junior balkan math olympiad 2003

កំែណវ���� សិស��ពូែកគណិតវ�ទ��វ័យេក�ង ឧបទ�ីប�ល់កង់ េដាយ ឹ ល ម សុវណ�វ�ិច ្

វ���សឆំា � ២០០៣ 1.

2.

ិ ម តង𝑛𝑛 ជចំនន ួ គត់វជ � ាន។ ចំនួន𝐴𝐴 មួ យមា 2𝑛𝑛 ខ�ង់ ែដលខ�ង់ និមួយៗជេលខ 4 និង ចំនន ួ 𝐵𝐵

មួ យមាន𝑛𝑛 ខ�ង់ ែដលខ�ង់ និមួយៗជេលខ 8 ។ ចូរបង�ថា𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵 + 4 ជចំនន ួ កេរ

ិ ក�ង សន�តថា មចំណុចចំនន ួ 𝑛𝑛 ឋត � ប� ង់ មួ យ ែដលគា�ចំនច ុ បីណរត់ ្រតង គា េហ យមាលក�ណៈ

េបើេគដាក់បាចំណុចទាំេនាេដាយA1 , A2 , … , An តារេបៀបណក៏ បាន េនអង�ត់កាចចុះ

កាចេឡើង A1 A2 . . . An មិន្របសពខ�នឯងេទ។ ចូរកំណត់ តៃម� ធប ំ ំផុ តរបស់ 𝑛𝑛 ។

3.

� , 𝐶𝐶𝐶𝐶 � , 𝐴𝐴𝐴𝐴 � របស់ រង�ង់ ច រឹេ្រ្រតីេក 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ែដលគា� តង𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹 ជចំណុចកណ ា �ៃនធ�� 𝐵𝐵𝐵𝐵

ចំណុច 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 េរៀងគា�។ សន�តថា បនា� 𝐷𝐷𝐷𝐷 កត 𝐵𝐵𝐵𝐵 និង 𝐶𝐶𝐶𝐶 ្រតង 𝐺𝐺 និង 𝐻𝐻 និង តង𝑀𝑀

ជចំណុចកណ ា �ៃនអង� ត់ 𝐺𝐺𝐺𝐺 ។ សន�តថា𝐹𝐹𝐹𝐹 កត់𝐵𝐵𝐵𝐵 និង 𝐴𝐴𝐴𝐴 ្រតង 𝐾𝐾 និង 𝐽𝐽 េហ យតង𝑁𝑁

ជចំណុចកណ ា �ល អង�ត់𝐾𝐾𝐾𝐾 ។

a) ចូរកំណត់មុំៃន្រតីេក𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ។

ិ របស់ រង�ង់ ច រឹេ្រ b) ចូរបង�ថា េប𝑃𝑃 ជចំណុច្របសពៃនបនា�ត់𝐴𝐴𝐴𝐴 និង 𝐸𝐸𝐸𝐸 េនាផ� ត ិ េល រង�ង់ ច រឹេ្រ្រតីេក𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ។ ្រតីេក𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ឋត

4.

េគឱ្ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 > −1 ។ ចូរបង�ថ

1 + 𝑦𝑦 2 1 + 𝑧𝑧 2 1 + 𝑥𝑥 2 + + ≥2 1 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 2 1 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 2 1 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2



វ���សឆា� ២០០៣

-28-

http://www.dahlina.com/

ដ�េណា្រស 1. តង𝐴𝐴 = 44 ��� … 4 ; 𝐵𝐵 = 88 ��� … 8 ។ ដូេច�ះ 2𝑛𝑛

𝑛𝑛

102𝑛𝑛 − 1 9 10𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛−2 𝐵𝐵 = 8(10 + 10 + ⋯ + 1) = 8 9 102𝑛𝑛 − 1 10𝑛𝑛 − 1 ⟹ 𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵 + 4 = 4 + 16 +4 9 9 4 = (102𝑛𝑛 − 1 + 4.10𝑛𝑛 − 4 + 9) 9 4 = (102𝑛𝑛 + 4.10𝑛𝑛 + 4) 9 2 2 = � (10𝑛𝑛 + 2)� 3 2 េដយ𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵 + 4 ជចំ នន ួ គត់ េនាះ (10𝑛𝑛 + 2) ជចំ នន ួ គត់ ⟹ 𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵 + 4 ជចំ នន ួ កេរ។ 𝐴𝐴 = 4(102𝑛𝑛−1 + 102𝑛𝑛−2 + ⋯ + 1) = 4.

3

2. ក��ងចំ េណាចំ ណុច 5 េនក��ងប�ង់មួយ ែដលគា�ចំ ណុច 3 ណរត់ ្រតង គា� េអរកបាចំ ណុច4

ែដលបេង�ត  បាចតេុ កេបា៉ជានិច។ េ្រព

េយ ងព ិនិត្ចំ ណុច 5 េនក��ងប�ង់មួយ។ ដំ បង ូ េយ ងព ិនិត្ចំ ណុចបីក�ងចំ េណាចំ ណុចទំ្របេនះ ួ និងទី្រប សិ ន។ េយ ងគូសបនា�តភា�ប ចំ ណុចទំបី 𝐴𝐴; 𝐵𝐵; 𝐶𝐶 ជ្រតេកណមួយ។ តងចំណុទីបន

េដយ𝐷𝐷; 𝐸𝐸 ។ េបមាមួយក��ងចំ េណាម𝐷𝐷 ឬ 𝐸𝐸 ឋិ តេនេ្រ្រតីេក, ឧបមាថ𝐷𝐷 េនាេយ ងអ

បេង�ត  បាចតុេកេបា៉ង𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ។ ដូេច�ះេយ ងព ិនិត្ករណី វឋិ តេនក��ង្រតីេកទំព ីរ។

𝐴𝐴

𝐵𝐵

វ���សឆា� ២០០៣

𝐴𝐴 𝐸𝐸 𝐷𝐷

𝐶𝐶

𝐵𝐵

𝐸𝐸

𝐷𝐷

𝐶𝐶

រូ បទី 1 : ចំណុច្របក��ងប�ង� -29-

http://www.dahlina.com/

េយ ងសង់ ្រតីេក𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷; 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷; 𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ។ េដគា�ចំ ណុចបីរត់ ្រតង គាេនាះ𝐸𝐸 ្រតូឋិ តេនខក��ង ្រតីេកមួយក��ងចំ េណាេនះ។ េយ ងសន�តថា ឋិ តេនក��ង្រតីេក𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 ។ េយ ងគូសបនា�ត់

(𝐵𝐵𝐵𝐵) ។ េដគា�ចំ ណុចបីរត់ ្រតង គាេនាះ𝐸𝐸 មិន្រតូឋិ តេនេលបនា�ត់(𝐵𝐵𝐵𝐵) េទ។ សន�តថវឋិ ត េនខមា�ដូចរូប។ ក��ងករណីេនះ េយ ងសង់ បាចតុេកណេបង 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷 ។ ដូេច�ះសំ េណព ិត។

បនា�ប មកេទៀតចំ េព្រគប់ចតុេកេបា៉ទំងអស់ េយអគូសអង�ត់ភា�ប កំព ូលរបស់ វ ែដ កតគាជានិច�។ អង�តេនាជអង�ត់្រទូរបស់ ចតុេកណ

𝐴𝐴3

𝐴𝐴2

𝐴𝐴1

𝐴𝐴4

រូ បទី 2 : ករណីអង�ត់ 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 កាតខ�នវ ដូេច�ះចំ នន ួ ចំ ណុចមិនអេលសព ីបួនបាេទ។ ក��ងករណីចំ ណុចបួន េបចំណុចទំេនាបេង�ត  បាជ ចតុេកេបា៉េនាវក៏មិនអែដរ។ ករណីចំ ណុចទំងបួបេង�ត  បាជចតេុ កផត ដូចជ ករណីចំ ណុចទីបួនដកេនចំ ផត �ិ ្រតីេកសម័ង្មួយ េនាេទជេយ ងេដអក្សរ𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 ត លំ ដប ណក៏វមិនកតគាែដរ។

𝐴𝐴3 𝐴𝐴1

𝐴𝐴2

𝐴𝐴4

រូ បទី 3 : ករណីអង�ត់ 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 មិនកាតខ�នវ ដូេច�ះ 𝑛𝑛 ធំ បំផត ុ េស� 4 ។ វ���សឆា� ២០០៣

-30-

http://www.dahlina.com/

3. a) េយ ងនងឹ បង�ថា(𝐽𝐽𝐽𝐽) ∥ (𝐵𝐵𝐵𝐵) េដបងញថា

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 តង𝑂𝑂 ជផ�ត ិ រងង � ់ ។ (𝑂𝑂𝑂𝑂) កត់(𝐴𝐴𝐴𝐴) ្រតង ចំ ណុច 𝐸𝐸 ′ កណ ា �ល[𝐴𝐴𝐴𝐴] េហ យ 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ។ េយ ង មាន𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐸𝐸 ′ + 𝐸𝐸′𝐻𝐻 ។ េយ ងមាន

∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝐵𝐵 = 2∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸 ′ = 2∠𝐸𝐸 ′ 𝑂𝑂𝑂𝑂 ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝐴𝐴 = 2∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ⟹ ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐸𝐸 ′ = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝜋𝜋 − (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) 𝐶𝐶 = ⟹ ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 2 តរេបៀបដូចគាេយ ងទបា 𝐵𝐵 ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 តង𝑅𝑅 ជករងង � ់ ។ េយ ងមា

𝐴𝐴𝐸𝐸 ′ = 𝑅𝑅 sin ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸 ′ = 𝑅𝑅 sin 𝐵𝐵 ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑅𝑅 sin 𝐵𝐵 𝑂𝑂𝐸𝐸 ′ = 𝑅𝑅 cos ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸 ′ = 𝑅𝑅 cos 𝐵𝐵

𝐵𝐵 ⟹ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ′ = 𝑂𝑂𝑂𝑂 − 𝑂𝑂𝐸𝐸 ′ = 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅 cos 𝐵𝐵 = 2𝑅𝑅 sin2 2 𝐶𝐶 𝐵𝐵 ′ ′ 2 ⟹ 𝐸𝐸 𝐻𝐻 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 tan ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2𝑅𝑅 sin tan 2 2 𝐶𝐶 𝐵𝐵 ′ ′ 2 ⟹ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐸𝐸 + 𝐸𝐸 𝐻𝐻 = 𝑅𝑅 sin 𝐵𝐵 + 2𝑅𝑅 sin tan 2 2 𝐶𝐶 2 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑅𝑅 sin 𝐵𝐵 + 2𝑅𝑅 sin 2 tan 2 = ⟹ 2𝑅𝑅 sin 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐵𝐵 2 sin 2 cos + 2 sin2 tan 2 2 2 = 𝐵𝐵 𝐵𝐵 4 sin 2 cos 2 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 cos 2 cos + sin sin 2 2 2 = 𝐵𝐵 𝐶𝐶 cos 2 cos 2 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 cos 2 = 𝐵𝐵 𝐶𝐶 cos 2 cos 2

តរេបៀបដូចគា េយ ងទបា

វ���សឆា� ២០០៣

𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 cos 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 = 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos cos 𝐶𝐶 2 2 -31-

http://www.dahlina.com/

ដូេច�ះ

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴 𝐹𝐹

𝐵𝐵

𝐽𝐽

𝐼𝐼 𝑁𝑁

𝑃𝑃

𝐾𝐾

𝐸𝐸

𝐿𝐿 𝑂𝑂1 𝑂𝑂 F 𝑂𝑂2

𝐸𝐸′

𝐻𝐻

𝐺𝐺

𝑀𝑀

𝐶𝐶

𝐷𝐷

រូ បទី 4 : សំនរួ ទី 3 ដូេច�ះ (𝐽𝐽𝐽𝐽) ∥ (𝐾𝐾𝐾𝐾) ។ េដយ𝑀𝑀, 𝑁𝑁 ចំ ណុចកណ ា �ល[𝐺𝐺𝐺𝐺], [𝐽𝐽𝐽𝐽] េនាះ(𝑀𝑀𝑀𝑀) ∥ (𝐾𝐾𝐾𝐾) ។ េយ ងមា 𝐶𝐶 ∠𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 90° − ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 90° − 2 𝐵𝐵 ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∠𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 90° − ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 90° − 2 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 𝐴𝐴 ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 + ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = = 90° − 2 2 ដូេច�ះ 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝐷𝐷 = 90° − ; 𝑀𝑀 = 90° − ; 𝑁𝑁 = 90° − 2 2 2 b) តង𝐼𝐼, 𝐿𝐿 ជចំ ណុច្របសពៃន (𝐹𝐹𝐹𝐹) ជមួយនឹង [𝐴𝐴𝐴𝐴] និង [𝐴𝐴𝐴𝐴] ។ េយ ងនង ឹ បង�ថា𝑃𝑃 ជចំ ណុច កណ ា �ៃន [𝐼𝐼𝐼𝐼] េដបង�ថា្រតីេកΔ𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≡ Δ𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ។ េយ ងមាន∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 និង 𝐴𝐴𝐴𝐴 ជ្រជុរួម។ ដូេច�ះេយ ងបង�ថា∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 មួយេទៀតជកេ�សច។ េយ ងមា 𝜋𝜋 𝐴𝐴 𝜋𝜋 𝐵𝐵 𝜋𝜋 𝐶𝐶 ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = − ; ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = − ; ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 2 2 2 2 2 2 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝜋𝜋 − (∠𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 + ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸)

វ���សឆា� ២០០៣

-32-

http://www.dahlina.com/

ដូចគាេយ ងទបា

𝜋𝜋 𝐵𝐵 𝜋𝜋 𝐵𝐵 = 𝜋𝜋 − + − ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = + − ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 2 2 2 2 𝜋𝜋 𝐵𝐵 𝜋𝜋 𝐵𝐵 = + − ∠𝐶𝐶𝐻𝐻𝐻𝐻 = + − (𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 − ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶) 2 2 2 2 𝜋𝜋 𝐵𝐵 = − + + 𝐶𝐶 + ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 2 2 𝜋𝜋 𝐵𝐵 = − + + 𝐶𝐶 + ∠𝐷𝐷𝐺𝐺𝐺𝐺 2 2 𝜋𝜋 𝐵𝐵 𝜋𝜋 𝐶𝐶 = − + + 𝐶𝐶 + − 2 2 2 2 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 2 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

ដូេច�ះ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⟹ 𝑃𝑃 កណ ា ល [𝐼𝐼𝐿𝐿] ។

𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 2

េយ ងតសំ នួរ a) េយ ងទបាន(𝑁𝑁𝑁𝑁) ∥ (𝐴𝐴𝐴𝐴); (𝑀𝑀𝑃𝑃) ∥ (𝐴𝐴𝐶𝐶) ។ េយ ងទបា

∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐵𝐵; ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐶𝐶; ∠𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝐴𝐴 ផ�ត ិ រងង � ់ ច រឹេ្រ្រតីេកΔ𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 និង Δ𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 ឋិ តេនេលបនា�តែកងកត់តចំ ណុចកណ ា �

េហ យែកងនង ឹ 𝑀𝑀𝑁𝑁 ។ តង𝑂𝑂1 , 𝑂𝑂2 ជផ�ត ិ រង�ង់ច រឹេ្រ្រតីេក Δ𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 និង Δ𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁។ េយ ងមា

∠𝑁𝑁𝑂𝑂1 𝑀𝑀 = 2∠𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃 = 2𝐴𝐴 ⟹ ∠𝑁𝑁𝑂𝑂1 𝑂𝑂2 = 𝐴𝐴 𝜋𝜋 ⟹ ∠𝑂𝑂1 𝑁𝑁𝑁𝑁 = − 𝐴𝐴 2 ∠𝑁𝑁𝑂𝑂2 𝑀𝑀 = 2∠𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 2𝐷𝐷 ⟹ ∠𝑁𝑁𝑂𝑂2 𝑂𝑂1 = 𝐷𝐷 𝜋𝜋 ⟹ ∠𝑂𝑂2 𝑁𝑁𝑁𝑁 = − 𝐷𝐷 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 ⟹ ∠𝑂𝑂2 𝑁𝑁𝑂𝑂1 = − 𝐴𝐴 + − 𝐷𝐷 = 𝜋𝜋 − (𝐴𝐴 + 𝐷𝐷) 2 2 𝜋𝜋 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 − �𝐴𝐴 + − � 2 2 𝜋𝜋 𝐴𝐴 = − 2 2 ⟹ ∠𝑁𝑁𝑂𝑂2 𝑂𝑂1 = 𝜋𝜋 − ∠𝑂𝑂2 𝑁𝑁𝑂𝑂1 − ∠𝑁𝑁𝑂𝑂1 𝑂𝑂2 𝜋𝜋 𝐴𝐴 𝜋𝜋 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 − � − � − 𝐴𝐴 = − 2 2 2 2 ដូេច�ះ្រតីេក 𝑂𝑂1 𝑂𝑂2 𝑁𝑁 ជ្រតីេកសមបាត។ ដូេច�ះ𝑂𝑂1 𝑁𝑁 = 𝑂𝑂1 𝑂𝑂2 ដូេច�ះ 𝑂𝑂2 ឋិ តេនេលរងង � ់ ច រឹេ្រ្រតីេកΔ𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 ។

4. េយ ងមាន

វ���សឆា� ២០០៣

(1 − 𝑦𝑦)2 ≥ 0 -33-

⟹

1 + 𝑦𝑦 2 ≥ 𝑦𝑦 2

http://www.dahlina.com/

1 + 𝑦𝑦 2 + (1 + 𝑧𝑧 2 ) 2 1 + 𝑥𝑥 2 2(1 + 𝑥𝑥 2 ) 1 + 𝑥𝑥 2 ≥ = ⟹ 1 + 𝑦𝑦 2 + 2(1 + 𝑧𝑧 2 ) 1 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 2 1 + 𝑦𝑦 2 + (1 + 𝑧𝑧 2 ) 2 ដូចគាេយ ងទបា ⟹ 0 ≤ 1 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 2 ≤

1 + 𝑦𝑦 2 2(1 + 𝑦𝑦 2 ) ≥ 1 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 2 1 + 𝑧𝑧 2 + 2(1 + 𝑥𝑥 2 ) 1 + 𝑧𝑧 2 2(1 + 𝑧𝑧 2 ) ≥ 1 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 1 + 𝑥𝑥 2 + 2(1 + 𝑦𝑦 2 ) េយ ង្រគាែតបង�ថ

2(1 + 𝑥𝑥 2 ) 2(1 + 𝑦𝑦 2 ) 2(1 + 𝑧𝑧 2 ) + + ≥2 1 + 𝑦𝑦 2 + 2(1 + 𝑧𝑧 2 ) 1 + 𝑧𝑧 2 + 2(1 + 𝑥𝑥 2 ) 1 + 𝑥𝑥 2 + 2(1 + 𝑦𝑦 2 )

តង𝑎𝑎 = 1 + 𝑥𝑥 2 ; 𝑏𝑏 = 1 + 𝑦𝑦 2 ; 𝑐𝑐 = 1 + 𝑧𝑧 2 ។ ដូេច�ះ វ ិសមភាសមមូលនង ឹ 2𝑏𝑏 2𝑐𝑐 2𝑎𝑎 + + ≥2 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 + + ≥1 ⟺ 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 តវ ិសមភាកូសី ុ ស� 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 [(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎) + (𝑐𝑐𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎) + (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏)] � + + � ≥ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 (∗) 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 េហ យ េ្រព

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 ≥ 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐)

⟺ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 + 2(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐) ≥ 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐) ⟺ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 ≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 1 ⟺ [(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 + (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2 + (𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)2 ] ≥ 0 2 ព ិត។ ដូេច�ះ (*) នឱ ា ្ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 + + 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐) � � ≥ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 ≥ 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 ⟹ + + ≥1 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 អង�ទំព ីរេស� គាេពល 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 ។

 វ���សឆា� ២០០៣

-34-

http://www.dahlina.com/