Fr modulo i

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MÓDULO I FUNCIONES REALES

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Funciones Reales OBJETIVO Una vez finalizado el módulo I, el estudiante de Ingeniería resolverá problemas relacionados con funciones algebraicas y trigonométricas tomando en consideración las definiciones y propiedades pertinentes.

EL PLANO REAL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Las coordenadas cartesianas se usaron para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

Por lo tanto, si el sistema en si es un sistema bidimensional (sólo posee dos dimensiones: alto y largo, no posee profundidad), se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema.

Es el sistema formado por dos rectas perpendiculares, que se cortan en un punto llamado origen. Las rectas que se cortan se llaman ejes de coordenadas.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y).

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Y Eje horizontal

Eje vertical

X X

Y Eje de las abscisas

Eje de las ordenadas

Recordemos que un par ordenado de números reales es una pareja de numeros reales, en la cual se distigue un orden. Es decir, (a,b) ≠ (b,a)

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. De esta manera: Para denominar a un punto, se lo hace mediante la designación de un “par ordenado”, por ejemplo: 2,3; indicará que el punto se encuentra en la intersección de +2 del eje de abscisas y +3 del eje de ordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes: Representación de puntos en el plano I: Primer cuadrante { (x, y) / x > 0, y > 0 }

II (-x, y)

I (x, y)

II: Segundo cuadrante = { (x, y) / x < 0, y > 0 } III: Tercer cuadrante { (x, y) / x < 0 , y < 0 }

III (-x, -y)

IV (x, -y)

IV Cuarto cuadrante { (x, y) / x > 0, y < 0}

Veamos los siguientes puntos represantados en el plano cartesiano

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Actividad sugerida Representar en el plano cartesiano los siguientes puntos: A(4,3) C(3,-4)

B( -2,4)

CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. El salario de una persona, puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una fabrica puede depender del número de máquinas que se usen; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse por medio de una función Dados los conjuntos no vacíos A y B se llama función del conjunto A en el conjunto B a toda relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y nada más que uno. Se anota f: A → B y se lee " función del conjunto A en el conjunto B mediante f. f es el operador determinado por la regla, ley o fórmula que permite relacionar a los elementos del conjunto A con los del conjunto B. Para denotar una función se usan los símbolos f, g y h.

Las funciones de la forma f: x → R las llamamos funciones reales de variable real, donde los elementos del dominio y del rango pertenecen a R.

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Sean X e Y dos conjuntos de números reales.

Una función real f de una variable real x de X e Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y. Todas las funciones son relaciones, sin embargo, no todas las relaciones son funciones.

Ejemplo: { ( 1,1), (2,2 ), (3,7 ), (3,5 )}es una relación con dominio {1, 2, 3} y recorrido { 1,2,7,5}, pero no es función porque (3,7) y (3,5) tienen igual el primer elemento. Por lo contrario: A B

1 3 4

2 4

Es una relación con dominio{1,3,4}, recorrido {2,4}. Nótese que hay dos pares que tienen el segundo elemento igual.

La definición de función como un conjunto de pares ordenados en vez de una regla de correspondencia, produce un significado más preciso. Una FUNCION es un conjunto de pares ordenados de números (x,y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer número.

Observacioón: Para que una función quede definida es necesario determinar:  El conjunto inicial o dominio de la función.  El conjunto final o imagen de la función.  La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por: f: R → R x → x2

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en este caso asigna a cada numero real su cuadrado y El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES En una función al conjunto de partida se le llama DOMINIO. Es decir, Dominio es el conjunto de todos los valores para los cuales la función esta definida. Su notación es: Dom(f). El conjunto formado por todas las imágenes que se obtienen al aplicar la sustitución de los valores del dominio en la función se le llama RANGO, su notación es: Rgo(f) El dominio de una función son todos los valores que puede tomar la variable independiente “x” para crear un valor de la variable dependiente “y”.

El Rango de una función son todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y” en función de los valores asignados a “x”.

CALCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCION REAL En muchos casos, cuando la función esta dada por una fórmula, hay números reales que al sustituirlos en dicha fórmula dan números que no son reales.

CASOS: 1.) Cuando es una fracción y el denominador es cero. La función NO esta definida en el conjunto R. 2.) Cuando es una raíz de índice par y en la parte subradical aparecen números negativos, la respuesta es un número complejo, es decir, la función no esta definida en el conjunto R.

− número = Número complejo ∉ R 3.) Cuando la variable esta en el denominador: Como el denominador no puede valer cero ( D ≠ 0 ), se procede así: par

Se determina para que valores de X la fracción de cero a) Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante b) El dominio de la función, es el conjunto de los números reales, menos el número o números que resulten de resolver la ecuación anterior.

Ejemplo: Determine el dominio de f(x) = Solución: igualamos a cero el denominador

⇒

2 2x − 2

2x - 2 = 0

Entonces el dominio es: Dom (f): R - { 1 }

⇒

2x = 2

⇒

x=1

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Ejemplos propuestos: Determinar el dominio de: f(x) =

3x x −9

f(x) =

2

2x +1 x + 2x − 8 2

4.) Cuando la variable está en la parte subradical de una raíz de índice par Como la parte subradical no puede ser negativa, se procede así: a) Con la parte subradical formamos una inecuación mayor o igual a cero y la resolvemos. b) El dominio de la función es el intervalo que resulte en la resolución de la inecuación.

Ejemplo: f(x) =

2 x −8

Solución: 2x - 8 ≥ 0 ⇒ 2x Dom(f): [ 4, + )

∞

≥

8

⇒

x

≥4

Ejemplo propuesto Halle el dominio de: f(x) =

4

2x + 3 4

5.) Cuando el índice es impar, para cualquier valor de x la solución es un número real F(x) =

3

x2 + 3

Dom(f) : R

6.) En la función polinómica, el dominio son todos los reales.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA FUNCION El concepto de Función como un conjunto de pares ordenados permite enunciar la definición de gráfica de una función: Si "f" es una función, entonces la gráfica de "f" es el conjunto de todos los pares ordenados del plano real que pertenecen a la función.

La gráfica de una función f equivale a la gráfica de una ecuación Y = f(x).

Recuerde: para que exista una función, debe haber un solo valor de la variable dependiente (x) para cada valor de la variable independiente (y) en el dominio de la función. En términos geométricos, esto es: la gráfica de una función puede ser cortada por una recta vertical a lo más en un punto.

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Para hacer la representación gráfica de una función real se halla las imágenes de los elementos del dominio mediante la fórmula dada por la función y después los pares ordenados los representamos en ejes de coordenadas.

El conjunto de los pares de números (x,y) determinados por la función recibe el nombre de gráfica de la función y su representación permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

En las funciones de la forma f: R → R, como el dominio es el conjunto formado por los números que forman el conjunto R, es imposible hallar todas las imágenes, por lo tanto, se toman ARBITRARIAMENTE los números reales que necesitemos, hallamos sus imágenes y finalmente unimos con una línea continua estos puntos.

Ejemplo: Representar gráficamente la siguiente función: y = f(x) = x + 1.

Solución: formamos una tabla de valores con algunos elementos del dominio ( cualquier valor real) x -2 -1 0 1 2

y -1 0 1 2 3

(x,y) (-2,-1) (-1,0) (0,1) (1,2) (2,3)

4

Y

3

f(x) = x + 1

2 1 -2

-1

1

2

3…

X

Actividad sugerida Hallar la representación grafica de f(x) = x 2 + 3x - 4 siendo Domf(x) = [ -3,2 ]

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ÁLGEBRA DE FUNCIONES Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Estas operaciones son las funciones definidas por: SUMA: ( f + g)(x) = f(x) + g(x) DIFERENCIA: ( f - g)(x) = f(x) - g(x) PRODUCTO: ( f . g)(x) = f(x) . g(x) f COCIENTE:  g 

 f ( x)  ( x ) = g ( x ) 

En estos casos, el dominio de la función resultante, es los valores de “x” comunes a los dominios de f y g. Con la diferencia en el cociente que se excluyen los valores de “x” para los que g(x) = 0 (valores que anulen el denominador)

Otra operación con funciones es la obtención de la FUNCIÓN COMPUESTA: dadas dos funciones f y g, la función compuesta, representada por fog, esta definida por: (fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todos los valores “x” en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.

Ejemplo: Sean las funciones f y g, definidas por: f(x) = x y g(x) = 2x - 3. El dominio de la función compuesta fog, esta dado por: Solución: ( fog ) ( x ) = f [ g ( x )] = f ( 2 x − 3) = 2 x − 3 Dom(f) = [ 0, +∞ )

Dom(g) = ( -∞ , + ∞ )

Dom(fog)= 2x – 3 ≥ 0

3 ⇒ x ≥ 2

Dom(fog) = [

3 ,+∞) 2

⇒ 2x ≥ 3

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Actividad Sugerida 1.- Dadas las funciones f y g, definidas por: f(x) =

g(x) =

x −4

c.) (f.g)(x)

d.) (

y

x

Determinar: a.) (f + g)(x)

b.) (f – g )(x)

f )(x) g

2.- Dadas las funciones f y g, definidas por: f(x) = x2 + 1 y g(x) = 3x2 Determinar: a.) fof b.) gog c.)fog

d.)gof

3.-Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones: f(x) =

6 2x −6

f(x) =

4

2x + 6 3

f(x) =

f(x) =

8x x −4 2

3

f(x) =

5x + 3

2x +1 x − 5x + 6 2

f(x) =

3 x −5 4 +x

4.- Sea la función f(x) = 3x2 – 5.

Halle: a.) Dominio y Rango de f

b.) f(4) + f(5)

c.) 3f(b-2)

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CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Uniformes Son aquellas en que a cada valor de x le corresponde solamente uno de y Multiformes

Son aquellas en que a cada valor de x le corresponde varios de y

Explicitas

Son aquellas en las que la y está despejada y = 3x +1

Implicitas

Son aquellas en las que la y no está despejada 3x + 4y – 2 = 0

Inversas

Dada una función cualquiera y = f(x), para hallar su inversa despejamos la x, y en la expresión que nos resulta cambiamos la letras, donde haya una x escribimos una y, y donde halla una y escribimos una x

Algebraicas

Son aquellas en las que las operaciones que indica la característica están expresadas por una ecuación cuyo miembros son polinomios enteros de x (polinomicas, racionales e irracionales) y = 2x2 + 3x -1

Transcendentes

Son aquellas en las que las operaciones que indica la característica son funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales. Estas funciones no pueden reducirse a algebraicas. y = 5x

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TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN CONSTANTE Si f(x) = C y C es cualquier número real, entonces f es una función constante y su gráfica es una línea horizontal a una distancia dirigida de C unidades del eje X X 1 2 3 4 . .

Y Y y=C C X

Dado que la variable independiente “x” puede tomar cualquier valor real, entonces: Domf(x) = R Como la función solo toma el valor de C, entonces: Rgf(x) = C

Se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma: f(x) = c Ejemplo .- La función definida por f(x) = 3 es constante y su gráfica es una línea horizontal a una distancia dirigida de C unidades por arriba del eje X. Su dominio son todos los reales; esto es: DomG(x) = R y el rango es {3}

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FUNCIÓN IDENTIDAD Es un caso especial de la función general de primer grado. La función identidad asigna a cada número natural el mismo número.

Los elementos del dominio y el rango son iguales.

La función real f(x) = x de R en R tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas cartesianas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha

Es una función simétrica respecto al origen, f es una función creciente.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Es la función f(x) = x

x si x > 0 ó f: { (x, y) / y = x } donde f(x) = 0 si x = 0 -x si x < 0

El valor absoluto de un número siempre es positivo.

El dominio es ( - ∞ , + ∞ ) = R. El recorrido es el conjunto de todos los números reales no negativos, y se toma proyectando la gráfica de la función sobre el eje Y.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. Su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x, estará siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

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Su gráfica consiste en dos semirectas, una tiene pendiente igual a 1 y la otra igual a menos 1.

Y

X Veamos el siguiente ejemplo: Si Y = f(x) = 3 x −5 entonces: Domf(x) = R. El rango se determina con la gráfica.

Según la definición de valor absoluto: Y = f(x) = 3 x −5

=

3x-5 0 - (3x – 5 )

si 3x – 5 > 0 si 3x – 5 = 0 si 3x – 5 < 0

=

3x-5 0 - (3x – 5 )

si x > 5/3 si x = 5/3 si x < 5/3

Luego: Y = f(x) = 3 x −5 ( - ∞, 5/3 ) -3x + 5

5/3

(5/3, ∞ ) 3x – 5

Por lo tanto: Domf(x) = ( - ∞, 5/3 ) ∪ (5/3, ∞ )

Estudie las siguientes funciones:

y

Rgf(x) = [ 0 , + ∞ )

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Y = x −4 x +1 3

Y = x +5 +2 3 −x

Y =

FUNCIÓN POLINÓMICA Una función que se pueda expresar en la forma f(x) = a n x n + a n −1 + ... + a 0 , en donde n es un entero positivo y a n , a n− 1 x 0 se denomina función n− 1 y a 0 , son números reales con a n ≠ polinómica de grado n en x.

Las constantes a n , a n −1 y a 0 son los coeficientes. Si n = 0 ⇒ f(x) = a, en donde a ≠ 0, se llama función polinómica de grado cero.

Si f(x) = 0 ⇒ polinomio nulo y no tiene grado.

Actividad Sugerida: Determine cada una de las siguientes funciones en forma polinómica e identificar el grado y los coeficientes de la función. f(x) = 2X 3 + 5X 2 - 9X + 3

f(x) = 4

f (x) = -5X

3

+ 7X 2 + 3X - 4

FUNCIÓN LINEAL Es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.

Una función polinómica de la forma f(x) = mx + b, se llama función lineal donde m y b son números reales constantes.

Si m > 0 ⇒ f : R → R / f(x) = mx + b es estrictamente creciente en todo el dominio R. Si m < 0 , la función es estrictamente decreciente.

Si la función carece de término independiente (y = mx) donde m es constante, la línea pasa por el origen.

Si la función es y = mx + b no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje y es igual al término independiente (b) Y

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m>0

X m<0

En la función lineal el dominio y su recorrido son todos los reales (Dom = Rg = R) Veamos el siguiente ejemplo: sea y = 2x + 3 Domf(x) = Rgf(x) = R

Tabla de valores x -1 0 1

y 1 3 5

(x,y) (-1,1) (0,3) (1,5)

Actividad sugerida: Determine dominio , rango y dibujar la gráfica de las siguientes funciones: f(x) = 3X + 2 f(x) = - 3x + 4 FUNCIÓN CUADRÁTICA Es una función polinómica de grado dos(2).

Si y = f(x) es una función cuadrática la forma general de f viene dada por f(x) = ax 2 + bx + c; en donde a ≠ 0. La gráfica de esta función es una PARÁBOLA y tiene un punto característico llamado vértice ( v = (h,k) ). El vértice de una parábola es el punto

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en la parte baja de la forma "U" (o la parte de arriba, si la parábola abre hacia abajo).

Vértice

⇒

V(

−b 4ac − b 2 , ) 2a 4a

h=

−b 2a

; k=

4ac − b 2 4a

La parábola definida por y = x2, se representa de la siguiente manera:

Máximos y Mínimos( coordenadas del vértice) Si a > 0 la función tiene un mínimo igual a: Y = x=-

b 2a

Si a<0 la función tiene un máximo igual a: Y = x=-

4ac − b 2 cuando 4a

4ac − b 2 cuando 4a

b 2a Y máximo

a>0

a<0 mínimo X

Ceros

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Son los números reales para los cuales la función es nula. Para ello es necesario resolver ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0.

Estas ecuaciones se pueden resolver por el método del factor, por el método de completar cuadrados o por la fórmula cuadrática . En la representación gráfica, los ceros son las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje XX` Actividad sugerida: Encontrar los ceros de: aplicando la formula cuadrática

y = 2x 2 + x - 3;

Crecimiento y Decrecimiento Si

a > 0 la función es estrictamente decreciente en el intervalo ( - ∞ , -

y estrictamente creciente en el intervalo [ Si

b , 2a

∞

).

a < 0 la función es estrictamente creciente en el intervalo ( - ∞ , -

estrictamente decreciente en el intervalo [ -

b ) 2a

b )y 2a

b , + ∞ ).

2a

Y

Y a>0

a<0

X Decreciente

Creciente

X Creciente

decreciente

DOMINIO: Es todo el campo de los números reales y el RANGO esta definido por los valores de Y comprendidos desde el vértice hasta el otro lado de la curva.

El rango son los valores que toma la variable Y: entonces: si a > 0 , Rg f(x) = [ k , +∞] ;

y si a < 0,

Rgf(x) = (- ∞, k]

Interceptos ( corte con los ejes)

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.- Los interceptos de X son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica corta ( o toca) el eje X .- Los interceptos de Y son las coordenadas y de los puntos correspondientes sobre el eje Y. Para encontrar los intercepto “x” se toma “y” = 0, en la ecuación que define la relación y se resuelve para “x”, luego para encontrar los de “y” se hace x = 0 y se resuelve para “y”.

La curva siempre corta al eje Y en el punto C, que es el termino independiente de la función cuadrática y = ax 2 + bx + c , y puede cortar al eje X en dos puntos X 1 y X 2 ; en un punto X 1 = X 2 ; y en ningún punto. Estos puntos de corte representan las raíces de la ecuación.

Veamos el siguiente ejemplo: Sea y = x 2 - 2x – 3, hallar dominio, rango y corte con los ejes.

Solución: Domf(x) = R El rango esta dado por: Rgf(x) = [ k, + ∞ ). Debemos calcular primero el vértice de la parábola. Como a > 0, la parábola abre hacia arriba.

Vértice: h = −

b −2 =− =1 2a 2.1

;

k = ( 1)2 – 2 (1) – 3 = 0

V(1, -4 )

Corte con los ejes coordenados: .- Corte con el eje X (Y = 0) 0 = x 2 - 2x – 3, factorizando (x – 3 )( x + 1 ) = 0 ⇒ Luego : x1 = 3 y x2 = -1 .- Corte con el eje Y ( X = 0) ⇒ y = x 2 - 2x – 3 → y = -3

→

y = 02 – 2(0) – 3

Realice la tabla de valores y grafica, para que verifique que el rango es: Rgf(x) = [ -4, + ∞)

Actividad sugerida:

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Realice un estudio completo de: y = x 2 - x + 12

y = 3x 2 - 2 x - 3

y = 2x 2 - 6x + 9 ;

y = - x 2 - 16

y = 4x 2 - 5x + 2 y = x 2 - 4x + 6

y = x 2 + 2x y = 2x 2 - 4x + 6

FUNCIÓN CÚBICA Se denota por: y = f(x) = ax 3 + b x 2 + cx + d. La condición para que una función sea cúbica, es que debe aparecer la variable “x” elevada a la tres (3), los demás términos pueden o no aparecer.

Para dibujar la gráfica de una función polinómica, es de gran ayuda determinar los puntos de intersección con el eje X; es decir, los puntos en que la gráfica corta al eje X. Por ejemplo, la intersección de f(x) = x 3 - x 2 con el eje X son los puntos (0,0) y (1,0). En otras palabras, la intersección de una función con el eje X que sustituidos en la función, den 0 para el valor de Y. Estos valores de X se llaman ceros de la función.

Por lo tanto x= 0 y x = 1 sean los ceros de la función polinómica f(x) = x 3 - x 2 La gráfica de esta función requiere también el conocimiento de otros puntos. Esto significa que los elementos del dominio deben ser sustituidos en la función para obtener los correspondientes elementos del recorrido. Un proceso corto en algunos casos del cálculo de los elementos del recorrido es el llamado División sintética o Regla de Ruffini.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado.

Tiene la forma: f(x) = ax + b x + cx + d ; donde el coeficiente a es distinto de 0. En esta función el dominio y el rango son todos los números reales.

NOTA: En general el dominio de cualquier función polinómica son los números reales; mientras que el rango depende del grado

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del polinomio. Si el grado del polinomio es PAR, el rango se determina a través de la gráfica de la función dada; si el polinomio es de grado IMPAR el rango son los reales.

La representación d ela función cúbica básica y = f(x) = x 3 es la siguiente:

Algunas características de esta función son:  La función es continua en todo su dominio.  La función es siempre creciente.  La función no tiene asintotas.  La función tiene un punto de corte con el eje Y.  La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X. Actividad sugerida: Determine el dominio, rango, corte con los ejes y trace la gráfica de las siguientes funciones: 3 2 x - 6x – 2 2

Y = 2x 3 - 2x 2 - 12 x + 16

f(x) = x 3 +

Y=3-x3

f(x) = 2x 3 - 10x 2 + 12 x

FUNCIÓN RACIONAL

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Una función es racional cuando puede expresarse como el cociente de dos funciones polinómicas. Para ser racional debe aparecer en el denominador al menos la variable en su forma más simple.

F(X) =

P( X ) ; esta función no esta definida en los puntos donde Q(X) = 0 Q( X )

El dominio esta dado por todos los valores de la variable “x” que NO indeterminan la función. Es decir, los valores de “x” en que el denominador sea diferente de cero. Estos valores, se determinan igualando a cero el denominador (Q(X) = 0) y determinando las raíces del polinomio en estudio. Domf(x) = { x ∈ R / Q(x) = 0 }.

El rango se determina a través de la gráfica.

Los valores de “x” que anulen el denominador de una función racional, representan vacíos o asintotas verticales en la gráfica. Es un VACÍO, cuando al sustituir el valor de “x” tanto en el numerador como en el denominador de una función racional ambos dan cero. Y es una ASINTOTA vertical cuando sólo anula al denominador de la función racional.

Consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos T(x) =

2 x +1 x −1

T corta al eje Y en (0,-1) y corta al eje X en ( -

1 ,0).

2

Examinando los valores de: x se aproxima desde la derecha a 1 y los de T(x) van aumentando considerablemente.

X T(x)

2 5

3/2 8

5/4 14

9/8 26

Si X se aproxima a 1 desde la izquierda los de T(x) son negativos. x y

1/2 -4

¾ -10

7/8 -22

9/10 -28

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1

La gráfica de T(x) =

2 x +1 pone de manifiesto el comportamiento de T(x) x −1

cerca de X= 1. (Obsérvese que ningún punto de la gráfica corresponde a x = 1).

Esta situación se describe diciendo que la gráfica de T (x) =

2 x +1 se x −1

aproxima a la línea x= 1 "ASINTOTICAMENTE"; la línea x = 1 se llama ASINTOTA VERTICAL. En general, T (x) =

F ( x) tiene una A. V. En x = a. Si g(a) = 0 Q( x)

Veamos el siguiente ejemplo:

sea y =

x x −1

No se puede sustituir X = 1, porque el denominador se hace cero, podemos tomar valores de X cada vez más cerca de 1. Cuando X se aproxima a 1 por la izquierda y aumenta indefinidamente en sentido negativo, la recta X = 1 se llama asintota vertical. y

Si resolvemos la ecuación para X obtenemos X = y −1 , y = 1 es una asíntota horizontal.

Actividad sugerida: Determinar el dominio para las siguientes funciones, las intersecciones con los ejes coordenados, las asíntotas y trazar las gráficas f(x) =

2x2 +1 2 x 2 − 3x

f(x) =

x 2 +1 x −1

NOTA: Obsérvese que en estos ejemplos, el grado del numerador es igual, mayor o menor que el grado del denominador. Con esta comparación de grados podemos determinar la asintota horizontal, de la siguiente manera:

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n = grado del numerador y m = grado del denominador n = m existe A. H. En Y =

a1 , donde a 1 y a 2 son los coeficientes de los a2

exponentes. n > m no existe A.H. n < m existe A.H. en Y = 0

Cuando no es posible mediante la función saber de quién es el valor de “Y” imagen, decimos que dicho valor es una Asintota Horizontal.

Veamos el siguiente ejemplo: x 2 + 3x + 2 Dada la función Y = f(x) = 2 determinar el dominio, rango, x + x−2 elementos característicos, tabla de valores y trazado de la grafica.

Solución: Domf(x) = R – { X ∈ R / Q(x) = 0 }

Entonces: x2 + x – 2 = 0 → x1 = -2

;

x2 = 1 (raíces)

→ (x + 2 )(x – 1 ) = 0 Luego: Domf(x) = R - { -2 , 1 }

Evaluamos en la función estos valores, para verificar si anulan al denominador; para determinar cual representa un vacío o una asintota vertical (A.V) Para x = -2 ; como ya sabemos que este valor anula el denominador, solo basta evaluarlo en el numerador. x2 + 3x + 2

→ (-2)2 + 3 (-2) + 2 → 4 - 6 + 2 = 0

→ entonces x = -2 → es un vacío.

Para x = 1 → (1)2 + 3 (1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 → 6 ≠ 0 → luego: x = 1 es A. V.

Seguidamente hallamos las Asintotas Horizontales, con el estudio de los grados de numerador y el denominador: Como n = 2 y m = 2. Existe A.H. →

1 =1→Y =1 1

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Tabla de valores: para ello, es recomendable obtener la función equivalente. Luego asignarle valores a “x” para encontrar los valores de “y”.

Y = f(x) =

x 2 + 3x + 2 x2 + x − 2

( x + 2)( x +1) ( x + 2)( x −1) x +1 →Y = x −1 → Y=

(simplificando)

Tabla de valores: X Y

-4 3/5

-3 1/2

-2 Vacío

-1 0

0 -1

1 A.V.

2 3

3 2

Gráfica de la Función

Y

A.H

°

X

-2 A.V.

Ejemplos Propuestos: Estudiar las siguientes funciones 1 5 x− x2 −9 Y= 2 Y= Y = 2 x +4 x −3 x 2 −1

Y=

4 2x −3

FUNCIÓN IRRACIONAL Es una función de la forma Y = n f ( x) ; donde “n” es el índice del radical y f(x) es un polinomio. El dominio esta dado por: .- Si “n” es impar: Domf(x): R

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.- Si “n” es par: existe la condición f(x) ≥ 0. El dominio es el intervalo que resulte en la solución de la inecuación.

En esta función: f(x) puede ser de la forma ax + b ó ax 2 + bx + c.

Si f(x) es ax + b no tiene ningún elemento de interés..

Si es una función polinómica de segundo grado tiene elementos de interés (vértice, cortes con los ejes).

La función irracional es mejor conocida como la “función raíz”, tanto con índice par o impar. f(x) = Se debe evaluar hasta tener puntos suficientes para trazar la gráfica.

Veamos el siguiente ejemplo: Hallar el dominio, rango y grafica de la función: f(x) = Solución: Dominio:

x2 – 4 ≥ 0 → x2 ≥ 4

→

x2 −4

x ≥ ±2

Luego el dominio esta dado por la unión de los siguientes intervalos: ( − ∞,−2) ∪( 2,+∞) luego Domf(x) = ( − ∞,−2 ) ∪( 2,+∞) Y X 0 2 -2 -3 3

Y IND 0 0 2,23 2,23

Rgf(x) = [ 0, + ∞ )

-2

-1

1

2

X

Ejemplos Propuestos: Obtener el dominio, rango y trazar la gráfica de: Y=

3

2 x 2 − 2 x −12

Y=

3

x2 + x − 6 + 2

Y=

x 2 − 4 +1

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FUNCIÓN POR PARTES Una función definida por partes (también denominada función a trozos, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.

Es decir, una función f(x) por partes de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Estas funciones son llamadas de esta manera porque tienen una definición diferente en cada parte en el que están definidas. Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto: f(x) = x = -x, si x < 0 x, si x ≥ 0 En este caso para todos los valores de x menores que cero, la expresión de la función -x es utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el resultado siempre positivo. Y de igual manera la segunda expresión de la función x es utilizada para todos los valores de x mayores o iguales que cero.

Veamos la siguiente gráfica de una función definida por partes de funciones cuadráticas que tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en X0. Ella es continua en todos sus subdominios y no lo es todo el dominio.

Actividad sugerida: Hallar el dominio, el rango y gafica de las siguientes funciones:

f(x) =

-3 x2 – 2x – 2 x+2

si x < 0 si 0 < x < 4 si x > 4

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-x2 2x+ 2 4

f(x) =

si x > 3 si x < 3 si x = 3

FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma Y = b f ( x ) ; donde b es una constante positiva diferente de uno y f(x) es un polinomio.

El dominio de la función exponencial depende del exponente. Si el exponente es un polinomio, el dominio son todos los reales. El rango es el intervalo (0, +∞ ). Cuando en la función se le suma o resta un número real, el rango se determina por medio de la gráfica.

Existiendo en ese valor una asintota horizontal.

Y = b f ( x) ± k Domf: R A.H. en y = k Rgf: (± k, +∞ )

Y = b f ( x) Domf: R A.H. en y = 0 Rgf: (0,+∞ )

La gráfica de la función f(x) = 2x es la siguiente:

Algunas propiedades de los exponentes: b 0 = 1 ( b ≠ 0)

bn .bm = b

n +m

(b n ) m = b

n. m

b −n =

1 bn

bn = b n..b − m = b n −m m b

1 m

b =b 1

m

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Ejemplo: Estudiar la función y = f(x) = 3 X - 2 Solución: Domf(x) = R Rgf(x) = ( - 2, + ∞ ). Luego Y = - 3 representa una A.H. Tabla de valores X Y

-2 -17/9

-1 -5/3

0 -1

1 1

2 7 Y

X (Y = -2)A.H

Ejemplos Propuestos: Calcular el dominio, rango y trazado de la gráfica de las siguientes funciones:

1 X y= ( ) 4

3 X −1

1  y=   2 

−2

y = (5) 3

X

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es la función inversa de la función exponencial. Esta función se denota por: y = log b [f(x)]; siendo b la base del logaritmo y f(x) un polinomio, por definición b > 0 y b ≠1 El dominio de la función lo representa todos los valores de “x” tal que f(x) > 0. Es decir, el dominio se determina encontrando el conjunto solución de la desigualdad: f(x) > 0.

El rango viene dado por todos los números reales.

Logarítmica tiene asintota vertical donde f(x) = 0 La grafica de f(x) = log2 x

es:

La función

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Dominio: R+ Rango: R Es continua

Recordemos: log b (m.n) = log b m + log b n log b

log b m n = n. log b m

m = log b m - log b n n

log b

n

m =

1 . log b m n

A los logaritmos de base e se le llama neperiano y se indica por ln. (lne = 1)

Estudiemos el siguiente ejemplo: Sea la función Y = f(x) = Log(2x –5 ), hallar el Domf(x) y gráfica Solución: 2x – 5 > 0 → 2x > 5 → x > 5 / 2

Luego:

Domf(x) = ( 5/2 , + ∞ ) A.V.

Tabla de valores X 3 4 5 7

y

Rgf(x) = R

→ x = 5/2 valor que anula el binomio: 2x – 5

Y

Y 0 0.4 0.7 0.9 0

3

4.. X

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A.V.

Actividad sugerida: Determine el dominio y trazado de la gráfica de las siguientes funciones: f(x) = log 8 (1-2x)

f(x) = log

Y = log 3 (2x – 5) – 3x

f(x) = log 2 (6 – 2x)

1 4

x

Y = log(3x-2)

FUNCIÓN INVERSA Sean f y g dos funciones tales que (gof)(x) = x, para cada elemento x del dominio de f y (fog)(x), para cada elemento de g; entonces, f y g se dice que son invertibles y cada una de ellas se llama INVERSA de la otra.

Notación: g = f −1 f = g −1

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a Para hallar la inversa de una función y = f(x) cualquiera, se intercambian las variables XY YX Luego, se despeja la variable Y y la función que se obtiene representa la función inversa Y. Ejemplo: sean f(x) = 5X y g(x) =

x 5

Demostrar que f y g son invertibles

Solución: (fog)(x) = f [g (x) ] = f (

x x ) = 5( ) = x 5 5 f = g −1

(gof)(x) = g [f(x)] = g (5x) =

5x = x 5

Ejemplo: Sea F(x) = 3x + 2 hallar su inversa Solución: f(x) = y = 3x + 2 Intercambiando variable x = 3y +2

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x – 2 = 3y despejando a “y” y = (x – 2)/ 3 (inversa de y) → y-1 = (x – 2)/ 3 Actividad sugerida: 1.- Sean f(x) = 3x + 7 y g(x) =

x −7 Demostrar que f y g son invertibles 3

2.- Dados f(x) = x y g(x) = X 2 , siendo x un número real positivo, demostrar que f y g son invertibles 3.- Determine para cada una de las siguientes funciones: Función inversa, Dominio y Rango de la función y=

3x − 5 4

y=

3x − 4 4 −x

y=

3x 2x2 − 4