Tivoli Læringsmål

Kapitlet Tivoli tager udgangspunkt i følgende læringsmål:

•Jeg skal kunne indsamle data samt opstille og a æse tabeller og diagrammer.

•Jeg skal kunne beskrive data herunder i tabeller og diagrammer.

•Jeg skal kunne bestemme antal kombinationer med forskellige optællingsmetoder.

•Jeg skal kunne ræsonnere mig frem til chancestørrelser i forsøg.

Læringsmålene er udarbejdet med udgangspunkt i stofområdet Statistik og sandsynlighed samt de matematiske kompetencer Ræsonnement og tankegang samt Repræsentation og symbolbehandling i Fælles Mål.

På format.alinea.dk ndes yderligere beskrivelser af de udvalgte faser af færdigheds- og vidensmålene samt tegn på målopfyldelse.

Læringsmålene er forenklet i en mere børnevenlig udgave under Læringsmål i elevbogen øverst på side 3.

Faglige områder

Kapitlet bygger videre på elevernes talforståelse og intuitiv forståelse af chance blandt andet fra kapitlet Tal i hverdagen i 1. klasse. Omdrejningspunktet for kapitlet er statistik, chance og kombinatorik.

Temaet i kapitlet er Tivoli, der danner rammen omkring undersøgelser af antal besøgende, forlystelser, priser, vogntog og lykkehjul.

Statistik

Statistiske optegnelser i tabeller og diagrammer indgår mange steder i dagligdagen - fx aviser, tv, reklamer m.m. Det er derfor af stor betydning for elevernes muligheder for at tolke disse informationer, at de selv lærer at indsamle observationer, behandle og sammenligne data.

En række indsamlede værdier kaldes et datasæt. Hver af de værdier, der indgår i et datasæt, kaldes en observation.

Eleverne skal i dette kapitel arbejde med at a æse og stille spørgsmål til tabeller og diagrammer. Desuden skal eleverne selv fremstille diagrammer, blandt andet ud fra deres egne mindre undersøgelser.

I kapitlet præsenteres eleverne for forskellige datasæt, der er ordnet i tabeller. Nogle tabeller fungerer som en ordning af elevernes egne optællinger af observationer, men også som datasæt, som eleverne (ved at a æse overskrifter på rækker og kolonner) selv skal udtrække informationer fra og tolke på.

Et eksempel på en tabel er en hyppighedstabel. Tabellen viser hyppigheden af observationerne.

Observationer (x)Hyppighed h(x)

Piger 15

Drenge 9

I alt 24

I kapitlet skal eleverne også arbejde med forskellige typer diagrammer (pinde-, søjle- og cirkeldiagrammer), således at de erfarer, at et datasæt kan præsenteres på ere forskellige måder. Dette træner eleverne i at kunne sammenligne data uanset valg af repræsentation. Eleverne vil fortrinsvis arbejde med søjlediagrammer, da dette ligger i umiddelbar forlængelse af deres erfaringer fra 1. klasse. Progressionen i forhold til 1. klasse ligger i de forskellige akseinddelinger, fokus på at stille og besvare spørgsmål ud fra diagrammerne samt elevernes egne undersøgelser.

Et pinde- eller søjlediagram anvendes fx til at illustrere fordelingen af hyppigheder. Pindenes/ søjlernes højder illustrerer forholdet mellem observationerne.

Et datasæt, der består af tal, kaldes ordnet, når observationerne er ordnet efter størrelse, fx med den største værdi først.

Kombinatorik

Kombinatorik er betegnelsen for det område af matematik, der handler om, hvor mange forskellige måder et sæt elementer kan udvælges eller sammensættes på. Eleverne skal arbejde med begge situationer, både med og uden tilbagelægning.

Når samme element må bruges ere gange i hver enkelt kombination, er situationen med tilbagelægning.

Når elementerne kun må indgå en gang i en kombinationsmulighed, er situationen uden tilbagelægning.

Eleverne skal fx undersøge antallet af forskellige kombinationer, hvorpå man kan placere sig på to stole (uden tilbagelægning). Eleverne skal også undersøge, hvor mange forskellige vogntog, der kan kombineres ved et givent antal farver, når farven må bruges en eller ere gange i hver kombination (med tilbagelægning).

Chance

Eleverne har i 1. klasse arbejdet med chancebegrebet og foretaget eksperimenter, hvori tilfældighed indgår, som fx kast med terninger. I 1. klasse har eleverne også gættet og vurderet chancen intuitivt ud fra følgende 3 udsagn: lige chance, lille chance eller stor chance.

Et cirkeldiagram er en anden måde at illustrere forholdet mellem observationer. Cirkeludsnittenes størrelser illustrerer forholdet mellem observationernes hyppighed.

I dette kapitel præsenteres eleverne både for teoretiske og statistiske sandsynligheder.

Ordene chance og risiko er hverdagsord, når det gælder begrebet sandsynlighed. Chance bruges om noget positivt, og risiko bruges om noget negativt.

1. Når sandsynligheden for hvert udfald i et udfaldsrum er fastlagt ud fra en fysisk betragtning, er der tale om en teoretisk eller en kombinatorisk sandsynlighed.

Eksempel

Sandsynligheden for at få en sekser ved kast med en terning er 1/6 (1 ud af 6), da de 6 mulige udfald antages at være lige sandsynlige.

2. Når sandsynligheden for et udfald i et udfaldsrum er bestemt ud fra en statistik, der er baseret på begivenheder, kaldes sandsynligheden en statistisk sandsynlighed.

Eksempel

Der er kastet 100 gange med en terning. 19 gange landede terningen på en sekser. På baggrund af forsøgene tillægges dette udfald derfor sandsynligheden 0,19 = 19 %

Introhistorie

Læs introhistorien for eleverne, mens de ser på side 1 i elevbogen. Tekster på grå baggrund er enten spørgsmål og opgaver til eleverne eller gode råd til læreren. Husk at have tavlepen eller kridt klar. Nogle elever vil muligvis få brug for tællemateriale under historielæsningen.

”Og hvad har du så lavet i sommerferien, Sille?” spurgte Kirsten.

”Jeg har været på ferie i.…” Line kiggede rundt i klassen. Hun havde ikke lyttet til alt, hvad de andre havde fortalt om deres ferier. Mange af klassekammeraterne havde været i udlandet. De så alle sammen solbrune og glade ud. Deres klasselærer Kirsten så stadig bleg ud. ”Måske er hun altid på skolen, måske holder hun slet ikke sommerferie,” tænkte Line.

”Line..., hvor er du henne?” hørte hun pludselig Kirsten sige.

”Øh, i Danmark.” Line vendte hovedet mod Kirsten igen. De andre skraldgrinede.

Eleverne skal i kapitlet arbejde med statistisk sandsynlighed ved at komme med gæt på fordelinger af cifre og farver efter eksperimenter med stikprøveudtagninger. Desuden skal de vurdere, om chancen er lige stor eller ej ud fra farvefordelinger af lykkehjul. Og endelig skal de efterprøve dette i form af simuleringsforsøg.

”Ja, det er vi jo alle sammen,” Kirsten smilede og fortsatte, ”jeg tror, at du er i drømmeland, ikke sandt?” Line blev ov, men k hurtigt hjælp af Mads.

”Vi skal nok hente mælk i dag, Kirsten.” Han blinkede til Line: ”Kom Line.” De spurtede over til mælkeboden. ”Så kan vi hilse på Albert,” sagde Mads i farten.

”Ja, jeg har savnet ham,” sagde Line. De nåede døren til mælkeboden samtidig, tog fat i håndtaget og lagde hele deres vægt bag for at presse døren op. Den gik normalt let op, selvom det var en branddør, men ikke i dag.

”Underligt,” Mads pressede endnu hårdere. Døren åbnede sig ganske lidt, lige netop nok til at de to børn kunne presse sig igennem. Hvad var der dog sket? Fyldte mælkekartoner til en hel skole lå hulter til bulter over hele gulvet. Hvorfor havde Albert ikke lagt mælken i køleskabet? Det var trods alt hans job som pedel. Børnene k en underlig fornemmelse i maven og spurtede videre hen til Alberts kontor, imens de kaldte på ham. Døren til kontoret stod på klem. Også denne dør var svær at få op. Denne gang var det ikke mælk, der lå i vejen. Det var bjerge af postkort - så mange, at man skulle tro, at Albert var julemanden. Sådan var det næsten også. Alle børn på skolen elskede ham og kom rendende på hans kontor i tide og utide. Albert var blevet populær, da han sidste skoleår forsvandt i en tidsmaskine og kun kom tilbage, fordi Mads og Line hjalp ham. ”Sommerferie-postkort!” Mads lød undrende. De lå overalt, men Albert havde vist ikke læst dem. Børnene pressede sig længere ind i lokalet.

”Åh, nej,” udbrød Line. ”Se! Maskinen er her endnu. Han lovede ellers at køre den på genbrugsstationen.” Børnene kiggede på hinanden. ”Tror du det samme, som jeg tror?” Line kiggede på Mads.

”Jeps,” svarede han. ”Han har ikke kunnet lade tidsmaskinen være. Hvordan var det nu lige...?” Mads tændte for maskinen og ganske rigtigt - Albert tonede frem på skærmen. Han så helt rundtosset ud, med et stort grin, håret oprejst og vanddråber yvende omkring sig.

”Hej børn, jeg tænkte nok, at I kom på et eller andet tidspunkt”, råbte han. ”UHHH, det kilder i maven,” hvinede han, ”men rutsjebane-turen er slut om lidt.”

”Hvad har du gjort Albert?” udbrød Line.

”Tja, alle skulle på ferie – bare ikke jeg. Så jeg tænkte, at maskinen kunne hjælpe mig med at komme en tur i Tivoli, og der har jeg så været lige siden. Men der er bare et lillebitte problem.” Albert smilede ovt.

”Hvad er det?” spurgte børnene.

”Ferien er jo slut, og I bliver nødt til at hjælpe mig med at komme hjem igen.”

”Jubiiii, det bliver sjovt,” udbrød børnene.

”Godt, kan I huske hvordan?” Albert så lettet ud.

”Ja, det er noget med nogle tal og nogle koder, vi skal nde. Vi er klar, Albert. Send os af sted.” Børnene stillede sig tættere på tidsmaskinen.

”Tryk på knappen med den blå ramme med venstre hånd og rør samtidig skærmen med højre. Når I har sagt tabellen, så kan I komme af sted.” Albert kiggede afventende.

”Tabellen..., hvilken tabel?” Mads og Line så forundrede ud.

”Kan I ikke huske, at I blev sendt af sted, da I trykkede på knappen og sagde en remse af tal?” Albert fortsatte: ”Der er bare det lille problem, at jeg ikke kan huske hvilken tabel.”

”Jamen, vi har kun lært 2-tabellen - den der med de lige tal,” udbrød børnene.

”Så må vi se, om den virker.”

”Er I også klar til at trykke på knappen med venstre hånd og røre skærmen med højre og sige tallene i 2-tabellen?”

Klassen remser i fællesskab 2-tabellen op og tabellen skrives på tavlen. Der peges på tallene på tavlen, imens de siges højt. ”0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Slå nu op på side 2.”

”Wow...,” udbrød Mads og kiggede efter Line, der susede forbi. ”Vi er jo i et rigtigt Tivoli. Så var det derfor, at Albert så helt fortumlet ud.”

Line, svarede ikke, men kom susende i høj fart forbi. Hendes øjne var så store som tekopper, og de stod næsten ud af ansigtet på hende. Hun råbte i forbifarten: ”Hvorfor tager du ikke en rutsjebanetuuuuuurrrr?” og så var hun på vej ned ad bakken igen.

”Jeg tror mere, jeg er til vikingeskibene,” sagde Mads, da Lines tur var forbi. ”Se selv, hvor mange mennesker der er i dem, mon ikke det er den mest populære forlystelse?”

”Det er lidt vanskeligt at sige, men man kan undersøge det ved at indsamle data,” sagde Albert.

”Data, fedt! Jeg er vild med computere.” Mads smilede glad.

”Tja, data har da noget med computere at gøre, men det betyder faktisk bare oplysninger,” forklarede Albert. ”Så at indsamle data er altså at indsamle oplysninger.” Bagefter ordner man dem i en tabel eller et diagram, så det er nemt at overskue.”

”Det må vi prøve en dag,” børnene kiggede på hinanden.

”Det er jeg sikker på, at I nok skal få lært i matematik,” sagde Albert. ”Jeg er nok mere til de forlystelser, hvor der er en chance for at vinde noget,” fortsatte han.

”Nårh..., du mener lykkehjul og tombola og sådan noget?” sagde Line.

”Ja, men min favorit er galopbanen. Der tror jeg, chancen for gevinst er størst. Sidste gang vandt jeg en æske chokolade.”

”Ja..., men hvor meget spillede du for?” sagde Mads.

”Jo,” begyndte Albert, ”jeg spillede 10 gange, inden jeg k gevinst, og hvert spil kostede 15 kroner.”

Mads rynkede brynene mens han regnede, ”... 150 kroner for en æske chokolade.” Han kiggede på Albert. ”Jeg håber, det var en rigtig stor æske, ellers er det da lidt dyrt. Måske skulle du have prøvet lykkehjulet i stedet, måske chancen er større der?”

”Sjovt, du nævner det, for dagens opgave handler netop om lykkehjulet. I skal nde ud af, hvilken farve der er størst chance for at vinde på i lykkehjulet. Jeg nåede jo ikke længere end til rutsjebanen,” sukkede Albert og tog sig til hovedet.

”Jeg tror, det er den blå farve, for det er min yndlingsfarve,” sagde Mads.

Line smilede. ”Det har overhovedet ikke noget med sagen at gøre. Det har noget at gøre med, hvor meget farven fylder på skiven. Kom! Vi løber over til lykkehjulet og nder ud af det.”

”Skal vi ikke hjælpe børnene med at nde ud af, hvilken farve der er størst chance for at vinde på?”

”Vi har fundet løsningen, Albert,” råbte børnene stolte, da de kom tilbage. ”Det er den lyserøde farve. Det er den, der er størst chance for at vinde på eller mindst chance for at tabe på.”

”Ja, for alle felter er lige store, men der er est lyserøde felter, nemlig re,” tilføjede Mads.

”Så sæt dine penge på lyserød i dette Tivoli.” Line grinede.

”Tusind tak, men jeg er ikke sikker på, at jeg skal i Tivoli igen førend om meget længe.” Albert tog sig til hovedet og så lidt rundtosset ud.

”Kom Mads, lad os komme hjem igen.” Line kiggede efter Mads.

”Jeg skal bare lige prøve en tur i vikingeskibene,” svarede han.

”Jeg troede ikke, du gad vente i køen,” råbte Line, men Mads var allerede smuttet.

”Det er koden i kapitel 1.”

”Gå tilbage til side 1 i elevbogen, og skriv 7 i den lyseblå ramme for antallet af bogstaver i farven, der har den største sandsynlighed.”

Uddybende spørgsmål til introtegningen

Hvilke forlystelser kan du se på tegningen, og hvilke af disse forlystelser har du prøvet?

Svar: Ballongynger, tombola, vikingeskibe, rutsjebane, lykkehjul, galopbane.

Hvad er en tombola, og hvad er der i den grønne tromle?

Svar: Fx – I en tombola kan man købe lodder, og hvis man er heldig, kan man vinde en bamse eller en anden gevinst. I tromlen er der små ruller papir, hvor det fremgår, om man har vundet eller ej – altså gevinstlodder eller nitter.

Er chancen mon stor for at vinde i tombolaen?

Svar: Nej, der er som regel mange nitter og få gevinstlodder, men det kommer naturligvis an på fordelingen af gevinstlodder og nitter i tromlen.

Hvad går lykkehjulet ud på?

Svar: Man betaler for at satse på et felt eller en farve. Hjulet drejes, og man vinder, hvis pilen peger på det felt eller den farve, man satsede på.

Er der lige stor chance for alle felter ved lykkehjulet?

Svar: Ja, felterne er lige store.

Er der lige stor chance for alle farver ved lykkehjulet?

Svar: Nej, der er ikke lige mange felter med hver farve.

Hvilken farve er der mindst chance for at vinde på?

Svar: Blå (1 ud af 12).

Hvad går hestevæddeløbet ”Galop” ud på?

Svarmulighed: Hver deltager satser på en hest og triller bolde i huller med numre svarende til hestens nummer. Rammer man et hul, yttes hesten med dette nummer et skridt frem.

Er der lige stor chance for alle ved Galopbanen?

Svar: Nej chancen er større, jo dygtigere man er med en bold.

På hvor mange måder kan to mennesker sidde i en vogn i rutsjebanen?

Svar: 2

Hvor mange forskellige pladser kan et menneske sætte sig på i rutsjebanetoget?

Svar: 6

Opgave 1

Eleverne skal tælle antallet af besøgende i de forskellige forlystelser. De skal udføre et stregregnskab under optællingen. De skal markere fem streger ad gangen som vist og derefter notere det samlede antal i nederste række. De elever, der har svært ved at overskue opgaven, bør opfordres til at lægge centicuber på de mennesker, der skal tælles, på introtegningen. Alternativt kan de sætte et mærke på dem, efterhånden som de tælles, så de samme mennesker hverken tælles ere gange eller glemmes.

Jeg skal kunne ordne data tabeller og diagrammer. Jeg skal kunne stille spørgsmål og svare. Jeg skal kunne finde og tælle kombinationer.

Jeg skal kunne vurdere chance. Chancen