2
"Jeśli nie możesz wyjaśnić czegoś, tak po prostu, to nie rozumiesz tego wystarczająco dobrze." Albert Einstein
”Liczby pierwsze słyną z tego, że tworzą nieprzeniknioną plątaninę. Według wielu matematyków ich kolejność nie wynika z dostrzegalnego wzoru.” Vine Guy
3 SPIS TREŚCI
SŁOWO WSTĘPNE …………………………………………………………………………………………………………………………… 4 LICZBY PIERWSZE – WŁAŚCIWOŚCI …………………………………………………………………………........................ 5 FAKTORYZACJA ILOCZYNÓW LICZB PIERWSZYCH ……………………………………………………………………………. 12 REKORDY LICZB PIERWSZYCH …………………………….…………………………………………………………………………… 13 PODSTAWOWY PORZĄDEK ……………………………………………………………………………………………………………. 16 ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH ……………………………………………………………………………………………. 18 TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH ……………………………………….…………………………………………………………. 46 MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA ……………………………………………………………………………………… 50 TABELE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273 ………………………………………………………………………………… 56
4 SŁOWO WSTĘPNE "To będzie miliony lat trwało zanim zrozumiemy, a nawet, jeśli nie w pełni zrozumiemy, to i tak stoimy przed nieskończonością". P. Erdös (wywiad z P. Hoffman, Atlantic Monthly ", listopad 1987, str. 74)
"Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzór, i jako takie, liczby pierwsze są same prawem dla siebie. Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśród liczb naturalnych,.. Od wieków matematycy próbowali i nie udało się wyjaśnić, jaki jest podstawowy wzór liczb pierwszych. Możliwe, że nie istnieje taki wzór i liczby pierwsze ze swej natury wykazują przypadkowe rozmieszczenie, w tym przypadku zaleca się matematykom, podjąć się innych mniej ambitnych zagadnień z tej dziedziny.” Simon Singh
Tak było przed odkryciem regularnego wzoru opartego na proporcjonalności odwrotnej ukrytego za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy starałem się dodać do tego wyjaśnienie. Wykazałem, że p = a + b to jedyny wzór, który jest nieodłączny od liczb pierwszych, ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie, lecz dzięki przystawaniu do siebie modulo 7 mają jako poprzednika liczbę parzystą, której połowa gwarantuje, że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składników o identycznych sumach pośrednich, nie mające wspólnego dzielnika większego od 1, a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości. Wszystko to daje nam do ręki przysłowiową sieć, by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie, takie jak, nieustanność liczb bliźniaczych, odstępów między nimi, mocnego i słabego przypuszczenia Goldbacha i wielu innych. Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematyków, zarówno profesjonalnych jak i amatorskich, odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące. Na przykład już Euklides pokazał, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Jednakże, kilka ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane. Liczby pierwsze nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli. Z jednej strony, liczby pierwsze wydają się być rozmieszczone przypadkowo pośród liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak prawdopodobieństwa. Jednak z drugiej strony, rozmieszczenie liczb pierwszych globalne ujawnia niezwykle gładką regularność. To połączenie losowości i prawidłowości zmotywowało mnie do wyszukiwania wzorów w rozmieszczeniu liczb pierwszych, które w końcu mogą rzucić światło na ich ostateczny charakter. Pisząc tę książkę, chciałem dokonać syntezy, co na temat teorii liczb pierwszych już wiadomo i ukazać ją jako dziedzinę, w której systematycznie bada się naturalne zagadnienia teorii liczb całościowo. Mam nadzieję, że wszyscy miłośnicy matematyki, poczują się szczęśliwi, gdy będą czytali te stronice.
5
LICZBY PIERWSZE - WŁAŚCIWOŚCI Liczby pierwsze to „cegiełki”, z których zbudowane są wszystkie inne liczby naturalne. Nie znajdziemy ich jednak w żadnej tabliczce mnożenia, gdyż liczba pierwsza nie może być nigdy wynikiem żadnej sensownej operacji mnożenia, lecz tylko dodawania. Każda liczba pierwsza jest suma dwóch składników określających jej miejsce w ciągu liczb naturalnych pomiędzy dwoma skrajnymi liczbami parzystymi p = a + b. Składnik a - to połowa poprzedzającej liczbę pierwszą, od niej mniejszej liczby parzystej. Składnik b - to połowa następującej po liczbie pierwszej, od niej większej liczby parzystej. 1, 2/2, 3, 4/2, 5, 6/2, 7, 8/2, 9, 10/2, 11, 12/2, 13, 14/2, 15, 16/2, 17, 18/2,19, 20/2, 21, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, 5 + 6 = 11, 6 + 7 = 13, 8 + 9 = 17, 9 + 10 = 19,.. Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz (oprócz dwóch początkowych a1 i a2 równych 1) jest sumą dwóch połówek skrajnych liczb parzystych p = (2n + 2n’)/2, czyli sumą dwóch kolejno następujących po sobie liczb 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7,..
Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą i poprzez nią zasada „większy o jeden” zostanie przeniesiona na następne liczby naturalne, gwarantując łączność i postęp w ciągu. 2 = 1
+
1 1
3 = 1
+
2 = (2)/2 + (4)/2
1 4 = 2
+
2 1
5 = 2 +
3
= (4)/2 + (6)/2
1 6 = 3 + 3 1 7 = 3 + 4
= (6)/2 + (8)/2
6 Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2), jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika i następnika, są o jeden większe od mniejszego z nich.
2n/2 + (2n + 2)/2 = 2 (n) + 1 = p 3 = (2+4)/2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)/2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)/2 = (3+4) = 2(3) + 1
11=(10+12)/2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)/2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)/2=(8+9)=2(8) + 1 Wiemy, że każda liczba naturalna większa niż 1, podzielna tylko przez 1 i samą siebie, jest liczbą pierwszą. Każdą liczę pierwszą tworzą jedynie pary składników względnie pierwszych, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + s’]), stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem, że dana liczba jest liczbą pierwszą. Np. 11=(10 + 1)/1= (9 + 2)/1= (8 + 3)/1= (7 + 4)/1=(6 + 5)/1, 5(11) = 55 (11² - 11)/2 = 55, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55/5 = 11 [(p)² - p]/2 = p(p’)/p’ = p. Firma sprzedająca liczby pierwsze, może w oparciu o ten dowód swój towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotówki, bez obawy, że zbankrutuje. p = (s + s')/1 (22 + 1)/1 (21 + 2)/1 (20 + 3)/1 (19 + 4)/1 (18 + 5)/1 (17 + 6)/1 (16 + 7)/1 (15 + 8)/1 (14 + 9)/1 (13 + 10)/1 (12 + 11)/1 22 22 21 21 20 20 19 19 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności n
n+2
n+6
n+8
k+1
k + 3
k + 7
k + 9
11
13
17
19
7
Każda liczba naturalna większa niż jeden, podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą. Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych. Mają one wiele innych właściwości, chociażby ta, że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1), w której nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n/2, równego połowie poprzedniej liczby parzystej. Kilka tych właściwości jest trywialna, ma jednak wpływ na liczby, które złożone są z liczb pierwszych, co zobaczymy w dalszej części. Inne właściwości dotyczą iloczynów liczb pierwszych, dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie, jako kryterium liczb pierwszych. Dana liczba „a” jest pierwszą, jeżeli po rozłożeniu na składniki, żadna z możliwych par składników nie ma wspólnego dzielnika większego od jeden.
Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne, których pary składników skrajnych nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. (1 + 1)/1 = 2, (1 + 2)/1 = 3, [1 + (2 + 3) + 4]/1 = 5, {1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 6}/1 = 7, ale /1 + {2 + [3 + (4 + 5) + 6]/3 + 7} + 8/1 = 9 ma jedną parę składników skrajnych (3 + 6)/3 = 9, których wspólny dzielnik wynosi 3, stąd (3+6)/3 = (1+2)(3) = 3(3)=9
Uświadomienie sobie, że parami dodawanie wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie,
8
pozwoli nam na utworzenie algorytmu testującego, czy dana liczba trójkątna jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych, czy złożonych. Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, to znaczy że każda suma pary składników jest liczbą pierwszą.(n + n’)/1 + (n” + n’”)/1 = t = p + p. Rozkład różnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza, że co najmniej jedna para składników ma wspólny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona. (x² - x)/2 = t = p *p*(p< x) (25² - 25)/2 = 300/12 = 12(25) = (2*2*3)*(5*5), 25 = (20 + 5)/5 = (10 + 15)/5 Liczba jedenaście jest pierwszą, ponieważ pięć par składników jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)/1 = (9 + 2)/1 = (8 + 3)/1 = (7 + 4)/1 = (6 + 5)/1, 5(11) = 55 = (11² - 11)/2, dodawane skrajne jako liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55, co jako suma stojących przed nią liczb jest połową różnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (x² - x)/2 = t i jest zawsze liczbą trójkątną, całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich, równej połowie stojącej przed nią liczby parzystej. Liczby trójkątne jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą składają się z n – tej ilości par składników dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających równej połowie poprzedzającej liczby parzystej, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)/1 + (2 + 3)/1 = 5 + 5 = 10/2 = 5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych(8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5+ 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36/4 = 4*9 = (2*2)(3*3)
Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składników nie mających wspólnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składników na identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych, powoduje że dwie proste na których zapisane są liczby poprzedzające dzielą się w połowie na 4 równe części sum pośrednich liczb pierwszych.(2 + 2 = 4/4, 4 + 4 = 8/4, 6 + 6 = 12/4, 10 + 10 = 20/4, 12 + 12 = 24/4, 16 + 16 = 32/4 22 + 22 = 44/4
9
Stąd możemy napisać liczba, która po odjęciu od niej liczb (3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 43, 53, 83, 199), jest podzielna przez 4 wskazuje, że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n – tej ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych. 59 =/ 8*7/ + 3, 1039 = /210*7/ + 199, 1093 = /152*7/ + 29, 1091 = /144*7/ + 83, 1117 = /152*7/ + 53, 1171 =/164*7/ + 23, 971 = /136*7/ + 19, 1109 = /156*7/ + 17, 1163 = /160*7/ + 43, 1049 = /148*7/ + 13, 1153 = /164*7/ + 5
Podobnie liczba od której po odjęciu (25, 35, 49, 65, 77, 85, 91, 115, 119, 155, 235, 247, 295, 427,445,629,1007), otrzymujemy liczbę podzielną przez 3, wskazuje że jest złożoną 817 – 427 = 390/3, 817 = 19*43, 961 – 91 = 870/3, 961 = 31*31, 713 – 629 = 84/3, 713 = 23*31 Bezpośrednim sprawdzeniem którym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a – 5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67)/p = 2n, a gdy dzieli się przez tą liczbę, to znak, że jest iloczynem 2n(p) + p = p(p’), 817 – 19 = 798/19 = 42, 42(19) + 19 = 817, 961 – 31 = 930/31 = 30, 30(31) + 31 = 961,..
10
Ten systematyczny proces określania, która liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą, jest dobrym przykładem na algorytm (x² - x)/2 = p *(x = p) * lub (p< x) = p(p’). Algorytm jest to metoda za pomocą której możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazówek. Gdy to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający, że dana liczba jest liczbą pierwszą lub ich iloczynem! (x² - x)/2 Σ(s + s‘) P p‘ p“ (p<x)= p(p) x=p (103² - 103)/2 5253 3 17 103 (1003² - 1003)/2 502503 3 17 * 59 167<x=p(p) (10003² - 10003)/2 50025003 3 7 * 1429 1667<x=p(p) [(10^⁵+3)^² – (10^⁵+3)]/2 5000250003 3 7 2381 100003 [(10^⁶+3)^² - (10^⁶+3)]/2 500002500003 3 166667 1000003 19/ 1000000000000000003/1 20/ 10000000000000000003 = 53*6 709*9 029*216 397*1 473 379 21/ 100000000000000000003 = 373*155 773*1 721 071 782 307 22/ 1000000000000000000003 = 67*14 925 373 134 328 358 209 23/ 1000000000000000000003 = 7*157*601*1 031 137*14 682 887 281 24/ 100000000000000000000003 = 113*3 049*290 244 589 115 247 419 25/ 1000000000000000000000003 = 3 529*821 461*838 069*411 605 923 26/ 10000000000000000000000003 = 13*7 668 629*100 308 773 475 776 339 27/ 100000000000000000000000003 = 223*161 377 320 703*2 778 770 221 987 28/ 1000000000000000000000000003 = 813 219 713*1 229 679 979 486 675 331 29/ 10000000000000000000000000003 = 7*199*571*89 779*140 035 456 540 965 619 30/ 100000000000000000000000000003 = 31*10 928 153*295 183 134 022 089 846 821 31/ 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827*537 684 419 034 673 655 130 289
11 32/ 10000000000000000000000000000003 = 13*23*1 453*17 021*1 352 315 810 743 633 261 969 33/ 100000000000000000000000000000003 = 19*6 271*839 285 264 668 608 213 245 600 047 34/ 1000000000000000000000000000000003 = 151*439*66883*5 338 459 457*42 250 012 204 817 35/ 10000000000000000000000000000000003 = 7^2*210019*971729 379 975 436 624 732 980 913 36/ 100000000000000000000000000000000003 = 17*26793961*219540251670011409967 913 819 37.1000000000000000000000000000000000003/103*922639*3480881723167*3023024732613877 38.10000000000000000000000000000000000003=13*769230769230769230769230769230769231 39.(10^38+3) = 76 417 717*50 954 499 311 257*25 681 678 366 581 487 41.(10^40+3) = 7*43*661*50 261 106 447 997 346 213 579 545 740 119 923 42.(10^41+3) = 29*47*149*1 046 191*470 659 572 629 542 911 224 468 953 859 43.(10^42+3) = 9 865 301 191*101 365 379 590 466 879 644 202 035 797 733 44.(10^43+3) = 13*769 230 769 230 769 230 769 230 769 230 769 230 769 231 45.(10^44+3) = 31*2 293*5 113*275 142 993 946 312 101 483 059 532 532 768 657 46.(10^45+3) = 2 621*26 190 869*202 758 977*2 039 334 898 823*35 230 144 787 557 47.(10^46+3) = 7*44 029*774 717 324 390 885 241*41 881 272 672 179 231 514 961 48.(10^47+3) = 397*198 266 889 049*1 270 455 041 555 076 682 580 419 086 613 351 49.(10^48+3) = 4 378 837*69 080 527*1 127 952 811*2 930 857 126 525 877 256 434 827 50.(10^49+3) = 13*464 459*551 342 479*5 952 808 865 209*504 621 641 480 758 757 819 51.(10^50+3) = 19*97*283*994 327 748 569*61 236 769 827 829*3 148 809 563 627 188 687 52.(10^51+3) = 17*3 187*1 353 383*13 637 925 013 200 840 085 919 638 391 816 980 569 079 53.(10^52+3) = 7*5 290 477 824 748 729*270 026 919 286 686 265 519 817 460 570 276 301 54.(10^53+3) = 23*4 116 417 953 254 772 568 899*1 056 215 898 465 504 263 474 971 028 839 55.(10^54+3) = 67*14 925 373 134 328 358 208 955 223 880 597 014 925 373 134 328 358 209 56.(10^55+3) = 13*2 290 143 001*3 696 549 175 591 577*90 865 194 024 447 148 790 098 749 503 58.(10^57+3) =2 448 952 313 317*113 619 994 412 549*3 593 891 055 967 117 960 201 170 304 091 59.(10^58+3) = 7*1033*1382934587*194025 722 583 321 808 878 440 049 785 645 138 984 926 013 Jeszcze jedna cecha wszystkich liczb nieparzystych, a więc i liczb pierwszych łącznie z dwójką ma ogromne znaczenie, a jest to zdolność do tworzenia sumy z połowy poprzedzającej liczby parzystej i jej samej, która podwojona i powiększona o 1 jest jej 3 wielokrotnością.(n – 1)/2 + n = Σ, (2Σ + 1)/3
12 Ma to ogromne znaczenie przy testowaniu i faktoryzacji liczb nieparzystych. Jeżeli dana wielokrotność dzieli się tylko przez 3 i samą siebie, to jest liczbą pierwszą 48 + 97 = 145, 2(145) + 1 = (291)/3 = 97, jeżeli można ją sfaktoryzować innymi liczbami to jest liczbą złożoną 49 + 99 = 148, 2(148) + 1 = (297)/9/11 9*11 = 99
FAKTORYZACJA ILOCZYNÓW LICZB PIERWSZYCH Dana liczba „a” jest iloczynem liczb pierwszych, gdy jej trzecia wielokrotność da się rozłożyć na czynniki pierwsze mniejsze od niej. Zasada rozkładu trzeciej wielokrotności na czynniki pierwsze jest najszybszą i najbezpieczniejszą metodą faktoryzacji. Mamy tym samym również, szybki sposób kwalifikacji liczb pierwszych, niezbędnych do budowy kodu RSA. 3*77 = 231/7 = 33/11 7*11 = 77 (70 + 7)/7 = (63 + 14)/7 = (66 + 11) /11 = (56 + 21)/7 = (55 + 22)11 = (10 + 1)(6 + 1) = 11(7)
3*4,759,123,141 = 14 277 369 423/48 781 = 292 683/97 561 = 3
4,759,123,141 = (4,759,025,580 + 97,561)/97,561 = (4,759,074,360 + 48,781)/48,781 = (48,780 + 1) (97,560 + 1) = 48,781*97,561 341,550,071,728,321 = (341,550,039,718,164 + 32,010,157)/32,010,157 = (341,550,061,058,268 + 10,670,053)/10,670,053 = (10,670,052 + 1)(32,010,156 + 1) = 10,670,053*32,010,157 2^67 – 1 = 147 573 952 589 676 412 927 = 761 838 257 287*193 707 721 50000000000000000000000000000000000000000000000000000003 = 10102595440132567406550851*4949223226476531491438676389953 1 000 000 000 037 = 53*18,867,924,529 = 53*59*349*916319 (10^24+37) = 53*188,679,245,283,018,867,924,529 = 53*197*96953*9878628473706469 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,067 = 449*222717149220489977728285077951002227171492204899777283
(10^⁵⁹ + 3) = 31^2*104 058 272 632 674 297 606 659 729 448 491 155 046 826 222 684 703 433 923 (10^⁵⁹ + 67) = 11*61*8625399823*20229914759*854091090347403953640469105164386261 1020030004000050000060000007 = 11*101*103*140411*5130571*12373564559 1.020.030.004.000.050.000.060.000.007/11 92.730.000.363.640.909.096.363.637/101 918.118.815.481.593.159.369.937/103 8.913.774.907.588.283.100.679/140.411 63.483.451.493.033.189/5.130.571 12.373.564.559/12.373.564.559
= = = = = =
92.730.000.363.640.909.096.363.637 918.118.815.481.593.159.369.937 8.913.774.907.588.283.100.679 63.483.451.493.033.189 12.373.564.559 1
341,550,071,728,321 = 10,670,053*32,010,157 10^37+37 = 53*1886792452830188679245283018867924529 = 53*6709*9029*216397* 1473379 *97692443917177103 (10^89+37) = 53*18 867 924 528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924 528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924 529
13 167/1, 1667/1, 16667 = 7*2381, 166667/1, 1666667 = 47*35461, 16666667 = 19*739*1187, 166666667 = 2221*2287*328121, 16666666666667= 89*251*746079353, 166666666666667/1, 1666666666666667 = 1292257*1289733131, 16666666666666667 = 7*61*65701*594085421, 166 666 666 666 666 667 = 17*131*1 427*52 445 056 723, 1 666 666 666 666 666 667 = 23*643*60 689*1 856 948 927, 16 666 666 666 666 666 667 = 155 977 777*106 852 828 571, 166 666 666 666 666 666 667 = 107* 1 557 632 398 753 894 081, 1 666 666 666 666 666 666 667 = 83*11 699*1 716 413 478 514 451, 16 666 666 666 666 666 666 667 = 7^2*19 961*17 040 030 781 111 603, 166 666 666 666 666 666 666 667 = 65657*1256673731*2019971201, 1 666 666 666 666 666 666 666 667 = 29*263*153 701*1 542 089 *921 953 189, 16 666 666 666 666 666 666 666 667 = 19*298 993*2 933 824 479 021 717 401, 166 666 666 666 666 666 666 666 667 = 127*1 312 335 958 005 249 343 832 021, 1 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 1 531*142 895 917 147*7 618 224 009 731, 16 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 7*17 041*445 847*313 378 923 550 840 603, 166 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 43*84 623 843*45 802 327 746 425 579 083, 1 666 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 67 * 24 875 621 890 547 263 681 592 039 801
REKORDY LICZB PIERWSZYCH Im wartości liczbowe stają się większe, tym ilość liczb pierwszych coraz rzadsza. Tylko 4% liczb w 25.000.000.000 liczbach to liczby pierwsze. Ten nierówny, nieprzewidywalny rozkład liczb pierwszych wśród liczb naturalnych przyczynia się do trudności w zlokalizowaniu kandydatów do dużych liczb pierwszych i określenia, czy wybrany kandydat jest liczbą pierwszą. Oto liczby pierwsze znajdujące się wśród 100 liczb powyżej 10¹², 10²⁴, 10³⁶, 10⁴⁸, 10⁵⁷, 10⁶⁰, 10⁷¹, 10⁷². Dla przykładu wśród 100 liczb pomiędzy 100 000 000 000 do 100 000 000 100 są 4 liczby pierwsze, ale popatrz ile ich jest w 100 liczbach powyżej 10²⁴: tylko dwie liczby pierwsze, powyżej10³⁶: tylko 1 liczba pierwsza, powyżej10⁴⁸: żadnej liczby pierwszej, powyżej 10⁵⁷: również żadnej liczby pierwszej, powyżej 10⁶⁰: są 4 liczby pierwsze, powyżej 10⁷¹: znów żadna liczba pierwsza i powyżej 10⁷²: znów 1 liczba pierwsza.
14 Znając właściwości liczb pierwszych możemy rozglądnąć się za rekordowymi liczbami pierwszymi.
Następnych dziesięć liczb pierwszych po (10^99+1) to:
(10^99+2)/2 = 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000,000,000,000,001*(10^99+3) = 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0
15 00,000,000,000,000,000,000,000,000,002,500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,003 = 3*166 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 667 * 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000,000,000,000,000,000,000,003 (10^99+62)/2 = 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000,000,000,000,031*(10^99+63) = 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000,000,000,000,062,500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,001,953/3 = 166,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,6 66,666,666,666,666,666,666,666,666,687,500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,651/166,666,666,66 6,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666,666 ,666,666,666,666,666,677 = 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000,000,000,000,000,000,000,063 (10^9999+2)/2*(10^9999+3) = 3*166,666,..667*(10^9999+3) (10^9999+62)/2*(10^9999+63) = 3*166,666,..677*(10^9999+63) (10^99999+62)/2*(10^99999+63) = 3*166,666,666…677*(100,000,000…063)
A oto rekordy liczb pierwszych o 10 000 000, 100 000 000 i 1 000 000 000 cyfr, składające się z określonych iloczynem połowy poprzedzającej liczby parzystej par składników i danej liczby, który rozkłada się na czynniki pierwsze do danej liczby 102/2*103 = 51*103 = 5253/3 = 1751/17 = 103/1 potwierdzając w ten sposób, że 51 par skrajnych składników liczby 103 = (102 + 1)/1 = (101 + 2)/1 (100 + 3)/1 ... nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1, co oznacza, że dana liczba jest liczbą pierwszą. Przy bardzo wielkich liczbach, takich jak te rekordy, zasada braku wspólnego dzielnika większego od 1 w parach składników (s + s')/1 = (s' + s' ")/1 = p, jest certyfikatem potwierdzającym jej niepodzielność przez inne liczby pierwsze. Wszystkie moje rekordy liczb pierwszych zostały utworzone przy zastosowaniu tej metody. Liczby pierwsze i ich wielokrotności mają dla matematyków tak wielkie znaczenie, że każdy przełom w lepszym poznaniu ich natury ma epokowe znaczenie.
16 PODSTAWOWY PORZĄDEK Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z ich naturalnej kolejności. Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby trójkątne 1 = (1*1), 1 + 2 = 3 = (2*1,5), 1 + 2 + 3 = 6 = (3*2), 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (4*2,5), które można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 0,5 większego/2*1,5 = 3, 3*2 = 6/. Podobnie poprzez dodawanie par skrajnych składników powstają liczby pierwsze 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = (4 + 1) = (3 + 2), 7 = (6 + 1) = (5 + 2) = (4 + 3), a więc stale największa do najmniejszej (2 + 1), (4 + 1), (6 + 1). W ten sposób dodając do siebie dziewięć kolejnych liczb (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5), dających zawsze identyczne sumy pośrednie widzimy, że są do siebie odwrotnie proporcjonalne, bo gdy jeden składnik maleje to drugi rośnie.
Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych /9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9/ tworzą 17 par skrajnych składników, które użyte jako czynniki (9*1) = 9, (8*2) = 16, (7*3) = 21, (6*4) = 24, (5*5) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25/, co dowodzi, że te czynniki, czyli wszystkie liczby naturalne są do siebie odwrotnie proporcjonalne.
Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty, do której zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (9*1)/1, 8 = (8*2)/2, 7 = (7*3)/3, 6 = (6*4)/4, 5 = (5*5)/5).
17
Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola, która pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10, znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24/. Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy, gdy iloczyn w procesie zmian, jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej, jest stały: x₁*y₁ = x₂*y₂ =..= k. To, że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy krótko π(x) (Σ(n+n)*½N)/N, 4 = (8*5)/10, 25 = (50*50)/100, to znaczy gdy iloczyn ilości składników liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały, to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość, będzie mniejszy.
Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką – Bóg nie gra ze światem w kości – lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia.
18
ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH Lepsze zrozumienie liczb pierwszych, wiąże się dla matematyka z nadzieją, znalezienia nowych dróg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki. Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru, były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami, jakie matematycy badali. Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych. Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej, jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach. Nagle pojawia się również zainteresowanie gospodarcze pytaniem, czy dowód przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb. Od stuleci na próżno szukano magicznej formuły, do sporządzenia listy liczb pierwszych, może nadszedł więc czas, by podejść do sprawy z nową strategią. Jak dotąd wydawało się, że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo. Takie nastawienie nie pozwala oczywiście, by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000. Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb, lecz obserwacja odstępów między dwoma liczbami pierwszymi, naprowadziła mnie na pewną regularność, z jaką się pojawiają. 2, 3, 5,2-7,-4- 11,-2- 13,-4- 17,-2- 19,-4- 23,.. a więc 2, 4, 2, 4, to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych. Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23, 2- 25, -4- 29), ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych, iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5). Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej, jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych, zachowując odstępy – 2 – 4 – 2 – 4. Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych, nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości. Dla mnie stało się jasne, że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4. /2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55/ 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4 Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi, pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć, gdzie pojawi się następna, lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza.
19
Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 25/14 i do 1000 = 168/68 ale nic poza tym. Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzorów i porządku, to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem. Wiedząc, w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn, łatwo możemy całą ich listę zestawić. A gdy do tego mamy jeszcze wskazówki, jak określić następną liczbę w ciągu, czy jest pierwszą lub złożoną, to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się, jako chaotyczna i przypadkowa. Dwa fakty są decydujące, jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych, o których mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia, że pozostanie to na zawsze w pamięci. Pierwszy to, że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli, jako cegiełki liczb naturalnych, same dla siebie są cegiełkami, tzn. każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzedników, czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n – tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2, 3, 5, 11, 13, 29 + n(7) = p 2=2 3=3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2+3=5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5+2=7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039 3 + 1(7) = 10 2 + 14(7)
=
100
6 + 142(7)
=
1 000
4 + 1 428(7)
=
10 000
5 + 14 285(7)
=
100 000
1 + 142 857(7)
=
1,00E+06
20 3 + 1 428 571(7)
=
`1,00E+07
2 + 14 285 714(7)
=
1,00E+08
6 + 142 857 142(7)
=
1,00E+09
4 + 1 428 571 428(7)
=
1,00E+10
5 + 14 285 714 285(7)
=
1,00E+11
1 + 142 857 142 857(7)
=
1,00E+12
3 + 1 428 571 428 571(7)
=
1,00E+13
2 + 14 285 714 285 714(7)
=
1,00E+14
6 + 142 857 142 857 142(7)
=
1,00E+15
4 + 1 428 571 428 571 428(7)
=
1,00E+16
5 + 14 285 714 285 714 285(7)
=
1,00E+17
4 + 1,428 571 428e99(7)
=
1,00E+100
4 + 1,428 571 428e999(7)
=
1,00E+1000
4 + 1,428 571 428e99 999 999(7) 4 + 1,428 571 428e999 999 999(7)
=
1,00E+100 000 000 =
1,00E+1000 000 000
Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący, gdyż mówi, że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością. Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) przystają do siebie według modułu 7, jak to pokazuje poniższy wykres, to i liczby pierwsze.
Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne, ale nie jest znany żaden wzór, który pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposób bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba, że uwzględnimy wzór (x ² - x)/2 = p *(x = p) * lub (p< x) = p(p’), który pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze. U podstaw rozmieszczenia
21 liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynów na czynniki pierwsze, które przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynów liczby 3, 5 i 7. Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p – 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą. Np.: - 1 = 999 999/7 = ↓ - 142 857 857 142 Dowód: gdy a ≠ p p ≥ 3 a ≥ 2
= 64 – 1 = 63/7
= 729 – 1 = 728/7 Podobnie
przy ułamkach: 1/7 = 0,142 857 142 857 1… 2/7 = 0,2857 142857 14 … 3/7 = 0,42857 142857 1 … 4/7 = 0,57 142857 142857 1.. 5/7 = 0,7 142587 142587 1.. 6/7 = 0,857 142587 142587.. 8/7 = 1,142857 142857 9/7 = 1,2857 142857 14.. 10/7 = 1,42857 142857 … 11/7 = 1,57 142857 1428… 12/7 = 1,7 142857 14285… 13/7 = 1,857 142857 142… gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1, a kończące na 7. W praktyce oznacza to, że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np.: (x x x x x x)/7, (x y x y x y)/7, (y x y x y x)/7, (xyz xyz)/7, (zxy zxy)/7, (yzx yzx)/7, (zyx zyx)/7, (yxz yxz)/7, (xzy xzy)/7, i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7. 111 111 111 111 111 111/7 = 15 873 015 873 015 873
Wiemy już, które liczby i dlaczego są pierwsze, czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu liczb naturalnych. Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,
22 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107,. Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o stałym odstępie 2, w który od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach 2p – 4p – 2p (9 – 15 – 21, 25 – 35 – 55, 49 – 77 – 91). Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów pokazuje stałą różnicę pomiędzy dwoma następującymi członami, tzn. istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności, które odnoszą się do wszystkich n Є N: ··+1···· = d 11 – 5 = 6 = 13 – 7 2 + 3 = 5 – 2 – 7 – 4 - 11 – 2 – 13 - 4 - 17 – 2 – 19 – 4 - 23 – 2 – 25 – 4 - 29 – 2 – 31 – 4 - 35 – 2 – 37 Dlatego, mimo że w hipotezie Riemanna, funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x), jest funkcją stopniową małych poważnych nieprawidłowości, to w podwójnym ciągu arytmetycznym liczb pierwszych i ich iloczynów, o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość. Równomierność, z jaką ten wykres rośnie, nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N, które mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną, ale ich regularnemu rozmieszczeniu, które pochodzi od stałej różnicy d = 6 pomiędzy członami podwójnego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych i ich iloczynów. Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb, to wprawdzie odstępy pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2, 4, 6, 8 do coraz większych, lecz w rzędach pomiędzy kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7), a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby 7. (13-83-223, 17-157, 19-89, 23-163, 29-239, 31-101, 37-107).
Spośród tego barwnego wzoru, jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72, 5 co n(70), 7 co n(70), 11 co 66, 13 co 78, 17 co 68, 19 co 76/142, 23 co 138, 29 co 58, 31 co 62/124) liczb, wyraźnie widzimy, jak liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb, drugi co 72 liczb, które w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynów liczb 3, 5, i 7. Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki, a ten puls jest napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7). (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283,..) w 24 kolumnach.
23
Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) = 19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89,..) daje stały odstęp D – 6 w trzech równoległych spiralnych ciągach 5 – 11 – 17 – 23 – 29 – 35,.. i 7 – 13 – 19 – 25 – 31 – 37 – 43, 9 – 15 – 21 – 27 – 33 – 39 – 45,..
Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7, to znaczy, że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7. Dlatego od liczby 7, zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 – 2 – 6 – 8, które przystają do siebie według modułu 7. 10 11 12 13 16 17 18 19 - 70 - 82 83 - 70 - 88 89
24
Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7.
Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 24 kolumny przylegających do siebie według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, 5, 7, które na wykresie radarowym układają się w 12 podwójnych wirów o stałym odstępie p – n(72).
25
Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągów iloczynów liczby 5 przylegających do siebie według modułu 7, a zaczynających się od liczb: 25, 35, 55, 65, 85, 115, 145, oraz 4 ciągi iloczynów liczby 7, zaczynających się od liczb: 49, 77, 91, 133, a także 24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynów, zaczynających się od liczb: 2, 3, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 191.
26 Panujący tu gołym okiem widzialny porządek, przeczący wszelkiej przypadkowości i nieprzewidywalności, oprócz dużych walorów estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne. Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x), czyli liczbę liczb pierwszych mniejszych od danej liczby N. Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad, ale matematycy szukają bardziej systematycznego sposobu, aby znaleźć liczby pierwsze. Z wszystkich tych wyzwań lista liczb pierwszych stoi powyżej wszystkich innych, dla której matematycy poszukują jakieś tajne formuły. A ta jest bardzo prosta p – n(70) – p’ → n(7)/350, czytaj – liczby pierwsze uszeregowane według charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1, k + 3, k + 7, k + 9, rozmieszczone są według formuły liczba pierwsza plus n – ta wielokrotność liczby 7 (31 – 70 – 101 – 140 – 241, 23 – 140 – 163 – 70 – 233, 17 – 140 – 157 – 70 - 227, 19 – 70 – 89 – 140 – 229), zaś odstępy pomiędzy wierszami są n – tą wielokrotnością liczby 7(3 – 73, 79 – 149) U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb nieparzystych składających się z dwóch połówek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k + 1) = (2n + 2n’)/2, które są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych podwójnie, co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69. Aby obliczyć ile liczb pierwszych znajduje się w tym ciągu do liczby 70, dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych odejmujemy 11 iloczynów liczby 3 (9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69), 4 iloczyny liczby 5 (25, 35, 55, 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49), 11 + 4 + 1 = 16 35 – 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu, czyli mamy wzór π(x) = ½N – Σp(p’). Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest różnicą pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynów liczb pierwszych w danej wielkości.
Ciąg liczb nieparzystych, jako suma dwóch kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, 4 + 5 = 9), w rzeczywistości jest splotem 3 ciągów, o stałym odstępie d = 6 pomiędzy wyrazami w dwóch ciągach liczb pierwszych i ich iloczynów, oraz ciągu samych iloczynów liczby 3. /5 – 11 – 17 – 23 – 29 – 35,.. 7 – 13 – 19 – 25,.. 9 – 15 – 21/, przy czym iloczyny liczb pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p – 4p – 2p /25 – 2(5) - 35 – 4(5) - 55 – 2(5) - 65, 49 – 4(7) – 77 – 2(7) – 91/. Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynów liczby 3 (9 – 15/3 = 5 – 21/3 = 7 – 27 – 33/3 = 11) do którego doczepić można iloczyny pozostałych
27 liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 – 35 – 55 – 65), (21 – 49 – 77 – 91), (33 – 121 – 143 – 187 – 209). Ponieważ wzór ogólny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k, ten sam efekt uzyskamy biorąc połowę liczby parzystej przed nimi stojącej, do której dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej /4 – (7 + 5 = 12 + 5 = 17,..) – (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) – (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104 + 22 = 126). A oto tabela 11 ciągów iloczynów liczb pierwszych wraz z połówkami poprzedzającej liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12, 121 - 60, 289 – 144, 529 – 264, 841 – 420, 1369 – 684, 1681 – 840, 2209 – 1104, 2809 – 1404, 3481 – 1740, 4489 – 2244), oraz 6 ciągów samych połówek poprzedzającej liczby parzystej iloczynów liczb (7, 13, 19, 31, 43, 61). To pozwoli nam łatwo obliczyć ile iloczynów liczb pierwszych jest do danej wielkości.
28 Twierdzenie: Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części trzykrotnego czynnika pierwszego 3 · p = (3p – 1)/2 =[3(5) – 1]/2 = 14/2 = 7, [3(7) – 1]/2 = 20/2 = 10, (7, 10, 16, 19, 25, 28, 34, 43, 46, 55, 61, 64, 70, 79, 88, 91, 100), jest podzielna przez (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67) to na pewno jest to liczba złożona. Dowód: [p(p’) – 1]/2 – (3p – 1)/2 = n/p [p(p’) – 1]/2 –(7, 10, 16, 19, 25, 28, 34, 43, 46, 55, 61, 64, 70, 79, 88, 91, 100) = n/(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67) 2009 – 1 = 2008/2 = 1004 – 10 = 994/7 = 142
2009 = 7(287) = 7(284 + 3)
1067 – 1 = 1066/2 = 533 – 16 = 517/11 = 47
1067 = 11(97) = 11(94 + 3)
437 – 1 = 436/2 = 218 – 28 = 190/19 = 10
437 = 19(23) = 19(20 + 3)
961 – 1 = 960/2 = 480 – 46 = 434/31 = 14
961 = 31(31) = 31(28 +3)
W każdym z tych ciągów iloczynów liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez 3, a więc należy do ciągu iloczynów liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu. W ciągu 50 iloczynów liczby 5, jest (50 – 2)/3 = 16 iloczynów liczby 3, a w ciągu 98 iloczynów liczby 5 jest ich 32. A więc samych iloczynów liczby 5 jest (98 – 32 = 66). Ponieważ połówki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą liczbę pierwszą, stąd ostatnia połówka w danym ciągu po odjęciu wartości połówki pierwszego iloczynu liczby 3 i 5 (15 – 7), oraz wartości n – tej ilości pozostałych iloczynów (32*5 = 160), da nam ilość iloczynów liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości. [(n – a) – (n * p)]/p = x, [(497 – 7) – (32*5)]/5 = (490 – 160)/5 = 330/5 = 66, zaś do 95 mamy [(47 – 7) – (2*5)]/5 = (40 – 10)/5 = 30/5 = 6. Stąd widzimy, że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6, 66 = 6(10) + 6, 666 = 66(10) + 6, 6666 = 666(10) + 6. Podobnie rośnie ilość iloczynów liczby 3. Ostatnim iloczynem liczby 3 przed 100 jest 99, a liczba parzysta podzielna przez 6, tzn. przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to 100 – 4 = 96/6 = 16, 1000 – 4 = 996/6 = 166, 10000 – 4 = 9996/6 = 1666, czyli 166 = 16(10) + 6, 1666 = 166(10) + 6,.. Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91, a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45, to odejmując od niej wartość połówki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 – 10), oraz wartości pozostałych iloczynów (2 * 7 = 14), da nam ilość iloczynów liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 – 10) – 14]/7 = (35 – 14)/7 = 21/7 = 3, [(486 – 10) – (31*7)]/7 = (476 – 217)/7 = 259/7 = 37, czyli długi na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3, 5, 7 zawiera 68 – 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7. [(4994 – 10) – (332*7)]/7 = (4984 – 2324)/7 = 2660/7 = 380 N
2k + 1
98 – 32
68 – 31
43 – 23
35 - 19
66 p(p') 0
3
7 + 5(n)
37 p(p')
1
5
25
10 + 7(n)
2
7
35
49
20 p(p')
3
9
45
63
16 + 11(n)
16 p(p')
4
11
55
77
121
19 + 13(n)
25 - 15
23 – 15
20 -14
14 – 12
14 – 13
29
5
13
65
91
143
169
10 p(p')
6
15
75
105
165
195
25 + 17(n)
8 p(p')
7
17
85
119
187
221
289
28 + 19(n)
8
19
95
133
209
247
323
361
6 p(p')
9
21
105
147
231
273
357
399
34 + 23(n)
10
23
115
161
253
299
391
437
529
11
25
125
175
275
325
425
475
575
2 p(p')
12
27
135
189
297
351
459
513
621
43 + 29(n)
1 p(p')
13
29
145
203
319
377
493
551
667
841
46 + 31(n)
14
31
155
217
341
403
527
589
713
899
961
15
33
165
231
363
429
561
627
759
957
1023
16
35
175
245
385
455
595
665
805
1015
1085
17
37
185
259
407
481
629
703
851
1073
1147
18
39
195
273
429
507
663
741
897
1131
1209
19
41
205
287
451
533
697
779
943
1189
1271
20
43
215
301
473
559
731
817
989
1247
1333
21
45
225
315
495
585
765
855
1035
1305
1395
22
47
235
329
517
611
799
893
1081
1363
1457
23
49
245
343
539
637
833
931
1127
1421
1519
24
51
255
357
561
663
867
969
1173
1479
1581
25
53
265
371
583
689
901
1007
1219
1537
1643
26
55
275
385
605
715
935
1045
1265
1595
1705
27
57
285
399
627
741
969
1083
1311
1653
1767
28
59
295
413
649
767
1003
1121
1357
1711
1829
29
61
305
427
671
793
1037
1159
1403
1769
1891
30
63
315
441
693
819
1071
1197
1449
1827
1953
31
65
325
455
715
845
1105
1235
1495
1885
2015
32
67
335
469
737
871
1139
1273
1541
1943
2077
33
69
345
483
759
897
1173
1311
1587
2001
2139
34
71
355
497
781
923
1207
1349
1633
2059
2201
35
73
365
511
803
949
1241
1387
1679
2117
2263
36
75
375
525
825
975
1275
1425
1725
2175
2325
37
77
385
539
847
1001
1309
1463
1771
2233
2387
38
79
395
553
869
1027
1343
1501
1817
2291
2449
39
81
405
567
891
1053
1377
1539
1863
2349
2511
40
83
415
581
913
1079
1411
1577
1909
2407
2573
41
85
425
595
935
1105
1445
1615
1955
2465
2635
42
87
435
609
957
1131
1479
1653
2001
2523
2697
43
89
445
623
979
1157
1513
1691
2047
2581
2759
44
91
455
637
1001
1183
1547
1729
2093
2639
2821
45
93
465
651
1023
1209
1581
1767
2139
2697
2883
46
95
475
665
1045
1235
1615
1805
2185
2755
2945
47
97
485
679
1067
1261
1649
1843
2231
2813
3007
48
99
495
693
1089
1287
1683
1881
2277
2871
3069
49
101
505
707
1111
1313
1717
1919
2323
2929
3131
30
50
103
515
721
1133
1339
1751
1957
2369
2987
3193
51
105
525
735
1155
1365
1785
1995
2415
3045
3255
52
107
535
749
1177
1391
1819
2033
2461
3103
3317
53
109
545
763
1199
1417
1853
2071
2507
3161
3379
54
111
555
777
1221
1443
1887
2109
2553
3219
3441
55
113
565
791
1243
1469
1921
2147
2599
3277
3503
56
115
575
805
1265
1495
1955
2185
2645
3335
3565
57
117
585
819
1287
1521
1989
2223
2691
3393
3627
58
119
595
833
1309
1547
2023
2261
2737
3451
3689
59
121
605
847
1331
1573
2057
2299
2783
3509
3751
60
123
615
861
1353
1599
2091
2337
2829
3567
3813
61
125
625
875
1375
1625
2125
2375
2875
3625
3875
62
127
635
889
1397
1651
2159
2413
2921
3683
3937
63
129
645
903
1419
1677
2193
2451
2967
3741
3999
64
131
655
917
1441
1703
2227
2489
3013
3799
4061
65
133
665
931
1463
1729
2261
2527
3059
3857
4123
66
135
675
945
1485
1755
2295
2565
3105
3915
4185
67
137
685
959
1507
1781
2329
2603
3151
3973
4247
68
139
695
973
1529
1807
2363
2641
3197
4031
4309
69
141
705
987
1551
1833
2397
2679
3243
4089
4371
70
143
715
1001
1573
1859
2431
2717
3289
4147
4433
71
145
725
1015
1595
1885
2465
2755
3335
4205
4495
72
147
735
1029
1617
1911
2499
2793
3381
4263
4557
73
149
745
1043
1639
1937
2533
2831
3427
4321
4619
74
151
755
1057
1661
1963
2567
2869
3473
4379
4681
75
153
765
1071
1683
1989
2601
2907
3519
4437
4743
76
155
775
1085
1705
2015
2635
2945
3565
4495
4805
77
157
785
1099
1727
2041
2669
2983
3611
4553
4867
78
159
795
1113
1749
2067
2703
3021
3657
4611
4929
79
161
805
1127
1771
2093
2737
3059
3703
4669
4991
80
163
815
1141
1793
2119
2771
3097
3749
4727
5053
81
165
825
1155
1815
2145
2805
3135
3795
4785
5115
82
167
835
1169
1837
2171
2839
3173
3841
4843
5177
83
169
845
1183
1859
2197
2873
3211
3887
4901
5239
84
171
855
1197
1881
2223
2907
3249
3933
4959
5301
85
173
865
1211
1903
2249
2941
3287
3979
5017
5363
86
175
875
1225
1925
2275
2975
3325
4025
5075
5425
87
177
885
1239
1947
2301
3009
3363
4071
5133
5487
88
179
895
1253
1969
2327
3043
3401
4117
5191
5549
89
181
905
1267
1991
2353
3077
3439
4163
5249
5611
90
183
915
1281
2013
2379
3111
3477
4209
5307
5673
91
185
925
1295
2035
2405
3145
3515
4255
5365
5735
92
187
935
1309
2057
2431
3179
3553
4301
5423
5797
31
93
189
945
1323
2079
2457
3213
3591
4347
5481
5859
94
191
955
1337
2101
2483
3247
3629
4393
5539
5921
95
193
965
1351
2123
2509
3281
3667
4439
5597
5983
96
195
975
1365
2145
2535
3315
3705
4485
5655
6045
97
197
985
1379
2167
2561
3349
3743
4531
5713
6107
98
199
995
1393
2189
2587
3383
3781
4577
5771
6169
W ten sam sposób obliczamy ile jest iloczynów liczby 11 do tysiąca. Ostatnią jest 979, po odjęciu od niej 1, dzielimy na pół a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połówki pierwszego iloczynu liczb 3 i 11 (33 – 16) i od różnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7, jak i iloczyn 13 liczb podzielnych przez 3 (165,231,297,363,429,..) a różnicę dzielimy przez 11 co daje 20, czyli długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3, 5, 7 i 11 zawiera 43 – [10 + 13] = 20 liczb podzielnych tylko przez 11. (979 – 1) = 978/2 = 489 – 16 = 473 – [10(11)] = 363 – [13(11)] = 220/11 = 20. W podobny sposób postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynów liczb: 13, 17, 19, 23, 29 i 31 do tysiąca. 949 – 1 = 948/2 = 474 – 19 = 455 – [9(13)] = 338 – [10(13)] = 208/13 = 16 = 35 – 19 901 – 1 = 900/2 = 450 – 25 = 425 – [9(17)] = 272 – [6(17)] = 170/17 = 10 = 25 – 15 931 – 1 = 930/2 = 465 – 28 = 437 – [5(19)] = 342 – [10(19)] = 152/19 = 8 = 23 – 15 989 – 1 = 988/2 = 494 – 34 = 460 – [3(23)] = 391 – [11(23)] = 138/23 = 6 = 20 – 14 899 – 1 = 898/2 = 449 – 43 = 406 – [12(29)] = 58/29 = 2 = 14 – 12 961 – 1 = 960/2 = 480 – 46 = 434 – [13(31)] = 31/31 = 1 = 14 – 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy 166 liczb podzielnych przez 3 i (66/5 + 37/7 + 20/11 + 16/13 + 10/17 + 8/19 + 6/23 + 2/29 + 1/31 = 166) przez inne liczby pierwsze. Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynów liczb pierwszych, dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych. 500 – (166 + 166) = 168, π(x) = ½N – Σp(p’), 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika, że iloczyny liczby 5 tworzą 7 ciągów, a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi, czyli stosunek iloczynów liczb 5 i 7 jest jak 7 : 4 /66 = (7*9) + 3 37 = (4*9) + 1, 666 = (7*95) + 1, 380 = (4*95)/. Natomiast potrójnie spleciony ciąg liczb pierwszych i ich iloczynów przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynów. Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb pierwszych do danej wielkości; 25 = (24 + 1), 168 = 7(24), 1229 = 51*24 + 5
32 W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie proporcjonalny, to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych, tym mniej ich iloczynów jako dopełnienie do 10 (8 – 2, 7 – 3, 5 – 5, 3 – 7)
Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak 4 liczby pierwsze (2, 3, 5, 7) tworzą parabolę oznaczającą, że są odwrotnie proporcjonalne do 10. Stąd możemy napisać x * y = k 4 * 10 = 40, a 1/b, 4 1/10. Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 4*10 = 40, jako że mnożenie jest skróconą formą dodawania należy rozpisać na poszczególne stosunki, z których się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7) + (5 + 5) + (7 + 3). A tak to wygląda na wykresie liniowym. Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 = 17), dopełniona sumą różnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23), pokazuje jaka jest proporcja 17 liczb pierwszych do 23 ich iloczynów w 17 + 23 = 40 liczbach.
33
Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary, czyli 8 liczb pierwszych (2, 3)(5,7)(11, 13)(17, 19), a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) – (8 + 2). W dalszych rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynów, a więc w piątym rzędzie stosunek ten się wyrównuje. W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 17/33, a w rzędach od 24 do 50 nawet 17/43. Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 – 2 = 168 340 – 8 = 332
Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach, kiedy to na 180 liczb pierwszych przypada 360 ich iloczynów. Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów będzie coraz
34 większy, jak to widać w poniższej tabeli. W rzędach 51 – 63 stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów ulega podwojeniu z 17/43 do 34/86 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb. Mamy tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb, 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb.
W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco;
35
W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229, a ich iloczynów przeszło 3*1 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej. W 100 000 liczb pierwszych jest 9 592, a ich iloczynów o 4*9 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej. W 1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498, a ich iloczynów 5*78 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502 więcej. W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579, a ich iloczynów o przeszło 6*664 579 = 3 987 474 + 347 947 = 4 335 421 więcej. W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455, a ich iloczynów 7*5 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej.
W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534, a ich iloczynów o 8*50 847 534 = 414 780 272 + 34 372 194 = 449 152 466 więcej.
Ponieważ iloczynów liczby 3 do danej wielkości jest zawsze równa ilość (15 + 1)*1, *11, *111, *1111,.. = 16, 166, 1666,.. ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i różnicy ilości ich iloczynów większych od 3, to znaczy, że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów większych od 3, jest odwrotnie proporcjonalny, czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)/2 = 17, tym mniej iloczynów większych od 3 (25 - 9)/2 = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynów większych od 3 (168 + 166)/2 = 167, tym mniej liczb pierwszych (168 – 166)/2 = 1, 167 + 1 = 168, (2105 + 1229)/2 = 1667, (2105 – 1229)/2 = 438, 1667 – 438 = 1229. 0 1 2 3
84p 2 5 11
84p 3 7 13
83p(p') 83p(p')
166 n/3 9 15
36 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
17 23 29 41 47 53 59 71
19 25 31 37 43
35 49 55
61 67 73 79
65 77
83 89 101 107 113
85 91 97 103 109
127 131 137
95
119 125
133 139 143
149
167 173 179 191 197
151 157 163
155 161
181 185
187
203 209 215 221
205
193 199
223 229
217
235 241 245
251 257 263 269
145
169 175
211
227 233 239
115 121
271
247 253 259 265
21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99 105 111 117 123 129 135 141 147 153 159 165 171 177 183 189 195 201 207 213 219 225 231 237 243 249 255 261 267 273
37 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
281
277 283
275 287
293
311 317
307 313
331 337 347 353 359
299 305
323 329 335 341
365 371 377 385 391
397
395
401
403 409
407 413
415
425
427
421 433 439
437
443 449 461 467
445 451 457 463
455
473 479 487
469 475 481
485
491
493 499
497
503 509 521
343 355 361
383 389
431
319 325
349
367 373 379
419
289 295 301
515
505 511 517
527
529
523
279 285 291 297 303 309 315 321 327 333 339 345 351 357 363 369 375 381 387 393 399 405 411 417 423 429 435 441 447 453 459 465 471 477 483 489 495 501 507 513 519 525 531
38 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
541 547 557 563 569
587 593 599
617
641 647 653 659
571 577
575 581
601 607 613 619
605 611
631
623 629 635
535
553 559 565
583 589 595
625 637
643 649 655 661 673
677 683 689
533 539 545 551
665 671
667 679 685
691 695
701 709
707 713
719 727 733 739
697 703 715 721
725 731 737
743
745 751 757
749 755
761
763 769
767
773 787
779 785
775 781
537 543 549 555 561 567 573 579 585 591 597 603 609 615 621 627 633 639 645 651 657 663 669 675 681 687 693 699 705 711 717 723 729 735 741 747 753 759 765 771 777 783 789
39 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167
791 803
793 799 805
815
817
833
835 841 847
797 809 821 827
811 823 829
839
857 863
881 887
853 859
877 883
907
845 851
869 875
893 899 905
911
865 871
889 895 901 913
919
917 923
929 937
935
941 947 953 967
925 931
959 965
971 977 983
943 949 955 961 973 979 985
991 997
989 995
795 801 807 813 819 825 831 837 843 849 855 861 867 873 879 885 891 897 903 909 915 921 927 933 939 945 951 957 963 969 975 981 987 993 999
40 Ilość liczb pierwszych π (x), jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N, jest odwrotnie proporcjonalna do liczb nieparzystych, które stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α ½N. Oznacza
to, że ilość liczb pierwszych składa się z połowy różnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3 [∑ p ± ∑ p(p’)]/2, a gdy iloczynów tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy różnicy i sumy ich iloczynów i liczb pierwszych. [∑ p(p’) ± ∑ p]/2 [∑ p(p’) - ∑ p]/2 ± [∑ p(p’) + ∑ p]/2 = π(x) ∑ p(p’)
(∑ p(p’) - ∑ p)/2
(∑ p(p’) + ∑ p)/2
π(x)
9 166 2 105 23 742 254 836 2 668 755 27 571 879 282 485 800 2 878 280 823 29 215 278 521 295 725 421 316 2 987 267 796 495 30 128 391 582 532 303 488 762 910 665 3 054 094 992 299 409
8 1 438 7 075 88 169 1 002 088 10 905 212 115 819 233 1 211 614 156 12 548 611 854 1 29 058 754 649 1 320 601 129 828 13 461 724 915 865 136 822 096 243 998 1 387 428 325 632 742
± 17 ± 167 ± 1667 ± 16667 ± 166667 ± 1666667 ± 166666667 ± 1666666667 ± 16666666667 ± 166666666667 ± 1666666666667 ± 16666666666667 ± 166666666666667 ± 1666666666666667 ± 16666666666666667
25 168 1229 9592 78498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511 4 118 054 813 37 607 912 018 346 065 536 839 3 204 941 750 802 29 844 570 422 669 279 238 341 033 925
Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez 2. Reguła połowy różnicy i sumy, która nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika, więc z właściwości, jakie stwierdza parzystość liczb. Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości, to stosunek ich jest odwrotnie proporcjonalny zarówno do iloczynów liczby 3, których jest zawsze ściśle określona ilość, (16, 166, 1666,..) jak i innych iloczynów, a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela
Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + ∑(2k + 1)/3 + ∑p(p’) = ½N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki, 4 + 1 = ½10, 25 + 16 + 9 = ½100, aż do nieskończoności, jak to widzimy na poniższym wykresie.
41 Fakt ten zapisujemy więc następująco: π(x) Σ(2n+1)/3 Σp(p') N, 455 052 511 1 666 666 666 2 878 280 823 10 000 000 000, co ilustruje funkcyjny wykres punktowy.
Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje, że jest ona asymptotycznie malejąca to znaczy, że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości, im większe liczby rozpatrujemy. Jeżeli w 100 liczbach na 50 nieparzystych, co druga, czyli 25 jest pierwszych, to w 1000 ten stosunek jest, jak 168/500, czyli 0,336. Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje.
Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości ∑(2k + 1) = ½ (N). Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich iloczyny ½ N = ∑(2k + 1) = π(x) + ∑(2k + 1)/3 + ∑ p(p’), czyli stosunek liczb nieparzystych do liczb pierwszych i ich iloczynów jest jak 1 : 1, bo każda liczba albo jest pierwszą, lub da się zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości, wtedy znając ilość iloczynów liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości.
42
π(x) = ½N[1 – {∑(2k + 1)/3 + ∑ p(p’)}½N] 4 = 5[1 – 1/5] 168 = 500[1 – (166 + 166)/500] = 500[1 – 332/500] = 500[1 – 0,664] = 500(0,336). Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości jest iloczynem połowy danej wielkości i współczynnika proporcjonalności liczb pierwszych. π(x) = ½N * k, 1229 = 5000(0,2458). Współczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa się z N - tej części sumy i różnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3, a liczbami pierwszymi. [∑ p(p’) + π(x)]/N ± [∑ p(p’) – π(x)]/N = π(x)/0,5 N [∑ p(p’) + π(x)]/N ± [∑ p(p’) – π(x)]/N 0,4 + 0,4 0,34 + 0,16 0,334 + 0,002 0,3334 – 0,0876 0,33334 – 0,1415 0,333334 – 0,176338 0,3333334 – 0,2004176 0,33333334 – 0,21810424 0,333333334 – 0,231638466 0,3333333334 – 0,2423228312 0,33333333334 – 0,25097223708 0,333333333334 – 0,258117509298 0,3333333333334 – 0,2641202259656 0,33333333333334 – 0,2692344983173 0,333333333333334 – 0,273644192487996 0,3333333333333334 – 0,2774856651265484 0,33333333333333334 – 0,280862219018024868 0,333333333333333334 – 0,2774856651265484 0,3333333333333333334 – 0,286521799878064412 0,33333333333333333334 – 0,28891694128211495654
· k*½ N = π(x) 0,8(5) = 4 0,5(5 E + 1) = 25 0,336(5 E + 2) = 168 0,2458(5 E + 3) = 1 229 0,19184(5 E + 4) = 9 592 0,156996(5 E + 5) = 78 498 0,1329158(5 E + 6) = 664 579 0,1152291(5 E + 7) = 5 761 455 0,101694868(5 E + 8) = 50 847 534 0,0910105022(5 E + 9) = 455 052 511 0,08236109626(5 E +10) = 4 118 054 813 0,075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018 0,0692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839 0,06409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802 0,059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669 0,055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925 0,05247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233 0,04947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860 0,0468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607 0,0444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840
0,333333333333333333334 – 0,291078794361295869478 0,3333333333333333333334 – 0,2930398759954701520754 0,33333333333333333333334 – 0,3718397411654694127118
0,042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928 0,040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290 0,03850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923
Patrząc na powyższą tabelę, widzimy jak współczynnik proporcjonalności asymptotycznie malej z 0,8 po przez 0, 5 do 0, 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie geometrycznym 0, 3(q) zbliżając się do zera, powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb pierwszych.
43
Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie, że nie ważne jak duża staje się połowa danej wielkości 5, 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność, czyli współczynnik proporcjonalności nie jest nigdy zerem, a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x. W tej horyzontalnej asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest równoległa do osi x, przy czym funkcja ta rośnie bez ograniczeń, do + ∞ co jest najlepszym dowodem na to, że liczb pierwszych nigdy nie zabraknie.
Czyż można wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż to jakie widzimy poniżej.
44 W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 – 43, 7 – 47), a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 – 67, 53 – 73), tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103, 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia, że zarówno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 17/23 = 40 liczb, 17/33 = 50 liczb, 17/43 = 60 liczb, 17/53 = 70 liczb, a nawet 34/86 = 120 liczb, 34/96 = 130 liczb i 34/106 = 140 liczb. Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Przy czym zaobserwowano, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy. Liczby pierwsze podlegają, bowiem jednemu prawu rozmieszczenia, prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości. π(x) · Jeżeli iloczyn sumy składników liczb ∑(n + n’) i połowy danej wielkości ½N jest stały ∑(n + n’)*½N = k, to ilość liczb pierwszych π(x) =
Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza, że każda wielkość π(x) jest
wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości. π(x) ~ (5*8 = 40, 4 = 5*8/10) Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza, że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składników liczb pierwszych przez daną wielkość. π(x) (½N*Σ(n+n’)/N, 25 = 50*50/100, 168 = 500*336/1000, 1229 = 5000*2458/10 000
Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 – n(40)- 397 – n(40)- 557, 359 – n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599, a tak to wygląda do 1000.
45
Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągów o stałym odstępie 18 zaczynające się od liczb (5 – 23 – 41,.. 7 – 25 – 43,.. 11 – 29 – 47,.. 13 – 31 – 49,.. 17 – 35 – 53,.. 19 – 37 – 55,)
46 Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68, rozwija się spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883,.. do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś chaosie? (269 – 68 – 337 – 204 – 541 – 136 – 677 – 204 – 881,..)
Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej struktury, której funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności. W końcu poszukiwana od wieków przez matematyków tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynów została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność. TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źródłem matematycznych tajemnic. Od 2000 lat wiemy, że jest ich nieskończenie wiele. Tylko liczby pierwsze, które po odjęciu od nich tych 7 par (3-5, 11-13, 13-15, 17-19, 23-53, 53-83, 29199), dają liczby podzielne przez 7 (59 – 3 = 56/7, 61 – 5 = 56/7, 179 – 11 = 168/7, 181 – 13 = 168/7), tworzą nie tylko tzw. liczby bliźniacze Np.: 5 i 7, 11 i 13, postaci n i n + 2, ale raz nawet liczby ”trojaczki”: 3, 5, 7, postaci n i n + 2 i n + 4, stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7. Gdy po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce /11-13,17-19/, wtedy mówimy o „czworaczkach”. Istnieje również jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3, które nie są „bliźniaczymi” lecz tylko „kolejnymi”. Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych – 1, - 3, - 7, - 9, tworzą 17 par liczb pierwszych o wspólnym odstępie (6) /2-3, 5-7, 11-13, 17-19, 23-25, 29-31, 35-37, 41-43, 47-49, 53-55, 59-61, 65-67, 71-73, 77-79, 83-85, 89-91, 95-97/. Taki układ pokazuje, w której parze liczby pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych, a w której ten odstęp jest
47 blokowany przez iloczyny liczb 5 (25, 35, 55, 65, 85, 95) i 7 (49, 77, 91). Wyraźnie widzimy, że liczby bliźniacze znajdują się w parach 2, 3-4, 6, 8, 11 i 13, czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 – 14.
Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynów liczby 3, aby obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości, wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2, oraz ilość iloczynów liczb większych od 3 według wzoru [(πx – 2) – Rip(p’)] = Σp,p+2) [(25 – 2) – 9] = 14 Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb pierwszych z iloczynami liczb większych od 3, oraz 8 par iloczynów liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15, 21-27,..), albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje również 25. Ten układ wyraźnie pokazuje, że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynów do 7 par liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18), jest odwrotnie proporcjonalny, bo gdy liczba par liczb bliźniaczych w tym układzie maleje o 10, to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynów. Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3 jest stale większa o [(15)*1,*11,*111,*1111] + 2,.. 17, 167, 1667, 16667 par, a par iloczynów liczby 3 przybywa o połowę mniej [(15*1,*11,*111,*1111) + 1]/2 = 8, 83, 833, 8333, to par bliźniaczych jest w nim o 10, 133, 1 463, 15 444, 158 499, 1 607 688,.. par mniej.
48 Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynów liczby 5, pary liczb bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103, 29-31 -40- 71-73, 107-109 -40- 149151 -40- 191-193, 137-139 -40- 179-181, 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283, 227-229 -40- 269-271 40- 311-313, 419-421 -40- 461-463, zawsze o 40 liczb wyżej.
W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych. Do 40 jest ich 4, do 120 – 9, do 200 – 14, do 320 – 19, do 560 – 24, do 680 – 29, a do 1000 – 34 pary liczb bliźniaczych.
49 Do 1120 – 39, do 1520 – 49, do 1760 – 54, do 1960 – 59, do 2320 – 69, do 2680 – 74, do 2840 – 79,… do 10 000 – 204, do 100 000 – 1 223, do 1 000 000 – 8 168, do 10 000 000 – 58 979. 50 847 534 liczb pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849,010 liczb bliźniaczych. 86 029 961 – 86 029 963 to jedna z par tego zakresu. Następną taką parę o zakończeniu -61, -63 znajdziemy wśród liczb 13cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63. To są liczby bliźniacze, ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15, są podzielne przez 7, (1 000 000 000 061 – 13)/7 i (1 000 000 000 063 – 15)/7, (142 857 142 864*7)+13 = 10^12+61, (142 857 142 864*7) + 15 = 10^12+63.
A oto następne 97, 9 999 997, 99 999 997, 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą.
50
MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się „mocną” hipotezą Goldbacha, która mówi, że każda parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Jeżeli współczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi ½, to znaczy, że równanie, ½N/N = π(x)/Σ(p + p’) jest odpowiedzią na problem Goldbacha, który przypuszczał, że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwóch liczb pierwszych. Twierdzenie: Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwójną ich ilość, jest równy ilorazowi ilości liczb parzystych przez daną wielkość, wtedy zachodzi równość dwóch stosunków, czyli że iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyrazów środkowych. π(x)/ Σ 2(p + p’) = Σ(2k)/N = Σ (2k)/ Σ 2(p + p’)
25/50 = 50/100 = ½
51 Suma dwóch liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą /2 k = p + p’/, jak to wynika z właściwości, jakie stwierdza parzystość liczb. Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy przedstawić, jako sumę dwóch liczb parzystych lub pierwszych. /6 = 2 + 4 = 3 + 3, 8 = 2 + 6 = 3 + 5, 12 = 4 + 8 = 5 + 7, 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7/
52 Proporcja ½ w wypadku liczb parzystych oznacza, że wszystkie liczby parzyste w danym bloku składają się z dwóch liczb pierwszych. 5/10 = 4/8, 50/100 = 25/50, 500/1000 = 168/336 Do 10 jest 5 par liczb pierwszych, których sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 = 10, zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej /5 + 7 = 12, 3 + 11 = 14, 5 + 11 = 16, 7 + 11 = 18, 7 + 13 = 20, 5 + 17 = 22, 11 + 13 = 24, 7 + 19 = 26, 11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000,o wspólnym ilorazie q = 10 aż do nieskończoności.
Tak, więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składników pierwszych, a mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie. /8 = 5 + 3, 10 = 7 + 3 = 5 + 5, 22 = 19 + 3 = 17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13/. Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta, pozostaje ona zawsze sumą par składników liczb poprzedzających, wśród których nigdy nie zabraknie liczb pierwszych, które wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500, czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie parzystej.
53
Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą liczbę np.: 105 (2516/2 = 1258 – 105 = 1153/1, 1258 + 105 = 1363/1, 1153 + 1363 = 2516)
54 Słuszność „mocnej” hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność „słabej” hipotezy Goldbacha, ponieważ wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha. (2k + 1) – 3 = 2k = p + p’ → 2k + 1 = p + p’ + p”
Teraz widzimy, że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych, tzn. wszystkie liczby nieparzyste większe od 7, są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), jak to widzimy na powyższym wykresie. Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwóch liczb pierwszych /liczby te dodając się parami, tworzą zbiór liczb naturalnych parzystych/ i sumom trzech liczb pierwszych/liczby te dodając się trójkami, tworzą zbiór liczb naturalnych nieparzystych/ zapełnić oś liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oprócz 1). W ten najprostszy sposób łącząc się w pary i tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbiór liczb naturalnych. /2, 3, (2 + 2), (2 + 3), (3 + 3), (2 + 2 + 3), (3 + 5), (3 + 3 + 3), (5 + 5), (3 + 3 + 5), (5 + 7), (3 + 5 + 5), (7 + 7), (3 + 5 + 7),.. Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno ½ proporcji ich części do innych części i do całości zbioru liczb naturalnych, generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą ludzką, i za Księgą Mądrości 11, 20 możemy zawołać: „Ty jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą, liczbą i wagą”.
55 Pozorny nieład jest uregulowany, za co Bogu niech będą, dzięki, że nie musimy, co najmniej milion lat czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych. Q
E
D
„AD MAJOREM DEI GLORIAM” NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU!
56 TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273
57
58
59
60