Lesbia Nayibe Pérez
Cálculo I
Enero/2013
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE PRODUCCIÓN AGRÍCOLA PROGRAMA CIENCIAS DEL AGRO Y DEL MAR GUANARE – ESTADO PORTUGUESA
La Universidad que Siembra
MODULO INSTRUCCIONAL
Prof(a): Lesbia Nayibe Pérez
Guanare, Enero del 2013
Lesbia Nayibe Pérez
Cálculo I
Enero/2013
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICE – RECTORADO DE PRODUCCIÓN AGRÍCOLA GUANARE - PORTUGUESA
La Universidad que Siembra
PROYECTO: MATEMÁTICA - FÍSICA
SUBPROYECTO: CÁLCULO I CÓDIGO: PV210120103 VALOR: 100%
DURACIÓN: 16 SEMANAS
PRELACIONES: Ninguna
MÓDULO I
FUNCIONES REALES
Elaborado por: Profa: Lesbia Nayibe Pérez
Lesbia Nayibe Pérez
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INTRODUCCIÓN El Cálculo es útil en la solución de problemas que se presentan en las diferentes disciplinas científicas y humanísticas. En tal sentido, esta guía teórica – práctica tiene como objetivo brindar al estudiante la oportunidad de apropiarse de habilidades y destrezas necesarias para comprender el interesante mundo del cálculo desde el punto de vista analítico como numérico y su aplicación en problemas físicos y geométricos. El estudiante debe interpretar, plantear y resolver problemas relacionados con los tópicos que conforman el contenido del Sub – Proyecto de Cálculo I de la carrera de Ingeniería Agronómica que dicta la UNELLEZ. El material instruccional constituye una herramienta de trabajo para enfrentar con éxito operaciones básicas del cálculo difrencial, comprender e integrar conocimientos que conlleven a dar solución a una variada gama de problemas en el área de Ingeniería y ciencias que requieran de estos conocimientos. El material instruccional se estructura en cuatro (04) Módulo I: Funciones Reales, Módulo II: Límites y Continuidad, Módulo III: Derivadas y Módulo IV: Aplicaciones de las Derivadas. Cada uno de ellos, se ha ampliado con ejemplos propuestos.
OBJETIVO GENERAL Al concluir el estudio del módulo instruccional, el estudiante del primer semestre de ingeniería resolverá e interpretará problemas físicos y geométricos tomando en consideración la definición y propiedades de funciones, límites y derivadas.
MODULO I: FUNCIONES REALES OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Determinar el dominio, rango y la representación gráfica de funciones numéricas. 2. Hallar la función inversa de funciones reales. 3. Realizar el Análisis y la Interpretación de diversas funciones
CONTENIDO Funciones: Definición. Dominio y Rango. Gráfica. Corte con los ejes. Simetría. Álgebra de Funciones. Función Compuesta. Funciones Numéricas: Constante. Identidad. Lineal. Cuadrática. Cúbica. Valor Absoluto. Racional. Irracional. Exponencial. Logarítmica. Por partes. Función Inversa: Calculo de inversa de funciones numéricas TIEMPO: 04 Semanas. (8 Horas teóricas y 12 prácticas) VALOR: 25%
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EL PLANO REAL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Es el sistema formado por dos rectas perpendiculares, que se cortan en un punto llamado origen. De allí, que el sistema cartesiano se llama rectangular u ortogonal. Las rectas que se cortan se llaman eje de coordenadas. Un punto en el plano es un par ordenado (x,y) Y Eje horizontal
Eje vertical
X X
Y Eje de las abscisas
Eje de las ordenadas
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO I: Primer cuadrante { (x, y) / x > 0, y > 0 }
II (-x, y)
I (x, y)
II: Segundo cuadrante = { (x, y) / x < 0, y > 0 } III (-x, -y)
III: Tercer cuadrante { (x, y) / x < 0 , y < 0 }
IV (x, -y)
IV Cuarto cuadrante { (x, y) / x > 0, y < 0} Representar en el plano los siguientes puntos: A(4,3)
B( -2,4)
C(3,-4)
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. El salario de una persona, puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una fabrica puede depender del número de máquinas que se usen; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse por medio de una función. Una función es una correspondencia entre un conjunto X de números reales a un conjunto Y de números reales y donde a cada valor de Y le corresponde UN SOLO valor de X. Para denotar una función se usan los símbolos f, g y h. Dados los conjuntos no vacíos A y B llamamos función del conjunto A en el conjunto B a toda relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y nada más que uno. Se anota f: A B y se lee " función del conjunto A en el conjunto B mediante f. f es el operador determinado por la regla, ley o fórmula que nos permite relacionar a los elementos del conjunto A con los del conjunto B.
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En una función al conjunto de partida se le llama DOMINIO. Es decir, Dominio es el conjunto de todos los valores para los cuales la función esta definida. Su notación es: Dom(f). El conjunto formado por todas las imágenes que se obtienen al aplicar la sustitución de los valores del dominio en la función se le llama RANGO, su notación es: Rgo(f) Las funciones de la forma f: x R las llamamos funciones reales de variable real, donde los elementos del dominio y del rango pertenecen a R. Todas las funciones son relaciones, sin embargo, no todas las relaciones son funciones. Ejemplo: { ( 1,1), (2,2 ), (3,7 ), (3,5 )}es una relación con dominio {1, 2, 3} y recorrido { 1,2,7,5}, pero no es función porque (3,7) y (3,5) tienen igual el primer elemento. Por lo contrario: A es una relación con dominio{1,3,4}, recorrido {2,4}.Nótese que hay dos B pares que tienen el 1 2 segundo elemento igual, que no contradice la definición de función 3 4 4 .
La definición de función como un conjunto de pares ordenados en vez de una regla de correspondencia, produce un significado más preciso. Una FUNCION es un conjunto de pares ordenados de números (x,y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer número. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES El dominio de una función son todos los valores que puede tomar la variable independiente “x” para crear un valor de la variable dependiente “y”. El Rango de una función son todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y” en función de los valores asignados a “x”. CALCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCION REAL En muchos casos, cuando la función esta dada por una fórmula, hay números reales que al sustituirlos en dicha fórmula dan números que no son reales. CASOS: 1.) Cuando es una fracción y el denominador es cero. La función NO esta definida en el conjunto R. 2.) Cuando es una raíz de índice par y en la parte subradical aparecen números negativos, la respuesta es un número complejo, es decir, la función no esta definida en el conjunto R.
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par
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número = Número complejo R
3.) Cuando la variable esta en el denominador: Como el denominador no puede valer cero ( D 0 ), se procede así: Se determina para que valores de X la fracción de cero a) Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante b) El dominio de la función, es el conjunto de los números reales, menos el número o números que resulten de resolver la ecuación anterior. Ejemplo: Determine el dominio de f(x) =
2 2x 2
Solución: igualamos a cero el denominador 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1 Entonces el dominio será: Dom (f): R - { 1 }
Ejemplos propuestos: Determinar el dominio de: f(x) =
3x x 9 2
f(x) =
2x 1 x 2x 8 2
4.) Cuando la variable está en la parte subradical de una raíz de índice par Como la parte subradical no puede ser negativa, se procede así: a) Con la parte subradical formamos una inecuación mayor o igual a cero y la resolvemos. b) El dominio de la función es el intervalo que resulte en la resolución de la inecuación. Ejemplo: f(x) =
2x 8
Solución: 2x - 8 0 2x 8 x 4
Dom(f): [ 4, + )
Ejemplo propuesto Halle el dominio de: f(x) =
4
2x 3 4
5.) Cuando el índice es impar, para cualquier valor de x la solución es un número real F(x) =
3
x2 3
Dom(f) : R
6.) En la función polinómica, el dominio son todos los reales.
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REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA FUNCION Características de la recta real: a) Es abierta porque no tiene ni principio ni fin b) Es densa porque entre dos puntos siempre hay infinitos puntos c) Es ordenada porque entre sus puntos puede establecerse la relación de orden total que corresponde a la relación de los números reales El concepto de Función como un conjunto de pares ordenados permite enunciar la definición de gráfica de una función: Si "f" es una función, entonces la gráfica de "f" es el conjunto de todos los pares ordenados del plano real que pertenecen a la función. La gráfica de una función f equivale a la gráfica de una ecuación Y = f(x). Recuerde: para que exista una función, debe haber un solo valor de la variable dependiente (x) para cada valor de la variable independiente (y) en el dominio de la función. En términos geométricos, esto es: la gráfica de una función puede ser cortada por una recta vertical a lo más en un punto. Para hacer la representación gráfica de una función real hallamos las imágenes de los elementos del dominio mediante la fórmula dada por la función y después los pares ordenados los representamos en ejes de coordenadas. En las funciones de la forma f: R R, como el dominio es el conjunto formado por los infinitos números que forman el conjunto R, es imposible hallar todas las imágenes, por lo tanto, se toman ARBITRARIAMENTE los números reales que necesitemos, hallamos sus imágenes y finalmente unimos con una línea continua estos puntos.
Ejemplo: Sea la función definida por: ordenados son: Y
y = f(x) = x + 1. Entonces algunos pares
4 X Y
0 1
1 2
2 3
Y=x+1
3 2 1 1
2
3
X
Ejemplo: Sea la función f: R R, tal que f(x) = x 3 - 5. Represente gráficamente CORTE CON LOS EJES El calculo de los cortes de la gráfica con los ejes coordenados, permite tener mayor precisión al trazar la grafica de la función. Para determinarlos se sigue el siguiente
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procedimiento: para el corte con el eje X, se iguala a cero la función ( Y = 0 ) y se despeja el valor de X. Para el corte con el eje Y, se hace X igual a cero ( X = 0 ) y calculamos el valor de Y. Ejemplo: calcule los cortes (intersecciones) con los ejes coordenados de la siguiente x3 función: y= 2 Además de la determinación del dominio, rango, cortes y gráfica, se estudia la SIMETRÍA de la gráfica de una función. El reconocimiento de la simetría permite a menudo simplificar la construcción de la gráfica de las funciones. Una gráfica es SIMETRICA respecto al eje Y si para cualquier (x, y) de la gráfica un (-x, y) también es de la gráfica. Es simétrica con respecto al eje X si y solo si se obtiene una función equivalente cuando Y se reemplaza por –Y en la función. La gráfica de una función es SIMETRICA respecto al origen si cualquiera que sea el punto (x, y) de la gráfica, el punto (-x, -y) también esta sobre ella. Si una ecuación representa una función f podemos ver si su gráfica es simétrica respecto al origen sustituyendo simultáneamente x por -x e y por -y. Si la nueva ecuación, una vez simplificada es igual a la original, es decir: f(-x) = f(x) la gráfica será simétrica respecto al eje y. Sea por ejemplo la función: y = f(x) = 4x2. es una función simétrica con respecto a Y. Comprobemos: en el lugar de “x” colocamos “-x”, la función no se altera, así: Y = f(-x) = 4 (-x)2 = 4x2 Si la grafica de una función es simétrica respecto al origen y contiene los puntos (2,3), (2,-5), (5,0) y (4,-4). ¿ Qué otros puntos estarán sobre la grafica de la función?. Solución: También contiene (-2,-3), (2,5), (-5,0) y (-4,4)
ÁLGEBRA DE FUNCIONES Operaciones: Sean las funciones f y g: SUMA: ( f + g)(x) = f(x) + g(x) DIFERENCIA: ( f - g)(x) = f(x) - g(x) PRODUCTO: ( f . g)(x) = f(x) . g(x)
f f ( x) COCIENTE: ( x) g ( x) g
En estos casos, el dominio de la función resultante, es los valores de “x” comunes a los dominios de f y g. Con la diferencia en el cociente que se excluyen los valores de “x” para los que g(x) = 0 (valores que anulen el denominador)
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Otra operación con funciones es la obtención de la FUNCIÓN COMPUESTA: dadas dos funciones f y g, la función compuesta, representada por fog, esta definida por:
(fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todos los valores “x” en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f. Ejemplo: Sean las funciones f y g, definidas por: f(x) = dominio de la función compuesta fog, esta dado por: Solución:
fog ( x) f g ( x) f 2x 3
x
y g(x) = 2x – 3. El
2x 3
Dom(f) = 0, + Dom(fog)= 2x – 3 0 Dom(g) = ( - , + )
Dom(fog) =
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Dadas las funciones f y g, definidas por: f(x) = Determinar: a.) (f + g)(x)
2x 3 x
b.) (f – g )(x)
x
3 2
3 ,+) 2
y
g(x) =
x4
c.) (f.g)(x)
d.) (
f )(x) g
2.- Dadas las funciones f y g, definidas por: f(x) = x2 – 1 y g(x) = 3x Determinar: a.) fof b.) gog c.)fog d.)gof Nota: en cada parte determinar el dominio 3.-Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones: f(x) =
3 2x 6
f(x) =
4
2x 6 3
f(x) =
f(x) =
2
f(x) =
x 1 x 5x 6
5x 3
f(x) =
x5 4 x
4x x 4 3
2
4.- Sea la función f(x) = 2x2 – 1. Halle: a.) Dominio y Rango de f
b.) f(3) + f(5)
c.) 2f(b-2)
5.- Determine cuales de los siguientes puntos están situados sobre la gráfica de la función f(x) = x 1 ; puntos: (3,2) ; (8,-3) ; (15,4) ; (9,10) 6.- Examinar la grafica de y = x2 y la grafica de x = y2 para decidir cuál de ellas es una función.
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FUNCIONES NUMÉRICAS FUNCIÓN CONSTANTE Si f(x) = C y C es cualquier número real, entonces f es una función constante y su gráfica es una línea horizontal a una distancia dirigida de C unidades del eje X X
Y Y
1 2 3 4 . .
y=C
C X
Dado que la variable independiente “x” puede tomar cualquier valor real, entonces: Domf(x) = R Como la función solo toma el valor de C, entonces: Rgf(x) = C Ejemplos .- La función definida por G(x) = -4 es constante y su gráfica es una línea horizontal a una distancia dirigida de C unidades por debajo del eje X. Su dominio son todos los reales; esto es: DomG(x) = R y el rango viene a ser 4 .- La función f(x) = 5 es constante y su gráfica es una línea dirigida 5 unidades por arriba del eje X. Cuál será el dominio y el rango de la función.? FUNCIÓN IDENTIDAD Es un caso especial de la función general de primer grado. La función identidad es f(x) = X donde f(x) = I(x) I = { ( x, y) / Y = X } ; es decir, la función identidad asigna a cada número natural el mismo número. Los elementos del dominio y el rango son iguales. Es una función simétrica respecto al origen, f es una función creciente. Y 2 1 -1
X 1
X
-1
0
1
2
Y
-1
0
1
2
2
-1
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO x si x > 0 Es la función f(x) = x ó f: { (x, y) / y = x } donde f(x) = 0 si x = 0 -x si x < 0
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El valor absoluto de un número siempre es positivo. El dominio es ( - , + ) = R. El recorrido es el conjunto de todos los números reales no negativos, y se toma proyectando la gráfica de la función sobre el eje Y. Su gráfica consiste en dos rectas que pasan por arriba del eje X. Una tiene pendiente igual a 1 y la otra igual a –1. Y
-2
2
X
Como x = x , se sigue que f(x) = f(-x), esto es; f es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Ejemplo: Si Y = f(x) = 3x 5 entonces: Domf(x) = R. El rango se determina con la gráfica. Según la definición de valor absoluto: Y = f(x) = 3x 5
=
3x-5 0 - (3x – 5 )
si 3x – 5 > 0 si 3x – 5 = 0 si 3x – 5 < 0
=
3x-5 0 - (3x – 5 )
si x > 5/3 si x = 5/3 si x < 5/3
Luego: Y = f(x) = 3x 5
( - , 5/3 ) )
(5/3, )
5/3
Donde: Domf(x) = ( - , 5/3 ) (5/3,
-3x + 5 3x – 5 Elaboramos la tabla de valores, para ello, le asignamos valores a X en cada intervalo y determinamos los valores de Y. Y X -1 0 1 2 3 4 5 Y
8
5
2
1
4
7 10
Rgf(x) = 0 , + )
5/3
X
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Estudie las siguientes funciones: Y = x3
Y=
2x 1 3
FUNCIÓN POLI NÓMICA Una función que se pueda expresar en la forma f(x) = a n x n
+ a n 1 x n 1 + ... + a 0 , a 0 , son números reales con a n
en donde n es un entero positivo y a n , a n 1 y 0 se denomina función polinómica de grado n en x. Las constantes a n , a n 1 y a 0 son los coeficientes. Si n = 0 f(x) = a, en donde a 0, se llama función polinómica de grado cero. Si f(x) = 0 polinomio nulo y no tiene grado. Ejemplo: Determine cada una de las siguientes funciones en forma polinómica e identificar el grado y los coeficientes de la función. f(x) = 2X 3 + 5X 2 - 9X + 3
f (x) = -5X 3 + 7X 2 + 3X - 4
f(x) = 4
FUNCIÓN LINEAL Una función polinómica de la forma f(x) = mx + b, se llama función lineal donde m y b son números reales constantes. Su gráfica es una línea recta. Si m > 0 f : R R / f(x) = mx + b es estrictamente creciente en todo el dominio R. Si m < 0 , la función es estrictamente decreciente. Si la función carece de término independiente; (y = mx) donde m es constante, la línea pasa por el origen. Si la función es Y = mx + b no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje Y es igual al término independiente
Y m>0
X m<0 En la función lineal el dominio y su recorrido son todos los reales (Dom = Rg = R) Ejemplo: Determine dominio , rango y dibujar la gráfica de: f(x) = 2X + 5
f(x) = - 2x + 1
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FUNCIÓN CUADRÁTICA Es una función polinómica de grado dos(2). Si Y = f(x) es una función cuadrática la forma general de f viene dada por f(x) = ax 2 + bx + c; en donde a 0. La gráfica de esta función es una PARÁBOLA y tiene un punto característico llamado vértice ( v = (h,k) ) Vértice V (
b 4ac b 2 , ) 4a 2a
h=
b 2a
; k=
4ac b 2 4a
Máximos y Mínimos( coordenadas del vértice) 4ac b 2 b Si a> 0 la función tiene un mínimo igual a: Y = cuando X s igual a 4a 2a Si a<0 la función tiene un máximo igual a: Y =
4ac b 2 b cuando X s igual a 4a 2a
Y máximo
a<0
a>0
mínimo X
Ceros Son los números reales para los cuales la función es nula. Para ello es necesario resolver ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0. Estas ecuaciones se pueden resolver por el método del factor, por el método de completar cuadrados o por la fórmula cuadrática. En la representación gráfica, los ceros son las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje XX` Y <0
=0
= b 2 - 4ac
>0 X
Ejemplo: Encontrar los ceros de: Y = 2X 2 +X - 3; aplicando la formula cuadrática Signos Para los valores de X no comprendidos entre los ceros X 1 y X 2 , el signo de la función f(x) = ax 2 + bx + c, es el signo del coeficiente comprendidos entre los ceros, el signo es el contrario de a.
a.
Los valores de X
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Y Sg Y Sg a a<0 X x1
x2 Sg Y = Sg a
Crecimiento y decrecimiento Si
a
> 0 la función es estrictamente decreciente en el intervalo ( - , -
estrictamente creciente en el intervalo [ Si
a
b , ). 2a
< 0 la función es estrictamente creciente en el intervalo ( - , -
estrictamente decreciente en el intervalo [ Y
b ) y 2a
b , + ). 2a Y
b ) y 2a
a<0
a>0
X
Decreciente
Creciente
X
Creciente
decreciente
DOMINIO: Es todo el campo de los números reales y el RANGO esta definido por los valores de Y comprendidos desde el vértice hasta el otro lado de la curva. El rango son los valores que toma la variable Y; entonces: si a > 0 , Rg f(x) = k , + ; y si a < 0, Rgf(x) = (- , k Interceptos ( corte con los ejes) .- Los interceptos de X son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica corta ( o toca) el eje X .- Los interceptos de Y son las coordenadas y de los puntos correspondientes sobre el eje Y. Para encontrar los intercepto X se toma Y = 0 en la ecuación que define la relación y se resuelve para X, luego para encontrar los de Y se hace X = 0 y se resuelve para Y.
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La curva siempre corta al eje Y en el punto C, que es el termino independiente de la función cuadrática Y = ax 2 + bx + c , y puede cortar al eje X en dos puntos X 1 y X 2 ; en un punto X 1 = X 2 ; y en ningún punto. Estos puntos de corte representan las raíces de la ecuación. Ejemplo: Sea Y = x 2 - 2x – 3, halle dominio, rango, corte con los ejes, tabla de valores y trace la grafica. Solución: Domf(x) = R El rango esta dado por: Rgf(x) = k, + ). Debemos calcular primero el vértice de la parábola. Como a > 0, la parábola abre hacia arriba. b 2 Vértice: h ; k = ( 1)2 – 2 (1) – 3 = 0 V(1, -4 ) 1 2a 2.1 Luego Rgf(x) = -4, + ) Corte con los ejes coordenados: .- Corte con el eje X (Y = 0) 0 = x 2 - 2x – 3, factorizando se obtiene: (x – 3 )( x + 1 ) = 0 Luego : X1 = 3
y
X2 = -1
.- Corte con el eje Y ( X = 0) Y = x 2 - 2x – 3
Y = 02 – 2(0) – 3 Y = -3
Tabla de valores y grafica:
Y
X
-2
-1
0
1
2
Y
5
0
-3
-4
-3
2
3
3
2
1 -2
-1
0 -2
-4
1
X
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Ejemplo Propuestos: Realice un estudio completo de: Y = -x 2 - x + 12
Y = x2 - 2 x - 3
Y = x 2 - 6x + 9 ;
Y = - x2 - 9
Y = 3x 2 - 5x + 2
Y = -x 2 + 2x
Y = x 2 - 7x + 6
Y = 3x 2 - 4x + 6
FUNCIÓN CÚBICA Se denota por: y = f(x) = ax 3 + b x 2 + cx + d. La condición para que una función sea cúbica, es que debe aparecer la variable “x” elevada a la tres (3), los demás términos pueden o no aparecer. Para dibujar la gráfica de una función polinómica, es de gran ayuda determinar los puntos de intersección con el eje X; es decir, los puntos en que la gráfica corta al eje X. Por ejemplo, la intersección de f(x) = x 3 - x 2 con el eje X son los puntos (0,0) y (1,0). En otras palabras, la intersección de una función con el eje X que sustituidos en la función, den 0 para el valor de Y. Estos valores de X se llaman ceros de la función. De aquí que x= 0 y x = 1 sean los ceros de la función polinómica f(x) = x 3 - x 2 La gráfica de esta función requiere también el conocimiento de otros puntos. Esto significa que los elementos del dominio deben ser sustituidos en la función para obtener los correspondientes elementos del recorrido. Un proceso corto en algunos casos del cálculo de los elementos del recorrido es el llamado División sintética o Regla de Ruffini. El dominio y el rango son todos los reales. NOTA: En general el dominio de cualquier función polinómica son los números reales; mientras que el rango depende del grado del polinomio. Si el grado del polinomio es PAR, el rango se determina a través de la gráfica de la función dada; si el polinomio es de grado IMPAR el rango son los reales. Ejemplo: Determine el dominio, rango, corte con los ejes y trace la gráfica de: Y = 2x 3 - 2x 2 - 12 x + 16 Y = 3 - x3
3 2 x - 6x – 2 2 f(x) = 2x 3 - 10x 2 + 12 x f(x) = x 3 +
FUNCIÓN RACIONAL Una función es racional cuando puede expresarse como el cociente de dos funciones polinómicas. Para ser racional debe aparecer en el denominador al menos la variable en su forma más simple.
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F(X) =
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P( X ) ; esta función no esta definida en los puntos donde Q(X) = 0 Q( X )
El dominio esta dado por todos los valores de la variable “x” que NO indeterminan la función. Es decir, los valores de “x” en que el denominador sea diferente de cero. Estos valores, se determinan igualando a cero (Q(X) = 0) y determinando las raíces del polinomio en estudio. El rango se determina a través de la gráfica. Domf(x) = { x R / Q(x) = 0 } Los valores de “x” que anulen el denominador de una función racional, representan vacíos o asintotas verticales en la gráfica. Es un VACÍO, cuando al sustituir el valor de “x” tanto en el numerador como en el denominador de una función racional ambos dan cero. Y es una ASINTOTA vertical cuando sólo anula al denominador de la función racional. 2x 1 Consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos T(x) = . T corta al eje Y en (0,x 1 1 1) y corta al eje X en ( - ,0). 2 Examinando los valores de x se aproxima desde la derecha a 1 los de T(x) son elevados. X
2
3 2
5 4
9 8
T(x)
5
8
14
26
Si X se aproxima a 1 desde la izquierda los de T(x) son negativos. X
1 2
3 4
7 8
9 10
Y
-4
-10
-22
-28
La gráfica de T(x) =
1
T(x) =
2x 1 x 1
2x 1 pone de manifiesto el comportamiento de T(x) cerca de X= x 1
1. ( Obsérvese que ningún punto de la gráfica corresponde a x = 1). Esta situación se 2x 1 describe diciendo que la gráfica de T (x) = se aproxima a la línea x= 1 x 1 "ASINTOTICAMENTE"; la línea x = 1 se llama ASINTOTA VERTICAL. En general, T (x) = Ejemplo:
F ( x) tiene una A. V. En x = a. Si g(a) = 0 Q( x)
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Y=
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x x 1
No se puede sustituir X = 1, porque el denominador se hace cero, podemos tomar valores de X cada vez más cerca de 1. Cuando X se aproxima a 1 por la izquierda y aumenta indefinidamente en sentido negativo, la recta X = 1 se llama asintota vertical. y Si resolvemos la ecuación para X obtenemos X = , si Y = 1 es una asintota y 1 horizontal. Determinar el dominio para las siguientes funciones racionales, las intersecciones con los ejes coordenados, las asíntotas y trazar las gráficas f(x) =
2x2 1 2 x 2 3x
f(x) =
x2 1 x 1
NOTA: Obsérvese que en estos ejemplos, el grado del numerador es igual, mayor o menor que el grado del denominador. Con esta comparación de grados podemos determinar la asintota horizontal, de la siguiente manera: n = grado del numerador y m = grado del denominador n = m existe A. H. En Y =
a1 , donde a 1 y a 2 son los coeficientes de los a2
exponentes. n > m no existe A.H. n < m existe A.H. en Y = 0 Cuando no es posible mediante la función saber de quién es el valor de “Y” imagen, decimos que dicho valor es una Asintota Horizontal.
Ejemplo:
x 2 3x 2 determine el dominio, rango, elementos x2 x 2 característicos, tabla de valores y trace la grafica. Dada la función Y = f(x) =
Solución Domf(x) = R – { X R / Q(x) = 0 } Entonces: x2 + x – 2 = 0 x1 = -2 ; Luego: Domf(x) = R - { -2 , 1 }
(x + 2 )(x – 1 ) = 0 x2 = 1 (raíces)
Evaluamos en la función estos valores (anulan al denominador ) para determinar cual representa un vacío o una asintota vertical (A.V)
Lesbia Nayibe Pérez
Cálculo I
Enero/2013
Para x = -2 ; como ya sabemos que este valor anula el denominador, solo basta evaluarlo en el numerador. X2 + 3x + 2 representa un vacío.
(-2)2 + 3 (-2) + 2 4 - 6 + 2 = 0
entonces x = -2
Para x = 1 (1)2 + 3 (1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 6 0 luego: x = 1 es A. V. Seguidamente hallamos las Asintotas Horizontales, con el estudio de los grados de numerador y el denominador:
1 Como n = 2 y m = 2. Existe A.H. 1 Y 1 1 Tabla de valores: para ello, es recomendable obtener la función equivalente. Luego asignarle valores a “x” para encontrar los valores de “y”. Y = f(x) =
x 2 3x 2 x2 x 2
Y X Y
Y=
( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1)
(simplificando)
x 1 x 1
-4 -3 -2 3/5 1/2 Vacío
-1 0
0 -1
1 A.V.
2 3
3 2
Grafica de la Función
A.H
.
-2
A.V. Ejemplos Propuestos: Estudiar las siguientes funciones
Lesbia Nayibe Pérez
Y=
5 2 x 4
Y=
x 3 ( x 1) x2 4
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1 Y= 2 2 x 1 x
Y=
Y =
x2 9 x3
4 2x 3
FUNCIÓN IRRACIONAL Es una función de la forma Y = n f ( x) ; donde “n” es el índice del radical y f(x) es un polinomio. El dominio esta dado por: .- Si “n” es impar: Domf(x): R .- Si “n” es par: existe la condición f(x) 0. El dominio es el intervalo que resulte en la solución de la inecuación. En esta función, f(x) puede ser de la forma ax + b ó ax 2 + bx + c. Si f(x) es ax + b no tiene ningún elemento de interés.. Si es una función polinómica de segundo grado tiene elementos de interés (vértice, cortes con los ejes). Se debe evaluar hasta tener puntos suficientes para trazar la gráfica. Ejemplo: Hallar el dominio, rango y grafica de la función: Y = f(x) = x 2 4 Solución: Calculo del dominio: x2 – 4 0 x2 4 x 2 Luego el dominio esta dado por la unión de los siguientes intervalos: ,2 2, Domf(x) = ,2 2, Y X 0 2 -2 -3 3
Y IND 0 0 2,23 2,23 Rgf(x) = [ 0, + )
-2
-1
1
2
X
Ejemplos Propuestos: Obtener el dominio, rango y dibujar la gráfica de: Y=
3
2 x 2 2 x 12
Y=
3
x2 x 6 2
Y=
x2 4 1
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma Y = b f ( x ) ; donde b es una constante positiva diferente de uno y f(x) es un polinomio. El dominio de la función exponencial depende del exponente. Si el exponente es un polinomio, el dominio son todos los reales. El rango es el intervalo (0, + ). Cuando en la función se le suma o resta un número real, el rango se determina por medio de la gráfica. Existiendo en ese valor una asintota horizontal. Se determina además los cortes con los ejes. Y = b f ( x) k Domf: R A.H. en y = k Rgf: ( k, + )
Y = b f ( x) Domf: R A.H. en y = 0 Rgf: (0,+ ) Ejemplo: Estudiar la función Y = f(x) = Y = 3 X - 2 Solución: Domf(x) = R
Rgf(x) = ( - 2, + ). Luego Y = - 3 representa una A.H. Tabla de valores Y X Y
-2 -1 -17/9 -5/3
0 -1
1 1
2 7
X (Y = -2)A.H
Ejemplos Propuestos: Obtener el dominio, rango y gráfica de:
1 f(x) = ( ) X 4
Y = 3 X 1 X
Sea Y = 2
X
Y = (5) 3 X
1 y Y = graficar en un mismo plano cartesiano 2
Y=
2
X
Lesbia Nayibe Pérez
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FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es la función inversa de la función exponencial. Esta función se denota por: Y = log b f(x); siendo b la base del logaritmo y f(x) un polinomio. El dominio de la función lo representa todos los valores de “x” tal que f(x) > 0; es decir, el dominio se determina encontrando el conjunto solución de la desigualdad: f(x) > 0. El rango viene dado por todos los números reales. asintota vertical donde f(x) = 0
La función Logarítmica tiene
Propiedades de los logaritmos: .- Los números negativos no tienen logaritmo .- El logaritmo de uno es cero .- Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos .- El logaritmo entre cero y uno es negativo .- Logaritmo de la base es uno (1) .- El logaritmo de cero no existe log b (m.n) = log b m + log b n log b m n = n. log b m m 1 log b = log b m - log b n log b n m = . log b m n n A los logaritmos de base e se le llama neperiano y se indica por ln, donde lne = 1 Ejemplo: Sea la función Y = f(x) = Log(2x –5 ) Domf(x) = ? 2x – 5 > 0 2x > 5 x > 5 / 2 Luego:
Domf(x) = ( 5/2 , + ) Rgf(x) = R A.V.
x = 5/2 valor que anula 2x – 5
Tabla de valores X 3 4 5 7
Y 0 0.4 0.7 0.9
Y
0.5
0
3
4
5
6
7 X
A.V.
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Determine el dominio y dibuje la gráfica de: f(x) = log 8 (1-2x)
f(x) = log 1 x
Y = log(3x-1)
4
Y = log 3 (2x – 5) – 3x
f(x) = log 2 (6 – 2x)
FUNCIÓN INVERSA Sean f y g dos funciones tales que (gof)(x) = x, para cada elemento x del dominio de f y (fog)(x), para cada elemento de g; entonces, f y g se dice que son invertibles y cada una de ellas se llama INVERSA de la otra. Notación: g = f 1
f = g 1
Ejemplo: f(x) = 5X;
g(x) =
x 5
Demostrar que f y g son invertibles
Solución: (fog)(x) = f [g (x) ] = f (
x x ) = 5( ) = x 5 5 f = g 1
(gof)(x) = g [f(x)] = g (5x) =
5x = x 5
Para hallar la inversa de una función Y = f(x) cualquiera, se intercambian las variables X Y Y X luego, se despeja la variable Y y la función que se obtiene representa la función inversa Y 1 . Ejemplo: Sea F(x) = 3x + 2 hallar su inversa F(x) = Y = 3x + 2
Intercambiando variable X = 3y +2
X – 2 = 3y despejando a “y” y = (X – 2)/ 3 (inversa de Y)
Y-1 = (X – 2)/ 3
Podemos calcular la función inversa de funciones Lineales, Cuadráticas, Racionales, Exponenciales y Logarítmicas
Lesbia Nayibe Pérez
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Ejemplos propuestos: 1.- f(x) = 3x + 7 y g(x) =
2.- Sea f(x) =
x7 Demostrar que f y g son invertibles 3
1 Hallar su inversa si existe. x
3.- Determine para cada una de las siguientes funciones: a.) Función inversa b.) Rango de la función c.) Dominio de la función
Y=
3x 5 4
Y = x 2 - 4x + 6
3x 4 4 x
Y = 3x 2 - 4x +5
Y=
3x 2x2 4
Y = 4 5 3x 4 - 5
Y=