Modulo III Derivadas

Lesbia Nayibe Pérez

MODULO III DERIVADAS OBJETIVO Al finalizar el Módulo II, el estudiante calculará la derivada de una función real de una y varias variables, tomando en cuenta las definiciones y sus propiedades.

El concepto de derivada, base del cálculo diferencial, surgió como resultado de esfuerzos dirigidos a resolver problemas que se han planteado en matemática, como:

CIENCIAS E INGENIERIA

2014

1. Determinar la recta tangente a una curva en un punto específico de la misma 2. Encontrar la velocidad instantánea de una partícula cuando su movimiento no es uniforme. ¿Cómo trazar una recta tangente a cualquier curva? (El problema de la recta tangente): Si se tiene una circunferencia esta pregunta, tiene una respuesta inmediata, ya que resulta sencillo trazar tangentes a esta figura geométrica, basta solamente dibujar una recta que corte a dicha figura en un solo punto.

Veámoslo en el siguiente diagrama:

Podemos trazar tangentes en el punto que queramos. Sin embargo nótese que si prolongamos estas rectas, podría ocurrir que puede cortar a la curva en más de un punto.

En geometría suele definirse una recta tangente, como la recta que toca a un círculo exactamente en un punto. Sin embargo, esta idea de tangente no es muy útil para otra clase de curvas. Es necesario, eliminar la idea que una tangente es simplemente una recta que toca a una curva en un punto.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:

Ahora, tomemos el caso de una curva continua:

Para interpretar geométricamente la derivada, seguiremos la regla de los cinco pasos:

2

1.- Consideramos un punto Q diferente a P El valor numérico de la derivada de una función en un punto es el valor de la tangente, que también se denomina pendiente.

sobre la curva, con abscisa x 2 = x 1 + h 2.- Dibujamos la recta PQ y llamamos  el ángulo que forma con la dirección positiva del eje x

Observación: Con el valor de la tangente se puede hallar el ángulo que forma la tangente con el eje “x”, que es llamado ángulo de inclinación o simplemente inclinación de la curva y es la inversa de la tangente:  = arctgf´(x) = tg-1f´(x)

3.- La pendiente de la recta PQ está definida por: f ( x2 )  f ( x1 ) = x2  x1 diferenciasdelassegundascomponentes diferenciadelasprimerascomponentes

m = tg  =

donde: m = tg  =

f ( x1  h)  f ( x1 ) ( x1  h)  x1

que  f(x 2 ) = f (x 1 + h)

DEFINICIÓN ; ya

Sea f una función continua en x = x 1 ; definimos la pendiente

y x 2 = x1 + h

de la recta tangente a f en el punto (x 1 , f(x 1 )) y que forma un ángulo “  ” con el eje x, así:

4.- Si el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de la curva; hacemos que “h” tienda a cero y que la recta secante tome una posición límite. Esta posición límite es la recta tangente a la curva en el punto P y forma con el eje x un ángulo “”.

m(x 1 ) = tg  = lim h 0

5.- La función f(x) debe ser continua en el intervalo de análisis  x, x + h en el cual queremos hallar la derivada.

3

f ( x1  h)  f ( x1 ) h

si el limite existe

NOTA: podemos definir la recta tangente como la recta que pasa por P y tiene pendiente m(x 1 )

5. Si dos rectas L1 y L2 son tangentes perpendiculares si el ángulo de corte es de 90º

f ( x1  h)  f ( x1 ) = , decimos que h 0 h la recta tangente a f(x) en P(x 1 , f(x 1 )) es la recta x = x 1 (recta paralela al eje y)

6. La recta normal a la curva y = f(x) en un punto, es la recta perpendicular a la tangente a dicha curva en el punto 1 dado. m n = m1

Si

lim

RECORDAR QUE...

CALCULO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION APLICANDO SU DEFINICION

1. Una recta no paralela al eje “y” tiene la forma y = mx + b, donde “m” es su pendiente (o grado de inclinación) y “b” es su intercepto con el eje y

Sea f una función real, la derivada de f es otra función simbolizada por f´(x) tal que su valor en cualquier punto x, de su dominio está dado por la expresión:

2. Si conocemos un punto (x 1 , y 1 ) de una recta y su pendiente “m”, entonces la ecuación de la recta es: y - y 1 = m ( x - x1 )

f ( x  h)  f ( x ) siempre que h 0 h el limite exista f ´(x) = lim

3. Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si, el producto de sus pendientes es igual a (-1); es decir: L1  L2 si y solo si mL1  mL2 = - 1

Es decir, el valor de la derivada en cualquier punto de la curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto. Algunas notaciones usadas para la derivada son:

4. Dos rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales; es decir: L1 L2 si y solo si mL1 = mL2

Dxf(x) que se lee: la derivada con respecto a x de f Dxy que se lee: la derivada con respecto a x de y

4

dy dx se lee: la derivada de y con respecto x y´ que se lee: la derivada de y ;

h 2  4 xh  3h f ´(x) = lim sacando en el h 0 h numerador factor común a “h” y luego simplificando, resulta:

que

Veamos el siguiente ejemplo: f ´(x) = lim 4 x  h  3 Evaluando el limite se

Dada la función f(x) = 2x2 – 3x + 1

h 0

obtiene:

Hallar: a.) f´(x) aplicando la definición de la derivada b.) Calcular el valor de la pendiente cuando x = 1 c.) Ángulo de inclinación en x = 1.

f ´(x) = 4x – 3

f ´(x) = 4x – 3 representa la derivada para cualquier punto de la función f(x) = 2x2 – 3x + 1

Parte b

Solución

Para x = 1, el valor de la derivada f ´(x) es: f ´(1) = 4(1) – 3 = 1 que es el valor de la tangente o pendiente.

Pa f(x) = y = 2x2 – 3x + 1 Dom(y) = R ( Es una función continua en R ) f(x + h ) = 2(x + h) – 3(x + h) + 1

Parte El valor del ángulo de inclinación es: arctgf ´(1) = tg-1(1) = 45º

Aplicando la formula f ( x  h)  f ( x ) f ´(x) = lim h 0 h

La derivada de una función, se ha calculado hasta ahora por definición, donde:

2

se tiene:

f ( x  h)  f ( x ) siempre ha h existido un factor h en el denominador y en el denominador, razón por la cual los límites han resultado sencillos de calcular y por ende las

f ´(x) = 2( x  h)2  3( x  h)  1  (2 x 2  3x  1) lim h 0 h Efectuando el producto notable y agrupando términos semejantes, resulta:

f ´(x) = lim h 0

5

derivadas. Surgen casos en los cuales esta simplicidad no ocurre, en tales circunstancias es recomendable recurrir a artificios algebraicos, corrientemente utilizados.

Calculando lim se obtiene: h 0

Por lo tanto la derivada de f(x) = ´(x) =

Completemos el siguiente ejemplo.

Calculemos la derivada de f(x) = aplicando su definición:

x2 ,

x  2 es f

Existen funciones que pueden tener derivadas en ciertos puntos y no tenerla en otros.

Además de las condiciones de continuidad y de existencia del límite de una función en un punto, es necesario que la derivada por la derecha sea igual a la derivada por la izquierda: así mismo, una función derivable en un punto es continua en dicho punto, pero no toda función continua en un punto es necesariamente derivable en dicho punto.

Veamos los siguientes ejemplos:

Calculando f ´(x) por definición: f ( x  h)  f ( x ) f ´(x) = lim h 0 h f(x + h) = f(x) =

f ( x  h)  f ( x ) = h

f(x) =  x - 3 + 2; es f(x) derivable en x = 3.

Multiplicando numerador y denominador por ( x  h)  2  x  2 la expresión

( x  h)  2  x  2 resulta al simplificar: h

6

Solución

Calculemos la derivada para el punto x = 0

En x = 3 las derivadas son diferentes a la izquierda y a la derecha, ya que se observa que tiene pendiente diferentes, por lo tanto f ´(3) no existe. Sin embargo, f ´(3+ ) = 1 y f ´(3-) = 1 siendo f(x) continua en x = 3.

Entonces f ´(0) = lim h 0

h f (0  h)  f (0)  lim h 0 h h

Donde: f (0 + h ) =  0 + h =  h 

Sea la función f(x) = x ; calcular f ´(0).

f(h) =  h 

3

Observando la gráfica, se tiene que h puede tender a cero, tanto por la izquierda como por la derecha:

La gráfica de f(x) = x tiene la siguiente forma:

7

si C es una constante y f(x) = c entonces f ´(x) =0 Ejemplo: Si f(x) = -4 entonces f ´(x) = 0 2.- Derivada de una potencia de x: Si f es una función tal que f(x) = x n , donde n es un número real, entonces: f´(x) = nx n 1 .

La regla establece que la derivada es igual al exponente n por la base “x” elevada a la n-1 Ejemplo: si f(x) = x 4 entonces

lim

h 0

h

f ´(x) = 4x 3

3.- Derivada de una constante por una función: si g(x) = C . f(x), donde C  R y f(x) existe entonces: g ´(x) = C . f ´(x)

 -1

h Según el resultado obtenido. No existe la derivada en x = 0. Porque, no tiene limite cuando h tiende a cero. Sin embargo, es continua la función en x = 0.

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

Conclusión: Si una función es derivable en x = x1, entonces f es continua en x = x1. El hecho que una función sea continua no implica que sea derivable.

Ejemplo: si g(x) = 5x 3 entonces g´(x) = 5

d 3 (x ) = dx

REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

5(3x 2 ) = 15x 2 Si f(x) = (4x) 3  ?

1.- Derivada de una función constante: La derivada de una función constante es cero; es decir:

4.- Derivada de una suma de funciones:

8

si f y g son dos funciones tales que f´(x) y g´(x) existen, entonces: Dx f(x) + g(x) = f ´(x) + g ´(x)

Solución: Se aplica la formula de producto, así.

8x

La derivada de una suma de funciones, es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.

2

2

2

(3x + 7) = (8x )´. ( 3x + 7 ) + ( 8x ) . ( 3x + 7)´

= (16x). ( 3x + 7 ) + (8x 2 ) . (3) = 48x2 + 112x + 24x2

AsÍ mismo se cumple para: Dx f(x) g(x) = f ´(x) - g ´(x)

agrupamos términos y la solución es: = 72x2 + 112x

Para tres o más funciones: Dx f(x) + g(x) - h(x) = f´(x) + g´(x) - h´(x)

Actividad sugerida 2

Ejemplo: Hallar la derivada de: a.) f(x) = 3x 5 + x b.) y = 6x 3 - 2x 2 + 7x – 8

a.) f(x) = (x 3 + 3) (x



1 3

+ 5x) hallar f´(x)

b.) Obtener la pendiente de la gráfica de: f(x) = ( 7x 3 - 5x + 2 ) ( 2x 4 + 7) cuando x =1

5.- Derivada de un producto de funciones: si f y g son dos funciones tales que f ´(x) y g ´(x) existen, entonces:

6.- Derivada de la reciproca de una función: si f es diferenciable en x y f(x)  0, entonces: f ´( x ) 1 Dx   =f ( x)  f ( x)2 Ejemplo:

Dx f(x).g(x) = f(x). g´(x) + g(x).f ´(x) La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.

 1  Dx  2   x  1

Veamos el siguiente ejemplo: Sea f(x) = 8x 2 (3x + 7) hallar f´(x)

2x ( x  1) 2 2

9

= -





Dx x 2  1 ( x 2  1) 2

= -

Hallar la derivada de:

7.- Derivada de un cociente de funciones: si f y g son dos funciones tales que f´(x) y g´(x) existen y g(x)  0, entonces: la derivada de un cociente de funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el denominador al cuadrado.

1 x b.) y = x5 8.- Regla general de las potencias: si y = u( x)n , donde u es una función derivable de x dy y n es un número real, entonces: = n dx u ( x)n 1 . u´(x)

Veamos el siguiente ejemplo: 5x2 Sea f(x) = aplicando la formula del 3x  4 cociente se tiene: (3x  4).(5 x 2 )´(5 x 2 ).(3x  4)´ = 3x  42

Es decir, La derivada de la potencia de una función es igual al exponente de la potencia multiplicado por la base al exponente disminuido en una unidad, multiplicado todo esto a su vez por la derivada de la base (conocida como derivada interna)

=

Actividad sugerida

(30x 2  40x)  (15x 2 ) 3x  42

Agrupando 15x 2  40 x 3x  42

términos,

2x2 x3  3

3

 f ( x)  g ( x). f ´( x)  f ( x).g´( x) Dx   = g ( x)2  g ( x) 

(3x  4).(10x)  (5 x 2 ).(3) 3x  42

a.) f(x) =

A.) Aplique las reglas de diferenciación, hallar la derivada de: la

solución

es:

1 ; obtener y´ 2.) y = x 2 dy (4 x 2  3x  1) 2 hallar cuando x = -2 dx

1.) y = 3

Actividad sugerida

10

2

3.) y = 34 x 3

3  2 5 2 ln e 2

4.)

y

1 x2 2 15.) y = x .ctgx2 16.) y = xsenx 14.) y = tg

=

5.) y = (3x3 – 3)3

6.) y = x4(2x4 – 5) 7.) y = (2x – 3 2 4 3 3 ) .(x + 2 ) 8.) y = 4 / (x – 6) 9.) y = 23x3 –24x2 + 52 x 2  m2

11.) y =

10.)

1 a 1 a

y

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

=

Recordemos B.) Aplique las reglas de derivada de las funciones trigonométricas (directas e inversas) para calcular la derivada de:

ln e = 1

1.) y = sen (8x) 2.) y = cos (5x 2 ) 3.) y = tg 5 x 9 4.) y = (tgx.ctgx) 3 5.) y = 3senx 6.) y = tg(x 2 + 5x) 8.) y = ctgx 3 9.) y = x 2 csc 2 x 10.) y = (sen3x – cos3x) 3 11.) y = arcsen(x 2 ) 12.) y = arcsec 1  x 13.) y = x 2 arc cos 3x

11

si y = log a N  log a N =

ln N ln a

Reglas de derivación de la función logaritmo y exponencial Regla 1: Derivada de la función logaritmo natural Si y = f(x) = lnx, en donde x es 1 positiva, entonces y ´= X Generalizando: Si y = ln f(x), entonces y ´= 1 . f ´( x ) f ( x)

Regla 2: Derivada de la función logaritmo. Si y = log a f(x) y a  1, 1 . f ´( x) entonces y ´ = f ( x).ln a

El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de todos los números positivos y el recorrido son todos los números reales.

Regla 3: Derivada de función exponencial de base e.

Observación

y = e f ( x ) , entonces y ´ = e f ( x ) . f ´(x)

La diferencia entre los logaritmos decimales (log) y los logaritmos neperianos o naturales (ln), radica en que los primeros tienen como base “b” un número cualquiera y en los logaritmos naturales la base es el número irracional e, cuyo valor aproximado es: e = 2,718 ...

Ln 4 x  2

2 x 8 x 2

 2 2 Ln 4 x  2 ´   2 x  8 x ´Ln ln(4 x  2)   2 x  8 x . ln4 x  2   







Caso especial: Si y = e x , su derivada y ´ = e x

12



Caso especial: Si y = a x , su derivada y ´= a x . Lna

Ln 4 x  2

2 x 8 x

2

Regla 4: Derivada de función exponencial de base a Si y = a f ( x ) , entonces, y ´= a f ( x ) . ln a. f ´(x)

Ln 4 x  2

2 x 8 x

Regla 5: Derivada de la función potencia exponencial Si y = f(x) g ( x ) , entonces:  f ´( x)  f(x) g ( x )  g´( x).ln f ( x)  g ( x).  f ( x)  

2

4    2 4x  2   2  16 x .Ln ln(4 x  2)   2 x  8 x .  ln4 x  2   









Ln 4 x  2

Hallar la derivada de la función

Ln4 x  2

f(x) =

Ln 4 x  2

2 x 8 x 2

2 x 8 x 2









1.) Hallar la derivada de:



13







  8 x  32x 2   2  16 x .

Ln ln( 4 x  2 )   4 x  2Ln 4 x  2 

Actividad sugerida





  4 2 x  8x 2  2  16x .Ln ln(4 x  2)     4 x  2Ln 4 x  2 

Solución: aplicando la formula →  f ´( x)  f(x) g ( x )  g´( x).ln f ( x)  g ( x).  , quedaría f ( x)  

4 x  2´   2  2 x 8 x 2 4x  2  Ln 4 x  2  2  16 x ´Ln ln(4 x  2)   2 x  8 x .  ln4 x  2   



→

Solución

Veamos el siguiente ejemplo:



4    2 4x  2   2  16 x .Ln ln(4 x  2)   2 x  8 x . ln4 x  2    1   2 x 8 x 2

y ´ =





1.1) y =

ln x x2

1.2) y = ln(x 2

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

2

+ 1)

1.3) y = x .ln(4x + 2)

1.4) y = ln(lnx) ln(2x+5) 3

1.5) y = 3 1.6) y = ln (2x+8)

1.7) y = log(2x+10)  x2   log 5  2  x 1 1.10) y =  x

3

3x

1.8)

y =  2x  1  1.9) y = log 9  2   x 

1.13) y = a .lnx

ln( e  e

2 x

)

1.14) 1.15) y =

y

Hallar

e

1.17) y x 1 1.18) y = ln x

1.19) y = log(x3 + 3)2 sen2x + ln(x 2 +1) + e 2 x + 3 x

1.20)

la derivada de la

3x  1 .2 x 2  2 x 

función

y =

2

x

=

2



1

Solución: se aplica Ln a ambos miembros →

x2 x

1.16) y = x x 1 ln10x4

Veamos el siguiente ejemplo:

1.11) y = 5 3 x 1.12) y = (5x + 1) 3 x  2

-x

2x

Cuando una función y = f(x) implica productos, cocientes o potencias, existe una técnica que simplifica el proceso. Se trata de obtener logaritmo natural en ambos lados de y = f(x). Luego se simplifica ln  f (x) utilizando las propiedades de los logaritmos, después se diferencian ambos lados con respecto a “x”.

Ln

3x  1 .2 x 2

2

x

1

2



 2x



Lny =

= Se aplica propiedades de los logaritmos → Lny





1 2

 3x  12 2 x 2  2 x  Ln   x2  1   2  3x  1 2 x 2  2 x  1 Lny = Ln   2 x2  1  

y=

2.) Determine la pendiente de la recta tangente 2 a la gráfica de y = 2.e 4 x cuando x = 0

14

=

Lny =











Actividad sugerida

1 2 2 2 Ln Ln 3x  1 . 2 x  2 x  Ln x  1 2



 

Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones utilizando derivación logarítmica.



y´ 1  3x  1´ 2 x 2  2 x ´ x 2  1 ´    2 = 2.  y 2  3x  1 2x2  2x x 1 

1.) y =

x3 4 x 2  2 ( x  1)( x  2) 2.) y = ( x  3) 2

y´ 1 3 4x  2 2x  2.  2  2  al =  y 2  3 x  1 2 x  2 x x  1 simplificar resulta: y´

=

1 6 4x  2 2x   2  2  y  2  3 x  1 2 x  2 x x  1

y´

3.) y =

3x  1 .2 x

=

2

2

x

1

2



 2x



y´ =

.

5.)

3x  12 .2 x 2  2 x  .

x

2

( x  2)( x  3) x 1

 x2  1   4.) y = ln 3 2  x 1   

1 6 4x  2 2x   2  2   2  3 x  1 2 x  2 x x  1

Solución →

( 2 x  5) 4



1

1 x   3  3 x  1  2 x  x 2  1  

15

y=3

x  12 .x  2 x  22

6.) y = (ln2x)

X

8 x  32 .x 2  23 1 1  2 x 4 1

7.) y =

8.) y = 9.)y =

x

54 x

1

x2 3

2 x

funciones seno y coseno antes y después de derivar.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

De igual manera, en caso de ser posible utilizar las identidades trigonométricas.

Algunas de las relaciones trigonométricas más empleadas son:

Es conveniente trabajar con las expresiones que simplifique las operaciones de derivadas que tienen funciones trigonométricas, para ello, es recomendable transformarla en

16

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Resumen: Las derivadas de orden superior, se refieren a la derivación sucesiva de una función, denominándose segunda derivada, tercera derivada, etc. según las veces que se deriven.

Si y = arcsenf(x), entonces y ´=

1 1   f ( x) 1

2

. f ´( x)

Al derivar una función f(x) se obtiene otra función f´(x).

Sin embargo, si f´(x) tiene a su vez derivada, esta se denota por f´´(x) y se llama segunda derivada de f(x).

. f ´( x) 2 1   f ( x) 1 . f ´( x) Si y = arctg f(x), entonces y ´= 2 1   f ( x) 1 . f ´( x) Si y = arcctg f(x) , entonces y ´= 2 1   f ( x) 1 . f ´( x) Si y = arcsecf(x), entonces y ´= f ( x) f ( x) 2  1 1 . f ´( x) Si y = arccscf(x), entonces y ´= f ( x) f ( x) 2  1 Si y = arccosf(x), entonces y ´= -

La notación empleada para la segunda derivada es: f ´´(x) = Dx (f ´(x) ) = Dx (Dx (f(x)) 2

Que es equivalente a: f ´´ (x) = D x (f(x)) = y ´´ Así, la tercera derivada será: 2

3

f ´´´ (x) = Dx (f ´´(x)) = Dx ( D x (f(x)) = D x (f(x)) = y´´´ En general, si n es entero positivo, entonces f D

(n )

n

x(f(x)) = y

Veamos el siguiente ejemplo:

17

(n )

(x) =

Hallar la tercera derivada de la función f(x) = 5x6 + 8x3 + 7x - 4

Cuando se tiene ecuaciones de la forma y 2 + x 3 - 3 = 0, para encontrar la derivada de “y”, tenemos que despejar a “y” en función de “x”; pero esto algunas veces no es posible en ecuaciones como:

Solución: Primera derivada → f´(x) = 30x5 + 24x2 + 7 Segunda derivada → f´´(x) = 150x4 + 48x Tercera derivada →

3x 7 - 4x 2 y 5 + 3x 3 y – y = 6

f´´´(x) = 600x3 + 48

En estos casos, recurrimos a derivar implícitamente. Por lo tanto, se dice que una función es implícita cuando no se expresan las variables dependientes e independientes. Para derivar se siguen los pasos vistos anteriormente pero indicando cual es la variable independiente y cual es la dependiente.

Actividad sugerida 1.) Hallar las tres primeras derivadas de 4x

2

- 5x + 8 -

y = f(x) =

3 x

2.) Hallar el valor de la segunda derivada de la función 3

y = x + 2x

2

- 8 para x = -

3 4

Veamos el siguiente ejemplo:

3.) Hallar y ´´ de: f(x) = (4x + 7)5 4.) Hallar y´´ de:

f(x) = 5 / (x2 – 1)

5.) Hallar y´´´ de: f(x) =

3

2

Sea la ecuación x - 4y 2 + 6 = 0

2  9x

Derivamos cada término de la ecuación con respecto a x

DERIVADAS IMPLÍCITAS

2

La derivada de x es 2x La derivada de 4y 2 es 4.2y.y´ = 8yy´ La derivada de 6 es 0

En las funciones que hasta ahora hemos tenido oportunidad de derivar, siempre aparece “y” como función de x. Como en el siguiente caso: y = f(x) = 3x + 2.

2

0

Luego la derivada de x - 4y 2 + 6 = es 2x – 8yy´= 0

Al derivar obtenemos: f ´(x) = 3 Despejamos a y´, se obtiene que:

18



2x x  ; a este método que permite 8y 4y calcular a y´ lo denominamos derivación implícita.

y´=



dy dx Actividad sugerida

Observación Si retomemos la ecuación original, es decir → 4y

2

1.) Mediante la derivación implícita encontrar y ´ en función de x e y, suponiendo que y es una función de x

2

x -

+ 6 = 0, al despejar a “y”

se tiene:

Mediante la regla de la cadena (derivada de una función compuesta), derivamos ambos miembros de la igualdad.

Resolvemos la ecuación resultante despejando

y=



x2  6 4

2

o sea y tiene dos 2.) Hallar

valores yi

2

en al ecuación -3x + y + 5 = 0. Posteriormente aplique el método explicito y compare resultados.

x2  6 4

dy = y´ en las ecuaciones: dx

2

2.1.) x y - xy

2

3

2

2

xy

+x

2.2.) 3x - 6x y

x2  6 y 2  4

2.3.) xy

2

2

+y

2

=0

4

+ 6y =6

 + sen(2x) = 0

-

2

3

2.4.) xy + x y + Ln (x + y) = 0 2.5) xy = y4 – 2x3

Si aplicamos las reglas de la derivación y simplificamos a cualquiera de estos valores, encontramos que el resultado es exactamente el mismo al encontrado en el procedimiento anterior.

X

2.6) Ln(x + y) + x  = 1 2.7) (x + y)2 = ( x2 + y2 )2 + y3 2.8) 3(x + y)2 – 2xy + y = (x – y)2 + x

La derivación explicita es algunas veces larga y engorrosa, y en algunas ecuaciones se puede despejar, pero existen algunas, donde hay que aplicar directamente la derivación implícita.

3.-) Hallar la segunda derivada en: 3

2

x + xy - y = 8 Cosxy = xy

Para derivar una función definida implícitamente, se procede así:

19

e

2Y

+ 5x

2

= xy

2

+5

Veamos el siguiente ejemplo:

DERIVADAS EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS

 x  s 3  3s  1  d2y , hallar   dx2  y  3s 5  5s 3  1

Si

Las variables de una función y = f(x), pueden depender de una tercera variable ( parámetro) mediante dos nuevas funciones.

Solución:

Si se considera a “s” como parámetro, se establecen las ecuaciones parametricas formadas de la siguiente manera:

3s s



dy dy ds  dx dx ds

´

 5s 3  1 15s 4  15s 2  3  3s  1 ´ 3s 2  3 5



al sacar factor

común en el numerador a 15s2 y en el denominador a 3; el resultado simplificado es: 5s2.

y = f(s) x = g(s)

Ahora calculamos

d2y que esta en función dx2

de dy/ dx ya que:

Las dos primeras derivadas de estas funciones, están dadas por:

dy dy ds  dx dx ds 2 d y d  dy  ds y : 2   . dx ds  dx  dx

=

2

d y dx2

;

=

 

d 5s 2 ds





d 3 s  3s  1 ds



dy ds dx ds

10s 3s 2  3

Actividad sugerida 1.-

20

Si Cos2t; y = Sen2t;

hallar d2y/dx2

=

2.-

Si x = arctg(s); y = ½ s2

; hallar d2y/dx2

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS. REGLA DE LA CADENA





dy d 3 d 2  u . x  2 x  1  3u 2 2 x  2 dx du dx

Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f g (x) es una función derivable de “x” tal dy dy du que: = . dx du dx d  f ( g ( x)) = f´(g(x)). g´(x) O equivalente dx  producto de la derivada de la función externa f ´(g(x)) por la derivada de la función interna g ´(x).

Luego sustituimos u = x2 + 2x - 1, y simplificamos:

dy = 3u2(2x + 2 ) = 3 (x2 + 2x - 1)2(2x + 2) dx = 6 (x2 + 2x - 1)2(x +1) Actividad sugerida Hallar la derivada aplicando la regla de la cadena:

Este enlace de derivadas es conocido como la regla de la cadena, ya que se puede establecer: y  u  x; donde y depende de u y u depende de x.

3

2

a.) y = (8x - 5x + 3)

3

3

b.) y = (x - 1)

7

c.)

y

=

x  8x  x 5

Veamos el siguiente ejemplo:

3

DERIVADAS PARCIALES

3

Sean: y = u u = x2 + 2x - 1 ,

Las derivadas parciales se relacionan con la derivación de funciones compuestas de varias variables independientes, de tal manera que cuando se deriva con respecto a una de estas variables, las otras permanecen constantes.

hallar dy/dx Solución aplicando

dy dy du = . dx du dx

resulta:

21

Si z = f(x,y) la derivada parcial de f con respecto a x, denotada por fx(x,y) es la función dada por:

Veamos el siguiente ejemplo: Si z = f(x,y) = x2 + 2xy + y3 ; hallar a.) z / x y b.) z / y

f ( x  h, y )  f ( x, y ) h 0 h si el limite existe

fx (x,y) = lim

Solución

z  2   x  2y x  0  2x + 2y x x x

la derivada parcial de f con respecto a y, denotada por fy (x,y) es la función dada por:

z respecto a permaneciendo y como constante.

x

Derivamos fy (x,y) = lim h 0

f ( x, y  h)  f ( x, y ) h

si el limite existe

z  y  0  2x y  3y2  2x + 3y2 y y y

OBSERVACIÓN...

Para encontrar fx se considera a “y” como constante y se diferencia f con respecto a x en la forma usual. De la misma forma, para hallar fy, se considera a x como una constante y se diferencia f con respecto a y.

Derivamos z respecto a y permaneciendo x como constante.

Actividad sugerida Calcule las derivadas parciales respecto a cada una de las variables x e y de las funciones siguientes:

Además de la notación anterior, podemos utilizar para simbolizar la letra griega  (delta). Por ejemplo z / x es la derivada de z respecto a x para indicar que las otras variables de la función se toman como constante.

1.) f(x,y) = 4 – 5x 2

2

+ 6y

2.) f(x,y) = x y – Cos(2x – y ) + Ln (x 2

2

- y)

3.) f(x,y) = x y – Sen(2x – y ) + Ln (x - y)

22

3

toma a “x y “y” como constantes y se diferencia a z con respecto a z.

3

4.) f(x,y) = xy + x y

5.) Hallar 3

2x y

2

z z z z ; ; (1,0); (1,0) x y x y 2

3

para

Ejemplo Propuesto:

Z=

2

Si f(x,y,z) = x

- 8x y + x y + 4x

f f f ; ; x y z

6.) Dada la función z = x + xey/x, probar que x(z / x) + y(z / y) = z

3

+ yz

2

+ z

4

,

hallar

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Observación: el concepto de derivada parcial puede extenderse a funciones con más de dos variables. Por ejemplo con t = f(x,y,z), se tienen tres derivadas parciales:

Al derivar a z = f(x,y) se obtienen las derivadas fx y fy. Cada una puede diferenciarse nuevamente obteniéndose derivadas parciales de segundo orden de f.

Simbólicamente:

1. la parcial con respecto a x, se denota t por fx(x,y,z) o . Para calcularla se x toma “y” y “z” como constantes y se diferencia a z con respecto a x.

Fxx significa f(x)x´ fyy significa f(y)y´ Fyx “ f(y)x´ fxy “ f(x)y´

2. la parcial con respecto a y, se denota t por fy(x,y,z) o . Para calcularla se y toma a “x” y “z” como constantes y se diferencia a z con respecto a y.

Para obtener fxy, se debe diferenciar a f primero con respecto a x. Se denota por:

2 z x 2

3. la parcial con respecto a z, se denota t por fz(x,y,z) o . Para calcularla se z

significa 2z y 2

23

  z  x  x 

significa

  z    y  y 

  z  2z significa   x y x  y    z  2z significa y x y  x 

Actividad sugerida 1.- Hallar las cuatros derivadas parciales de segundo orden de f(x,y) = xy 2 + x 2 y 2 2.- Determine la derivada parcial de las siguientes funciones: 2.1) f(x,y) = x – 5y + 3 2.2.) f(x,y) = 3x – 4 2.3.)z = x 2 2 y x y 2.4.) z = ln x y 2.5.) z = x  y + y senx xy 2.6.) h(x,y,z) = x yz

24