PORZĄDEK NA 102 by Lubina

Tel. 668 934 960

e-mail. Lubinaj7@gmail.com

WSTĘP Człowiek od zarania dziejów porządkuje przestrzeń i czas za pomocą liczb, ale jak uporządkowane są same liczby, to postaram się ukazać w tym artykule „Porządek na 102”. Spójrzmy krótko na poniższą tabelę liczb pierwszych i ich iloczynów do 107. Na pierwszy rzut oka dostrzegamy powtarzający się wyraźny ukośny wzór z 6 liczb iloczynów liczby/17 – 34 – 51 – 68 – 85 - 102/. Jaki to ma wpływ na rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów dowiemy się już za chwilę.

PODSTAWOWY PORZĄDEK

Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z tego jak następują jedna po drugiej. Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby trójkątne 1 = (1*1), 1 + 2 = 3 = (2*1,5), 1 + 2 + 3 = 6 = (3*2), 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (4*2,5), które można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 0,5 większego/2*1,5 = 3, 3*2 = 6/.

Jak wiadomo, każdą liczbę naturalną można zapisać, jako sumę pewnej ilości jedynek, ale także, jako sumę dwóch składników. Jeżeli liczby parzyste są po prostu podwojeniem kolejnych liczb naturalnych 2(1,2,3,4,5,..) = 2k, to liczby nieparzyste stanowiące połowę liczb naturalnych, są sumą skrajnych par liczb poprzedzających, jako składników mających zdolność do tworzenia identycznych sum pośrednich. [1 + (2 + 3) + 4] = 5 = (1 + 4) = (2 + 3)

Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników poprzedzających ją liczb, więc takich rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie w tym przypadku jest trzy: (n – 1)/2, (7 – 1)/2 = 3, 7 = {6 + [5 + (4 + 3) + 2] + 1} = (6 + 1) + (5 + 2) + (4 + 3) = 21/3 = 7. Ile zatem rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie uzyskamy z 9 cyfr liczb naturalnych ułożonych w rosnące i malejące ciągi (1 + 9) = (2 + 8) = (3 + 7) = (4 + 6) = (5 + 5) = (6 + 4) = (7 + 3) = (8 + 2) = (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5) = (4 + 6) = (3 + 7) = (2 + 8) =,..

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych /9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9=89/ tworzą 17 par skrajnych składników/1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-7-6-5-4-3-2-1=81/, czyli wszystkie cyfry tworzą identyczne sumy pośrednie/9 + 1 = 8 + 2 = 7 + 3 = 6 + 4 = 5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 7 = 2 + 8 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5 = 6 + 4 = 7 + 3 = 8 + 2 = 9 + 1 = 17(10) = 170/. Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich z skrajnych par liczb poprzedzających daną wielkość. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia. ROZMIESZCZENIE LICZB NA STO DWA Liczby naturalne zapisane kolejno od 0 do 101 w sześciu kolumnach i siedemnastu wierszach dzielą ten układ liczb dokładnie na 51 liczb parzystych, to znaczy 2(17) = 34 liczb podzielnych przez 2 i 17 liczb podzielnych przez 2 i 3,(6,12,18,24,30,36,42,..), oraz 51 liczb nieparzystych, to znaczy 2(17) = 34 liczb podzielnych tylko przez 1 i samą siebie, oraz 5 i 7, a także 17 liczb podzielnych przez 3. (3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,..). Co ciekawe wielokrotności liczby 17 (34,51,68,85) tworzą główną przekątną tego prostokątnego zbioru 102 = 17(6) liczb. Także sumy liczb znajdujących się w tych sześciu kolumnach podzielne są przez 17. Liczby 6 i 17 są bardzo ważne dla tego zbioru. Rozbijają one ten zbiór na 2 grupy liczb uszeregowanych w 3 kolumnach po 17 wierszy 3(17) = 51, stale o 6 od siebie większych. To oznacza, że w 100 liczbach mamy (99 – 3)/6 = 16 iloczynów liczby 3, sześć (25 + 95)/20 = 6 iloczynów liczby 5, oraz trzy iloczyny liczby 7 (49,77,91). Sumując 16 + 6 + 3 = 25 otrzymujemy, że ilość iloczynów liczb pierwszych (3,5,7) równa jest 26 liczbom pierwszym do 102. 26 + 25 = 51, czyli ilość liczb pierwszych uzupełniana jest zawsze przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości. π(x) + ∑[p(p’)] = ½N

Z tego układu utworzyć można jedną kolumnę 17 liczb nieparzystych od 5 do 101, w których sumie 901 liczba 17 mieści się 53 razy, oraz drugą kolumnę od 1 do 97, wtedy w sumie 833 liczba 17 mieści się 49 razy. Sumując obie sumy 901 + 833 = 1734 widzimy, że liczba 17 mieści się w niej 53 + 49 = 102 razy. Czyli można powiedzieć, że rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, jest na sto dwa, to znaczy najdoskonalsze z możliwych, ponieważ stosunek sumy wartości liczbowych liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż trzy 5 + 7 + 11 + 17 + 35,..+ 101 = 1734/17 = 102, do sumy wartości liczbowych iloczynów liczby 3 + 9 + 15 + ,.. 99 = 867/17 = 51, jest zawsze stały i wynosi 1734/867 = 2. Również stosunek liczby czynnika wspólnego liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż trzy do liczby czynnika wspólnego iloczynów liczby 3, jest stały i wynosi 102/51 = 2. Jak rozmieszczone są liczby na 102 = 6(17), pokazuje powyższa tablica, gdzie od 0 do 101 liczb rozmieszczono w 6 kolumnach po 17 liczb. Także suma wartości liczbowych liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, składa się z 102(17) = 1734 = 901/17 + 833/17 = 53 + 49 = 102 siedemnastek. Zaś suma wartości liczbowych iloczynów liczby 3 z 8 par jednorodnych sum pośrednich równych 102 plus 51. 867 = 8(3 + 99) + (9 + 93) + (15 + 87) + (21 + 81) + (27 +75) + (33 + 69),… + 51 To wszystko dzieje się za sprawą liczby 17, która w swojej sumie wartości liczbowych sama ma czynnik wspólny 17 dziewięć razy /(1 + 16)(2 + 15)(3 + 14)(4 + 13)(5 + 12)(6 + 11)(7 + 10)(8 + 9) +17 = 153/17 = 9/. W następnej kolumnie liczb parzystych podzielnych przez 2 i 3 w ich sumie wartości liczbowych czynnik wspólny 17 będzie się mieścił 48 razy (816/17 = 48). Dalej w sumie wartości liczbowych liczb parzystych podzielnych przez dwa 8(2 + 98) = 8(100) + 50 = 850/17 = 50, czynnik wspólny 17 mieści się 50 razy. W całym zbiorze liczb naturalnych składających się z sześciu kolumn po 17 liczb, czynnik wspólny 17, generuje coraz większe średnie arytmetyczne S = 1/n(a + a’,..) 884/17 = 52, czyli mieści się w sumie wartości liczbowych 52 razy. Prowadzi to do tego, że nawet suma liczb pierwszych i przypadających na nie iloczynów w 17-sto liczbowych kolumnach, jest liczbą podzielną przez 17. Stąd możemy napisać π(x) + ∑[p(p’)] = n(17)

6 26p + 25 = 51/17 = 3, do 101 mamy 26 liczb pierwszych i 25 ich iloczynów, czyli w sumie 51 liczb nieparzystych. W następnej siedemnastce liczb od 103-203, dochodzi 20 liczb pierwszych i 31 ich iloczynów, stąd suma ogólna się podwaja (26 + 20 = 46, 25 + 31 = 56, 46 + 56 = 102/17 = 6.

A tak to wygląda dalej aż do liczby 1020/17 = 60. Suma liczb pierwszych i ich iloczynów stanowi zawsze ½ N, liczby do której występują [π(x) + ∑[p(p’)] = ½N, 26 + 25 = 51 = 102/2]. Również przybywa ich równomiernie w trzech kolumnach po 17(3) = 51 liczb, przy czym stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów dąży do zachowania idealnej proporcji 17/34 = 1:2, co widzimy w poniższej tabeli. Tak układają się liczby pierwsze i ich iloczyny większe niż 3 w porządku na sto dwa. Ze względów praktycznych pominięto tutaj 17 iloczynów liczby 3 w każdym rzędzie.

Inne proporcje stosunku liczb pierwszych do ich iloczynów wynikają z rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie liczby 51 (0 + 51 = 51)/17, 0:3:3 (1 + 50 = 51)(2 + 49 = 51)(3 + 48 = 51)/3, 1:16:17, (4 + 47 = 51)(5 + 46 = 51)(6 + 45 = 51)/3, 2:15:17, (7 + 44 = 51)(8 + 43 = 51)(9 + 42 = 51)/3,…

8 I tak pierwsze pięć rozkładów występować będzie dla przykładu wśród 102 liczb powyżej 10¹², 10²⁴, 10³⁶, 10⁴⁸, 10⁵⁷, 10⁶⁰, 10⁷¹, 10⁷². Tu wśród 34 liczb nieparzystych mamy zaledwie 4, 3, 2, 1, a wreszcie żadnej liczby pierwszej, tylko same ich iloczyny, stąd stosunek 0 + 51 = 51,(0:3:3) będzie miał tu zastosowanie. Gdy natomiast ostatni 26 + 25 = 51 występuje jeden jedyny raz w pierwszym układzie do 102.

Dalej możemy śledzić dalsze rozkłady od (9 + 42 = 51)/3, 3:14:17 do 20 + 31 = 51. Również całe bloki liczb pierwszych i ich iloczynów mogą tworzyć własne stosunki, na przykład (187 + 374 = 561)/187, 1:2:3, albo dzieląc to przez 17, (187 + 374 = 561)/17, otrzymujemy stosunek 11:22:33, czy (867 + 2 499 = 3366)/51, otrzymujemy stosunek 17:49:66. Suma liczb pierwszych i ich iloczynów, jest równa połowie danej wielkości do której występują, oraz jest liczbą podzielną przez 17, a także przez 3 i wtedy zachodzi stosunek (141 + 267 = 408)/3 = 47:89:136, (156 + 303 = 459)/3 = 52:101:153. Świadczy to tylko o tym, jak wspaniale na sto dwa rozmieszczone są liczby pierwsze wraz z ich iloczynami i jaką decydującą rolę w tworzeniu wzajemnych stosunków ma liczba 17.

Warto zauważyć, że nie tylko suma liczb pierwszych i ich iloczynów jest liczbą podzielną przez 17 π(x) + ∑[p(p’)] = n(17), 26 + 25 = 51 = 3(17), 171 + 339 = 510 = 30(17), 1 229 + 3 769 = 4 998 = 294(17), ale również suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, π(x) + ∑[p(p’)]>3 = n(17), 171 + 169 = 340 = 20(17), 1 229 + 2 103 = 3 332 = 196(17), co powoduje że same są do siebie w stosunku (510/340)/170, 3:2, (4998/3332)/1666, 3:2. Podobnie stały stosunek panuje pomiędzy sumą liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, a daną wielkością N, do której występują i wynosi 1:3, 340/1020, 3 332/9 996, 33 320/99 960,.. Także ilość iloczynów liczby 3, jest stała do danej wielkości i wynosi zawsze N/6, 1020/6 = 170, 9 996/6 = 1 666, 99 960/6 = 16 660, 999906/6 = 166651

10 Jak widzimy liczb pierwszych i ich iloczynów przybywa w stałej ilości 51 liczb. Do 102 – 51, do 1 020 – dziesięć razy więcej 10(51) = 510, do 9 996 dziewięćdziesiąt osiem razy więcej 98(51) = 4 998.

Świadczy to o wspaniałym porządku na sto dwa panującym wśród liczb pierwszych i ich iloczynów, a nam ułatwia przez to obliczenie ilości liczb pierwszych do danej wielkości. W 102 liczbach połowa to 51 liczb pierwszych i ich iloczynów. Do 102 mamy 16 iloczynów liczby 3 /9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99/, 6 iloczynów liczby 5 /25, 35, 55, 65, 85, 95/ i 3 iloczyny liczby 7 /49, 77, 91/. Stąd możemy napisać w 51 liczbach może być 51 – (16 + 6 + 3) = 51 – 25 = 26 liczb pierwszych. Podobnie do 1 020 mamy 510 liczb, w których 339 jak obliczyliśmy to iloczyny liczb pierwszych, czyli w 510 liczbach może być 510 – 339 = 171 liczb pierwszych. Te iloczyny liczb pierwszych składają się

11 zawsze ze znanej ilości iloczynów liczby 3, która wynosi N/6, oraz ilości iloczynów większych niż 3, co obliczamy odejmując od całości stałą liczbę iloczynów liczby 3 [339 – (1020/6) = 339 – 170 = 169]. Te iloczyny są częścią trzy razy mniejszej całości od danej wielkości N, związane z liczbami pierwszymi. Jeżeli więc od tej trzy razy mniejszej wielkości odejmiemy ilość iloczynów większych niż 3, to otrzymamy ilość liczb pierwszych do danej wielkości N/3 - ∑[p(p’)]>3 = π(x), 1 020/3 = 340 – 169 = 171.

I tak dotarliśmy do liczby 9 996, która zawiera w sobie 4 998 liczb nieparzystych w tym 1 229 liczb pierwszych i 3 769 ich iloczynów rozmieszczonych w 98 pięćdziesiąt jeden liczbowych blokach. Do 99 960 będzie tych bloków 10 razy więcej, czyli 980(51) = 49 980, jak to widać w poniższej tabeli.

Znając więc te podstawowe stałe wartości, jak dana wielkość N, jej trzykrotnie mniejszą wielkość N/3, zawierającą liczby pierwsze wraz z ich iloczynami większymi niż 3, oraz stałą liczbę iloczynów liczby 3 równej N/6, łatwo możemy obliczyć ilość liczb pierwszych z dokładnością co do jednego. Rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów następuje w porządku na sto dwa. Od 102 do 1020 przybywa ich 918/102 = 9 razy po sto dwie liczby. Pomiędzy 1 020 a 9 996 jest ich 8 976/102 = 88 razy po 102 liczby. Pomiędzy 9 996 a 99 960 jest ich 89 964/102 = 882 razy po 102 liczby. To samo odnosi się do połowy danej wielkości (½N), do której liczby pierwsze dopełniane są przez swoje iloczyny. Od 51 = 26 + 25 liczb pierwszych i ich iloczynów w pierwszej połowie danej wielkości do 510 = 171 + 339 liczb do dziesiątej połowy danej wielkości, przybywa ich 459/51 = 9 razy po 51, czyli 51 + 459 = 510 = (1 + 9) = 10(51). Pomiędzy 510 a 4 998 jest ich 4 488/51 = 88 razy po 51, czyli 510 + 4 488 = 4 998 = (10 + 88) = 98(51). W następnym przedziale od 4 998/51 = 98 do 49 980/51 = 980 będzie ich dokładnie 10 raz więcej, dalej 499 953/51 = 9 803, 4 999 530/51 = 98 030, 49 959 453/51 = 980 303,.. Temu samemu prawu rozmieszczenia na sto dwa podlega trzykrotnie mniejsza suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 {N/3 = π(x) + ∑[p(p’)]>3}, oraz sześciokrotnie mniejsza liczba iloczynów liczby 3 {∑[3(p)] = N/6}. 1020/3 = 340, 9 996/3 = 3 332, 3 332 – 340 = 2 992/34 = 88, 1020/6 = 170, 9996/6 = 1666, 1666 – 170 = 1496/17 = 88. Odejmując od sumy iloczynów liczb pierwszych znaną sześciokrotnie mniejszą ilość iloczynów liczby 3, otrzymujemy ilość iloczynów większych niż 3 {∑[p(p)] - ∑[3(p)] = ∑[p(p’)]>3}, 339 – (1020/6) = 169, a ta odjęta od trzykroć mniejszej sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, daje nam dokładną ilość liczb pierwszych do połowy danej wielkości. N/3 - ∑[p(p’)]>3 = π(x), 1020/3 = 340 – 169 = 171, 171 + 339 = 1020/2 = 510. Z taką samą dokładnością co do jednego można obliczyć ilość liczb pierwszych wykorzystując ich stale wzrastający o 0.8 stosunek liczb pierwszych do ich sumy z iloczynami większymi niż 3. Bierze się to stąd, że zarówno liczby pierwsze jak i ich iloczyny większe niż 3 tworzą ciągi, a suma ciągu podzielna jest przez 34 π(x) + ∑[p(p’)>3] = n/34, 9,592 + 23,728 = 33,320/34 = 980, gdy 9,592 liczb pierwszych wchodzi w pary z ich 23,728 iloczynami większymi niż 3, tworzą ciąg złożony z 34(980) = 33320 liczb.

13 Jeżeli teraz porównamy iloraz sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 (980) z ilorazem samych liczb pierwszych 9,592/34 = 282, to otrzymamy 282/980 = 1/3.4 jaki jest stosunek liczb pierwszych do swoich iloczynów większych niż 3 w tym ciągu. Warto zauważyć, że sam iloraz ciągu 98 – 980 – 9803 – 98039215 – 980392156 – 9803921568 – 98039215686 – 980392156862 9803921568627 – 98039215686274 – 980392156862745 – 9803921568627450 – 98039215686274509 - 980392156862745098 rośnie o te same powtarzające się liczby.

Stąd jeśli znana jest ilość liczb w danym ciągu i ile liczb pierwszych z ich iloczynami większymi niż 3 się w nim mieści zapisana w postaci ilorazu liczby 34 np.: 333,333,333,333,333,333,333,333,302/34 = 9,803,921,568,627,450,980,392,156, a także ilość liczb pierwszych zapisana w podobny sposób: 16,352,460,426,841,680,446,427,399/34 = 480,954,718,436,520,013,130,217, to stosunek liczb pierwszych do całego ciągu wynosi 480,954,718,436,520,013,130,217/9,803,921,568,627,450,980

14 392,156 = 1/20.3 a następny ciąg zawierający 3 333 333 333 333 333 333 333 333 312/34 liczb = 98,039,215,686,274,509,803,921,568, będzie zawierał w sobie liczb pierwszych w stosunku 20.3 + 0.8 = 21.1, czyli dzieląc ten iloraz 98,039,215,686,274,509,803,921,568 przez stosunek /21.1 = 4,646,408,326,363,720,843,787,752(34) i mnożąc przez 34 otrzymujemy iloczyn ilość liczb pierwszych = 157,977,883,096,366,508,688,783,569 jakie znajdują się w tym ciągu. I tak z dokładnością co do jednego możemy obliczać każdą ilość liczb pierwszych w tym ciągu aż do nieskończoności.

Porządek na sto dwa jaki tu widzimy, oznacza po prostu najdoskonalszy porządek jaki panuje w całym zbiorze liczb naturalnych zarówno parzystych, jak i nieparzystych, czyli wśród liczb pierwszych i ich iloczynów. Jeżeli sto to pewna całość, np. sto procent, a więcej niż sto procent być nie może, to przekroczenie tej liczby daje poczucie czegoś naprawdę znakomitego, niejako na sto dwa procent. I w takim znaczeniu dosłownie na sto dwa ułożone są wszystkie liczby pierwsze, przez liczbę doskonałą 6 razy liczbę pierwszą 17 = 102. Czy widział ktoś jakiś doskonalszy porządek niż tutaj ukazany?

15 ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Przy czym zaobserwowano, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy. Liczby pierwsze podlegają jedynemu prawu rozmieszczenia, porządkowi na sto dwa, który dokładnie określa ile liczb pierwszych może być do połowy danej wielkości. Ten porządek szereguje liczby pierwsze i ich iloczyny w taki sposób, że z połowy danej wielkości odczytujemy stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów. Do 1 020 mamy 510 liczb pierwszych i ich iloczynów. Jeżeli całość podzielimy na 3 części, to zobaczymy, że liczby pierwsze 170 + 1= (171), dopełniają się przez swoje iloczyny 2(170) – 1= (339) do połowy danej wielkości 3(170)=(510) w stosunku 3:1 ± 1. Do 9 996 mamy 4 998 liczb pierwszych i ich iloczynów, gdy podzielimy to przez 4 to zobaczymy, że liczby pierwsze (1 249.5) – 20.5 = (1229), dopełniają się przez swoje iloczyny 3(1 249.5) + 20.5 = (3 769) do połowy danej wielkości 4(1 249.5)= (4998) w stosunku 4:1 ± 20.5, czyli ilość liczb pierwszych, jest w stosunku malejącym asymptotycznie do połowy danej wielkości.

Ilość liczb pierwszych w porządku na 102 podlega jedynemu prawu, które mówi że ilość liczb pierwszych uzupełniana jest zawsze przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości π(x) + ∑[p(p’)] = ½N. Stąd do 102 mamy 26 liczb pierwszych i 25 ich iloczynów, co stanowi 51 czyli połowę wielkości 102/2. Do 1020 jest ich 171 i 339 iloczynów, co daje połowę danej wielkości czyli 510. Również przybywa ich w określonej w tym prawie zależności to znaczy, że ilość przybyłych liczb pierwszych jest uzupełniana przez swoje iloczyny do połowy wzrastającej wielkości. Jeżeli wzrost jest o 918 liczb, to na 145 liczb pierwszych będzie 314 ich iloczynów, co w sumie daje 459 czyli połowę z 918/2 przy czym wszystkie sumy liczb pierwszych i ich iloczynów podzielne są przez (51-459-510-4488-4998,)/51.

Z tego wynika, że liczba 3(17) = 51 odgrywa kluczową rolę w równomiernym rozmieszczeniu liczb pierwszych i ich iloczynów w porządku na 102, składającego się 19 rzędów po 17 liczb, co daje 323 plus 18 to równa się 341 liczb, w których jest 171 liczb pierwszych i 170 ich iloczynów większych niż 3. Gdy do tego 341 dodamy 169 iloczynów liczby 3 to otrzymamy 341 + 169 = 510/51 wszystkich liczb do połowy wielkości 1020/2. Liczba 51 jest więc podstawową jednostką wzrostu liczb pierwszych uzupenianych przez swoje iloczyny zawsze do połowy danej wielkości podzielnej przez 51/51 = 1, 459/51 = 9, 510/51 = 10,.. A tak równomiernie wzrasta ilość liczb pierwszych od liczby 34, do której

17 mamy ich 11 by po 4(51) = 204/6 =(34) liczbach było ich o 40 więcej to jest 51 do liczby 238 i po 238/7 =(34) liczbach 91 do liczby 476 a po 272/8 =(34) liczbach o 41 więcej, to jest 132 do liczby 748 i o 39 więcej po 272/8 =(34) liczbach do 1020, gdzie jest 171 liczb pierwszych. A więc na przestrzeni 30(34) = 1020 liczb przybywa ich 171 – 11 = 160/40 = 4 równo o 4(40) = 160 liczb pierwszych.

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH Liczby bliźniacze, to dwie liczby pierwsze, które można przedstawić w formie (6n ± 1), 6(1) – 1 = 5, 6(1) + 1 = 7, 6(2) – 1 = 11, 6(2) + 1 = 13. A oto jak układają się liczby pierwsze w pary bliźniacze.

Widzimy, że numer miejsca na którym się plasują jest liczbą, której sześciokrotny iloczyn 6(n) ± 1 je tworzy 6(10) - 1 = 59, 6(10) + 1 = 61. Do 102 mamy wśród 35 liczb siedem par liczb bliźniaczych plus jeden 2(7) + 1 = 15. Do 1020 wśród 341 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, liczb bliźniaczych jest 2(34) + 1 = 69. Odejmując od 341 – 69 = 272/34 = 8 otrzymujemy ilość liczb jakie nie tworzą par liczb bliźniaczych. Co ciekawe od liczby π₂(9996) = /3332 – 408 = 2924/34 = 86 = 98 - 12, wszystkie liczby podzielne są przez 34. To dowodzi, że wszystkie liczby pierwsze i ich iloczyny rozmieszczone są w porządku na 3(34) = 102 i według tej miary rozmieszczone są w stosunku do siebie. Stąd możemy napisać suma ilości liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 podzielna przez 34 równa się sumie ilości liczb bliźniaczych i ilości liczb jakie nie tworzą par liczb bliźniaczych d podzielnej przez 34 {p + ∑[p(p’)>3]/34 = π₂(n)/34 + d/34, 3332/34 = 98 = 408/34 = 12 + (2924/34 = 86) = 12 + 86.

Tę właściwość można wykorzystać przy obliczaniu ilości liczb bliźniaczych do danej wielkości. Jeżeli ilość liczb pierwszych i bliźniaczych możemy zapisać w postaci iloczynu liczby 34 np.: π(1020) = 5(34) + 1, a π₂(1020) = 2(34) + 1 to łatwo z tego obliczyć jaki jest stosunek liczb bliźniaczych do liczb pierwszych 69/171 = 2/5 + 1. Warto zauważyć że ten stosunek od π₂(9996)/π(9996)= 408/1229 = 1/3 + 5, stale wzrasta o 0.9. Znając ilość liczb pierwszych zapisaną w postaci ilorazu liczby 34 i stosunek w jakim są do nich liczby bliźniacze to dzieląc ten iloraz przez stosunek otrzymujemy iloraz liczb bliźniaczych wynikający z tego stosunku. Jeżeli do π₂(9 999 999 999 999 948) jest 20 608 391 394 576 liczb bliźniaczych i 279 238 341 033 925 liczb pierwszych to stosunek ich wynosi 1/13.5 a następny o 0,9 większy równa się 1/14.4. Dzieląc więc iloraz ilości liczb pierwszych przez stosunek 14.4 i mnożąc przez 34 π(99 999 999 999 999 990) = 2 623 557 157 654230/34 = 77 163 445 813 359/14.4 = 5 358 572 625 927(34) = 182 191 469 281 542 otrzymujemy ilość liczb bliźniaczych w stosunku 14.4 do liczb pierwszych w tym ciągu.

Jak widzimy do liczby 408/2 = 204 mamy ich 20 par, czyli 40 liczb bliźniaczych o dalsze 40 do 80 liczb wzrosną po 408 liczbach przy 1224/2 = 612, by po 408 liczbach przy 2040/2 = 1020 jest ich 122, a po 510 liczbach przy 3060/2 = 1530 jest ich o 40 więcej, czyli 162 liczby bliźniacze.

PODSUMOWANIE Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanego równomiernie rosnącego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów do połowy danej wielkości. Czyli suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 {π(x) + ∑[p(p’)]>3} równa się różnicy pomiędzy połową danej wielkości N, a iloczynami liczby 3 {½N – ∑[p(3)]}, 171 + 170 = 341 = 510 - 169. Stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów jest więc określony przez dopełnienie do połowy danej wielkości {π(x) + ∑[p(p’)] = ½N} 1229 + 3769 = 4998, zaś suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, jest zawsze trzy razy mniejsza od danej wielkości i wynosi π(x) + ∑[p(p’)] = N/3, 1229 + 2103 = 9996/3 = 3332. Podsumowując widzimy, jak spiralnie rozwijające się liczby pierwsze i ich iloczyny większe niż 3 o stałym odstępie (2) – (4) = (6) (17 – 19 – 23 – 25 – 29), tworzą 34 kolumny liczb przylegających do siebie w stałym odstępie d – 102 = 6(17) (25 – 127 – 229), a na wykresie radarowym układają się w 17 prawo i lewoskrętnych wirów o stałym odstępie d – (50) – (52) = 102, lewoskrętne (7 – 59) (107 – 157) i prawoskrętne (683 – 733) (787 – 839) W końcu poszukiwana od wieków przez matematyków tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynów została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność. BIBLIOGRAFIA

Sierpiński Wacław Elementary Theory of Numbers, Ziegler Günter The great prime number record races, Pomerance Carl The Search for Prime Numbers, Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie, Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records, Narkiewicz Władysław The Development of Prime Number.

22 TABLICE LICZB PIERWSZYCH I BLIÅ¹NIACZYCH OD 2 DO 1 021