Liczby pierwsze - mity i fakty

2 STRESZCZENIE

Istnieje powszechne przekonanie graniczące z pewnością, że liczby pierwsze ułożone są na osi liczbowej chaotycznej, nie rządzą nimi żadne prawa, które pozwoliłoby nam je wszystkie jasno opisać. W tym artykule „Liczby pierwsze – mity i fakty” postaram się pokazać, jakie prawa rządzą i jaki porządek panuje wśród liczb pierwszych, co pozwala na ich jasne opisanie. Kto przeczyta artykuł do końca, dowie się, jaki niezwykły porządek i harmonia panuje w świecie liczb pierwszych zamiast chaosu. „Są pewne tajemnice, których ludzki umysł nigdy nie przeniknie. Aby się przekonać, wystarczy rzucić okiem na tablice liczb pierwszych i powinniśmy dostrzec, że nie ma tam ani porządku, ani reguł”. „Matematycy na próżno próbowali znaleźć jakiś porządek w sekwencji liczb pierwszych i mamy powody przypuszczać, że jest to tajemnica, której ludzki umysł nigdy nie zgłębi”.

Leonard Euler – 1751 MITY Liczby pierwsze to atomy arytmetyki. Uosabiają także jedną z najbardziej kuszących zagadek w pogoni za ludzką wiedzą. Jak można przewidzieć, kiedy pojawi się następna liczba pierwsza? Czy istnieje wzór, który mógłby generować liczby pierwsze? Liczby pierwsze są świętym Graalem matematyki i są równie zagadkowe. Jest ich nieskończenie wiele i do dziś nie ma wzoru, za pomocą którego można by obliczyć ich występowanie. Są niezbędne w nowoczesnej technologii. Każdy ruch na koncie, każdy przelew bankowy, cały handel internetowy są chronione przede wszystkim kodami opartymi na liczbach pierwszych.

Poszukiwanie formuły przyniosło wielu ludziom sławę lub szaleństwo. Te pozornie proste pytania wprawiały matematyków w zakłopotanie od czasów starożytnych Greków.

W 1859 r. genialny niemiecki matematyk Bernard Riemann przedstawił pomysł, który ostatecznie zdawał się ujawniać magiczną harmonię działającą w krajobrazie numerycznym.

Obietnica, że te wieczne, niezmienne liczby w końcu ujawnią swoją tajemnicę, zachwycała matematyków na całym świecie. Jednak Riemann, hipochondryk i niespokojny perfekcjonista, nigdy publicznie nie udowodnił swojej hipotezy, a jego gospodyni spaliła wszystkie jego osobiste dokumenty po jego śmierci. Ktokolwiek złamie hipotezę Riemanna, przejdzie do historii, ponieważ ma ona implikacje daleko wykraczające poza matematykę. W biznesie jest filarem bezpieczeństwa i handlu elektronicznego. W nauce ma krytyczne konsekwencje w mechanice kwantowej, teorii chaosu i przyszłości informatyki. Pionierzy w każdej z tych dziedzin ścigają się, aby złamać kod, a zwycięzca otrzymał nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów. Jak dotąd pozostaje to nierozwiązane.

To tyle o mitach dotyczących liczb pierwszych zawartych w zapierającej dech książce „Muzyka liczb pierwszych”, gdzie matematyk Marcus du Sautoy opowiada historię ekscentrycznych i błyskotliwych ludzi, którzy zmagali się z rozwikłaniem jednej z największych tajemnic nauki.

3

SŁOWO WSTĘPNE „Miną miliony lat, zanim osiągniemy jakiekolwiek zrozumienie, a nawet wtedy nie będzie to pełne zrozumienie, ponieważ walczymy z nieskończonością”.

P. Erdös (wywiad z P. Hoffman – Atlantic Monthly, listopad 1987, str. 74) "Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzór, i jako takie, liczby pierwsze są same prawem dla siebie. Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśród liczb naturalnych,.. Od wieków matematycy próbowali i nie udało się wyjaśnić, jaki jest podstawowy wzór liczb pierwszych. Możliwe, że nie istnieje taki wzór i liczby pierwsze ze swej natury wykazują przypadkowe rozmieszczenie, w tym przypadku zaleca się matematykom, podjąć się innych mniej ambitnych zagadnień z tej dziedziny.”

Simon Singh Tak było przed odkryciem regularnego wzoru π(N) + Σ[p(p’)] = ½N mówiącego, że połowa danej wielkości jest sumą liczb pierwszych i ich iloczynów w ściśle określonym stosunku, ukrytych za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy starałem się dodać do tego wyjaśnienie. Wykazałem, że p = [a + (a + 1)]/1, to jedyny wzór, który jest nieodłączny od liczb pierwszych, ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie, lecz dzięki przystawaniu do siebie modulo 7 mają, jako poprzednika liczbę parzystą, której połowa gwarantuje, że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składników o identycznych sumach pośrednich, niemające wspólnego dzielnika większego, od 1, co świadczy, że są liczbami pierwszymi. Wszystko to daje nam do ręki przysłowiową sieć, by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie, takie jak, stosunek liczb pierwszych do iloczynów i połowy danej wielkości (½N), stosunek liczb bliźniaczych do pierwszych, oraz mocnego i słabego przypuszczenia Goldbacha, struktury liczb pierwszych i wielu innych.

Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematyków, zarówno profesjonalnych jak i amatorskich, odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące. Na przykład już Euklides pokazał, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Jednakże, kilka ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane. Liczby pierwsze nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli. Z jednej strony, liczby pierwsze wydają się być rozmieszczone przypadkowo pośród liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak prawdopodobieństwa. Jednak z drugiej strony, rozmieszczenie liczb pierwszych globalne ujawnia niezwykle gładką regularność. To połączenie losowości i prawidłowości zmotywowało mnie do wyszukiwania wzorów w rozmieszczeniu liczb pierwszych, które w końcu mogą rzucić światło na ich ostateczny charakter. Pisząc tę pracę, chciałem dokonać syntezy, co na temat teorii liczb pierwszych już wiadomo i ukazać ją, jako dziedzinę, w której systematycznie bada się naturalne zagadnienia teorii liczb całościowo. Mam nadzieję, że wszyscy miłośnicy matematyki, poczują się szczęśliwi, gdy będą czytali te stronice.

4

FAKTY Od ponad 2000 lat znamy tę rozmieszczoną na osi liczbowej, wydawałoby się chaotycznie liczbę pierwszą. Patrząc jednak na wykres liniowy zauważamy, że liczby pierwsze następują w sobie właściwym porządku. Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności 11, 13, 17, 19, wśród których zaznacza się stała odległość 11 – 6 – 17, 13 – 6 – 19,.

Spójrzmy krótko na poniższy wykres liniowy ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów do 100. Na pierwszy rzut oka dostrzegamy powtarzający się wyraźny ukośny ciąg zaznaczonych na zielono, co trzy liczby iloczynów liczby 3, o stałym odstępie 6 (9 – 15 – 21 – 27 – 33,). Pomiędzy nimi wplata się taki sam ciąg różowy i niebieski liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 (2 – 7 – 13 – 19 – 25/5,) i (5 – 11 – 17 – 23 – 29 – 35/7)

Wspólnie razem tworzą od liczby 3 równomiernie rozwijający się ciąg arytmetyczny, którego każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby (r = 2).

Taki ciąg jako zbiór wszystkich liczb nieparzystych jest ciągiem nieskończonym. Jaki to ma wpływ na rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów dowiemy się już za chwilę.

5 PODSTAWOWY PORZĄDEK Rozbijmy więc ten arytmetyczny ciąg liczb pierwszych i ich iloczynów na trzy podstawowe ciągi, jak w poniższej tabeli.

I co widzimy? Oto kolejne cztery liczby pierwsze (2,3,5,7) dopełnione przez iloczyn liczby trzy (9) tworzą pierwszy układ według wzoru π(N) + ∑p(p’) = ½N, który mówi że liczby pierwsze dopełniane są przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości. 4 + 1 = 5 do dziesięciu mamy 4 liczby pierwsze i jeden iloczyn liczby trzy czyli 9, który dopełnia je do połowy danej wielkości 10/2 = 5 w określonej proporcji (4 : 1). W takiej samej proporcji dopełnione są liczby pierwsze do 20. Mamy tu osiem liczb pierwszych (2,3,5,7,11,13,17,19) i dwa iloczyny liczby 3 (9,15),czyli (8 + 2)/2 = 10/2 = (4 : 1).

6 Natomiast do liczby 96 proporcje liczb pierwszych i ich iloczynów zrównują się jak (1 : 1). Do 96 mamy 24 liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89), 15 iloczynów liczby 3 (9 – 93) i 9 iloczynów liczb większych niż 3 (25/5, 35/7, 55/11, 65/13, 85/17, 95/19, 49/7, 77/11, 91/13) czyli 24 + (15 + 9) = (24 + 24)/24 = 48/24, (1 : 1). Podobnie dzieje się do liczby 100, gdzie na 25 liczb pierwszych przypada 16 iloczynów liczby 3 (9 – 99) plus 9 iloczynów liczb większych niż 3, czyli 25 + (16 + 9) = (25 + 25)/25 = 50/25, (1 : 1).

Wiemy, że każda liczba naturalna większa niż jeden, podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą. Z tej definicji wynika ich właściwość, że rozkładają się na sumę p = [a + (a + 1)]/1 dwóch liczb względnie pierwszych, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba jeden. W takim ujęciu są to połowy poprzedzającej i o jeden większej połowy następującej liczby parzystej, które zawsze są liczbami względnie pierwszymi, jak to widać w poniższej tabeli.

2/2, 3, 4/2, (1 + 2)/1 = 3/1, 4/2, 5, 6/2, (2 + 3)/1 = 5/1, 6/2, 7, 8/2, (3 + 4)/1 = 7/1, 10/2, 11, 12/2, (5 + 6)/2 = 11/1, 12/2, 13, 14/2, (6 + 7)/1 = 13/1, 16/2, 17, 18/2, (8 + 9)/1 = 17/1, 18/2, 19, 20/2, (9 + 10)/1 = 19/1, 22/2, 23, 24/2, (11 + 12)/1 = 23/1, 28/2, 29, 30/2, (14 + 15)/1 = 29/1. Również pozostałe składniki sum pośrednich są liczbami względnie pierwszymi: (1 + 4)/1 = 5, (2 + 5)/1 = 7/1, (1 + 6)/1 = 7/1, (1 + 10)/1 = 11/1, (2 + 9)/1 = 11/1, (3 + 8)/1 = 11/1, (4 + 7)/1 = 11/1, (5 + 6) = 11.

Stąd możemy napisać wzór ogólny na każdą liczbę pierwszą, która jest sumą skrajnych par poprzedzających liczb względnie pierwszych tworzących identyczne sumy pośrednie: [(n – 1)/2 + (n + 1)/2]/1 = p/1

7

8 Ale nie wszystkie liczby nieparzyste są liczbami pierwszymi i chociaż powstają na tej samej zasadzie, to przy ich rozpisaniu zobaczymy, że nie składają się tylko z skrajnych par poprzedzających liczb względnie pierwszych, lecz także liczb, których najwyższym wspólnym dzielnikiem jest liczba większa niż jeden. Wtedy mamy do czynienie z liczbami złożonymi (9/3, 15/5, 21/7, 25/5, 27/3, 33/11, 35/7, 39/13, 45/5, 49/7, 51/17), bo 9 = (4 + 5)/1, ale również 9 = (3 + 6)/3, 51 = (25 + 26)/1, 51 = (17 + 34)/17.

Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników skrajnych liczb poprzedzających, tworzących identyczne sumy pośrednie, nie mające wspólnego dzielnika większego niż jeden i wtedy jest pierwszą np.: 7 = (6 + 1)/1 = (5 + 2)/1 = (4 +3)/1, lub mające wspólny dzielnik większy niż 1 i wtedy jest złożoną np.: 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 +3)/3 = (5 + 4)/1. Widzimy, że takich rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie jest zawsze tyle, co połowa poprzedzającej liczby parzystej, a więc 6/2 = 3 do 7, 8/2 = 4 do 9, 10/2 = 5 do 10. W ten sposób łatwo możemy obliczyć sumę wszystkich liczb poprzedzających, mnożąc identyczne sumy równe danej liczbie, przez połowę poprzedzającej liczby parzystej np.: 3(7) = 21, 4(9) = 36, 5(11) = 55.

Rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze, jest niezbitym dowodem, że dana liczba składa się z samych liczb pierwszych 21/3 = 7, 3(7) = 21, 55/5 = 11, 5(11) = 55, lub złożonych 36/3 = 12/3 = 4/2 = 2, 3(3) = 9, 2(2) = 4, 4(9) = 36. Uświadomienie sobie, że dodawanie parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie (6 + 5) = 11 = (7 + 4), mówi nam czy dana liczba trójkątna, jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych (55/5 = 11), czy złożonych (36/4 = 9).

Jeżeli suma liczb poprzedzających, czyli dana liczba trójkątna rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, to znaczy, że każda para składników nie ma wspólnego dzielnika większego niż jeden i dana liczba jest pierwsza. Faktoryzacja danej liczby trójkątnej na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza, że co najmniej jedna para składników ma wspólny dzielnik większy niż jeden i dana

9 liczba jest złożona. 9 = (8 + 1)/1=(7 + 2)/1=(6 + 3)/3=(5 + 4)/1, 4(9) = 36/2 = 18/2 = 9/3 = 3/3 = 1, (2*2)(3*3) = 36, czyli liczba 9 jest liczbą złożoną. Liczba 11 jest pierwszą, ponieważ pięć par składników o identycznych sumach, jakie ją tworzą, dodawane skrajnie jako liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają 55, liczbę trójkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich, równej połowie stojącej przed nią liczbie parzystej. (10 + 1)/1,= (9 + 2)/1,= (8 + 3)/1,= (7 + 4)/1,= (6 + 5)/1, 5(11) = 55/5 = 11

10

Liczby trójkątne 3, 10, 21, 36, 55,.. jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, składają się z n – tej ilości par składników dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających, równej połowie poprzedzającej liczby parzystej 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, 10/2, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych (4 + 1)/1, (2 + 3)/1, 5 + 5 = 10/2 = 5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych (8 + 1)/1, (7 + 2)/1, (6 + 3)/3, (5 + 4)/1, 9 + 9 + 9 + 9 = 36/4 = 4*9 = (2*2) (3*3).

Ten systematyczny proces określania, która liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą, jak to widzimy w powyższej tabeli, jest dobrym przykładem na algorytm to testujący: [(n – 1)(n)]/2 = n/2 = t | p = (n = p) lub (n)/2 = t | p = (p < n) = p(p’).

Opiera się on na podstawowej właściwości liczb pierwszych do tworzenia n – tej ilości par składników o identycznych sumach pośrednich, które nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Wtedy liczba trójkątna jako suma wszystkich liczb poprzedzających, rozkłada się na czynniki pierwsze aż do danej liczby co oznacza, że jest liczbą pierwszą. Gdy rozkłada się na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby to jest liczbą złożoną. Algorytm jest to metoda za pomocą, której możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazówek. Gdy to zastosujemy, wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający, że dana liczba jest liczbą pierwszą lub ich iloczynem. [(n-1)(n)]/2 [36(37)]/2 [44(45)]/2 [94(95)]/2 [100(101)]/2

n/2 1332/2 1980/2 8930/2 10100/2

t 666 990 4465 5050

t/p 666/2 990/11 4465/47 5050/5

n/p 333/3 90/3 95/19 1010/5

n/p 111/3 30/5 5/1 202/2

n = p, (p<n) 37 = p 6/3 = 2 (p<n) 5 (p<n) 101 = p

[(n – 1)/2](n) = t | p = (n = p), lub t | p = (p < n) = p(p’) Sprawdźmy, więc jakie właściwości posiada liczba (1,378,565,437 – 1)/2, od której odejmujemy 1 i dzielimy przez 2, aby zobaczyć ile par składników o identycznych sumach pośrednich tworzy, co się równa 1,378,565,436/2 = 689,282,718 par i przez tę liczbę ją mnożymy, by uzyskać sumę wszystkich liczb poprzedzających tj. liczbę trójkątną t = 950,221,331,356,217,766, która rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, czyli dana liczba jest pierwszą, bo składa się z 689,282,718 par składników identycznych sum pośrednich liczby pierwszej 1,378,565,437.

1,378,565,437(689,282,718) = 950,221,331,356,217,76

(1 + 1,378,565,436)/1 = 1,378,565,437

950,221,331,356,217,766/3 = 316,740,443,785,405,922

(2 + 1,378,565,435)/1 = 1,378,565,437

316,740,443,785,405,922/2 = 158,370,221,892,702,961

(3 + 1,378,565,434)/1 = 1,378,565,437

158,370,221,892,702,961/114,880,453 = 1,378,565,437

(4 + 1,378,565,433)/1 = 1,378,565,437

114,880,453*6 = 689,282,718

(689,282,718 + 689,282,719)/1 = 1,378,565,437

11 ”Liczby pierwsze słyną z tego, że tworzą nieprzeniknioną plątaninę. Według wielu matematyków ich kolejność nie wynika z dostrzegalnego wzoru”.

Vine Guy

JAK ROZMIESZCZONE SĄ LICZBY PIERWSZE

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych, wiąże się dla matematyka z nadzieją, znalezienia nowych dróg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki. Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru, były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami, jakie matematycy badali.

Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych. Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej, jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach.

Nagle pojawia się również zainteresowanie gospodarcze pytaniem, czy dowód przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb. Od stuleci na próżno szukano magicznej formuły, do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł, więc czas by podejść do sprawy z nową strategią. Jak dotąd wydawało się, że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo. Takie nastawienie nie pozwala oczywiście, by można było przewidzieć, jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000.

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności dopełniania liczb pierwszych przez ich iloczyny do połowy danej wielkości, według wzoru π(N) + ∑p(p’) = ½N, który mówi że suma ilości liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości.

Od 20 do 100 jest 80 liczb w tym połowa czyli 40 = 17 + 23 to liczby pierwsze i ich iloczyny. Do 20/2 = 10 = 8 + 2 mamy 8 liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) i 2 iloczyny (9, 15), zaś do 100/2 = 50 = [(8 + 17) + (2 + 23)] = 25 + 25 stosunek ten się wyrównuje.

Formuła π(N) + ∑p(p’)>3 = 3(q) mówi, że ilość liczb pierwszych do danej wielkości N plus ilość iloczynów liczb pierwszych większych niż 3, tworzy stałą sumę, rosnącą w postępie geometrycznym 3(q). Również iloczyny liczby 3 tworzą stałą sumę do 100 jest ich 16. Te dwie sumy (34) + (16) = 50 dopełniają się do połowy danej wielkości, która rośnie w postępie geometrycznym 5(q). Stąd piszemy [π(N) + ∑p(p’)>3] + ∑3(p) = ½N, (25 + 9) + 16 =(34) + (16) = 50 i to jest podstawowy wzór na rozmieszczenie liczb pierwszych. Widzimy, że stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości 50/25 równy jest jak 2 : 1. Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich z n – tej ilości par skrajnych składników liczb poprzedzających daną wielkość. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia.

Wystarczy więc utworzyć tabelę z tak następujących regularnie co 2 (3, 5 ,7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) liczb, a bez sita Eratosthenesa mamy wyselekcjonowane wszystkie liczby pierwsze i ich iloczyny. Na

12 pierwszy rzut oka widać z jaką regularnością występują iloczyny liczby 5, co 30 liczb (25-55-85, 35-6595) czy iloczyny liczby 7, co 28 liczby (49-77, 133-161), lub iloczyny liczby 11, co 88 liczby (121-209, 187-275), lub iloczyny liczby 13, co 26 liczb (221-247, 377-403), lub iloczyny liczby 17, co 34 liczby (289-323).

Z tej tabeli wynika wyraźnie, że liczby pierwsze wraz z iloczynami większymi niż 3 tworzą dwa odrębne ciągi (11-41-71-101-131-161, 13-43-73-103-133), i w tych ciągach liczby pierwsze są uzupełniane przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości z wzorową dokładnością [10(p) + 5p(p’)]/5 = 15/5, 2 : 1, [16(p) + 12p(p’)]/4 = 28/4, 4 : 3, 30(p) + 30p(p’) = 120/2 = 60, 1 : 1,..

N/2 10/2 10²/2 10³/2 10⁴/2 10⁵/2 10⁶/2 10⁷/2 10⁸/2 10⁹/2 10¹⁰/2

∑[p(p‘)] 1 25 332 3 771 40 408 421 502 4 335 421 44 238 545 449 152 466 4 544 947 489

π(N) 4 25 168 1 229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511

13 10¹¹/2 10¹²/2 10¹³/2 10¹⁴/2 10¹⁵/2 10¹⁶/2 10¹⁷/2 10¹⁸/2 10¹⁹/2 10²⁰/2 10²¹/2 10²²/2 10²³/2 10²⁴/2 10²⁵/2 10²⁶/2 10²⁷/2 10²⁸/2

45 881 945 187 462 392 087 982 4 653 934 463 161 46 795 058 249 198 470 155 429 577 331 4 720 761 658 966 075 47 376 442 842 345 767 475 260 045 712 259 140 4 765 942 332 723 655 393 47 779 180 397 439 081 160 478 872 730 513 981 268 072 4 798 532 713 310 684 093 710 48 074 679 608 393 196 031 077 481 564 400 232 650 799 132 134 4 823 153 690 600 856 230 588 320 48 300 753 249 127 562 858 672 397 483 647 539 573 158 319 553 572 601 4,842,410,858,973,345,227,554,411,713

4 118 054 813 37 607 912 018 346 065 536 839 3 204 941 750 802 29 844 570 422 669 279 238 341 033 925 2 623 557 157 654 233 24 739 954 287 740 860 234 057 667 276 344 607 2 220 819 602 560 918 840 21 127 269 486 018 731 928 201 467 286 689 315 906 290 1 925 320 391 606 803 968 923 18 435 599 767 349 200 867 866 176 846 309 399 143 769 411 680 1 699 246 750 872 437 141 327 603 16 352 460 426 841 680 446 427 399 157 589 141 026 654 772 445 588 287

Czyli istnieje ścisła zależność pomiędzy ilością przybywających liczb pierwszych π(N), a ich iloczynami większymi niż trzy /∑[p(p’)]>3/, które wzrastają w postępie geometrycznym 3(q), jak to widać w poniższej tabeli. /3(q) = ∑[p(p’)]>3 + π(N) 30 = 9 + 21, 300 = 157 + 143,../ To znaczy, jeżeli w pierwszej dziesiątce mamy 4 liczby pierwsze to do 100 nie może być ich więcej jak 3(10) = 30, to jest 21 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3 to się równa 30. 4 + 30 = 34 + 300 = 334 + 3000 = 3334,.. ∑d(p) +∑d [p(p’)]> 3 = 3(q) 4

∑[p(p’)]> 3 0

π(x) 4

30

9 9 157 166 1 939 2 105 21 637 23 742 231 094 254 836 2 413 919 2 668 755 24 903 124 27 571 879 254 913 921 282 485 800 2 595 795 023 2 878 280 823 26 336 997 698 29 215 278 521 266 510 142 795

21 25 143 168 1 061 1 229 8 363 9 592 68 906 78498 586 081 664 579 5 096 876 5 761 455 45 086 079 50 847 534 404 204 977 455 052 511 3 663 002 302 4 118 054 813 33 489 857 205

34 300 334 3 000 3 334 30 000 33 334 300 000 333 334 3 000 000 3 333 334 30 000 000 33 333 334 300 000 000 333 333 334 3 000 000 000 3 333 333 334 30 000 000 000 33 333 333 334 300 000 000 000

N 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹

14 333 333 333 334

300 000 000 000 000 000 000

295 725 421 316 2 691 542 375 179 2 987 267 796 495 27 141 123 786 037 30 128 391 582 532 273 360 371 328 133 303 488 762 910 665 2,750,606,229,388,744 3 054 094 992 299 409 27,655,681,183,379,692 30,709,776,175,679,101 277,883,602,869,913,373 308,593,379,045,592,474 2,790,682,287,011,396,253 3,099,275,666,056,988,727 28,013,238,064,715,425,767 31,112,513,730,772,414,494 281,093,550,116,542,186,912

37 607 912 018 308 457 624 821 346 065 536 839 2 858 876 213 963 3 204 941 750 802 26 639 628 671 867 29 844 570 422 669 249,393,770,611,256 279 238 341 033 925 2,344,318,816,620,308 2 623 557 157 654 233 22,116,397,130,086,627 24 739 954 287 740 860 209,317,712,988,603,747 234 057 667 276 344 607 1,986,761,935,284,574,233 2 220 819 602 560 918 840 18,906,449,883,457,813,088

333 333 333 333 333 333 334

312,206,063,847,314,601,406

21 127 269 486 018 731 928

3 000 000 000 000 000 000 000

2,819,659,982,796,702,825,638

180,340,017,203,297,174,362

3 333 333 333 333 333 333 334

3,131,866,046,644,017,427,044

201 467 286 689 315 906 290

30 000 000 000 000 000 000 000

28,276,146,895,082,511,937,367

1,723,853,104,917,488,062,633

33 333 333 333 333 333 333 334

31,408,012,941,726,529,364,411

1 925 320 391 606 803 968 923

300 000 000 000 000 000 000 000

283,489,720,624,257,603,101,057

16,510,279,375,742,396,898,943

3 000 000 000 000 3 333 333 333 334 30 000 000 000 000 33 333 333 333 334 300 000 000 000 000 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 334 300 000 000 000 000 000 333 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 333 334

333 333 333 333 333 333 333 334

314,897,733,565,984,132,465,468

18 435 599 767 349 200 867 866

3 000 000 000 000 000 000 000 000

2,841,589,290,368,205,431,456,186

158,410,709,631,794,568,543,814

3 333 333 333 333 333 333 333 334

3,156,487,023,934,189,563,921,654

176 846 309 399 143 769 411 680

30 000 000 000 000 000 000 000 000

28,477,599,558,526,706,628,084,077

1,522,400,441,473,293,371,915,923

33 333 333 333 333 333 333 333 334

31,634,086,582,460,896,192,005,731

1 699 246 750 872 437 141 327 603

300 000 000 000 000 000 000 000 000

285,346,786,324,030,756,694,900,204

14,653,213,675,969,243,305,099,796

333 333 333 333 333 333 333 333 334

316,980,872,906,491,652,886,905,935

16 352 460 426 841 680 446 427 399

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000

2,858,763,319,400,186,848,000,839,112

141,236,680,599,813,151,999,160,888

3 333 333 333 333 333 333 333 333 334

3 175 744 192 306 678 560 887 745 047

157 589 141 026 654 772 445 588 287

10¹² 10¹³ 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ 10²¹ 10²² 10²³ 10²⁴ 10²⁵ 10²⁶ 10²⁷ 10²⁸

A tak równomiernie rozmieszczone są liczby pierwsze i ich iloczyny, tak jak następują jedne po drugich w 20 kolumnach co 40 – 80 liczb i w wierszach o stałej ilości miejsc dla liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, uzupełnianych do ½N przez iloczyny liczby 3(4 – 3 – 3) (6 – 7 – 7), to znaczy na 6 miejsc w tym wierszu 4 mogą zajmować liczby pierwsze, a 2 ich iloczyny większe niż 3, podobnie w wierszach na 7 miejsc, 5 dla liczb pierwszych a 2 dla ich iloczynów większych niż 3.

Tylko w pierwszym rzędzie jest miejsce dla 8 liczb pierwszych, a ponieważ co trzecia liczba w każdym wierszu jest iloczynem liczby 3 znajdzie się tam 2 miejsca dla iloczynów liczby 3. W następnym wierszu wśród 6 miejsc, są 4 miejsca dla iloczynów liczby 3, a wśród 7 miejsc są 3 miejsca, dla iloczynów liczby trzy.

15

Prowadzi to do zrównoważonego rozmieszczenia liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 ujętych w ciągach o postępie geometrycznym 3(q), 4 – 30 – 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334,. (34 = 9 + 25, 334 = 166 + 168, 3 334 = 2 105 + 1 229), czyli ∑[p(p’)]> 3 + π(N) + ∑3(p) = ½N, uzupełnionych zawsze do ½ N przez iloczyny liczby 3 (16, 166, 1 666), jako suma dwóch stałych liczb 34 + 16 = 50, 334 + 166 = 500, 3 334 + 1 666 = 5 000, a ta suma rośnie w postępie geometrycznym 5(q).

Jak wynika z powyższej tabeli ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 rośnie równomiernie stale o 3(q), co wynika z równania d[π(N)] + d[∑p(p’)>3] = 3(q) = [π(N’) + ∑p(p’)>3] – [π(N) + ∑p(p’)>3], gdzie suma różnic pomiędzy poprzedzającą ilością liczb

16

pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 równa jest różnicy sum: 25 – 4 = 21, 9 – 0 = 9, 21 + 9 = 30 = [25 + 9] – [4 +0] = 34 – 4, 168 - 25 = 143, 166 – 9 = 157, 143 + 157 = 300, 168 + 166 =334, 25 + 9 = 34, 334 – 34 = 300, 1229 – 168 = 1061, 2105 – 166 = 1939, 1061 + 1939 = 3000, 1229 + 2105 = 3334, 3334 – 334 = 3000, A tak wygląda to na wykresie warstwowym, gdzie suma ilości liczb pierwszych do danej wielkości i ich iloczynów większych niż 3 stanowi 50% całości i stosunek iloczynów większych niż 3 do liczb pierwszych asymptotycznie rośnie.

STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ILOCZYNÓW I ½N Każda liczba naturalna jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem liczby pierwszej to znaczy, że każda liczba całkowita jednoznacznie rozkłada się na iloczyn liczb pierwszych. Stąd też ta wzajemna zależność liczb pierwszych od ilości liczb całkowitych, czyli ile liczb pierwszych może być w danym przedziale liczb.

Stosunek liczb pierwszych do iloczynów został już określony, a wynika on ze zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich do danej wielkości. Do dziesięciu mamy 4 liczby pierwsze (2 + 3 + 5 + 7 = 17), ich suma to 17 i tworzą one 4 identyczne sumy pośrednie do 10 [(2 + 8 = 10), (3 + 7 = 10), (5 +5 = 10), (7 + 3 = 10), (8 + 7 + 5 + 3 = 23), a suma składników dopełniających do 10 to 23. (17 + 23 = 40/4 = 10). Według tego schematu będzie się kształtował stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów, to znaczy na 40 liczb nieparzystych w danym przedziale, może być 17 liczb pierwszych (od 20 – 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 do 100) i 23 ich iloczynów (21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99), co można zapisać wzorem π(N) + ∑[p(p’)] = ½N, który mówi że suma ilości liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości. Od 20 do 100 jest 80 liczb w tym połowa, czyli (40 = 17 + 23) to 17 liczb pierwszych i 23 ich

17 iloczyny. Do 20/2 = 10 = 8 + 2 mamy 8 liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) i 2 iloczyny (9, 15), zaś do 100/2 = 50 = [(8 + 17) + (2 + 23)] = 25 + 25 stosunek ten się wyrównuje 1 : 1.

Do 100/2 = 50 tylko 10 liczb pierwszych (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) wytwarza 25 iloczynów (9/3, 15/5, 21/7, 25/5, 27/9, 33/11, 35/7, 39/13, 45/15, 49/7, 51/17, 55/11, 57/19, 63/7, 65/13, 69/23, 75/25, 77/11, 81/27, 85/17, 87/29, 91/13, 93/31, 95/19, 99/33). Każda z tych liczb zna swoje miejsce w szeregu, czyli siłą rzeczy więcej jak 25 iloczynów w tych trzech ciągach się nie mieści, bo każdy iloczyn stoi na miejscu, które oznacza i zarezerwowane jest tylko dla niego.

Tak równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 pozwala znaleźć miejsca, gdzie ten stosunek proporcjonalnie rośnie również wobec ½N, jak to widzimy na wykresie warstwowym i stosunek iloczynów do liczb pierwszych jest większy od stosunku liczb pierwszych do połowy danej wielkości. ∑p(p’)/π(N)>π(N)/½N, 25/1 + 25/1 = 50/2, 1 : 1 > 1 : 2,

168/1 + 336/2 = 504/3, 1 : 2 > 1 : 3, 1055/1 + 3165/3 = 4220/4. 1 : 3 > 1 : 4,..

Z tej zależności i uporządkowania można dokładnie obliczyć jaka ilość liczb pierwszych jest w danym przedziale, a także przewidzieć ich ilość w następnym przedziale liczb do połowy danej wielkości ½N.

18

Z taką samą dokładnością co do jednego można obliczyć ilość liczb pierwszych wykorzystując ich stale wzrastający o 1.151636 stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości ½N. Bierze się to stąd, że zarówno liczby pierwsze jak i ich iloczyny tworzą ciągi, a suma ciągu podzielna jest bez reszty przez 16 π(N) + ∑p(p’) = ½N/16, 9,592 + 40,408 = 50,000/16 = 3,125, gdy 9,592 liczb pierwszych wchodzi w pary z ich 40,408 iloczynami, tworzą ciąg złożony z 16(3,125) = 50,000 liczb. Jeżeli teraz podzielimy iloraz sumy liczb pierwszych i ich iloczynów przez iloraz samych liczb pierwszych 9,592/16 = 599.5 to otrzymamy 3,125/599.5 = 5.212677231, jaki jest stosunek liczb pierwszych do połowy danej

19 wielkości. I odwrotnie dzieląc iloraz wszystkich liczb do połowy danej wielkości przez stosunek w jakim są liczby pierwsze 3,125/5.212677231 = 599.5, otrzymujemy iloraz liczb pierwszych w tym ciągu, który pomnożony przez 16(599.5) = 9,592 daje ilość liczb pierwszych w ciągu z dokładnością co do jednego. Najprościej 50,000/5.212677231 = 9,592, czyli ½N została rozkodowana.

31,250/6,369589 = 4,906.125(16) =78,498 p 312,500/7.52356 = 41,536.1875(16) = 664,579 p 3,125,000/8.6783633648 = 360,090.9375(16) = 5,761,455 p 31,250,000/9.8333185636 = 3,177,970.875(16) = 50,847,534 p 312,500,000/10.9877429 = 28,440,781.9375(16) = 455,052,511 p 3,125,000,000/12.1416548 = 257,378,425.8125(16) = 4,118,054,813 p 31,250,000,000/13.295 = 2,350,494,501.125(16) = 37,607,912,018 p 312,500,000,000/14.44813 = 21,629,096,052.4375(16) = 346,065,536,839 p 3,125,000,000,000/15.6009 = 200,308,859,425.125(16) = 3,204,941,750,802 p 31,250,000,000,000/16.75346 = 1,865,285,651,416.8125(16) = 29,844,570,422,669 p 312,500,000,000,000/17.90585 = 17,452,396,314,620.3125(16) = 279,238,341,033,925 p 3,125,000,000,000,000/19.05809 = 163,972,322,353,389.5625(16) = 2,623,557,157,654,233 p 31,250,000,000,000,000/20.21022 = 1,546,247,142,983,803.75(16) = 24,739,954,287,740,860 p 312,5(10¹⁴)/21.36225 = 14,628,604,204,771,537.9375(16) = 234,057,667,276,344,607 p 3,125(10¹⁵)/22.51421 = 138,801,225,160,057,427.5(16) = 2,220,819,602,560,918,840 p 31,25(10¹⁶)/23.66609 = 1,320,454,342,876,170,745.5(16) = 21,127,269,486,018,731,928 p 312,5(10¹⁷)/24.81792 = 12,591,705,418,082,244,143.125(16) = 201,467,286,689,315,906,290 p 3,125(10¹⁸)/25.96970 = 120,332,524,475,425,248,057.6875(16) = 1,925,320,391,606,803,968,923 p 31,25(10¹⁹)/27.1214392=1,152,224,985,459,325,054,241.625(16)=18,435,599,767,349,200,867,866 p 312,5(10²°)/28.273137 = 11,052,894,337,446,485,588,230(16) = 176,846,309,399,143,769,411,680 p 3,125(10²¹)/29.42480=106,202,921,929,527,321,332,975.1875(16)=1,699,246,750,872437141327603 31,25(10²²)/30.576438=1022028776677605027901712.4375(16)=16352460426841680446427399 p 312,5(10²³)/31.7280744=9849321314165923277849267.9375(16)=157589141026654772445588287 Znając równomiernie powiększający się stosunek liczb pierwszych do ½N od 10²⁸ o 1.151636 możemy obliczyć, że w ciągu złożonym z 50(10²⁸) liczb tych pierwszych będzie tyle ile wynosi iloraz wszystkich

20 liczb do połowy danej wielkości, podzielony przez stosunek w jakim są w nim liczby pierwsze, który pomnożony przez 16 daje dokładną ilość liczb pierwszych 3,125,(10²⁴)/32.879710 = 95,043,416,034,707,162,235,721,907.5(16) = 1,520,694,656,555,314,595,771,550,520, a w ciągu złożonym z 50(10²⁹) liczb tych pierwszych będzie/32.879710 + 1.151636 = 34.031346/ i przez ten stosunek dzielimy iloraz połowy danej wielkości by otrzymać ilość liczb pierwszych 31,25(10²⁵)/34.031346 = 918,271,055,161,908,670,905,934,781.5(16) = 14,692,336,882,590,538,734,494,956,502.

STOSUNEK LICZB BLIŹNIACZYCH DO PIERWSZYCH Liczby bliźniacze, to dwie liczby pierwsze, które można przedstawić w formie (6n ± 1), 6(1) – 1 = 5, 6(1) + 1 = 7, 6(2) – 1 = 11, 6(2) + 1 = 13. A oto jak układają się liczby pierwsze w pary bliźniacze.

Widzimy, że numer miejsca na którym się plasują jest liczbą, której sześciokrotny iloczyn 6(n) ± 1 je tworzy 6(10) - 1 = 59, 6(10) + 1 = 61, 6(12) – 1 = 71, 6(12) + 1 = 73. Do 100 mamy wśród 50 liczb jest siedem par liczb bliźniaczych czyli 14 liczb pierwszych tworzy pary liczb bliźniaczych postaci p i p + 2.

Ponieważ liczby 2 i 3 jako następujące po sobie nigdy nie tworzą pary bliźniaczej, jak i 16 iloczynów liczby 3 nie możemy liczby 3 zaliczać do liczb bliźniaczych, bo liczba 5 nie może tworzyć jednocześnie pary z nią i z 7, a tak byłaby liczona podwójnie w dwóch parach, czyli do 100 mielibyśmy osiem par i 15 liczb bliźniaczych, a to nie jest prawda. Całość struktury 50 liczb można ułożyć tylko w 16 par z czego 9 to pary mieszane z iloczynami liczb większych niż 3 (23 – 25, 35 – 37, 47 – 49, 53 – 55, 65 – 67, 77 – 79, 83 – 85, 89 – 91, 95 – 97). Odejmując od 25 – 2 = 23 dwie pierwsze liczby otrzymujemy 23, z czego musimy odjąć 9 iloczynów liczb większych niż 3 (23 – 9 = 14), czyli tylko 14 liczb pierwszych tworzy 7 par liczb bliźniaczych.

Do dziesięciu są 2 liczby bliźniacze (5 – 7) na 4 liczby pierwsze (4 – 2 = 2), do 100 mamy o 25 – 14 = 11 liczb pierwszych, które nie są sparowane więcej i o 14 – 2 = 12 liczb bliźniaczych, czyli (11 – 2 = 9) dziewięć liczb pierwszych nie sparowanych więcej, a także 9 iloczynów liczb większych niż 3.

Wzajemna zależność między tymi wartościami jest taka, że różnica w ilości liczb pierwszych i liczb

21 bliźniaczych pomiędzy dwoma przedziałami [π(N’) – π(N)] – [∑p,(p’+2) - ∑p,(p+2)] (25 – 4 = 21) – (14 – 2 = 12), (21 – 12 = 9), a także ilość 9 iloczynów liczb większych niż 3 i 12 liczb bliźniaczych dodane do siebie (9 + 9 + 12 = 30) muszą wzrastać w postępie geometrycznym 3(q).

143 – 54 = 89, 166 – 9 = 157, 68 – 14 = 54, 157 + 89 + 54 = 300 = 30(10) Do 1000 wśród 334 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, liczb bliźniaczych jest 2(34) = 68. Czyli 168 – 68 = 100 liczb pierwszych nie tworzy liczb bliźniaczych, gdy w przedziale do 100 było ich 25 – 14 = 11, ilość liczb pierwszych nie tworzących liczb bliźniaczych wzrasta o 100 – 11 = 89, zaś iloczynów większych niż 3 o (166 – 9 = 157), a liczb bliźniaczych o (68 – 14 = 54). Dodając te wartości do siebie (157 + 89 + 54 = 300) widzimy, że ilość liczb pierwszych i iloczynów większych niż 3 biorących udział w tworzeniu liczb bliźniaczych stale wzrasta w postępie geometrycznym 3(q) 30 - 300.

22

Na powyższym wykresie liniowym, widzimy dokładnie jak liczby pierwsze i bliźniacze rozmieszczone są w 16 ciągach o stałym odstępie n(30), 11-13, 41-43, 71-73, 101-103, 29-31, 59-61, 149-151,..

Tę właściwość można wykorzystać przy obliczaniu ilości liczb bliźniaczych do danej wielkości. Jeżeli ilość liczb pierwszych i bliźniaczych możemy zapisać w postaci ilorazu liczby 16 np.: π(1000) = 16(10.5) = 168, a π₂(1000) = 16(4.25) = 68 to łatwo z tego obliczyć, jaki jest stosunek liczb pierwszych do liczb bliźniaczych 168/68 = 2.4705882 = 10.5/4.25.

Znając ilość liczb pierwszych zapisaną w postaci ilorazu liczby 16 i stosunek, w jakim są do nich liczby bliźniacze to dzieląc ten iloraz przez stosunek otrzymujemy iloraz liczb bliźniaczych wynikający z tego stosunku.

Warto zauważyć, że ten stosunek od π(10¹⁸)/π₂(10¹⁸) = 24,739,954,287,740,860/1,617,351,777,154,870 = 15.2965821, stale wzrasta o 0.8730871. W ten sposób, jeżeli do π₂(10¹⁹) jest 14,475,105,481,832,900 liczb bliźniaczych i 234,057,667,276,344,607 liczb pierwszych to stosunek ich wynosi 16.1696692, a następny o 0,8730871 większy równa się 17.0427563. Dzieląc więc ten iloraz ilości liczb pierwszych przez stosunek 17.0427563 i mnożąc przez 16, (2,220,819,602,560,918,840)/16 = 138,801,225,160,057,427.5/17.0427563 = 8,144,294,427,307,948.25(16) = 130,308,710,836,927,172 otrzymujemy ilość liczb bliźniaczych w stosunku 17.0427563 do liczb pierwszych w tym ciągu. W ten sposób możemy ze stosunku obliczyć każdą ilość liczb bliźniaczych.

21,127,269,486,018,731,928/16 = 1,320,454,342,876,170,745.5/17.9158434 73,703,163,920,051,385.625(16) = 1,179,250,622,720,822,170 p, p+2

=

23

24

„Nauki matematyczne szczególnie wykazują symetrię porządku i ograniczenia; i to jest największa forma piękna”.

Arystoteles STRUKTURY LICZB PIERWSZYCH Matematyka to nauka o strukturach, jeżeli przez strukturę rozumiemy sposób łączenia pojedynczych części w całość; stały, charakterystyczny dla danego obiektu prawidłowy układ części składowych; budowa, układ, styl.

Tutaj może się wydawać, że obiekty matematyczne uzyskują swoją tożsamość w stosunku do ich „relacji” z innymi przedmiotami. Zatem „liczby, punkty, linie proste i płaszczyzny” są definiowane za pomocą terminów relacyjnych, takich jak „pomiędzy” „wśród” „równoległe” „przystające” i „ciągłe”. Cały ten pakiet przyjmuje następnie formę struktury (lub systemu).

W ten sposób liczby, punkty, linie proste i płaszczyzny mają relacje między sobą, kongruencję i dopełniają się w określonej proporcji, oraz są równoległe do innych rzeczy, ponieważ są częścią całej struktury (lub systemu), w którym te relacje zachodzą. Jaką więc podstawową strukturę tworzą liczby pierwsze, oto ona.

Ta struktura jest bardzo prosta. Składa się z lewoskrętnego podwójnego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, rosnącego stale o 6 (5-11-17-23-29), zaś w prawo stale o 8 (29-37-45-53-61), a na wprost stale o 2(7) = 14 (5-19-33-47-61-89).

Najciekawsza jednak jest relacja jaka zachodzi pomiędzy liczbami pierwszymi a ich iloczynami w tak małej grupie liczb. Otóż do liczby 96 jest 24 liczb pierwszych i 24 ich iloczynów (15

25

iloczynów liczby 3 i 9 iloczynów większych niż 3), co daje 48 liczb, czyli połowę danej wielkości (24 + 24 = 48), a więc stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów jest jak 1 : 1 zgodnie z wzorem π(N) + ∑ p(p’) = ½N. Taki sam stosunek zachodzi do liczby 100, gdzie na 25 liczb pierwszych mamy 16 iloczynów liczby 3 plus 9 iloczynów liczb większych niż 3, czyli 25 ich iloczynów (25 + 25 = 50) w stosunku 1 : 1.

Dwa fakty są decydujące, jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych, o których mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia, że pozostanie to na zawsze w pamięci. Pierwszy to, że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli, jako cegiełki liczb naturalnych, same dla siebie są cegiełkami, tzn. każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzedników, czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = (3)(3)(7) i n – tej wielokrotności liczby pierwszej 7, [2, 3, 5, 11, 13, 29] + n(7) = p 2=2 3=3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2+3=5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5+2=7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039 3 + 1(7) = 10 2 + 14(7)

=

100

6 + 142(7)

=

1 000

4 + 1 428(7)

=

10 000

5 + 14 285(7)

=

100 000

1 + 142 857(7)

=

1,00E+06

3 + 1 428 571(7)

=

`1,00E+07

2 + 14 285 714(7)

=

1,00E+08

6 + 142 857 142(7)

=

1,00E+09

4 + 1 428 571 428(7)

=

1,00E+10

5 + 14 285 714 285(7)

=

1,00E+11

1 + 142 857 142 857(7)

=

1,00E+12

26

3 + 1 428 571 428 571(7)

=

1,00E+13

2 + 14 285 714 285 714(7)

=

1,00E+14

6 + 142 857 142 857 142(7)

=

1,00E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7)

=

1,00E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7)

=

1,00E+17

4 + 1,428 571 428e99(7)

=

1,00E+100

4 + 1,428 571 428e999(7)

=

1,00E+1000

4 + 1,428 571 428e99 999 999(7)

=

1,00E+100 000 000

4 + 1,428 571 428e999 999 999(7)

=

1,00E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący, gdyż mówi, że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością. Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) przystają do siebie według modułu 7, jak to pokazuje poniższy wykres, to i liczby pierwsze.

Całe piękno tej struktury widoczne jest zarówno na wielkich, jak i małych trójwymiarowych przestrzeniach, gdzie prawdziwy jest wzór p – (3,5,37,11,13,43,23,53,83,29,31,61) = 2n/7.

27

28

W takiej strukturze liczby pierwsze automatycznie odróżniają się od swoich iloczynów tym, że tworzą 8 prawoskrętnych ciągów o stałym odstępie 5(6) = 30, jak to widać poniżej.

29

W innej strukturze widzimy jak te spiralnie rozwijające się liczby pierwsze tworzą 12 podwójnych prawoskrętnych wirów o stałym odstępie 72, a ich iloczyny lewoskrętne.

30

W tej strukturze do liczby 1080 jest po równo 180 liczb pierwszych, ilocznów liczb większych niż 3 i pustych miejsc na iloczyny liczby 3, pomiędzy odstępami (7-4-11, 13-4-17), które dzięki stałym odstępom 70 w lewo i 72 w prawo tworzą te wspaniałe proporcje;

25 (p) + 9 p(p')>3 = 34, 168 (p) + 166 p(p')>3 = 334, 334 - 34 = 300 30(p) + 30 ∑p(p') = 60 (½N), π(N)/∑p(p') = 1 : 1, π(N)/½N = 1 : 2 180 (p) + 180 ∑p(p')>3 + 180 ∑(3p) = 540 (½N), π(N)/∑p(p')>3 = 1 : 1, π(N)/½N = 1 : 3

31

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się „mocną” hipotezą Goldbacha, która mówi, że każda parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Jeżeli współczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi ½, to znaczy, że równanie, ½N/N = π(N)/Σ(p + p’) jest odpowiedzią na problem Goldbacha, który przypuszczał, że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwóch liczb pierwszych.

Twierdzenie: Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwójną ich ilość, jest równy ilorazowi ilości liczb parzystych przez daną wielkość, wtedy zachodzi równość dwóch stosunków, czyli że iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyrazów środkowych.

2k/N = 2k/Σ(p + p’) 50/100 = 50/(50 + 50) = ½

32

Suma dwóch liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą /2 k = p + p’/, jak to wynika z właściwości, jakie stwierdza parzystość liczb. Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy przedstawić, jako sumę dwóch liczb parzystych lub pierwszych. /6 = 2 + 4 = 3 + 3, 8 = 2 + 6 = 3 + 5, 12 = 4 + 8 = 5 + 7, 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7/

Proporcja ½ w wypadku liczb parzystych oznacza, że wszystkie liczby parzyste w danym bloku składają się z dwóch liczb pierwszych. 5/10 = 4/8, 50/100 = 25/50, 500/1000 = 168/336 Do 10 jest 5 par liczb pierwszych, których sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, 5 + 5 = 10, 3 + 7 = 10, zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb

33

pierwszych o sumie parzystej /5 + 7 = 12, 3 + 11 = 14, 5 + 11 = 16, 7 + 11 = 18, 7 + 13 = 20, 5 + 17 = 22, 11 + 13 = 24, 7 + 19 = 26, 11 + 17 = 28/. Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000, o wspólnym ilorazie q = 10 aż do nieskończoności.

Tak, więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 4 par składników pierwszych, a mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie. 8 = 5 + 3, 10 = 7 + 3 = 5 + 5, 22 = 19 + 3 = 17 + 5 = 11 + 11, 36 = 19 + 17 = 23 + 13 = 29 + 7 = 31 + 5. Niezależnie od tego ile liczb pierwszych jest w przedziale liczb do danej wielkości, znajdująca się tam liczba parzysta, pozostaje zawsze sumą par składników liczb poprzedzających, wśród których nigdy nie zabraknie liczb pierwszych, które wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500, czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie parzystej.

34

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą liczbę np.: 105 (2516/2 = 1258 – 105 = 1153/1, 1258 + 105 = 1363/1, 1153 + 1363 = 2516) Słuszność „mocnej” hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność „słabej” hipotezy Goldbacha, ponieważ wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę

35

parzystą przedstawić zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha. (2k + 1) – 3 = 2k = p + p’ → 2k + 1 = p + p’ + p”

Teraz widzimy, że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych, tzn. wszystkie liczby nieparzyste większe od 7, są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), jak to widzimy na powyższym wykresie.

36

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwóch liczb pierwszych /liczby te dodając się parami, tworzą zbiór liczb naturalnych parzystych/ i sumom trzech liczb pierwszych/liczby te dodając się trójkami, tworzą zbiór liczb naturalnych nieparzystych/ zapełnić oś liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oprócz 1). W ten najprostszy sposób łącząc się w pary i tryple, liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbiór liczb naturalnych. 2, 3, (2 + 2), (2 + 3), (3 + 3), (2 + 2 + 3), (3 + 5), (3 + 3 + 3), (5 + 5), (3 + 3 + 5), (5 + 7), (3 + 5 + 5), (7 + 7), (3 + 5 + 7),..

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno ½ proporcji ich części do innych części i do całości zbioru liczb naturalnych, generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą ludzką, i za Księgą Mądrości 11, 20 możemy zawołać: „Ty jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą, liczbą i wagą”.

Pozorny nieład jest uregulowany, za co Bogu niech będą, dzięki, że nie musimy, co najmniej milion lat czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych.

Q

E

D

„AD MAJOREM DEI GLORIAM - NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU!”

37

TABELA LICZB PIERWSZYCH I ICH ILOCZYNÓW WIĘKSZYCH NIŻ 3 ROSNĄCYCH W POSTĘPIE 3(q)

38

39 TABELA LICZB PIERWSZYCH, BLŹNIACZYCH I ILOCZYNÓW WIĘKSZYCH NIŻ 3 ROSNĄCYCH W POSTĘPIE 3(q)

40