Integrales Indefinidas

Mariangee Rodríguez

Módulo IV

Junio 2014

INTEGRALES INDEFINIDAS

 

La derivada es la operación inversa de la integración La integral es la operación inversa de la derivación Antiderivada = Integral Indefinida

El Cálculo Integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración.

Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx.

Definición de Antiderivada: Una función F se llama antiderivada o primitiva de la función f, en un intervalo I, si F ´ (x) = f(x) para todo valor x en I. Ejemplo: Si F se define como: F(x) = 4x 3 + x 2 + 5; entonces F ´(x) = 12x 2 + 2x

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Decimos que f es la derivada de F y que F es una antiderivada de f.

Junio 2014 (F ´(x) = f(x))

Así mismo, si G(x) = 4x 3 + x 2 - 17 ; entonces G también es una antiderivada de f ya que G ´(x) = 12x 2 + 2x Por lo tanto, cualquier función cuyo valor este dado por 4x 3 + x 2 + c, donde c es cualquier constante, es una antiderivada de f.

De igual manera: Por nuestra experiencia con derivadas, podemos decir que la función donde proviene: dy  3x 2 dx

es y = x 3 ó es y = x 3 + c

Notación para la Antiderivada: 1.- Si una función f tiene una antiderivada, entonces tiene una numerosa familia de ellas.

2.- Si F es una antiderivada conocida de f, entonces cualquier otro miembro de la familia de la antiderivada de f se obtiene a partir de F agregándole una constante adecuada, F(x) + C En general: La antidiferenciación es el proceso de determinar todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo  denota la operación de antidiferenciación y se escribe

 f ( x)dx  F ( x)  c Donde:



es el símbolo de la integral

F(x) + c es la antiderivada o integral indefinida de f(x) f(x) se le llama integrando c es la constante de integración El símbolo  para la antidiferenciación es la operación inversa denotada por “d” para calcular una diferencial. Por lo tanto, la antidiferenciación se considera como la operación de hallar el conjunto de todas las funciones que tienen una derivada determinada.

Veamos los siguientes ejemplos:

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a.). Hallar

2

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2xdx

Solución: F(x) = x es una antiderivada de 2x, Luego,



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ya que F`(x) = 2x,

2xdx = x2 + C

b.) dy = 3x 2 dx



 dy   3x dx



2

y = x3 + c

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Algunas de las reglas del Cálculo Integral de formas elementales son: Propiedad 1: la integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de esas expresiones. Es decir, para hallar una antiderivada de la suma de 2 o más funciones, se calcula la antiderivada de cada una de las funciones por separado y luego se suman los resultados. Se entiende que las funciones están definidas en el mismo intervalo.

 (du  dv  dw)   du   dv   dw

  f ( x)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 1

2

1

2

Propiedad 2: un factor constante puede escribirse o delante del signo integral o después de él.

 kdx  k  dx

 af ( x)dx  a  f ( x)dx

Para calcular la antiderivada de una constante por una función se calcula primero la antiderivada de la función (Integral) y luego se multiplica por la constante.

Propiedad 3: la integral de un diferencial es igual a la variable más la constante.

 dx  x  c Propiedad 4: la integral de una función potencial x n es igual a: x n 1 n  c ; con n  -1 x dx =  n 1 Propiedad 5: la integral de una fracción cuyo numerador es la diferencial del denominador, es igual al logaritmo neperiano (ln) del denominador más la constante de integración. dx  x = lnx + c

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Propiedad 6: la integral de una función exponencial a v es igual a la misma función sobre el logaritmo natural de la base, más la constante de la integración. v v a d 

av c ln a

Propiedad 7: la integridad de una función exponencial e v es igual a la misma función más la constante de integración.

 e dv  e v

v

c

RECUERDE:: f(x) = ln f ( x )

f(x) = ln  f ( x )

Así sucesivamente se tienen las demás propiedades o reglas de integración. Observemos la siguiente tabla que resume dichas propiedades:

Problemas propuestos…

Calcular los siguientes ejercicios, haciendo uso de las propiedades anteriores: 1 1.)  x3dx 2.)  2 dx 3.)  3 y 2 dy x

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Módulo IV 6.) 

5.)  7 x5dx

4.)  3 x dx

Junio 2014 5t 2  7 t

7.)  3x dx

10.)  eTg

2

8.)

( x)

11.)

ydy

13.)  (5 x 4  8 x3  9 x 2 )dx



 ln( z)dx

9.)

(3x 2  2)(2 x 2  1) 3

x2

4 3

dt

 (a  2)da 1 12.)  x ( x  )dx x

dx

14.)  (2 sec x tan x  5 csc2 x)dx

Las implicaciones de la antidiferenciación permiten calcular una antiderivada en particular dependiendo de si ocurre en uno o en más de un punto. Por ejemplo; si se da una ecuación que implica dy/dx así como la condición inicial de y = y 1 cunado x = x 1 , entonces, después de obtener el conjunto de todas las antiderivadas, al sustituir x y y por x 1 y y 1 , se determina un valor en particular de la constante c; con este valor de c se obtiene una antiderivada en particular.

Ejemplo En un punto (x, y) de una curva en particular , la recta tangente tiene una pendiente igual a 4x – 5. si la curva contiene el punto (3,7), formular su ecuación.

Solución: como la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto (x,y) es el valor de la derivada en este punto, tenemos. dy/dx = 4x – 5



y =  (4 x  5)dx



 x2  y = 4    5 x  c  2

 y = 2x 2 - 5x + c Esta ecuación representa una familia de curvas. Se desea determinar la curva especifica que pasa por el punto (3,7), entonces: x=3

y y=7 

7 = 2 ( 3 )2 - 5 ( 3 ) + c 

7 = 18 – 15 + c  c = 4

al reemplazar c por 4  y = 2x 2 - 5x + 4

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Existen integrales que no pueden calcularse directamente mediante la aplicación de las propiedades anteriores. Por lo tanto, es necesario aprender algunos métodos que puedan utilizarse en la determinación de dichas derivadas. Entre ellos:

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1.- Regla de la cadena Sea g una función diferenciable de x y sea el contra dominio de g un intervalo I. Supóngase que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I, entonces:  F g ( x). g´(x)dx  f g ( x)  c n  ( g ( x)) g´(x)dx 

g ( x)n 1  c

n1

n 1

Caso especial del coseno: si f es la función coseno, entonces F es la función seno y tenemos:  cos( g ( x))g ( x)dx  sen( g ( x))  c

Veamos el siguiente ejemplo:



(3x  4)dx

Solución:



(3x  4)dx = (3x + 4)1/2dx

 g(x) = 3x + 4

; g`(x)dx = 3dx

Se necesita un factor 3 que acompañe a dx para obtener a g `(x), de allí que: 1 1 2

1

1

3

1 1 1 g `( x) 2 2 2 g ( x ) . .( 3 dx )  g ( x ) ( 3 dx )  .  c  (3x  4) 2  c   3 3 3 1 1 9 2 Problemas propuestos…

Resolver las siguientes integrales

 x (5  2 x ) dx 2

1.)

4.)



2X 1  2X

3 8

dx

2.)

 x cos x dx

4 x 2 dx 3.)  (1  8 x 3 ) 4

5.)

 3x

6.)  Sec 2

2

3

2



 5 .6 xdx  2

 2 x  dx2 x

2.- Método de Sustitución(Cambio de Variable Algebraico): A veces es conveniente hacer cambio de variable o realizar una operación para transformar la integral dada en otra forma conocida. Conociéndose esta técnica como método de sustitución. Así:

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Sea F una antiderivada de una función f ( F`= f). Consideremos la función compuesta definida por Fg(x)  x,  a,b. Entonces la integral f(g(x)).g`(x)dx, se calcula haciendo u = g(x) y du = g`(x)dx y sustituyendo se obtiene: fg(x).g`(x)dx = f(u)du = F(u) + C = Fg(x) + C Veamos el siguiente ejemplo: Calcular 

Ln( x) dx x

Solución: C.V.A.

u = Ln(x)

sustituyendo:

 u.du = u /2 + C 2

=

ln( x)2  C

3.)

x

2

du = dx/x Problemas propuestos…

Resolver las siguientes integrales 1.)

2  x(3x  4)dx

4.)



sen x dx x

8.)

xdx

 4x

2

3 y 2 dy 7  5y

3

5.)  senx 1  cos x dx

 2dx 7.)  4  5x

10.)



2.)

 3

6

12.)  Sen(2 x)dx



11.)

6 dt 4  5t

 x  2Senx

6.)  e 4 x dx

9.)

2

1  x3 dx

2



2  ln( x)3 dx x

 4 x  6dx

2 cot x  3sen 2 x dx 13.)  senx

14.)

x

2x dx 1

2

3.- Integración por Partes De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene un método útil de integración denominado: Integración por partes.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces: Dx  f ( x).g ( x) = f(x).g ´(x) + g(x).f ´(x) Despejando: f(x).g ´(x) = Dx  f ( x).g ( x) - g(x).f ´(x)

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Integrando:  f(x).g ´(x) dx =  Dx  f ( x).g ( x) dx -  g(x).f ´(x)dx

 f(x).g ´(x) dx = f(x).g(x) -  g(x).f ´(x)dx

(1)

La ecuación (1) es la fórmula de Integración por partes.

Si llamamos: Si u = f(x)

y v = g(x)

Entonces: du = f ´(x)dx

y

dv = g ´(x)dx

Donde:  udv  uv   vdu La integración por partes se emplea cuando el integrando está formado por más de una función, cuando incluye funciones trigonométricas inversas, productos de funciones y además cuando aparecen funciones logarítmicas en el cual no podemos hacer cambio de variable. Cuando se eligen las sustituciones para u y dv, por lo general se desea que sea más fácil evaluar la segunda integral que la primera y que u sea una función cuya derivada sea una función simple (fácil de derivar). Puede suceder que una integral requiera de varias aplicaciones de la integración por partes.

La siguiente técnica ayuda a resolver la integración por partes. Para ello, se asigna a la parte u el tipo de función que aparece primero en la integral y dv a la parte sobrante.

Usando la palabra ILATE(I: inversa, L: logarítmica, A: algebraica, T: trigonométrica, E: exponencial) Veamos el siguiente ejemplo: Calcular:

 x.e

x

dx

Solución: digamos que: u = x ; du = dx ;

dv = e-xdx v = -e-x

luego:

 x.e

x

dx = x.(-e-x) - -e-xdx

 x.e

x

dx = - x.-e-x + e-xdx

 x.e

x

dx = - x.-e-x - e-x + C

Problemas propuestos…

Resolver las siguientes integrales

=

- e-x(x + 1) + C

Mariangee Rodríguez 1.)

3 X  x  dx 2

5.)  x cos xdx

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2.)   X senxdx

3.)  tg 1 xdx

4.)  xe 2 x dx

6.)  x 2 ln xdx

7.)  x 2e x dx

8.) x2e3xdx

9.) Sen(x).Ln(Cos(x))dx

10.) (x2-2x-5).e-xdx

11.) e3xCos(2x)dx

4.- Integrales de las funciones trigonométricas La antiderivada de las funciones Seno y Coseno son una consecuencia inmediata de la diferenciación. .-  Senxdx  Cosx  c Demostración: Dx (-Cosx) = - ( -Senx) = Senx .-  Cosxdx  Senx  c Además las funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante son también consecuencia directa (inmediata) Propiedades: .-  senvdv   cos v  c

.-  cos vdv  senv  c

.-  tgvdv   ln(cos v)  c = ln(secv) + c

.-  ctgvdv  ln( senv)  c

.-  sec vdv  ln(sec v  tgv )  c

.-  csc vdv  ln(csc v  ctgv )  c

.-  sec2 vdv  tgv  c

.-  csc2 vdv  ctgv  c

.-  sec v.tgvdv  sec v  c

.-  csc v.ctgvdv   csc v  c

.-

v

.- .-

.- 

2

dv 1 v  arctg  c 2 a a a

a

2

dv 1 av  ln  c (a 2 < v 2 ) 2 v 2a a  v

dv v a 2

2

 ln(v  v 2  a 2 )  c

.-

v

2

dv 1 va  ln  c (v 2 > a 2 ) 2 a 2a v  a

.-



dv

v  arcsen  c a v a 2

2

.-  cot vdv  ln senv  c

Mariangee Rodríguez

.-



a 2  v 2 dv 

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v 2 a2 v a  v 2  arcsen  c 2 2 a

Observación: Las identidades trigonométricas se utilizan cuando se calculan integrales en las que intervienen funciones trigonométricas, entre las más usuales tenemos: Sen 2 x + cos 2 x = 1

1 + tg 2 x = sec 2 x

Tg 2 x = sec 2 x – 1

Cot 2 x = csc 2 x - 1

1 + cot 2 x = csc 2 x

Sen 2 x =

Senx.Cscx = 1

Cosx.Secx = 1

Tgx.Ctgx = 1 Cos 2 x =

Tgx =

1 (1+ cos2x) 2

Senx Cosx

; Ctgx =

senx.cosx =

1 sen( x  y)  sen( x  y) 2 1 Senx.seny = cos( x  y)  cos( x  y ) 2

Cosx Senx

1 sen2x 2

1 x 2 1 1 + cosx = 2cos 2 x 2

1 – cosx = 2sen 2

Senx.cosy =

Cosx.cosy =

1 (1- cos2x) 2

1  1 senx = 1 cos    x  2 

1 cos( x  y)  cos( x  y) 2

Veamos el siguiente ejemplo: Calcular:

 3tag ( x)dx

Solución: sacamos de la integral el valor constante 3 y luego aplicamos directamente la propiedad de la tangente, así:

 3tag ( x)dx

= 3  tag ( x)dx = 3. ln Sec (x) + c

Problemas propuestos …

Resolver las siguientes integrales 1.)  5 cos 3xdx

2.) 

2 cot x  3sen 2 x dx senx

Mariangee Rodríguez

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3.)  ( x  2)sen( x 2  4 x  6)dx

4.)  (tg 2 x  ctg 2 x  4)dx

5.)  (tg 2 x  1)2 dx

6.) 

dx 1  senx

Sólo hay un bien: el conocimiento. Sólo hay un mal: la ignorancia.

Sócrates

Junio 2014