Lesbia Nayibe Pérez MODULO III
Derivadas y sus Aplicaciones
Marzo/2014
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
OBJETIVO Al finalizar el módulo III, el estudiante utilizando el cálculo diferencial resolverá ejercicios referentes a: trazado de recta tangente y normal a una curva, crecimiento, concavidad y asintotas en trazados de curvas, existencia y análisis de valores extremos, aplicándolos a la solución de problemas en el área de educación. Es necesario recordar algunos conceptos, tales como: Dirección de una Curva: La dirección de una curva en cualquier punto se define como la dirección de la tangente a la curva en dicho punto. Inclinación(α ): es el ángulo que forma la tangente a la curva con el eje de las equis(X ). Pendiente: La pendiente a una curva en uno de sus puntos, es igual a la tangente de la inclinación ( tgα). El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la tangente de la pendiente. ( m = tgα = f ´(xo) = y ´ )
Y
l → y = f(x)
yo
• P (x ,y ) o o o α
X xo
Consideremos el siguiente ejemplo, para verificar los conceptos anteriores. Hallar la pendiente a la curva y = 2x2 – 2x + 6 en el punto x = 1 Solución: Derivamos para hallar la pendiente ⇒ f ´(x) = 4x – 2. Esta nueva función determina la pendiente de f(x) en cualquier punto x de su dominio. El valor numérico de la pendiente, se calcula al sustituir a x = 1 Donde: f ´(x) = 4x – 1
= 4 (1) – 2
=
4 –2 = 2
m=2
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Así mismo, para calcular el ángulo con que corta la tangente al eje x se determina por: α = tg-12 = 63º Actividad sugerida 1.- Calcular el valor de la pendiente para x = 1 en la curva y = x 3 - 2x 2 - 8 2.- Dada la curva y = x 3 - 2x - 1, hallar las coordenadas del punto en que su tangente tiene una inclinación de 45º 3.- Hallar la pendiente a la curva y = x + senx en el punto x = 2 4.- Hallar el punto de la parábola y = 2x2 – 2x + 6, en donde la pendiente es igual a –2. Recordemos que, en el módulo II, se estudio el concepto de derivada en un punto y se usaron las reglas de derivación. No obstante, haciendo uso de ellas, podemos determinar las ecuaciones de la recta tangente y recta normal a una curva en un punto dado, así: ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA La ecuación de la recta tangente T, a la curva en un punto, P(a , b) esta dada por: Esta ecuación y – b = f ´(a)(x – a ) es de la forma: punto – donde: m 1 = f ´(a) pendiente.
Y
T b• P (a, b) a
X
Veamos el siguiente ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x3 – 2x2 + 2 que pasa por el punto x = 1. Solución: Derivamos la función dada para hallar la pendiente: y = 3x3 – 2x2 + 2 4x
⇒
Reemplazamos x = 1 para hallar el valor de la pendiente en este punto: y ´ = 9x2 – 4x
⇒ y ´(1) = 9(1)2 – 4 (1) = 5, por lo tanto m=5
El punto (x,y) lo determinamos sustituyendo a x = 1 en la ecuación: y = 3x3 – 2x2 + 2
⇒
y = 3(1)3 –2(1)2 + 2
⇒
y=3
y ´ = 9x2 –
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Por lo tanto las coordenadas del punto son: P(1,3). Si se conoce la pendiente (m = 5) y un punto P(1,3), se determina la ecuación de la recta tangente a una curva. Por lo tanto, al remplazar reemplazando en la ecuación de la recta, se obtiene: ⇒
y – 3 = 5 (x –1 )
⇒
resolviendo y ordenando : y – 3 = 5x – 5
ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL
N
Y
Se define la recta normal a una curva en un punto, como la perpendicular a la recta tangente que pasa por ese punto.
5x –y –2 = 0
T
Por ser perpendicular se cumple: m 1 . m 2 = -1 m2
−1 = m1
X ;
como →
m 1 = f ´(a) → m 2 =
−1 f ´(a )
−1
La pendiente de la normal a una curva es f ´(a ) es la inversa negativa de la tangente. Donde f ´ (a) = m es la pendiente de la recta tangente en dicho punto.
La ecuación de la recta normal en forma de punto – pendiente, queda definida por: y–b=
−1 (x – a) f ´(a )
Veamos el siguiente ejemplo: Hallar la ecuación de la normal a la curva y = x2 – 3x + 2 en el punto x = 2 Solución Derivamos la ecuación dada para hallar la pendiente → y ´= 2x – 3 ; sustituyendo a x = 2, se hallan el valor de la pendiente en ese punto: y ´ = m = 2x – 3
= 2(2) – 3 = 1 luego: m = 1
La pendiente de la normal sería: mn = m-1 = -1/m ⇒
mn = -1 / 1 ⇒ mn = -1
Sustituyendo x = 2 en la ecuación original se obtiene el punto P(x,y) = P (2, 0)
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Por lo tanto, conociendo la pendiente ( m n = -1) y el punto P (2,0) , se sustituye los valores en la ecuación: y – 0 = -1(x –2) ⇒ y = -x +2
⇒ quedando la ecuación de la recta normal:
x+y–2=0 Actividad sugerida 1.- Hallar la ecuación de la tangente a la curva x = y2 – 6y + 1 en el punto x = -8 2.- Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = f(x) = x 3 en (1,1) 3.- Determine la ecuación de la recta tangente y recta normal de f (x) = punto (2 , -1) 4.- Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = punto (3,4) 5.- Determine el punto, en el cual la recta y =
1 , en el x −3
25 − x 2
en el
x + 2 es paralela a la recta tangente de 2
la curva y = x (x + 3) 6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y 2 + 4x = 0 y que pasa por el puntos (2,1)
TRAZADOS DE CURVAS Para trazar una curva, es decir, dibujar la gráfica de una función se necesita estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión, el sentido de la concavidad y asintotas. No obstante, haciendo uso de las derivadas, podemos calcular los elementos antes mencionados, sin elaborar una tabla de valores. A continuación estudiaremos cada uno de estos puntos. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función y = f(x) definida en el intervalo I, es CRECIENTE en él, si y solo sí, al aumentar el valor “x” dentro del intervalo, aumenta el valor “y” . En las gráficas:
Y
Creciente
Y
Decreciente
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x1
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x2
X
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x1
x1 < x2 y1 < y2
x2
X
x1 < x2 y1 > y2
Una función f(x) es decreciente, si y solo sí, al aumentar el valor “x” dentro del intervalo, disminuye el valor “y”. Si f es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que f es monótona en el intervalo. Criterios para determinar el crecimiento y decrecimiento de una función: Si 1. 2. 3.
y = f(x) es derivable en un intervalo, entonces: Si f ´(x) > 0 en el intervalo, f es creciente en el intervalo Si f ´(x) < 0 en el intervalo, f es decreciente en el intervalo Si f ´(x) = 0 en el intervalo, f es constante en el intervalo
Recordar.... La pendiente de la recta tangente está representada por la derivada de la función en ese punto.
Y f ´(x3) = 0
f ´(x1) = 0 f ´(x) > 0
f ´(x) >0
f ´(x1) < 0
f ´(x) < 0
X2 X1
X3
y = f(x)
X
f ´(x2) = 0 Donde la función pasa de creciente a decreciente, y de decreciente a creciente, existe un Punto crítico, las rectas tangentes a la curva en dichos puntos tienen como pendiente cero. Estudiemos el siguiente ejemplo: Sea la función y = f(x) = 2x 3 - 9x 2 + 12x – 3, determinar los valores de crecimiento y decrecimiento.
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Solución: Derivando: y ´= f ´(x) = 6x 2 - 18x + 12 Factorizando: y ´= f ´(x) = 6(x – 1) ( x – 2 ) Igualando f ´(x) a cero: 0 = 6(x – 1) ( x – 2 ) 0 = (x – 1) ( x – 2 ) Resolviendo: x = 1
; x =2
⇒ puntos críticos ( pendiente = 0)
Estos valores dividen el dominio de la función ( -∞ , + ∞) en intervalos: En el intervalo ( -∞ , 1)
f ´(x) = 6(x – 1) ( x – 2 )
En el intervalo ( 1, 2 ) En el intervalo ( 2, + ∞ )
f ´(x) > 0 f es creciente f ´(x) < 0 f es decreciente f ´(x) > 0 f es creciente
¿Cuál será la gráfica del ejercicio anterior ? queda como actividad sugerida MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO DE UNA FUNCIÓN Los máximos y mínimos se pueden determinar a través de varios procedimientos: 1.- Existencia de máximos y mínimos. Condición de f(x) Y
f(x1) f(x2) a x
b
c
d
X
x Una función f(x) posee un máximo relativo y = f(x1) en un punto x1, si su valor en dicho punto es mayor que en cualquier otro punto x de un intervalo (a, b) , es decir, si y solo sí, f ( x1 ) > f (x) para todo x suficientemente próximo a x1. Una función f(x) posee un mínimo relativo en y = f(x2) en un punto x2, si su valor en dicho punto es menor que en cualquier otro punto x de un intervalo (c, d), Es decir, f ( x2 ) < f (x) para todo x suficientemente próximo a x2. y
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MIN REL
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X MAX
MIN
MAX
MIN
RELATIVO
2.- Máximos y mínimos cuando y ´= 0 Dada una función, se deriva y se iguala a cero. Posteriormente se resuelve la ecuación para determinar los puntos críticos. Los máximos y mínimos relativos tienen lugar en aquellos puntos (puntos críticos) en que la tangente es horizontal: f ´(p.c.) = 0. El conocimiento de los intervalos donde una función está creciendo o decreciendo, conduce más fácilmente a la identificación de los máximos o mínimos relativos. Los valores de x para los cuales la derivada de una función se hace cero o presenta discontinuidad, se denominan puntos críticos. * Un máximo relativo se produce en una función continua sobre cierto intervalo, cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir cuando f ´(x) > 0 pasa a f ´(x) <0 Y
f ´(a) = 0 f ´(x) > 0
f ´(x) < 0
a
X
en x = a máximo relativo
* Un mínimo relativo se produce en una función cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente, es decir cuando f ´(x) < 0 pasa a f ´(x) > 0 y f ´(x) < 0
f ´(x) > 0
f ´(b) = 0 b
x
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Procedimiento para hallar máximos y mínimos mediante el cambio de signos de f ´(x): 1.- Se halla la primera derivada f ´(x) 2.- Se iguala a cero la primera derivada [ f ´(x) = 0] las raíces de la ecuación son los puntos críticos si existe cambio de monotonía. 3.- Se determinan los puntos críticos en los cuales la derivada f ´(x) es discontinua. 4.- Se define el cambio de signo de la derivada según los conceptos anteriores (*) 5.- Se calcula el valor de la función para cada punto determinado. 6.- Se determinan los intervalos de crecimiento con base a 4.) Veamos el siguiente ejemplo: Hallar los puntos máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento de la función y = ( x – 1). 3 x 2 Solución: Paso 1: Primera derivada:
y = ( x – 1).
3
⇒
x2
⇒ y´= (x – 1)´.x 2/3 + (x –1)(x2/3 )´ términos, resulta: 5x − 2 y´= 33 x
⇒
y = (x – 1) x2/3
efectuando la derivación y agrupando
Paso 2: igualando a cero la primera derivada 5x − 2 = 0 ⇒ 5x – 2 = 0 ⇒ x = 2/5 33 x
Puntos críticos: x = 0 ; x = 2/5
P1 ( 0,0)
; P2(2/5; -0,32)
Paso 3: y ´ es discontinua en x = 0 ya que y´ se hace ∞ Paso 4: Cambio de signos: -∞
+
0
Cuando x < 2/5 → y´< 0 x > 2/5 → y´ > 0
+
+∞
2/5
En x = 2/5 hay un mínimo. La derivada pasa de menos a más al tomar valores menores y mayores que cero
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Cuando x < 0 → y´ > 0 x > 0 → y´< 0
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En x = 0 hay un máximo. La derivada pasa de más a menos al tomar para y´ valores mayores y menores que cero.
Paso 5: valor de la función para cada punto Para x = 2/5
⇒ y= −
33 4 5 25
⇒ P1(0.40, -0.33) es un mínimo
Para x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ P2 ( 0,0 ) es un máximo. Paso 6: los intervalos de crecimiento: La función es creciente en el intervalo ( - ∞, 0 ) ∪ ( 2/5, + ∞) La función es decreciente en el intervalo: ( 0, 2/5) Observación: A través de la segunda derivada. Podemos también calcular máximo y mínimos de una función: Si f ´(x0) = 0, en x0 la función tiene un máximo sii f ´´(x0) < 0. ( Curva cóncava hacia abajo). Así mismo, f ´(x0) = 0, en x0 existe un mínimo si f ´´( x0 ) > 0, ya que se trataría de una curva cóncava hacia arriba. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Sea la función y = f(x) = x 3 ; cuya gráfica es: Observando la gráfica, vemos que para x∈ (-∞, 0) está “curvada hacia abajo” y para x ∈(0,+∞) está “curvada hacia arriba”. En el lenguaje del cálculo se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en x∈(-∞, 0) y cóncava hacia arriba en x∈(0,+∞)
Y
X
Se establece que: 1.- Cuando la curva está por debajo de la recta tangente en un intervalo, la curva es cóncava hacia abajo en ese intervalo. 2.- cuando la curva está por encima de la recta tangente en un intervalo, la curva es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Utilizando el criterio de la segunda derivada: Si f ´´( c ) > 0 en un intervalo abierto que contenga a c la curva es cóncava hacia arriba.
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Si f ´´ (c) < 0 en un intervalo abierto que contenga c la curva es cóncava hacia abajo. Y
Rtg y = f(x)
•
Cóncava hacia abajo
f ´ ´(x) < 0
X Con frecuencia sucede que la gráfica de la curva pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba o viceversa, entonces los puntos donde sucede esto, se llaman puntos de INFLEXIÓN y el valor de la segunda derivada en estos puntos es igual a cero. Estos puntos son llamados puntos críticos de segunda especie. Gráficamente:
f ´´ (x) >0
• P.I.
punto de inflexión f ´´(P.I.) = 0
f´´(x)<0
Consideremos el siguiente ejemplo, Estudiar la concavidad de la función y = f(x) = 3x 4 - 4x 3 Solución: Hallamos la segunda derivada de y = f(x) = 3x 4 - 4x 3 y ´ = 12x3 – 12x2 y ´´ = 36x2 – 24x Igualamos la segunda derivada a cero para hallar los puntos de inflexión: y ´´ = 36x2 – 24x = 0 ⇒ 12x.(3x – 2) Luego existe puntos de inflexión en: x1 = 0 ; x2 = 2/3 Estos puntos de inflexión dividen al dominio de la función en intervalos: -∞
f ´´>0
f ´´<0 0
f ´´> 0 2/3
+∞
Conc. hacia arriba Con. hacia abajo
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Examinando el signo de la segunda derivada en cada intervalo tenemos: En (- ∞ , 0 ) ⇒ f ´( c ) > 0 ⇒ f es cóncava hacia arriba En ( 0, 2/3 ) ⇒ f ´( c ) < 0 ⇒ f es cóncava hacia abajo En ( 2/3, + ∞ ) ⇒ f ´( c ) > 0 ⇒ f es cóncava hacia arriba ASINTOTAS DE UNA FUNCIÓN Si la distancia de una curva y = f(x) y una recta l 1 se aproxima cada vez más e indefinidamente, se dice que la recta l1 es una asintota de la curva y = f(x). Asintota vertical: Una recta x = a representa una asintota vertical para la función y = f(x), si y solo si: lim f ( x) = ∞ ( el limite por la izquierda de “a” debe ser igual al x →a
limite por la derecha de “a”. Ambos deben ser ∞ ) Esta asintota en una función racional la podemos calcular con los valores que hagan el denominador cero. Si los valores que se excluyen del dominio, anulan también al numerador entonces forman un vacío. De igual manera si la función esta dada implícitamente, la asintota vertical es calculada igualando a cero el coeficiente de la mayor potencia de Y. Asintota Horizontal: Una recta y = b representa una asintota horizontal para la f ( x) = b función y = f(x) si y solo si: lim x →∞ En una función Racional, podemos calcular la asintota horizontal, tomando en cuenta el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la siguiente manera: a1 ; donde: a1 = Coeficiente de la mayor a2 potencia del numerador y a2 = Coeficiente de la mayor potencia del denominador.
Si n = m ⇒ existe A.H. en y =
Si la función esta dada implícitamente, podemos calcular la A.H. igualando a cero el coeficiente de la mayor potencia de X. Asintota Oblicua: Dada una función y = f(x), la ecuación de la asintota oblicua es y = mx + b, en donde: f ( x) m = lim (el resultado del limite se toma como valor de “m”). x →∞ x
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[ f ( x) − mx] b = lim x →∞
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( este resultado se toma como “b”)
El valor de “m” debe existir para que haya asintota oblicua. En caso de ser cero, entonces y = b es una asintota horizontal
Si la función es implícita, la asintota oblicua se calcula de la siguiente forma: .- Se sustituye y = mx + b en la ecuación de la curva. .- Se elimina los signos de agrupación si existen, se ordena la ecuación y se iguala acero. .- Se resuelve el sistema formado por los coeficiente de las mayores potencia de X, para hallar m y b .- Para cada par de valores de m y b se tiene una ecuación de la asintota oblicua. Nota: Si el factor de xn es una constante, entonces la curva no tiene asintota oblicua. Vemos el siguiente ejemplo: Calcular las asintotas de la función
y = f(x) =
2x2 + 3 cuando x tiende a –1 x +1
Solución: 2x2 + 3 5 = = ∞ lim x →−1 x +1 0
Dominio:
( x = -1 es una Asintota Vertical )
Domf(x) = R - { -1 }
2x2 + 3 ∞ = lim x →∞ x +1 ∞
Eliminamos la indeterminación dividiendo toda la expresión entre
3 2+ 2 x la mayor potencia y simplificando, resulta: lim x→ ∞ 1 1 + 2 x x
2 = =∞ 0
Por no tener un valor real, no existe asintota horizontal. Para calcular la asintota oblicua, procedemos a calcular los siguientes limites: f ( x) 1.) lim x →∞ x
=
2 x 2 +3 lim x +1 x →∞ x
aplicando doble C y evaluando, resulta la
indeterminación ∞/∞. Aplicamos el mismo procedimiento anterior para eliminar la indeterminación y evaluamos nuevamente:
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f ( x) lim = x →∞ x
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2 x 2 +3 lim x +1 x →∞ x
=1
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(m = 1)
2x + 3 [ f ( x) − ax] = lim −1x al evaluar resulta la indeterminación ∞ - ∞ 2.) lim x →∞ x →∞ x + 1 2
efectuamos aplicando un producto cruzado y llevamos la indeterminación a ∞/∞. Aplicamos nuevamente el procedimiento de dividir la expresión por la mayor potencia lo que se obtiene: 2x2 + 3 lim −1x = 1/ 0 = ∞ x →∞ x +1
( b ∉R )
La asintota oblicua esta dada por la recta: y = mx + b en este caso, el segundo límite no tener un valor real, por lo tanto, no existe asintota oblicua. Actividad sugerida 1.- En las siguientes funciones, hallar los intervalos donde f es creciente y decreciente en: x 2 +1 a.)y = x 4 b.) y = 2 c.) y = x 3 - 3x + 2 x −1 d.) y = Sen(x) en el intervalo [ 0, 2π] 2.- Hallar los máximos y mínimos relativos en las funciones siguientes: x2 x −2
a.) y = x 4 - 8x 2 + 2
b.) y =
c.)y = 2x 3 - 9x 2 + 12x – 3
d.)y = x 3 - 12x 2
e.) y =
1 − x2
+
x 2
g.) y = x3 – 6x2 + 9x – 8
f.)y = x 4 - 4x 3 + 4x 2 - 15 h.) y = x / lnx
3.- Estudiar la concavidad de las siguientes funciones: 3,1.) y = 3.3.) y =
1 1 + x2 x − x2
3.2.) y =
2 3 1 2 x - x - 10x – 1 3 2
3.4.)y = x2 . e-x
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4.- Hallar las asintotas vertical y horizontal de: y = x /( x2 – 3x –4) 5.- Hallar las asintotas a la curva: y2(x – 1) – x3 = 0 Resumen para el trazado de graficas de funciones En general: Construcción de graficas de funciones: se siguen los siguientes pasos: • Determinar dominio y rango de la función • Calcular puntos de corte: .- con el eje x ( se hace y = 0); .- Con el eje y ( se hace x = 0) • Determinar puntos críticos (p.c.) y puntos de discontinuidad (si existen) Punto critico: si f ´(c) = 0 • Determinar intervalos de crecimiento: .- los puntos críticos y los valores de x en donde la función es discontinua, dividen el dominio de la función en intervalos; .- se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos tomando cualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo y sustituyendo en f ´(x); .- si f ´(x) < 0 la función decrece en el intervalo. • Hallar punto(s) mínimo(s) relativo(s) 1. Criterio de la primera derivada • cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir cuando f ´(x) > 0 pasa f ´(x) < 0, entonces en el punto crítico se considera que hay un máximo relativo. • cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente, es decir cuando f ´(x) < 0 pasa f ´(x) > 0, entonces en el punto crítico se considera que hay un mínimo relativo. 2. Criterio de la segunda derivada • se calcula f ´´(x) y se halla la imagen de cada punto crítico a través de f ´´(x) • si f ´´(x) >0 entonces f ( c ) es un valor mínimo relativo • si f ´´ ( x ) <0 entonces f ( c ) es un valor máximo relativo • Determinar puntos de inflexión: son los valores de x donde la segunda derivada es igual a cero (f ´´(x) = 0) ó f ´´ (x) no existe y hay un cambio en la concavidad • Estudiar la concavidad de la función: .- se determinan los puntos de inflexión, .como los puntos de inflexión dividen el dominio de la función en intervalos, se estudia el signo de f ´´(x) en cada intervalo. 1. si f ´´ (x) > 0 entonces f es cóncava hacia arriba 2. si f ´´ (x) < 0 entonces f es cóncava hacia abajo • Determinar asíntotas (si existen) 1. Asíntotas verticales: dada la función f y la recta x = a, se dice que x = a es una asíntota vertical de f si: xlim f(x) = ±∞ y xlim f(x) = ±∞ →a + →a − También las asíntotas verticales de f, son los valores de x que anulan el denominador
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2. Asíntotas horizontales: dada la función f y la recta horizontal y = b se dice que y = b es una asíntota horizontal de f si: xlim f(x) = b y xlim f(x) = b →+∞ →−∞ 3. Asíntotas oblicuas: dada la función f y la recta y = ax + b. Se dice que y = ax + b f ( x) [ f ( x) − mx ] es una asíntota oblicua de f si: I.) a = xlim ; II.) b = xlim →±∞ →±∞ x Actividad sugerida En las funciones dadas; hallar lo que se indica: 1.- dominio y rango de la función 2.- puntos de corte con los ejes cartesianos 3.- puntos críticos 4.- intervalos de crecimiento y decrecimiento 5.- máximos y mínimos relativos 6.- puntos de inflexión y sentido de concavidad 7.- asíntotas 8.- trazado de la curva a.)y = 3x 4 - 4x 3 + 1
b.)y = x4 – 8x2 - 9
d.)y = (x –1).x2/3
e.)y =
c.)y =
9x 2 x −9
f.)y =
2x x +2 2
x2 4 − x2
VALORES EXTREMOS Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un valor extremo. Otras de las aplicaciones de las derivadas, es que haciendo uso de ellas podemos estudiar el comportamiento de una función y encontrar valores extremos en un intervalo. Existen teoremas que permiten verificar las condiciones de existencia de estos valores, entre ellos, el Teorema de Rolle y el Teorema del valor medio. TEOREMA DE ROLLE Si una curva continua corta al eje x en dos puntos x = a y x = b, existe al menos un punto x 0 comprendido entre a y b en el cual la tangente a la curva es paralela al eje x. Geométricamente se dice que la tangente en x o es horizontal, ya que su pendiente es cero. Y
f(a) = 0 corte con el eje x
f ´(xo) = 0 f (b) = 0 Corte con el eje x f(a)
f(b)
X a
x0
b
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Definición: Si una función f(x) es continua en el intervalo abierto a < x < b y además f(a) = f(b) = 0, existe al menos un punto x 0 ∈ (a , b) en el que se verifica f ´( x 0 ) = 0 Ejemplo: Hallar los valores x 0 que cumplan las condiciones del Teorema de Rolle para la función f(x) = x 4 - 2x 2 - 8 donde -2 ≤ x ≤ 2 Solución: El intervalo esta definido por:
-2 ≤ x ≤ 2
⇒ [ -2 , 2 ]
⇒ [ a , b]
Calculando f(a) y f(b): Para a = -2 ⇒ f(a) = x 4 - 2x 2 - 8 = (-2)4 – 2(-2)2 – 8 = 0 Para b = 2 ⇒ f(b) = x 4 - 2x 2 - 8 = (2)4 – 2(2)2 – 8 Luego: si tomamos un xo ∈ ( -2, 2 ) Calculando la derivada: x1 = 1
= 0
⇒ f ´(x) = 0
f´(x) = 4x3 – 4x encontrando sus raíces (Ruffini)
⇒ 1 ∈ ( -2, 2 )
x2 = -1 ⇒ -1 ∈ ( -2, 2 )
Valores que cumplen las condiciones del Teorema Rolle
x3 = 0 ⇒ 0 ∈ (-2, 2) TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b y derivable en el intervalo a < x < b existe al menos un valor x, x = x 0 comprendido entre a y b en el que se verifica: f (b) − f ( a ) = f ´(x 0 ) Y b −a • P2(b,f(b)) • P 1(a,f(a)) Geométricamente significa que si p 1 y p 2 son dos puntos de una curva continua, existe al menos un punto de la misma comprendida entre p 1 y p 2 en el cual la tangente es paralela a la recta p 1 y p 2
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x0
b
X Nota: El teorema del valor medio admite la expresión: f(b) = (b-a)f ´(x) – f(a)
para x0 ∈ (a,b)
Ejemplo: Hallar los valores de x 0 que cumplan con las condiciones del teorema del valor medio para la función f(x) = x 3 - 5x 2 + 4x – 2 en [ 1,3] Solución: El dominio de la función f(x) = x 3 - 5x 2 + 4x – 2
es todos los reales.
El intervalo [ 1,3] pertenece al dominio, entonces la función es continua en el intervalo. Por lo tanto la función es diferenciable. Calculando f(a) y f(b) para a = 1 y b = 3 se tiene: f(a) = f (1) = x 3 - 5x 2 + 4x – 2
= (1)3 – 5(1)2 + 4(1) - 2 = -2
f(b) = f (3) = x 3 - 5x 2 + 4x – 2
= (3)3 – 5(3)2 + 4(3) - 2 = -8
Calculando f ´(xo) f(x) = f(xo) = xo3 – 5xo2 + 4xo - 2 f ´(xo) = 3xo2 – 10xo + 4 Sustituyendo en la ecuación que define el teorema del valor medio, se tiene: f (b) − f ( a ) = f´(xo) b −a
-3 = 3xo2 – 10xo + 4
⇒
− 8 − (−2) = 3xo2 – 10xo + 4 resolviendo: 3 −1
igualando a cero ⇒ 3xo2 – 10xo + 7 = 0
aplicando la resolvente, encontramos sus raíces: x1 = 7/3 este valor pertenece al intervalo (1,3) x2 = 1 este valor no pertenece al intervalo (1,3) El punto x2 = 1 no cumple con el teorema del valor medio.
Aplicaciones
Lesbia Nayibe Pérez
Derivadas y sus Aplicaciones
Marzo/2014
La resolución de problemas permite el desarrollo cognitivo del conocimiento, es una manera de generar ideas, compartir experiencias y desencadenar diferentes procesos mentales en el alumno. Es importante destacar, que resolver problemas en el área de ingeniería, requiere que el estudiante piense, descubra y comprenda el ejercicio a resolver. Las aplicaciones en la resolución de problemas son muy variadas, por lo tanto es difícil dar reglas especificas, no obstante, como estrategias se puede: .- Leer el problema cuidadosamente varias veces, para comprender sus datos e incógnitas. .- en lo posible hacer un diagrama o dibujo para visualizar mejor el problema. En el debe identificar con variables las incógnitas. Veamos la siguiente lista de problemas propuestos. Podrías solucionar alguno de ellos, por si solo. 1.- Un alambre de 5 mts de largo va a partirse en dos piezas para tomar un círculo con una de las piezas y un cuadrado con la otra pieza. ¿ Dónde debe cortarse el alambre para que la suma del área del círculo y el cuadrado sea la mínima?. 2.- Dos torres de 150 m y 100 m de altura cada una, están separadas a una distancia horizontal de 200m. si las puntas superiores deben conectarse a un mismo punto de tierra situado entre los pies de ambas torres. ¿ cuál debe ser la distancia de dicho punto a cada torre para que la cantidad de cada alambre empleado en esta operación sea mínimo.? 3.- Hallar la menor distancia del punto p(3,1) a la curva de ecuación y = x2 + 1. 4.- Hallar las coordenadas del punto más cercano al (4,0) sobre la curva y = x1/2 5.- Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto (3,4); determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados, un triángulo de área máxima. 6.- Un huerto de naranjas tiene 30 árboles por hectárea y una producción promedio de 400 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembra por hectárea, el promedio de producción por el árbol se ve reducido en aproximadamente 10 naranjas. Cuál es el número de árboles por hectárea que nos dará la cosecha más elevada de naranjas?. 7.- Hallar el punto de la curva y = 1 /(1 + x2 ) en la cual la tangente forme con el ejes el ángulo de mayor valor absoluto posible. 8.- Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse entre el eje x y el espacio limitado por las rectas y = x + 8 ; y = -2x +5. ¿ cuanto mide el área en u2 ?. 9.- Hallar las dimensiones del trapecio del mayor área que puede inscribirse entre el eje x y la parábola de ecuación y = -x2 + 4.
Lesbia Nayibe Pérez
Derivadas y sus Aplicaciones
Marzo/2014
Al solucionar los ejercicio propuestos, confirma tu respuesta con tu profesor…. OTAS DE LAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Una de las aplicaciones de las derivadas, es resolver Limites Indeterminados de la forma
0 0
∞ ∞
ó
; aplicando la regla de L ´Hopital.
Regla de L ´Hopital. Definición: Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en (a , b) excepto en c∈(a , b), si g´(x) ≠ 0 f ( x)
para x ≠ c y si lim tiene la forma indeterminada x →c g ( x )
0 0
ó
∞ ∞
Derivamos por separado el numerador y el denominador, es decir: lim x →c
f ( x) g ( x)
f ´( x )
= lim x →c g´( x )
f ´( x )
; siempre que g´( x ) tenga límite o tienda a más
o menos infinito cuando x tienda a c. Nota: .-Si al aplicar la Regla de L ´Hopital, persiste la indeterminación , se deriva nuevamente aplicando la misma regla hasta que dicha indeterminación se elimine. .-Cualquier otro tipo de indeterminación debe llevarse a la forma
0 0
ó
poder aplicarse la Regla de L ´Hopital. Recordemos... f ´( x )
.- si al derivar separadamente f(x) y g(x) y al calcular lim aparece x →c g´( x ) indeterminaciones
0 0
ó
∞ ∞
se sigue aplicando la regla de L´Hópital y así
mismo se continuará haciendo con la segunda y demás derivadas. .- si aparecen límites trigonométricos donde se aplique la regla de L´Hópital y ∞ aparezca la forma ∞ , se encontrará el límite aplicando identidades trigonométricas para modificar el último cociente
∞ ∞
para
Lesbia Nayibe Pérez
Derivadas y sus Aplicaciones
Marzo/2014
Veamos el siguiente ejemplo... 3
Hallar el xlim →−1
1 + 2 x +1 aplicando la regla de L´Hópital 2+x +x
Solución: se sustituye x = -1 para ver si se produce alguna indeterminación 3
lim
x →−1
1 + 2 x +1 = 2+x +x
1 − 2 +1 0 = 2 −1 + ( −1) 0
3
Para aplicar la regla de L´Hópital derivamos numerador y denominador por separado
2
−2 3
2 1 ( 1 + 2 x ) ( 2 ) 3(1 + 2 x ) 3 3 1 + 2 x +1 lim 3 1 lim = lim = x →−1 (aplicar doble C) −1 x →−1 x →−1 1 2 2+x +x 1 + 2 ( 2 + x ) (2 + x) 2 + 1 1 2 2( 2 + x ) 2 1
4(2 −1) 2 2 1 = 3(1 − 2) 3 1 + 2(2 −1) 2
4
9
= 3(1 − 2) = 4 ; luego
3
lim
x →−1
1 + 2 x +1 2+x +x
=
Actividad sugerida Aplicando la regla de L´Hópital, hallar los siguientes límites: (2 − x)X − x − 2 a.) lim x →0 x3 x2 x →∞ x
c.) lim
d.)
b.) lim x →0
lim ( senx − cos x)tgx
π x→ 2
arcsen( 2 x) − 2arcsen( x) x3 3 x 2 + 2 x − 16 x →2 x2 − x − 2
e.) lim
9 4