2 STRESZCZENIE Do dziś panuje jednak powszechny pogląd graniczący z pewnością, że liczby pierwsze rozmieszczone są na osi liczbowej chaotycznie – nie rządzą nimi żadne prawa, które pozwoliłyby nam wszystkie je opisać. Z takim poglądem polemizuje ten artykuł „Spirale liczb pierwszych” i stara się wykazać jakie prawa rządzą spiralnymi ciągami liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, ich wzajemną zależność, jak się uzupełniają i jak w oparciu o te prawa wszystkie liczby pierwsze i ich iloczyny możemy opisać. SUKCESJA LICZB PIERWSZYCH I ICH ILOCZYNÓW Sukcesja liczb pierwszych i ich iloczynów tworzy ciąg arytmetyczny 2-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21-2325-27-29-31-33-35-..., którego każdy wyraz (począwszy od trzeciego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego (3 -2- 5 -2- 7 -2- 9 -2- 11..).
Co ciekawe iloczyny liczby 3(9 -6- 15 -6- 21 -6- 27) tworzą własny ciąg o stałej różnicy 6 i fakt ten powoduje, że ciąg ten jest splotem trzech ciągów; iloczynów liczby 3, oraz dwóch ciągów liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 (5 -6- 11 -6- 17 -6- 23 -6- 29 -6- 35,..)(7 -6- 13 -6- 19 -6- 25,) o stałej różnicy r = 6. Iloczyny liczby 3 przez swój stały odstęp 6 w jakim następują wywierają zdecydowany wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. Jeżeli do 100 od 9 do 99 jest 16 iloczynów liczby 3 (100 – 4)/6 = 96/6 = 16, to liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 może być tylko 50 – 16 = 34. W tym jest 6 iloczynów liczby 5 (25 -30- 55 -30- 85, 35 -30- 65 -30- 95), oraz 3 iloczyny liczby 7 (49
3 -28- 77 -14- 91), czyli odejmując to od 34 – 9 = 25 otrzymujemy ilość liczb pierwszych jaka może być w tym potrójny ciągu. Warto zauważyć, że iloczyny liczb większych niż 3 i liczby 3 rosną jak kwadraty trzech kolejnych liczb 3^ + 4^ = 5^, 9 + 16 = 25.
4 W ciągu arytmetycznym środkowy z trzech następujących po siebie członów, jest średnią arytmetyczną obu zewnętrznych członów (89 + 101)/2 = 190/2 = 95. Zaś średnia arytmetyczna różnicy obu zewnętrznych członów, pokazuje stałą różnicę pomiędzy członami (101 – 89)/2 = 12/2 = 6, 89 -695 -6- 101. I ta zasada ma zastosowanie jeżeli chodzi o przedstawienie stosunku ilości iloczynów liczb większych niż 3 do ilości liczb pierwszych (9 + 25)/2 = 34/2 = 17, (25 – 9)/2 = 16/2 = 8, 9 -8- 17 -8- 25. To nam mówi że iloczynów liczb większych niż 3, jest średnio o osiem mniej (17 – 8 = 9), a liczb pierwszych o 8 więcej od średniej arytmetycznej ich sumy (17 + 8 = 25), która wynosi (25 + 9)/2 = 17. To wszystko zaś wynika z własności jakie ma parzystość liczb, która mówi: suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą; bo 2k ± 2Ꙇ = 2(k ± Ꙇ), (2k + 1) + (2Ꙇ + 1) = 2(k + Ꙇ + 1) i (2k + 1) – (2Ꙇ + 1) = 2(k - Ꙇ), a suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą; bo 2k + (2Ꙇ + 1) = 2(k + Ꙇ) + 1 i 2k – (2Ꙇ + 1) = 2(k - Ꙇ) – 1 i (2k + 1) ± 2Ꙇ = 2(k ± Ꙇ) + 1. To prawda, że suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą, ale średnie arytmetyczne sumy i różnicy dwóch liczb o tej samej parzystości są liczbami o różnej parzystości. I tę właściwość wykorzystamy właśnie przy obliczaniu większego i mniejszego składnika sumy i różnicy. (a + b)/2 + (a – b)/2 = a, gdy a > b, (25 + 9)/2 + (25 – 9)/2 = 34/2 + 16/2 = 17 + 8 = 25, lub (a + b)/2 – (a – b)/2 = b, gdy b < a, (25 + 9)/2 – (25 – 9)/2 = 34/2 – 16/2 = 17 – 8 = 9 . Widzimy tu wyraźnie, że ilość liczb pierwszych i ich iloczynów od samego początku nie jest przypadkowa, lecz wynika z właściwości liczb i wszelkich praw arytmetyki. A tak to wygląda na konkretnych liczbach nieparzystych jakie znajdujemy do 100.
5 Do takiego zrównania ilości liczb pierwszych z ich iloczynami 25/25 = 1 : 1 już więcej nie dojdzie. Rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku 17/23, 17/33, 17/43, 17/53,. hołdują tendencji, że ich iloczynów jest coraz więcej π(340) = 68/102/170 = 2 : 3 : 5, również w innych stosunkach π(1080) = 180/360/540 = 1 : 2 : 3, π(8440) = 1055/3165/4220 = 1 : 3 : 4. Takie zrównanie stosunku 34/16 do 25/25 odbywa się kosztem odjęcia i dodania tej samej liczby 34 = 9 + 25 – 9 = 16 do średniej arytmetycznej sumy liczb (34 + 16)/2 = 50/2 = 25, czyli odjęcia od 34 tego co za dużo i dodaniu tego do 16 /34 – 9 = 25 = 9 + 16/.
FUNKCJA ILOŚCI LICZB PIERWSZYCH π(x) Dotąd wydawało się, że liczby pierwsze są zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Jednak liczb pierwszych jest stale mniej im dalsze obszary rozpatrujemy, a ilość ich jest w stosunku malejącym zarówno, co do połowy ilości liczb w danej wielkości, jak i ich iloczynów π(100) = 25:25:50, 1/1/2, π(340) = 68 : 102 : 170, 2/3/5. Liczby pierwsze gdy chodzi o ich rozmieszczenie, podlegają bowiem jednej zasadzie, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzą połowę danej wielkości /π(x) + ∑[p(p’)] = ½N/, czyli są wzajemnie od siebie zależne. Co ciekawe liczba ilości ich iloczynów /∑ p(p’)/, jest liczbą zawsze o tej samej parzystości, co liczba ilości liczb pierwszych π(x). (25 + 25 = 50, 168 + 332 = 500, 1229 + 3771 = 5000, 9592 + 40408 = 50000, 78498 + 421502 = 500000,….) Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości, jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez dwa. Reguła połowy sumy i różnicy liczb pierwszych i ich iloczynów, pozwala nam obliczyć ilość liczb pierwszych do połowy danej wielkości, bo ta połowa składa się z połowy sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości. Twierdzenie: Jeżeli liczba ilości ich iloczynów /∑ p(p’)/, jest tej samej parzystości co liczba ilości liczb pierwszych π(x), to połowa ich sumy i różnicy dodana, gdy ich iloczynów, jest więcej niż liczb pierwszych, lub odjęta gdy liczb pierwszych jest mniej niż ich iloczynów daje dokładną wartość π(x) do połowy danej wielkości.
6 Dowód: Do 1000 mamy 168 liczb pierwszych i 332 ich iloczynów. Połowa sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości zsumowana, gdy ich iloczynów, jest więcej niż liczb pierwszych [332 + 168]/2 + [332 – 168]/2 = 250 + 82 = 332, lub odjęta, gdy liczb pierwszych jest mniej niż ich iloczynów [332 + 168]/2 – [332 – 168]/2 = 250 – 82 = 168, daje dokładną wartość π(x) do połowy danej wielkości. Długi na 168 liczb ciąg liczb pierwszych od 2 – 997, dopełniony jest przez 166 iloczynów liczby 3 (9 – 999), oraz 166 iloczynów liczb większych niż 3 [168 + (166 + 166)] = 168 + 332 = 500, do połowy danej wielkości. Z tego układu graficznego jasno wynika, że to iloczyny liczby 3 rosnące tak jak połowa danej wielkości w przewidywalnym postępie geometrycznym 16, [166 = 16(10) + 6, 1666 = 166(10) + 6], mają wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. To znaczy według podstawowego stosunku na 16 iloczynów liczby 3 przypada 34 = 25 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3. /16 + 34 = 50 = 25 + (16 + 6 +3)/
Widzimy, że prawa matematyczne wynikające z parzystości liczb mają zastosowanie i w tym równaniu (N)/2 - ∑[p(p’)] = π(x), gdy od połowy danej wielkości odejmujemy ilość zawartych w niej iloczynów liczb pierwszych, by otrzymać ilość liczb pierwszych do danej wielkości: gdzie suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą /500 – 332 = 168/, zaś o różnej parzystości liczbą nieparzystą /50 – 25 = 25, 5000 – 3771 = 1229/.
7 N/2 10/2 10²/2 10³/2 10⁴/2 10⁵/2 10⁶/2 10⁷/2 10⁸/2 10⁹/2 10¹⁰/2 10¹¹/2 10¹²/2 10¹³/2 10¹⁴/2 10¹⁵/2 10¹⁶/2 10¹⁷/2 10¹⁸/2 10¹⁹/2 10²⁰/2 10²¹/2 10²²/2 10²³/2 10²⁴/2 10²⁵/2 10²⁶/2 10²⁷/2 10²⁸/2 10²⁹/2 10³⁰/2
-
∑[p(p‘)] 1 25 332 3 771 40 408 421 502 4 335 421 44 238 545 449 152 466 4 544 947 489 45 881 945 187 462 392 087 982 4 653 934 463 161 46 795 058 249 198 470 155 429 577 331 4 720 761 658 966 075 47 376 442 842 345 767 475 260 045 712 259 140 4 765 942 332 723 655 393 47 779 180 397 439 081 160 478 872 730 513 981 268 072 4 798 532 713 310 684 093 710 48 074 679 608 393 196 031 077 481 564 400 232 650 799 132 134 4 823 153 690 600 856 230 588 320 48 300 753 249 127 562 858 672 397 483 647 539 573 158 319 553 572 601 4,842,410,858,973,345,227,554,411,713 48,479,305,343,444,685,404,228,449,480 485,307,663,117,409,461,265,505,043,498
= π(x) 4 25 168 1 229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511 4 118 054 813 37 607 912 018 346 065 536 839 3 204 941 750 802 29 844 570 422 669 279 238 341 033 925 2 623 557 157 654 233 24 739 954 287 740 860 234 057 667 276 344 607 2 220 819 602 560 918 840 21 127 269 486 018 731 928 201 467 286 689 315 906 290 1 925 320 391 606 803 968 923 18 435 599 767 349 200 867 866 176 846 309 399 143 769 411 680 1 699 246 750 872 437 141 327 603 16 352 460 426 841 680 446 427 399 157 589 141 026 654 772 445 588 287 1,520,694,656,555,314,595,771,550,520 14,692,336,882,590,538,734,494,956,502
Prowadzi to do zrównoważonego rozmieszczenia liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 ujętych w ciągu geometrycznym 3(q) w liczbach 4 – 30 – 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334,. (34 = 9 + 25, 334 = 166 + 168, 3 334 = 2 105 + 1 229), czyli [ ∑[p(p’)]> 3 + π(x)] uzupełnionych zawsze do ½ N przez iloczyny liczby 3 (16, 166, 1 666), jako suma dwóch stałych liczb 34 + 16 = 50, 334 + 166 = 500, 3 334 + 1 666 = 5 000, a ta suma rośnie w ciągu geometrycznym 5(q). To sprawia, że z połowy sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, (25 + 9)/2 = 34/2 = 17 jedną liczbą odjętą lub dodaną z połowy różnicy pomiędzy nimi/25 – 9 = 16/2 = 8/, można zrównać obie te liczby 9 + 8 = 17 = 25 – 8, 168 – 166 = 2/2 = 1, 166 + 1 = 167 = 168 – 1, 2105 – 1229 = 876/2 = 438, 2105 – 438 = 1667 = 1229 + 438 do połowy sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. Czyli o ile liczb pierwszych jest mniej do połowy sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, o tyle jest więcej ich iloczynów większych niż 3.
8
Stąd możemy rozpisywać ten układ dalej: ∑[p(p’)> 3 = [π(x) + ∑ p(p’)>3]/2 ± [π(x) - ∑ p(p’)>3]/2 = π(x), 9 = (25 + 9)/2 ± (25 – 9)/2 , 9 = 17 ± 8 = 25, 166 = 167 ± 1 = 168, 2105 = 1667 ± 438 = 1 229,
Czyli istnieje ścisła zależność pomiędzy ilością przybywających liczb pierwszych π(x), a ich iloczynami większymi niż trzy /∑[p(p’)]>3/, które wzrastają w postępie geometrycznym 3(q), jak to widać w poniższej tabeli. /3(q) = ∑[p(p’)]>3 + π(x) 30 = 9 + 21, 300 = 157 + 143,../ To znaczy, jeżeli w pierwszej dziesiątce mamy 4 liczby pierwsze to do 100 nie może być ich więcej jak 3(10) = 30, to jest 21 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3 to się równa 30. 4 + 30 = 34 + 300 = 334 + 3000 = 3334,.. ∑p + [p(p’)]> 3 4 30
∑[p(p’)]> 3 0 9
π(x) 4 21
N 10
34
9 157 166
25 143 168
10²
300 334
10³
9 3 000
300 000 000 000 000 000 000
1 939 2 105 21 637 23 742 231 094 254 836 2 413 919 2 668 755 24 903 124 27 571 879 254 913 921 282 485 800 2 595 795 023 2 878 280 823 26 336 997 698 29 215 278 521 266 510 142 795 295 725 421 316 2 691 542 375 179 2 987 267 796 495 27 141 123 786 037 30 128 391 582 532 273 360 371 328 133 303 488 762 910 665 2,750,606,229,388,744 3 054 094 992 299 409 27,655,681,183,379,692 30,709,776,175,679,101 277,883,602,869,913,373 308,593,379,045,592,474 2,790,682,287,011,396,253 3,099,275,666,056,988,727 28,013,238,064,715,425,767 31,112,513,730,772,414,494 281,093,550,116,542,186,912
1 061 1 229 8 363 9 592 68 906 78498 586 081 664 579 5 096 876 5 761 455 45 086 079 50 847 534 404 204 977 455 052 511 3 663 002 302 4 118 054 813 33 489 857 205 37 607 912 018 308 457 624 821 346 065 536 839 2 858 876 213 963 3 204 941 750 802 26 639 628 671 867 29 844 570 422 669 249,393,770,611,256 279 238 341 033 925 2,344,318,816,620,308 2 623 557 157 654 233 22,116,397,130,086,627 24 739 954 287 740 860 209,317,712,988,603,747 234 057 667 276 344 607 1,986,761,935,284,574,233 2 220 819 602 560 918 840 18,906,449,883,457,813,088
333 333 333 333 333 333 334
312,206,063,847,314,601,406
21 127 269 486 018 731 928
3 000 000 000 000 000 000 000
2,819,659,982,796,702,825,638
180,340,017,203,297,174,362
3 333 333 333 333 333 333 334
3,131,866,046,644,017,427,044
201 467 286 689 315 906 290
30 000 000 000 000 000 000 000
28,276,146,895,082,511,937,367
1,723,853,104,917,488,062,633
33 333 333 333 333 333 333 334
31,408,012,941,726,529,364,411
1 925 320 391 606 803 968 923
300 000 000 000 000 000 000 000
283,489,720,624,257,603,101,057
16,510,279,375,742,396,898,943
3 334 30 000 33 334 300 000 333 334 3 000 000 3 333 334 30 000 000 33 333 334 300 000 000 333 333 334 3 000 000 000 3 333 333 334 30 000 000 000 33 333 333 334 300 000 000 000 333 333 333 334 3 000 000 000 000 3 333 333 333 334 30 000 000 000 000 33 333 333 333 334 300 000 000 000 000 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 334 300 000 000 000 000 000 333 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 333 334
333 333 333 333 333 333 333 334
314,897,733,565,984,132,465,468
18 435 599 767 349 200 867 866
3 000 000 000 000 000 000 000 000
2,841,589,290,368,205,431,456,186
158,410,709,631,794,568,543,814
3 333 333 333 333 333 333 333 334
3,156,487,023,934,189,563,921,654
176 846 309 399 143 769 411 680
30 000 000 000 000 000 000 000 000
28,477,599,558,526,706,628,084,077
1,522,400,441,473,293,371,915,923
33 333 333 333 333 333 333 333 334
31,634,086,582,460,896,192,005,731
1 699 246 750 872 437 141 327 603
300 000 000 000 000 000 000 000 000
285,346,786,324,030,756,694,900,204
14,653,213,675,969,243,305,099,796
333 333 333 333 333 333 333 333 334
316,980,872,906,491,652,886,905,935
16 352 460 426 841 680 446 427 399
3 000 000 000 000 000 000 000 000 000
2,858,763,319,400,186,848,000,839,112
141,236,680,599,813,151,999,160,888
3 333 333 333 333 333 333 333 333 334
3 175 744 192 306 678 560 887 745 047
157 589 141 026 654 772 445 588 287
10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² 10¹³ 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ 10²¹ 10²² 10²³ 10²⁴ 10²⁵ 10²⁶ 10²⁷ 10²⁸
10 STOSUNEK[π(x)+∑[p(p’)>3]/π(x)
N
[π(x) + ∑[p(p’)]>3]/π(x)
Q
Q₂ - Q₁ = d
10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² 10¹³ 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹
4 34/25 334/168 3 334/1 229 33 334/9 592 333 334/78 498 3 333 334/664 579 33 333 334/5 761 455 333 333 334/50 847 534 3 333 333 334/455 052 511 33 333 333 334/4,118,054,813 333 333 333 334/37,607,912,018 3 333 333 333 334/346,065,536,839 33 333 333 333 334/3,204,941,750,802 333 333 333 333 334/29,844,570,422,669 3 333 333 333 333 334/279,238,341,033,925 33 333 333 333 333 334/2,623,557,157,654,233 333 333 333 333 333 334/24,739,954,287,740,860
1,36 1,988095 2,712775 3,475118 4,246464 5,015707 5,785575 6.555545 7.325161 8.094436 8.863383 9.632086 10.400605 11.168977 11.937233 12.705396 13.473482
3 333 333 333 333 333 334/234,057,667,276,344,607
14.241504
0,628095 0,724679 0,762412 0,771283 0,769243 0,769970 0,769875 0.769616 0.769275 0.768947 0.768703 0.768519 0.768372 0.768256 0.768163 0.768086 0.768022
33 333 333 333 333 333 334/2,220,819,602,560,918,840
15.009473
0.7679691
333 333 333 333 333 333 334/21127269,486,018,731,928
15,777397
0,7679234
3333 333 333 333 333 333 334/201467286689315906290
16,545283
0,767886
10²⁰ 10²¹ 10²² 10²³ 10²⁴ 10²⁵ 10²⁶ 10²⁷ 10²⁸ 10²⁹ 10³⁰
33 333 333 333 333 333 333 334/1925320391606803968923
17,313135
0,767852 0,767824
333333333333333333333334/18435599767349200867866
18,0809595315
3333333333333333333333334/176846309399143769411680
18,848758250
0,767799
33333333333333333333333334/1699246750872437141327603
19,616534983
0,767776733
333333333333333333333333334/16352460426841680446427399
20,3842923102987409
0,7677573269
333333333333333333333333333334/157589141026654772445588287
21,1520496375415249
0,767757327242784
33333333333333333333333333334/1520694656555314595771550520
21.9198069708748582
0,767757333333333
333333333333333333333333333334/14692336882590538734494956502
22,68756400000000
0,767757029125141
Stały wzrost sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż trzy o 3(q) sprawia, że również stosunek π(x) do sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 stale się powiększa o prawie tę samą wartość 0,76. Z tego równomiernie rosnącego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, w postępie geometrycznym 3(q), dającego w sumie liczbę składającą się z trójek i jednej czwórki, ze stosunku liczb pierwszych do tej sumy powiększającego się stale o 0,767757327242784,.. można obliczyć o ile będzie większy stosunek liczb pierwszych do znanej sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 z poprzedniego zakresu liczb N. A wynosi to 20.3842923102987409169159173364374662155816378 + 0,767757327242784 = 21.1520496375415249169159173364374662155816378 i przez ten stosunek podzielona znana nam suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 daje ilość liczb pierwszych do 10²⁸.
11
Odejmując od sumy [π(x) + ∑[p+p(p’)]>3], ilość liczb pierwszych otrzymujemy ilość ich iloczynów większych niż 3. To ścisłe związanie ilości liczb pierwszych z ich iloczynami większymi niż 3, zawsze do liczby rosnącej w postępie geometrycznym 3(q) /4 – 30 - 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334/, świadczy o wspaniałym porządku panującym w całym ciągu liczb pierwszych od samego początku, jak w najlepszej księdze rachunkowej, gdzie wszystko musi pasować na zero, jak to widać poniżej. π(x) + d = π(x’), 4 + 21 = 25, 25 + 143 = 168, 168 + 1061 = 1229, 1229 + 8363 = 9592, 9592 + 68906 = 78498, 78498 + 586081 = 664579, 664579 + 5 096 876 =
5 761 455, 5 761 455 + 45 086 079 = 50 847 534, 50 847 534 + 404 204 977 = 455 052 511, 455 052 511 + 3 663 002 302 = 4 118 054 813, 4 118 054 813 + 33 489 857 205 = 37 607 912 018, 37 607 912 018 + 308 457 624 821 = 346 065 536 839, 346 065 536 839 + 2 858 876 213 963 = 3 204 941 750 802,
12
3 204 941 750 802 + 26 639 628 671 867 = 29 844 570 422 669, 29 844 570 422 669 + 249 393 770 611 256 = 279 238 341 033 925, 279 238 341 033 925 + 2 344 318 816 620 308 = 2 623 557 157 654 233, 2 623 557 157 654 233 + 22 116 397 130 086 627 = 24 739 954 287 740 860, 24 739 954 287 740 860 + 209 317 712 988 603 747 = 234 057 667 276 344 607,…
21 127 269 486 018 731 928 + 180 340 017 203 297 174 362 = 201 467 286 689 315 906 290,
13
201 467 286 689 315 906 290 + 1 723 853 104 917 488 062 633 = 1925320391606803968923 + 16,510,279,375,742,396,898,943 = 18,435,599,767,349,200,867,866 + 158,410,709,631,794,568,543,814 = 176,846,309,399,143,769,411,680 + 1,522400,441,473,293,371,915,923 = 1,699,246,750,872,437,141,327,603 + 14,653,213,675,969,243,305,099,796 = 16,352,460,426,841,680,446,427,399 + 141,236,680,599,813,151,999,160,888 = 157,589,141,026,654,772,445,588,287.
14
A tak wygląda to zebrane w jednej tabeli pokazujące dokładne jak obliczyć konkretne składniki sumy [π(x)+∑[p(p’)>3]
15
Tu wszystko musi się zgadzać co do jednego. [π(x) + ∑p(p’)>3]/2 ± [π(x) - ∑p(p’)>3]/2 = π(x) = ∑p(p’)>3, tylko dla π(10²⁹) równego 1,520,694,656,555,314,595,771,550,520 = 16,666,666,666,666,666,666,666,666,666,667 ± 15,145,972,010,111,352,070,895,116,147 = 31,812,638,676,778,018,737,561,782,814 i π(10³⁰) 14,692,336,882,590,538,734,494,956,502 = 166,666,666,666,666,666,666,666,666,667 ± 151,974,329,784,076,127,932,171,710,165 = 318,640,996,450,742,794,598,838,376,832 równanie to ma sens.
16
Suma tych liczb rośnie w postępie geometrycznym 3(q), stąd i stosunek liczb pierwszych do ich sumy z iloczynami większymi niż 3 stale wzrasta o 0,767757.
Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanego w postępie geometrycznym 3(q) rosnącego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, wraz z iloczynami liczby 3 do połowy danej wielkości. Czyli suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż trzy π(x) + ∑ p(p’)>3 równa się różnicy pomiędzy połową danej wielkości, a iloczynami liczby trzy ½N – ∑p(3), 25 + 9 = 34 = 50 – 16 i rośnie w postępie geometrycznym 3(q), 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334 W sumie na wykresie radarowym daje to obraz siatki liczb rozmieszczonych promieniście w 29 kolumnach o stałym odstępie n(58) między nimi, chociaż dostrzec można również 2 lewoskrętne (iloczynów liczby 7) i 8 prawoskrętnych (liczb pierwszych i 2 iloczynów liczby 5) struktury spiralne, a także 4 mniejsze prawoskrętne spirale iloczynów liczby 17 (289-493697-901). W końcu poszukiwana od wieków przez matematyków tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynów została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność.
Q
E D
17
TABELA π(x) i ∑[p(p’)>3] od 10 do 10³⁰
18
19 TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 – 13577
20
21
22
23
24
25
26
27
