. Cada punto está unido a todos los demás. ¿Cuántas líneas rectas hay en total? 5.- Capicúas. A los números como 12321, que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, se les llama capicúas. Tengo un amigo que asegura que todos los números capicúas de 4 cifras son divisibles por 11 ¿Es cierto? 6.- Rectángulos. ¿Cuántos rectángulos de lados paralelos a los lados del tablero hay en un tablero de ajedrez? 7.-Soluciones. ¿Qué relación hay entre las soluciones de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y cx2 + bx +a = 0? Soluciones: 1.-Sí 2.-Sí, por ejemplo el 1444 3.-155; 5797 4.-153 5.-Sí 6.-Nº de rectángulos no cuadrados: 1092; Nº total de rectángulos: 1296 7.-Son inversas 3.- ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema. Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso

136

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

exclusivo de la Geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar. Las figuras que te fabriques del problema deben incorporar, de alguna forma sencilla, los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a confusión. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje.- Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguajede la Lógica, el de las Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico

etc.), el analógico

(modelos, manipulaciones etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas etc.). Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. Veámoslo en el siguiente ejemplo: Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos; tenemos: 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3; tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones)

Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11; así llegamos

hasta 11 combinaciones

posibles ¿Te atreves? Codificación. Ejemplo. Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Así si los guantes los representamos por A y las cajas por B, la secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema.

Problemas para trabajar 1.- Artel de segadores. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno de doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande; después de la comida, la mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el

137

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

pequeño. Durante esa tarde se terminaron los dos campos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?. 2.-Haciendo footing. Pepe y Pablo hacen footing de A a B. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad, Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad. ¿Quién llega antes? 3.- El monje en la montaña. Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Sale de su ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente, a las 9 de la mañana, emprende el camino a su ermita por el mismo sendero. Al ir bajando se pregunta: ¿habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?

4.- Problema. Aquí aparece el plano de un solar. Un gato quiere llegar a la posición de salida. ¿Cuántos caminos diferentes tiene?. Se supone que no puede pasar dos veces por el mismo sitio.

Soluciones: 1.- 8 2.- Pablo 3.-Sí 4.-8 4.-ENSAYO Y ERROR Consiste en realizar los siguientes pasos: 1.-Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible. 2.-Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3.-Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. Veamos un ejemplo.-Calcular un número que, al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nos dé 132 Solución: 1.-Elegimos un valor: el 10 2.-Llevamos a cabo con este valor las condiciones del problema: 102+10 =110

138

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

3.-Probamos si hemos logrado el objetivo: 110 es menor de 132 Volvemos a empezar con otro número:14; 142+14 =210 ; 210 es mayor de 132 luego será 11, 12 ó 13. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son: 1.- Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar. 2.- Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen a la ventura, sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones posibles hasta encontrar lo que buscamos. 3.- Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado. Ejemplo.- Judit y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estanciavieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. Judit afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones). Solución: 1.- Ensayo y error fortuito. Damos valores al azar. Cerdos

Gallinas

Patas

Etc. 2.- De forma sistemática. Se van dando valores de forma sistemática 1,2,3, Cerdos

Gallinas

Patas

etc.

Etc. 3.-De forma dirigida Cerdos

Gallinas

Patas

56(nos hemos pasado) sobran cerdos

54 “

“

52 “

“

50 es la solución

139

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Después de revisar algunas estrategias para la resolución de problemas, responde a las preguntas ¿El trabajo que realizabas en aula era adecuado para trabajar con los estudiantes? ¿Cuánto te ayudara a replantear tus estrategias de aprendizaje? ¿Crees que la falta de nuevas estrategias permite que nuestros estudiantes no logren los aprendizajes? Elabora una lista de estrategias, para desarrollar problemas de números y operaciones

SESIÓN13

RECURSOS DIDÁCTICOS PROPUESTOS POR EL MED Y ALTERNATIVOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

INDICADORES DE LOGRO

Utiliza los recursos didácticos propuestos por el MED en su práctica docente

Recordando mi práctica docente Carla es docente de secundaria como tú, trabaja en una institución educativa y cada día busca mejorar como persona y como profesional. Quiere informarse, aprender y entender mejor todo lo relacionado al proceso educativo. En este caso, tiene un interés particular por todo lo vinculado al uso de los recursos educativos en secundaria. Descubre junto a ella la importancia, funciones y posibilidades que estos nos brindan en todas las áreas educativas.

Hola, soy Carla, docente de secundaria, enseño Matemática y quiero compartir con ustedes algo que me ocurrió hace un tiempo y que podría ocurrirle a cualquiera de ustedes.

140

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Un día estaba trabajando con mis estudiantes de cuarto de secundaria de la sección “A” el tema “polígonos”, identificando las características; hice una sesión de aprendizaje expositiva y pedí a mis estudiantes que den su opinión. Pregunté lo que entendieron de la exposición y noté que fueron pocos los que participaron. Algunos conversaban sin prestar atención. Terminé la sesión de aprendizaje muy desmotivada y pensé en qué es lo que falló. Le conté a un colega lo sucedido, él me aconsejó que revise bien la secuencia sugerida en el manual del docente y los textos de grado, según el área que estaba trabajando. Además, me contó que muchos de los recursos educativos que tiene la institución educativa son sugeridos como recursos educativos en los mismos manuales del docente y textos de grado, los cuales poseen una secuencia que facilita el desarrollo de capacidades. Asombrada y medio avergonzada le dije que no había tenido tiempo para revisar la secuencia y que, además, no sabía que existían otros recursos educativos. Le pedí a mi colega que me ayudara a identificar, según el manual y texto de grado, cuál es la secuencia a seguir y qué recursos educativos podrían ser útiles para mi siguiente sesión de aprendizaje. Cuando me tocó desarrollar la sesión con la sección “B” de cuarto de secundaria, llevé conmigo una serie de recursos que me permitió motivar e involucrar a mis estudiantes en las actividades que desarrollamos. Esta vez empecé recogiendo los saberes de los estudiantes, pasé un video y les propuse revisar el texto de grado y realizar las actividades sugeridas. Acabé la sesión de aprendizaje y mis estudiantes aún querían indagar más acerca del tema, esta vez se mostraron interesados y motivados.

Recogiendo saberes previos Luego de leer el caso, reflexiona sobre las siguientes preguntas: • ¿Qué crees que falló en la primera sesión de aprendizaje de Carla? • ¿Por qué sus estudiantes se mostraron desmotivados? • ¿Crees que al seguir la secuencia planteada por el manual del docente, que Educación Secundaria ha distribuido, se favorece el desarrollo de capacidades? ¿Por qué? • ¿Por qué crees que en la segunda sesión de aprendizaje, a diferencia de la primera, Carla logró motivar a sus estudiantes, manteniendo su atención y logrando que participen?

141

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

¿Qué es un recurso didáctico? Un recurso didáctico es cualquier material que se ha elaborado con la intención de facilitar al docente su función y a su vez la del estudiante. No olvidemos que los recursos didácticos deben utilizarse en un contexto educativo. Es todo aquel medio material (proyector, libro, texto, video…) o conceptual (ejemplo, simulación…) que se utiliza como apoyatura en la enseñanza, normalmente presencial, con la finalidad de facilitar o estimular el aprendizaje. ¿Qué Funciones desarrollan los recursos didácticos?

A continuación lo resumiremos en seis funciones: 

Los recursos didácticos proporcionan información al estudiante.



Son una guía para los aprendizajes, ya que nos ayudan a organizar la información que queremos transmitir. De esta manera ofrecemos nuevos conocimientos al estudiante.



Nos ayudan a ejercitar las habilidades y también a desarrollarlas.



Los recursos didácticos despiertan la motivación, la impulsan y crean un interés hacia el contenido del mismo.



Evaluación. Los recursos didácticos nos permiten evaluar los conocimientos de los alumnos en cada momento, ya que normalmente suelen contener una serie de cuestiones sobre las que queremos que el alumno reflexione.



Nos proporcionan un entorno para la expresión del alumno. Como por ejemplo, rellenar una ficha mediante una conversación en la que alumno y docente interactúan.

Características: - Es un instrumento - Inciden en la transmisión educativa - Se conciben en relación con el aprendizaje - Afectan a la comunicación educativa Categorías/clasificaciones - Materiales y conceptuales. - Orales, escritos, audiovisuales

142

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Como docentes, los recursos educativos nos permiten: • Tener como referente el manual del docente y el texto de grado al momento de programar. • Tener y conocer una propuesta de una secuencia al momento de programar. • Seleccionar mejor y con mayor precisión los contenidos a trabajar. • Orientar el diseño de las actividades de aprendizaje. • Proponer ejercicios complementarios a los realizados en el aula. • Orientar el proceso de la evaluación del aprendizaje. • Generar actitudes para la investigación-acción.

Los recursos educativos permiten a los estudiantes: • Despertar el interés por el aprendizaje. • Activar los procesos cognitivos, afectivos y sociales. • La información que brindan está relacionada con hechos y situaciones reales que son parte de la vida cotidiana. • Fijar los aprendizajes. • Estimular la imaginación y la capacidad de abstracción. • Ahorrar tiempo. • Estimular la participación activa y el trabajo en equipo. • Desarrollar la curiosidad y el emprendimiento.

143

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Las funciones de los recursos educativos Es importante tener en cuenta que el uso de recursos educativostiene diferentes funciones que, de una u otra manera, favorecenlos procesos de aprendizaje y enseñanza. Las funciones de los recursos educativos se relacionan con etapasdel proceso de aprendizaje. Hoy en día, los recursos educativos se eligen y usan en función a lasnecesidades e intereses de los estudiantes, ya que son ellos quienesmanipularán dicho material, en relación a las capacidades que sebusca desarrollar. Es así que los estudiantes se convierten en protagonistasy constructores de un aprendizaje más autónomo.

¿Cómo utilizar los recursos educativospara recuperar aprendizajes previos? Todas las personas poseen algún tipo de experiencias, conocimientoso convicciones. Considerar estos aprendizajes previos es elpunto de partida

para

generar

nuevos

aprendizajes.

aprendemejor aquello que está relacionado con la propia experiencia.

Esasí

que

ciertos

recursos

educativos

posibilitan la recuperación yaprovechamiento de dichos aprendizajes. Es importante recordar que si consideramos que la labor educativadebe centrarse en el rol protagónico de los

Sabías que… Los materiales distribuidos por Secundaria propician el aprendizaje autónomo porque: Desarrollan autonomía, el sentido crítico, creativo, la capacidad para la resolución de problemas y la toma de decisiones; mediante un proceso reflexivo y continuo.

estudiantes, el rol deldocente será el de un mediador que selecciona adecuada y oportunamentelos recursos a utilizar. ¿Cómo utilizar los recursos educativospara la construcción de aprendizajes? El aprendizaje significativo implica que los estudiantes organicenla información sobre un tema, teniendo en cuenta sus motivacionesy necesidades. Esto a la vez requiere de una selección adecuaday pertinente de materiales que los ayuden a establecer relaciones y conexiones entre aprendizajes previos y los nuevos. Losrecursos educativos juegan un rol muy importante, ya que cuandoel material es seleccionado adecuadamente, sirve para facilitar elestablecimiento de dichas conexiones y procesos que posibilitarán el aprendizaje significativo. ¿Cómo utilizar los recursos educativospara promover el trabajo cooperativo? Los seres humanos somos seres sociales por naturaleza. Uno de los fines primordiales de la labor educativa es favorecer procesos de socialización entre los estudiantes; procesos que enriquezcan sus vidas y los llenen de experiencias para poder desenvolverse mejor en la sociedad, afrontando retos y desafíos a lo largo de la vida, promoviendo una cultura de tolerancia y comprensión, de respeto a uno mismo y al otro.

144

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Como docentes sabemos lo importante que esenseñar a trabajar en equipo; por tanto, debemosaprovechar las posibilidades que nos brindanlos recursos educativos con los que contamos ennuestra institución educativa. En un primer momento, antes de la socialización, hay un espacioen el que el estudiante debe realizar un trabajo individual. Es eneste lapso, que rescatamos la importancia del texto de grado, yaque los temas propuestos siguen una secuencia y se presentan demanera clara tanto para el docente como para los estudiantes. Luegode este primer momento de trabajo individual y solo así, seráposible pasar a la segunda etapa que vendría a ser el socializar lotrabajado, ya sea en grupos o en parejas. Esto vendría a ser lo quellamamos el trabajo cooperativo, el cual tiene como característicabásica el aporte individual para el logro de una meta común.

Tipos de recursos educativos A continuación te presentamos los tipos de recursos educativos: A. Materiales impresos y manuscritos: en este grupo encontramos libros, folletos, revistas, periódicos, fascículos, atlas, mapas, planos, cartas, libros de actas y documentos de archivo histórico, entre otros. B. Materiales

audiovisuales e informáticos: videos, CD, DVD, recursos

electrónicos, casetes grabados, diapositivas, transparencias, láminas, fotografías, pinturas, disquetes y otros. C. Material manipulativo: globos terráqueos, tableros interactivos, módulos didácticos, módulos de laboratorio, juegos, colchonetas, pelotas, raquetas, instrumentos musicales. Incluye piezas artesanales, reliquias, tejidos, minerales, etcétera. D. Equipos: proyectos multimedia, retroproyector, televisor, videograbadora, DVD, ecran, pizarra eléctrica, fotocopiadora. Ejemplo:para el área de Matemática, si sabemos que eltema que trataremos (algunas teorías o fórmulas que debenconocer nuestros estudiantes) es ya de por sí un pocotedioso, recurramos a recursos como el equipo multimedia,proyectores y otros que agilizarán la exposición.

puedenintercalar

los

recursos,

también

podemos

entregar

los

estudiantes,antes de la clase, una copia con algunos ejemplosnovedosos que se crearán para que el tema se entienda mejor.

145

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Organización de los recursos educativos producidos por Educación Secundaria

De los recursos entregados por MED a tu institución educativa elabora una sesión de aprendizaje empleando dicho recurso y las estrategias que emplearas para el logro de tu aprendizaje esperado.

146

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN14

SIMULADORES VIRTUALES PARA LA SOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

INDICADORES DE LOGRO

Diseña sesiones de aprendizaje utilizando recursos TICs.

Recordando mi práctica docente ¿Qué propondrías para la generación de nuevos entornos de trabajo en matemática? ¿A través del mismo entorno como conectaríamos la enseñanza de la matemática con la realidad actual? ¿Qué promueven los simuladores digitales?

¿Qué son simuladores virtuales? En tu programación curricular integraste las TIC. Tu institución educativa cuenta con Aula de innovaciones Pedagógicas, ¿cuantas veces las empleaste para desarrollar tus actividades de aprendizaje? ¿Qué estrategia empleaste durante su empleo?

LOS SIMULADORES VIRTUALES Las simulaciones son estrategias que permiten promover en los estudiantes el desarrollo de modelos mentales sobre situaciones complejas y también realizar un uso activo de estrategias de resolución de problemas. 147

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

LOS MANIPULADORES VIRTUALES Los Manipuladores Virtuales son los objetos visuales que ayudan a ilustrar las relaciones matemáticas y sus aplicaciones. Estos manipuladores permiten a los estudiantes para examinar visualmente, explorar y desarrollar conceptos. Manipuladores Virtuales, que se definen como representaciones digitales de la realidad posibilitadas por los computadores, y que el estudiante puede también manipular con el mismo objetivo de los primeros. ¿Para qué sirve?  La facilidad de manipulación de los objetos en el ordenador brinda a los niños un aprendizaje basado en la experiencia y la intuición.  Ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y conectar varias representaciones de ideas matemáticas al tiempo que aumentan la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver.  Ofrecen a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar. Les suministran un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales, táctiles y espaciales.  Ofrecen a los estudiantes para pasar del nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir habilidades y conceptos al ofrecer una representación física, tangible, móvil, armable y desarmable, que permite visualizar conceptos matemáticos de manera concreta Beneficios Matemáticos  Hacer conscientes ideas y procesos matemáticos en los estudiantes.  Permitir a los estudiantes razonar mientras manipulan en el computador gráficas o figuras dinámicas y las expresiones matemáticas relacionadas con éstas.  Explorar, gracias a la flexibilidad de los manipulables, las figuras geométricas de maneras que no son posibles con figuras físicas (cambios en forma o tamaño, cambios generales o particulares, etc.).  Facilitar la exploración rápida de los cambios en las expresiones matemáticas con el simple movimiento del ratón, en contraposición de lo que sucede cuando se utiliza lápiz y papel.  Visualizar los efectos que tiene en una expresión matemática, modificar otra. Por ejemplo, cambiar el valor de un parámetro de una ecuación y ver cómo la gráfica resultante cambia de forma.  Acelerar la exposición a un gran número de problemas y ofrecer retroalimentación inmediata. 148

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

 Relacionar con facilidad símbolos matemáticos, ya sea con datos del mundo real o con simulaciones de fenómenos corrientes, lo que le da significado a las matemáticas.  Obtener retroalimentación inmediata cuando los estudiantes generan expresiones matemáticas incorrectas.  Realizar procesos de composición y descomposición de formas (realizar unidades compuestas, descomponer un hexágono en otras formas cómo triángulos, etc.).  Conectar el aprendizaje Geométrico/Espacial al aprendizaje numérico, relacionando dinámicamente ideas y procesos numéricos con las ideas de los estudiantes sobre formas y espacio.  Permitir que se detenga la aplicación en cualquier momento del proceso si se requiere tiempo para pensar sobre éste. Además, puede repetirse si se desea ver nuevamente parte de esta o ensayar otras respuestas.

Para aprender y comprender las matemáticas, en todos los niveles, el estudiante necesita involucrarse. Como se dice, la matemática no es un deporte para espectadores. Actualmente muchas de las estrategias de enseñanza omiten involucrar activamente a los estudiantes. Una manera de aliviar este problema es a través del uso de manipuladores, esto es, objetos físicos que ayudan a los estudiantes a visualizar relaciones y aplicaciones. Ahora, gracias a las computadoras, podemos lograr estos mismos objetivos a través de ambientes educativos virtuales. Hacen falta buenos manipuladores virtuales matemáticos y herramientas educativas interactivas para el nivel educativo básico y medio. En Utah StateUniversity desarrolla herramientas y editores matemáticos en Java que enriquecen la enseñanza matemática interactiva. El uso de Java como lenguaje de programación permite que nuestras herramientas sean accesibles a través de la Web y en diversas plataformas. Esta biblioteca puede ser utilizada libremente por profesores que desean enriquecer sus clases de matemáticas. Los materiales también sirven para entrenar futuros profesores. La biblioteca es extendida y refinada constantemente a través de eNLVM, que es un proyecto que busca desarrollar unidades interactivas para la enseñanza de las matemáticas. BIBLIOTECA NACIONAL DE MANIPULADORES VIRTUALES DE LA UTAH STATE UNIVERSITY (http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html)

149

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Es una biblioteca digital que contiene applets en Java para enseñar matemáticas (para enseñanza básica y media). Los contenidos se clasifican por áreas de aprendizaje (números y operaciones, álgebra, geometría o medidas, análisis de datos, probabilidad) y por niveles educativos. En Perú Ministerio de Educación a través de su portal educativo PERU EDUCA, proporciona una cantidad de recursos que ayudan al desarrollo de sesiones de aprendizaje mediante el empleo de las aulas de Innovaciones Pedagógicas.

La Portal Educativo Perú Educa (http://www.perueduca.edu.pe/web/visitante/inicio) selecciona un recurso para elaborar una sesión de aprendizaje, de acuerdo al grado que enseñas.

150

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN15

ELABORACIÓN Y MANIPULACIÓN DE MATERIALES EDUCATIVOS PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICA UTILIZANDO RECURSOS Y ELEMENTOS DE LA LOCALIDAD

INDICADORES DE LOGRO

Elabora materiales educativos para el área Utiliza recursos locales para la elaboración de materiales educativos

Recordando mi práctica docente ¿Elaboro materiales educativos en mi práctica pedagógica? ¿Utilizo los recursos de mi comunidad?

En nuestro continuo convivir con nuestros estudiantes, que materiales has logrado elaborar de manera que las sesiones se vuelvan activas, con que recursos elaboraste dichos materiales, los recursos son de la localidad, elaboraste alguna guía que permita a otros docentes utilizarlos.

REGLETAS DE CUISENAIRE Este material crea do por el belga George Cuisenaire es un material de ayuda didáctica, destinado básicamente a que los niños y niñas comprendan la noción de número, realicen 151

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

composición y descomposición de los números e iniciarles en las actividades de cálculo. El material consta de un conjunto de regletas de diez tamaños y colores diferentes. La longitud de las mismas va de 1 a 10 cm. CONFORMACIÓN 

La regleta blanca, con 1 cm. de longitud, representa al número 1.



La regleta roja, con 2 cm. representa al número 2.



La regleta verde claro, con 3 cm. representa al número 3.



La regleta rosa, con 4 cm. representa al número 4.



La regleta amarilla, con 5 cm. representa al número 5.



La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al número 6.



La regleta negra, con 7 cm. representa al número 7.



La regleta marrón, con 8 cm. representa al número 8.



La regleta azul, con 9 cm. representa al número 9.



La regleta naranja, con 10 cm. representa al número 10.

Algunos Objetivos a conseguir

152

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

1. Establecer equivalencias. 2. Formar la serie de numeración de 1 a 10. 3. Comprobar la relación de inclusión de la serie numérica. 4. implementar las relaciones de orden “mayor que”, “menor que”, igual a, de los números basándose en la comparación de longitudes. 5. Realizar seriaciones. 6. Introducir la composición y descomposición de números. 7. Iniciar las operaciones suma y resta. 8. Comprobar empíricamente las propiedades conmutativa y asociativa de la suma. 9. Iniciar los conceptos sobre propiedades de los números. EMPLEANDO LAS REGLETAS Amigo docente, puede iniciar al niño en las relaciones de orden con las longitudes de cada una de estas regletas. Es de anotar que este concepto para longitud es apropiado en cuanto la relación de medir en una unidad dada es lo preciso, en este momento puede realizar la medida con la blanca. Al mismo tiempo se dará cuenta de la equivalencia entre dos longitudes. Ordena las regletas desde la blanca hasta… La seriación interviene en el niño de tal forma que la lógica es fundamental, esto lo obliga a realizar comparaciones entre cada una de las regletas a partir de la menor hacia la mayor.

Se puede estudiar la propiedad conmutativa sumando la regleta de color amarillo mas la regleta de color azul, cuya longitud es la misma al sumar las regletas de color azul y la de color amarillo. El apartado anterior se puede llevar en otro sentido a la permutación (realizar cambios).

153

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

De igual forma la aplicación de la propiedad transitiva donde el estudiante explica que si: la regleta blanca es menor que la amarilla y la amarilla es menor que la azul, entonces, la regleta blanca es menor que la regleta azul. EL CUBO DE SOMA El Cubo Soma, formado por los seis tetracubos, con él se puede realizar una gran colección de figuras, desde formas geométricas, hasta figuras de animales, muebles, arquitectónicas. El Cubo Soma lo inventó PietHein, un poeta, matemático Danés en 1936. No fue un puzle demasiado popular hasta 1969 cuando Parker Bros lo empaquetó como “La respuesta 3D al Tangram”. CONFORMACIÓN Formado por 7 piezas de diferente forma que permiten una variedad enorme en cuanto a formación de figuras en volumen, con ellas se forma un cubo como figura principal.

Objetivos a conseguir: 1.

Establecer equivalencias entre volúmenes.

Calcular áreas laterales.

Realizar diferentes clases de cuerpos

Realizar ubicaciones espaciales

EMPLEANDO EL CUBO DE SOMA

154

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Con las piezas del cubo Soma se pueden crear cuerpos con diseños geométricos más o menos interesantes o incluso diseños figurativos. Hay recopilaciones con miles de estas figuras. Las siete figuras del cubo de Soma se pueden identificar con un número o con una letra:

Figuras tomadas de: http://www.aulamatematica.com/cubosoma/ En la página http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/FIGURES/FIGURES.HTM se encuentran una serie de figuras, con las cuales se puede colocar retos a los estudiantes para realizarlas y se le indica que halle, el área de la base de cada figura y otras preguntas que se refieran a este tipo de cuerpos.

155

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas formado por un conjunto de piezas que se obtienen al fraccionar una figura “plana” y que pueden acoplarse de diferentes maneras para construir distintas figuras geométricas. CONFORMACIÓN 1 cuadrado 5 triángulos (rectángulos isósceles): 2 triángulos "grandes" (los catetos miden el doble de la medida del lado del cuadrado). 1 triángulo "mediano" (la hipotenusa mide el doble de la medida del lado del cuadrado). 2 triángulos "pequeños"(los catetos son congruentes a los lados del cuadrado). 1 paralelogramo. Al unirlos, forman un cuadrado. Objetivos a conseguir: 1. Establecer equivalencias entre áreas. 2. Calcular áreas. 3.

Realizar diferentes clases de figuras.

4. Realizar cubrimientos. 5. Calcular y obtener fracciones EMPLEANDO EL TANGRAM Con las piezas del TANGRAM se pueden crear cuerpos con diseños geométricos más o menos interesantes o incluso diseños figurativos. Hay recopilaciones con miles de estas figuras.

Las figuras anteriores se tomaron de: http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.cetesonora.gob.mx/recursos/educativos/ref_math/descartes_2008/Esp/taller_de_matemati cas/rompecabezas. También existen otras figuras como las siguientes:

156

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Las figuras anteriores se tomaron de: http://www1.istockphoto.com/file_thumbview_approve/3816019/2/istockphoto_3816019 -tangram-people-set-009.jpg Las figuras anteriores sirven como retos para que los niños y niñas las construyan, con ellas se trabaja el concepto de escala y a partir de ellas elaborar cuentos. EL GEOPLANO Consiste en un tablero cuadrado generalmente cuadriculado y en cada vértice se coloca un clavo de forma que se colocan bandas de caucho entre ellos

para

introducir

conceptos

geométricos

generalmente. Objetivos a conseguir: 1. Establecer equivalencias entre áreas. 2. Calcular áreas. 3.

Realizar diferentes clases de polígonos.

4. Realizar recubrimientos. 5. Calcular y obtener fracciones. 6. Realizar simetrías. 7. Realizar semejanzas y congruencias EMPLEANDO EL GEOPLANO El geoplano es una herramienta que permite observar las diferentes relaciones de los polígonos y figuras planas, además, le admite realizar mostraciones de diversos teoremas. Le permite en forma clara y precisa calcular el área de diferentes figuras geométricas, debido a su forma cuadriculada. La multivalencia del material ayuda a la ubicación de puntos en el plano cartesiano, también permite conceptualizar sobre elementos topológicos como interior, frontera, exterior.

157

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

CUBOS MULTIBASE Los bloques multibase están compuestos por una determinada cantidad de cubos unitarios (pequeños), barras, placas y bloques (cubos grandes). Se utilizan para comprender la estructura del sistema de numeración decimal y sus operaciones básicas. CONFORMACIÓN Constan de 128 piezas 1 cubo unidad de mil 10 placas de centena 10 barras de decena 1 cubo base 2 2 placas de 4 unidades c/u 4 barras de 2 unidades c/u 100 cubitos de unidades Objetivos a conseguir: 1. Representación de números en sistema decimal 2. Observar el cambio de valor posicional (unidades, decenas, centenas etc.) 3.

Realizar sumas y restas

4. Representar los números naturales 5. Establecer equivalencias y representación de números decimales. EMPLEANDO CUBOS MULTIBASE Se utilizan para representar números naturales, establecer equivalencias y representar números decimales. Inicialmente, se utilizan los cubos que representan las unidades (cubos pequeños), números de un dígito hasta llegar al 9, se adiciona una unidad y se cambian los 10 cubos por una barra. Luego, se procede a realizar representaciones con cubos y barras hasta el número 99. Se adiciona un cubo para realizar el cambio del número 99 al 100, el cual se representa mediante una placa. El número 99 se representa utilizando 9 cubos y 9 barras y, el número 100, se puede representar inicialmente con 9 barras y 10 cubos, para luego introducir el cambio de los 10 cubos por una barra, y así establecer la equivalencia entre 10 barras y 1 placa. Finalmente, introduzca el número mil. Hágalo con las placas hasta obtener 10 y realice el cambio por un cubo que represente el número mil y establezca las equivalencias correspondientes entre las 10 placas y el cubo.yioi Los bloques multibase permiten resolver y representar las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. Se pueden resolver operaciones con números naturales y decimales.

158

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Los decimales se trabajan cambiando la unidad de base. Es decir, si en las operaciones básicas normales la unidad básica era el cubo pequeño, ahora se puede considerar la placa como la unidad, entonces las barras representan los décimos y los cubos los centésimos. Si se desea trabajar con milésimos se debe variar la unidad básica. Entonces, el bloque representa la unidad, las placas los décimos, las barras los centésimos y los cubos los milésimos. LOS MULTICUBOS Es un conjunto formado por 125 cubos, de arista o lado igual a 2.5 cts. Los multicubos permiten el desarrollo del pensamiento matemático. En cuanto a lo espacial y métrico son muy útiles para la comprensión de: perímetro, área lateral, espacio tridimensional, el concepto de volumen y su conservación. Objetivos a conseguir: 

Iniciar al estudiante en los conceptos intuitivos de: punto, recta, vértice, arista, cara, plano.



Calcular áreas laterales de cuerpos



Calcular el volumen de un cuerpo



Construir las vistas de un cuerpo desde diferentes posiciones



Construir prismas



Iniciar al estudiante en el concepto de potencia EMPLEANDO LOS MULTICUBOS

Este material permite obtener relaciones espaciales entre diferentes sólidos, realizar seriaciones, obtener vistas laterales de un cuerpo. Por ejemplo se le pide al estudiante que observe las siguientes imágenes correspondientes a escaleras construidas con 1, 2,3 escalones y se le indica que realice la secuencia para el escalón 6. Además se le pregunta cuántos cubos utilizó, cual es el volumen, etc. Este tipo de trabajo enriquece los pensamientos espacial, numérico y métrico. LOS BLOQUES LÓGICOS Los bloques lógicos constan de cuarenta y ocho piezas sólidas. Cada pieza se define por cuatro variables: color, forma, tamaño y grosor. Este material permite establecer un entorno de aprendizaje lógico-matemático, ya que posibilita la enseñanza 159

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

lógica. Objetivos a conseguir: 1. Asignar los valores de verdad a proposiciones. 2. Construir las tablas de verdad 3.

Construir proposiciones simples y compuestas

4. Pronosticar y verificar proposiciones con sentido lógico 5. Iniciar al estudiante en la teoría de conjuntos 6. Aplicar la unión e intersección de conjuntos EMPLEANDO LOS BLOQUES LÓGICOS Este material es propicio para iniciar a los niños y niñas en el razonamiento lógico, al igual que le permite negar proposiciones y construir las tablas de verdad. LA TORTA FRACCIONARIA Este material consiste en 12 círculos iguales, con un radio aproximado de 7.5 cts. El primer círculo es compacto, el que sigue está dividido en dos medios, el siguiente en tres tercios y así sucesivamente hasta el último que está dividido en doce doceavo. Objetivos a conseguir: 1. Identificar la unidad (círculo compacto) 2. Realizar construcciones de fracciones de las partes al todo 3.

Realizar sumas y restas de fracciones

4. Hallar fracciones equivalentes EMPLEANDO LAS TORTAS FRACCIONARIAS Son propicias para trabajar los diferentes tipos de fracciones: homogéneas, heterogéneas, propias, la relación de equivalencia entre fracciones. EL TRIÁNGULO DE PASCAL El Triángulo de Pascal está formado por N cubos, con caras de diferentes colores, favorecen el desarrollo de pensamiento variacional, aleatorio y numérico. Cada cubo está marcado con un número entero.

160

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Objetivos a conseguir: 1. Obtener los números naturales. 2. Asignar probabilidades en distribuciones binomiales. 3.

Obtener los números primos, pares, triangulares, cuadrados, hexagonales.

4. Obtener diferentes series y sucesiones como la de Fibonacci. 5. Obtener fractales. EMPLEANDO EL TRIÁNGULO DE PASCAL

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

1 3

6 10

15 21

1 4

10 20

1 5

15 35

1 6

1 7

Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal. Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "5" contiene 5 + 1 elementos, es decir, 6 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientras que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado. 161

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

En este triángulo se pueden ubicar los números naturales 1, 2, 3, 4,…, los múltiplos de 2, los impares, etc., simplemente se realizan las ubicaciones y se colorean.

De los materiales construidos con recursos de tu localidad, selecciona uno de ellos y elabora una sesión de aprendizaje donde se muestren las estrategias que empleaste para mejorar los procesos de aprendizaje de tus estudiantes

SESIÓN16

PRINCIPLES AND STANDARDS FOR SCHOOL MATHEMATICS NCTM, COMPETENCIAS EN EL VI Y VII CICLO DE LA EBR, ANÁLISIS, CONVERGENCIAS Y DIVERGENCIAS

INDICADORES DE LOGRO

Analiza Standards for School Mathematics NCTM,

Recordando mi práctica docente ¿Cómo sabes que lo que enseñas es de calidad? ¿Qué es un estándar?

¿Cuáles son los estándares para la enseñanza de la Matemática? Las competencias Matemáticas, elaboraste una análisis, convergencia y divergencia en relación a tu desarrollo profesional y desempeño en el aula. 162

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Al reflexionar sobre qué caracteriza a un buen profesor de matemáticas o sobrecómo conducir una clase de matemáticas, es útil analizar algunos documentospreparados sobre

esta

problemática

por

asociaciones de profesores. Una de estasasociaciones, de gran prestigio, que incluye también investigadores en educación matemática es el National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M). Dicha asociación elaboró en 1991 un documento titulado Estándares profesionalespara la enseñanza de las matemáticas (N.C.T.M. 1991) con el fin de que fuese unareferencia para orientar la labor de los profesores de matemáticas en la década de los 90.A continuación sintetizamos dicho documento. Supuestos de los estándares 3. El fin de la enseñanza de las matemáticas es ayudar a los estudiantes a desarrollarsu capacidad matemática: El currículo matemático propuesto en los "Estándares" trata de fomentar elrazonamiento matemático, la comunicación, la resolución de problemas y elestablecimiento de conexiones entre las distintas partes de las matemáticas y lasrestantes disciplinas. Para ello se sugiere que:  Los profesores deben ayudar a cada estudiante para que desarrolle su comprensión conceptual y procedimental de cada núcleo conceptual matemático: números, operaciones, geometría, medición, estadística, probabilidad, funciones y álgebra y los relacione entre sí.  Deben tratar de que todos los estudiantes formulen y resuelvan una amplia variedad de problemas, hagan conjeturas, den argumentos, validen soluciones, y evalúen si las afirmaciones matemáticas son o no plausibles.

163

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

 Deben estimular la disposición de los estudiantes para usar e interesarse por las matemáticas, para apreciar su belleza y utilidad, y comprender a los que se quedan atascados o despistados.  Deben ayudar a los estudiantes a reconocer que en el trabajo matemático llegamos a veces a callejones sin salida y animarles a perseverar cuando se enfrentan con problemas intrincados, así como a desarrollar auto confianza e interés. 4. Lo que los estudiantes aprenden está fundamentalmente conectado con el

cómo lo aprenden Las oportunidades de los estudiantes para aprender matemáticas dependen del entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan. Lo que los estudiantes aprenden -sobre conceptos

procedimientos

particulares así como su capacidad de razonamiento - depende de cómo se implican en la actividad en clase de matemáticas. Su actitud hacia las matemáticas también queda marcada por tales experiencias. hemos

currículo,

Por cuidar sino

consiguiente, no

sólo

también

metodología de enseñanza si queremos desarrollar la capacidad matemática de los estudiantes.

5. Todos los estudiantes pueden aprender a pensar matemáticamente Cada

estudiante

puede

-y

debe-

aprender

razonar

resolver

problemas,

hacerconexiones a través de una rica red de tópicos y experiencias, y a comunicar ideasmatemáticas. Aunque los objetivos tales como hacer conjeturas, argumentar sobre lasmatemáticas usando la evidencia matemática, formular y resolver problemas parezcancomplejos,

están

destinados

sólo

los

chicos

"brillantes"

"capacesmatemáticamente". 6. La enseñanza es una práctica compleja y por tanto no reducible a recetas o

prescripciones La enseñanza de las matemáticas se apoya en el conocimiento de varios dominios: - conocimiento general de las matemáticas, - de cómo los estudiantes aprenden matemáticas en general, - del contexto de la clase, la escuela y la sociedad, - la enseñanza es específica del contexto. 164

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Ejemplo El conocimiento teórico general sobre el desarrollo del adolescente, puede sóloparcialmente informar una decisión sobre estudiantes particulares aprendiendo un conceptomatemático particular en un contexto dado. Los profesores combinan el conocimiento procedente de estos dominios diferentespara decidir cómo responder a la pregunta de un estudiante, cómo representar una ideamatemática particular, hasta cuándo proseguir con la discusión de un problema, o quétarea usar para introducir a los estudiantes en un tópico nuevo. Estas decisionesdependen de una variedad de factores antes los cuales el profesor debe encontrar unequilibrio

¿Por qué enseñar bien las matemáticas es un compromiso complejo, que no se puedereducir a un conjunto de recetas? La buena enseñanza depende de una serie de consideraciones y demanda que los profesores razonen de un modo profesional dentro de contextos particulares de trabajo. Los estándares para la enseñanza de las matemáticas están diseñados como una ayuda en tales razonamientos y decisiones resaltando aspectos cruciales para la creación del tipo de prácticas de enseñanza que apoyan los objetivos de aprendizaje. Se agrupan en cuatro categorías: tareas, discurso del profesor y de los estudiantes, entorno y análisis

Tareas: Las tareas en que se implican los estudiantes - proyectos, problemas, construcciones, aplicaciones, ejercicios, etc. - y los materiales con los que trabajan enmarcan y centran sus oportunidades para aprender las matemáticas en la escuela. Dichas tareas:  Proporcionan el estímulo para que los estudiantes piensen sobre conceptos y procedimientos

particulares,

sus

conexiones con otras ideas matemáticas, y sus aplicaciones a contextos del mundo real.  Pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar destrezas en el contexto de su utilidad.  Expresan lo que son las matemáticas y lo que implica la actividad matemática. Pueden dar una visión de las matemáticas como un dominio de indagación valioso y atrayente.  Requieren que los estudiantes razonen y comuniquen matemáticamente y promueven su capacidad para resolver problemas y para hacer conexiones.

165

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Una responsabilidad central del profesor consiste en seleccionar y desarrollar tareasvaliosas y materiales que creen oportunidades para que los estudiantes desarrollen sucomprensión matemática, competencias, intereses y disposiciones.

En un grupo de estudiantes, el profesor quiere trabajar las diferentes unidades de medida de longitud. Compara los dos tipos de tarea siguientes, desde el punto de vista de las oportunidades que proporcionan para aprender matemáticas. a. Realizar ejercicios de transformación y cálculo con diferentes unidades de medida, por ejemplo, pasando de metros a centímetros o sumando medidas expresadas en diferentes unidades y transformándolas a una unidad común. b. Se da a los alumnos reglas de 30 cm. de longitud y se les pide medir el perímetro de la clase. Los alumnos pueden usar si desean técnicas auxiliares, por ejemplo, contar el número de pasos que hay que dar alrededor de la clase, contar el número de baldosas cuadradas completas a lo largo del perímetro, midiendo los trozos de baldosas no completas, usar un carrete de hilo como ayuda, etc. El profesor no da indicaciones sobre cómo trabajar, aunque proporciona los recursos necesarios. Finalizada la tarea se produce una comparación de estrategias y soluciones. Discurso: El discurso de una clase - los modos de representar, pensar, hablar, ponerse de acuerdo o en desacuerdo-

central

para

que

los

estudiantes

comprendan que las matemáticas como un dominio de investigación humana con modos característicos de conocimiento. El discurso incluye el modo en que las ideas son intercambiadas y lo que implicanlas ideas: Es conformado por las tareas en las que los estudiantes se comprometen y lanaturaleza del entorno de aprendizaje; también influye sobre las mismas.

Da una lista de todos los tipos de actividades en un aula de matemáticas que puedanconsiderarse como parte del discurso. ¿Quién habla?, ¿Sobre qué?, ¿De qué manera? ¿Quéescriben las personas, qué registran y por qué? ¿Qué cuestiones son importantes? ¿Cómose intercambian las ideas? ¿Qué ideas y modos de pensamiento son valorados? ¿Quiéndetermina cuándo finalizar una discusión? c)

Entorno:

profesor

matemáticas

responsable de crear un entorno intelectual en que la norma consista en un serio compromiso hacia el pensamiento matemático, para que el entorno de la clase sea el fundamento de lo que los alumnos aprenden. Más que un entorno físico, con bancos, cuadernos y posters, el entorno de la clase forma un

166

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

currículo oculto con mensajes sobre lo que cuenta en el aprendizaje y la actividad matemática: ¿Pulcritud?, ¿Velocidad?, ¿Precisión? ¿Escuchar bien? ¿Ser capaz de justificar una solución? ¿Trabajar independientemente? Si deseamos que los estudiantes aprendan a hacer conjeturas, experimenten con aproximaciones alternativas para resolver problemas, y construir y responder a los argumentos de los demás, entonces la creación de un entorno que estimule este tipo de actividades es esencial. d)

Análisis: Los profesores deben ser responsables de analizar su práctica docente, para intentar comprender tanto como sea posible los efectos de la clase de matemáticas sobre cada estudiante. El profesor debe llevar un registro sobre su clase usando una variedad de estrategias y centrando la atención sobre una amplia matriz de dimensiones de la competencia matemática, como se indica en los Estándares de Currículo y Evaluación de las

Matemáticas

Escolares.

que

los

profesores aprenden de esto debería ser una fuente

primaria

información

para

planificación y mejora de la instrucción tanto a corto como a largo plazo. Algunas posibles preguntas son: a) ¿Uso buenas tareas, es adecuado el discurso y el entorno de trabajo para estimular el desarrollo de la capacidad y el conocimiento matemático de los estudiantes? b) ¿Qué parecen comprender bien los estudiantes, y qué sólo parcialmente? c) ¿Qué conexiones parece que están haciendo? d) ¿Qué disposición matemática parecen que están desarrollando? e) ¿Cómo trabaja el grupo conjuntamente como una comunidad de aprendizaje dando sentido a las matemáticas?

Teniendo en cuenta los estándares para la enseñanza de la Matemática, elabora una sesión de aprendizaje.

167

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

SESIÓN17

PISA. MARCO TEÓRICO. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS ÚLTIMAS EVALUACIONES

INDICADORES DE LOGRO

Analiza los resultados de las últimas evaluaciones PISA

Recordando mi práctica docente ¿Qué es la Evaluación Pisa? ¿Cuál es el objetivo principal de Pisa? ¿Pisa evalúa más allá de lo que enseña en el currículo escolar? ¿Quién coordina Pisa a nivel internacional? ¿Qué países participan? ¿Cada cuánto tiempo evalúa Pisa? ¿Cuántas veces ha evaluado Pisa?

¿Qué es PISA? En tu institución educativa, se aplicó la evaluación PISA a tus estudiantes? ¿Conoces los resultados de la evaluación PISA de tus estudiantes? ¿En que te ayuda los resultados de la evaluación PISA?

PISA PISA evalúa a estudiantes de 15 años, independientemente de la modalidad, gradoo ciclo que estén cursando, en capacidades relacionadas con la comprensión lectora, matemática y ciencia. PISA evalúa los resultados que obtienen los sistemas educativosal

168

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

adecuar los aprendizajes a las necesidades del mundo moderno.

¿Qué es la evaluación PISA? El Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés Programmefor International StudentAssessment) tiene por objeto evaluar hasta qué punto los estudiantes próximos aconcluir su educación obligatoria han adquirido algunos de los conocimientos y habilidades necesariospara la participación plena en la sociedad del saber. La evaluación mira hacia adelante, se centra másen la capacidad de los jóvenes de utilizar sus conocimientos y sus habilidades para hacer frente a losdesafíos de la vida real, que en saber hasta qué punto dominan un programa escolar concreto. Además,provee información sobre el contexto personal, familiar y escolar de los estudiantes. Esta orientación refleja un cambio en los objetivos y propósitos de los programas, que cada vez se ocupan más de lo quepueden hacer los alumnos con lo que aprenden en la escuela, en vez de limitarse a ver si son capaces dereproducir lo que han aprendido. Es importante destacar que PISA ha sido concebido como unaherramienta para ofrecer información abundante y detallada que permita a los países participantesadoptar las decisiones y políticas públicas necesarias para mejorar los niveles educativos.

¿Cuál es el objetivo principal de PISA? Conocer el nivel de habilidades necesarias que han adquirido los estudiantes para participarplenamente en la sociedad moderna, centrándose en dominios claves como Comprensión lectora, Matemática y Ciencias. Mide si los estudiantes tienen la capacidad de reproducir lo que han aprendido,de transferir sus conocimientos y aplicarlos en nuevos contextos académicos y no académicos, deidentificar si son capaces de analizar, razonar y comunicar sus ideas efectivamente, y si tienen lacapacidad de seguir aprendiendo durante toda la vida. Para PISA, esos dominios están definidos como competencia (literacy) lectora, matemática o científica.

¿PISA evalúa más allá de lo que se enseña en el currículo escolar? En efecto, PISA se centra en medir la capacidad de los jóvenes para usar su conocimiento y sus destrezaspara afrontar los retos de la vida real en las sociedades modernas; más que determinar lo que sedomina de un currículo escolar. Bajo esta perspectiva de competencias, PISA se interesa en el repertoriode conocimientos y habilidades adquirido tanto en las

169

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

escuelas como fuera de ellas y en el potencialpara reflexionar y usar este repertorio en situaciones o escenarios diversos. ¿Quién coordina PISA a nivel internacional? La OCDE es la instancia que lidera la organización e implementación de PISA. Para cada aplicación dePISA, la OCDE contrata por concurso a un conjunto de instituciones especializadas en evaluación paraque coordinen el diseño y la implementación del proyecto.

¿Qué países participan? Participan todos los países miembros de la

OCDE,

así

comovarios

países

asociados que lo solicitenson miembros de la OCDE solicitanparticipación en cada ciclo evaluativo

¿Cada cuánto tiempo evalúa PISA? PISA tiene una periodicidad de tres años, y si bien en cada ciclo evalúa las tres áreas (Comprensión lectora, Matemática y Ciencias), solo una deestas áreas es la que profundiza.

¿Cuántas veces ha evaluado PISA? Hasta el momento, se han realizado cuatro evaluacionesPISA: 2000, 2003, 2006 y 2009. En cada una de estas evaluaciones de PISA se profundizóen un área concreta el 2000: Comprensión lectora, en el 2003 Matemática en el 2006: Ciencias, y en el 2009 Comprensión lectora Esto quiere decir que la mayor cantidad de preguntas en la prueba son del área que se profundiza.OCDE está preparando PISA 2012.

¿Todos los estudiantes participan en la prueba PISA? No. Los estudiantes son seleccionados a partir de una muestra aleatoria de escuelas públicas y privadas. Son elegidos en función de su edad (entre 15 años y tres meses y 16 años y dos meses al principio de laevaluación) y no del grado escolar en el que se encuentran.

170

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

Países participantes PISA 2000

PISA 2003

PISA 2006

PISA 2009

43 países Argentina Brasil Chile México* Perú

41 países Brasil México Uruguay

57 países Argentina Brasil Chile México Colombia Uruguay

65 países Argentina Brasil Chile* México * Perú Colombia Panamá Uruguay

Países latinoamericanos

*Países miembros de la OCDE PISA EN EL PERÚ La participación de nuestro país en PISA 2009 permitirá conocer en qué medida ha variado

elpuntaje

proporción

estudiantes ubicados en cada uno de los niveles de desempeño de laescala de comprensión lectora, entre los casi ocho años que median entre las dos aplicaciones de laevaluación PISA en nuestro país (2001 y 2009). Así mismo permitirá evidenciar los resultadosobtenidos por los estudiantes peruanos

las

tres

competencias

evaluadas en comparación conaquellos logrados por los estudiantes del resto de países participantes, especialmente con aquellospaíses similares al nuestro. PISA también proveerá información sobre los factores escolares yextraescolares que están asociados al desempeño de los estudiantes. Esta información, sumada aotras, proporcionará un insumo fundamental para la toma de decisiones de política educativa. En Perú ¿quién coordina PISA? La Unidad de Medición de la Calidad Educativa (UMC) del Ministerio de Educación es la entidadresponsable de coordinar la aplicación de la evaluación PISA. La UMC es la instancia técnica delMinisterio de Educación, responsable de desarrollar el Sistema Nacional de Evaluación del rendimientoestudiantil y de brindar información relevante a las instancias de decisión de política educativa, a lacomunidad educativa y a la sociedad en general sobre estos resultados.

171

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

La UMC coordinó la participación del Perú en los ciclos 2000+ y 2009 de PISA. Actualmente, nuestro país ha confirmado su participación en el ciclo 2012 (cuyo énfasis será la competencia matemática), y se encuentra preparando dicha participación. Niveles de desempeño Nivel de desempeño

Puntaje mínimo

% de estudiantes peruanos en este nivel

669

0,1% de estudiantes peruanos

607

0,5% de estudiantes peruanos

545

2,1% de estudiantes peruanos

482

6,8% de estudiantes peruanos

420

16,9% de estudiantes peruanos

358

25,9% de estudiantes peruanos

¿Qué pueden hacer los estudiantes en este nivel? Conceptualizan, generalizan y utilizan información basada en sus investigaciones y modelos de situaciones problemáticas complejas. Pueden relacionar diferentes fuentes de información y representación entre sí y pasar de una a otra con flexibilidad. Estos estudiantes poseen un pensamiento y razonamiento matemático avanzado. Aplican su entendimiento y comprensión, así como su dominio de las operaciones y relaciones matemáticas simbólicas y formales y desarrollan nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas. Los estudiantes pertenecientes a este nivel formulan y comunican con exactitud sus acciones y reflexiones relativas a sus descubrimientos, interpretaciones, argumentos y su adecuación a las situaciones originales. Desarrollan modelos y trabajan con ellos en situaciones complejas, identificando los condicionantes y especificando los supuestos. Seleccionan, comparan y evalúan estrategias adecuadas de solución de problemas para abordar problemas complejos relativos a estos modelos. Los estudiantes de este nivel trabajan estratégicamente utilizando habilidades de pensamiento y razonamiento bien desarrolladas, así como representaciones adecuadamente relacionadas, caracterizaciones simbólicas y formales, e intuiciones relativas a estas situaciones. Reflexionan sobre sus acciones y formulan y comunican sus interpretaciones y razonamientos. Trabajan con eficacia con modelos explícitos en situaciones complejas y concretas que pueden implicar condicionantes o exigir la formulación de supuestos. Seleccionan e integran diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, asociándolas directamente a situaciones del mundo real. Los estudiantes de este nivel utilizan habilidades bien desarrolladas y razonan con flexibilidad y con cierta perspicacia en estos contextos. Elaboran y comunican explicaciones y argumentos basados en sus interpretaciones, argumentos y acciones. Ejecutan procedimientos claramente descritos, incluyendo aquellos que requieren decisiones secuenciales. Seleccionan y aplican estrategias de solución de problemas sencillos. Los estudiantes de este nivel interpretan y utilizan representaciones basadas en diferentes fuentes de información y razonan directamente a partir de ellas. Son también capaces de elaborar breves escritos exponiendo sus interpretaciones, resultados y razonamientos. Interpretan y reconocen situaciones en contextos que sólo requieren una inferencia directa. Extraen información relevante de una sola fuente y usan un único modelo de representación. Los estudiantes de este nivel utilizan algoritmos, fórmulas, procedimientos o convenciones elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literales de los resultados. Responden a preguntas relacionadas con contextos cotidianos, en los que está presente toda la información necesaria y las preguntas están claramente definidas. Son capaces de identificar la información y llevan a cabo procedimientos rutinarios siguiendo instrucciones directas en situaciones explícitas. Realizan acciones obvias que se deducen inmediatamente de los estímulos presentados.

PISA 2009: Puntaje promedio en Matemática 172

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

1. ¿Analiza los resultados de la evaluación Pisa 2009 en matemática y qué harías desde tu aula para revertir este resultado? 2. ¿Cuál serían las posibles causas de los resultados de la evaluación Pisa 2009? 3. Analiza los indicadores de logros y responde desde tu práctica docente ¿En qué nivel se ubican tus estudiantes? 4.

¿Qué estás haciendo para revertir estos resultados?

173

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

BIBLIOGRAFÍA 1. ANDRADE, R. (2001). Construyendo paradigmas. Diario Frontera. 2. Baroody, A. J. (1988). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Visor/MEC. 3. Brousseau, G. (1988). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Suma, 4: 5-12 y Suma 5: 5-12 (segunda parte). 4. BOLAÑOS, F. (2001). El pensamiento complejo y los retos de la educación. Perú: 5. REDUC. (1998). Currículo y Didáctica 2da. Parte. Programa de Complementación Académica. UPCH, 6. DÍAZ, F. y HERNÁNDEZ, G. (1998)Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Ed. 7. Flores, P. (2001). Aprendizaje y evaluación. En E. Castro (Ed.), Didáctica de la matemática en la Educación Primaria (pp. 41-59). Madrid: Síntesis. 8. Font, V (1994). Motivación y dificultades de aprendizaje en matemáticas. Suma, 17: 1016 9. MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2005) Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular. DINEIP- DINESST. Lima: Ministerio de Educación. 10. • GIMENO, J. (1985). El Currículum: una reflexión sobre la práctica. Madrid:Ediciones Morata. 11. HUERTA, M. (2002). Enseñar a aprender significativamente. San Marcos. 12. Instituto Internacional para el Pensamiento Complejo. (2006). ¿Qué es el pensamiento complejo y la complejidad? http:/www.complejidad.org.iipc.htm- Setiembre. 13. Bateson. G.(2009): un pensamiento (complejo) para pensar lacomplejidad. Un intento de lectura/escritura terapéutica. 14. MAGEDNZO, A.(1996). Currículo, Educación para la Democracia en la modernidad.Bogotá y Santiago de Chile: Instituto para el desarrollo dela democraciaPIIE. 15. MORIN, E. (1999). Los siete saberes necesarios a la educación del futuro.UNESCO. 16. MOTOS,T. (2008). Profesor Titular de Didáctica y Organización Escolar, Universidad de Valencia, e-mail: Tomas.Motos@uv.es 17. QUINECHE, D. (2000). Currículo por Competencias. Perú. 18. • ROMÁN, M. (1994), Curriculum y Programación. Diseños Curriculares de aula. Editorial EOS. 19. TORRES, J. (2009). Globalización e interdisciplinariedad: el currículum integrado.Ediciones Morata. 20. WOOLFOLK, A. (2009). Psicología Educativa. Prentice Hall 21. ZABALA, A. (1999). Enfoque Globalizador y Pensamiento Complejo. Ed. Grao.1997 La práctica educativa. Cómo enseñar. Ed. Grao. 22. ZABALZA, M.(2004). Diseño y Desarrollo Curricular. Cuarta Edición. España:Nancea, S.A. Reediciones. 23. OCDE/INECSE/MEC (2004): Aprender para el Mundo de Mañana. PISA 2003, Resumen de Resultados. OECD, The definition and selection of key competencies. Executive Summary. (http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/47/61/35070367.pdf). 24. Pérez, Á. I. (2007). La naturaleza de las competencias básicas y sus aplicaciones pedagógicas. Cuadernos de Educación, nº 1. Santander, Consejería de Educación del Gobierno de Cantabria. 25. Pérez, R. (2008). “Curso Competencia Matemática”. CIEFP de Santander.

174

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONAES EDUCATIVAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

26. PISA (2006). Marco de la evaluación. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. 27. Proyecto ATLÁNTIDA, (2006). Bases para una estrategia de asesoramiento al desarrollo de un currículo basado en competencias. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. 28. Roig, A. y Linares, S., (2004). Dimensiones de la Competencia Matemática al finalizar la E.S.O.Caracterización y Análisis. Departamento Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante. 29. Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES, (2000). Principios y Estándares de Calidad para la Educación Matemática. NCTM. 30. “Competencias y uso social de las matemáticas”. UNO, Revista Didáctica de las Matemáticas, nº 46 (Junio 2006). 31. Grupo de Trabajo de Competencias Básicas Consejería de Educación de Cantabria. (2007). Las competiciones básicas y el currículo: orientaciones generales. Cuadernos de Educación nº 2. Santander, Consejería de Educación del Gobierno de Cantabria. 32. Skemp, R. (1980). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: Morata. 33. www.pisa.oecd.org/ La educación peruana en el contexto de PISA. 34. www.gruposantillana.com.pe/novedades/fasciculo.pdf Fundación Santillana 35. http://www2.minedu.gob.pe/umc/index2.php?v_codigo=80&v_plantilla=2PISA 2001 en Perú.

36. http://www.educared.edu.pe/Multimedia_PruebasPisa.asp. Conferencia: Las pruebas PISA: ¿Por qué y para qué?. Realizado en Auditorio de Fundación Telefónica. Fecha: 20 de mayo de 2009. Ponente: Andreas Schleicher, Jefe de la División de Indicadores y Análisis de la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE)

175