(ISSUU Provisório) Introdução à Matemática by Grupo Lidel

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17cm x 24cm

A experiência de docência dos autores levou a uma atitude pragmática ajustada a este tipo específico de ensino: o conteúdo deve ser comunicado de forma clara e rigorosa e em “pequenas doses”, concretizadas abundantemente com exemplos e exercícios. Ao longo dos anos, conforme os autores foram refinando esta abordagem, também observaram os seus efeitos: os estudantes aprendem melhor a matéria, de forma mais aprofundada e com melhores resultados.

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www.lidel.pt

ISBN 978-989-752-209-3

Soluções parciais dos exercícios propostos disponíveis em www.lidel.pt até o livro se esgotar ou ser publicada nova edição atualizada ou com alterações

Luís Bandeira Francisco Coelho Nuno Franco

Este livro destina-se aos estudantes das várias disciplinas de introdução à matemática nos cursos superiores que incluem algum conteúdo matemático, mas que não prosseguem para uma formação aprofundada nesta disciplina.

Nuno Franco Professor no Departamento de Matemática da Universidade de Évora. Tem lecionado sobretudo Matemática para futuros gestores e economistas, assim como disciplinas ligadas à álgebra computacional e à álgebra comutativa. A investigação tem sido, nos últimos anos, focada nos sistemas dinâmicos discretos e respetiva ligação à teoria do nós e tranças.

Álgebra, Análise e Otimização

É este pragmatismo que orienta o conteúdo da obra: a apresentação dos conceitos teóricos é sucinta e rigorosa, está claramente identificada, acompanhada de exemplos e complementada por inúmeros exercícios resolvidos e pequenas demonstrações informais, por forma a promover a autonomia do aluno. O livro está dividido em três partes e cada uma corresponde a uma das grandes áreas habitualmente presentes no ensino superior: álgebra linear, análise infinitesimal e otimização. No final de cada parte propõe-se um alargado conjunto de exercícios para teste de conhecimentos, com soluções parciais em www.lidel.pt. No final, a obra apresenta ainda dois anexos, dedicados às funções (conceitos, propriedades e operações) e aos somatórios.

Francisco Coelho Desde 1996 leciona na Universidade de Évora, inicialmente no Departamento de Matemática e depois no Departamento de Informática. O seu gosto por “engenhocas” levou-o a interessar-se pela inteligência artificial e a sua formação pelos fundamentos matemáticos dessa disciplina. Mestre em Matemática e doutorado em Ciências da Computação, na Universidade de Lisboa.

INTRODUÇÃO À MATEMATICA

Aprender é difícil. No caso particular da matemática, essa dificuldade está principalmente na sua natureza estritamente abstrata, embora seja aumentada por um conjunto de fatores materiais e culturais, que incluem a infame pergunta/desculpa “mas afinal, para que é que isto serve?” e as más práticas como “deixar as matemáticas para o fim do curso”. Com este livro, pretendemos ajudar a reduzir as dificuldades materiais e, portanto, contingentes mas desnecessárias que “assombram” a aprendizagem da matemática.

Luís Bandeira Professor no Departamento de Matemática da Universidade de Évora e diretor de curso da licenciatura em Matemática Aplicada à Economia e à Gestão. Leciona, principalmente, análise matemática, álgebra linear e equações diferenciais. É membro integrado doutorado do Centro de Investigação em Matemática e Aplicações (CIMA). Na sua investigação explora o caso vetorial do cálculo das variações. Tem o grau de doutoramento europeu em matemática desde 2009.

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INTRODUÇÃO À

MATEMATICA Álgebra, Análise e Otimização Luís Bandeira I Francisco Coelho I Nuno Franco

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2u3LUIR SYS mL cCcj3L 03 q3jRa3c 03 R2 ā. URa 3u3LUIR ! " S1 = (0, 1) , (2, 3) .

2cj3 cCcj3L j3L 0RCc q3jRa3c- (0, 1) 3 (2, 3)Y QnjaR cCcj3L ,RL 3cj3c 0RCc q3jRa3c ā ! " S2 = (2, 3) , (0, 1) .

2L$Ra 8RaL 0Rc U3IRc L3cLRc q3jRa3c. 3cj3c 0RCc cCcj3L c cÀR 0C83a3Nj3c URa\n3 Rc q3jRa3c R,Raa3L URa Ra03Nc 0C83a3Nj3c- R UaCL3CaR q3jRa 03 S1 ā (0, 1). 3N\n NjR R UaCL3CaR q3jRa 03 S2 ā (2, 3)Y QnjaR cCcj3L 03 R2 ā ! " S3 = (0, 1) , (2, 3) , (1, 2) . Q cCcj3L S3 ,RCN,C03 ,RL S1 NRc UaCL3CaRc 0RCc q3jRa3c. L c ,RLR S3 j3L jaćc q3jRa3c 3 S1 U3N c 0RCc VCNjnCjCq L3Nj3. Rc cCcj3L c jćL ,RLUaCL3NjRc 0C83a3Nj3cW. j L$āL S3 ̸= S1 Y mL , cR nL URn,R L Cc ,RN8ncR ā CIncja 0R U3IR cCcj3L ! " S4 = (2, 3) , (0, 1) , (0, 1) .

Q \n3 c3 U cc ,RL R q3jRa a3U3jC0R (0, 1)] R$c3aq ÓÀR CLURaj Nj3 \nC ā \n3 Rc cCcA j3L c 03 q3jRa3c NÀR cÀR ,RNEnNjRcY Q cCcj3L S4 ā 8RaL 0R URa jaćc q3jRa3c- R UaCL3CaR ā (2, 3). R c3<nN0R ā (0, 1) 3 R j3a,3CaR ā (0, 1)Y /3~NCÓÀR SYl

+RL$CN ÓÀR HCN3 a

b3E Y = (y1 , . . . , yN ) nL cCcj3L 03 N q3jRa3c 03 R 3 a1 , . . . , aN 3c, I a3cY mL ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 S ā nL q3jRa n

x = a1 y1 + · · · + aN yN =

N #

ai yi .

VSYSW

i=1

2u3LUIR SYl SY Q q3jRa (−2, 1, 3) UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 3 (0, 0, 1)(−2, 1, 3) = −2(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + 3(0, 0, 1).

lY Q q3jRa (1, 2, 0, 2) UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0Rc q3jRa3c (1, 0, 0, 0). (1, 1, 1, 1) 3 (0, 0, 1, 0)(1, 2, 0, 2) = −1(1, 0, 0, 0) + 2(1, 1, 1, 1) − 2(0, 0, 1, 0).

2cU ÓRc p3jRaC Cc 9

2u3LUIR SYk KRcja3 \n3 R! q3jRa (1, 2, 3) NÀR UR03 c3a $R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L 03 " # q3jRa3c S = 1, −1, 1/2 , (1, 0, 1) , (0, 2, 1) Y `3cRInÓÀR

bnURN@ LRc. URa $cna0R. \n3 R q3jRa (1, 2, 3) UR03 c3a 3c,aCjR ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L SY BcjR cC<NC~, \n3 j3aC L 03 3uCcjCa 3c, I a3c a, b, c ∈ R j Cc \n3 " # (1, 2, 3) = a 1, −1, 1/2 + b (1, 0, 1) + c (0, 2, 1) . K c

" # (1, 2, 3) = a 1, −1, 1/2 + b (1, 0, 1) + c (0, 2, 1) " # = a, −a, a/2 + (b, 0, b) + (0, 2c, c) " # = a + b, −a + 2c, a/2 + b + c ⎧ ⎨1 = a+b ⇔ 1 = −a/2 + c ⎩ 3 = a/2 + b + c

⎧ ⎨1 ⇔ 2 ⎩3 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩1

= a+b = −a + 2c = a/2 + b + c ... , ... = 0

R \n3 ā CLURccŝq3IY +RNc3\n3Nj3L3Nj3. R! q3jRa (1, 2, 3) NÀR UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcA $ " # 1 j3L 03 q3jRa3c S = 1, −1, /2 , (1, 0, 1) , (0, 2, 1) Y /3~NCÓÀR SYk

2cU ÓR p3jRaC I

á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

mL 3cU ÓR q3jRaC I a3 I ā nL ,RNEnNjR 03 q3jRa3c. E. \n3 q3aC~, c c3<nCNj3c ,RN0CÓǽ3cT a \n Cc\n3a q3jRa3c x, y,z ∈ E 3 3c, I a3c a, b ∈ RSY x + y = y + xY lY x + (y + z) = (x + y) + zY kY 2uCcj3 nL ɡNC,R q3jRa. ,@ L 0R q3jRa NnIR 3 03NRj 0R URa 0. j I \n3 0 + x = x U a \n I\n3a xY :Y T a , 0 q3jRa x 3uCcj3 nL ɡNC,R q3jRa −x j I \n3 x + (−x) = 0Y 9Y 1x = xY fY a (bx) = (ab) xY eY (a + b) x = ax + bxY 4Y a (x + y) = ax + ayY

! MRj3Ac3 \n3 R a3cnIj 0R 0 cRL 03 q3jRa3c 3 0 LnIjCUIC, ÓÀR URa nL 3c, I a 03q3L c3a q3jRa3c NR L3cLR 3cU ÓRY mcn IL3Nj3 Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc 3L \n3 ja $ I@ LRc cÀR Rc Rn . 03c,aCjRc c3<nCaY

2u3LUIR SY:

! " MR ,RNEnNjR R2 = (x, y) : x, y ∈ R 03~N3Ac3 cRL 03 q3jRa3c URa (a, b) + (x, y) = (a + x, b + y)

3 R UaR0njR 3c, I a URa a (x, y) = (ax, ay) . +RL 3cj c 0n c RU3a Óǽ3c R2 ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY K Cc <3a IL3Nj3. NR ,RNEnNjR ! " Rn = (x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R 03~N3Ac3 cRL URa

(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) 3 R UaR0njR 3c, I a URa a (x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn ) . +RL 3cj c 0n c RU3a Óǽ3c R ,RNEnNjR Rn ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY ! U3c a 03 Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc L Cc ,RLnNc c3a3L Rc Rn . 03~NCÓÀR 8RaL I 03 3cA U ÓR q3jRaC I ,3Cj ,RLR Ȓq3jRa3cȓ RnjaRc R$E3jRc IāL 0Rc jnUIRc (x1 , . . . , xN ). 03c03 \n3 3cj3E L 03~NC0 c RU3a Óǽ3c 03 0CÓÀR 3 LnIjCUIC, ÓÀR 3c, I a 03\n 0 cY ! D c3<nCa. NR 3u3LUIR SY9. cÀR CIncja 0Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc 3L \n3 Rc q3jRa3c cÀR L jaCy3c 3 RnjaRc 3L \n3 Rc q3jRa3c cÀR 8nNÓǽ3cY 2u3LUIR SY9 Q ,RNEnNjR 0 c L jaCy3c 0R jCUR n × m. Rn×m . LnNC0R 0 RU3a ÓÀR cRL 03 L jaCy3c 3 UaR0njR 3c, I a 03 nL NɡL3aR a3 I URa nL L jaCy. ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY i L$āL R 3cU ÓR 0 c 8nNÓǽ3c f : [0, 1] → R. ,RL RU3a ÓÀR cRL 0 0 URa (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) 3 R UaR0njR 3c, I a 0 0R URa (af )(x) = af (x) , a ∈ R, ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY ! QnjaRc 3u3LUIRc 03 3cU ÓRc q3jRaC Cc cÀR 0 0Rc NRc 3u3a,ŝ,CRc UaRURcjRc. L c Rc 3cU ÓRc 3L \n3 j3LRc L CRa CNj3a3cc3 <Ra cÀR Rc 3cU ÓRc Rn Y

2cU ÓRc p3jRaC Cc e

! mL 0 c C03C c 8nN0 L3Nj Cc 3L I<3$a ICN3 a ā 03 cn$3cU ÓR q3jRaC I- nL cn$A ,RNEnNjR 03 nL 3cU ÓR q3jRaC I \n3. U3c a 03 ȒL Cc U3\n3NRȓ. CN0 q3aC~, jR0 c c ,RN0CÓǽ3c 0 03~NCÓÀR SYk. CcjR ā. CN0 ā nL 3cU ÓR q3jRaC IY /3~NCÓÀR SY:

bn$3cU ÓR p3jRaC I

b3E E nL 3cU ÓR q3jRaC I 3 F ⊂ E nL cn$,RNEnNjR NÀR q yCR 03 EY Q cn$,RNEnNjR F ā nL cn$3cU ÓR q3jRaC I c3SY T a \n Cc\n3a 0RCc q3jRa3c x ∈ F 3 y ∈ F . cRL x + y ∈ F j L$āL U3aj3N,3 3cc3 cn$,RNEnNjRY lY T a \n I\n3a 3c, I a α 3 \n I\n3a q3jRa x ∈ F . R UaR0njR αx ∈ F j L$āL U3aj3N,3 3cc3 cn$,RNEnNjRY ! TRa Rnja c U I qa c. UR03LRc 0Cy3a \n3 nL cn$3cU ÓR Vq3jRaC IW ā nL cn$,RNEnNjR NÀR q yCR V03 nL 3cU ÓR q3jRaC IW \n3 ,RNjāL jR0 c c ,RL$CN Óǽ3c ICN3 a3c 03 3I3L3NjRc 0R cn$,RNEnNjRY ! c UaRUaC30 03c 0Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc cÀR CN0 c jCc83Cj c 3L , 0 nL 0Rc c3nc cnA $3cU ÓRc. URaj NjR \n I\n3a cn$3cU ÓR q3jRaC I ā j L$āL nL 3cU ÓR q3jRaC IY TRa 3u3LA UIR. UR03LRc q3aC~, a \n3 R q3jRa NnIR U3aj3N,3 \n I\n3a cn$3cU ÓR- $ cj ,RNcC03a a ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0x = 0 03 nL \n I\n3a q3jRa x 03cc3 cn$3cU ÓRY ! Q L Cc U3\n3NR cn$3cU ÓR q3jRaC I UR03 j3a U3N c nL q3jRa. R q3jRa NnIRY Q L CRa cn$3cU ÓR q3jRaC I URccŝq3I ā R UaƽUaCR 3cU ÓR q3jRaC IY 2u3LUIR SYf +RNcC03a3LRc R 3cU ÓR q3jRaC I a3 I R3 . ,RL c RU3a Óǽ3c cRL 3 UaR0njR 3c, I a ncn CcY Q ,RNEnNjR 03 jR0Rc Rc q3jRa3c 03 R3 ,nE c3<nN0 ,RRa03N 0 ā NnI ā nL cn$3cU ÓR q3jRaC I 03 R3 . URCc 0 0Rc \n Cc\n3a (x1 , 0, x2 ) , (y1 , 0, y2 ) ∈ R3 3 a ∈ R, j3LAc3 (x1 , 0, x2 ) + (y1 , 0, y2 ) = (x1 + y1 , 0, x2 + y2 ) á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

3 a (y1 , 0, y2 ) = (ay1 , 0, ay2 ) . BcjR ā. R a3cnIj 0R 0 c RU3a Óǽ3c cÀR q3jRa3c 03 R3 ,RL c3<nN0 ,RRa03N 0 NnI Y ! Qc cn$3cU ÓRc 03 nL 3cU ÓR q3jRaC I cÀR ,RNEnNjRc 03 q3jRa3c 3. ,RLR j I. UR03L c3a ,RL$CN 0Rc 03 q aC c 8RaL c VUR03L c3a. URa 3u3LUIR. CNj3ac3j 0RcWY mL 0 c 8RaL c L Cc ɡj3Cc 03 ,RL$CN a 0RCc cn$3cU ÓRc ā U3I cRL 0Rc q3jRa3c. \n3 03~NCLRc c3<nCa V03~NCÓÀR SY9WY

/3~NCÓÀR SY9

bRL c ,RL bn$3cU ÓRc

b3E L E nL 3cU ÓR q3jRaC I. F 3 G 0RCc cn$3cU ÓRc 03 EY cRL 0Rc cn$3cU ÓRc F 3 G ā nL cn$,RNEnNjR 03 E 03~NC0R URa VSYlW

F + G = {w ∈ E : w = u + v, u ∈ F, v ∈ G} . b3 x ∈ E 8Ra nL q3jRa. 3NjÀR

VSYkW

x + F = {w ∈ E : w = x + u, u ∈ F } . TaRURcCÓÀR SYS

73,@R 0 cRL 03 cn$3cU ÓRc

b3E E nL 3cU ÓR q3jRaC IY cRL 03 cn$3cU ÓRc 03 E ā CN0 nL cn$3cU ÓR 03 EY ! +RLR ,RNc3\nćN,C 03cj UaRURcCÓÀR. R cn$3cU ÓR F + G 0 03~NCÓÀR SY9 ā nL cnA $3cU ÓR 03 EY ! R ,RNja aCR 0 cRL 03 cn$3cU ÓRc. cRL 03 nL q3jRa ,RL nL cn$3cU ÓR. 3L <3a I. NÀR ā nL cn$3cU ÓR. ,RLR UR03LRc R$c3aq a N ~<na SYSY 7C<na SYS

bRL 03 nL q3jRa ,RL nL cn$3cU ÓR 03 R2 y u

bn$3cU ÓR F bRL u + F 2L R2 Rc cn$3cU ÓRc cÀR c ICN@ c a3j c \n3 U cc L N RaC<3L (0, 0) 3 Rc q3jRa3c cÀR Rc URNjRc (x, y) 0R UI NRY M3cj ~<na UR03LRc R$c3aq a \n3 R a3cnIj 0R 03 cRL a nL q3jRa. u. ,RL nL cn$3cU ÓR. F VICN@ ,CNy W. ā nL ICN@ a3j 8 cj 0 0 RaC<3L. u + F VICN@ N3<a W. U a I3I F Y

2cU ÓRc p3jRaC Cc O

! c3<nCa. N 03~NCÓÀR SYf. 3cjn0 LRc 3\nCq IćN,C 03 cCcj3L c. \n3 03c,a3q3 3L \n3 ,RN0CÓǽ3c UR03LRc cn$cjCjnCa nL cCcj3L 03 q3jRa3c URa RnjaR. j Iq3y L Cc cCLUI3c. L c c3L Ij3a a c UaRUaC30 03c I<ā$aC, c \n3 CNj3a3cc LY /3~NCÓÀR SYf

bCcj3L c 2\nCq I3Nj3c

b3E L E nL 3cU ÓR q3jRaC I. X = (x1 , . . . , xN ) 3 Y = (y1 , . . . , yM ) 0RCc cCcj3L c ,RL. a3cU3jCq L3Nj3. N 3 M q3jRa3c 03 EY Qc cCcj3L c X 3 Y cÀR 3\nCq I3Nj3c. 3 3c,a3q3Ac3 X ≈ Y . c3 , 0 q3jRa 03 , 0 cCcj3L 8Ra ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R RnjaR cCcj3L Y BcjR ā. c3SY T a , 0 i = 1, . . . , N . R q3,jRa xi ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y lY T a , 0 j = 1, . . . , M . R q3,jRa yj ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L XY 2u3LUIR SYe Qc cCcj3L c 03 q3jRa3c X 3 Y . 0 0Rc $ CuR. cÀR 3\nCq I3Nj3cY ! " ! " X = (1, 0) , (0, 1) , Y = (1, 1) , (−1, 1) . `3cRInÓÀR

T a UaRq a \n3 X ≈ Y . j3LRc 03 LRcja a \n3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y 3 \n3 , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L X-

á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

• p3E LRc c3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y T a j I. Ua3,Cc LRc 03 03j3aLCN a Rc ,R3~,C3Nj3c \n3 U3aLCj3L 3c,a3q3a , 0 q3jRa 03 X © ,ncj 0Rc q3jRa3c 03 Y # # 1=a−b a = 1/2 (1, 0) = a (1, 1) + b (−1, 1) ⇔ ⇔ b = −1/2 0=a+b # # 0=a−b a = 1/2 (0, 1) = a (1, 1) + b (−1, 1) ⇔ ⇔ 1=a+b b = 1/2 +RN,InŝLRc 3NjÀR \n3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y • T a q3aC~, a c3 , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 X. $ cj R$c3aq a \n3 (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (−1, 1) 3 \n3 (−1, 1) = −1 (1, 0) + 1 (−1, 1) . TRaj NjR. j L$āL , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L XY +RNc3\n3Nj3L3Nj3. j3LRc X ≈ Y . CcjR ā. Rc cCcj3L c X 3 Y cÀR 3\nCq I3Nj3cY

???mm

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9 789897 522093

www.lidel.pt

ISBN 978-989-752-209-3

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Álgebra, Análise e Otimização

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MATEMATICA Álgebra, Análise e Otimização Luís Bandeira I Francisco Coelho I Nuno Franco