Seltene Schönheit und Harmonie by Lubina

JAN

LUBINA

SELTENE UND

SCHÖNHEIT

H A R M O N I E.

SELTENE

SCHÖNHEIT

-2-

UND

H A R M O N I E.

89 83 71 59 53 47 41

95 91 85 77 65 55 49

29 23 17 11 5 3 2 1

35 25

100

94 88

70 82 76

46 58 52

SOLI

40 34

28 22

16 10

9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99

DEO

96 90 84 78 72 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12

7 13 19

31 37

8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98

HONOR

61 67

73 79

GLORIA

Zu Erinnerung an Katharina Lubina 18. 06. 2010. "Es wird Millionen von Jahren, bevor wir ein Verständnis haben werde, und selbst dann wird es nicht ein vollständiges Verständnis, da wir vor dem Unendlichen sind." P. Erdös (Interview mit P. Hoffman, Atlantic Monthly, Nov. 1987, S. 74) „Der Wissenschaftler beschäftigt sich nicht mit der Natur, weil sie nützlich ist; er beschäftigt sich mit ihr, weil es ihm Spaß macht, und es macht ihm Spaß, weil sie schön ist. Wäre die Natur nicht schön, wäre es nicht wert, sie zu kennen, und wenn es nicht wert wäre, die Natur zu kennen, wäre das Leben nicht lebenswert.“ Henri Poincaré. „Sed omnia in mensura, et numero, et pondere diposuisti.“ Sapientia 11,21. „Aber Du hast alles nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet.“

Buch der Weisheit 11, 21.

-3Die Welt und alles in ihre Befindliche trägt eine mathematische Struktur. Gott hat sie nach mathematischen Gesichtspunkten geschaffen. Der Mensch kann ihren Bauplan Kraft des ihm von Gott verliehenen Verstandes aufdecken. So ist Mathematik der Schlüssel zum Weltverständnis. Mit ihrer Entwicklung ging zugleich ein Wandel in der Zwecksetzung vor sich. Mathematik diente nicht mehr allein dem Streben, die Natur zu erkennen und zu verstehen, sonder sie sollte dazu dienen, die Natur zu beherrschen. Diese beiden Gesichtspunkte, die herausragende Stellung der Mathematik, die Kraft der ihr zu gebilligten Sicherheit und Unbestreitbarkeit anderen Disziplinen Wissenschaftlichkeit verliehen konnte, wie der Wandel dessen, was man unter ihr Verstand und was man mit ihr erreichen wollte, standen am Beginn meiner Versuch das Problem der Primzahlen zu lösen. Und so hat mein Abenteuer mit Primzahlen begonnen. Menschlicher Geist und menschliche Kultur haben ein formales Denksystem entwickelt, um Muster erkennen, klassifizieren und ausnutzen zu können. Wir nennen dieses System Mathematik und Mathematik ist die Wissenschaft der Muster. Der eigentliche Grund für die Existenz eines Mathematikers, ist der Wille zum Aufspüren von Mustern und Regelmäßigkeiten und zur Entdeckung und Erklärung der Naturgesetze sowie die Vorhersage dessen, was als Nächste kommt. Obwohl das Auffinden von Mustern und Strukturen in die Welt der Mathematik zu der Tätigkeiten eines Mathematikers gehört, besteht die eigentliche Aufgabe in einem Beweis, dass eine gewisse Struktur auch erhalten bleibt. Die einfachsten mathematischen Gegenstände sind Zahlen, und die einfachsten Muster der Natur sind numerisch, so auch zwischen den Zahlen Musterhafte Verhältnisse herrschen. Die Primzahlen werden als Bausteine der natürlichen Zahlen in jedem Lehrbuch der Zahlentheorie mehr oder weniger ausführlich behandelt, wobei man aber mit relativ wenigen Sätzen auskommt. Meine Arbeit „Seltene Schönheit und Harmonie“, stellt leichtverständliche Zahlentheorie vor, die auf Primzahlen 2 und 3 basiert. Sie gibt auch Antwort auf bis her unlesbare klassische Probleme z.B. Beweis über Fermatchen und Goldbachs Vermutung, Unregelmäßigkeiten in der Primzahlverteilung, Primzahlzwillinge, Riemannschen Vermutung und Primzahl Verteilung, usw. Die „Seltene Schönheit und Harmonie“ bringt die Probleme in eine Form, die erstens nur wenige Vorkenntnisse erfordert und zweitens die wesentlichen Ideen hervortreten lässt. Es werden in freier Wahl wichtige Gebiete der Mathematik ihren Grundgedanken nach in sorgfältig bearbeiteten, leicht zugänglichen und in Umfang mäßigen Überblicken dargeboten. Die Darstellungen wenden sich nicht allein an Fachmathematiker, sonder auch an solche, denen die Tätigkeit des Mathematisierens an sich eine Quelle reiner Freude bedeutet. Es sei betont, dass diese Arbeit nicht mehr sein will, als eine erste Einführung in das faszinierende Gebiet der Primzahlen, die die ganze Welt der Zahlen beherrschen. Manche Probleme harren her noch der Lösung. Mit einen verschmitzten Lächeln sagen sie uns: „Wenn ihr mich löst, werdet ihr nichts zu tun haben“. Nicht wissend, dass Mathematiker mehr Probleme erfinden, als selbst lösen können. Ich wünsche Ihnen, junger Student, Lehrer oder Mathematiker, Ingenieur, und Ihnen allen, die Sie Freude der Zahlen sind, dass Sie dazu verleitet werden, über die wunderbare „Seltene Schönheit und Harmonie“ samt ihrer tief verwurzelten Geheimnisse nachzudenken, und keine Langeweile haben. Ich lade Sie zu kleinen Exkursionen in die Welt der lebendigen Zahlen ein.

-4So wahr als aus der Eins die Zahlenreihe fließt: So wahr aus einem Keim des Baumes Krone sprießt. So wahr erkennest du, dass der ist einzig einer, Aus welchem alles ist, und gleich ihm ewig keiner. Rückert, Fridr.“Weisheit der Brahmanen“. Eins ist der Urgrund von allem. Philolaos (Pythagoreer, 5.Jh.v.Chr.) Die Zahlen alle gar sind aus dem Eins geflossen, Und das Geschöpf zumal aus Gott, dem Eins, entsprossen. Angelus Silesius (1624-1677)

DIE EINS - ZAHL DES URSPRUNGS UND DES URGRUNDS. Wie ein prägnantes Modell des „alles aus einem“ OMNIA EX UNO steht die Zahlenfolge 1, 2, 3, 4,... vor uns, in der die eine Zahl Eins jede andere Zahl erzeugt. Man gerät in ein melancholisches Grübeln über den Schneckengang des Geistes, wenn man sich vor Augen hält, dass erst im Jahre 1889 - 2400 Jahre nach Platon - der italienische Mathematiker Giuseppe Peano aus der längst bekannten Gebärkraft der Eins ein Axiomen System für die Zahlen 1,2,3,4, und so diesen „natürlichen Zahlen“ erstmals ein tragfähiges Fundament gegeben hat. Eins ist die erste Zahl der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4,... Die 1 ist tatsächlich der einzige Baustein, aus dem alles entstehen kann, der aber gleichzeitig nichts teilt, denn z. B. ist 6: 1 immer noch 6. Sie ist die einzige Zahl, die sich nicht verändert, weder wenn man sie durch sie dividiert, noch wenn man sie mit sich selbst multipliziert. Geometrisch dargestellt ist die 1 ein Punkt und damit ungreifbar. Punkte haben keine Länge, Breite und Höhe, keine Unter oder Oberseite, ja nicht einmal eine Farbe, sonder nur eine Position, und auch die ist sehr abstrakt, denn sie stellt sich nur durch den Schnittpunkt dreier Linien in einem räumlichen Koordinatensystem dar. Man kann nicht einmal sagen, Punkte wären rund, denn streng genommen haben sie überhaupt keine Ausdehnung. Fast ein Wunder also, dass dieser Zahl Größe zugeordnet wird, was früher mit grundsätzlichen Attributen zusammenfiel. Also, sie ist die Quelle graden und ungeraden Einheiten aus deren die ganze Zahlenreihe besteht, Prim und Komplexzahlen. Es gibt eine Einheit, die Vielheit hervorbringt, und einziges Axiom ist alles, was für die Grundlegung des Kunstvollen Gebäudes der Arithmetik nötig ist. „Es gibt eine Zahl 1 mit der Eigenschaft, dass für jede Zahl n gilt:“ n + 0=n n  1=n 1  p=p Erst mit der 2 ist eine Vergleichsgröße ins Leben getreten, an der man sich, andere und alles Erfassbare messen kann. Außerdem ist sie natürlich die Zahl der „Vereinigung“. Aus zwei mach eins. Man hat getrennt, um Neues entstehen und wachsen zu lassen.

-5-

„Trennen und wieder verbinden“ - das ist das Prinzip der 2 und aller graden Zahlen. Gerade Zahlen tragen das Prinzip des “Sich - Teilens“ und „Sich – Fortpflanzens“ in sich, weil Gerade sind Zahlen, die um eins größer ist als ihr ungerade Vorgänger. In der Mathematik ist 1 + 1 = 2. Das Prinzip „größer um eins“ wird also aufgehoben, denn wo die 1 mehr als einmal existiert, ist sie nicht mehr unikal, sondern universell. 2 1 Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, und durch sie das Prinzip „größer um eins“ 1 = 3 übertragen wird auf folgende natürliche Zahlen, garantierend Verbindbarkeit und Progression in der Reihe. GERADE, UNGERADE, FAST UND PRIMZAHLEN UND IHRE ZWILLINGE. 2 1 3 2 1 2 1 + 3 3 1 + 1 1 1 + 2 =

1= 2

1 2 +

1 3 +

6= p=a + b

+ (3 - 1)

2 1

5 1 5 1 + (5 ) 3 3

b= p - a p 1 p 1 (p  ) 3 3 p= a + (p-a)

p 1 3

Prim sind Zahlen, die als Vorgänger oder Nachfolger eine durch 3 teilbare Zahl haben. z.B. 2,3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 23, 24, /Ausnahme 3/ überwiegend Gerade. p  1  2n

17 + 1 = 18 = 19 – 1 weil 3(p  1)  2n 3(3-1) = 6 p = 2n  1 z.B. 1999 = 1998 + 1 5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89 101 107 113 131 137 149 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 126 132 138 150 7 13 19 37 43 61 67 73 79 97 103 109 127 139 151 Ungerade sind Zahlen, die teilbar durch drei sind und deshalb sich nach dem Muster n zersetzen: = b n = 3 b (2b + b) 9 = 2(3) + 3 15 = 2(5) + 5 3 21 =2(7) + 7 27 = 2(9) + 9 33 = 2(11) + 1 Alle Primzahlen zersetzen sich auf ihre Summanden nach dem Muster. p= a + (p - a)

-62 1 das Prinzip „größer um eins“ enthalten ist. 3 Sie sind verknüpft aus gradem Quotienten und Differenz zwischen Minuenden und Quotienten. Die Primzahlen sind Atome der Mathematik. Sie sind Bausteine der Zahlen, weil alle anderen Zahlen erzeugt werden können, indem man verschiedene Primzahlen multipliziert, aber auch ihre Summanden addieren.

wo in der Gleichung

a =

10 /11 \20 12

+ 21 = 31\ + 22 = 33\ + 15 = 35/ + 25 = 37/

3(p) = (2n – 1) ZAHLEN

3 · 11 = 33 DREIECK

„Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge“. Euklid, Die Elemente VII. Buch Definition 2. „Tria juncta in uno“ /Drei schließen sich in eins/ Das Prinzip „größer um eins“ einigt Einheiten in eine Zahl im Zahlen Dreieck. Alle Zahlen, die das Prinzip „größer um eins“ in sich tragen, kann man als Summe „Einser“ darstellen. z.B. 4=1+1+1+1 N   1 2 1 n = p‟ + p‟ n = (3) 3 1 + 1 = 2 = 1(2) 1 + 1 + 1 = 3 = 1(3) 1+1+1+1=4=2+2 1+1+1+1+1=5=2+3 1+1+1+1+1+1=6=2+2+2 1+1+1+1+1+1+1=7=2+2+3 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 = 8 = 2 + 2 + 2 + 2 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9=3+3+3 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =10= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =11= 2 + 2 + 2 + 2 + 3 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =12= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =13= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =14= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =15= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 15 + 1 =16= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 16 + 1 =17= 7(2) + 1(3) p = n(p) + p‟ 17 + 1 =18= 9(2) 18 + 1 =19= 8(2) + 1(3) 19 + 1 =20= 10(2) 24 + 1 =25=5(2) + 5(3) „p”= n(p) + n(p‟) 34 + 1 =35=10(2) + 5(3) + 1 =  Wenn Menge natürlichen Zahlen unendlich ist, dann gibt es unendlich Menge „Einser“, die sie ergeben und Primzahlen, die jeder Zahl bilden.

2k = p + p... 2k = (2)

-72 1 3

p 1 p'

N   

p 1  p'

N  

p 1  p'

Gibt es unendlich viele natürliche Zahlen, dann gibt es genauso viele Primzahlen, deren Produkt sie sind, sodass die Primzahlzwillinge ebenfalls so viel wie Primzahlen gibt. Das ist doch ganz natürlich! Und zugleich das Widernatürliche an den natürlichen Zahlen. Alle Primzahlen 3, bestehen aus Drei und grade Zahl nicht teilbar durch Drei. p = 3 + (p – 3) p – 3 = 2n p = n(2) + 3 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1. \ 3 / + \ 2/ +\2 / +\ 2 /+\ 2/ +\ 2 /+ \ 2/ +\2/ + \2/ + \2/ + \2/ 1

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 p = n(2) + 3

23 = 10(2) + 1(3) 29 = 13(2) + 1(3) 31 = 14(2) + 1(3) 47 = 22(2) + 1(3) 53 = 25(2) + 1(3) 59 = 28(2) + 1(3) 61 = 34(2) + 1(3) 83 = 40(2) + 1(3) 97 = 47(2) + 1(3) 101 = 49(2) + 1(3) 103 = 50(2) + 1(3) k+k=n

37 = 17(2) + 1(3) 41 = 19(2) + 1(3) 43 = 20(2) + 1(3) 67 = 32(2) + 1(3) 71 = 34(2) + 1(3) 73 = 35(2) + 1(3) 79 = 38(2) + 1(3) 89 = 43(2) + 1(3) 107 = 52(2) + 1(3) 109 = 53(2) + 1(3) 113 = 55(2) + 1(3)

1 + 1 = 2 + 1 = 3, 4 = 2 + 2, 5 = 2 + 3, 6 = 4 + 2, 7 = 4 + 3,

8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3,...

0 1

53 52 51 50 50 49 48 48 48 50 47 46 46 46 45 44 44 44 43 42 42 42 41 40 40 40 39 38 38 38 37 36 36 36 35 34 34 34 33 32 32 32 31 30 30 30 29 28 28 28 27 26 26 26 25 24 24 24 23 22 22 22 21 20 20 20 19 18 18 18 17 16 16 16 15 14 14 14 13 12 12 12 11 10 10 10 9 8 8 8 7 6 6 6 5 4 4 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

Unendliche Menge natürliche Zahlen besteht aus unendlicher Anzahl Zweier und Dreier, die „Einheiten“ alle Zahlen sind. 1 1  N = (2) + (3) = (1) 2 2

-8-

 N = (1) = 

BEWEIS:

2 1  3

2 1 3 Alle Zahlen stammen vom Eins, weil alle aus „Einer“ bestehen. Nur eine Vielheit kann sich einen, und Primzahlen sind die einzige, die die Eigenschaft besitzt, wenn sie sich durch nichts teilen lassen. Weil in jede Primzahl (größer als 3) ein Dreier steckt, man kann nicht alle durch zwei teilen. Überzahl wiederum Zweier, die Teilung durch Drei verhindert. So Primzahlen nicht teilbar sind durch alle Zahlen, außer sich selbst und darin besteht ihre Außergewöhnlichkeit!

„Einheiten” wiederum grade und ungerade Vielfache der „Einer“ sind./ 1(2), 1(3)/ 1 =

p  1  p  1  2 1 3  3 

p = [ 2(k) – 2] + 3

z.B.

179 =

179  1 179  1  2 1 3  3 

727 = [ 2(363) – 2] + 3 = (726 – 2) + 3

Was Unteilbarkeit angeht, Euler verkündete, er besitze einen algebraischen Beweis für die a  bn Existenz Gottes. Sein Form sieht so aus:  x , also existiert Gott. Wenn wir statt n algebraische Zeichen in die Gleichung erste drei Zahlen einsetzen, so für Mathematiker diese 2  13  1 sein. Philosoph kann reden, Gleichung kann Beweis auf Unteilbarkeit der Zahl 3 3 dass nur ein Vielheit kann sich einen. Theologe dagegen sagt: Vater und Sohn mit drei einiger Heiliger Geist ist unteilbare Dreifaltigkeit, also existiert ein Gott in drei Personen. Und alle haben Recht, weil Vielheit Form von Einheit ist. Wir sehen das am Beispiel der Primzahlen, die trotzdem gesetzt sind aus vielen Einheiten, existieren als unteilbare Einzeln zahlen. Am Anfang einen Bauplan für den Kosmos waren die Primzahlen, in derer spiegelt sich ein Abbild Gottes. Die Entschlüsselung der Primzahlencode ist Entschlüsselung geheime Formel Gottes und des Welträtsels. Im Glanz der schönsten Ordnung, die in der Zahlenwelt herrscht, erkennen wir uns und die anderen Wunder der Schöpfung.

-9-

2 + 1/3 =1 100% 1

1 1

1 80%

60% 4

40%

28 27

20% 2 2

0% 3

Wie ein Reißverschluss schließt das Prinzip „größer um eins“ die graden und ungeraden Zahlen in eine Reihenfolge.  2 1 1=    3  6 7  2 1  2 1 2 3 4 5 1=  1=     3   3   2 1  2 1  2 1  2 1 1=  1=   1=   1=     3   3   3   3   2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1 1=  1=  1=   1 =   1=   1=     3   3   3   3   3   3   2 1  2 1  2 1 0-----------1=   ------------- 1 =   --------------------- 1 =    3   3   3   2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1 1=  1=  1=    1=   1=   1=     3   3   3   3   3   3   2 1  2 1  2 1  2 1 1=  1=   1=   1=     3   3   3   3   2 1  2 1 1=  1=     3   3  Die Drei – wie alle ungeraden Zahlen eine Symmetriestiftende „Mitte“ hat. Die „ Mitte“ der Drei ist die Zwei, die der Fünf die Drei, die der Sieben die Fünf, usw. deshalb aus Zweier und Dreier bestehen alle natürliche Zahlen und die Drei ist Symmetriestiftende „Mitte“ alle ungeraden Zahlen. Alle natürlichen Zahlen sind Quotient der Dreier. Jede Vielheit ist eine Vielheit von Einheiten.

- 10  2 1  N =  1   3  Und aus diesen „Einheiten“ setzt sich der gesamte Kosmos zusammen, das mineralische, pflanzliche, tierische und menschliche Dasein. “Alles und jeder ist ein Abbild Gottes“, so lautet der religiöse Ansatz, und: „alles besteht aus kleinsten und nicht mehr teilbaren Teilchen“ - so der naturwissenschaftliche. Beide ringen zwar um Unterschiede in der Formulierung, der Sinn bleibt jedoch der gleiche: Es gibt eine Einheit, die der Vielheit hervorbringt. 0 0:1= 0 3 2 1 3  1 3 3 2 1 2 1 6 = 2  3 3 3 2 1 2 1 2 1 9 +   3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 12 + = 4   3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 15 + +    5 3 3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 18 + + = 6    3 3 3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 21 + + +     7 3 3 3 3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 24 + + + =     8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 27 + + + +      9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 30 + + + + =       10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Primzahlzwillinge. Nur Primzahlzwillinge bilden Paare, die den Abstand 2 haben. Sie können sich nicht um 1 unterscheiden, weil dann eine von ihnen gerade sein müsste, und keine Primzahl wäre. Ein Beispiel für ein solches Primzahlpaar ist 5-6-7, 11 -12- 13, 17-18-19, 29-30- 31, 41 -4243, 59-60- 61, aber nicht 131 -132- 133, 10 000 037 – 10 000 038 - 10 000 039, weil die 3, 4 und 6 Zahl kann man auf 2 Primfaktoren 133 = 7(19), 10 000 037 = 43(232 559), 10 000 039 = 7(1 428 577), zerlegen.

- 11 -

69 67 68 66 67 66 65 64 63 62 61 61 60 60 59 59

73 1 71 72 1 73 72100% 71 70

5 4 5

6 6

7 7

80%

9 10 11 11 12 12 13 13 14 15

60%

40%

16 17 17 18 18

20%

58 57 56

19 19

54 54 53 53 52 51 50 49 48 48 47 47 46

21 22 23 23 24 24 25 26 27 28 45

42 42

41 40 39 38 41

34 37 36 35

29 30 29 31 30 32 33 31

37 36

Wenn Summe zwei folgenden Primzahlen der Form n und n + 2 /71, 73/ durch 12 teilbar ist, dann sicher sind die Primzahlzwillinge. p+ (p+2) =

p  ( p  2) 12

144 204 216 / \ / \ / \ 71+73 101 + 103 107 + 109 Dividieren die Summe der Primzahlzwillinge durch 12, finden wir bei welche aufeinander folgende grade Zahl teilbar durch 3 befindet sich der Primzahlzwilling. 30137  30139  5023 weil 5023·6= 30138 / 3 12

Primzahlzwillinge platzieren sich vor und nach gerade Zahl teilbar durch 3, wenn Summe ihrer Einheitsziffern ist gleich 4, 10, oder 16. 11 + 12/3 + 13 1+ 3=4

17 + 18/3 + 19 7 + 9 = 16

29 + 30/3 + 31

2087 + 2088/3 + 2089

9 + 1 = 10

7 + 9 = 16

Während die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert /wegen wachsenden Abstand 1 (n)6/    , ist nämlich die Reihe der Kehrwerte sämtliche Primzahlzwillinge pprim p konvergent, /weil sie sich einander nähern bis Abstand 2/

1 1     < ∞ und ihr p  2  p  2 prim  p



genauer Wert ist sogar bekannt! Die Summe der Kehrwerte von Primen wächst mit subtektonischer Langsamkeit. Obwohl sie ebenso unendlich ist wie die Anzahl der Primen selbst, braucht man etwas über 300 000 addierte Glieder bis die Summe auch nur 3 erreicht, und wenn man bis zum millionsten Glied

- 12 weitermacht kommt man nur bis 3,068. Je höher man geht, desto mehr verlangsamt sich dies Wachstum zusätzlich. Die Summe der Primzahlzwillinge ist gleich der Summe ersten 3 Paar als dreieckige Vielfache der Zahl 12, und der nächsten verschiedenen Vielfachen abhängig davon, welche wiederum sind Paar in unendliche Zahlenmenge. p  ( p  2) n 12(1,3,6)  12(n)  N  12 p ( p  2) p, (p +2),

5, (5 + 2), 11, (11 + 2), 29, (29 + 2), 107, (107 + 2) 181 151 131 101 71 61 41 31 11 5 2

179 149 139

109 89 79 59

3 713 23 43 53 73 83103113

29 19

163 173

17 37 47 67 97 107 127 137 157 167

Die sechs Zahlen weite Nummern-Kolonne hilft auch bei der Darlegung der bisher noch unbewiesenen Theorie, dass die Menge von Primzahl Zwillingspaaren unendlich ist. Hier sind die Gründe dafür: In einer so organisierten Zahlengruppe liegen die aufeinander folgenden Vielfachen jeder Zahl über drei auf einer geraden Linie von Null bis zu dieser Zahl und darüber hinaus, und auf sich periodisch wiederholenden Parallelen zu dieser Faktor-Linie weiter „unten“ wenn die Zahlenkolonne „oben“ anfängt. Jede dieser so gebrochenen FaktorLinien fällt somit kaskadenartig in gleichmäßigen Streifen durch die Schichten der Zahlenkolonne herunter. Alle Faktor Linien von Primzahl-Vielfachen in der sechs-Zahlenweiten Kolonne in der 6 n Position kommen zusammen, und formen ein Zwillingspaar, wie in der Tabelle hier unter gezeigt ist. Diese Faktor-Linien alle aufzuzeichnen ist natürlich unmöglich, selbst mit Mikro-Drucken auf eine Papier-Rolle die um unser Weltall herum reichte. Da dies aber ein Gedanken-Versuch ist, spielt die Größe der Zahlen keine Rolle denn unsere Kolonne kann ja bis ins Unendliche viel tiefer unten weitergehen. Diese Methode entspricht dem Vorschlag des alt-griechischen Mathematikers Euklid, der auch alle Primzahlen bis zu einer angeblich „Größen“ miteinander multiplizierte. Er stellte sich diese ebenso unmögliche Operation vor um zu zeigen, dass das Ergebnis plus oder minus eins entweder jeweils eine Primzahl ist, oder zumindest das Produkt von zwei oder mehr Primzahlen, die alle größer sind als die vorher angenommene „Größe“. Auf diese Weise bewies er dass es immer wieder eine größere Primzahl geben muss, und dass deren Anzahl deshalb unendlich ist. Es gibt deshalb immer ein Paar von Primzahlzwillingen, das größer ist als jedes angeblich „Größe“ Paar, und ihre Reihe hat somit kein Ende.

- 13 -

4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94 100 106 112 118 124 130 136 142 148 154 160 166 172 178 184 190 196 202 208 214

5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101 107 113 119 125 131 137 143 149 155 161 167 173 179 185 191 197 203 209 215

0 6 12 18 24 30 36

1 7 13 19 25 31 37

42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216

43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 157 163 169 175 181 187 193 199 205 211 217

2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98 104 110 116 122 128 134 140 146 152 158 164 170 176 182 188 194 200 206 212 218

3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99 105 111 117 123 129 135 141 147 153 159 165 171 177 183 189 195 201 207 213 219

Wenn wir schauen auf die Verteilungskarte den ersten 4 Primzahlen dann sehen wir, dass sie enthaltet zwei Primzahlzwillinge (5 7), in 25 Primzahlen sind schon 14 Primzahlzwillinge (5 7, 11 13, 17 19, 29 31, 41 43, 59 61, 71 73) in 168 Primzahlen gibt es 68 Primzahlzwillinge und in 1229 Primzahlen sogar 408. Die Frage ist nicht ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, sonder wie sind die Primzahlzwillinge in der Primzahlen verteilt. Antwort darauf finden wir in Primzahlverteilung. Wie der asymptotisch abnehmender Anzahl der Primzahlen in verborgene geometrischer Folge 3(q) der Summe der Differenzen zwischen

- 14 Primzahlen und fast Primzahlen wächst, so auch wächst die Summe der Differenzen zwischen fast Primzahlen nd(pp„), Primzahlzwillingen d(p, p„) und Restprimzahlen [dr(p)]. nd(pp‟) + d(p, p‟) + dr(p) = 3(q) 9 + 12 + 9 = 3(10) 157 + 54 + 89 = 30(10) 2 + 12 = 14 + 54 = 68 + 340 = 408 2 + 9 = 11 + 89 = 100 + 721 = 821 2 + 2 = 4 14 + 11 = 25 68 + 100 = 168 408 + 821 = 1229 nd(pp') 0 9 157 1 939

3(q) dr(p) d(p, p') 3 2 2 30 9 12 300 89 54 3 000 721 340

p 4 25 168 1 229

n(p, p') 2 14 68 408

π10 = 4(p) = 2(p, p+2) π100 = 25(p) = 14(p, p+2) π1000 = 168(p) = 68(p, p+2) 2

2 2

29 31

41 37

59 61

101 107 113

71 67

131 137

97 103 109

127

3 149

167 173 179

191 197

181

193 199

211

251 257 263 269

281

3 151 157 163 4

227 233

239

4 223 229

241

5 293

311 317

307

521

523

587 593

349

383 389

401

419

431

397

409

421

433

461 467

479

491

503

487

499

557 563 569 541 547

571

577

617

641

647

599

601 607 613 619

631

677 683

701

10 653 659 661

673

691

743

761

643 719 709

773

11 727 733 739

751 757

769

787

12 797

809

821 827

839

857

811

823 829

881

877 883

863

853 859

887

911 907

14 941 947 953 14

359

331 337

457 463

8 509

347 353

313

443 449

7 439

139

271 277 283

6 367 373 379 7

929 919

937

971 977 983 967

991 997

1009

- 15 -

Jede ungerade Zahl beinhaltet drei fast Primzahlen, Primzahlen oder ungerade Zahlen. 3(„p“) \ 3(25) = 75 3( n ) = (2n – 1) 3(27) = 81 3( p ) / 3(29) = 87 Alle „fast Primzahlen“ sind Vorgänger oder Nachfolger eine ungerade Zahl, die teilbar durch drei ist und deshalb zersetzen sich nach dem Muster: " p"2 " p"2 " p"2 „p“ = 2( b= )  (" p" 2 )  2b  (" p"2b) 3 3 3 55  2 55  2 55 = 2( ) + (55 - 2 ) = 2(19) + (55 –38) = 38 + 17 3 3 Wenn vor oder nach einer ungeraden Zahl teilbar durch 3, eine kleinere oder größere um 2 ungerade Zahl tritt, dann ist das sicher eine „fast Primzahl“. „p” = n 3 2 z.B. 341 = 339 + 2 25 49 55 85 91 115 121 133 145 169 175 181 187 199 205 27 33 51 57 63 75 87 93 117 123 135 141 147 153 159 171 177 183 189 201 207 35

65 77

95 119 125

143

155 161

185

203 209

Wenn die Summe zwei folgenden „fast Primzahlen“ der Form n und n + 4 /91, 95/ zweimal größer als der ungerade Zahl ist, die dazwischen liegt, dann sicher sind das fast Primzahlzwillinge. 91 \ 115 \ 121 \ 93 x 2 = 186 117 x 2 = 234 123 x 2 = 246 95 / 119 / 125 / Näher können sie einander nicht sein – sie können sich nicht um 2 unterscheiden, weil dann eine von ihnen ungerade teilbar durch 3 sein müsste, und damit keine fast Primzahl wäre. Wenn sie den Abstand 2 haben, dann handelt es sich um Paare „folgenden fast Primzahlen“ z.B. 119, 121, 143, 145, 185, 187, Jede fast Primzahl Summe bestimmte Anzahl Zweier und Dreier ist. Dabei Verhältnis Zweier zu Dreier 1  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 5 ist, weil in 5 = 2 + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 1  1 ist. 25 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 25 = 5(2) + 5(3) 5(5) „p“ = n(2)  n(3) 55 = 11(2) + 11(3) 5(11) 65 = 13(2) + 13(3) 5(13) 85 = 17(2) + 17(3) 5(17) 95 = 19(2) + 19(3) 5(19) 115 = 23(2) + 23(3) 5(23) 125 = 25(2) + 25(3) 5(25) 145 = 29(2) + 29(3) 5(29) 155 = 31(2) + 31(3) 5(31) 175 = 35(2) + 35(3) 5(35) 185 = 37(2) + 37(3) 5(37) 205 = 41(2) + 41(3) 5(41) 625 = 125(2) + 125(3) 5(5)(25) 875 = 175(2) + 175(3) 5(7)(25) Verhältnis Zweier zu Dreier 2  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 7 ist, weil in 7 = 2(2)+3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 2  1 ist. 35 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 35 = 10(2) + 5(3) 7(5) „p“ = 2n(2)  n(3) 49 = 14(2) + 7(3) 7(7) 77 = 22(2) + 11(3) 7(11) 91 = 26(2) + 13(3) 7(13) 119 = 34(2) + 17(3) 7(17) 133 = 38(2) + 19(3) 7(19) 161 = 46(2) + 23(3) 7(23) 203 = 58(2) + 29(3) 7(29) 2401 = 686(2) + 343(3) 7(7)(49) 2695 = 770(2) + 385(3) 7(7)(55) Verhältnis Zweier zu Dreier 4  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 11 ist,

- 16 weil in 11 = 4(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 4  1 ist. 121 = 44(2) + 11(3) 11(11) „p“ = 4n(2)  n(3) 143 = 52(2) + 13(3) 11(13) 275 = 100(2) + 25(3) 11(25) 385 =140(2) + 35(3) 11(35) Verhältnis Zweier zu Dreier 5  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 13 ist, weil in 13 = 5(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 5  1 ist. 169 = 65(2) + 13(3) 13(13) „p“ = 5n(2)  n(3) 221 = 85(2) + 17(3) 13(17) 637 = 245(2) + 49(3) 13(49) 715 = 275(2) + 55(3) 13(55) Verhältnis Zweier zu Dreier 7  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 17 ist, weil in 17 = 7(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 7  1 ist. 289 = 119(2) + 17(3) 17(17) „p“ = 7n(2)  n(3) 323 = 133(2) + 19(3) 17(19) 1105 = 455(2) + 65(3) 17(65) 1309 = 539(2) + 77(3) 17(77) Verhältnis Zweier zu Dreier 8  1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 19 ist, weil in 19 = 8(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 8  1 ist. 361 = 152(2) + 19(3) 19(19) „p“ = 8n(2)  n(3) 437 = 184(2) + 23(3) 19(23) Verhältnis Zweier zu Dreier 13 1 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 29 ist, weil in 29 = 13(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 131 ist. 841 = 377(2) + 29(3) 29(29) „p” = 13n(2) + n(3) 899 = 403(2) + 31(3) 29(31) 841 = 754 + 87 899 = 806 + 93 Verhältnis Zweier zu Dreier 141 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 31 ist, weil in 31 = 14(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 141 ist. 961 = 434(2) + 31(3) 31(31) „p” = 14n(2) + n(3) 1147 = 518(2) + 37(3) 31(37) 961 = 868 + 93 1147 = 1036 + 111 Verhältnis Zweier zu Dreier 171 ist, wenn der fast Primzahl ein Produkt von Primzahl 37 ist, weil in 37 = 17(2) + 3 der Verhältnis Zweier zu Dreier auch 171 ist. 1369 = 629(2) + 37(3) 37(37) „p”= 17n(2) + n(3) 25271 = 11611(2) + 683(3) 37(683) 1369 = 1258 + 111 25271 = 23222 + 2049 Warum gegebene Zahl ist prim? Weil kann man sie nicht als Produkt von zwei kleinere Zahlen schreiben. Das heißt, dass Primzahl hat nicht zwei Primfaktoren a x b, wo a, b > 1. Soll q und r Quotient und Rest von Dividieren n durch d sein. Das heißt, für jeder n und d, soll n = d q + r sein, wo r und q die ganze Zahlen sind und 0 ≤ r < d. Also p = n(2) + 3 Weil in jede Primzahl ein Dreier steckt, man kann nicht alle durch zwei teilen. Überzahl wiederum Zweier, die Teilung durch Drei verhindert. So Primzahlen nicht teilbar sind durch alle Zahlen, außer sich selbst und darin besteht ihre Außergewöhnlichkeit! NATÜRLICHE ZAHLEN IN ZWEIER UND DREIER SYSTEM SATZ: Wenn n ≥2 und n‟≠ 0 ganze, teilerfremde Zahlen sind, dann enthält die arithmetische Folge alle natürliche Zahlen. 2, 3, n(2), 2 + 3, n(3), 3 + n(2), n(2), n(3), n(2), ... n(2) + n(3) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .... 10 + 15 = 25 P(n) = p, p‟, n(p), p + p‟, n(p‟), p‟+ n(p), .... n(p) + n(p‟),

N(2)

+ n(3) = 2

N 2

- 17 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2(2) 2

3 2(3)

2(2) 4(2)

3 3(3)

5(2) 4(2)

3 4(3)

5(2) 7(2)

3 5(3)

8(2) 7(2)

3 6(3)

Und so aus zwei Primzahlen (2 und 3) entstehen alle natürlichen Zahlen. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 18 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

2 3

2 2 2 2

p = 3 + n(2) n (2) =n= n (3)

"p" = n (2) + n (3)

36 35 34 33 32 31 30 3 3 45 3 2 212 2 3 6 7 23 8 32 9 23 32 2 2 10 32 23 11 32 23 12 32 2 2 23 3 3 3 13

29 28 27 26

14 15

25 16

24 23

17 22

20 19

- 19 -

SYSTEM NATÜRLICHE ZAHLEN Und so harmonisch entfalten sich natürliche Zahlen auf 2 und 3 Basis in 360° Kreis.

19 18 17

16 15 32

14 13

33 10

6 5 4 320 1

34 36

Eigenschaften natürliche Zahlen wiederholen sich periodisch je sechs Ziffern, nach dem Primzahl Muster. Beweis: 1 + 2 + 3 = 6 p + 6 = p‟ n + 6 = n‟ „p‟“ – „p”= 6

- 20 -

p + 6 = p'

2 3 5 7 11

29 31 37

43 73

47 53

71 67

Mit der Entdeckung die Gesetzmäßigkeit in der Primzahlreihe, das je 6 Ziffern dieselben Eigenschaften sich wiederholen entziffert wurde der Primzahl Muster, auf dem basiert Periodizität der natürliche Zahlen. 1=

2 1 3

Zwei erste Zahlen /1+2/ addiert zusammen und dividiert durch dritte folgende Zahl /3/, als Quotient gleich /1/, das heißt wieder die erste Zahl aus der drei Zahlen, die teilnehmen in diese Spezies. Drei erste folgende Zahlen addiert zusammen ergeben vollkommene und Dreieckszahl 6 , die bestimmt die Periodenlänge in welche dieselben Eigenschaften vorkommen werden in die ganze Reihe natürliche Zahlen. Tres faciunt collegium, das heißt drei Zahlen entscheiden über ganzes System natürliche Zahlen. 2 x 3 = 6 , deshalb alle Zahlen kann man als Summe Einser, Zweier und Dreier schreiben. Periodische System natürliche Zahlen ist so vollkommen, wie vollkommen ist erste vollkommene Zahl 6 seine Grundlage. 1+2+3=6=2·3 Das kommt von den Primzahlen, die als Vorgänger oder Nachfolger eine teilbare durch 3 grade Zahl haben, und diese Gesetzmäßigkeit, die Primzahlen in sich tragen, auf die ganze Reihe natürliche Zahlen übergeht. Die Gesetzmäßigkeit der Primzahlen spiegelt sich auch in fast Primzahlen, die stets als Vorgänger oder Nachfolger eine teilbare durch 3 ungerade Zahl haben.

- 21 Die Eigenschaften der Zahlen bilden 6 Zahlgruppen. In mittleren 4 Gruppen die Eigenschaften der Zahlen wiederholen sich periodisch stets je 6 Einheiten.

PERIODISCHE SYSTEM NATÜRLICHE ZAHLEN n1

n 2

n 3

n 4

n 5

1 2 3 5

n 6

4 6

7 11

20 26

12 13

18 19

30 31

25 27

36 37 41

35 38

44 50

42 43

60 61

55 57

80 86

66 67 71

72 73 78 79

90 91

77 85 87

100

104

105

106

110 116

111

112

117

118

123

124

96 97 101 103 107 109 113

102 108 114 120 126

122

115 119 121 125

- 22 -

Das Sieb des Erathostenes. In einer so organisierten 6 Zahlengruppen liegen die aufeinander folgenden Vielfachen jeder Zahl auf einer geraden Linie von 5 bis zu dieser Zahl und darüber hinaus, und auf sich periodisch je 6 wiederholenden Parallelen zu dieser Faktor-Linie weiter „unten“ wenn die Zahlenkolonne „oben“ anfängt. In 6 Zahlengruppen haben wir 3 Gruppe geraden (II, IV, VI), und 3 Gruppe ungeraden (I, III, V) Zahlen. Ab der Primzahl 5 liegen nach links kaskadenartig ihre aufeinander folgenden Vielfachen bis auf der erste fast Primzahl 25 = 5(5). Ab der Primzahl 7 liegen nach rechts kaskadenartig ihre aufeinander folgenden Vielfachen, unter deren der zweite fast Primzahl 35 ist. Ihn kreuzt den 5 Faktor-Linien, die fällt nach links bis der vierte fast Primzahl 55 = 5(11). Den 7 Faktor-Linien fällt ab den 7 Vielfachen (49) nach rechts und kreuzt in V Gruppe den fast Primzahl 77 = 7(11). Parallel 5 Faktor-Linien fällt unten nach links und kreuzt seine 13(5) = 65 und 15(5) = 85 Vielfachen. Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen. 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 I

III

- 23 -

Und so kreuzen den 5 und 7 Faktor-Linien alle fast Primzahlen in die I und V Gruppe. Alle natürlichen Zahlen sind kongruent Modulo 6. n‟ – n  0 mod. 6 (2n - 1) =p(n)

2n = p – 3

p = 2n + 3 "p"= n(2)+n(3)

2n = p(n) = p±1

p = 2n + 3 "p"= n(2)+n(3)

5-3=2

7-3=4

2 +3 = 5

3(2) = 6

2(2) + 3 = 7

11 - 3 = 8

3(3) = 9

13 - 3 = 10

2(4) + 3 = 11

3(4) = 12

2(5) + 3 = 13

17 -3 = 14

3(5) = 15

19 - 3 = 16

2(7) + 3 = 17

3(6) = 18

2(8) + 3 = 19

23 - 3 = 20

3(7) = 21

2(10)+3 = 23

3(8) = 24

5(2 + 3) = 25

29 - 3 = 26

25 + 2 = 27

31 - 3 = 28

2(13)+3 = 29

3(10) = 30

2(14)+3 = 31

2n = p - 3

- 24 32

35 - 2 = 33

7(2 + 3) = 35

3(12) = 36

41 - 3 =38

3(13) = 39

43 - 3 = 40

3(14) = 42

47 - 3 = 44

3(15) = 45

14(2)+7(3)=49

53 - 3 = 50

49 + 2 = 51

11(2 + 3) = 55

59 - 3 = 56

55 + 2 = 57

61 - 3 = 58

65 - 2 = 63

13(2 + 3) = 65

3(23) = 69

75 + 2 = 77

22(2)+11(3)=77

3(27) = 81

17(2 + 3) = 85

85 + 2 = 87

26(2)+13(3)=91

95-2=91+2

19(2 + 3) = 95

3(33) = 99

100

101

102

103

Kongruent nach dem Modul 6 Zahlen, bilden drei Gruppe graden und ungeraden Zahlen/2, 4, 6 / 3 -2- 5 -2- 7 /, die unter sich Abstand 2 und 6 in jede Gruppe halten 2/8, 3/9, 4/10, 5/11, 6/12, 7/13.

103 9791 8579 7367 6155 4943 3731 2519 137 126 2418 30 4236 5448 60 7266 8478 90 96 102

98 92 86 80 74 68 62 56 50 44 38 32 26 20 14 8 2 3

5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101

9399 8187 75 6369 5157 45 39 2733 21 915

410 1622 2834 4046 5258 6470 7682 8894 100

2n - 1 = 6n - 3 9 = 6(2) - 3 15 = 6(3) - 3 21 = 6(4) - 3 27 = 6(5) - 3 33 = 6(6) - 3 39 = 6(7) - 3 45 = 6(8) - 3 2n = 6n - 4 2 = 6(1) - 4 8 = 6(2) - 4 14 = 6(3) - 4 20 = 6(4) - 4 26 = 6(5) - 4 32 = 6( 6)- 4 38 = 6(7) - 4 p = 6n - 7 5 = 6(2) - 7 11 = 6(3) - 7 17 = 6(4) - 7 23 = 6(5) - 7 29 = 6(6) - 7 p = 6n - 5 7 = 6(2) - 5 13 = 6(3) - 5 19 = 6(4) – 5 23 = 6(5) – 5 2n = 6n - 6 6 = 6(2) - 6 12 = 6(3) - 6 18 = 6(4) - 6 24 = 6(5) - 6 30 = 6(6) - 6 36 = 6(7) - 6 42 = 6(8) - 6 2n = 6n - 8 4 = 6(2) - 8 10 = 6(3) - 8 16 = 6(4) - 8 22 = 6(5) - 8 28 = 6(6) - 8 34 = 6(7) - 8 40 = 6(8) - 8

- 25 Das eine Licht erscheint vielfältig, farbig, wenn es im Prisma gebrochen wird. Wiederum ausbreitende aus Einheit natürliche Zahlen annehmen Gestalt sechs Wellen, mit der Länge 6. n' - n = 0 mod 6 250

37 200 31 150

100

18 13 12 11 10 9 8 4

7 6 5 4 3 2 1 1

2 2

33 27

15 14 4

2 4

2 6

2 8

2 10

Serie8

Serie7

Serie6

Serie5

Serie4

Serie3

Serie2 Serie1

4 2

Nur Primzahlen, derer grade Quotient gleich ist bilden nicht nur Primzahlzwillinge, aber einmal sogar Primzahl Tripel, der Form n, n + 2, n + 4, 3, - 5, - 7 = 2 Es gibt auch ein paar „folgenden Primzahlen“ 2 und 3. Von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist stets eine durch 3 teilbar, so dass es sich außer bei (3,5,7,) nie um drei Primzahlen handeln kann, sonder nur um eine z.B. 23,25,27, 329, 331, 333,/wenn sie eine Primzahl oder fast Primzahl teilt/, oder zwei 15, 17, 19, 347, 349, 351,/wenn sie Primzahlzwillinge sind/,bzw. keine Primzahl 91, 93, 95, 341, 343, 345, /wenn sie fast Primzahlzwillinge oder folgende fast Primzahlen sind/. Alle übrigen Zahlen > 5 sind Vielfache von Primzahl 3 und werden als zusammengesetzte Zahlen bezeichnet z.B.;2 + 3 = 5 2 · 3 = 6 2 + 2 + 3 = 7 5 + 3 = 8 3 · 3 = 9 5 + 5 = 10 Hier ist auch Beweis dafür, dass alle Zahlen, die das Prinzip “größer um eins“ in sich tragen, setzen sich aus ihre Summanden, die miteinander gestalten die herrlichste Harmonie in der Zahlenwelt zusammen. Wie Juwelen lagen die Primzahlen verstreut in den unendlichen Weiten des Zahlenuniversums, das von den Mathematikern über viele Jahrhunderte hinweg untersucht wurde. Für Mathematiker haben sie etwas Wunderbares: Gesetzmäßigkeiten in der Primzahlreihe zu entdecken, war schon immer eine wichtige Forschungsrichtung in der Mathematik. Und der „Seltene Schönheit und Harmonie“ ist das gelungen. Sie nämlich hat festgestellt, dass alle Primzahlen vor, oder nach einer grader Zahl vortreten/Ausnahme die Zahl 3/, die durch 3 teilbar ist. Alle natürliche Zahlen ausbreiten sich Wellenförmig in 6 Term Gruppen. Und alles läuft die Reihe nach den Primzahlen Muster, die zwar scheint es, wie wild wachsende Unkraut unter den natürlichen Zahlen verstreut sind, aber nur dort wo sie bilden fruchtbaren Boden, auf der unendlichen Anzahl der natürlichen Zahlen wächst.

- 26 Außerdem die Primzahlen schon als einstellige Zahl haben vier charakteristische Endziffern –1, -3, -7, -9, die wiederholen sich je 21-Stellen in den Zehner, die  1 durch 3 teilbar sind. Tabelle der Primzahlen Zehner. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV .. |E – 1 | - 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | - 1 : 3 | : 3 | -1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 |: 3 | -1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | | | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 | | 13 |15 | | 18 | 19 | 21 | | | | | 24 | 25 | 27 | 28 | 31 | 33 | | | | | 40 | 42 | 43 | | 21x2 | | | 46 | | 49 | 52 | 54 | | 57 | | 60 | | 63 | 64 | | | | 66 | 67 | 69 | 70 | 73 | 75 | 76 | | | 81 | 82 | | | | | | | 88 | | 91 | 94 | | 97 | 99 | |102| 103 |105 | 106 | | E- 7 | - 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | : 3 | : 3 |- 1 : 3 | : 3 |- 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | : 3 | - 1 : 3 | | | 1 | 3 | 4 | 6 | 9 | 10 | 12 | 13 | 15 | 16 | | 19 | | 22 | | | | | 25 | 27 | 30 | 31 | 33 | 34 | 36 | | 39 | | | | | 21x2| | 45 | 46 | 48 | | | 54 | 55 | 57 | 58 | 60 | 61 | 63 | 64 | | | | | 67 | | 72 | | 75 | | 78 | 79 | | 82 | | . | | | 87 | 88 | 90 | 93 | 94 | 96 | 97 | | | | | | | . I II III IV V |E- 3 | - 1 : 3 |+1: 3|-1 : 3|+1: 3|-1 : 3 | | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | | | 23 | 25 | 26 | 28 |21x3 | | 44 | 46 | | | | | 65 | 67 | 68 | | | | 86 | 88 | | 91 |E- 9 | - 1 : 3 |+1: 3 |-1 : 3|+1:3 |-1 : 3 | | 1 | 2 | | 5 | 7 | | | 23 | | 26 | |21x3| | 44 | | 47 | 49 | | | 65 | | | 70 | | | | | | 91

VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV . |+1: 3|-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1:3 |- 1: 3 | | 8 | 10 | 11 | | | 16 | 17 | 19| | 22 | | 29 | 31 | | | 35 | 37 | 38 | | | 43 | | 50 | 52 | | | 56 | | 59 | 61| | 64 | | | 73 | 74 | | 77 | | | 82| | 85 | | | | 95 | | 98 | | 101| 103| | 106 | |+1:3 |-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1: 3|-1: 3|+1:3 |- 1: 3 | | 8 | 10 | | 13 | 14 | | 17 | 19 | 20 | 22 | | | | | 34 | 35 | 37 | 38 | 40 | 41 | 43 | | 50 | | | | 56 | | 59 | 61 | | | | 71 | 73 | | 76 | | | 80 | 82 | 83 | | | 92 | | | | | 100 | 101| 103| 104 | 106 |

Die Gesetzmäßigkeiten in der Primzahlreihe sind in der Tabelle der Primzahlen Zehner erfasst. Die Endziffern der Primzahlen 1 – 7 = 6 = 3 – 9, nicht ohne Grund, in dieser Reihenfolge in der Tabelle geschrieben wurden. Sie zeigen, wie Gesetzmäßigkeiten, die Primzahlen in sich tragen, auf die ganze Reihe natürliche Zahlen übergehen, die sechs Gruppen Zahlen bilden, derer Eigenschaften je 6 Zahlen sich wiederholen. Die Primzahlen mit Endziffern 1 – 7 bilden XIV Reihen, in derer ihre Endziffer wiederholen sich je 21 und 42 Stellen und mit Endziffern 3 – 9, XV Reihen, in derer ihre Endziffern sich wiederholen je 21, 42, oder 63 Stellen, also in Stellen die Vielfache der Zahl 7 sind. Primzahlen, grade und ungerade Zahlen bilden der Zwölf Term Zyklen. 5 + 7 = 12 = 2 + 4 + 6 = 12 = 3 + 9 Periodische System der Primzahlen ergibt sich aus Prinzip Zwölf Term Zyklen, derer 360 Zahlen 30 beinhalten. Multiplizieren 30 · 7 = 210 – Periodenlänge der Primzahlen. p'1 p  1 p' '1 p'1   210   3 3 3 3

- 27 11 - 3931 + -1 + 1/3 /3 1/3 11 31 41 241 251 461 661 671 881 1091 1291 1301 1511 1721 1931 2131 2141 2341 2351 2551 2971 3181 3391

37 457 877 1087 1297

2137 2347 2557 2767

3191

3821 47 257 467 677 887 1097 1307

2357 2777

3187 3607 4027

3407 3617

+ + 1/3 1/3 1/3 61 71 101 271 281 311 491 521 691 701 731 911 941 1151 1321 1361 1531 1571 1741 1951 2161 2371 2381 2411 2591 2621 2791 2801 3001 3011 3041 3221 3251 3461 3631 3671 3851 3881 67 97 107 277 307 317 487 727 907 937 947 1117 1327 1367 1567 1747 1777 1787 1987 1997 2207 2377 2417 2617 2797 2837 3037 3217 3257 3457 3467 3637 3677 3847 3877 4057

13 - 3793 +1/3 -1/3 +1/3 -1/3 +1/3 13 23 53 73 83 233 253 263 283 293 443 463 503 653 673 683

UND

- 1/3 331 541 751

17 - 4217

+ + 1/3 1/3 1/3 131 151 571 761 971 991 1181 1201

1381 1801 2011 2221

1601 1621 1811 1831

+ + 1/3 1/3 1/3 1/3 181 191 211 401 421 431 601 631 641 811 821 1021 1031 1051 1061 1231 1451 1471 1481

2251

1861 1871 2081 2281

2671

2711

2441 2851 3061 3271 3691 127 337 547 757 967

1597 2017 2437 2647 2857 3067

3697 3907

1901 2111 2311 2521 2731

2531 2741

3361 3571

3371 3581

2861 3301 3491 3511 3701 3911 3931 137 157 167 347 367 557 577 587 787 797 977 997 1187 1217 1427 1607 1627 1637 1847 2027 2237 2267 2447 2467 2477 2657 2677 2687 2887 2897

3121 3331 3541 3761 197 397 607

617 827

637

1237 1447 1657 1667 1867 1877 2087 2287 2297 2707 2917

3407 3517 3527

3547

3947 4157

3967 4177

3917 4127

227 647

1277 1487 1697 1907

2927 3137 3347 3557

2957 3167

3797 4007 4217

UND 19 - 4409

+1 -1 -1 : 3 :3 103 113 313 523 733 743

+1 :3

-1 +1 -1 +1 :3 :3 :3 :3 163 173 193 353 373 383 563 593 613 773 823

-1 :3 223 433 643 853

- 28 863

883 1093 1103 1283 1303 1493 1523 1723 1733 1913 1933 2143 2333 2543 2753 2963

913 1123

953 1153 1163 1373 1543 1553 1583 1753 1783 1973 1993 2003 2203 2213 2383 2393 2423 2593 2633 2803 2833 2843 3023 3253 3413 3433 3463 3593 3613 3623 3643 3673 19 29 59 79 89 109 239 269 449 479 499 509 659 709 719 739 919 929 1109 1129 1289 1319 1499 1549 1559 1579 1709 1759 1789 1949 1979 1999 2129 2179 2339 2389 2399 2549 2579 2609 2789 2819 2969 2999 3019 3049 3209 3229 3259 3389 3469 3659 3889 4019 4049 4079 4099 4229 4259 4289

ZWÖLF TERM ZYKLEN

983 1193 1213 1423 1613 1823 2053 2243 2473 2663 2683 3083

139 349 769

1399 1609 2029 2239 2659 3079 3499 3709 3919 4129 4339

SPIRALE

3313 3323 3533 3733 149 179 359 379 389 569 599 809 1009 1019 1229 1429 1439 1619

3 7 19 31 43 67 79

11 23

1063 1483 1693 2113

2953 3163 3373 3583 3793 209 229 419 439

839 1049 1069 1259 1279 1489 1699 1889 2039 2099 2269 2309 2459 2539 2689 2699 2719 2729 2749 2879 2909 2939 3089 3109 3119 3169 3299 3319 3329 3359 3529 3539 3559 3719 3739 3769 3779 3929 3989 4139 4159 4219 4349 4409

DER

PRIMZAHLEN.

13 37

47 59 71 83

3343

199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2069 2089

2 + 3 = 5 + 7 = 12 + 11 + 13 = 3(12) 2 5 17 29 41 53

1013 1033 1223 1433 1453 1663 1873 2063 2083 2273 2293 2503 2693 2713 2903

61 73

- 29 89 101 113

103

107 131

137 149

127 139 151 163

157 167 179 191

173 197

199 211 223

181 193

227 239 251 263

233 257 269 281 293

97 109

229 241

271 283

277

307

311

313

2 + 3 = 5 + 7 = 12 71

1009

983

149 59

997

73 137

977

919

53 971

907

929

883 887

853

953

967 41

139

131

991 47

911

127 61 43

197

113 107

109

191

211 163 101 103 199 193 157 89 863 859941 823 181 1719 97 179 811 1113 83 151 857 5 173 839 237 281 293 787 827 263 269 167 821 251 257 809 239 797 233 227 709 223 229 733 727 241 739 307 271 751 701 277 757 313 769 283 311 331 631 719 397 337 641547 389 317 743 349 563 409 643 367 467487 761 647 571 347 401 373 421 773 379 661 569 353 653 577 419 499 433 479 673 359 659 587 431 601 439 691 383 503 491 677 457 443 607 593 683 463 449 613 509 523 599 619 461 617 541 521 829

881

877 947

29 37 937 23 31

- 30 Spirale Reihenfolge natürlichen Zahlen (fast und Primzahlen). Aus Spirale Reihenfolge fast und Primzahlen, folgt Spirale Reihenfolge allen natürlichen Zahlen, was zeigt folgende Tabelle. 1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

- 31 -

a = b mod 17

101 85

84 100

16 17 18

01 2

14 30

13 12 11

3 4 5 6

61 59

91 75

79 96

9 8

37 20

88 71 54

31 47

35 36

32 48

87 70

66 99

SPIRALE DER PRIMZAHLEN.

p' - p= 0 mod 17 = 19 - 2

101

53 71

17 19

31 47

37 89

3 5

97 41 79

43 61 59

- 32 SPIRALE DER FAST PRIMZAHLEN. "p" - p = mod 23 = 25 - 2 481 437

413

485

391 415

343

365

299

275

323

253 341 295

455

205

161

185

115 203

385 0

133

395

119

25 2

143 121

155

407 361

85 55 77

245

451

259 305

125

175

289 335

235

145 169

221

475

371 325

187

91 247

301

209

215

329

377

445

217 265 287

427 473 497

355

403 425

493

Während Prim und fast Primzahlen sind kongruent nach verschiedene Moduls, schließlich Differenz zwischen ihnen ergibt gemeinsame Modul für alle natürliche Zahlen 23 –17= mod6, was zeigt Radar und Ringdiagramm. Modul 40 formt die Zahlen in eine Spirale.

2 + 3 + 5 + 11 + 19 = mod 40 199

198 197 196

158

195 194 193

159

160

161

162 163

157 156 155

117 116 115

154

119 120 121 122 118

164 165

123 124

80 81 82 78 79

125

166

126 84 167 76 85 75 127 86 4041 42 39 4344 168 74 37 38 152 87 45 36 128 73 112 35 46 88 34 191 47 169 72 151 33 012 345 129 48 111 67 89 32 71 49 8 31 9 190 150 110 70 30 10 50 90 130 170 11 29 12 51 69 28 13 91 109 14 27 52 131 149 15 68 26 171 16 189 2524 53 92 17 108 67 23 2221201918 54 132 148 66 93 55 107 172 65 56 188 94 133 64 57 106 147 63 62 58 59 95 61 60 173 105 134 187 96 146 104 97 135 103 174 145 102 101 100 99 98 186 136 144 175 137 185 143 138 142 141 176 140 139 184 177 183 182 181 180 179 178 153

192

114

113

Und so in allen Regenbogenfarben schillern Zahlen kongruent nach dem Modul 6.

- 33 -

a = b mod 6

5 117 23 2935

179

53 59 1 4 0 16 22 283440 178 65 5273339 4652 177 39121 172 71 8120 2 4263238 4551 58 176 167 44 171 57 719 325 31 175 1 3743 5056 6364 170 49 12 6 0 18 24 0642 55 62 77 174 33 169 4854 61 6970 166 168 165 60 6768 76 164 75 66 74 163 83 162 7273 82 161 79 8081 78 160 159 158157 156 8485 868788 89 173

9091 92 9394 9697 95 98 99 102 144 100 145 103 146 108 104 147 148 138 101 114 109 105 139 132 110 106 120 115 126 140 111 133 141 127 121 116 112 142 134 107 128 122 117 135 123 118 129 136 124 130 143 113

150 152151 154 153

155

149

119

137 125

131

Das Prinzip „größer um eins“ verbindet sich in einer Zahl, wie der Zahlen Dreieck das darstellt. In diesem Fall „Seltene Schönheit und Harmonie“ deckt sich mit der Ordnung der Zahlen im Pascalchen Dreieck, der alle Zahlen leitet vom Eins. An der Spitze beginnt die Zahlenpyramide mit einer einzelnen 1. Das Radardiagramm zeigt, das alle Zahlen als Summe der Quotienten des Prinzips „größer um eins“ ein Zahlenkreuz bilden, eine dreidimensionalen Kreuzstruktur. 3+3=6=2x3

7 3 2 1

6 12 18 24

5 11 17 23

Das Zahlen Kreuz basiert auf die Zahl 6, die kommt vom Primzahlen 17-11 =6= 19-13, die in

- 34 5+7=12=2+4+6=12=3+9 Zwölf Term Zyklen projizieren diese auf den ganzen Zahlen System. + 143 121

119

47 139

137

115

113

13 11

101

103

125

127

107

109

131

133

Die Kreuzstruktur der natürlichen Zahlen kommt von Kongruenz der Fast und Primzahlen nach dem Modul 2(2)2. +

127 119

121 113

103 95

97 89 79 71

73 65 55 47

49 41 31 23

25 17 7

0 2

13 29 37 53 61 77 85 101 109 125

11 19 35 43 59 67 83 91 107 115

- 35 -

3 + 2(2)2 = 11 + 2(2)2 = 19 + 2[2(2)2] = 35 + 2(2)2 = 43 + 2[2(2)2] = 59 + 2(2)2 = 67 100% 90% 80%

p' + p(p)p = p"

103

119

127

115

125

113

121

109

70%

60% 50%

101

40% 30% 20%

107

10% 0% Serie8

2 0 1

103

119

127

Serie7 5

Serie4

Serie3

Serie6

101

109

125

Serie5 35

Serie2 Serie1

107

115 113

Die Reihenfolge der Fast und Primzahlen in 5 Gruppen mit dasselbe Einheitszahlen ist möglich Dank ihre Kongruenz nach dem Modul fünf.

-9

-3

-7

-1

-5

95 85

65 55

35 25 89

79 59

49 29

5 0

3 13 23

2 7 17 37

43 53 73 83

47 67 77 97

Und so sieht aus „der Primzahluhr“, der tickt in n(6) Rhythmus.

121

- 36 -

(p-1) + (p+1) / 2 = p 137 139 2 3

131

11 13

127 17 19 23

113

29 31

109 107 37 103 101

41 43

97 47

91 89

83 79

73 71

Nach dieser Primzahl Rhythmus laufen auch unsere Tage in vier Jahreszeiten.

2 + 3 = 5 x 73 = 365

73 71 72

27 48

28 47

29 46

30 45

31 44

42 41 40 39 38 37 36 35 34

- 37 -

2 + 3 = 5 x 73 = 365

72 73

68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 11 56 78910 12 13 234 14 58 15 16 17 57 18 19 56 20 21 22 55 23 54 24 25 53 26 52 27 28 51 29 50 30 31 49 32 48 33 47 34 46 4544 3635 43 424140393837

Goldbachs und Fermatchen Vermutung. Der kreative Prozess in der Mathematik beginnt mit einer Vermutung. Eine mathematische Vermutung wird erst dann zu einem „Theorem“, wenn ein Beweis für die Aussage dieser Vermutung vorliegt. SATZ: Grade sind Zahlen, die um eins größer ist als ihr Vorgänger, ungerade, fast Primzahl beziehungsweise Primzahl, also das Doppelte einer anderen natürlichen Zahl ist. Beweis:

(2n – 1)  1 \ „p”  1 = 2n p 1 /

(2n – 1) + 1 = 2n 1 + (2n – 1) = 2n = 3p - p = p + p‟  p‟ + p = 2n 7 – 5  mod. 2  5 – 3 p‟- p = n/2 6 – 4  mod. 2  10 – 8 3(2) – 2 = 4 3(3) – 3 = 6 3 + 5 = 8 3(5) – 5 = 10 5 + 7 = 12 3(7) – 7 = 14 11 + 5 = 16 Dieser Satz ist der Beweis dafür, dass die Vermutung Goldbachs: Jede gerade Zahl größer als als 2 ist die Summe von zwei Primzahlen stimmt, weil die Primzahlen wie auch grade Zahlen kongruent sind nach dem Modul 2, d.h. Differenzen teilbar sind durch 2. Von hier Schlussfolgerung, wenn Differenzen so auch Summen von zwei Primzahlen durch 2 teilbar sind, als grade Zahlen.

- 38 -

2p = 2n = p + p', 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, 5 + 5 = 10, 5 + 7 = 12, 7 + 7 = 14, 5 + 11 = 16, 7 + 11 = 18, 7 + 13 = 20, 5 + 17 = 22, 7 + 17 = 24, 13 + 13 = 26, 11 + 17 = 28, 13 + 17 = 30, 13 + 19 = 32, 17 + 17 = 34 140

120

100 23 80

19 17

60 13 11

2 1 1

Serie3

3 6 3

2 4 2 2

5 10

4 4

7 14

9 9

29 29

Serie2

Serie1

Es erlaubt uns ein Polynom zu finden, welche die Lösung „starker Goldbachsche Vermutung“ beschreiben. P(2n) = (p + p‟), (2 + 2) (3 + 3) (3 + 5) (5 + 5) (5+7) (7+7) (5+11) (5+13) (7+13) (5+17)…

p + p' = 2n 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 17 + 19 = 36 37 + 41 =78 59 + 61 = 120 67 + 71 = 138 101 + 103 = 204 109 + 113 = 222 163 + 167 = 330 193 + 197 = 390 227 + 229 = 456 450 400 349; 359 350 311; 313 300 269; 257 307; 317

250

227; 229 197; 193

200 167; 163

150

113; 109 101; 103

100 71; 67 59; 61 41; 37

50 17; 19 0 -5

0 -50 -100

3; 5

- 39 -

2n = p + p'

4=2+2

6=3+3

8=3+5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7

16 = 5 + 11

80 38 36

34 32

30 28 26

24 22

20 18 16

14 12

10 8 6

3 3

2 2

17 11

Serie3

Serie2

Serie1

p' + (p + p) = 2n - 1

2n = p + p

(2n - 1) - (p + p) = p

3 + (2 + 2) = 7

4=2+2

7 - (2 + 2) = 3

120

100

49 47 45 43 41

39 37 35 33 31

29 27 25 23 21

19 17 15 13 11

9 7

4 3

Serie3

Serie2

Serie1

Jede ungerade ganze Zahl größer als 5, ist die Summe von 3 Primzahlen, weil die Differenz zwischen ungeraden und graden Zahlen immer der Primzahl 3 ist.

- 40 Beweis:

p + p' = p"



(2n – 1) – (p + p) = p 7 - (2 + 2) = 3

2n = p + p 4=2+2 2+3=5

p + p = 2n

5+3=8

2n – 1 = p + p + p” 7 =2+2+3

p'' + p' + p = 2n - 1

7 + 5 + 3 = 15

30 29 28 27 26 25

25 24 23 22 21

20 19 18 17 16

15 14 13 12 11

10 9 8 7 6

5 4 3 2 1

3 2 1

0 1

Pythagoreische Zahlentripel. a(a) - b(b) = (a - b)(a + b)

5(5) - 3(3) = (5 - 3)(5 + 3)

25 - 9 = 2(8)

700 625 600

576 529 484

500 441 400 400 361 324 289

300 256 225 196

200 169 144 121 100

100

49 47 45 43 41 39 37 35 33 16 31 29 27 9 24 25 23 22 4 21 20 19 18 17 9 19 10 21 11 23 12 25 13 17 16 15 15 14 13 11 9 8 7 7 6 5 4 1 3 2 5 3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 25

- 41 SATZ: Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen immer eine ungerade Zahl, auch Quadratzahl ist. a(a) – b(b) = (a – b)(a + b) = c(c) 25 – 16 = 5(5) – 4(4) = (5 - 4)(5 + 4) = 3(3) 3(3) + 4(4) = 5(5) Es bedeutet, dass die Gleichung x n  y n  z n aus Fermatchen Vermutung nur bei n = 2 hat Lösung, weil nur wenn wir addieren eine ungerade Zahl zu einer Quadratzahl, ergibt sich eine weitere Quadratzahl. Auch andersrum, wenn wir von einer bestimmten Quadratzahl subtrahieren hinter ihre stehende Quadratzahl, ergibt sich wieder ungerade Zahl, oder Quadratzahl. Mit anderen Worten, die Gleichung x n  y n  z n hat für n.> 2 in der Menge der natürlichen Zahlen keine Lösung, weil nur Quadratzahlen pythagoreischer Tripel bilden. z 2  x 2  y 2 25 – 9 = 16 y 2  0 mod 2 16 : 2 = 8 Rest x x‟ 2  x 2 x2 1 + 1 1 + 3 2 4 + 5 3 9 + 7 4 16 + 9 5 = 24 25 2 2 ! = 24 22 ! + 12 = 52

3+5+7+9 + 1 = 25

Erste Pythagoreische Tripel entsteht dann, wann die Summe Differenzen zwischen laufende Quadratzahlen erreicht Wert 2 2 ! Zahl 2 moduliert so Entstehung die Quadratzahlen wie pythagoreische Tripel, d.h. das Differenzen zwischen ungeraden Quadratzahlen in pythagoreischen Tripel durch 2 teilbar sind, deshalb sowohl Quadratzahlen als auch pythagoreische Tripel Produkt 2 Faktoren sind. 3(3) + 4(4) = 5(5)

[2(5) – 1] + 2(8) = 2(13) – 1

3[2(2) – 1] + 2(2)2(2) = 5[2(3) – 1]

1 + 3 = 4 + 5 = 9 + 7 = 16 + 9 = 25 + 11 = 36 + 13 = 49 + 15 = 64 + 17 = 81 + 19 = 100 + 21.. \ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 /\ 2 / 25 – 9 = 2(8)

169 – 25 = 2(72)

289 – 225 = 2(32) 625 – 49 = 2(288) 841 – 441 = 2(200)

FAZIT: Alle pythagoreische Tripels sind kongruent nach dem Modul 2, und damit wurde bestätigt der Satz von Wilson, dass eine Kongruenz Modulo p kann nicht mehr Wurzeln haben, als ihr Grad beträgt Weil 2 ein Fest wert der Differenzen zwischen Summen zwei folgenden ungeraden Zahlen ist, wird er zum Modul der Differenzen in pythagoreischen Tripel, wo er immer aus Differenzen zwischen horizontalen und vertikalen Dreiecks Seitenlänge ein Quadrat erzeugt, der ist

- 42 zugleich Beweis auf Richtigkeit pythagoreischen Gleichung und Fermatchen Vermutung, dass diese Gleichung Produkt 2 Faktoren ist.  xy  2 z 2  4   x  z  z 2 = 2xy + x 2 - 2xy + y 2 z(z)= x(x)+ y(y 2  

X +

4xy/2+(x - y)^= z^ z^- 4xy/2= (x - y)^ 2xy+(x-y)(x-y)=z(z) 2xy+x(x)-2xy+y(y)=z(z) x(x) = x^ y(y) = y^ z(z) = z^ ^=2 Wenn Produkt der Hypotenuse gleich ist Summe zwei Produkte der Kathete und Produkt derer Differenz d.h., dass Hypotenusenquadrat ist Summe Quadrate der Kathete. SATZ: Differenz zwischen jeder ungerader Quadratzahl in pythagoreischen Tripel ist grade Quadratzahl, der kongruent ist y 2  0 mod 2 25 – 9 = 16 ( y 2 )  0 mod 2 16 : 2 = 8 Rest 0 [2(5) – 1] + 2(8) = 2(13) – 1

z 2 x 2  y 2

Kongruenz graden Quadratzahlen y 2  0 mod 2 bedeutet, dass in Hypotenusenquadrat passen 4 Dreiecken mit gleichen Hypotenusen. Also Hypotenusenquadrat ist Summe 4 Dreiecken mit gleichen Hypotenusen und Differenzquadrat, der ergänzt den Flächeninhalt 4 kongruenten Dreiecken dabei seine Seitenlänge ist Differenz zwischen horizontalen und vertikalen Dreieckseite. yx y2 + x2 = z2 y–x=n 4 + n2 = z2 2 2 2 2 z.B. 4 + 3 = 5 4–3=1 4(6) + 1 2 = 25 12 2 + 5 2 = 13 2 12 – 5 = 7 4(30) + 7 2 = 169 8 2 + 15 2 = 17 2 15 – 8 = 7 4(60) + 7 2 = 289 24 2 + 7 2 = 25 2 24 – 7 = 17 4(84) + 17 2 = 625 20 2 + 21 2 = 29 2 21 – 20 = 1 4(210) + 1 2 = 841 12 2 + 35 2 = 37 2 35 – 12 = 23 4(210) + 23 2 = 1369 40 2 + 9 2 = 41 2 40 – 9 = 31 4(180) + 31 2 = 1681

- 43 28 2 + 45 2 = 53 2 45 – 28 = 17 4(630) + 17 2 = 2809 60 2 + 11 2 = 61 2 60 – 11 = 49 4(330) + 49 2 = 3721 56 2 + 33 2 = 65 2 56 – 33 = 23 4(928) + 23 2 = 4225 84 2 + 13 2 = 85 2 84 – 13 = 71 4(546) + 71 2 = 7225 72 2 + 65 2 = 97 2 72 – 65 = 7 4(2340) + 7 2 = 9409 144 2 + 17 2 = 145 2 144 – 17 = 127 4(1224) + 127 2 =21025 180 2 + 19 2 = 181 2 180 – 19 = 161 4(1710) + 161 2 = 37261 x 2 - [2xy + (y – x) 2 ] + y 2 = 0 2xy

(y - x)^

120

169

240

289

336

289

625

840

841

840

529

1369

720

961

1681

2520

289

2809

1320

2401

3721 z–x

2n+ 1 = x 2n(n+1)=y 2n(n+1)+1=z z + x

112

113

128

144

145

162

128

180

181

200

162

220

221

242

200

264

265

288

242

312

313

338

288

364

365

392

338

420

421

450

392

480

481

512

450

544

545

578

512

612

613

648

578

684

685

722

648

760

761

800

722

840

841

882

800

- 44 21

924

925

968

882

1012

1013

1058

968

1104

1105

1152

1058

1200

1201

1250

1152

1300

1301

1352

1250

102

1404

1405

1458

1352

106

1512

1513

1568

1458

110

1624

1625

1682

1568

114

1740

1741

1800

1682

118

1860

1861

1922

1800

122

1984

1985

2048

1922

126

Auch wenn diese Differenz ist zwischen zwei entfernten um 2,8,18,32,50,72,98,128,162 Plätze ungeraden Quadratzahlen, ist sie kongruent nach dem Modul y 2  0 mod 2 , weil Differenzen zwischen Abstanden bilden arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a 1 = 6, (10,14,18,22,26,30,34,..) und der konstanten Differenz d = 4. Wenn mit jedem Schritt die Funktion n → a n ; n  N, um denselben Summanden d zunimmt, dann muss die arithmetische Folge eine lineare Funktion(D = N) mit der Steigung d sein, wie zeigt das Blasendiagramm. Die Steigung der linearen Funktion ist d, das absolute Glied heißt a 1 - d = 6 – 4 = 2. 6 -4- 10 -4- 14 -4- 18 -4- 22 -4- 26 -4- 30 -4- 34 -4- 38 -4- 42 -4- 46 -4- 50 -4- ,…. a 1 - d = 6 – 4 = 2.

Um Abhängigkeiten zwischen zwei Größen zu beschreiben z.B. zwei Kathete zu Hypotenuse, muss man die Hypotenuse in zwei Summanden so zerlegen, dass ihr Produkt möglichst groß wird.

- 45 I. Summe: x + y = z

II. Produkt: x · y = Max

Dies ist ein Gleichungssystem, allerdings kein lineares (die 2. Funktion x  y stellt keine Gerade dar), wohl aber ein allgemeines Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. Wir wollen jetzt die Gleichung I. nach einer Unbekannten, z.B. nach y, auflösen und den für y gefundenen Wert in die Gleichung II. einsetzen: I. x+y=z  y=z–x eingesetzt in Gleichung II. : II. x · y = Max  x(z – x) = Max oder umgeformt : - x 2 + zx = Max  x 2 + y 2 = z 2 Bei der entstandenen Gleichung handelt es sich nicht mehr um eine lineare, also um eine Gleichung 1. Grades, sonder um eine quadratische Gleichung oder Gleichung 2. Grades in der Unbekannten x.

Pythagoreische Tripel ist quadratische Gleichung, und wie allgemeine quadratische Funktion hat als Funktionsgraphen eine Parabel. Die durch Scheitelpunkt verlaufende Symmetrieachse, ist in x-Richtung um 2 und um (y – x) 2 in y-Richtung verschoben.

x+y=z

y=z-x

x(y) = Max x(z -y) = Max - x^ + zx = Max

x^+ y^= z^

1000 900 800 700

882

874 850

800

798

722

714 690 646

648 600 500

578

570 546 510

512 450

400

442 418 390

392 338

300 200 100 0

288

330 306 286

242 200 162 128 98 72 50 32

234 210 198 154 130 126 90 70 66 42 30

-100

Der Funktionsgraph der quadratischen Funktion stellt also keine Gerade, sondern eine so genannte Parabel dar. Die Kurve der Funktion y = - x 2 + zx besitzt einen symmetrischen Verlauf, weshalb die tiefste Stelle der Kurve teilt sie auf 2 Teile. Damit ist klar, dass x und y in der 2 Potenz sein muss, denn sonst könnte man nie das Hypotenusequadrat auf zwei Quadrate zu zerlegen.

- 46 -

y = (y - x)^ = 1

x^ + y^ = z^

9 + 16 = 25

(1 + 3 + 5) + (7 + 9) = 25 - 1 = 24 - 3 = 21 - 5 = 16 - 7 = 9 9=0

1 0 0

0,5

1,5

2,5

3,5

y = (y - x)^ =(12 - 5)^ = 49 5^ +12^ =13^ 25+144=169 (1+3+5+7+9) + (11+13+15+17+19+21+23+25) =169 -1=168 - 3 =165 - 5=160 -7=153 - 9 =144 -11=133 -13=120 -15 = 105 -17 = 88 -19 = 69 -21= 48 23=25 - 25 = 0 180 169

169

160

140

120

100

60 49 40

0 0

0,5

1,5

2,5

Die Zahl 2 in jede Parabel über den rationalen Zahlen modular ist. (1+3+5+7+9)25 + (11+13+15+17+19+21+23+25)144 = 169 = 49(1+3+5+7+9+11+13) + \2/\2/\2/\2/ \2/ \2/ \2/ \2/ \2/ \2/ \2/ 120(15 +17+19+21+23+25)

3,5

- 47 -

x(2n - 1) + y(2n - 1) = z^ - z(2n -1) = 0 (1 + 3 + 5) + (7 + 9) = 25 - 1 = 24 - 3 = 21 - 5 = 16 - 7 = 9 - 9 = 0 3^ + 4^ = 5^ x^ - [2xy + (y-x)^] + y^ = 0 9 - (24 + 1) + 16 = 0 30 25

20 15 10

5 3

3 1

-5 -10 -15

-11

Serie1 Serie2 Serie3

2xy +(y - x)^ = z^

2(3)4+(4 -3)^ = 25

2(5)12+(12 -5)^ =169 2(15)8+(15 -8)^ =289 2(7)24+(24 -7)^ =625 2(21)20 + (21 - 20)^ =841

5000 2809

2809

841

625

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

289

169 25

49 1

169 25

Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe der Kathetenquadrate, wenn ist Summe solche Anzahl ungeraden Zahlen wie Grad der Hypotenusenquadrat. x(2n – 1) = x 2

y(2n ) = y 2

 x2 + y2 = z2

z(2n – 1) = z 2

x+y=z

 z 2 = z(2n – 1)

y=z–x

z 2 - z(2n – 1) = 0

3[2(2) – 1] + 2(2)2(2) = 5[2(3) – 1]

x +(z – x) = z

- 48 -

1 + 3 + 5 = 9 = 3(3)

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4(4)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5(5)

(1 + 3 + 5) + (1 + 3 + 5 + 7) = (1 + 3 + 5 + 7 +9)

Σ(2n - 1) = n(a + z)/2 = n(n)

3(1 +5)/2 = 3(3)

3(3) + 4(4) = 5(5)

4(1 + 7)/2 = 4(4)

1 + 3 + 5 = 9

5(1 + 9)/2 = 5(5)

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 5 + 7 + 9

9 + 16 = 25

3 +

= 25

SATZ: Wenn Quadrat jeder natürlichen Zahl n, ist die Summe von aufeinander folgenden ungeraden Zahlen, daher kann man nicht auf der Summe keiner Potenz höherer als 2 zerlegen, weil in diesem Fall die Differenz der Quadrate muss auch eine Quadratzahl sein. Beweis: n² = Σn(2n – 1) 2² = 1 + 3 3² = 1 + 3 + 5 4² = 1 + 3 + 5 + 7 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dann 5² = (1 + 3 + 5) + (7 + 9) = 25 = 9 + 16 j^ + a^ = n^

j^ = a^ - n^ = (a + n)(n – a) = j(j) → j² = 1(a + n) j² = n² - a² →

j² + a² = n²

Wenn das Produkt aus der Summe und der Differenz eine Quadratzahl ist, dann teilbar ist durch die Zahl, welcher eine Quadratzahl ist, als Quadratdifferenz zweier Quadrate. 3= 3² = 4 + 5 → 3² + 4² = 5² = 9 + 16 5= 5² = 12 + 13 → 5² + 12² = 13² = 169 = 25 + 144 7= 7² = 24 + 25 → 7² + 24² = 25² = 625 = 49 + 576 9= 9² = 40 + 41 → 9² + 40² = 41² = 1681 = 81 + 1600 11 = 11² = 60 + 61 → 11² + 60² = 61² = 3721 = 121 + 3600 13 = 13² = 84 + 85 → 13² + 84² = 85² = 7225 = 169 + 7056 Auf die Summe kann man zerlegen ungeraden Quadratzahlen, die als letzten Summanden ungeraden Quadratzahl haben z.B. 9, 25, 49, 81, und alle Quadrate der Zehnerpotenz. z.B. 10², 20², 30², 40²,.. 6² + 8² = 10² 12² + 16² = 20² 18² + 24² = 30² 24² + 32² = 40² 13² = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23) + (25) = 169 = 25 + 144 25² = 625 = 49 + 576 (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47)+(49) 1 + 3 = 4 + 5 = 9 + 7 = 16 + 9 = 25 + 11 = (36) + 13 = 49 + 15 = (64) + 17 = 81 + 19 = 100 + 21 = 121 + 23 = (144) + 25 = (169) + (27 + 29 + 31) = (256) + (33 + 35) = 324 + (37 + 39) =

- 49 (400) + (41 + 43 + 45 + 47) = 576 + (49) = (625) + (51 + 53 + 55 + 57 + 59) = 900

n² = j² + a² 25 = 9 + 16 169 = 25 + 144 625 = 49 + 576 1681 = 81 + 1600 25

169

625

1681

3721

7225

12769

144

576

1600

3600

7056

12544

121

169

225

9 25 1

. n² = j² + a² 10² = 36 + 64 20² = 144 + 256 30² = 324 + 576 40² = 576 + 1024

100

400

900

1600

2500

3600

4900

256

576

1024

1600

2304

3136

144

324

576

900

1296

1764

- 50 -

Σn(2n-1) = n(a + z)/2 = n(n) 256 = 16(1 + 31)/2 = 16(16)

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 0

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 16 0

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 25

13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 36

15 15 15 15 15 15 15 15 15 49

19 19 19 19 19 19 19 81

17 17 17 17 17 17 17 17 64

225

196

169

144

121

21 21

256

100

Weil Hypotenusenquadrat Summe solche Anzahl aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist wie Grad der Hypotenusenquadrat, pythagoreische Gleichung kann man auch als Bruch so 2 2 2  x   y  z  schreiben:   z 2 z 2 z 2 Der gemeinsame Quadratnenner bestätigt, dass der Hypotenusenquadrat der Summe der Kathetenquadrate ist. (1 + 3 + 5) + (1 + 3 + 5 + 7) = (1 + 3 + 5 + 7 +9) Σ(2n - 1)= n(a + z)/2 = n(n) 3(1 +5)/2 = 3(3) 4(1 + 7)/2 = 4(4) 3(3) + 4(4) = 5(5) 9 + 16 = 25

0 0

-10

0 4

-10

- 51 (z – y)(z + y) = x n = (z n  y n ) z

25 169 289 625 841 1369 1681 2809 3721 4225 4225 5329 7225 7225 7921 9409 10201 11881 12769 15625 18769 21025 21025 22201

n=2

(z – y)(z + y) = x (5 – 4)(4 + 5) = 9 (13 – 12)(12 + 13) = (17 – 15)(17 + 15) = (25 – 24)(25 + 24) = (29 – 21)(29 + 21) = (37 – 35)(37 + 35) = (41 – 40)(41 + 40) = (53 – 45)(53 + 45) = (61 – 60)(61 + 60) = (65 – 33)(65 + 33) = (65 – 63)(65 + 63) = (73 – 55)(73 + 55) = (85 – 77)(85 + 77) = (85 – 84)(85 + 84) = (89 – 39)(89 + 39) = (97 – 65)(97 + 65) = (101–99)(101 +99)= (109-91)(109+91) = (113-112)(113+112) = (125-117)(125+117) = (137-105)(137+105) = (145-143)(145+143) = (145-144)(145+144) = (149-51)(149+51) =

9 25 64 49 400 144 81 784 121 3136 256 2304 1296 169 6400 5184 400 3600 225 1936 7744 576 289 19600

n² - a² = (n – a)(n + a) = j² 30² - 24² = (30 – 24)(30 + 24) = 18² n(n) - a(a) = (n - a)(n + a) = j(j) 5(5) - 4(4) = (5 - 4)(5 + 4) = 3(3)

900

625 576

400 324 256 169 144 100 64 49 36 25 16 9

0 0

0,2

0,4

0 0,6

0,8

1,2

- 52 Wenn Pythagoreische Zahlentripel entsteht, als die kurze Kathete ein Wurzel vom Summe der Hypotenuse und länger Kathete ist, und dann diese Tripel keinen gemeinsamen Teiler haben, so entstehen sie auch, als die Gleichung um die gleiche Zahl vervielfachen wird. x= → x² = y + z → x² + y² = z² 3= → 3² = 4 + 5 → 3² + 4² = 5² L(x) = → (Lx)² = L(Ly + Lz) → (Lx)²/L + (Ly)²/L = (Lz)²/L 2(3) = → [2(3)]² = 2[2(4) + 2(5)] → 6²/2 + 8²/2 = 10²/2 3(3) = → [3(3)]² = 3[3(4) + 3(5)] → 9²/3 + 12²/3 = 15²/3 Tripel (j, a, n) ist eine Pythagoreische Zahlentripel dann und nur dann wenn es ist auch [Lj, La, Ln], für jede positive ganze Zahl L. Primitiven Pythagoreische Zahlentripel wird er genannt, wenn j, a, und n keinen gemeinsamen Teiler hat. z. B. (3, 4, 5), (5, 12, 13). So kann man aus jeden Pythagoreischen Zahlentripel ein primitiven gewonnen werden, indem man sie durch den größten gemeinsamen Teiler teilt; und jeden Pythagoreischen Zahlentripel kann gewonnen werden aus primitiven, indem wir multiplizieren alle drei Elemente durch der entsprechende gleiche positive ganze Zahl. Was folgt daraus? Primitiven Pythagoreischen Zahlentripel es gibt so viel wie vielen natürlichen Zahlen, und jeden Tripel gibt es so viel wie vielen Produkten Primitiven Pythagoreischen Tripel und unendlichen natürlichen Zahlen.

j(j) + a(a) = n(n) n(n) 10(10 17(17) 26(26) 20(20) 50(50) 34(34) 30(30) 52(52) 122(122)

[L(j)]² + [L(a)]² = [L(n)]²

(n - a)(n +a) (10 - 8)(10 + 8) (17 - 15)(17 + 15) (26 - 24)(26 + 24) (20 - 16)(20 + 16) (50 - 48)(50 + 48) (34 - 30)(34 + 30) (30 - 24)(30 + 24) (52 - 48)(52 + 48) (122 - 120)(122 + 120)

j(j) 6(6) 8(8) 10(10) 12(12) 14(14) 16(16) 18(18) 20(20) 22(22)

- 53 Auch alle Primzahlen außer 2 kann man darstellen als Produkt der Differenz und Summe zweier natürlichen Zahlen, dann sind sie Primzahldifferenz zweier Quadratzahlen. 3 = (2 – 1)(2 + 1) 13 = (7 – 6)(7 + 6) p= [

5 = (3 – 2)(3 + 2)

7 = (4 – 3)(4 + 3)

11 = (6 – 5)(6 + 5)

17 = (9 – 8)(9 + 8) 19 = (10 – 9)(19 + 9)

p 1 2 p 1 2 ] [ p  ]  (a  b)(a  b) 2 2

3 =[

5 1 2 5 1 2 ]  [5  ]  (3  2)(3  2) 2 5= 2

23 = (12 – 11)(12 + 11).

3 1 2 3 1 2 ]  [3  ]  (2  1)(2  1) 2 2

7 1 2 7 1 2 ]  [7  ]  (4  3)(4  3) 2 7= 2

[

(n - a)(n + a) = p = n(n) - a(a) 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

0 0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

Damit ist Fermats letzten Satz für alle Werte von n bewiesen, weil er für alle Primzahlwerte von n gilt. Schaut man genauer hin auf folgender Diagramm, dann sieht man, dass halbe der Summen zwei folgenden Primzahlen auf einer Geraden parallel zur y – Achse mit Realteil ½ y liegen. Das bedeutet, dass die lineare Diophantische Gleichung ax + by – c = 0 mit gegebenen ganzzahligen paarweise teilfremden Koeffizienten a, b, c stets in Primzahlen x, y lösbar ist. 1(2) + 1(3) – 5 = 0 1(3) + 1(7) – 10 = 0 1(5) + 1(13) – 18 = 0 1(11) + 1(19) – 30 = 0

- 54 -

2y+3y=5y/2=2+0,5=3-0,5 3y+7y=10y/2=3+2=7-2 5y+13y=18y/2=5+4=13-4 11y+19y=30y/2=11+4=19-4 19

13 11 9 0

7 5

2,5 0

2 0

Natürliche Zahlen N, Teilbarkeit, Primzahlen.

Ein zentraler Begriff im Bereich der natürlichen Zahlen betrifft die Teilbarkeit und, in der Folge, die Primzahl - eine natürliche Zahl größer als 1, die keine echten Teiler hat, das heißt, keine anderen Teiler als 1 oder sich selbst. p (p) \ SATZ: Jede Komplexzahl, ist das Produkt der Primzahlen.

p(p‟) = K p‟(p‟) /

SATZ: Komplexzahl teilt sich durch 2 dann und nur dann wenn ihre Endziffer eine grade Zahl beziehungsweise null ist. durch 3 wenn ihre Quersumme teilbar durch 3 ist. durch 4 wenn Differenz zwischen Zahl und 4 durch 4 teilbar ist. a – 4/4 = V 4 z.B. 188 – 4/4 = 46 durch 5 wenn ihre Endziffer 5 beziehungsweise 0 ist. durch 6 wenn sie eine Gradezahl und ihre Quersumme teilbar durch 3 ist. durch 7 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 7 durch 7 teilbar ist. a – 7/7 = V 7 z.B. 203 – 7/7 = 28 durch 9 wenn ihre Quersumme q = 9 ist. z.B. 126>q 9. durch 10 wenn ihre Endziffer null ist. durch 11 wenn die Zehnerzahl ist gleich Einheitszahl und Differenz zwischen der Zehnerzahl und Einheitszahl durch 11 teilbar ist z.B. 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. d – a/11 = V11

734 591 (73459 – 1 = 73458/11 = (6678)11.

durch 13 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 13 durch 13 teilbar ist. a – 13/13 = V 13

z.B.

481 – 13/13 = 36

durch 17 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 17 durch 17 teilbar ist.

- 55 a – 17/17 = V17

z.B.

527 – 17/17 = 30

durch 19 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 19 durch19 teilbar ist. a – 19/19 = V19

z.B.

589 – 19/19 = 30

durch 23 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 23 durch 23 ist. a – 23/23 = V 23 z.B. 437 – 23/23 = 18 durch 29 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 29 durch 29 teilbar ist. a – 29/29 = V29 z.B. 493 – 29/29 = 16 durch 31 wenn die Differenz zwischen der Zahl und 31 durch 31 teilbar ist. a – 31/31 = V31

z.B.

403 – 31/31 = 12

SATZ: Eine Komplexzahl teilt sich durch eine Primzahl, wenn die Differenz zwischen einer Komplexzahl und der Primzahl teilbar ist durch die Primzahl.

a p  Vp p

z.B.

153  17 8 17

Die Folge der Primzahlen beginnt mit 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… Bereits Euklid hat vor mehr als zweitausend Jahren bewiesen, dass diese Folge nicht endlich sein kann, dass es also keine größte Primzahl gibt. Außer 2 sind alle Primzahlen ungerade mit den Einheitsziffern 1, - 7, - 3, - 9. Anderseits gilt der Hauptsatz der Arithmetik; Jede natürliche Zahl lässt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren), eindeutig als Produkt von Primzahlen (beziehungsweise von Primzahlpotenzen) darstellen. Damit gewinnen die Primzahlen ihre Bedeutung für die Mathematik als Bausteine aller anderen Zahlen. Jede Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt dieser unteilbaren Bausteine zusammensetzen. Die Primzahlen 2 und 3 sind tatsächlich die Bausteine aller natürlichen Zahlen, weil nur sie und teilbare durch alle Primzahlen größer als 3 fast Primzahlen, kann man nicht durch sie teilen. So kann man alle Zahlen als unterschiedliche Kombinationen von Produkten der Primzahlen 2 und 3 darstellen: 4 = 2(2), 5 = 2 + 3, 6 = 3 + 3, 7 = 2(2) + 3, 8 = 2(2)2, 9 = 3(3),

10 = 2(2) + 3 + 3, 11 = 2(2)2 + 3, 12 = 3(3) + 3, 13 = 2(2) + 3(3), 14 = 2(2)2 + 3 + 3,

15 = 3(3) + 3 + 3, 16 = 2(2)2(2), 17 = 2(2)2 + 3(3), 18 = 2(2)2(2) + 2, 19 = 2(2)2(2) + 3, 20 = 2(2)2(2) + 2(2), 21 = 2(2)2(2) +2+3 22 = 2(2)2(2)+3+3, 23 = 2(2)2(2)+2(2)+3, 24 = 2(2)2(2)+2(2)2, 25 = 2(2)2(2)+3(3), 26=2(2)2(2)+2(2)2+2, 27=3(3)3, 28=2(2)2(2)+3+3(3), 29 = 2 + 3(3)3, 30 = 3 + 3(3)3, 31 = 2(2)2(2) + 3 + 3(3) + 3. Alle Primzahlen sind nach dem einfachstem Muster gebaut: p = n(2) + 3, 5 = 2 + 3, 7 = 2(2) + 3, 11 = 4(2) + 3, 13 = 5(2) + 3, 17 = 7(2) + 3, 19 = 8(2) + 3, 23 = 10(2) + 3, 29 = 13(2) + 3,

- 56 So kann man die Primzahlen in zwei Klassen einteilen: diejenige Grundprimzahlen (2, 3, 5,7), die aus Bausteinen 2 und 3 bestehen und diejenige, die schon die Vielfaches von Primzahl 7 sind z. B.: 11 = 7 + R(4), 13 = 7 + R(6), 17 = 2(7) + R(3), 19 = 2(7) + R(5), 23 = 3(7) + R(2), 29 = 4(7) + R(1) also schreiben wir p = n(7) + Rest (1, 2, 3, 4, 5,6)

p = 3 + n(2)

13 11 10 8

19 17 16 14

25 23 22 20

31 29 28 26

37 35 34 32

43 41 40 38

49 47 46 44

53 50

7 5 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53

p = 3 + n(2)

13 11 10 8

19 17 16 14

25 23 22 20

31 29 28 26

37 35 34 32

43 41 40 38

49 47 46 44

53 50

7 5 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53

- 57 Die Folge der Primzahlen kann man auch so schreiben: 2, 3, 5,-2- 7,-4- 11,-2- 13,-4- 17,-219,-4- 23, was zeigt hinter den Abstanden zwischen ihnen verborgte Muster - 2 - 4 - 2 - 4. Diese zwei Muster werden weiter eine entscheidende Rolle spielen. Erdrückender Beweis. Diese Bausteine besser verstehen zu können, birgt für den Mathematiker die Hoffnung, neue Wege durch die erdrückende Komplexität der Welt der Mathematik finden zu können. Trotzt ihrer scheinbaren Einfachheit und ihres grundlegenden Charakters waren die Primzahlen die geheimnisvollsten Objekte, die von den Mathematikern untersucht worden. Fragen zur Verteilung der Primzahlen gehören zu den schwierigsten. Lange Zeit waren diese Fragen rein theoretischer Natur, doch heute genießen die Primzahlen Anwendung in verschiedenen Bereichen. Plötzlich gibt es also auch wirtschaftliches Interesse an der Frage, ob ein Beweis der Riemannschen Vermutung uns etwas über die Verteilung der Primzahlen im Zahlenuniversum sagen kann. Seit Jahrhunderten hatte man vergeblich nach einer magischen Formel gesucht, mit der sich eine Liste der Primzahlen erzeugen ließe, vielleicht war es nun an der Zeit, eine neue Strategie einzuschlagen. Bis jetzt schien es die Primzahlen erschienen vollkommen zufällig. So schien es keine Möglichkeit zu geben, die erste Primzahl hinter der Zahl 100 000 000 vorherzusagen. Nicht die Frage nach der Anzahl der Primzahlen sonder bei Beobachtung des Abstands zwischen zwei Primzahlen, bin ich auf eine Regelmäßigkeit gestoßen. 2, 3,-2-5,-2-7,-4-11,-2-13,-4-17,-2-19,-4-23,.. also 2, 4, 2, 4,.. das ist der geringste Abstand zwischen zwei Primzahlen und entscheidende Struktur, die in ganze unendliche Folge von Primzahlen erkennbar ist. Obwohl nach 23 erst im Abstand 6 die Primzahl 29 kommt 23,-225,-4-29, zwischen ihnen liegt nämlich die erste fast Primzahl 25 = 5(5), die wie alle fast Primzahlen in den Rhythmus zwei viertel mitspielt. Alle Fast und Primzahlen in der Reihe natürlichen Zahlen, platzieren sich ab den ersten Zehner in Abständen immer abwechselnd – 2 – 4. 11 - 2 - 13 - 4 - 17 - 2 - 19 - 4 - 23 - 2 - 25 - 4 - 29 - 2 - 31 - 4 - 35 - 2 - 37 - 4 - 41 - 2 - 43 - 4 - 47 - 2 - 49 - 4 - 53 - 2 - 55 41 37 35 31 29 251 247 245 241 239 235 233 229 227 223 221 217 215 211

169 173 175 179 181 185 187 191 193 197 199 203 205 209

25 23 19 17 13 11 7 5 3 2 1 0

127 131 133 137 139 143 145 149 151 155 157 161 163 167

61 59 55 53 49 4347

85 89 91 95 97 101 103 107 109 113 115 119 121 125

- 58 Generationen schienen der Musik der Primzahlen Note für Note gelauscht zu haben, waren aber unfähig, die Komposition als Ganzes wahrzunehmen. Ich habe als erste den Grundtakt zwei Viertel wahr genommen. Wenn es um das Auffinden von Mustern und Ordnung geht, stellen die Primzahlen eine nicht mehr zu übertreffende Herausforderung dar. Es ist möglich für eine Liste von Primzahlen vorherzusagen, wann die nächste Primzahl auftauchen wird. Die Liste erscheint nicht mehr chaotisch, zufällig, und es gibt Hinweise, wie man die nächste Zahl bestimmen kann. Die Liste der Primzahlen ist der Herzschlag der Mathematik, und dieser Puls ist von einem Vielfachen von 7 angetrieben. Der Primzahlenverteilung in die Zahlenreihe liegt die Primzahlzerlegung ihres Produkts zugrunde. Nach dem kleinen Fermatschen Satz Zahlen zu der Hochzahl (p – 1) minus 1 sind durch p ohne Rest teilbar. z. B. - 1 = 999 999/7 = ↓ Quersumme 54 = 9 - 142 857 „ - 27 = 9 857 142 „ - 27 = 9 Beweis: wenn a ≠ p p ≥ 3 a ≥ 2

= 64 – 1 = 63/7

= 729 – 1 = 728/7

So ist auch bei Brüche: 1/7 = 0,142 857 142 857 1… 2/7 = 0,2857 142857 14 … 3/7 = 0,42857 142857 1 … 4/7 = 0,57 142857 142857 1.. 5/7 = 0,7 142587 142587 1.. 6/7 = 0,857 142587 142587.. 8/7 = 1,142857 142857 9/7 = 1,2857 142857 14.. 10/7 = 1,42857 142857 … 11/7 = 1,57 142857 1428… 12/7 = 1,7 142857 14285… 13/7 = 1,857 142857 142… Bei denen der Quotient in einer Dezimalentwicklung irgendwann zu wiederholen beginnen sechsstellige Zahlen in Unendlichkeit, die mit 1 anfangen und mit 7 enden, d.h. jede sechsstellige Zahlenkombination z. B.: (x x x x x x)/7, (x y x y x y)/7, (y x y x y x)/7, (xyz xyz)/7, (zxy zxy)/7, (yzx yzx)/7, (zyx zyx)/7, (yxz yxz)/7, (xzy xzy=/7, und ihre Vielfache ist ohne Rest durch 7 teilbar. 111 111 111 111 111 111/7 = 15873 0 15873 0 15873 0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9 0

4 5 6 7 8 9 0 1

5 6 7 8 9 0 1 2

6 7 8 9 0 1 2 3

7 8 9 0 1 2 3 4

- 59 -

a - 7/7 9

7 4

9 8 7 6

3 2 1 0

7 6 5 4 3 2 1 0

2 3 4 5 6 7 8 9 0

0 1

5 4 5 6 7 8 9

0 3

Ist Differenz zwischen die Zahl a, und Primzahl teilbar durch Primzahl, dann die Zahl ist a p 187  17  Vp komplex. z.B.  10 p 17 Nur Differenz zwischen zwei Primzahlen teilbar ist durch 7, weil p – (2,3,5,11,13,29) = n(7) und alle Primzahlen in einem Vielfachen von 7 verteilt sind. z.B.:(23 – 2)/7 = 3 (17 – 3)/7 = 2 (19 – 5)/7 = 2 (53 – 11)/7 = 6 (41 – 13)/7 = 4 (43 – 29)/7 = 2 Fast und Primzahlen kommen stufenweise in Zweiviertel Rhythmus vor. 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4 = 41 + 2 = 43 + 4 = 47

- 60 -

0 7

4 11

17 23 29 35

25 31

41 47

53 59 65 71

55 61

67 73

95 101 107 113

119

97 103

109 115

121

125

127

131

133

137 143 149 155

161

139 145

151 157

163 169 176 183 190 197 204 211 218 225 232 239 246 253 260 267 274 281 288 295

6 13

175 182 189 196 203 210 217 224 231 238 245 252 259 266 273 280 287 294

177 184 191 198 205 212 219 226 233 240 247 254 261 268 275 282 289 296

167 178 185 192 199 206 213 220 227 234 241 248 255 262 269 276 283 290 297

179 186 193 200 207 214 221 228 235 242 249 256 263 270 277 284 291 298

173 180 187 194 201 208 215 222 229 236 243 250 257 264 271 278 285 292 299

181 188 195 202 209 216 223 230 237 244 251 258 265 272 279 286 293 300

- 61 301 308 315 322 329 336 343 350 357 364 371 378 385

302 309 316 323 330 337 344 351 358 365 372 379 386

303 310 317 324 331 338 345 352 359 366 373 380 387

304 311 318 325 332 339 346 353 360 367 374 381 388

305 312 319 326 333 340 347 354 361 368 375 382 389

306 313 320 327 334 341 348 355 362 369 376 383 390

307 314 321 328 335 342 349 356 363 370 377 384 391

SATZ: Wenn Differenz zwischen ungerade Zahlen, die als Produkt zwei kleineren Zahlen a und b mit a, b>1 nicht darstellen kann, teilbar ist ohne Rest durch 7, dann die Zahlen prim und kongruent Modulo 7 sind. Beweis: a – b = n(7) a ≡ b (mod p) p = n(7) + r(2, 3, 5, 11, 13, 29) p  p` mod p 11  53 mod 7 weil 11 = 1(7) + 4, und 53 = 7(7) + 4, gilt sind p und p` kongruent Modulo p, so ist p`- p ein ganzzahliges Vielfaches von p 53-11 = 42/7 = 6 p - (2,3,5,11,13,29) = n(7) Dieses Beweis stellt Mathematiker ein sehr schnelles Verfahren zu Bestimmung einer Primzahl mit beliebig vielen Stellen zu Verfügung. p = n(7) + Rest (1,2,3,4,5,6) p + 2(7) = p„ + 4(7) = p“ 5 + 2(7) = 19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89,…

p + n(7) = p' 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

95 91 67 73 79 85 89 53 59 65 71 77 83

0 0 7 13 0 19 0 3 0 5 0 2 0 0 1

25 31 37 43 49 55 61 11 17 23 29 35 41 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 7 8 9 10 11 12 13 14

- 62 -

Daher Polynom, der beschreibt alle Primzahlen nimmt Gestalt: P(x) = n(7) + (2,3,5,11,13,29) 65 537 = 9 362(7) + 3

91 77 97

85 71

35 55 43

41 7 0

13 6

61 47

29 1 2

5 4 11 25

53 67

23 37

65 79

17 31 59 73

Die Entdeckung der Herzrhythmus der Mathematik zerstört die Sicherheit von RSA Systems und Firma, die Primzahlen verkauft, könnte bei diesen Beweis ihre Waren getrost mit der Zusatz „Geld – zurück – Garantie“ anbieten, ohne befürchten zu müssen, Pleite zu gehen. Es ist klar, dass 129 stellige Zahl keiner Primzahl ist, wenn sie Produkt von 64 und 65 stellige Faktoren ist, und die 64 stellige Zahl teilbar ist durch 7. 3490 529 510 847 650 949 147 844 619 903 898 133 417 764 638 493 387 843990 820 577/7 =498 647 072 978 235 849 878 263 517 129 128 304 773 966 376 927 626 834855 831 511 Aber die 65 stellige eine Primzahl ist (32 769 132 993 266 709 549 961 988 190 834 461 413 177 642 967 992 942 539 798 288 533 – 5):7 = 4 681 304 713 323 815 649 994 569 741 547 780 201 882 520 423 998 991 791 399 755 504

- 63 -

p, p', p" = 2n + p' 2, 3, 5 = 2 + 3, 7 = 4 + 3, p'" = n(7) + Rest(1,2,3,4,5,6), 11 = 7 + 4, 13 = 7 + 6, 17 = 2(7) + 3, 19 = 2(7) + 5, 23 = 3(7) + 2, 29 = 4(7) + 1, 2, 3, 5, -2- 7, -4- 11, -2- 13, -4- 17, -2- 19, -4- 23, 400 181

350 167 300

151 139

250 109

103

200 83

150

131

61 100 41 50 0

19 17

13 11

113 83

11 3

41 19

61 53

31 23

139 103

67 73 79

181 173

137

151

101

173 179

167

131 109

163

127

97 89

157

107

101

137

149

179 157

107

149

163

p + n(7) = p' 5 + 2(7) = 19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89 + 2(7) = 103 + 4(7) = 131 317

233 191 163 149 107

281 239 211 197

79 127113 7143 29

41 97 139 167 181 223 251 293 307

311 283 269 241 227 199 157

37 23 2

13 11 53 67

31 3 17 519 47

73 59

101

61 89 103 131 173 229

109 137 151 179 193

257 271 313

263 277

Echte Primzahlen haben keine Faktoren außer 1 und der Zahl selbst, aber fast Primzahlen sind beinahe so gut, weil sie mindestens zwei Primfaktoren, oder ein prim und ein fast Primzahl Faktor, oder zwei fast Primfaktoren besitzen z.B. 187 = 11(17) 343 = 7(49) 78 337 = 133(589). So ist die 23 eine Primzahl, doch die 25 (5·5) ist fast Prim.

- 64 Ebenso die Zahl 35(5·7), 49(7·7), 55(5·11), 65(5·13), 77(7·11). Fast Primzahl als Produkt der Primzahlen, ist nur nicht durch 2 und 3 teilbar. Also kann man sagen, jede zusammengesetzte Zahl p, die nicht durch 2 und auch nicht durch 3 teilbar ist, ist eine fast Primzahl. Alle Carmichael – Zahlen als Produkt von 3 Primfaktoren sind folgende fast Primzahlen. Es gibt sogar fast Primzahlen, die mehr als 3 Primfaktoren besitzen. z.B.: 140 000 003 = 11·13·97·10 093. SATZ: Wenn Differenz zwischen ungerade Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind, die als Produkt zwei kleineren Zahlen a und b mit a, b>1 darstellen kann, teilbar ist ohne Rest durch 3, dann die Zahlen sind fast Prim und kongruent Modulo 3. Beweis: a –b = n(3)

a ≡ b (mod 3)

„p“ = p(p„)

„p“ = n(3) + r(1, 2)

„p“  “p`“ mod. p 49  85 mod. 3 weil 49 = 16(3)+1, und 85 = 28(3)+1, gilt sind „p“ und „p`“ kongruent Modulo p, so ist „p`“- „p“ ein ganzzahliges Vielfaches von p. 85 - 49 = 36/3 =12 „p”- (5,7) = n(3 Alle fast Primzahlen ablesen wir aus Polynom: P(„p”) = n(3) + (5,7,11,13)

"p" ≡ "p" mod 3, 91 - 49 = 14(3), 119 - 77 = 14(3), 161 - 143 = 6(3), 169 133 = 12(3), 299 - 287 = 4(3), 301 - 289 = 4(3),

245259265 221235247253 215 209 203 217 205 185

305 299301 287295 275289

161 175 169 143155 125 119 133145 121 115 95 77 65 85 91 49 55 250 35 0 0 00 0 0 00 0 0 1 2 3 4 0 0 00 5 6 7 8 0 9 10 11 12 0 0 0 13 14 15 16 0 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

- 65 -

"p"+n(7)="p' " 35+ 2(7)=49+ 4(7)= 77 + 2(7) = 91 + 4(7) = 119 + 2(7) = 133 + 4(7) = 161 + 2(7) = 175 + 4(7) = 203 + 2(7) = 217 + 4(7) = 245 + 2(7) = 259 + 4(7) = 287 287 259 245 217 203 175 161 133 119

299 215 187

235 221

91 77

145

49 35 7

95 25

185

115 143

125 209

265

65 85 121 155 169 205 247

253

275 289

295

"p" = n(3) + (1,2)

25 = 8(3) + 1 35 = 11(3) + 1 49 =16(3) + 1 55 = 18(3) +1 77 = 25(3) + 2 85 = 28(3) + 1 91 = 30(3) + 1

65 = 21(3) + 2

95 85 335

125

329

121

325

305 295 301 299

293

289

145

119 323

287

143 115

319

133

275

155

161

175 259

235 185

203 215 253 265

169 187

245 205 247

217

251

209 221

Fast Primzahlen zusammengestellt aus Primzahlen größer als drei, entwickeln sich auf sie wie prächtige Fächer in Unendlichkeit.

- 66 -

5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,(p) = "p" 600 559 500

473

400 301

451

300 215 287

200

205 481

49 77121 43 25 35 100 55 5 7 169 11 91 143 37 13 65 0 17 85 35 119 187 175 19 31 221 289 255 23 29 25 385 95 455 133 155 115 209 217 145 125 247 161 203 175 323 341 361 253 403 299 275 319 325 377 391 437 425 493 407

259

185

475

350 357 364 371 378 385 392 399 406 413 420 427 434 441 448 455 462 469 476 483 490 497 504 511 518 525

351 358 365 372 379 386 393 400 407 414 421 428 435 442 449 456 463 470 477 484 491 498 505 512 519 526

352 359 366 373 380 387 394 401 408 415 422 429 436 443 450 457 464 471 478 485 492 499 506 513 520 527

353 360 367 374 381 388 395 402 409 416 423 430 437 444 451 458 465 472 479 486 493 500 507 514 521 528

354 361 368 375 382 389 396 403 410 417 424 431 438 445 452 459 466 473 480 487 494 501 508 515 522 529

355 362 369 376 383 390 397 404 411 418 425 432 439 446 453 460 467 474 481 488 495 502 509 516 523 530

356 363 370 377 384 391 398 405 412 419 426 433 440 447 454 461 468 475 482 489 496 503 510 517 524 531

355

(76)(38) 361

365 377 391 395 403 407 415 425 437 445 451 455 475

473 481

485 493 505 515

517 527

(46)(92) 529

- 67 (10)(20) 25 35 (14)(28) 49 55 65 77 85 95 91 115 125 145 155

119 (22)(44) 121 133 143 (52)(26) 169

161 175 185 205 215

187 203 217

209 221

235 245

247 259

253

265 275

(34)(68) 289

287 295 305

299 301 319

325 335

329 343

323 341

355 365

(76)(38) 361 371

377

385 395

391 407

415 425

403

413 427 437

445 455

451 469

475 485

473 481 497

505 515

511

493 517 527

(46)(92) 529

- 68 -

In Intervall 30 Zahlen (10 – 40) auf drei mit Einheitsziffern 5 (15, 25, 35) zwei sind fast Primzahlen. Fast und Primzahlen platzieren sich in Abständen je 2(p) und 4(p), d. h. in doppelte und vier faltige Vielfache der Primzahlen. 25 – 2(5) – 35 – 4(5) – 55 49 – 4(7) – 77 – 2(7) – 91 121 – 2(11) - 143 – 4(11) – 187 17 - 4(5) – 37 – 2(5) – 47 – 4(5) – 67- 2(5) – 77 – 4(5) – 97 – 2(5) – 107 – 4(5) – 127 – 2(5).. DREIECK DER FASTPRIMZAHLEN. 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59

5 25 -22 -52 -34 -76 -46 100 -58 124 -70 148 -82 172 -94 196 106 220 118

7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 35 55 65 85 95 115 125 145 155 175 185 205 215 235 245 265 275 295 49 77 91 119 133 161 175 203 217 245 259 287 301 329 343 371 385 413 -44 121 143 187 209 253 275 319 341 385 407 451 473 517 539 583 605 649 -26 169 221 247 299 325 377 403 455 481 533 559 611 637 689 715 767 -68 289 323 391 425 493 527 595 629 697 731 799 833 901 935 1003 -38 361 437 475 551 589 665 703 779 817 893 931 1007 1045 1121 -92 529 575 667 713 805 851 943 989 1081 1127 1219 1265 1357 -50 625 725 775 875 925 1025 1075 1175 1225 1325 1375 1475 116 841 899 1015 1073 1189 1247 2363 1421 1537 1595 1711 -62 961 1085 1147 1271 1333 1457 1519 1643 1705 1829 140 1225 1295 1435 1505 1645 1715 1855 1925 2065 -74 1369 1517 1591 1739 1813 1961 2035 2183 164 1681 1763 1927 2009 2173 2255 2419 -86 1849 2021 2107 2279 2365 2537 188 2209 2303 2491 2585 2773 -98 2401 2597 2695 2891 212 2809 2915 3127 110 3025 3245 236 3481

"p" + 2(p)

"p' " + 4(p)

25 + 2(5), 35 + 4(5), 55 + 2(5).. 49 + 4(7), 77 + 2(7), 91 + 4(7), 119 + 2(7), 133 + 4(7), 121 + 2(11), 143 + 4(11)

100%

80% 35

115

95 101

121 125 133

143

155 161 169 175

60% 17

107

137

151

181

40% 119 20%

97 103

127

113

145

131

109

139

157 163 167 173

149

179 169

2 5 11 121

2 5 11 49

2 5 11 35

2 5 11 2 5 11 3 7 13 17

41 37

47 43

145

101 97

161 155

115

71 67

133 125

85 61

143

119 95

55 31

2 5 11 3 13

131 107

103

127 113

175 151

137

181 157

167 163

173

Alle fast Primzahlen sind Produkt von Primzahlen und platzieren sich mit Abstand je 2(p) und 4(p). Die Quersummen der fast Primzahlen lauten 2, 4, 5, 7, 8 und 10.

- 69 25 + 2(5) = 35 + 4(5) =55 + 2(5) = 65,… 49 + 4(7) = 77 + 2(7) = 91 + 4(7) = 119,.. 5(5)=25 + 5(12) = 85 7(7)=49 + 7(12) =133 11(11)=121+11(12)=253 13(13)=169 + 13(12)=325 7(5)=35 + 5(12) = 95 17(7)=119+7(12)=203 13(11)=143+11(12)=275 11(5)=55 + 5(12) =115 13(7)=91+7(12)=175 17(11)=187+11(12)=319 13(5)=65 + 5(12) =125 11(7)

400 300 200 100 0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Serie1 0 0 0 0 65 77 0 0 0 125 0 0 161 0 185 0 209221 0 245 0 0 0 0 305 0 329341 Serie2 0 0 0 55 0 0 91 0 115 0 0 0 0 175187 0 0 0 235247259 0 0 295 0 319 0 343 Serie3 0 35 0 0 0 0 95 0 119 0 143155 0 0 0 203215 0 0 0 0 275287299 0 323335 0 Serie4 25 0 49 0 0 85 0 0 121133145 0 169 0 0 205217 0 0 253265 0 289301 0 325 0 0 25 55 85 115 145 175 205 235 265 295 325 355 385 415 445 475 505 535 565 595 625 655 685 715 745 775 805 835

35 65 49 95 125 155 185 169 215 245 275 289 305 319 335 365 395 425 455 485 515 545 575 605 635 665 649 695 679 725 755 785 815 799 845

91 121

119 133

143 161 203 221

253 287

187 217 247

301

299 329

323 377 407 437 497 527

361 391

343 403

451 481 511

341 371 413 427 473

493

517 533

601

553 583 623

539 551 581 611 671

707 737 767

721

703

713

629 637 667 697

731 781 841

209

763 793

803 833

689 749 779

791 817

- 70 865 895 925 955 985 1015 1045 1075 1105 1135 1165 1195 1225 1255 1285 1315 1345 1375 1405 1435 1465 1495 1525 1555 1585 1615 1645 1675 1705 1735 1765 1795

875 905 935 965 995 1025 1055 1085 1115 1145 1175 1205 1235 1265 1295 1325 1355 1385 1415 1445 1475 1505 1535 1565 1595 1625 1655 1685 1715 1745 1775 1805

889 917 949 979

871 901 931 961

851 913 943 973 1003

5 29

7 59

23 43 53

37 47 67

11 13

79 89

73 83

31 41 61 71

869 899 959 989

1007 1037 1043 1067 1081 1073 1099 1111 1127 1141 1133 1159 1157 1189 1183 1219 1247 1261 1243 1253 1273 1309 1313 1339 1337 1351 1333 1343 1369 1363 1397 1411 1393 1403 1441 1457 1463 1501 1493 1519 1517 1513 1547 1561 1577 1591 1573 1603 1639 1651 1633 1643 1681 1673 1711 1703 1729 1727 1757 1771 1793

847

893 923

1001 1027 1057 1079 1121

1139 1147 1169 1177 1199 1211 1207 1241 1271 1267 1331

1349 1357 1379 1391 1387 1421 1417 1469 1477 1507 1529 1541 1537 1589 1631 1661 1691 1687 1717 1751 1781

1739 1769 1799

13 17

25 35 49 55 65 77 85 95

1649 1679

97 91 109 103 107 101 17 113 115 119 11 127 125 121 19 139 137 131 133 13 149 145 143 157 151 155 13 23 163 167 161 169 179 173 175 17 181 185 187

- 71 199 193 197 191 19 29 31 17

205 203 209 211 215 217 229 223 227 239 233

19 23 37

257 269 263 277

283 293

23 43

307 313 317

29 19

47 31 49 349 359 353

19 29

337 347

221 235 241 245 251 265 271 275 281 295 305 311 325 331 335

31 37

287

367

397

385 395

301 319 329

323

361 371

409 59 419 61 439 433 449 443

289 299

343 341 355 365

53 379 373 389 383

247 259 253

377 391

407 403 415 413 421 425 427 23 431 437 445 41 457 455 451 67 463 467 461 469 43 479 475 473 37 487 485 481 29 71 499 491 497 493 509 503 505 47 73 515 511 517

2617

401

2615 2611 2621

2633 2647 2657

2659 2663

2635 2645 2641 2651 2665

2627 2623 2629 2639 2653 2669

Die Tabelle zeigt, dass Fast und Primzahlen angeordnet nach den 4 charakteristischen Einheitszahlen 9 – 3 – 7 – 1, teilt ein fast Primzahl mit Einheitszahl 5 auf zwei komplementäre Teile. Widerspricht das dem allgemeinen Meinung um angeblichen Unregelmäßigkeiten in der Primzahlverteilung, und dass die Primzahlen immer seltener werden, je weiter man in der Zahlenreihe fortschreitet. Größere oder kleinere Lücke zwischen Primzahlen 2-4-6-12-14-1820-22-24-26-30-34-36-44-52-60-72-86-96-112-114-118-132-148-154-180-210-220-222-234248-250-282-288-292-320-336-354-382-384-394-456-464-468-474-486-490-500-514-516532-534-540-582-588-602-652-674-716-766-778-804-806-906,… sind mit fast Primzahlen

- 72 erfüllt, die auch in 2/4 Rhythmus kommen vor. Zwischen Primzahl 1327 und 1361, liegen 10 folgende Zahlen die teilbar durch ein Primzahl und deshalb fast Primzahlen sind. 1327 + 4 = 1331/11 + 2 =1333/31 + 4 =1337/7 + 2 =1339/13 + 4 =1343/17 + 2 =1345/5 + 4 = 1349/19 + 2 = 1351/7 + 4 = 1355/5 + 2 = 1357/23 + 4 = 1361 - 1327 = 34 Ähnlich ist zwischen 8467 und 8501. Zwischen 370 261 und 370 373 liegt eine Lücke von der Länge 112, und zwischen 10 000 019 und 10 000 079 eine Lücke von der Länge 60. Für p < N beträgt die größte bekannte maximale Lücke m = 1442, p = 804 212 830 686 677 669. 10 000 019+2 = 10 000 021/97+4 = 10 000 025/5+2 = 10 000 027/37+4 = 10 000 031/227 + 2 =10 000 033/397+4 = 10 000 037/43+2 = 10 000039/7+4 = 10 000 43/2089+2 = 10 000 045/5 + 4=10000049/47+2 =10 000 051/73+4 =10 000 055/5+2=10 000 57/79+4= 10 000 061/19+2 =10 000 063/17+4 = 10 000 067/7+2 = 10 000 069/181+4 = 10 000 073/31+ 2 = 10 000 075/5 + 4 = 10 000 079 – 10 000 019 = 60

2689 2699

2677 2687

2683 2693

2671

2681 2695 2705

2707 2719 2729

2713

2701

2711 2731 2741

2749 2753

2717 2725 2735 2755 2765

2767

2675

2723 2737 2747

2743 2759

2761

292

1453168141

1453168433

320

2300942549

2300942869

336

3842610773

3842611109

354

4302407359

4302407713

113

127

382

10726904659

10726905041

523

541

384

20678048297

20678048681

887

907

394

22367084959

22367085353

1129

1151

456

25056082087

25056082543

13063

13093

464

42652618343

42652618807

1327

1361

468

127976334671

127976335139

9551

9587

474

182226896239

182226896713

11633

11677

486

241160624143

141160624629

19609

19661

490

297501075799

297501076289

100000019

100000079

500

303371455241

303371455741

31397

31469

514

304599508537

304599509051

- 73 86

155921

156007

516

416608695821

416608696337

360653

360749

532

461690510011

461690510543

112

370261

370373

534

614487453523

614487454057

114

492113

492227

540

738832927927

738832928467

118

1349533

1349651

582

1346294310749

1346294311331

132

1357201

1357333

588

1408695493609

1408695494197

148

2010733

2010881

602

1968188556461

1968188557063

154

4652353

4652507

652

2614941710599

2614941711251

180

17051707

17051887

674

7177162611713

7177162612387

210

20831323

20831533

716

13829048559701

13829048560417

220

47326693

47326913

766

19581334192423

19581334193189

222

122164747

122164969

778

42842283925351

42842283926129

234

189695659

189969583

804

90874329411493

90874329412297

248

191912783

191913031

806 171231342420521

171231342421327

250

387096133

387096383

906 218209405436543

218209405437449

282

436273009

288

1294268491

436273291

1132

1693182318746371

1294268779

1308

749565457554371299 749565457554372607

355

343

361

365

49 353

323 331

319

317

293 281

283 277241 269 257

271

199 205

259

223 233

247

211 203

163

149 157

179 167

193 185

235

227

103 115

137

145

107

101

125

119

131

151

173

215

113 139 127

181 239 229

253 245 263

109

251

265

59 67

307 313

295

47 37

337 349

299

275

359

287

301

289

347 325

311 305

367

341

329

335

1693182318747503

121 133

161 197

221 217

209

191

143 187

175

169

155

Auf diesem Radardiagram die fast Primzahlen sind weiß auf schwarz markiert. Kongruenzsatz fehlerfrei unterscheidet die Primzahlen von teilbaren Zahlen, d.h. fast Primzahlen. z.B. Primzahl bestätigt Triftigkeit der Formel p = 3 + n(7) p = 5 + n(7) 2 89 - 1 = 618 970 019 642 690 137 449 562 111 –3 618 970 019 642 690 137 449 562 108/7 = 88 424 288 520 384 305 344 937 444

- 74 (3 203 000 719 597 029 781 – 3) : 7 = 457 571 531 371 004 254 (810 433 818 265 726 529 159 – 5) : 7 = 115 776 259 752 246 647 022 und fast Primzahl mit zahlreichen Iterationen in ihm wie im Quotienten der Formel „p“= 2 + n(3) 7 · 20408163265306122449 = 142 857 142 857 142 857 143 - 2 142 857 142 857 142 857 141/3 = 476 190 476 190 476 190 47 Eine sonderbare Primzahl tritt uns im zweiten Faktor des folgenden Ausdrucks entgegen: 10 31 + 1 = 11· 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 Der Zahleniterationen im dieser Primzahl liegt die Primzahlzerlegung ihres Produkt zugrunde. Daraus, das 1001 = 7 · 143 = 11 · 91 = 13 · 77 und 10 001 = 73 · 137 ist, ergeben sich folgende Iterationen. Produkte von: 7 · 1001 = 7007 11 · 1001 = 11011 13 · 1001 = 13013 77 · 1001 = 77077 91 · 1001 = 91091 143 · 1001 = 143143 73 · 1001 = 73073 137 · 1001 = 137137 und 999 Vielfache von 1001 z.B. 323 ·1001 = 323 323 und von 10 001, 43 ·10 001 = 430 043 29 · 430 043 = 124 7 124 7 3 · 12 471 247 = 37 41 37 41 Bemerkenswerte Iterationen zeigt Primzahl 9 090 909 091 und sein Quadrat, also fast Primzahl 826 644 628 100 826 446 281 und Primzahl 82 644 628 099 173 553 719, derer außer Iterationen weist zwei Paare von Spiegelzahlen auf. 9999907 9999901

9999905 9999913

9999929 9999931

9999911

9999925

9999919

9999923

9999937

9999935

9999943

9999973

9999917

9999949

9999947

9999941

9999955

9999959

9999953

9999961

9999965

9999967

9999977

9999979

9999971 9999991

9999985

9999983

9999997

9999995

9999989

10000003 10000001 10000007 10000009 10000019

10000015 10000013 10000021 10000025

10000027

10000039 10000037 10000031 10000033 10000045 10000043 10000049 10000051

10000055 10000057

10000069 10000067 10000061 10000063 10000079

10000073 10000075 10000085 10000081 10000087 10000097 10000091 10000099 10000093

- 75 -

Nehmen wir die Formel, die solche Strukturen erzeug: (1,2,3,4,5,6) + n(7) = p 2 + 3(7) = 23 (1,2) + n(3) = „p“ 1 + 8(3) = 25 9 999 901 = 1 428 557(7) + 2 9 999 905 = 3 333 301(3) + 2 9 999 907 = 1 428 558(7) + 1 9 999 913 = 3 333 304(3) + 1 9 999 929 = 1 428 561(7) + 2 9 999 923 = 3 333 307(3) + 2 9 999 931 = 1 428 561(7) + 4 9 999 925 = 3 333 308(3) + 1 9 999 937 = 1 428 562(7) + 3 9 999 935 = 3 333 311(3) + 2 9 999 943 = 1 428 563(7) + 2 9 999 949 = 3 333 316(3) + 1 9 999 971 = 1 428 567(7) + 2 9 999 977 = 3 333 325(3) + 2 9 999 973 = 1 428 567(7) + 4 9 999 985 = 3 333 328(3) + 1 9 999 991 = 1 428 570(7) + 1 9 999 997 = 3 333 332(3) + 1 10 000 019 = 1 428 574(7) + 1 10 000 015 = 3 333 338(3) + 1 10 000 079 = 1 428 582(7) + 5 10 000 085 = 3 333 361(3) + 2 Wir betrachten die Primzahlen auf beiden Seiten von 10 000 000 innerhalb eines Intervalls von 100 Zahlen. 9999907 9999901

9999905 9999911

9999929

9999917

9999925 9999937 9999931

9999923 9999941

9999947

9999955 9999965

9999949 9999953

9999961

9999971

9999977

9999991

9999979 9999983

9999995

9999959

9999967

9999985

9999989

9999997 10000001 10000007

10000019

9999919

9999935

9999943

9999973

9999913

10000015

10000003 10000009 10000013

10000025 10000021 10000027 10000031 10000037 10000045

10000033 10000039 10000043 10000049

10000055 10000051 10000057 10000061 10000067 10000079

10000075

10000063 10000069 10000073

10000085 10000081 10000087 10000091 10000097

10000093 10000099

Dies vergleiche man mit den Anzahl Primzahlen innerhalb von 100 Zahlen oberhalb von 10 000 000. (von 9999901 – 9999991 sind 9 und von 10 000 001 – 10 000 097 nur 2 Primzahlen) (n)7 PRIMZAHLEN UND (n)3 FAST PRIMZAHLEN SIEB. 2

5 11

17 23

7 13

19 25

-5-

-11-

-13-

- 76 29

53 59

55 61

67 71

73 79

83 89

85 91

97 101 107

103 109

113 127

131 137 149

139

119

115

143

145

121 125 133

151 157

155

163

167

169

161

173 179 191 197

181

185

193 199 205 203

211 223 227

209 215 221

217

229

233 239

175 187

235 247 245

241 251 257

253 259

263 269

265 271

275

277 281

283

289 287

Wenn Differenz zwischen a, und Primzahlen 5,7,11,13 grade Zahl teilbar durch 3 ist, dann sicher ist das ein fast Primzahl. P(„p“) = n(3) + (5,7,11,13) 289 = 3(94) + 7 253 = 3(80) + 13 Wenn Differenz zwischen a, und Primzahlen 2,3,5,11,13,29 durch 7 teilbar ist, dann sicher die Zahl ist prim. 2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 + 36 = 5 + 7 + 11 + 13 \ 99 / 7(9) = 63 36 = 3(12) Die Zerlegung Fast und Primzahlen in die Summe einer Primzahl und ein Vielfaches von 3 bei fast Primzahlen oder 7 bei Primzahlen ist immer durchführbar, weil beiden Summen von Primzahlen ein Vielfaches sind von 3 und 7. P(p) = n(7) + (2,3,5,11,13,29) 65 537 = 9 362(7) + 3 P(„p“) = n(3) + (5,7,11,13) 4 294 967 297 = 1 431 655 764(3) + 5

- 77 So zeigen die fast Primzahlen und Primzahlen ungeheuerste Regelmäßigkeit auf, und sind dadurch Gesetzen unterwarfen /(n)3 und (n)7 Sieb/ denen sie mit fast peinlicher Genauigkeit gehorchen PERIODISCHE 2 5

SYSTEM DER FAST UND PRIMZAHLEN

3 7 13

11 17

25 31

37 43

35 41

55 61

67 73

65 71 79

77 85

89 97 103

91 95

101 107

109

113

115 119 127

121

125 131

137

133 139 145

151

143

149

157

155

163

161 167

169

173

175 181

179 185

193

187

191 197

199 205 211

203 209

215

217

223

221 227

229

233

235 241

239 245

247

251

253

257

259

263

265 271

269

- 78 277 283

275 281 289

293

287

295 299 307

313

301

305 311

317

319 325 331

323 329

337

335 341

347

349

353

355 359 367

361 365

373

371 379

383

377 385

389 397

391 395

401

403 409

407 415

421

413

419 425

433

427

431 439

443

437 445

449 457 463

451 455

461 467

469 475

473

479 487 493

343

481 485

491 499

503

497 505

509

511

Die Fast und Primzahlen wurden Paarweise in der natürlichen Reihenfolge aneinanderreihen. Solch aneinanderreihen bildet 10 vertikal Zahlenkolonne, welcher Verse fassen je Paar Fast und Primzahl, zwei Primzahlen, oder zwei folgende Fastprimzahlen. In der ersten Zahlenkolonne sind Primzahlen 2 und 5. Nächste 9 Zahlenkolonnen fassen sonstige fast und Primzahlen mit der Einheitsziffern 1–3 –5 –7–9, in regelmäßigen Abständen je n(6). In den Primzahlenpaar Summe der Einheitsziffern ist gleich 4-6-10-6-16. In den Fast und Primzahlenpaar und fast Primzahlenpaar Summe der Einheitsziffern ist gleich 4,-4- 8,-2-10,2-12,-4-16. In der Summen der Einheitsziffern der Paare ist das Code vorgemerkt nach welches sind es die Fast und Primzahlen verteilt im Folge der natürlichen Zahlen: 23 -2- 25 -

- 79 4- 29 -2- 31 -4- 35 -2- 37 -4- 41... Summen der Einheitsziffern 8, 12 außer Zwillingspaar (5, 7), zeigt auf Paar mit fast Primzahl mit der Einheitsziffer 5. Solche schraubenförmige(Helix Fast und Primzahlen) Anordnung ist der beste und unfehlbare Test, der einordnet Zahl zur richtige Zahlenkolonne. f(p"p") = p, p', p' + d, p" + 2d, d = 2,

f(p"p") = 2, 3, 3 + 2,

5 + 2,

7 + 4, 11 + 2, 13 + 4, 17 + 2,

53 50

49 47 43 41

40 37 35 31

29 25 23

19 17 13 11

10 7

0 1

5 3

2 11

2 21

2 25

2 27

2 33

2 35

2 41

2 43

2 47

2 49

Die arithmetische Folge der Fast und Primzahlen, ist lineare und schraubenförmige Folge.

P(p) = (2,3,5,11,13,29) + n(7)

59 = 3 + 8(7)

P("p") = (5,7,11,13) + n(3) 55 = 7 + 16(3)

140

2,3, -2- 5, -2- 7, - 4- 11, -2- 13,- 4 - 17,..

120 55 100

49 43

80 37 31

59 53

47 41

35 29

17 7

5 2

3 2 1

4 2

17 2

11 2

5 2

2 1

Serie3

Serie4 Serie2

Serie1

2 20 61 59

4 2

- 80 Helix der Zwillingsfolgen fast und Primzahlen. 3 7

5 11

13 19

23 31

47 53 61

49 55 59

65 71

73 79

83 89 97 107

127 137

157 167

197

227

77 85 91 95

101 103 109 113 115 121 125 131 133 139 145 151 149 155 163 161 169 173 175 181 179 187 191 193 199 205 211 209 217 223 221 229

119

143

185

203 215

Fast und Primzahlen bilden zwei Zwillingsfolgen, die immer größer sind um vollkommene Zahl 6. Die Doppel Helix Struktur der arithmetische Folge der Fast und Primzahlen zeigt konstante Differenz zweier benachbarte Folgeglieder, d.h. es gibt d  R, so dass für alle n  N gilt; a n1 an  d 11 – 5 = 6 = 13 – 7 2 + 3 = 5 (2) 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37

- 81 41 47 53

43 49 55

2 + 3 = 5 -2- 7 -4- 11 -2- 13 -4- 17 -2- 19 -4- 23 -2- 25

2 55

31 25 19 13 7

3 5 11 17 23 29 35 41 47 53

Deshalb obgleich im Riemannsche Vermutung die Verteilungsfunktion π(x), ist im Kleinen eine Treppenfunktion von hochgradiger Unregelmäßigkeiten, als Doppel Helix arithmetische Folge der fast und Primzahlen, derer Differenz d = 6 konstant ist, zeigt eine verblüffende Glätte. Die Gleichförmigkeit, mit der dieser Graph z.B. bei π 100 000 ansteigt, verdankt er nicht der Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl N, die durch eine Logarithmusfunktion lässt sich ausdrücken, sonder deren regelmäßigen Verteilung, die von ihre Kongruenz Modulo 7 kommt.

- 82 -

p' - p = n(6) = "p' " - "p"

131 - 113 = 3(6) = 161 - 143

140

120

100

80 127131 121125 115119 113 109 103107 97 101

91 95 85 89 79 83 73 77 71 65 67 59 61 53 55 47 49 43 37 41 31 35 25 29 19 23 17 11 13 2 3 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 35

Serie6

Serie4 Serie3

Serie5

12 12

Serie2 Serie1 2 3 5

Die Verteilung der Fast und Primzahlen nach den Regel Kongruenz Modulo 3 ist Grund, weshalb diese komplexen Zahlen, gebaut aus zweier und dreier auf eine geraden Linie liegen, was bestätigt die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung. Und so gleicht die Fast und Primzahlfolge nicht einer Zufallsfolge von Zahlen, sonder einer geordneten Struktur. So grundlegenden Zahlen sind von der Natur nicht im Verfahren zufälliger Münzwurfe bestimmt. Zufall und Chaos sind dem Mathematiker einfach ein Gräuel. Zwillingsfolgen der Fast und Primzahlen sind kongruent nach dem Modul 72. p'="p" mod p

65 = 13(2) + 13(3)

137 = 67(2) + 3

p' - "p" = n/p

137 - 65 = 72/2

65 387 381 375 369 363 397 385 391 379 373 385 367 361 379 395 373 389 383 367 377 371 361 365 359 355 349 343 337 331325319313307301295289 287 293 217 299 305 223 311 317 229 323 235 329 335 241 341 247 347 353 253 259 265 271 277 283

59 61

53 55

47 49

41 35

137 131

125

119 37 113 29 31 107 23 101 25 95 17 19 89 83 11 13 77 5 7 71 2 3 73 79 85 91 97 103109 115 121 127 133 139

215 221 227 233 239 245 251 257 263 269 275 281

143 149 145 155 161 151 167 173 157 179 163 185 191 169 197 175 203 209 181 187 193 199 205 211

- 83 61

335

59 331

79 55

329

313

325

311 307

271

319

283

265

269

47 65

299 281

277

275

131

133

215

139

151

173

191

119

115

137

149

233 235

113

109

107

257

259

263

317 287

71 49

301 289

103 101

323 305

293

121

143

125

145

155

239 193

217

241 245

175

197

221

157 161

179

163

247 199

223

251

181

203

227

167

185

205 209

229

187

Die Gleichförmigkeit, mit der dieser Graph z.B. bei π 100 000 ansteigt, verdankt er nicht der Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl N, die durch eine Logarithmusfunktion lässt sich ausdrücken, sonder deren regelmäßigen Verteilung, die von ihre Kongruenz Modulo 7 kommt.

299

335

319

257

293

277 215

251

235

209

173

167

313 271

131

187

109

145

35 77

227

119

113 155 197 239 281 323

185

49 29

101 143

133 91

217 175

47 103

331 289 247 205 163 121

301

151 259

125

229

193

55 97

95 137

179 221

115

263

269 161

311

203

139 181

157

305

199 241

245 223

283

287 329

265

325

307

Fast und Primzahlen wachsen gleichmäßig in Paare ständig um 7 - Vielfach vollkommene Zahl 6.

- 84 -

p + 7(6) = p' 5 -42- 47 -42- 89 -42- 131 -42- 173 -84- 257 -126- 383 -84-467 -42- 509 -,,, "p"+ 7(6) = "p' " 35 -42- 77 -42- 119 -42- 161 -42- 203 - 42- 245 -42- 287 -42- 329 -42- 371 -42- 413 -42- 455 42- 497 -42- 539 .. 545 503 505 463 461 523 527 421 419 485 481 379 377 439 443 335 337 401 397 359 355 295 293 313 317 253 251 275 271 211 209 233 229 167 169 191 187 529 521 487 479 127 149 437 145 125 395353 403445 85 107 361 103 83 319 311 269 61 41 43 65 235277 227 193 185 23 151 143 101 59 19 0 23 67 109 541499457415373331 25 425 509 289247205163121 79 3717 257299341 173215 383 467 5 47 89 131 7 35 77 13 11 294991 119 55 31 71 133 161 97 53 113 175 203 139 73 217 245 155 259 95 287 181 115 301 197 329 137 343 223 371 157 239 385 413 265 179 427 281 455 199 469 307 497 221 323 511 539 349 241 365 263 391 407 283 433 305 449 325 475 491 347 517 367 533 389 409 431 451 473 493 515 535

Fast und Primzahlen kann man nach ihrer Größe ordnen. Solche Rangordnung bildet 14 vertikale Gruppe, und unzählige Menge horizontale Reihe (Periode) von Fast und Primzahlen. Periodenlänge (42) ergibt sich aus Periodenlänge (6) alle natürlichen Zahlen mal 7 Einheiten um welche die Primzahlen wachsen. In der 3 und 8 Gruppe, außer Primzahl 7 kommen nur fast Primzahlen vor. p + 6(7) = p' 5 + 6(7) = 47 + 6(7) = 89 + 6(7) = 131 + 6(7) = 173 "p" + 6(7) = "p'" 35 + 6(7) = 77 + 6(7) = 119 + 6(7) =161 + 6(7) = 203

250 200 150 100 50 0

193 197 199 203 205 209 211 173 175 179 181 185 187 191 151 155 157 161 163 167 169 131 133 137 139 143 145 149 109 113 115 119 121 125 127 89 91 95 97 101 103 107 071 67 0 73 0 77 0 0 0 79 0 0 83 0 47 85 055 0 0 0 0 0 49 0 0 53 0 0 0 0 61 0 0 590 0 0 0 0 65 0 0 0 0 25 029 0 0 0 0 31 0 0 0 0 35 0 0 0 0 5 0 41 0 0 37 0 0 7 0 43 0 0 110 0 0 0 13 0 0 170 0 0 19 0 1 2 0 0 23 3 0 0 4 5 0 6 7 0 8 9 10 11 12 13 14

Zahl 19 ist prim und die Summe 19 + 42 = 61 auch prim. Zahl 9 091 ist prim und die Summe 9 091 + 42 = 9 133 auch prim. 9 091 – 19 = 9 072 : 42 = 216

- 85 Zahl 909 091 ist prim und die Summe 909 091 + 42 = 909 133 auch prim. Zahl 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 ist prim und ich kann vorhersagen das die nächste in Abstand 42 liegt. 909 090 909 090 909 090 909 090 909 133 – 43 = 21 645 021 645 021 645 021 645 021 645 909 090 909 090 909 090 909 090 909 090 : 42 = 21 645 021 645 021 645 021 6 45 021 645 909 1 ist prim, auch + 42 = 9 133 909 091 ist prim, auch + 42 = 909 133 9 090 909 091 = 11 · 23 · 4093 · 8779 9 090 909 091 : 11 = 826 446 281 909 090 909 091 = 859 · 1 058 313 049 9 090 909 090 909 091 = 103 · 4013 · 21 993 833 369 909 090 909 090 909 091 ist prim 9 090 909 090 909 090 909 091 ist prim 909 090 909 090 909 090 909 091 ist prim 9 090 909 090 909 090 909 090 909 091 = 59(154 083 204 930 662 557 781 201 849) 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 ist prim. Das sind 4,6,18, 22, 24, 30 stelligen Primzahlen. Einer von100 und 1000 Million stelligen Primzahlen sind 9.090909091e99 999 999 und 9.090909133e999 999 999. 8 264 462 809 917 355 371 900 826 446 281 z.B.32 stelligen Zahl 90 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 ist teilbar durch 11 und e38“p“ = e26 + e10 + e2 105 831 304 899 989 415 869 510 001 058 313 049 38 stelligen Zahl 90 909 090 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 : 859 e32 „p“ = e22 + e9 + e1 8 264 462 809 917 355 371 900 826 446 281 + 82 644 628 099 173 553 719 008 264 462 81 90 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 e99 999 998 “p“ = e4 545 454(22) + e9 + e1 = 9.090909091e99 999 997 e1000 000 000 „p“ = e38 461 538(26) + e10 + e2 = 9.090909091e999 999 999 I

III 7

25 47

131 173 215

197

235 257

221 239

259 277

299

241 263

281 301

319

305 325 347

349

233 253 275 293

313 331

353

211

251

289

329

191

271

311

169

209

247

287 307

167

229

269

127 149

187

227

265

107

145

205

245

283

323 343

223

125

163

203

103

185

121

161

143

XIII XIV

119

199

101

181

XI XII

157

139

179

217

115

155

193

137

175

113

151

133

VII VIII

109

341

295 317

335 355

337 359

- 86 5 + 6(7) = 47 + 6(7) = 89 + 6(7) = 131 + 6(7) = 173 35 + 6(7) = 77 + 6(7) = 119 + 6(7) =161 + 6(7) = 203

337 295 253 359 211 317 169 275 233 127 191 85 149 107 43 335293 65 251209 23 167125 83 41

341 299 319 257 277 215 235 343 173 193 301 259 131 151 217 109 89 175 133 47 67 91 5 25 49 281323 197239 7 155 113 29 71

11 53 61 19 95 137 145103 179221 187 229 31 37 263305 271 13 17 347 73 355313 79 35 115 55 59 121 157 163 97 101 77 199 205 139 119 241 143 247 283 289 181 185 161 325 331 223 227 203 265 269 245 307 311 287 353 329 349

p + 2(7) = p' + 4(7) = p"

3 + 2 = 5 + 2(7) = 19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89 + 2(7) = 103 + 4(7) = 131 + 2(7) = 145 + 4(7) = 173

100%

109

80%

115 121 127

101

151

137

179 157 163 169

143

185

60%

175

149

133

107

23 40% 7

20%

41 47

83 89

113 119 125

131

103

181

155 161 167

139

173

145

0% 1

2 + 3 + 5 + 7 + 11,..+ 29 + 31 + 37 = 222 35 + 41 + 43 + 47 + 49,..+ 71 + 73 + 79 = 798 77 + 83 + 85,.. + 113 + 115 + 121 = 1386 119 + 125 + 127,.. + 155 + 157 + 163 = 1986 222 – 48(12) – 798 - 49(12) -1386 – 50(12) – 1986 ,.. 14d + [14d + n(12)],.. Auf diese Art und Weise wachsen aus 14 fast und Primzahlen gebaute Terme, die anordnen sich in herrliche Mosaik, welche schildert wie entwickelt sich derer Reihe mit Intervall 2 und 4 in 7 System.

- 87 Es gibt zwei Tatsachen über die Verteilung der Primzahlen, von denen ich hoffe, Sie dermaßen zu überzeugen, dass sie für immer in Ihrem Herzen eingraviert sind. Die eine ist, dass die Primzahlen, trotz ihrer einfachen Definition und Rolle als Bausteine der natürlichen Zahlen, selber für sich Bausteine sind, d.h. jeder Primzahl größer als 3, ist die Summe ihre Vorgänger, d.h. sechs Vorgänger 2, 3, 5, 11, 13 und 29 = 63 = 3(3)7, und n - t Vielfache der Primzahl 7. Sie wachsen also nicht wie Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinbar keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen, und kein Mensch kann voraussagen, wo wieder eine sprießen wird, noch einer Zahl ansehen, ob sie prim ist oder nicht. Die andere Tatsache ist viel verblüffender, denn sie besagt genau das Gegenteil – dass die Primzahlen die ungeheuerste Regelmäßigkeit aufzeigen, dass sie durchaus Gesetzen unterworfen sind – den Kongruenzgesetzen Modulo 7 – diesen mit peinlicher Genauigkeit gehorchen. Um die beiden Behauptungen zu veranschaulichen, zeige ich Ihnen eine Liste von den primen bis 100. Ich glaube, Sie werden zustimmen, dass ein sichtbarer Grund vorhanden ist, warum eine Zahl prim ausfällt und die andere nicht. 2+3=5 5 + 6(7) = 47 5+2=7 11 + 6(7) = 53 2(2) + 7 = 11 3 + 8(7) = 59 2(3) + 7 = 13 5 + 8(7) = 61 3 + 2(7) = 17 11 + 8(7) = 67 5 + 2(7) = 19 29 + 6(7) = 71 2 + 3(7) = 23 3 + 10(7) = 73 4(2) + 3(7) = 29 2 + 11(7) = 79 3 + 4(7) = 31 13 + 10(7) = 83 2 + 5(7) = 37 5 + 12(7) = 89 13 + 4(7) = 41 13 + 12(7) = 97 29 + 2(7) = 43 I 2

II 3

III

IV 5

11 17

V VI 7 13

VII

VIII

25 31

35 41

49 55

53 59

61 67

77 83 89 97 101

103

85 91 95

X 4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94 100

XI XII XIII 6 8 9 12 14 15 18 20 21 24 26 27 30 32 33 36 38 39 42 44 45 48 50 51 54 56 57 60 62 63 66 68 69 72 74 75 78 80 81 84 86 87 90 92 93 96 98 99 102 104 105

- 88 107

109

106 113 115 112 121 119 118 127 125 124

108 114 120 126

110 116 122 128

111 117 123 129

Die Primzahlen 2 und 3 sind Bausteine alle natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von ihnen schreiben lassen. Sogar jede unteilbare Primzahl kann man aus n(2) und 3 zusammensetzen. z. B.: 2 + 3 = 5 2(2) + 3 = 7 4(2) + 3 = 11 5(2) + 3 = 13 7(2) + 3 = 17 8(2) + 3 = 19 Periodisches System natürlichen Zahlen unterscheidet 13 Gruppen der geraden und ungeraden Zahlen. In der erste bis siebte Zahlenkolonne haben wir Primzahlen, die nachfolgen in 2(7) und 4(7) Rhythmus. z.B.: 5 +2(7)=19 + 4(7)=47 + 2(7)=61 + 4(7)=89 + 2(7)=103 + 4(7)= 131 In der sechsten Zahlenkolonne außer 7 haben wir freien Platz für die auftretende auch in 2(7) und 4(7) Rhythmus fast Primzahlen. z. B.: 35 + 2(7)= 49 + 4(7)= 77 + 2(7)= 91 + 4(7) = 119, die alle befinden sich in achte und neunte Zahlenkolonne. 25 + 2(5) = 35 + 4(5) = 55 + 2(5) = 65 + 4(5) = 85 + 2(5) = 95 + 4(5) = 115 + 2(5) = 125 … 121 + 2(11) = 143 + 4(11) = 187 + 2(11) = 209 + 4(11) = 253 + 2(11) = 275 + 4(11) = 319… In der zehnte und zwölfte Zahlenkolonne kommen gerade Zahlen und in elfte und dreizehnte Zahlenkolonne, gerade und ungerade Zahlen teilbar durch 3, die in 2(3) Rhythmus nachfolgen. 101, 1 001=11(91), 100 001=11(9091), 10 000 001=11(909 091), 1.000 001E+99 999 999 103, 1 003=17(59), 100 003, 1 000 003, 1.000 003E+12,+18,+19,+99 999 999,+999 999 999 107, 1 007=19(53), 100 007, 1 000 007, 1.000 007E+99 999 999, E+999 999 999 109, 1 009, 10 009, 100 009, 1 000 009, 1.000 009E+99 999 999, E+999 999 999 113, 1 013, 10 013, 100 013, 1 000 013, 1.000 013E+99 999 999, E+999 999 999 115, 1 015, 10 015, 100 015, 1 000 015, 1.000 015E+99 999 999, E+999 999 999 119, 1 019, 10 019, 100 019, 1 000 019, 1.000 019E+99 999 999, E+999 999 999 121, 1 021, 10 021, 100 021, 1 000 021, 1.000 021E+99 999 999, E+999 999 999 125, 1 025, 10 025, 100 025, 1 000 025, 1.000 025E+99 999 999, E+999 999 999 127, 1 027=13(79), 100 027, 1 000 027, 1.000 027E+99 999 999, E+999 999 999 131, 1 031, 10 031, 100 031, 1 000 031, 1.000 031E+99 999 999, E+999 999 999 133, 1 033, 10 033, 100 033, 1 000 033, 1.000 033E+99 999 999, E+999 999 999 137, 1 037=17(61), 10 037, 100 037, 1 000 037, 1.000 037E+14, E+16, E+99 999 999

- 89 139, 1 039, 10 039, 100 039, 1 000 039, 1.000 039E+13, E+99 999 999, E+999 999 999 2, 3, 5, 11, 13, 29 + n(7) = p 2 + 15(7) = 107

3 + 14(7) = 101

5 + 14(7) = 103

11 + 14(7) = 109

13 + 18(7) = 139

29 + 12(7) = 113

3 + 148(7) = 1 039

29 + 1430(7) = 10 039

5 + 142 862(7) = 1 000 039

5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039 5 + 142 857 142 862e99 999 999(7) = 1.000 000 039E+100 000 000 5 + 142 857 142 862e999 999 999(7) = 1.000 000 039E+1000 000 000 3 + 1(7) 2 + 14(7) 6 + 142(7) 4 + 1 428(7) 5 + 14 285(7) 1 + 142 857(7) 3 + 1 428 571(7) 2 + 14 285 714(7) 6 + 142 857 142(7) 4 + 1 428 571 428(7) 5 + 14 285 714 285(7) 1 + 142 857 142 857(7) 3 + 1 428 571 428 571(7) 2 + 14 285 714 285 714(7) 6 + 142 857 142 857 142(7) 4 + 1 428 571 428 571 428(7) 5 + 14 285 714 285 714 285(7) 4 + 1,428 571 428e99(7) 4 + 1,428 571 428e999(7) 4 + 1,428 571 428e99 999 999(7)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

10 100 1 000 10 000 100 000 1,00E+06 `1,00E+07 1,00E+08 1,00E+09 1,00E+10 1,00E+11 1,00E+12 1,00E+13 1,00E+14 1,00E+15 1,00E+16 1,00E+17 1,00E+100 1,00E+1000

1,00E+100 000 000

4 + 1,428 571 428e999 999 999(7) =

1,00E+1000 000 000

Zerlegung der fast Primzahlen in Primfaktoren. Die Zerlegung große Zahlen ist in den letzten Zweitausend Jahren ein schwieriges Problem geblieben. Die meisten Mathematiker glauben die Zerlegung von Zahlen sei ein grundsätzlich

- 90 aufwendiges rechnerisches Problem. Einer der Hauptgründe, weshalb die Faktorisierung von Zahlen so schwierig ist, beruht auf der Zufälligkeit der Primzahlen. Weil die fast und Primzahlen nicht mehr zufällig Verteilt sind, sonder nach den Regel Kongruenz Modulo 7, gibt uns das auch neue Verfahren zur Faktorisierung alle Produkte von Primzahlen. Nach den Kongruenzsatz können wir ganz leicht von einer ungerade Zahl wissen, ob es sich um eine Primzahl handelt oder nicht, und mit der binomische Formel die Primfaktoren einer fast Primzahl zu finden. Das heißt, dass man die Zahl irgendwie als Differenz von zwei Quadratzahlen schreiben muss, und der gemeinsame Faktor abspaltet. a(a) – b(b) = (a – b)(a + b) „p“ = p(p´) = [(p + p„)/2 – {(p + p„)/2 – p}][(p + p„)/2 + {(p + p„)/2 – p}] 147 573 952 589 676 412 927 = 193 707 721(761 838 257 287) = [(193 707 721 + 761 838 257 287)/2 – {(193 707 721 + 761 838 257 287)/2 – 193 707 721}] [(193 707 721 + 761 838 257 287)/2 + {(193 707 721 + 761 838 257 287)/2 – 193 707 721}] (381 015 982 505 – 380 822 274 783)( 381 015 982 505 + 380 822 274 783) „p“ = p(p + p`)

25 = 5(2 + 3)

35 = 6(6) – 1(1) = (6 – 1)(6 + 1) = 5(7)

55 = 8(8) – 3(3) = (8 – 3)(8 + 3) = 5(11)

143 = 12(12) – 1(1) = (12 – 1)(12 + 1) = 11(13)

221 =15(15)-2(2) =(15-2)(15+2) = 13(17)

253 = 17(17) – 6(6) = (17 – 6)(17 + 6) = 11(23)

247 =16(16)-3(3) =(16-3)(16+3) = 13(19)

341 = 21(21)-10(10) = (21-10)(21+10) = 11(31)

391 =20(20)-3(3) =(20-3)(20+3) = 17(23)

Wenn die Differenz zwischen einer Zahl a, und der Primzahl teilbar ist durch die Primzahl dann die Zahl ist Komplex.

a p  ( p'1) p

z. B.

287  7  40 7

p(p‟) = (p‟- 1)p + p

7(41) = (41 – 1)7 + 7

Am besten ist der gegebenen Zahl durch 3 dividieren, und gerundete Quotient ohne Rest von ihr subtrahieren. Dann gleichen wir den gerundeten Quotient zu den nächsten drittes Vielfache des fast oder Primzahl. Um derselben Zahl runden wir früher erhaltene Differenz ab, zu n –Vielfache derselben fast oder Primzahl. Und so bekommen wir Primfaktoren auf welche zerlegen sich fast Primzahlen. 319 : 3 = 106 – 19 = 87 : 3 = 29 319 – 106 = 213 + 19 = 232 : 8 = 29 319 = 11(29)

343 : 3 = 114 + 33 = 147 : 3 = 49 343 – 114 = 229 – 33 = 196 : 4 = 49 343 = 7(49)

8051 : 3 = 2683 – 2392 = 291 : 3 = 97 8051 – 2683 = 5368 + 2392 = 7760 : 80 = 97 8051 = 83(97)

- 91 -

9 090 909 091 : 3 = 3 030 303 030 – 550 964 187 = 2 479 338 843 : 3 = 826 446 281 9090909091 – 3030303030 =6060606061 + 550964187 = 6611570248 : 8 = 826446281 9 090 909 091 = 11(826 446 281) 909 090 909 091 : 3 = 303 030 303 030 – 299 855 363 883 = 3174939147 : 3 = 1 058 313 049 909090909091 – 303030303030 = 606060606061 + 299855363883 = 905 915 969 944 : 856= 1 058 313 049 909 090 909 091 = 859(1 058 313 049) 9090909090909091 : 3 = 3030303030303030 – 2765519270373639 = 264783759929391 : 3= 88261253309797 9090909090909091 – 3030303030303030 = 6060606060606061 + 2 765 519 270 373 639 = 8 826 125 330 979 700 : 100 9 090 909 090 909 091 = 103(88 261 253 309 797) 9 090 909 090 909 090 909 090 909 091 : 3 = 3 030 303 030 303 030 303 030 303 030 - 2 568 053 415 511 042 629 686 697 483 462 249 614 791 987 673 343 605 547/3 = 154 083 204 930 662 557 781 201 849 9090909090909090909090909091 – 3030303030303030303030303030 = 6 060 606 060 606 060 606 060 606 061 + 2 568 053 415 511 042 629 686 697 483 8 628 659 476 117 103 235 747 303 544 : 56 = 154 083 204 930 662 557 781 201 849 9 090 909 090 909 090 909 090 909 091 = 59(154 083 204 930 662 557 781 201 849) 8051 = 90(90) – 7(7) = (90 – 7)(90 + 7) = 83(97) 529 = 23(20 + 3)

493 = 23(23)-6(6)=(23-6)(23+6) = 17(29)

497 = 17(68 + 3) 1067 = (54 – 43)(54 + 43) = 11(97) 1105 = 17(62 + 3)

1309 = 17(74 + 3)

1147 = 31(34+3)

1369 = 37(34 + 3

25271 = 37(680 + 3)

8453= 79(107) 11111 = 41(271) 120481 = 211(571) 526313=281(1873) 322577= 163(1979) 434779=197(2207)

353357=307(1151) 10 000 043=2089(4787) 10 000 127= 167(59881)

370 267 = 479(773)

370 283 = 379(977) 370 289 = 349(1061)

370 297 = 353(1049)

370 303 = 367(1009)

370 319 = 547(677)

370 327 = 107(3461)

370 339 = 199(1861)

370 351 = 179(2069)

370 361 = 383(967)

370 309 = 67(5527)

370 313 = 47(7879)

370 273 = 43(8611)

370 301 = 29(12769)

370 333 = 37(10009)

370 369 = 23(16103)

370 243 = 17(21779)

370 249 = 11(33659)

370 253 = 13(28481)

370 271 = 11(33661)

370 277 = 17(21781)

370 291 = 19(19489)

370 331 = 13(28487)

370 337 = 11(33667)

370 379 = 17(21787)

370 343 = 59(6277)

370 279 = 7(52897)

370 381 = 11(33671)

- 92 370 307 = 7(52901)

370 321 = 7(52903)

370 349 = 7(52907)

370 363 = 7(52909)

9 999 913 = 7(1428 559)

9 999 917 = 23(434 779)

9 999 941 = 7(1 428 563)

9 999 947 = 19(526 313)

9 999 949 = 31(322 579)

9 999 971 =13(769 229)

9 999 977 = 13(769 229)

9 999 983 = 7(1 428 569)

9 999 989 = 223(44 84)

10 000 001 = 11(909 091)

10 000 003 = 13(769 231)

10 000 007 = 941(10 627)

10 000 009 = 23(434 783)

10 000 013 = 421(23 753)

10 000 021 = 97(103 093)

10 000 027 = 37(270 271)

10 000 031 = 227(44 053)

10 000 037 = 43(232 559)

10 000 039 = 7(1 428 577)

10 000 033 = 397(25 189)

10 000 043 = 2 089(4 787)

10 000 049 = 47(212 767)

10 000 061 = 19(526 319)

10 000 067 = 7(1 428 581)

10 000 069 = 181(55249)

10 000 073 = 31(322 583)

10 000 057 = 79(126 583)

10 000 081 = 7(1 428 583)

10 000 091 = 251(39 841)

10 000 093 = 53(188 681)

10 000 097 = 17(588 241)

10 000 099 = 19(526 321)

10 000 111 = 11(909 101)

10 000 123 = 7(1 428 589)

10 000 127 = 167(59 881)

10 000 133 = 11(909 103)

10 000 129=89(112361)

10 000 171 = 271(36901) 10 000 187 = 41(243907) 7 709 321 041 217 = 25 271(305 065 927)

7 709321041217=(152 545 599-152520 328)(152 545 599+152 520 328)=25271(305065927) 2 027 651 281 = (45041 – 1020)(45041 + 1020) = 44021(46061) 4 294 967 297=6 700 417(638+3) 1000001=101(9901) 8 547 008 547(13) = 111 111 111 111 Damit gibt es auch einen schnellen Weg zur Bestimmung von Primzahlen, mit denen sich RSA – Codes bauen lassen. Endlich habe ich, die geheimnisvolle Struktur hinter der fast und Primzahlen gefunden, nach der die Mathematiker seit Jahrhunderten gesucht hatte und kann ihre Musik ins unendliche aufschreiben. Wer den Takt zwei und vier kennt, weiß auch wo welche Note aus fast und Primzahlen als nächste kommt. Sie tauchen also nicht unvorhersehbar auf dem Zahlenstrahl auf. Ab jetzt können wir nicht mehr reden über ihre scheinbare Zufälligkeit, sonder mehr über ihren zeitlosen und universellen Charakter.

- 93 Nicht wahrnehmbare Ordnung und Riemannsche Vermutung. Seit Jahrhunderten hatten die Mathematiker dem Klang der Primzahlen gelauscht und nur ungeordnete Töne vernommen. Diese Zahlen glichen zufällig verteilten Noten auf einem mathematischen Notenblatt, ohne erkennbare Melodie. Immerhin konnten Mathematiker die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der eine Zahl „prim“ ist. Von den ersten zehn Zahlen sind noch vier prim(2, 3, 5 und 7). Unter den ersten hundert finden sich 25 Primzahlen, unter den ersten tausend 168. In Prozent ausgedrückt fällt ihr Anteil von 40 über 25 auf 16,8 Prozent. Unter allen Zahlen, die kleiner als eine Milliarde sind, erweisen sich nur noch rund 5 Prozent als prim. Diese Abnahme der Häufigkeiten lässt sich näherungsweise mit einer einfachen Formel beschreiben. Doch damit geben sich Mathematiker nicht zufrieden. Sie wollen zudem wissen, wie weit das tatsächliche Vorkommen der Primzahlen von den berechneten Häufigkeiten abweicht. Riemann stellte dazu in seiner berühmten, nur acht Seiten langen Abhandlung „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe“ folgende Vermutung auf: „Die bekannte Näherungsformel F(x) = Li(x) ist also nur bis auf Größen von 1 2

der Ordnung x richtig und gibt einen etwas zu großen Wert; Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Gesetzmäßigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluss der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen.“ Von den berechneten Häufigkeiten der Primzahlen weicht deren tatsächliche Anzahl genauso oft ab, wie es beim wiederholten Werfen einer Münze zu einem Ungleichgewicht von Wappen und Zahl kommt. Anders ausgedrückt: Laut der Riemannschen Vermutung Folgen die Primzahlen in ihrem Auftreten denselben Gesetzen wie Zufallsereignisse. Und hier, wie ich bewiesen habe, liegt er falsch. Die Primzahlen in ihrem Auftreten Folgen den Kongruenzgesetzen p´≡ p (mod.7) und verteilt sind Treppenweise. 5+ 2(7) = 19+ 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89 25 + 2(5) = 35 + 4(5) = 55 + 2(5) = 65 + 4(5) = 85 35 + 2(7) = 49 + 4(7) = 77 + 2(7) = 91 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

77 83 49 55 61 67 73 35 41 47 53 59 65 71

91 97 89 95

7 13 19 25 31 37 43 5 11 17 230 0 0 0 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 4 0 5 0 0 6 7 8 0 9 10 11 12 13 14

- 94 Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese (nach Bernhard Riemann) ist eine Annahme über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Sie besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen dieser komplexwertigen Funktion den Realteil ½ besitzen. Aber die sinusförmigen Wellen, die Riemann aus den Nullstellen der Zeta – Landschaft erschaffen hatte, offenbarten eine versteckte Harmonie. Die Riemannsche Zetafunktion

Betrag der Zetafunktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2 Die Riemannsche Zetafunktion ist eine komplexwertige Funktion, die durch die folgende Reihe definiert ist:

, Dabei bezeichnet den Realteil der komplexen Veränderlichen s. Auch wenn diese Darstellung nur für Re(s)> 1 gilt, lässt sich die Funktion auf die gesamte komplexe Ebene mit Ausnahme von s = 1 analytisch fortsetzen. Im Punkt s = 1 besitzt sie einen einzigen einfachen Pol. Eine der wichtigsten Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion ist ihr Zusammenhang mit den Primzahlen. Sie stellt eine Beziehung zwischen komplexer Analysis und analytischer Zahlentheorie her und bildet den Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung. Der folgende Ausdruck stellt den Zusammenhang formelhaft dar als

wobei Πp ein unendliches Produkt über alle Primzahlen p darstellt. Die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion in der komplexen Ebene, − 10 ≤ Re(s) ≤ 10 und 0 ≤ Im(s) ≤ 100 Die Zetafunktion besitzt die auf ganz

gültige, meromorphe Darstellung:

- 95 -

, wobei Γ die Gamma-Funktion und Bν die Bernoulli-Zahlen sind. Anmerkung: Bei der hier verwendeten Definition der Bernoulli-Zahlen gilt:

Die Zeta-Funktion hat triviale Nullstellen, die sich aus der Menge der Polstellen der GammaFunktion vermindert um die Menge der Polstellen des Klammerausducks durch Aufhebung ergeben. Es handelt sich dabei um die Menge der negativen geraden Zahlen. . Eine zentrale Erkenntnis Riemanns in seiner berühmten Arbeit aus dem Jahre 1859 war die Feststellung, dass sich alle möglichen, nichttrivialen Nullstellen in dem Streifen

befinden müssen. ζ(ρ) = 0 0< Re (ρ)< 1

0 0 0

0 0

0 0 0

43 47 37 41

59 61

67 71

0 0 29 31 0 23 0 19 17 13 0 0 7 11 35 20 00 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65

Die berühmte - und bis heute weder widerlegte noch bewiesene - Vermutung von Bernhard Riemann besagt, dass für alle nichttrivialen Nullstellen gilt:

- 96 -

ζ(s) = 0

0 < Re(s) < 1

97 89 83 79 73 71 67 61 59 53 47 43 41 37 31 29 23 19 17 13 11 7 5 3 2

0 0

0,2

0,4

0 0,6

0,8

1,2

Er formuliert eine Vermutung über die Lage der Nullstellen, die in zwei Klassen: die "offensichtliche Nullen" -2, -4, -6, etc., und diejenigen, deren Realteil liegt zwischen 0 und 1. Riemann Vermutung besagt, dass der Realteil der nicht offensichtlich Nullen genau ½ ist. Das heißt, sie alle auf eine bestimmte vertikale Linie in der komplexen Ebene liegen. Riemann kam auf seine Vermutung bei der Untersuchung des Produkts der Zetafunktion mit der Gammafunktion,

die bei der Vertauschung von s mit (1-s) invariant ist, das heißt sie erfüllt die Funktionalgleichung:

Die Gerade in der komplexen Zahlenebene mit dem Realteil 1/2 ist bei dieser Spiegelung ebenfalls invariant. Er sicherte seine Vermutung ab durch umfangreiche numerische Berechnung der Nullstellen, wie Carl Ludwig Siegel in den 1930er Jahren bei Untersuchung von Riemanns Nachlass herausfand. Bedeutung Aus der Riemannschen Vermutung folgt beispielsweise eine Restgliedabschätzung im Primzahlsatz: dabei ist

- 97 -

Viele weitere Resultate der analytischen Zahlentheorie, aber auch z. B. für schnelle Primzahltests (wichtig in der Kryptographie), können bisher nur unter Annahme der Riemannhypothese bewiesen werden. In den komplexen Nullstellen der Zetafunktion sind, wie Michael Berry schrieb, die Fluktuationen um die grobe asymptotisch logarithmische Verteilung der Primzahlen, die der Primzahlsatz beschreibt, kodiert. Kennt man die genaue Verteilung, kann man auch genauere Aussagen über die Wahrscheinlichkeit treffen, wie viele Primzahlen in einem Bereich anzutreffen sind. ζ(ρ)=0 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

0 < Re ( ρ ) < 1

Serie13

Serie12

Serie11

Serie10

95 86

Serie9

94 100

Serie8

Serie7

Serie6

Serie5

Serie4

Serie3

Serie2

Serie1

42 20

48 47

18 17

32 24 23

31 30 29

62 54 53

38 37

61 60

83 68 67

59 72

98 90

89 74 73

102 80

101

Die eigentliche Ursache dafür, dass viele Mathematiker so intensiv nach einer Lösung gesucht haben ist aber (abgesehen davon, dass dies die letzte noch unbewiesene Aussage in Riemanns berühmtem Aufsatz ist), dass sich in dieser außergewöhnlichen perfekten Symmetrie einer ansonsten sehr chaotischen Funktion (z. B. Universalitätssatz von Voronin: die Zetafunktion kann jede beliebige analytische von Null verschiedene Funktion innerhalb eines Kreises vom Radius 1/4 beliebig approximieren) wahrscheinlich die Spitze des Eisbergs einer fundamentalen Theorie verbirgt, so wie sich hinter der Fermat Vermutung die Parametrisierung von elliptischen Kurven durch Modulfunktionen verbarg, ein Teil des Langlands-Programms. Die Formel ist einfach: Das Verhältnis der Hälfte Zahlen unter gegebenen Größe N, ist direkt proportional zu den Quotient der Anzahl der Primzahlen durch ihre doppelte Anzahl. ½N : N = πx : 2(πx) πx ∝ ½N ½N(2 πx) = N(πx) πx/(2 πx) = y = ½ 2πx(½) = πx

- 98 -

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

N E+3 E+6 E+9 E+12 E+15 E+18 E+21

Πx 168 78498 50847534 37607912018 29844570422669 24739954287740860 2112726946018731928

Die zwei-Kolonnen Tabelle wie dieser, ist ein Beispiel für eine Funktion. Die Grundidee einer Funktion ist, dass einige Zahl davon hängt ab eine andere Zahl, nach einige feste Regel oder Verfahren. Eine andere Art zu sagen, das gleiche ist: Eine Funktion ist ein Weg, um eine Zahl auf andere transformieren. Die Funktion πx ∝ ½N ändert die Zahl 1000 in 168 – wieder, in Form von einem bestimmten Verfahren: 500(336) = 1000(168) Deshalb gibt es immer weniger Primzahlen zu eine gegebenen Größe, aber sie sind immer direkt proportional zu der Hälfte gegebenen Größe. Einhalten des ½ Verhältnis in jeden Block N Zahlen ist eine Garantie, das die Primzahlen nie mehr verschwinden, weil mit asymptotisch abnehmende Menge von Prim und ungeraden Zahlen in der Hälfte gegebenen Größe, monoton wächst die Menge der Primzahlenprodukt. Man hat den Eindruck, als ob man π(x) durch irgendeine glatte Kurve wenigstens annähernd beschreiben (approximieren) kann. Dies wird deutlicher, wenn wir uns einen größeren Bereich ansehen, z.B. bis x = 1000. Vollkommen glatt erscheint die Kurve von π(x), wenn wir bis x = 1 000 000 gehen. πx ∝ ½N ½N(2πx) = N(πx) 10/2·2(4) = 10(4) 100/2·2(25) = 100(25) 1000/2 · 2(168) = 1000(168)

πx/(2 πx) = y = ½

2,5E+18 y = 0,5x R² = 1

2E+18

1,5E+18 1E+18 5E+17 0 -2E+18

0 -5E+17

2E+18

4E+18

6E+18

Das ist also ein Beweis, das von Riemann entdeckte Ordnung tatsächlich Vorhandensein. Somit füllt sich die Lücke in Tausenden von Theoremen, die auf der Richtigkeit der

- 99 Riemannschen Vermutung beruhen. Denn viele Mathematiker mussten für ihre Ergebnisse die Riemannsche Vermutung einfach voraussetzen. πx/2πx = y = 1/2 4/8 = 168/336 = 78 498/156 996 = 50 847 534/101 695 068 = 37 607 912 018/75 215824 036 3,5E+13 y = 0,5x R² = 1

3E+13 2,5E+13

2E+13 1,5E+13 1E+13 5E+12 0 -2E+13

2E+13

4E+13

6E+13

8E+13

-5E+12 x

Das Zählen gehört zu den archaischen Wurzeln der Mathematik. Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu ergründen ist Gegenstand der Zahlentheorie, die eine mindestens bis in die Antike zurückreichende Geschichte hat. Die Multiplikation führt direkt zum Begriff der Primzahl: dies sind solche p ∈ N, die genau zwei Teiler haben. Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und dies gelingt von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen auf genau eine Weise. In diesem Sinne sind die Primzahlen die Bausteine der Arithmetik. Aber die sinusförmigen Wellen, die Riemann aus den Nullstellen der Zeta – Landschaft erschaffen hatte, offenbarten eine versteckte Harmonie. ½ N/N = πx/2πx dann πx = SATZ: Wenn der Quotient der Hälfte einer gegebenen Größe N durch die gegebene Größe, ist äqual zu dem Quotienten der Anzahl der Primzahlen in gegebene Größe durch ihre doppelte Anzahl, so in dieser Gleichung, es ist eine Verhältnisgleichung, das heißt in jeder Gleichung das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder. Beweis:

½N : N = πx : 2(πx) 5/10 = 4/8 = ½

πx ∝ ½N 8(1/2) = 4

½N(2 πx) = N(πx) πx/(2 πx) = y = ½ 2πx(½) = πx 

1 / 2 N 2x  N

½N : N = πx : 2πx = (N – 4)/6 : 2(N – 4)/6 = n(pp‟) : 2n(pp‟) Wenn in mehrere gleiche Verhältnisse Produkt Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder, dann sagt man über so genannte fortlaufende Proportion. Deshalb können mehrere untereinander gleiche Verhältnisse auch als fortlaufende Proportion geschrieben werden. ↔ ½N : πx : (N – 4)/6 : n(pp‟) = N : 2πx : 2(N – 4)/6 : 2n(pp‟)

- 100 -

πx + (N - 4)/6 + ,½N - [πx + (N - 4)/6+- = ½N 50 500 5 000 50 000

9 592 + 16 666 + 23 742 = 50 000 500 000 000 500 000 5000000 50 000 000

282 485 800 0 1

166

2 105

23 742

254 836

2 668 755 27 571 879

16 666

166 666

1666666 16 666 666 166 666 666

9 592

78 498

664 579

166 1 666

25 168

1 229

5 761 455 50 847 534 8

Bei proportionalen Größen ist also die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung) der einen Größe, stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor. Folgende Säulendiagramm zeigt, wie mit asymptotisch abnehmende (Summe) Menge Prim und ungeraden Zahlen(blaue Säulen) in der Hälfte gegebenen Größe, monoton wächst die Differenz zwischen der Hälfte gegebenen Größe und der Menge Prim und ungeraden Zahlen, die den Rest der Primzahlenprodukt ist.(rosa Säulen) Die Aussage, dass die Gleichung πx/2(πx) = Re(s) = ½, gilt für alle x mit real Teil gleich ½, mit dem Quotient auf der rechte Seite konvergiert, ist gleichbedeutend mit der Riemannschen Vermutung.

- 101 -

½N - [πx + (N - 4)/6] = n(pp') 50 - [25 + 16] = 9 πx = ½N - [(N - 4)/6 + n(pp')] 168 = 500 - [166 + 166]

0 9 166 2 105

23 742

254 836

2 668 755 27 571 879 282 485 800

4 25 168 1 229

166

1 666

9 592

16 666

78 498

664 579

166 666

1666666 16 666 666 166 666 666

5 761 455 50 847 534

Der Annahme, das proportional Funktionen grafisch in einem Koordinatensystem, so das Sie sehen können, dass die proportionale Funktionen sind monoton steigend. πx = 2πx(0,5) 4 = 8(0,5) 25 = 50(0,5) 168 = 336(0,5) 35 y = 0,5x R² = 1

30 25

20 15 10

5 0 0

40 X

- 102 In der Mathematik, zwei Größen seien verhältnismäßig, wenn sie sich in einer solchen Weise verändern, dass eine der Größen ist eine ständige Vielfaches der anderen, oder äquivalent, wenn sie ein konstantes Verhältnis haben. ½ N : N = πx : 2πx = (N – 4)/6 : 2(N – 4)/6 = n(pp„) : 2n(pp„) = k daher ½ N = πx + (N – 4)/6 + n(pp„) und N = 2πx + 2(N – 4)/6 + 2n(pp„) Eine Proportion bezieht sich auch auf die Gleichheit der beiden Verhältnisse. Die Eigenschaften der Nullen in der komplexen Ebene bestimmen die Eigenschaften der Primzahlen! Riemann vermutet, dass alle relevanten Nullen real Teil ½ haben. Riemann gelang es mit Hilfe der komplexen Zahlen, die Verteilung der Primzahlen in eine mathematische Landschaft über einer zweidimensionalen Ebene zu übersetzen (die sogenannte Zeta-Funktion). Die Topographie dieser Landschaft enthält dabei das gesamte Wissen über die Primzahlen. Insbesondere genügt es, die Punkte auf Meereshöhe (die Nullstellen) zu kennen, um die gesamte Landschaft rekonstruieren zu können. Daher enthalten die Nullstellen alle Informationen über die Verteilung der Primzahlen. Riemann entwickelte eine konkrete Formel, um aus den Nullstellen die Verteilung der Primzahlen zurückzugewinnen. Dabei wirkt jede Nullstelle wie die Quelle für eine sich ausbreitende Welle, die man sich wie einen akustischen Ton vorstellen kann. Die Töne aller Nullstellen überlagern sich zur Verteilung der Primzahlen. Dabei ist eine Nullstelle umso lauter, je weiter östlich (rechts von der y-Achse) sie liegt, und ihr Ton ist umso höher, je weiter nördlich (oberhalb der x-Achse) sie liegt. Zu seiner Überraschung fand Riemann, dass alle von ihm berechneten Nullstellen gleich laut sind, und dass die Tonleiter der beitragenden Töne bis zu beliebig hohen Tönen weitergeht. Die Riemannsche Vermutung behauptet also, dass tatsächlich jede der unendlich vielen tongebenden Nullstellen auf dieser Geraden liegt, d.h. dass alle Töne in der Musik der Primzahlen gleich laut sind. Dies würde bedeuten, dass man sich die Primzahlverteilung tatsächlich gleichsam gewürfelt vorstellen kann: Man geht alle natürlichen Zahlen durch und würfelt jedes Mal, mit sechsseitigen Würfel, derer jede zweite und vierte Seite den nächsten Primzahl oder Fastprimzahl zeigt: 5_7__11_13__17_19__23_25=5·5__29_31__35=5·7_37__41_43__47_49=7·7__53_55=11·5 __59_61__65 = 13·5_67__71_73__77 = 11·7_79__83_85 = 17·5__89_91 = (13·7)_95 = 19·5

- 103 100%

90% 80% 70%

19 13

60% 7 50%

40%

21 0

0 0

99 0 105

95 101

10% 2 0%

15 0

30% 20%

97 103 109

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Das Diagramm zeigt, was macht ein ½ Realteil der Primzahlen für eine bestimmte Menge π 100 aus. Nun, zwei parallele Folge von 25 Primzahlen und 9 von ihr Produkt (25, 35, 49,) mit einem konstanten Abstand 6, die 16 ungeraden Zahlen gibt durch 3 teilbar, da ist deren Mittelwert. In jeder Block der natürlichen Zahlen in ½ Verhältnis sind ungerade Zahlen teilbar durch 3 (N – 4)/6, fast p(p) und Primzahlen πx. Ein Blick wieder an die Tabelle zeigt wie den ½-Verhältnis der Primzahlen ist in den nachfolgenden Blöcken von ungeraden Zahlen beibehalten. N πx (N- 4)/6 p(p) Σ½N 100 25 16 9 50 1,0 E+03 168 166 166 500 1,0 E+06 78 498 166 666 254 836 500 000 1,0 E+09 50 847 534 166 666 666 282 485 800 500 000 000 1,0 E+12 37 607 912 018 166 666 666 666 295 725 421 316 500 000 000 000 1,0 E+15 29844570422669 166666666666666 303488762910665 500000000000000 1,0 E+18 24739954287740860 166666666666666666 308593379045592474 500000000000000000 Wenn der Quotient der Hälfte einer gegebenen Größe durch die gegebene Größe, ist äqual zu dem Quotienten der Anzahl der Primzahlen in gegebene Größe durch ihre doppelte Anzahl, dann der Hälfte einer gegebenen Größe die Summe der Quotienten von gemeinsamem Divisor ist. Das heißt die Proportion ungeraden Zahlen in gegebenen Größe, ist die Summe 3 fortlaufenden Proportionen. ½N : N= πx : 2πx =(N – 4)/6 : 2(N – 4)/6=½N – [πx+(N – 4)/6] : 2{½N – [πx+(N – 4)/6]}= k dann πx + (N – 4)/6 + [½N – (N – 4)/6] = k{2πx + 2(N – 4)/6 + 2{½N – [πx + (N – 4)/6]} 50/50 = 25/50 + 16/50 + [50 – (25 +16)]/50

- 104 Die folgende Tabelle gibt hierzu einen Überblick. Πx (N - 4)/6 p(p) 1/2 N 25/50 16/50 9/50 50/50 168/500 166/500 166/500 500/500 1229/5000 1666/5000 2105/5000 5 000/5000 9592/50000 16 666/50000 23742/50000 50 000/50000 78498/500000 166 666/500000 254836/500000 500 000/500000 664579/5000000 1 666666/500000 2668755/500000 5 000000/5000000 5761455/50000000 16666666/50000000 27571879/50000000 50000000/50000000 50847534/500000000 166666666/500000000 282485800/500000000 500000000/500000000 Die Hälfte einer gegebenen Größe N (lila Säule) es ist die Summe abnehmenden Menge der Primzahlen πx (blaue Säule) und der Quotient aus der ungeraden Zahlen (N - 4) : 6 (die rosa Säule), sowie die wachsende Produkte der Primzahlen n (pp ') (grüne Säule), die ergeben sich aus der Differenz zwischen der Hälfte einer gegebenen Größe und der Summe der Menge der Primzahlen und ungeraden Zahlen {½N – [πx + (N – 4)/6]}. πx + (N - 4)/6 + ,½N - [πx + (N - 4)/6+- = ½N 8 7

6 5 4

3 2 1

50 847 534 50 000 000 27 571 879 16 666 666 5 761 455 5000000 2 668 755 1666666 664 579 500 000 254 836 166 666 78 498 50 000 23 742 16 666 9 592 5 000 2 105 1 666 1 229 500 166 166 168 50 9 16 25

166 666 666

9 592 + 16 666 + 23 742 = 50 000 282 485 800

500 000 000

Die folgende Säulendiagramm zeigt, wie immer geringer wird Menge der Primzahlen πx (grüne Säule) und der Quotient aus der ungeraden Zahlen (N - 4) / 6 (rosa Säule), sie insgesamt zu vergrößern wachsende Differenz der Produkte von Primzahlen (blaue Säule) führen.πx + (N - 4)/6 + {½N - [πx + (N - 4)/6]} = ½N 78 498 + 166 666 + 254 836 = 500 000 Wenn die Hälfte gegebenen Größe als Glied geometrischen Folge das geometrische Mittel der beiden äußeren Glieder ist, dann jeder Glied die Summe von mehreren sich ergänzende in ½ komplex Verhältnis Elemente ist. 5 : 10 = 4 : 8 = 1 : 2 = 0,5 5 = 10(0,5) 4 = 8(0,5) 1 = 2(0,5)

- 105 daher 9 + 16 + 25 = 100(0,5) 10 000(0,5).

166 + 166 + 168 = 1000(0,5)

2 105 + 1 666 + 1 229 =

n(pp') + (N - 4)/6 + πx = ½N = 3(N - 4)/6 + 2 = (N - 4)/6 + 2(N - 4)/6 + 2 9 + 16 + 25 = 50 = 3(16) + 2 = 16 + 2(16) + 2 1

30 128 391 582 532 16 666 666 666 666 3 204 941 750 802

2 987 267 896 695

295 725 421 316

29 215 278 521

2 878 280 823

1 666 666 666

282 485 800

166 666 666

27 571 879

16 666 666

2 668 755

1666666

254 836

23 742

1 666 666 666 666

166 666 666 666 37 607 912 018 16 666 666 666 4 118 054 813

166 666 16 666

2 105

1 666

166

1 0

455 052 511

25 4

500 000 000 000 50 000 000 000 5 000 000 000 500 000 000

5 761 455

50 000 000

664 579

5000000

78 498

500 000

9 592

50 000

168

5 000 000 000 000

50 847 534

1 229

166

5 000 500 50 5

= 5 000 = 500 + (10²)45 50 = ½N = (N – 4)/6 + 2(N – 4)/6 + 2 50 = (100 – 4)/6 + 2(16) + 2 5 000 = (10 000 – 4)/6 + 2(10 000 – 4)/6 + 2 = 1 666 + 2(1 666) + 2 = 1 666 + 3 334 (N – 4)/6 + (10 – 4)/6 + 1 + 10(1,5) + 16 + 10²(1,5) + 166 + 10³(1,5) + 1666 + 10´(1,5) + 16 666 + 10µ(1,5) + 166 666 + 10¶(1,5) + 1 666 666 + 10·(1,5) + 16 666666 + 10¸(1,5) + 166 666666 + 10¹(1,5) + 1666666666+

346 065 536 839

50 000 000 000 000

[πx + [4 + [4 + [21 + [25 + [143 + [168 + [1061 + [1229 + [8363 + [9592 + [68906 + [78 498 + [586 081 + [664 579 + [5 096 876 + [5 761 455 + [45074079 + [50 847534 + [404204977+ [455052511+

n(pp‟) = 0 = 0 = 9 = 9 = 157 = 166 = 1939 = 2105 = 21637 = 23 742 = 231094 = 254 836 = 2 413 919= 2 668 755 = 24 903 124 = 27 571 879 = 254910921 = 282 485800 = 2595795023= 2878280823=

2(N – 4)/6 +2] = ½N = 2(10 – 4)/6+2] = 5 = 2(1) + 2] (4) = 5 = 3(10)]+ = 10(4,5) + 2(16) +2] (34) = 50 = 5(10) 3(10²)]+ = 10²(4,5) + 2(166)+2] (334) = 500= 5(10²) 3(10³)]+ = 10³(4,5) + 2(1666)+2](3334) = 5 000 = 3(10´)]+ = 10´(4,5) + 33 334] = 50 000 = 3(10µ)]+ = 10µ(4,5) + 333 334] = 500 000 = 3(10¶)]+ = 10¶(4,5) + 3 333 334] = 5000000 = 3(10·)]+ = 10·(4,5) + 33 333 334] = 50000000 = 3(10¸)]+ = 10¸(4,5) + 333 333334] =500000000= 3(10¹)]+ = 10¹(4,5) + 3 333 333334] =5000000000=

3(N – 4)/6 + 2 3(10 – 4)/6+ 2 3(1) + 2 3(16) + 2 3(166) + 2 3(1666) + 2 3(16666) + 2 3(166666) + 2 3(1666666)+2 3(16666666)+2 3(166666666)+2 3(1666666666)+2

- 106 -

f(½N) = 5(10ⁿ⁻¹) f(5000) = 5(10³) f,*πx' - πx) + [n'(pp') - n(pp')+- = 3(10ⁿ⁻¹) f{(1229-168) + (2105-166)- = 3(10³) 9

282485800

500000000

50 847 534

27571879

50000000

5 761 455

2668755

5000000

664 579

254836

23742

500000 50000

2105

9 592

5000

166

78 498

1 229

500

168

1 0

Obwohl die Summe der Differenzen zwischen Primzahlen und fast Primzahlen wächst in geometrischer Folge 3 (q), entspricht der Hälfte gegebenen Größe, die wachsen in geometrischer Folge 5 (q), wie im obigen Diagramm dargestellt ist, da die fast und Primzahlen sind Bestandteile der Hälfte gegebenen Größe, und den ständig sinkenden Primzahlen-Sequenz (grüner Balken), verursacht ein stetiger Anstieg der fast Primzahlen Sequenz (blauer Balken). 4 +d(2²) 8 +d(2²) 12 +d(2²) 16 +d(2²) 20 +d(2²) 24 +d(2²) 28 +d(2²) 32 50+q(10) 500+q(10) 5000+q(10)50000+q(10)500000+q(10)5000000+q(10)50000000+q(10)500000000

16270321088 161320740 15949896 1569960 153 472 14 748 1344 100 0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

100

1344

14748

153472

1569960

Serie1

Serie2

168

1229

9592

78 498

664 579

Serie3

500

5 000

50 000

500 000

80%

90%

15949896 161320740 28

100%

162703210 88 32

5 761 455 50 847 534

5 000 000 50 000 000 500 000 00

Hier oben sehen wir die Abhängigkeit aller Zahlen in der Hälfte gegebenen Größe von der

- 107 asymptotisch abnehmender Anzahl der Primzahlen in verborgene geometrischer Folge 3(q) (rote Balken), mit konstanten Differenz d = 2².

πx 4 - 1, 21 + 9, (25) 143 + 157, (168) 1 061 + 1939, (1 229) 8363+21637, (9592) 68906+231094, 3 + q(10) 30 + q(10) 300 + q(10) 3 000 + q(10) 30 000 + q(10) 300 000

27 141 123 786 037

30 000 000 000 000

2 690 542 375 179

3 000 000 000 000

309 457 624 821

266 510 142 795

300 000 000 000

33 489 857 205

26 336 997 698

30 000 000 000

3 663 002 302

2 595 795 023

3 000 000 000

404 204 977

254 913 921

300 000 000

45 086 079

24 903 124

30 000 000

5 096 876

2 413 919

3 000 000

586 081

300 000

68 906

30 000

8 363

231 094

21 637 1 939

3 000

157

1 061

300

9 0

2 858 876 213 963

143

30 3

21 4

Wenn die Hälfte der gegebenen Größe wächst in geometrischer Folge 5 (q), dann die Summe der Differenzen zwischen Primzahlen und fast Primzahlen in geometrischer Folge 3 (q). In 50 ungerade Zahlen / 25 / sind die Primzahlen, der Rest (16 + 9) ist Produkt von Primzahlen. Hier sind die (N - 4) / 6 = 16 Vielfache von 3 (9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99) und 9 (pp ') andere Produkte von Primzahlen (25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95). Vielfache der Zahl 3 in der gegebenen Größe sind immer Quotient der Zahl 6 in der Differenz (N - 4), da es gibt in Intervall je 6 Zahlen. 50 - 16 = 34 = /4(8) + 2/ = 25 + 9 Zieht man von der Hälfte der gegebenen Größe die Vielfache aus, dann erhalten wir den Rest, bestehend aus Primzahlen und ihre Produkten. ½N – [N – 4]/6 = 2(N – 4)/6 + 2 = πx + n(pp„) Diese Gleichung ist höchst interessant, denn betrachten wir ihren Informationsgehalt, so steht auf der rechten Seite ein Ausdruck, der aus allen Primzahlen und ihre Produkten aufgebaut ist und auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der aus allen ungeraden Zahlen aufgebaut ist. Dies bedeutet doch, dass in der unendlichen Summe die Information über Primzahlen implizit eingebaut ist. Also die Differenz und die Summe der Zahlen, aus denen sich die Hälfte einer gegebenen Größe zusammensetzt müssen gleich sein. Die Summe der Primzahlen und ihre Produkte wächst stetig um die Differenz zwischen der Hälfte gegebenen Größe und Anzahl der Quotienten die Zahl 6 in die gegebene Größe. Asymptotisch abnehmende Anzahl der Primzahlen immer um die Hälfte der Differenz zwischen Primzahlen und ihre Produkte, verursacht stetige Zunahme der Produkte von Primzahlen, auch um die Hälfte Differenz zwischen ihnen.

- 108 -

Differenzen und Summen dieser beiden Gleichungen sind gleich der Hälfte der Summe der Primzahlen und ihre Produkten, wie das Diagramm unten zeigt. [πx - n(pp')]/2=n (25-9)/2=8 n(pp')±n=[n(pp') + πx]/2=n ± πx 9 + 8=(9 +25)/2 =25 - 8 166 + 1 = 167 = 168 - 1 2105 - 438 = 1667 = 438 + 1229 9

282 485 800

115 819 233

166 666 667

115 819 233

50 847 534

27 571 879

10 905 212

16 666 667

10 905 212

5 761 455

2 668 755

1 002 088

1 666 667

1 002 088

664 579

254 836

92 169

166 667

92 169

78 498

23 742

2 105

166

1 0

7 075 438

1 667

a ''= a' + (n - 1)d

168

1 229

9 592

438

167

8 2

7 075

16 667

a' = 13 n = 8 d = 12 97 = 13 + (8 - 1))12 tn = a + (n - 1)d n = 8 a = 5 tn = 5 + 12n - 12 = 12n - 7 t8 = 12(8) - 7 = 89

120 100 80 60 40 20 0

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

47 37

101

103

107

109

- 109 SATZ: Der n-Glied „ einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied Differenz „d“ wird durch die explizite Formel gegeben. + (n – 1)d

= 11 + (9 – 1)12 = 11 + 8(12) = 107 = 7 + (9 – 1)12 = 7 + 8(12) = 7 + 96 = 103

11 d = 12 a = 7 d = 12 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

2 5 17 29 41 53

3 7 19 31 43 67 79

89 101 113

103

137 149

127 139 151 163

173 197

199 211 223

233 257 269 281 293

11 23

37 47 59 71 83 107

61 73 97 109

131 157 167 179 191

227 239 251 263

271 283 307

181 193

229 241

277

311

313

317 331 347 359

353 367 379 389 401

337 349 373

383 397 409

, und konstant = a + (n – 1)d

2n - 1 9 21 33 45 57 69 81 93 105 117 129 141 153 165 177 189 201 213 225 237 249 261 273 285 297 309 321 333 345 357 369 381 393 405

= k 15 27 39 51 63 75 87 99 111 123 135 147 159 171 183 195 207 219 231 243 255 267 279 291 303 315 327 339 351 363 375 387 399 411

n(5)

n(7) n(11) n(13) n(17) n(19) n(23)

25 35 49 55 65 85 95 115 125 145 155

77 91 119 133

121 143

161 175 185 205 215

169 187

203 217

209 221

235 245 265 275 295 305 325 335 355 365 385 395

253

247

259 287 301

289 299 319

329 343

323

341 361

371 377 391 407

403

- 110 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

439 449 461

421 433 457

463 487 499

509 521

419 431 443 467 479 491 503

523 541 547

557 569

563 571 587 599

593 617 641 653

577

607 619 631 643

677

647 659

601 613

661 673

683 691

701

709 719 727 739 751

733 743 757 769

761 773 787 797 809 821

811 823

827 839

829 853

857

859

863 877

881

883

887

417 429 441 453 465 477 489 501 513 525 537 549 561 573 585 597 609 621 633 645 657 669 681 693 705 717 729 741 753 765 777 789 801 813 825 837 849 861 873 885

423 435 447 459 471 483 495 507 519 531 543 555 567 579 591 603 615 627 639 651 663 675 687 699 711 723 735 747 759 771 783 795 807 819 831 843 855 867 879 891

415 425 445 455

413 427 437 451 469

475 485 505 515

473

481 493

497 511

517 527

535 545 565 575

539

533

553

551 559

581 595 605 625 635

529

583

589 611

623 637

629 649

655 665 685 695 715 725 745 755 775 785 805 815 835 845 865 875

671

667

679 689

697

707 721

703 713 731 737

749 763

767 781

791

779 793

803

799 817

833 847

841 851 869

889

871

- 111 75 76 77 78 79 80 81 82 83

907 919 929 941 953

911 937 947

967 977

971 983

991

997

897 909 921 933 945 957 969 981 993

903 915 927 939 951 963 975 987 999

895 905 925 935

901

893

913 917 931

923 949

955 965 985 995

899

943

959 973

961 979 989

Im Intervall von mindestens sechs ungeraden Zahlen (905-915, 917-927, 929-939, 941-951, 953-963) Zwei sind immer ein Vielfaches von drei (909, 915) (921, 927) (933, 939) (945, 951) (957, 963), der Rest sind die Primzahlen und fast Primzahlen. SATZ: Gegebener Zahl „a” ist prim, wenn ihre gerade Teil gleich ist der Zahlen 2, 4, 8, 10, oder weiterhin Gliedern ihrer arithmetischer Folge mit konstante Differenzen d =12 (2, 4, 8, 10) + n(12) a = (2, 4, 8, 10) + n(12) = p = n(2) + 3 173 – 3 = 170 = 2 + 14(12) 191 – 3 = 188 = 8 + 15(12) 2 + n(12) 4 + n(12) 8 + n(12) 10+n(12) 2 4 8 10 14 16 20 26 28 34 38 40 44 50 56 58 64 68 70 76 80 86 94 98 100 104 106 110 124 128 134 136 146 148 154 160 164 170 176 178 188 190

2 5 17 29 41 53

3 7 19 31 43 67 79

11 23

37 47 59 71 83

89 101 113

103

107 131

137 149

127 139 151 163

173

61 73 97 109

157 167 179 191

181 193

Vollkommenes Sieb. 2 5 17

3 7 19

11 23

2n - 1 9 21

= k 15 27

- 112 29 41 53

31 43 67 79

89 101 113

103

137 149

127 139 151 163

173 197

199 211 223

233 257 269 281 293

37 47 59 71 83 107

97 109

131 157 167 179 191

227 239 251 263

271 283 307

61 73

181 193

229 241

277

311

313

317 331 347 359

353 367 379

373 383

389 401

439 449 461

337 349

419 431 443

397 409 421 433 457

463 487

467 479 491

33 45 57 69 81 93 105 117 129 141 153 165 177 189 201 213 225 237 249 261 273 285 297 309 321 333 345 357 369 381 393 405 417 429 441 453 465 477 489

39 51 63 75 87 99 111 123 135 147 159 171 183 195 207 219 231 243 255 267 279 291 303 315 327 339 351 363 375 387 399 411 423 435 447 459 471 483 495

35 49 55 65 77

85 91

115

119

125 143 155 161 185

169 175 187 203 215

209 221 245

121 133 145

235 247 259

295

205 217

253 265 275 287 299

289 301

305 319 329 341

343 355

365 377

413 425 437

325

361 371 385

391 403 415 427

395 407

445 451

473 485

323 335

475

455 469 481 493

- 113 499 509 521

503

523 541 547

557 569

563 571 587 599

593 617 641 653

577

607 619 631 643

677

647 659

601 613

661 673

683 691

701

709 719 727 739 751

733 743 757 769

761 773 787 797 809 821

811 823

827 839

829 853

857

859

863 877

881

883 907 919

929 941 953

887 911 937 947

501 513 525 537 549 561 573 585 597 609 621 633 645 657 669 681 693 705 717 729 741 753 765 777 789 801 813 825 837 849 861 873 885 897 909 921 933 945 957

507 519 531 543 555 567 579 591 603 615 627 639 651 663 675 687 699 711 723 735 747 759 771 783 795 807 819 831 843 855 867 879 891 903 915 927 939 951 963

497 511 533 545

535

515 527 539 551

559

505 517 529 553 565

575 581

583 595

605

611 623 635

629

665

655 667 679

689 713 725 737 749

703 715

625 637 649

671 695 707

685 697 721

731 745 763 775

785 799

833 845

589

835 847

755 767 779 791 803 815

781 793 805 817 841

851 865

869 893 905 917

871 895

931 943 955

875 899 923 935 959

889 901 913 925 949 961

- 114 967 977 991 1013

971 983

969 975 965 981 987 997 993 999 989 1009 1005 1011 1001 1019 1021 1017 1023 1031 1033 1029 1035 1025

979

973 985

995 1003 1007 1015 1027

Vollkommenes Sieb ähnlich wie Sieb des Eratosthenes basiert auf dem Prinzip, dass alle natürlichen Zahlen kongruent sind zu sich nach Modul 0 mod. 6. Anordnen einer nach dem anderen nur ungerade Zahlen begonnen von Primzahlen 2, 3, je zweiten und vierten (5-7 - 11 - 13), weil dritte und die fünfte immer die Vielheit der Zahl 3 ist, wir werden vier arithmetischen Folgen der Primzahlen mit konstante Differenz d = 12 (17-19 - 23 - 25) erhalten. Wir wählen 25 = 5 (5) jetzt, dann die Zahl fast Primzahl, als die Vielheit der Zahl 5 ist, zweite wird um 2 (5) = 10 größere, also 25 + 10 = 35 = 7 (5), dritter um 4 (5) = 20 größer ist, 35 + 20 = 55 = 11 (5) und der vierte wieder um 2 (5) = 10 größere, also 55 + 10 = 65 = 13 (5) und weitere bereits in konstanten Abstand, je 5 (12) = 60 von jedem von ihnen 25 + 60 = 85 35 + 60 = 95 "wir säen" alle Vielfachheiten der Primzahl 5 aus. 49 = 7 (7), fast Primzahl ist, als Vielheit der Zahl 7, zweiter wird um. 4 (7) = 28 größer, also 49 + 28 = 77 = 11 (7), dritter um 2 (7) = 14 größer ist, weil 77 + 14 = 91 = 13 (7) und der vierte wieder um 4 (7) = 28 größere, 91 + 28 = 119, und weiter in konstanten Abstand, 7 (12) = 84 wir säen alle Vielfachheiten der Primzahl 7 aus. 49 + 84 = 133 77 + 84 = 161 91 + 84 = 175 121 = 11 (11), fast Primzahl ist, als Vielheit der Zahl 11, zweiter wird um 2 (11) = 22 größeren, 121 + 22 = 143 = 13 (11), dritter um 4 (11) = 44 größeren, 143 + 44 = 187= 17 (11), und die vierte um 2 (11) = 22 größeren, 187 + 22 = 209 = 19 (11), und weitere in konstanten Abstand, 11 (12) = 132 wir säen alle Vielfachheiten der Primzahl 11aus. (121 + 132 = 253 143 + 132 = 275 ...) 169 = 13 (13), fast Primzahl ist, als die Vielfalt der Zahl 13, zweite wird um 4 (13) = 52 größeren, 169 + 52 = 221 = 17 (13), dritter um 2 (13) = 26 größeren, 221 + 26 = 247 = 19 (13), die vierte um 52 größere, 247 + 52 = 299 = 23 (13), und weitere in konstanten Abstand, 13 (12) = 156 wir säen alle Vielfachheiten der Primzahl 13 aus. (169 + 156 = 325 = 25 (13) 221 + 156 = 377 = 29 (13) ...) In der gleichen Weise durchsieben wir alle verbleibenden Vielfachheiten der nächsten Primzahlen. SATZ: Selbst wenn die Hälfte einer ungeraden Zahl nach Abzug der (7, 10, 16, 19, 25, 28, 34, 43, 46, 55, 61, 64, 70, 79), ist teilbar durch (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53). Dies ist sicherlich eine komplexe Zahl. Beweis: (7/5,10/7,16/11,19/13,25/17,28/19,34/23,43/29,46/31,55/37,61/41,64/43,70/47,79/53) = p(p‟ 2009 – 1 = 2008/2 = 1004 – 10 = 994/7 = 142

2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 – 1 = 1066/2 = 533 – 16 = 517/11 = 47

1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 – 1 = 436/2 = 218 – 28 = 190/19 = 10

437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 – 1 = 960/2 = 480 – 46 = 434/31 = 14

961 = 31(31) = 31(28 +3)

- 115 n(3) n(3) n(5) 4 7 7 10 13 12 16 19 17 22 25 28 31 27 34 37 32 40 43 42 46 49 47 52 55 58 61 57 64 67 62 70 73 72 76 79 77 82 85 88 91 87 94 97 92 100 103 102 106 109 107 112 115 118 121 117 124 127 122 130 133 132 136 139 137 142 145 148 151 147 154 157 152 160 163 162 166 169 167 172 175 178 181 177 184 187 182 190 193 192 196 199 197 202 205 208 211 207 214 217 212 220 223 222 226 229 227 232 235

n(7) n(11) n(13) n(17) n(19) n(23) n(29) n(31) 10 16 19 25 28 34 43 46

38 45 59 66

60 71

84 93

101 108

104 110 126

123

129 143 150

144 149 159

164 171

161

170 180

185 188 195 203

201

206 213 218 225 234

- 116 238 244 250 256 262 268 274 280 286 292 298 304 310 316 322 328 334 340 346 352 358 364 370 376 382 388 394 400 406 412 418 424 430 436 442 448 454 460 466 472

241 247 253 259 265 271 277 283 289 295 301 307 313 319 325 331 337 343 349 355 361 367 373 379 385 391 397 403 409 415 421 427 433 439 445 451 457 463 469 475

237 242 252 248 257 255

236

240 245

258 263

267 272 276 282 287 290 297 302 312 311 317 318

269

264

266 275 279

291

294 305 314

324 327 332 342 339 347 353 357 360 362 372 377 374 381 387 392 395 402 407 417 416 422 423 432 437 444 447 452 462 458 467 465

335

333 344

348 351 356 365

368 383 390

389 396

401

399 408 420 425

434

435 450

446

449

451 461 474

471

- 117 478 484 490 496

481 487 493 499

477 479 482 481 492 497

480 489 494

SATZ: Wenn komplexer Zahlen das Produkt von mindestens zwei Primzahlen oder fast Primzahlen sind, können sie als Produkt der halben Summen und Differenzen ihrer Faktoren dargestellt werden. p(p‟) = [(p + p‟)/2 + (p‟ – p)/2][(p + p‟)/2 – (p‟ – p)/2] 8051 = 83(97) = [(83 + 97)/2 + (97 – 83)/2][(83 + 97)/2 – (97 – 83)/2] = (90 + 7)(90 – 7) 689 689 = 689(1001) = [(689 + 1001)/2 + (1001 – 689)/2][(689 + 1001)/2 – (1001 – 689)/2] = (845 + 156)(845 – 156) Wenn Differenz zwischen der Zahl a, und Primzahl ist teilbar durch ihn, so ist sie Primzahl Vielfachheit. a – p = n(p) 9 – 3 = 2(3) 25 – 5 = 4(5) 49 – 7 = 6(7) 121 – 11 = 10(11) Der Anteil von ½ bedeutet, dass in die Schaffung von einer halben Block von Zahlen die doppelte Menge von Primzahlen beteiligt ist. 5/10 = 4/8 50/100 = 25/50 500/1000 = 168/336 1 = 3 – 2 5 = 3 + 2 7 = 5 + 2 9 = 7 + 2 11 = 9 + 2 13 = 11 + 2 15 = 13 + 2 17 = 15 + 2 19 = 17 + 2 21 = 19 + 2 23 = 21 + 2 25 = 23 + 2 27 = 25 + 2 29 = 27 + 2 31 = 29 + 2 33 = 31 + 2 35 = 33 + 2 37 = 35 + 2 39 = 37 + 2 41 = 39 + 2 43 = 41 + 2 45 = 43 + 2 47 = 45 + 2 49 = 47 + 2 51 = 49 + 2 53 = 51 + 2 55 = 53 + 2 57 = 55 + 2 59 = 57 + 2 61 = 59 + 2 63 = 61 + 2 65 = 63 + 2 67 = 65 + 2 69 = 67 + 2 71 = 69 + 2 73 = 71 + 2 75 = 73 + 2 77 = 75 + 2 79 = 77 + 2 81 = 79 + 2 83 = 81 + 2 85 = 83 + 2 87 = 85 + 2 89 = 87 + 2 91 = 89 + 2 93 = 91 + 2 95 = 93 + 2 97 = 95 + 2 99 = 97 + 2 1/2N = πx + {1/2N - [πx + (N-4)/6]} + N/6 500 = 168 + [500 - (168 + 166)] + 166 43 85 127 169 211 253 295 337 379 421 463 505 547 589 631 673 715 757 799 841 883 925 967 1009 41 37 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5 1

1007 83 125 167 209 251 293 335 377 419 461 503 545 587 629 671 713 755 797 839 881 923 965 1003 163 205 247 289 331 373 415 457 499 541 583 625 667 709 751 793 835 877 919 961 79 121 1001 161 203 245 287 329 371 413 455 497 539 581 623 665 707 749 791 833 875 917 959 77 119 283 325 367 409 451 493 535 577 619 661 703 745 787 829 871 913 955997 115 157 199 241 73 239 281 323 365 407 449 491 533 575 617 659 701 743 785 827 869 911 953995 113 155 197 71 235 277 319 361 403 445 487 529 571 613 655 697 739 781 823 865 907 949991 109 151 193 67 233 275 317 359 401 443 485 527 569 611 653 695 737 779 821 863 905 947989 107 149 191 65 229 271 313 355 397 439 481 523 565 607 649 691 733 775 817 859 901 943985 103 145 187 61 227 269 311 353 395 437 479 521 563 605 647 689 731 773 815 857 899 941983 101 143 185 59 265 307 349 391 433 475 517 559 601 643 685 727 769 811 853 895 937979 97 139 181 223 55 137 179 221 263 305 347 389 431 473 515 557 599 641 683 725 767 809 851 893 935977 53 95 133 175 217 259 301 343 385 427 469 511 553 595 637 679 721 763 805 847 889 931973 49 91 47 89 131 173 215 257 299 341 383 425 467 509 551 593 635 677 719 761 803 845 887 929971 3

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

- 118 Auf diese Weise der Anteil ½ ungeraden Zahlen, fast und Primzahlen deckt die 100% der Oberfläche der 100 Zahlen Blocks. ½ N = πx + {½ N – [πx + (N-4)/6]}+(N-4)/6 50 = 25 + [50 – (25 +16)] + 16 π 100 = 25 = 4(0,8929)7 113

107

79 43 41

19 61 103

37 23

17 31

73 101

53 67 109

Dabei hängt die Wahrscheinlichkeit, mit der der Würfel Primzahl anzeigt, von der aktuellen Zahl ab (denn Primzahlen werden bei größeren Zahlen immer seltener, weil kongruent sind nach dem Modul 7; 17 – 3 = 2(7), 19 – 5 = 2(7), 23 – 2 = 3(7) und wir treffen immer öfter Zahlen, die Produkt vorhergehenden Primzahlen sind). Primzahlen erscheinen wie zufällig zwischen den anderen Zahlen verstreut zu sein. Dabei macht man die Beobachtung, dass Primzahlen immer seltener werden, je größer die betrachteten Zahlen sind. Primzahlen folgen denn einem Verteilungsgesetz, nämlich dem Kongruenzgesetz nach dem Modul 7. Bei der Riemannschen Vermutung geht es um die Verteilung der Primzahlen im Meer der natürlichen Zahlen. Dieses Meer ist über die Addition definiert, denn von Zahl zu Zahl wird immer wieder 1 hinzugezählt -- eben der ganz normale Prozess des Zählens. Die Primzahlen dagegen sind über die Multiplikation definiert, denn sie sind über die Primfaktorzerlegung die multiplikativen Bausteine der natürlichen Zahlen. Die Verteilung der Primzahlen und damit die Riemannsche Vermutung sagt also etwas über die Wechselbeziehung von Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen aus. All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind „Elementarteilchen“, die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die „Teilchen“ durch die Addition angeordnet. In der Zetafunktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden. 2 + 3 = 5 + 2 = 2(2) + 3 = 7 + 3 + 2 = 12 = 6(2) 2 + 3 = 5 + 4(2) = 13 = 5(2) + 3 + 5 = 18 = 9(2) 4(2) + 3 = 11 + 4(2) = 19 = 8(2) + 3 + 11 = 30 = 15(2)

- 119 7(2) + 3 = 17 + 4(2) = 25 = 5(2 + 3) + 17 = 42 = 21(2) 10(2) + 3 = 23 + 4(2) = 31 = 14(2) + 3 + 23 = 54 = 27(2) Riemannsche Vermutung: Die nicht-trivialen Nullstellen (also die Nullstellen im Streifen rechts neben der y-Achse mit Realteil von s zwischen 0 und 1) liegen alle auf einer Geraden parallel zur y-Achse mit Realteil 1/2. y^- 5y + 6 = 0 x^= 1 y = x+ 1 = 2 y = 4x - 1 = 3+ 4= 7 y= 8 x- 3= 5+ 8 = 13 y=8x+3 = 11 + 8= 19 y=8x+9= 17 79 y=8x+15=23 + 8=31 y=8x+21=29+8=37 y= 8x+27=35 +8=43 y=8x+33=41 y=8x+39=47 y= 8x+45=53+8=61 73 71 67

35 29 23 17 11 5 3 0

31 25 19 13 7 3

Wie viele Lösungen hat diese Gleichung y² - 5y + 6 = 0? Die Gleichung hat zwei komplexe Lösungen 2 und 3. Mit anderen Worten, 2 und 3 die Nullstellen der Funktion y² - 5y + 6 = 0 sind. y y„ 1/2y y² - 10y + 21 = 0

Lösungen 3 und 7

y² - 18y + 65 = 0

- „ -

5 und 13

y² - 30y + 209 = 0

- „ - 11 und 19

y² - 42y + 425 = 0

- „ - 17 und 25 = 5(5)

y² - 54y + 713 = 0

- „ - 23 und 31

y² - 66y + 1073 = 0

- „ - 29 und 37

y² - 78y + 1505 = 0

- 5(7) = 35 und 43

y² - 90y + 2009 = 0

- „ - 41 und 49 = 7(7)

- 120 y² - 102y +2585 = 0

47 und 55 = 5(11)

(y + y')/2 = 1/2 y (2+3)/2=2,5 (3+7)/2=5 (5+13)/2=9 (11+19)/2=15 (17+25)/2=21 (23+ 31)/2=27 (29+37)/2=33

97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 2 0 0

0,5

95 89 83 77 71 65 59 53 47 41 35 29 23 17 11 5 3 0

93 87 81 75 69 63 57 51 45 39 33 27 21 15 9 5 2,5 0

1,5

2,5

3,5

p + 5(6) = p' 7 + 5(6) = 37 + 5(6) = 67 + 5(6) = 97 + 5(6) = 127 + 5(6) = 157

59 53

19 17 13 11

7 5 3 2 0 0

0 2

37 31

29 23

0 4

79 73 71

67 61

109 107 103 101

89 83

47 43 41

0 6

0 8

0 10

Nichttriviale Nullstellen auf der kritischen Linie veranlassen würde ein Muster in der Verteilung der Primzahlen.

0 12

- 121 -

Die zweite Grafik zeigt die Werte der Zeta-Funktion im Bereich . Die x - und die y - Achse entsprechen dem Real- und dem Imaginärteil der Funktionswerte. Die Färbung und die z-Achse geben Real- und Imaginärteil der Urbilder wieder. Die schwarze Kurve entspricht der kritischen Geraden.

Der Beweis dieser Vermutung ist eine Millionen US-Dollar wert! Die Riemannsche Vermutung sagt also, dass alle Nullstellen des kritischen Streifens den Realteil 1/2 besitzen. Der Beweis diese Vermutung wird als eines der wichtigsten offenen Probleme der Mathematik angesehen. Warum ist das so? Die Riemannschen Vermutung enthält sehr viele wichtige Informationen über die Strukur der natürlichen Zahlen. Erinnern wir uns: Die Positionen der Primzahlen legen die Riemannsche Zetafunktion eindeutig fest. Gleichzeitig sind die Primzahlen die multiplikativen Atome der natürlichen Zahlen, denn jede natürliche Zahl lässt sich auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Die Information über diese Atome ist in der Zetafunktion gleichsam kodiert und wird über die Methode der analytischen Fortsetzung auf der komplexen Zahlenebene verteilt. In dieser zweidimensionalen Ebene hat man viel mehr Bewegungsspielraum als nur auf der reellen Zahlenachse, so dass dadurch die Informationen den mächtigen Werkzeugen der komplexen Analysis zugänglich werden. Diese Werkzeuge reagieren empfindlich auf Pole und Nullstellen, d.h. in den Positionen der Nullstellen der

- 122 Zetafunktion stecken viele zentrale Informationen über Primzahlen und damit auch über natürliche Zahlen. Man könnte sagen, in den Polen und Nullstellen kondensiert sich diese Information. Dies zeigt auch die folgende physikalisch motivierte Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen Primzahlverteilung und Nullstellen der Zetafunktion: Riemann gefunden hatte eine ganz besondere imaginäre Landschaft, die durch etwas namens der Zeta – Funktion, die er entdeckte, hielt das Geheimnis zu Primzahlen. Insbesondere die Punkte auf See – Ebene in der Landschaft genutzt werden kann, und diese besondere harmonische Wellen, geänderte Gauß in die Grafik die echte Treppe der Primzahlen. Riemann verwendete die Koordinaten für jeden Punkt auf See – Ebene zu schaffen, ein von der Primzahl Oberschwingungen. Die Häufigkeit der einzelnen harmonischen wurde dadurch bestimmt, wie weit nördlich des entsprechenden Punktes auf See – Ebene war, und wie laut jeder Harmonie Klang war bestimmt durch die Ost – West – Frequenz. Nach der Lösung der Riemannschen Vermutung sind wir in der Lage, an die Strenge Beantwortung des Problems von Goldbach zu gehen, ob jede grade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist. Wie wir sehen, auf der folgenden Grafik, die Summe zweier Primzahlen liegt immer auf gerader Linie parallel zur Achse - y, und es ist auch, dass die gerade Zahl ist aus zwei Primzahlen. Wenn Proportionalitätsfaktor allen Primzahlen in einer gegebenen Größe ½ ist, dies bedeutet doch, dass die Gleichung πx/2πx = ½N/N ist die Antwort auf das Problems von Goldbach. Sie sagt, dass jede gerade Zahl aus zwei Primzahlen sich zusammensetzt. n/p+p = 1/2 2n = p + p' 2+2=4 3+3=6 3+5=8 5+5=10 5+7=12 7+7=14 5+11=16 7+11=18 7+13=20... 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

23 19 17 13 11 7 5 3 2 0 0

0,5

1,5

23 19 17 13 11 7 5 3 2 0 2,5

3,5

SATZ: Wenn der Quotient der Anzahl der Primzahlen durch ihre doppelte Anzahl, ist äqual zu dem Quotienten der Anzahl der geraden Zahlen durch die gegebene Größe, so in dieser Gleichung, es ist eine Verhältnisgleichung, das heißt in jeder Gleichung das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder. Beweis: πx/2πx = 2n/N 25/50 = 50/100 = ½

- 123 -

2n = (N – 4)/6 + [2n – (N – 4)/6] 50 = (100 – 4)/6 + [50 – (100 – 4)/6] 50 = 96/6 + (50 – 96/6) = 16 + (50 – 16) = 16 + 34 = 2(8) + [4(8) + 2] n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 14 26 38 50 62 74 86 98

4 16 28 40 52 64 76 88 100

8 20 32 44 56 68 80 92 104

2n/3 6 18 30 42 54 66 78 90 102

10 22 34 46 58 70 82 94 106

2n/3 12 24 36 48 60 72 84 96 108

Der Anteil der ½ im Falle der geraden Zahlen bedeutet, dass alle geraden Zahlen in einem Block besteht aus zwei Primzahlen. 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 Das heißt 50 gerade Zahlen in einem Block von 100 Zahlen ist die Summe von 4 (25) Primzahlen, wie in Diagramm unten gezeigt ist. πx/2πx = 2n/N 2n = p + p 8

5 3

25/50 = 50/100 4 = 2 + 2

31 90

31 96

19 54

13 42

7 18

17 46

7 16

100

3 3

4 2 2 1

5 2

5 3

Außerdem mit dem Beweis der Riemanschen Vermutung ist auch die „schwache“ Goldbachsche Vermutung bewiesen.

- 124 -

2n-1=p+p´+p" 7= 2+2+3 9 = 3+3+3 11=3+3+5 13=3+5+5 15=5+5+5 17=5+ 5+7 19=5+7+7 19-16=17-14=15-12=13-10=11-8=9-6=7-4=3

27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 2

7 5 3 2 0

13 11

7 5 3 0

(2n - 1) - 3 = 2n = p + p'

→

2n - 1 = p + p + p

2n + p = 2n - 1 = p + p + p' 2 + 2 + 3 = 7 3 + 3 + 3 = 9 3 + 5 + 3 = 11 5 + 5 + 3 = 13 5 + 7 + 3 = 15 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 0 0

0,5

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4

0 1,5

0 2,5

3,5

Sie besagt, dass jede Zahl, die größer als fünf ist, als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann, weil die Differenz zwischen ungeraden und graden Zahlen immer der Primzahl 3 ist.

- 125 -

p + (p +2)/2 = 2n/3 5+7/2=6/3 11+13/2=12/3 17+19/2=18/3 29+31/2=30/3 41+43/2=42/3 149

150

151

137

138

139

107 101

108 102

109 103

17 11 5 0

18 12 6

19 13 7 0

Ferner an die bekannte Frage, ob es unendlich viele Primzahlpaare mit der Differenz 2 gibt. Die je sechs Zahlen immer weiter Primzahlzwillinge-Kolonne helfen auch bei der Darlegung der bisher noch unbewiesenen Theorie, dass die Menge von Primzahl Zwillingspaaren unendlich ist. Hier sind die Gründe dafür: wenn es unendlich Primzahlen gibt, dann auch Zwillingspaaren, die eine grade Zahl teilbar durch 3 teilt. 2y+3y=5y/2=2+0,5=3-0,5 3y+7y=10y/2=3+2=7-2 5y+13y=18y/2=5+4=13-4 11y+19y=30y/2=11+4=19-4 19

13 11 9 0

7 5

2,5 0

2 0 2

0 3

- 126 Oder gar an das allgemeiner Problem, ob die lineare Diophantische Gleichung ax + by c = 0 mit gegebenen ganzzahligen paarweise teilfremden Koeffizienten a, b, c stets in Primzahlen x, y lösbar ist. Schaut man genauer hin auf folgender Diagramm, dann sieht man, dass halbe der Summen zwei folgenden Primzahlen auf einer Geraden parallel zur y – Achse mit Realteil ½ y liegen. Das bedeutet, dass die lineare Diophantische Gleichung ax + by – c = 0 mit gegebenen ganzzahligen paarweise teilfremden Koeffizienten a, b, c stets in Primzahlen x, y lösbar ist. 1(2) + 1(3) – 5 = 0 1(3) + 1(7) – 10 = 0 1(5) + 1(13) – 18 = 0 1(11) + 1(19) – 30 = 0 Generationen von Mathematikern haben den Primzahltrommeln gelauscht; 2 Schläge, 3 Schläge, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.., Und während man diese Schläge vernimmt, gewinnt man den Eindruck, irgendeinem weißen Rauschen zu lauschen. Jetzt wissen wir im Herzen der Mathematik, an der Wurzel der Ordnung, können die Leute den Klang der Harmonie der Schönsten Musik bis der Himmelkreis der Primzahlen vernehmen. Und so lauschen wir anders diesem vertrauten Klang der Primzahlen. Die Primzahlen erstrecken sich in die weitesten Fernen des Zahlenuniversums, und sie hören nie auf. Wir müssen uns auch nicht weiter damit abfinden, dass sich diese fundamentalen Zahlen trotz unserer Sehnsucht nach Ordnung und Erklärung für immer unserem Zugriff entziehen. Wir haben nur zu lange aus der Perspektive Gauß und Riemann sie betrachtet, und wir sollten eher nach einer anderen Möglichkeit suchen, diese geheimnisvollen Zahlen zu verstehen.

π(10) = 4 = 7(0,57143), π(100) = 25 = 7(3,57143), π(1 000) = 168 =7(0,57143)6(7)

199 197 179 193 191 167 139 149 157 163 173 181 137 127 151 131

109 107113 79 89 97 103 5967 101 73 83 19 293743475361 71 0 0 17 410 0 3 07 0 13 2331 0 0 2 5 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 4 5 6 0 00 0 0 0 0 0 7 8 9 0 0 0 10 11 12 0 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Die Primzahlen haben endlich ihr Geheimnis preisgegeben und sind nicht mehr das Rätsel ohne Antwort. Ich bin nur derjenige, die es vermochte, die Primzahlen zum Klingen zu bringen. Eine Lösung der Riemannschen Vermutung hat weit reichende Auswirkungen auf viele andere mathematische Probleme. Umwandlung Riemannsche Hypothese in ein Theorem, macht all die unbewiesenen Ergebnisse mit einem Schlag bewiesen.

- 127 KANN ETWAS SCHÖNES SEIN. a - (2,3,5,11,13,29)/7 = p

a - (5,7,11,13)/3 = "p"

163 149

187 175

157 145

107

115

101

85 185

161 143

49 119

31 17 3

173 89 103

47 61

5 19 13

35 77 155

73 59

37 23

41 83 97

125

139

29 43

55 91

131

53 67

167181

71 109

121 133

137 151

113 127

169

179

(2,3,5,11,13,29) + n(7) = p 2 + 3(7) = 23 (5,7,11,13) + n(3) = „p“ 7 + 6(3) = 25 Mit diesen zwei Formel kann ich voraussagen wo wieder ein fast oder Primzahl sprießen wird, noch jeder Zahl ansehen, ob sie prim ist oder nicht. Warum eine Zahl prim ausfällt und die andere nicht, hängt ab von ihre Primfaktoren Zerlegung. Nur Primzahlen zerlegen sich auf Primfaktoren 2,3,5,11,13,29, und n–ten. 7 Vielfache, wie fast Primzahlen auf Primfaktoren 5,7,11,13, und n–ten. 3 Vielfache. Damit wurde schließlich ein aus vielen unergründlichen Geheimnisse der Schöpfung durchdrungen. p(2,3,5,11,13,29) + n(7) = p' 187 173 145 131

67 53

19 5

25 11

157143

139 125

61 47

109 95

115101

181 167

103 89

151 137

31 17

73 59

97 83 55 41 13 7

2 23 37 65 79 107 121

149 163

35 49

77 91

29 43 71 85 113 127 155 169

119133

161175

- 128 -

π(x) = 4(x)7

x = π(p)/28

x = 25/28

π100 = 25 = 4(0,8929)7

91 85

55 49 103 7971

25 47

6153 101

3123

3729

135

2 3 11 19

17 41 73

8997

59 67 83

Die fast und Primzahlen sind für den Mathematiker von so großer Bedeutung, dass jeder Durchbruch und jedes bessere Verständnis ihrer Natur von grundlegender Bedeutung sind. Zahlen keine Menschlichen Erfindung sind, weil in fast und Primzahlverteilung das Bauplan der Natur, ja das ganze Universum codiert ist. Die Zahl offenbart göttliches Denken und Ordnen. Sie lässt gleichzeitig die Grundstruktur der Wirklichkeit erkennen. Die Zahl gewährt Einblick in das Innerste Geheimnis Gottes und in das Geheimnis der Welt. Wer eine bestimmte Zahl kennt, besitz Macht. Der zählende Mensch vollbringt etwas Ähnliches wie Gott selbst, indem er ordnende Macht über die Dinge ausübt: er unterscheidet und teilt zu, er grenzt ab und fasst zusammen. Die Wirklichkeit der Existenz des transzendenten Bauplans rechtfertigt die Überlegung, ob nicht auch hinter den Abläufen in Raum und Zeit, also unserer Historie, eine unsichtbare, transzendente Lenkung verborgen ist. So wird sich denn das Wissen um den Bauplan in die Tat umwandeln, und wir bekennen dahinter dem Buch der Weisheit 11,21; „Aber Du hast alles nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet.“ und erfassen seiner tiefen Bedeutung. Die scheinbare Regellosigkeit ist geregelt und Gott sei Dank dafür, dass es muss nicht mindestens eine Million Jahre dauern, bis wir die Primzahlen verstanden haben.

ZUR GRÖSSEREN EHRE GOTTES ! „AD MAJOREM DEI GLORIAM“

- 129 VERTEILUNGSKARTE FÜR FAST UND PRIMZAHLEN. 2,3,5,11,13,29, + n(7) = p n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2 5 17 29 41 53

3 7 19 31 43 67 79

89 101 113

103

137 149

127 139 151 163

173 197

199 211 223

233 257 269 281 293

p(p) + 6(7) = p„(p“)

11 23

37 47 59 71 83 107

61 73 97 109

131 157 167 179 191

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n(5) n(17)

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n(7) n(11) n(19) n(23)

n(13) n(29) 25

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