Aprendamos Álgebra: División de Polinomios.
División de polinomios. Dado dos polinomios: D(x) = Dividendo de grado m y d(x) =
Divisor de grado n, diferente del polinomio
nulo, siendo m ≥ n Al
dividirse
se
obtienen
otros
dos
polinomios
llamados cociente y residuo: C(x) = cociente de grado m – n y D( x) = C ( x) + R ( x) → D ( x) = d ( x).C ( x) + R ( x) d ( x)
R(x) = Residuo de grado máximo m – 1, tal que se cumple:
2. Métodos para dividir: A. Método Clásico: •
Ordena los polinomios en forma descendente,
dejando espacios en D(x) se no están completos. •
Divide el primer término de D(x) entre el
primer término de d(x). •El término hallado se multiplica por d(x) y este producto se resta de D(x). 1
Aprendamos Álgebra: División de Polinomios. •Baja el siguiente término de D(x) y divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término de d(x), luego continua el mismo proceso. Ejemplo. Dividir:
3x − 2
9 x 3 − 3x 2 + 5 x − 1
3x 2 − 3x +
− 9x 3 − 6x 2
11 3
− 9 x 2 + 5x 9x 2 + 6x
11x −1 −11x −
22 3
−
25 3
B. Método de Horner Se emplea par la división de polinomios de cualquier grado. 2
Aprendamos Álgebra: División de Polinomios. •
Completa
y
ordena
en
forma
decreciente
el
dividendo y el divisor. •
Escribe en forma horizontal los coeficientes del dividendo y e en forma vertical los coeficientes del
divisor
(todos
estos
cambiados
de
signo
excepto el primero) •
Traza una línea separando columnas a partir de la derecha teniendo en cuenta que el número de columnas
estará
en
función
del
grado
del
divisor. •
Al dividir el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor obtienes el primer coeficiente del cociente. Multiplica este
por
cada
coeficiente
del
divisor
(que
cambie de signo) y los resultados colócalos en la
segunda
fila,
corriendo
un
lugar
a
la
derecha. •
Suma
los
valores
de
la
segunda
columna
del
dividendo y divide esta suma entre el primer coeficiente del divisor. Obtendrás el segundo coeficiente
del
cociente.
Multiplica
este
resultado por cada coeficiente del divisor y los resultados
colócalos
en
la
tercera
fila,
corriendo un lugar a la derecha. Repite este
3
Aprendamos Álgebra: División de Polinomios. proceso hasta hallar todos los coeficientes del cociente. •
Para hallar los coeficientes del residuo se suman
todos
los
valores
de
cada
columna
restante. Ejemplo: Dividir (8 x 6 − 6 x 5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 27 x 2 − 16 x + 33) ÷ (2 x 2 + x − 3) 2
8 -6 -13 19
-1
-4
3
-27
-16 33
12 5 -15 -2
6 -1
3 11 -33
4
-5
2
1
-11
-2
0
C ( x ) = 4 x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 + x −11 R ( x) = −2 x
C. Método de Rufini Es un caso particular del método de Horner que se aplica para dividir un polinomio completo entre un divisor de primer grado. •
Completa
y
ordena
en
forma
decreciente
los
polinomios dividendo y divisor.
4
Aprendamos Álgebra: División de Polinomios. •
Coloca
los
coeficientes
del
dividendo
en
la
primera fila y separa la última columna para el resto o residuo. •
Iguala a cero el divisor y despeja el valor de la variable, entonces coloca este valor en el extremo izquierdo.
•
Baja
el
primer
coeficiente
del
dividendo
y
multiplícalo por el valor encontrado al despejar x en el divisor, y coloca este resultado en la segunda fila, corriendo un lugar a la derecha. •
Suma los valores de la segunda columna y baja este resultado.
•
Repite
este
proceso
hasta
hallar
todos
los
coeficientes del cociente. •
Para hallar el residuo suma los valores de la última columna.
Ejemplo: Dividir ( 2 x 4 − 7 x3 + 7 x 2 + 7 x −13) ÷ ( x − 2) 2 -2
2
-7
7
7
-13
4
-6
2
18
-3
1
9
5
5
Aprendamos Álgebra: División de Polinomios.
3. Teorema del resto. Dado un polinomio P(x) y un divisor de la forma(ax + b), a ≠ 0 , para calcular el resto se iguala el divisor a cero ax + b = 0, se despeja la variable y se halla el valor numérico del dividendo para
x =−
a b
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