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SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES

CARTILLA GUÍA DE CLASE PARA RESISTENCIA DE MATERIALES VERSIÓN 01-13 ELABORO: MONTERROZA VÉLEZ MADELEYN NÚÑEZ PINILLA DIANA MARCELA BRAVO GONZÁLEZ DIEGO ANDRÉS

BOGOTÁ, 2013

Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil -1-

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES

PRESENTACIÓN

La resistencia de materiales es una rama de la mecánica de solidos que está íntimamente ligada a la ingeniería civil, esta profesión aplica constante mente sus principios en el desarrollo de proyectos ya sean viales, de edificación, obras de minería, entre otras.

Dada su importancia nace la necesidad de implementar una guía de clase dirigida a los estudiantes de la Fundación Universitaria Agraria de Colombia, que contenga los lineamientos del curso, de acuerdo a los temas que se trataran a través del periodo académico. Buscando implementar ayudas de consulta rápida para el estudiante que ilustren de una manera simple los conceptos fundamentales de la resistencia de materiales enfocada a la ingeniería civil.

Esta guía de clase es un aporte didáctico que facilitara el entendimiento de conceptos fundamentales de la resistencia de materiales, que no se centrara en formalizar conceptos teóricos como textos especializados en la materia, sino que mostrara de manera ordenada la solución a problemas típicos de esta rama de la ingeniería estructural.

Se hace un agradecimiento especial a director del proyecto Bravo González Diego Andrés y al programa de ingeniería civil de la Fundación Universitaria Agraria de Colombia por su apoyo en la realización de la presente guía.

Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil -2-

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES INFORMACIÓN BÁSICA

SEMESTRE

AÑO INFORMACIÓN DOCENTE

PROFESOR INFORMACIÓN DEL ALUMNO NOMBRES Y APELLIDOS CÓDIGO JORNADA NOMBRES Y APELLIDOS CÓDIGO JORNADA

Figura 1 Logotipo programa Ingeniería Civil

Fuente: página web UNIAGRARIA

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CONTENIDO ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................................. 5 ÍNDICE DE SÍMBOLOS ............................................................................................................................. 6 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 7 UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES ...................................................................................................... 8 1.1 DEFINICIÓN DE RESISTENCIA DE MATERIALES .................................................................................. 8 1.2 DE QUE TRATA LA RESISTENCIA DE MATERIALES .............................................................................. 8 1.3 FUERZA INTERNA ............................................................................................................................. 9 1.4 ESFUERZO RESISTENTE ..................................................................................................................... 9 1.5 ESFUERZO ........................................................................................................................................ 9 1.6 ESFUERZO NORMAL O AXIAL.......................................................................................................... 10 1.7 ESFUERZO DE COMPRESIÓN ........................................................................................................... 10 1.8 ESFUERZO CORTANTE .................................................................................................................... 11 1.9 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES ............................................................. 11 UNIDAD 2. SISTEMA DE UNIDADES ...................................................................................................... 12 2.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI ................................................................................... 12 2.2 SISTEMA INGLES DE UNIDADES ...................................................................................................... 12 UNIDAD 3. ESFUERZOS NORMAL BAJO CARGA AXIAL .......................................................................... 14 UNIDAD 4. ESFUERZOS EN ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZAS DE CORTE ......................................... 15 UNIDAD 5. DEFORMACIÓN EN ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZA NORMAL Y CORTANTE ................. 16 5.1 DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL ................................................................................ 16 5.2 DEFORMACIÓN BAJO FUERZA CORTANTE ...................................................................................... 17 UNIDAD 6. ESFUERZOS PRESENTES EN ARMADURAS ........................................................................... 19 UNIDAD 7. ESFUERZOS EN PLANOS INCLINADOS BAJO CARGA AXIAL .................................................. 21 UNIDAD 8. ESFUERZOS EN EJES SOMETIDOS A TORSIÓN ..................................................................... 23 8.1 DEFORMACIÓN ANGULAR EN UN EJE POR TORSIÓN ...................................................................... 23 8.2 ESFUERZO CORTANTE POR TORSIÓN .............................................................................................. 25 UNIDAD 9. GRAFICO ESFUERZO DEFORMACIÓN .................................................................................. 27 UNIDAD 10. CARGA MULTIAXIAL, LEY GENERALIZADA DE HOOKE ....................................................... 30 UNIDAD 11. FLEXIÓN PURA EN VIGAS .................................................................................................. 32 11.1 DEFORMACIONES EN UNA VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA ..................................................... 33 11.2 ESFUERZOS EN VIGAS SOMETIDAS A FLEXIÓN PURA EN EL RANGO ELÁSTICO .............................. 35 UNIDAD 12. DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR ......................................................... 37 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 39 INFOGRAFÍA ......................................................................................................................................... 39 Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil -4-

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 Logotipo programa Ingeniería Civil ................................................................................................. 3 Figura 2 Falla de columna por esfuerzos excesivos ...................................................................................... 8 Figura 3 Fuerzas internas en elemento viga ................................................................................................. 9 Figura 4 Esfuerzo normal axial ................................................................................................................... 10 Figura 5 Elemento sometido a esfuerzo de compresión ............................................................................ 10 Figura 6 Esfuerzo de corte en los pernos de la conexión. .......................................................................... 11 Figura 7 Principio de Saint Venant, esfuerzos iguales independiente de cómo se cuelgue la carga.......... 11 Figura 8 Fuerzas axiales P, bajo esfuerzo normal y distribución de la fuerza interna ................................ 14 Figura 9 Fuerza que induce al corte y desplazamiento de una parte del elemento................................... 15 Figura 10 Deformación normal axial en varillas. ........................................................................................ 16 Figura 11 Deformación angular de un material bajo esfuerzo cortante. ................................................... 17 Figura 12 Armadura calculada por el método de los nudos ....................................................................... 19 Figura 13 Armadura calculada por el método de las secciones ................................................................. 19 Figura 14 Diagrama de distribución de esfuerzos en armaduras ............................................................... 20 Figura 15 Esfuerzo axial sobre plano inclinado .......................................................................................... 21 Figura 16 Diagrama de cuerpo libre barra con superficie inclinada. .......................................................... 21 Figura 17 Componente normal y cortante en planos inclinados................................................................ 22 Figura 18 Eje bajo momento torsor T ......................................................................................................... 23 Figura 19 Deformación angular y de puntos en un eje bajo fuerza de torsión. ......................................... 23 Figura 20 Triángulo formado por la deformación en el plano A-B-B´ ........................................................ 24 Figura 21 Angulo producto del esfuerzo cortante ...................................................................................... 24 Figura 22 Estado de esfuerzo lineal en un eje circular rango elástico ley de Hooke .................................. 25 Figura 23 Diagrama esfuerzo vs deformación unitaria ............................................................................... 27 Figura 24 Deformación permanente del material del 0.2% ....................................................................... 28 Figura 25 Zonas de la gráfica esfuerzo deformación .................................................................................. 29 Figura 26 Condición de carga multiaxial ..................................................................................................... 30 Figura 27 Deformación por caga multiaxial ................................................................................................ 30 Figura 28 Viga sometida a un par de momentos M y M´ ........................................................................... 32 Figura 29 Corte AC en la viga para verificar la condición de equilibrio ...................................................... 32 Figura 30 Viga deformada uniformemente a través de toda su longitud .................................................. 33 Figura 31 Deformación de la viga donde se presentan compresiones y tensiones ................................... 33 Figura 32 Configuración de la deformación de la viga y eje neutro ........................................................... 34 Figura 33 Plano neutro de la sección transversal de la viga ....................................................................... 35 Figura 34 Disposición del cortante V y momento en un punto de corte .................................................... 37 Figura 35 Fuerzas que tienden a cortar la viga ........................................................................................... 37 Figura 36 Fuerzas que tienden a flexionar la viga ...................................................................................... 38

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 Prefijos usados en unidades del SI ................................................................................................. 12 Tabla 2 Unidades del sistema inglés para diversas magnitudes ................................................................. 13

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Ă?NDICE DE SĂ?MBOLOS ∈ đ?‘Ľ= DeformaciĂłn en elementos bajo carga multiaxial en x ∈ đ?‘Ś= DeformaciĂłn en elementos bajo carga multiaxial en y ∈ đ?‘§= DeformaciĂłn en elementos bajo carga multiaxial en z A = Ă rea secciĂłn trasversal An = Ă rea transversal de una superficie inclinada C= Centroide de una secciĂłn c= Radio de un eje sometido a torsiĂłn D´ = Ductilidad D= DiĂĄmetro de una secciĂłn E = Modulo de elasticidad Er = Modulo de resiliencia F.S = Factor de seguridad f´c= Resistencia del concreto a la compresiĂłn Fi= Fuerza interna de un elemento Fx= Fuerzas contenidas en el eje x Fy= Fuerzas contenidas en el eje y Fz= Fuerzas contenidas en el eje z G= Modulo elĂĄstico secciĂłn transversal I = Inercia de una secciĂłn J = Momento polar de inercia kg= Unidad de peso en el sistema internacional L = longitud de la barra Lf = Longitud final del elemento Li = Longitud inicial de un elemento M´= Momento interno M= Momento flector MPa= Unidad de esfuerzo equivalente a N/mm2 N.A= eje neutro en vigas N= Newton P = Fuerza axial normal Pa = Pascal PSI= Unidad de esfuerzo en el sistema ingles equivalente a lb/pulg2 pulg2= unidad de ĂĄrea en el sistema ingles R = Fuerza de reacciĂłn en los apoyos T= Par torsor en ejes V´= Fuerza interna de cortante y = Distancia desde el eje neutro de una viga a un punto o fibra en estudio δ= DeformaciĂłn en elementos sometidos a esfuerzo normal ΔL = VariaciĂłn de longitud de un elemento θ'= Angulo de giro θ= Angulo del plano inclinado Îź = RelaciĂłn de Poisson Ď = Distancia desde el centro de un eje al punto de deformaciĂłn x de un plano Ďƒ= Esfuerzo normal axial Ďƒf = Esfuerzo resistente a la fluencia Ďƒx= Esfuerzos eje x en carga multiaxial Ďƒy= Esfuerzos eje y en carga multiaxial Ďƒz= Esfuerzos eje z en carga multiaxial Ď„ = Esfuerzo cortante Ď’ = DeformaciĂłn angular a cortante Ď’c = Ă ngulo de deformaciĂłn radial en un eje. Ď’p = DeformaciĂłn angular por torsiĂłn Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil -6-

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INTRODUCCIÓN La presente guía de clase para resistencia de materiales es una obra dividida en tres partes, la primera de uso teórico, la segunda muestra una serie de ejemplos de cada tema abordado y la tercera comprende una guía de laboratorio aplicada a la mecánica de materiales.

El proyecto se realiza para integrar nuevas herramientas didácticas de rápida consulta que faciliten el aprendizaje de los estudiantes de ingeniería civil. Adoptando una metodología investigativa, basada en libros especializados e internet sobre cada tema, para luego hacer una redacción con un lenguaje sencillo propio para un estudiante de ingeniería civil. La guía de clases esta enmarcada en el Syllabus de Uniagraria, garantizando de esta manera los contenidos básicos del curso.

Se pretende que el estudiante de ingeniería civil desarrolle competencias para analizar con lógica un problema dado y complementado con los conceptos básicos de la resistencia e materiales, solucione de manera contundente el evento presentado.

Como resultado se obtiene un trabajo dividido en doce capítulos iniciando desde la presentación de conceptos fundamentales, la explicación de fuerzas de corte, flexión, axial y torsión, deformación con la ley de Hooke generalizada y se finaliza con el tema de esfuerzos en armaduras y vigas.

A través de cada capítulo se mostraran dos ejemplos típicos que tendrán una solución de tal forma que el estudiante le dé sentido a cada paso realizado al despejar parámetros o incógnitas que ayuden a la solución eficaz del problema, además se propondrá un problema cuya solución estará en un documento exclusivo del docente.

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UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES En esta unidad se mostraran todos los conceptos fundamentales que el estudiante debe de comprender antes de iniciar su incursión en el amplio mundo de la resistencia de materiales.

1.1 DEFINICIÓN DE RESISTENCIA DE MATERIALES La resistencia de materiales es una ciencia física aplicada que describe y predice las condiciones en reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas, busca predecir los fenómenos físicos y poner las bases para aplicarlas en la ingeniería.

Esta dividía en tres partes: a. b. c.

La mecánica de cuerpos rígidos: supone que los cuerpos son completamente rígidos.

La mecánica de cuerpos deformables: Estudian las deformaciones de los cuerpos debido a las fuerzas.

La mecánica de fluidos: Es el estudio de fluidos compresibles e incompresibles.

1.2 DE QUE TRATA LA RESISTENCIA DE MATERIALES La resistencia de materiales trata del estudio de los cuerpos sometidos a esfuerzos de diferente tipo, que garanticen que el elemento no se deformara excesivamente afectando el servicio que prestan y debe asegurar que la estructura o elemento soportara la carga a la que está sometida sin llegar al punto de falla o rotura. (Ver Figura 2) Figura 2 Falla de columna por esfuerzos excesivos1

La misión de la resistencia de materiales es la de interpretar las solicitaciones locales en las que se encuentran las estructuras, y estimar las fuerzas internas de cada uno de los elementos que son aquellas que producen el fenómeno físico de deformación y rotura.

1

Figura 2 tomada de http://elreubenstv.edublogs.org Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil -8-

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES 1.3 FUERZA INTERNA Es aquella que produce un esfuerzo actuante tratando de romper el elemento por ello debe de ser de menor magnitud al esfuerzo resistente o nominal para garantizar la seguridad del sistema. En ingenierĂ­a es cuando se presenta el concepto de factor de seguridad que es igual a: EcuaciĂłn 1-1 đ??¸đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘›đ?‘œ đ??š. đ?‘† = đ??¸đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Figura 3 Fuerzas internas en elemento viga2

Como se puede apreciar en la figura 3 para un elemento estructural hay tres tipos de fuerzas internas, estas son: la fuerza normal axial, fuerza cortante y momento flector. La fuerza interna estĂĄ en funciĂłn de tres aspectos como la geometrĂ­a del elemento, el material del elemento y su ubicaciĂłn geogrĂĄfica.

1.4 ESFUERZO RESISTENTE Es la resistencia nominal de un elemento para soportar fuerzas aplicadas, depende del tipo de material del que estĂĄ compuesto, sus dimensiones y la forma como se aplican las fuerzas o momentos produciendo esfuerzos normales o cortantes.3 1.5 ESFUERZO El esfuerzo es una magnitud fĂ­sica que estĂĄ dada por la aplicaciĂłn de una fuerza sobre determinada ĂĄrea. En la ingenierĂ­a estructural se destaca el esfuerzo normal u axial y el esfuerzo cortante.

Los esfuerzos producidos por momentos aplicados en el elemento, producen flexiĂłn y torsiĂłn.

La expresiĂłn fundamental de esfuerzo estĂĄ dada por: EcuaciĂłn 1-2

đ??ˆ= 2 3

� �

Figura 3 tomada de http://portales.puj.edu.co/javevirtual.

Tomado de MecĂĄnica de Materiales P. Beer Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil -9-

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Dónde: P: Es la fuerza que actúa en el elemento A: Es el área donde actúa la fuerza P σ: Esfuerzo 1.6 ESFUERZO NORMAL O AXIAL Es la relación entre la fuerza aplicada y el área de su sección transversal, entre más área de sección transversal tenga la sección mayor será su resistencia a este tipo de esfuerzo. (Ver figura 4) Figura 4 Esfuerzo normal axial4

1.7 ESFUERZO DE COMPRESIÓN Es un esfuerzo resultante de aplicar presiones en un sólido deformable, caracterizado por la reducción de volumen del cuerpo y acortamientos en determinadas direcciones. (Ver figura 5) Figura 5 Elemento sometido a esfuerzo de compresión

4

Figura 4 y 5 tomado de Mecánica de Materiales P. Beer Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 10 -

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES 1.8 ESFUERZO CORTANTE Es un esfuerzo resultante de las tensiones paralelas en la sección transversal de un prisma como una viga o una columna. También es conocido como esfuerzo de cizalla. Los esfuerzos cortantes se encuentran frecuentemente en pernos, pasadores y remaches utilizados para la conexión de elementos estructurales.

Figura 6 Esfuerzo de corte en los pernos de la conexión.5

1.9 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES Los principios básicos que rigen la ciencia de la resistencia de materiales son: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Los materiales se consideran homogéneos omitiendo las variaciones de composición.

Los materiales se consideran continuos, donde no se tienen en cuenta las discontinuidades o porosidad del material.

Los materiales se consideran isótropos, que indica que estos tendrán las mismas propiedades en cualquier dirección.

No se tiene en cuenta las fuerzas internas tipo interatómico, solo se consideran fuerzas aplicadas externamente.

Se considera el principio de superposición donde los efectos de un sistema de fuerzas son iguales a la suma de los eventos individuales de cada una de las fuerzas.

Principio de Saint Venant: cuando a un elemento estructural se le aplica una fuerza, los esfuerzos producidos son iguales, independientemente de la forma como se coloque la carga.

Figura 7 Principio de Saint Venant, esfuerzos iguales independiente de cómo se cuelgue la carga 6

5 6

Figura 6 tomada de Resistencia de materiales, Riley, Morris Figura 7 Tomada del libro Resistencia de materiales Básica Jorge Salazar Trujillo Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 11 -

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UNIDAD 2. SISTEMA DE UNIDADES En la resistencia de materiales se involucran varios sistemas de unidades, por ello para obtener una precisiĂłn numĂŠrica acorde, se debe de mantener la homogeneidad del sistema adoptado por el estudiante ya sea el sistema americano o el sistema internacional.

2.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI En unidades SI, las principales unidades de medida se miden de la siguiente forma: La longitud en Metros (m), la masa en kilogramos (kg), el tiempo en segundos (s), la temperatura en grados kelvin siendo estas las unidades bĂĄsicas. La fuerza se mide en Newtons (N), que es la relaciĂłn de la segunda ley de Newton. Y es una unidad derivada.

đ?’Ž đ?’Ž đ?&#x;?đ?‘ľ = (đ?&#x;?đ?’Œđ?’ˆ) (đ?&#x;? đ?&#x;? ) = đ?&#x;? đ?’Œđ?’ˆ ∗ đ?&#x;? đ?’” đ?’”

EcuaciĂłn 2-1

Para expresar cantidades por medio de nĂşmeros de tamaĂąo conveniente, los mĂşltiplos de unidades se indican por medio de prefijos: (Ver tabla 1)7 Tabla 1 Prefijos usados en unidades del SI

PREFIJO NanoMicroMiliKiloMegaGiga

ABREVIATURA n ď ­ m k M G

MĂšLTIPLO 10−9 10−6 10−3 103 106 109

En el sistema internacional la unidad de esfuerzo es el pascal (Pa) y se define Se define como la presiĂłn que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado.

EcuaciĂłn 2-2 đ?‘ľ đ?&#x;? đ?‘ˇđ?’‚ = đ?&#x;? đ?’Ž 2.2 SISTEMA INGLES DE UNIDADES Las unidades del sistema ingles varĂ­an en relaciĂłn a las del sistema internacional, la longitud se mide en pies (ft), la fuerza en libras (lb) y el tiempo en segundos (s), estas son las unidades bĂĄsicas y entre las unidades derivadas se tienen la masa que su unidad de medida es el slug que es la masa del material acelerado a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.

EcuaciĂłn 2-3 đ?’‘đ?’Šđ?’† đ?&#x;?đ?’?đ?’ƒ = (đ?&#x;?đ?’”đ?’?đ?’–đ?’ˆ) (đ?&#x;? đ?&#x;? ) đ?’” Obteniendo asĂ­:

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Tomado de DinĂĄmica para ingenierĂ­a, Anthony Bedford y Wallace Fowler Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 12 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES EcuaciĂłn 2-4 đ?’”đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’”đ?’?đ?’–đ?’ˆ = đ?&#x;? đ?’?đ?’ƒ ∗ đ?’‘đ?’Šđ?’† Aparte de estas unidades tambiĂŠn se usan la milla (1 mĂ­= 5280 pies) y la pulgada (1Pie =12 pulg), asĂ­ las unidades para diversas magnitudes son: Tabla 2 Unidades del sistema inglĂŠs para diversas magnitudes

MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Fuerza PresiĂłn Temperatura

UNIDAD Pulgada, pie, yarda, milla Slug, libra Segundo, minuto, hora Libra fuerza, Kilopound Psi = libra/pulgada cuadrada.

Grados Fahrenheit

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UNIDAD 3. ESFUERZOS NORMAL BAJO CARGA AXIAL En tĂŠrminos simples el esfuerzo es la intensidad de la fuerza, y todo elemento diseĂąado en ingenierĂ­a debe de soportar la intensidad de la fuerza interna o si no el cuerpo puede romperse o deformarse excesivamente. Los esfuerzos normales, son aquellos productos de fuerzas perpendiculares a la secciĂłn transversal y los esfuerzos axiales, son aquellos debidos a fuerzas que actĂşan a lo largo del eje del elemento.

Las fuerzas mostradas en la figura 8 son colineales con el eje centroidal de la barra efectuando una fuerza de tensiĂłn sobre la misma, a estas fuerzas se les llama axiales.

Al realizar un corte transversal en la barra en un plano a-a, se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre en la parte inferior de la barra, en donde el equilibrio del cuerpo se obtiene con una distribuciĂłn de la fuerza interna que se desarrolla en la secciĂłn transversal de la barra. (Ver figura 8)8 .

Figura 8 Fuerzas axiales P, bajo esfuerzo normal y distribuciĂłn de la fuerza interna9

La distribuciĂłn de la fuerza interna tiene una resultante F, que es normal a la superficie expuesta, y por las ecuaciones de equilibrio de la estĂĄtica se conoce que la magnitud serĂĄ igual a P. Las ecuaciones de la estatica son: EcuaciĂłn 3-1 ∑ đ??šđ?‘Ľ = 0

∑ đ??šđ?‘Ś = 0

∑đ?‘€ = 0

Donde cada ecuaciĂłn indica que la sumatoria de fuerzas en la direcciĂłn X y Y debe de ser igual a cero, adicionando que la sumatoria de momentos cumpla con la misma condiciĂłn.

El esfuerzo normal por carga axial se puede estimar con la ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 3-2

đ?‘ˇ đ??ˆ= đ?‘¨ DĂłnde: Ďƒ: Esfuerzo normal axial P: Es la fuerza normal axial que actĂşa en el elemento A: Es el ĂĄrea expuesta de la secciĂłn transversal 8 9

Tomado de William F. Riley, Leroy D. Struges, Don H. Morris, (2007), MecĂĄnica de Materiales, Cap. 2.

Tomado de William F. Riley, Leroy D. Struges, Don H. Morris, (2007), MecĂĄnica de Materiales, Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 14 -

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UNIDAD 4. ESFUERZOS EN ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZAS DE CORTE Los esfuerzos de corte son producidos por fuerzas aplicadas a elementos que pueden inducir a un efecto de deslizamiento de una parte respecto a otra. Este corte se desarrolla tangente a la direcciĂłn sobre la cara en la cual actĂşa.

En este caso, sobre el ĂĄrea de deslizamiento se produce un esfuerzo cortante, o tangencial, o de cizalladura. AnĂĄlogamente a lo que sucede con el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante se define como la relaciĂłn entre la fuerza y el ĂĄrea a travĂŠs de la cual se produce el deslizamiento, donde la fuerza es paralela al ĂĄrea.

El esfuerzo cortante (Ď„) ser calcula como: EcuaciĂłn 4-1

đ?‘­ đ??‰= đ?‘¨ DĂłnde: ď ´: es el esfuerzo cortante F: es la fuerza que produce el esfuerzo cortante A: es el ĂĄrea sometida a esfuerzo cortante.

Figura 9 Fuerza que induce al corte y desplazamiento de una parte del elemento10

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Figura 9 tomada de www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 15 -

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UNIDAD 5. DEFORMACIĂ“N EN ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZA NORMAL Y CORTANTE 5.1 DEFORMACIĂ“N NORMAL BAJO CARGA AXIAL La deformaciĂłn normal es producida por la aplicaciĂłn de una fuerza P en la secciĂłn transversal de un elemento, sin embargo esta deformaciĂłn no estĂĄ relacionada Ăşnicamente por la magnitud de la fuerza y el esfuerzo producido.

Si se suponen dos varillas formadas con un material idÊntico y årea transversal idÊntica sujetas a una carga axial P de diferente magnitud, pueden tener la misma deformación si la primera varilla tiene la mitad de la longitud de la primera. De forma anåloga si las varillas conservan el mismo material y sección transversal idÊntica y se someten a una carga P idÊntica, la varilla con una longitud de 2 veces L tendrå el doble de deformación 2δ, en comparación de la varilla de longitud L que solo tendrå una deformación de magnitud δ. (Ver figura 10) Figura 10 Deformación normal axial en varillas.11

Por ello nace el concepto de deformaciĂłn unitaria por unidad de longitud, que es la cantidad que se usa para medir la intensidad de una deformaciĂłn, esta designada con la letra griega ĂŠpsilon (Îľ), que mide el cambo de tamaĂąo ya sea un alargamiento o acortamiento de un segmento y se tiene como.12 EcuaciĂłn 5-1

đ?œš đ???= đ?‘ł En ingenierĂ­a civil se diseĂąan las estructuras para que sufran pequeĂąas deformaciones, que implican en la mayorĂ­a de los casos el tramo elĂĄstico del diagrama esfuerzo deformaciĂłn (Ver unidad 10). Donde el esfuerzo es directamente proporcional a la deformaciĂłn Îľ y se puede escribir como: EcuaciĂłn 5-2

đ??ˆ=đ?‘Źâˆ—đ???

11 12

Figura tomada de MecĂĄnica de materiales, William F. Riley, Leroy D. Struges Tomado de William F. Riley, Leroy D. Struges, Don H. Morris, (2007), MecĂĄnica de Materiales, Cap. 3.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Si el esfuerzo axial resultante no excede el lĂ­mite de proporcionalidad del material se aplica la ley de Hooke y que despejando la deformaciĂłn unitaria tenemos: EcuaciĂłn 5-3

đ??ˆ đ???= đ?‘Ź DĂłnde: E: Es El mĂłdulo de elasticidad del material. Ďƒ: Es el esfuerzo axial normal. đ???: Es la deformaciĂłn unitaria del elemento.

Como sabemos el esfuerzo normal axial estĂĄ dada por la fuerza P dividida en el ĂĄrea A del elemento quedando la deformaciĂłn unitaria como: EcuaciĂłn 5-4

đ??ˆ đ?‘ˇ đ???= ∴ đ???= đ?‘Ź đ?‘¨âˆ—đ?‘Ź Y finalmente despejando la deformaciĂłn δ de la ecuaciĂłn 5-2 queda la expresiĂłn que se usara solo si: 1. El elemento es de un material homogĂŠneo con mĂłdulo de elasticidad constante, 2. La secciĂłn transversales uniforme y 3. El elemento estĂĄ cargado en sus extremos:13 EcuaciĂłn 5-5

đ?‘ˇđ?‘ł đ?œš= đ?‘¨đ?‘Ź 5.2 DEFORMACIĂ“N BAJO FUERZA CORTANTE

Las deformaciones debidas a los esfuerzos cortantes, no son ni alargamientos ni acortamientos, sino deformaciones angulares, a esta deformaciĂłn de le denota con la letra griega Ď’. (Ver figura 11) Figura 11 DeformaciĂłn angular de un material bajo esfuerzo cortante.14

13 14

Tomado de MecĂĄnica De Materiales, Quinta ediciĂłn, Ferdinand P. Beer, E. Russell Jhonston.

Figura 11 tomada de www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 17 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Para este tipo de deformaciones se puede establecerse la Ley de Hooke para corte de manera similar a como se hace en el caso de los esfuerzos normales, de tal forma que el esfuerzo cortante (Ď„), serĂĄ funciĂłn de la deformaciĂłn angular (Ď’) y del mĂłdulo de cortante del material (G) EcuaciĂłn 5-6

đ??‰=đ?‘Žâˆ—đ?œ¸ Los mĂłdulos de elasticidad E y G estĂĄn relacionados mediante la expresiĂłn (MOTT, 1999): EcuaciĂłn 5-7

đ?‘Ž=

đ?‘Ź (đ?&#x;? ∗ (đ?&#x;? + đ?? ))

Donde (Îź) es la relaciĂłn de Poisson del material .y el coeficiente de Poisson corresponde a la relaciĂłn entre la deformaciĂłn lateral y la deformaciĂłn axial de un elemento. 15

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Jorge Salazar Trujillo, Resistencia de materiales BĂĄsica Para Estudiantes De IngenierĂ­a Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 18 -

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UNIDAD 6. ESFUERZOS PRESENTES EN ARMADURAS Las armaduras o cerchas están son elementos estructurales ampliamente utilizados en la ingeniería civil, son una opción técnica eficaz para el diseño de naves industriales, puentes y torres. Las armaduras están compuestas por barras unidas en sus extremos por juntas o nudos y esta unión puede ser pernada o soldad.

Como todas las estructuras en la ingeniería, las armaduras están diseñadas para soportar cargas muertas, vivas, de viento y sísmicas. Por ello durante su servicio cada elemento o barra que constituye la armadura tiene una fuerza axial dominante que puede ser de tensión o de compresión. Esta fuerza dominante se determina por las ecuaciones de equilibrio de la estática y sus fuerzas internas mediante métodos de corte habituales como: 1- El Método de las juntas.

2- El método de la secciones.

El método de las juntas o nudos, utiliza las condiciones geométricas de la armadura tales como ángulos de inclinación de cada barra y componentes de fuerzas externas. Y se toma cada nudo dibujando un diagrama de cuerpo libre para determinar la fuerza en cada barra, este procedimiento hay que repetirlo para todos los nudos. (Ver figura 12) Figura 12 Armadura calculada por el método de los nudos16

En el método de las secciones se hacen cortes en la armadura que máximo impliquen tres barras, para determinar las fuerzas con las ecuaciones de equilibrio. Este método es muy eficaz si se quiere encontrar la fuerza de una sola barra. Por ello esta barra debe estar incluida en el corte. (Ver figura 13)17 Figura 13 Armadura calculada por el método de las secciones18

16

Tomado de www.monografias.com, estática para ingenieros Tomado de Estática Mecánica para ingeniería Bedford y Fowler.

18 Figura tomada de http://www.virtual.unal.edu.co 17

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SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Partiendo del concepto de esfuerzo normal axial y conociendo la sección transversal de cada una de las barras se puede determinar el esfuerzo al cual está sometida cada una de las barras por medio de la expresión: Ecuación 5-1

𝑷 𝝈= 𝑨 Dónde: P: es la fuerza de tensión o compresión de la barra A: es el área de la sección transversal de la barra. σ: Es el valor del esfuerzo en cada barra.

Usualmente las armaduras tienen una distribución de esfuerzos típica en cada una de sus partes: 1- Cordón superior: Sometida a esfuerzos de compresión.

2- Cordón inferior: sometida a esfuerzos de tracción o tensión.

3- Parales: Esfuerzos de compresión La distribución de esfuerzos se puede apreciar en la siguiente figura: Figura 14 Diagrama de distribución de esfuerzos en armaduras19

19

Figura tomada del blog del profesor Juan Luis Ramírez http://estructuras-2.blogspot.com Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 20 -

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UNIDAD 7. ESFUERZOS EN PLANOS INCLINADOS BAJO CARGA AXIAL En esta unidad se consideraran los esfuerzos producidos en planos inclinados sujetos a carga axial. Para iniciar consideremos una barra con una carga P, en su sección transversal produciendo un esfuerzo que estará aplicado en un área cuyo plano de corte c-c es inclinado con un ángulo θ. (Ver figura 15).

Figura 15 Esfuerzo axial sobre plano inclinado20

Esta barra al dibujar su diagrama de cuerpo libre, se encuentra que el equilibro que esta porción se establece al colocar una distribución de fuerzas internas en la sección del corte c -c. La resultante F de la distribución de fuerzas internas es igual a la magnitud de la fuerza aplicada P su línea de acción coincide con el eje y de la barra. (Ver figura 16).

Figura 16 Diagrama de cuerpo libre barra con superficie inclinada.21

Para esta superficie inclinada se puede calcular el esfuerzo como un total promedio Sprom, usando las ecuaciones 3-2 y 4-1 de la presente guía, pero este resultado es poco fiable si está destinado para el diseño de máquinas ya que se ha demostrado por medio de estudios experimentales que los materiales 20 21

Figura tomada de Mecánica de materiales, William F. Riley, Leroy D. Struges Cap. 2-5 Figura tomada de Mecánica de materiales, William F. Riley, Leroy D. Struges Cap. 2-5 Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 21 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES tienen una respuesta diferente a las fuerzas que hacen que las superficies se deslicen entre sĂ­. Por lo tanto la resultante F de la figura 13 se descompone en dos componentes: (Ver figura 17) 1.

2.

La componente normal. (N) La componente tangencial cortante. (V) Figura 17 Componente normal y cortante en planos inclinados 22

Las componentes normal y cortante son las que se usan para el cĂĄlculo de esfuerzos normales y cortantes sobre superficies inclinadas, donde cada una estĂĄ dada por: EcuaciĂłn 7-1

đ?‘ľ = đ?‘ˇ ∗ đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝ EcuaciĂłn 7-2

đ?‘˝ = đ?‘ˇ ∗ đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œ˝ Y el ĂĄrea An de la superficie inclinada donde actĂşan estar fuerzas normal y cortante estĂĄ dada por: EcuaciĂłn 7-3

đ?‘¨ đ?‘¨đ?’? = đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝ Donde A es el ĂĄrea de la secciĂłn transversal de la barra.

Realizando unas sustituciones en las ecuaciones fundamentales para el cĂĄlculo de esfuerzo, tenemos las expresiones para determinar el esfuerzo normal y cortante uniformemente distribuido sobre el plano inclinado que depende del ĂĄngulo de inclinaciĂłn del mismo. 23 EcuaciĂłn 7-4 đ?‘ľ đ?‘ˇ ∗ đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝ đ?‘ˇ đ?‘ˇ đ??ˆđ?’? = = = ∗ đ?’„đ?’?đ?’”đ?&#x;? đ?œ˝ = ∗ (đ?&#x;? + đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?&#x;?đ?œ˝) đ?‘¨â „ đ?‘¨đ?’? đ?‘¨ đ?&#x;?đ?‘¨ đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝ EcuaciĂłn 7-5 đ?‘˝ đ?‘ˇ ∗ đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œ˝ đ?‘ˇ đ?‘ˇ đ??ˆđ?’— = = = ∗ đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œ˝ ∗ đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝ = ∗ đ?‘şđ?’†đ?’?đ?&#x;?đ?œ˝ đ?‘¨â „ đ?‘¨đ?’? đ?‘¨ đ?&#x;?đ?‘¨ đ?‘Şđ?’?đ?’”đ?œ˝

22 23

Figura tomada de MecĂĄnica de materiales, William F. Riley, Leroy D. Struges Cap. 2-5 Tomado de William F. Riley, Leroy D. Struges, Don H. Morris, (2007), MecĂĄnica de Materiales, Cap. 2.

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UNIDAD 8. ESFUERZOS EN EJES SOMETIDOS A TORSIÓN La torsión es un desplazamiento circular de determinada sección transversal, cuando se aplica sobre un elemento un momento torsor o par de fuerzas alrededor del eje. (Ver Figura). Estudios previos en la mecánica de materiales han demostrado que la distribución de esfuerzos en la sección transversal de un eje circular es indeterminada, por eso para determinar esos esfuerzos se debe de realizar un estudio de las deformaciones que ocurren en el eje.

Figura 18 Eje bajo momento torsor T24

8.1 DEFORMACIÓN ANGULAR EN UN EJE POR TORSIÓN Para explicar la deformación angular se supondrá un eje cilíndrico de sección transversal plana, de longitud L, es sometido a un momento torsor T en uno de sus extremos, al realizarlo se generara un ángulo θ, denominado ángulo de torsión (Ver figura 19) Figura 19 Deformación angular y de puntos en un eje bajo fuerza de torsión. 25

Sobre el mismo eje, habrá desplazamientos de puntos que se deben de analizar de manera independiente: 24 25

Figura tomada de Mecánica de materiales, William F. Riley Figura tomada de Mecánica de materiales, William F. Riley Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 23 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES 1.

2.

Los puntos B y D sobre un radio en común se desplazaran a hacia los putos B’ y D’ que estån situados sobre el mismo plano y el mismo radio. (Ver figura 19) La superficie A-B-B´, en donde el punto B se distorsiona hasta B´. Es evidente destacar que el ångulo formado por este plano θ es igual al ångulo de deformación angular (Ver figura 20) Figura 20 Triångulo formado por la deformación en el plano A-B-B´26

3.

AdemĂĄs este ĂĄngulo de deformaciĂłn angular es igual al ĂĄngulo producto del esfuerzo cortante denotado con el sĂ­mbolo Ď’c. (Ver figura 21) Figura 21 Angulo producto del esfuerzo cortante

SegĂşn los puntos anteriores se hace la suposiciĂłn que todos los elementos longitudinales (A-B, E-D, Etc.) tienen la misma longitud L, y por ello los resultados estĂĄn limitados segĂşn el diĂĄmetro del eje.

Observando la figura 19, la deformaciĂłn angular Ď’p, a una distancia p a partir del centro del eje y la deformaciĂłn Ď’c en la superficie del eje estĂĄn relacionados por el ĂĄngulo de deformaciĂłn torsional mediante la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8-1

đ?‘Šđ?‘ŠÂ´ đ?’„ ∗ đ?œ˝ đ?‘ťđ?’‚đ?’? đ?œ¸đ?’„ = = đ?‘¨đ?‘Š đ?‘ł EcuaciĂłn 8-2

đ?‘Ťđ?‘ŤÂ´ đ?’‘ ∗ đ?œ˝ đ?‘ťđ?’‚đ?’? đ?œ¸đ?’‘ = = đ?‘Źđ?‘Ť đ?‘ł 26

Figura tomada de MecĂĄnica de materiales, William F. Riley Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 24 -

SERIE GU�AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Al combinar las ecuaciones 8-1 y 8-2 se obtiene el valor del ångulo de deformación θ, de la siguiente manera: Ecuación 8-3

đ?œ˝=

đ?œ¸đ?’„ ∗ đ?‘ł đ?œ¸đ?’‘ ∗ đ?‘ł = đ?’„ đ?’‘

Lo que indica que el ĂĄngulo de deformaciĂłn angular radial Ď’c es igual a: EcuaciĂłn 8-4

đ?œ¸đ?’„ đ?œ¸đ?’‘ = ∗đ?’‘ đ?’„

En donde la deformaciĂłn es cero en el centro del eje y aumenta de manera lineal respecto a la distancia p.27 8.2 ESFUERZO CORTANTE POR TORSIĂ“N En el esfuerzo cortante por torsiĂłn se hace una suposiciĂłn aplicando la ley de Hooke, esta es que la limitaciĂłn es que los esfuerzos deben de estar por debajo del lĂ­mite de proporcionalidad del material. El esfuerzo cortante Ď„ estĂĄ relacionado con la deformaciĂłn angular por medio de la ecuaciĂłn EcuaciĂłn 8-5, Ver EcuaciĂłn 5-6

đ??‰=đ?‘Žâˆ—đ?œ¸ Y si se multiplica la ecuaciĂłn 8-4 por el mĂłdulo de cortante o rigidez del material G, obtenemos: EcuaciĂłn 8-6

đ?’‘ đ?‘Žđ?œ¸ = ∗ đ?‘Žđ?œ¸ đ?’„ Y por la ecuaciĂłn 5-6 tenemos que:

EcuaciĂłn 8-7

đ?‘ˇ đ??‰ = đ??‰đ?’Žđ?’‚đ?’™ đ?‘Ş La ecuaciĂłn 8-7 muestra que mientras la resistencia del lĂ­mite de proporcionalidad no sea excedido en ninguna parte del eje circular, el esfuerzo cortante en el eje varia linealmente con la distancia p. (Ver figura 22) Figura 22 Estado de esfuerzo lineal en un eje circular rango elĂĄstico ley de Hooke 28

27 28

Tomado de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer.

Figura tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Para un eje circular hay que tener en cuenta un nuevo concepto que es el momento polar de inercia, que para un cĂ­rculo de radio c es igual a: EcuaciĂłn 8-8

đ?&#x;? đ?‘ą = ∗ đ??… ∗ đ?’„đ?&#x;’ đ?&#x;?

Y dado este nuevo concepto, las fuerzas tangenciales que actĂşan sobre un elemento ĂĄrea serĂĄ iguales al momento torsor T que se calcula con la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8-9

đ?‘ť=

đ??‰ đ?’ŽĂĄđ?’™ ∗ đ?‘ą đ?’„

Y despejando Ď„ mĂĄx. Tenemos el esfuerzo cortante mĂĄximo por torsiĂłn en el eje quedando la ecuaciĂłn de la siguiente manera:29 EcuaciĂłn 8-10

đ?‘ťâˆ—đ?’„ đ??‰ đ?’ŽĂĄđ?’™ = đ?‘ą

29

Tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer.

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UNIDAD 9. GRAFICO ESFUERZO DEFORMACIĂ“N Todos los materiales al aplicarle una fuerza externa ya sea de tensiĂłn, compresiĂłn, cortante, o torsiĂłn.

Causan una deformaciĂłn que pueden producir alargamientos o acortamientos en direcciĂłn de la aplicaciĂłn de la fuerza.

A travĂŠs de las unidades se han explicado cada una de estas fuerzas y el tipo de deformaciĂłn que se presenta, entiĂŠndase como deformaciĂłn el cambio de longitud a lo largo de la lĂ­nea de aplicaciĂłn de fuerza regida por la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 9-1

∆đ?‘ł = đ?‘łđ?’‡ − đ?‘łđ?’Š DĂłnde: ∆L = Es la mediciĂłn de deformaciĂłn despuĂŠs de aplicada la fuerza Lf = Es la longitud final del elemento despuĂŠs de aplicada la fuerza.

Li= Es la longitud inicial del elemento sin ser sometida a fuerzas.

Para estudiar la reacciĂłn de los materiales bajo las fuerzas externas se utiliza el concepto de esfuerzo que se explicĂł en detalle en la unidad 3.

Y tambiĂŠn se utiliza el concepto de deformaciĂłn unitaria Îľ que es la deformaciĂłn dividida en la longitud inicial del material.

EcuaciĂłn 9-2

∆đ?‘ł đ?œş= đ?‘łđ?’Š Para explicar el diagrama esfuerzo deformaciĂłn supondremos una barra de acero con una longitud Li, y una secciĂłn transversal Ai, sometida a una fuerza de tensiĂłn F. que se irĂĄ incrementando poco a poco hasta que la barra de acero falla debido a la deformaciĂłn excesiva del material.30 Al graficar en un plano coordenado los esfuerzos aplicados sobre la barra y la deformaciĂłn que se produce, se construye en diagrama de esfuerzo deformaciĂłn unitaria que es una propiedad mecĂĄnica del material del cual estĂĄ constituida la barra (Ver figura 23).

Figura 23 Diagrama esfuerzo vs deformaciĂłn unitaria31

30

InformaciĂłn Tomada de http://www.uca.edu.sv/facultad/clases/ing.

31

Figura tomada de la pĂĄgina web http://www.uca.edu.sv/facultad/clases/ing Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 27 -

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES De la gráfica esfuerzo deformación se pueden deducir varias propiedades mecánicas del material cuando está sujeto a fuerza de tensión como: 1- Resistencia a la fluencia σf: Es el esfuerzo que debe aplicarse sobre un material para iniciar su deformación permanente. O el esfuerzo que al ser aplicado sobre el material produce una deformación permanente del 0.2%. (Ver figura 24) Figura 24 Deformación permanente del material del 0.2% 32

2- Módulo de elasticidad (E): Es la pendiente de la línea recta, se forma en la zona elástica de la curva. El módulo de elasticidad es una medida de la rigidez del material, el material es más rígido entre mayor sea su módulo de elasticidad.

3- Módulo de resiliencia (Er): El módulo de resiliencia corresponde al valor del área que se encuentre por debajo de la curva en la zona elástica y representa la energía por unidad de volumen que el material absorbe cuando se deforma elásticamente.

4- Relación de Poisson (p): Es la relación entre la deformación unitaria longitudinal y la deformación unitaria lateral.

Ecuación 9-3

𝜺 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 𝝁𝒑 = 𝜺 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍 5- Resistencia a la tensión o esfuerzo último (σu): Es el valor del esfuerzo máximo que se le puede aplicar al material. Cuando el esfuerzo aplicado se iguala a la resistencia de tensión se inicia la estricción y posterior rotura del material.

6- Ductilidad (D): La ductilidad es la medida de la cantidad de deformación plástica que puede darse en un material antes de su fractura. Se puede medir como un porcentaje de elongación o un porcentaje de reducción de área.

7- Tenacidad: Es la energía por unidad de volumen que puede absorber el material antes de romperse. Se calcula como el área por debajo de la curva esfuerzo deformación. 33

32

Figura tomada de la página web http://www.uca.edu.sv/facultad/clases/ing

33

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SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Figura 25 Zonas de la gráfica esfuerzo deformación34

34

Figura tomada de la página web www.naukas.com Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 29 -

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UNIDAD 10. CARGA MULTIAXIAL, LEY GENERALIZADA DE HOOKE En anteriores unidades se ha explicado las fuerzas axiales que actĂşan sobre ejes pero en una sola direcciĂłn, lo que indica que la fuerza se dirige a lo largo de un solo eje.

Para el estudio de la carga multiaxial se considerara un elemento sometido a cargas que actĂşan en las direcciones de los tres ejes coordenados y que conducen a esfuerzos normales todos distintos de cero: EcuaciĂłn 10-1

đ??ˆđ?’™ ≠đ?&#x;Ž đ??ˆđ?’š ≠đ?&#x;Ž đ??ˆđ?’› ≠đ?&#x;Ž A esta condiciĂłn de carga se le conoce como carga multiaxial (Ver Figura 26) Figura 26 CondiciĂłn de carga multiaxial35

El cubo de la figura anterior se supondrĂĄ tiene medidas de lado igual a la unidad (1) que bajo la acciĂłn de la carga multiaxial, el elemento se deformara en cada una de las direcciones de igual forma hasta formar un paralelepĂ­pedo rectangular de lados iguales donde cada lado tiene una distancia de: EcuaciĂłn 10-2

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?’™ đ?&#x;?+∈ đ?’™, đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?’š đ?&#x;?+∈ đ?’š, đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?’› đ?&#x;?+∈ đ?’› Figura 27 DeformaciĂłn por caga multiaxial36

35 36

Figura tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer.

Figura tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Para expresar las componentes de deformaciĂłn Đ„x, Đ„y, Đ„z. En tĂŠrminos de las componentes de esfuerzo Ďƒx, Ďƒy, Ďƒz, se considera por separado el efecto de cada una basĂĄndose en el principio de superposiciĂłn el cual menciona que: El efecto de una carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando en forma separada, los efectos de distintas cargas y combinando los resultados obtenidos siempre y cuando cumplan con las siguientes condiciones: 1- Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo produce.

2- La deformaciĂłn resultante de cualquier carga dada es pequeĂąa y no afecta las condiciones de aplicaciĂłn de otras cargas.

En el caso de una carga multiaxial la primera condiciĂłn se cumple si los esfuerzos no exceden el lĂ­mite de proporcionalidad del material y la segunda condiciĂłn se cumplirĂĄ si el esfuerzo en cualquier cara no causa deformaciones grandes en las otras, que sean suficientemente grandes para afectar el cĂĄlculo de los esfuerzos en esas caras.

Combinando los esfuerzos y deformaciones en cada una de las direcciones de deformaciĂłn se llega a las relaciones de carga multiaxial, conocidas como la Ley de Hooke generalizada para un material isotrĂłpico. Donde un valor positivo de la relaciĂłn indica fuerza de tensiĂłn y un valor negativo indica compresiĂłn.37

đ??ˆđ?’™ đ?’—đ??ˆđ?’š đ?’—đ??ˆđ?’› ∈đ?’™=+ − − đ?‘Ź đ?‘Ź đ?‘Ź

∈đ?’š=−

đ?’—đ??ˆđ?’™ đ??ˆđ?’š đ?’—đ??ˆđ?’› + − đ?‘Ź đ?‘Ź đ?‘Ź

∈đ?’›=−

đ?’—đ??ˆđ?’™ đ?’—đ??ˆđ?’š đ??ˆđ?’› − + đ?‘Ź đ?‘Ź đ?‘Ź

EcuaciĂłn 10-3

DĂłnde:

đ?’—: RelaciĂłn de Poisson en carga multiaxial E: Modulo de elasticidad del material Đ„: DeformaciĂłn del material. Ďƒ: Esfuerzo en cada uno de los ejes.

37

Tomado de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 31 -

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UNIDAD 11. FLEXIÓN PURA EN VIGAS La flexión pura en vigas se produce cuando se aplica en sus extremos dos pares de fuerzas o momentos de manera simétrica y magnitud idéntica.

Consideremos una viga AB sometido a un par de fuerzas iguales y opuestos M y M´ que actúan en dicho plano. (Ver figura 28).

Figura 28 Viga sometida a un par de momentos M y M´38

Si a la viga le efectuamos un corte en el centro de la luz C, la condición de equilibrio de AC requiere que la fuerza interna de la de la sección transversal sea igual al par M. (Ver figura 29) Figura 29 Corte AC en la viga para verificar la condición de equilibrio39

Según lo anterior las fuerzas internas en cualquier sección transversal de un elemento simétrico en flexión pura son equivalentes a un par. El momento aplicado a la viga se le conoce como momento flector, que será positivo si el sentido es contra las manecillas del reloj y negativo si el sentido es igual a las manecillas del reloj.40

38

Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer 40 Tomado de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer 39

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SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES 11.1 DEFORMACIONES EN UNA VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA Al someter una viga a pares iguales de momento flector M y M´, Se deformara el elemento estructural, pero permanecerá simétrico respecto a un plano de simetría.

Recordando que el momento M es igual en todas las secciones de la viga, esta se deformara de manera uniforme. (Ver figura 30) Figura 30 Viga deformada uniformemente a través de toda su longitud41

La línea de intersección AB de la cara superior de la viga por la deformación tendrá una curvatura constante que se asemejara a una parte de un círculo con centro C. El mismo evento sucede para la cara inferior de la viga.

Las vigas sometidas a flexión pura están bajo un estado de esfuerzo uniaxial que generan deformaciones a lo largo de un eje longitudinal de la siguiente manera: 1- En la parte superior de la viga se presentara un acortamiento por ello los esfuerzos y deformaciones serán negativos (Compresión).

2- En la parte inferior de la viga por la aplicación del par flector se producirá un alargamiento, por ende los esfuerzos y deformaciones serán positivas (Tensión). (Ver figura 31) Figura 31 Deformación de la viga donde se presentan compresiones y tensiones42

41 42

Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 33 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Al conocer que hay un plano donde los esfuerzos son negativos y en otro plano hay esfuerzos positivos, hay una superficie neutra que es en donde se anulan los esfuerzos y las deformaciones. Esta superficie interseca con el plano de simetrĂ­a del arco del circulo DE, e interseca una secciĂłn transversal a lo largo de una lĂ­nea recta llamada eje neutro de la secciĂłn (Ver figura 32).

Figura 32 ConfiguraciĂłn de la deformaciĂłn de la viga y eje neutro43

De la figura anterior, se escogerĂĄ el origen de coordenadas en la superficie neutra, de modo que la distancia de cualquier punto a la superficie neutra se medirĂĄ con la coordenada y.

AsĂ­ mismo llamando Ď , el radio del centro del cĂ­rculo DE, θ como ĂĄngulo central y observando que la longitud DE es igual a la longitud de la viga no deformada tenemos: EcuaciĂłn 11-1

đ?‘ł =đ??†âˆ—đ?œ˝ Considerando el arco formado por el eje JK, ubicado a una distancia y, sobre la superficie neutra la longitud L´ de la viga es: EcuaciĂłn 11-2

đ?‘łÂ´ = (đ??† − đ?’š) ∗ đ?œ˝ Observando la figura se puede concluir que la longitud original del arco JK, era igual a L, entonces la deformaciĂłn de este arco es igual a: EcuaciĂłn 11-3

đ?œš = đ?‘łÂ´ − đ?‘ł Otra manera de conocer la deformaciĂłn del arco JK es sustituyendo la ecuaciĂłn 11-1 y 11-2 en la ecuaciĂłn 11-3 quedando asĂ­ la expresiĂłn:44 EcuaciĂłn 11-4

đ?œš = (đ??† − đ?’š)đ?œ˝ − đ??† ∗ đ?œ˝ = −đ?’š ∗ đ?œ˝ 43 44

Figura tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer Tomado de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 34 -

SERIE GU�AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Y finalmente para calcular la deformación unitaria Єx, de los elementos JK se obtiene dividiendo la deformación δ entre la longitud original de la viga L. Ecuación 11-5

đ?œš −đ?’š ∗ đ?œ˝ −đ?’š ∈đ?’™= = = đ?‘ł đ??†âˆ—đ?œ˝ đ??† El signo negativo en la fĂłrmula es porque se ha supuesto positivo el momento flector, en tal caso este sea negativo la deformaciĂłn unitaria serĂ­a positiva.45 11.2 ESFUERZOS EN VIGAS SOMETIDAS A FLEXIĂ“N PURA EN EL RANGO ELĂ STICO Los esfuerzos en vigas en el rango elĂĄstico bajo un momento flector M, son aquellos cuyos esfuerzos normales permaneces por debajo del esfuerzo de fluencia Ďƒf. Eso indica que se podrĂĄ aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial.

EcuaciĂłn 11-6

đ??ˆđ?’™ = đ?‘Ź ∗ đ???đ?’™ DĂłnde: E: es el mĂłdulo de elasticidad del material. Đ„x: DeformaciĂłn unitaria en el eje x.

Ahora multiplicando La ecuaciĂłn 11-5 por el mĂłdulo elĂĄstico E tenemos: EcuaciĂłn 11-7

đ?’š đ?‘Ź ∗∈ đ?’™ = − đ?‘Ź đ??† Entonces el esfuerzo en la viga serĂĄ igual a:

EcuaciĂłn 11-8

đ?’š đ??ˆđ?’™ = − đ?‘Ź đ??†

Este resultado muestra que en el rango elĂĄstico, el esfuerzo normal varĂ­a de manera lineal respecto al plano neutro de la secciĂłn. (Ver figura 33)46 Figura 33 Plano neutro de la secciĂłn transversal de la viga47

45

Tomado de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer Tomado de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer 47 Figura tomada de MecĂĄnica De Materiales Ferdinand P. Beer 46

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES Si un elemento se somete a flexiĂłn pura y los esfuerzos permanecen en el rango elĂĄstico, el eje neutro para por el centroide de la secciĂłn. AdemĂĄs se tiene que I es el momento de inercia de la secciĂłn transversal se tiene que: EcuaciĂłn 11-9

đ?‘´đ?’„ đ??ˆđ?’Ž, = đ?‘° Reemplazando Ďƒm en la ecuaciĂłn 11-8 se obtiene el esfuerzo normal Ďƒx para cualquier distancia y del eje neutro EcuaciĂłn 11-10

đ?‘´đ?’š đ??ˆđ?’™ = đ?‘° Donde la inercia I depende Ăşnicamente de la geometrĂ­a de la secciĂłn. Las ecuaciones 11-9 y 11-10 se conocen como “ecuaciones de flexiĂłn elĂĄsticaâ€?.48

48

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UNIDAD 12. DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR Los diagramas de fuerza cortante y momento flector son indispensables para en diseño óptimo de una viga. Como se ha visto en otras unidades si se efectúa un corte en cualquier tramo de la viga nos encontraremos con una fuerza interna equivalente a las condiciones de carga de la viga.

El diagrama de cortante y momentos además de la condición de carga está ligada también a las condiciones de apoyo, ya sean de primer grado (patín), segundo grado (simplemente apoyada) y tercer grado (empotramientos viga en voladizo).

Este tipo de diagrama consiste en graficar desde una distancia x, medida desde un extremo de la viga los valores resultantes de fuerza cortante (V) y momento (M). Los valores a graficar se obtienen de manera habitual realizando cortes en distancias donde se quiere ser determinada la magnitud de la fuerza. Y con las ecuaciones de equilibrio calcular en la porción de viga las fuerzas cortantes y momentos.

Es importante destacar que al realizar un corte las fuerzas internas tienen un sentido diferente por ende una será positiva y la otra será negativa El cortante V y el momento flector M, en un punto dado de la viga se consideran positivos cuando las fuerzas internas y los pares que actúan en cada porción de la viga se dirigen como se muestra en la siguiente figura: Figura 34 Disposición del cortante V y momento en un punto de corte49

Esta condición de fuerzas se puede tener en cuenta fácilmente si se recuerda que: 1- El cortante en cualquier parte de la viga es positivo cuando las fuerzas externas (Cargas y reacciones de los apoyos) tienden a cortar la viga en ese punto (Ver figura 35) Figura 35 Fuerzas que tienden a cortar la viga50

49 50

Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 37 -

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2- El momento flector es positivo en cualquier punto de la viga si las fuerzas externas tienden a flexionar el elemento en ese punto. (Ver figura 36) Figura 36 Fuerzas que tienden a flexionar la viga51

51

Figura tomada de Mecánica De Materiales Ferdinand P. Beer Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 38 -

SERIE GUÍAS DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES

BIBLIOGRAFÍA 

Robert L. Mott, P.E, 1996, Resistencia De Materiales Aplicada, Tercera Edición, Ed Pearson Education, México.

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Ferdinand P. Beer, E. Russell Jhonston, Jhon T. DeWolf. (2004), Mecánica De Materiales, Tercera edición. Ed McGraw Hill Interamericana , México.

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Dr. Genner Villareal Castro (2010), Resistencia De Materiales, Ph.D. Genner Villarreal Castro Lima Perú.

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Andrew Pytel, L. Singer. (2006), Resistencia de materiales, Ed Alfa Omega, Universidad de Oxford, Estados Unidos.

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F.R. Shanley, (1998), Mecánica de Materiales, Ed McGraw Hill, México.

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Jorge Salazar Trujillo, (2007), Resistencia de materiales Básica Para Estudiantes De Ingeniería, Universidad Nacional De Colombia, Sede Manizales, Colombia.

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William F. Riley, Leroy D. Struges, Don H. Morris, (2007), Mecánica de Materiales, Ed Limusa Wiley, Mexico.

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Ferdinand P. Beer, E. Russell Jhonston, Jhon T. DeWolf, David F. Mazurek, (2010), Mecánica De Materiales, Quinta edición. Ed McGraw Hill Interamericana , México.

INFOGRAFÍA 1.

Taller de resistencia de materiales universidad nacional de Colombia sede en Palmira. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira

2.

Concepto de esfuerzo. http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno http://ibiguridp3.wordpress.com/res/esf/

3.

Estructuras para Arquitectos UVM Mexicali http://elreubenstv.edublogs.org/about/

4.

Taller resistencia de materiales http://ibiguridp3.wordpress.com/res/

5.

Curso resistencia de materiales Universidad Javeriana Colombia. http://portales.puj.edu.co/javevirtual/Proyecto%20Estructuras/html/

6.

Diagrama esfuerzo deformación http://www.uca.edu.sv/facultad/clases/ing/m210031/Tema%2008.pdf

Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 39 -