Otimização Não-Linear em Engenharia by Grupo Lidel

Índice Geral

Os Autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix Siglas e Acrónimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii Parte I Enquadramento e Fundamentos Matemáticos 1

Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Os primórdios da otimização em engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Guia de leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Fundamentos de Matemática e Notação Adotada . . . . . . . . . . . . 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fundamentos de álgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fundamentos de álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Notação de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 14 22 27 30

Parte II Conceitos Fundamentais de Otimização em Engenharia 3

Fundamentos de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fundamentos de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 37 41

vii

Otimização Não-Linear em Engenharia

3.3

3.4 3.5

3.6 3.7 3.8

viii

3.2.1.1 Variáveis de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1.2 Função-objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1.3 Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1.4 Restrições de igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1.5 Restrições de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1.6 Restrições simples ou de limites do domínio . . . . . . 46 3.2.2 Modelação matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Natureza dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Problemas de programação não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.2 Problemas de programação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.3 Problemas de programação quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.4 Problemas de programação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.5 Outros tipos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.6 Problemas de otimização contínua ou discreta . . . . . . . . . . . 69 3.3.6.1 Problemas de programação inteira . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.7 Problemas de otimização estocástica ou determinística . . . . 70 3.3.8 Dimensão dos problemas de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Conceitos gerais de procura e boas práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Condições de ótimo do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1 Problema sem restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.2 Problema com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Otimização com recurso a gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Otimização multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fundamentos matemáticos para otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.8.1 Definição de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.8.2 Continuidade e diferenciabilidade de uma função . . . . . . . . . 99 3.8.3 Mínimos, máximos e operações com funções-objetivo . . . . . 100 3.8.4 Independência linear de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.8.5 Matrizes definidas positivas e formas quadráticas . . . . . . . . 103 3.8.6 Vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8.7 Matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8.8 Decomposição de funções em série de Taylor . . . . . . . . . . . . 105 3.8.9 Avaliação numérica das matrizes gradiente e hessiana — análise de sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.8.9.1 Método das diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.8.9.2 Diferenciação automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.8.9.3 Análise de sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.8.10 Introdução aos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 115

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3.9 Programação e programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.9.1 Resolução de problemas de otimização usando o Excel . . . . 118 3.9.2 Resolução de problemas de otimização usando o MATLAB 131 3.9.3 Resolução de problemas de otimização usando as bibliotecas IMSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.10 Otimização em cálculo estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.10.1 Tipos de otimização estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4

Técnicas Numéricas para Problemas Não-Lineares . . . . . . . . . . . 155 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2 Problemas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2.1 Definição e importância do problema unidimensional . . . . . 157 4.2.2 Técnicas clássicas para problemas unidimensionais . . . . . . . 159 4.2.2.1 Método da bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.2.2 Método da secção dourada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.2.2.3 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2.2.4 Outros métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.3 Técnicas numéricas para otimização sem restrições . . . . . . . . . . . . . 175 4.3.1 Definição do problema, e condições necessárias e suficientes176 4.3.1.1 Elementos de técnicas numéricas: ponto inicial, direção de procura e tamanho de passo . . . . . . . . . . 179 4.3.2 Métodos de procura direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.3.2.1 Método de procura em padrão de Hooke e Jeeves . 182 4.3.2.2 Método de Powell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3.2.3 Método simplex de Nelder e Mead . . . . . . . . . . . . . . 195 4.3.3 Métodos baseados no gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.3.3.1 Método do maior declive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.3.3.2 Método do gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.3.3.3 Métodos quase-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.3.3.4 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.4 Métodos para problemas não-lineares de mínimos quadrados . . . . 236 4.4.1 Método do maior declive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.2 Método de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.3 Método de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 4.5 Técnicas numéricas para otimização com restrições . . . . . . . . . . . . . 260 4.5.1 Definição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.5.2 Definição do problema, e condições necessárias e suficientes264 4.5.2.1 Problema com restrições de igualdade . . . . . . . . . . . 264 c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

Otimização Não-Linear em Engenharia

4.5.2.2 Problema com restrições de desigualdade . . . . . . . . 266 4.5.2.3 Condições de otimalidade em problemas com restrições de igualdade e de desigualdade . . . . . . . . 268 4.5.3 Métodos indiretos para otimização com restrições . . . . . . . . 273 4.5.3.1 Técnicas de transformação de variáveis . . . . . . . . . . 273 4.5.3.2 Método da função de penalidade exterior . . . . . . . . 276 4.5.3.3 Método da função de penalidade interior . . . . . . . . 282 4.5.3.4 Método do lagrangiano aumentado . . . . . . . . . . . . . 289 4.5.4 Métodos diretos para otimização com restrições . . . . . . . . . . 295 4.5.4.1 Linearização e expansão quadrática de problemas com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 4.5.4.2 Programação quadrática sequencial . . . . . . . . . . . . . 300 4.5.4.3 Método do gradiente reduzido generalizado . . . . . . 314 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Parte III Otimização Topológica em Cálculo Estrutural 5

Comportamento Termoelástico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 5.2 Problema térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 5.2.1 Formulação diferencial do problema térmico . . . . . . . . . . . . . 327 5.2.2 Formulação integral fraca do problema térmico . . . . . . . . . . 330 5.2.3 Discretização espacial por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 331 5.3 Problema termoelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 5.3.1 Formulação diferencial do problema termoelástico . . . . . . . . 333 5.3.2 Formulação integral fraca do problema termoelástico . . . . . 334 5.3.3 Discretização espacial por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 336 Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Otimização Topológica em Cálculo Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . 339 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 6.2 Deﬁnição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 6.2.1 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 6.2.2 Condução de calor em regime estacionário . . . . . . . . . . . . . . 343 6.3 Parametrização do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.4 Métodos de resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 6.4.1 Métodos de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 6.4.1.1 Métodos de critério de ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 6.4.1.2 Métodos de programação matemática . . . . . . . . . . . 355

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6.4.2 Métodos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 6.5 Pós-processamento de resultados de otimização topológica . . . . . . 361 6.6 Resolução de um problema de otimização topológica usando o MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7

Tópicos Complementares de Otimização Topológica . . . . . . . . . . 377 7.1 Instabilidades numéricas em otimização topológica . . . . . . . . . . . . . 377 7.1.1 Filtros de sensibilidades e de densidades . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.1.2 Controlo de perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 7.2 Solicitações dependentes de variáveis de projeto . . . . . . . . . . . . . . . 387 7.3 Questões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 7.3.1 Metodologia geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 7.3.2 Otimização multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 7.3.3 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 7.3.4 Algoritmos de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7.4 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Parte IV Cálculo Multiescala 8

Homogeneização por Expansão Assimptótica . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 8.2 Fundamentos do método de homogeneização por expansão assimptótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.2.1 Metodologia de expansão assimptótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 8.2.2 Metodologia de expansão em duas escalas . . . . . . . . . . . . . . . 420 8.2.3 Aplicabilidade do método de homogeneização por expansão assimptótica a materiais compósitos periódicos . . 430 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Homogeneização por Expansão Assimptótica em Termoelasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 9.2 Modelação analítica do problema de homogeneização . . . . . . . . . . . 438 9.2.1 Formulação diferencial do problema de homogeneização . . . 438 9.2.2 Homogeneização por expansão assimptótica do problema térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 9.2.2.1 Expansão assimptótica do campo de temperaturas 442 c ETEP – Edições Técnicas e Proﬁssionais

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9.2.2.2 Equações diferenciais da microescala . . . . . . . . . . . . 444 9.2.2.3 Equações diferenciais da macroescala . . . . . . . . . . . 446 9.2.2.4 Corretores de temperatura de ordem superior . . . . 449 9.2.3 Homogeneização por expansão assimptótica do problema termoelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 9.2.3.1 Expansão assimptótica do campo de deslocamentos452 9.2.3.2 Equações diferenciais da microescala . . . . . . . . . . . . 455 9.2.3.3 Equações diferenciais da macroescala . . . . . . . . . . . 457 9.2.3.4 Corretores de deslocamento de ordem superior . . . 460 9.2.4 Metodologias convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 9.2.4.1 Metodologia convencional de homogeneização . . . . 464 9.2.4.2 Metodologia convencional de localização . . . . . . . . . 464 9.2.5 Observações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 9.3 Modelação numérica do problema de homogeneização . . . . . . . . . . 468 9.3.1 Modelação geométrica e periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 9.3.2 Procedimentos numéricos de homogeneização e localização 470 9.3.2.1 Cálculo de corretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 9.3.2.2 Periodicidade dos corretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 9.3.2.3 Matrizes constitutivas homogeneizadas . . . . . . . . . . 473 9.3.2.4 Localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 9.3.3 Tipos e métodos de aplicação numérica de condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 9.3.3.1 Tipos de condição de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 9.3.3.2 Método de eliminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 9.3.3.3 Método de penalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 9.3.3.4 Método dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 485 9.3.4 Algoritmo global do processo numérico de homogeneização em termoelasticidade linear . . . . . . . . . . . . 486 9.3.5 Exemplo de aplicação do método de homogeneização por expansão assimptótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 10 Modelação Analítica Micromecânica em Termoelasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 10.2 Modelação analítica micromecânica de propriedades elásticas . . . . 500 10.2.1 Materiais compósitos reforçados com fibras cilíndricas unidirecionais e contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 10.2.1.1 Leis das misturas e das misturas inversas . . . . . . . . 500 xii

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Índice Geral

10.2.1.2 Equações de Halpin-Tsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 10.2.1.3 Equação de Halpin-Tsai corrigida . . . . . . . . . . . . . . . 502 10.2.2 Materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . 502 10.2.2.1 Equações de Halpin-Tsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 10.2.2.2 Limites de Voigt e Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 10.2.2.3 Limites de Hashin-Shtrikman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 10.2.2.4 Limites de Ravichandran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 10.2.3 Exemplo de previsão de propriedades elásticas de materiais compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 10.2.3.1 Materiais compósitos reforçados com fibras cilíndricas unidirecionais e contínuas . . . . . . . . . . . . 509 10.2.3.2 Materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 10.3 Modelação analítica micromecânica de propriedades termoelásticas521 10.3.1 Materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . 521 10.3.1.1 Modelo de Kerner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 10.3.1.2 Modelo de Schapery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 10.3.1.3 Limites de Schapery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 10.3.1.4 Modelo de Fahmy e Ragai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 10.3.2 Exemplo de previsão de propriedades termoelásticas de materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . 523 10.4 Modelação analítica micromecânica de propriedades térmicas . . . . 525 10.4.1 Materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . 525 10.4.1.1 Modelo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 10.4.1.2 Modelo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 10.4.1.3 Modelo de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 10.4.1.4 Limites de Hashin-Shtrikman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 10.4.2 Exemplo de previsão de propriedades térmicas de materiais compósitos reforçados com partículas esféricas . . 526 Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 11 Otimização Topológica Multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 11.2 Otimização Topológica Multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 11.2.1 Formulação hierárquica do problema em termoelasticidade 534 11.2.2 Condições de ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 11.2.3 Problema térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 11.2.4 Estratégias de otimização topológica multiescala em subdomínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

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Otimização Não-Linear em Engenharia

11.2.5 Homogeneização inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 11.3 Questões numéricas de otimização topológica multiescala . . . . . . . 549 11.3.1 Modelos hierárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 11.3.2 Algoritmos de otimização hierárquica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 11.3.3 Abordagem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 11.4 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Referências bibliográﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 Bibliograﬁa Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

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Os Autores

António Gil d’Orey de Andrade Campos (gilac@ua.pt) é docente no Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro e investigador do Centro de Tecnologia Mecânica e Automação (TEMA). É também investigador colaborador do Laboratoire d’Ingénierie des MATeriaux de Bretagne (LIMATB), da Université de Bretagne-Sud, em França, e do Centro de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra (CEMUC). Obteve a Licenciatura (2000) em Engenharia Mecânica na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e o Doutoramento (2005), também em Engenharia Mecânica, na Universidade de Aveiro. Desde 2005, a sua área de investigação centra-se na Otimização em Engenharia, com especial destaque para Problemas Inversos. João Alexandre Dias de Oliveira (jalex@ua.pt) é docente no Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro e investigador do Centro de Tecnologia Mecânica e Automação (TEMA). Obteve os graus de Licenciatura (2003), Mestrado (2006) e Doutoramento (2013) em Engenharia Mecânica nesta universidade. A sua área de investigação principal é a Mecânica Computacional, com ênfase na utilização do Método dos Elementos Finitos e da Otimização Topológica em aplicações estruturais. Atualmente, no Departamento de Engenharia Mecânica, leciona disciplinas nas áreas de Desenvolvimento de Produto e de Engenharia Assistida por Computador. Joaquim Alexandre Mendes de Pinho da Cruz (jpc@ua.pt) obteve a Licenciatura (1997) e o Mestrado (2001) em Engenharia Mecânica na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, e o Doutoramento (2007), também em Engenharia Mecânica, na Universidade de Aveiro. Desde 2003, é docente no Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro — onde atualmente é regente das disciplinas de Introdução à Engenharia Mecânica, Mecânica Aplicada e Mecânica Computacional — e investigador do Centro de Tecnologia Mecânica e Automação (TEMA). É também investigador colaborador do Centro de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra (CEMUC). A sua atividade de investigação centra-se na Mecânica Computacional, no Método dos Elementos Finitos e no desenvolvimento de software de simulação numérica para aplicações estruturais.

Prefácio

A ideia de otimização, no sentido de realizar algo com as melhores características possíveis atendendo aos condicionalismos existentes, não é recente. De facto, é mais antiga do que o aparecimento do Homem. Quando há 2,5 milhões de anos o Homo Habilis começou a produzir instrumentos que replicavam, melhorando as suas propriedades, os já existentes na natureza, como chifres, dentes ou pedras bicudas e cortantes, a sua intenção era obter instrumentos otimizados que permitissem, com o mínimo esforço, caçar, esfolar ou trinchar os animais disponíveis. Quando dizemos que os mais antigos instrumentos de pedra conhecidos eram os “rudimentares seixos partidos”, estamos a opinar sobre a sua qualidade, com os conhecimentos que mais de dois milhões de anos nos permitiram acumular. Mas, na época, esses instrumentos de pedra lascada eram instrumentos ótimos. Tinham por objetivo simplificar o trabalho — e simplificavam — e faziam uso dos melhores materiais e das melhores técnicas disponíveis. O método de otimização então usado é, ainda hoje, o mais comum: tentativa e erro. Através da análise das suas limitações, os primeiros instrumentos de pedra lascada foram sendo gradualmente aperfeiçoados, através da formulação de objetivos mais exigentes, da escolha de materiais mais adequados e da melhoria das técnicas de corte da pedra. Os posteriores avanços tecnológicos conduziram aos sofisticados equipamentos com que hoje se caçam, se esfolam ou se trincham os animais. Mas o método de tentativa e erro não deve ser o único a ser usado atualmente. De facto, hoje podemos prever o comportamento de um objeto sem necessidade de o construir e podemos avaliar as suas limitações dispensando, pelo menos numa primeira abordagem, a sua utilização efetiva. É neste contexto que este livro se insere. Como melhorar um objeto, um equipamento, uma estrutura, em plena fase de conceção, através de métodos que aproveitem a capacidade de xix

Otimização Não-Linear em Engenharia

cálculo que o avanço da informática hoje nos disponibiliza. Falemos, então, do livro. Este livro vai da simples introdução de conceitos até à antecâmara dos problemas que estão hoje a ser matéria de investigação científica. Assume um papel didático e, nesse aspeto, pode ser considerado uma verdadeira lição de engenharia, pois evidencia claramente como os conceitos matemáticos, os fundamentos físicos e o conhecimento dos métodos e linguagens de programação — aspetos infelizmente tão pouco apreciados pela maior parte dos nossos estudantes — nos preparam e são tão essenciais para os grandes objetivos da engenharia: a resolução de problemas, a conceção, o projeto. Pedagogicamente, é de realçar o Capítulo 1, que enquadra historicamente a otimização na perspetiva de método que pretende evitar a tentativa e o erro, e que contém um excelente guia de leitura que indica qual a abordagem do livro apropriada para cada tipo de leitor — o principiante, o iniciado e o avançado —, facilitando, dessa forma, o trabalho ao prefaciador. Segue-se um capítulo importante sobre as bases matemáticas e notações, que antecede a Parte II, que pode ser considerada o “coração” do livro. Os Capítulos 3 e 4, que constituem essa parte, são excelentes exemplos do que pode ser um curso de otimização matemática completo e pedagogicamente preparado. A introdução dos conceitos em conjunto com a formulação de problemas-tipo, incluindo a sua modelação matemática, ajudam o leitor a compreender muitas dessas noções que, de outra forma, arriscariam manter-se num plano relativamente obscuro. De realçar o esforço para clarificar esses conceitos em áreas do saber tão distintas como a otimização puramente matemática ou a otimização aplicada na engenharia, na economia ou na gestão. Acresce que o Capítulo 4 é ainda uma excelente base para quem pretenda preparar um curso aplicado de métodos de otimização não-linear. A utilização dos diversos métodos na minimização da função de Rosenbrock seguindo as etapas dos algoritmos descritos permite, por um lado, avaliar as potencialidades de cada método e, por outro, clarificar ideias expressas de forma abstrata na descrição do algoritmo. Cumpre salientar que os exemplos apresentados ao longo de todo o texto surgem de forma natural sempre que, pela complexidade do assunto, se torna necessário o esclarecimento de conceitos relacionados com os métodos apresentados. De notar ainda que esses exemplos são sempre resolvidos de forma sistemática, completa e pedagógica. Na terceira e quarta partes do livro, os Autores enveredam por um tipo de otimização e um género de problemas que têm constituído o alvo principal das suas investigações nos últimos anos. Pode-se considerar que essas duas partes são xx

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Prefácio

um pouco menos gerais do que as anteriores e que se destinam essencialmente a estudantes avançados de Engenharia Mecânica ou de Materiais. De facto, trata-se de um alicerce (ou mesmo um pouco mais do que isso...) para a investigação na área da otimização topológica e do cálculo multiescala. Contudo, apesar de se abordarem aspetos avançados e destinados a um público mais restrito, realce-se que são apresentados com o mesmo cuidado pedagógico dispensado aos temas versados nos capítulos destinados aos principiantes ou iniciados. O livro não é sempre de leitura simples. Mas é um livro que expõe temas complexos de forma clara e exata, e que constitui uma excelente abordagem, que vai de introdutória a avançada, a temas que raramente são apresentados em português. E isto, só por si, é já um grande motivo de satisfação para os Autores e os Leitores do trabalho apresentado. Concluo referindo que na exigente profissão de Professor Universitário há cada vez menos tempo para o estabelecimento da relação entre Mestre e Aprendiz. É, por isso, cada vez mais difícil criar aquele tipo de laços em que o Mestre ensina essencialmente a estudar uma determinada matéria e em que o Aprendiz, com as suas dúvidas e questões, obriga o Mestre a aprofundar cada vez mais o seu conhecimento. Contudo, penso ser pacífico que uma das maiores compensações que um Professor pode ter é o reconhecimento por parte de um seu Discípulo de que a sua palavra dita ou escrita na exposição de uma matéria o influenciou e ajudou a enveredar pela investigação numa qualquer área de conhecimento. Quando isso sucede, o Professor sabe que atingiu, em algum momento, o objetivo da sua profissão: criar seguidores que sejam capazes de voar mais alto nos conhecimentos que conseguiu atingir. Sabe que “o ideal que sempre acalentou renascerá em outros corações” (Luzes da Ribalta, Chaplin). Com este livro o Gil, o Alexandre e o João têm fortes possibilidades de vir a ser referidos por muitos dos seus Leitores como aqueles que os conduziram ao interesse pela investigação em otimização. Este livro é um dos momentos em que os Mestres (neste caso, Professores Doutores...) Gil, Alexandre e João podem sentir que estão a “dar asas” aos seus Aprendizes. Coimbra, 30 de novembro de 2014

Rogério Augusto da Costa Pereira Leal

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Enquadramento

Na Figura 1.2, pode ver-se uma representação esquemática de vários percursos possíveis e aconselhados para a leitura desta obra. Sugerem-se os conteúdos mais adequados para perﬁs de leitor principiante, iniciado e avançado. Note-se que, além dos percursos sugeridos, este livro pode ser utilizado, com grande vantagem, como fonte e referência de informação relacionada com a otimização em engenharia, nomeadamente na otimização em cálculo estrutural. Os assuntos abordados nesta obra podem enquadrar-se facilmente nos conteúdos programáticos de disciplinas das formações de primeiro, segundo e terceiro ciclos, assim como de mestrados integrados de cursos de engenharia das universidades e dos institutos politécnicos portugueses. Na Figura 1.2, sugerem-se também formas de enquadrar os temas abordados nestas formações académicas.

Figura 1.2 Representação esquemática de vários percursos possíveis e aconselhados para a leitura desta obra.

Salienta-se que esta obra não pretende delimitar o conhecimento do leitor na temática da otimização em engenharia nem na otimização em cálculo estrutural. Há muitos conhecimentos, métodos e técnicas que não são abordados. Pretende-se aqui apenas iniciar o leitor e dar as bases necessárias para que este, de forma motivada, possa adquirir outros conhecimentos, alguns mais avançados, noutros livros e artigos científicos da especialidade. Este livro pretende ser um ponto de passagem e não um limite final. c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

Capítulo 3

Fundamentos de Otimização

Resumo Neste capítulo, abordam-se os conceitos gerais e fundamentais da otimização, muitas vezes exempliﬁcados com problemas de engenharia. Apresentam-se a formulação geral do problema de otimização, a natureza dos problemas e os conceitos gerais essenciais para a resolução destes problemas. Introduzem-se também alguns fundamentos matemáticos especíﬁcos para a resolução de problemas de otimização, bem como alguns programas passíveis de serem utilizados. Apresentam-se ainda os tipos de problemas de otimização em mecânica estrutural.

3.1 Introdução A deﬁnição de otimização é dependente do objetivo para o qual é utilizada a otimização. De uma forma mais geral, o ato de otimizar poderá ser sinónimo de reestruturação efetuada com o objetivo de obter o maior rendimento possível ou da determinação, no estudo de um problema, da solução que, de entre todas as soluções possíveis, conduza aos resultados mais satisfatórios. De uma forma mais técnica, diz-se que a otimização é o processo de maximizar ou minimizar a função-objetivo requerida enquanto são satisfeitas determinadas restrições. Por exemplo, pretende-se o avião mais leve possível, mas que continue a apresentar um desempenho padrão e que possua boas condições de segurança. Ou então, pretende-se a rota de um automóvel que minimize os gastos em combustível, mas que passe por determinados pontos do mapa. Outros exemplos serão a diminuição do tempo de fabrico de um equipamento numa determinada linha de produção respeitando a qualidade ﬁnal exigida do equipamento e maximizar

Otimização Não-Linear em Engenharia

a rigidez de uma estrutura sem o aumento do seu peso. Vários exemplos deste tipo podem ser encontrados no dia a dia. Inclusivamente, na natureza podem encontrar-se diversos exemplos de sistemas otimizados. Nos metais, assim como em alguns compostos químicos estáveis, os átomos tomam posições de energia mínima para formar células unitárias que definem a estrutura cristalina do material. A estrutura óssea humana densifica-se em zonas de maior solicitação de forma a aumentar a rigidez de toda a estrutura óssea. A gota de água em gravidade zero adquire a forma esférica, que é a forma geométrica da menor área para um dado volume. Nos exemplos anteriores, definiu-se vagamente um problema de otimização que necessita de solução e o procedimento que se utiliza para a encontrar recorre a técnicas de otimização. Em todos os problemas mencionados, o pretendido está sempre qualificado pelas palavras mais leve, minimize, diminuição, maximizar. Todas estas e muitas outras semelhantes poderão ser descritas pela palavra ótimo. O que é pretendido poderá ser chamado de objetivo. Se este se puder transcrever por uma relação matemática, esta toma o nome de função-objetivo. Adicionalmente, todos estes objetivos têm de satisfazer certas condições para que este seja aceitável. Estas condições são chamadas de restrições do projeto. Em tempos passados, os problemas eram solucionados, quase na sua totalidade, recorrendo a julgamentos baseados em experiência empírica. Contudo, o aumento de competitividade e exigência por parte do consumidor requereu que as soluções fossem as ótimas e não apenas as possíveis. Note-se que uma pequena poupança numa peça de produção em larga escala se traduz numa poupança substancial para uma empresa. No caso de redução da massa da estrutura de um avião, este objetivo possibilitaria aumentar a quantidade de combustível transportada ou o número de passageiros, sem que a massa total do avião se alterasse. Esta diminuição do peso da estrutura pode também permitir aumentar o alcance máximo do avião. Muitas vezes, a otimização de um processo ou de uma estrutura poderá também permitir poupar recursos financeiros, pela diminuição de material necessário no seu fabrico. Mesmo com a otimização em projeto3 se pode poupar dinheiro simplesmente pela redução do tempo de desenvolvimento. A minimização da massa de uma estrutura poderá ser obtida pelos seguintes meios: (i) eliminação de componentes desnecessários; (ii) colocação de material onde este é necessário; (iii) diminuição do volume dos materiais utilizados; (iv) melhoria da forma dos componentes; (v) escolha de materiais com melhores propriedades. No entanto, será 3

Entenda-se por projeto qualquer processo de conceção, design e planeamento.

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Otimização Não-Linear em Engenharia

Pcr =

π 2 EI , 4l2

(3.24)

em que I é o momento de inércia da secção transversal da coluna. A tensão σ na coluna é deﬁnida por P/A, em que A é a área da secção da coluna. P

Ri R0 l

Figura 3.6 Coluna tubular de secção circular.

Fase 2: identificação e definição das variáveis de projeto. veis de projeto podem definir-se as seguintes:

Como variá-

R0 = raio exterior da secção da coluna; Ri = raio interior da secção da coluna. Tomando como referência as variáveis anteriores, a área A e o momento de inércia I da secção da coluna são: π 4 R0 − Ri4 . A = π R02 − Ri2 ; I = 4

(3.25)

Fase 3: identiﬁcação do critério a otimizar (função-objetivo). O custo da barra, que se pretende minimizar, inclui o material e custos de fabrico. ¯ em que W é a massa do Este pode ser, por exemplo, deﬁnido por 5W + 20R, ¯ é o raio médio da barra, que, em função das variáveis de projeto, material e R correspondem a (3.26) W = ρ ∗ (lA) = πρl R02 − Ri2 , 56

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Fundamentos de Otimização

(a)

(b) Figura 3.11 Resolução do problema não-linear de otimização com recurso a gráficos: (a) representação das linhas de contorno da função-objetivo e (b) solução gráfica do problema. O ponto de ótimo (x1 = 7,1036; x2 = −8,2171) maximiza a função-objetivo no valor f1 = 62,2998. Para este problema, recorreu-se ao programa MATLAB para a representação gráfica.

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Fundamentos de Otimização

Exemplo 3.9.1 Considere-se o problema de otimização de uma função linear deﬁnido no Exemplo 3.2.6 da Secção 3.2, cujos dados se encontram listados na Tabela 3.1. O problema consiste na maximização da produção e pode ser matematicamente deﬁnido por maximizar f (x) = 18 × 55xA + 18 × 50xB + 21 × 50xC , sujeito a g1 (x) = 3xA + 5xB + 6xC ≤ 102 , g2 (x) = 3xA + xB + xC ≤ 30, g3 (x) = 3xA + 6xB + 6xC ≤ 100, xA ≥ 0, xB ≥ 0, xC ≥ 0. A Figura 3.22 mostra a folha de cálculo de Excel preparada para executar o cálculo dos valores necessários ao problema. A célula sombreada F12 calcula a função-objetivo que é a soma da produção dos equipamentos A, B e C. As células F14-16 apresentam o valor das funções de restrição g1 , g2 e g3 , respetivamente. Estes valores têm de ser menores ou iguais aos valores correspondentes nas células H14-16. As células C10, D10 e E10 são as que apresentam as variáveis de decisão.

Figura 3.22 Resolução do problema de otimização linear com restrições recorrendo ao programa Excel. Folha de cálculo do Excel com as fórmulas de cálculo.

Uma vez criada a folha de cálculo, importa agora utilizar o suplemento Solver . A Figura 3.23 mostra a janela do Solver já preenchida para o problema da maximização da produção utilizando a folha de cálculo da Figura 3.22. As restrições são adicionada carregando no botão Add, que faz aparecer a janela mostrada na Figura 3.24. Nesta última janela, está deﬁnida a primeira restrição c ETEP – Edições Técnicas e Proﬁssionais

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Otimização Não-Linear em Engenharia

de desigualdade, g1 , que representa o limite imposto de investimento (célula F14 ≤ célula H14).

Figura 3.23 Resolução do problema de otimização linear com restrições recorrendo ao programa Excel. Janela de atribuição da função-objetivo e das restrições.

Figura 3.24 Resolução do problema de otimização linear com restrições recorrendo ao programa Excel. Adição da restrição g1 ao Solver.

Após a inserção de todas as restrições (incluindo as de domínio das variáveis), da função-objetivo e da deﬁnição das células das variáveis de decisão, deve selecionar-se o tipo de algoritmo a utilizar. Tendo em conta que o problema de otimização a resolver é um problema linear, deve-se utilizar o método Simplex LP. O botão Solve inicia a resolução do problema. Após o Solver obter a solução ótima, é apresentada uma mensagem relativa ao sucesso do cálculo. A folha de cálculo com a solução ótima está representada na Figura 3.25. No entanto, neste problema, a solução encontrada é xA = 5,333(3). 120

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Otimização Não-Linear em Engenharia

Na expressão anterior, uj define o vetor unidade no eixo de coordenadas j. O movimento do simplex, que é responsável pela evolução do método em direção ao ótimo, efetua-se através de três operações: reflexão, expansão e contração. Estas operações são usadas para substituir o ponto com o valor da função mais elevada por um novo ponto. Reflexão: Se o vértice xa corresponde ao maior valor da função-objetivo entre os vértices do simplex, espera-se que o ponto xr obtido pela reflexão do ponto xa na direção oposta tenha o valor mais baixo. Nesse caso, constrói-se um novo simplex em que o ponto xa é rejeitado e substituído pelo ponto xr . Este processo é ilustrado pelas Figuras 4.14(a) e 4.14(b). Na Figura 4.14(a) os pontos x1 , x2 e x3 que formam o simplex inicial dão origem ao simplex formado pelos pontos x1 , x2 e xr , visto que o ponto x3 é o ponto com o maior valor da função-objetivo. O mesmo pode ser visto na Figura 4.14(b) para um simplex de três dimensões e cujo valor mais alto da função-objetivo se encontra em x4 . Na Figura 4.14(a) é também possível ver a evolução do simplex na direção do ótimo.

X Å

X ÅXAÅ Å

X Å

XRÅ

X Å

X Å X ÅXAÅ

X Å

(a)

XRÅ

X Å

(b)

Figura 4.14 Método simplex: (a) progresso do processo de reﬂexão para um simplex 2-D e (b) processo de reﬂexão para um simplex 3-D.

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Otimização Não-Linear em Engenharia

Figura 6.5 Estrutura inicial e condições de fronteira de um problema de otimização topológica de uma estrutura articulada.

a numeração ilustrada na Figura 6.5. Deﬁnem-se ainda as propriedades do material a utilizar, assim como as condições de fronteira e as variáveis de otimização xopt e xold. O código pode ser escrito como: % function topbar(volfrac,penal) nels = 5; nnod=4; coord = [0 0;1 0;0 1;1 1]; connect = [1 2;3 2;3 4;2 4;1 3]; EY = 5; A = 5; EA = EY * A; load = [2 0 -1]; % nod x y rest = [1 0 0; % nod x y 3 0 1]; % nod x y % xopt = zeros(1,nels); xold = zeros(1,nels); xopt(:) = volfrac; %

Parte 2: No código que se segue, deﬁne-se o corpo principal do programa, enquadrado por um ciclo iterativo while a executar enquanto os critérios de paragem não forem atingidos. Em cada iteração, constrói-se a rigidez da estrutura, calculando a matriz de rigidez de cada elemento e assemblando-a na 366

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Otimização Topológica Multiescala

material que respondem adequadamente às solicitações impostas, destacando-se as respostas microestruturais no exemplo de dois domínios.

Figura 11.11 Representação de um suporte de aerofólio traseiro num automóvel de competição.

(a)

(b)

Figura 11.12 Representação (a) de geometria e condições de fronteira de um problema de otimização de um suporte de aerofólio de um automóvel de competição, e (b) de uma divisão em duas regiões.

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