Caderno de matemática by Marcelo Cielo

Unidade 11 Equações de 1° Grau com uma incógnita Observe a seguinte situação: O dobro da quantia que Flávio possui menos R$ 20,00 resulta em R$ 50,00. Quanto possui Flávio? Equacionando o problema temos:

A − Conversa inicial/ localizando Objetivo: o trabalho com as equações de 1º grau com uma incógnita resolvendo diversas situações-problema, inclusive os problemas de 1º grau.

2x − 20 = 50 Resolvendo a equação: 2x = 50 + 20 2x = 30

Somamos 20 aos dois lados da igualdade, o que equivale a passar para o 2º membro, trocando a operação. Dividimos por 2 os dois membros da equação, o que equivale a passar para o 2º membro, trocando a operação.

x = 30 2

Esse então é um problema que, para resolvê-lo, podemos montar uma equação com uma incógnita e, através dos passos da álgebra, chegarmos à solução do problema. Nessa unidade, vamos aprender a identificar e resolver equações e problemas desse tipo. Voltando à equação do problema anterior temos: 2x − 20 = 50 1° membro

2° membro

Matemática D- Orientações Instrucionais Os alunos devem utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construirem estratégias de cálculo algébrico.

Essa equação é chamada de 1º grau na variável x porque o maior expoente que a variável x assume é 1. Além disso, de uma forma geral, toda equação do 1º grau pode ser reduzida à forma: ax = b Onde ax é o 1º membro da equação e b é o segundo membro. O objetivo é, obedecendo às operações algébricas, isolarmos a variável x. Como resolver uma equação do 1° grau com uma incógnita 1| No conjunto IR, vamos resolver a equação 3x − 2 = x 3x - 2 = x 3x = x + 2

Adicionamos 2 aos 2 membros

3x − x = 2

Adicionamos −x aos dois membros

princípio aditivo. princípio aditivo.

2x = 2 x= 2 2

x=1 Então, S = { 1 }

Multiplicamos por 1/2 os dois membros

princípio multiplicativo.

2| Resolva, em IR, a equação 5.(x + 2) - 3.( x + 6) = 40v 5.(x + 2) - 3.(x + 6) = 40 5x + 10 - 3x - 18 = 40 2x − 8 = 40 2x = 40 + 8

Eliminamos os parênteses com a propriedade distributiva. Adicionamos 8 aos dois membros.

2x = 48 x = 48 2

Multiplicamos os dois membros por ½ .

x= 24 3| No conjunto IR, resolva a equação

y- 2 y- 3 2y - 1 + = 2 6 3

Matemática

2 (2y - 1) + 3 (y + 2) = y - 3 6 6

Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador.

2(2y − 1) + 3(y + 2) = y − 3

Multiplicamos todos os termos por 6 e assim eliminamos o denominador.

4y − 2 + 3y + 6 = y − 3

Eliminamososparêntesescomapropriedadedistributiva.

7y + 4 = y − 3

Juntamos os termos semelhantes.

7y = y − 3 − 4

Somamos −4 aos dois membros.

7y − y = −7

Somamos −y aos dois membros.

6y = −7 y =-

7 6

Multiplicamos os dois membros por 1/6.

71 Então, S = ' - 6 A − Conversa inicial/ localizando Verifique com os alunos a exatidão do resultado do problema fazendo a substituição do valor obtido. Mostre também o que outros valores de x fariam na comparação da idade do pai e do filho.

4| Hoje Felipe tem 24 anos e Lucas, seu filho, tem 6 anos. Daqui a quanto tempo a idade do pai será o dobro da idade do filho? Vamos chamar de x o tempo necessário para que ocorra o que o problema pedeentão vamos montar a seguinte equação: 24 + x = 2.(6 + x) 24 + x = 12 + 2x x – 2x = 12 – 24 −x (− 1) = −12 . (− 1)

Multiplicamos os dois membros por −1, pois o coeficiente de x deverá ser sempre positivo.

x = 12

Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho

Pensando com o Professor 1| No conjunto IR, vamos resolver as seguintes equações de 1o grau com uma incógnita: a. 2x – 7 = 13 S= { 10 } b. 3x – 6 = x + 12 S={9} c. 5(x + 2) – 2(3x − 1) = 13 S = { −1 } 2y 3y 3 d. 5 - 4 = 20 S= { 3 } 2| Ícaro e Ísis trabalharam juntos e receberam 90 reais pelo trabalho. Como Ícaro trabalhou mais que Ísis, esta recebeu uma quantia que corresponde a 80% da quantia que Ícaro recebeu. Qual a quantia que cada um recebeu? Ícaro recebeu 50 reais e Ísis 40 reais.

Matemática

Outro tipo de Equação de 1° grau: A Equação Fracionária Uma equação fracionária de 1°grau com uma incógnita é toda equação que apresenta frações e uma incógnita de 1° grau no seu denominador. Exemplo:

1| 120 + 10 = 120 x

x- 1

5 1= 3 x 2

1 x 3| x 1 = x 2 - 1 + Como resolver uma equação algébrica fracionária A resolução de uma equação algébrica fracionária é feita de maneira semelhante à resolução que já vimos de uma equação. Apenas devemos excluir do conjunto universo da equação fracionária os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação. Se isso ocorrer, teremos uma divisão por zero, o que você já sabe ser impossível. Portanto, você deve tomar muito cuidado ao resolver uma equação fracionária. Em linhas gerais, o conjunto universo da equação fracionária é o conjunto dos números reais (IR). Ao se obter a solução da equação, devem-se verificar as restrições feitas a determinados valores reais.

Observe os seguintes exemplos: 1| Resolver a equação: 6x + 1 = 4 , com x ≠ 0, ou seja, U = IR* ou U = IR − { 0 } 2 3 36 + 3x = 8x 6x

Reduzindoaomesmodenominador.

36 + 3x = 8x

Como tiramos o MMC dos dois lados daequaçãoeliminamosodenominador.

3x − 8x = −36

Neste ponto, devemos multiplicar a equação por (−1), pois o coeficiente de x é negativo.

−5x = −36 5x = 36 x = 36 5

36 S = ' 51 2| Resolver a equação

2x 3 = x + 2, com x ≠ 3 e x ≠ 0, ou seja, U = IR - { 0, 3 } x- 3

2x 3 Matemática x - 3 = x + 2

MMC = x (x − 3).

2x 2 = 3 ] x - 3g + 2x ] x - 3g x ] x - 3g

Reduzindoaomesmodenominador.

2x2 = 3(x − 3) + 2x (x - 3)

Como tiramos o MMC dos dois lados da equação eliminamos o denominador.

2x2 = 3x − 9 + 2x2 − 6x 2x2 − 2x2 = −9 − 3x 0 = −9 − 3x 3x = −9 x =- 9 3 x = −3 Verifique que −3 Є U, então S = { −3 }. 3|

4 1 1 com y ≠ -2 , y ≠ 2 e y ≠ 0, ou seja U = IR − {−2, 0, 2} y2 - 4 + y - 2 = y

Fatorando os denominadores temos:

_y + 2 i _y - 2 i

1 1 = y y- 2

4y + y(y − 2) = (y + 2)(y − 2) 4y + y2 - 2y = y2 - 4

MMC = y.(y + 2).(y - 2). Como tiramos o MMC dos dois lados da equação eliminamos o denominador.

4y + y2 - 2y - y2 = -4 2y = −4 y = −2 Como −2 ! U, então o conjunto solução da equação é S = Φ.

Pensando com o professor 1| Resolva a equação : 3 + 1x = 11 com x ≠ 0 4 12 S={6}

2 2| Resolva a equação 1 + t + 3 + t 2 , com t ≠ −1 e t ≠ 1, ou seja, U = IR − { −1,1 }

S=Φ

1- t

3| Um carro, desenvolvendo certa velocidade, percorre 240 km em x horas. Mantendo a mesma velocidade média, percorrerá 400 km em (x + 2) horas. Qual é o número x de horas? 3 horas

Matemática

Exercitando 1| Considerando o conjunto IR, resolva as equações de 1º grau com uma incógnita abaixo: c. 3(y + 1) - 2(y - 1) = - (y + 5) a. 3x + 5 = 17 S={4}

S = { -1 }

b. 9x - 8 = 5x + 20

d. 2x - 1 - 2 = 1 - 1 + x 5 4 10

S={7}

s = ' 411 9

2| Em um retângulo, o comprimento mede (2x + 3) unidade, enquanto a largura mede 5 unidades. Sabendo que a área desse retângulo tem 65 unidades de superfície, quanto mede o comprimento desse retângulo?

B- Apresentando a atividade / construindo o raciocínio Neste último exercício, chame a atenção do aluno para o sinal de − na frente da fração . Neste tipo de exercício, a incidência de erros é muito grande, pois os alunos fazem a multiplicação direto depois de tirarem o MMC, e se esquecem do sinal.

3| Para comprar uma bola, Cauê precisa de 4 reais a mais do que tem. Mas, se ele tivesse o dobro da quantia que tem, compraria a bola e ainda ficaria com 7 reais. Nessas condições, responda: a. Qual a quantia que Cauê tem?

b. Qual é o preço da bola?

11 reais

15 reais

4| Resolva as seguintes equações fracionárias: a. x + 3 = 1 + 1 - 3x , com x ≠ 0 x 2x S = { −5/3 }

Matemática

b. 1 + S = { 18 }

1 3 = , com x ≠ 2 2- x 2

c. 1 + 3 = x - 21 com x ≠ 0 4x 6x 2x S = { −3/17 }

d. 1x + 2 = 4 5 3 S = {15/22}

5| Encontre o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: a.

2 1 7 , com x ≠ −5 e ≠ 5 x + 5 + x - 5 = x 2 + 25

S = { 2/3 }

3 1 1 , com x ≠ −1 e x ≠ 1 = x2 - 1 x x+ 1

S = { −1/2 }

5 x 2 , com x ≠ −1 e x ≠ 1 2x 3x = 2x- 1 x+ 1 x - 1

S=Φ

Fazendo em Casa 1| Resolva a equação do 1º abaixo: 7x − [5x + 3 − (2x + 1) −10 ] = − (−x + 3) S = { −11/3 }

2| Resolver: a.

5y - 2 3 1 + = 0 , com y ≠ −3 e y ≠ 3 9 - y2 y+ 3 3- y

S = { −4 }

2x , com x ≠ −2 e x ≠ 2 4 b. 4 + x + 2 x - 2 x2 - 4

Matemática

S={0}

5 3 , com x ≠ −3 e x ≠ 3 = x2 - 9 x + 3

S = { 4/3 }

3| Um veículo, a certa velocidade média, percorre x km em 5 horas. Se aumentássemos em 20 km/h sua velocidade média, teria percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou seja, em 4 horas. Qual foi a distância x percorrida? x = 400 km

4| Resolva: 2x - 1 cx - 1 m= 2x - 3 cx - x + 3 m 2 v 2 2 S = { 17/4 }

5| Resolva a equação abaixo na variável x: b- x b+ x =5 + 3

x 10

Matemática

Desafio 1| Um copo cheio de água pesa 385g; com 2/3 da água pesa 310g. Pergunta-se:

a. Qual é o peso do copo vazio?

b. Qual é o peso do copo com 3/5 da água?

Unidade 12 Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas Um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas pode ser representado conforme o modelo abaixo: *

x+ y= 3 3x - y = 5

Observe que tanto a primeira quanto a segunda equação possuem duas incógnitas x e y. O nosso objetivo será encontrar os valores para x e y que satisfaçam as duas equações. No sistema acima só existe um único par de valores que satisfaz ambas as equações, que seria o par (2, 1). Verifique! Temos dois métodos para resolução de um sistema de equações desse tipo: 1º método: Substituição Esse método consiste em isolar uma variável em qualquer uma das duas equações e substituir na outra. Após isso com o resultado encontrado voltamos à variável isolada e encontramos o valor da segunda incógnita. Observe no exemplo abaixo:

A- Conversa inicial/ localizando Objetivo: resolver sistemas de equações de 1º grau através dos métodos da substituição e da adição e também resolveremos situações-problema que envolvam os sistemas de 1º grau com 2 incógnitas.

D- Orientações Instrucionais Os alunos devem ser capazes de traduzir situaçõesproblema e favorecer as possíveis soluções. O aprendizado de sistemas lineares é fundamental para oferecer base para o raciocínio dos alunos acerca de problemas que os envolvem na sua solução.

Matemática

Vamos resolver o sistema: *

x+ y= 3 3x - y = 5

1| Isolando a variável y na primeira equação: x+y=3 y=3−x 2| Substituindo no y da segunda equação: 3x −y = 5 3x − (3 − x) = 5 3x − 3 + x = 5 4x = 5 + 3 4x = 8 x= 8 4 x=2 3| Substituindo esse valor na variável isolada: y=3−x y=3−2 y=1 Então temos: S = {(2, 1)}

Observe que o conjunto solução de um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas é sempre dessa forma: chaves, parênteses e dentro dos parênteses primeiro o valor de x e depois o valor de y (o que chamamos de par ordenado). 2º método: Adição Este método consiste em somarmos as duas equações visando cancelar uma das variáveis. Após encontrarmos a variável restante, substituímos em qualquer uma das duas equações anteriores e calculamos a outra variável. Vamos resolver o mesmo sistema do exemplo anterior pelo método da adição: *

x+ y= 3 + 3x - y = 5

x= 8 4

x=2 Substituindo o valor de x na 1a equação, temos: x+y=3 2+y=3

Matemática y = 3 − 2 y=1 S = {(2, 1)} Então, o conjunto solução do sistema é o par ordenado (2, 1). Podemos verificar que independente do método utilizado o conjunto solução é o mesmo. Mas, nesse método da adição, às vezes, nos deparamos com a seguinte situação: ao somarmos as duas equações nenhuma variável é cancelada. Nesse caso temos que multiplicar uma equação por um número real a fim de ao somarmos cancelarmos uma das variáveis. Em alguns casos precisaremos multiplicar as duas equações por números reais diferentes. Observe nos próximos exemplos estes casos: 1| *

3x + 2y = 5 5x - y = 4

Neste caso se somarmos as duas equações nenhuma variável será cancelada.

Vamos multiplicar a 2ª equação por 2: *

3x + 2y = 5 5x - y = 4

3x + 2y = 5 10x - 2y = 8

13x x = 13 13

x=1

= 13

x (2)

Substituindo x = 1 na 2ª equação temos: 5x - y = 4 5.1 − y = 4 −y = 4 − 5 −y = -1 x(−1)

Multiplicando-se os dois membros por -1

y=1

S = {(1, 1)} 2| *

2x + 3y = 13 3x + 5y = 21

Neste caso também, se somarmos as duas equações não cancelaremos nenhuma variável.

Vamos multiplicar a 1a equação por −3 e a segunda por 2:

x ( - 3)

2x + 3y = 13 3x + 5y = 21

)

- 6x - 9y =- 39 6x + 10 = 42

x (2)

x=2

Matemática

S = {(2, 3)}

Pensando com o Professor 1| Resolva os sistemas abaixo pelo método da substituição: 2x - 5y = 10 3x - y = 8 * b. a. * 3x - 2y =- 4 2x + 3y = 9 S={(3, 1)}

S={(0, 2)}

2| Resolva os sistemas abaixo pelo método da adição: 3x - 5y = 30 5x - 3y = 21 c. * a. * 5x + 3y = 34 3x - 3y = 14 {(5, -4/3)}

{(5, 3)}

3| Resolva os sistemas abaixo pelo método que achar mais adequado: a. *

3x - y = 18 x = 10 - y

{(7, 3)}

b. *

6x - 3y = 32 4x + 3y = 18

{(6, 16/3)}

4| A soma de dois números é 110. O maior deles é igual ao triplo do menor mais 18 unidades. Qual é o maior dos dois números? 87

Matemática Z5| Resolva:

]] x - 2 + y = 1 3 2 2 [ ]x- y- 1= 2 2 \ {(2, 1)}

Exercitando 1| Resolva os sistemas abaixo pelo método que achar mais conveniente: x - 5y =- 24 2x - 3y = 11 b. * a. * 3x - 2y =- 4 2x + 7y = 1 {(4, −1)}

{(−4. −4)}

3 ] x - 2g = 2 _y - 3 i c. * 18 _y - 2 i + y = 3 ^2x + 3 h {(2, 3)}

Z ]] x - y = x - y 2 d. [ 5 ] 3x = y - 2 \ 2 {(-4, -4)}

2| Num estacionamento, há carros e motos, num total de 14 veículos. Sabe-se que o número total de rodas é 48. Sendo assim, calcule quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento. 10 carros e 4 motos.

3| A diferença entre dois números é 15. Sabe-se que o menor dos números é igual a 9 do maior. Calcule os dois números. 10

Matemática

135 e 150.

4| Dois lotes de terreno têm a mesma área. Sabe-se que 3 da área de um deles su4 pera, em 140m², 2 da área do outro. Qual é a área de cada lote? 5 400m².

5| A soma de dois números é 169 e a diferença entre eles é 31. Quais são os dois números? 100 e 69.

Fazendo em Casa 1| Determine o valor de x² + y² no sistema abaixo: Z ]] x + y = 2 4 6 3 [ 1 x ]] = y 2 \ 5

2| Subtraindo 10 anos da idade de uma pessoa mais velha e adicionando esses 10 anos numa pessoa mais nova, as idades ficam iguais. Calcule a idade de cada uma delas sabendo que a soma das idades das duas é 70 anos. 45 e 25 anos

Matemática 3| Resolva os seguintes sistemas: 3x - 20 = y - 4 a. * x + 1 y- 2 x = + 2 6 3 c11 + 1 m

c. *

2x - y = 3 3x + 2y = 8

{(2, 1)}

7x + 6y = 23 b. * 5x + 6y = 21 {(1, 8/3)}

Z ]] x + 4y = 7 2 d. [ y ]x= 3 2 \

4| Um terreno retangular tem 128m de perímetro. O comprimento tem 20m a mais que a largura. Determine as dimensões desse terreno e a sua área.

5| Em um terreiro, há galinhas e cavalos, num total de 21 animais e 50 pés. Quantos animais de cada espécie há nesse terreiro?

Desafio 1| Resolva o sistema abaixo:

x+ y+ z= 6 * 2y - z = 1 15z = 15 S{(1, 2, 3)}

2| Um pai hoje é 20 anos mais velho que seu filho. Daqui a 15 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho. Calcule a idade do pai e do filho hoje.

Matemática

25 anos e 5 anos.

3| (Unesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81km restantes, a extensão dessa estrada é de: a) 125 km. b) 135 km. c) 142 km. d) 145 km. e) 160 km. Resposta (b)

4| Resolvendo a equação 1/2 − x = 6 (1/3 − x) no conjunto R; obtemos a raiz: a) 3/10 b) 1/10 c) 10 d) 3 e) 5/2

Resposta (a)

5| (Mackenzie) As x pessoas de um grupo deveriam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15000,00. Entretanto, 10 delas deixaram de fazê-lo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições. Então x vale. a) 60 b) 80 c) 95 d) 115 e) 120 Resposta (a)

6| (UFMG) Considere a sequência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um número x. Subtraia 2, multiplique por 3/5, some 1, multiplique por 2, subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21. O número x pertence ao conjunto: a) {1, 2, 3, 4} b) {− 3, − 2, − 1, 0} c) {5, 6, 7, 8, } d) {− 7, − 6, − 5, − 4} Resposta (c)

Matemática

7| (FUVEST) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resposta (e)

8| (UFMG) A diferença entre dois números positivos a e b é 5, e a razão entre eles é 5/3. O produto ab é: a) 7,5 b) 8,333... c) 12,5 d) 93 e) 93,75 Resposta (e)

9| (MACKENZIE) Num exercício de tiro ao alvo, o número de acertos de uma pessoa A foi 40% maior do que B. Se A e B acertaram juntas 720 tiros, então o número de acertos de B foi: a) 380. b) 320. c) 300. d) 220. e) 280. Resposta (c)

10| (FUVEST) Um açougue vende dois tipos de carne: de 1a a R$ 12,00 o quilo e de 2a a R$ 10,00 o quilo. Se um cliente pagou R$ 10,50 por um quilo de carne, então necessariamente ele comprou a) 300 g de carne de 1a b) 400 g de carne de 1a c) 600 g de carne de 1a d) 350 g de carne de 1a e) 250 g de carne de 1a Resposta (e)

11| (PUC) Do salário que recebe mensalmente, um operário gasta 7/8 e guarda o restante, R$ 122,00, em caderneta de poupança. O salário mensal desse operário, em reais, é: a) R$ 868,00 b) R$ 976,00 c) R$ 1204,00 d) R$ 1412,00 Resposta (b)

Matemática

Unidade 13 Quadriláteros A − Conversa inicial/ localizando Nesta unidade colocaremos em foco os quadriláteros e suas propriedades. Descreveremos os quadriláteros mais importantes como o paralelepípedo, o retângulo, o losango, o quadrado e o trapézio.

Quadrilátero é todo polígono de quatro lados. Observando o quadrilátero abaixo, temos: C D

D- Orientações Instrucionais Os alunos devem resolver situações-problema que envolvam figuras geométricas planas, utilizando procedimentos de decomposição e composição, transformação, ampliação e redução.

Os pontos A, B, C e D são vértices do quadrilátero. Os segmentos AB, BC, CD e AD são lados do quadrilátero. Os segmentos AC e BD são as diagonais do quadrilátero.

Soma dos ângulos internos de um quadrilátero

Matemática

A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é sempre 360º. Repare que um quadrilátero sempre pode ser dividido em dois triângulos.

Quadriláteros Notáveis Alguns quadriláteros recebem nomes especiais por apresentarem certas propriedades. São eles: Paralelogramos Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo. Observe o paralelogramo abaixo: Propriedades: D

D M

Âe e

AB e CD AD e BC

b(base)

ângulos opostos

lados opostos

M - ponto médio h

a) ângulos opostos congruentes; b) lados opostos congruentes; c) as diagonais cortam-se ao meio. A área do paralelogramo pode ser calculada pela seguinte fórmula: A=bxh

= base = altura

b h

Retângulo

É o paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (retos). D

b(base)

Matemática

Propriedades − Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o retângulo apresenta a seguinte propriedade: As suas diagonais são congruentes. Losango

É o paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. C

A D

Propriedades − Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o losango apresenta a seguinte propriedade: As suas diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos do losango. A área do losango pode ser calculada pela seguinte fórmula: A = Dxd 2

D = diagonal maior e d = diagonal menor

Quadrado É o paralelogramo que possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos). O quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo, assumindo assim todas as propriedades dos retângulos e dos losangos. D

ℓ

A área do quadrado pode ser calculada pela seguinte fórmula: A = l2

l = lado do quadrado

Trapézio Todo quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos é denominado trapézio.

Matemática A esses lados paralelos dá-se o nome de bases do trapézio. b(base menor)

b(base maior)

Trapézios especiais: Trapézio Retângulo: é o trapézio que um dos lados não-paralelos é perpendicular às bases. D

Trapézio Isósceles: é o trapézio no qual os lados não-paralelos são congruentes.

AB e CD - lados não-paralelos ou lados oblíquios.

Observe que no trapézio isósceles, os ângulos da mesma base são congruentes e as diagonais também são congruentes. ^ h A área do trapézio é dada pela fórmula: A = B + b h , onde: 2

B = Base maior b = base menor h = altura (distância entre as bases)

Pensando com o Professor

Matemática

1| Se três ângulos de um quadrilátero medem 55°, 110° e 122°, qual é a medida do quarto ângulo desse quadrilátero? 73°

2| Se o perímetro de um quadrilátero é 51 cm e as medidas dos lados são expressas, em metros, por 3x +1, 2x + 7, 4x − 3 e 3x − 2, quais são as medidas desses lados? 13m, 15m , 13m e 10m

3| Determine a medida do ângulo x no paralelogramo abaixo: 30°

50º

100º

4| No retângulo abaixo determine as medidas x e y indicadas: x = 60° e y = 30°

C X 120º

5| Num trapézio isósceles um dos ângulos mede 64°. Determine as medidas dos outros ângulos desse trapézio. 64°, 116° e 116°

Matemática

Exercitando 1| Determine a medida x indicada na figura: D

40º

140º

2| Os ângulos internos de um quadrilátero são expressos por 3x − 24°, x + 6°, x + 12° e x – 12°. Calcule as medidas desses ângulos. 165º, 69º, 75º, 51º

3| No losango abaixo, calcule as medidas dos ângulos x e y indicados: x = 50° e y = 40°

x+40º

4| O perímetro de um paralelogramo é 100 cm. Sabendo que um de seus lados mede 20 cm, calcule as medidas dos outros lados. 20 cm, 30 cm e 30 cm.

Matemática 5| Num trapézio retângulo a diferença entre as medidas do seu ângulo obtuso e seu ângulo agudo vale 62º. Determine as medidas desses dois ângulos. 121° e 59°

Fazendo em Casa 1| Assinale V ou F conforme as afirmações sejam Verdadeiras ou Falsas: a) ( F ) As diagonais de um losango são congruentes. b) ( V ) As diagonais de um retângulo são congruentes. c) ( V ) As diagonais de um quadrado são congruentes. d) ( F ) As diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si. e) ( V ) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. f) ( V ) As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

2| No trapézio abaixo determine as medidas de x e y: x+30º

x+y

x = 80º e y = 50º

70º

50°

3| Considere as seguintes proposições: 1. todo quadrado é um losango; 2. todo quadrado é um retângulo; 3. todo retângulo é um paralelogramo; 4. todo triângulo eqüilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira.

Matemática b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. Resposta (b)

4| No retângulo a seguir, o valor, em graus, de + é a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 Resposta (d)

5| A razão entre as medidas dois lados de um paralelogramo é 2/3. Se o perímetro desse paralelogramo é 150m, determine a medida dos lados. 30 m e 45 m

Desafio 1| (FUVEST − Modificado) Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitário e ABE um triângulo equilátero. Calcule o ângulo α. 15°

C E

2| (FUVEST) O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b? a) 5/3 b) 2/3 c) 2

Matemática

d) 3/2 e) 1/2

Resposta (a)