Pre - Cรกlculo UN I DA D 2
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Ecuaciones y Desigualdades El propósito de esta unidad es que aprendan a resolver las diferentes clases de ecuaciones que existen y también resolver desigualdades. Entre las ecuaciones que vamos a resolver se encuentran las lineales, cuadráticas, racionales, radicales, valor absoluto, etc. También vamos a ver cómo trabajar las desigualdades lineales. Además vamos a ver cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales.
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Sección 2.1 Comenzaremos a resolver las ecuaciones lineales. Primeramente se conocen como ecuaciones lineales debido a que el exponente que tienen en la variable o variables es uno y también porque cuando se prepara la gráfica de estas ecuaciones vamos a tener una línea recta. Veamos varios ejemplos: 1) 3x – 2 = 10 3x= 10+ 2 3x = 12 3 3 x=4
Se cambia el -2 a la derecha y pasa a ser positivo Se divide entre 3 que es el coeficiente de la x para cancelar numerador con denominador
Cont. Ecuaciones y Desigualdades 2) 1/3 x – 2 = -4 1/3 x = -4 +2 (3) 1/3 x = -2 (3) x = -6
3)
3 – (2x -4) = 3 3- 2x + 4 = 3 -2x = 3 -3 -4 -2x = -4
-2x/-2 = -4/-2 x=2
Se pasa el -2 de izquierda a derecha, el signo cambia. Se mult. por el recíproco de 1/3 que es 3 en ambos lados.
El negativo cambia todo lo del paréntesis a lo opuesto. Se cambian de izquierda a derecha para combinar términos semejantes.
Cont. Ecuaciones y Desigualdades 4)
(x+2)² = x² + 3x + 8 (x+2)(x+2) = x² + 3x +8 x² + 4x + 4 = x² + 3x + 8 x² + 4x –x² - 3x = 8 -4 x=4 5) x – 2 = 2 5 3 3(x-2) = 10 3x – 6 = 10 3x = 10 + 6 3x = 16 3x/3 = 16/ 3 x = 16/3
Se mult. cruzado y luego se resuelve como los demás ejercicios.
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Para repasar mรกs sobre las ecuaciones lineales deberรกs accesar a las direcciones a continuaciรณn de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=NDEwNJ7M0eY&feat ure=related http://www.youtube.com/watch?v=LHSMS7TlKss&featur e=related http://www.youtube.com/watch?v=sgPC0Aa9jog&feature =related
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Sección 2.2 Ahora estaremos resolviendo ecuaciones cuadráticas. Existen varias formas de resolver ecuaciones cuadráticas, pero nosotros vamos a usar los dos métodos más populares que son: por factorización y fórmula cuadrática. El método más sencillo es por factorización, pero no siempre se puede utilizar; por eso es que en esos casos en que no se pueda usar la factorización se usa la fórmula cuadrática. Comenzaremos viendo varios ejemplos usando el método de factorización. VEAMOS …
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Resuelve por Factorización: 1) x²+ 5x = 24 x²+ 5x – 24 = 0 (x+ 8)(x- 3) = 0 x+ 8 = 0 x -3 = 0 x = -8 x=3 { -8, 3}
Se iguala la ecuación a cero. Se factoriza. Se resuelve cada factor. Tiene dos soluciones.
2) 3x² = 4 – 11 x 3x² + 11x – 4 = 0 (3x-1)(x+4) = 0 3x-1= 0 x+ 4 = 0 3x = 1 x = -4 3x/3 = 1/3 x = 1/3 { -4, 1/3}
Cont. Ecuaciones y Desigualdades 3)
x² = 9 x² -9 = 0 (x+3)(x-3) = 0 x+ 3 = 0 x-3 = 0 x= -3 x= 3 {-3,3} 4) 9x²+ 12 = 3+ 12x + 5x² 9x²-5x²-12x +12-3 = 0 4x²-12x +9 =0 (2x-3)(2x-3) =0 2x-3 = 0 2x/2 = 3/2 x = 3/2 {3/2}
Tiene una sóla solución.
Cont. Ecuaciones y Desigualdades
Para ver más ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización , accesar a la dirección a continuación de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=n2ebqjrckj w&feature=related
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Ahora veamos c贸mo se resuelven ecuaciones cuadr谩ticas usando la f贸rmula cuadr谩tica. Favor de ir al siguiente hyperlink: FORMULA CUADRATICA Pre- Calculo.doc
Cont. Ecuaciones y Desigualdades Para entender mejor el uso de la fรณrmula cuadrรกtica deberรกs accesar a la direcciรณn a continuaciรณn de YOUTUBE:
http://www.youtube.com/watch?v=MJEkXE0fi6M
Ecuaciones y Desigualdades Secci贸n 2.3 Ahora vamos a ver c贸mo resolver ecuaciones racionales (fracciones): Favor de ir al hyperlink que se indica a continuaci贸n: Ecuaciones Racionales.doc
Ecuaciones y Desigualdades Para entender mejor y ver otros ejercicios de Ecuaciones Racionales debes acceder a la direcciones a continuaci贸n de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=4wjJPREbiKo http://www.youtube.com/watch?v=atuj8bw2Of0&feature=related
Ecuaciones y Desigualdades Secci贸n 2.4 Ahora vamos a ver las ecuaciones con radicales: Favor accesar el hyperlink a continuaci贸n para entender este tema: Ecuaciones con radicales.doc
Ecuaciones y Desigualdades Para entender mejor el tema de ecuaciones con radicales deber谩s accesar a la direcci贸n a continuaci贸n de YOUTUBE:
http://www.youtube.com/watch?v=7_Fh1FIAzVU
Ecuaciones y Desigualdades
Secci贸n 2.5 Veamos ahora las ecuaciones con valor absoluto. Favor de ir al siguiente hyperlink: Ecuaciones con Valor Absoluto.doc
Ecuaciones y Desigualdades
Desigualdades Lineales
Ecuaciones y Desigualdades Sección 2.6 Vamos ahora a ver las Desigualdades Lineales: Nos referimos a que vamos a estar usando uno de los siguientes signos: >(mayor),<(menor), ≥(mayor o igual o ≤(menor o igual). Cuando trabajamos una desigualdad lineal preparamos la gráfica y la notación de intervalo para cada respuesta. También tenemos que saber en qué ocasiones el signo de desiguldad cambia.
Veamos…
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Es importante saber que existen tres razones para cambiar el signo de la desigualdad de posición, es decir, si el sigo es menor o menor o igual, cambia a mayor o mayor o igual y visceversa cuando: *Se multiplica por un número negativo *Se divide por un número negativo *Se cambia la variable de la derecha de la desigualdad a la izquierda de la desigualdad.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos
números reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes simbolos: Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b} En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un punto abierto () y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto cerrado (). Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo: Si tenemos (a, b]
Si tenemos [a, b), la gráfica sería: Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a,). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intérvalo (-, a).
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplos de Desigualdades Lineales: 1) 3x + 5 < -12 3x < -12 – 5 3x < -17 x < -17/3 La notación de intervalo es ( -∞, -17/3) * Fíjense que se usaron paréntesis ( ) porque es < pero si hubiese sido ≤ se usaba corchete [ ]. Cuando es infinito (∞) no importa si es -∞ (negativo) ó ∞ (positivo) siempre lleva paréntesis.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2)
6x – 5 ≥ -3x + 15 6x + 3x ≥ 15 + 5 9x ≥ 20 x ≥ 20/9 ó 2 2/9 La notación de intervalo es : [20/9, ∞) 3) -4x ≥ 20 - 4x/-4 ≥ 20/-4 x≤ -5 Fíjate que cambió el signo porque se dividió entre un número negativo.
La notación de intervalo es (-∞,-5]
ECUACIONES Y DESIGUALDADES 4) -2/3 x > 8 (-3/2) -2/3 x > 8(-3/2) x < -12 Cambió el signo porque
se mult. por
número negativo.
La notación de intervalo es (-∞.-12) 5) 5 ≤ x x≥5 Se cambió el signo porque se cambia la variable de derecha a izquierda.
La notación de intervalo es [5,∞)
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Veamos cuando tenemos una doble desigualdad: 6 3 ≤4x+2 ≤ 8 3-2 ≤ 4x ≤ 8-2 1 ≤ 4x ≤ 6 ¼ ≤ 4/4x ≤ 6/4 ¼≤ x ≤ 3/2
Se despeja en el centro para la x En ambos lados se resta 2 Se divide entre a en ambos lados Se deja la x sóla y la fracción se simplifica
La notación de intervalo es [1/4,3/2] Se puede resolver también como: 3 ≤ 4x+ 2 y 4x+2 ≤ 8 3-2 ≤ 4x y 4x ≤ 8-2 1 ≤ 4x y 4x ≤ 6 ¼≤x y 4x/4 ≤ 6/4 x≥ ¼ y x ≤ 3/2
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Para otros ejemplos de Desigualdades Lineales ir al siguiente hyperlink: Desigualdades Lineales.doc
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Para entender mejor y ver otros ejemplos de las desigualdades lineales deber谩s accesar a la siguiente direcci贸n de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=5Qx2zDsd5bk&fe ature=related http://www.youtube.com/watch?v=cRdAEWI7afY&f eature=related
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Secci贸n 2.7 Tambi茅n podemos trabajar Desigualdades con Valor Absoluto. Para este tema debes accesar al siguiente hyperlink: Desigualdades con Valor Absoluto.doc
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Para otros ejemplos de Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto accesar a las direcciones a continuaci贸n de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=1EcLaT7bZEw
http://www.youtube.com/watch?v=8CgGbWsvE6U&NR=1
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Sistema de Ecuaciones Lineales
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Sección 2.8 El último tema de esta segunda unidad es resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se resolverán simultáneamente. Por ejemplo: x + 5y = 12 y= 7x- 2 Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción). El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. También se define como un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Los resultados caracter铆sticos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son: *Hay exactamente una soluci贸n *Un n煤mero infinito de soluciones *No existe soluci贸n
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Comenzaremos por el Método de Eliminación por Suma o Resta. Pasos: a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo #1 Resolver el sistema: x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2). Solución: Multiplíquese ambos miembros de (1) por -2(usando el coeficiente de la x de la otra ecuación pero su opuesto), se obtiene: -2x + 6y = -18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3). Reste las dos ecuaciones (3) y (2), desaparecen los términos en "x": 7y = -28 , se obtiene: y = -4. Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x": x - 3y = 9 x - 3(-4) = 9 x + 12 = 9 x = -3; por tanto: x = -3; y = -4.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo #2 Resolver -4x + 5y = 8 x – 7y = 21 Primero: -4x + 5y = 8 -4x + 5y = 8
4(x- 7y =21) 4x – 28y = 84 -23 y = 92 y = -92/23 y = -4
Segundo: x – 7y =21 x – 7(-4) = 21 x + 28 = 21 x = -7 Tercero: x= -7, y= -4
Se suman estas dos ecuaciones
Se despeja para “ y”
Se sustituye el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales
ECUACIONES Y DESIGUALDADES El otro método a usar para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales es Eliminación por Sustitución. Pasos: a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones. b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo #1 Resolver: 3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2). Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1): También puedes despejar para “y” 3x = 22 - y x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3). Sustitúyase (3) en (2): 4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1 4 (22 - y) - 9y = -3 88 - 4y - 9y = -3 -13y = -91 y = 7. Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y". x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3). x = (22 - 7) / 3 x=5 por tanto: x = 5; y = 7.
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo#2 Resolver: x – 10y = 9 2x + 5y = 8 Primero: x – 10y = 9 x = 9 + 10y Segundo: 2x + 5y = 8 2(9+10y) + 5y = 8 18 + 20y + 5y = 8 25y =8 – 18 25 y = -10 y = -10/25 y= -2/5
Tercero: x – 10y = 9 x – 10(-2/5) = 9 x+4 =9 x =5
Cuarto: x = 5, y = -2/5
ó
2x + 5y = 8 2x + 5(-2/5) = 8 2x -2 = 8 2x = 10 x= 5
ECUACIONES Y DESIGUALDADES Para otros ejemplos de c贸mo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales deber谩s accesar a las siguientes direcciones de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=YLSMJa3t8Bs&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=kLFo10a_NY8&feature=related
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Realizar
Prรกctica # 2