الاحصاء

Page 1

‫〕 بقية األسئلة فى الصفحة الثانية 〔‬

‫‪3‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪5‬‬

‫〕 انتـهـت األســئـلـة 〔‬

‫ُروجع ومطابق لألصل اليدوى ويطبع على مسئولية اللجنة الفنية ‪،‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2.‬‬

‫‪0.342‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.364‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.304‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.403‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.420‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.433‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.343‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.366‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.306‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.404‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.410‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.434‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪0.346‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.360‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.406‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.411‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.435‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0.340‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.400‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.413‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.430‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0.350‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.301‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.301‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.400‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.415‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.430‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.353‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.304‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.304‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.422‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.416‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.430‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0.355‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.306‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.423‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.410‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.440‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0.350‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.424‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.410‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.442‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0.360‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.302‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.426‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.430‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.441‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0.361‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.303‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.402‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.420‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.432‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.444‬‬ ‫‪2‬‬

‫التوقيــــــــع‬

‫ى‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2.‬‬

‫‪0.00‬‬

‫‪0.02‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪0.04‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.06‬‬

‫‪0.00‬‬

‫‪0.00‬‬

‫‪0.00‬‬

‫االســـــم‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ممتاز‬ ‫جيد جدًا‬

‫مقبول‬ ‫مقبول‬

‫جيد‬ ‫مقبول‬

‫مقبول‬ ‫جيد‬

‫جيد جدًا‬ ‫جيد‬

‫جيد جدًا‬ ‫ممتاز‬

‫جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعى المعيارى‬

‫التاريخ‬

‫ً‬ ‫أول ‪ :‬أجب عن السؤال اآلتى ‪:‬‬ ‫السؤال األول ‪ 9 ( :‬درجات )‬ ‫( ا ) أكمل العبارات اآلتية ‪:‬‬ ‫‪2‬ـ إذا كان ا ‪ ،‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائيـة حيث ل (ب ) = ‪0.6‬‬ ‫فإن قيمة ل ( اَ ﱵ ب ) ‪ +‬ل ( ا ﱵ ب ) = ‪. ............‬‬ ‫‪1‬ـ يصوب العبان ا ‪ ،‬ب فى نفس الوقت نحو هدف ما ‪ .‬فإذا كان احتمال أن يصيب‬ ‫الالعب ا الهدف هو ‪ 2‬واحتمال أن يصيب كـل منهمـا الـهـدف هـو ‪ 1‬فـإن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احتمال إصابة الهدف من الالعب ا فقط هو ‪. ............‬‬ ‫متغيرا طبيعيًا معياريًا بحيث ل ( ك ‪ Y‬ض ‪= ) 1.5 Y‬‬ ‫‪3‬ـ إذا كان ض‬ ‫ً‬ ‫‪0.03‬‬ ‫فإن قيمة ك = ‪. ............‬‬ ‫متغيرا عشوائيًا طبيعيًا متوسطه ‪ u‬وانحرافه المعيارى ‪‬‬ ‫‪4‬ـ إذا كان ز‬ ‫ً‬ ‫فإن ل ( ز < ‪. ............ = ) u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬ـ إذا كانت معادلة خط انحدار ‪ ‬على ‪ ‬هى ‪  0.8 = ‬ــ ‪ 3‬ومعادلة خط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 2 + ‬فـإن معامـل االرتباط الخطى‬ ‫انحدار ‪ ‬على ‪ ‬هى ‪= ‬‬ ‫لبيرسون بين ‪ ، ‬ص = ‪. ............‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( ب ) إذا كـان ا ‪ ،‬ب‪ 1‬حدثين مـن ف ‪5‬‬ ‫فضاء العينة لتجربـة عشوائية مـا وكـان ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فأوجد ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ل ( ا ﱵب ) =‬ ‫‪،‬ل(ب)=‬ ‫ل(ا)=‬ ‫( ‪ ) iii‬ل ( اَ ‪ ‬ب ) ‪.‬‬ ‫( ‪ ) ii‬ل ( اَ ﱵ بَ ) ‪.‬‬ ‫( ‪) i‬ل(ا‪‬ب)‪.‬‬ ‫ثانيًا ‪ :‬أجب عن سؤالين فقط مما يأتى ‪:‬‬ ‫السؤال الثانى ‪ 8 ( :‬درجات )‬ ‫( ا ) الجدول اآلتى يبين تقديرات ‪ 6‬طالب فى مادتى الرياضيات (‪ ) ‬واالحصاء (‪. )‬‬ ‫احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين ‪  ، ‬وحدد نوعه ‪.‬‬

‫ً‬ ‫متصال وكانت ‪:‬‬ ‫متغيرا عشوائيًا‬ ‫( ا ) إذا كان ز‬ ‫ً‬ ‫‪1‬‬ ‫ــ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 Y  Y1‬‬ ‫حيث‬ ‫‪8‬‬ ‫د (‪= ) ‬‬ ‫فيما عدا ذلك‬ ‫صفر‬ ‫( ‪ ) i‬أثبت أن د ( ‪ ) ‬هى دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائى ز ‪.‬‬ ‫( ‪ ) ii‬احسب ل ( ‪ < 2‬ز < ‪. ) 3‬‬ ‫( ب ) إذا كان الدخل الشهرى لعدد ‪ 1000‬أسرة فى إحدى المدن هو متغير عشوائى طبيعى‬ ‫متوسطـه ‪ 1000‬جنيه وانحرافـه المعيـارى ‪ 200‬جنيه واختيـرت أسـرة عشوائيًا‬ ‫مــن هــذه األســر فــأوجــد عــدد األســر الـتـى يـزيـد دخـلـهـا عـن ‪ 1500‬جـنـيـه ‪.‬‬ ‫السؤال الرابع ‪ 8 ( :‬درجات )‬ ‫متغيرا عشوائيًا متقطعًا مداه { ــ ‪ ، 2‬ــ ‪ ، 1‬صفر ‪} 2 ، 1 ،‬‬ ‫( ا ) إذا كان ز‬ ‫ً‬ ‫ا‪+‬ر‬ ‫لكل ر تنتمى إلى مدى ز فأوجد قيمة ا‬ ‫وكان ل ( ز = ر ) =‬ ‫‪15‬‬ ‫ثم أوجد االنحراف المعيارى للمتغير ز ‪.‬‬ ‫( ب ) إذا كان ‪، 303 =2  L ، 354 =2  L ، 95 =  L ، 94 =  L :‬‬ ‫‪ ، 320 =   L‬ن = ‪0‬‬ ‫( ‪ ) i‬احسب معامل االرتباط لبيرسون بين قيم ‪  ، ‬وعين نوعه ‪.‬‬ ‫( ‪ ) ii‬قدر قيمة ‪ ‬عندما ‪ 4 = ‬باستخدام خط االنحدار المناسب ‪.‬‬

‫االســـــم‬

‫يسمح باستخدام اآللة الحاسبة وجدول المساحات‬

‫متغيرا عشوائيًا طبيعيًا متوسطه ‪ 10 = u‬وانحرافه المعيارى ‪2.5 = ‬‬ ‫( ب ) إذا كان ز‬ ‫ً‬ ‫( ‪ ) i‬أوجد ل ( ز ‪) 12.5 Y‬‬ ‫( ‪ ) ii‬إذا كان ل ( ز ‪ X‬ك ) = ‪ 0.1056‬فأوجد قيمة ك ‪.‬‬ ‫السؤال الثالث ‪ 8 ( :‬درجات )‬

‫التوقيــــــــع‬

‫〕 األسئلة فى صفحتين 〔‬

‫〕‪〔1‬‬

‫التاريـخ‬

‫〕‪ 〔66‬ث‪.‬ع ‪ /‬أ ‪ /‬ح‬ ‫جمهورية مصـر العربية‬ ‫وزارة التربية والتعليـــم‬ ‫امتحان شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة ‪ -‬نظام حديث لعام ‪ 1025‬م‬ ‫〕 الدور األول 〔‬ ‫الـزمـن ‪ :‬سـاعة ونصف‬ ‫اإلحـصــا‬

‫〕 ‪ / 51‬ن‪.‬ح 〔‬

‫تابع〕‪ 〔66‬ث‪.‬ع ‪ /‬أ ‪ /‬ح‬

‫〕 ‪ / 51‬ن‪.‬ح 〔‬

‫جمهورية مصر العربية‬ ‫وزارة التربيـة والتعليـم‬ ‫امتحان شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة‬ ‫لعام ‪ 5022‬م‬ ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء ]‬

‫[ ‪] 66‬‬ ‫الدور األول‬ ‫( نظام حديث )‬

‫إجابة السؤال األول ‪ 9 :‬درجات ‪ ( :‬أ ) ‪ 5‬درجات ‪ ( ،‬ب ) ‪ 4‬درجات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬ك = ‪1٫3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫( أ ) ‪1 0٫6 -1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﺓ‪2‬‬

‫‪1 0٫5 -4‬‬

‫ﺓ‪2‬‬ ‫أ‪،‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫(ب ) ‪ )i‬ل ( ‪  ‬ب ) = ل ( ا ) ‪ +‬ل ( ب ) ــ ل ( ‪ ‬ﱵ ب )‬ ‫=‬ ‫ى ل(‪ ‬ب)=‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫ــ‬ ‫‪12‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ )ii‬ل ( ‪ ‬ﱵ ب ) = ‪ 1‬ــ ل ( ‪  ‬ب ) ‪0,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫= ‪ 1‬ــ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ )iii‬ل ( ‪  ‬ب ) = ل ( ا ) ‪ +‬ل ( ب ) ــ ل ( ‪ ‬ﱵ ب )‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ــ‬ ‫ــ (‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬

‫) ‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫الدرجة العظمـى (‪)52‬‬ ‫الدرجة الصغرى (‬ ‫عـدد الصفحــات(‪)4‬‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫نموذج إجابة [ اإلحصاء ] مصر ‪5022‬‬

‫تابع [ ‪ ] 66‬ث‪.‬ع ‪ /‬أ ‪ /‬ح‬

‫إجابة السؤال الثانى ‪ 8 :‬درجات ‪ ( :‬أ ) ‪ 4‬درجات ‪ ( ،‬ب ) ‪ 4‬درجات‬ ‫(أ )‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫رتب ‪‬‬

‫رتب ‪‬‬

‫ف‬

‫ف‪2‬‬

‫ممتاز‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد جدا‬ ‫جيد جدا‬

‫جيد جدا‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫ممتاز‬

‫‪1‬‬ ‫‪5 ٫5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5٫5‬‬ ‫‪2٫5‬‬ ‫‪2٫5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5٫ 5‬‬ ‫‪5٫ 5‬‬ ‫‪3٫ 5‬‬ ‫‪3٫ 5‬‬ ‫‪1‬‬

‫ــ ‪1‬‬ ‫صفر‬ ‫ــ ‪1 ٫ 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ــ ‪1‬‬ ‫‪1٫5‬‬

‫‪1‬‬ ‫صفر‬ ‫‪2٫ 25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ٫ 25‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫ر‬

‫ف‬ ‫‪ 6‬مجـ ‪2‬‬ ‫ن (ن – ‪) 1‬‬

‫= ‪ 1‬ــ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10٫ 5× 6‬‬ ‫= ‪ 1‬ــ‬ ‫‪35× 6‬‬

‫‪10 ٫ 5‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫‪0,5 0 ٫ 7 = 0,5‬‬

‫واالرتباط طردى ‪0,5‬‬

‫‪ 12٫ 5‬ـــ ‪10‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪2٫5‬‬ ‫) ‪0,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬

‫(ب) ‪ )i‬ل ( ز ‪ = ) 12٫ 5 Y‬ل ( ض‬ ‫= ل( ض‬

‫= ‪0 ٫ 3113 + 0 ٫ 5000‬‬ ‫= ‪0 ٫ 3113‬‬

‫) ‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ )ii‬ل ( ز ‪ X‬ك ) = ‪0 ٫ 1056‬‬

‫ى ل( ض‬

‫‪X‬‬

‫ك ـــ ‪10‬‬ ‫‪2٫5‬‬

‫‪X‬‬

‫ا ) = ‪0 ٫ 1056‬‬

‫= ا‬

‫ى ل( ض‬

‫ك ـــ ‪10‬‬ ‫) = ‪ 0,5 0 ٫ 1056‬وبوضع‬ ‫‪2٫5‬‬

‫ى ‪ 0 ٫ 5‬ــ ل ( صفر ‪ Y‬ض ‪Y‬‬ ‫ى ل ( صفر ‪ Y‬ض ‪Y‬‬ ‫ك ـــ ‪10‬‬ ‫ى‬ ‫‪2٫5‬‬

‫ا ) = ‪0,5 0 ٫ 1056‬‬

‫ا ) = ‪0 ٫ 3411‬‬ ‫= ‪1 ٫ 25‬‬

‫ى‬

‫ى‬

‫ا = ‪0,5 1 ٫ 25‬‬

‫ك = ‪0,5 13 ٫ 125‬‬

‫‪2‬‬

‫ا‬

‫نموذج إجابة [ اإلحصاء ] مصر ‪5022‬‬ ‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫تابع [ ‪ ] 66‬ث‪.‬ع ‪ /‬أ ‪ /‬ح‬

‫إجابة السؤال الثالث ‪ 8 :‬درجات ‪ ( :‬أ ) ‪ 4‬درجات ‪ ( ،‬ب ) ‪ 4‬درجات‬ ‫‪ ]1‬د (‪ + )1‬د (‪ 5 ( × [ )5‬ــ ‪1 ) 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫( أ ) ‪ )i‬ي ل ( ‪ Y 1‬ز ‪= ) 5 Y‬‬

‫ص‬

‫= ‪0,5 4 × [ 1 + 0 ] 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪0,5 1‬‬ ‫ى د ( س ) هى دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائى ز ‪0,5‬‬ ‫‪1× [ 2 +‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ )ii‬ل ( ‪ > 2‬ز > ‪1 ] 1 = ) 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ 1500‬ــ ‪1700‬‬ ‫) ‪0,5‬‬ ‫(ب ) ل ( ز < ‪ = ) 1500‬ل ( ض <‬ ‫‪200‬‬

‫‪1‬س‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫= ل ( ض < ــ ‪0,5 ) 1‬‬ ‫= ‪ + 0 ٫ 5‬ل ( صفر > ض > ‪0,5 ) 1‬‬ ‫= ‪0 ٫ 3113 + 0 ٫ 5‬‬ ‫= ‪0 ٫ 3113‬‬

‫‪0,5‬‬

‫ى عدد األسر = ‪1000 × 0 ٫ 3113‬‬ ‫= ‪311٫3‬‬ ‫ئ ‪ 311‬أسرة‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫إجابة السؤال الرابع ‪ 8 :‬درجات ‪ ( :‬أ ) ‪ 4‬درجات ‪ ( ،‬ب ) ‪ 4‬درجات‬ ‫ا ــ ‪2‬‬

‫(أ ) ي‬ ‫‪15‬‬ ‫ى ‪ 5‬ا = ‪15‬‬ ‫‪‬‬

‫ا ــ ‪1‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪ D‬ا =‪315‬‬

‫د (‪) ‬‬

‫‪ +‬ا ‪+‬‬ ‫‪15 0,5‬‬

‫ا‪1 +‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ . ‬د (‪) ‬‬

‫‪3‬‬

‫ا‪2 +‬‬ ‫‪15‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪ . 2 ‬د (‪) ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫تابع [ ‪ ] 66‬ث‪.‬ع ‪ /‬أ ‪ /‬ح‬ ‫ــ‪2‬‬ ‫ــ‪1‬‬ ‫صفر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫نموذج إجابة [ اإلحصاء ] مصر ‪5022‬‬ ‫ــ ‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ــ ‪2‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬

‫المجموع‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬

‫صفر‬

‫صفر‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ، 0,5‬التباين ‪ 2 = 2‬ــ ( ‪= 2 ) 2‬‬ ‫المتوسط ‪= u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 11‬ئ ‪1 1٫217‬‬ ‫ى االنحراف المعيارى ‪= ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ن مجـ س ص ــ مجـ س مجـ ص‬ ‫( ب ) ‪ )i‬ر =‬ ‫ن ‪2‬مجـ ص ــ ( مجـ ‪2‬‬ ‫ص)‬

‫ن مجـ س ــ (‪2‬مجـ س )‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 320 ×7‬ــ ‪15 × 14‬‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪ 354 ×7‬ــ ( ‪) 44‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪112‬‬

‫‪46‬‬

‫‪ 303 ×72‬ــ ( ‪) 45‬‬ ‫ئ ‪0,5 0٫3375‬‬

‫‪ )ii‬ي ص = اس ‪ +‬ب ‪ ،‬ا =‬ ‫ب=‬

‫مجـ ص ــ ا مجـ س‬

‫ن‬ ‫ى ص = ‪ 0 ٫ 3125‬س ‪4 ٫ 211 +‬‬

‫‪2‬‬

‫واالرتباط طردى ‪0,5‬‬

‫ن مجـ س ص ــ مجـ س مجـ ص‬ ‫ن مجـ س‪ 2‬ــ ( مجـ س ) ‪2‬‬

‫=‬

‫‪ 15‬ــ ‪14× 0 ٫ 3125‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ ،‬عندما س = ‪ 4‬فإن ص‬

‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪35‬‬ ‫= ‪0 ٫ 3125‬‬ ‫‪112‬‬

‫=‬

‫ئ ‪4 ٫ 211‬‬ ‫= ‪7 ٫ 0535‬‬

‫انتهى نموذج اإلجابة‬

‫‪4‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬

ARAB REPUBLIC OF EGYPT ‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ج 〕ث‬/ 66〔 Ministry of Education General Secondary Education Certificate Examination, 2015 〕 New System – First Session 〔 Statistics Time: 1½ hours

〕E.N / 15〔 ‫التاريـخ‬ ‫التوقيــــــــع‬ ‫االســـــم‬ ‫التاريخ‬ ‫التوقيــــــــع‬

، ‫ُروجع على النص العربى ومطابق لألصل اليدوى ويطبع على مسئولية اللجنة الفنية‬

〕 ‫اإلـحصـصء 〔 بءللغة اإلنجليزية‬ 〕 ‫〔 األسئلة فى صفحتين‬ Remark: 1- Calculators are allowed.

. ‫ يسلم الطالب ورقة امتحانية باللغة العربية مع الورقة المترجمة‬: ‫تنبيه مهم‬

2- Use the given table of areas when needed.

First : Answer the following question: Question 1: (9 marks) (A) Complete each of the following statements: 1) If and are two events of the sample space of a random experiment, ) ( ) …….… such that ( ) , then the value of ( 2) Two players and shoot towards a target at the same time. If the probability that the player hits the target is 2 and the probability that 3

‫االســـــم‬

both of them hit the target is 1 , then the probability that the player only hits the target equals …….…2 ) 3) If is a standard normal variable such that ( , then the value of …….… 4) If is a normal random variable, its mean is and its standard deviation is , then ( ) …….… 5) If the equation of the regression line of on is 5 3 and the equation of the regression line of on is x = y + , then 8 2 Pearson’s linear correlation coefficient between x and y …….… (B) If and are two events of , the sample space of a random experiment, and 1 , 5 , 5 , ( )= P(A) = P(B) = find: 2 6 12 ) ) ) i) ( ii) ( iii) ( Second : Answer two questions only of the following: Question 2: (8 marks) (A) The following table shows the estimates of 6 students in Math ( ) and statistics ( ): Calculate Spearman's rank correlation coefficient between and , and determine its type. Excellent Fair Good Fair Very Good Very Good Very Good Fair Fair Good Good Excellent 〕 ‫〔 بقية األسئلة فى الـفـحة الثءنية‬

〕E.N / 15〔 (B) If

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ج 〕ث‬/ 66〔‫تـابـع‬

〕2〔

is a normal random variable, its mean

and its standard deviation

i ) find ( ) ) ii ) if ( , find the value of . Question 3: (8 marks) (A) If is a continuous random variable, where: ( )

{

i ) Prove that ( ) is a probability density function for the random variable ii) Calculate ( ) (B) If the monthly income of 1000 families in a city is a normal random variable with mean 1700 L.E and standard deviation 200 L.E and one of these families is randomly chosen, find the number of families whose monthly income is greater than 1500 L.E Question 4: (8 marks) (A) If is a discrete random variable whose range is { ‫ ــ‬2, ‫ ــ‬1, 0, 1, 2} a+r ) and ( for every belonging to the range of . Find the 15 value of a , then calculate the standard deviation of .

∑ ∑ ∑ ∑ (B) If ∑ i ) Calculate Pearson’s correlation coefficient between the values of and and determine its type. ii) Estimate the value of at , by using the suitable regression line. Areas under the standard normal curve Z 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.00 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332

0.01 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345

0.02 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357

0.03 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370

0.04 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382

0.05 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394

0.06 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406

〕 ‫〔 انتصهصت األسصصئصلصة‬

0.07 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292 0.4418

0.08 0.3699 0.3815 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429

0.09 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441

‫جمهورية مصر العربية‬ ‫وزارة التربيـة والتعليـم‬ ‫امتحان شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة‬ ‫لعام ‪ 5022‬م‬ ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باإلنجليزية " ]‬

‫[ ‪] 66‬‬ ‫الدور األول‬ ‫( نظام حديث )‬

‫الدرجة العظمـى (‪)52‬‬ ‫)‬

‫الدرجة الصغرى (‬ ‫عـدد الصفحــات(‪)4‬‬

‫‪Answer of First Question: (9 marks): (a) 5 marks and (b) 4 marks‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪0.6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪k = 1.3‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫)‪(4‬‬

‫√‬

‫‪1‬‬

‫√‬

‫)‪(5‬‬

‫)‪(b‬‬ ‫)‬

‫‪0.5‬‬

‫) (‬

‫(‬

‫)‬

‫) (‬

‫(‬

‫‪i.‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫)‬

‫‪0.5‬‬ ‫)‬

‫‪0.5‬‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬ ‫(‬

‫‪ii.‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫)‬

‫(‬

‫) (‬ ‫]‬

‫‪0.5‬‬

‫) (‬ ‫[‬

‫‪0.5‬‬

‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪iii.‬‬

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باإلنجليزية " ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Answer of Second Question: (8 marks): (a) 4 marks and (b) 4 marks (a) X

Y

R (X)

R (Y)

D

D2

Excellent

V. Good

1

2

-1

1

Fair

Fair

5.5

5.5

0

0

Good

Fair

4

5.5

-1.5

2.25

Fair

Good

5.5

3.5

2

4

V. Good

Good

2.5

3.5

-1

1

V. Good

Excellent

2.5

1

1.5

2.25

0.5

0.5

10.5 0.5

6  D2 r =11 n(n2 -1) =1-

6  10.5 6  35

(b) i) (

)

0.5 = 0.7 0.5 , direct correlation 0.5

(

)

(

0.5

)

0.5 0.5 0.5

(

ii)

)

(

)

0.5 (

Let ( (

)

)

0.5

)

0.5 0.5 ) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

2

a

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باإلنجليزية " ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Answer of Third Question: (8 marks): (a) 4 marks and (b) 4 marks (

(a) (i)

)

[ ( ) [

( )]

(

) 1

]

y

0.5 0.5

 f (x) is a probability density function for the random variable X. (ii) (

)

[

1 0.5

]

1 0.5

(b) (

)

(

)

(

0.5

)

0.5

(

)

0.5 0.5 0.5

 Number of families =

0.5

=

‫ﺉ‬

0.5 families

0.5

) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

Answer of Fourth Question: (8 marks): (a) 4 marks and (b) 4 marks

3

2

3

4

5

x

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باإلنجليزية " ] مصر‬

(a)

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

0.5 0.5 x

f(x)

x . f(x)

x2 . f(x)

0

0

-2 -1 0 1 2 sum

1

0.5

The mean

0.5 ( )

Variance Standard deviation (b) (i)

2 0.5

r= r=

0.5 √ ‫ﺉ‬

1

n  xy   x   y n  x2    x 

2

n  y2    y 

2

7  320  49  45 2

7  359 - (49)

2

7  303 - (45)

35 0.3375 112 96 The correlation is direct. 0.5 (ii) y = a x + b n xy  x   y 35 a =  2 =  0.3125 2 112 n  x   x r=

b= 

y - a x 45 - 0.3125  49 = n 7

0.5

1

0.5

0.5 4.241 0.5

 y = 0.3125 x + 4.241 , At x = 9, then y = 7.0535 ‫انتهى نموذج اإلجابة‬

4

0.5

) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

〕F.N / 15〔

REPUBLIQUE ARABE D'EGYPTE

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ف 〕ث‬/ 66〔

‫التاريـخ‬

Ministère de l'Éducation et de l'Enseignement Examen de fin d'Études Secondaires Générales, 2015 〕 Nouveau Régime – Première Session 〔 Statistiques Durée : 1½ heures

‫التوقيــــــــع‬ ‫االســـــم‬ ‫التاريخ‬ ‫التوقيــــــــع‬

، ‫ُروجع على النص العربى ومطابق لألصل اليدوى ويطبع على مسئولية اللجنة الفنية‬

〕 Mathématiques ]1[ 〔 Durée〕 : 2‫الفرنسية‬ heures ‫اإلـحصـصء 〔 بءللغة‬

〕 ‫〔 األسئلة فى صفحتين‬

. ‫ يسلم الطالب ورقة امتحانية باللغة العربية مع الورقة المترجمة‬: ‫تنبيه مهم‬ Remarques: 1- Il est permis d’utiliser une calculatrice.2- Si nécessaire, utiliser le tableau des aires.

I- Répondre à la question suivante: Question 1 : ( 9 points) (a) Compléter les phrases suivantes : 1) Si A et B sont deux événements d’un espace d’éventualité E d’une expérience aléatoire telle que P(B) = 0,6 ; alors la valeur de ( ) ( ) …..….… 2) Deux joueurs A et B tirent en même temps vers une cible. Si la probabilité 2 que le joueur A atteint la cible est et la probabilité que les deux joueurs 3

atteignent la cible ensemble est 1 , alors la probabilité que la cible soit 2 atteinte par le joueur A seulement est……… 3) Si Y est une variable normale centrée réduite, telle que P (k X Y X 1,5) = 0,03 ; alors la valeur de k = …….…

4) Si X est une variable aléatoire normale de moyenne  et d'écart type  ; alors ( ) = …….… 5) Si l’équation de la droite de régression de y en x est y = 0,8 x – 3 et l’équation 5

3

de la droite de régression de x en y est x = 8 y + 2 ; alors le coefficient de corrélation linéaire de Pearson entre x et y = ……… (b) Soient A et B deux événements d’un espace d’éventualité E d’une expérience 1 , 5 5 )= aléatoire telles que: P(A) = P(B) = et ( .Trouver: 2

6

‫االســـــم‬

Très bien Bien

Passable Assez bien Passable Bien Passable Passable Assez bien Assez bien 〕 ‫〔 بقية األسئلة فى الـفـحة الثءنية‬

Bien Très bien

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ف 〕ث‬/ 66〔‫تـابـع‬

〕2〔

(b) Soit X une variable aléatoire normale de moyenne µ = 10 et d'écart type  = 2,5 i ) Trouver P( X X 12,5 ) ii ) Si P( X Y k) ; trouver la valeur de k. Question 3 : (8 points) (a) Soit X une variable aléatoire continue telle que: x –1 si 1 X x X 5 8 f (x) = 0 pour toutes les autres valeurs de x i ) Démontrer que f (x) est la fonction de densité de la variable aléatoire X. ii) Calculer ( ). (b) Le revenu mensuel de 1000 familles dans une ville suit une distribution variable aléatoire normale de moyenne 1700 LE et d’écart-type 200 LE. Si on choisit au hasard une de ces familles, trouver le nombre de familles dont le revenu dépasse 1500 LE. Question 4 : (8 points) (a) Si la distribution de la variable aléatoire discrète X est telle que a+r ( ) pour tout r appartenant à l’ensemble image 15  ‫ــ‬2 ; ‫ــ‬1 ; 0 ; 1 ; 2 de X. Déterminer la valeur de a puis trouver l’écart-type de la variable aléatoire X. (b) Soient ∑

∑

∑

∑

∑

i ) Calculer le coefficient de corrélation de Pearson entre x et y en précisant la nature de corrélation. ii) Estimer la valeur de y si x = 9 en utilisant l' équation convenable de la droite de régression. Table des aires situées sous une courbe normale, centrée, réduite

12

) ) ) i) ( ii) ( iii) ( II- Répondre seulement à DEUX des questions suivantes: Question 2 : ( 8 points) (a) Le tableau suivant indique les mentions en mathématiques (x) et en statistiques (y) obtenues par 6 étudiants: Calculer le coefficient de corrélation des rangs de Spearman entre x et y en précisant la nature de corrélation. x y

〕F.N / 15〔

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,00 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332

0,01 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345

0,02 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357

0,03 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370

0,04 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382

0,05 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394

0,06 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406

〕 ‫〔 انتصهصت األسصصئصلصة‬

0,07 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418

0,08 0,3699 0,3815 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429

0,09 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441

‫جمهورية مصر العربية‬ ‫وزارة التربيـة والتعليـم‬ ‫امتحان شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة‬ ‫لعام ‪ 5022‬م‬ ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " بالفرنسية " ]‬

‫[ ‪] 66‬‬ ‫الدور األول‬ ‫( نظام حديث )‬

‫الدرجة العظمـى (‪)52‬‬ ‫الدرجة الصغرى ( )‬ ‫عـدد الصفحــات(‪)4‬‬

‫)‪Réponse de question (1) : Sur 9 points : 5 points pour (a) et 4 points pour(b‬‬

‫)‪(5‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬

‫)‪(4‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪k = 1,3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪(2‬‬

‫)‪(1‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪0,6‬‬

‫‪Réponse‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Note‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪(b‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬

‫) (‬

‫(‬

‫)‬

‫) (‬

‫(‬

‫‪i.‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬ ‫(‬

‫‪ii.‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬

‫(‬

‫) (‬

‫) (‬ ‫]‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫‪1‬‬

‫)‬ ‫[‬

‫(‬

‫‪iii.‬‬

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء بالفرنسية ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Réponse de question (2) : Sur 8 points : 4 points pour (a) et 4 points pour(b) (a) X

Y

Ran (X)

Ran (Y)

d

d2

Très bien

Bien

1

2

-1

1

Passable

Passable

5,5

5,5

0

0

Assez bien

Passable

4

5,5

-1,5

2,25

Passable

Assez bien

5,5

3,5

2

4

Bien

Assez bien

2,5

3,5

-1

1

Bien

Très bien

2,5

1

1,5

2,25

0,5

0,5

10,5 0,5

6  d2 r =11 n(n2 -1)

6  10,5 0,5 = 0,7 0,5 , correlation directe 0,5 6  35

=1-

(b) i) (

)

( (

)

0,5

)

0,5 0,5 0,5

ii) (

) (

)

0,5

(

Posons ( (

)

)

a 0,5

)

0,5 0,5 ) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

2

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء بالفرنسية ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Réponse de question (3) : Sur 8 points : 4 points pour (a) et 4 points pour(b) (a) (i)

(

)

[( )

( )](

) 1

]

[

y

0,5 0,5

 f (x) est fonction de densité

(ii) (

)

0,5

1

]

[

1 0,5

(b) (

)

(

)

(

)

0,5 0,5

(

)

0,5 0,5 0,5

Nombre de familles =

0,5

= ‫ﺉ‬

0,5 familles

0,5

) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

3

2

3

4

5

X

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء بالفرنسية ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Réponse de question (4) : Sur 8 points : 4 points pour (a) et 4 points pour(b) (a)

0,5 x

f(x)

0,5

x f(x)

x2 f(x)

0

0

-2 -1 0 1 2 0,5

1 La moyenne

0,5 ( )

La variance

r = r=

0,5

√ ‫ﺉ‬

L’écart-type (b) (i) r =

2

1

n  xy   x   y n  x   x 2

2

n  y   y 2

7  320  49  45 2

7  359 - (49)

35 112 96

2

7  303 - (45)

0.3375

2

0,5

1

0,5

C’est une corrélation directe

0,5

(ii) y = a x + b n xy  x   y 35 a=  2  =  0.3125 2 112 n  x   x b= 

y - a x 45 - 0,3125  49 = n 7

0,5 4,241

0,5

y = 0,3125 x + 4,241 Si x = 9, alors y = 7,0535 0,5 ‫انتهى نموذج اإلجابة‬

) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

4

0,5

‫ﺟﻣﮭورﯾﺔ ﻣﺻر اﻟﻌرﺑﯾﺔ‬ ‫وزارة اﻟﺗرﺑﯾـﺔ واﻟﺗﻌﻠﯾـم‬ ‫اﻣﺗﺣﺎن ﺷﮭﺎدة إﺗﻣﺎم اﻟدراﺳﺔ اﻟﺛﺎﻧوﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻟﻌﺎم ‪ 2015‬م‬ ‫ﻧﻣوذج إﺟﺎﺑﺔ ] اﻹﺣﺻﺎء " ﺑﺎﻷﻟﻣﺎﻧﯾﺔ " [‬

‫] ‪[ 66‬‬ ‫اﻟدور اﻷول‬ ‫) ﻧظﺎم ﺣدﯾث (‬

‫اﻟدرﺟﺔ اﻟﻌظﻣـﻰ )‪(25‬‬ ‫(‬

‫اﻟدرﺟﺔ اﻟﺻﻐرى )‬ ‫ﻋـدد اﻟﺻﻔﺣــﺎت)‪(4‬‬

‫‪Antwort der ersten Aufgabe: (9 Punkte) : (a) 5 Punkte und (b) 4 Punkte‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0,6‬‬

‫)‪(1‬‬

‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫𝟔‬

‫)‪(2‬‬

‫‪k = 1,3‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫)‪(4‬‬

‫𝟏‬

‫)‪(5‬‬

‫𝟐√‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪or‬‬

‫𝟐√‬

‫)‪(b‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫) 𝐵 ∩ 𝐴( 𝑃 ‪𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵 ) = 𝑃 (𝐴 ) + 𝑃 (𝐵 ) −‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪12‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫=‬

‫= ) 𝐵 ∪ 𝐴( 𝑃 ى‬

‫)𝐵 ∪ 𝐴(𝑃 ‪𝑃(𝐴` ∩ 𝐵`) = 1 −‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪−‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫=‬

‫‪11‬‬

‫‪= 1−‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫)𝐵 ∩ `𝐴(𝑃 ‪𝑃(𝐴` ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴`) + 𝑃(𝐵) −‬‬ ‫�‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5‬‬

‫‪−� −‬‬ ‫‪6‬‬

‫) ﺗﺮاﻋﻰ اﻟﺤﻠﻮل اﻷﺧﺮى (‬

‫‪6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪i.‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪ii.‬‬

‫‪iii.‬‬

2015 â€Ťďť§ďťŁŮˆŘ°ŘŹ ŘĽďş&#x;ﺎﺑﺔ ] اﺣﺝﺎإ " ﺑﺎďť&#x;ﺎﯞďş” " [ ﺝع‏

‍ ح‏/ ‍ أ‏/ ‍ؚ‏.‍ [ ؍‏66 ] ‍ﺗﺎﺑ‏

Antwort der zweiten Aufgabe : (8 Punkte): (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte (a) X

Y

R (X)

R (Y)

D

D2

ausgezeichnet

sehr gut

1

2

-1

1

5,5

5,5

0

0

durchschnittl durchschnittl gut

durchschnittl

4

5,5

-1,5

2,25

durchschnittl

gut

5,5

3,5

2

4

sehr gut

gut

2,5

3,5

-1

1

sehr gut

ausgezeichnet

2,5

1

1,5

2,25

0,5

0,5

10,5 0,5

r=1=1-

6 ∑ D2 1 n(n2 -1) 6 Ă— 10.5 6 Ă— 35

0,5

(b) i) đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 12,5) = đ?‘ƒ ďż˝đ?‘? ≤

= 0,7

12,5−10

= đ?‘ƒ(đ?‘? ≤ 1)

2,5

0,5

ďż˝

0,5 0,5

= 0,5 + 0,3413

0,5

= 0,8413

0,5

ii) đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≼ đ?‘˜ ) = 0,1056 ∴ đ?‘ƒ ďż˝đ?‘? ≼ Sei

đ?‘˜âˆ’10 2,5

đ?‘˜âˆ’10 2,5

= đ?‘Ž,

ďż˝ = 0,1056

0,5

∴ đ?‘ƒ(đ?‘? ≼ đ?‘Ž) = 0,1056

∴ 0,5 − đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘? ≤ đ?‘Ž) = 0,1056 ∴ đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘? ≤ đ?‘Ž) = 0,3944 ∴

đ?‘˜âˆ’10 2,5

= 1,25

, direkte Korrelation 0,5

â&#x;š đ?‘Ž = 1,25

â&#x;š đ?‘˜ = 13,125 ( ‍) ďş—ﺎاďť‹ďť° اďť&#x;ďş¤ďť ďťŽŮ„ اﺧﺎى‏

2

a 0,5 0,5 0,5

2015 â€Ťďť§ďťŁŮˆŘ°ŘŹ ŘĽďş&#x;ﺎﺑﺔ ] اﺣﺝﺎإ " ﺑﺎďť&#x;ﺎﯞďş” " [ ﺝع‏

‍ ح‏/ ‍ أ‏/ ‍ؚ‏.‍ [ ؍‏66 ] ‍ﺗﺎﺑ‏

Antwort der dritten Aufgabe : (8 Punkte) : (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte 1

(a) (i) âˆľ đ?‘ƒ(1 ≤ đ?‘‹ ≤ 5) = [đ?‘“(1) + đ?‘“(5)] Ă— (5 − 1) 1 2

1

1

= �0 + � × 4 2

0,5

2

=1

y

0,5

∴ f (x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichfunktion

1

Von der ZufallsgrĂśĂ&#x;e X

0,5

1 1

2

(ii) đ?‘ƒ(2 < đ?‘‹ < 3) = ďż˝ + ďż˝ Ă— 1 2 8

=

3

1

8

0,5

16

(b) đ?‘ƒ(đ?‘‹ > 1500) = đ?‘ƒ(đ?‘? >

1500−1700 200

= đ?‘ƒ(đ?‘? > −1)

)

0,5 0,5

= 0,5 + đ?‘ƒ(0 < đ?‘? < 1)

0,5

= 0,5 + 0,3413

0,5

= 0,8413

0,5

∴ Die Zahl der Familien = 0,8413 Ă— 1000 = 841,3

≅ 841 Familien

0,5 0,5 0,5

( ‍) ďş—ﺎاďť‹ďť° اďť&#x;ďş¤ďť ďťŽŮ„ اﺧﺎى‏

3

2

3 4

5

x

2015 â€Ťďť§ďťŁŮˆŘ°ŘŹ ŘĽďş&#x;ﺎﺑﺔ ] اﺣﺝﺎإ " ﺑﺎďť&#x;ﺎﯞďş” " [ ﺝع‏

‍ ح‏/ ‍ أ‏/ ‍ؚ‏.‍ [ ؍‏66 ] ‍ﺗﺎﺑ‏

Antwort der vierten Aufgabe : (8 Punkte) : (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte

(a)

âˆľ

đ?‘Žâˆ’2 15

+

đ?‘Žâˆ’1 15

+

∴ 5đ?‘Ž = 15 x f(x) -2 -1 0 1 2

Summe

đ?‘Ž

15

+

1 15

đ?‘Ž+1

â&#x;š

15

+

đ?‘Ž+2 15

=1

0,5

đ?‘Ž=3 x , f(x)

2 15 3 15 4 15 5 15

0,5 x2 , f(x)

−2 15

4 15

0

2 15

0

4 15 10 15

4 15 20 15

−2 15

2

1

Der Erwartungswert đ?œ‡ = 2 2

2 3

Varianz đ?œŽ 2 = 2 − ďż˝ ďż˝ = 3

3 14

0,5

2 0,5 0,5 0,5

9

14

Die Standardabweichung đ?œŽ = ďż˝ ‍،‏1,247 (b) (i) r =

∴r= ∴r=

1

9

n ∑ xy − ∑ x Ă— ∑ y

n ∑ x − (∑ x) 2

n ∑ y − (∑ y)

2

2

2

7 Ă— 320 − 49 Ă— 45 2

7 Ă— 359 - (49)

2

7 Ă— 303 - (45)

35  0,3375 112 96

1

0,5

Die Korrelation ist direkt,

0,5

(ii) y = a x + b n xy − x Ă— ∑ y 35 a = ∑ 2 ∑ = = 0,3125 2 112 n ∑ x − (∑ x) b= ∑

0,5

0,5

y - a ∑x 45 - 0,3125 Ă— 49 =  4,241 n 7

∴ y = 0,3125 x + 4, 241

0,5

0,5 ( ‍) ďş—ﺎاďť‹ďť° اďť&#x;ďş¤ďť ďťŽŮ„ اﺧﺎى‏

Wenn x = 9, dann ist y = 7,0535

‍ďş?ďş˜ ﺍďş? ďş?ďťšďş&#x;ﺎﺑﺔ‏

4

〔G.N / 15〕

Statistik

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ م〔ث‬/ 66〕 ARABISCHE REPUBLIK ÄGYPTEN Ministerium für Erziehung und Unterricht Oberschulabschlussprüfung 2015 〔 Das neue System – Erste Prüfung 〕 Zeit: 1½ Stunden

〔 ‫اإلحصصصا 〕 باللغة األلمانية‬ . ‫ يسلم الطالب ورقة امتحانية باللغة العربية مع الورقة المترجمة‬: ‫تنبيه مهم‬

Bemerkungen: 1- Taschenrechner sind erlaubt. 2- Verwenden Sie, wo nötig, die beigefügte Tabelle.

Erstens : Beantworten Sie die folgende Aufgabe: 〔 ‫〕 األسئلة فى صفحتين‬ 1- (9 Punkte) (a) Ergänzen Sie die Folgenden Sӓtze: 1) Seien A und B zwei Ereignisse eines Ergebnisraums S eines Zufallsexperiments und sei P(B) = 0,6 dann ist der Wert von P( A' ‫ ﺙ‬B ) + P ( A ‫ ﺙ‬B ) = …..….… 2) Zwei Spieler A , B richten gleichzeitig auf ein bestimmtes Ziel. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A das Ziel trifft, gleich 2 ist und die 3

Wahrscheinlichkeit, dass die beide Spieler das Ziel trifft, gleich 1 ist. 2

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Spieler A das Ziel trifft gleich ….......... ist. 3) Wenn Y eine normale standardisierte Variable ist, so dass P (k X Y X 1,5) = 0,03 , dann ist der Wert von k = …..….… . 4) Wenn X eine normale Zufallsvariable, deren Mittelwert  und deren Standardabweichung  sind, dann ist P( X <  ) = …..….… . 5) Die Gleichung der Regressionsgerade von y zu x ist y = 0,8 x – 3 5 und die Gleichung der Regressionsgerade von x zu y ist x = y + 3 , 8 2 dann ist der lineare Korrelationskoeffizent von Pearson zwischen x und y = …….… . (b) Seien A und B zwei Ereignisse eines Ergebnisraums S eines 1 , 5 , 5 . Zufallsexperiments und seien: P(A) = P(B) = P(A‫ﺙ‬B)= 2 6 12 Finden Sie: i) P ( A ُ​ُ B ) ii) P( A' ‫ ﺙ‬B' ) iii) P ( A' ُ​ُ B ) Zweitens: Beantworten Sie NUR ZWEI von den folgenden Aufgaben: 2- (8 Punkte) (a) Die folgende Tabelle zeigt die Notenpunkte von 6 Schüler in Mathematik (x) und Statistik (y). Berechnen Sie den Spearmans RangeKorrelationskoeffizienten zwischen x und y und besimmen Sie seinen Typ. x ausgezeichnet durchschnittl y

sehr gut

durchschnittl

gut

durchschnittl

sehr gut

sehr gut

durchschnittl

gut

gut

ausgezeichnet

〔 ‫〕 بقية األسئلة فى الصفحة الثانية‬

، ‫ُروجع ومطابق لألصل اليدوى ويطبع على مسئولية اللجنة الفنية‬ ‫التوقيع‬

‫االسم‬

‫التوقيع‬

‫االسم‬

〔G.N / 15〕

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ م〔ث‬/ 66〕‫تابع‬

〔2〕

(b) Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable, deren Mittelwert µ = 10 und deren Standardabweichung  = 2,5 i ) Finden Sie P( X X 12,5 ) ii) Wenn P( X Y k) = 0,1056 finden Sie den Wert von k. 3- (8 Punkte) (a) X sei eine stetige Zufallsvariable und sei: x –1 wobei 1 X x X 5 8 f (x) = null sonst i ) Beweisen Sie, dass f(x) die Wahrscheinlichkeitsdichtfunktion von der Zufallsvariable X ist. ii) Berechnen Sie P ( 2 < X < 3 ) (b) Das Monatseinkommen von 1000 Familien einer Stadt ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 1700 LE und Standardabweichung 200 LE . Eine Familie wird zufällig ausgewält .Finden Sie die Zahl der Familien, deren Einkommen mehr als 1500 LE betrӓgt. 4- (8 Punkte) (a) Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich  ‫ــ‬2 , ‫ــ‬1 , 0 , 1 , 2 a+r und sei P ( X = r ) = für jeden r ,der zu dem Wertebereich von X gehört, 15 finden Sie den Wert von a und die Standardabweichung der Zufallsvariable X . (b) Wenn:  x = 49,  y = 45,  x2 =359 ,  y2 =303,  xy =320, n =7 i ) Berechnen Sie den Pearson’s Korrelationskoeffizienten zwischen x und y und bestimmen Sie seinen Typ. ii) Mit Hilfe einer passenden Regressionsgerade bestimmen Sie den Wert von y, wenn x = 9 Tabelle für standardisierte Normverteilte Zufallsgrößen 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,00 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332

0,01 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345

0,02 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357

0,03 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370

0,04 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382

0,05 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394

0,06 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406

0,07 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418

0,08 0,3699 0,3815 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429

〔 ‫〕 انتصهصت األسصصئصلصة‬

، ‫ُروجع ومطابق لألصل اليدوى ويطبع على مسئولية اللجنة الفنية‬ ‫التوقيع‬

‫االسم‬

‫التوقيع‬

‫االسم‬

0,09 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441

‫جمهورية مصر العربية‬ ‫وزارة التربيـة والتعليـم‬ ‫امتحان شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة‬ ‫لعام ‪ 5022‬م‬ ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باأللمانية " ]‬

‫[ ‪] 66‬‬ ‫الدور األول‬ ‫( نظام حديث )‬

‫الدرجة العظمـى (‪)52‬‬ ‫)‬

‫الدرجة الصغرى (‬ ‫عـدد الصفحــات(‪)4‬‬

‫‪Antwort der ersten Aufgabe: (9 Punkte) : (a) 5 Punkte und (b) 4 Punkte‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪0,6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪k = 1,3‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫)‪(4‬‬

‫√‬

‫‪1‬‬

‫√‬

‫)‪(5‬‬

‫)‪(b‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬

‫) (‬

‫(‬

‫)‬

‫) (‬

‫(‬

‫‪i.‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫)‬

‫‪0,5‬‬

‫(‬

‫)‬

‫( ى‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ii.‬‬

‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫)‬

‫(‬

‫) (‬ ‫]‬

‫) (‬ ‫[‬

‫‪0,5‬‬

‫( تراعى الحلول األخرى )‬

‫)‬

‫(‬

‫‪iii.‬‬

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باأللمانية " ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Antwort der zweiten Aufgabe : (8 Punkte): (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte (a) X

Y

R (X)

R (Y)

D

D2

ausgezeichnet

sehr gut

1

2

-1

1

5,5

5,5

0

0

durchschnittl durchschnittl gut

durchschnittl

4

5,5

-1,5

2,25

durchschnittl

gut

5,5

3,5

2

4

sehr gut

gut

2,5

3,5

-1

1

sehr gut

ausgezeichnet

2,5

1

1,5

2,25

0,5

0,5

10,5 0,5

r =1=1-

6  D2 1 n(n2 -1)

6  10.5 6  35

(b) i) (

)

0,5

= 0,7 0,5

(

)

(

, direkte Korrelation 0,5

0,5

)

0,5 0,5 0,5

(

ii)

)

(

)

0,5 (

Sei ( (

a

)

)

0,5

)

0,5 0,5 ) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

2

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باأللمانية " ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Antwort der dritten Aufgabe : (8 Punkte) : (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte (a) (i)

(

)

[ ( ) [

( )]

(

) 1

]

y

0,5 0,5

 f (x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichfunktion

1

Von der Zufallsgröße X

(ii) (

)

0,5

[

]

1 0,5

(b) (

)

(

)

(

0,5

) (

0,5 )

0,5 0,5 0,5

 Die Zahl der Familien =

0,5

=

0,5 Familien

0,5

) ‫( تراعى الحلول األخرى‬

3

2

3

4

5

x

5022 ‫نموذج إجابة [ اإلحصاء " باأللمانية " ] مصر‬

‫ ح‬/ ‫ أ‬/ ‫ع‬.‫ ] ث‬66 [ ‫تابع‬

Antwort der vierten Aufgabe : (8 Punkte) : (a) 4 Punkte und (b) 4 Punkte

(a)

0,5 0,5 x

f(x)

x , f(x)

x2 , f(x)

0

0

-2 -1 0 1 2 Summe

0,5

1

2 0,5

Der Erwartungswert

0,5

( )

Varianz

0,5 √ ‫ﺉ‬

Die Standardabweichung (b) (i) r = r= r=

1

n  xy   x   y n  x2    x 

n  y2    y 

2

2

7  320  49  45 2

7  359 - (49) 35 112 96

2

7  303 - (45)

0,3375

1

0,5

Die Korrelation ist direkt,

0,5

(ii) y = a x + b n xy  x   y 35 a =  2 =  0,3125 2 112 n  x   x b= 

0,5

y - a x 45 - 0,3125  49 = n 7

0,5 4,241

0,5

 y = 0,3125 x + 4,241 0,5 ) ‫( تراعى الحلول األخرى‬ ‫انتهى نموذج اإلجابة‬

Wenn x = 9, dann ist y = 7,0535

4

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