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SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

CARTILLA GUÍA DE CLASE PARA ESTRUCTURAS DE CONCRETO VERSIÓN 01-14 ELABORO: SERGIO LUIS JIMÉNEZ REDONDO ESTUPIÑAN RONDON JONATHAN

BOGOTÁ, 2014

Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil -1-

SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO INFORMACIÓN BÁSICA

SEMESTRE

AÑO INFORMACIÓN DOCENTE

PROFESOR INFORMACIÓN DEL ALUMNO NOMBRES Y APELLIDOS CÓDIGO JORNADA NOMBRES Y APELLIDOS CÓDIGO JORNADA

Figura 1 Logotipo programa Ingeniería Civil

Fuente: página web UNIAGRARIA

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SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO CONTENIDO ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................................ 4 ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................................. 4 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 5 UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES ...................................................................................................... 6 1.1 DEFINICIONES .................................................................................................................................. 6 UNIDAD 2. DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ........................................................................ 7 2.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS RECTANGULARES ............................................................................... 7 2.2 TEORÍA DE DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADAS A TENSIÓN ............................... 7 2.3 TEORÍA DE DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADAS A TENSIÓN Y COMPRESIÓN ... 11 UNIDAD 3. DISEÑO DE VIGAS DE CONCRETO SOMETIDAS A ESFUERZO CORTANTE ............................. 14 3.1 FUERZA CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO ............................................................. 14 3.2 FUERZA CORTANTE PROPORCIONADA POR EL ACERO ................................................................... 15 3.3 REFUERZO MÍNIMO A CORTANTE .................................................................................................. 15 UNIDAD 4. DISEÑO DE LOSAS EN UNA DIRECCIÓN ............................................................................... 16 4.1 LOSAS MACIZAS ............................................................................................................................. 16 4.2 LOSAS ALIGERADAS ........................................................................................................................ 17 UNIDAD 5. DISEÑO DE ESCALERAS ....................................................................................................... 21 UNIDAD 6. DISEÑO DE COLUMNAS RECTANGULARES .......................................................................... 23 6.1 COLUMNA SOMETIDA A CARGA AXIAL. .......................................................................................... 23 6.2 COLUMNA SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN ............................................................................... 24 6.3 CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ........................................................................ 26 6.4 EXIGENCIAS IMPORTANTES DE LA NSR 10 EN EL DISEÑO DE COLUMNAS ....................................... 29 6.5 ESTRIBOS EN COLUMNAS RECTANGULARES ................................................................................... 29 UNIDAD 7. DISEÑO DE ZAPATAS RECTANGULARES .............................................................................. 30 7.1 ZAPATA CUADRADA AISLADA ........................................................................................................ 30 7.1 ZAPATA COMBINADA PARA DOS COLUMNAS ................................................................................ 33 UNIDAD 8. DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN ................................................................................. 35 8.1 MURO DE CONTENCIÓN POR GRAVEDAD ...................................................................................... 35 8.2 MURO DE CONTENCIÓN EN VOLADIZO .......................................................................................... 38 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 44

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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 Logotipo programa Ingeniería Civil ................................................................................................. 2 Figura 2 Curva de resistencia del concreto................................................................................................... 6 Figura 3 Fuerzas y deformaciones en vigas rectangulares con refuerzo a tracción ..................................... 8 Figura 4 Relación de deformaciones en la viga .......................................................................................... 10 Figura 5 diagrama de esfuerzos y deformaciones de una viga armada a tensión y compresión ............... 11 Figura 6 Sección de placa maciza sin aligeramiento ................................................................................... 17 Figura 7 Sección típica de una placa aligerada ........................................................................................... 17 Figura 8 Casetón de guadua ....................................................................................................................... 18 Figura 9 Losa aligerada con icopor ............................................................................................................. 18 Figura 10 Partes de una escalera ................................................................................................................ 21 Figura 11 Columna sometida a carga axial que presenta una deformación Δ ........................................... 23 Figura 12 Columna sometida a fuerza axial y momento ............................................................................ 24 Figura 13 Esfuerzos presentes en una columna a flexo-compresión ......................................................... 24 Figura 14 Diagrama de interacción de una columna .................................................................................. 26 Figura 15 Diagrama de deformaciones, tensiones y fuerzas en la sección de una columna...................... 27 Figura 16 Secciones de corte de una zapata para diseño a flexión ............................................................ 30 Figura 17 Área contribuyente de la zapata ................................................................................................ 31 Figura 18 Área contribuyente que ejerce una acción como viga ............................................................... 31 Figura 19 vista de A1 y A2 para la revisión de aplastamiento de esfuerzos columna zapata .................... 32 Figura 20 Diagrama de cortante y momento flector en un cimiento combinado para dos columnas ....... 33 Figura 21 Muro de contención por gravedad ............................................................................................. 35 Figura 22 Muro de contención en voladizo ................................................................................................ 38 Figura 23 Dimensionamiento de un muro de contención en voladizo ....................................................... 39 Figura 24 Diagrama de presiones en la base de un muro de contención .................................................. 41

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 Valores de alfa según la resistencia del concreto .......................................................................... 12 Tabla 2 Espesor mínimo de losas macizas y aligeradas según NSR10 Tirulo C ........................................... 16

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INTRODUCCIÓN

El concreto es un material de construcción presente en todos los proyectos de ingeniería civil debido a sus propiedades de resistencia, manejabilidad y afinidad con acero. Por ello es de vital importancia que los estudiantes de ingeniería civil se instruyan ampliamente en el manejo de conceptos teóricos, que les brinden un soporte para tomar decisiones en materia de análisis y diseño de elementos estructurales.

La presente guía de clase abarca el amplio campo de las estructuras de concreto, haciendo parte de una serie de publicaciones que desarrolla la Fundación Universitaria Agraria de Colombia, con el apoyo de estudiantes y docentes en busca de generar herramientas didácticas que contengan los conceptos mínimos que debe de entender y reconocer un estudiante de ingeniería civil al cursar esta materia.

La guía de clase de estructuras de concreto se compone de tres cartillas, la primera expone todo lo referente al marco conceptual, en donde se presentan las definiciones y ecuaciones fundamentales. Se divide según el elemento estructural que se esté analizando ya sean vigas, columnas, losas entre otros.

La segunda cartilla pretende que el estudiante aplique lo aprendido de la cartilla teórica, por ello se compone de ejemplos y un ejercicio típico. Los ejemplos tienen una numeración que exalta la secuencia en la que se debe de dar solución al ejercicio.

La tercera cartilla es la reunión de los conceptos teórico prácticos, aplicados a un caso de ingeniería de la vida real en donde se aplica la norma sismo resistente de diseño Colombiana NSR 10 y se utilizan herramientas de análisis sistemático como ETABS. La cartilla presenta el dimensionamiento y diseño de un edificio de tres pisos ubicado en la ciudad de Barranquilla. En donde se diseñan las vigas y columnas del sistema aporticado.

Cabe agradecer a programa de ingeniería civil de la fundación universitaria agraria de Colombia por su apoyo incondicional en el desarrollo del presente documento.

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UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES En este capítulo se expondrán definiciones y conceptos importantes para el entendimiento del presente documento.

1.1 DEFINICIONES 





CONCRETO: Es un material estructural que se forma con la mezcla homogénea de agregados pétreos, con un ligante cementante más la adición de agua. Durante la mezcla se pueden incluir aditivos.

ACERO DE REFUERZO: El acero de refuerzo consisten en barras corrugadas o lisas, que deben de cumplir con procesos de producción de acuerdo a las exigencias de las normas en cada país. Este refuerzo se coloca en el concreto para absorber esfuerzos de tracción, esfuerzos de cortante y esfuerzos de torsión.

CONCRETO REFORZADO: El concreto reforzado comprende la unión de concreto más el acero de refuerzo para que trabajen en conjunto en la disipación de esfuerzos. Su estudio se enmarca a partir de la compatibilidad de las deformaciones de cada material.

 CONCRETO Resistencia específica a la compresión (f´c): Defina la calidad del concreto y su resistencia al esfuerzo de compresión. Según la NSR-10 el f´c del concreto para elementos estructurales no puede ser inferior de 17 MPa. Usualmente para elementos estructurales tiene una resistencia de 21 MPa, 28 MPa y 35 MPa. Figura 2 Curva de resistencia del concreto1

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Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 Edición, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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UNIDAD 2. DISEĂ‘O A FLEXIĂ“N DE VIGAS DE CONCRETO El diseĂąo de vigas a flexiĂłn expuesto en el presente capitulo serĂĄ con el mĂŠtodo de resistencia Ăşltima, que se fundamenta en el comportamiento de los elementos estructurales bajo cargas de falla.

2.1 DISEĂ‘O A FLEXIĂ“N DE VIGAS RECTANGULARES2 En el diseĂąo de vigas rectangulares de concreto diseĂąadas por el mĂŠtodo de resistencia Ăşltima, se debe de obtener un valor de momento resistente Ăşltimo o momento actuante que debe ser mayor al momento nominal o resistente de la viga. Eso quiere decir que el diseĂąador analiza el comportamiento de la viga en el instante de falla.

EcuaciĂłn 2.1 ∅đ?‘€đ?‘› ≼ đ?‘€đ?‘˘ Donde: ÎŚ = Factor de reducciĂłn de carga.

Mn= Momento nominal de la viga.

Mu= Momento ultimo actuante en la viga.

Antes de entrar en el estudio teórico del mÊtodo de la resistencia última en vigas, se explica los conceptos de estado límite: 

Estado lĂ­mite: El estado lĂ­mite de una estructura es cuando esta llega al lĂ­mite de su uso estimado.

En las estructuras de concreto de reconocen 3 estados lĂ­mite: 1.

Estado lĂ­mite de Falla: Es el colapso total o parcial de una estructura, debido a la pĂŠrdida del equilibrio, rotura de elementos, fallas progresivas, formaciĂłn de mecanismos plĂĄsticos y por ultimo presencia de fatiga en el concreto.

2.

Estado LĂ­mite de servicio: Es una interrupciĂłn en el uso de la estructura, sin que esta llegue al colapso, es debida a deflexiones excesivas, fisuras, grietas o vibraciones excesivas.

3.

Estados LĂ­mites especiales: Son daĂąos debido a movimientos sĂ­smicos, explosiones o deterioros no contemplados en el diseĂąo.

2.2 TEORĂ?A DE DISEĂ‘O A FLEXIĂ“N DE VIGAS DE CONCRETO ARMADAS A TENSIĂ“N Como se mencionĂł anterior mente, el objetivo es obtener un valor de momento actuante y compararlo con el resistente, de este momento calculado se obtiene una cuantĂ­a mĂĄxima de refuerzo. Para vigas reforzadas a tracciĂłn se parte de un anĂĄlisis de deformaciones en la secciĂłn de la viga debido a las fuerzas de compresiĂłn y tensiĂłn presentes en la secciĂłn transversal de la viga.

Por lo tanto el anĂĄlisis y diseĂąo en general se fundamenta en: a)

Las secciones deben presentar equilibrio estĂĄtico, luego la resultante de las fuerzas a tracciĂłn y compresiĂłn deben ser iguales.

EcuaciĂłn 2.2 đ??śđ?‘˘ = đ?‘‡đ?‘˘

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO b) El momento interno resistente de la secciĂłn debe ser igual al momento externo. (Ver ecuaciĂłn 2.1) c)

En el diseĂąo de vigas se parte de la suposiciĂłn que la secciĂłn longitudinal y la transversal, son planas antes y despuĂŠs de la deformaciĂłn producida por la flexiĂłn.

Figura 3 Fuerzas y deformaciones en vigas rectangulares con refuerzo a tracciĂłn3

Donde: b= Base de la viga. d= Distancia efectiva de la viga.

Kud= Profundidad del eje neutro. d- Kud= Profundidad desde el eje neutro hasta el refuerzo a tracciĂłn de la viga.

K1= Factor que promedia los esfuerzos de compresiĂłn en el concreto.

K2= Factor que multiplicado por Kud, da como resultado el punto de aplicaciĂłn de la resultante de compresiones Cu. Cu= Fuerza de compresiĂłn presente en el bloque de compresiones de la viga.

Tu= Fuerza de tracción presente en la zona de tracción de la viga. ξuc= Deformación unitaria del concreto. ξy= Deformación unitaria del acero. f´c= Resistencia del concreto.

As= ĂĄrea de acero dispuesta en la viga.

0.85*f´c= es el måximo valor de la compresión como resultado de la flexión en la viga.

Partiendo del principio de equilibrio en la secciĂłn, la fuerza de compresiĂłn Cu es igual a la de tensiĂłn Tu, en el instante de falla.

Donde Cu es igual a: EcuaciĂłn 2.3 đ??śđ?‘˘ = 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘? ∗ đ?‘˜1 ∗ đ??žđ?‘˘đ?‘‘ ∗ đ?‘?

Y el valor de Tu es igual a: EcuaciĂłn 2.4 đ?‘‡đ?‘˘ = đ??´đ?‘ ∗ đ?‘“đ?‘Ś Donde la variable As se calcula como: EcuaciĂłn 2.5 đ??´đ?‘ = đ?œŒ ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘ 3

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Igualando Cu y Tu tenemos como resultado: EcuaciĂłn 2.6 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘? ∗ đ?‘˜1 ∗ đ??žđ?‘˘đ?‘‘ ∗ đ?‘? = đ?œŒ ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘ ∗ đ?‘“đ?‘Ś Y simplificando la expresiĂłn: EcuaciĂłn 2.7 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘? ∗ đ?‘˜1 ∗ đ??žđ?‘˘ = đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś Por lo tanto para conocer la profundidad del eje neutro en funciĂłn de la cuantĂ­a y la calidad de los materiales, despejamos Ku: EcuaciĂłn 2.8 đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ??žđ?‘˘ = 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘? ∗ đ?‘˜1 AsĂ­ mismo se puede expresar los momentos resistentes de la viga como: EcuaciĂłn 2.9 đ?‘€đ?‘› = đ??śđ?‘˘ ∗ (đ?‘‘ − đ?‘˜2 ∗ đ?‘˜đ?‘˘đ?‘‘) = đ?‘€đ?‘› = đ?‘‡đ?‘˘ ∗ (đ?‘‘ − đ?‘˜2 ∗ đ?‘˜đ?‘˘đ?‘‘) Teniendo en cuenta que los elementos de concreto reforzado diseĂąados a flexiĂłn deben de fallar cuando el acero alcanza su lĂ­mite elĂĄstico, se toma el momento generado por la tracciĂłn como el resistente Ăşltimo de la secciĂłn: EcuaciĂłn 2.10 đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘€đ?‘› = đ?œŒ ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘ ∗ đ?‘“đ?‘Ś [đ?‘‘ − đ?‘˜2 ∗ ∗ đ?‘‘] 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘? ∗ đ?‘˜1 Al reagrupar tĂŠrminos obtenemos: EcuaciĂłn 2.11 đ?‘˜2 đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘€đ?‘› = đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś [1 − ∗ ] ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘2 0.85 ∗ đ?‘˜1 đ?‘“´đ?‘?

La secciĂłn de la ecuaciĂłn 2.11: đ?‘˜2 0.85 ∗ đ?‘˜1 Constituye una variable que estĂĄ en funciĂłn de la calidad del concreto y que a travĂŠs de ensayos experimentales se ha obtenido un valor de 0.59. Por lo tanto la ecuaciĂłn de momento se puede reescribir como: EcuaciĂłn 2.12 đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘€đ?‘› = đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś [1 − 0.59 ∗ ] ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘2 đ?‘“´đ?‘?

La ecuaciĂłn 2.12 corresponde a la expresiĂłn general de la resistencia Ăşltima que se parte de la falla inicial del acero de refuerzo.

Ahora estudiaremos el concepto de cuantĂ­a balanceada que trata de una condiciĂłn de falla simultanea del concreto y el acero. En donde se puede obtener una relaciĂłn de las deformaciones unitarias de cada material: EcuaciĂłn 2.13 đ?œ€đ?‘˘đ?‘? đ?œ€đ?‘Ś đ?œ€đ?‘˘đ?‘? = ∴ đ??žđ?‘˘ = đ??žđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘ − đ?‘˜đ?‘˘đ?‘‘ đ?œ€đ?‘˘đ?‘? + đ?œ€đ?‘Ś En donde la deformaciĂłn unitaria del concreto es igual a 0.003 y la deformaciĂłn unitaria del acero se estimara como: EcuaciĂłn 2.14 đ?‘“đ?‘Ś đ?œ€đ?‘Ś = đ??¸đ?‘ Donde Es corresponde al mĂłdulo de elasticidad del acero.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO El anĂĄlisis de deformaciones en la viga se puede entender mejor con la figura siguiente: Figura 4 RelaciĂłn de deformaciones en la viga4

Despejando el valor de la cuantĂ­a en la ecuaciĂłn 2.7 se obtiene una fĂłrmula de cuantĂ­a en funciĂłn de las deformaciones de la viga, donde k1 tomara como 0.85 para resistencias del concreto hasta de 28 MPa. EcuaciĂłn 2.15 đ?‘“´đ?‘? đ?‘“´đ?‘? đ?œ€đ?‘˘đ?‘? đ?œŒ = 0.85 ∗ đ?‘˜1 ∗ đ?‘˜đ?‘˘ = 0.85 ∗ ∗ đ?‘˜1 ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘“đ?‘Ś đ?œ€đ?‘˘đ?‘? + đ?œ€đ?‘Ś ExpresiĂłn que se puede reescribir como: EcuaciĂłn 2.16 đ?‘“´đ?‘? đ?œŒđ?‘? = 0.85 ∗ ∗ 0.85 ∗ đ?‘“đ?‘Ś

0.003 0.003 +

Esta ecuaciĂłn se conoce como cuantĂ­a balanceada.

đ?‘“đ?‘Ś đ??¸đ?‘

Con lo antes mencionado la norma sismo resistente colombiana NSR 10 estandariza el manejo de estas ecuaciones de la siguiente manera: El momento nominal para diseĂąo es igual a: EcuaciĂłn 2.17 đ?‘“đ?‘Ś ∅đ?‘€đ?‘› = ∅ ∗ đ?œŒ ∗ đ?‘“đ?‘Ś ∗ (1 − 0.59đ?œŒ ∗ ) ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘2 đ?‘“´đ?‘?

En donde: ÎŚ = Coeficiente de reducciĂłn de resistencia para flexiĂłn es 0.9.

El cĂĄlculo de la cuantĂ­a en funciĂłn de la ecuaciĂłn 2.17 es igual a: EcuaciĂłn 2.18 đ?œŒ=

1 2 ∗ đ?‘š ∗ đ?‘€đ?‘› ∗ [1 − (√1 − )] đ?‘š ∅ ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘ 2 ∗ đ?‘“đ?‘Ś

Donde: EcuaciĂłn 2.19 đ?‘“đ?‘Ś đ?‘š= 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘?

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO La cuantĂ­a mĂĄxima se calcula como: EcuaciĂłn 2.20 đ?œŒđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 0.75 ∗ đ?œŒđ?‘?

Las vigas en concreto deben de tener un ĂĄrea mĂ­nima de acero de refuerzo, la NSR 10 establece que esta ĂĄrea debe de ser calculada como: EcuaciĂłn 2.21 1.4 √đ?‘“´đ?‘? đ??´đ?‘ đ?‘šđ?‘–đ?‘› = ∗đ?‘?∗đ?‘‘ ≼ ∗ đ?‘‘ ∗ đ?‘? [đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž] 4 ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘“đ?‘Ś Es habitual que se tenga que realizar anĂĄlisis de vigas que ya estĂĄn construidas y tienen un ĂĄrea de acero existente. Para estos casos las ecuaciones son de revisiĂłn son: EcuaciĂłn 2.22 đ??´đ?‘ = đ?œŒ ∗ đ?‘? ∗ đ?‘‘ Despejando la cuantĂ­a de la ecuaciĂłn 2.22 obtenemos: EcuaciĂłn 2.23 đ??´đ?‘ đ?œŒ= đ?‘?∗đ?‘‘ 2.3 TEORĂ?A DE DISEĂ‘O A FLEXIĂ“N DE VIGAS DE CONCRETO ARMADAS A TENSIĂ“N Y COMPRESIĂ“N Cuando lo momentos flectores en una viga son muy grandes y solamente con el acero de refuerzo ubicado en la zona de tracciĂłn no es suficiente para soportar los esfuerzos, se debe de adicionar acero en la zona de compresiones de la viga. En la siguiente figura se puede apreciar un diagrama de esfuerzos y deformaciones para esta condiciĂłn: Figura 5 diagrama de esfuerzos y deformaciones de una viga armada a tensiĂłn y compresiĂłn5

Como se puede ver la nomenclatura es la misma que en el anålisis de vigas aradas solamente a tracción, y las nuevas variables son las siguientes: d´: Distancia de la fibra mås comprimida a centro de gravedad de las barras de refuerzo a compresión. f´s: esfuerzo de compresión en el acero.

Cc: Resultante de compresiones en el concreto.

Cs: Resultante de compresiones en el acero.

A´s: Acero a compresión.

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SERIE GU�AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO La diferencia en el diseùo, es que el momento nominal de la viga es la suma de los momentos M1 y M2 de la siguiente manera: Ecuación 2.24 �� = �1 + �2 Donde: Ecuación 2.25

đ?‘Ž đ?‘€1 = (đ??´đ?‘ − đ??´Â´đ?‘ ) ∗ đ?‘“đ?‘Ś ∗ (đ?‘‘ − ) 2

EcuaciĂłn 2.26

đ?‘€2 = đ??´Â´đ?‘ ∗ đ?‘“đ?‘Ś ∗ (đ?‘‘ − đ?‘‘´) Y ahora despejando la variable É‘ (profundidad del bloque de compresiĂłn) de la ecuaciĂłn 2.25 tenemos: EcuaciĂłn 2.27 (đ?œŒ − đ?œŒÂ´) ∗ đ?‘“đ?‘Ś đ?‘Ž= ∗đ?‘‘ 0.85 ∗ đ?‘“´đ?‘?

Por lo tanto el Momento nominal o resistente de una viga serĂĄ igual a: đ?‘Ž ∅đ?‘€đ?‘› = ∅ ∗ [(đ??´đ?‘ − đ??´Â´đ?‘ ) ∗ đ?‘“đ?‘Ś ∗ (đ?‘‘ − )] + [đ??´Â´đ?‘ ∗ đ?‘“đ?‘Ś ∗ (đ?‘‘ − đ?‘‘´)] 2

EcuaciĂłn 2.28

Esta expresiĂłn se basa en la hipĂłtesis de que el refuerzo de tracciĂłn y compresiĂłn alcancen su lĂ­mite elĂĄstico en el instante de falla, por lo cual se especifica las siguientes expresiones para la obtenciĂłn de las cuantĂ­as: EcuaciĂłn 2.29 (đ?œŒ − đ?œŒÂ´)đ?‘šđ?‘–đ?‘› ≤ (đ?œŒ − đ?œŒÂ´) ≤ (đ?œŒ − đ?œŒÂ´)đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ EcuaciĂłn 2.30 (đ?œŒ − đ?œŒÂ´)đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 0.75 ∗ đ?œŒđ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž EcuaciĂłn 2.31 đ?‘“´đ?‘?

600 đ?‘‘´ (đ?œŒ − đ?œŒÂ´)đ?‘šđ?‘–đ?‘› = É‘ ∗ ∗ ∗ đ?‘“đ?‘Ś 600 − đ?‘“đ?‘Ś đ?‘‘

(đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž)

Donde el valor de alfa, se determina segĂşn las propiedades del concreto, en la siguiente tabla se muestran los valores: Tabla 1 Valores de alfa segĂşn la resistencia del concreto

f´c (kg/cm2) f´c <280 f´c= 350 f´c >420

É&#x2018; 0.7225 0.6825 0.6425

β 0.425 0.400 0.375

Por lo tanto de la ecuaciĂłn fundamental de momento (ver ecuaciĂłn 2.17), se obtendrĂ­a el momento M1.

EcuaciĂłn 2.32 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x20AC;1 = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (1 â&#x2C6;&#x2019; 0.59đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; ) â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

Y el momento M2 serĂ­a igual a: EcuaciĂłn 2.33 đ?&#x2018;&#x20AC;2 = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´Â´đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´) El ĂĄrea de acero requerida para para M2 se obtiene despejando la variable As de la ecuaciĂłn obteniendo: Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 12 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO EcuaciĂłn 2.34 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ??´Â´đ?&#x2018; = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´) Y el acero total de la secciĂłn seria la suma del ĂĄrea de acero de la zona de tracciĂłn y la de compresiĂłn: EcuaciĂłn 2.35 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; + â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´) AsĂ­ mismo para este caso de reforzamiento rigen las mismas expresiones para el cĂĄlculo de ĂĄrea de acero mĂ­nima. (Ver ecuaciĂłn 2.21).6

6

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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UNIDAD 3. DISEĂ&#x2018;O DE VIGAS DE CONCRETO SOMETIDAS A ESFUERZO CORTANTE El diseĂąo de elementos de concreto sometidos a esfuerzo cortante, bajo el mĂŠtodo de resistencia ultima, debe de cumplir la siguiente expresiĂłn:7 EcuaciĂłn 3.1 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ Donde: ÎŚVn= Es la resistencia nominal de la secciĂłn a cortante Vu= Es la fuerza cortante actuante en el elemento.

La resistencia nominal Vn se calcula como: EcuaciĂłn 3.2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018; Donde las variables Vc y Vs son: Vc: Resistencia nominal a cortante proporcionada por el concreto Vs: Resistencia nominal proporcionada por el acero.

Para problemas de diseĂąo la ecuaciĂłn se toma como: EcuaciĂłn 3.2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ = â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018; De esta expresiĂłn se despeja la resistencia proporcionada por el acero Vs: EcuaciĂłn 3.3 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?

Esta expresiĂłn indica que si el concreto no es capaz de soportar toda la fuerza cortante se debe de adicionar un ĂĄrea de acero que aumente la resistencia nominal de la viga.

El factor de reducciĂłn para elementos sometidos a fuerza cortante es de 0.75. SegĂşn el titulo C de la NSR10.

EcuaciĂłn 3.4 â&#x2C6;&#x2026; = 0.75 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; 3.1 FUERZA CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO 8 Para elementos sometidos a fuerza cortante y flexiĂłn como las vigas, la resistencia proporcionada por el concreto es igual a: EcuaciĂłn 3.5 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.53 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

Donde: bw: es la base de la viga. d: Es la distancia efectiva de la viga.

7

Tomado del libro HormigĂłn Reforzado, Roberto Rochel Awad, Escuela de IngenierĂ­a ColecciĂłn AcadĂŠmica 8 Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 3.2 FUERZA CORTANTE PROPORCIONADA POR EL ACERO El refuerzo que se usa para soportar fuerzas cortantes consta de: a) b) c) d)

Estribos Mallas electro soldadas (Losas) Estribos circulares.

Espirales.

Para efectos de la guĂ­a de clase se explicara cĂłmo se determina la fuerza cortante proporcionada por el acero cundo el refuerzo consta de estribos perpendiculares.

La resistencia Vs proporcionada por el acero se calcula con la expresiĂłn: EcuaciĂłn 3.6 đ??´đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; Donde: Av: ĂĄrea del refuerzo de cortante en una distancia S S: SeparaciĂłn entre los estribos.

La norma sismo resistente NSR 10, decreta unos lĂ­mites de espaciamiento entre los estribos, las condiciones son las siguientes: a)

La separaciĂłn tiene que ser menor de 600 mm đ?&#x2018; < 600 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;

b) La separaciĂłn de estribos no pude ser mayor de: EcuaciĂłn 3.7 đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018; = 2 c)

Cuando: EcuaciĂłn 3.8 đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018; > â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x2020; < 3 4

3.3 REFUERZO MĂ?NIMO A CORTANTE Se coloca refuerzo mĂ­nimo para cortante cuando el concreto resiste toda la fuerza de corte, esta ĂĄrea de acero se calculara como: EcuaciĂłn 3.9 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018; đ??´đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; = 0.062 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; â&#x2030;Ľ 0.35 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś La variable bw se debe de expresar en milĂ­metros y fy en MPa. De esta expresiĂłn se puede despejar la separaciĂłn de estribos S como: EcuaciĂłn 3.10 đ??´đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś

đ??´đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018; = â&#x2030;¤ 0.35 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ 0.062 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤

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UNIDAD 4. DISEĂ&#x2018;O DE LOSAS EN UNA DIRECCIĂ&#x201C;N En esta unidad se explicara el diseĂąo de losas en una direcciĂłn en sus dos tipos: Losas macizas y losas aligeradas.

4.1 LOSAS MACIZAS Las losas macizas se utilizaran en luces cortas, para su diseĂąo de debe de estimar las cargas de servicio a las cuales se verĂĄ sometida, tambiĂŠn es muy importante saber las caracterĂ­sticas de los materiales con que se construirĂĄ.

Consisten en una construcciĂłn monolĂ­tica de concreto reforzado desprovista de elementos de aligeramiento.

En su etapa inicial se debe de realizar un pre-dimensionamiento del espesor que debe de tener la losa.

Para ello se siguen las disposiciones de la norma sismo resistente NSR 10 en su tĂ­tulo C que se presentan en la tabla siguiente: (ver NSR10 tabla C.9.5 a) Tabla 2 Espesor mĂ­nimo de losas macizas y aligeradas segĂşn NSR10 Tirulo C 9

Elemento

Simplemente apoyados

Losa maciza en una direcciĂłn Losa aligerada en una direcciĂłn

Espesor mĂ­nimo h Con un extremo Ambos extremos continuo continuos

En voladizo

L/20

L/24

L/28

L/10

L/16

L/18.5

L/21

L/8

Los valores usados de la tabla 2, se deben de usar Ăşnicamente para concreto de peso normal y refuerzo de 420 MPa. Para un fy distinto de420 MPa los valores de la tabla 2 se deben de multiplicar por: EcuaciĂłn 4.1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś 0.4 + 700 Otra parte importante en el diseĂąo de losas macizas es cuidar los recubrimientos mĂ­nimos que debe de tener esta de la siguiente manera: a) Losas macizas no apoyadas contra el suelo: recubrimiento de 2 cm b) Losas en contacto con el suelo 7.5 cm Por lo tanto la distancia efectiva de la losa serĂĄ igual a: EcuaciĂłn 4.2 đ?&#x2018;&#x2018; = â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; Procedimiento de diseĂąo:

9

1.

Se estima el espesor de la losa. (Tabla NSR 10)

2.

Se calcula la distancia efectiva de la losa.

Tabla tomada de la norma sismo resistente NSR 10 tĂ­tulo C Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 16 -

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Una vez conocidas las dimensiones se evalĂşan las cargas, estas deben de incluir el peso propio de la losa y las cargas de servicio como la carga muerta por equipos fijos y la carga viva.

4.

Durante el diseĂąo se analiza una franja de 1 m de longitud y se analiza como si fuera una viga con base de 1 m y distancia efectiva d (Ver ecuaciĂłn 4.2)

5.

Se diseĂąa la armadura principal a flexiĂłn, calculando cuantĂ­as y ĂĄreas de acero de refuerzo. Para este paso hay que tener en cuenta que:

ď&#x201A;ˇ

La cuantĂ­a mĂ­nima es de 0.0020

ď&#x201A;ˇ

La separaciĂłn mĂĄxima entre barras de refuerzo S tiene que cumplir con: đ?&#x2018; â&#x2030;¤ 3â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; 45 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;

6.

La losa se debe de revisar para fuerza cortante, en tal caso que esta no cumpla se debe de aumentar el espesor de la losa, pues el concreto serĂĄ el Ăşnico encargado de soportar esta fuerza.

4.2 LOSAS ALIGERADAS

Las losas aligeradas se diseĂąan y se proyectan con el objetivo de poder construir losas de entrepiso de mayor altura sin aumentar el peso propio de la estructura, que es un caso desfavorable en el anĂĄlisis sĂ­smico de cualquier edificaciĂłn pues al aumentar la luz las losas macizas aumentan sus espesores de manera considerable. Y conllevan a una secciĂłn transversal compuesta de la zona de concreto a compresiĂłn y el ĂĄrea del refuerzo a tracciĂłn muy costosa e ineficiente. (Ver figura) Figura 6 SecciĂłn de placa maciza sin aligeramiento10

En cambio al colocar aligeramientos en las losas se disminuye considerablemente las cantidades de concreto a emplear en la zona de tracciĂłn y el acero de refuerzo se concentra en los nervios o viguetas que del sistema. (Ver figura) Figura 7 SecciĂłn tĂ­pica de una placa aligerada

10

Las figuras 6 y 7 fueron tomadas del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO El aligeramiento de las losas usualmente se realiza en bloques de concreto, bloques de arcilla, poliestireno o canasta de guadua que es el mismo casetón. (Ver figura 8) Figura 8 Casetón de guadua11

Actualmente se está empleando en Colombia el aligeramiento con icopor, al utilizar este sistema en la obra se tiene un resultado similar el expuesto por la figura siguiente: Figura 9 Losa aligerada con icopor12

Las losas aligeradas por ende consisten en la combinación del material de aligeramiento y la colocación de concreto en sitio para las viguetas y la losa superior. El procedimiento de dimensionamiento y exigencias de la norma sismo resistente se enuncian a continuación: Procedimiento de diseño de losas aligeradas: 1.

11 12

Calculo de la altura de la losa: la altura de la losa se determina en función de la luz de diseño, con esta se determina en la tabla NSR10 tabla C.9.5 a la altura mínima que debe de tener la placa.

(Ver Tabla 2 del presente documento)

Figura tomada de la página web: www.fabricadecasetonpj.com Figura tomada de: www.icoplacas.com Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 18 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 2.

AvaluĂł de cargas de servicio de la losa: Consiste el estimar la carga muerta y carga viva que se aplicara a la losa, estas cargas deben de estar debidamente amplificadas por sus factores de mayoraciĂłn (Ver Titulo B de la norma NSR 10).

3.

Dimensionamiento de las viguetas13: Para este dimensionamiento el ingeniero debe de saber los requisitos mĂ­nimos que exige la norma sismo resistente NSR 10 en su tĂ­tulo C las cuales se mencionan a continuaciĂłn:

ď&#x201A;ˇ

Las viguetas no deben de tener un ancho menor de 10 cm en su parte superior y de 8 cm en su parte inferior.

Su altura libre no debe ser mayor de 5 veces el ancho de la vigueta.

El recubrimiento mĂ­nimo del refuerzo serĂĄ de 2 cm.

La armadura måxima para una vigueta de base 10 cm serå de 2 barras N° 5.

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ 4.

Dimensionamiento de la loseta superior: Al igual que las viguetas la NSR 10 estipula una exigencias mencionadas a continuaciĂłn:

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

La loseta superior no debe de tener un espesor menor de 5 cm.

La loseta debe de tener un espesor mayor a 0.05 multiplicado por la distancia libre entre viguetas.

5.

SeparaciĂłn entre viguetas: La norma NSR 10 exige:

ď&#x201A;ˇ

La separaciĂłn de viguetas no debe de exceder de 2.5 veces el espesor de la losa, pero no puede ser mayor de 1.20 m.

EcuaciĂłn 4.3 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; = 2.5 â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 1.20 đ?&#x2018;&#x161;

6.

ColocaciĂłn de riostras: En losas aligeradas en una direcciĂłn, la norma NSR 10 exige colocar riostras con separaciĂłn libre mĂĄxima de 10 veces la altura de la losa, sin sobrepasar los 4 m.

7.

AnĂĄlisis de la losa: Las losas que trabajan en una direcciĂłn pueden analizarse y diseĂąarse como losas continuas con apoyos simples, realizando un anĂĄlisis detallado con la utilizaciĂłn de programas especializados o se puede realizar un anĂĄlisis aproximado utilizando los siguientes momentos flectores y cortantes. Para la utilizaciĂłn de estas fĂłrmulas se debe de cumplir con lo siguiente:

a) Haya dos o mĂĄs luces b) Las luces sean aproximadamente iguales. c) Las cargas sean uniformemente repartidas.

MOMENTOS POSITIVOS14 Luces exteriores: ď&#x201A;ˇ

Apoyo exterior no restringido EcuaciĂłn 4.4 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x20AC;= 11

Donde: W: representa la carga de servicio.

Ln: La luz del tramo 13 14

Tomado de la norma sismo resistente NSR 10 tĂ­tulo C Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ď&#x201A;ˇ

Apoyo exterior construido monolĂ­ticamente con el elemento de soporte: EcuaciĂłn 4.5 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x20AC;= 14

Luces interiores: EcuaciĂłn 4.6 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x20AC;= 16 MOMENTOS POSITIVOS ď&#x201A;ˇ

Dos luces: EcuaciĂłn 4.7 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x20AC;= 9

ď&#x201A;ˇ

MĂĄs de dos luces: EcuaciĂłn 4.8 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x20AC;= 10

CORTANTE15 ď&#x201A;ˇ

Luces finales cara del primer apoyo: EcuaciĂłn 4.9 1.15 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2030;= 2

ď&#x201A;ˇ

Otros apoyos: EcuaciĂłn 4.10 đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2030;= 2

15

8.

Refuerzo mĂ­nimo por retracciĂłn y temperatura: Para las losas aligeradas armadas en una direcciĂłn se debe de colocar un refuerzo mĂ­nimo As min en las dos direcciones, calculado con la cuantĂ­a de diseĂąo igual a 0.0018 para un acero de fy igual a 420 MPa.

9.

El diseĂąo del refuerzo de las viguetas se efectĂşa como se expuso en la unidad 2 del presente documento.

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

UNIDAD 5. DISEĂ&#x2018;O DE ESCALERAS Las escaleras de concreto se analizan como una losa de concreto en una direcciĂłn simplemente apoyada que se calcula como una losa maciza donde su luz de cĂĄlculo serĂĄ la correspondiente a su proyecciĂłn horizontal entre apoyos.16 Para el diseĂąo de una escalera se debe de conocer unos datos previos como: a)

SelecciĂłn de los materiales: Especificaciones de resistencia del concreto y el acero.

Luego se inicia con la etapa de diseĂąo de la siguiente manera: b) Dimensionamiento: Es la etapa en donde definimos el espesor de la losa utilizando la tabla 2 del presente documento (Espesor mĂ­nimo de losas macizas y aligeradas segĂşn NSR10 Tirulo C), luego se calculan las medidas de las huellas y contrahuellas de la escalera encontrĂĄndose que las mĂĄs usuales por los arquitectos en Colombia son contrahuellas de 17.5 cm y huellas de 28 cm que es la dimensiĂłn mĂ­nima estipulada por la NSR-10.

Figura 10 Partes de una escalera17

c)

Se calcula la pendiente de la escalera como: EcuaciĂłn 5.1 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;? = đ??żđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;

d) AnĂĄlisis de cargas por metro cuadrado de ĂĄrea en proyecciĂłn horizontal: Peso propio de la losa: EcuaciĂłn 5.2 đ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; 1đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; 1đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x203A;žđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019; = cos đ?&#x203A;źđ?&#x2018;?

Peso de los peldaĂąos: EcuaciĂłn 5.3 đ??ťđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; 1đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x203A;žđ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? = đ??ťđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; Al final tener una carga adicional segĂşn el tipo de acabado de la escalera.

16 17

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn.

Figura tomada de http://datateca.unad.edu.co.

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AnĂĄlisis de carga viva: La carga viva se define segĂşn el uso de la edificaciĂłn en el que este la escalera (Ver tĂ­tulo B: Cargas vivas de la NSR 10).

f)

En tal caso que la escalera tenga descansos en su tramo, las cargas se estimaran como una losa maciza sin inclinaciĂłn.

g)

Se calculas las reacciones en los apoyos de la escalera.

h) Se calcula el momento mĂĄximo positivo en el tramo horizontal de la escalera como: EcuaciĂłn 5.4 đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x2014; đ??ż2 đ?&#x2018;&#x20AC;(+) = 8 i)

Con el momento de diseĂąo se calcula la cuantĂ­a y posteriormente el ĂĄrea de acero requerida para el refuerzo longitudinal.

EcuaciĂłn 5.5 đ?&#x153;&#x152;=

1 2â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x20AC;+ â&#x2C6;&#x2014; [1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; )] đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś EcuaciĂłn 5.6 đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;

j)

La armadura transversal de la escalera se calcula con la cuantĂ­a mĂ­nima de diseĂąo que es igual a: 0.0018.

EcuaciĂłn 5.7 đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; = 0.0018 â&#x2C6;&#x2014; 1đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;

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UNIDAD 6. DISEĂ&#x2018;O DE COLUMNAS RECTANGULARES Las columnas son elementos estructurales que se ven sometidos a esfuerzos de flexiĂłn y compresiĂłn axial.

Para su estudio iniciaremos con el anĂĄlisis de una columna sometida a estos dos tipos de esfuerzos, presentando las expresiones para determinar la capacidad de carga de la columna y requerimientos mĂ­nimos exigidos por la NSR 10.

6.1 COLUMNA SOMETIDA A CARGA AXIAL. Los elementos sometidos fundamentalmente a carga axial son las columnas. Para el diseĂąo de estos elementos es econĂłmico hacer que el concreto soporte la mayor magnitud de carga axial y que es acero se encargue de mitigar los efectos producidos por excentricidades accidentales. 18 Al someter una columna bajo carga axial esta presentara una deformaciĂłn Î&#x201D;, segĂşn la teorĂ­a de la elasticidad pero el anĂĄlisis elĂĄstico de una columna no es muy usado actualmente simplemente porque el concreto no en un material elĂĄstico: Figura 11 Columna sometida a carga axial que presenta una deformaciĂłn Î&#x201D;19

Experimentalmente se ha logrado establecer una expresiĂłn que permite determinar la capacidad de carga de falla de una columna corta sometida a carga axial: EcuaciĂłn 6.1 đ?&#x2018;&#x192; = 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ??´đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą) + đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś En donde: Pn: Es la resistencia nominal a carga axial en kN Ag: ĂĄrea bruta de la secciĂłn en m2 Ast: ĂĄrea total del refuerzo longitudinal en m2 En este aspecto la NSR 10 para columnas reforzadas con estribos, la resistencia de diseĂąo ÎŚPn no serĂĄ mayor que: EcuaciĂłn 6.2 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = 0.75 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2026;[0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;¨đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ??´đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą] 18

Tomado del libro Estructuras de HormigĂłn 1, Orlando Giraldo BolĂ­var, Universidad Nacional, 2003 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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En donde: Φ: Coeficiente de reducción de resistencia para miembros de compresión axial con o sin flexión y refuerzo transversal en estribos, este valor es igual a 0.65 6.2 COLUMNA SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN Una columna cargada a flexo-compresión indica que hay una carga axial actuando sobre ella y esta tiene una excentricidad e, que genera un momento flector. (Ver figura)

Figura 12 Columna sometida a fuerza axial y momento20

Teniendo en cuenta la compatibilidad de deformaciones del concreto y el acero, en donde la del concreto debe de suponerse como 0.0033 y que el esfuerzo a compresión en el concreto es rectangular con un valor uniforme de 0.85 f´c sobre una zona equivalente de compresión limitada por los bordes y una línea paralela al eje neutro ubicada a una distancia igual a (a=β*C) donde β es igual a 0.85 para concretos hasta de 28 MPa. Se pueden deducir los esfuerzos en la columna (Ver figura) Figura 13 Esfuerzos presentes en una columna a flexo-compresión

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Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 Edición, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO La deducciĂłn de capacidad de carga serĂ­a igual a: EcuaciĂłn 6.3 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś Y para el caso de falla donde el acero alcanza el lĂ­mite elĂĄstico y a su vez el concreto llega a su punto de falla se obtendrĂĄ la carga nominal balanceada de la columna Pnb y se calculara como: EcuaciĂłn 6.4 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ?&#x2018; ) Del resultado de la carga nominal balanceada se presentaran dos casos: a)

Para las cargas Pn > Pnb, con excentricidades e < eb, la secciĂłn estarĂĄ controlada por la compresiĂłn.

b) Para las cargas Pn < Pnb, con excentricidades e > eb, la secciĂłn estarĂĄ controlada por la tracciĂłn.

La explicaciĂłn es que para excentricidades grandes, la falla en la columna inicia por la fluencia en el acero que desplaza el eje neutro a la zona de compresiones hasta que ocurra la falla del concreto.

Para las excentricidades pequeĂąas la falla inicia por la compresiĂłn del concreto aunque el acero este lejos de su lĂ­mite de fluencia fy.

Dicho lo anterior entonces existirĂĄ una excentricidad que provocara la falla simultanea del concreto y el acero y a este evento se le denomina carga balanceada.

Para los casos de tracciĂłn y compresiĂłn, se han deducido las siguientes ecuaciones: La carga balanceada de diseĂąo se puede calcular usando la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 6.5 600 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x203A;˝1 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; 600 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś La anterior ecuaciĂłn se puede reescribir de la siguiente manera para concretos con una resistencia menor a los 28 MPa: EcuaciĂłn 6.6 600 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.7225 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; 600 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś a)

Cuando la columna estĂĄ controlada por la tracciĂłn segĂşn el caso b, con refuerzo simĂŠtrico en ambas caras, la capacidad de carga se calculara como: EcuaciĂłn 6.7 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; [0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; {1 â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2019;´ đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019;´ 2 đ?&#x2018;&#x2018;´ đ?&#x2018;&#x2019;´ â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x161;(1 â&#x2C6;&#x2019; ) + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x161;´ â&#x2C6;&#x2014; (1 â&#x2C6;&#x2019; ) + ]}] đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;

En donde: e´: Excentricidad de la carga medida desde el centroide del refuerzo en tracciĂłn EcuaciĂłn 6.8 đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą đ??´đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ą = = đ??´đ?&#x2018;&#x201D; đ??´đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; EcuaciĂłn 6.9 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;= 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO EcuaciĂłn 6.10 đ?&#x2018;&#x161;´ = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1 d´: Distancia de la fibra extrema en compresiĂłn al centroide del refuerzo en compresiĂłn. b) AsĂ­ mismo cuando la secciĂłn este controlada por la compresiĂłn segĂşn el caso a, con refuerzo simĂŠtrico en ambas caras, la capacidad de carga se calculara como: EcuaciĂłn 6.11 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2026; [

đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? + ] đ?&#x2018;&#x2019; + 0.5 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; + 1.18 đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´ đ?&#x2018;&#x2018;2

En donde: As´: à rea del refuerzo en compresión.

El resto de la nomenclatura como en expresiones anteriores.

El objetivo de las ecuaciones 6.7 es el de despejar una cuantĂ­a de diseĂąo Ď t, para sustituir en la formula general de As = Ď *b*d, y encontrar un ĂĄrea de acero requerida para la secciĂłn. AsĂ­ mismo para la ecuaciĂłn 6.11 se debe de despejar la variable As´ que representa el ĂĄrea de refuerzo a compresiĂłn necesario para la columna.

6.3 CONSTRUCCIĂ&#x201C;N DEL DIAGRAMA DE INTERACCIĂ&#x201C;N Lo expuesto en el sub capĂ­tulo 6.2 se puede visualizar de una mejor manera si se realiza un grĂĄfico de interacciĂłn de la columna donde las ordenadas representan las cargas axiales y las abscisas lo momentos flectores.

Figura 14 Diagrama de interacciĂłn de una columna21

De la anterior figura, se llama Pno a la carga axial de falla donde la norma NSR 10 limita el valor en 0.80 o 0.85 del valor de Pno. Mno es el momento presenta cuando la carga axial es cero, si los valores de carga axial son bajos el valor del coeficiente de reducciĂłn ÎŚ se puede aumentar hasta 0.9 en la medida que ÎŚPn aumente en: EcuaciĂłn 6.12 0.10 â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

21

Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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La parte de la curva entre los puntos A y B, corresponde a columnas cuya secciĂłn estĂĄ controlada por la compresiĂłn; El punto B o b corresponde al valor de la condiciĂłn balanceada y finalmente la parte de la curva entre B y C corresponde a secciones controladas por la tracciĂłn.

Para iniciar a graficar el diagrama de interacciĂłn se debe de realizar el anĂĄlisis de falla balanceada, el anĂĄlisis de falla a tracciĂłn y el anĂĄlisis de falla a compresiĂłn. a)

AnĂĄlisis de falla balanceada: Falla simultanea del acero y el concreto22 Figura 15 Diagrama de deformaciones, tensiones y fuerzas en la secciĂłn de una columna 23

De la figura se deduce que la carga Pu es igual a: EcuaciĂłn 6.13 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ = đ??śđ?&#x2018;? + đ??śđ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018; Donde: Cc: Fuerza de compresiĂłn en el concreto.

Cs: fuerza de compresiĂłn localizada en el centroide del refuerzo superior de la secciĂłn Ts: Fuerza de tensiĂłn localizada en el refuerzo inferior de la secciĂłn.

Reescribiendo la ecuaciĂłn 6.13 obtenemos las variables para calcular Cc, Cs y Ts. EcuaciĂłn 6.14 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ = (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?) + (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ¨) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ) Teniendo en cuenta que la excentricidad de la carga genera un momento flector en la columna entonces si realizamos una sumatoria de momentos respecto a Ts, este momento serĂĄ igual a: EcuaciĂłn 6.15 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2019; EcuaciĂłn 6.16 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘ = [0.85 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; )] + [â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ¨ â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´)] 2 De igual forma del diagrama de deformaciones obtenemos que respecto al eje neutro de la secciĂłn Cb se calcula como: EcuaciĂłn 6.17 đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;? đ??śđ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;? + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018; 22 23

Tomado de libro: HormigĂłn reforzado, Roberto Rochel Awad, 1998 Figura tomada del libro: HormigĂłn reforzado, Roberto Rochel Awad, 1998 Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 27 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Donde: Îľuc: deformaciĂłn unitaria del concreto 0.003 Îľs: DeformaciĂłn unitaria del acero a tracciĂłn.

Por lo tanto para un mĂłdulo elĂĄstico del acero de 200.000 MPa la ecuaciĂłn 6.17 se puede definir como: EcuaciĂłn 6.18 600 đ??śđ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2018; 600 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś Y si la variable a es igual a: EcuaciĂłn 6.19 đ?&#x2018;&#x17D;=đ?&#x203A;˝â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;?

Las expresiones de Pub y Mub quedan asĂ­: EcuaciĂłn 6.20 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;? = (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2014; đ??śđ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?) + (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ¨) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ) EcuaciĂłn 6.21 đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2014; đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;? = [0.85 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2014; đ??śđ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; )] + [â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; đ??´đ?&#x2018; ´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; ¨ â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´)] 2 Donde: β: Valor de 0.85 para concreto hasta de 28 MPa Con las ecuaciones 6.20 y 6.21 se estima la carga Ăşltima balanceada y el momento ultimo balanceado. b) AnĂĄlisis de falla a tracciĂłn24: Cuando el acero controla el diseĂąo.

Por compatibilidad de deformaciones se obtiene: EcuaciĂłn 6.22 0.003 â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´) đ?&#x153;&#x20AC;´đ?&#x2018; = đ?&#x2018;?

Para un mĂłdulo elĂĄstico del acero de 200000 MPa y sabiendo que fs = fy se obtiene: EcuaciĂłn 6.23 đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; = 600 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?

Sustituyendo la ecuaciĂłn 6.23 en la ecuaciĂłn 6.14 y 6.16, se obtienen las ecuaciones de carga Ăşltima y momento ultimo para secciones controladas por la tracciĂłn. c)

AnĂĄlisis de carga a compresiĂłn25

Cuando la columna estĂĄ dominada por la falla a compresiĂłn en el concreto, se presenta por compatibilidad de deformaciones que: EcuaciĂłn 6.24 đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; = 600 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?

Sustituyendo la ecuaciĂłn 6.24 en la ecuaciĂłn 6.14 y 6.16, se obtienen las ecuaciones de carga Ăşltima y momento ultimo para secciones controladas por la compresiĂłn.

24 25

Tomado de libro: HormigĂłn reforzado, Roberto Rochel Awad, 1998 Tomado de libro: HormigĂłn reforzado, Roberto Rochel Awad, 1998 Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 28 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 6.4 EXIGENCIAS IMPORTANTES DE LA NSR 10 EN EL DISEĂ&#x2018;O DE COLUMNAS ď&#x201A;ˇ

La menor dimensiĂłn de una columna rectangular serĂĄ de 25 cm para edificaciones con capacidad de disipaciĂłn de energĂ­a moderada DMO.

ď&#x201A;ˇ

Para edificaciones con disipaciĂłn especial de energĂ­a DES, la dimensiĂłn mĂĄs corta de la columna serĂĄ de 30 cm.

ď&#x201A;ˇ

El número mínimo de barras longitudinales de una columna es de 4, en donde el número de la barra debe ser N°4 para edificaciones DMO y Barras N°5 para edificaciones DES.

ď&#x201A;ˇ

El ĂĄrea del refuerzo longitudinal de la columna no debe de ser menor de 0.001 ni mayor de 0.004 veces el ĂĄrea total de la secciĂłn Ag.

ď&#x201A;ˇ

La separaciĂłn entre las barras longitudinales debe ser mayor o igual a 1.5*db, donde db corresponde al diĂĄmetro de la barra.

ď&#x201A;ˇ

La separaciĂłn entre barras longitudinales tambiĂŠn debe de cumplir con una separaciĂłn mĂĄxima de 4 cm o 1.33 veces el tamaĂąo nominal del agregado.

ď&#x201A;ˇ

El recubrimiento mĂ­nimo del refuerzo serĂĄ de 4 cm.

6.5 ESTRIBOS EN COLUMNAS RECTANGULARES26 La noma sismo resistente NSR 10 estipula que: ď&#x201A;ˇ i. ii. iii.

El espaciamiento vertical de los estribos no serĂĄ menor entre: 16 veces el diĂĄmetro de la barra longitudinal 48 veces el diĂĄmetro de la barra que compone el estribo.

La menor dimensiĂłn de la columna.

ď&#x201A;ˇ

La norma exige estribos en barra N°3 cuando las barras longitudinales sean iguales o menores de N°10 (1 Âźâ&#x20AC;?). Y estribos N°4 cuando las barras longitudinales sean mayores de N°10.

ď&#x201A;ˇ

El ĂĄrea de refuerzo transversal no puede ser menor que:

EcuaciĂłn 6.25 đ??´đ?&#x2018;Ł â&#x2030;Ľ

0.062â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2020; 0.35 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą 3 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą

Donde: fyt: Resistencia nominal del acero que compone el refuerzo de estribos.

S: SeparaciĂłn entre estribos.

26

Tomado de la norma sismo resistente NSR 10 Titulo C: Concreto estructural Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 29 -

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UNIDAD 7. DISEĂ&#x2018;O DE ZAPATAS RECTANGULARES Las zapatas son elementos estructurales utilizados para la cimentaciĂłn de edificaciones de manera directa el objetivo principal de la zapata es limitar los asentamientos de la sĂşper estructura y que el ĂĄrea de la misma no provoque esfuerzos superiores a la capacidad portante del suelo.

7.1 ZAPATA CUADRADA AISLADA27 Las zapatas cuadradas aisladas se diseĂąan para soportar cargas directas de las columnas a las que se conectan, su comportamiento estructural se ejecuta como el de losas con voladizos en dos direcciones sometidas a una carga uniforme del terreno hacia arriba.

DISEĂ&#x2018;O A FLEXIĂ&#x201C;N El momento mĂĄximo en una zapata se calculara para una secciĂłn de la cara de la columna, en la siguiente figura se observa un plano c-e y un plano g-f, para cada plano se determinarĂĄ el momento sobre la totalidad del corte es decir para c-e la secciĂłn seria (a-b-c-e) y para el corte g-f seria (b-f-g-h) en conde la porciĂłn en la esquina de la zapata se toma dos veces. (Ver Figura) Figura 16 Secciones de corte de una zapata para diseĂąo a flexiĂłn28

DISEĂ&#x2018;O A CORTANTE Para la revisiĂłn a cortante de la zapata existen dos maneras de cĂĄlculo: a) La primera puede determinarse como como el ĂĄrea de la corona correspondiente, sometida a las fuerzas actuantes sobre ellas y la respectiva secciĂłn resistente, y el valor de cortante serĂĄ el menor entre las siguientes expresiones: EcuaciĂłn 7.1 2 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.17 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; (1 â&#x2C6;&#x2019; ) + đ?&#x2018;?° â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x203A;˝

27

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

28 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GU�AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Donde: β: Es la relación del lado largo y el lado corto de la columna. b°: Es el perímetro de la sección critica para cortante.

La segunda ecuaciĂłn es la siguiente: EcuaciĂłn 7.2 đ?&#x203A;źđ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; 0.083 â&#x2C6;&#x2014; ( + 2) â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?° â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?° Donde:

É&#x2018;s: Es 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para columnas de esquina.

Figura 17 Ă rea contribuyente de la zapata29

b) La segunda forma de determinar la resistencia de la zapata a esfuerzo cortante es utilizando la llamada acciĂłn de viga critica que se extiende en un plano a travĂŠs del ancho total y localizada a una distancia d del borde de la columna.

Figura 18 Ă rea contribuyente que ejerce una acciĂłn como viga 30

Para este chequeo, las especificaciones de resistencia del concreto corresponden a las usadas en vigas.

Por lo tanto se analiza como una viga la secciĂłn de corte.

29

Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

30 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ESFUERZOS TRANSMITIDOS DE LA COLUMNA A LA ZAPATA.31 La transmisiĂłn de esfuerzos de la columna a la zapata es la revisiĂłn de la resistencia de aplastamiento del concreto que no debe de sobrepasar de: EcuaciĂłn 7.3 â&#x2C6;&#x2026;(0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ??´1) CondiciĂłn que se exceptĂşa cuando la superficie de soporte sea mĂĄs ancha en todos los lados que el ĂĄrea cargada y se permite que la resistencia de diseĂąo por aplastamiento en el ĂĄrea cargada sea multiplica cada por: EcuaciĂłn 7.4 â&#x2C6;&#x161;

đ??´2 â&#x2030;¤2 đ??´1

Por lo tanto la resistencia al aplastamiento es: EcuaciĂłn 7.5 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; (0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ??´1) En donde: A1: Ă rea cargada ÎŚ: 0.65 Y para el caso de la zapata: EcuaciĂłn 7.6 â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; (0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ??´1) â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;

đ??´2 â&#x2030;¤ 2â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;&#x2014; (0.85 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ??´1) đ??´1

Donde: A2: Es el ĂĄrea de la base inferior del tronco mayor de la pirĂĄmide (Ver figura) Figura 19 vista de A1 y A2 para la revisiĂłn de aplastamiento de esfuerzos columna zapata 32

Esta revisiĂłn se realiza usualmente cuando la resistencia del concreto es mayor que la resistencia del concreto que compone a la zapata.

31

Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

32 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 7.1 ZAPATA COMBINADA PARA DOS COLUMNAS La utilización de zapatas combinadas depende de limitaciones de espacio cuando no se pueden realizar zapatas asiladas para las columnas. Para el diseño de este tipo de cimientos se debe lograr que la reacción del terreno portante se considere uniforme bajo el cimiento, por ello se deben hacer coincidir los centros de gravedad de la columna con los del cimiento obteniéndose el siguiente esquema estructural.

Figura 20 Diagrama de cortante y momento flector en un cimiento combinado para dos columnas33

Teniendo en cuenta el esquema de diagrama de fuerza cortante y momento flector se procede a realizar el diseño del cimiento siguiendo estos pasos: 1.

2.

3.

4.

5.

Se deben de conocer las dimensiones de las columnas que se conectan al cimiento.

Además de conocer las dimensiones, hay que saber las cargas que le transmite cada una de ellas al cimiento.

La separación entre columnas.

Del estudio de suelos se debe de extraer la capacidad portante del terreno.

Las especificaciones de los materiales del concreto f´c y del acero fy.

Al conocer los datos anteriores se procede a: 6.

7.

8.

Realizar un dimensionamiento en planta: fase en la que se debe de hacer coincidir el centro de gravedad de las cargas de las columnas y coincidencia del centro de carga con el centroide del cimiento.

Avaluó de cargas de las columnas y peso propio del sistema Calculo del área total de la cimentación con la ecuación:

33

Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 Edición, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO EcuaciĂłn 7.7 đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ??´đ?&#x2018;? = đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;

9.

Calculo del ancho del cimiento B. EcuaciĂłn 7.8 đ??´đ?&#x2018;? đ??ľ= đ??żđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;

10. Calculo de la presiĂłn neta generada por el cimiento sobre el terreno.

EcuaciĂłn 7.9 đ?&#x2018;? đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x17D;= = đ??´ đ??´đ?&#x2018;?

Ahora se inicia con el diseĂąo longitudinal del cimiento: 11. Calculo de la carga bajo el cimiento: EcuaciĂłn 7.10 đ??śđ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x153;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; đ??ľ 12. Calculo de reacciones de fuerza cortante y momentos en el elemento, se pueden utilizar mĂŠtodos analĂ­ticos o las ecuaciones de momento y cortante aproximados.

13. Calculo de la altura del cimiento: El criterio de altura de la zapata parte de los criterios de no requerir refuerzo para mitigar esfuerzo cortante y que la armadura por flexiĂłn para un momento promedio, sea aproximadamente la mĂ­nima utilizando una cuantĂ­a de 0.0033.

14. Conociendo la cuantĂ­a de la formula general del As podemos despejar la distancia efectiva d, necesaria para el cimiento.

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UNIDAD 8. DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN Los muros de contención son estructuras para contener materiales, son elementos ampliamente usados en la ingeniería. Según su funcionamiento los hay de los siguientes tipos: 8.1 MURO DE CONTENCIÓN POR GRAVEDAD34 Los muros de gravedad resisten las presiones ocasionadas por el suelo gracias al peso propio de la estructura y al peso del suelo que se apoya en ellos, son de grandes secciones y son muros económicos si comprenden alturas por debajo de los 3.5 metros y su base por lo general es de 2/3 la atura total del muro, este tipo de muros no requieren refuerzo de acero. Por ello en su diseño se debe de garantizar que no haya esfuerzos de tracción en ninguna de sus secciones.

Figura 21 Muro de contención por gravedad35

Diseñar un muro de contención de gravedad con los siguientes datos: • • • • • • •

Peso unitario del suelo γ Angulo de fricción interna del suelo (grados) Coeficiente de fricción del concreto µ Resistencia del concreto f´c Peso específico del concreto γc Saber si el muro tiene una sobrecarga en la corona.

Altura total del muro Hm

Las etapas de diseño del muro de contención por gravedad se concentran en los siguientes pasos:

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Tomado del libro Diseño de Estructuras de Concreto, Arthur H. Nilson, Mc Graw Hill, 1999 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 Edición, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

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Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 35 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 1) Coeficientes de presiĂłn del suelo: PresiĂłn activa horizontal Kah EcuaciĂłn 8.1 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x201E;&#x17D; = 1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018; PresiĂłn pasiva horizontal kph EcuaciĂłn 8.2 1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; = 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2026;đ?&#x2018; Donde: ÎŚs: Angulo de fricciĂłn interna del suelo retenido 2) Si existe una sobrecarga en la corona del muro se debe de calcular la altura equivalente de carga he como: EcuaciĂłn 8.3 đ?&#x2018;&#x17E; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; = Ď&#x2019;đ?&#x2018; Donde: q: Valor de la sobrecarga en la corona del muro Îłs: Peso especĂ­fico del suelo.

3) Calculo del empuje total del suelo Ps EcuaciĂłn 8.4 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018; = 0.5 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ??ť â&#x2C6;&#x2014; (đ??ť + 2â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;) 4) Calculo de punto de aplicaciĂłn de las presiones del suelo sobre el muro yp , esta ecuaciĂłn varia si el muro tiene sobrecarga en la corona o no:36 Para el caso con sobrecarga: EcuaciĂłn 8.5 đ??ť2 + 3đ??ť â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;? = 3 â&#x2C6;&#x2014; (đ??ť + 2â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;) Para el caso que el muro no tenga sobrecara: EcuaciĂłn 8.6 đ??ť đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;? = 3 5) Calculo del momento de Volcamiento Mv EcuaciĂłn 8.7 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ś 6) Calculo del momento estabilizante o resistente del muro: Este valor se obtiene dividiendo el muro en componentes geomĂŠtricas, a las cuales se les estimara el peso, el brazo o distancia perpendicular respecto a la punta inferior del muro, para despuĂŠs multiplicar cada peso por su brazo correspondiente y obtener un momento.

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Tomado del libro DiseĂąo de Estructuras de Concreto, Arthur H. Nilson, Mc Graw Hill, 1999 Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 36 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO La sumatoria de todos los momentos de cada componente corresponde al momento resistente del muro contra la presiĂłn del suelo.

AsĂ­ mismo la sumatoria de todos los pesos de cada componente corresponde al peso total del muro por metro lineal.

Hay que tener en cuenta que el suelo que se sitĂşa sobre el talĂłn del muro de contenciĂłn genera un peso adicional estabilizante para el muro.

7) Calculo del tercio medio de la base del muro: EcuaciĂłn 8.8 1 đ??ľđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x2014; 3 8) Calculo de la resultante de presiones Z EcuaciĂłn 8.9 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?= đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; 9) Si la resultante Z se encuentra ubicada dentro del tercio medio de la base del muro la presiĂłn mĂĄxima de contacto se calcula como: EcuaciĂłn 8.10 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;? = (4đ??ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2014; ( ) đ??ľ2 Donde B es la case del muro.

10) Si la resultante Z no se encuentra en el tercio medio, la presiĂłn de contacto se calcula como: 37 EcuaciĂłn 8.11 2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;? = 3â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;?

11) Finalmente se calcula el factor de seguridad contra volcamiento del muro, este factor debe de ser mayor de 2.

EcuaciĂłn 8.12 đ??š. đ?&#x2018; =

đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ľ2 đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;

12) Si el muro de contenciĂłn cumple con el anĂĄlisis de volcamiento, se procede a realizar la revisiĂłn contra deslizamiento. En esta parte se debe de calcular en primera medida la fuerza de fricciĂłn que se genera en la base del muro con la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8.13 đ??šđ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x2014; đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x153;&#x2021; 13) Seguido de esto se calcula la presiĂłn pasiva que genera el suelo en la parte frontal del muro de contenciĂłn.

EcuaciĂłn 8.14 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? = 0.5 â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; Donde: h= Altura del suelo desde la base del muro hasta el nivel del terreno encima del puntal 37

Tomado del libro DiseĂąo de Estructuras de Concreto, Arthur H. Nilson, Mc Graw Hill, 1999 Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 37 -

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14) Calculo del factor de seguridad contra deslizamiento que debe de ser mayor de 1.5 y se calcula como:38 EcuaciĂłn 8.15 đ??šđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; đ??š. đ?&#x2018; = â&#x2030;Ľ 1.5 đ??¸đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;

8.2 MURO DE CONTENCIĂ&#x201C;N EN VOLADIZO39 Los muros de contenciĂłn en voladizo se componen de dos losas en forma de T invertida, que resisten la acciĂłn del empuje del suelo por medio de su voladizo vertical empotrada a la losa horizontal usualmente son estructuras con alturas entre los 5 y 6 m. Las partes de un muro de contenciĂłn en voladizo se pueden apreciar en la siguiente figura: Figura 22 Muro de contenciĂłn en voladizo40

La falla principal de un muro de contenciĂłn en voladizo puede ocurrir por volcamiento respecto al punto A, o por deslizamiento como se vio en el anĂĄlisis de estabilidad del muro de contenciĂłn por gravedad (Ver sub capĂ­tulo 8.1) y al culminar el anĂĄlisis de estabilidad se procede a realizar el diseĂąo estructural de cada una de sus partes o voladizos que consta de obtener un momento flector actuante para hallar una cuantĂ­a que se utilizara para calcular un ĂĄrea de acero requerida en la parte del muro.

Su dimensionamiento mĂ­nimo estĂĄ en funciĂłn de la altura del muro, que de ser necesario se pueden aumentar las secciones si las condiciones de carga sobre el muro lo exigen. En la siguiente figura se puede observar las condiciones de dimensionamiento de cada parte del muro segĂşn la altura: (ver figura)

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Tomado del libro DiseĂąo de Estructuras de Concreto, Arthur H. Nilson, Mc Graw Hill, 1999 Tomado de Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia.

40 Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 EdiciĂłn, Editorial Universidad Nacional De Colombia 39

Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 38 -

SERIE GUÍAS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Figura 23 Dimensionamiento de un muro de contención en voladizo 41

Las etapas de un diseño de muro de contención en voladizo, son las mismas utilizadas en el diseño del muro de contención por gravedad puntos del 1 al 14, pero este tipo de muros al tener un refuerzo en acero debemos de implementar otros pasos que corresponden al análisis y diseño estructural del cuerpo del muro, el puntal y el talón. Así que continuaremos con el punto 15.

15) Los datos que debemos conocer antes de entrar a diseñar el muro son los siguientes: DATOS DEL SUELO RETENIDO Peso unitario γs Angulo de fricción interna Φ Coeficiente de fricción del concreto μ DATOS DE MATERIALES Resistencia del concreto f´c Peso específico del concreto γc Resistencia del acero fy DATOS DE LA SOBRECARGA Sobrecarga uniforme en la corona del muro q ALTURA TOTAL DEL MURO Altura total del muro H 16) Realizar el dimensionamiento de las partes del muro según la figura 23.

17) Realizar el análisis de estabilidad pasos 1 al 14 (Ver sub capítulo 8.1 Muros de gravedad) 18) Diseño estructural del cuerpo del muro: En esta fase se debe de calcular la presión que el suelo ejerce sobre el cuerpo del muro con la siguiente ecuación: 41

Figura tomada del libro: Estructuras de Concreto 1, Jorge Ignacio Segura Franco, 7 Edición, Editorial Universidad Nacional De Colombia Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil - 39 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO EcuaciĂłn 8.16 đ?&#x2018;?´ = 0.5 â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;) â&#x2C6;&#x2014; (đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; + 2 â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;) Donde: he= altura equivalente de carga H cuerpo= Altura solamente del cuerpo Kah= coeficiente de presiĂłn activa Al conocer la presiĂłn del suelo sobre el cuerpo del muro P´, se estima la fuerza cortante de diseĂąo del muro Vum con la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8.17 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;?´ â&#x2C6;&#x2014; 1.7 Donde el valor de 1.7 es un factor de mayoraciĂłn para cortante en muros de contenciĂłn.

El esfuerzo cortante actuante en el muro se calcula con la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8.18 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ = (đ??ľđ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;) Donde la distancia efectiva de la secciĂłn se determina como: EcuaciĂłn 8.19 đ?&#x2018;&#x2018; = đ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x2019; 0.09 Como ya se conoce el esfuerzo cortante actuante sobre el cuerpo del muro, se debe de calcular la resistencia a cortante aportada por el concreto. Es de vital importancia saber que la resistencia a cortante del concreto debe ser mayor a la actuante en el muro. Si no es asĂ­ se debe de aumentar la secciĂłn en el muro.

EcuaciĂłn 8.20 ɸđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? = 0.75 â&#x2C6;&#x2014; 0.53 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

Luego de concluir la revisiĂłn a cortante se procede a realizar el anĂĄlisis y diseĂąo por flexiĂłn del cuerpo del muro, iniciando con el cĂĄlculo del momento ultimo de diseĂąo: EcuaciĂłn 8.21 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;?´ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; 1.7 Donde: y: corresponde al punto de aplicaciĂłn de la carga sobre el muro representa el centroide del diagrama de presiones generado por el suelo en el respaldo del muro y depende si el muro tiene sobrecarga en la parte superior o no.

EcuaciĂłn 8.22 đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; 2 + 3đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ś = 3 â&#x2C6;&#x2014; (đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; + 2â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;) EcuaciĂłn 8.23 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ś =

đ??ťđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; 3

Obteniendo el momento se calcula la cuantĂ­a de diseĂąo: EcuaciĂłn 8.24

đ?&#x153;&#x152;=

1 2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘) â&#x2C6;&#x2014; â&#x152;&#x2C6;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x152;&#x2030; đ?&#x2018;&#x161; Ф â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 40 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Concluyendo la revisiĂłn estimando el As requerido para el cuerpo del muro: EcuaciĂłn 8.25 đ??´đ?&#x2018; = đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;

DiseĂąo del puntal La revisiĂłn del puntal se realiza inicia con el chequeo de la secciĂłn a fuerza cortante por medio de la siguiente ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8.26 đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = [ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;] â&#x2C6;&#x2019; [đ??´đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018;?]

2 Donde: Vu ab: Fuerza cortante en el puntal del muro q1: Es la presiĂłn de contacto entre el muro y el suelo en el puntal del muro. Ď&#x2019;c: Peso especĂ­fico del concreto.

Lp: Longitud del puntal Ď&#x192;ab: Es el esfuerzo que produce la presiĂłn del suelo Ăşnicamente sobre el puntal del muro, calculada como: EcuaciĂłn 8.27 đ?&#x2018;&#x17E;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E;2 đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = ( â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;) + đ?&#x2018;&#x17E;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; Figura 24 Diagrama de presiones en la base de un muro de contenciĂłn

Luego se calcula la distancia efectiva del puntal como la altura total del mismo menos el recubrimiento que deben ser 9 cm.

Ahora se calcula el escuerzo cortante sobre el puntal con la ecuaciĂłn: EcuaciĂłn 8.28 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? Ń´đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; = (đ??ľđ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;) Facultad de IngenierĂ­a Programa de IngenierĂ­a Civil - 41 -

SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Este esfuerzo actuante sobre el puntal del muro debe de ser menor que la resistencia aportada por el concreto, en el caso contrario se debe de aumentar la secciĂłn del puntal en altura, la resistencia aportada por el concreto se calcula como: EcuaciĂłn 8.29 ɸđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? = 0.75 â&#x2C6;&#x2014; 0.53 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;?

DiseĂąo a flexiĂłn del puntal El diseĂąo a flexiĂłn comprende el mismo procedimiento de cĂĄlculo en donde se determina un momento flector actuante y se calcula una cuantĂ­a de diseĂąo (Ver ecuaciĂłn) y con la cuantĂ­a se calcula un ĂĄrea de acero requerida para la secciĂłn As (Ver ecuaciĂłn).

El momento actuante sobre el puntal del muro se determina como: EcuaciĂłn 8.30 2 đ??żđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; = [(đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;?] + [[0.5 â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x17E;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;?] â&#x2C6;&#x2014; ( â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;?)] â&#x2C6;&#x2019; [(đ??ť đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2014; ( )] 3 2 Donde: Lp: Longitud del puntal H puntal: Altura del puntal. Ď&#x2019;c: Peso especĂ­fico del concreto.

DiseĂąo del TalĂłn del muro Al igual que el puntal se inicia con la revisiĂłn de esfuerzo cortante para verificar que no se tengan que aumentar la secciĂłn. La fuerza cortante de talĂłn se calcula como: EcuaciĂłn 8.31 (đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; + đ?&#x2018;&#x17E;2) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘ = [đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;?] â&#x2C6;&#x2019; [ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;Ą] â&#x2C6;&#x2019; [đ??ť đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018;?]

2 Donde: Lt: es la longitud del talĂłn Ď&#x2019;c: Peso especĂ­fico del concreto.

H talĂłn: Altura del talĂłn Wp: Peso del suelo Ăşnicamente sobre el talĂłn del muro, en el caso que exista una sobrecarga en la corona se debe de sumar ese paso a esta variable. Ď&#x192;ce: Es el esfuerzo que produce la presiĂłn del suelo Ăşnicamente sobre el talĂłn del muro calculada como: EcuaciĂłn 8.32 đ?&#x2018;&#x17E;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E;2 đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; = [( ) â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;Ą] + đ?&#x2018;&#x17E;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; Donde: q1 y q2: son las presiones mĂĄximas y mĂ­nimas entre el muro y el suelo en el puntal del muro.

Al calcular la fuerza cortante en el talĂłn del muro, se verifican los esfuerzos actuantes y resistentes de la misma manera que en la revisiĂłn del puntal (ver ecuaciones 8.28 y 8.29) DiseĂąo a flexiĂłn del talĂłn El momento actuante sobre el talĂłn del muro se determina como:

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SERIE GUĂ?AS DE CLASE ESTRUCTURAS DE CONCRETO EcuaciĂłn 8.33 (đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; + đ?&#x2018;&#x17E;2) đ??żđ?&#x2018;Ą đ??żđ?&#x2018;Ą đ??żđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; = [[đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;?] â&#x2C6;&#x2014; ( )] â&#x2C6;&#x2019; [[ â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;Ą] â&#x2C6;&#x2014; ( )] + [[đ??żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17E;2] â&#x2C6;&#x2014; ( )] 2 2 3 2 đ??żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; [[đ??ť đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ??żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; Ď&#x2019;đ?&#x2018;?] â&#x2C6;&#x2014; ( )] 2 Con la obtenciĂłn de este momento se calcula la cuantĂ­a y posteriormente el ĂĄrea de acero requerida para el talĂłn del muro. (Ver ecuaciones 8.24 y 8.25)

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