W labiryncie liczb pierwszych

2 STRESZCZENIE „W labiryncie liczb pierwszych” to badanie właściwości liczb całkowitych, oparte na teoriach działań arytmetycznych na liczbach całkowitych i w mojej pracy; próbuję wyjaśnić podstawowy model leżący za liczbami pierwszymi. Artykuł mówi, czym dokładnie jest liczba pierwsza? Które liczby są liczbami pierwszymi? Dlaczego dana liczba jest liczbą pierwszą? Skąd pochodzą liczby pierwsze? Dokąd zmierzają liczby pierwsze? Jak rozmieszczone są liczby pierwsze, jak je rozpoznawać i testować.

Wskazuję również na współzależności między liczbami pierwszymi a ich iloczynami, co pomaga nam zrozumieć, w jaki sposób coraz bardziej malejąca do danej wielkości ilość liczb pierwszych wiąże się z coraz większym wzrostem ich iloczynów. Próbuję wyjaśnić, co sprawia, że dane liczby są liczbami pierwszymi lub ich iloczynami. W artykule omówiono niektóre z podstawowych właściwości liczb pierwszych i kilka twierdzeń z nimi związanych. Wyjaśnia, w jaki sposób liczby pierwsze są wplecione w sekwencję liczb naturalnych i ujawnia całe ich ukryte dotąd piękno, które jest odbiciem wiecznie zakodowanego w nich porządku. Wszystko to daje nam do ręki przysłowiową sieć, w której uchwycić możemy inne nierozstrzygnięte kwestie, takie jak rozkład liczb pierwszych i bliźniaczych, ich gęstość i wiele innych.

"WSZYSTKO JEST LICZBĄ."

(Pitagorejczycy) POJĘCIE LICZBY

Każdy, nawet od lat nie zajmujący się matematyką potrafi odróżnić liczbę parzystą, podzielną przez 2 bo jest jej iloczynem i wszystkich liczb naturalnych 2(1, 2, 3, 4, 5,..) = 2n od nieparzystej, które to dzielą się na liczby pierwsze i ich iloczyny, czyli liczby złożone. Jeśli dobrze przeanalizujemy definicję liczby pierwszej, to dość szybko zorientujemy się, jaka liczba zasługuje na nazwę pierwszej a jaka na nazwę złożonej.

Wiemy, że każda liczba naturalna większa niż jeden, podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą. Z tej definicji wynika ich właściwość, że rozkładają się na sumę p = [a + (a + 1)]/1 dwóch liczb względnie pierwszych, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba jeden. W takim ujęciu są to połowy poprzedzającej i o jeden większej połowy następującej liczby parzystej, które zawsze są liczbami względnie pierwszymi, jak to widać w poniższej tabeli.

2/2, 3, 4/2, (1 + 2)/1 = 3/1, 4/2, 5, 6/2, (2 + 3)/1 = 5/1, 6/2, 7, 8/2, (3 + 4)/1 = 7/1, 10/2, 11, 12/2, (5 + 6)/1 = 11/1, 12/2, 13, 14/2, (6 + 7)/1 = 13/1, 16/2, 17, 18/2, (8 + 9)/1 = 17/1, 18/2, 19, 20/2, (9 + 10)/1 = 19/1, 22/2, 23, 24/2, (11 + 12)/1 = 23/1, 28/2, 29, 30/2, (14 + 15)/1 = 29/1. Również pozostałe składniki sum pośrednich są liczbami względnie pierwszymi: (1 + 4)/1 = 5, (2 + 5)/1 = 7/1, (1 + 6)/1 = 7/1, (1 + 10)/1 = 11/1, (2 + 9)/1 = 11/1, (3 + 8)/1 = 11/1, (4 + 7)/1 = 11/1, (5 + 6)/1 = 11/1, bo składają się na liczbę pierwszą.

Stąd możemy napisać wzór ogólny na każdą liczbę pierwszą, która jest sumą skrajnych par poprzedzających liczb względnie pierwszych tworzących identyczne sumy pośrednie: [(n – 1)/2 + (n + 1)/2]/1 = p/1

3

Ale nie wszystkie liczby nieparzyste są liczbami pierwszymi i chociaż powstają na tej samej zasadzie, to przy ich rozpisaniu zobaczymy, że nie składają się tylko z skrajnych par poprzedzających liczb względnie pierwszych, lecz także liczb, których najwyższym wspólnym dzielnikiem jest liczba większa niż jeden. Wtedy mamy do czynienie z liczbami złożonymi (9/3, 15/5, 21/7, 25/5, 27/3, 33/11, 35/7, 39/13, 45/5, 49/7, 51/17), bo 9 = (4 + 5)/1, ale również 9 = (3 + 6)/3, 51 = (25 + 26)/1, 51 = (17 + 34)/17, 51 = (3 + 48)/3.

4 Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników skrajnych liczb poprzedzających, tworzących identyczne sumy pośrednie, nie mające wspólnego dzielnika większego niż jeden i wtedy jest pierwszą np.: 7 = (6 + 1)/1 = (5 + 2)/1 = (4 +3)/1, lub mające wspólny dzielnik większy niż 1 i wtedy jest złożoną np.: 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 +3)/3 = (5 + 4)/1. Widzimy, że takich rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie jest zawsze tyle, co połowa poprzedzającej liczby parzystej, a więc 6/2 = 3 do 7, 8/2 = 4 do 9, 10/2 = 5 do 10. W ten sposób łatwo możemy obliczyć sumę wszystkich liczb poprzedzających, mnożąc identyczne sumy równe danej liczbie, przez połowę poprzedzającej liczby parzystej np.: 3(7) = 21, 4(9) = 36, 5(11) = 55.

Rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze, jest niezbitym dowodem, że dana liczba składa się z samych liczb pierwszych 21/3 = 7, 3(7) = 21, 55/5 = 11, 5(11) = 55, lub złożonych 36/3 = 12/3 = 4/2 = 2, 3(3) = 9, 2(2) = 4, 4(9) = 36. Uświadomienie sobie, że dodawanie parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie (6 + 5) = 11 = (7 + 4), mówi nam czy dana liczba trójkątna, jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych (55/5 = 11), czy złożonych (36/4 = 9).

Jeżeli suma liczb poprzedzających, czyli dana liczba trójkątna rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, to znaczy, że każda para składników nie ma wspólnego dzielnika większego niż jeden i dana liczba jest pierwsza. Faktoryzacja danej liczby trójkątnej na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza, że co najmniej jedna para składników ma wspólny dzielnik większy niż jeden i dana liczba jest złożona. 9 = (8 + 1)/1=(7 + 2)/1=(6 + 3)/3=(5 + 4)/1, 4(9) = 36/2 = 18/2 = 9/3 = 3/3 = 1, (2*2)(3*3) = 36, czyli liczba 9 jest liczbą złożoną. Liczba 11 jest pierwszą, ponieważ pięć par składników o identycznych sumach, jakie ją tworzą, dodawane skrajnie jako liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają 55, liczbę trójkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich, równej połowie stojącej przed nią liczbie parzystej. (10 + 1)/1,= (9 + 2)/1,= (8 + 3)/1,= (7 + 4)/1,= (6 + 5)/1, 5(11) = 55/5 = 11.

Liczby trójkątne 3, 10, 21, 36, 55,.. jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, składają się z n – tej ilości par składników dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających, równej połowie poprzedzającej liczby parzystej 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, 10/2, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych (4 + 1)/1, (2 + 3)/1, 5 + 5 = 10/2 = 5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych (8 + 1)/1, (7 + 2)/1, (6 + 3)/3, (5 + 4)/1, 9 + 9 + 9 + 9 = 36/4 = 4*9 = (2*2) (3*3).

Ten systematyczny proces określania, która liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą, jak to widzimy w powyższej tabeli, jest dobrym przykładem na algorytm to testujący: [(n – 1)(n)]/2 = n/2 = t | p = (n = p) lub (n)/2 = t | p = (p < n) = p(p’).

Opiera się on na podstawowej właściwości liczb pierwszych do tworzenia n – tej ilości par składników o identycznych sumach pośrednich, które nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Wtedy liczba trójkątna jako suma wszystkich liczb poprzedzających, rozkłada się na czynniki pierwsze aż do danej liczby co oznacza, że jest liczbą pierwszą. Gdy rozkłada się na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby to jest liczbą złożoną. Algorytm jest to metoda za pomocą, której możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazówek. Gdy to zastosujemy, wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający, że dana liczba jest liczbą pierwszą lub ich iloczynem.

5

[(n-1)(n)]/2 [36(37)]/2 [44(45)]/2 [94(95)]/2 [100(101)]/2

n/2 1332/2 1980/2 8930/2 10100/2

t 666 990 4465 5050

t/p 666/2 990/11 4465/47 5050/5

n/p 333/3 90/3 95/19 1010/5

n/p 111/3 30/5 5/1 202/2

n = p, (p<n) 37 = p 6/3 = 2 (p<n) 5 (p<n) 101 = p

[(n – 1)/2](n) = t | p = (n = p), lub t | p = (p < n) = p(p’) Sprawdźmy, więc jakie właściwości posiada liczba (1,378,565,437 – 1)/2, od której odejmujemy 1 i dzielimy przez 2, aby zobaczyć ile par składników o identycznych sumach pośrednich tworzy, co się równa 1,378,565,436/2 = 689,282,718 par i przez tę liczbę ją mnożymy, by uzyskać sumę wszystkich liczb poprzedzających tj. liczbę trójkątną t = 950,221,331,356,217,766, która rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, czyli dana liczba jest pierwszą, bo składa się z 689,282,718 par składników identycznych sum pośrednich liczby pierwszej 1,378,565,437.

1,378,565,437(689,282,718) = 950,221,331,356,217,76

(1 + 1,378,565,436)/1 = 1,378,565,437

950,221,331,356,217,766/3 = 316,740,443,785,405,922

(2 + 1,378,565,435)/1 = 1,378,565,437

316,740,443,785,405,922/2 = 158,370,221,892,702,961

(3 + 1,378,565,434)/1 = 1,378,565,437

158,370,221,892,702,961/114,880,453 = 1,378,565,437

(4 + 1,378,565,433)/1 = 1,378,565,437

114,880,453*6 = 689,282,718

(689,282,718 + 689,282,719)/1 = 1,378,565,437

Wiemy już czym dokładnie jest liczba pierwsza, jak powstaje i z czego się składa. Jak ją rozpoznać wśród innych liczb nieparzystych i przetestować. Czas więc by przyjrzeć się jak się rozwijają.

6

„Liczby potrafią wziąć człowieka za rękę i poprowadzić go ścieżką rozumu”. - Pitagoras JAK ROZWIJAJĄ SIĘ LICZBY PIERWSZE

Lepsze z rozumienie liczb pierwszych, wiąże się dla matematyka z nadzieją, znalezienia nowych dróg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki. Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru, były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami, jakie matematycy badali.

Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych. Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej, jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach.

Nagle pojawia się również zainteresowanie gospodarcze pytaniem, czy dowód przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb. Od stuleci na próżno szukano magicznej formuły, do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł, więc czas by podejść do sprawy z nową strategią. Jak dotąd wydawało się, że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo. Takie nastawienie nie pozwala oczywiście, by można było przewidzieć, jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000.

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności dopełniania liczb pierwszych przez ich iloczyny do połowy danej wielkości, według wzoru π(x) + ∑ p(p’) = ½N, który mówi że suma ilości liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości.

Od 20 do 100 jest 80 liczb w tym połowa czyli 40 = 17 to liczby pierwsze plus 23 iloczyny. Do 20/2 = 10 = 8 + 2 mamy 8 liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) i 2 iloczyny (9, 15), zaś do 100/2 = 50 = [(8 + 17) + (2 + 23)] = 25 + 25 stosunek ten się wyrównuje.

Formuła π(x) + ∑ p(p’)>3 = 3(q) mówi, że ilość liczb pierwszych do danej wielkości N plus ilość iloczynów liczb pierwszych większych niż 3, tworzy stałą sumę (4 + 0 = [4 -30- 34 = 25 + 9) -300- (334] = 168 + 166, rosnącą w postępie geometrycznym 3(q). Również iloczyny liczby 3 tworzą stałą sumę do 100 jest ich 16. Te dwie sumy (34) + (16) = 50 dopełniają się do połowy danej wielkości, która rośnie w postępie geometrycznym 5(q). Stąd piszemy [π(x) + ∑p(p’)>3] + ∑3(p) = ½N, (25 + 9) + 16 = (34) + (16) = 50 i to jest podstawowy wzór na rozmieszczenie liczb pierwszych. Widzimy, że stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości 50/25 równy jest jak 2 : 1. Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia stałych sum liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 (4 -30- 34 -300- 334) , rosnących w postępie geometrycznym 3(q). Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia.

Wystarczy więc utworzyć tabelę z tak następujących regularnie co 2 (3, 5 ,7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) liczb, a bez sita Eratosthenesa mamy wyselekcjonowane wszystkie liczby pierwsze i ich iloczyny. Na pierwszy rzut oka widać z jaką regularnością występują iloczyny liczby 5, co 30 liczb (25-55-85, 35-6595) czy iloczyny liczby 7, co 28 liczby (49-77, 133-161), lub iloczyny liczby 11, co 88 liczby (121-209, 187-275), lub iloczyny liczby 13, co 26 liczb (221-247, 377-403), lub iloczyny liczby 17, co 34 liczby (289-323).

7

Z zamieszczonego poniżej wykresu radarowego wynika wyraźnie, że liczby pierwsze wraz z iloczynami większymi niż 3 tworzą dwa odrębne ciągi arytmetyczne (5-11-17-23-29-35,.. 7-13-19-25-31), które równolegle do iloczynów liczby 3 (9-15-21-27) rozwijają się spiralnie co 6(14) = 84 liczby ,5 -84- 89, 7 84- 91, 9 -84- 93 i w tych 3 ciągach liczby pierwsze są uzupełniane przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości z wzorową dokładnością [10(p) + 5p(p’)]/5 = 15/5, 2 : 1, [16(p) + 12p(p’)]/4 = 28/4, 4 : 3, 30(p) + 30p(p’) = 120/2 = 60, 1 : 1,..

8 Czyli istnieje ścisła zależność pomiędzy ilością przybywających liczb pierwszych π(x), a ich iloczynami większymi niż trzy /∑[p(p’)]>3/, które wzrastają w postępie geometrycznym 3(q), jak to widać w poniższej tabeli. /3(q) = ∑[p(p’)]>3 + π(x), 30 = 9 + 21, 300 = 157 + 143,../ To znaczy, jeżeli w pierwszej dziesiątce mamy 4 liczby pierwsze to do 100 nie może być ich więcej jak 3(10) = 30, to jest 21 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3 to się równa 30. 4 + 30 = 34 + 300 = 334 + 3000 = 3334,.. ∑d(p) +∑d [p(p’)]> 3 = 3(q) 4

∑[p(p’)]> 3 0

π(x) 4

30

9 9 157 166 1 939 2 105 21 637 23 742 231 094 254 836 2 413 919 2 668 755 24 903 124 27 571 879 254 913 921 282 485 800 2 595 795 023 2 878 280 823

21 25 143 168 1 061 1 229 8 363 9 592 68 906 78498 586 081 664 579 5 096 876 5 761 455 45 086 079 50 847 534 404 204 977 455 052 511

34 300 334 3 000 3 334 30 000 33 334 300 000 333 334 3 000 000 3 333 334 30 000 000 33 333 334 300 000 000 333 333 334 3 000 000 000 3 333 333 334

N 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰

Prowadzi to do zrównoważonego rozmieszczenia liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 ujętych w 2 ciągach arytmetycznych o stałym odstępie r = 6 i rozwijających się w postępie geometrycznym 3(q), 4 – 30 – 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334,. (34 = 9 + 25, 334 = 166 + 168, 3 334 = 2 105 + 1 229), czyli ∑[p(p’)]> 3 + π(x) + ∑3(p) = ½N, uzupełnionych zawsze do ½ N przez iloczyny liczby 3 (16, 166, 1 666), jako suma dwóch stałych liczb 34 + 16 = 50, 334 + 166 = 500, 3 334 + 1 666 = 5 000, a ta suma rośnie w postępie geometrycznym 5(q).

Jak wynika z powyższej tabeli ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 rośnie równomiernie stale o 3(q), co wynika z równania d[π(x)] + d[∑p(p’)>3] = 3(q) = [π(x’) + ∑p(p’)>3] – [π(x) + ∑p(p’)>3], gdzie suma różnic pomiędzy poprzedzającą ilością liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 równa jest różnicy sum: 25 – 4 = 21, 9 – 0 = 9, 21 + 9 = 30 = [25 + 9] – [4 + 0] = 34 – 4, 168 - 25 = 143, 166 – 9 = 157, 143 + 157 = 300, 168 + 166 = 334, 25 + 9 = 34, 334 – 34 = 300, 1229 – 168 = 1061, 2105 – 166 = 1939, 1061 + 1939 = 3000, 1229 + 2105 = 3334, 3334 – 334 = 3000.

A tak wygląda to na wykresie warstwowym, gdzie suma ilości liczb pierwszych do danej wielkości i ich iloczynów większych niż 3 stanowi 50% całości i ilość iloczynów większych niż 3 do liczb pierwszych asymptotycznie rośnie, a ilość liczb pierwszych asymptotycznie maleje.

9

„Tam sięgaj, gdzie wzrok nie sięga; Łam, czego rozum nie złamie”. Adam Mickiewicz PROPORCJONALNY ROZWÓJ LICZB PIERWSZYCH Każda liczba naturalna jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem liczby pierwszej to znaczy, że każda liczba całkowita jednoznacznie rozkłada się na czynniki liczb pierwszych. Stąd też ta wzajemna zależność liczb pierwszych od ilości liczb całkowitych, czyli ile liczb pierwszych może być w danym przedziale liczb i jak się rozwijają.

U podstaw rozwoju liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży ich rozkład na dodajniki, a ich iloczynów na czynniki pierwsze. Do 10 mamy 4 liczby pierwsze złożone z 8 dodajników: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4 i iloczyn liczby 3(3) = 9 złożony z 2 czynników. Podobnie do 100 mamy 25 liczb pierwszych złożonych z 50 dodajników i 25 iloczynów złożonych z 50 czynników liczb pierwszych.

Do 1000 mamy 168 liczb pierwszych złożonych z 336 dodajników i 332 iloczyny złożone z 664 czynników. Dlaczego tylko 168 liczb pierwszych? Czy istnieje jakaś reguła i wzór, który może mi powiedzieć, ile liczb pierwszych jest do danej wielkości? Czy można znaleźć prawa, które opisują ich rozrzedzenie? Istnieje funkcja π(x), która odtwarza ilość liczb pierwszych od 2 do danej wielkości. Ale jak można π(x) obliczyć? Czy możemy napisać prosto 5 : 10 = 4 : 8 i 50 : 100 = 25 : 50, 500 : 1000 = 168 : 336, y = ½.

Inną sprawą tego czysto matematycznego problemu jest, że matematycy koncentrują się zbyt mocno na samych liczbach pierwszych, a pomijają inne i wzajemne zależności pomiędzy nimi. Te odnotowują tylko częściowo. Ale nie można wyłączać całych grup liczb z kontekstu i ignorować inne liczby.

Skoro lepiej poznaliśmy właściwości liczb pierwszych spróbujmy teraz przypatrzeć się ich rozwojowi.

Zauważyłeś, że po wyeliminowaniu liczb parzystych, które stanowią połowę danej wielkości, gęstość liczb pierwszych w zbiorze liczb do danej wielkości ma się tak, jak połowa danej wielkości do całej danej wielkości ½N : N = 0.5. Formuła zatem jest prosta i wynika z równości dwóch stosunków, gdy iloraz połowy danej wielkości ½N/N przez daną wielkość jest równy ilorazowi ilości liczb pierwszych π(x)/∑(n + n’) przez sumę ich składników.

10

11

12 W matematyce dwie wielkości są do siebie w proporcji; gdy w ten sposób się zmieniają, że jedna wielkość stale jest wielokrotnością drugiej, albo, co jest równoznaczne, gdy są w stałym stosunku do siebie. Proporcja jest więc równością stosunków. W wielkościach proporcjonalnych zwielokrotnienie lub podzielenie jednej wielkości wiąże się stale z zwielokrotnieniem lub podziałem drugiej, lub ogólnie mówiąc: jedna wielkość wynika z drugiej z pomnożenia przez stale ten sam czynnik stosunku obu wielkości, zwany czynnikiem proporcjonalności lub stałą proporcjonalności.

Twierdzenie: Jeżeli iloraz połowy danej wielkości ½N/N przez daną wielkość, równy jest ilorazowi ilości liczb pierwszych π(x)/∑(n + n’) przez sumę składników wchodzących na liczby pierwsze, wtedy zachodzi równość dwóch stosunków i wtedy iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyrazów środkowych.

Dowód: ½N : N = π(x) : ∑(n + n’), π(x) ~ ½N, ½N * ∑(n + n’) = N * π(x), π(x)/∑(n + n’) = y = ½ 5/10 = 4/8 = 50/100 = 25/50 = 500/1000 = 168/336 = ½, 5 * 8 = 10 * 4, 50 * 50 = 100 * 25, 500 * 336 = 1000 * 168, ∑(n + n’) * 0.5 = π(x), 8 * 0.5 = 4, 50 * 0.5 = 25, 336 * 0.5 = 168 Liczby pierwsze nie są więc zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami, lecz podlegają ścisłym regułom jakie rządzą ciągami arytmetycznymi proporcjonalnie rozwijającymi w stosunku do całej danej wielkości. Od dawna wiadomo, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy ponieważ ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości. Proporcjonalność odwrotna zachodzi pomiędzy dwoma wielkościami, których iloczyn jest stały w tym przypadku pomiędzy połową danej wielkości i ilością składników liczb pierwszych ½N * ∑(n + n’) = a, wtedy π(x) = a * 1/N, 5 * 8 = 40, 4 = 40/10. Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza, że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składników przez daną wielkość. π(x) ~

, π(x) = ½N * [∑(n + n’)]/N,

4 = 5 *(8)/10, 25 = 50 * (50)/100, 168 = 500 * (336)/1000, 1229 = 5000 * (2458)/10000.

13

Wykres graficzny funkcji proporcji pokazuje, że jest ona asymptotycznie malejąca co znaczy iż liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości, im większe liczby rozpatrujemy. Jeżeli w 100 liczbach na 50 nieparzystych, co druga, czyli 25 jest pierwszych, wtedy są w stosunku jak 25/50 = 0.5 to w 1000 liczb ten stosunek jest, jak 168/500, czyli 0,336.

Patrząc na powyższą tabelę, widzimy jak czynnik proporcjonalności stale maleje z 0.8 po przez 0.5 do 0.029384673765181077468989913004 zbliżając się do zera, co powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb pierwszych w danej wielkości, ale nie ich zanik.

Linia czynnika proporcjonalności na osi współrzędnych tworzy hiperbolę zaczynającą się iloczynem o czynnikach 0.8 * 5 = 4, 0.5 * 50 = 25, 0.336 * 500 = 168 rosnących wykładniczo 5, 50, 500, aż do nieskończoności jest najlepszym dowodem, że liczb pierwszych odwrotnie proporcjonalnych do danej wielkości jest nieskończenie wiele.

14

Jeżeli połowa danej wielkości ½N, składa się w proporcji ½ złożonej składników i czynników /1 + 4 = (2 + 8) = 10 * 0.5/ i sumy wszystkich liczb pierwszych znajdują się na prostej leżącej w połowie do określonej sumy liczb pierwszych i ich iloczynów, to rozpatrując sumy liczb pierwszych w relacji do danej wielkości N widzimy, że ich hiperbole mogą zbliżyć się do osi współrzędnych asymptotycznie na odległość 0.5*[2π(x)], 0.5*2(4) = 0.5*8 = 4, 0.5*2(25) = 0.5 * 50 = 25, 0.5 * 2(168) = 0.5 * 336 = 168, czyli wszystkie sumy liczb pierwszych ∑(p) = 0.5*[2π(x)] leżą na prostej 0.5.

15 Proporcja ½ oznacza, że w tworzeniu połowy liczb w danym bloku bierze udział podwójna ilość ich dodajników i czynników. Samo rozmieszczenie liczb pierwszych a przez to i Hipoteza Riemanna mówi, więc coś o wzajemnym stosunku dodawania i mnożenia wśród liczb naturalnych. U podstaw tej idei leży pewna analogia, którą najprościej można tak opisać. Liczby pierwsze to „cząstki elementarne”, które przez mnożenie przez siebie budują liczby złożone. Jednocześnie będą te „cząstki” uporządkowane przez dodawanie. W funkcji zeta następuje powiązanie ze sobą obu aspektów w formie sumy, względnie iloczynu. (dodawanie/liczby pierwsze i mnożenie/iloczyny liczb pierwszych)

To jest więc dowód na to, że odkryty przez Riemanna porządek rzeczywiście istnieje. Stąd ciąg liczb pierwszych i ich iloczynów nie jest podobny do przypadkowego ciągu arytmetycznego, lecz do uporządkowanej według proporcji ½ struktury. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu kostką. Przypadek i chaos są w matematyce nie do przyjęcia.

Z radością niniejszym pragnę wszystkim zakomunikować, że jeden z największych w matematyce nierozwiązanych problemów – Hipoteza Riemanna, mówiąca, że wszystkie tzw. nietrywialnie zera (nierzeczywiste) mają część rzeczywistą równą ½, został przeze mnie właśnie udowodniony!

Q

E

D

16 TABELE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10,069

17

18

19

20

∑d(p) +∑d [p(p’)]> 3 = 3(q) 4

∑[p(p’)]> 3 0

π(x) 4

30

300 000 000 000 000 000 000

9 9 157 166 1 939 2 105 21 637 23 742 231 094 254 836 2 413 919 2 668 755 24 903 124 27 571 879 254 913 921 282 485 800 2 595 795 023 2 878 280 823 26 336 997 698 29 215 278 521 266 510 142 795 295 725 421 316 2 691 542 375 179 2 987 267 796 495 27 141 123 786 037 30 128 391 582 532 273 360 371 328 133 303 488 762 910 665 2,750,606,229,388,744 3 054 094 992 299 409 27,655,681,183,379,692 30,709,776,175,679,101 277,883,602,869,913,373 308,593,379,045,592,474 2,790,682,287,011,396,253 3,099,275,666,056,988,727 28,013,238,064,715,425,767 31,112,513,730,772,414,494 281,093,550,116,542,186,912

21 25 143 168 1 061 1 229 8 363 9 592 68 906 78498 586 081 664 579 5 096 876 5 761 455 45 086 079 50 847 534 404 204 977 455 052 511 3 663 002 302 4 118 054 813 33 489 857 205 37 607 912 018 308 457 624 821 346 065 536 839 2 858 876 213 963 3 204 941 750 802 26 639 628 671 867 29 844 570 422 669 249,393,770,611,256 279 238 341 033 925 2,344,318,816,620,308 2 623 557 157 654 233 22,116,397,130,086,627 24 739 954 287 740 860 209,317,712,988,603,747 234 057 667 276 344 607 1,986,761,935,284,574,233 2 220 819 602 560 918 840 18,906,449,883,457,813,088

333 333 333 333 333 333 334

312,206,063,847,314,601,406

21 127 269 486 018 731 928

3 000 000 000 000 000 000 000

2,819,659,982,796,702,825,638

180,340,017,203,297,174,362

3 333 333 333 333 333 333 334

3,131,866,046,644,017,427,044

201 467 286 689 315 906 290

30 000 000 000 000 000 000 000

28,276,146,895,082,511,937,367

1,723,853,104,917,488,062,633

33 333 333 333 333 333 333 334

31,408,012,941,726,529,364,411

1 925 320 391 606 803 968 923

300 000 000 000 000 000 000 000

283,489,720,624,257,603,101,057

16,510,279,375,742,396,898,943

333 333 333 333 333 333 333 334

314,897,733,565,984,132,465,468

18 435 599 767 349 200 867 866

3 000 000 000 000 000 000 000 000

2,841,589,290,368,205,431,456,186

158,410,709,631,794,568,543,814

3 333 333 333 333 333 333 333 334

3,156,487,023,934,189,563,921,654

176 846 309 399 143 769 411 680

30 000 000 000 000 000 000 000 000

28,477,599,558,526,706,628,084,077

1,522,400,441,473,293,371,915,923

33 333 333 333 333 333 333 333 334

31,634,086,582,460,896,192,005,731

1 699 246 750 872 437 141 327 603

300 000 000 000 000 000 000 000 000

285,346,786,324,030,756,694,900,204

14,653,213,675,969,243,305,099,796

333 333 333 333 333 333 333 333 334

316,980,872,906,491,652,886,905,935

16 352 460 426 841 680 446 427 399

34 300 334 3 000 3 334 30 000 33 334 300 000 333 334 3 000 000 3 333 334 30 000 000 33 333 334 300 000 000 333 333 334 3 000 000 000 3 333 333 334 30 000 000 000 33 333 333 334 300 000 000 000 333 333 333 334 3 000 000 000 000 3 333 333 333 334 30 000 000 000 000 33 333 333 333 334 300 000 000 000 000 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 334 300 000 000 000 000 000 333 333 333 333 333 334 3 000 000 000 000 000 000 3 333 333 333 333 333 334 30 000 000 000 000 000 000 33 333 333 333 333 333 334

N 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² 10¹³ 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ 10²¹ 10²² 10²³ 10²⁴ 10²⁵ 10²⁶ 10²⁷

21 3 000 000 000 000 000 000 000 000 000

2,858,763,319,400,186,848,000,839,112

141,236,680,599,813,151,999,160,888

3 333 333 333 333 333 333 333 333 334

3 175 744 192 306 678 560 887 745 047

157 589 141 026 654 772 445 588 287

10²⁸