PRYZMAT POZNANIA by Lubina

lubinaj7@gmail.com

2 STRESZCZENIE W artykule „PRYZMAT POZNANIA” chciałbym poruszyć zagadnienie istnienia obiektów matematycznych, a zwłaszcza takich jak liczby pierwsze. Spojrzeć na nie przez pryzmat dotychczasowej wiedzy o nich i wyciągnąć daleko płynące z tego wnioski. A więc ruszajmy drogą poznania. „Bóg stworzył liczby całkowite, wszystko inne jest dziełem człowieka ”. Leopold Kronecker CO WIEMY O LICZBACH PIERWSZYCH Nie wiem czy liczba 1,378,565,437 jest liczbą pierwszą, ale wiem, że nie ode mnie to zależy. To jest przesądzone z chwilą napisania tej liczby, tak jak od momentu „zbudowania” trójkąta prostokątnego, mamy a^ + b^ = c^, czy tego chcemy, czy nie. O tym czy dana liczba jest pierwszą czy nie, przesądzają właściwości jakie sama z siebie posiada, to znaczy czy ma tylko 2 dzielniki, jeden i samą siebie, czy więcej dzielników, a wtedy jest złożoną. Podstawową własnością liczb pierwszych odróżniającą je od liczb złożonych jest podzielność przez 1 i samą siebie. Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składników względnie pierwszych, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + s’]), stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem, że dana liczba jest liczbą pierwszą. 11 = (10 + 1)/1,= (9 + 2)/1,= (8 + 3)/1,= (7 + 4)/1,= (6 + 5)/1, 5(11) = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55/5 = 11/1, 11/11 = 1. Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników skrajnych liczb poprzedzających, tworzących identyczne sumy pośrednie, nie mające wspólnego dzielnika większego niż jeden i wtedy jest pierwszą np.: 7 = (6 + 1)/1 = (5 + 2)/1 = (4 +3)/1, lub mające wspólny dzielnik większy niż 1 i wtedy jest złożoną np.: 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 +3)/3 = (5 + 4)/1. Widzimy, że takich rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie jest zawsze tyle, co połowa poprzedzającej liczby parzystej, a więc 6/2 = 3 do 7, 8/2 = 4 do 9, 10/2 = 5 do 10. W ten sposób łatwo możemy obliczyć sumę wszystkich liczb poprzedzających, mnożąc identyczne sumy równe danej liczbie, przez połowę poprzedzającej liczby parzystej np.: 3(7) = 21, 4(9) = 36, 5(11) = 55. Rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze, jest niezbitym dowodem, że dana liczba składa się z samych liczb pierwszych 21/3 = 7, 3(7) = 21, 55/5 = 11, 5(11) = 55, lub złożonych 36/3 = 12/3 = 4/2 = 2, 3(3) = 9, 2(2) = 4, 4(9) = 36. Uświadomienie sobie, że dodawanie parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie (6 + 5) = 11 = (7 + 4), mówi nam czy dana liczba trójkątna, jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych (55/5 = 11), czy złożonych (36/4 = 9). Jeżeli suma liczb poprzedzających, czyli dana liczba trójkątna rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, to znaczy, że każda para składników nie ma wspólnego dzielnika większego niż jeden i dana liczba jest pierwsza. Faktoryzacja danej liczby trójkątnej na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza, że co najmniej jedna para składników ma wspólny dzielnik większy niż jeden i dana liczba jest złożona. 9 = (8 + 1)/1=(7 + 2)/1=(6 + 3)/3=(5 + 4)/1, 4(9) = 36/2 = 18/2 = 9/3 = 3/3 = 1, (2*2)(3*3) = 36, czyli liczba 9 jest liczbą złożoną. Liczba 11 jest pierwszą, ponieważ pięć par składników o identycznych sumach, jakie ją tworzą, dodawane skrajnie jako liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają 55, liczbę trójkątną

3 całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich, równej połowie stojącej przed nią liczbie parzystej. (10 + 1)/1,= (9 + 2)/1,= (8 + 3)/1,= (7 + 4)/1,= (6 + 5)/1, 5(11) = 55/5 = 11

Liczby trójkątne 3, 10, 21, 36, 55,.. jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, składają się z n – tej ilości par składników dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających, równej połowie poprzedzającej liczby parzystej 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, 10/2, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych (4 + 1)/1, (2 + 3)/1, 5 + 5 = 10/2 = 5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych (8 + 1)/1, (7 + 2)/1, (6 + 3)/3, (5 + 4)/1, 9 + 9 + 9 + 9 = 36/4 = 4*9 = (2*2) (3*3). Ten systematyczny proces określania, która liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą, jak to widzimy w powyższej tabeli, jest dobrym przykładem na algorytm to testujący: [(n – 1)(n)]/2 = n/2 = t | p = (n = p) lub (n)/2 = t | p = (p < n) = p(p’). Opiera się on na podstawowej właściwości liczb pierwszych do tworzenia n – tej ilości par składników o identycznych sumach pośrednich, które nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Wtedy liczba trójkątna jako suma wszystkich liczb poprzedzających, rozkłada się na czynniki pierwsze aż do danej liczby co oznacza, że jest liczbą pierwszą. Gdy rozkłada się na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby to jest liczbą złożoną. Algorytm jest to metoda za pomocą, której możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazówek. Gdy to zastosujemy, wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający, że dana liczba jest liczbą pierwszą lub ich iloczynem. [(n-1)(n)]/2 [36(37)]/2 [44(45)]/2 [94(95)]/2 [100(101)]/2

n/2 1332/2 1980/2 8930/2 10100/2

t 666 990 4465 5050

t/p 666/2 990/11 4465/47 5050/5

n/p 333/3 90/3 95/19 1010/5

n/p 111/3 30/5 5/1 202/2

n = p, (p<n) 37 = p 6/3 = 2 (p<n) 5 (p<n) 101 = p

[(n – 1)/2](n) = t | p = (n = p), lub t | p = (p < n) = p(p’) Sprawdźmy, więc jakie właściwości posiada liczba (1,378,565,437 – 1)/2, od której odejmujemy 1 i dzielimy przez 2, aby zobaczyć ile par składników o identycznych sumach pośrednich tworzy, co się równa 1,378,565,436/2 = 689,282,718 par i przez tę liczbę ją mnożymy, by uzyskać sumę wszystkich liczb poprzedzających tj. liczbę trójkątną t = 950,221,331,356,217,766, która rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, czyli dana liczba jest pierwszą, bo składa się z 689,282,718 par składników identycznych sum pośrednich liczby pierwszej 1,378,565,437. 1,378,565,437(689,282,718) = 950,221,331,356,217,76

(1 + 1,378,565,436)/1 = 1,378,565,437

950,221,331,356,217,766/3 = 316,740,443,785,405,922

(2 + 1,378,565,435)/1 = 1,378,565,437

316,740,443,785,405,922/2 = 158,370,221,892,702,961

(3 + 1,378,565,434)/1 = 1,378,565,437

158,370,221,892,702,961/114,880,453 = 1,378,565,437

(4 + 1,378,565,433)/1 = 1,378,565,437

114,880,453*6 = 689,282,718

(689,282,718 + 689,282,719)/1 = 1,378,565,437

5 ”Liczby pierwsze słyną z tego, że tworzą nieprzeniknioną plątaninę. Według wielu matematyków ich kolejność nie wynika z dostrzegalnego wzoru”. Vine Guy JAK ROZMIESZCZONE SĄ LICZBY PIERWSZE

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych, wiąże się dla matematyka z nadzieją, znalezienia nowych dróg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki. Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru, były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami, jakie matematycy badali. Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych. Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej, jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach. Nagle pojawia się również zainteresowanie gospodarcze pytaniem, czy dowód przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb. Od stuleci na próżno szukano magicznej formuły, do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł, więc czas by podejść do sprawy z nową strategią. Jak dotąd wydawało się, że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo. Takie nastawienie nie pozwala oczywiście, by można było przewidzieć, jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000.

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności dopełniania liczb pierwszych przez ich iloczyny do połowy danej wielkości, według wzoru π(N) + ∑p(p’) = ½N, który mówi że suma ilości liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości. Od 20 do 100 jest 80 liczb w tym połowa czyli 40 = 17 + 23 to liczby pierwsze i ich iloczyny. Do 20/2 = 10 = 8 + 2 mamy 8 liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) i 2 iloczyny (9, 15), zaś do 100/2 = 50 = [(8 + 17) + (2 + 23)] = 25 + 25 stosunek ten się wyrównuje.

6 Do 102/2 = 51 tylko 10 liczb pierwszych (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) wytwarza 25 iloczynów (9/3, 15/5, 21/7, 25/5, 27/9, 33/11, 35/7, 39/13, 45/15, 49/7, 51/17, 55/11, 57/19, 63/7, 65/13, 69/23, 75/25, 77/11, 81/27, 85/17, 87/29, 91/13, 93/31, 95/19, 99/33). Każda z tych liczb zna swoje miejsce w szeregu, czyli siłą rzeczy więcej jak 25 iloczynów w tych trzech ciągach się nie mieści, bo każdy iloczyn stoi na miejscu, które oznacza i zarezerwowane jest tylko dla niego. Do 102 może być tylko 96/6 = 16 iloczynów liczby 3, do 1,020 jest 1,014/6 = 169, a do 10,200 jest 10,194/6 = 1,699 iloczynów liczby 3. Są to więc takie liczby stałe, które sprawiają że suma liczb pierwszych i iloczynów większych niż 3 ma postać (34 +1) = 26 + 9, (340 + 1) = 171 + 170, (3400 + 1) = 1252 + 2149. Ma to oczywiście zdecydowany wpływ na stosunek liczb pierwszych do iloczynów, który kształtuje się następująco: 26/25, (1:1)±0.5, 16 + 9 = 25, 171/339, 169 + 170 = 339, (1:2)±1, 1,252/3,848, (1:3)±23, 1,699 + 2,149 = 3,848. Nawet pobieżne spojrzenie na ciąg liczb pokazuje, że liczby nieparzyste zajmują w nim stałe co drugie miejsce, gdy iloczyny liczby 3, co szóste miejsce a iloczyny liczby 5, co 30 miejsce i iloczyny liczby 7, co 42 miejsce. Ma to oczywiście zdecydowany wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów do danej wielkości. Dlatego w 102 liczbach na 51 liczb jest 26 liczb pierwszych, 16 iloczynów liczby 3(9,15,21,..) 6 iloczynów liczby 5(25,35,55,65,85,95), i 3 iloczyny liczby 7(49,77,91). 26+16+(6 + 3) = 51 = (26 + 9) + 16 = 35 + 16 = (34+1) + (17-1) = 51. To od tej formuły zależy rozmieszczenie liczb pierwszych [π(N) + ∑p(p’)>3] + ∑3(p) = ½N, (26 + 9) + 16 = (34+1) + (17-1) = 51. Formuła π(N) + ∑p(p’)>3 = 34q+1 mówi, że ilość liczb pierwszych do danej wielkości N plus ilość iloczynów liczb pierwszych większych niż 3, tworzy stałą sumę 34 + 1, rosnącą w postępie geometrycznym (34q)+1. Również iloczyny liczby 3 tworzą stałą sumę 17 – 1, rosnącą w postępie geometrycznym (17q)-1. Te dwie sumy (34+1) + (17-1) = 51 dopełniają się do połowy danej wielkości, która rośnie w postępie geometrycznym (51q). Stąd piszemy [π(N) + ∑p(p’)>3] + ∑3(p) = ½N, (26 + 9) + 16 =(34+1) + (17-1) = 51 i to jest podstawowy wzór na rozmieszczenie liczb pierwszych. Widzimy, że stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości 51/26 równy jest jak 2 : 1(- 0,5). Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich z n – tej ilości par skrajnych składników liczb poprzedzających daną wielkość. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia. Wystarczy więc utworzyć tabelę z tak następujących regularnie co 2 (3, 5 ,7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) liczb, a bez sita Eratosthenesa mamy wyselekcjonowane wszystkie liczby pierwsze i ich iloczyny. Na pierwszy rzut oka widać z jaką regularnością występują iloczyny liczby 3, co 18 liczb (9-27-45) czy iloczyny liczby 5, co 30 liczb (25-55-85, 35-65-95) czy iloczyny liczby 7, co 42 liczby (49-91-133), lub iloczyny liczby 11, co 22 liczby (121-143, 187-209), lub iloczyny liczby 13, co 78 liczb (169-247, 403481), lub iloczyny liczby 17, co 34 liczby (289-323). Z tej tabeli wynika wyraźnie, że liczby pierwsze wraz z iloczynami większymi niż 3 tworzą dwa odrębne ciągi (11-29-47-65-83-101, 13-31-49-67-85-103), obok ciągu iloczynów liczby 3 (15-33-51) i w tych ciągach liczby pierwsze są uzupełniane przez swoje iloczyny do połowy danej wielkości z wzorową dokładnością 17(p) + 13p(p’) = 30, 34(p) + 36p(p’) = 70, 68(p) + 102p(p’) = 170,..

Trudno wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż te, wynikające z tego jak następują jedne po drugich w stałych odległościach, co 6 liczb, dopełniając się wzajemnie w ściśle określonym stosunku (34+1) + (17-1) do połowy danej wielkości ½N = 51, jak to widzimy na poniższym wykresie liniowym. [π(N) + Σp(p’)>3] + ∑3(p) = ½N. Dlatego, mimo że w hipotezie Riemanna, funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x), jest funkcją stopniową małych poważnych nieprawidłowości, to w potrójnym ciągu arytmetycznym liczb pierwszych i ich iloczynów, o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość. Równomierność, z jaką ten wykres rośnie, nie

8 zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N, które mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną, ale ich regularnemu rozmieszczeniu, które pochodzi od stałej różnicy d = 6 pomiędzy członami potrójnego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych i ich iloczynów.

Podobną regularność dostrzegamy, gdy liczby pierwsze uszeregujemy według podwójnie charakterystycznych dla nich liczb jedności 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31. Tworzą wtedy 8 ciągów liczb pierwszych o odstępie n(30) = n(5*6).

9 A oto jak wygląda tabela liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, π(N) + ∑p(p’)>3 rozwijających się w postępie geometrycznym (34q)+1, oraz iloczynów liczby 3, ∑3(p) w postępie (17q)-1.

Dla porównania poniżej funkcja ilości liczb pierwszych π(x) w systemie dziesiętnym. Widać, że te liczby 10/4, 100/25, 1,000/168,.. ni jak mają się do siebie, bo nie ma tu żadnej widocznej zależności.

W przeciwieństwie do poniższej tabeli, ukazującej jak liczby pierwsze dopełniane są do ½N.

Dotąd wydawało się, że liczby pierwsze są zupełnie przypadkowo rozmieszczone na osi liczbowej. Przy czym zaobserwowano, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy. Liczby pierwsze gdy chodzi o ich rozmieszczenie, podlegają jednej zasadzie, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzą połowę danej wielkości π(N) + ∑p(p’) = ½N, czyli są wzajemnie od siebie zależne. Liczby pierwsze podlegają, również prawu przystawania według modułu a ≡ b (mod 102), stąd ilość liczb pierwszych w stosunku do połowy danej wielkości asymptotycznie maleje, podczas gdy ilość ich iloczynów asymptotycznie rośnie.

(½N)/∑p(p’) = (51/25)/25 = (2:1)+1, (510/339)/170 = (3:2)-1, (5100/3848)/170 = (30:22)+108

Do liczby (N) 1020 mamy 510 liczb pierwszych i ich iloczynów w potrójnym ciągu arytmetycznym, czyli w jednym może być 510/3 = 170 liczb. W rzeczywistości liczb pierwszych jest 171, za to ich iloczynów o jeden mniej to jest 340 – 1 = 339. Możemy to obliczyć ze wzoru [(½N)/2,3,4,.. – π(x)]/2 = ↕π(N), ∑p(p’), czyli z połowy różnicy pomiędzy trzecim ilorazem z połowy danej wielkości a funkcją ilości liczb pierwszych π(x) w systemie dziesiętnym [(510)/3– 168]/2 = 2/2 = 1 i tę jedynkę dodajemy do trzeciego ilorazu (510)/3 = (170 + 1) = 171, a odejmujemy od podwójnego iloczynu 2(170) – 1 = 339 i to pokazuje jak ilość liczb pierwszych ma wpływ na ich iloczyny – o ile jest mniej liczb pierwszych tym więcej ich iloczynów. Do 10200 czyli [(5100)/4 – 1229]/2 = (1275 – 1229)/2 = 46/2 = 23, będzie według 4 - tego ilorazu o (1275 – 23) = 1252 liczb pierwszych mniej, a ich iloczynów o 3(1275) + 23 = 3825 + 23 = 3848 więcej.

Długi na 171 liczb ciąg liczb pierwszych od 2 – 1019, dopełniony jest przez 169 iloczynów liczby 3 (9 – 1017), oraz 170 iloczynów liczb większych niż 3 (25 – 1015), [171 + (169 + 170)] = 171 + 339 = 510, do połowy danej wielkości. Z tego układu graficznego jasno wynika, że to

iloczyny liczby trzy, rosnące tak jak połowa danej wielkości w postępie geometrycznym (17q) - 1 [169 = 17(10) – 1], mają wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. To znaczy według podstawowego stosunku na 16 iloczynów liczby 3 przypada 34 + 1 = 35 to jest 26 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3. 16 + 35 = 51 = 26 + (16 + 6 +3) = 26 + 25, zaś na 169 iloczynów liczby 3 przypada 171 liczb pierwszych i 170 iloczynów > 3. Liczby pierwsze można uszeregować w 16 ciągach o stałym odstępie n(30).

Albo w 24 ciągach rosnących co n(48) i tworzących wiry o odstępach n(50).

A tak wyglÄ&#x2026;da to na wykresach radarowych.

Odejmując te 34 liczby (53, 103, 55, 5, 59, 7, 61, 11, 65, 13, 17, 67, 71, 19, 23,73, 77, 25, 79, 29, 83, 31, 85, 35, 89, 37, 91, 41, 95, 43, 97, 47, 101, 49), od następującej po niej liczbie w linii prostej zawsze uzyskamy liczbę podzielną przez 102 np. 457 – 49 = 408/102 = 4, co jest dowodem na to, iż wszystkie liczby podlegają jednej zasadzie, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzą połowę danej wielkości π(N) + ∑p(p’) = ½N, oraz prawu przystawania według modułu 102. (161 – 59 = 102), a ≡ b (mod 102).

Oto jak rozmieszczone jest 177(p) + 176(i>3) + 175(i3) = 528(2) = wśród 1056 liczb.

Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzorów i porządku, to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem. Wiedząc, w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn, łatwo możemy całą ich listę zestawić. A gdy do tego mamy jeszcze wskazówki, jak określić następną liczbę w ciągu, czy jest pierwszą lub złożoną, to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się, jako chaotyczna i przypadkowa.

PODSUMOWANIE Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanego równomiernie rosnącego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów do połowy danej wielkości. Czyli suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 π(N) + ∑p(p’)>3 równa się różnicy pomiędzy połową danej wielkości ½N, a iloczynami liczby 3, ½N – ∑p(3), 171 + 170 = 341 = 510 - 169. Stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów jest więc określony przez dopełnienie do połowy danej wielkości π(N) + ∑p(p’) = ½N 1252 + 3848 = 5100, zaś połowa różnicy pomiędzy iloczynami a liczbami pierwszymi [∑p(p’) – π(N)]/2 (3848 – 1252)/2 = 1298 określa ile liczb pierwszych jest mniej, a iloczynów więcej od ¼ danej wielkości (10200)/4 = 2550 – 1298 = 1252, 2550 + 1298 = 3848. W końcu poszukiwana od wieków przez matematyków tajemnicza struktura liczb pierwszych, bliźniaczych i ich iloczynów została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność.

BIBLIOGRAFIA Sierpiński Wacław Elementary Theory of Numbers, Ziegler Günter The great prime number record races, Pomerance Carl The Search for Prime Numbers, Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie, Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records, Narkiewicz Władysław The Development of Prime Number.

18 TABLICE LICZB PIERWSZYCH I ICH ILOCZYNÃ&#x201C;W OD 2 DO 1 023

21 TABLICE LICZB PIERWSZYCH I BLIÅ¹NIACZYCH OD 2 DO 10 993