Apuntes de Recuperación de Matemáticas 3º de ESO

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Feliciano Alcalde y Luis Miguel Castro.

RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS DE 3º DE ESO. CURSO 2013-2014 Contenido TEMA 1º. LOS NÚMEROS ENTEROS......................................................................................................... 5 1. ¿Qué es el valor absoluto de un número entero?............................................................................5 2. Ordenación del conjunto de los números enteros...........................................................................5 3. Suma y resta de números enteros.................................................................................................... 5 4. Multiplicación y división de dos números enteros...........................................................................6 5. Regla de los signos en el producto o cociente de números enteros.................................................6 6. ¿Cómo se quitan paréntesis?........................................................................................................... 6 7. Orden de prioridad en que se deben realizar las operaciones.........................................................6 8. Pasos importantes para resolver correctamente un problema.........................................................6 TEMA 2. POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS de NÚMEROS ENTEROS.......................................................9 9. ¿Qué es la potenciación?................................................................................................................. 9 10. ¿A qué es igual el producto de potencias de la misma base?.........................................................9 11. ¿A qué es igual el cociente de potencias de la misma base?........................................................10 12. ¿A qué es igual una potencia de una potencia?...........................................................................10 13. ¿A qué es igual la potencia de un producto?................................................................................ 10 14. ¿A qué es igual la potencia de un cociente?................................................................................. 11 15. ¿Qué es la raíz cuadrada exacta y raíz entera de un número?......................................................12 16. ¿Cómo se multiplican o dividen radicales del mismo índice?.......................................................12 17. a. ¿Cómo se eleva un radical a una potencia? b. ¿Cómo hace la raíz de un radical?.....................13 TEMA 3º. POTENCIACIÓN Y RAÍZ CUADRADA DE FRACCIONES..............................................................15 18. ¿Qué es un número primo y qué es un número compuesto?......................................................15 19. Criterios de divisibilidad............................................................................................................... 15 20. ¿Qué es el máximo común divisor de dos o más números y cómo se halla?................................15 21. ¿Para qué sirve el m.c.d.?............................................................................................................ 15 22. ¿Qué es el mínimo común múltiplo de dos o más números y cómo se halla?..............................16 23. ¿Para qué sirve el m.c.m.?........................................................................................................... 16 24. ¿Qué es una fracción y qué es un número racional?....................................................................16 25. ¿Qué son fracciones equivalentes y cómo se obtienen?..............................................................17 26. ¿Cómo se sabe si dos fracciones son equivalentes?.....................................................................17 27. ¿Qué es el representante canónico?............................................................................................ 17 28. ¿Qué es una fracción irreducible y cómo se obtiene?..................................................................18 29. ¿Qué es un número mixto?.......................................................................................................... 18 30. ¿Cómo se pasa de un número mixto a una fracción?...................................................................18 1


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31. ¿Cómo se reducen fracciones a común denominador?................................................................18 32. ¿Qué es el valor absoluto de una fracción?.................................................................................. 19 33. Ordenación del conjunto de las fracciones..................................................................................19 34. Comparación del valor absoluto de dos o más fracciones............................................................19 35. ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?...........................................................20 36. ¿Cómo se suman fracciones con distintos denominadores?........................................................20 37. ¿Qué es el opuesto de una fracción?........................................................................................... 20 38. Propiedades de los opuestos de las fracciones............................................................................20 39. Propiedades de la suma de fracciones......................................................................................... 20 40. ¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?..........................................................21 41. ¿Cómo se multiplican fracciones?................................................................................................ 21 42. ¿Qué son fracciones inversas?..................................................................................................... 21 43. Propiedades del producto de fracciones...................................................................................... 21 44. ¿Qué es dividir dos fracciones?.................................................................................................... 22 45. ¿Cómo se dividen dos fracciones?............................................................................................... 22 46. ¿Qué es la radicación?................................................................................................................. 23 47. ¿Cómo se halla la raíz cuadrada de una fracción?........................................................................23 48. ¿Cuál es la propiedad fundamental de los radicales?...................................................................23 49. Signo de la raíz de una fracción.................................................................................................... 23 TEMA 4º. EXPRESIONES DECIMALES: OPERACIONES.............................................................................25 50. ¿Qué es un número decimal? Múltiplos y submúltiplos...............................................................25 51. ¿Cómo se suman o restan números decimales?..........................................................................25 52. ¿Cómo se multiplican números decimales?.................................................................................25 54. ¿Qué es una expresión decimal de una fracción?........................................................................25 55. ¿Cómo se clasifican las fracciones según su expresión decimal?..................................................25 56. ¿Qué es la fracción generatriz de una expresión decimal?...........................................................25 57. ¿Cómo saber, sin realizar operaciones, si una fracción da origen a una expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta?..................................................................................................... 25 58. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal exacta?.....................................26 59. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura?........................26 60. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta?......................26 TEMA 5º. EXPRESIONES ALGEBRAICAS: OPERACIONES......................................................................31 61. ¿Qué es el álgebra?...................................................................................................................... 31 62. ¿Qué es el lenguaje algebraico?................................................................................................... 31 64. Valor numérico de una expresión algebraica................................................................................ 31 65. Monomio..................................................................................................................................... 31 66. Polinomio..................................................................................................................................... 32 67. Suma y diferencia de monomios.................................................................................................. 33 68. Suma y diferencia de polinomios................................................................................................. 33 2


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69. ¿Cómo se multiplican monomios?............................................................................................... 33 70. ¿Cómo se multiplica un polinomio por un monomio?.................................................................33 71. ¿Cómo se multiplican dos polinomios?........................................................................................ 33 72 ¿Cómo se dividen dos monomios?............................................................................................... 34 73 ¿Cómo se divide un polinomio entre un monomio?.....................................................................34 74. ¿Cómo se dividen polinomios? (Cociente de polinomios)............................................................34 75. ¿Cómo se eleva un monomio a una potencia?.............................................................................35 76. ¿A qué es igual el cuadrado de un binomio?................................................................................ 35 77. ¿A qué es igual el cuadrado de un polinomio?.............................................................................35 78. ¿A qué es igual el cubo de un binomio?....................................................................................... 35 79. ¿A qué es igual la suma de dos monomios por su diferencia?......................................................36 80. ¿Qué es una función?.................................................................................................................. 36 81. ¿Qué es una función polinómica?................................................................................................ 36 TEMA 6º. ECUACIONES.......................................................................................................................... 39 82. Igualdad numérica....................................................................................................................... 39 83. ¿Qué es una ecuación?................................................................................................................ 39 84. ¿Qué es una ecuación de primer grado?...................................................................................... 39 85. ¿Qué es la solución de una ecuación?.......................................................................................... 39 86. Propiedades de las ecuaciones.................................................................................................... 39 87. ¿Qué son ecuaciones equivalentes?............................................................................................ 39 88. Regla práctica de resolución de ecuaciones de primer grado.......................................................40 89. ¿Qué es una ecuación de segundo grado con una incógnita?......................................................40 90. ¿Qué es resolver una ecuación de segundo grado?.....................................................................40 91. ¿Qué son ecuaciones de segundo grado completas e incompletas?............................................40 92. Resolución de la ecuación incompleta ax2=0................................................................................ 40 93. Resolución de la ecuación incompleta ax2 + c = 0.........................................................................41 94. Resolución de la ecuación incompleta ax2 + bx = 0.......................................................................41 95. Resolución de la ecuación completa ax2 + bx + c = 0....................................................................41 TEMA 7º. INICIACIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES........................................................................44 96. ¿Qué es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas?..............................44 97. ¿Qué es resolver un sistema de ecuaciones?................................................................................44 98. ¿Cómo pueden ser los sistemas de ecuaciones, en función del número de soluciones y qué es cada uno de ellos?............................................................................................................................. 44 99. Métodos para la resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y en qué consiste cada uno................................................................................................................ 44 TEMA 8º. MAGNITUDES PROPORCIONALES........................................................................................... 48 100. ¿A qué llamamos razón de dos cantidades homogéneas?.........................................................48 101. ¿Cómo se halla la razón de dos cantidades de una magnitud?...................................................48 102. ¿Qué es una proporción y una constante de proporcionalidad?................................................48 103. Algunas propiedades de las proporciones numéricas................................................................48 3


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104. Regla de tres simple directa....................................................................................................... 49 105. Porcentajes................................................................................................................................ 49 106. ¿Qué son magnitudes directamente proporcionales?................................................................49 107. Repartos directamente proporcionales...................................................................................... 49 108. ¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales?...............................................................50 109. Repartos inversamente proporcionales...................................................................................... 50 110. Regla de tres simple inversa...................................................................................................... 51 111. Regla de tres compuesta............................................................................................................ 51 112. Regla de interés simple.............................................................................................................. 51 TEMA 9º. FUNCIONES............................................................................................................................ 57 113. ¿Qué es una función?................................................................................................................ 57 115. ¿Qué es una función afín?......................................................................................................... 58 116. ¿Qué es una función lineal asociada a una función afín?...........................................................58 117. ¿Qué es una función de proporcionalidad inversa?...................................................................59 118. ¿Qué es una función cuadrática?............................................................................................... 59 Tema 10º. Estadística............................................................................................................................. 59 119. ¿Qué es la estadística?............................................................................................................... 63 119a. Conceptos básicos de la estadística.......................................................................................... 63 119.b. ¿Qué son las tablas de frecuencias?....................................................................................... 63 119. c. ¿Qué son los gráficos estadísticos?......................................................................................... 63

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TEMA 1º. LOS NÚMEROS ENTEROS. 1. ¿Qué es el valor absoluto de un número entero? Es el valor que tiene el número entero prescindiendo del signo que le precede. Propiedades: - Si el número entero es positivo o cero, su valor absoluto es igual al dicho número. - Si el número entero es negativo, su valor absoluto es igual a dicho número cambiado de signo. - Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto. 2. Ordenación del conjunto de los números enteros. - Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ej. 8 > 3. - Cualquier número entero positivo es mayor que cero. Ej: 3 > 0. - El cero es mayor que cualquier número entero negativo. Ej. 0 > -3. - Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej. -9 > -25. 3. Suma y resta de números enteros a. La suma de dos o más números enteros positivos es otro número entero positivo cuyo valor absoluto es igual a la suma de los valores absolutos de los sumandos. Ej. (+7) + (+4) = +11 - La suma de dos o más números enteros negativos es otro número entero negativo cuyo valor absoluto es igual a la suma de los valores absolutos de los sumandos. Ej. (-7) + (-7) = -14 - La suma de dos o más números enteros de distinto signo se calcula así: o Se suman separadamente los positivos y los negativos. o A la suma de mayor valor absoluto se le resta la otra. o A dicho resultado se le pone el signo de la mayor de las sumas. Ej. (+7) + (-4) + (+5) + (-2) = (+12) + (-6) = +6. Ej. 7 – 4 + 5 – 2 = (7 + 5) – (4 + 2) = 12 – 6 = +6 b. la resta: Para restar números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ej. (-7) – (+4) = (-7) + (-4) = -11. Ej. (-3) – (-5) = (-3) + (+5) = +2 Propiedades de la suma: Propiedades de la suma Conmutativa a+b=b+ a Asociativa a+(b+c )=( a+b )+c

Ejemplos

6+ 4=4+ 6 8+(7 +5)=(8+7 )+5 6+0=6 5+(−5 )=0

a+0=a a+(−a)=0

Elemento neutro Elemento opuesto

4. Multiplicación y división de dos números enteros Para calcular el producto (o cociente) de dos números enteros: 1º. Se halla el producto (o cociente) de sus valores absolutos. 2º. Al resultado obtenido se le añade el signo + si los dos enteros tiene el mismo signo, y el signo – si los dos enteros tienen signo distinto. 5. Regla de los signos en el producto o cociente de números enteros. - El producto o cociente de dos números enteros del mismo signo da positivo. - El producto o cociente de dos números enteros de diferente signo da negativo.

+

·

+

=

+

+

:

+

=

+ 5


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· · ·

+

= = =

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+ -

+ -

: : :

+

= = =

+ -

6. ¿Cómo se quitan paréntesis? - Si delante del paréntesis hay un signo +, se quita ese signo, se quita el paréntesis y se dejan los sumandos de dentro del paréntesis con el signo que tenían. - Si delante del paréntesis hay un signo -, se quita ese signo, se quita el paréntesis y se cambia el signo de todos los sumandos de dentro del paréntesis. NOTA: también se puede aplicar la regla de los signos, según el apartado anterior. NOTA: Propiedades de la multiplicación: Propiedades de la multiplicación Conmutativa a⋅b=b⋅a Asociativa a⋅(b⋅c )=(a⋅b)⋅c Elemento neutro Elemento absorbente Distributiva respecto a la suma o la resta

a⋅1=a a⋅0=0 a⋅(b+ c )=a⋅b+ a⋅c

Ejemplos

6⋅4=4⋅6 8⋅(7⋅5 )=(8⋅7 )⋅5 3⋅1=3 7⋅0=0 2⋅( 3+ 5)=2⋅3+2⋅5

NOTA: Sacar factor común. Para sacar factor común, se aplica en sentido contrario la propiedad distributiva respecto a la suma o resta. Por ejemplo:

2⋅(−5 )+ 2⋅4=2⋅(−5+4 )=2⋅(−1)=−2

7. Orden de prioridad en que se deben realizar las operaciones - Si hay paréntesis, éstos se calculan primero. - si no hay paréntesis, se realizan las operaciones en el orden siguiente: 1º. Potencia. 2º. Radicales. 3º. Multiplicaciones. 4º. Divisiones. 5º. Sumas. 6º. Restas. NOTA 1. Dentro de los paréntesis hay que seguir el mismo orden. NOTA 2. Dos signos no pueden ir seguidos. Tienen que separarse por un paréntesis. 8. Pasos importantes para resolver correctamente un problema. 1. Leer detenidamente el enunciado hasta comprenderlo totalmente. Si puedes, dibújalo en papel o mentalmente. 2. Identificar: los datos (lo que conoces), la incógnita (lo que buscas). 3. Escribir el significado de la incógnita. Por ejemplo: precio de la corbata = x. 4. Expresar los demás valores desconocidos en función de dicha incógnita. Por ejemplo: precio de la camisa = 3x (si nos dice el enunciado que la camisa vale el triple que la corbata). Otro ejemplo: precio de la camisa = x + 50 (si nos dice el enunciado que la camisa vale 50 € más que la corbata). 5. Plantear la ecuación y comprobar que dicha ecuación cumple lo expresado en el enunciado. 6. Resolver la ecuación. Comprobar que la solución de la ecuación cumple lo indicado en el enunciado del problema. Ejercicios: 1. Escribe el signo > o < para comparar los siguientes pares de números: a) -2, -7 b) +5, -3c) +8, +21 d) -42, -31 e) 0, -6

f) 57, 0. 6


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2. Completa las siguientes igualdades, indicando todas las soluciones:

|−6|=

|+9|=

|.....|=5

|....|=0

|+42|=

|....|=71

a) b) c) d) e) f) 3. Representa en una recta graduada y ordena de menor a mayor: -3, -5, +7, -4, -1, 0, -8, +2. 4. Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números: Número -4 +5 0 -31 10 -15 Opuesto 5. Realiza las siguientes sumas: a) (-9)+(-3)= b) (+8)+(-7) c) (-23)+(+16)= d) (+87)+(+91)= e) (-32)+(+54)= f) (-15)+(-82)= 6. A medianoche la temperatura era de -9 ºC; después descendió 5 ºC y durante el día aumentó. Si finalmente alcanzó los 7 ºC, ¿Cuánto subió durante el día? 7. Julia sube 14 pisos; acto seguido baja 9; vuelve a ascender 8; desciende 5, y, por fin, sube 7. ¿En qué piso se queda Julia si empezó en la planta baja? 8. Completa el siguiente cuadro de restas de números enteros: −12 −90 +40 −35

−85 +10 −40

−85−(−90)=5

9. Eva tiene 22€. Gasta 5€ en el cine y 4€ en un taxi para volver a casa. Si llega con 12 €, ¿ha dejado propina al taxista? En caso afirmativo, ¿cuánto? 10. Completa el siguiente cuadro de multiplicación de números enteros: x −2 −9 +40 −5

−8 +15

−8⋅(−9 )=72

−4 11. Completa el siguiente cuadro de multiplicación de números enteros: -9 +20 -15 -7 -7·(-9)=63 +5 -3 12. Realiza las siguientes divisiones:

−(49 ):(−7 )= d) (−81):(9 )=

b)

3⋅(−6 )+3⋅(−5)= c) 3⋅(−11)+9⋅(−11)=

b)

a)

24 :(−8 )= e) 0 :(−8 )=

-3

(−4):(−1)= f) (−48 ):(−6)= c)

13. Saca factor común en las siguientes sumas y efectúalas después: a)

−2⋅8+(−2 )⋅(−4 )= d) −2⋅45+(−7 )⋅(45 )=

14. Comprueba, calculando por separado cada una de las operaciones que no es lo mismo:

10+3⋅5 que(10+3 )⋅5 c) 4⋅5+10 que 4⋅(5+10 ) a)

b)

25−8⋅2 que (25−8 )⋅2

15. Efectúa estas operaciones:

30−(15+20−30)+40= c) −5⋅(−4 )+1−6⋅(−3 )= a)

(−3 )⋅(−4+5−3 )−2⋅(−9)= d) −12 :(−4 )⋅3−8= b)

Ejercicios:

15−9−8−[−(9 )]= 3⋅4−6⋅(10−4⋅2 )=

a)

30−2⋅(5+7 )= 15+4⋅(3+5⋅3−6⋅2 )= 7


Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. b) c) d) e) f) g)

4 +12⋅(2−4 )+8⋅4= 20 :(6−8 )−( 4−2)+6⋅5: 3= −10−(−7)−(−4)+3= (−6)−(−5)−[−(−3)]+1= −(−2)−[−(−7)]−(−5)−[−(−3)]= [ 9+21 : (−3 ) ]−[ 12⋅3+13⋅3 ] =

j)

[−18+16: (−2 ) ]+ [−8⋅5+ (−42 ) :6+ 20 ] −54 +36−5⋅[ 2−3⋅5− ( 8−15 ) ]+7= −21+ [(−12 ) : (−6 ) ]−(−7⋅8+36 )=

a)

[−8+(−3 )⋅6−(5−49)⋅4 ]=

h) i)

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=

Ejercicios:

b) c) d) e) f) g) h)

63 :7−56 : 8+5⋅(25−11)= 375−(8−9⋅3 )= −12−43−3⋅(14−18 )= 14−(−1)⋅{−3+(−(−(−3)))+ [−(8⋅4−6) ] +(−3⋅(−3))(−2 ) }−1= 9−7+5+2−6+8−4= 3⋅2−5+4⋅3−8+5⋅2=

[ 15−(8−5 )]⋅[ 5+(6−4 )]−3+(8−6 )= 14−[ 7+4⋅3−(8⋅2−6 ) ] +( 4+6−5⋅3 )+3−(5−8: 2)= [ 6−(−5)⋅3−[ 9−6 :(−2 )] :3 ] :(−1)+ 9=

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TEMA 2. POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS de NÚMEROS ENTEROS NOTA 1. Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. NOTA 2. Estos factores iguales pueden ser números enteros, decimales, fracciones… y se aplican las mismas normas. NOTA 3. Dos signos no pueden ir seguidos; tienen que ser separados por un paréntesis.

9. ¿Qué es la potenciación? Dados dos números llamados base y exponente, la potenciación es la operación que consiste en repetir la base como factor tantas veces como nos diga el exponente. Terminología. 3

La base de la potencia es el factor que se repite. a =a⋅a⋅a , donde a es la base. El exponente de la potencia es el número de veces que se repite el factor. En el ejemplo anterior, el exponente es 3. El signo del resultado será:

-

33 =+ 27

Positivo (+), si la base es positiva. Ej.

NOTA:

2

Positivo (+), si la base es negativa y el exponente es par. Ej.

(−3 ) =+ 9

Negativo (-) si la base es negativa y el exponente impar. Ej.

(−3 ) =−27

3

- La potencia de exponente 1 y base cualquiera da siempre la base: 1

(−10) =−10

también

a1 =a . Ej. 55 =5 y

.

a0 =1 . Ej. 50 =1

- La potencia de exponente 0 y base cualquiera da siempre la unidad: y también

0

(−10) =1

.

Ejercicios: 1. Escribe la potencia que corresponde a cada producto de factores:

3 3 3 3 · · · = a) 4 4 4 4 1 ⋅¿ 7 ¿

1 ⋅¿ 7 ¿

1 ⋅¿ 7 ¿

b=

1 ⋅¿ 7 ¿ =

d) e) 2. Di qué expresión es correcta: 4

a)

2 2 2 2 2 = + + + 5 5 5 5 5

()

(−11 ) · (−11 ) · (−11 ) =

c)

25⋅25=

30⋅30⋅30⋅30=

f)

(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )=

4

2 2 2 2 2 = ⋅⋅ ⋅ 5 5 5 5 5

()

b)

4

c)

2 2⋅4 = 5 5⋅4

()

10. ¿A qué es igual el producto de potencias de la misma base? A otra potencia que tiene la misma base y como exponente la suma de los exponentes de cada factor.

an⋅a m=a

En términos generales: Ejemplos: a) b)

c)

4

5

−7

2

7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 =7 2

(n+m )

( 4 +5−7+2)

6

−5

=7

(11−7 )

4

=7 =2401

3

(2,5) ⋅(2,5 ) ⋅(2,5) =(2,5) =15 , 625

5 5 4 5 ⋅ ⋅ 3 3 3

−2

5 3

(1+4−2)

( )( ) ( ) ( ) =

5 3 53 125 = 3= 3 3 27

()

=

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11. ¿A qué es igual el cociente de potencias de la misma base? A otra potencia que tiene la misma base y como exponente la diferencia de los exponentes (exponente

an : am =

del dividendo menos exponente del divisor). En general: 1º) 2º)

3º)

52 : 5−4 =5

(2− (−4 ) )

n

a =a( n−m ) m a . Ejemplos:

=56 =15625

( 3,4 )6 : ( 3,4 )3 =( 3,4 )(6−3 )= (3,4 )3 =39 , 304 2 2 2 −2 2 ( 2− (−2 )) 2 4 16 − :− =− =− = 3 3 3 3 81

( )( ) ( )

( )

12. ¿A qué es igual una potencia de una potencia? A otra potencia que tenga la misma base y como exponente el producto de los exponentes. En m

términos generales: Ejemplos:

( a n ) =a( n⋅m )

3

1º.

( 32 ) =36 =729 2

( ( 1,2 )2 ) =( 1,2 )4=2, 0736

2º.

3º.

3 2

(3⋅2 )

3 6 36 729 =+ 6 = 5 5 15625

[ ]

(( ) ) ( ) ( ) 3 − 5

=−

3 5

=−

Ejercicios: 1. Escribe en forma de potencia de bases -3, 5, -7 y -5 respectivamente los cuadrados y los cubos de las siguientes potencias: a)

2

(−3 )3

. El cuadrado de esta potencia es:

3

((−3 )3 ) =(−3 )6

y el cubo es:

4

2

5 b) c) (−7 ) 2. Escribe cada uno de los siguientes números como producto de potencias: a)

c) d)

25

3

2 −2 4 5 ⋅( 5 ) ⋅5 2 5 ⋅5 ⋅( 5 2 ) 0

−5

= b)

2−1⋅( 2 ) ⋅2 = 2−7

d)

13. ¿A qué es igual la potencia de un producto? A elevar cada factor a dicha potencia.

2 3

3 2 2

−3

−1

3 ⋅( 3 ) = 33

7 ⋅7 ⋅7

5 −3

c)

(−5 )3

3

3. Simplifica y calcula aplicando las propiedades de las potencias:

a)

d)

56 Como producto de potencias puede ser: 52⋅54 .

(−3 )4 = (−2 )9=

b)

((−3 )3 ) =(−3 )9

n

n

(a⋅b) =a ⋅b

( 7⋅7 5 ) 2

4

=

n

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3

3

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3

1º.

(5⋅3⋅2) =5 ⋅3 ⋅2

2º.

(1,5⋅2,3⋅4,5) 4 =( 1,5 ) ⋅( 2,3 ) ⋅( 4,5 )

3º.

a c e a c e ( ⋅ ⋅ )5 = ⋅ ⋅ b d f b d f

4

4

5

5

4

5

( )( )()

14. ¿A qué es igual la potencia de un cociente?

n

()

A elevar el dividendo (numerador) y el divisor (denominador) a dicha potencia:

2º.

3

4 4 (4 :5 ) =4 :5 = = 3 5 5 2 2 2 (2,4 :1,6 ) =( 2,4 ) : ( 1,6 ) =5, 76: 2,56=2, 25 3

1º.

3

n

a a = n b b

3

3

()

5

5

5

5

3 4 3 4 3 4 ( ⋅ )5 = ⋅ = 5: 5 5 7 5 7 5 7

( )( )

3º. NOTA: Esta propiedad se llama propiedad distributiva de la potenciación respecto al producto o cociente. Actividad: a

b

3 -2 4 -2

2 5 -3 -1

a2 +b2

a+b 2

a2⋅b2

a2 : b2

Ejercicios: 1. Sustituye las letras por los números que hagan que las igualdades sean ciertas. a)

(−6 )9⋅(−3 )9⋅(−2 )a =(−36 ) 9

b)

25⋅(−8 ) ⋅(−2 ) =(−16 )

c) d)

5

a

a

4

(−9 ) :3 =(−3 ) a

a

a

.

Solución:

4

(−30 ) : (−5 ) =( b )

2

2

a)

d) g)

3

7 ⋅7 ⋅7= 5

n)

b)

2

2 2 : = 3 3

()()

e)

5 ⋅7 =

(−3 )2⋅(−7 )2 =

h)

( 53 ) =

2

k)

2

3 ⋅5 = 3 5

[( ) ] 1 2

Solución:

a=5

Solución:

a=4

Solución:

2. Calcula:

l)

=

2

(−4 )3⋅(−4 )2 =

2

( 54⋅5 2⋅53 )⋅5 8=

m)

o)

a=2, b=6 6

2

5 :5 =

23 2 3 ⋅ = 3 3

( )( )

2

i)

( 22⋅3) =

3

j)

((−3 )2) =

( 65⋅6 2 )⋅53 = 3

2

0,01 =

c)

f)

2

a=9

p)

[ (−2 )3 ] = 11


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3. Calcula como en el ejemplo las siguientes potencias:

5−2 = a)

1 1 = 52 25

4−3= b)

6 =

e)

4. Calcula:

3−4⋅3−2 =

a)

b)

−3

−2

(−2 ) ⋅(−2 ) =

d)

−2

[ (−2 )−3 ]

g)

2

c) −2

−2

d)

−5

(−3 ) = 5−2⋅5 0= −4

e)

f)

c)

(−5 )−3 = 3−5⋅35 = 2

−2

5 :5 =

f) −2

=

2 =

[ (−5 )3 ]

h)

−5

4 :4 =

=

i)

−2

5 +3 = 5. Calcula con potencias de base 10: −2

−5

a)

−2

2

10 ⋅10 ⋅10 =

b)

−7

1,25⋅10 ⋅8,5⋅10 =

6. Simplifica usando las propiedades de las potencias, hasta llegar a una potencia única: ç 4

a ⋅a 5

−3

−2

= −1

62

( )

( a5 ) ⋅a

−5

=

a4⋅a−4 = a9 d)

a a) ( a ) b) a ⋅a = c) 7. Expresa todos los factores como potencias de base 2 o 3 (para ello descompón en factores si es necesario) y simplifica hasta obtener una potencia única: 7

5

5

7

16 ⋅32 =

a)

b)

6

8

3 ⋅9 =

c)

27⋅9 = 81⋅243

32⋅64 = 83 d)

15. ¿Qué es la raíz cuadrada exacta y raíz entera de un número? a) - Raíz cuadrada exacta de un número: es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado. - Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. - Un cuadrado perfecto solo puede terminar en una de las cifras siguientes: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

25=5 porque 5 =25 . Ejemplo: b) - Raíz cuadrada entera de un número: es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que 2

2

2

dicho número. Ejemplo: La raíz cuadrada entera de 75 es 8 porque: 8 =64< 75<9 =81 . - El resto de la raíz cuadrada entera de un número es igual a la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera. Ejemplo: El resto de la raíz cuadrada entera de 75 = 75 – 64 = 11. - El resto de la raíz cuadrada entera de un número debe ser siempre menor que el doble de la raíz más 1. Es decir: Resto < (2·raíz + 1).

16. ¿Cómo se multiplican o dividen radicales del mismo índice? El producto (o cociente) de radicales del mismo índice es otro radical con el mismo índice cuyo radicando sea el producto (o cociente) de los radicandos. En términos generales: para el producto n

n

n

√ a⋅√b=√ a⋅b Ejemplos: 1º.

y para el cociente

n

n

n

√ a : √ b= √a :b

√ 25⋅√ 64⋅√81=√ 25⋅64⋅81= √52⋅26⋅34 =5⋅8⋅9=360 12


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3

3⋅64

3

3

26

22

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4

2º.

√ 192: √ 375= 3⋅125 = 3 = 5 = 5 =0,8 5

3º.

√ 2,5⋅√ 1,6⋅√ 4,9=√ 2,5⋅1,6⋅4,9= √19 , 6=4, 427 ;resto=0, 001671

Ejercicios: 1. Calcula el valor de a para que sean ciertas las igualdades:

√ √ a= √36

25⋅ 4= a 4⋅ a) b) Solución: a) 100; b) 9; c) 4; d) 2. 2. Calcula:

c)

2

2 a) 32−[ 1−( 12−3 ) ] ⋅6 :3=

b)

2

(−25 ) + [ 3 (−21 : √ 49 ) ] =

c)

2 23

3

√ a= √64 : √16

d)

√ 8 : ( √ a ) =1

2+3 √18−32 −12 =

d)

2

( 42−√ 10 8 ) : [ 5⋅(−2 ) ] ⋅√ 1−(−24 ) =

Solución; a) 24; b) 10; c) 56; d) 50.

17. a. ¿Cómo se eleva un radical a una potencia? b. ¿Cómo hace la raíz de un radical? a. Se eleva el radicando a dicha potencia y se deja el mismo índice. En términos generales: m

(√n a ) =√n a m

Ejemplos:

3

3

1º.

( √ 25 ) =( √ 52 ) =√ 56 =53 =125 3

3

( √ 24 : √ 27 )

6

(√ ) (√ )

=

6

3⋅8 = 3⋅9

3

6

18 23 3 2 26 64 = 12 = 4 = 32 3 3 81

3

2º. b. La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los índices. En términos generales: Ejemplos:

√√√ 34

mn

√ √a=m⋅n√ a

.

24

2= 2 1º. NOTA: Téngase en cuenta la forma general de expresar de manera general una pontencia con exponente fraccionario como un radical, según la siguiente expresión:

√ 9=3

2 2

3

m

√ a =a n

n m

. Así, por ejemplo,

2 3

2

7 =7 . Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son o también las mismas propiedades que las de las potencias con exponente entero. Ejercicios: 1. Calcula: 1 3

3

3

a)

27 =√ 27=√ 3 3 =3

b)

8 =

f)

49 =

2 3

1 2

1 2

c)

25 =

g)

100 =

3 2

3 2

d)

16 =

h)

625 =

3 4

2 3

e)

125 =

i)

64 =

5 6

Solución: a)3 b)4 c)5 d)64 e)25 f)7 g)1000 h)125 i)32

13


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2. Expresa en forma de pontencia las siguientes raíces: 3

2 3

√ 5 =5 √ 1000=

a)

2

√ 103= 3 √ 185=

b)

e) f) 3. Calcula los siguientes productos de raíces: a) d)

4

√ 33 = 5 √ 103=

c)

√ 2⋅√ 32= √ 27⋅√ 3=

b) e)

Solución: a)8 b)10 c)10 d)9 e)6 f)4

g)

d) h)

5

√ 4 2= 4 2 √8 =

√ 50⋅√ 2= 3

c)

3

√ 18⋅√ 12=

f)

3

3

√ 25⋅√ 40= 3 3 √ 32⋅√ 2=

4. Introduce en la raíz los factores:

3 √ 2=√ 32⋅2=√ 18

a)

b)

5 √3=

e) 2 2= f) 5 6= 5. Saca fuera de la raíz los factores posibles:

a) d)

√ 12=√ 22⋅2=√ 22⋅√ 3=2 √ 3 3 √ 40= e) √ 20=

b) f)

√ 63=

c)

4 √5= g) 10 √ 5=

√ 200= g)

d)

2 √5= h)

c)

3

3 √ 10=

√ 75=

√ 45=

h)

√ 80=

Notación científica usando potencias. La notación científica es una forma de expresar números muy grandes o muy pequeños de forma fácil, usando potencias de diez. El número expresado en notación científica tiene esta forma Ejemplo: el coeficiente de dilatación lineal del hormigón es

−5

2⋅10

y del acero

a⋅10 −5

1,1⋅10

n

.

.

Ejercicio1 . Escribe en notación científica los siguientes números:

−0,0000076= −0,000572=

5 .430.000 . 000=

0,0000000009=

465 . 700= 84.300=

Ejercicio 2. Opera con los números dados en notación científica y expresa el resultado en dicha notación: 5

5

a.

2⋅10 + 3⋅10 =

b.

3⋅105 −2⋅10 5=

c.

2⋅10 +3⋅10 −6⋅10 =

d.

(3,6⋅10 )⋅(4,5⋅10 )=

e.

(1,65⋅10 )⋅(2,5⋅10 )=

f.

(6,1⋅10 )⋅(1,8⋅10 )=

g.

(5,6⋅10 ):(2,8⋅10 )=

h.

(1,65⋅10 ):(2,5⋅10 )=

i.

(1,6⋅10 ):(6,4⋅10 )=

4

5

5

11

7

12

9

10

3

11

4

7

8

4

5

14


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Ejercicio 3. La velocidad de la luz es de 300.000 km/s. Expresa en notación científica los kilómetros que recorre en una hora, en un día y en un año. Ejercicio 4. Calcula y expresa el resultado en notación científica: 7

19

d.

(3⋅10 )⋅(7⋅10 )=

e.

(4⋅10 ) =

f.

(9⋅10 ):(2⋅10 )=

g.

(5⋅10 ):(2,5⋅10 )=

9 2

12 7

−3

−6

15


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TEMA 3º. POTENCIACIÓN Y RAÍZ CUADRADA DE FRACCIONES. REPASO: DIVISIBILIDAD

18. ¿Qué es un número primo y qué es un número compuesto? Un número primo es el que solamente tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Un número compuesto es el que tiene más de dos divisores.

NOTA: Al número 1 no se le considera primo ni compuesto. NOTA: Los múltiplos de un número contienen al número una cantidad exacta de veces. Se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales. Los divisores de un número son aquellos números menores o iguales a él tales que la división de dicho número por ellos es exacta (el resto es cero), es decir, lo dividen de forma exacta.

19. Criterios de divisibilidad. Son reglas que permiten reconocer, sin hacer la división, si un número es o no divisible por otro número dado. Los más utilizados son: - Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. - Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por tres. - Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00. - Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. - Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. - Un número es divisible por 10, 100, 1000… si termina en 0, 00, 000… respectivamente. - Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar da 0 ó es divisible por 11. - Un número es divisible por 25 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras, o si termina en 00. 20. ¿Qué es el máximo común divisor de dos o más números y cómo se halla? El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Para hallarlo: 1º. Se descomponen todos los números ordenadamente en todos sus factores primos. 2º. Se multiplican todos los factores primos comunes elevados al menor exponente y el resultado es el m.c.d. de dichos números. Ejemplo. Hallar el m.c.d. de 2184, 1764, 1386 y 3780. 2184 1092 546 273 91 13 1

2 2 2 3 7 13

1764 882 441 147 49 7 1 3

2184=2 ⋅3⋅7⋅13 2 1386=2⋅3 ⋅7⋅11

2 2 3 3 7 7

1386 693 231 77 11 1

2 3 3 7 11

3780 1890 945 315 105 35 7 1 2

2

2 2 3 3 3 5 7

2

1764=2 ⋅3 ⋅7 2 3 2 3780=2 ⋅3 ⋅5⋅7

Cogemos los factores comunes al menor exponente que tengan:

m. c .d =2⋅3⋅7=42

21. ¿Para qué sirve el m.c.d.? a) Para simplificar fracciones, radicales, polinomios, etc. (importantísimo) 16


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b) para sacar factor común, es decir, para transformar una suma en un producto (lo que a veces permite simplificar).

22. ¿Qué es el mínimo común múltiplo de dos o más números y cómo se halla? El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. Para hallarlo: 1º. Se descomponen los números ordenadamente en todos sus factores primos. 2º. Se multiplican todos los factores (comunes y no comunes) con el mayor exponente con el que figuran en las descomposiciones factoriales. El resultado será el m.c.m. de los números. Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 546, 882, 630 y 1176. 546 2 882 2 630 2 1176 2 243 3 441 3 315 3 588 2 91 7 147 3 105 3 294 2 13 13 149 7 35 5 147 3 1 7 7 7 7 49 7 1 1 7 7 1

546=2⋅3⋅7⋅13

546=2⋅3⋅7⋅13

2

630=2⋅3 ⋅5⋅7 3

Por lo tanto, el

2

2

3

1176=2 ⋅3⋅7

2

m.c .m .(546 ,882 ,630 ,1176)=2 ⋅3 ⋅5⋅7 ⋅13

O sea, factores comunes y no comunes al mayor exponente.

23. ¿Para qué sirve el m.c.m.? a) Para obtener fracciones equivalentes con igual denominador, esto es: para sumar (o restar) fracciones de distinto denominador. b) Para obtener radicales con igual índice, es decir: para multiplicar (o dividir) radicales de distinto índice. c) Para quitar denominadores en las ecuaciones. 24. ¿Qué es una fracción y qué es un número racional? a) Fracción: Es un conjunto ordenado de dos números enteros llamados numerador y denominador. El denominador indica las partes iguales en que hemos dividido la unidad. El numerador indica las partes iguales que cogemos de esa unidad. b) Número racional: Es el número definido por una fracción o por cualquiera de las infinitas fracciones equivalentes a dicha fracción, pues todas ellas definen un mismo y único número racional. A este mismo y único número racional se le puede llamar también representante canónico. Nota 1. Si el denominador es negativo y el numerador es positivo, antes de cualquier cálculo, se

[ ] [ ]

3 3 =− 4 colocará el signo negativo delante de la fracción. Ejemplo: −4

Nota 2: Si el denominador es negativo y el numerador es también negativo, antes de cualquier cálculo

−3 3 =+ 4 se colocará el signo positivo delante de la fracción. Ejemplo: −4

Nota 3. Si el denominador es positivo la fracción tendrá el signo del numerador. Ejemplo:

[ ]

−3 3 =− 4 4

[ ]

+4 4 =+ 7 7 y

Ejercicios: 1. Escribe debajo la fracción que representa la parte coloreada de cada figura: a) b) c) d)

e)

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2. Representa en cada figura la fracción que se indica: a) b) c)

2 3

1 4

4 6

d)

e)

1 2

3 5

3. Escribe como un número decimal las siguientes fracciones:

3 a) 4

7 e) 2

3 b) 10

4 c) 5

45 d) 60

25. ¿Qué son fracciones equivalentes y cómo se obtienen? a) Son las que tienen el mismo valor numérico (resultado de dividir el numerador por el denominador). También, las que tienen el mismo representante canónico.

3 24 3 24 =1,5 =1,5 = Ejemplo: 2 Ejemplo: 16 Por tanto, 2 16

3 3 = Representante canónico: 2 2

b) Para obtener fracciones equivalentes a una dada: Se dividen el numerador y el denominador por un mismo número entero. Este número entero será el m.c.d. del numerador y del denominador (a esto lo llamamos simplificación de la fracción).

28 28:7 4 63 63 :9 7 = = = = Ejemplos: 21 21:7 3 ; 54 54 :9 6

26. ¿Cómo se sabe si dos fracciones son equivalentes? Se halla la fracción irreducible (representante canónico) de cada una de las dos fracciones. Las dos fracciones son equivalentes si y sólo si sus fracciones irreducibles son idénticas.

Nota 1: Otra forma de comprobarlo consiste en comprobar si el producto cruzado de sus términos (numerador de una fracción por denominador de la otra, y denominador de la primera por el numerador de la segunda) es igual. Si lo es, son equivalentes.

Ejercicio: 1. Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones:

3 6 3 12 3 9 a) 4 y 8 . b) 5 y 20 c) 4 y 15

2 3 y d) 4 6

2. Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas:

3 = a) 4

5 = b) 6

6 9 y e) 4 6 15 = c) 12

6 5 y f) 8 4 2 = d) 5

3. Completa el término que falta en cada caso para que estos pares de fracciones sean equivalentes:

10 7 y a) x 14

x 15 y b) 18 45

2 5 y c) 10 x

27. ¿Qué es el representante canónico? Es la fracción irreducible que tiene el denominador positivo. Ejemplos: 18


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[ ]

48 −48 −48 :12 −4 4 = = = =− 36 :12 3 3 1º: −36 36

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[]

252 252:36 7 = = 216 216 :36 6 2º:

28. ¿Qué es una fracción irreducible y cómo se obtiene? a) Es la que no se puede simplificar más. Esto ocurre cuando en el numerador y el denominador son primos entre sí y, por lo tanto, su m.c.d. es 1. b) Se dividen el numerador y el denominador por el m.c.d. de ambos. Nota 1. Antes de realizar cálculos en los que participen fracciones convendrá simplificarlas. Nota 2. Cuando el resultado se exprese mediante una fracción, ésta deberá ser previamente simplificada. 4. Completa la siguiente tabla con fracciones equivalentes: Fracción Por ampliación Por simplificación

Fracción irreducible

14 4 30 45 5 8 35 40 5. (EYPESO2) Calcula las siguientes fracciones irreducibles según el ejemplo: Fracción Descomposición Simplificación de factores comunes

Fracción irreducible

2

45 90 36 54 120 180 60 75 121 330

1 2

3 ⋅5 2⋅32⋅5

6. (EYPESO3) Calcula la fracción irreducible:

a)

720 123 300 555 ;b ) ;c ) ;d ) 3600 75 3600 333

29. ¿Qué es un número mixto? Es el que consta de un número natural (llamado parte entera) y una fracción positiva. Ejemplos:

5

2 3 ;

Ej.

−12

6 7

Ej.

7

32 40

Ej:

7

5 4

30. ¿Cómo se pasa de un número mixto a una fracción? 1º. Se multiplica la parte entera por el denominador y al resultado se le suma el numerador. Lo que da es el numerador de la nueva fracción. 2º. Como denominador se deja el mismo que tenía.

[ ]

2 5⋅3+ 2 17 5 = = 3 3 3 Ejemplo:

[ ]

6 12⋅7+6 90 −12 =− =− 7 7 7 ; ejemplo:

19


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31. ¿Cómo se reducen fracciones a común denominador? 1º. Se halla la fracción irreducible de cada una de las fracciones dadas, según el apartado 28.b

[

][ ()

( )]

6 8 30 6 :3 2 8 :8 1 30:6 5 2 1 5 ; ; = = ; =| |; = ; ; 9 16 24 9 :3 3 16 : 8 2 24 :6 4 3 2 4

2º. Se halla el m.c.m. de los denominadores y éste será el denominador común. En este caso: m.c.m. (3,2,4)=12. 3º. Este m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador, y el resultado será el nuevo numerador.

[ ( ) ( ) ( )]

2 1 5 2⋅4 8 1⋅6 6 5⋅3 15 8 6 15 ; ; ; = ; = ; = ; ; ; 3 2 4 3⋅4 12 2⋅6 12 4⋅3 12 12 12 12 Ejercicio: 1. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

17 13 a) 30 y 15

8 3 2 , , b) 8 4 5

32. ¿Qué es el valor absoluto de una fracción? Es el valor que tiene la fracción prescindiendo del signo que la precede. Propiedades: - Si la fracción es positiva o cero, su valor absoluto coincide con la fracción. - Si la fracción es negativa, su valor absoluto es igual a dicha fracción cambiada de signo. - Dos fracciones opuestas tienen el mismo valor absoluto.

Nota 1. Todo esto es también válido para los números enteros porque los números enteros también son fracciones, pero con denominador igual a 1.

Nota 2. El valor absoluto de un número entero es siempre un número natural.

33. Ordenación del conjunto de las fracciones. - Dadas dos fracciones positivas, es mayor la que tiene mayor valor absoluto. - Cualquier fracción positiva es mayor que cero. - El cero es mayor que cualquier fracción negativa. - Dadas dos fracciones negativas, es mayor la que tiene menor valor absoluto. Nota: Todo esto es también válido para los números enteros. Ejercicio 1. Ordena de menor a mayor los siguientes conjuntos de fracciones, reduciéndolas antes a común denominador:

2 3 7 , , a) 3 5 9

3 5 9 , , b) 2 4 8

7 24 17 , , c) 10 30 15

6 7 1 , , d) 40 30 20

Ejercicio 2. (EyPESO2) Ordena de mayor a menor reduciéndolas, previamente, a común denominador,

3 7 5 4 11 , , , , las siguientes fracciones: 4 6 12 9 18

34. Comparación del valor absoluto de dos o más fracciones. 1º. Se reducen las fracciones a común denominador. 2º. Una vez reducidas las fracciones a común denominador, tendrá mayor valor absoluto aquella cuyo numerador tenga mayor valor absoluto. Ejemplos:

5 2 12 15 5123 124 > ; > ; > 143 1º. 7 7 17 17 143

2º.

[

][

( )]

72 64 72 :9 8 64 : 8 8 8 8 ; = = ; = ; > 81 40 81 :9 9 40: 8 5 5 9

()

OPERACIONES CON FRACCIONES: SUMA y RESTA

Nota 1. Antes de realizar cualquier operación en la que participe cualquier fracción normalmente conviene calcular su fracción irreducible. Nota 2. Cuando el resultado de una operación sea una fracción, conviene expresarlo mediante su fracción irreducible.

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35. ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador? 1º. Se suman los numeradores y el resultado es el numerador. 2º. De denominador se deja el mismo que había.

[ ]

1 5 7 13 2 10−18 8 :2 4 − + − + = =− =− 6 6 6 6 :2 3 Ejemplo: 6 6 6

36. ¿Cómo se suman fracciones con distintos denominadores? 1º. Se reducen las fracciones a común denominador. 2º. Se suman éstas como se indica en el apartado anterior.

[]

7 7 3 5 2⋅7−3⋅7+6⋅3−1⋅5 14−21+18−5 32−26 6 6: 6 1 − + − = = = = = = 12 12 12 12 :6 2 Ej: 6 4 2 12 12 37. ¿Qué es el opuesto de una fracción? Es otra fracción que sumada con ella da cero.

3 3 + =0 4 4 Ej.:

()

4 4 − + =0 7 7 Ej.:

38. Propiedades de los opuestos de las fracciones - La suma de una fracción y su opuesto da cero. - El opuesto del opuesto de una fracción es la misma fracción. - El opuesto de la suma de dos o más fracciones es igual a la suma de los opuestos de dichas fracciones. Nota 1. El opuesto de una fracción positiva es una fracción negativa. El opuesto de una fracción negativa es una fracción positiva. El opuesto del cero es él mismo. Nota 2. Estas propiedades también las cumplen los números enteros, pues éstos son también fracciones, pero con denominador igual a 1. 39. Propiedades de la suma de fracciones - Conmutativa o de orden: se puede cambiar el orden de los sumandos y la suma no varía. - Asociativa o de agrupación: Se pueden reunir varios sumandos en uno sólo y la suma no varía. - Elemento opuesto: Cualquier fracción sumada a su opuesta da cero. - Elemento neutro: Es el cero. Cualquier fracción más cero da la misma fracción. Nota: Estas propiedades las tienen también los números enteros porque éstos son fracciones con denominador igual a 1. Ejercicio 1. Haz las siguientes sumas y restas de fracciones:

1 1 + a) 4 6 7 11 13 + + e) 30 60 20

11 5 5 3 17 3 11 − − + + b) 8 6 c) 6 4 d) 30 5 15 5 13 3 7 1 11 7 6 − + + − + f) 30 20 g) 10 5 6 h) 6 12 8 3 5 11 Ejercicio 2. ¿Cuánto le falta a 4 para valer 3 ? Respuesta: 12 3 1 Ejercicio 3. Un ciclista ha recorrido 10 de un trayecto por la mañana y 4 por la tarde. ¿Qué parte del trayecto le falta por recorrer? Ejercicio 4. Completa la siguiente tabla:

b

a

17 10

a+b−c

c

11 15

a−b+c

5 6 21


Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. 3 2 5 3 13 12

2 3 5 6 3 4

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3 4 5 9 7 8

Ejercicio 5. Realiza las siguientes sumas de fracciones: a)

36 40 27 13 − + − + 24 32 63 28

[

R . :−

3 14

]

[ ] ) [ ]

12 15 56 26 − + + + 36 15 32 120 c)

R.:

1 7

Ejercicio 5. Realiza las siguientes sumas de fracciones:

54 80 54 396 21 + − − + 36 48 135 216 5 a) 30 R . :− 7

(

[

R.:

32 15

[ ] [ ]

54 60 18 52 − − + b) 36 48 42 112 54 30 18 17 − − + d) 72 24 26 16

R.:

R.:

2 7

1 16

735 1078 144 12 − − − + 1029 196 672 7 b)

(

)

]

OPERACIONES CON FRACCIONES: MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN

40. ¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción? 1º. Se halla la fracción irreducible. 2º. Se multiplica el número entero por el numerador de la fracción irreducible y el resultado será el nuevo numerador. 3º. Como denominador del resultado se deja el denominador de la fracción irreducible.

[ ]

360 360 :72 5 7⋅5 35 7⋅ =7⋅ ==7⋅ = = 432 432 :72 6 7⋅6 6 Ej.:

41. ¿Cómo se multiplican fracciones? 1º. Se hallan las fracciones irreducibles. 2º. Se multiplican los numeradores de las fracciones irreducibles y lo que dé será el numerador del resultado. 3º. Se multiplican los denominadores de las fracciones irreducibles y lo que dé será el denominador del resultado.

[ ]

24 84 36 24 :8 84 :12 36 :18 3 7 2 42 42 :6 7 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = 15 Ej.: 40 72 54 40 :8 72 :12 54 :18 5 6 3 90 90 :6 42. ¿Qué son fracciones inversas? Una fracción es inversa de otra si el producto de las dos da 1. Nota 1. El 0 no tiene inverso. Nota 2. No confundir opuesto con inverso.

4 4 4 3 − 3 son opuestas. Sin embargo, 3 y 4 son inversas. Ej. 3 y Ejercicio: Halla la fracción inversa de cada una de éstas: a)

4 7 −2 5 ; inversa: ; inversa : ; inversa : ; inversa: 5 b) 2 c) 13 d) −11 e)

1 ;inversa : 12

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43. Propiedades del producto de fracciones - Conmutativa o de orden: si se cambia el orden de los factores el resultado no varía. - Asociativa o de agrupación: Si se reúnen varios factores en un solo factor, el resultado no varía.

a c e a c a e + = ⋅ + ⋅ b d f b d b f

( )

2 5 4 2 5 2 4 10 8 + = ⋅ + ⋅ = + 3 7 3 3 21 9 Por ejemplo: 3 7 3

( )

- Distributiva: - Elemento neutro o unidad: Si a cualquier fracción la multiplicamos por 1 el resultado es el mismo número. - Elemento inverso: El inverso de una fracción es la que tiene como numerador el denominador de ésta y como denominador el numerador de ésta. El producto de una fracción por su inversa da 1.

44. ¿Qué es dividir dos fracciones? Dadas dos fracciones, una llamada dividendo y la otra llamada divisor, es la operación que tiene por objeto obtener una tercera (llamada cociente) tal que multiplicada por el divisor sea igual al dividendo.

4 6 20 10 4 10 6 : = = : = 9 Veamos equivalencias: 3 9 5 Ej. 3 5 18

4 10 5 = ⋅ y 3 9 6

45. ¿Cómo se dividen dos fracciones? Se multiplica la fracción irreducible del dividendo por la inversa de la fracción irreducible del divisor.

[]

36 108 36 :12 108 :18 3 6 3 5 15 5 : = : = : = ⋅ = = 48 :12 90 :18 4 5 4 6 24 8 Ej. 48 90

Ejercicio 1. Averigua la fracción que falta para que la equivalencia sea cierta:

[?]: 9= 5

4 27 6 1 ⋅[ ? ] = 2 d) 7 a)

[?]: 7 = 3

9 4 5 10 ⋅[ ? ] = 7 e) 3 b)

[?]: 9= 8

4 27 3 3 ⋅[ ? ] = 10 f) 8 c)

Ejercicio 2 (EyPESO2). Realiza las siguientes operaciones, expresando el resultado con fracciones irreducibles:

11 4 1 7 3 − = + + = a) 3 9 b) 20 30 10 5 1 3 3 ⋅ − : = 3 2 4 5 2 1 1 1 − 1− + − +1 = 2 3 5 f) 3

(

)( )

15 8 14 7 ⋅ = : = c) 4 3 d) 9 3

e)

2 3 1 2 1 − − − + : = 3 4 2 3 4 a)

(

)

Ejercicio 3. Realiza las operaciones, expresando el resultado con fracciones irreducibles:

1 1 1 3 + −3 + 6 15 a) 5 3 4 1 2 5 2 ⋅1 − = 3 7 1 3 5 c)

[ ] R.:

77 30

[ ] R.:

11 4

) [ R . :−158 ]

1 2 1 22 ⋅ −3+2 : = 5 10 b) 3 5

(

d)

3 5 3 + ⋅ 4 6 5 1 2 7 − ⋅ 2 7 5

[ ] R.:

25 2

2 4 + 36 18 60 36 15 24 2: +4: 75 240 e)

[ ] R.:

17 75

23


Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. 24 7 2 36 24 30 24 35 + − + 126 72 75 8 44 108 20

(

f)

[

R . :−

37 40

)

[

R.:

4 105

Feliciano Alcalde y Luis Miguel Castro.

2 5 3 3 6 5 + ⋅ − ⋅ −2 :2 4 2 5 10 6 5

(

]

h)

)

]

Ejercicio 4. Realiza las operaciones, expresando el resultado con fracciones irreducibles:

[

2

( )]

5 9 8 − ⋅ ⋅− 3 16 3 5 6

[[

[ ] R.:

15 2

4 9

a) b) Ejercicio 5 (EyPESO2). Calcula las siguientes potencias: 2 3 a)

4 2 = 3

3 4 − = 2

() ( ) ( 23 ) ⋅( 23 ) = 2

3

b)

c)

( )) 1 2

3

( ) ( ) ]]

1 2 5 − ⋅− ⋅− 2 5 3

= d)

[

R . :−

27 25 : = 5 5

()()

1 12

]

e)

Ejercicio 6 (EyPESO3). Realiza las operaciones, expresando el resultado con fracciones irreducibles:

( 36 + 13 )−( 14 − 16 )+( 13 − 12 ) = ( 26 + 26 )⋅2−( 13 − 14 )⋅2 [ R : 12 ]

a)

a)

(

)

( 32 + 13 − 16 )⋅2+ 14 − 12 ⋅3 − 1 = 5 2 3 2 2 3 1 ⋅( + )− + 2 3 6 2 4

[ ] R:

69 10

1 1 Ejercicio 7 (EyPESO2). Ricardo leyó el lunes 6 de un libro; el martes leyó 4 , y el miércoles, se entusiasmó y leyó las 140 páginas que le faltaban. ¿Cuántas páginas tiene ese libro?

Ejercicio 8. (EYPESO3). Un grifo llena un recipiente en 10 horas y otro en 8 horas. ¿Qué fracción del recipiente se llenará si los dos grifos están abiertos durante 2 horas? (Pista. Piensa la fracción del recipiente que cada gripo llena en una hora; los dos juntos en una hora, llenarán la suma de esas fracciones; en dos horas, el doble).

Ejercicio 9. (EyPESO3). Un hombre realiza un trabajo en 4 horas y otro tarda en hacer el mismo trabajo 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán trabajando los dos juntos?

46. ¿Qué es la radicación? Es la operación que tiene por objeto, dados dos números llamados índice y radicando, hallar un tercer número llamado raíz, tal que elevado a la potencia del índice nos dé el radicando. Ej.

√ 16=±4 ;

(±4 2 )=16

.

Ej.:

3

√ 64=4

;

3

4 =64

47. ¿Cómo se halla la raíz cuadrada de una fracción? - Se halla su fracción irreducible. - Si el numerador y el denominador son cuadrados perfectos: Se extrae la raíz cuadrada del numerador y del denominador. 24


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√ √

√ √

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[ ]

80 80 :5 16 √ 16 4 = = = =± 125 125:5 25 √ 25 5

Ej.: - Si el numerador y el denominado no son cuadrados perfectos: 1º. Se halla la expresión decimal de la fracción. 2º. Se extrae la raíz cuadrada del número decimal obtenido. Ej.

180 180:36 5 = = =√ 1,666 . .. 108 108:36 3

48. ¿Cuál es la propiedad fundamental de los radicales? Si se multiplican o dividen el índice y el exponente del radicando por un mismo número natural (distinto de cero) la raíz no varía. 2⋅3 √ 250 x 2 y 3= √( 2⋅5 3⋅x 2⋅y 3)2=[ 6√22⋅56⋅x 4⋅y 6 ] 3

Ej.:

6:2 √ 400 x 4 y 6=√6 ( 2 4⋅5 2⋅x 4⋅y 6 )= √( 2 4⋅52⋅x 4⋅y 6 )6 :2=[ √3 22⋅5⋅x 2 y 3] 6

49. Signo de la raíz de una fracción A) Raíz de índice par. - Si la fracción es positiva el resultado lleva el doble signo (+ y -) - Si la fracción es negativa, la raíz no tiene sentido dentro del conjunto de los números reales, ya que no hay ningún número real que elevado a una potencia par dé negativo. B. Raíz de índice impar La raíz tiene el mismo signo que el radicando.

Ej.

√ [ ] 49 7 =± 25 5

; Ej.:

9 − =? 4

√ [ ] 27 3 − =− 8 2

3

;

Ejercicio 1. Halla el valor de las siguientes raíces (son cuadrados perfectos):

a)

25 = 49

√ 4

b)

16 = 81

√ 3

c)

512 = 729

√ 5

d)

243 − = 1024

Ejercicio 2. Halla el valor de las siguientes raíces (son cuadrados perfectos):

√ √ 6

a)

e)

729 = 64 864 = 150

√ √ 7

b)

128 − = 2187

686 = 2366

f)

√ 4

c)

g)

15000 = 57624

1575 = 3087

√ 3

d)

√ 3

h)

1152 − = 8748

384 − = 4374

Ejercicio 3: Halla el valor de las siguientes raíces (no son cuadrados perfectos):

a)

1344 = 1029

b)

1134 = 1296

c)

224 = 192

d)

Ejercicio 4. Simplifica sacando del radical: 8 4 6 2 4 6 a)

√ 256=

b)

√ 729=

c)

√2 x

y=

224 = 196

4 6 4 2

d)

√3 x

y= 25


Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. Ejercicio 5. Simplifica sacando del radical: 6 3 2 6 a)

√ 11664 x

√ 5

c)

y=

6

R .:3 y⋅√ 4 x

32256 6 7 8 x y z= 7000

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b)

√ 4

R .:+2...

d)

6

√ 1259712 x 3 y 8=

R .:6 y⋅√27 x 3 y 2

12096 6 2 10 x y z = 25725

R .:±2...

Ejercicio 6. Realiza etas sumas y restas de radicales: a)

√ 27+ √ 108−√ 75+√ 243= 3 5

5 6

R.:13 √ 3

2 3

√ 28− √ 63+ √175− √252= b)

2 5

R .:

3 2

√ 230+ √ 245− √ 405+ √720= c)

11 √7 30

R .:

93 √5 10

Ejercicio 7. Realiza etas sumas y restas de radicales:

a)

b)

c)

2 5 3 1 √ 350− √504+ √896− √ 686= 3 6 2 3 33 5 4 √ 960− 3√ 405+ 3√5145 2 6 7

R .:

34 2 2 √ 1701− 4√ 13125+ 4√336−√4 21 2 5 3

R.:8 √ 14

15 3 √ 15 2 R .:

17 4 √21 6

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TEMA 4º. EXPRESIONES DECIMALES: OPERACIONES. 50. ¿Qué es un número decimal? Múltiplos y submúltiplos a) Es el que tiene una parte entera y una decimal. Ejemplo: 27,49. NOTA: El número decimal 27,49 tiene dos partes: - La parte entera: 27 - La parte decimal: 0,49. b) Múltiplos de la unidad: decena, centena, millar, unidad de millar… c) Submúltiplos de la unidad: décima, centésima, milésima, diezmilésima… 51. ¿Cómo se suman o restan números decimales? 1º. Se escriben uno debajo del otro, de manera que estén alineadas las comas decimales y las unidades de los distintos órdenes. 2º. Se suman o restan como si fueran números naturales. 3º. Al resultado se le coloca la coma decimal alineada. 52. ¿Cómo se multiplican números decimales? 1º. Se multiplican como si fueran naturales. 2º. El resultado tiene tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores. 53. ¿Cómo se dividen números decimales? 1º. Se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100… hasta que el divisor sea un número natural. 2º. Se hace la división con los nuevos términos. NOTA: La potenciación y la raíz cuadrada de números decimales se realiza de la misma manera que con los números enteros y fraccionarios, descrito en el tema 2. 54. ¿Qué es una expresión decimal de una fracción? Es el resultado de dividir el numerador entre el denominador de cualquiera de sus fracciones equivalentes. 55. ¿Cómo se clasifican las fracciones según su expresión decimal? Se clasifican en: a) Fracciones decimales: Son aquellas que tienen una expresión decimal con un número limitado

7 7 7⋅2 14 = = 2 2= =0,14 2 2 ⋅5 100 (finito) de cifras decimales. Ejemplo: 50 2⋅5

b) Fracciones no decimales: Son aquellas que tienen una expresión decimal periódica, es decir, con un número ilimitado (infinito) de cifras decimales que se repiten periódicamente. Se llama periodo a la cifra o cifras que se repiten indefinidamente. A su vez se clasifican en: b.1. Fracciones con expresión decimal periódica pura: Son aquellas cuyo periodo comienza

5 5 4 15 = 2 =0, 5 =1, 3 =1, 3 6 inmediatamente a la derecha de al coma. Ejemplos: 3 ; 9 3 ; 11

b.2. Fracciones con expresión decimal periódica mixta. Son aquellas que tienen algunas cifras

23 23 7 = 2 =1,2 7 =0,23 18 30 2⋅3 entre el periodo y la coma. Ejemplo: ;

56. ¿Qué es la fracción generatriz de una expresión decimal? Es la fracción cuyo cociente entre su numerador y su denominador nos da (nos genera) dicha expresión

9 2,25= =2,25 ; 4 decimal. Ejemplo:

4 5 1,3= =1,3 0,8 3= =0,83 3 6 ;

57. ¿Cómo saber, sin realizar operaciones, si una fracción da origen a una expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta? Será suficiente observar la descomposición en factores primos del denominador y de la fracción irreducible, y 27


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Será decimal exacta: si sólo se encuentran el 2, el 5 o ambos (si el denominador es 1 se trata de un número entero) Será periódica pura: si sólo se encuentran factores distintos de 2 y 5, por ejemplo 3, 7, 11, 13, 17, 19… Será periódica mixta: si están el 2 y/o 5, además de al menos un factor distinto de 2 y de 5, por ejemplo 3, 7, 11…

58. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal exacta? - El numerador es igual a la expresión decimal sin la coma. - El denominador es igual a la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. - (Recuerda que debes simplificar) Ejemplos:

2,25=

225 225 :25 9 6 6 :2 3 = = 0,6= = = 100 100 :25 4 ; 10 10 :2 5

59. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura? - El numerador es igual a la expresión decimal sin la coma menos la parte entera. - El denominador es igual al número formado por tanto nueves como cifras tiene le periodo. - (Recuerda que debes simplificar) Ejemplos:

2,3=

23−2 21 21: 3 7 81−0 81:9 9 = = = 0, 8 1= = = 9 9 9:3 3 ; 99 99: 9 11

60. ¿Cómo se halla la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta? - El numerador es igual a la expresión decimal sin la coma menos la parte no periódica. - El denominador es igual al número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras hay entre la coma y el periodo. - - (Recuerda que debes simplificar) Ejemplos:

1,41 {6=

1416−141 1275 1275:75 17 = = = ¿ 900 900 900 :75 12 ;

Ejercicios: Ejercicio 1. Realiza hallando primero la fracción generatriz:

1,3−1,83+1,09−1,83=

a) b) Ejercicio 2. (EyPESO2). Trunca y redondea los siguientes números decimales a las centésimas: Número Truncamiento Redondeo 2,456 2,45 2,46 256,014 7,932 67,006 70,107 Ejercicio 3. (EyPESO3). Halla la fracción generatriz de los números decimales siguientes y clasifícalos en decimales finitos y decimales infinitos periódicos: a) 0,25 b) 1,75 c) 0,333… 28


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d) 2,121212… e) 0,2333… f) 4,123535… Cuestiones de repaso 1. PISA. Ítem liberado. “Cubos”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números naturales. 1º a 4º de ESO. En esta fotografía puedes ver seis dados, etiquetados desde (a) hasta (f). Hay una regla que es válida para todos los dados: En todo dado, la suma de los puntos de cada dos caras opuestas es siete. Pregunta 1. Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número de puntos de la cara inferior del dado correspondiente al de la foto. (a) (b) (c)

(d)

(e)

(f)

2. PISA. Ítem liberado. “Subida al Monte Fuji”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números naturales. 1º a 4º de ESO. La subida al Monte Fuji solo está abierta al público desde el 1º de julio hasta el 27 de agosto de cada año. Alrededor de unas 200.000 personas suben al Monte Fuji durante este período de tiempo.

Pregunta 1. Como media, ¿alrededor de cuántas personas suben al Monte Fuji cada día? A. 340

B. 710

C. 3.400

D. 7.100

E. 7.400

Pregunta 2. La ruta del Gotemba, que lleva a la cima del Monte Fuji, tiene unos 9 kilómetros (km) de longitud. Los senderistas tienen que estar de vuelta de la caminata de 18 km a las 20:00 hrs. Toshi calcula que puede ascender la montaña caminado a 1,5 kilómetros por hora, como media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen en cuenta las paradas para comer y descansar. Según las velocidades estimadas por Toshi, ¿a qué hora puede, como muy tarde, iniciar su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 hrs?

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Pregunta 3. Toshi llevó un podómetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta del Gotemba. Según el podómetro, dio 22.500 pasos en la ascensión. Calcula la longitud media del paso de Toshi en su ascensión de 9 km por la ruta del Gotemba. Expresa tu respuesta en centímetros (cm). 3. PISA. Ítem liberado. “El concierto de Rock”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Estimación de cantidades. 1º a 4º de ESO. En un concierto de rock se reservó para el público un terreno rectangular con unas dimensiones de 100 m por 50 m. Se vendieron todas las entradas y el terreno se llenó de fans, todos de pie. ¿Cuál de las siguientes cifras constituye la mejor estimación del número total de asistentes al concierto? A. 2 000

B. 5 000

C. 20 000

D. 50 000

E. 100 000

4. PISA. Ítem liberado. “Tiempo de reacción”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números decimales. 3º a 4º de ESO. En una carrera de velocidad, el “tiempo de reacción” es el tiempo que transcurre entre el disparo de salida y el instante en que el atleta abandona el taco de salida. El “tiempo final” incluye tanto el tiempo de reacción como el tiempo de carrera. En la tabla siguiente figura el tiempo de reacción y el tiempo final de 8 corredores en una carrera de velocidad de 100 metros. Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo final (s) 1 0,147 10,09 2 9,99 3 0,197 9,87 4 0,180 No acabó la carrera 5 0,210 10,17 6 0,216 10,04 7 0,174 10,08 8 0,193 10,13 Pregunta 1. Identifica a los corredores que ganaron las medallas de oro, plata y bronce en esta carrera. Completa la tabla siguiente con su número de calle, su tiempo de reacción y su tiempo final. Medalla Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo final (s) ORO PLATA BRONCE Pregunta 2. Hasta la fecha, nadie ha sido capaz de reaccionar al disparo de salida en menos de 0,110 segundos. Si el tiempo de reacción registrado para un corredor es inferior a 0,110 segundos, se considera que se ha producido una salida falsa porque el corredor tiene que haber salido antes de oír la señal. Si el tiempo de reacción del corredor que ha ganado la medalla de bronce hubiera sido menor, ¿podría haber ganado la medalla de plata? Justifica tu respuesta. 5. PISA. Ítem liberado. “Zapatos para niños”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números decimales. 1º a 4º de ESO. Ls siguiente tabla muestra las tallas de zapato recomendadas en Zedlandia para las diferentes longitudes de pie.

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Tabla de conversión para tallas de zapatos de niños en Zedlandia

Pregunta 1. El pie de Marina mide 163 mm de longitud. Utiliza la tabla para determinar cuál es la talla de zapatos de Zedlandia que Marina debería probarse. 6. PISA. Ítem liberado. “Chatear”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Medida del tiempo. 1º a 4º de ESO. Mark (de Sydney, Australia) y Hans (de Berlín, Alemania) se comunican a menudo a través de Internet mediante el chat. Tienen que conectarse a Internet a la vez para poder "chatear". Para encontrar una hora apropiada para chatear, Mark buscó un mapa horario mundial y halló lo siguiente:

Pregunta 1. Cuando son las 7:00 de la tarde en Sydney, ¿qué hora es en Berlín? Pregunta 2. Mark y Hans no pueden chatear entre las 9:00 de la mañana y las 4:30 de la tarde, de sus respectivas horas locales, porque tienen que ir al colegio. Tampoco pueden desde las 11:00 de la noche hasta las 7:00 de la mañana, de sus respectivas horas locales, porque estarán durmiendo. ¿A qué horas podrían chatear Mark y Hans? Escribe las respectivas horas locales en la tabla: Lugar Hora Sydney Berlín 7. PISA. Ítem liberado. “Tipo de cambio”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números decimales. 1º a 4º de ESO. 31


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Mei-Ling, ciudadana de Singapur, estaba realizando los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante 3 meses. Necesitaba cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR). Pregunta 1. Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricanos era de: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Ling cambió 3.000 dólares de Singapur en rands sudafricanos con este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos? Respuesta: ______________ Pregunta 2. Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaban 3.900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, dándose cuenta de que el tipo de cambio había cambiado a: 1SGD = 4,0 ZAR. ¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur? Respuesta: _________ Pregunta 3. Al cabo de estos 3 meses el tipo de cambio había cambiado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1 SGD. ¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta. 8. PISA. Ítem liberado. “Estanterías”. Matemáticas. Aritmética y Álgebra. Números enteros. 1º a 4º de ESO. Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera 6 tablas cortas de madera 12 ganchos pequeños 2 ganchos grandes 14 tornillos Pregunta 1. El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero? Respuesta: ____ estanterías.

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TEMA 5º. EXPRESIONES ALGEBRAICAS: OPERACIONES. 61. ¿Qué es el álgebra? Es la parte de las Matemáticas que trata de la cantidad en general, valiéndose para representarla de letras u otros símbolos. 62. ¿Qué es el lenguaje algebraico? Aquel que usa letras, números y signos de las operaciones para expresar información. 63. ¿Qué es una expresión algebraica? Es toda combinación de números y letras ligados por las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos:

2

5 x y+3 z

7 √ x+ y

;

;

x 3 −3 y x+2 y

64. Valor numérico de una expresión algebraica. Es el que se obtiene al dar valores a las letras de la expresión algebraica y efectuar las operaciones indicadas. 65. Monomio

3

3

7 √6 x 5 y2 √ z

Es una expresión algebraica en la que no hay sumas o restas. Ejemplos: −5 2 yz ; Monomio entero: Es la expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras son la multiplicación y la potenciación de exponente natural, es decir, es un monomio sin letras en el

2 − √ x3 y 3

4 2

denominador o bajo raíces. Ejemplos: ; 7x y z ; Terminología: a) Todo monomio está formado por: - Una parte numérica, llamada coeficiente (el coeficiente 1 no se escribe). En los ejemplos anteriores la

7 √6 5

2 −√ 3

parte numérica es: −5 2 ; ; ; 7 ; - Una parte literal, formada por las letras y sus exponentes y raíces. En los ejemplos anteriores la parte

x3

3

x 3

2

1 2 2

3

4 2

literal es: yz ; y z o también y z ; x y ; x y z . b) El grado de un monomio entero es la suma de todos los exponentes de las letras o variables: 4 2

Ejemplo: 7 x y z →Grado=4+2+1=7 c) El grado de un monomio respecto de una variable es el exponente de esa variable. En el último ejemplo el monomio: - Es de grado 4 respecto de x. - Es de grado 2 respecto de y. - Es de grado 0 respecto de t. - Es de grado 1 respecto de z. d) Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas letras con los mismos 3

5 √2 x − 2 3 y √z

3

4x 7 y2 √ z

exponentes en cada una de ellas). Ejemplo: es semejante a e) Los monomios semejantes que tienen el mismo coeficiente son iguales. Ejemplo: 3

2x − 3 y √z

3

son iguales

2x − 3 y √z 33


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f) Cuando los monomios semejantes tienen coeficientes opuestos se dice que son opuestos: Ejemplo: 3

2x − 3 y √z

3

es opuesto a

2x 3 y√z

4 2

7x y z

;

4 2

−7 x y z

es opuesto a

66. Polinomio Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios. Ejemplo: 3

2

2 x 7 xy + +4 x 3 y √z z

Será entero si todos los términos que lo forman son enteros. Polinomio entero Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios enteros.

5 3 x −3 xz 4 −7 t+4 3 Ejemplo:

Terminología: a) Se llama término de un polinomio entero a cualquiera de sus monomios. b) Si el polinomio entero tiene 2, 3, 4… términos se llama binomio, trinomio, cuatrinomio… respectivamente. c) El grado de un polinomio entero es el grado del término de mayor grado. En el ejemplo anterior el polinomio es de grado 1+4=5. d) El grado de un polinomio entero respecto de una variable es el mayor exponente con que figura dicha variable. En el ejemplo anterior, el polinomio es: o De grado 3 respecto a x o De grado 0 respecto a y o De grado 4 respecto a z o De grado 1 respecto a t e) El término de grado 0, si existe, es un número y se llama término independiente. En el ejemplo anterior es el 4. f) Teniendo en cuenta el grado, un polinomio puede ser: o Homogéneo, cuando todos sus términos son del mismo grado. Ejemplo:

x 3 +3 x 2 y− y 3 +4 xyz

o

Completo, cuando existen términos de todos los grados desde el mayor hasta cero.

o

Ejemplo: 2 x −4 x +5 x+7 Ordenado respecto de una variable, cuando los grados respecto a dicha variable van

3

2

3

de x). Ejemplo. Ejemplo:

2

2

3 x −4 x y−5 x+7 y (decreciente respecto 7 y 2 −5x+4 x 2 y+3x 3 (creciente respecto de x)

decreciendo o creciendo. Ejemplo:

Ejercicio 1. Di qué clase de expresión algebraica es, cuál es su grado y cuál es su valor numérico: 2 3 4

a)

108 x y z ⋅ , para 72 y 3 z 2

b)

180 x y z ⋅ , para 108 y 3 z 2

3 4 7

2

2 6 8

8 3 x=− ; z=− 9 4 .

[ ] R.:

2 3

[ ] [ ]

6 4 3 x= ; y =− ; z=− . 5 9 2 . 3 8 4 x=− ; y=− ; z= . 4 9 3 .

R.:

27 4

R.:

4096 729

3 x 4 x y z , para c) Ejercicio 2. Di qué clase de expresión algebraica es, cuál es su grado y cuál es su valor numérico: a)

2 4 3 5 x −4 x3 − x− , para 3 2 6

x=2 .

[

R . :−

151 16

] 34


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b)

2 4 3 5 x −4 x3 − x− , para 3 2 6

[

x=−2 .

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R.:

269 6

]

OPERACIONES CON POLINOMIOS Nota 1: Solamente vamos a ver lo que corresponde a 2º de ESO, a saber, operaciones con monomios enteros y polinomios enteros de una variable. En adelante, para abreviar, a los monomios enteros ya los polinomios enteros de una variable los llamaremos simplemente monomios y polinomios. Nota 2: Antes de cualquier operación con polinomios: - Se debe ordenar el polinomio en sentido descendente. - Todo coeficiente fraccionario debe ser sustituido por su fracción irreducible. - Los números decimales deben ser sustituidos por su fracción generatriz, que, si es posible, será simplificada.

67. Suma y diferencia de monomios. La suma de dos monomios no semejantes es el binomio formado por la suma indicada de dichos

[

3

]

3

monomios. Por ejemplo, la suma de 2x y 4 x es: 2 x +4 x . La suma de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de los 3

3

3

3

3

coeficientes. Ejemplo: −2 x +7 x +9 x =(−2+7+9 )⋅x =14 x NOTA: La resta o diferencia d dos monomios es la suma del primero (minuendo) y el opuesto del segundo (sustraendo)

68. Suma y diferencia de polinomios. Para sumar polinomios se escriben de manera que queden en columna los monomios semejantes y a continuación se suman los monomios. Ejemplo.

A =−3 x 4 + 5 x 3 −2 x 2 + 3 B =5 x 4 + x 3 + 3 x c =−2 x 3 + 3 x 2 −5 x −4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [¿ ] [¿ ]¿ ¿ ¿

A =−3 x 4 +5 x 3 −2 x 2 +3 B =5 x 4 + x 3 +3 x c =−2 x 3 +3 x 2 −5 x −4 ________________________ 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 −2 x −1 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] [ ¿ ] [ ¿ ] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

; NOTA: La resta o diferencia de dos polinomios es la suma del primero y el opuesto del segundo.

69. ¿Cómo se multiplican monomios? 1º. Se multiplican los coeficientes, teniendo en cuenta su signos. 2º. Se multiplican las partes literales, sumando los exponentes para cada una de las variables.

[

2 6 2⋅2⋅3 (2+1 ) (3+2 ) 4 − x 2 y 3⋅ xy 2 =− x y = − x3 y5 3 5 3⋅5 5 Ejemplo:

]

70. ¿Cómo se multiplica un polinomio por un monomio? Se multiplica el monomio por cada término (monomio) del polinomio y se suman los resultados. Ejemplo:

5 x 6−2 x 3 −x+1 3 − x4 2 _____________________ 15 3 3 − x 10 +3 x7 + x 5 − x 4 2 2 3 71. ¿Cómo se multiplican dos polinomios? 1º. Se multiplica cada término del multiplicador por cada término del multiplicando. 35


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2º. Se colocanlos términos semejantes unos debajo de otros y se suman. Ejemplo:

x 4−x 3−x 4 x+2 _________________ 2x 4−2x 3−4 4 x 5−4 x 4 −8 x __________________ 5 4 3 4 x −2x −2 x −8 x−4

( x 4−x 3−x )⋅( 4 x+2 ) 

72 ¿Cómo se dividen dos monomios? 1º. Se dividen los coeficientes teniendo en cuenta los signos.

[

3 −3 x 5 y 6 z 3 :5 x 3 y 5 z 3 = − x 2 y 5 2º. Se restan los exponentes de las letras. Ejemplo:

]

73 ¿Cómo se divide un polinomio entre un monomio? 1º. Conviene ordenar el polinomio. 2º. Se divide cada monomio del dividendo entre el monomio del divisor teniendo en cuenta los signos. 3º. El cociente obtenido se multiplica por el divisor y este producto se resta del dividendo. Ejemplo: 4

2

−12 x +6 x −5 x +4 −12 x 4

2x

−6 x 3 + 3 x −

2

5 2

0+6 x 2 −6 x 0 −5 x −5 x 0+ 4 74. ¿Cómo se dividen polinomios? (Cociente de polinomios) 1º. Se ordenan dividendo y divisor en orden descendente respecto a la misma variable. 2º. SE divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor teniendo en cuenta los signos. 3º. El cociente obtenido se multiplica por cada término del divisor y este producto se resta del dividento. Ejemplo:

4

3

2

(9 x −6 x +6 x−1 ):(−3 x +1 ) 4

3

9 x −6 x +6 x−1 4 2 −9 x +3 x 0−6 x3 +3 x2 3 +6 x − 2 x +3 x 2 +4 x 2 −3 x +1 0+ 4 x+ 0

2

−3 x +1 2

−3 x +2 x +−1 2

Cociente=−3 x +2 x+−1

Re sto=4 x

Nota: En toda división conviene hacer siempre la prueba. El cociente de dos polinomios D (dividendo) y d (divisor) es un polinomio c (cociente), tal que D = d·c-r, siendo r el resto (grado r<grado d). 36


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75. ¿Cómo se eleva un monomio a una potencia? Se eleva cada factor a dicha potencia. Es lo mismo que elevar un producto a una potencia (Ver nº. 13). 3

( 2 x3 y 5 z) =21⋅3 x 3⋅3 y 5⋅3 z 1⋅3=23 x 9 y 15 z 3

Ejemplo:

76. ¿A qué es igual el cuadrado de un binomio? Por ejemplo:

( a+b )2 =a2 + 2ab +b2 ( a−b )2 =a 2−2 ab+b2

Es el cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo.

77. ¿A qué es igual el cuadrado de un polinomio? Por ejemplo:

( a+b +c +d )2 =a2 + b2 + c 2 +d 2 +2 ab +2 ac+2 ad +2 bc+ 2bd +2 cd

El cuadrado de un polinomio es igual a: - La suma de los cuadrados de cada término más el doble de los productos que resulten de mulciplicar cada término del polinomio por cada uno de los que le siguen. doble producto e el que resulte del signo del par de términos considerado. NOTA: El signo de cada

( a−b+c −d )2=a2 +b2 +c2 +d 2 −2 ab+2 ac−2 ad−2 bc +2 bd−2 cd

Ejemplo:

Ejercicio: Desarrolla las siguientes expresiones notables:

( 3 x+2 )2 =

( x+3 )2 =

( 2 x +5 )2 =

( x+10 )2=

( x+ y )2=

( x− y )2 =

( x−2 )2 =

( 3 x−1 )2=

( 2 x −2 )2=

( x−4 ) ( x+4 )=

( x 2−1 )( x 2 +1 )=

( 2−x 2 )( 2+x 2 )=

( 2 a−b )2 =

( 2−2 b )2 =

( x 3 +1 )( x 3−1 )=

2

( √ x−2 ) = 78. ¿A qué es igual el cubo de un binomio? R ejemplo:

( a+b )3 =a3 +3 a2 b+3 ab 2 +b 3 ( a−b )3 =a 3 −3 a2 b+3 ab2 −b3

Es el cubo del primer término más (o menos) tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más (o menos) el cubo del segundo.

79. ¿A qué es igual la suma de dos monomios por su diferencia?

( a+b ) ( a−b )=a2−b2

La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplo. 37


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( 3 x 2 y+5 x 3 y 2 )⋅( 3 x 4 y−5 x3 y 2 ) =9 x8 y 2−25 x 6 y 4 80. ¿Qué es una función? Es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asigna a cada número del conjunto original o inicial un solo número del cojunto imagen o final. Ejemplo:

3

f (x )=x −2 x+1

o también

3

y=x −2x+1 81. ¿Qué es una función polinómica? Es toda función que viene dada por una fórmula cuya expresión algebraica es un polinomio entero con una sola variable. - Será de primer grado si el polinomio es de primer grado. Estas se llaman lineales o afines y su gráfica es una recta. f (x )=ax +b o también y=ax+b . - Será de segundo grado si el polinomio es de segundo grado. Estas se llaman cuadráticas y su gráfica es una parábola. Ejemplo:

2

f (x )=ax +bx +c

o también

1. EYP2ESO. Álgebra. Expresa en lenguaje algebraico: Expresión verbal La mitad de un número menos su quinta parte

2

y=ax +bx+c

.

Expresión algebraica

La suma de dos números consecutivos Un número par La suma de dos números pares consecutivos Un número impar El doble de un número más cinco El triple de un número menos su mitad El cuadrado de la suma de dos números La suma de los cuadrados de dos números Un número al cuadrado más su doble Un número impar La suma de tres números consecutivos 2. EYP2ESO. Álgebra. Expresa la fórmula del área de los siguientes polígonos en función de x, siendo x el elemento que se indica en cada caso: Polígono X Área Triángulo de 7 cm de base Altura Cuadrado

Lado

Pentágono de 6 cm de lado

Apotema

Trapecio de base mayor 10 cm y 3 de altura

Base menor

3. EYP2ESO. Álgebra. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores dados: 38


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2

3 x −5 x +7, para x=2 : 2(a+b )−a⋅b , para a=2 yb=−2 : 2

3

x+x +2 x , para x=−1: 4 x 2 y− xy 2 , para x=4 ey =−3 : 3 4. EYP2ESO. Álgebra. Calcula el valor numérico del polinomio siguientes:

3

2

P( x )=3 x −2 x +1

en los casos

2 x= → 3 1 x=− → 2

x=−2→

x=√ 2→

5. EYP2ESO. Álgebra. En cada sucesión, escribe los dos términos siguientes y obtén la fórmula correspondiente al término de orden n: a) 2, 4, 8, 16,… R.: 32, 64. Término general: 2n b) 3, 6, 9, 12…

R.: 15, 18. Término general: 3n

c) 4, 6, 8, 10…

R.: 12, 14. Término general: 2n+2

d) 2, 5, 8, 11…

R.: 14, 17. Término general: 3n-1

6. EYP2ESO. Álgebra. Reduce las siguientes expresiones:

2 x +5 x−9 x=

4 b−7 b−10b=

6 a−8−9 a−5=

(3x−1)+(2 x−5)=

5⋅(2 x−3 )=

(−2)(−3 x+4)=

3( x−7)=

(−4)(−2a−5)=

2,5 x−4,5−7 x+12+6 c3 x+9,4= −3,5−5 x+7,3 x−10 ,25+4,8x= 7. EYP3ESO. Álgebra. Dados los siguientes polinomios, realiza las operaciones que se indican: 3

2

2

3

2

P( x )=3 x −2 x + 1,Q( x )=2 x −2 x +1, yR( x )=2 x −6 x +6 x−1 a) P(x)+Q(x)=

b) P(x)-Q(x)+R(x)=

c) 2·P(x)-3·R(x)=

d) P(x)·Q(x)-R(x)=

e) Q(x)·[2·P(x)-R(x)]= 8. EYP3ESO. Álgebra. Factoriza los siguientes polinomios:

x 4 −x 3 −x2 +x x 4 + x3 −7 x 2 −x+6 81 x 4 −16 x 2−10 x +25 25−9 x 2 3 x3 −6 x 2 +3 x

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TEMA 6º. ECUACIONES. 82. Igualdad numérica. - Una igualdad numérica consta de dos expresiones numéricas (sin letras) unidas pro el signo igual. - Una igualdad numérica puede ser cierta o falsa. - Si la igualdad es cierta se llama identidad numérica. Ej. 7-2=10-5 es una igualdad numérica cierta o identidad numérica. En cambio, 6-1=10+7 es igualdad numérica falsa. - Una identidad numérica tiene dos miembros: el primero es la expresión que está a la izquierda del signo igual, y el segundo, el que está a la derecha. - La definición de miembros será válida también en ecuaciones. 83. ¿Qué es una ecuación? - Es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados con las operaciones aritméticas. - También se la llama igualdad algebraica. - Se clasifican atendiendo al número de letras o incógnitas y al término de mayor grado. a) 12 – x = 7 – 6x es de primer grado con una incógnita. b) 2x – 3y = 9 – 2x es de primer grado con dos incógnitas. c) xy + 3x = 2 es de segundo grado con dos incógnitas d) 3x2 + 3x – 2 = 0 es de segundo grado con una incógnita. e) 4x3 – 2x2 = 5x es de tercer grado cono una incógnita. 84. ¿Qué es una ecuación de primer grado? Es una igualdad que tiene una sola incógnita y está elevada a la potencia 1, en ella, o en alguna equivalente a ella. NOTA: Después de realizar las operaciones que en adelante se verán, las ecuaciones de primer grado se reducen a: ax=b, es decir, x=b/a. 85. ¿Qué es la solución de una ecuación? Es el número que colocado en el lugar de la incógnita transforma a la ecuación en una identidad numérica. - Para hacer la prueba hay que sustituir el valor de la incógnita en cada miembro de la ecuación que nos han dado. Si el valor numérico de ambos miembros es idéntico, la ecuación estará bien resuelta. 86. Propiedades de las ecuaciones. - Si se suma (o se resta), si se multiplican (o dividen) los dos miembros de la ecuación por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente. NOTA1: Esta propiedad se puede aplicar en la práctica siguiendo las siguientes reglas: 1. Lo que está sumando a un lado del igual, pasa al otro lado restando; lo que está restando a un lado del igual, pasa al otro lado sumando. 2. Lo que está multiplicando a todo un miembro de la ecuación pasa al otro miembro dividiéndolo entero; lo que está dividiendo a todo un miembro de la ecuación pasa al otro miembro multiplicándolo entero. NOTA2: Si se eleva a una misma potencia (o se extrae la raíz) a ambos miembros de la ecuación, se obtiene una ecuación que tiene la misma solución pero que, además, puede incluir otras soluciones. 87. ¿Qué son ecuaciones equivalentes? Son las que tienen la misma solución.

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88. Regla práctica de resolución de ecuaciones de primer grado

7 ( 2 x +5 ) 5 ( 2−x ) x−11 − =4 x−1− 3 12 2 Lo vemos con un ejemplo: 14 x+35 10−5 x x−11 − =4 x−1− 3 12 2 1º. Quitar paréntesis. .

m.c .m .(3,12,2)=12 .

2º. Quitar denominadores, multiplicando los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores.

4(14 x+35)−(10−5 x )=12⋅4 x−12⋅1−6 ( x−11 ) 3º. Quitar los paréntesis que se hayan generado al quitar los denominadores.

56 x+140−10+5 x=48 x−12−6 x+66

4º. Colocar los términos con letra a la izquierda del igual y los numéricos a la derecha.

56 x+5 x−48 x+6 x=−140+10−12+66 5º. Reducir términos semejantes. 19x=−76 76 x=− → x=−4 19 6º. Despejar la incógnita.

EYP3ESO. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

3 x−1 5 x−4 = 2 3 7( x +4 )−3( x+2)=3 (x −1)−( x−7 ) 2 x −5 4 x −3= 3 5−x 7+ x − =1−5 x 3 2

89. ¿Qué es una ecuación de segundo grado con una incógnita? Una ecuación de segundo grado con una incógnita es la que tiene la forma 2

ax +bx +c=0,con a≠0 90. ¿Qué es resolver una ecuación de segundo grado? Es encontrar los dos valores de x que, colocados en lugar de la incógnita, transforman la ecuación en una identidad numérica. 91. ¿Qué son ecuaciones de segundo grado completas e incompletas? a) Ecuaciones completas. Son aquellas en que b y c son distintos de cero. Tiene la forma:

ax 2  bx  c  0 b) Ecuaciones incompletas. Son aquellas en que b o c son cero: 2

ax =0 2 ax +c=0 2 ax +bx=0

b=0 yc=0 b=0 c=0

92. Resolución de la ecuación incompleta ax2=0 Lo primero, despejamos x2: 0 =0 → a x 1 =+ √ 0 =0 x 2=−√ 0 =0 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

ax 2 = 0 → x2 =

Sacando la raíz cuadrada del valor de x2 tendremos los dos valores de x. La ecuación tiene dos soluciones, ambas iguales a cero. 41


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93. Resolución de la ecuación incompleta ax2 + c = 0 Lo primero, despejamos x2: ax 2 + c = 0 → x2 =−c → x 2=− x 1 =+

c → a

√ √

c − a c − a

x 2=−

¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] ¿ ¿ ¿

Sacando la raíz cuadrada del valor de x2 tendremos los dos valores de x: - La ecuación tiene dos soluciones si a y c tienen signos distintos: Ejemplo : x

2

− 4 =0 → x 4 + =2 1 4 x 2 =− + =− 2 1 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

2

=4 →

√ √

x 1 =+

-

La ecuación no tiene solución si a y c tienen el mismo signo:

Ejemplo : x 2 + 9 =0 → x 2 =−9 → 9 x 1 =+ − =+ √−9= ? 1 9 x 2=− − =−√ −9=? 1 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

√ √

94. Resolución de la ecuación incompleta ax2 + bx = 0 Sacamos la x factor común: 2

ax +bx=0→x ( ax+b )=0 y nos salen dos soluciones: 1ª solución: 2ª solución:

x=

0 =0 (ax +b )

ax +b=0→ax=−b →x=−

x 1=0 b a

x 1=−

b a

Fíjate que para que un producto sea cero, es suficiente con que lo sea un factor. Ejemplo: 3 3

x

2

+2

x =0 → x ( 3

x + 2 =0 → 3

x + 2 )= 0 → 2 1 =− 3

x =− 2 → x

x

2 =0 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

95. Resolución de la ecuación completa ax2 + bx + c = 0 1º. Se reduce a la forma ax2 + bx + c = 0, para que lo que se aplica, en líneas generales, la regla práctica del apartado 88. 2º. Se aplica la siguiente fórmula: −b ± √ b2 − 4 ac −b ± √ Δ = → 2 a 2 a Δ = Discri min ante : b2 −4 ac Si Δ > 0 → 2 soluciones Si Δ =0 → 1 solución doble Si Δ < 0 → 0 soluciones ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] [ ¿ ] [ ¿] ¿ ¿ ¿

x=

Ejemplo:

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¿ 10 +4 14 = =7 2 2 10− 4 6 x 2= = =3 x 2 ¿ righ ¿ ¿ ¿ 2 +10 ± 10 − 4⋅1 ⋅ 21 10± √ 100 −84 10± √ 16 10 ±4 √ x 2−10 x +21=0 → x = = = = 2⋅1 2 2 2 → ¿ x 1=

[

¿] ¿

EYP2ESO. Álgebra. Comprueba si son correctas o no las soluciones de las siguientes ecuaciones:

2 x +8=−4 ⇒ x=6 . 3 x+ 8=−5 x ⇒ x=−1

3−5 a=7 ⇒ a=1

4 x −2( 3 x −7)=5 x ⇒ x=−2 .

EYP2ESO. Álgebra. Planteando una ecuación, calcula la altura de un triángulo sabiendo que la base mide 12 cm y el área es de 48 m2.

EYP2ESO. Álgebra. Resuelve, mediante una ecuación, cada uno de los siguientes problemas: a) El triple de un número menos 8 es igual a 16. ¿Cuál es el número?

b) Lola ha repartido 630 discos compactos entre sus amigos Nacho y Marian. Si a Marian le ha dado el doble que a Nacho, ¿cuántos ha regalado a cada uno?

c) Álvaro tiene 10 años menos que su hermana y, dentro de dos años, ella tendrá el doble que él. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? d) Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos de un cuadrilátero si cada uno es el doble del inmediato más pequeño.

Problemas (ecuaciones de segundo grado): 1. La suma de las áreas de un cuadrado de lado L y de un rectángulo de lados 2 cm y 2L es 32 cm2. ¿Cuál es el lado del cuadrado?

2. El perímetro de un rectángulo es 24 cm y su área es 20 cm2. ¿Cuáles son sus dimensiones?

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3. Halla tres números enteros conscutivos cuyo producto sea igual a su suma. ¿Cuál sería la solución si se pidieran números naturales?

4. Si disminuimos 3 m cada lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área es 63 m2 más pequeña que la del cuadrado primitivo. ¿Cuáles eran las dimensiones primitivas de este cuadrado?

5. Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula dicho número.

6. La diferencia de dos números es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. ¿Cuáles son esos números?

7. La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números?

PISA. (Ver hojas aparte).

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TEMA 7º. INICIACIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 96. ¿Qué es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas? Es un conjunto de dos ecuaciones de la forma: ax+ by=c (a, a’, b, b’) son los coeficientes de las incógnitas a ' x +b ' y= c ' (c, c’) son los términos independientes } ¿ ¿ ¿¿

97. ¿Qué es resolver un sistema de ecuaciones? Es hallar la solución x = p e y = q, de manera que sea válida para las dos ecuaciones: ( 1 ) x −2 y =3 ( 2 ) 2 x − y =5 ¿ } ¿ 7 x= 3 1 y =− 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿→ ¿ ¿

7 1 7 +2 9 ( 1) −2 − = = =3→ [ 3=3 ] 3 3 3 3 7 1 14+1 15 (2) 2⋅ − − = = =5 →[ 5=5 ] 3 3 3 3

( ) ( )

98. ¿Cómo pueden ser los sistemas de ecuaciones, en función del número de soluciones y qué es cada uno de ellos? a) Incompatibles b) Compatibles y determinados c) Compatibles e indeterminados a) ¿Qué es un sistema incompatible? Es aquel que no tiene ninguna solución. Y esto ocurre si: a a'

=

b c ≠ , como por ejemplo : b ' c ' 2 x− 4 y= 8 − x + 2 y =6 2 −4 8 = ≠ −1 2 6 4 − 2= −2 ≠ 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ }¿ ¿ , porque ¿ ¿

b) ¿Qué es un sistema compatible y determinado? Es aquel que tiene solución única, es decir, si solamente hay un valor de x y un valor de y que verifican las dos ecuaciones del sistema: a a'

¿ ¿

}

b b '

, como

por ejemplo :

x − y =3 3 x + y =5 1 −1 ¿ ¿ porque ≠ 3 1

[

]

¿

c) ¿Qué es un sistema compatible e indeterminado? Es aquel que tiene infinitas soluciones. Esto ocurre si las dos ecuaciones que lo forman son equivalentes, con lo que: a a '

=

b b '

c , co mo por ejemplo c ' 2 x − 4 y = 12 − x + 2 y =− 6 2 −4 12 = ≠ −1 2 −6 −2 =−2 =− 2 ¿ rig h ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ }¿ ¿ , po rqu e ¿ ¿ =

:

99. Métodos para la resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y en qué consiste cada uno. Hay tres métodos: a) Método de sustitución b) Método de reducción c) Método de igualación. - Todos ellos comienzan reduciendo los sistemas a la forma: ax+ by=c a ' x +b ' y= c ' ¿} ¿ ¿¿

para lo cual se aplica la regla práctica expuesta en el apartado 88. 45


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-

Cualquiera que sea el método utilizado, una vez resuelto el sistema, conviene comprobar que los valores de las dos incógnitas satisfaces las ecuaciones originales. a) Método de sustitución 1º. Se despeja una de las dos incógnitas en una de las dos ecuaciones (conviene despejar, si la hay, la que tiene como coeficiente 1). 2º. Se sustituye el valor de esta incógnita en al otra ecuación, obteniéndose una ecuación de primer grado con una incógnita. 3º. Se resuelve esta ecuación de primer grado. 4º. Se sustituye el valor de esta incógnita en la ecuación en que está despejada la otra (ver el párrafo 1º), y se obtiene el valor de la otra incógnita. 5º. Se hace la prueba en las ecuaciones originales. ( 1 ) x −2 y =3 ( 2 ) 2 x − y =5 ¿}

¿

¿ →( 1 ) x =2 y +3 →( 2 )2 ( 2 y +3 )− y =5 → 4 y +6 − y =5 →3 y =−1 → y =−

7 → x= ( 13 )=3→ x=3− 23 → x= 9−2 3 3

(1) x−2 − Comprobación:

7 1 7 2 9 (1) −2 − = + = =3→ [ 3=3 ] 3 3 3 3 3 7 1 14 1 15 (2)2⋅ − − = + = =5→ [ 5=5 ] 3 3 3 3 3

( ) ( )

b) Método de reducción 1º. Se consigue que los coeficientes de una misma incógnita tengan en las dos ecuaciones el mismo valor absoluto pero distinto signo, empleando el m.c.m. de los coeficientes originales. 2º. Se suman las ecuaciones. 3º. Se resuelve la nueva ecuación obtenida, que será de primer grado con una incógnita. 4º. Se sustituye el valor obtenido de esta incógnita en cualquier ecuación anterior, obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita. 5º. Se resuelve esta última ecuación. 6º. Se hace la prueba en las ecuaciones originales. ( 1 ) 3 x −2 y =2 ( 2 ) 2 x + 6 y =5 ¿} ¿

( 1 ) 9 x −6 y =6 ( 2 ) 2 x + 6 y =5

¿ → ¿ ¿ } ¿ ¿ → ( 1 ) +( 2 ) → 11 x = 11 → x =

11 11

→ x =1 ¿

Hallado el valor de x, lo sustituyo en cualquiera de las ecuaciones:

3 1 (2)2⋅1+6 y=5 →6 y =5−2→ y= → y= 6 2

Comprobación: ¿} ¿

¿→ ¿ ¿}

1 ( 1 ) 3⋅ 1− 2 ⋅ =2 2 1 ( 2 )2 ⋅1+ 6 ⋅ =5 2 ( 1 ) 3 − 1= 2 ( 2 ) 2 + 3 =5 ( 1 ) 2= 2 ( 2 ) 5= 5 ¿ ¿ → ¿ ¿ } ¿ ¿ ( correcto ) ¿

c) Método de igualación 1º. Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2º. Se despeja la misma incógnita en la otra ecuación. 3º. Se igualan los resultados conseguidos, obteniéndose una ecuación de primer grado con la otra incógnita. 4º. Se resuelve esta ecuación de primer grado. 5º. El valor de la incógnita obtenido en la ecuación de primer grado se sustituye en cualquier a de las ecuaciones obtenidas en los párrafos 1º y 2º, consiguiendo el valor de la otra incógnita. 6º. Se hace la prueba en las ecuaciones originales. 46

1 ¿ 3


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( 1 ) x + y =5 ( 2 ) x − y =3 ¿} ¿

( 1 ) x =− y + 5 ( 2 ) x= y +3

¿ → ¿ ¿ } ¿ ¿ →− y + 5 = y + 3 →− 2 y = 3− 5 → y =

−2 → y =1 ¿ −2

Ahora tomo el valor de y y lo sustituyo en cualquiera de las otras ecuaciones:

( 1) x+1=5→ x=5−1→ x=4 Comprobación: ( 1 ) 4 + 1 =5 ( 2 ) 4 −1=3 ¿} ¿

¿→ ¿

¿}

( 1 ) 5 =5 ( 2 ) 3 =3 ¿ ¿ ( comprobado ) ¿

Ejercicios

4 x + 4 y=−4 2 x−5 y=12 ¿} ¿ ¿¿

9 2 1 4 x− y= 2 ¿} ¿ ¿¿

3 ( x +2)−5 y =11 x−7 ( y −1 )=14 ¿} ¿ ¿¿

3 y x+ = 4 4 3 y 15 2x− = 6 2 ¿} ¿ ¿¿

3 x+2 y= x−2 y=2 3 x+2 y= 6 ¿} ¿ ¿¿ 7 x+5 y =−20 5 x +7 y= 20 ¿} ¿ ¿¿

1 x + y=8 2 3 x+5 y =41 ¿} ¿ ¿¿ 1 y +1 5 x− = 6 3 6 y 29 5 x+ = 4 2 ¿} ¿ ¿¿

9 2 1 4 x− y= 2 ¿} ¿ ¿¿

2 x −7 y=−22 5 x + y= 2 ¿} ¿ ¿¿

3 y x+ = 4 4 3 y 15 2x− = 6 2 ¿} ¿ ¿¿

x+2 y= 20 y 3 x− =10 4 ¿} ¿ ¿¿

3 x+2 y= 3 x+5 y =31 4 x − y=26 ¿} ¿ ¿¿ 3 x +5 y=20 2( x−5 y )= 0 ¿} ¿ ¿¿

7 x+5 y =−20 5 x +7 y= 20 ¿} ¿ ¿¿

2 x=3 y 2 4 x= y +2 3 3 ¿} ¿ ¿¿

Ejercicios (problemas): 1. La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6. ¿Cuáles son estos números?

2. Tenemos un total de 26 monedas, unas de cinco céntimos y otras de 25. En total tenemos 310 céntimos. ¿Cuántas monedas tenemos de cada clase? 47


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3. Beatriz se ha gastado 37500 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan costó 3500 euros más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?

4. Descompón el número 1000 en dos números de manera que al dividir el mayor entre el menor el cociente sea 2 y el resto 220.

5. En un colegio hay 237 estudiantes menos de Primaria que de Secundaria. Sabiendo que el número total es de 1279 alumnos, de los que 200 son de Infantil, ¿cuántos alumnos hay en total de Primaria y cuántos de Secundaria?

6. Una familia tiene periquitos y perros como mascotas. Averigua cuántos perros y cuántos periquitos tienen, sabiendo que en total hay seis animales y el número total de patas es 16.

7. En un rectángulo de perímetro 152, la base mide 9 unidades más que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

8. La razón de dos números es 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador en 2 unidades, la nueva razón es 4/11. ¿Cuáles son los dos números?

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TEMA 8º. MAGNITUDES PROPORCIONALES 100. ¿A qué llamamos razón de dos cantidades homogéneas? Al número que expresa la medida de la primera cuando se toma la segunda como unidad.

12 La razón de 12 a 3 es 3 ; o sea, 4.

- Los dos números dado se llaman términos de la razón, y de ellos, el primero recibe el nombre de antecedente, y el segundo, consecuente. - razón de una proporción, razón de dos números, cociente de dos números y fracción: son expresiones equivalentes.

101. ¿Cómo se halla la razón de dos cantidades de una magnitud? 1. Se expresan las dos cantidades respecto a la misma unidad. 2. La razón es igual al cociente de la medida de la primera entre la medida de la segunda. Ej.

[ ]

3 cm 4 cm 2 = = 4 dm 30 cm 15

3

O también:

3

[]

3 m 3000 dm 3 = = 40 hl 4000 l 4

a Si a y b son cantidades de una misma magnitud su razón es a:b y se escribe b . 102. ¿Qué es una proporción y una constante de proporcionalidad? a. Una proporción es una igualdad entre dos razones. - Basándonos en la propiedad fundamental de las fracciones: si a los dos términos les multiplicamos

3 12 = por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente. Así 7 28 expresión se la denomina proporción y se lee: “tres es a siete como doce es a 28”. - Y en general, la proporción viene representada de la forma siguiente:

a esta

a c = b d

y se lee “(a) es a(b) como (c) es a(d)”. - a, b, c, d, se llaman términos de la proporción, y se enumeran en el orden dado, a el 1º; b, el 2º; c, el 3º; d, el 4º. - a y d se llaman extremos; a y c se llaman antecedentes, b y c se llaman medios; b y d se llaman consecuentes. b. Una constante de proporcionalidad es el valor común de las dos razones y se suele escribir así:

a c = b d .

103. Algunas propiedades de las proporciones numéricas 1. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. 2. Si se permutan los medios, se obtiene otra proporción. 3. Si se permutan los extremos, se obtiene otra proporción. 4. Si tenemos una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes, es igual a la razón de la serie. 5. En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes partida por la suma de los consecuentes, es igual a cualquiera de las razones. a b

=

c d

=

e f

=

g h

= k

;

a b

+ +

c d

+ +

e f

+ +

f h

= k

;

a = k b a= b ⋅ k ¿ r i g h ¿ ¿ ¿ [ ] ; ¿ c = k d c = d ⋅ k ¿ r i g h ¿ ¿ ¿ [ ] ; ¿ e = k f e

= f ⋅ k ¿ r i g h ¿ ¿ ¿ [ ] ; ¿ g = k h g = h ⋅ k ¿ ¿ [ ] ¿ ¿ ¿ ¿

- Esta propiedad se sigue cumpliendo cuando consideramos la suma y resta de antecedentes, y la suma 49


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y resta de los respectivos consecuentes, siempre que la diferencia sea posible.

104. Regla de tres simple directa. Es aquella que se emplea en problemas aritméticos que se refieren a magnitudes directamente proporcionales. - En general, consiste en establecer una proporción entre dos magnitudes directamente proporcionales, con dos valores conocidos de una de ellas, y dos valores correspondientes de la otra, uno de ellos conocido y el otro desconocido. - Naturalmente, se trata de encontrar el valor desconocido a partir de os otros tres conocidos, mediante una proporción. Ej.: Si un automóvil gasta 9 libros de gasóleo para recorrer 121 km y le quedan 20 libros en el depósito, ¿cuántos km podrá recorrer aún? Si 9 l → 121 km 20 l → x ¿} ¿ ¿¿

9 20 20⋅121 = x= =268 , 88 km 9 → 121 x → 9⋅x=20⋅121 , por tanto,

Ej. Si se compran 4 metros de seda pura con 1200 €, con 3900 €, ¿cuántos metros se podrán comprar? Si 1200 € → 4 m 3900 € → x ¿} ¿ ¿¿

1200 3900 = 4 x →

1200⋅x=4⋅3900

x=

4⋅3900 =13 m 1200

105. Porcentajes. Son un caso particular y de gran aplicación, de la regla de tres simple directa. - En estos problemas uno de los valores conocidos es 100. El valor de una magnitud correspondiente al valor 100 de la otra, recibe el nombre de tanto por ciento, y se representa seguido del signo %. - Estos problemas de porcentajes se resuelven por la regla de tres simple. Ej. En una zapatería unas botas de fútbol cuestan 62,25€ pero hacen un descuento del 15%. ¿Cuánto me descontarán? 100 € → 15 62 ,25 € → x ¿} ¿ ¿¿

100 62, 25 = x → 15

x=

→ 100⋅x=15⋅62 ,25 → Me descuentan 9,24 €, por tanto, tendré que pagar 62,25 – 9,24 = 53,01 €.

15⋅62 , 25 =9, 24 € 100

106. ¿Qué son magnitudes directamente proporcionales? Aquellas en las que se cumple: 1º. Que a una determinada cantidad de una de ellas corresponde una sola cantidad de la otra. 2º. Que al multiplicar o dividir la primera por una cantidad cualquiera, la segunda queda multiplicada o dividida por ese número. Nota 1. Cuando existe una proporcionalidad directa entre dos magnitudes se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales o simplemente proporcionales. Nota 2. A la razón entre dos valores correspondientes a dos magnitudes proporcionales se le denomina constante de proporcionalidad o factor de conversión. Ej. El transporte de 3200 kg de peras a un mercado central le cuesta al productor 96 €. ¿Cuánto le costará transportar 1795 kg? 3200 kg → 96 € 1795 kg → x ¿} ¿ ¿¿

3200 1795 = x → 96

96⋅1795 x= =53 . 85 € 3200

3200⋅x=96⋅1795

107. Repartos directamente proporcionales Repartir un número N en partes directamente proporcionales a otros números datos (a, b, c,…) es descomponer N en tantas partes como números dados haya. 50


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- A estas partes llamaremos (x, y, z…) tales que se verifique que N = x + y + z + … y además que

x y z x + y + z .. . N = = =. . .= = =k a b c a+b+c .. . a+b+c . .. y

x = k ; x =k⋅a a y = k ; y =b⋅k b ¿ righ ¿ ¿ ¿ [¿ ] ¿ ¿ ¿

- De esto podemos deducir la siguiente REGLA: Para dividir un número N en partes directamente proporcionales a otros varios se divide el número N por la suma de a, b, c… y el cociente obtenido se multiplica por cada uno de estos. - O simplemente se multiplica la constante de proporcionalidad por cada número. Ejemplo: Tres personas juegan 2500 € a la lotería. La 1ª juega 500 €, la 2ª juega 800 € y la tercera juega 1200 €. Si obtienen un precio de 5.000.000 de €, ¿Cuánto corresponde a cada uno? K es la constante de proporcionalidad. Les corresponde: 500 k +800 k +1200 k =5000000 ( 500 +800 +1200 ) k =5000000 2500 k =5000000 5000000 k= =2000 2500 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] [ ¿] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

Al 1 º =500⋅k Al 2 º =800⋅k Al 1 º =1200⋅k ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ Al 1 º le toca =500⋅2000=1 . 000 . 000 Al 2 º le toca = 800⋅2000 =1 . 600 . 000 Al 3 º le toca=1200⋅2000=2 . 400 . 000 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

;

;

Hecho de otra forma, igualmente válida:

5 . 000. 000 ⋅500=1 . 000. 000 500+800+1200 Al 1º le tocan: 5 . 000. 000 x= ⋅800=1. 600 .000 500+800+1200 Al 2º le tocan: 5 . 000. 000 x= ⋅1200=2 . 400 . 000 500+800+1200 Al 3º le tocan: x=

108. ¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales? Son aquellas en las que se cumple: 1. Que a una determinada cantidad de una de ellas corresponde una sola cantidad de la otra. 2. Que, al multiplicar o dividir la primera por un número cualquiera, la segunda queda dividida o multiplicada por ese mismo número. Nota: Cuando existe una proporcionalidad inversa entre dos magnitudes se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Ej. Una familia si va a 95 km/hora tarda en llegar a su destino de vacaciones 5 horas. Si la velocidad fuese de 120 km/h, ¿cuánto tardaría? 95 km / h → 5 h 120 km / h → x ¿} ¿ ¿¿

95 120 = x → 5

x=

95⋅5 =3 . 95 h 120

→ 120⋅x=95⋅5 → Nota. A diferencia de la proporcionalidad directa, no igualamos el producto de los extremos, sino de los términos de la razón.

109. Repartos inversamente proporcionales Si tenemos en cuenta que la proporcionalidad inversa entre dos magnitudes se caracteriza porque el producto de una magnitud por la magnitud es constante, este caso lo podemos transformar en un 51


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reparto directamente proporcional. Ej. Repartir 1320 € entre tres alumnos en parte inversamente proporcionales al número de suspensos de cada uno. Si el 1º tiene 2, el 2º tiene 4 y el 3º tiene 6, ¿cuánto corresponde a cada uno? K = constante de proporcionalidad. Les corresponde: k Al 1 º = 2 k Al 2 º = 4 k Al 1 º = 6 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [¿ ] [¿ ] ¿ ¿ ¿

;

k k k + + =1320 € 2 4 6 6 k +3 k + 2 k =15840 11 k =15840 15840 k= =1440 11 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] [ ¿] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

1440 =720 € 2 1440 Al 2 º le toca= =360 € 4 1440 Al 3 º le toca= =240 € 6 ¿ righ ¿ ¿ ¿ [¿] [¿]¿ ¿ ¿ Al 1 º le toca=

;

110. Regla de tres simple inversa. Es aquella que se emplea en problemas aritméticos que se refieren a magnitudes inversamente proporcionales. -En general, consiste en establecer una proporción entre dos magnitudes inversamente proporcionales, con dos valores conocidos de una de ellas, y dos valores correspondientes de la otra, uno de ellos conocido y el otro desconocido. - Naturalmente se trata de encontrar el valor desconocido a partir de los otros tres conocidos, mediante una proporción. Ej. Si 4 grifos tardan 24 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardarán en llenarlo 12 grifos? Si 4 grifos → 24 h 12 grifos → x h ¿} ¿ ¿¿

4 12 = x → 24

12⋅x=24⋅4

x=

4⋅24 =8 h 12

111. Regla de tres compuesta Es la regla aritmética que nos permite resolver problemas en los que intervienen varias magnitudes proporcionales. - Para resolverlas hay que tener en cuenta qué clase de proporcionalidad liga a la magnitud desconocida en el problema, con cada una de las demás. Ej. 4 grifos en 12 horas llenan dos depósitos de 60 m3 cada uno. ¿Cuánto tardarán 6 grifos, iguales a los anteriores, en llenar 3 depósitos de 80 m3 cada uno? Si 4 grifos → 2 depósitos → 60 m 3 → 12 h 6 grifos → 3 depósitos → 80 m 3 → x h (inversa ) ( directa ) ( directa ) ¿ righ ¿ ¿ ¿ [¿ ] [¿ ] ¿ ¿ ¿

6 2 60 12 = = = x ; ; 4 3 80 11520 6⋅2⋅60⋅x=4⋅3⋅80⋅12→720 x=11520 →x= =16 horas 720 112. Regla de interés simple. Es lo mismo que la regla de tres simple en la que se aplican las siguientes fórmulas: C ⋅ r⋅ t donde 100 i = in t erés C = capital r = rédito t = tiempo ¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿ ] [ ¿ ] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿

i=

Nota. En la fórmula se pone el número 100 si el tiempo está expresado en años. 1200 si está expresado en meses y 36000 si está expresado en días. El rédito se entiende siempre expresado en tanto por ciento anual. Nótese que 1200 = 12·100→12 meses del año; 36000=360·100→360 días del año. Ej. ¿Qué interés produce un capital de 270.000 € impuesto al 8,5% durante 3 años? 52


Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. i=

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C⋅r⋅t 270 . 000⋅8,5⋅3 = =68 .850 € 100 100

Ej. ¿Cuál es el capital que colocado al 7,5% durante un año y ocho meses ha producido 25000 €?

C=

i⋅1200 25 . 000⋅1200 = =200 . 000 € r⋅t 7,5⋅20

1. EYP.ESO2. Expresa los siguientes números decimales como fracciones y porcentajes: a) 0,15 b) 0,09 c) 1,25 d) 0,78

2. EYP. ESO2. Calcula las fracciones de las cantidades siguientes: Fracción Cantidad Resultado

3 de 4 25 de 100 2 de 100 18 de 100 75 de 100

24 1200 40 66 150

3. EYP.ESO2. Completa la cantidad de la cual se ha calculado el porcentaje: Porcentaje Cantidad Resultado 25% 80 20%

30

12%

120

35%

28

72%

360

4. EYP. ESO2. Contesta a las siguientes cuestiones y completa: a) Si después de subir un 12%, el precio de la barra de pan es de 56 céntimos, ¿cuál era el precio antes de la subida? b) Un embalse contenía la semana pasada 2.000.000 m3. Con las últimas lluvias, su contenido ha aumentado un 18%. ¿Cuántos metros cúbicos tiene ahora? c) Un pantalón, que antes de las rebajas costaba 80€, cuesta ahora 60€. ¿Qué porcentaje supone el descuento? 5. EYP. ESO2. Explica si estas magnitudes son o no proporcionales. En caso de que lo sean, diferencia las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. 53


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a) Número de huevos y cantidad de leche necesaria para elaborar flanes. ______________ b) Número de alumnos de un grupo y número de aprobados. ______________ c) Distancia entre dos ciudades en un plano y distancia en la realidad. ______________ d) Velocidad de un coche y tiempo invertido en un trayecto. ______________ e) Número de gallinas de una granja y días que tardan en consumir una cierta cantidad de pienso. ______________ f) Número de gallinas de una granja y cantidad de pienso que consumen en una cierta cantidad de días. ______________ g) Superficie de varios países y millones de habitantes que tienen. ______________ h) El tiempo que permanece abierto un grifo y su caudal. i) Número de grifos iguales abiertos y tiempo que tardan en llenar una piscina. 6. EYP. ESO2. Una moto ha recorrido 50 km en 40 minutos a velocidad constante. a) ¿Qué distancia habrá recorrido cuando pasen 10 minutos más, si mantiene la misma velocidad? b) ¿Cuánto tiempo tarda si recorre 120 km en total? 7. EYP. ESO2. Para transportar sillas de la biblioteca del Colegio se han ofrecido 25 alumnos, que han tardado en hacerlo 20 minutos. ¿Cuánto tiempo habrían tardado si lo hubiesen hecho con quince alumnos más? 8. EYP. ESO3. En una granja hay 23 vacas que comen en 50 días 2990 kg de pienso. ¿Durante cuántos días se pueden alimentar 75 vacas con 6240 kg? 9. EYP. ESO3. Un grifo, que tiene un caudal de 5 litros por minuto, llena una bañera en 30 minutos. ¿Qué caudal debe tener otro gripo que lo llene en 40 minutos? 10. EYP. ESO3. ¿Cómo se pueden repartir 4620€ entre tres amigos, de forma que al mayor le corresponda la mitad que al menor, y a éste el triple que al mediano? 11. EYP. ESO3. Por cada tonelada de arena extraída en una mina, se obtienen 750 kg de mineral. ¿Cuántos kg de arena hay que extraer para obtener 27 toneladas de mineral? 12. EYP. ESO3. Di si las siguientes parejas de magnitudes son directa o inversamente proporcionales: a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. ______________ b) El peso de un jamón y su precio. ______________ c) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. ______________ d) El tiempo empleado en hacer un trabajo y el número de trabajadores. _________________ e) El tiempo que está encendida una bombilla y al energía que gasta. _____________________ 13. EYP. ESO3. Un empresario deposita 28.000€ en un banco a un interés compuesto del 2% anual. ¿Cuánto tendrá al cabo de tres años? 14. EYP. ESO3. El precio inicial de un ordenador portátil era de 480 €. A lo largo del tiempo el precio ha sufrido variaciones: primero subió un 10%, luego subió otro 22% y al final bajó un 30%. a) ¿Cuál es su precio actual? b) ¿Cuál es el índice de variación global? c) ¿Cuál fue la variación porcentual? 1. PISA. Ítem liberado. “Los niveles de CO2”. Matemáticas. Proporcionalidad. 4º de ESO. Muchos científicos temen que el aumento del nivel de gas CO2 en nuestra atmósfera esté causando un cambio climático.

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El diagrama siguiente muestra los niveles de emisión de CO2 en 1990 (las barras claras) de varios países (o regiones), los niveles de emisión en 1998 (las barras oscuras), y el porcentaje de cambio en los niveles de emisión entre 1990 y 1998 (las flechas con porcentajes).

Pregunta 1. En el diagrama se puede leer que el aumento de emisiones de CO2 en Estados Unidos del año 1990 al año 1998 fue del 11%. Escribe los cálculos para demostrar cómo se obtiene este 11%. Pregunta 2. Luisa analizó el diagrama y afirmó que había descubierto un error en el porcentaje de cambio de los niveles de emisión: “El descenso del porcentaje de emisión en Alemania (16%) es mayor que el descenso del porcentaje de emisión en toda la Unión Europea (total de la UE, 4%). Esto no es posible, ya que Alemania forma parte de la Unión Europea”. ¿Estás de acuerdo con Luisa cuando dice que esto no es posible? Da una explicación que justifique tu respuesta. Pregunta 3. Luisa y Antonio discuten sobre qué país (o región) tuvo el mayor aumento en emisiones de CO2. Cada uno llega a conclusiones diferentes basándose en el diagrama. Da dos posibles respuestas “correctas” a esta pregunta y explica cómo se puede obtener cada una de estas respuestas. 2. PISA. Ítem liberado. “Pago por superficie”. Matemáticas. Proporcionalidad. 3º y 4º de ESO. Los habitantes de un edificio de pisos deciden comprar el edificio. Pondrán el dinero entre todos de modo que cada uno pague una cantidad proporcional al tamaño de su piso. Por ejemplo, una persona que viva en un piso que mida la quinta parte de la superficie total de todos los pisos, deberá pagar la quinta parte del precio total del edificio. Pregunta 1. Para cada una de las siguientes afirmaciones, di si son correctas o incorrectas. a) La persona que vive en el piso más grande pagará más dinero por cada metro cuadrado de su piso que la persona que vive en el piso más pequeño.  Correcto  Incorrecto b) Si se conocen las superficies de dos pisos y el precio de uno de ellos, entonces se puede calcular el precio del otro.  Correcto  Incorrecto c) Si se conoce el precio del edificio y cuánto pagará cada propietario, entonces se puede calcular la superficie total de todos los pisos.  Correcto  Incorrecto 55


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d) Si el precio total del edificio se redujera en un 10%, cada uno de los propietarios pagaría un 10% menos.  Correcto  Incorrecto Pregunta 2. Hay tres pisos en el edificio. El mayor de ellos, el piso 1, tiene una superficie total de 95 m2. Los pisos 2 y 3 tienen superficies de 85 m2 y 70 m2, respectivamente. El precio de venta del edificio es de 300.000 dólares. ¿Cuánto deberá pagar el propietario del piso 2? Muestra tus cálculos. 3. PISA. Ítem liberado. “Pingüinos”. Matemáticas. Proporcionalidad. 3º y 4º de ESO. El fotógrafo de animales Jean Baptiste realizó una expedición de un año de duración y sacó numerosas fotos de pingüinos y sus polluelos. Se interesó especialmente por el aumento de tamaño de distintas colonias de pingüinos. Pregunta 1. Normalmente, una pareja de pingüinos pone dos huevos al año. Por lo general, el polluelo del mayor de los dos huevos es el único que sobrevive. En el caso de los pingüinos de penacho amarillo, el primer huevo pesa aproximadamente 78 g y el segundo huevo pesa aproximadamente 110 g. Aproximadamente, ¿en qué porcentaje es más pesado el segundo huevo que el primero? a) 29% b) 32% c) 41% d) 71% Pregunta 2. Jean se pregunta cómo evolucionará en los próximos años el tamaño de una colonia de pingüinos. Para determinarlo elabora las siguientes hipótesis: - A comienzos de año, la colonia consta de 10.000 pingüinos (5.000 parejas). - Cada pareja de pingüinos cría un polluelo todos los años por primavera. - A finales de año, el 20% de los pingüinos (adultos y polluelos) morirá. Al final del primer año, ¿cuántos pingüinos (adultos y polluelos) hay en al colonia? Número de pingüinos: _______________ Pregunta 3. Jean establece la hipótesis de que la colonia seguirá creciendo de la siguiente manera: - Al comienzo de cada año, la colonia consta del mismo número de pingüinos machos y hembras que forman parejas. - Cada pareja de pingüinos cría un polluelo todos los años por primavera. - Al final de cada año, el 20% de los pingüinos (adultos y polluelos) morirá. - Los pingüinos de un año de edad también criarán polluelos. Según las anteriores hipótesis, ¿cuál de las siguientes fórmulas expresa el número total de pingüinos, P, después de 7 años? a) P = 10.000 x (1,5 x 0,2)7 b) P = 10.000 x (1,5 x 0,8)7 c) P = 10.000 x (1,2 x 0,2)7 d) P = 10.000 x (1,2 x 0,8)7 Pregunta 4. De vuelta a casa tras el viaje, Jean Baptiste echa un vistazo en Internet para ver cuántos polluelos cría una pareja de pingüinos como media. Encuentra el siguiente gráfico de barras correspondiente a tres especies de pingüinos: de pico rojo, de penacho amarillo y de Magallanes.

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Según el gráfico anterior ¿son los siguientes enunciados sobre estas tres especies de pingüinos verdaderos o falsos? - En 2000, el número medio de polluelos criados por pareja de pingüinos es superior a 0,6.  Verdadero  Falso - En 2006, como media, menos del 80% de las parejas de pingüinos criaron un polluelo.  Verdadero  Falso - Alrededor de 2015, estas tres especies de pingüinos se habrán extinguido.  Verdadero  Falso - El número medio de polluelos de pingüino de Magallanes criados por pareja disminuyó entre 2011 y 2004.  Verdadero  Falso 4. PISA. Ítem liberado. “Salsas”. Matemáticas. Proporcionalidad. 3º y 4º de ESO. Pregunta 1. Estás preparando tu propio aliño para la ensalada. He aquí una receta para 100 mililitros (ml) de aliño. Aceite para ensalada 60 ml Vinagre 30 ml Salsa de soja 10 ml ¿Cuántos mililitros (ml) de aceite para ensalada necesitas para preparar 150 ml de este aliño? Respuesta: ___________ ml.

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TEMA 9º. FUNCIONES NOTA: Si dos magnitudes son dependientes podemos expresar esta dependencia mediante: a) una tabla b) una gráfica c) una fórmula 113. ¿Qué es una función? Una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformando. Terminología: - Variable independiente: la que se fija previamente. - Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente. - Para representar gráficamente una función se forma una tabla de valores y se representan los padres de valores en la tabla como puntos sobre el plano cartesiano. - Los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal (eje X) o eje de abscisas. - Los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical (eje Y) o eje de ordenadas. - Ejer de coordenadas: Son dos rectas perpendiculares y numeradas para representar pares de valores. Ejercicio de recordatorio: Representa en los ejes cada uno de los siguientes puntos:

114. ¿Qué es una función lineal o de proporcionalidad directa? Una función es lineal o de proporcionalidad directa cuando tiene la forma y=ax . Las variables que en ellas se relacionan son magnitudes directamente proporcionales. - Su representación gráfica es una recta que pasa por el punto (0,0) u origen de coordenadas. - Su expresión algebraica es de la forma f (x )=ax o también y=ax , siendo a la constante de proporcionalidad entre las variables y distinta de cero. - Para obtener a basta dividir y (la variable dependiente) entre x (la variable independiente). El valor de a nos indica la pendiente o inclinación de la recta. 58


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115. ¿Qué es una función afín?

Es la que tiene la forma f (x )=ax +b , o también y=ax+b , siendo a y b distintos de cero. - Su representación gráfica es una recta que no pasa por el punto (0,0) u origen de coordenadas. a es la pendiente o inclinación de la recta. -

b es la ordenada para x=0 , y se llama ordenada en el origen.

116. ¿Qué es una función lineal asociada a una función afín? Es la función paralela a dicha función y que pasa por el origen. Dada la función afín la función lineal asociada a aquélla será la función

f (x )=ax +b ,

f (x )=ax .

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117. ¿Qué es una función de proporcionalidad inversa?

y=

k x , donde k es un número y

Es la que tiene la forma - Su representación gráfica es una hipérbola.

x

la variable.

118. ¿Qué es una función cuadrática? 2

Es una función de la forma f (x )=ax +bx +c , o también, y=ax distinto de cero. Características generales de las funciones cuadráticas: - Representa siempre una parábola de eje de simetría vertical. - Cuanto mayor es a , más estrecha es la parábola. -

2

+bx+c

, siendo a

a> 0 parábola se abre hacia arriba. Si la a< 0 parábola se abre hacia abajo Si la

Para representarla, hay que tener en cuenta que el vértice está siempre ubicado en el unto siguiente:

(−

b b , f (− )) 2a 2a

Ejercicios: 1. EYP. ESO2. Usando tablas de valores, representa en unos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones siguientes: 60


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a)

y=x

b)

y=2 x

c)

2 y= x 3 h)

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1 y= x 2 d)

y=3 x

e)

1 y=− x 2 f)

y=−x

g) y=−3 x 2. EYP. ESO2 Usando tablas de valores, representa en unos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones siguientes: a)

y=x +1 y=−x+2

b)

1 1 y=− x+ 2 2 f)

y=2 x−1

g)

c)

y=3 x +2

y=−3 x+1

1 y= x−1 2 d)

e)

2 y=− x+ 2 3 h)

3. EYP. ESO2 Observa la gráfica de la siguiente función e indica, a partir de la gráfica: a) Los lugares del eje X en los que es creciente y los que es decreciente. b) Los máximos y los mínimos, aproximadamente. c) Los puntos de corte con los ejes.

4. EYP. ESO3. La siguiente tabla de valores expresa la relación entre el número trabajan en una cadena de montaje y el número y de piezas que ensamblan en una hora. Rellena los huecos y representa la tabla gráficamente. x y 1 24 2 36 3 4 60 5 6

en

x

de operarios que

5. EYP. ESO3. Una compañía de telefonía móvil tiene establecida la siguiente tarifa para llamadas al extranjero: - Por establecimiento de llamada: 0,3 euros - Por minuto de llamada: 0,6 euros Supongamos, además, que se factura realmente por el tiempo hablado, es decir, que no facturan minutos completos, sino por los minutos y segundos reales que se haya hablado. a) Construye una tabla de valores en la que aparezcan los precios de las llamadas de 1 a 10 minutos.

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Real Colegio Alfonso XII – Padres Agustinos. Minuto s 1 2 3 4 5 6

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preci o

b) Representa la gráfica en unos ejes cartesianos, indicando qué variable se presenta en cada uno de ellos. c) Calcula cuánto costará una llamada que ha durado 2 minutos y 15 segundos. 6. EYP. ESO3. Representa gráficamente las siguientes funciones: 2

y=x 2 e) y=x −2 x+1 y=−x 2 +2 x−1 a)

b) f)

2

y=−x 2 y=x +3 x +2

c) g)

2

y=x +1 2 y=x +x

d)

2

y=x −2

h)

7. EYP. ESO3. Representa gráficamente las siguientes rectas e indica en cada caso el valor de la pendiente: a)

y=2 x

1 y= x−2 2

b)

y=−3 x+1

c)

y=−x+1

d)

8. EYP. ESO3. A partir de las gráficas siguientes, calcula la pendiente de cada una de las rectas:

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9. EYP. ESO3. Una persona camina 1,5 m cada segundo. Llamaremos x al tiempo en segundo que lleva esa persona caminando e y a los metros que ha recorrido en el tiempo x . a) Haz una tabla con los valores correspondientes a los metros recorridos para los 10 primeros segundos, contando desde cero.

b) Escribe la expresión algebraica que relaciona x e y . 10. EYP. ESO3. A partir de la observación de la gráfica de la función siguiente, indica cuál es su dominio de definición, sus puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos en los que alcanza máximos y mínimos.

11. EYP. ESO3. Traza la gráfica de una función que sea creciente en el intervalo (0,1) y decreciente en el intervalo (1,2), y que sea periódica de periodo 2 a lo largo de todo el eje X. 12. EYP. ESO3. Traza la gráfica de una función que pase por el origen, que tenga un mínimo en el unto (1, -1/2) y un máximo en el punto (-1, 1/2) y que sea simétrica con respecto al origen.

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Tema 10º. Estadística. 119. ¿Qué es la estadística? Es una parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para obtener, organizar, representar o interpretar conjuntos de datos (a veces muy numerosos) y estudiarlos para conocer mejor una situación determinada. 119a. Conceptos básicos de la estadística. a) Población o conjunto estadístico: es un conjunto de individuos u objetos que se quieren estudiar y de los que se observa alguna característica. b) Individuo o unidad estadística es cada elemento de una población, o individuos que se observan en la población. c) Variable estadística o carácter, es la característica de los objetos o individuos que se observa en la población. Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas o cualitativas. Las cuantitativas son aquellas cuyos valores se pueden representar con números. Las cualitativas, si estos valores no son números. Por su parte, las cuantitativas pueden ser discretas o continuas. d) Encuesta o muestreo: es un estudio de la variable, sólo en una parte de la población, aplicando los resultados a toda la población. Esta parte debe ser representativa de toda la población y recibe el nombre de muestra. e) La muestra es un subconjunto de la población de la que se toman los datos. f) Frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite dicho dato. g) Frecuencia acumulada de un dato estadístico es la suma de las frecuencias del dato y la de todos los datos anteriores. h) Frecuencia relativa de la variable estadística es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número de individuos de la población (Se puede expresar en tanto por uno, o en tanto por ciento). i) Datos estadísticos numéricos es el conjunto de números que sirven de base para conocer y estudiar estadísticamente una situación determinada. j) Si el número de datos es grande, conviene agruparlos en intervalos o clases. El número de clases que se deben hacer es variable, pero se aconseja que el número de clases sea aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número de datos. Todas las clases deben tener la misma amplitud. Los puntos medios de cada clase se laman marcas de clase. FORMAS DE REPRESENTAR LA INFORMACIÓN: - Tablas de frecuencias. - Gráficos estadísticos.

119.b. ¿Qué son las tablas de frecuencias? Una de las formas de presentar informaciones de tipo estadístico, y que pueden incluir la frecuencia absoluta o la relativa en alguna de sus formas. - La suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al número total de objetos o individuos estadísticos. - La suma de las frecuencias relativas debe ser igual a uno (si se da en tantos por uno) o cien (si se da en tantos por ciento). 119. c. ¿Qué son los gráficos estadísticos? Una de las formas de presentar informaciones de tipo estadístico, y que pueden incluir l frecuencia absoluta o la relativa en alguna de sus formas. Diversas clases de gráficos estadísticos: 1. Diagramas de barras verticales o apiladas. 64


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2. Diagrama de sectores y de áreas. 3. Histogramas. 4. Pictogramas. 5. Polígonos de frecuencias. 6. Cartogramas. NOTA: En las barras, histogramas… - Los datos se representan en la base de cada barra (el eje de abscisas) los extremos de las clases - La altura de las barras representan las frecuencias absolutas. En los sectores, polígonos de frecuencias… - Los datos se representan en cada sector del círculo - El ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato. EYP. ESO3. Para cada uno de los siguientes casos, indica de qué tipo de variable estadística se trata, si discreta o continua: a) Altura en centímetros de un grupo de alumnos de 3º de ESO. ☐Discreta ☐Continua. b) Nº de personas que viven en cada vivienda de un bloque de pisos. ☐Discreta ☐Continua. c) número de goles que se han marcado en cada partido de fútbol en una jornada de liga. ☐Discreta ☐Continua. d) Temperatura máxima, en grados, que se ha dado en cada día de junio. ☐Discreta ☐Continua. e) Tiempo semanal que dedica a hacer deporte cada alumno de ESO. ☐Discreta ☐Continua. f) Altura en metros de cada edificio del casco histórico de Madrid. ☐Discreta ☐Continua. EYP. ESO3.Una empresa de publicidad está haciendo un estudio sobre los programas de televisión más visto. Elegidas 120 personas al azar, se les ha preguntado sobre el tipo de programas que más les gustan. Los porcentajes de las respuestas se han representado en el siguiente diagrama de sectores:

a) ¿A qué porcentaje de gente lo que más le gustan son las películas? b) A partir de los porcentajes, calcula cuántas personas, de las 120, han respondido por cada uno de los tipos de programas que más les gustan. EYPESO2. El departamento de Lengua de un colegio quiere hacer un estudio sobre los resultados de la primera evaluación de lengua de 1º de ESO. En el colegio hay 130 alumnos de 1º de ESO y, para hacer el estudio, se han seleccionado, al azar, las notas de 20 alumnos que han resultado ser: 5, 8, 5, 4, 3, 1, 5, 6, 10, 9, 1, 1, 7, 6, 5, 3, 9, 6, 7, 5. a) Indica cuál es la población y cuál la muestra en este estudio. b) Organiza los datos en una tabla con las frecuencias absolutas.

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EYPESO2. Completa la siguiente tabla estadística: Datos (xi) Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia relativa 1 10 2

6

3

12

4

7

5

5

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Tanto por ciento (%)

EYPESO2. Con la misma estructura que la tabla anterior, lanza un dado 30 veces y anota los resultados obtenidos. Completa la tabla. Datos (xi) Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia relativa Tanto por ciento (%)

EYPESO2. Se ha preguntado a 25 personas por el número de veces que han ido al cine durante el último mes. Las respuestas se han agrupado en la tabla siguiente. Representa en un diagrama de barras o sectores, según convenga, la información. Número de Frecuencia películas vistas absoluta

EYPESO2. En una clase con 20 alumnos se ha hecho un estudio sobre el grupo sanguíneo de cada uno de ellos. El número de alumnos de cada grupo se ha representado en la tabla siguiente. Calcula el porcentaje de cada grupo y representa los datos en un diagrama de barras o de sectores, según convenga: Grupo Frecuencia absoluta Porcentaje sanguíneo A B AB O+ 66


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EYPESO2. A la vuelta de vacaciones, en un curso de 2º de ESO, la profesora de Matemáticas ha hecho una encuesta y ha preguntado a cada uno de los alumnos pro el número de libros que han leído durante el verano. Al día siguiente, la profesora les ha traído el siguiente diagrama de barras, basado en la encuesta del día anterior. A partir del diagrama, haz una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

EYPESO2. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda para cada una de las siguientes tablas de frecuencias: Tabal A Tabla B Datos Frecuencia absoluta Datos Frecuencia absoluta 1 2 4 4 2 3 5 4 3 4 6 5 4 5 7 6 5 1 8 1 EYPESO3. El profesor de inglés ha hecho un examen a un grupo de 3º de ESO, de nivel intermedio. Además de la nota del examen, ha considerado para calificar a los alumnos, notas de clase, trabajos, etc. La profesora ha anotado los resultados que ha obtenido cada alumno, que son: 1,5; 2, 7,5; 9,5; 10; 5; 3,7, 8; 6; 2,7; 1; 4,3; 6,3; 5,5; 8, 7; 3; 6; 8; 5,4; 6; 6,2; 6,8; 4,5. a) Agrupa los datos en cinco intervalos de igual longitud desde 0 hasta 10 y haz una tabla de frecuencias, con las correspondientes marcas de clase. (En cada intervalo, excepto en el último en el que entran los dos, entra el extremo de la izquierda pero no el extremo de la derecha).

b) Calcula la media de los datos agrupados y represéntalos mediante un histograma.

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