Apuntes de Recuperación de Matemáticas 2º de ESO by Luis Miguel Castro Hernández

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Recuperación de Matemáticas. 2º de ESO. Contents TEMA 1. Divisibilidad.................................................................................................................................................................. 5 Introduccioó n: Conjuntos numeó ricos................................................................................................................................. 5 Resumen de teoríóa................................................................................................................................................................... 5 Muó ltiplos de un nuó mero......................................................................................................................................................... 5 Divisores de un nuó mero......................................................................................................................................................... 6 Relaciones de divisibilidad................................................................................................................................................... 8 Criterios de divisibilidad....................................................................................................................................................... 8 Nuó meros primos y compuestos.......................................................................................................................................... 9 Descomponer un nuó mero en producto de factores primos..................................................................................10 Divisores comunes de varios nuó meros. Maó ximo comuó n divisor (m.c.d.)........................................................11 Meó todo para el caó lculo del maó ximo comuó n divisor.................................................................................................. 11 Muó ltiplos comunes de varios nuó meros. Míónimo comuó n muó ltiplo (m.c.m.)....................................................12 Meó todo del caó lculo para el míónimo comuó n muó ltiplo............................................................................................... 13 TEMA 2. NÚÁ MEROS ENTEROS............................................................................................................................................... 14 Nuó meros negativos................................................................................................................................................................ 14 Nuó meros positivos................................................................................................................................................................. 14 Conjunto de los nuó meros enteros................................................................................................................................... 15 La recta numeó rica: representacioó n y ordenacioó n de los nuó meros enteros.....................................................15 Valor absoluto de un nuó mero entero............................................................................................................................. 17 Suma de nuó meros enteros.................................................................................................................................................. 18 Resta de nuó meros enteros.................................................................................................................................................. 18 Escritura abreviada de operaciones con nuó meros enteros...................................................................................19 Multiplicacioó n de nuó meros enteros................................................................................................................................ 19 Divisioó n de nuó meros enteros............................................................................................................................................ 20 Regla de los signos................................................................................................................................................................ 20 Operaciones combinadas con nuó meros enteros........................................................................................................ 21 Jerarquíóa en las operaciones............................................................................................................................................. 22 Tema 3. Fracciones..................................................................................................................................................................... 23 Concepto de fraccioó n............................................................................................................................................................ 23 Comparacioó n de fracciones................................................................................................................................................ 24 Fracciones equivalentes...................................................................................................................................................... 26 Amplificar y simplificar fracciones................................................................................................................................. 26

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Nuó meros decimales............................................................................................................................................................... 28 Fraccioó n generatriz de un nuó mero decimal................................................................................................................. 28 Sumar y restar fracciones con igual denominador................................................................................................... 29 Sumar y restar fracciones................................................................................................................................................... 30 Multiplicar fracciones.......................................................................................................................................................... 32 Fraccioó n de un nuó mero........................................................................................................................................................ 32 Fraccioó n opuesta e inversa................................................................................................................................................. 33 Dividir fracciones................................................................................................................................................................... 33 Tema 4. Potencias y raíóz cuadrada....................................................................................................................................... 36 Resumen de teoríóa................................................................................................................................................................. 36 Potencia de un nuó mero........................................................................................................................................................ 36 Valor de una potencia........................................................................................................................................................... 36 Potencia de un nuó mero entero......................................................................................................................................... 37 Potencias de base 10............................................................................................................................................................ 37 Multiplicar potencias de la misma base........................................................................................................................ 38 Potencias de exponente 1................................................................................................................................................... 38 Cociente de potencias de la misma base....................................................................................................................... 38 Potencias de exponente 0................................................................................................................................................... 39 Potencia de una potencia.................................................................................................................................................... 39 Raíóz cuadrada.......................................................................................................................................................................... 40 Raíóz cuadrada exacta y entera.......................................................................................................................................... 40 Operaciones combinadas con potencias y raíóces...................................................................................................... 40 Tema 5. Proporcionalidad numeó rica................................................................................................................................... 42 Magnitudes directamente proporcionales................................................................................................................... 42 Regla de tres simple directa.............................................................................................................................................. 43 Meó todo de reduccioó n a la unidad.................................................................................................................................... 44 Magnitudes inversamente proporcionales.................................................................................................................. 44 Regla de tres simple inversa.............................................................................................................................................. 46 Meó todo de reduccioó n a la unidad.................................................................................................................................... 46 Porcentajes............................................................................................................................................................................... 47 Intereó s simple.......................................................................................................................................................................... 49 Caó lculo del intereó s................................................................................................................................................................. 50 Tema 6. Expresiones algebraicas.......................................................................................................................................... 53 Lenguaje numeó rico y lenguaje algebraico.................................................................................................................... 53 Expresioó n algebraica............................................................................................................................................................ 53 Valor numeó rico de una expresioó n algebraica............................................................................................................. 54 Monomios................................................................................................................................................................................. 55

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Grado de un monomio......................................................................................................................................................... 55 Monomios semejantes......................................................................................................................................................... 56 Suma y resta de monomios................................................................................................................................................ 56 Multiplicacioó n de monomios............................................................................................................................................. 56 Divisioó n de monomios......................................................................................................................................................... 57 Polinomios................................................................................................................................................................................ 58 Suma y resta de polinomios:............................................................................................................................................. 58 Producto de polinomios...................................................................................................................................................... 60 Sacar factor comuó n................................................................................................................................................................ 60 Igualdades notables.............................................................................................................................................................. 61 Cuadrado de una suma................................................................................................................................................... 61 Cuadrado de una diferencia.......................................................................................................................................... 61 Suma por diferencia......................................................................................................................................................... 62 Tema 7. Ecuaciones.................................................................................................................................................................... 63 Identidades y ecuaciones.................................................................................................................................................... 63 Elementos de una ecuacioó n............................................................................................................................................... 63 Ecuaciones equivalentes..................................................................................................................................................... 64 Trasposicioó n de teó rminos................................................................................................................................................... 64 Meó todo general de resolucioó n de ecuaciones............................................................................................................. 65 Ecuacioó n de segundo grado............................................................................................................................................... 67 Foó rmula general para la resolucioó n de ecuaciones de segundo grado.............................................................67 Ecuaciones del tipo

ax 2+ c=0 ................................................................................................................................. 68

Ecuaciones del tipo

ax 2+ bx=0 ............................................................................................................................... 69

Resolucioó n de problemas con ecuaciones.................................................................................................................... 70 Tema 8. Funciones y graó ficas................................................................................................................................................. 75 Sistemas de ejes cartesianos............................................................................................................................................. 75 Relacioó n entre magnitudes:............................................................................................................................................... 77 Variables y graó ficas............................................................................................................................................................... 80 Concepto de funcioó n............................................................................................................................................................. 81 Funcioó n afíón............................................................................................................................................................................. 84 Funcioó n de proporcionalidad o lineal............................................................................................................................ 85 Funcioó n de proporcionalidad inversa y funciones................................................................................................... 87 Estudio graó fico de funciones: continuidad, crecimiento y decrecimiento......................................................87 Estudio graó fico de funciones: maó ximos, míónimos y cortes con los ejes...........................................................89 Representacioó n de funciones cuadraó ticas (de segundo grado)...........................................................................91 Tema 9. Sistema sexagesimal................................................................................................................................................. 92 Sistema sexagesimal............................................................................................................................................................. 92

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Medidas de aó ngulos.............................................................................................................................................................. 92 Medidas de tiempos.............................................................................................................................................................. 93 Expresiones complejas e incomplejas........................................................................................................................... 94 Sumas en el sistema sexagesimal.................................................................................................................................... 95 Restas en el sistema sexagesimal.................................................................................................................................... 95 Multiplicar por un nuó mero en el sistema sexagesimal........................................................................................... 96 Dividir por un nuó mero en el sistema sexagesimal.................................................................................................... 96 Tema 9. Proporcionalidad geomeó trica............................................................................................................................... 98 Segmentos y políógonos........................................................................................................................................................ 98 Razoó n de dos segmentos..................................................................................................................................................... 99 Segmentos proporcionales................................................................................................................................................. 99 Políógonos semejantes........................................................................................................................................................ 100 Teorema de Tales................................................................................................................................................................. 101 Segmento cuarto proporcional...................................................................................................................................... 102 Dividir un segmento AB en partes iguales................................................................................................................. 103 Semejanza de triaó ngulos.................................................................................................................................................. 103 Razoó n de los períómetros y las aó reas de figuras semejantes...............................................................................104 Caó lculo de la altura de un objeto a partir de su sombra...................................................................................... 106 Tema 10. Triaó ngulos y circunferencias............................................................................................................................ 109 Rectas y puntos de un triaó ngulo.................................................................................................................................... 109 Mediatrices............................................................................................................................................................................ 109 Bisectrices.............................................................................................................................................................................. 110 Teorema de Pitaó goras........................................................................................................................................................ 111 Aplicaciones del teorema de Pitaó goras....................................................................................................................... 111 Teorema de la altura.......................................................................................................................................................... 113 Teorema del cateto............................................................................................................................................................. 113 Tema 11. Estadíóstica............................................................................................................................................................... 116 Variables estadíósticas........................................................................................................................................................ 116 Frecuencia absoluta y relativa....................................................................................................................................... 116 Diagrama de barras............................................................................................................................................................ 118 Medidas de centralizacioó n: Media................................................................................................................................ 119 Medidas de centralizacioó n: Mediana y moda........................................................................................................... 120 Medidas de dispersioó n: Recorrido y desviacioó n media........................................................................................120

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TEMA 1. Divisibilidad Introducción: Conjuntos numéricos. Conjuntos de números:

N ∈ Z ∈Q ∈ R .

R=Q ∪ I

Resumen de teoría. Un número a es múltiplo de otro número b si la división a :b es exacta. Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales. Un número b es divisor de otro número a si la división a :b es exacta. Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número por los sucesivos número naturales hasta que el cociente sea menor que el divisor. Entre dos números existe una relación de divisibilidad cuando el mayor es múltiplo del menor y el menor es divisor del mayor. Un número es divisible pro 2 si su última cifra es 0 o número par, por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, por 5 si su última cifra es 0 o 5 y pro 10 si su última cifra es 0. Un número es primo si sólo es divisible o tiene como divisores él mismo y la unidad. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. La descomposición en factores primos de un número nos permite expresar dicho número como producto de número primos en forma de potencia. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Se obtiene descomponiendo cada número en producto de factores primos y multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Se obtiene descomponiendo cada número en producto de factores primor y multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente.

Múltiplos de un número. Un número a es múltiplo de otro número b si la división a :b es exacta, es decir, su resto es cero. Así, 12 es múltiplo de 6, porque 12:6=2, y resto=0, o sea, es división exacta. En cambio, 25 no es múltiplo de 6, porque 25 :6=4,1 6^ , o sea, no es división exacta. Los múltiplos de un número se sacan multiplicando el número por los números naturales, o sea, por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 6 se representan por 6́=6 ·1, 6 ·2, 6 · 3,6 · 4, 6 · 5 … , y por tanto 6́=6,12, 18,24 … Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

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Ejercicio 1. Completa la siguiente tabla de productos: x 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 5 35 6 7 9

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Ejercicio 2. De los siguientes números, indica los que son múltiplos de 12. Razona la respuesta. 48 – 52 – 60 – 80 – 120 – 144 – 150 – 180 Ejercicio 3. Escribe los 8 primeros múltiplos de: a) 9 → b) 15 → c) 20 →

d) 75 →

e) 100 → Ejercicio 4. Escribe los números que sean: a) Múltiplos de 5 y menores que 51: b) Múltiplos de 25 y menores que 105: c) Múltiplos de 30 que estén comprendidos entre 50 y 280: d) Múltiplos de 1000 que estén comprendidos entre 990 y 10.100:

Divisores de un número. Un número b es divisor de a si la división a :b es exacta. Así, 6 es divisor de 12 porque 12:6=2, y da exacto. En cambio, 8 no es divisor de 26 porque 26:8 no es una división exacta. Todo número es divisor de sí mismo: a :a=1 . El 1 es divisor de cualquier número, porque a :1=a Para obtener los divisores de un número: 1. Dividimos dicho número por los sucesivos números naturales hasta que el cociente sea menor que el divisor. 2. Elegimos los divisores y los cocientes de las divisiones exactas. Ejemplo. Calculamos los divisores de 16. Cociente < Divisor 1 1 16 2 16 3 16 4 16 5 6  0 16 0 8 1 5 0 4 1 3 3 < 5 Luego divisores son: 1, 16, 2, 8 y 4. Es decir, divisores son: 1, 2, 4, 8 y 16. Cuando un número solamente tiene dos divisores, que son él mismo y el uno, se dice que es un número primo. Cuando un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número compuesto. Si el número de estos divisores es impar, entonces es un cuadrado perfecto, siendo el divisor que ocupa

(

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la posición central, una vez ordenados todos los divisores, el número que elevado al cuadrado da el cuadrado perfecto. Por ejemplo:

Ejercicio 5. Realiza la división de estos números por los sucesivos números naturales hasta que el cociente sea menor que el divisor: a) 15 b) 24

Ejercicio 6. Escribe todos los divisores de los números anteriores: a) 15: b) 24: Ejercicio 7. Tacha los números que no sean: a) Divisores de 2 = 1, 2, 3 b) Divisores de 9 = 1, 2, 3, 4, 6, 9 c) Divisores de 11 = 1, 3, 7, 9, 11 d) Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30 e) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48 f) Divisores de 100 = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100 Ejercicio 8. Tenemos una tinaja con 120 libros de vino. Para llevarlo a un almacén decidimos traspasarlo a garrafas. a) ¿Cuántas garrafas de 5 libros se pueden llenar con el vino de la tinaja? ¿Quedaría alguna incompleta? ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 5 litros? b) ¿Cuántas garrafas de 7 libros se pueden llenar con el vino de la tinaja? ¿Quedaría alguna incompleta? ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 7 litros? c) ¿Qué capacidades podrían tener las garrafas para llenar un número exacto de ellas? ¿Cuántas garrafas necesitaríamos de cada tipo? Ejercicio 9. En una clase de 28 alumnos se quieren formar grupos de trabajo. ¿De cuántas formas podrá el profesor agruparles sin que sobre ninguno? Razónalo. Ejercicio 10. Comprueba este razonamiento:

]

3 es divisor de 6 → 3 es divisor de 12 6 es divisor de 12

Después, contesta a estas preguntas: a) Si a es divisor de 6 y 6 es divisor de b , ¿ a es divisor de b ? b) 8 es divisor de un número a . ¿Podrías decir otro divisor de a ?

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Relaciones de divisibilidad → 48 es múltiplo de 6 → 6 es divisor de 8 48 Decimos que entre 48 y 6 existe una relación de divisibilidad. Si un número a es múltiplo de otro número b , siempre se cumple que b es divisor de a . Si un número a es divisor de otro número b , siempre se cumple que b es múltiplo de a .

4 8 0

Ejercicio 11. Completa los huecos con la palabra adecuada: múltiplo o divisor. a) 25 es ______________ de 5 b) 60 es ______________ de 120 c) 16 es ______________ de 8

e) 100 es ______________ de 25

f ) 16 es ______________ de 8

g) 7 es ______________ de 63

Ejercicio 12. Observa cada división y completa. → 18 es múltiplo 1 3 3 8 de 3 0 → 3 es divisor de 0 6 0 18 → 18 es __________ 1 6 8 de 6 → 6 es __________ 0 3 0 de 18 → __ es ________ 4 5 de __ → __ es ________ 0 9 0 de __ → __ es ________ 4 2 8 8 de __ → __ es ________ 0 8 0 de __

6 5 5 9 4 7 7 4

→ __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __ → __ es ________ de __

Ejercicio 13. Jorge tiene 20 cromos de fútbol. ¿Puede hacer grupos de 2, 3, 5, 7 o 10 cromos sin que le sobre ninguno? Explícale cómo conseguirlo y exprésalo en todas las formas posibles.

Criterios de divisibilidad. Sin necesidad de hacer la división, podemos conocer si un número cualquiera es divisible por otro mediante la aplicación de las reglas o criterios de divisibilidad. Los principales criterios son: Un número es divisible por 2 si su última cifra es 0 o número par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son 0 o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.

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Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Un número es divisible por 11 si: (a) se suman las cifras que ocupan las posiciones pares; (b) se suman las cifras que ocupan las posiciones impares; (c) se restan ambos resultados; (d) si el resultado del tercer paso es 0 o múltiplo de 11, entonces es que es divisible por 11. Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son 0 o forman múltiplo de 25. Un número es divisible por 100 si sus dos últimas cifras son 0. Hay que tener en cuenta que: - Si un número no es divisible por otro, tampoco lo será por sus múltiplos. - Si un número es divisible por otro, lo ha de ser por todos sus divisores. Ejercicio 14. Completa la tabla, indicando si se cumple la relación: Número Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 10 230 Sí No Sí Sí 426 520 1080 2745 4500 321 Ejercicio 15. Entre 50 y 100, busca cuatro números múltiplos de 3 y otros cuatro que sean divisibles por 5. Múltiplos de 3: Divisibles por 5: Ejercicio 16. Indica los valores numéricos que puede tomar a para que el número 2 a 0 sea: a) Divisible por 2: b) Divisible por 3: Ejercicio 17. Indica los valores que puede tomar x para que el número 75 x sea: a) Divisible por 5: b) Divisible por 10: Ejercicio 18. Indica los valores que puede tomar n para que el número 75 n sea: a) Divisible por 2: b) Divisible por 5: c) Divisible por 2 y 3 a la vez: d) Divisible por 5 y 10 a la vez:

Números primos y compuestos. Número primo es aquel que sólo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Ejemplo: 5, 7, 13… son números primos. Número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 15, 2, 10, 3… son divisores de 30; por tanto, 30 es un número compuesto. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto. Ejercicio 19. En la siguiente tabla, escribe los cien primeros números: - Tacha el número 1. - El menor número primo es 2. Tacha todos los números múltiplos de 2 a partir del 2.

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- El menor número primo es 3. Tacha todos los números múltiplos de 3 a partir del 3. - El menor número primo es 5. Tacha todos los números múltiplos de 5 a partir del 5. - Continúa con los números primos siguientes hasta que no puedas tachar ninguno más. [Si tienes, usa un color distinto para tachar cada vez, te llamará la atención cómo están distribuidos]

100

Ejercicio 20. Los números que han quedado sin tachar del ejercicio anterior son los números primos menores que 100. Escríbelos: Ejercicio 21. De los siguientes números, indica cuáles son primos y cuáles compuestos: 89 – 101 – 222 – 312 – 559 – 625 – 777 – 1003

Descomponer un número en producto de factores primos. Descomponer un número en producto de factores primos es expresarlo como producto de distintos números primos elevados a potencias. Ejemplo: Descomponemos el número 60 en producto de factores primos. En la práctica lo hacemos así: → 60 2 60 2 Lo expresamos así: → 60=2· 2· 3 ·5 · 1 30 2 30 2 → 15 3 15 3 Usando las potencias quedaría así: 2 →5 5 5 5 60=2 · 3· 5 1 1 Ejercicio 22. Descompón los números siguientes en producto de factores primos 2 2 3 45 80 93 4 0 1 2

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2 6 3 1

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2 3

Ejercicio 23. Descompón los números 25, 48, 75 y 100 en producto de factores primos: Ejercicio 24. Calcula los números que vienen expresados por las siguientes potencias. a) 22 · 32=¿ b) 3 ·52 ·7=¿ c) 23 · 3 ·5 2=¿

d) 23 · 52 ·7 2 · 11=¿

Divisores comunes de varios números. Máximo común divisor (m.c.d.). Ejemplo. En una tienda de juguetes hay 12 trenes y 18 aviones. Se quieren vender en paquetes iguales de forma que no sobre ningún juguete. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que se pueden hacer? Debe haber el mismo número de trenes en cada paquete, luego el número de paquetes, para que no sobre ninguno, debe ser divisor de 12, y para que tampoco sobre ningún avión, el número de paquetes debe ser, también, divisor de 18. Calculamos los divisores de ambos números: - Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 5 y 12. - Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los divisores comunes a ambos números son el 1, 2, 3 y 6. El máximo común divisor, es decir, el mayor de los divisores comunes, es 6 y se dice así: m.c.d. (12, 18) = 6. 12 18 =2 trenes y =3 Como máximo podremos hacer 6 paquetes. Cada paquete contiene 6 6 aviones. Ejercicio 25. Halla los divisores comunes de: a) 25 y 30 b) 15 y 20 c) 9 y 12 d) 4, 6 y 12. Ejercicio 26. Calcula el m.c.d. de los números del ejercicio anterior. a) b) c) d) Ejercicio 27. Se quiere embalar 40 latas de refresco de cola y 100 latas de refresco de limón en cajas, de tal modo que el contenido de las cajas sea igual en todas y que no sobre ninguna lata. ¿Cuál es el número máximo de cajas que podemos hacer? ¿Qué contiene cada caja? Ejercicio 28. Se dispone de dos rollos de cuerda de 144 metros y 120 metros de longitud, respectivamente. Queremos cortarla en trozos cuya longitud se igual en ambos rollos. ¿Cuál sería la máxima longitud de estos trozos si no puede sobrar cuerda?

Método para el cálculo del máximo común divisor En la práctica, para calcular el m.c.d. de varios números aplicamos los siguientes pasos: 1. Descomponemos los números en producto de sus factores primos. 2. Tomamos los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente. 3. El producto de esos factores es el m.c.d. Ejemplo:

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Calcula el m.c.d. de 24 y 36: 2 2 36 2 4 1 2 18 2 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 24=23 · 3 30=22 ·3 2

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Factores comunes son el 2 y el 3. El menor exponente que tiene son: el dos al cuadrado y el tres elevado a una.

Por tanto, m.c.d. (24, 36)= 22 · 3=12.

Ejercicio 29. Completa la siguiente tabla: Descomposición en factores primos 60 y 40

60=22 · 3· 5 3 40=2 · 5

Producto de factores primor con menor exponente

22 · 5

m.c.d. 20

18 y 30 25 y 100 100 y 120 36, 48 y 72

Ejercicio 30. Tenemos dos garrafas, la primera con 18 litros de un producto A y la segunda con 24 litros de un producto B. Calcula el máximo número de bidones que podemos llevar de tal modo que la mezcla sea igual en todos ellos. ¿Cuál es la composición de estos bidones? Ejercicio 31. Se quiere embaldosar una habitación de 620 cm de largo por 220 cm de ancho con baldosas cuadradas de modo que no haya que cortar ninguna baldosa y que sean lo más grandes posible. ¿Cuáles serán las dimensiones de las baldosas?

Múltiplos comunes de varios números. Mínimo común múltiplo (m.c.m.). Ejemplo. Ana va a nadar a la piscina cada 3 días y Eva lo hace cada 4 días. Si hoy han estado ambas en la piscina, ¿cuándo volverán a coincidir? Ana va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24…  O sea, los múltiplos de 3. Eva va los días 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28… O sea, los múltiplos de 4. Se ve que 12 es el menor múltiplo común a 3 y 4. Por tanto, 12 es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ambos números y se dice así: m.c.m. (3, 4)=12. Por tanto, Ana y Eva coincidirán otra vez en la piscina dentro de 12 días.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 32. Halla los 5 primeros múltiplos comunes de: a) 5 y 10 b) 9 y 12

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c) 4 y 6

Ejercicio 33. Calcula el m.c.m. de los números del ejercicio anterior: a) b) c) Ejercicio 34. Dos aviones parten del mismo aeropuerto cada 10 días y 12 días respectivamente. Si hoy han coincidido ambos en el aeropuerto, ¿Cuándo volverán a coincidir por primera vez? Ejercicio 35. Una campana toca cada 30 minutos y otra cada 45 minutos. Si empiezan tocar a la vez a las 12 de la mañana, ¿cuántas veces sonarán juntas hasta las 12 de la noche? Ejercicio 36. Dos coches recorren cada vuelta de un circuito en 40 y 60 segundos, respectivamente. Si parten juntos del punto de salida, ¿cada cuánto tiempo coincidirán en la meta?

Método del cálculo para el mínimo común múltiplo. En la práctica, para calcular el m.c.m. damos los siguientes pasos: 1. Descomponemos los números en producto de sus factores primos. 2. Tomamos los factores comunes y no comunes que tengan el mayor exponente. 3. El producto de esos factores es el m.c.m. Ejemplo. Calculamos el m.c.m. de 12 y 60. 1 2 60 2 Factores comunes son el 2 y el 3. Factor no 2 común, el 5. 6 2 30 2 Con mayor exponente: 22 · 3 · 5 3 3 15 3 1 5 5 1 Por tanto, m.c.m. (12,60)= 22 · 3 ·5=60 2 2 12=2 ·3 60=2 · 3· 5 Ejercicio 37. Calcula el m.c.m. de estos números: a) 15 y 20. b) 8 y 12 c) 10 y 30

d) 9, 18 y 45.

Ejercicio 38. Completa la siguiente tabla: Números Descomposición en Producto de factores primos comunes y factores primos no comunes al mayor exponente 2 3 60 y 40 60=2 · 3· 5 2 · 3 ·5 3 40=2 · 5 18 y 30 50, 75 y 100 48, 72 y 100 36, 48 y 120

m.c.m. 20

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Ejercicio 39. ¿Cuál es el lado del cuadrado más pequeño que podemos formar uniendo baldosas rectangulares de 12x18 cm sin cortar ninguna baldosa?

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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TEMA 2. NÚMEROS ENTEROS. Resumen teórico. Los números enteros positivos, negativos y el 0 forman el conjunto de los números enteros, representado por Z . Z ={ … ,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3, … } - Los enteros positivos son los números naturales precedidos del signo +¿ . - Los enteros negativos son los números naturales precedidos del signo −¿ . Los números enteros se representan en la recta numérica: - Los enteros positivos, a la derecha del número 0. - Los enteros negativos, a la izquierda del número 0. - El mayor de dos números enteros es aquel que está situado más a la derecha en la recta numérica. El valor absoluto de un número entero es el número que resultad de prescindir de su signo. La suma de dos números enteros del mismo signo es igual a la suma de sus valores absolutos con el signo de los sumandos. Si los números son de distinto signo, se restan los valores absolutos y se coloca el signo del sumando de mayor valor absoluto. El opuesto de un número entero se obtiene cambiándolo de signo. La resta de dos números enteros es igual a la suma del primero más el opuesto del segundo. El producto de dos números enteros es igual al producto de sus valores absolutos, con el signo +¿ si ambos tienen el mismo signo, y el signo – si son de signo contrario. Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo del resultado es positivo si ambos tienen igual signo, y negativo, si son de signo contrario.

Números negativos. En la vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones tales como: Expresiones comunes

Se escribe

El submarino está a cien metros bajo el nivel del mar Hace una temperatura de cuatro grados bajo cero La cuenta bancaria está en números rosjos, debes 500€

−100 −4 −500

Se lee Menos cien Menos cuatro Menos quinientos

−100,−4,−120 son números enteros negativos. Los números negativos expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es menor que cero. Les precede el signo menos −¿ ¿ . Ejercicio 1. Completa la siguiente tabla: Expresiones comunes

Se escribe

Se lee

El submarino bajó a 34 metros de profundidad Bajó a la tercera planta del sótano La temperatura era de un grado bajo cero He perdido por la calle un billete de 10€

Ejercicio 2. Escribe situaciones que representen estos números negativos. a) −2 : b) −15 : c) −60 :

Números positivos. También observamos, leemos y decimos expresiones como: Expresiones comunes

Se lee

d) −150 :

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escribe Una gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar ¡Qué calor! Estamos a treinta y nueve grados Tengo seiscientos treinta y tres euros en el banco

+50

Más cincuenta

+39 +733

Más treinta y nueve Más seiscientos

+50,+39,+633 son números enteros positivos. Los números positivos expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es mayor que cero. Les precede el signo más +¿ ¿ .

Ejercicio 3. Completa la siguiente tabla: Expresiones comunes

Se escribe

Se lee

El niño tiene fiebre, el termómetro marca treinta y ocho grados El avión vuela a tres mil metros sobre el nivel del mar El monte tiene una altura de ochocientos cuatro metros Me encontré un billete de 10€ La cometa alcanza una elevación de ochenta y dos metros

Ejercicio 4. Escribe situaciones que representen estos números positivos: a) +3 : b) +15 : c) +45 : d)

+300 :

Conjunto de los números enteros Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros. Este conjunto se representa con el símbolo Z . Enteros positivos :+1,+2,+3,+ 4, … Números enteros: El cero :0. Enteros negativos :−1,−2,−3,−4, …

{

Ejercicio 5. Expresa con un número entero las siguientes situaciones: a) El helicóptero vuela a 150 metros de altura: b) Estoy flotando en el mar: c) El termómetro marca 4 grados bajo cero: d) El monte Everest mide 8.850 metros: e) Ana tiene una deuda de 46€: f) Te espero en la planta baja: Ejercicio 6. Éstas han sido las temperaturas semanales, en ºC, de una localidad. Exprésalas con números enteros: Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Dos bajo cero

Cinco

Cero

Tres bajo cero

Dos

Uno bajo cero

Cuatro

La recta numérica: representación y ordenación de los números enteros. Los números enteros se representan en una recta llamada recta numérica. Para dibujar una recta numérica hacemos lo siguiente: 1. Trazamos una recta horizontal y señalamos el 0, normalmente en la zona central de la recta. 2. Dividimos la recta en partes iguales, a la derecha e izquierda del cero. 3. A la derecha estarán los números positivos y a la izquierda los negativos.

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Ejercicio 7. ¿Cuántos números enteros hay entre −9 y +9 ? _____ ¿Y entre −12 y +12 ? ____ Ejercicio 8. Dados los números −8,+ 8,+ 3,−10,+6,+4,−2. a) Represéntalos en la recta numérica.

b) ¿Cuál está más alejado del origen? _________ ¿Y cuál está más cercano? _______ c) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del origen que él.

Ejercicio 9. Ayer, el termómetro osciló entre una máxima de +3 ºC y mínima de −4 a) Representa ambos valores en una recta numérica.

b) Indica si el termómetro pudo marcar las siguientes temperaturas: −2 −5 ºC, +1 ºC, 0 ºC, +2 ºC.

ºC, +4

ºC.

ºC,

c) Representa las temperaturas anteriores en la recta numérica de arriba. Ejercicio 10. Representa en la recta numérica, los números enteros comprendidos entre −15 +15 . Escribe los números que sean: a) Menores que +4 y mayores que −6 . b) Negativos y mayores que .−5 c) Positivos y menores que −11. d) Mayores que −1 y menores que +14 .

Comparación de números enteros. Un número entero positivo es siempre mayor que cualquier número entero negativo. Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha en la recta numérica. Usamos los símbolos mayor que ( ¿ ) y menor que ( ¿ ) para comparar dos números. … Ejercicio 11. Ordena. De menor a mayor (<)

−5 ←4←3←2←1<0<+1<+2<+3< +4 … … ..

+11,−2,+ 8, 0,−1,+5,−6,+3,−3,+ 7,−4,−9,+17

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De mayor a menor (<)

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−8,−16,+5,−2,+13,+3,−4,−9,+ 9, 0,+ 18,−10

Ejercicio 12. Representa en una recta numérica y ordena, de menor a mayor, los siguientes números: −5,+3,−8,+4,−2,+7,−1 .

Ejercicio 13. Escribe el signo que corresponda entre cada par de números ( ¿ o> ¿ ). a) +5 …… −2 b) −7 …… −4 c) −4 …… +1 d) +11 …… −15 e) 0 …… +8 f) −1 …… 0 g) +5 …… −11 h) +10 …… −9 Ejercicio 14. Completa los huecos con números enteros que cumplan la desigualdad. a) +5<. … … .<. … … ..<+12 b) -3 ¿ . … … .<. … …..<+7 c) +4 >. … … .>. … … ..>−4 d) −6 >. … … .>. … … ..>−11 e) +7<. … … .<. … … ..<+17 f) 0>. … … .>. … … ..>−9 Ejercicio 15. Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos números hay entre −1 y +1 ? b) ¿Cuántos números hay entre +3 y +12 ? ¿Y naturales? c) ¿Cuántos números hay entre −7 y +10 ? ¿Y naturales? d) ¿Cuántos números hay entre −83 y −76 ? ¿Y naturales?

Valor absoluto de un número entero. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de prescindir de su signo. En la práctica, se escribe entre dos barras verticales, || . El valor absoluto de −3 se escribe |−3| y es 3. El valor absoluto de +5 se escribe |+5| y es 5. Date cuenta de que |+5|=5 y |−5|=5 . Se dice que +5 y −5 son números opuestos op ( +5 ) =−5 ; op (−5 )=+5 . y se escribe así: Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto. Ejercicio 16. Completa la siguiente tabla fijándote en el ejemplo: Valor absoluto Resultado Se lee |+10| 10 El valor absoluto de +10 es 10 |−8| 7 7 |+9| El valor absoluto de −15 es 15 Ejercicio 17. Representa en la recta numérica estos números enteros. a) +7 y −7 b) +4 y −4 c) -6 y +6 ¿Qué observas? ¿Cómo son esos números?

d) +10 y −10

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Ejercicio 18. Para cada número entero, halla su opuesto y represéntalo en una recta numérica. a) −3 b) +9 c) −12 d) +8 Ejercicio 19. Calcula: a) |+5| + |−5|=¿ |−11|=¿ d) |−8|−|−8|=¿

b) |−3| + |−8|=¿ e) |−9|+|−5|=¿

c) |−12| +

f) |−15|+|−11|=¿

Suma de números enteros Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el mismo signo de los sumandos.

{

}

(−3 ) + (−2 ) → |−3|=3 → 3+2=5 |−2|=2 (−3 ) + (−2 )=−5

{

}

( +3 ) + ( +2 ) → |+3|=3 → 3+2=5 |+2|=2 ( +3 ) + ( +2 )=+5

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (−3 ) + ( +2 ) → |−3|=3 →3−2=1 ( +3 ) + (−2 ) → |+3|=3 → 3−2=1 |+2|=2 |−2|=2 (−3 ) + ( +2 )=−1 ( +3 ) + (−2 )=+1

{

}

{

}

Ejercicio 20. Realiza las siguientes sumas: a) ( +5 ) + ( +10 )=¿ b) (−5 )+ (−10 )=¿ c) (−1 )+ (−7 )=¿ d) (−4 )+ (+ 4 )=¿ e) (−7 ) + ( +11 )=¿ f) ( +8 ) + ( +5 ) =¿ g) ( +7 ) + (−2 )=¿ h) (−8)+(+6)=¿ i) (−9 ) + (−3 )=¿ Ejercicio 21. Representa en la recta numérica estas sumas y calcula su resultado: a) (−3 ) + (−1 ) =¿ b) ( +4 ) + (−4 )=¿ c) (−3 ) + ( +5 )=¿ d) ( +5 ) + (−2 )=¿ e) (−2 )+ (−5 )=¿ f) (−4 )+ (−3 )=¿ Ejercicio 22. Rellena los espacios: a) (−7 ) +()=−9 b) ( )+ (+ 8 )=−12 c) ( )+ (−2 )=−9

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d) ( +3 ) +( )=+14 g) ( )+ (+2 )=+2

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e) (−6 ) +()=+6 f) (−3 ) +( )=−12 h) (+7)+()=0 i) ()+ (+5 )=−8

Resta de números enteros. Para restar dos números enteros se suma al primer sumando el opuesto del segundo. Después, se aplica la regla de la suma de números enteros. ↱op (−2 )=+2 ↰ ↱op ( +2 )=−2 ↰ (−3 )−(−2 )=(−3 ) + ( +2 )=−1 (−3 )−( +2 )= (−3 )+ (−2 )=−5 ↱op (−2 )=+2 ↰ ( +3 )− (−2 )= (+3 )+ ( +2 )=+5

Ejercicio. Calcula las siguientes restas: a) ( +4 )−(−2 )=¿ b) c) ( +18 )−( +18 )=¿ d) d) 0−(−20 )=¿ e) f) (−2 )−(−7 )=¿ g) h) (−4 )−(−10 )=¿ i)

↱op ( +2 )=−2 ↰ ( +3 )− (+2 ) =(−3 )+ (−2 ) =1

(−11)−(−10)=¿ (−6 )−( +6 )=¿ 0−(+19 )=¿ ( +5 )−(−9 )=¿ (−6 )−(−6 )=¿

Escritura abreviada de operaciones con números enteros Regla 1. En las sumas se prescinde del signo + de la suma. (−7 ) + ( +2 )=−7+2 (−7 ) + (−2 )=−7−2 Regla 2. Las restas se expresan primero como suma del opuesto y, después, se simplifican. (−4 )−( +3 )= (−4 ) + (−3 )=−4−3 Regla 3. El primer sumando se escribe sin signo cuando es positivo. ( +5 ) + (−4 )=5−4 Ejercicio 24. Realiza las siguientes restas: a) ( +10 )−( +5 )=( +10 ) + (−5 )=¿ b) (−15 )−( +17 ) =¿ c) ( +8 )−(−12)=¿ d) (−1 ) — 1=¿ e) (−18 )−( +10 )=¿ f) (−15 )−(−10 )=¿ Ejercicio 25. Escribe de forma abreviada y calcula. a) (−3 )−( +5 ) + ( +2 ) −(−7 )=¿ b) ( +6 ) + ( +2 ) + (−4 )−(−1 )=¿

Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se multiplican sus valores absolutos. 2. Al resultado se le pone signo +¿ si ambos números son de igual signo, y signo signo distinto. 1º . 5 ·3=15 ( +5 ) · (−3 )=−15 2 º . El resultadoes−15, ya que los números son de signo distinto . 1º . 5 ·3=15 (−5 ) · (−3 )=+15 2 º . El resultadoes +15, ya que los números tienen el mismo signo .

[ [

Ejercicio 26. Realiza estas operaciones.

–

si son de

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a) ( +7 ) · ( +2 ) =¿ b) ( +12 ) · (−3 )=¿ c) (−10 ) · ( +10 )=¿ d) (−5 ) · ( +8 ) =¿ e) (−1 ) · (−1 ) =¿ f) ( +5 ¿ · ( +20 )=¿ Ejercicio 27. Completa para que las igualdades sean ciertas: a) ( +7 ) ·()=+28 b) (−9 ) · ()=−27 c) ( +1 ) ·( )=−12 b) ( +2 ) ·( )=−8 e) (−5 ) ·( )=+ 40 f) (−2 ) ·( )=+12

División de números enteros Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se dividen sus valores absolutos. 2. Al resultado se le pone signo +¿ si ambos números son de igual signo, y signo signo distinto. 1 º . 20 :4=5 ( +20 ) · (−4 )=−5 2 º . El resultado es−5, ya que los números son de signo distinto . 1 º . 20 :4=5 (−20 ) · (−4 )=+5 2 º . El resultado es +5, ya que los números tienen el mismo signo .

[ [

Ejercicio 28. Efectúa. a) ( +16 ) : ( +2 )=¿ b) ( +12 ) : (−3 ) =¿ c) d) (−8 ) : (−1 )=¿ e) (−25 ) : ( +5 )=¿ f) Ejercicio 29. Completa para que las igualdades sean ciertas: a) ( +16 ) :()=+8 b) ( +12 ) :()=−2 c) d) (−8 ) : ()=−4 e) (−25 ) :()=+5 f)

(−100 ) : ( +10 ) =¿ ( +45 ) : ( +9 )=¿ (−100 ) : ()=−10 ( +45 ) :( )=+ 9

Regla de los signos Para simplificar las operaciones de multiplicación y división e números enteros se usa la regla de los signos:

Multiplicación +¿ ¿ +¿ ¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ ¿ +¿ ¿ −¿ ¿ ¿ −¿ ¿ +¿ ¿ ¿

División +¿ ¿ +¿ ¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ ¿ +¿ ¿ −¿ ¿ ¿ −¿ ¿ +¿ ¿ ¿

Ejercicio 30. Realiza las siguientes operaciones aplicando la regla de los signos. a) ( +12 ) · (−3 )=¿ b) (−20 ) : (−10 ) =¿ c) ( +6 ) · (−6 )=¿ d) ( +80 ) : (−8 )=¿ e) (−9 ) : (−3 )=¿ f) (−100 ) : ( +25 )=¿ g) (−9 ) · ( +8 )=¿ h) ( +6 ) · (−6 )=¿ i) (−1 ) · (−18 )=¿ j) ( +35 ) : (+5 )=¿ k) (−77 ) : (−11 )=¿ l) (−12) ¿ ·(+5)=¿

–

si son de

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Ejercicio 31. Completa los huecos con los números enteros correspondientes: a) ( +9 ) ·()=−36 b) ( )· (+ 10 )=−100 c) (−7 ) ·( )=+ 21 d) (−30 ) ·()=+30 f) (+6)·( )=0 Ejercicio 32. Completa los huecos con los números enteros correspondientes: a) ( +42 ) :( )=−7 b) (−8 ) :( )=+1 c) ¿ · (−8 )=−40 ¿ ( −20 ) :( )=−20 ( ): ( −6 ) =+5 ( +9 ) :( )=−9 d) e) f) Ejercicio 33. Expresa como producto de dos números: a) −1=(−1 ) ·(+1) b) −24=¿ d) −9=¿ e) +1=¿

c) +18=¿ f) +36=¿

Ejercicio 34. Expresa como división de dos enteros: a) −1=¿ b) −24=¿ d) −9=¿ e) +1=¿

c) +18=¿ f) +36=¿

Ejercicio 35. Completa la siguiente tabla: a b c a·|b−c| 2 −3 −4 −1 4 −2 1 2 3 2 −1 3

|a|·|b+ c|

|a+ b|· c

Operaciones combinadas con números enteros Para calcular operaciones combinadas de sumas y restas con enteros: 1º. Se suprimen los paréntesis:  Para suprimir un paréntesis precedido del signo +¿ , se deja cada número del interior del paréntesis con su signo. Ejemplo: + (−3+4−6 )=−3+4−6  Para suprimir un paréntesis precedido del signo −¿ , se cambia de signo cada número que hay dentro del paréntesis. Ejemplo: −(−3+ 4−6 )=+3−4+6 2º. Una vez eliminados los paréntesis, podemos operar de dos formas: 1ª forma. Sumar los enteros positivos y sumar los enteros negativos y, después, calculamos la resta de ambos resultados. 2ª forma. Realizar las operaciones en el orden en que aparecen. Ejemplos: a) 1+ (−5+ 3−2+7 )=1−5+3−2+7 Primera forma: 1−5+3−2+7=1+ 3+7−5−2=11−7=+4 Segunda forma: 1−5+3−2+7=−4+3−2+7=−1−2+7=−3+7=+ 4 b) 1−(−5+3−2+ 7 )=1+5−3+2−7 Primera forma: 1−5−3−2+7=1+5+2−3−7=8−10=−2 Segunda forma: 1+5−3+ 2−7=6−3+ 2−7=3+2−7=5−7=−2 Ejercicio 36. Calcula. a) 5−7 +19−( 20+ 4−3 ) +10=¿

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b) 7−(8+ 9−11)=¿ c) 9−11+(13+ 2−4−5)+9=¿ d) 4−(20+17)−16+ 7−15+3=¿ Ejercicio 37. Realiza, de las dos formas explicadas, las siguientes operaciones combinadas. a) 8−( 4−7 ) =¿ b) −4−( 5−7 )−( 4+5 )=¿ c) −(−1−2−3 )− (5−5+ 4+6+ 8 )=¿ d) (−1+2−9 ) −( 5−5 )−4 +5=¿ Ejercicio 38. Simplifica las expresiones y calcula el resultado. a) (−2 )+ [−3−( +2−4 ) +1 ] −5=¿ b)

3−[ −2−(−1−(−6 ) )−3 ] +7=¿

1+ [ 2+(−7−( +4 )−1) ] −6=¿

3+(−1−( +7 ) ) d) −1−¿−10=¿ −9−¿

Jerarquía en las operaciones En las expresiones con operaciones combinadas se siguen estos pasos: 1º. Se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis y corchetes: 2º. Se efectúan las operaciones de multiplicación y división en el orden en que aparecen. 3º. Por último, se hacen las operaciones de suma y resta en el orden en que aparecen. Ejemplo: (−8 ) : 4−(7 +5−2)· 4+ ( 8−10 )=¿=−( 8 ) :4− (−4 ) · 4+ (−2 )=¿ ¿−2−(−16 )+ (−2 ) =¿=−2+16−2=12 ¿ ¿ Ejercicio 39. Calcula: a) 8+3 · ( 9−11 )=¿ b) 5 · ( 8−3 ) −4 · ( 2−7 )=¿ c) 18−60 : ( 3+14−2 )=¿ d) ( 22−10 ) : (−4 +8 )=¿ e) (−13 )+ (−7 ) · ( 8−5+ (−1 ) ) : (−2 )=¿ f) 18 : (−3 ) · (−4 )−( 12−(−6 )+ (−3 ) ) =¿ Ejercicio 40. Realizar las siguientes operaciones: a) 3 · 4−15: [ 12−4 · ( 2−7 ) +(−17) ] =¿ b) 2· ( 4−11 )−4 · ( 6+2 · ( 5−8−2 ) )=¿ c) 3 · ( 4−( 6 :2−11 ) )−4 ( 5−( 7−3−8 ) ) =¿

d) 14−[ 8− (10−8 )−4 · 3 ] : (−2 )=¿

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

[ 2−(−4 )−(−11+5)] : [ 2−( 5−9+ 6 )−(−3) ]=¿

f) −[− 4− ( 9+5−3 )+ 12 ] · [ 3− [−( 7−2 ) +1 ] −4 ]=¿

h) −( 8−10 ) : (−2 )+ ( 3+6 ) : (−3 ) · (−5 )=¿

[ ( 8−9 )−((−3 ) +2) ] · [ (−4 ) ·3−(−2 ) +5 · (−2 ) +6 ] · (−8 ) : 4−2=¿

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Tema 3. Fracciones. Concepto de fracción. Úna fracción es una expresioó n de la forma

a , en la que a y b son nuó meros enteros con b

b≠0 . a → numerador b → denominador Lectura de fracciones. - Si el denominador es menor o igual que 10: Denominador 2 3 4 5 6 Medios Tercios Cuartos Quintos Sextos Se lee

Seó ptimos

Octavos

Novenos

Deó cimo s

2 7 2 se lee tres medios ; se lee siete tercios; se lee dos cuartos 3 3 4 - Si el denominador es mayor que 10, se lee el nuó mero seguido del teó rmino –avo. Denominador 11 Onceavos Se lee

Doceavos

Treceavos

Catorceavos

Quinceavos

Dieciseisavos

…

Veinteavos

17 1 2 se lee diecisiete veintinueveavos; se lee un cuarentavo ; se lee diez cincuentavos 29 40 4 Ejercicio 1. Completa la siguiente tabla: Fraccioó n Numerador Denominador Se lee 4 4 7 Cuatro seó ptimos

7 7 12 10 25 ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑

Tres cuartos Seis deó cimos 11

6 Quince treintavos

3 Dos quintos

La fracción como parte de una unidad. Vamos a verlo con un ejemplo: Ana parte una pizza en 8 porciones iguales y se come 3. ¿Cómo se expresaría esta situación mediante fracciones?

3 8

→ Numerador :número de porciones que se come ,queson 3.

→ Denominador : número total de porciones de latarta , que son 8. - Significado del denominador. Nuó mero de partes en que se divide la unidad. - Significado del numerador: nuó mero de partes que tomamos de la unidad.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

P a g e | 26

Ejercicio 2. Laura se ha comido 2 trozos de un bizcocho que estaó dividido en 6 partes iguales. a) ¿Qué fraccioó n representa lo que se ha comido Laura? b) ¿Y la parte de bizcocho que no se ha comido? c) Representa los resultados anteriores usando dibujos diferentes. Ejercicio 3. Escribe la fraccioó n que representa la parte coloreada de cada uno de los siguientes graó ficos: a) b) c)

Ejercicio 4. ¿Qué fraccioó n representa cada situacioó n? Haz un dibujo de cada caso. a) De una tableta de chocolate de 15 onzas, me como 6.

b) Dividimos una pizza en 8 partes iguales y nos comemos 5

c) Ún paquete de pan de molde tiene 24 rebanadas y uso 8 para preparar la merienda.

d) De un total de 20 cromos he regalado 12.

Comparación de fracciones. Vamos a verlo con un ejemplo. Laura, Juan Carlos y AÁ lvaro han comprado cada uno el mismo nuó mero de cromos. Juan ha pegado los dos tercios de sus cromos, Ana la mitad y Luisa los tres cuartos. ¿Quieó n ha pegado maó s cromos? Para comparar las fracciones

2 1 3 , y , hacemos lo siguiente: 3 2 4

1. Se reducen a comuó n denominador, y para ello: - Se calcula el m.c.m. de los denominadores y se toma ese valor como denominador comuó n de las fracciones. - Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fraccioó n y el cociente obtenido se multiplica por el numerador. Asíó:

{

2 4 · 12 8 → 12:3=4 → = 3 12 12 1 6 ·1 6 m. c . m. ( 3,2,4 ) =12→ → 12:2=6→ = 2 12 12 3 3· 3 9 → 12: 4=3→ = 4 12 12 8 6 9 , y Las fracciones tienen el mismo denominador. 12 12 12 2. Se comparan los numeradores de las fracciones obtenidas. Es mayor la que tiene mayor

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numerador. Asíó, ordenadas de mayor a menor son:

P a g e | 27

9 8 6 3 2 1 > > → por tanto: > > 12 12 12 4 3 2

Ejercicio 5. Ordena, de menor a mayor (<), las siguientes fracciones:

4 8 6 5 2 3 11 10 7 , , , , , , , , . 12 12 12 12 12 12 12 12 12

Ejercicio 6. Ordena, de mayor a menor (>) las siguientes fracciones:

3 9 6 4 2 8 5 1 , , , , , , , . 9 9 9 9 9 9 9 9

Ejercicio 7. Reduce a comuó n denominador y ordena estas fracciones de mayor a menor: a)

3 8 11 , ,y 10 5 5

1 1 1 , y 3 4 6

2 3 4 , y 9 10 15

3 4 1 5 , , y 4 5 2 8

5 7 8 , y 6 8 9

Ejercicio 8. Escribe la fraccioó n que representa la parte coloreada y despueó s ordena, de mayor a menor, las fracciones:

Ejercicio 9. Escribe el signo mayor que (>), menor que (<) o igual que (=) en cada caso:

3 12

a) 7 7

b) 5 20

d) 5 4

e) 7 6

c) 5 7 71

f) 8 4

Ejercicio 10. Úna herencia se ha repartido entre tres hermanos de la siguiente manera: Pedro, la herencia, Carmen menor?

7 12

y Beatriz

1 4

1 . ¿A quién le ha tocado la mayor parte de la herencia? ¿Y la 6

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 11. En un parque hay 20 aó rboles:

3 5

del total son aó lamos,

P a g e | 28

1 10

son pinos y el resto

castanñ os. ¿De qué clase hay maó s aó rboles? ¿Cuántos aó lamos hay? ¿Y pinos?

Fracciones equivalentes. Dos fracciones,

a b

c , son equivalentes y se representa d

a c = b d

cuando se cumple alguna

de las siguientes condiciones:

2 6 a·d=b·c → = → 2· 15=5· 6 → 30=30 5 9 2 6 → 6 :15=0,4 . 2. Tienen la misma expresioó n decimal → → 2:5=0,4 ; 5 15 1. Si se cumple que

3. Representan la misma cantidad:

2 5

6 15

Ejercicio 12. Comprueba si son equivalentes las siguientes facciones usando el criterio de la expresioó n decimal:

3 6 a) 5 y 10

1 2 b) 2 y 4

3 9 c) 4 y 12

1 2 d) 2 y 3

Ejercicio 13. Averigua si son equivalentes estas fracciones mediante representacioó n graó fica:

3 6 a) 5 y 10

1 2 b) 2 y 4

6 3 d) 21 y 7

c) 9 y 6

Ejercicio 14. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones:

4 6 a) 3 y 8

1 2 b) 2 y 4

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3 9 d) 4 y 12

c) 9 y 4

Ejercicio 15. Halla el teó rmino que falta para que estas fracciones sean equivalentes:

a) 15 = ❑

8 = =❑ c) ❑ 2 16 32

b) ❑ = 9

2 ❑ 6 = = 5 20 ❑

Amplificar y simplificar fracciones Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fraccioó n por un mismo nuó mero, obtenemos una fraccioó n equivalente. - Amplificar una fraccioó n es obtener otra multiplicando su numerador y denominador por un

2 2 ·3 6 2 6 →· 3 → = → = →2 ·15=5 ·6 5 5 ·3 15 5 15 2 6 Se dice que la fraccioó n y su amplificada, , son equivalentes. 5 15 nuó mero:

- Simplificar una fraccioó n es obtener otra dividiendo su numerador y denominador por un divisor

18 18 :2 9 18 9 →:2 → = → = → 18 ·6=12 · 9 12 12 :2 6 12 6 18 9 Se dice que la fraccioó n y su simplificada, , son equivalentes. 12 6 comuó n a ambos:

- Úna fraccioó n que no se pude simplificar se llama fraccioó n irreducible. Para calcularla, se dividen numerador y denominador entre el m.c.d. de ambos; si numerador y denominador son primor entre síó, la fraccioó n ya es irreducible.

18 18 :2 9 9: 3 3 3 18 = = = = → es la fracción irerducible de 12 12 :2 6 6: 3 2 2 12

Ejercicio 16. Escribe fracciones equivalentes mediante amplificacioó n.

1 2 3 4 ❑ = = = = 3 6 ❑ ❑ 36

5 = = = = 7 ❑ ❑ ❑ ❑

Ejercicio 17. Simplifica conforme se hace en el primer ejemplo:

a) b) d)

45 32 ·5 32· 5 1 = = = 2 2 90 2· 3 · 5 2· 3 ·5 2 36 54 60 75

120

c) 180 121

e) 330

Ejercicio 18. Simplifica hasta llegar a la fraccioó n irreducible:

a) 120 =¿ 45

c) 150 =¿

b) 240 =¿ 75

d) 175 =¿

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

1260

P a g e | 30

e) 6930 =¿

f) 315 =¿

1020 =¿ 243

Ejercicio 18. Encuentra la salida del laberinto siguiendo el camino de las fracciones irreducibles: Entrada 5 2 9 18 3 9 3

→ 2 6 12 18 5 10 6 12 4 18 6 18 4 6

7 1 3 2 5 5 15 2 9 3 5 5 8 3 13

4 3 6 4 9 3 18 1 6 4 8 5 6 10 12

5 6 15 3 8 5 6 4 7 2 12 1 7 2 7

4 4 12 12 15 3 21 8 12 15 18 3 9 3 7

7 7 21 1 2 2 3 1 4 5 9 1 5 1 8

18 4 10 7 9 10 15 2 18 9 15 3 12 2 8

7 2 10 3 4 1 9 4 5 7 8 6 7 → Sali da

Números decimales Para obtener la expresioó n decimal de una fraccioó n dividimos el numerador entre el denominador, sacando los decimales que necesitemos. Ejemplo:

12 →12 :10=1,2 → número decimal exacto . 10 7 → 7: 9=0,77777 …=0, 7^ → número decimal pediódico puro. 9 -

Ún decimal perioó dico es un nuó mero que tiene una cifra o grupo de cifras denominadas período, que se repiten indefinidamente. En el nuó mero 0,777… el períóodo es 7 y, como el períóodo empieza despueó s de la coma, decimos que es un decimal periódico puro. Es escribe 0, 7^ .

5 → 5:6=0,83333 …=0,8 3^ →número decimal periódico . 6

En este nuó mero el períóodo es 3 y, como no empieza inmediatamente despueó s de la coma, es un decimal periódico mixto. Se escribe 0,8 3^ . Ejercicio 21. Expresa estos nuó meros decimales de forma abreviada. a) 0,555 …=0, 5^ b) 0,644 …=¿ c) d)

144,818181…=¿

0,002171717 …=¿

17,229999 …=¿ f)

17,171171172…=¿ Ejercicio 22. Clasifica estos nuó meros decimales en exactos, perioó dicos puros o perioó dicos mixtos. a)

1, 3^

0,25

12,9 3^

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ d) −3,45 g)

8,143 5^

^ −11,2 1234

f) h)

P a g e | 31

^ 0, 14

^ 0,0000 125

Ejercicio 23. Halla la expresioó n decimal de las siguientes fracciones.

a) 15

b) 22

c) 3

d) 18

Ejercicio 24. Indica queó tipo de expresioó n decimal tienen estas fracciones.

a) 20

b) 20

c) 12

d) 80

e) 3

f) 19

Fracción generatriz de un número decimal Se denomina fracción generatriz de un nuó mero decimal a la fraccioó n irreducible cuya expresioó n decimal es dicho nuó mero. - La fracción generatriz de un nuó mero decimal exacto se obtiene quitando la coma decimal y dividiendo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el nuó mero. Despueó s, simplificamos hasta obtener la fraccioó n irreducible. Ejemplos:

2,16=

216 54 = 100 25

0,125=

125 1 = 1000 8

- La fracción generatriz de un nuó mero decimal periódico puro tiene: Por numerador de la fraccioó n, el nuó mero decimal sin coma menos la parte entera del nuó mero. Por denominador, un nuó mero formado por tantos nueves como cifras decimales tiene le períóodo. Luego, se simplifica la fraccioó n obtenida. Ejemplos:

^ 2, 3=

23−2 21 7 = = 9 9 3

1, 0^5=

105−1 104 = 99 99

^ 2, 64

Explicacioó n del origen del procedimiento. En primer lugar, llamamos al nuó mero N: N= por diez tantas veces como cifras tiene el periodo: 100N= original:

^ 264, 64

. Ahora, multiplicamos N

. Posteriormente, a este nuó mero le restamos el

264−2 100 N −N=264, 6^4−2, 6^4 → 99 N =264−2 → N = 99

- La fracción generatriz de un nuó mero decimal periódico mixto tiene: Por numerador, la diferencia entre el nuó mero sin la coma y el nuó mero formado por la parte entera y la no perioó dica (anteperiodo). Como denominador, un nuó mero formado por tantos nueves como cifras decimales tiene el periodo y tantos ceros como cifras tiene la parte no perioó dica. Despueó s, se simplifica. Ejemplos:

2,1 6^ =

216−21 195 13 = = 90 90 6

238−2 236 118 = = 990 990 495 2,4 6^ . En segundo lugar,

0,2 3^8=

Explicacioó n del origen del procedimiento. En primer lugar, llamamos al nuó mero N. N= convertimos N en un nuó mero perioó dico mixto multiplicando por diez tantas veces como cifras tenga el anteperiodo, de ^ . En tercer lugar, al anterior nuó mero le multiplico por diez tantas veces como cifras tiene modo que queda: 10N= 24, 6

246, 6^ . Finalmente, resto a este nuó mero el anterior: 100N-10N= 246−24 222 111 37 ^ → 90 N =246−24 → N = = = = . 246, 6−24, 6^ 90 90 45 15 ^ procederíóamos del siguiente modo: En el caso de un nuó mero con maó s cifras en el periodo, como por ejemplo 3,24 62 el periodo, en este caso solamente una: 10·10N=

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P a g e | 32

^ 324, 62 ^ 10000N= 32462, 62 100N=

10000N-100N=

^ ^ → N = 3246−324 = 32138 32462, 62−324, 62 9900 9900

Ejercicio 25. Halla la fraccioó n generatriz de los siguientes nuó meros decimales exactos: a) 0,4

b) 15,123

c) 6,0104

d) 12,008

Ejercicio 26. Calcula la fraccioó n generatriz de estos nuó meros decimales perioó dicos puros. a)

0, 3^

^ c) 0 , 123

^ 9, 27

^ 50, 396

Ejercicio 27. Halla la fraccioó n generatriz de los siguientes nuó meros decimales perioó dicos mixtos. a)

3,15 1^

c) 0 00002 1^

3,5 4^

^ 0,37 78

Sumar y restar fracciones con igual denominador Para sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

5 2 5+2 7 + = = 8 8 8 8

5 2 5−2 3 − = = 8 8 8 8

Ejercicio 28. Calcula y completa:

3 2 + =¿ 15 15

12 8 + =¿ 5 5

6 1 2 + + =¿ 9 9 9

3 2 ❑ 9 + + = 11 11 11 ❑

4 1 2 + − =¿ 10 10 10

Ejercicio 29. Calcula.

4 7 ❑ 5 + − = 12 12 12 ❑

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( 49 + 29 )+ 19

P a g e | 33

17 12 10 − − =¿ 9 9 b) 9

(

)

( 1510 − 106 )− 105

Ejercicio 30. De una pizza, Ana come los dos octavos, Andreó s tres octavos y Maríóa un octavo. a) ¿Cuánto se han comido entre los tres? b) Si Eva llegoó tarde a la merienda, ¿le quedaba pizza? ¿Cuántos? Resuelve el problema numeó rica y graó ficamente.

Ejercicio 31. En una bolsa hay 100 canicas,

24 de ls cuales son de color blanco, 100

46 de color 100

rojo y el resto de color negro. ¿Cuántas canicas hay de cada color?

Sumar y restar fracciones Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: 1º. Se reducen a comuó n denominador. 2º. SE suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.

1 2 3 8 3+8 11 7 3 28 15 28−15 13 + = + = = − = − = = 4 3 12 12 12 12 5 4 20 20 20 20

Para sumar o restar una fracción y un número: Ún nuó mero es una fraccioó n cuyo denominador es la unidad y el numerador es dicho nuó mero.

2 3 2 3 · 5+2 17 7 7 1 7−4 3 3+ = + = = −1= + = = 5 1 5 5 5 4 4 1 4 4

Ejercicio 32. Completa y realiza las siguientes operaciones:

6 1

❑+❑= a) 5 + 4 = 20 20 ❑ 8

c) 9 − 6 =¿

b) 3 − 6 =¿ 2

d) 7 − 8 =¿

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

1 2 2

e) 4 + 4 + 3 =¿ 3 1 2

4 2

1 5

j) 4 + 9 − 6 =¿ 3 7 l) 1− 5 − 10 =¿

k) 3 −2+ 9 =¿ 5

h) 10 − 9 + 6 =¿

i) 8 + 12 − 16 =¿ 4

f) 10 + 5 − 5 =¿

g) 4 + 6 + 8 =¿ 5

P a g e | 34

m) 3 − 4 +1=¿

13 1 4 − − =¿ 3 7 21

1 1 o) 3− 9 + 12 =¿ Ejercicio 33. Calcula las siguientes operaciones:

( 23 + 45 )+ 151 =¿

( 45 − 101 )− 105 =¿

7 12 10 − − =¿ 3 9 9

5 3 4 + − =¿ 8 4 8

(

)

Ejercicio 34. Luis compra un bizcocho dividido en 10 partes, de las cuales se come los dos quintos. Despueó s, su pero se lleva la mitad del bizcocho. ¿Quedaraó algo del bizcocho? Exprésalo numeó rica y graó ficamente.

Ejercicio 35. Si de dos kilos y medio de naranjas una familia se ha comido ya un kilo y tres cuartos, ¿Cuántas naranjas les quedan? Ejercicio 36. La OMS (Organizacioó n mundial de la salud) ha realizado un estudio con un grupo de voluntarios para probar una vacuna contra la malaria. En la primera fase ha vacunado a tres octavos de los voluntarios y en la segunda a los tres quintos. ¿Qué fraccioó n de voluntarios queda por vacunar?

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P a g e | 35

Multiplicar fracciones. El producto de dos o maó s fracciones es otra fraccioó n cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores. Ejemplo:

2 3 2 ·3 6 3 · = = = 5 4 5· 4 20 10

Ejercicio 37. Calcula los siguientes productos de fracciones, simplificando cuando puedas:

3 2

a) 7 · 4 =¿

1 5

4 6

b) 4 · 8 =¿

c) 9 · 7 =¿

d) 10 · 12 =¿

Ejercicio 38. Calcula y simplifica cuando sea posible:

2 4 · =¿ 3 10 4 7 5 b) d) 7 · 3 · 2 =¿

2 1

b) 3 · 4 =¿

c) 7 ·14=¿ 2 1 1

e) 5 · 5 · 2 ·10=¿ Fracción de un número.

Para calcular la fraccioó n de un nuó mero, se multiplica el nuó mero por el numerador y el resultado se divide por el denominador. Asíó:

4 4 4 50 200 de 50= · 50= · = =40 5 5 5 1 5

Ejercicio 39. Calcula las siguientes fracciones de un nuó mero:

a) 5 2

de 45 =

c) 3 de 90=¿

b) 3 de 18=¿ 1

d) 5 de 35=¿

Ejercicio 40. En una bolsa hay 125 canicas y los dos quintos son azules. ¿Cuántas canicas azules hay en la bolsa?

Ejercicio 41. En una excursioó n, los alumnos de 2º de ESO han hecho dos terceras partes del camino programado, que tiene 6000 metros de longitud. ¿Qué distancia han recorrido?

Ejercicio 42. De un tonel de vino, un enoó logo saca dos quintos de su contenido y otro un tercio. ¿Qué fraccioó n de fino sacaron entre los dos? ¿Quién sacoó maó s vino?

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P a g e | 36

Ejercicio 43. Calcula la fraccioó n que falta en cada caso para que se cumpla la igualdad:

= a) 8 · ❑ ❑ 56

❑ · 4 = 24 ❑ 10 20

1 ❑ 1 · = 3 ❑ 9

Fracción opuesta e inversa. Dos fracciones son opuestas cuando su suma es igual a 0, es decir, cuando tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Asíó, la fraccioó n opuesta de

3 4

−3 4

porque:

3 −3 3 3 0 + = − = =¿ 0 4 4 4 4 4

( )

Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a 1. La fraccioó n inversa de porque:

4 3 es 3 4

3 4 12 · = =1 4 3 12

Ejercicio 44. Halla la fraccioó n opuesta e inversa de las siguientes: a)

2 → opuesta=inversa=¿ 5

7 → opuesta=inversa=¿ 5

−1 → opuesta=inversa=¿ 7

−1 → opuesta=inversa=¿ 5

Dividir fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fraccioó n por la inversa de la segunda. Asíó:

4 2 4 3 12 6 : = · = = 5 3 5 2 10 5

En la praó ctica, para dividir dos fracciones se realiza el producto cruzado de sus teó rminos, es decir, el numerador de la primera fraccioó n multiplica por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda (un producto en cruz). O tambieó n: “el de arriba por el de abajo, arriba; el de abajo por el de arriba, abajo”. Ejercicio 45. Calcula y simplifica cuando se pueda:

4 8

7 1

a) 5 : 12 =¿

b) 3 : 2 =¿

4 2 : =¿ 6 5

e) 3 :3=¿

5 3

c) 6 : 4 =¿

f) 6 :2=¿

Ejercicio 46. Calcula la fraccioó n que falta para que se cumpla la igualdad:

= a) 8 : ❑ ❑ 8 ❑ : 2 = 36 ❑ 6 10

4 40 : = b) ❑ ❑ 10 20

4 ❑ 8 : = 3 ❑ 6

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Ejercicio 47. En una fiesta de cumpleanñ os se han comprado 25 libros de chocolate. ¿Cuántas tazas de cuarto de libro se pueden llenar?

Ejercicio 48. Con una botella de refresco de cola cuya capacidad es de tres cuartos de libro se pueden llenar 6 vasos. ¿Qué fraccioó n de libro cabe en cada vaso? Ejercicio 49. Realiza estas operaciones combinadas de fracciones y simplifica siempre que puedas: a)

( 54 + 34 ) ·( 73 − 72 )=¿

5−

( 13 · 35 )·( 23 − 13 )=¿

( 64 + 43 ) : 112 ·3 : 57 =¿

[

7 7 1 3 3 + −1 : − + =¿ 18 15 2 5 10

( 23 + 27 ) : 14 + 75 · 23 =¿

][

]

7 6 2 7 + : − =¿ 12 8 5 10

(

)(

)

Ejercicio 50. Realiza las siguientes operaciones: a)

5 1 3 3 · − : =¿ 3 2 4 5

2 2 2 1 1 − 1− + − +1 =¿ 3 3 3 5

−2 3 1 2 1 − − + : =¿ 3 4 2 3 4

( () )( ) [ ]

Ejercicio 51. Ricardo leyoó el lunes la sexta parte de un libro; el martes, un cuarto, y el mieó rcoles, se entusiasmoó y leyoó las 140 paó ginas que le faltaban. ¿Cuántas paó ginas tiene el libro?

Ejercicio 52. ¿Cuántas botellas de dos tercios de libro se pueden llenar con los cincuenta litros de agua de una garrafa?

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Ejercicio 53. Manuel ha tardado tres cuartos de hora en repasar el tema de un examen. ¿Cuántas horas habíóan pasado cuando llevaba repasada la mitad del tema? Ejercicio 54. Mi abuelo cultiva hortalizas en las tres quintas partes de su huerto. Si cinco sextos de las hortalizas que cultiva son patatas, ¿qué parte de la finca tiene con patatas?

Ejercicio 56. En una orquesta, las tres cuartas partes de los instrumentos son de cuerda y de viento. De estos, dos tercios son de cuerda. ¿Qué fraccioó n de la orquesta corresponde a instrumentos de cuerda? ¿Y a instrumentos de viento?

Ejercicio 57. Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Se aporta la solucioó n para comprobar.

( 36 + 13 )−( 14 − 16 )+( 13 − 12 ) = 1 2 2 1 1 R : + ⋅ 2− − ⋅ 2 (6 6) (3 4) [ 2]

(

)

( 32 + 13 − 16 )⋅2+ 14 − 12 ⋅3 − 1 = 5 2 3 2 2 3 1 ⋅( + )− + 2 3 6 2 4

[ ] R:

69 10

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Tema 4. Potencias y raíz cuadrada Resumen de teoría. -

Un producto en el que todos los factores son iguales se llama potencia. En una potencia, el factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite es el exponente. Si la potencia tiene como base un entero positivo, su resultado es siempre positivo. Si la potencia tiene como base un entero negativo, su resultados puede ser: o Positivo, si el exponente es par. o Negativo, si el exponente es impar. Para multiplicar potencia de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes. Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se resta el exponente de la potencia del numerador menos el de la del denominador. Para elevar una potencia a otra potencia (la potencia de una potencia), se deja la misma base y se multiplican los exponentes. El valor de una potencia de exponente cero es la unidad: a0 =1. La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que b2=a . Cuando el radicando es un cuadrado perfecto, se dice que la raíz cuadrada es exacta; en caso contrario, la raíz es entera.

Potencia de un número. Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: 3 3 4 · 4 · 4=4 . Aquí, 4 es una potencia. Cualquier potencia está formada por una base y un exponente. Aquí la base es 4 y el exponente 3. Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. Así, 32 se lee “tres al cuadrado”. Las potencias de exponente 3 se denominan cubos, de modo que 4 3 se lee “cuatro al cubo”. Cuando el exponente es 4, 5, 6… se lee: elevado a la cuarta, quinta, sexta… Ejercicio 1. Escribe en forma de potencia: a) 3 ·3=¿ b) 4 · 4 · 4=¿ c) 5 ·5=¿ d) 7 ·7 · 7 ·7=¿ e) 8 · 8· 8 · 8· 8 · 8=¿ f) 9 · 9· 9 · 9=¿ g) 2· 2 ·2 · 2· 2· 2 ·2=¿ Ejercicio 2. Indica, para cada apartado del ejercicio anterior, la base y el exponente: a) Base: ___ Exponente: ___ b) Base: ___ Exponente: ___ c) Base: ___ Exponente: ___ d) Base: ___ Exponente: ___ e) Base: ___ Exponente: ___ f) Base: ___ Exponente: ___ Ejercicio 3. Escribe en forma de producto de factores las siguientes potencias: a) 52=¿ b) 25=¿ c) 77=¿ d) 64 =¿ e) 26=¿ f) 33=¿ Ejercicio 4. Escribe con cifras estas potencias: a) Dos elevado a la cuarta: b) Tres elevado a la quinta: c) Seis elevado a la séptima: d) Nueve elevado al cubo: e) Siete elevado al cuadrado: f) Dos elevado a la quinta: g) Cinco elevado a la sexta: h) Siete a la novena:

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Valor de una potencia El valor numérico de una potencia es el resultado del producto de sus factores. Así: 3 4 =4 · 4 · 4=16 · 4=64 . Ejercicio 5. Halla el valor numérico de estas potencias: a) 26=¿ b) 34 =¿ c) 93=¿ d) 64 =¿ e) 53=¿ f) 33=¿ g) 132=¿ h) 82=¿ i) 210=¿ Ejercicio 6. Completa la siguiente tabla: Potenci Bas Exponent Product Valor Se lee… a e e o 2 4 2 4· 4 16 Cuatro alduadrado 4 9 · 9· 9 5 125 5 2 11·11 7 2401

Potencia de un número entero Las potencias pueden tener por base un número entero. - Si la potencia tiene como base un número entero positivo, su valor numérico es siempre positivo: (+2)3 =23=2 ·2 · 2=8 ; (+2) 4=2 4=2 ·2 · 2· 2=16 . - Si la potencia tiene como base un número entero negativo, su valor numérico será: 4 o Positivo, si el exponente es par. (−2) =(−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16 3 o Negativo, si el exponente es impar: (−2) = (−2 ) · (−2 ) · (−2 )=−8 Ejercicio 7. Calcula el valor numérico de estas potencias: a) (+5)2=¿ b) (−5)2=¿ c) (−9)3=¿ d) (−4)4 =¿ e) (−6)3=¿ f) (+10)3=¿ Ejercicio 8. Indica el signo de cada potencia y después halla su valor: Potenci Sign Valor Potenci Signo Valor a o a (−2)5 (+3)5 (−7)3 (−5) 4 (+4 )3 (−7)4 Ejercicio 9. Escribe como potencia los siguientes productos, en los casos en que sea posible: a) (−3 ) · (−3 ) · (−3 )=¿ b) 8−10¿ ·(−10)=¿ c) (−1 ) · (−1 ) · (−1 ) · (−1 ) · (−1 )=¿ d) (−5 ) · (−5 ) · (−5 ) · (−7 ) · (−7 ) =¿ e) ( +5 ) · ( +5 ) · (+5 ) · ( +5 ) · (−5 )=¿ f) (−2 ) · (−2 )=¿ g) (−10 ) · (−10 ) · (−10 )=¿ h) 10 ·10 · (−10 ) =¿

Potencias de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

102=10 · 10=100 4 10 =10 ·10 ·10 · 10=10.000 5 10 =10 · 10· 10 ·10 · 10=100.000 Ejercicio 10. Escribe en forma de potencia:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ 3

10 ·10 ·10=10 10 ·10 ·10 · 10 ·10=¿ d) 10 ·10 ·10 · 10=¿

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10 ·10 ·10 · 10 ·10 · 10=¿

e) 10 ·10 ·10 · 10 ·10 · 10· 10=¿ Ejercicio 11. Escribe en forma de producto de factores iguales y halla su valor numeó rico: a) 102=10 · 10=100 b) 105=¿ c) 103=¿ 7 6 d) 10 =¿ e) 10 =¿ Ejercicio 12. Hallal valor de las siguientes potencias: a) 4 3=¿ b) 54 =¿

2 =¿

7 =¿

2 =¿ 5 6 =¿ 5 3 =¿

9 =¿

Ejercicio 13. Eva tiene 4 cajas, cada una contiene 4 bolsas de plaó stico y en cada bolsa hay 4 pulseras. ¿Cuántas pulseras tiene en total? Exprésalo en forma de potencia y resuelve el problema.

Ejercicio 14. Expresa en forma de potencia y calcula el nuó mero de cubos que hay en cada caso. a) b) c) d)

Multiplicar potencias de la misma base. Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes. 2 3 5 Ejemplos: (−3)2 ·(−3)3 =(−3)5 2 · 2 =2 Ejercicio 15. Expresa con una sola potencia: a) 22 · 23 · 24 =¿ b) 52 · 53=¿ c) 64 · 6 · 63 · 62 =¿ d) (−4)4 ·(−4 )3=¿ e) (−5)5 ·(−5)3 =¿ f) (−10)3 ·(−10)3 ·(−10) 4=¿ Ejercicio 16. Expresa como producto de factores iguales las siguientes potencias: Potencia

Nuó mero de factores

Producto de potencias de la misma base

2 4 5 3 6 Ejercicio 17. Expresa con una sola potencia y calcula su resultado: a) 35 ·32 =¿ b) 22 · 22 · 22=¿ d) 0,4 2 · 0,42=¿ e) (−2)2 ·(−2)3=¿ 5

5 (−6)6 9 2 (−10)6 15 (−3)

70 ·7 3=¿ f) 54 · 51=¿

Potencias de exponente 1. Todo nuó mero se puede expresar como una potencia de exponente Por ejemplo: (−3)=(−3)1 2=21

1→ a=a1 10=10 1

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(−8)=(−8)1 Ejercicio 18. Completa los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad: a) 22 · 2❑ · 2❑=26 b) 4 2 · 4 ❑· 4 ❑ · 42=47 c) 3❑ · 3❑ ·3❑ =35 c) 5❑ · 5❑=5 3 d) (−7)❑ ·(−7)❑ ·(−7)1=(−7)6 e) 106 ·10❑ ·10❑ =109

Cociente de potencias de la misma base. Para dividir potencias de la misma base se resta los exponentes. Ejemplos:

26 2 ·2 · 2· 2· 2 ·2 (6−3) 3 = =2 =2 3 :3 =3 2· 2 ·2 23 (−3) 4 ·(−3)2=(−3)(4−2)=(−3)2 5

26 : 23=

Ejercicio 19. Expresa con una sola potencia:

3 6 6−2 =3 =¿ 2 3

5 =❑❑=¿ 3 5

(−4)6 =❑❑=¿ b) 2 (−4) (−7)3 ❑ e) ❑ =❑ =¿ (−7)

44 ❑ c) 3 =❑ =¿ 4 (−6)8 =❑❑=¿ f) 6 (−6)

Potencias de exponente 0. El valor de una potencia de exponente 0 es la unidad

23 2· 2 ·2 8 = = =1 23 2· 2 ·2 8 23 3−3 0 =2 =2 23

→ a0=1 . Ejemplos:

}

Ejercicio 21. Escribe los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad: 5 −¿=(−5)2 −¿=(−10)4 −¿=2 ❑ 3 a) 2❑ ¿ b) (−5) c) (−10) ¿ =2 =(−10)¿ =(−5) 2❑ (−10)❑ (−5)❑ −¿=1 −¿=33 −¿=42 ❑ ❑ ❑ d) 3 e) 4 f) (−6) ¿ ¿ ¿ ❑ =(−6) ❑ =3 ❑ =4 (−6) 3 4 Ejercicio 22. Expresa las siguientes potencias como cociente de dos potencias con la misma base. Escribe en cada caso dos ejemplos: Potencia Cociente de potencias de la misma base 2 7 9 5 5 5 7−5 =5 =59−7 5 7 5 5 3 4 7❑ 4 10 23 5 3

Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base y se multiplican los

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exponentes. Ejemplos: 2 2 [ 23 ] =23 ·2=26 → [ 23 ] =23 · 23=23 +3=26 3

[(−3)4 ] =(−3)4 ·3 =(−3)12 → [ (−3)4 ] =(−3)4 ·(−3)4 ·(−3)4=(−3)4+4 +4 =(−3)12 Ejercicio 23. Expresa con una sola potencia: +¿=4❑ 3 a) b) [(−3)3 ] =¿ 5 2 5 5 ¿ [ 4 ] =4 · 4 =4 3

[(−8)2 ] =¿

[ 104 ] =¿

[ 53 ] =¿

[ 60 ] =¿

Ejercicio 24. Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad. Escribe, en cada caso, dos ejemplos. 2 2 4 a) [(−3)4 ] =38 [(−2)4 ] =[ (−2)2 ] c)

[(3) ] =320 [(−5)]=(−5)24

[ 4 ]=1

[ 6 ] =612 f)

[(10)] =1020

Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que, elevado al cuadrado, nos da a . Así: √ a=b →b 2=a . Ejemplos: √ 36=6 → 62=36 √ 49=7→ 72 =49 √ 100=10 →10 2=100 La nomenclatura es esta: ¿ → √❑ → signo de la raíz ¿ →36 → radicando 36=6 √ → 6 → raíz cuadrada de 36

[

Ejercicio 25. Completa en la tabla los cuadrados de estos nuó meros. Nuó mero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Al cuadrado

1 4 9 Ejercicio 26. Seguó n la definicioó n de raíóz cuadrada, completa las siguientes expresiones. a) √ 36=6 → 62=36 b) √ 4=¿ c) √ 81=¿ d) √ 16=¿ e) √ 25=¿ f) √ 121=¿ Ejercicio 27. Calcula estas raíóces cuadradas: a) √ 169=¿ b) √ 400=¿ c) √ 10000=¿ Resultado

√ 625=¿ Raíz cuadrada exacta y entera El cuadrado de un nuó mero entero se denomina cuadrado perfecto. La raíóz cuadrada de un cuadrado perfecto es el mismo nuó mero: 52=25 → √ 25=5. En este caso se dice que la raíóz cuadrada es exacta. Si el radicando de una raíóz no es un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada es entera. Asíó, 27 no es un cuadrado perfecto y, por tanto, √ 27 no es una raíóz exacta. La raíóz cuadrada entera de un nuó mero a es el mayor nuó mero entero b cuyo cuadrado es menor que a : 52=25< 27<62=36→ Raíóz cuadrada entera de 27=5 .

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Ejercicio 28. Comprueba que los siguientes nuó meros son cuadrados perfectos y razona la respuesta: 81−49−121−100−64−256−361−144−529−900−225 . ¿Cuál es su raíóz cuadrada? Ejercicio 29. Calcula la raíóz cuadrada entera. a) √ 18→ 4 2=16<18< 52=25 → Raíóz cuadrada entera de 18=4. b) √ 72→ c) √ 87 → d) √ 570→ Ejercicio 30. Halla: a) √ 16=¿ b) √ 64=¿ c) √ 434=¿ d) √ 144=¿ e) √ 169=¿ f) √ 400=¿ g) √ 100=¿ h) √ 529=¿ i) √ 841=¿ Ejercicio 31. Usa la calculadora para hallar estas raíóces cuadradas: a) √ 101=¿ b) √ 263=¿ c) √ 434=¿ d) √ 985=¿ e) √ 1622=¿ f) √ 5635=¿ Ejercicio 32. Completa los huecos con el nuó mero correcto: a) √ =13 b) √ =25 c) √ =11 d) √ =16 e) √ =50 f) √ =8 Ejercicio 33. Con la ayuda de la calculadora, indica si los siguientes nuó meros son cuadrados perfectos:

9.216−1.925−2.809−2.500−1.600−3.000−2.025−3844

Operaciones combinadas con potencias y raíces Cuando tenemos operaciones combinadas con potencias y raíóces, tenemos que seguir el siguiente orden en las operaciones: 1º. Potencias y raíóces. 2º. Multiplicaciones y divisiones 3º. Sumas y restas. Ejercicio 34. Realiza estas operaciones: 2

6 =¿ 3 2 6 ·(−1) −3 · 2: √ ¿

(4−3)2−5 · ( 22−7 )=¿

[( √ 9−√ 25)4 ] · 22=¿

5 · ( √ 64+ 8: 2 )=¿

( 92 −72 ) : √ 64=¿

(−√ 49+34 :32 ) =¿

Ejercicio 35. Calcula: a)

√ 100:5+3 3 : (−3 )=¿

12−18 :2+ (−4 ) · √ 121=¿

(−5 ) · 32− √ 49· √ 121=¿

(−8)5 :(−8)3− (−4 ) · ( √16−20 )=¿

√ 144 :(7+ (−5 ))2 +(−2)3=¿

Ejercicio 36. Realiza las operaciones:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ a)

2 2 2 3 − √( 5−3 ) · (−2 )=¿

√(−8)2 :(−2)2 ·(−1)6=¿

3 · √ 5 −3 + 4 : ( 1 +23 ) =¿

32 · √ 49−√ 36 · ( 6 2−4 2 )=¿

√ 102−[ 2 · (−2 )2 ] −2 ·5 2

( 6−22 )−(−2 )3 · [ 24 −4 2 · ( 5−3 )2 ]=¿

5−2 · 7−( −14 ) · [ 32− (−2 )2 · (−5 ) :(−2)2 ]=¿

[−2 ·(4−5) ] : (−4 )−2 · [−(−1 )3 · ( 2 · 3− √9 ) −4 2 ]=¿

0 4

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Tema 5. Proporcionalidad numérica. Magnitudes directamente proporcionales Úna magnitud es cualquier cualidad o caracteríóstica que podemos medir. Por ejemplo, son magnitudes la longitud, la masa, el nuó mero de alumnos, la altura de algo o alguien, la velocidad, el precio, la salinidad, el pH, la densidad, etc. En cambio, no son magnitudes la simpatíóa, la bondad, etc. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: - Al aumentar una al doble, al triple…, la otra tambieó n aumenta al doble, al triple… - Al disminuir una a la mitad, la tercera parte…, la otra tambieó n disminuye a la mitad, la tercera parte… Ejemplo: Un décimo de lotería cuesta 20€; dos décimos, 40€; 3 décimos, 60€… ¿Cuánto cuestan 6 décimos? ¿Cuántos décimos puedo comprar con 200€? Nº. de deó cimos 1 2 3 … 6 … ¿? Precio (€) 20 40 60 200 - Si aumentamos el nuó mero de cupones al doble, el precio es el doble; si lo aumentamos al triple, el precio es el triple… - Si disminuimos el nuó mero de cupones a la mitad, el precio es la mitad; si lo disminuimos a la tercera parte, el precio es la tercera parte… Son magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada también por ese número. Si las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que, al dividir los valores de la segunda magnitud entre los correspondientes de la primera, obtenemos un valor constante.

20 40 60 = = =20→ Constante de proporcionalidad 1 2 3 Los valores de la segunda magnitud se obtienen multiplicando el valor correspondiente dela primera por la constante de proporcionalidad. Nº. de deó cimos 1 2 3 … 6 … 200 :2=10 Precio (€) 20 40 60 6 ·20=120 200 Ejercicio 1. Indica si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales. a) El tamanñ o de unos portaó tiles y su precio. b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. c) El nuó mero de trabajadores de una obra y el tiempo que tardan en terminarla d) El nuó mero de hojas de un libro y su peso e) La altura de un alumno y su talla de camisa f) La edad de un alumno y su altura g) La velocidad maó xima que puede alcanzar un coche y su precio. Ejercicio 2. Úna entrada al Museo de Cera de Madrid cuesta 8€; 2 entradas, 16€… a) Indica si estas magnitudes son directamente proporcionales. b) Calcula su constante de proporcionalidad c) Construye una tabla que relacione el precio de 1 a 10 entradas con su precio. Nuó mero de entradas Precio (€)

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d) ¿Cuánto costaraó n 15 entradas? ¿Y 22 entradas? e) ¿Cuántas entradas, como maó ximo, podreó comprar con 96 €? ¿Y con 288? Ejercicio 3. Completa las siguientes tablas sabiendo que los valores corresponden a magnitudes directamente proporcionales. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en cada caso? a) 2 3 5 7 9 11 8 12 44 b) 5 10 15 25 1 3 4 6 c) 1 100 10.00 0 10 100 10.00 0 d) 4 44 55 66 77 88 99

Regla de tres simple directa Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, la regla de tres simple directa nos permite calcular el valor desconocido de una de ellas. Ejemplo. Tres cajas de refrescos pesan 15kg. ¿Cuaó nto pesaraó n 4 cajas? Las magnitudes número de cajas – peso son directamente proporcionales. Lo resolvemos mediante una regla de tres simple directa:

Si 3 cajas→ 15 kg 4 cajas → x kg

}

3 4 4 · 15 = → 3 · x=4 · 15→ x= =20 15 x 3 Solucioó n: 4 cajas pesaraó n 20 kg. Ejercicio 4. Si 36 pasteles cuestan 12 €, ¿cuánto costaraó n 6 pasteles? ¿Y 15 pasteles?

Ejercicio 5. En una panaderíóa hacen 52 kg de pan con un saco de 40 kg de harina. Calcula la harina que hace falta para amasar 78 kg de pan.

Ejercicio 6. Ún excursionista recorre 10 km en 2,5 horas. Si mantiene una velocidad constante, ¿cuántos kiloó metros haraó en 5 horas? ¿Y en 7 horas?

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Ejercicio 7. En una obra, 3 obreros ponen 15 postes. Si siguen al mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos postes pondraó n si se incorporan 5 obreros maó s?

Método de reducción a la unidad. Otro meó todo para resolver problemas de proporcionalidad directa es el de reducción a la unidad. Este meó todo consiste en hallar la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra. Ejemplo: Un túnel de lavado lava 10 coches por hora. ¿En cuánto tiempo lavará 25 coches? La magnitudes número de coches – tiempo son directamente proporcionales. Lo resolvemos por el meó todo de reduccioó n a la unidad:

60 =6 minutos . 10 Si para lavar un coche se emplean 6 minutos, para lavar 25 necesitamos: 25 ·6=150 minutos , o Si 10 coches se lavan en 60 minutos

→ un coche se lavaraó en

sea, dos horas y 30 minutos que son dos horas y media. Ejercicio 8. Ún bono de autobuó s con 10 viajes cuesta 6€. ¿A cuánto sale el viaje? ¿Cuánto costaraó n 4 viajes?

Ejercicio 9. Ignacio cobra 120€ por 5 díóas de trabajo. ¿Cuánto cobraraó por 15 díóas? ¿Y por 22 díóas?

Ejercicio 10. En un bar universitario, 3 cafeó s cuestan 2,7€. ¿Cuánto costaraó n 5 cafeó s? ¿Y 10 cafeó s?

Ejercicio 11. Si 4 botellas de refresco cuestan 3,2 €, ¿cuánto costaraó n 18 botellas? ¿Cuántas botellas podreó comprar, como maó ximo, con 12 €?

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: - Al aumentar una al doble, al triple…, la otra disminuye a la mitad, a la tercera parte… - Al disminuir una a la mitad, a la tercera parte…, la otra aumenta al doble, al triple… Ejemplo: Un grifo que vierte 3 litros de agua por minuto, tarda 15 minutos en llenar un tonel. Si aumentamos el caudal a 6 litros por minuto, tarda 7,5 minutos, y si arrojase 9 litros por minuto, lo llenaría en 5 minutos… ¿Cuánto tardará si vierte 18 litros por minuto? ¿Cuántos litros por minuto arrojará si tarda 30 minutos en llenarlo? Distinguimos las dos magnitudes: caudal de agua (en litros/minuto) y tiempo (en minutos), que tarda en llenar el tonel.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Caudal (l/min) 3 Tiempo (minutos) 1 5

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6 9 18 ¿? 7,5 5 ¿? 30

- Al aumentar el nuó mero de litros por minuto al doble, el tiempo que tarda en llenarse el tonel desciende a la mitad; al aumentar el caudal al triple, se emplea la tercera parte de tiempo… - Si disminuyera el caudal a la mitad, el tiempo aumentaríóa al doble; si el caudal disminuyera a la tercera parte, el tiempo aumentaríóa al triple… Las dos magnitudes caudal-tiempo son inversamente proporcionales. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple que al multiplicar sus valores correspondientes de ambas magnitudes, obtenemos un valor constante.

3 ·15=6 ·7,5=9 ·5=45→ constante de proporcionalidad Los valores de una de las magnitudes se obtienen dividiendo al constante de proporcionalidad por el valor correspondiente de la otra magnitud. Caudal (l/min) 3 6 9 18 45 :30=1,5 Tiempo (minutos) 15 7,5 5 45 :18=2,5 30 Ejercicio 12. Indica si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en llegar a un sitio. b) El nuó mero de operarios en una obra y el tiempo que tardan en acabarla. c) El tamanñ o de una plancha de metal y su peso. d) El peso de la fruta y el dinero que cuesta e) La estatura de una persona y el nuó mero de calzado que usa f) El nuó mero de vacas y el tiempo que tardan en comerse 100 kg de pienso g) El nuó mero de coches aparcados y las plazas libres en un aparcamiento h) El lado de un cuadrado y su períómetro Ejercicio 13. Para hacer un trabajo de clase, Javi y Rosa han tardado 12 horas. Si, ademaó s, hubiese participado Joaquíón habríóan tardado 8 horas, y si hubiesen sido Javi, Roas, Joaquíón y Marisol los que hubiesen trabajado juntos, habríóan invertido 6 horas en terminar el trabajo. a) Indica si estas magnitudes son inversamente proporcionales b) Calcula su constante de proporcionalidad c) Construye una tabla que relacione las horas que hubiesen tardado 6, 8 o 12 personas. Nuó mero de personas Tiempo (horas)

1 2 d) ¿Cuánto tiempo hubiera tardado Javier solo?

3 4 6 8 1 2 8 6

e) ¿Cuántas personas participaron si emplearon exactamente 2,4 horas? Ejercicio 14. Completa las siguientes tablas, sabiendo que los valores que aparecen corresponden a magnitudes inversamente proporcionales. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? a) 5 10 1 3 6

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ 6 b) 6 4 c) 8 3 d) 6 7

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2 3

1 1

Regla de tres simple inversa Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, la regla de tres simple inversa nos permite calcular el valor desconocido de una de ellas. Ejemplo. Diez albañiles tardan 45 días en construir un muro. Si quisiéramos terminar la obra en 15 días, ¿cuántos albañiles harían falta? Las magnitudes nº de albañiles – días son inversamente proporcionales. Lo resolvemos mediante una regla de tres simple inversa:

Si 10 albañiles→ 45 días x albañiles→ 15 días 10 · 45=x· 15 → x=

}

45 · 10 =30 15

Solucioó n: Haríóan falta 30 albanñ iles para terminar la obra en 15 díóas. Ejercicio 15. En construir un puente, un grupo de 18 obreros tarda 90 díóas. ¿Cuántos díóas tardaríóan en construirlo un grupo de 24 obreros?

Ejercicio 16. Ún depoó sito de agua tarda en llenarse 18 horas, con un gripo que mana 36 libros cada minuto. ¿Cuánto tardaríóa en llenarse si salieran 27 litros por minuto?

Ejercicio 17. Ún ganadero tiene 36 vacas y pienso suficiente para darles de comer durante 24 díóas. Si decide comprar 18 vacas maó s, ¿para cuántos díóas tendraó con esa cantidad de pienso?

Ejercicio 18. Para construir una nueva autopista, se ha calculado que dos maó quinas realizaraó n las obras en 90 díóas. Si quisieó ramos reducir ese tiempo a la mitad, ¿cuántas maó quinas haríóan falta?

Método de reducción a la unidad. Otro meó todo para resolver problemas de proporcionalidad es el de reduccioó n a la unidad. Este

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meó todo consiste en hallar la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra. Ejemplo. Úna cuadrilla de 20 obreros levanta un muro en 6 días. ¿Cuántos días tardarán 12 obreros? Las magnitudes nº de obreros – días son inversamente proporcionales. Lo resolvemos por el meó todo de reduccioó n a la unidad: Si 20 obreros tardan 6 díóas → un obrero tardaraó 20 ·6=120 días . Si un obrero tardan 120 díóas → 12 obreros tardaraó n 120 :12=10 días . Solucioó n: Para levantar el muro, 12 obreros tardaraó n 10 díóas. Ejercicio 19. Tres pintores estiman que tardan 8 horas en pintar la valla de la piscina del Bosquecillo. Si se incorpora un pintor maó s, ¿Cuánto tardaraó n?

Ejercicio 20. Si envasamos cierta cantidad de aceite en garrafas de 5 litros necesitamos 66 garrafas. ¿Cuántas garrafas de 6 litros necesitaremos para envasar el aceite?

Ejercicio 21. Úna cuadrilla de 6 obreros emplea 8 díóas en asfaltar un tramo de carretera. ¿Cuántos tiempo emplearíóan en realizar ese mismo trabajo 8 obreros¿ ¿Y si fueran 12?

Ejercicio 22. Ún camioó n tarda 4 horas en recorrer una distancia a velocidad constante de 65 km/h. ¿Qué velocidad llevaraó un automoó vil que hace esa distancia en la mitad de tiempo? ¿Y una avioneta que emplea 45 minutos en sobrevolarla?

Porcentajes El tanto por ciento de una cantidad es tomar, de cada 100 partes de esa cantidad, el nuó mero de partes que indica el tanto. Se expresa con el signo %. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. Ejemplos:

10 de 85=

10· 85 62 ·200 =8,562 de 200= =124 100 100

Ejercicio resuelto. En una reunión de padres hay un 60% de mujeres. Si hay 12 mujeres, calcula el número total de personas que han asistido a la reunión.

Si 12mujeres → 60 x personas →100

}

12 x 12· 100 = →60 · x=12· 100 → x= =20 personas 60 100 60 Ejercicio resuelto. Un jugador de baloncesto ha encestado 15 de 25 tiros a canasta. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos?

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

Si 25tiros → 15 canastas 100 tiros→ x canastas

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}

15 x 15 ·100 = → 25 · x =15· 100 → x= =60 de aciertos 25 100 25

Ejercicio 23. Calcula: a) 12% de 400 =

b) 25% de 1250=

c) 3,5% de 50=

d) 4% de 256=

d) El 10% de 132,5=

e) 21% de 3000=

Ejercicio 24. Ún embalse tiene una capacidad de 5 millones de metros cuó bicos de agua. Actualmente estaó al 75% de su capacidad. Halla los metros cuó bicos de agua que contiene.

Ejercicio 26. Úna inmobiliaria ha cobrado 4.233 € por la venta de un piso. Si la comisioó n que ha recibido por la operacioó n es del 3% del valor total del piso, ¿por cuánto dinero se vendioó el piso?

Ejercicio 27. La Seguridad Social me abona el 60% del precio de las medicinas. Si por unas pastillas he pagado 2,5€ ¿cuánto debe pagar la Seguridad Social al farmaceó utico?

Ejercicio 28. Se hace una encuesta entre 250 personas. Si 137 eran mujeres, calcula el porcentaje de mujeres encuestadas.

Ejercicio 29. Cada comprimido de 650 mg de antibioó tico contiene 500 mg de amoxicilina. ¿Cuál es el porcentaje de amoxicilina que tiene ese antibioó tico?

Aumentos y disminuciones porcentuales - Aumentar una cantidad en un tanto por ciento ( x %) equivale a calcular el ( 100+ x )% de esa cantidad. - Disminuir una cantidad en un tanto por ciento ( x %) equivale a calcular el ( 100−x )% de esa cantidad.

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Ejemplos. 1º. La gasolina ha subido un 4%. Si antes costaba 115 céntimos el litro, ¿cuál es su precio actual? Aumentar un 4% equivale a calcular (100+4)% de 105 → 104% de 115.

105 de 115=

115 · 104 =119,60 céntimos por litro=1,1960 € /litro . 100

2º. Una lavadora cuesta 650€. En rebajas se reduce un 20% su precio. ¿Cuál es el precio rebajado? Disminuir un 20% equivale a calcular (100-20)% de 650 → 80% de 650.

80 de 650=650 ·

80 =520 € 100

Ejercicio 30. Úna ciudad de 120.000 habitantes ha perdido un 6% de poblacioó n en los uó ltimos anñ os. Calcula los habitantes que tiene en la actualidad.

Ejercicio 31. A Juan le han puesto una multa de 90€ por exceso de velocidad. Por no haberla pagado en el periodo voluntario, ahora tiene que abonarla con un 18% de recargo. ¿Cuánto tendraó que pagar?

Ejercicio 32. Las reservas de agua de una regioó n son de 450 hectoó metros cuó bicos. Durante el periodo de verano han disminuido sus reservas un 9%. ¿Qué cantidad de agua tiene ahora?

Ejercicio 33. El anñ o pasado, el nuó mero de alumnos de un colegio fue de 1200. Este anñ o ha aumentado un 2% y se preveó que para el anñ o que viene disminuya un 1,5%. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio este anñ o? ¿Cuántos preveó que tenga el anñ o que viene?

Interés simple Al ingresar una cantidad de dinero en una entidad bancaria durante un cierto tiempo, la entidad nos da un beneficio que denominamos interés. El intereó s es directamente proporcional al dinero ingresado y al tiempo de permanencia. En el interés simple, la cantidad ingresada permanece constante. Ejemplo: una entidad bancaria nos concede un préstamo a un interés del 5% anual. En la tabla aparece lo que tendríamos que pagar (interés) dependiendo de la cantidad prestada y el tiempo. Cantidad prestada 100€ 1 anñ o 5€ 200€ 1 anñ o 10 € 300€ 3 anñ os 30 €

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Ejercicio 34. Completa la tabla siguiente si consideramos un preó stamo al 4% y al 6,5% de intereó s anual: Cantidad prestada Tiempo del preó stamo (anñ os) Intereó s al 4% Intereó s al 6,5% 10.000 1 200.000

500.000

Cálculo del interés Ún capital ( C Capital (C) → Tiempo (t) → Reó dito (r )→ Intereó s (I )→

) colocado a un reó dito ( r ), produce en un tiempo ( t ) un intereó s ( I ). Cantidad prestada o depositada Tiempo que dura el preó stamo Beneficio de 100€ en un anñ o (%) Beneficio obtenido por el preó stamo o depoó sito.

Si el tiempo viene expresado en anñ os, el intereó s se calcula mediante la foó rmula:

Si el tiempo viene expresado en meses, el intereó s se calcula mediante la foó rmula:

I= -

C·r·t 100

C·r·t 12 · 100

Si el tiempo viene expresado en díóas, el intereó s se calcula mediante la foó rmula:

C·r·t 360 · 100

Ejemplo: Calcula el interés que se obtendrá al depositar un capital de 2500€ durante 2 años al 4,5%. Aplicamos la foó rmula del intereó s en anñ os:

C·r·t 2.500 · 2· 4,5 = =225 € 100 100

Ejercicio 35. Calcula el intereó s que producen 4.200€ en 5 anñ os al 5,75% de reó dito.

Ejercicio 36. Determina el tiempo que ha estado depositado un capital de 3200€ al 4,25% de reó dito si el intereó s producido ha sido de 105€.

Ejercicio 37. Luisa ha obtenido un premio en la loteríóa de 1500€. Si lo deposita en un banco a un reó dito del 3,75%, ¿qué cantidad obtendraó al cabo de 5 anñ os?

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Ejercicio 38. ¿Cuáles son los intereses que se obtienen al trimestre si un capital de 3.000€ lo depositamos en un banco al 2,5% de reó dito anual?

Repartos directamente proporcionales Para hacer un reparto proporcional de una cantidad total T entre otras cantidades z , se hace de la siguiente forma:

x ,

y y

T =k x+ y+z y ’ y z ’ que corresponden a x , y y z son, respectivamente:

1. Calculamos la razoó n o constante de proporcionalidad: 2. 2. Las cantidades

x’ , x ' =x·k ' y = y·k ' z =z·k

3. Se tiene que cumplir que

x + y + z =T

Ejemplo: Estas navidades unos padres quieren hacer los regalos a los hijos según las notas medias que han tenido en la primera evaluación. Disponen de 1200€ para regalos. Pedro ha sacado una nota media de 4, Ana de 6 y Luis de 10. ¿Cuánto gastarán en regalos para cada niño?

1200 1200 = =60 . 4+ 6+10 20 A Pedro le corresponderaó n regalos por valor de 60 · 4=240 € ; a Ana le corresponderaó n 60 ·6=360 € ; finalmente, Luis tendraó regalos por valor de 60 ·10=600 . Se cumple que 240+360+600=1200 . La razoó n de proporcionalidad seraó :

Ejercicio 39. Ún padre quiere repartir la herencia entre sus hijos y quiere dar maó s a quien maó s cargas familiares tienen, y se fija en los hijos que tienen. El hijo mayor tiene 5 hijos, el mediano 3 y el menor 4. Si la herencia es de 2.400.000€, ¿cuaó nto le toca a cada uno?

Ejercicio 40. Micifuf, Zapiroó n y Marramaquiz juntan dinero para comprar folios. Micifuf pone 5 €, Zapiroó n pone 3 € y Marramaquiz pone 2 €. Compra un paquete de 500 folios. ¿Cuaó ntos folios le tocan a cada uno?

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Repartos inversamente proporcionales Para hacer un reparto inversamente proporcional de una cantidad total T entre otras cantidades x , y y z , se hace de la siguiente forma: 1. 1. Calculamos la razoó n o constante de proporcionalidad k resolviendo la siguiente ecuacioó n: 2.

k k k + + =T x y z

3. 2. Las cantidades

x’ , k x'= x k ' y= y k ' z= z

y ’ y z ’ que corresponden a x , y y z son, respectivamente:

4. Se tiene que cumplir que

x ' + y ' + z ' =T

Ejemplo: En una carrera, dos ciclistas se reparten 240 puntos en partes inversamente proporcionales al tiempo que tardan en hacer el recorrido. ¿Cuánto le corresponde a cada uno sabiendo que el primero tardó 3 horas y el segundo 5?

k k + =240 . Resolvemos: 3 5 5k 3k 8k 15 · 240 + = =240 → 8 k=15 · 240→ k = → k=450 puntos. 15 15 15 8 450 =150 puntos. Al primer corredor le corresponderaó n: 3 450 =90 puntos. Al segundo le corresponderaó n: 5 Hacemos el planteamiento:

Ejercicio 41. Reparte 420 en parte inversamente proporcionales a 3 y 4.

Ejercicio 42. Reparte 468 en partes inversamente proporcionales a 5, 6 y 15.

Ejercicio 43. Tres hermanos (Micifuf, Zapiroó n y Zapaquilda) creen que tardaraó n 55 minutos en recoger el saloó n de casa. Deciden dedicarle cada uno un tiempo inversamente proporcional al que han dedicado al recoger el resto de la casa, que ha sido de 15, 10 y 5 minutos respectivamente. ¿Cuaó nto tiempo dedicaraó cada uno?

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Tema 6. Expresiones algebraicas. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico El lenguaje en el que soó lo intervienen nuó meros y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico. Ejemplos: Lenguaje usual Lenguaje numérico Catorce dividido entre siete 14:7 2 Dos elevado al cuadrado 2 La tercera parte de 18 18

3 El doble de seis 2·6 El lenguaje que usa letras con nuó meros y signos de operaciones aritmeó ticas se llama lenguaje algebraico. Ejemplos: Lenguaje usual Lenguaje algebraico La suma de dos nuó meros x+ y Ún nuó mero menos 3 unidades x−3 El cuadrado de un nuó mero b2 La mitad de un nuó mero x

2 Ejercicio 1. Expresa con lenguaje numeó rico o usual, seguó n proceda: El doble de un nuó mero b: El doble de la suma de dos nuó meros (m y n): El cuadrado de un nuó mero x maó s 4 unidades El producto de tres nuó meros a, b y c: El doble de un nuó mero maó s tres unidades: Ejercicio 2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico: La mitad de un nuó mero

( m+ n )2 n−1 2·(a+b+ c) x+ 1 m/2 3 ·b−5

El triple de un nuó mero menos cinco unidades El anterior a un nuó mero entero El posterior a un nuó mero entero El cuadrado de la suma de dos nuó meros El doble de la suma de tres nuó meros

Expresión algebraica Úna expresioó n algebraica es un conjunto de nuó meros y letras unidos con los signos de las operaciones matemaó ticas. Ejemplos: Expresión escrita La suma de dos nuó meros menos dos El triple de un nuó mero maó s cinco El cuadrado de un nuó mero maó s una unidad

Expresión algebraica

x+ y−2 3 x+5 x 2+1

Ejercicio 3. Escribe estos enunciados como expresioó n algebraica:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ a) El doble de un nuó mero

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b→

b) El doble de la suma de dos nuó meros (m y n) → c) El cuadrado de un nuó mero d) El producto de tres nuó meros e) El doble de un nuó mero

x maó s 4 unidades → a,b y c→

y maó s 3 unidades →

Ejercicio 4. Relaciona cada enunciado con su expresioó n algebraica:

x−5 x /3 2 x +2 x+ 10 2x

El doble de un nuó mero maó s dos unidades Ún nuó mero disminuido en cinco unidades La tercera parte de un nuó mero El cubo de un nuó mero El doble de un nuó mero Ún nuó mero aumentado en diez unidades

x x+ 1 x− y

La diferencia de dos nuó meros El nuó mero siguiente a un nuó mero entero Ejercicio 5. Si

x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico:

Los anñ os que teníóa el anñ o pasado

→

Los anñ os que tendraó dentro de un anñ o → La edad que teníóa hace 5 anñ os

→

La edad que tendraó dentro de 5 anñ os → Los anñ os que faltan para que cumpla 70 anñ os → Ejercicio 6. Redacta un enunciado para estas expresiones algebraicas:

n+1 → a+b → b/2 → 2(m−n) → x 3−1→ 2 x +1 →

Valor numérico de una expresión algebraica El valor numeó rico de una expresioó n algebraica es el nuó mero que se obtiene al sustituir las letras por nuó meros y realizar las operaciones que se indican en la expresioó n. Ejemplo: Hallamos el valor numérico de la expresión algebraica 3 x+2 para x=1 . Sustituimos x por 1 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones:

x=1→ 3 ·1+2=3+2=5 El valor numeó rico de 3 x+2 para x=1, es 5. Ejercicio 7. Halla el valor numeó rico de la expresioó n algebraica

x=0 → x=2 → x=−1→ x=−2→

2 x +1 para:

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Ejercicio 8. Calcula el valor de estas expresiones algebraicas para los valores que se indican: Valores x+ y 2 x −3 y ( x+ y )2

x=1, y=0 x=−1, y =2 x=1, y=−2 x=−2, y =3 x=−1, y =−1

Monomios Ún monomio es una expresioó n algebraica formada por productos de nuó meros y letras. A los nuó meros se les denomina coeficientes y a las letras con sus exponentes, parte literal. Ejemplos: Monomio 3x −5 ab −2 x 2 1

Coeficiente Parte literal Ejercicio 9. Completa las tablas: Monomio Coeficiente

-5

Parte literal

-2

Monomio

−3 xy

3 2 a b 2 −2 xyz

−x 2

−3 b z 3

−5 x y

1/2 x

Coeficiente

Parte literal

6x y

1 2 y x 2

−1 xyz 2 5

Grado de un monomio El grado de un monomio es el nuó mero que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal. Ejemplos: Monomio Grado Explicación

−3 x 2 z3 y 2 3 −3 x z

1 4 5

El exponente de x es 1 ( x 1 ) La suma de los exponentes de z 3 y es 3+1=4 La suma de los exponentes de x 2 z 3 es 2+3=5

Ejercicio 10. Calcula del grado de los siguientes monomios: 2

−3 x →

6x y→

−yx →

−y →

2 5 x b→ 3 −1 3 2 x zy g) 3 c)

zx →

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Ejercicio 11. Completa la siguiente tabla. Monomio Coeficiente

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Parte literal

Grado

−3 x 3 −2 a b −2 ab xyz 2 3 7ab c 2 6y z

Monomios semejantes Dos o maó s monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: 5 x y 2 x son semejantes porque tiene la misma parte literal ( x ) 2 2 2 3 x y y −x y son semejantes porque tienen la misma parte literal ( x y ) 2 3 2 x y y x y no son monomios semejantes. Ejercicio 12. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado: a) −5 x : b) −ab : c) −2 y x3 : d)

2 3

−3 y z :

2 2 a b: 3

5 xy :

Suma y resta de monomios. La suma y resta de monomios soó lo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejemplos:

2 x + x=( 2+1 ) x=3 x 2 x + y →la suma se dejaindicada porqueno son semejantes , no se puede sumar . Ejercicio 13. Realiza las siguientes operaciones: a) a+ a+a+ a=¿ c)

5 mn−mn−4 mn=¿

−5 x −3 x =¿

2 x + x + x =¿

5 x−3 x−x=¿

p−2 p+5 p=¿

Ejercicio 14. Completa el hueco con un monomio semejante y calcula:

¿ ¿ a) ¿ 2 x +¿¿ ¿ ¿ c) −4 ¿¿ x ¿2 y =¿

¿ ¿ ¿ b) ¿ ¿ 5 pq−¿ ¿ d) _________

−x =¿

Ejercicio 15. Reduce las siguientes expresiones fijaó ndote en el ejemplo: a) 6 x 2+ 4 x−2 x 2−x Sumamos y restamos los monomios semejantes y calculamos el resultado: 2 2 2 2 6 x −2 x =4 x ; 4 x −x=3 x . Resultado: 4 x +3 x

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ 2

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5 x −2 x +3 x −x=¿

ab−ab+7 ab+ 4 ab−2 ab=¿

3 a b −2 ab+5 a b −ab+ 4 ab=¿

−10 xy−5 xy + xy + 4 x−8 y +2 y+ 2 x=¿

Multiplicación de monomios El producto de dos o maó s monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. Ejemplos: 2

3 x·2 x=( 3 · 2 ) · x·x=6 x 4 x· (−2 x2 ) =( 4 · (−2 ) ) · x· x 2=−8 x 3 Ejercicio 16. Realiza estas multiplicaciones: a) 4 a·3 a=¿ b)

3 x ·3 x =¿

−22 x· (−5 x )=¿ d)

3 x2 · ( −3 x 2 )=¿

m·m2=¿

2 3 2 x· x =¿ 3 5

Ejercicio 17. Calcula y reduce: a) 4 x ( 2 x −5 )=¿ b)

3 ( 2 x +3 x 2 )=¿

2 a ( 4 a3−3 a 2) =¿

( 3−ab+ a b2 ) 2a=¿

2 ( x2 +3 x )−2 x=¿

−3 x ( x3 −2 x + 4 ) −12 x=¿

−x (−5+ 4−3 x −10 x)=¿

−1 4 2 x (−x + 3 x−2 x ) + x =¿ 3

División de monomios El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales. Ejemplos:

6x 6 x = · =3 · 1=3 2x 2 x 3 10 x 10 x3 : (−5 x )= · =−2 x 2 −5 x 6 x :2 x=

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Ejercicio 18. Resuelve estas divisiones de monomios: a) 8 x 3 :2 x=¿ 4

2 m :15 m =¿

−14 y 4 :−2 y 2=¿

b) d)

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−12 x 5 :−12 x 4=¿

a : a =¿ f)

−20 x 5 : 4 z 4 =¿

Ejercicio 19. Efectúa las siguientes operaciones: a) ( 7 x 5 :2 x ) + x=¿ b)

( 6 x 7 : x 3 ) −( 5 x : x )=¿

( 8 a2 b :4 ab ) + b2=¿

d ¿ 3 x ( x+1 ) −( 4 x2 : x )=¿ e)

( 12 a3 b2 :3 a2 b )−b=¿

3 ( 4 x y 2 : 2 xy )−2 y=¿

2 x [ (−x y 2 x3 ) :(−x 2 y)] + x ( x−1 )=¿

Polinomios Ún polinomio es la suma o resta de varios monomios. - Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio. - A los teó rminos que no tienen parte literal se les denomina términos independientes. - El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos: Polinomio Teó rminos Teó rmino independiente Grado del polinomio 3 3 −1 3, que es el grado de 2 x −3 x−1 2 x ;−3 x ;−1

2 x3

−2 xy +9

−2 xy ; 9

−5 x

2, que es el grado de

−2 xy

No hay

1, que es el grado de

−5 x

Ejercicio 20. Completa esta tabla: Polinomio

Teó rminos

−2 x + 3 x −5 2

5 ab−5 a x b

x 3−3 x2 −x−3 6 x−7 5 xy−2 y

Teó rmino independiente

Grado del polinomio

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2 2 a b+1 3 2 3 xy+ 5 x Ejercicio 21. Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un teó rmino, otro con dos teó rminos y un tercero con tres teó rminos: a)

Ejercicio 22. Indica el grado de los siguientes polinomios: a) −x +3 x 2 → Grado=¿ b) x 2 y−3 x →Grado=¿ c) 2 x 5−x →Grado=¿ d) −5 x 4 −x3 −8 →Grado=¿ Ejercicio 23. Halla el valor numeó rico del polinomio a) x=0 → b) x=1→ c) x=−2→

x 2−2 x +1 para los valores que se indican:

Suma y resta de polinomios: Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes. Ejemplos: 2

A ( x )=2 x +5 B ( x )=x 3−5 x 2−2 x+ 3 A ( x )+ B ( x )=( 2 x 2+5 ) + ( 2 x2 +5 ) =x 3−3 x 2−2 x +8 Para facilitar se puede hacer colocando los dos polinomios de las siguiente forma:

x 3 x

2 +5 2x 2 −5 x −2 x +3 2 −3 x −2 x +8

A ( x )−B ( x )=( 2 x 2 +5 ) −( 2 x 2 +5 ) =2 x 2 +5−x 3 +5 x 2+ 2 x−3=−x3 +7 x 2 +2 x +2 O bien: 3

−x −x 3 Ejercicio 24. Dados los polinomios A ( x )+ B ( x )=¿ a) b)

A ( x )−B ( x )=¿

B ( x )− A ( x )=¿

+5 2 x2 2 +2 x −3 +5 x 2 +7 x +2 x −8

A ( x )=6 x 2−8 x+ 1 y B ( x )=−9 x 2−2 x+7 , calcula:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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A ( x )=x 3−3 x+ 2 , B ( x )=−2 x 2+7 x y C ( x )=−x 3−2 ,

Ejercicio 25. Dados los polinomios calcula: a)

A ( x )+ B ( x )+ C ( x )=¿

A ( x )+ B ( x )−C ( x )=¿

A ( x )−B ( x )−C ( x )=¿

Ejercicio 26. Escribe los siguientes polinomios de forma reducida:

P( x)=3 x 3 +2 x 2−5 x3 + 4 x 2−7 x+ 2 x 3=¿ Q ( x ) =−4 x 2−5 x3 +2 x 2−6 x +2 x 2 +5 x3 −1=¿ R ( x ) =2 x 4 −6 x 3+ 4 x +2 x2 −3 x 3 +8 x−2=¿ Ejercicio 27. Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula: a)

P ( x ) +Q ( x )=¿

Q ( x ) + R ( x )=¿

Q(x)−R ( x ) =¿

P ( x ) −Q ( x )=¿

Producto de polinomios Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuacioó n, se reducen los monomios semejantes. Ejemplo:

A ( x )=x 3−5 x2 −2 x +1 B ( x )=2 x 2+ 3 x A ( x ) · B ( x )=2 x 5−7 x 4−19 x 3−4 x 2+3 x Para hacerlo, podemos proceder asíó: x 5

A ( x )· B ( x )→ Ejercicio 28. Dados los polinomios a) A ( x ) · B ( x )=¿

2x 2 x5

−5 x 2

−2 x 2 +2 x +3 x

+1 3x

3 x4 −15 x 3 −6 x 2 4 3 2 −10 x −4 x +2 x −7 x 4 −19 x 3 −4 x 2 +3 x

A ( x )=−4 x 3 +6 x 2−8 x+1 y B ( x )=2 x 2−7 , calcula:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ b)

3 x·B ( x ) =¿

A ( x ) · x=¿

(−3 x ) · B ( x )=¿

P a g e | 66

Sacar factor común Úna aplicacioó n de la propiedad distributiva es ‘sacar factor común’. Esta operacioó n consiste en extraer como factor comuó n el monomio que se repite en todos los teó rminos. Ejemplos: Expresioó n Factor comuó n Sacar factor comuó n

5 x+5 y 2 7 x −3 x 2 5 x −5 x 2 3 3 x −12 x +15 x

5 x 5x 3x

5( x + y ) x (7 x−3) 5 x( x −1) 2 3 x 8 x−4+5 x ¿

Ejercicio 29. Extrae factor comuó n en las siguientes expresiones: a) 3 b+ 4 b = b) 3 a+6 b+ 12=¿ 4

15 x −5 x +10 x=¿

12 x −3 x +9 x =¿

10 x y −20 xy +10 x y=¿

6 x + 4 x y =¿

Ejercicio 30. Simplifica las siguientes fracciones, sacando factor comuó n en el numerador y en el denominador, como en el primer ejemplo: 2

10 x 3 +10 x 10 x( x +1) 2 ·5 x (x +1) 2·( x +1) = = = =2(x 2+1) 5x 5x 5x 1

6 x4 y2 =¿ −3 x 3 y 2

a3 b3 =¿ a3 b

12 m3 =¿ 12 m

4−6 a =¿ 6 a2−9 a 3

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ 2

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x y −x y =¿ x2 y2

Igualdades notables Llamamos igualdades notables a ciertas igualdades cuyo desarrollo y aplicacioó n resultan muy uó tiles para abreviar caó lculos con expresiones algebraicas. Las principales igualdades notables son: 1. Cuadrado de una suma: ( a+b )2 2. Cuadrado de una diferencia: ( a−b )2 3. Suma por diferencia: a+b ¿ (a−b)

Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando maó s el doble producto del primero por el segundo, maó s el cuadrado del segundo (“el cuadrado del primero, maó s el cuadrado del segundo, maó s dos veces el primero por el segundo”).

( a+b )2=a 2+ b2+ 2 ab Ejercicio 31. Calcula: a) ( x+ 5 )2=¿

( 2+ x )2=¿

( a+2 b )2 =¿

( xy +1 )2=¿

Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el doble producto del primero por el segundo, maó s el cuadrado del segundo (“el cuadrado del primero, maó s el cuadrado del segundo, menos dos veces el primero por el segundo”) .

( a−b )2=a2 +b2−2ab Ejercicio 32. Calcula: a) ( x−1 )2=¿ c)

( 2 a−3 b )2=¿

b) e)

( a−6 b )2=¿

( 5−3 x )2=¿

Suma por diferencia. El producto de una suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados (“el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo” ).

( a+b ) · ( a−b )=a2 −b2 Ejercicio 33. Calcula: a) ( x+5 ) · ( x−5 ) =¿ b)

( 2 a+b )( 2 a−b )=¿

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ c)

( 7+ x ) (7−x )=¿

( 5 a+1 ) ( 5 a−1 ) =¿

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Ejercicio 34. Expresa en forma de igualdad notable: a)

x 2+2 x +1=¿

x +10 x +25=¿

x −16=¿

4 x 2−4 x +1=¿

9 a −30 ab+25 b =¿

4 x −36=¿

Ejercicio 35. Simplifica las siguientes fracciones usando las igualdades notables: a)

x 2−4 =¿ x 2 +4 x+4

x −10 x +5 =¿ x2−25

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

P a g e | 69

Tema 7. Ecuaciones. Identidades y ecuaciones 

Úna igualdad algebraica estaó formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).  Úna identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras. Ejemplo: x+ x =2 x es una identidad. Se cumple la igualdad para cualquier valor numeó rico que tome x : Para x=1→ 1+1=2 · 1→ 2=2 Para x=−2→ (−2 )+ (−2 ) =2· (−2 ) →−4=−4  Úna ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras. Resolver una ecuacioó n es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que e cumpla la igualdad. Ejemplo: x+4=10 es una ecuacioó n. Solamente se cumple cuando x=6 → 6+4=10

Ejercicio 1. Indica queó igualdades son identidades y cuaó les ecuaciones. a) x+ 8=2 x−15 b) 2 ( x +2 y )=2 x+ 4 y c) x+ x + x=3 x d) x 2 · x3 =x5

x =12 2 Ejercicio 2. Para las siguientes ecuaciones, indica el valor de x para que se cumpla la igualdad. Ecuacioó n Pregunta Valor de x 15−x=12 ¿Queó nuó mero restado a 15 da 12? x=¿ e)

2 x +1=11

10+x=14 11−x =10

2+ x=9 16−x =4 Ejercicio 3. Calcula mentalmente el valor de x para que se cumpla la igualdad. a) x−1=2 b) −x +10=5 c) x+ 7=15 d) x+ 4=12 e) x−3=6 f) −x−6=−10 Ejercicio 4. Resuelve, igual que en el ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones: a)

x =3→ x=¿ 15

5 x=20 → x=¿

−3 x=−6 → x=¿

x =6→ x=¿ 4 x =8 → x=¿ 8 x =−4 → x=¿ f) 4

Elementos de una ecuación. Los miembros de una ecuacioó n son cada una de las expresiones algebraicas que figuran a cada lado del signo igual. Úna ecuacioó n tiene primer y segundo miembro. Los términos de una ecuacioó n son cada uno de los sumandos que forman los miembros. Los teó rminos numeó ricos e denominan términos independientes.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

P a g e | 70

Las incógnitas de una ecuacioó n son los valores que desconocemos y representamos con letras. El grado de una ecuacioó n es el mayor de los grados de los teó rminos que forman la ecuacioó n. Solución de una ecuacioó n es cualquier valor de la incoó gnita que verifica la igualdad. Ejemplo: Ecuacioó n

Primer miembro

2 x −3=x +1

Segundo miembro

2 x −3

Teó rminos

x+ 1

Ejercicio 5. Completa la tabla: Ecuacioó n

2 x ;−3; x ;+1

4 x −x=x+ 8

Primer miembro Segundo miembro Teó rminos Ejercicio 6. Completa esta tabla: Ecuacioó n Teó rminos del 1er miembro

2 x=−12 3

Grado 1

Solucioó n

x=4

−1 x +6=x−4 3

Teó rminos del 2º miembro

Incoó gnit a

Grad o

3+ x=12 19− y =15 10=5 x 2 a−4=1+a 11=9+b

Ecuaciones equivalentes Dos o maó s ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. x+4=10 y 2 x =12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solucioó n

x=6 Ejercicio 7. Para cada una de estas ecuaciones, escribe una ecuacioó n equivalente y halla su solucioó n. Ecuacioó n Ecuacioó n equivalente Solucioó n

7+ x=13 x+ 2=7 2 x =14 x−4=4 11=9+x Ejercicio 8. La ecuacioó n 3 x+ 4=10 tiene como solucioó n ecuaciones son equivalentes a ella. a)

3 x+10=20

4 x+12 x−8=18 9

12 x−3 x +10=5 x +18

x=2 . Averigua cuaó les de las siguientes

3 x−8=−5 c) 4 x +12−x =21 2 2 1 x+ 2 x−5=6 x e) f) 2 x +8− x=x+ 9 7 2 1 3 x+3 x= x + 4 h) 2 2 b)

Ejercicio 9. Encuentra, tanteando, la solucioó n a las siguientes ecuaciones: a) x−2=2 b) 4 + x=−2 c) x−1=−5 d)

x =4 2

x−4=1

−1+ x=−3

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

−2−x=−4

x =−6 18

2 x −1=3

3 x=−15

−2 x−4=10

2x =2 5

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Trasposición de términos 

Si a los dos miembros de una ecuacioó n se les suma o resta un mismo nuó mero o expresioó n algebraica, se obtiene otra ecuacioó n equivalente a la dada. (A efectos praó cticos podemos decir que un teó rmino pasa Ejemplos: - Resolvemos la ecuacioó n x−4=10 . Sumamos 4 en ambos miembros → x−4+ 4=10+ 4 → x=14 - Resolvemos la ecuacioó n x+ 2 x=4+2 x +5 . Restamos 2 x en ambos miembros → x +2 x−2 x =4+ 2 x−2 x +5 → x=4+5 → x=9  Si a los dos miembros de una ecuacioó n se les multiplica o divide por un mismo nuó mero distinto de cero, se obtiene otra ecuacioó n equivalente a la dada. Ejemplos: - Resolvemos la ecuacioó n 3 x=12. Dividimos ambos miembro entre 3

→

3 x 12 = → x=4 3 3

5x =10 . 4 5x · 4=10· 4 →5 x=40 . Ahora dividimos ambos Multiplicamos por 4 ambos miembros → 4 5 x 40 = → x =8 . miembros entre 5: → 5 5 -

Resolvemos la ecuacioó n

Ejercicio 10. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la trasposicioó n de teó rminos: a)

3 x=15

x+ 6=14

−10=−x+3

2 x +6=20+6+ x

2 x + 4=16

−4 x−4=−20−x

Ejercicio 11. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

2 x −5=3

x=−15−4 x

x−10=2 x−4

−x−4=10

2 x +7=x+ 14

3 x+ 8=12−x

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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Método general de resolución de ecuaciones Resuelve la ecuación

2 ( x −4 )−( 6+ x ) =3 x −4

Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos: 1º. Eliminar los paréntesis 2º. Reducir términos semejantes. 3º. Transponer términos (restamos x en ambos miembros) (sumamos 4 en ambos miembros) 4º. Despejar la incógnita (dividimos ambos miembros entre 2)

2 x −8−6−x=3 x−4 x−14=3 x−4 x−x−14=3 x−x−4 −14=2 x−4 −14 +4=2 x−4+ 4 −10=2 x −10 2 x = →−5=x → x=−5 2 2

Ejercicio 12. Resuelve estas ecuaciones. a)

4−x=2 x +3 x−5 x

−10−x+ 3 x =2 x +4 x+2

2 x −9=3 x−17

3 x+ 8−5 ( x+ 1 )=2 ( x+6 )−7 x

5 ( x−1 )−6 x=3 x−9

3 ( 3 x +1 )− ( x−1 )=6 ( x+10)

Ejercicio 13. Resuelve estas ecuaciones: a)

2 ( x −5 )=3 ( x +1 )−3

48 x−2 ¿+1=5( x+ 1)−3 x

3 ( x−3 )=5 ( x−1 ) −6 x

3 ( x+2 )+ 4 ( 2 x+1 ) =11 x−2( x +6)

5 ( x−4 ) +30=4( x+6)

5 ( 2−x ) +3 ( x+6 )=10−4 (6+2 x)

Resolucioó n de ecuaciones con denominadores Resuelve la ecuación

2 x−1 x−3 3 x−7 = + 3 2 4

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos: 1º. Eliminar los denominadores.

2º. Eliminar paréntesis.

m. c . m. ( 3,2, 4 )=3 · 2 =12 2 x−1 x−3 3 x −7 12· =12 · +12· 3 2 4 4 · ( 2 x−1 )=6 ( x−3 )+ 3(3 x−7) 8 x−4=6 x−18+ 9 x−21

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ 3º. Reducir términos semejantes. 4º. Transponer términos. Restamos 8 x en ambos miembros Sumamos 39 en ambos miembros 5º. Despejar la incógnita. Dividimos ambos miembros entre 7

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8 x−4=15 x−39 8 x−4−8 x=15 x−39−8 x −4=7 x−39 −4+39=7 x−39+39 35=7 x 35 7 x = → 5=x → x=5 7 7

Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

x−1 12−2 x x−2 − = 4 5 5

x−2 x−3 x−4 + + =10 2 3 4

3 x−7 2 x−3 x−1 − = 12 6 8

x−4 x+3 x−6 x−7 + − =1+ 5 6 3 2

x + 4 x−4 3 x−1 − =2+ 3 5 15

5−

5 ( x+3 ) x−3 =2− 6 12

x x x x + + + =30 2 3 4 6

3 ( x +5 ) −7 ( x+ 3 ) + =4 4 10

( 3x +5)= 24x +4 x−2 x−3 =4+ 4 2

Ecuación de segundo grado Úna ecuacioó n de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo a x 2+ bx+ c=0 , donde: a , b y c son los coeficientes de la ecuacioó n, siendo a ≠ 0   a x 2 → teó rmino cuadrático; bx → teó rmino lineal; c → teó rmino independiente. x es la incógnita  Ejercicio 15. Escribe la expresioó n general de estas ecuaciones de segundo grado, siguiendo el ejemplo: a) ( x−1 ) ( x + 4 ) =1→ x 2+ 4 x−x−4=1→ x 2+3 x−4=1→ x 2+ 3 x−4−1=0 → x 2+3 x−5=0 2

x −4 x +1=−x +3

2 x ( 3 x+5 )=−1+ 4 x

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ d)

P a g e | 74

x−5 x +8=−3 x −x−3

Ejercicio 16. Identifica los coeficientes de las anteriores ecuaciones, siguiendo el ejemplo. a)

x +3 x−5=0 → a=1, b=3, c=−5

b) c) d)

Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Úna ecuacioó n de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuacioó n de segundo grado se aplica la siguiente foó rmula:

a x 2+ bx+ c=0 → x=

−b ± √ b 2−4 ac −b− √ b 2−4 ac −b+ √ b2−4 ac → x 1= ; x 2= 2a 2a 2a

Ejemplo: Resolvemos la ecuación

x 2+5 x +6=0. −5 ± √ 5 2−4 · 1 ·6 −5 ± √25−24 −5± √ 1 x= = = → 2 ·1 2 2 −5+ √ 1 −4 x 1= = =−2 ; x 1=−2 2 2 −5−√ 1 −6 x 2= = =−3 ; x 2=−3 2 2 Sustituyendo los valores −2 y −3 en la ecuacioó n, se comprueba que la cumple. Ejercicio 17. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. 2

x + 4 x +3=0

x −6 x+ 8=0

2 x −5 x−7=0

7 x +21 x=28

3 x2 +6=−9 x

( 2 x −4 )( x−1 ) =2

Ejercicio 18. Resuelve y comprueba que las soluciones verifican la ecuacioó n. 2

x +2 x−8=0

3 x −6 x−9=0

2 x −7 x +3=0

Ecuaciones del tipo a x 2+ c=0 Las ecuaciones de la forma a x 2+ c=0 son ecuaciones de segundo grado en las que Para resolverlas se puede seguir este proceso: 2

a x + c=0 → a x =−c → x =

√

−c −c → x =± a a

b=0 .

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _



Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas:

x 1=+

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√

 Si el radicando es negativo, no hay solucioó n (a efectos de nuestro curso). Ejemplos.

−c a

x 2=−

√

32 → x 2=16 → x=± √16=± 4 → x 1=+4 ; x 2=−4 2 2 2 2 −75 2 3 x +75=0 →3 x =−75→ x = → x =−25 → x=± √ −25→ Notiene solución 3 2 x 2−32=0 →2 x 2=32→ x 2=

Ejercicio 19. Resuelve las siguientes ecuaciones. 2

7 x −28=0

5 x2 −180=0

5 x =45

18 x2−72=0

Ejercicio 20. Indica por queó no tienen solucioó n estas ecuaciones. 2

x + 4=0

2 x =−18

9 x −5 x+18=−18−5 x

3 ( x 2+ x ) =3 x −12

1 2 3 x + =0 2 4

x 2 +7 =2 3

Ecuaciones del tipo a x 2+ bx=0 Las ecuaciones de la forma a x 2+ bx=0 , son ecuaciones de segundo grado donde Para resolver estas ecuaciones se puede seguir este proceso: Sacamos la

x como factor comuó n: a x + bx=0 → x ( ax +b ) =0 →

{

x1 =0 ax +b=0 → x 2=−b /a

Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas. Ejemplos:

x 2−12 x=0→ x· ( x−12 )=0 →

{

2 x 2 +5 x=0 → x· ( 2 x+5 )=0 →

{

x1=0 x−12=0 → x 2=12 x 1=0

2 x+ 5=0 → x2 =

Ejercicio 21. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

5 x +5 x=0

−5 2

c=0 .

−c a

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

P a g e | 76

2 x −8 x=0

5 x =30 x

−5 x +20 x=0

Ejercicio 22. Resuelve estas ecuaciones. 2

25 x −100 x=0

5 x−4 x 2=0

x−x =0

−4 x + 16 x =0

x ( x−3 )+ 8=4(x +2)

x ( x−1 ) +2 2 x 2+ 3 = 2 3

Resolución de problemas con ecuaciones Para resolver un problema usando ecuaciones es conveniente seguir estos pasos: 1º. Leer y entender el enunciado del problema. Hay que distinguir los datos conocidos de los desconocidos, es decir, la incoó gnita. Aquíó mucho ayuda a veces hacer un dibujo o croquis de la situacioó n descrita por el enunciado. 2º. Plantear la ecuación. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma de ecuacioó n, es decir, la correspondencia entre los datos y la incoó gnita. 3º. Resolver la ecuación. 4º. Comprobar el resultado e interpretarlo. Se debe comprobar si el resultado se corresponde con el enunciado, si tiene sentido, y hacer un comentario breve interpretando el problema. Ejemplo: Ana tiene 2€ más que Paula, Paula tiene 2€ más que Irene e Irene 2€ más que Carlota. Entre las cuatro tienen 48 €. Calcula qué cantidad de dinero tiene cada una. 1º. Leemos el enunciado. Tomaremos como dato desconocido el dinero que tiene Carlota. 2º. Planteamiento. Llamamos al dinero que tiene Carlota → x . La cantidad de dinero que tiene el resto de las amigas lo ponemos asíó: Irene tiene 2 maó s que Carlota → x +2 Paula tiene 2 maó s que Irene → ( x +2 ) +2=x + 4 Ana tiene 2 maó s que Paula →(x+ 4)+2=x+6 Como entre las cuatro tienen 48 euros, la ecuacioó n es: x+ ( x +2 ) + ( x +4 ) + ( x +6 ) =48 3º. Resolvemos la ecuacioó n.

x+ ( x +2 ) + ( x +4 ) + ( x +6 ) =48 → 4 x +12=48→ 4 x=36 → x=

36 → x=9 4

Por tanto, Carlota tiene 9 €, con lo cual Irene tiene 11, Pauta tendraó 13 y Ana 15. 4º. Comprobamos. Si sumamos lo que tiene cada una sale 9+11+13+ 15=48 y, por tanto, se cumple lo que dice el enunciado. Ejercicio 23. La suma de tres nuó meros consecutivos es 30. Haó llalos.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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Ejercicio 24. La suma de un nuó mero, su doble y su triple es 66. ¿Cuaó l es el nuó mero?

Ejercicio 25. El períómetro de una finca rectangular es de 480 m. Halla sus pedidas sabiendo que una de sus dimensiones es el doble de la otra. Ejercicio 26. Úna trayecto en taxi cuesta 1,50 € la bajada de bandera (o sea, por el simple hecho de cogerte) y 1,25 € por cada kiloó metro. Si por un desplazamiento te cobran 13€, calcula la distancia recorrida.

Ejercicio 27. La medida de los lados de un triaó ngulo son tres nuó meros consecutivos. Si el períómetro del triaó ngulo es de 12 cm, ¿cuaó nto mide cada lado?

Ejercicio 28. Sergio ha leíódo el doble de cuentos que Rosa maó s 2 cuentos. Si Sergio ha leíódo 12 cuentos, ¿cuaó ntos ha leíódo Rosa?

Ejercicio 29. El aó rea de un rectaó ngulo es de 72 cm2. Halla sus dimensione si su lago es el doble que el ancho.

Ejercicio 30. Calcula el nuó mero de coó mics que tiene Juan sabiendo que la suma de su cuadrado maó s su triple es igual a ese nuó mero multiplicado por 10.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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Anexo. 1. Resolver las siguientes ecuaciones:

[

−2 x−6=7( 4 x+14 ) R : x=− a)

[

52 15

]

3 3 x +1 2 5 x+ = R: x =− 2 2 7

3x 5x 3x 12 + = −1 R : x=− 2 3 4 29

2 x−3 4 x−1 3 x +1 6 x−2 1 − = + R : x=− 2 2 4 6 3

2 x−5 3 = [ R : x=4 ] x 4

x +1 x+1 x +3 − + =0 [ R : x=47 ] 8 3 5

[

] [

]

2. Resolver el siguiente problema usando una ecuacioó n de primer grado: La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Dentro de 10 anñ os, su edad seraó el doble. ¿Queó edad tiene cada uno? 3. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: x 2−16=0 −x 2 +1=0

3 x2 −27=0

80=20 x 2

−16=−64 x 2

4 x −x2 =0

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ x 2=x

3 x2 =30 x

x2 =x 5

x 2−5 x +6=0

3 x+10=x 2

12=x 2 + x

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4. Resuelve el siguiente problema planteando una ecuacioó n de primer grado: Daniel ha repartido 630 euros entre sus amigos Nacho y Marina. Si a Marina le ha dado el doble que a Nacho, ¿cuánto ha dado a cada uno? 5. Resuelve el siguiente problema planteando una ecuacioó n de 2º grado: La suma de las áreas de un cuadrado de lado L y de un rectángulo de lados 2 cm y 2L es 32 cm2. ¿Cuál es el lado del cuadrado? Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Resuelve los siguientes sistemas: x−2 y=2 4 x + 4 y=−4 (1 (5) 3 x+2 y= 6 2 x−5 y=12 ) ¿} ¿ ¿} ¿ ¿¿

(10)

¿¿

(2 )

1 x + y=8 2 3 x+5 y =41 ¿} ¿ ¿¿

(6)

(3 )

3 x+5 y =31 4 x − y=26 ¿} ¿ ¿¿

(7)

3 ( x +2 )−5 y =11 x−7 ( y −1 )=14 ¿} ¿ ¿¿

(11)

9 2 1 4 x− y= 2 ¿} ¿ ¿¿

(12)

3 x+2 y=

2 x −7 y=−22 5 x + y= 2 ¿} ¿ ¿¿ x+2 y= 20 y 3 x− =10 4 ¿} ¿ ¿¿ 7 x+5 y =−20 5 x +7 y= 20 ¿} ¿ ¿¿

(14)

3 x +5 y=20 2( x−5 y )= 0 ¿} ¿ ¿¿

(15)

2 x=3 y 2 4 x= y +2 3 3 ¿} ¿ ¿¿

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ (4 )

7 x+5 y =−20 5 x +7 y= 20 ¿} ¿ ¿¿

(8) (9)

3 y x+ = 4 4 3 y 15 2x− = 6 2 ¿} ¿ ¿¿

(13)

P a g e | 80

1 y +1 5 x− = 6 3 6 y 29 5 x+ = 4 2 ¿} ¿ ¿¿

Ejercicios (problemas): 1. La suma de dos nuó meros es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6. ¿Cuaó les son estos nuó meros? 2. Tenemos un total de 26 monedas, unas de cinco ceó ntimos y otras de 25. En total tenemos 310 ceó ntimos. ¿Cuaó ntas monedas tenemos de cada clase? 3. Beatriz se ha gastado 37500 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan costoó 3500 euros maó s que la de Laura. ¿Cuaó nto costoó cada una? 4. Descompoó n el nuó mero 1000 en dos nuó meros de manera que al dividir el mayor entre el menor el cociente sea 2 y el resto 220. 5. En un colegio hay 237 estudiantes menos de Primaria que de Secundaria. Sabiendo que el nuó mero total es de 1279 alumnos, de los que 200 son de Infantil, ¿cuaó ntos alumnos hay en total de Primaria y cuaó ntos de Secundaria? 6. Úna familia tiene periquitos y perros como mascotas. Averigua cuaó ntos perros y cuaó ntos periquitos tienen, sabiendo que en total hay seis animales y el nuó mero total de patas es 16. 7. En un rectaó ngulo de períómetro 152, la base mide 9 unidades maó s que la altura. ¿Cuaó les son las dimensiones del rectaó ngulo? 8. La razoó n de dos nuó meros es 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador en 2 unidades, la nueva razoó n es 4/11. ¿Cuaó les son los dos nuó meros?

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

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Tema 8. Funciones y gráficas Sistemas de ejes cartesianos Ún sistema de ejes cartesianos estaó formado por dos ejes perpendiculares, horizontal y vertical, que se cortan en un punto. - El eje horizontal es el eje de abscisas, OX. - El eje vertical es el eje de ordenadas, OY. - El punto de corte de lso ejes es el origen, O.

Las coordenadas de un punto P en el sistema de ejes cartesianos vienen determinadas por un par ordenado de nuó meros, x e y, llamados coordinadas del punto P, y se escribe P(x, y). - La primera coordenada, x, se toma sobre el eje de abscisas u horizontal, OX. Se llama abscisa del punto P. - La segunda coordenada, y, se toma sobre el eje ordenado o vertical, OY. Se llama ordenada del punto P. Ejemplo: Punto Coordenadas Abscisa Ordenada A (2, 4) +2 +4 B (3, -5) +3 -5 C (-4, -3) -4 +3 D (-6, -2) -6 -2

Ejercicio 1. Completa la tabla y representa os puntos que se indican en los ejes cartesianos. Punto Coordenadas Abscisa Ordenada A (-1, -5) B (2, 2) D (0, -3) D -2 +5 E +4 -4

Ejercicio 2. Completa la tabla con los datos que faltan, mirando los ejes y los puntos representados:

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Punto

Coordenadas

P a g e | 82 Abscisa

Ordenada

A B C D E F G

Ejercicio 3. Representa graó ficamente los siguientes puntos: A (0, 3); B (2, -2); C (6, -1); D (-4, -4); E (5, -1); F (-3, 7).

Ejercicio 4. Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos: A (2, 3); B (-3, 5); C (-5, -3); y D (7, -3). Despueó s, une los puntos que has representado y di queó figura obtienes.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _

P a g e | 83

Relación entre magnitudes: La relacioó n entre dos magnitudes se puede expresar: - Mediante un texto o enunciado, que describa la relacioó n. - En una tabla de valores, con los pares ordenados. - Mediante la representacioó n graó fica de los padres ordenados. - Con la expresioó n algebraica que relaciona ambas magnitudes. Veaó moslo con un ejemplo: Un kilo de peras cuesta 1,5 €. - Mediante este enunciado, relacionamos las magnitudes peso y precio: “Un kilo de peras cuesta 1,5 €.” - Podemos formar una tabla de valores que relaciona el peso y el precio: Peso (kg) 1 2 3 4 5 6 Precio (€) 1,3 3 4,5 6 … … - Podemos representar en unos ejes cartesianos cada par de valores de la tabla:

Tambieó n podemos indicar la relacioó n de ambas magnitudes con la expresioó n: y=1,5 x donde se nos da el precio (variable y) y el nuó mero de kilos (variable x). Ejercicio 5. En la siguiente tabla, usando colores distintos, las siguientes relaciones y representa sus valores en unos ejes de coordenadas: a) Ún nuó mero natural y su siguiente.

b) El lado de un cuadrado y su aó rea. c) El radio de una circunferencia y su longitud.

Ejercicio 6. La siguiente tabla muestra la relacioó n que hay entre un nuó mero natural y su doble. Completa la tabla y representa los puntos en unos ejes.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Nº natural Doble

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1 2 6 8 1 0

Ejercicio 7. Ún kilo de azuó car cuesta 2 €. Expresa las dos magnitudes mediante una tabla de valores, representa sus puntos graó ficamente y determina la expresioó n algebraica correspondiente.

Ejercicio 8. En una papeleríóa, una fotocopia cuesta 10 ceó ntimos. Relaciona las magnitudes nuó mero de fotocopias y coste mediante una tabla de valores, una graó fica y su expresioó n algebraica correspondiente.

Ejercicio 9. Las alturas de un grupo de alumnos son las siguientes: Antonio 150 cm, Ana 160 cm, Juan 170 cm, Maríóa 140 cm, pedro 120 cm, Eva 130 cm y Luisa 160 cm. Representa los pares de valores en unos ejes de coordenadas.

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Ejercicio 10. Observa la graó fica que has hecho en el ejercicio anterior y contesta: a) ¿Queó alumno es el maó s alto? ¿Y el maó s bajo? b) ¿cuaó les son los alumnos que miden maó s que Maríóa? c) ¿Queó alumnos miden maó s que Pedro y menos que Ana?

Ejercicio 11. Las temperaturas medias en un anñ o han sido: enero 6 ° C, febrero 8 ° C, marzo 10 ° C, abril 16 ° C, mayo 18 ° C, junio 22 ° C, julio 30 ° C, agosto 36 ° C, septiembre 26 ° C, octubre 16 ° C, noviembre 12 ° C y diciembre 8 ° C. a) Representa estos datos en una tabla. b) Representa lo valores en unos ejes de coordenadas. c) Haz una interpretacioó n de los valores representados y di cuaó l ha sido el mes maó s fríóo, el mes maó caó lido, queó meses han tenido la misma temperatura media y cuaó l ha sido la mayor diferencia de temperatura media entre los meses.

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Variables y gráficas. En cada par de valores de una tabla, (a, b), el segundo valor, b, depende del valor que tiene el primero, a. Corresponden a dos magnitudes que toman valores distintos, es decir, que varíóan y, por ello, se llaman variables. La primera se llama variable independiente y se designa normalmente con la letra x, mientras que la segunda se llama variable dependiente, y se designa con la letra y. - Los valores de la variable independiente, x, se representan sobre el eje horizontal o de abscisas. - Los valores de la variable dependiente, y, se representan sobre el eje vertical o de ordenadas. Ejemplo: Ún kilo de fresas cuesta 3€. - Magnitudes: Peso (kg) y precio (€) - Variable independiente: peso (kg) - Variable dependiente: precio (€). Ejercicio 12. Representa los padres de valores del ejemplo anterior en unos ejes. ¿SE pueden unir los puntos que has representado? ¿Queó obtienes?

Ejercicio 13. La tarifa de precios de una empresa de alquiler de coches es de 45 € por díóa de alquiler. (a) Forma la tabla de valores para un periodo de 1 a 7 díóas. (b) Indica la variable independiente y la dependiente. (c) Representa los valores en un par de ejes.

Ejercicio 14. En un campeonato de fuó tbol, la clasificacioó n de un equipo ha sido la siguiente: Jornada (x) 1 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10 11 12 ª ª ª ª Clasificacioó n 4 5 3 7 8 9 10 8 6 5º 3º 4º (y) º º º º º º º º º a) Indica las variables independiente y dependiente b) Representa los valores en un sistema de ejes. ¿Se pueden unir los puntos que has representado?

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Ejercicio 15. La temperatura media durante el anñ o pasado en un lugar viene dada en esta tabla: Mes En Feb Ma Ab May Ju Ju A Sep Oc No Di e r r n l g t t v c Temperatura ( 4 8 12 18 22 25 3 3 26 15 11 5 ℃ ) 1 5 a) Representa los valores en un sistema de ejes. b) Indica las variables dependiente e independiente. c) Indica los meses de temperaturas maó xima y míónima. d) ¿En cuaó ntos mese la temperatura superoó de media los 20 ℃ ?

Concepto de función Úna función, y=f ( x) , es una relacioó n entre dos magnitudes, donde indpendiente e y es la variable dependiente. A cada valor de la variable independiente, x , le corresponde un único valor de la variable dependiente, y . Es decir, no puede haber dos puntos con la misma abscisa. El valor de y estaó en funcioó n del valor que toma x . Ejemplo: Comprobamos que y=3 x +1 es una funcioó n. Para cada valor de x obtenemos un uó nico valor de y . Valor de

0 1 2 -1 -2

Valor de

y :

x es la variable

y=3 x +1

3 ·0+ 1=0+1=1 4 7 -2

3 ·8−2 ¿+1=−6+1=−5

Ejercicio 16. 1. Indica cuaó les son las variables dependiente e independiente en las siguientes funciones. Variable independiente Variable dependiente La velocidad de un coche en cada momento del tiempo

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La longitud de una circunferencia para caca valor del radio El coste de un paquete de zanahorias en función de su peso El volumen de agua de un embalse en función de la altura que alcanza.

Ejercicio 16. 2. Indica razonadamente si las siguientes relaciones definen o no una funcioó n: a) A cada nuó mero le corresponde el aó rea de un cuadrado que tiene por lado dicho nuó mero. Síó  No  Porque: b) A cada díóa del mes le corresponden las temperaturas maó xima y míónima que ha habido. Síó  No  Porque: c) Asignamos al nuó mero de pasajeros de distintos autobuses el peso total de los pasajeros. Síó  No  Porque: d) A cada valor de al base de un triaó ngulo le corresponde el valor de su altura. Síó  No  Porque: Ejercicio 16. 3. A continuacioó n se muestran relaciones entre variables. Di si constituyen una funcioó n y por queó :

x 0 2 3 2 4

x 2 1 2 1 2

y 4 3 7 1 8

1 2 3 4 5

-4 -2 0 2 4

y 2 2 2 2 2

Ejercicio 16. 4. Obteó n la tabla de valores de cada una de las siguientes funciones y represeó ntalas (usa un color distintos para cada funcioó n).

y=x +3 0 1 2 -1 -2

y=x−1 0 1 2 -1 -2

y=2 x−1

y=−x+ 2

y=−x+ 1

0 1 2 -1 -2

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Ejercicio 17. Ún cupoó n de loteríóa cuesta 2€. a) Escribe la ecuacioó n de la funcioó n que relaciona el nuó mero de cupones con su precio. b) Haz una tabla de valores para el precio de 2, 3, 4, 5 y 6 cupones. c) Representa graó ficamente esta funcioó n. ¿Se pueden unir los puntos?

Ejercicio 18. Cada bono de autobuó s con diez viajes cuesta 5€. a) Escribe la ecuacioó n de la funcioó n que relaciona ambas magnitudes. b) Haz una tabla de valores para el precio de 2, 3, 4, 5, y 6 bonos. c) Representa los valores en un sistema de ejes. ¿Se pueden unir los puntos?

Ejercicio 19. Marta ha conseguido un trabajo para el verano. Por cada 2 horas, le pagan 8 €. a) Forma la tabla de valores que relaciona el dinero que cobra con las horas trabajadas. b) Representa los datos en un sistema de ejes cartesianos. ¿Podemos unir los puntos? c) Escribe la ecuacioó n de la funcioó n.

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Función afín. Úna funcioó n afín es de la forma y=mx +n , donde: m es la pendiente o inclinacioó n de la recta. n es la ordenada cuando x=0 ; se llama ordenada en el origen. La graó fica de una funcioó n afíón es una recta, que: - Corta al eje OY en el punto (0, n) - No pasa por el origen de coordenadas, (0,0) - Si la pendiente m es positiva, la recta es creciente; si m es negativa, la recta es decreciente. Ejemplo. Representamos la funcioó n y=2 x+ 4 . - No pasa por el origen (0,0) - Corta al eje OY en el punto ( 0,4 ) y al eje 0X en el punto (−2,0) - Su pendiente es m=2 , que al ser positiva, la recta es creciente. (Prueba con una calculadora graó fica el efecto de la variacioó n de funciones).

m y de n en sucesivas

Ejercicio 20. Representa estas funciones afines e indica sus principales caracteríósticas, como en el ejemplo anterior. y=3 x−1 b) y=x +3 a) c) y=−2 x+2 d) y=−2 x+ 4

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Ejercicio 21. Escribe tres ejemplos de funciones afines crecientes y otros tres ejemplos de funciones afines decrecientes, distintas a los que han salido hasta ahora.

Función de proporcionalidad o lineal Úna funcioó n de proporcionalidad directa es de la forma y=mx . - Su representacioó n graó fica es una recta que pasa por el punto (0,0) - Si m es positiva, la funcioó n es creciente; si m es negativa, la funcioó n es decreciente. Dado que estas funciones pasan por el punto (0, 0), basta con tener otro punto para poder hacer la recta. Para mayor facilidad, puede hacerse una tabla de valores, representar los puntos en los ejes y luego unirlos con una líónea recta, dado que quedaraó n alineados. Ejemplo. Ún meloó de 4 kg nos ha costado 3€. La representacioó n seríóa la que vemos en la figura. La foó rmula de

3 y= x=0,75 x . 4

la funcioó n seríóa

Ejercicio 22.1. Representa graó ficamente estas funciones: a)

y=3 x

y=−2 x

1 y= x 3

1 y= x 2

−1 x 2

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Ejercicio 22. 2. Ordena las rectas de la figura de menor a mayor pendiente.

Ejercicio 22.3. Dibuja la graó fica de la funcioó n de proporcionalidad directa que pasa por el punto (2, 5). Escribe la foó rmula correspondiente.

Ejercicio 23. Ún kilo de manzanas cuesta 0,6€. a) Escribe la ecuacioó n de la funcioó n. b) Represeó ntala graó ficamente.

Ejercicio 24. En una gasolinera, el precio de lavado de coches de forma manual es 1€ cada tres minutos. Haz una tabla donde se refleje el precio que hay que pagar por 3, 6, 9, 12 y 21 minutos de lavado. Escribe la expresioó n algebraica de la funcioó n que relaciona tiempo y precio, y represeó ntala graó ficamente.

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Ejercicio 25. Ún tren circula a una velocidad constante de 90 km/h. a) Escribe la ecuacioó n de la funcioó n. b) Realiza su representacioó n graó fica.

Función de proporcionalidad inversa y funciones. Las funciones del tipo

k x

se llaman funciones de proporcionalidad inversa.

Veamos un ejemplo. Úna asociacioó n necesita 900 € para desarrollar un programa de integracioó n de personas con discapacidad. Para juntar el dinero, buscan colaboradores. Cuantos maó s colaboradores consiga, menor cantidad tendraó que aportar cada uno. Por tanto, ambas magnitudes (nuó mero de colaboradores, que seraó n x ; y aportacioó n de cada uno, que seraó y ) son inversamente proporcionales y se relacionan con la foó rmula

k . x

x1 2 3 6 9 15 30 y 900 450 300 150 100 60 30 Si solo hubiera un socio, tendríóa que aportar 900 euros.

k k y= → 900= → k =900 ·1=900 . x 1 900 La foó rmula es y= x Asíó pues:

Ejercicio. Dos magnitudes estaó n relacionadas por una funcioó n que puede representarse mediante esta tabla: x- - - 1 2 4 4 2 1 y- - - 4 2 1 1 2 4 a) Escribe la foó rmula de la funcioó n. b) Representa su graó fica.

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Estudio gráfico de funciones: continuidad, crecimiento y decrecimiento. Para conocer mejor una funcioó n, se puede realizar un estudio de su graó fica. Úna funcioó n se denomina continua entre dos valores del eje de abscisas cuando su graó fica puede dibujarse sin levantar el laó piz del papel. Los puntos donde no es continua la funcioó n se llaman puntos de discontinuidad. Úna funcioó n es creciente entre dos valores del eje de abscisas si, al aumentar el valor de x, aumenta tambieó n el valor de y. Úna funcioó n es decreciente si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. Ejemplo. Observamos si la graó fica siguiente es continua entre x=0 y x=5 . Esta funcioó n NO continua en ese intervalo porque para dibujarla hay que levantar el laó piz en los puntos s=2 y x=4 , es decir, ahíó hay un “salto” de la funcioó n, no tiene valor en ese punto. Ejercicio 26. Indica si las siguientes funciones son continuas:

Ejercicio 27. Dibuja dos funciones que tengan las siguientes caracteríósticas: a) Continua entre x=−4 y x=4 . b) Discontinua en x=−3 y

x=2 .

Ejercicio 28. Senñ ala si la funcioó n representada en esta graó fica es creciente o decreciente entre los valores indicados: x=−3 y x=0 a) x=0 y x=4 b)

Ejercicio 29. Senñ ala si la graó fica siguiente corresponde a una funcioó n creciente o decreciente entre los valores indicados en el eje.

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ a) b)

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x=10 y x=30 x=40 y x=60

Ejercicio 30. Indica entre queó siguiente funcioó n es creciente y decreciente.

Ejercicio 31. Dibuja dos funciones que cumplan las siguientes condiciones. a) Creciente entre x=−2 y x=3 , y decreciente entre x=3 y b) Decreciente entre x=−3 y x=2 , y creciente entre x=2 y

valores de x la entre queó valores es

x=5 . x=4 .

Estudio gráfico de funciones: máximos, mínimos y cortes con los ejes. El estudio graó fico de una funcioó n puede completarse fijaó ndose en: - Los puntos maó s altos de una graó fica (máximos) y los maó s bajos (mínimos). Pueden serlo en un intervalo (relativos) o en toda la graó fica (absolutos). - Los puntos donde la graó fica corta al eje de abscisas y al eje de ordenadas. Ejemplo. Observamos la graó fica y senñ alamos las coordenadas de sus puntos maó ximos y míónimos. El punto maó s alto de toda la graó fica es el que tiene la mayor ordenada, en este caso y=4 . Su abscisa vale −3 . Por tanto, las coordenadas del maó ximo absoluto son (−3, 4) . Vemos que el punto (2, 3) es el maó alto en la zona cercana al mismo. Por eso decimos que (2, 3) es un maó ximo relativo. Igualmente, podemos observar que la graó fica tiene un míónimo absoluto en el punto (−5,1) y un míónimo relativo en el punto (1, 2) . Ejercicio 32. Indica las coordenadas de los puntos maó ximos y míónimos de las siguientes funciones: a) b)

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Ejercicio 33. La siguiente eleó ctrica producida en instalaciones eoó licas en un paíós durante varios anñ os. a) ¿En queó anñ o se alcanzoó la maó xima produccioó n? b) Indica si la funcioó n es creciente o decreciente en los anñ os anteriores a alcanzarse el maó ximo de produccioó n. ¿Queó ocurre en los anñ os inmediatamente posteriores?

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graó fica muestra la energíóa

Ejercicio 34. Observa la graó fica y escribe cuaó les son los puntos de corte con los ejes.

Ejercicio 35. Senñ ala los puntos de corte de estas graó ficas con los ejes:

Ejercicio 36. Úna expedicioó n espeleoloó gica se ha adentrado en una gruta que discurre por debajo del nivel del mar en algunos tramos. La graó fica muestra la altitud en funcioó n de la distancia recorrida en la gruta.

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a) ¿Es una funcioó n continua? b) Indica en queó tramos es creciente y en cuaó les decreciente. c) ¿Cuaó l es la altitud maó xima que alcanza la gruta? ¿A queó distancia de la entrada estaó ? d) ¿Cuaó l es la mayor profundidad de la gruta? ¿Doó nde se alcanza? e) ¿En queó puntos de la gruta se encuentra al nivel del mar?

Representación de funciones cuadráticas (de segundo grado). Son funciones del tipo y=a x 2 +bx +c y podríóan ser incompletas ( y=ax2 +bx o bien 2 y=ax +c ) Para representar una funcioó n de segundo grado seguimos los siguientes pasos: 1º. Buscamos los cortes con el eje de abscisas, es decir, cuando y=0 . Para ello, resolvemos la ecuacioó n que resulta de poner que y=0 , es decir, una ecuacioó n de la forma ax 2 +bx+ c=0 que se resuelve con la foó rmula

−b ± √ b2−4 ac . De ahíó nos salen dos soluciones que son la abscisa de 2a

los puntos de corte con el eje 0X. 2º. Buscamos el vértice de la ecuación. La abscisa del veó rtice es

–

b 2a

y su ordenada es lo que vale

( )

−b −b −b ,f ) . . O sea, el punto del veó rtice es ( 2a 2a 2a 3º. Buscamos el corte con el eje de ordenadas, que es cuando x=0 ; basta con sustituir y si es una ecuacioó n completa, el punto de corte seraó (0, c) . y cuando x=

Hay que tener en cuenta unas caracteríósticas generales de las funciones cuadraó ticas: - Representa siempre una parábola de eje de simetríóa vertical. - Cuanto mayor es a , maó s estrecha es la paraó bola. - Si la a> 0 paraó bola se abre hacia arriba. - Si la a< 0 paraó bola se abre hacia abajo (Hacemos ejercicios del libro de texto de Matemaó ticas)

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Tema 9. Sistema sexagesimal. Sistema sexagesimal. En el sistema sexagesimal, 60 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Se usa para medir aó ngulos y tiempos.

Medidas de ángulos Ún grado es la medida del aó ngulo que resulta de dividir un aó ngulo recto en 90 partes iguales. El grado es la unidad de medida de aó ngulos en el sistema sexagesimal. Para medir aó ngulos con maó s precisioó n, se usan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo. Únidad Síómbolo Equivalencia Grado ° 1° =60 ' ' Minuto ' 1 =60 ' ' Segund '' 1° =3600' ' =60' · 60 ' ' o

  

Ún aó ngulo completo mide 360 ° . Ún aó ngulo recto mide 90 ° . Para medir aó ngulos usamos el transportador.

Ejercicio 1. Completa la siguiente tabla: Grados ( ° ) 15 ° 25 ° Minutos( ' )

60 °

100

125

278

15 ·60=900

Segundos ( '' )

Ejercicio 2. Completa la siguiente tabla. Grados ( ° )

Minutos( ' )

Segundos ( ' ' ) 32400

600 3600 7200 300 61200 120 Ejercicio 3. Expresa en grados, en minutos y segundos: a) Ún aó ngulo llano (180 ° ) b) Ún aó ngulo completo (360 ° )

Ejercicio 4. Dibuja un aó ngulo recto y expresa su medida en grados, minutos y segundos.

360

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Ejercicio 5. Mide los siguientes aó ngulos con el transportador y expresa su medida en minutos. a) b) c)

Ejercicio 6. Dibuja estos aó ngulos con el transportador:

α =60 °

β=40 °

γ =150 °

Ejercicio 7. Sabiendo que los aó ngulos de un triaó ngulo miden 180 ° y los aó ngulos de un cuadrilaó tero valen 360 ° , calcula cuaó ntos segundos mide el aó ngulo desconocido en los siguientes políógonos:

Medidas de tiempos Algunas unidades de medida de tiempos son: el milenio (mil anñ os), el siglo (cien anñ os), el lustro (5 anñ os), el anñ o, el mes, la semana y el díóa. Las unidades de tiempo menos que el díóa son horas, minutos y segundos. Las horas, los minutos y los segundos se rigen por el sistema sexagesimal. Únidad Síómbol Equivalencia o Hora h 1 hora=60 min Minuto min 1 min=60 s Segundo s 1 h=3600 s=60 · 60

Ejercicio 8. Completa la siguiente tabla. Horas (h) 7 10

R E C . M A T E M AÁ T I C A S 2 º E S O . N o m b r e : _ _ _ _ _ _ _ Minutos (min) Segundos (s) Ejercicio 9. Completa la siguiente tabla: Horas (h)

Minutos (min) 30

P a g e | 100

Segundos (s) 10800

600 43200 60 Ejercicio 10. Calcula: a) Los minutos y segundo que transcurren desde las 6:15 horas hasta las 9.30 horas. b) Los minutos y segundos que transcurren desde las 15:45 horas hasta las 18.50 horas.

Expresiones complejas e incomplejas. Úna medida de tiempo o una medida de aó ngulos puede ser expresada de dos maneras: - De forma compleja: usando varias unidades de medida. Ejemplos: 1 h35 min 10 s o tambieó n: 36 ° 23 ' 14 ' ' - De forma incompleja: usando una uó nica unidad de medida. Ejemplos: 3790 s o 89 °  Para pasar una medida de forma compleja a forma incompleja, pasamos cada unidad dada en la forma compleja a la unidad que nos piden y, despueó s, sumamos los resultados. Ejemplo: Expresa 2 h50 min 15 s en segundos.

2 h=2 ·60 · 60=7200 s 50 min=50 · 60=3000 s 2 h50 min 15 s=700+3000+ 15=10.215 s 

Para pasar una medida de forma incompleja a compleja, dividimos la medida dada y los cocientes sucesivos entre 60. La forma compleja es el uó ltimo cociente y los restos resultantes. Ejemplo. Expresa 10.215 segundos en horas, minutos y segundos. 1 0 2 1 5 6 0 4 2 1 1 7 0 min 6 0 0 1 5s 5 0 min 2 h

10.215 s=2 h 50 min15 s Ejercicio 11. Calcula los segundos que hay en: a) 3 h 19min 26 s=¿

33 s=¿ 1 h 42 min¿ 40 s=¿ c) 4 h58 min ¿ 59 s=¿ d) 59 min ¿ b)

Ejercicio 12. Expresa de forma compleja. a) 2300 s=¿ b) 4042 s=¿ d) 2,5 h=¿ e) 17,5 min=¿

6400 s=¿ f) 4,25 h=¿ c)

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Ejercicio 13. Úna persona ha trabajado durante 29500s. Expresa esa cantidad en forma compleja. Ejercicio 14. Con un grifo podemos llenar, en un minuto, dos botellas de 1 litro de capacidad. a) ¿Cuántas botellas se pueden llenar en 1200 segundos? b) ¿Y en tres cuartos de hora? Ejercicio 15. Resuelve: a) ¿Cuaó ntos minutos hay en un díóa? b) ¿Cuaó ntas horas hay en una semana? Ejercicio 16. Indica los segundos que hay en: a) 28 ° 17' 39' ' =¿ b) 60 ° 30' =¿ c) 1° 35' =¿ d) 59' 38' ' =¿ Ejercicio 17 Expresa en grados minutos y segundos las siguientes medidas de aó ngulos: a) 729' =¿ b) 1217' =¿ c) 4315 ' '=¿ d) 43280 ' '=¿

Sumas en el sistema sexagesimal Para sumar medidas de tiempos o ángulos se colocan los sumandos agrupados: horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Hay que tener en cuenta que: 1. Si al sumar los segundos sobrepasan 60, pasamos los segundos a minutos. 2. Si al sumar los minutos sobrepasan 60, pasamos los minutos a horas o grados. 3. Por uó ltimo, sumamos los resultados obtenidos. Ejemplo. Sumamos 4 ° 25' 45' ' +15 ° 38' 29 ' '

4 ° 25' 45 ' ' ' 15 ° 38 29' ' 19 ° 63' 74 ' '

→74 ' ' =1' 14 ' '

→19 ° 64' 14 ' ' →64 ' =1 ° 4 '

→20 ° 4 ' 14 ' '

Ejercicio 18. Efectuó a las siguientes operaciones. a) 15 ° 22' 30 '' +8 ° 27 ' 41' ' =¿ b) 1° 44 ' 11 ' ' +5 ° 16' 9' ' =¿ c) 50 ° 43' +13 ' 10' ' =¿ d) 2° 7' +17 ° 49' 54 ' ' =¿ e) 75 °+9° 4' ' =¿ f) 5 °+ 67' =¿

Restas en el sistema sexagesimal Para restar medidas de tiempo o ángulos se colocan el minuendo y el sustraendo, haciendo coincidir las unidades del mismo orden. Hay que tener en cuenta: 1. Si alguna medida del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo, pasamos una unidad de orden superior a dicha unidad.

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2. Por uó ltimo, restamos los resultados obtenidos. Ejemplo. Efectuó a esta resta: 3 ° 23' 10' ' −1° 25' 34 ' ' '

3 ° 23 10' ' 1° 25' 34 ' '

→

3 ° 22 70 ' ' 1° 25' 34 ' '

→

3 ° 22 70 ' ' 1° 25' 34 ' '

2° 82 70 ' ' 1° 25' 34 ' ' ' 1° 57 36' '

→

Ejercicio 19. Efectuó a las siguientes operaciones: a) 4 ° 11 ' 17' ' −1 ° 16' 32' ' b) 50 ° 43' ' −3 ' 50 ' ' c) 11 ° 44' 11' ' −5° 16' 39'' =¿ d) 12° 7' 55 '' −7 ° 49' 54' ' =¿ e) 77 °−14 ° 25' 6 '' =¿ f) 35 ° 27 ' 42' ' −7 °=¿ Ejercicio 20. Ún ciclista entrenoó por la manñ ana tres horas, cuarenta y cinco minutos y cinco segundos, y por la tarde, una hora, cincuenta minutos y quince segundos. a) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el entrenamiento de la manñ ana y el de la tarde? b) ¿Cuánto tiempo diario ha dedicado al entrenamiento? Ejercicio 21. AÁ ngel ha estado conectado a internet 1h 10 min por la manñ ana, y 2 h 25 min por la tarde. Calcula el tiempo que ha estado conectado en total y cuaó nto tiempo maó s estuvo por la tarde que por la manñ ana. Ejercicio 22. Ún aó ngulo es complementario de otro cuando entre los dos suman 90 ° , y dos aó ngulos son suplementarios cuando suman 180 ° . Calcula: a) El aó ngulo complementario de 35 ° 26 ' 42 ' ' b) El aó ngulo suplementario de 15 ° 36 ' 21 ' ' ' '' ' ^ Ejercicio 23. Dados los aó ngulos ^ A=25° 12 45 y B=18° 25 51 ' ' , calcula: a) ^ A + ^B ^ b) ^ A− B c) El aó ngulo complementario de ^ A + ^B ^ b) El aó ngulo complementario de ^ A− B

Multiplicar por un número en el sistema sexagesimal Para multiplicar una medida dada en forma compleja de tiempo o ángulos por un nuó mero, seguimos estos pasos: 1. Multiplicamos el nuó mero por cada unidad dada en forma compleja. 2. Si el resultado de la multiplicacioó n es mayor que 60, efectuamos las conversiones necesarias. Ejemplo. Efectúa el producto ( 23 ° 21' 19'' ) · 4 . '

23 ° 21 19 ' ' x 4 ' 92 ° 84 76 ' '

' → 92 ° 85 16 ' ' '' ' '' 76 =1 16 →

Ejercicio 24. Efectúa las siguientes operaciones. a) ( 14 ° 21' 7 ' ' ) · 5

→ '' '' 85 =1° 25 →

93 ° 25 ' 16 ' '

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( 50 ° 43' ) · 3 ( 9 ° 30' 10 ' ' ) · 6 ( 2 ° 7' 55 ' ' ) ·12

Ejercicio 25. Elena usa bono de minutos para hablar con su hijo que estaó en el extranjero. Cada díóa habla 25 minutos y 30 segundos. ¿Cuánto tiempo hablan por teleó fono de lunes a viernes? Ejercicio 26. Ana ha tenido encendido diariamente su ordenador 4 h, 35 min y 20 s durante tres díóas seguidos. ¿Cuánto tiempo ha estado funcionando el ordenador?

Dividir por un número en el sistema sexagesimal Para dividir una medida dada en forma compleja de tiempo o aó ngulos por un nuó mero: 1. Dividimos los grados (o las horas) por el nuó mero. 2. El resto de grados (u horas) se pasan a minutos y se suman a los minutos que hay en el dividendo. Despueó s, se divide el total de minutos por el nuó mero. 3. El resto de minutos se pasa a segundos y se suman a los que hay en el dividendo. Finalmente, se dividen los segundos por el nuó mero. Ejemplo. Hacemos la división ( 85 ° 35 ' 10' ' ) : 3 .

85 ° 35 ' 10 ' ' 84 1° · 60=¿ 60 ' 95 ' 93 2' · 60=¿ 120 ' 130 ' ' 1' ' ' El cociente es 28 ° 31 y 43' ' y el Resto: 1' '

3 28 ° 31' 43 ' '

Ejercicio 27. Efectuó a las siguientes operaciones. a) ( 44 ° 21' 37 ' ' ) :5 b)

( 39 ° 3' 40 ' ' ) :3

( 50 ' 43 ' ' ) :6 b) ( 42 ° 17' 55 ' ' ) :12 c)

Ejercicio 28. Dados los aó ngulos a) ^ A ·3=¿ b) ^ A :2=¿ ^ :3=¿ c) B ^ =¿ d) 2· ^ A−B ^ ^ −( A : 2)=¿ e) B f)

' ^ A=25° 12 45' '

' ^ y B=18 ° 25 51' ' , calcula:

( ^A+ B^ ) :2=¿

Ejercicio 29. Ún atleta tarda 50 min 46s en dar 9 vueltas a una pista de atletismo. Si ha mantenido el mismo ritmo en cada vuelta, ¿cuánto tiempo ha empleado en cada una? Ejercicio 30. Durante 5 díóas, Luisa ha usado el ordenador un total de 8h 37 min. ¿Cuaó nto ha estado funcionando de media diaria?

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Ejercicio 31. Fernando hace un trabajo manual en 2h 35min y 15 s, y su hermana lo hace en 2/3 de ese tiempo. ¿En cuánto tiempo lo hace la hermana? Ejercicio 32. Ún repartidor de mercancíóas tarda 27 min 44s en llegar a su primer destino, justo el doble que en llegar al segundo y la mitad en llegar al tercero. ¿Cuaó nto tiempo ha invertido en total en visitar los tres puntos?

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Tema 9. Proporcionalidad geométrica Segmentos y polígonos Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos, que no tiene ni principio ni final.

Dos puntos definen una recta. Por un punto pasan infinitas rectas.

Una semirecta es una recta que tiene principio pero no tiene final. Un punto cualquiera forma dos semirrectas sobre cada línea o dirección. Ún segmento es una parte de la recta delimitada por dos puntos.

La parte de la recta comprendida entre M y N forma el segmento MN. Su longitud la representamos ´ . mediante MN Ún polígono es una superficie plana y cerrada delimitada por segmentos. Los elementos de un políógono pueden verse en la siguiente imagen:

El perímetro de un políógono es la suma de las longitudes de sus lados. Ejercicio 1. Dibuja cuatro segmentos AB, MN, PT y XY, cuyas medidas sean 3, 6, 8 y 10 cm, respectivamente.

Ejercicio 2. Indica cuaó les de las siguientes figuras son políógonos y explica por queó .

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Ejercicio 3. En los siguientes políógonos, senñ ala los veó rtices, lados y aó ngulos. Despueó s, dibuja las diagonales.

Razón de dos segmentos La razón de dos segmentos es el nuó mero que resulta de dividir la longitud de uno entre la longitud del otro. Ejemplo: Sean los segmentos a y b, de longitudes 3 y 5 cm, respectivamente.

La razoó n de a y b es:

a 3 = =0,6 b 5

Ejercicio 4. Dibuja dos segmentos m y n, de longitudes 3 y 4 cm, respectivamente. Halla su razoó n.

Ejercicio 5. La razoó n de dos segmentos a y b es 0,5. Si a mide 2 cm, ¿Cuaó l es el valor de b? Dibuja los segmentos.

Ejercicio 6. La razoó n de dos segmentos m y n es 0,75. Si n mide 4 cm, calcula el valor de m. Dibuja los segmentos.

Ejercicio 7. Dibuja dos segmentos de razoó n 1,5.

Segmentos proporcionales Los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d si sus razones son iguales:

a c = b d

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Ejercicio 8. Dibuja dos segmentos a y b que midan 3 y 4 cm, y otros dos segmentos, c y d que midan 6 y 8 cm. Comprueba que a y b son proporcionales a c y d.

Ejercicio 9. Los segmentos a y b miden 4 y 5 cm, respectivamente, y son proporcionales a los segmentos c y d. Si el segmento c mide 8 cm, calcula el valor de d.

Polígonos semejantes Varios segmentos unidos entre sí forman una línea poligonal. Una línea poligonal cerrada es un polígono. Un polígono es una figura plana delimitada por una línea poligonal cerrada.

Dos políógonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son semejantes si se cumple: 1. Los aó ngulos correspondientes son iguales: ' ' ^' … E ^ ^ =^ A= ^ A ; ^B= B E

2. Los lados correspondientes son proporcionales:

A '´B ' B '´C ' C '´D' D '´ E ' E '´ A ' = = = = =k ´ ´ ´ ´ ´ AB BC CD DE EA

El cociente, k, de dos lados correspondientes es la razón de semejanza. Ejercicio 10. Calca estos triaó ngulos en una hoja de papel y recoó rtalos. Superponiendo unos sobre otros, comprueba si sus aó ngulos son iguales. Mide sus lados, ¿son proporcionales? ¿Son semejantes los triaó ngulos?

Coó mo construir un políógono semejante a otro. Úna forma de construir un políógono semejante a ABCDE, conocida su razoó n de semejanza, k, por ejemplo, k=2, es la siguiente:

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1. Tomamos un punto cualquier O, exterior al políógono ABCDE, y trazamos las rectas que pasan por O y los veó rtices del políógono. 2. El punto A’, que denominamos homólogo de A, se determina de modo que el segmento OA’ sea el doble que el segmento OA, ya que la razoó n de semejanza es 2. Del mismo modo se determinan los veó rtices homoó logos B’, C’, D’ y E’. Ejercicio 11. Traza un políógono semejante a eó ste cuya razoó n de semejanza sea 3.

Ejercicio 12. Construye un hexaó gono semejante a este con razoó n de semejanza 2,5

Ejercicio 13. Dibuja un triaó ngulo equilaó tero de lado 4 cm. Construye otro triaó ngulos semejante con razoó n de semejanza 2.

Teorema de Tales Los segmentos que determinan las rectas paralelas y s, son proporcionales.

´ ´ ´ AB BC AC = = A´' B' B'´C ' A'´C' Esta igualdad constituye el teorema de Tales .

Ejercicio 14. Fíójate en el siguiente dibujo y nombra:

a , b y c al cortar alas rectas secantes r

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a) Los segmentos que se forman en la recta r. b) Nombra los segmentos que se forman en la reta s. c) Verifica que se cumple el teorema de Tales.

Ejercicio 15. Traza cuatro rectas paralelas que corten a las rectas a y b, y que esteó n a una distancia de 1,5 cm una de otra. a) Nombra los segmentos que se forman al cortar a y b. b) Comprueba que los segmentos que se forman en cada recta son iguales.

Segmento cuarto proporcional Dados los segmentos a, b y c, el segmento cuarto proporcional de los segmentos dados es otro segmento x cuya longitud cumple la proporcioó n:

a c b·c = → x= b x a

Ejemplo. Sean los segmentos a, b y c, de medidas 4, 3, y 2 cm, respectivamente. Calculamos la longitud del segmento cuarto proporcional, x.

a c 4 2 3·2 = → = → x= → x=1,5 cm b x 3 x 4

La longitud del segmento cuarto proporcional es 1,5 centíómetros. Ejercicio 16. Fíójate en el siguiente dibuja y halla el valor del segmento EF. AB= 2cm DE= 2,5 cm BC= 4 cm EF=??

Ejercicio 17. Calcula el segmento cuarto proporcional de los segmentos a= 3cm, b= 5 cm y c= 6 cm.

Ejercicio 18. Calcula el valor de x en el siguiente dibujo:

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Dividir un segmento AB en partes iguales Para dividir un segmento AB en partes iguales, seguimos estos pasos. 1. Trazamos una semirrecta s, con origen en A, y marcamos en ella tantos segmentos iguales como partes iguales queramos dividir el segmento AB (usamos una regla). 2. Únimos, mediante una recta, la uó ltima marca con el extremo B. 3. Trazamos paralelas a eó sta por las otras marca senñ aladas. El segmento AB queda dividido en partes iguales. Ejercicio 19. Divide el segmento en 7 partes iguales.

Ejercicio 20. Divide un segmento de 6 cm en 8 partes iguales.

Ejercicio 21. Divide un segmento de 5cm en 7 partes iguales.

Semejanza de triángulos Dos triaó ngulos son semejantes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1ª. Tener los tres aó ngulos iguales. 2ª. Tener los tres lados proporcionales. 3ª. Tener un aó ngulo igual y los lados que lo forman proporcionales.

Ejercicio 22. Observa la medida de los lados de estos triaó ngulos. Luego: a) nombra los lados de cada triaó ngulo; b) comprueba que son semejantes; c) ¿Queó criterio has aplicado?

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^ = 60 ° . En ´ ´ Ejercicio 23. En un triaó ngulo ^ = 4cm, GC = 6cm, G AGC conocemos AG ´ ´ = 9cm, ^ otro triaó ngulo ¿^ conocemos DE = 6cm, EF E = 60 ° . Comprueba si son semejantes e indica el criterio aplicado.

Ejercicio 24. Dos triaó ngulos rectaó ngulos tienen un aó ngulo agudo igual que mide 48 ° . ¿Son semejantes? ¿Queó criterio has aplicado?

Ejercicio 25. Dos triaó ngulos ^ ABC y ^ A ' B' C ' son semejantes. Los lados del primero miden: a=5cm, b=6cm y c=4cm. En el segundo triaó ngulo, el lado a’=8cm. Calcula la medida de los lados b’ y c’.

Razón de los perímetros y las áreas de figuras semejantes Si dos políógonos son semejantes y su razoó n de semejanza es r, la razoó n de sus períómetros es igual a la razoó n de semejanza. Entonces se cumple:

Perímetro triángulo menor A '´ B' + B'´C '+ A '´C ' = =r ´ BC ´ + AC ´ Perímetro triángulo mayor AB+

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Si dos políógonos son semejantes y su razoó n de semejanza es r, la razoó n de sus aó reas es igual al cuadrado de la razoó n de semejanza.

a' b ' = =r , entonces, la razoó n de las aó reas es: a b Área rectángulomenor A ' a ' b ' (ar )(br ) 2 = = = =r Á rea rectángulo mayor A ab ab

Si dos rectaó ngulos son semejantes:

Ejercicio 26. Observa la figura y calcula: a) ¿Cuaó l es la razoó n de semejanza entre ^ ABC y ^ A ' B' C ' ? b) ¿Cuaó l es la razoó n de semejanza entre ^ ABC y ^ A ' ' B' ' C ' ' ? c) ¿Cuaó l es al razoó n de semejanza entre sus alturas? d) Calcula el aó rea de los tres triaó ngulos.

Ejercicio 27. Calcula el aó rea de estos triaó ngulos semejantes si

´ AB=9 cm , A '´B '=6 cm y

´ =3,6 cm CH

Ejercicio 28. Considera dos cuadrados de lados 8 y 12 cm, respectivamente.

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a) ¿Son semejantes? Razona la respuesta. b) ¿Cuaó l es la razoó n de semejanza? c) Halla la razoó n de sus períómetros y la de sus aó reas.

Cálculo de la altura de un objeto a partir de su sombra Observa, en el dibujo, los triaó ngulos que se forman con la sombra proyectada por el aó rbol y la estaca. Los triaó ngulos ^ ABC y ^ A ' B' C ' son semejantes, porque tienen dos aó ngulos iguales:

^ A= ^ A ' → dos ángulosrectos . ^ ^ C=C ' → losrayos del sol inciden con el mismo ángulo Como los triaó ngulos ^ ABC y ^ A ' B' C ' son semejantes, tienen sus lados proporcionales:

AB AC = . A' B' A 'C'

´ , A '´B ' y A '´C ' , Por tanto, conocido el valor de AC ´ . podemos calcular la altura del aó rbol AB Ejercicio 29. Fijaó ndote en el dibujo anterior, calcula la altura del aó rbol, si la longitud de la estaca es de 1,5 m, su sombra mide 0,75 m y la sombra del aó rbol es de 4 m. Ejercicio 30. Ún edificio proyecta su sombra de 6m. A la misma hora, un palo colocado perpendicular al suelo mide 1 m de altura y proyecta una sombra de 1,5 m. Calcula la altura del edificio. Realiza un dibujo representativo. Ejercicio 31. Luis mide 1,5 m y, a las tres de la tarde, proyecta una sombra de 1,875 m. ¿Queó altura tiene su amiga Ana si, a esa misma hora, su sombra es de 2,5 m? Ejercicio 32. Calcula la altura de (a) la bola maó s alta de la espadanñ a del colegio, (b), la de al chimenea de al lado, (c) la de la cornisa y (d) la de la torre del colegio, midiendo con un metro sus sombras y al sobra de un companñ ero, cuya altura has de haber medido antes. [Pueden hacerse cuatro grupos]

Escala de un plano o mapa. Mediante la escala relacionamos la distancia de un plano o mapa y la distancia real:

Escala=

Distancia sobre el plano o mapa Distancia sobre el terrenoreal

Ejemplo: Escala numérica 1:300 1 cm del dibujo, plano o mapa, equivale a 300 cm de la realidad.

1 cm→ 300 cm=3 m 2 cm → 600 cm=6 m …. Escala gráfica:

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1 cmdel dibujo , equivale a 2 m en larealidad ; 5 cm en eldibujo , equivalen a 10 m en larealdiad .

Ejercicio 33. Completa la siguiente tabla. Escala Distancia en el mapa Distancia real (en cm) 1:100 1:2.000 1:20.000 1:350.000 1:2.000.000 Ejercicio 34. Expresa, mediante una escala numeó rica y una escala graó fica. a) Ún centíómetro en el plano equivale a 3 km en la realidad.

Distancia real (en m)

b) Ún centíómetro en el plano equivale a 25 km en la realidad.

Ejercicio 35. Seguó n la siguiente escala, completa las equivalencias.

En la escala gráfica En la realidad (m)

1 cm

2 cm

5 cm

7 cm

21 cm

Ejercicio 36. El plano de una casa estaó dibujado a escala 1: 150. Úna habitacioó n, en el plano, mide 3x4 cm. ¿Cuaó nto mediraó en la realidad? Lo podemos resolver aplicando la proporcionalidad, la regla de tres:

1cm →150 cm → x= 3· 150 =3 · 150=45 cm 1 3 cm → x cm

}

Ejercicio 37. Ún mapa de carreteras estaó a escala 1: 250.000 a) ¿Queó significa? b) Úna distancia de 4 cm en el mapa, ¿cuaó ntos metros y kiloó metros son en la realidad?

Ejercicio 38. En un mapa a escala 1: 5.000.000, dos pueblos estaó n separados 3,5 cm. a) ¿Queó distancia real los separa? b) Si uno de los pueblos estaó a 12,5 km de un embalse, ¿cuaó l es esa distancia en el mapa? c) Dibuja la escala graó fica del mapa. Ejercicio 39. Observa la distancia en líónea recta entre las siguientes ciudades:

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Halla la distancia real (en km) entre: a) Sevilla y Caó diz: b) Sevilla y Maó laga: c) Caó diz y Maó laga: Ejercicio 40. En un colegio, tenemos el siguiente plano:

Calcula las medidas reales de cada dependencia si la escala es 1: 150. Dependencia Medidas en el dibujo (cm) Sala de profesores Secretaríóa Conserjeríóa Direccioó n Cafeteríóa

Medidas reales (m)

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Tema 10. Triángulos y circunferencias. Rectas y puntos de un triángulo. Medianas. - La mediana de un triaó ngulo es la recta trazada desde un veó rtice al punto medio del lado opuesto. - Ún triaó ngulo tiene tres medianas, que se cortan en un punto llamado baricentro. Alturas. - La altura de un triaó ngulo es la recta perpendicular trazada desde un veó rtice al lado puesto a su prolongacioó n. - Ún triaó ngulo tiene tres alturas, que se cortan en un punto llamado ortocentro. Ejercicio 1. En cada triaó ngulo, traza las medianas y marca con un punto el baricentro.

Ejercicio 2. En los siguientes triaó ngulos, traza las alturas y marca con un punto el ortocentro.

Ejercicio 3. En este triaó ngulo equilaó tero, traza sus medianas y alturas. ¿Queó observas?

Mediatrices La mediatriz de un segmento es la recata perpendicular trazada por su punto medio. Para trazar la mediatriz de un segmento AB seguimos estos pasos: 1. Con centro en A, abrimos el compaó s un poco maó s de la mitad del segmento y trazamos un arco. 2. Úsando la misma abertura del compaó s, trazamos otro arco con centro en B. Ambos arcos se cortan en dos puntos. 3. Con la regla trazamos la recta que pasa por los dos puntos. Esa recta es la mediatriz del segmento.

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Las mediatrices de un triaó ngulo son las mediatrices de sus lados. Ún triaó ngulo tiene tres mediatrices. El punto donde se cortan las mediatrices de un triaó ngulo se llama circuncentro. El cincuncentro estaó a igual distancia de cada veó rtice y es el centro la circunferencia circunscrita al triaó ngulo.

Ejercicio 4. Dibuja un segmento AB de 6cm y traza su mediatriz. Comprueba con el compaó s que cualquier punto de M de la mediatriz estaó a la misma distancia de A que de B. Ejercicio 5. Traza, en el siguiente triaó ngulo, sus mediatrices y la circunferencia circunscrita.

Ejercicio 6. Dibuja un triaó ngulo rectaó ngulo y traza sus mediatrices. ¿Doó nde se situó a el circuncentro?

Bisectrices. La bisectriz de un aó ngulo es la recta que pasa por el veó rtice y divide al aó ngulo en dos partes iguales. Para trazar la bisectriz de un aó ngulo seguimos estos pasos: Con centro en el veó rtice, trazamos un arco que corta en dos puntos a los lados del aó ngulo. Con centro en ambos puntos, y con la misma abertura, trazamos dos arcos que se cortan en un punto. Con la regla unimos el veó rtice con el punto obtenido. Esta recta es la bisectriz del ángulo. Las bisectrices de un triaó ngulo son las bisectrices de sus aó ngulos. El punto donde se cortan las bisectrices de un triaó ngulo se llama incentro. El incentro estaó igual distancia de cada lado y es el centro de la circunferencia inscrita al triaó ngulo. Ejercicio 7. Dibuja dos aó ngulos de 90 ° y 120 ° , respectivamente. Traza, con regla y compaó s, la bisectriz de cada uno de ellos y comprueba que divide al aó ngulo en dos aó ngulos iguales. Ejercicio 8. En el siguiente triaó ngulo, traza las bisectrices y la circunferencia inscrita.

Ejercicio 9. Dibuja un triaó ngulo rectaó ngulo y traza sus bisectrices. ¿Doó nde se situó a el incentro?

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Teorema de Pitágoras. Ún triaó ngulo rectaó ngulo tiene un ángulo recto ( 90 ° ¿ . Los lados que forman el aó ngulo recto se denominan catetos. El lado mayor es la hipotenusa. En todo triaó ngulo rectaó ngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual al a suma de los cuadrados de los catetos: 2

hipotenusa =(cateto 1) +( cateto2 )

Ejercicio 10. Si en un triaó ngulo sus lados miden 6, 8 y 10 cm respectivamente, ¿se cumple el teorema de Pitaó goras?

Ejercicio 11. Dibuja un triaó ngulo rectaó ngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. Con una regla, averigua cuaó nto mide la hipotenusa. Comprueba que se cumple el teorema de Pitaó goras.

Ejercicio 12. Traza una diagonal sobre el siguiente rectaó ngulo. ¿Queó figuras se han formado? Nombra sus elementos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras El teorema de Pitaó goras nos permite calcular la longitud de un lado de un triaó ngulo rectaó ngulo si sabemos las longitudes de los otros dos lados. De la igualdad hipotenusa2=(cateto 1)2+(cateto 2)2 , que en el dibujo de la derecha se puede expresar como a2=b2 +c 2 , obtenemos el valor de: La hipotenusa a → a2=b 2+ c2 , de donde despejamos a=√ b2 +c 2 El cateto b → b2=a 2−c 2 , de donde despejamos b=√ a2−c 2 El cateto c → c2 =a2−b2 , de donde despejamos c=√ a 2−b2 Ejercicio 13. Calcula el valor de la hipotenusa de los siguientes triaó ngulos rectaó ngulos:

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Ejercicio 14. Halla el valor del cateto desconocido en cada triaó ngulo rectaó ngulo.

Ejercicio 15. Sobre un campo rectangular de 16 m de longitud y 12 m de ancho se traza una diagonal. Calcula su valor.

Ejercicio 16. Úna escalera que mide 6m se apoya en la pared. Desde la base de la escalera a la pared hay una distancia de 2 m. Calcula a queó altura de la pared apoya la punta superior de la escalera. (Haz el dibujo de la escena)

Ejercicio 18. Se quiere sujetar un poste de 2 metros de alto con un cable que se ancle al suelo a 3,5 m de su base. Calcula la longitud del cable.

Ejercicio 19. El patio de direccioó n es cuadrado y mide 20m de lado. Si se quieren tirar cables de acero para sujetar una red como en los otros dos patios, ¿cuaó ntos metros de cable hacen falta para las diagonales de una esquina a otra del patio?

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Teorema de la altura En un triaó ngulo rectaó ngulo, la altura al cuadrado es igual al producto de la longitud de los dos lados segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.

h e 2 = → h·h=d·e → h =d·e → h=√ d·e e h

Ejemplo: En un triángulo rectángulo, los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa miden 2 cm y 8 cm. Calcula: a) La longitud de la altura correspondiente al ángulo recto.

Aplicando el teorema de la altura:

h 8 = → h2=2 ·8 → h2=16 → h= √16 → h=4 cm 2 h

b) El área del triángulo.

La base es la hipotenusa, es decir: base=2+8=10 cm . AÁ rea=

base·altura 10· 4 = =20 cm 2 2 2

Ejercicio 19. En un triaó ngulo rectaó ngulo, los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa miden 8 y 29 cm, respectivamente. Calcula: a) La longitud de la altura correspondiente al aó ngulo recto. b) El aó rea del triaó ngulo. Ejercicio 20. Los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa en un triaó ngulo miden 16 y 4 cm, respectivamente. Calcula la medida de la altura que corresponde al aó ngulo recto. Realiza un dibujo representativo. Ejercicio 21. La longitud de la altura correspondiente al aó ngulo recto en un triaó ngulo rectaó ngulo es 10 cm. Úno de los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa mide 20 cm. Calcula: a) La longitud del otro segmento. b) El aó rea del triaó ngulo. Ejercicio 22. El aó rea de un triaó ngulo rectaó ngulo de altura sobre la hipotenusa 18 m es 351m 2. ¿Cuaó l es la longitud de cada uno de los dos segmentos en que la altura divide a la hipotenusa?

Teorema del cateto En un triaó ngulo rectaó ngulo, el cateto al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioó n de dicho cateto sobre la hipotenusa.

a c = → a·a=d·c → a2=d·c d a b c = → b·b=e·c → b2=e·c e b

Ejemplo: En un triángulo rectángulo, los segmentos de proyección de los catetos sobre la hipotenusa miden: e=2 cm y d=6 cm . Calcula la longitud de los catetos. La hipotenusa es la base, suma de los dos segmentos d y e: c=base=hipotenusa=2+6 → base=8 . Aplicando el teorema del

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cateto, obtenemos: 2

a =d·c=6 · 8=48 →a=√ 48=6,9 cm 2 b =e·c=2 ·8=16 → b= √ 16=4 cm Ejercicio 23. Calcula la longitud de los catetos en los siguientes triaó ngulos.

Ejercicio 24. Dado un triaó ngulo rectaó ngulo de catetos mide c=145 cm .

a=144 cm y b=17 m y cuya hipotenusa

a) Calcula la longitud de la proyeccioó n b sobre la hipotenusa. b) El aó rea del triaó ngulo. Ejercicio 25. En el siguiente triaó ngulo rectaó ngulo, calcula: a) La longitud de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. b) El aó rea del triaó ngulo.

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Tema 11. Estadística Variables estadísticas Llamamos datos de un estudio estadíóstico a cada uno de los valores que obtenemos de los elementos recogidos en el estudio, estos elementos forman parte (muestra) de un conjunto (población). Asíó, una variable estadística es cada una de las propiedades o caracteríósticas estudiadas en un conjunto de elementos (individuos). Seguó n se puedan o no medir, las variables pueden ser: - Cuantitativas: los valores son numeó ricos. - Cualitativas: los valores no son numeó ricos, se refieren a una caracteríóstica o cualidad no medible o cuantificable. Ejemplos: (1) Las temperaturas maó ximas (en ℃ ) en un sitio durante 15 díóas han sido: 12, 13, 15, 16, 14, 11, 9, 8, 11, 10, 11, 15, 13, 14, 14. Datos: 12, 13, 15… Variable estadíóstica: temperatura maó xima en un lugar. La variable es cuantitativa, porque sus valores se puede expresar numeó ricamente. (2) El color de los seis coches que hay en un garaje es: rojo, blanco, rojo, verde, azul, y azul. Datos: rojo, blanco, rojo… Variable estadíóstica: color del coche. La variable estadíóstica es cualitativa, sus valores no son numeó ricos. Dentro de las cuantitativas, las variables pueden ser: - Discretas: Cuando solo puede tomar valores aislados. Ejemplo: nuó mero de sobresalientes en la 2ª evaluacioó n de Matemaó ticas. Pueden ser 5, 6, 7… pero no puede haber 4,5 sobresalientes. - Continuas. Cuando puede tomar todos los valores posibles de un intervalo. Por ejemplo, peso de los alumnos de la clase. Rara vez se pesaraó n 45 kg justos, sino que seraó n 45,76 kg; o 51,2 kg, etc. O sea, puede tomar cualquier valor, no solamente nuó meros enteros. Ejercicio 1. El nuó mero de hermanos que tienen los alumnos de una clase es: 2, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 2, 1, 0, 1. a) Di cuaó les son los datos e identifica la variable estadíóstica b) Ordena los datos c) ¿De queó tipo son los datos de esta variable? Ejercicio 2. Indica si las siguientes variables son cuantitativas o cualitativas. a) El color de los ojos  Cuantitativa  Cualitativa b) El nuó mero de calzado  Cuantitativa  Cualitativa c) La edad  Cuantitativa  Cualitativa d) La talla  Cuantitativa  Cualitativa e) El lugar de nacimiento  Cuantitativa  Cualitativa f) El peso de una persona  Cuantitativa  Cualitativa Ejercicio 3. Se lanza un dado 20 veces, siendo los resultados: 6, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 1,4, 5, 5, 2, 2, 6. a) Ordena los datos: b) Identifica la variable estadíóstica. ¿De queó tipo es? c) Indica cuaó l es el resultado que maó s veces ha salido y el que menos.

Frecuencia absoluta y relativa La frecuencia absoluta de un dato es el nuó mero de veces que aparece en el estudio. Se representa por f i . La suma de frecuencias absolutas es igual al nuó mero de datos, N .

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La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nuó mero total de datos. Se representa por hi . La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Ejemplo. Los resultados de lanzar un dado 100 veces se muestran en la tabla. Calculamos las frecuencias absolutas y relativas de cada resultado. Caras del Frecuencia Frecuencia dado absoluta relativa La suma de frecuencias absolutas es igual al nuó mero de datos: fi ( fi ) ( hi= ) 17+16+14+18+15+20=100. N 1

∑ f i=100

17 =0,17 100 16 =0,16 100 14 =0,14 100 18 =0,18 100 15 =0,15 100 20 =0,2 100 ∑ h i=1

La suma de frecuencias relativas es igual a la unidad:

17 16 14 18 15 20 100 + + + + + = =1 100 100 100 100 100 100 100

Ejercicio 4. En una clase de 24 alumnos de 2º de ESO las notas en Lengua han sido: 4, 6, 7, 3, 5, 7, 6, 8, 5, 9, 10, 10, 8, 6, 3, 1, 10, 9, 8, 12. Haz una tabla con los datos y calcula las frecuencias absolutas y relativas. Notas obtenidas Frecuencia absoluta ( Frecuencia relativa ( fi ) f hi= i )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

∑ f i=¿

∑ h i=¿

Ejercicio 5. Se ha preguntado a 50 alumnos de 1º y 2º de ESO la edad que tienen, y los resultados han sido: 12, 13, 14, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 12, 12, 12, 14, 15, 14, 14, 12, 12, 12, 14, 14, 12, 13, 14, 12, 13, 13, 14, 12, 12, 11, 12, 12, 12, 11, 13, 13, 12, 12, 12, 13, 12, 13, 14, 12, 12, 12, 12, 13. Haz una tabla con los datos y calcula las frecuencias absolutas y relativas. Notas obtenidas Frecuencia absoluta ( Frecuencia relativa ( fi ) f hi= i )

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∑ f i=¿

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∑ h i=¿

Diagrama de barras. El diagrama de barras se usa para representar frecuencias de variables cualitativas o cuantitativas. En el eje horizontal se ponen los datos, y en la vertical, las frecuencias. La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra, siendo las alturas de las barras proporcionales a las frecuencias. Si unimos, mediante segmentos, los extremos de las barras, se obtiene el polígono de frecuencias. Veamos un ejemplo. En dos clases de 2º de ESO se ha preguntado a los alumnos por sus deportes favoritos. Representamos los datos obtenidos mediante un diagrama de barras y un políógono de frecuencias. Deportes Frecuencia absoluta Fuó tbol 10 Baloncesto 14 Tenis 8 Atletismo 5 Balonmano 12

Diagrama de barras 14 12 10 8 6 4 2 0 o tb Fú

l Ba

es nc

n Te

is l At

s et

Polígono de frecuencias

o Ba

14 12 10 8 6 4 2 0 Fútbol Bal oncesto Teni s

Atl ets moBa l onmano

Ejercicio 6. Entre los alumnos de 2º de ESO se ha hecho una encuesta del tipo de programa de TV preferido, con los resultados que se muestran en la tabla. Representa los datos en un diagrama de barras. Deportes Frecuencia absoluta Deportivos 10 Musicales 4 Culturales 8 Pelíóculas 5 Concursos 12 Ejercicio 7. Las edades en anñ os de 24 alumnos son: 16, 14, 15, 13, 13, 15, 13, 13, 12, 14, 15, 12, 16, 14, 15, 13, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 13, 12. Forma una tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama de barras con un políógono de frecuencias. Diagrama de sectores El diagrama de sectores se puede usar para representar cualquier tipo de variable. Los datos se

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representan en un cíórculo y cada sector comprende la parte proporcional a la frecuencia. El valor del aó ngulo de cada sector circular se obtiene multiplicando la frecuencia absoluta por 360 ° y dividiendo entre el nuó mero total de datos. Ejemplo. Cuarenta alumnos de ESO expresan sus preferencias por ciertos deportes. Lo vemos en la tabla y hacemos el graó fico de sectores. Deportes Frecuencia absoluta 360° =72 ° Fuó tbol → 8· Fuó tbol 8 40 Baloncesto 12 360 ° =108° Baloncesto →12 · Tenis 6 40 Atletismo 10 360° =54 ° Tenis →6 · Balonmano 4

∑ f i=N =40

40 360 ° =90 ° Atletismo →10 · 40 360 ° =36 ° Balonmano → 4 · 40

Balonmano; 10.00%Fútbol; 20.00%

Atletismo; 25.00% Baloncesto; 30.00% Tenis; 15.00%

Ejercicio 8. La preferencia sobre el destino de vacaciones de 90 familias vienen expresadas en esta tabla. Representa los datos mediante un diagrama de sectores. Destinos Frecuencia absoluta Playa 26 Montanñ a 22 Turismo rural 18 Europa 10 Ameó rica 8 Otros 6 Ejercicio 9. Se ha hecho una encuesta a 360 hogares sobre los canales de TV preferidos, siendo las respuestas las de la tabla adjunta. Representa los datos en un diagrama de sectores: Canales Frecuencia absoluta TVE 1 120 TVE 2 20 Antena Feliz 35 Zapilandia TV 100 Tele Global 85

Medidas de centralización: Media La media de un conjunto de datos numeó ricos se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el nuó mero total de datos. Se representa por x́ . Veamos un ejemplo:

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La estatura de los alumnos de 1º y 2º de ESO del colegio se recoge en la tabla. Calculamos la altura media en cm de todos los alumnos:

x́=

36.582,5 =155,67 . 235

La media es de 155,67 cm.

Altura 137,5 142,5 147,5 152,5 157,5 162,5

Nº de alumnos 4 12 25 52 74 68 N=235

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4 · 137,5=550 12· 142,5=1710 25 ·147,5=3687,5 52· 152,5=7930 74 · 157,5=11655 68 ·162,5=11050 Suma :36.582,5

Ejercicio 10. Maríóa ha obtenido las siguientes notas en 4 exaó menes de Matemaó ticas: 6,5; 5,75; 7,25 y 8. Calcula su nota media en los exaó menes. Ejercicio 11. Las edades de los 11 profesores que dan clase en 2º de ESO son: 54, 36, 28, 42, 51, 33, 29, 56, 62, 61, 50. Calcula la edad media del profesorado de 2º de ESO. Ejercicio 12. El nuó mero de sobresalientes en la 2ª evaluacioó n y el nuó mero de horas a la semana que estudian 5 alumnos son los siguientes: 5 sobresalientes y 10 horas de estudio; 4 sobre salientes y 9 horas de estudio; 1 sobresaliente y 9 horas de estudio; 2 sobresalientes y 5 horas de estudio; 1 sobresaliente y 8 horas de estudio. Halla la media de sobresalientes y de horas semanales de estudio.

Medidas de centralización: Mediana y moda La mediana de un conjunto de datos es el valor central de ellos. Su síómbolo es Me. Para calcular la mediana, primero hay que ordenar los datos, de menor a mayor. Se pueden dar dos casos: 1. Si el nuó mero de datos es impar, la mediana es el valor central. 2. Si el nuó mero de datos es par, la mediana es la media aritmeó tica de los valores centrales. La moda de un conjunto de datos es el valor que maó s se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. Su síómbolo es Mo. Si en el conjunto de datos hay dos o maó s frecuencias maó ximas, decimos que la serie de datos es bimodal y multimodal respectivamente. Veamos un ejemplo. Supongamos que las notas de 7 alumnos en Matemaó ticas son: 6; 7; 8; 7; 4; 3; 5. Ordenamos los datos en una tabla: Datos Fr. Absoluta

3 4 5 6 7 8 6 es el valor central, ya que es el valor que deja 3 datos a la 1 1 1 1 2 1 derecha y 3 datos a la izquierda → Me=6 . 7 es el valor que maó s veces se repite, con mayor frecuencia → Mo=7 .

Ejercicio 13. Ún grupo de alumnos tienen las siguientes notas en Lengua: 4, 5, 5, 5, 3, 9, 9, 8, 7, 6, 6, 6, 6; 7; 8; 7; 4; 3; 5. Calcula la nota media del grupo, la mediana y la moda. Ejercicio 14. Las edades en anñ os de un grupo de amigos es: 16, 15, 17, 15, 17, 14, 15, 15, 16. Halla la media y el valor de la mediana y la moda. Ejercicio 15. Las estaturas en cm de 24 alumnos de 2º de ESO son: 158, 160, 168, 156, 164, 162, 166, 164, 166, 158, 160, 168, 168, 160, 162, 158, 160, 168, 158, 156, 156, 166, 160, 168. Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la media, la mediana y la moda.

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Medidas de dispersión: Recorrido y desviación media El recorrido o rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. La desviacioó n media, DM, es la media aritmeó tica de los valores absolutos de las desviaciones de cada datos respecto de la media. Veamos un ejemplo. Las estaturas de 5 alumnos de 2º de ESO en cm son: 162, 165, 166, 168 y 169. El recorrido es: 169−162=7 cm . Calculamos la media:

x́=

162+165+ 166+168+169 830 = =166 cm . Hallamos la desviacioó n 5 5

media: Alturas 162 165 166 168 169 La desviacioó n media es:

DM=

Alturas – Media

162−166=−4 −1 0 2 3

| Alturas−Media| 4 1 0 2 3

4+1+0+ 2+3 =2 . 5

Ejercicio 16. Las alturas de los jugadores de tres equipos de vienen determinadas por la siguiente tabla. Halla el recorrido y la desviacioó n media de cada equipo: Equipo 1: 165, 175, 180, 168, 162. Equipo 2: 172, 174, 165, 169, 170. Equipo 3: 151, 170, 160, 172, 150. Ejercicio 17. Las calificaciones de cuatro alumnos en Matemaó ticas han sido: Juan: 6,5; 7; 7,25; 6,75; 7. Marcos: 9; 8,5; 4; 6, 5. Ana: 7; 6,25; 8; 9; 6,5; 7. Lucíóa: 4,5; 7; 6; 8; 9. Calcula la nota media de cada alumno, su recorrido y su desviacioó n media.

Apuntes de Recuperación de Matemáticas 2º de ESO

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Medidas de centralizacioó n: Media

Bisectrices

Caó lculo de la altura de un objeto a partir de su sombra

Diagrama de barras

Razoó n de los períómetros y las aó reas de figuras semejantes

Expresiones complejas e incomplejas

Medidas de tiempos

Representacioó n de funciones cuadraó ticas (de segundo grado

Funcioó n afíón

Estudio graó fico de funciones: maó ximos, míónimos y cortes con los ejes

Funcioó n de proporcionalidad o lineal

Valor numeó rico de una expresioó n algebraica

Caó lculo del intereó s

Nuó meros primos y compuestos

Intereó s simple

Jerarquíóa en las operaciones

Descomponer un nuó mero en producto de factores primos

Porcentajes

Meó todo del caó lculo para el míónimo comuó n muó ltiplo

Valor absoluto de un nuó mero entero