Resolução Capítulo 4 1 Formam-se n triângulos com palitos conforme mostram as figuras. Qual o número de palitos usados para construir n triângulos? Resolução: Sendo n o número de triângulos formados, podemos perceber que: Para n = 1 temos 3 palitos. Para n = 2 temos 5 = 3+2 palitos. Para n = 3 temos 7 = 5+2palitos. Daí, podemos [juntamente com o aluno] inferir que: Para n = 4 teremos 9 = 7+2 palitos. Para n = 5 teremos 11 = 9+2 palitos. Ou seja, a quando aumentamos em uma unidade o número de triângulos, temos que somar dois palitos. Portanto, podemos imaginar neste exemplo como sendo uma P.A. de primeiro termo sendo 3 e de razão sendo 2. Agora basta expressarmos a fórmula do n-ésimo termo, que será justamente a quantidade de palitos usados para formar n triângulos. an = a1+(n-1)r an = 3+(n-1)2 = 3+2n-2 = 2n+1 Resposta: 2n+1 OBS: Indico para o tutor do 0800 que após encontrar a expressão, verifique com o aluno que ela é válida para n = 1, n = 2. Assim temos mais garantias de que houve o entendimento da utilidade da fórmula além de esclarecer quem representa o que dentro da expressão.
2 Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética. Determine o ângulo mediano. Resolução: Temos uma progressão aritmética de 5 termos, em que se soubermos os seus respectivos valores, resolvemos o problema. Mas, através da geometria, sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um pentágono: S = (n-2)180º S = (5-2)180º = 3x180º = 540º A partir de agora, temos uma P.A. cuja soma dos termos é 540º e que possui 5 termos. Utilizando a fórmula da Soma de n termos de uma P.A. temos: Sn = [(a1+an)n]/2 (Substituindo os respectivos valores) 540º = [(a1+a5)5]/2 (Passando o 5 para o primeiro membro dividindo) 108º = (a1+a5)/2 Como o termo mediano é a média dos termos equidistantes dos extremos, já temos o que queríamos. Resposta: O termo mediano é 108º.
3 (Onde estiver escrito r(a) leia "raíz quadrada de a".) Se 3-x,-x,r(9-x),... é uma progressão aritmética, determine x e calcule o quinto termo. Resolução: Vamos representar a razão desta progressão aritmética pela letra R. Se (3-x,-x,r(9-x),...) é uma PA então sabemos que: -x-(3-x) = R e [r(9-x)]-(-x) = R, daí... [r(9-x)]-(-x) = -x-(3-x) [r(9-x)]+x = -x-3+x r(9-x) = -x-3 (Elevando ambos membros ao quadrado) 9-x = x²+6x+9 x²+7x = 0 x(x+7) = 0 x = 0 ou x = -7 Mas, substituindo 0 (zero) na PA, ela fica descaracterizada, portanto é válida a outra solução, daí... x = -7 Então a PA fica: (10,7,4,...). Onde podemos facilmente perceber que a razão é -3 e que o quinto termo é -2. Resposta: O valor de x é -7 e o quinto termo é -2.
4 Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2,5,8,11,... desde o 25º até o 41º termo, inclusive. Resolução; Primeiramente percebemos que é uma PA de primeiro termo a1 = 2 e de razão r = 3. Para calcular a soma, precisamos do 25º termo e do 41º termo, vamos então calculá-los primeiramente. a25 = a1+24r a25 = 2+24x3 a25 = 2+72 = 74 a41 = a1+40r a41 = 2+40x3 a41 = 2+120 = 122 Agora estamos aptos para calcular a soma, lembrando que será a soma de (41-25)+1 = 17 termos. S = [(a25+a41)x17]/2 S = [(74+122)x17]/2 S = [(196)x17]/2 S = [3332]/2 S = 1666
Resposta: A soma vale 1666. OBS: É comum que o aluno tenha dificuldade em compreender o porquê de estarmos utilizando o n = 17, mas normalmente esta dificuldade é superada quando prestamos atenção em explicar que o n da fórmula da soma é a quantidade de termos que estamos somando, que neste caso específico não é equivalente à quantidade de termos da PA. E, se houver falta de compreensão do porquê desta quantidade ser 17 (ou seja, o aluno não entender a expressão (41-25)+1, dê exemplos menores, por exemplo se fossem 5 termos e quiséssemos somar do terceiro até o 5. Se fizermos a diferença 5-3 = 2, temos supostamente 2 termos para somar, mas na realidade temos um a mais, por isso somamos o 1.
5 Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400. Resolução: O menor inteiro maior que 200 que deixa resto 7 na divisão por 11 é 205 (podemos descobrir isso por tentativa e erro mesmo, não tem problema). O maior inteiro menor que 400 que deixa resto 7 na divisão por 11 é o 392. Como, necessariamente depois de 205, o próximo inteiro que deixa resto 7 na divisão por 11 é justamente 205+11 = 216, e assim por diante (os inteiros vão de 11 em 11), podemos imaginar a seguinte PA: (205,216,...,392) Onde seu primeiro termo a1 = 205 e sua razão r = 11. Para calcularmos a soma dos termos de 205 até 392, precisamos saber quantos termos temos, ou seja, encontrar o índice do termo an = 392. Para tanto podemos utilizar a fórmula do termo geral da PA. an = a1+(n-1)r 392 = 205+(n-1)11 392 = 205+11n-11 392+11-205 = 11n 198 = 11n 18 = n (ou seja, do 205 até o 392 temos 18 termos) Agora estamos aptos para calcular a soma dos termos. Sn = [(a1+an)xn]/2 S18 = [(205+392)x18]/2 S18 = [597x18]/2 S18 = [10746]/2 S18 = 5373 Resposta: A soma de todos os inteiros, nestas condições, é: 5373 6 Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8 000,00, desvalorizou-se de tal forma que seu valor daqui a 4 anos será de R$ 2 000,00. Supondo constante a desvalorização anual, qual será o valor do bem daqui a 3 anos? Resolução: Podemos pensar neste problema como uma PA, onde cada termo representa o valor do bem em um respectivo ano. Por exemplo o valor do bem no ano inicial é representado pelo primeiro termo, o valor do bem após passar o primeiro ano é representado pelo segundo termo, o valor do bem após passar o
segundo ano é o terceiro termo, o valor do bem após passar o terceiro ano é o QUARTO TERMO, e assim por diante. Então podemos dizer que; a1 = 8000 e a5 = 2000 Queremos descobrir quanto vale a3. Porém, para descobrirmos isso, precisamos saber quanto vale a razão. Vamos encontrar a razão através da fórmula do termo geral da PA. a5 = a1+4r (onde r é a razão) 2000 = 8000 + 4r 2000 - 8000 = 4r -6000 = 4r r = -1500 Ou seja, anualmente o valor do bem vai decrescendo (ênfase na razão negativa) exatamente 1500 reais. Portanto, podemos montar a PA: (8000,6500,5000,3500,2000), em que o QUARTO TERMO é 3500. Como havíamos combinado no início, o quarto termo corresponde ao valor que o bem terá daqui a três anos. Resposta: Daqui a 3 anos o valor do bem será R$ 3 500,00. OBS: Se for possível, é bom que aproveitemos para observar bem que o fato da razão ser negativa faz com que o valor dos termos vá caindo conforme "andamos" na PA no sentido da esquerda para a direita.
7 Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmética na qual a soma dos n primeiros termos é, para todo n: a)Sn = 2n²+n Resolução: Para n = 1 temos que o primeiro termo vale: S1 = (2x1²)+1 = 2+1 = 3 Para n = 2 temos que a soma do primeiro com o segundo termo vale: S2 = (2x2²)+2 = (2x4)+2 = 8+2 = 10 Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 10-3 = 7. Portanto a razão vale 4. Daí, a soma dos termos é: Sn = [(a1+an)xn]/2 Sn = [(3+an)xn]/2 [como an = 3 + (n-1)x4] Sn = [(3+3+(n-1)4)xn]/2 Sn = [(4n+2)xn]/2 Sn = 2n²+n Como tudo confere... Resposta: O primeiro termo é 3 e a razão é 4. b)Sn = n²+n+1 Resolução:
Para n = 1 temos que o primeiro termo vale: S1= 1²+1+1 = 3 Para n = 2, a soma do primeiro termo com o segundo termo vale: S2 = 2²+2+1 = 4+3 = 7 Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 4 = 73. Portanto a sua razão vale 1. Daí a soma dos termos é: Sn = [(a1+an)xn]/2 Sn = [(3+an)xn]/2 Sn = [(3+3+(n-1))xn]/2 Sn = [(5+n)xn]/2 Sn = (n²+5n)/2 Porém, por exemplo, para n = 4 a fórmula cedida no enunciado dá Sn = 21 e a fórmula encontrada na resolução dá Sn = 12. Portanto, necessariamente as fórmulas não são equivalentes. Resposta: Não existe tal P.A.
8 No turno do campeonato brasileiro de futebol que é disputado por 22 clubes, quaisquer dois times jogam entre si uma única vez. Quantos jogos há? Resolução: Primeira maneira: Usando P.A. Se tivermos 1 time, não é possível haver partidas. Se tivermos 2 times, 1 partida é possível. Se tivermos 3 times, 3 partidas são possíveis. Se tivermos 4 times, 6 partidas são possíveis. Se tivermos 5 times, 10 partidas serão possíveis... Ou seja, ao adicionarmos um time ele adiciona o número de times anterior ao número de partidas. Fica melhor explicado no esquema abaixo: times & partida 1&0 2 & 1 = 0+1 3 & 3 = (0+1)+2 4 & 6 = ((0+1)+2)+3 5 & 10 = 6+4 = (((0+1)+2)+3)+4 6 & 15 = ((((0+1)+2)+3)+4)+5 7 & 21 = 15+6 = (((((0+1)+2)+3)+4)+5)+6 Notemos que a quantidade de partidas é quase uma PA, só não é pois a razão desta sequência aumenta de 1 em 1. Mas, como podemos ver, esta sequência é justamente o valor da soma dos termos de uma PA em cada quantidade de termos. Notemos também que a soma pára sempre no termo anterior da quantidade de times que queremos calcular. Portanto, para calcular a soma no caso de 22 times paramos no 21. 1+2+3+...+21 = Sn = [(1+21)x21]/2 = 231 Segunda maneira: Usando geometria.
Podemos pensar em cada time como um ponto e cada partida como um segmento que liga estes dois pontos. É claro que com dois times temos apenas um segmento possível, ou seja, uma partida possível. Com 22 times, podemos pensar em 22 pontos, onde cada segmento possível de se formar é uma partida. Oras, temos então um polígono de 22 lados onde todos os seus lados e suas diagonais vão representar uma partida. Quantas diagonais tem um polígono de 22 lados? D = [(n-3)xn]/2 = [(22-3)x22]/2 = 19x11 = 209 Mas, 209 são somente as diagonais, temos que somar os lados que são 22. Daí temos 209+22 = 231, que será a quantidade de segmentos possíveis ou no caso, a quantidade de partidas. Terceira maneira: Usando combinatória. Podemos pensar que para que ocorra uma partida devemos escolher 2 times dentre 22, caso em que a ordem da escolha não importa. Temos então uma combinação simples de 22 elementos tomados de 2 em 2. C(22,2) = (22!)/[(22-2)!x2!] = (22!)/[20!x2!] = (22x21)/2 = 462/2 = 231 Resposta: Há 231 jogos.
9 Uma bobina de papel tem raio interno 5cm, raio externo 10cm e a espessura do papel é 0,01cm. Qual é o comprimento da bobina desenrolada? OBS: Esta questão não é tão simples para o aluno compreender, principalmente à distância. Daí, temos que dar bastante ênfase ao desenvolvimento da questão. Resolução: Vamos analisar a situação. Temos uma bobina em que o papel está enrolado, começando com o raio de 5cm. Na medida que enrolamos o papel o raio vai aumentando de 0,01cm em 0,01cm até chegar em 10cm de raio. Ou seja, podemos pensar em uma PA onde o primeiro termo é a1 = 5, o último termo é an = 10 e a razão é r = 0,01 [tudo na unidade de centímetros]. O enunciado nos pergunta qual é o comprimento da bobina desenrolada. Temos que concordar que este comprimento é aproximadamente o comprimento de cada volta que a bobina possui somado, ou seja, é cada comprimento de circunferência cujo raio é um dos termos da PA, somado. Podemos então escrever: Ct = C1+C2+C3+...+Cn Onde Ct é o comprimento total que queremos calcular. C1 é o comprimento da circunferência cujo raio é o primeiro termo da PA. C2 é o comprimento da circunferência cujo raio é o segundo termo da PA. Cn é o comprimento da circunferência cujo raio é o último termo da PA. Ct = 2x(pi)x5 + 2x(pi)xC2 + ... + 2x(pi)10 Ct = 2x(pi)x[5 + C2 + C3 + ... + 10] Mas, dentro dos colchetes temos a soma dos termos da nossa PA. Portanto basta calculá-la, só que para isso precisamos primeiramente saber o número n de termos, para resolver este problema vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, aplicada no último termo.
an = a1+(n-1)xr 10 = 5+(n-1)x(0,01) 10 = 5+(0,01)n-(0,01) 10 = (0,01)n+(4,99) 10-4,99 = (0,01)n 5,01 = (0,01)n n = 501 Sn = [(a1+an)xn]/2 S501 = [(5+10)x501]/2 S501 = [15x501]/2 S501 = 7515/2 = 3757,5 Ct = 2x(pi)x(3757,5) [Fazendo pi = 3,14(lembre-se que é uma aproximação!)] Ct = 2x(3,14)x(3757,5) = 23597,1cm = 235,971m Resposta: Aproximadamente 236m.
10 Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano? OBS: Nessa questão é importante darmos ênfase à busca por alguma regularidade na sequência encontrada. Resolução: Seja n o número de retas. Se n = 0 temos apenas 1 região no plano. Se n = 1 o plano necessariamente fica dividido em duas partes. Se n = 2, no máximo o plano fica dividido em 4 partes Se n = 3, no máximo o plano fica dividido em 7 partes. Se n = 4, no máximo o plano fica dividido em 11 partes. Com isso, podemos notar algumas regularidades na sequência: 2,4,7,11,.. 1 = 0+1 2 = 1+1 4 = 2+2 = (1+1)+2 7 = 3+4 = [(1+1)+2]+3 11 = 4+7 = {[(1+1)+2]+3}+4 . . . 1+1+2+3+4+5+...+n = 1 + Sn [onde Sn é a soma dos termos da PA: (1,2,3,4,5,...,n).] 1+Sn = 1+[(1+n)xn]/2 = 1+[n²+n]/2 = (n²+n+2)/2 Daí, quando o número de retas for n, no máximo poderemos dividir o plano em (n²+n+2)/2
Exercícios de Vestibular
1) (UFRJ / 2006) Considere uma escada com infinitos degraus, de alturas definidas conforme a figura a seguir.
,
,
, ...,
Calcule a altura da escada em função de a, b e c.
Solução: Seja h a altura da escada. Ora, da figura temos que h=
+
+
+ ... (1)
Como os sucessivos triângulos retângulos (em que o primeiro tem o cateto horizontal, deitado, igual a b, e o segundo, igual a c) formados pelos degraus são semelhantes, resulta que =
= = razão de semelhança entre a altura de cada degrau e a altura do degrau anterior
Mas c < b => As alturas constituem uma P.G. de razão menor que 1 => A soma dos valores de seus termos converge. Todavia, a soma dos termos dessa P.G. nada mais é que a altura h da escada (de (1)). Então h =
=
=
2) (UFRJ / 2005) Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1º de abril de 2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos no final do dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no final do dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, como elas informaram. a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia. Quantos amigos havia na lista de Ana em 1º de abril? Solução: Se 20 novos amigos entraram para a lista de Bia no dia seguinte a 1º de abril, isso significa que ela tinha, nesse dia, pelo que informou sobre o acréscimo de amigos à sua lista, 20 / 5 = 4 amigos. Mas nesse dia Ana tinha exatamente 128 vezes mais amigos que Bia. Logo, Ana tinha 4 x 128 = 512 amigos, em 1º de abril de 2005.
b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior que o número de amigos de Ana. Se precisar, use = 1,585. Solução: o número de amigos de Ana, a partir do dia 2 de abril de 2005, obedece à seguinte lei de formação: 512 + 512 x 3 + 512 x + 512 x + ... + 512 x , onde n = número de dias decorridos desde 1º de abril. Já o número de amigos de Bia, nesse mesmo período, está sujeito à regra 4 + 4 x 5 + 4 x + 4 x + ... + 4 x , para o mesmo n descrito anteriormente. O número de amigos de Bia, portanto, passa a ser maior que o número de amigos de Ana em um dia n que é o menor inteiro que satisfaz a inequação que compara as somas de termos de duas P.G.s, uma de termo inicial igual a 512 e de razão igual a 3, e a outra de termo inicial igual a 4 mas com razão igual a 5. Escrevendo as expressões para ambas as somas e estabelecendo a condição que acabamos de escrever, vem: 4x
> 512 x
, que, simplificada se reduz a
> 256 x
Aplicando logaritmos na base 2 a ambos os lados dessa inequação ficamos com (n + 1) x
>
+ (n + 1) x
(n + 1) x (
-
) > 8 => n + 1 >
. Mas
= 8, e então = 10,856 =>
= 10
Então o número de amigos de Bia ultrapassará o de Ana 10 dias depois de 1º de abril, ou seja, no dia 11 de abril de 2005 (obs.: o gabarito está incorreto) 3) (UEZO / 2006) Em um terremoto, ocorreram vários tremores. No primeiro minuto, apenas um; no segundo, três; no terceiro, cinco; no quarto, sete... Dessa forma, podemos dizer que no décimo minuto o número de tremores foi igual a: (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21 Solução: No i-ésimo minuto o número de tremores será dado por = 1 + (i-1) x 2 Fazendo i = 10 obtemos
= 1 + (10 – 1) x 2 = 1 + 18 = 19 => opção correta: letra C
4) (UFRJ / 2004) Filipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra como mostrado a seguir: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ----------------------
Considerando que Filipe mantenha em todas as linhas o padrão adotado: a) determine quantos números ele escreverá na 50ª linha; Solução: a quantidade de números na i-ésima linha pode ser dada por Fazendo i = 50 obtemos
= 1 + (i-1) x 2
= 1 + (50 – 1) x 2 = 1 + 98 = 99
b) determine a soma de todos os números escritos na 50ª linha; Solução: Como é facilmente observável, cada linha i começa exatamente com o número natural i. Os números que são escritos a partir de i são os naturais que lhe sucedem, numa quantidade sempre ímpar e que vale (2 x i – 1). Então o último número na 50ª linha pode ser calculado como sendo 50 + [(2 x 50 – 1) – 1] x 1 = 50 + 100 – 2 = 148. Agora, para obter a soma de todos os números nessa linha sabemos que o primeiro é 50, o último 148 e que são exatamente 99 números. Basta então se dar conta de que a soma que nos interessa calcular é: 50 + 51 + 52 + ... + 146 + 147 + 148 = 49 x 198 + 99 = 9801 c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar. Solução: retomemos o nosso raciocínio do item anterior, e examinemos a soma dos elementos da i-ésima linha. Como vimos essa linha começa com o elemento cujo valor é i, e ela tem (2 x i – 1) elementos. Ou seja, seu último elemento vale i + [(2 x i – 1) – 1] x 1 = i + 2 x i – 2 = 3 x i – 2. Então a soma dos elementos dessa linha vale (2 x i – 1) x (i + 3 x i – 2) / 2 = (2 x i – 1) x ( 4 x i – 2) / 2 = (2 x i – 1) x (2 x i – 1) = número ímpar, 2 x i – 1.
, que é o quadrado de um
5) (UFRRJ / 2003) Júlio foi a um baile comandado pela Orquestra Boa Música, que tocava em períodos de 45 minutos e parava 15 minutos. Observe, abaixo, como Júlio dançou.
E assim dançou, sucessivamente, até o fim do baile, que começou às 23h e terminou às 4h do dia seguinte. O número de vezes que Júlio dançou foi: (A) 45
(B) 50
(C) 55
(D) 60
(E) 65
Solução: Como cada rodada consumia exatamente uma hora, já que a orquestra tocava por 45 minutos e parava por 15, e Júlio ficou no baile por 5 horas, foram 5 as rodadas que ele dançou. Na primeira coluna temos uma P.A. cujo primeiro termo é 2, e na segunda e terceira colunas P.A.s cujo primeiro termo é 1, sendo que nos três casos a razão é igual a 1. Assim, o número de vezes que Júlio dançou é dado por: 5 x { [2 + (2 + 4 x 1)] + 2 x [1 + (1 + 4 x 1)]} / 2 = 5 x (8 + 12) / 2 = 50 => opção correta: letra B 6) (CEDERJ / 2001) Meu avô, que nasceu no dia 29 de fevereiro de um ano bissexto, tem, na presente data, 77 anos de idade. Determine quantos aniversários do meu avô correram no dia e mês exatos do seu nascimento. Solução: Como a pessoa tem 77 anos e só pode comemorar no dia exato em um ano a cada quatro anos, basta dividir 77 por 4, obtendo 19. Mas ocorre que tanto o ano inicial de cada intervalo de 4 como o ano final são bissextos, portanto é preciso acrescentar uma unidade ao total de dias 29 de fevereiro que ele viveu. Mas ele nasceu em um deles, portanto de fato o avô comemorou 19 aniversários no dia exato, em 77 anos de vida. 7) (UERJ / 2007) A figura mostra uma sequência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão tal que AB / BC = BC / CD = CD / DE = .... Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a: (A) 2 + √
(B) 2 + √
(C) 3 + √
(D) 3 + √
Solução: Da figura temos AB = BC + CD, isto é, BC + CD = 2 e BC +
= 2 ou
=
, o que nos faz chegar a
+ 2 x (BC) – 4 = 0. Resolvendo essa equação ficamos com BC = √ - 1.
Ou seja, a soma pedida é a soma de termos de uma P.G. de razão menor que 1, o que significa que essa soma converge, e para
√ –
=
√
= 3 + √ . Opção correta: letra D.
8) (PROVÃO / 2001) Uma partícula se move sobre o eixo dos x, partindo da origem. No primeiro minuto, ela avança 1 unidade para a direita; no segundo minuto, retrocede 0,5 unidade; no terceiro minuto, avança 0,25 unidade; e, assim, sucessivamente, alternando avanços com retrocessos, as distâncias percorridas formando uma progressão geométrica. O limite da abscissa da partícula, quando o tempo tender para infinito, é
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3/4
(D) 3/5
(E) 7/10
Solução: Vamos separar o movimento em suas duas componentes, uma de avanço e outra de retrocesso. Ambas, por construção, vão equivaler a P.G.s de razão 1/4: Avanços: 1 – 0,25 – 0,625 - ... Retrocessos: 0,5 – 0,125 – 0,3125 - ... No limite o avanço tenderá a ser de
–
, e o retrocesso de
–
, ou seja, a abscissa
tenderá a ser 4/3 – 2/3 = 2/3. Opção correta: letra B. 9) Durante uma experiência em laboratório, observou-se que uma bola de 1 kg de massa, deslocando-se com uma velocidade v, medida em km/h, possui uma determinada energia cinética E, medida em joules. Se (v,E,1) é uma progressão aritmética e φ = (A) φ/2
(B) φ
(C) 2 φ
√
, o valor de v corresponde a:
(D) 3 φ
Solução: Da Cinemática sabemos que E = m. /2, de modo que o fato de existir a P.A. acarreta em v + 1 = 2.E, ou v + 1 = . Então, resolvendo a equação do 2º grau, chega-se a v = φ. Opção correta: letra B. 10) (UERJ / 2006) Num experimento para a determinação do número de partículas emitidas pelo radônio, foi utilizada uma amostra contendo 0,1 mg desse radioisótopo. No primeiro dia do experimento, foram emitidas 4,3 x partículas. Sabe-se que a emissão de um dia é sempre 16% menor que a do dia anterior. O número total de partículas que essa amostra emite, a partir do primeiro dia do experimento, é aproximadamente igual a: (A) 4,2 x (B) 2,6 x (C) 4,3 x (D) 2,7 x Solução: As emissões formam uma P.G. de razão igual a 1 – 16% = 84% ou 0,84. Assim, o número de partículas emitido ao longo de todo o experimento é a soma dos termos dessa P.G., que, por ter razão menor que 1, converge para S=
–
=
= 26,875 x
, ou seja, aproximadamente 2,7 x
. Opção correta:
letra D. 11) (UniRio / 2004) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os números dessa linha, encontrou: (A) 800 (B) 900 (C) 1000 (D) 1100 (E) 1200 Solução: Em cada linha a quantidade de números que se escreve é exatamente igual ao ordinal da linha (de fato, há um número na primeira linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante). Então o primeiro número na décima linha é o número ímpar de ordinal igual à soma dos números naturais de 1 a 9, mais 1. Ou: = 2 x {[9 x (1 + 9) / 2] + 1} - 1 = 91 E o décimo número nessa linha é o número ímpar cujo ordinal é nove unidades maior, ou seja, dezoito unidades maior que o que acabamos de calcular. Isto é, = + 18 = 109 Portanto, a soma dos números na décima linha é a soma dos termos de uma P.A. de dez termos, começando em 91 e terminando em 109, com razão igual a 2: S = 10 x (91 + 109) / 2 = 1000. Opção correta: letra C.