STAT 3207 | Lección 6
Medidas de Variación Dispersión
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6 Medidas de variación: Productos de este presentación: 1. Calcular cada una de las cinco medidas de variación: Rango Rango intercuartil Varianza Desviación Estándar Coeficiente de variación en conjunto de datos tnto sencillos como ordenados.
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6 Medidas de variación: Introducción: La variación es la cantidad de dispersión, o “separación”, que presentan los datos. Dos conjuntos de datos pueden diferir tanto en la tendencia central como en la variación. Dos conjuntos de datos pueden tener las mismas medidas de tendencia central pero diferir en términos de variación.
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6 Medidas de Variación: Hay cinco medidas de variación: Rango Rango intercuartil Varianza Desviación estándar Coeficiente variación
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6 Medidas de variación: Rango: • El rango es la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña de un conjunto de datos. • El rango mide la dispersión total en el conjunto de datos. Aunque es una medida sencilla de la variación total en los datos, su debilidad característica consiste en que no toma en cuenta cómo se distribuyen los datos entre los valores más grande y más pequeño. 5
6 Medidas de variación: Rango: • Ejemplo 1: • Determinar el rango entre los siguientes datos: 36, 48, 51, 22, 49, 63, 47, 45 • Rango = 63 - 22 = 41
6
6 Medidas de variación: Rango de datos agrupados: • Cuando se tienen datos agrupados en clases (límites) el rango es la diferencia entre frontera superior de la última clase y la frontera inferior de la primera clase.
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6 Medidas de variación: Rango: • Ejemplo 2: • Determinar el rango de los datos agrupados
= rango de datos agrupados
Fronteras
Límites
f
11.5 - 14.5
12 - 14
9
14.5 - 17.5
15 - 17
3
17.5 - 20.5
18 - 20
8
20.5 - 23.5
21 - 23
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frontera superior de la última clase - frontera inferior de la primera clase
8
6 Medidas de variación: Rango: • Ejemplo 2: • Determinar el rango de los datos agrupados Fronteras
Límites
f
11.5 - 14.5
12 - 14
9
14.5 - 17.5
15 - 17
3
17.5 - 20.5
18 - 20
8
20.5 - 23.5
21 - 23
16
23.5 - 11.5 = 12 9
6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • El rango intercuartil (también llamado dispersión media) es la diferencia entre el primer y tercer cuartil en un conjunto de datos. • Esta medida considera la dispersión total de la mitad (parte central) de los datos; por tanto, los valores extremos no influyen en ella. Una aplicación de esta medida es identificar los valores extremos de un conjunto de datos.
Rango Intercuartil = Q3 - Q1
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Ejemplo 1: • Hallar el Rango Intercuartil entre los datos: 29, 32, 24, 27, 31, 39, 44
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Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos: 1) Se ordenan los datos: 24, 27, 29, 31, 32, 39, 44 2) Se determina Q1 y Q3
Q1 = ( n + 1 ) / 4 = (7+1)/4=8/4=2 1. observación ordenada en la posición 2 2. Q1 = 27
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos 2: 3) Se determina Q3 Q3=3(n+1) /4 =3(7+1) /4 =3(8) /4 = 24/4 = 24/4 = 6
1. observación ordenada en la posición 6 2. Q3 = 39 13
6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos 3: 3) Entonces se determina el Rango Intercuartil 1) Rango = Q 3 Q1 Intercuartil
= 39 - 27 = 12
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil de datos agrupados: • El rango intercuartil (también llamado dispersión media) es la diferencia entre el primer y tercer cuartil en un conjunto de datos. • Cuando se tienen datos agrupados en clases (límites) el rango es la diferencia entre frontera superior de la última clase y la frontera inferior de la primera clase.
Rango Intercuartil = Q3 Q1 15
6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Ejemplo 1: • Hallar el Rango Intercuartil entre los datos agrupados: Clases
f
24 - 27
10
28 - 31
5
32 - 35
21
36 - 39
12
40 - 43
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Pasos: 1) Se establecen en la tabla las fronteras y las frecuencias acumuladas. 2) Se determina Q1 y Q3. 3) Se determina el Rango Intercuartil. 16
6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos: 1) Se establecen en la tabla las fronteras y las frecuencias acumuladas.
Q1 Q3
Fronteras
Clases
f
F
23.5 - 27.5
24 - 27
10
10
*27.5 – 31.5
28 - 31
5
15*
31.5 – 35.5
32 - 35
21
36
*35.5 – 39.5
36 - 39
12
48*
39.5 – 43.5
40 - 43
9
57
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: 2) Se determina n (25%) = 57(0.25) = 14.25 (se busca en la tabla en Frecuencia acumulada donde está el número) 3) Sustitución Q1=frontera inferior + [n (25%) - frecuencia acumulada anterior/ frecuencia] c = 27.5+ [(14.25 – 10) /5] 4 = 27.5 + [4.25/5] 4 =27.5 + [0.85]4=27.5 +3.4 = 30.9
Q1 =30.9
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos 2: 3) Se determina Q3 =n (75%)=57(0.75) =42.75 (posición en la tabla) Q3= frontera inferior + [n (75%)- frecuencia acumulada anterior/ frecuencia] c 35.5+ [(57(0.75) -36) /12] (4) = 35.5 + [6.75/12] (4) = 35.5 + [0.5626] (4) = 35.5 + 2.25 = 37.75
Q3 =37.75
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6 Medidas de variación: Rango Intercuartil: • Pasos 3: 3) Entonces se determina el Rango Intercuartil 1) Rango = Q 3 - Q1 Intercuartil
= 37.75 - 30.9 6.85
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6 Medidas de variación: Varianza y Desviación Estándar: • Aunque el rango es una medida de dispersión total y el rango intercuartil es una medida de la dispersión media, ninguna de estas medidas de variación toma en cuenta cómo se distribuye o agrupan las observaciones. • Dos medidas de variación de uso común que sí toman en cuenta la distribución de los valores de datos son la varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar. 21
6 Medidas de variación: Varianza: • Estas medidas evalúan la manera en que fluctúan los valores respecto a la media. • La varianza de la muestra es casi el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada observación en un conjunto de datos y la media.
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6 Medidas de variación: Varianza: La varianza de la muestra es la suma de los cuadrados de las diferencias con relación a la media aritmética dividida entre el tamaño de la muestra menos 1. nn
S
22
ii11
xi
X
n 1
X = media aritmética muestra n = tamaño de la muestra = i-ésima observación de la variable aleatoria x = suma de los cuadrados xi de las diferencias entre n los valo res Xi y la 2
Xi X
i1
media X
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6 Medidas de variación: Desviación Estándar: • La desviación estándar, representada por el símbolo S, es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. • La desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de la suma delXcuadrado de las diferencias con relación a la media aritmética, dividida entre el tamaño de la muestra menos 1.
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Medidas de variación:
6
Desviación Estándar: • La desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de las diferencias con relación a la media aritmética, dividida entre el tamaño de la muestra menos 1. nn 22
S
ii11
x ii X N1 25
Medidas de variación:
6
Desviación Estándar: Pasos para calcular S y S²: 1) Obtenga la media 2) Obtenga la diferencia entre cada observación y la media 3) Eleve cada diferencia al cuadrado 4) Sume todos los cuadrados de las diferencias 5) Divida el total entre n -1 6) Luego obtiene la raíz cuadrada de la varianza y esa es la desviación estándar S 26
6 Medidas de variación: Desviación Estándar: • Ejemplo 1: • Hallar S2 y S para los datos : 35, 41, 45, 46, 51, 63 X
X X
X X
2
32
-12.71
161.5441
35
-9.71
94.2841
41
-3.71
13.7641
45
0.29
0.0841
46
1.29
1.6641
51
6.29
39.5641
63
18.29
313
334.5241
27
645.4287
6 Medidas de variación: Desviación Estándar: • Ejemplo 1:
X S2
S
313 44.71 7 645.428 7
645.4287
107.57
7 1 6 107.57 10.37 28
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6 Medidas de variación: Desviación Estándar: • Al realizar los cálculos del ejemplo anterior, las diferencias entre cada observación y la media se elevaron al cuadrado; por lo tanto, la varianza y la desviación estándar no pueden ser negativas. • Para que S² y S fueran iguales a cero no debería existir ninguna variación en los datos, es decir, todas las observaciones en la muestra deberían ser exactamente iguales. • 29
6 Medidas de variación: Desviación Estándar: • Los datos numéricos, por naturaleza, son variables no constantes. Cualquier fenómeno aleatorio de interés puede adquirir una amplia variedad de valores. • La importancia de estudiar, no sólo las medidas de tendencia central que resumen los datos, sino también las medidas de variación que reflejan la dispersión de los datos numéricos, se debe a esa variación intrínseca de los datos. • 30
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6 Medidas de variación: Varianza y Desviación Estándar de datos agrupados: • Para calcular la varianza y la desviación estándar de datos agrupados (en límites o clases) se usan las siguientes formulas. nn
VARIANZA
S
22
S
22
X) f
ii11
n 1 nn
DESVIACION ESTANDAR
ii
(X
ii11
ii
(X
22
X) f
n 1
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6 Medidas de variación: Pasos para calcular S2 y S de datos agrupados: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 7)
Obtenga la media Obtenga los puntos medios (x) Obtenga la diferencia entre los puntos medios y la media Eleve cada diferencia al cuadrado Multiplique esa diferencia por la frecuencia absoluta Sume la columna anterior y divida entre n-1 (Esa es la varianza) Se obtiene la raíz cuadrada y esa es la desviación estándar 32
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6 Medidas de variación: Varianza y Desviación Estándar de datos agrupados: • Ejemplo 1: • Hallar S2 y S para los datos agrupados: Límites
F
x Punto Medio
15 – 17
12
16
192
-5.83
33.9889
407.8668
(12)(16)
(16 – 21.83)
(-5.83)²
(33.9889)(12)
18 - 20
7
19
133
-2.83
8.0089
56.0623
21 - 23
15
22
330
0.17
0.0289
0.4335
24 - 26
10
25
250
3.17
10.0489
100.489
27 - 29
9
28
252
6.17
38.0689
Xf
X X
53
X X
2
X X
2f
342.6201
907.4717
33
6 Medidas de variación: Varianza y Desviación Estándar de datos agrupados: • Ejemplo 1:
X S2 S
1157 21.83 53 907.4714
907.4717 17.45
53 1 14.45 4.18
52
34
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6 Medidas de variación: Coeficiente de variación: • A diferencia de las medidas que hemos estudiado hasta ahora, el coeficiente de variación es una indicación relativa de la variación. • Siempre se expresa como porc3ntaje, no en términos de las unidades de los datos específicos. • El coeficiente de variación, denotado por el símbolo C.V. mide la dispersión en los datos con respecto a la media aritmética 35
6 Medidas de variación: Coeficiente de variación: • El coeficiente de variación es igual a la Desviación Estándar dividida entre la media aritmética, multiplicada por 100% • Esta medida resulta útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos que se expresan en diferentes unidades de medidas.
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6 Medidas de variación: Coeficiente de variación: • Para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades diferentes (metros, kilos, etc.) o que corresponden a poblaciones extremadamente desiguales, es necesario disponer de esta medida de variabilidad que no depende de las unidades o del tamaño de los datos. • Este coeficiente únicamente sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razón. 37
6 Medidas de variación: Coeficiente de variación: • Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores es el llamado coeficiente de variación
C.V.
S 100% X
(las barras del denominador representan el valor absoluto, es decir, indican que debe prescindirse de la unidad de medida de la media). A menor coeficiente de variación consideraremos que la distribución de la variable medida es más homogénea.
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6 Medidas de variación: Coeficiente de variación • Ejemplo 1:
C.V.
418 100% 19.15% 21.83
(Se emplearon los datos del Ejemplo de Varianza y Desviación Estándar de datos agrupados)
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6 Medidas de variación: Coeficiente de variación • Ejemplo 2:
C.V.
10.37 100% 23.19% 44.71
(Se emplearon los datos del Ejemplo de Varianza y Desviación Estándar de datos agrupados)
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Actividad : Vaya a los Foros de Discusiรณn y siga las instrucciones para desarrollar la actividad de comprobaciรณn de aprendizaje de la Lecciรณn 6
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