Tema 1 rectas y planos 5to

Rectas y Planos Aldo Felipe Huayanay Flores

Problemas Propuestos Problema 01 Indicar verdadero (V) o Falso (F).

I. Tres puntos determinan siempre un plano.

II. Dos rectas determinan siempre un plano.

III. Si una recta es paralela a un plano, serĂĄ paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.

IV. Si una recta es perpendicular a un plano, serĂĄ perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

A) VVFF D) FVFV

B) FFFV E) FVVV

C) FFVV

Problema 02 Indicar verdadero (V) o Falso (F).

I. Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sĂ­.

II. Si la recta đ??ż1 es paralela al plano P, un plano Q contiene a đ??ż1 y el plano Q intercepta al plano P en una recta đ??ż2 , entonces đ??ż2 es paralelo a đ??ż1 .

III. Dos rectas perpendiculares a una tercera, necesariamente son paralelas.

A) FFF D) FFV

B) VVV E) VFF

C) FVF

Problema 03 Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Dos rectas paralelas al mismo plano son paralelas entre sĂ­.

II. Por un punto del plano solo puede trazar una recta perpendicular al plano.

III. Todas las rectas paralelas entre sĂ­, son paralelas.

A) FFV D) FVF

B) VVV E) VFF

C) FVV

Problema 04 Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si las proyecciones ortogonales de una figura sobre dos planos perpendiculares son rectas, entonces dicha figura es una recta.

II. Si dos planos son perpendiculares a un tercer plano, entonces los dos primeros son planos paralelos.

III. Si las medidas de los ĂĄngulos entre una recta y dos planos son congruentes, entonces dichos planos son paralelos.

A) VFF D) FVF

B) FFF E) FVV

C) FFV

Problema 05 Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. La proyecciĂłn ortogonal de dos rectas paralelas sobre un plano son dos rectas paralelas.

II. La proyecciĂłn ortogonal de 2 rectas perpendiculares sobre un plano forman un ĂĄngulo agudo.

III. La proyecciĂłn ortogonal de dos rectas cruzadas sobre un plano son dos rectas paralelas.

A) VFF D) FVF

B) VFF E) FVV

C) FFV

Problema 06 Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Sean una recta y un plano; si la recta es paralela a una recta del plano, entonces la recta es paralela al plano.

II. Sean dos rectas cruzadas, por todo punto exterior a dichas rectas se traza un plano paralelo a las rectas dadas.

III.

Si dos planos tienen un punto en comĂşn, entonces tienen una recta en comĂşn.

A) FFF D) FVF

B) VVF E) VFV

C) FVV

Problema 07 Indicar verdadero (V) o falso (F) segĂşn corresponda.

I. Tres puntos siempre determinan un plano.

II. La intersecciĂłn de tres planos secantes siempre determinan un punto III. El nĂşmero mĂ­nimo de planos que determinan 4 rectas paralelas es uno.

A) FFF D) FVF

B) VVV E) FFV

C) FVV

Problema 08 Indicar verdadero (V) o falso (F) segĂşn corresponda.

I. Si L es una recta dada y P un plano, entonces siempre existe otro plano paralelos a P y que contiene a L. II. Una recta perpendicular a la intersecciĂłn de dos planos perpendiculares entre sĂ­, estĂĄ siempre contenida en uno de ellos.

III. Si dos rectas se cruzan, por una de ellas puede pasar un Ăşnico plano paralelo a la otra recta.

A) FFF D) FVF

B) VVV E) FFV

Problema 09 ÂżCuĂĄntos planos como determinan con 15 puntos?

A) 455 D) 600

B) 655 E) 750

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2) 3 đ?‘›(đ?‘›âˆ’1)(đ?‘›âˆ’2) D) 2

A)

B) E)

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›âˆ’2) 3 đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2) 9

C)

đ?‘›(đ?‘›âˆ’1)(đ?‘›âˆ’2) 6

Problema 11 Hallar el nĂşmero mĂĄximo nĂşmero de planos que determinan “nâ€? rectas en el espacio. đ?‘›(đ?‘›+1) 3 đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) D) 2

A)

đ?‘›(đ?‘›+2) 3 đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) E) 3

B)

đ?‘›(đ?‘›âˆ’2) 6

C)

Problema 12 Calcular el mĂĄximo nĂşmero de planos que se pueden determinar con 10 puntos en el espacio.

A) 120 D) 165

B) 160 E) 175

C) 170

Problema 13 Hallar el mĂĄximo nĂşmero de planos que determinan 10 rectas y 12 puntos del espacio.

A) 385 D) 380

B) 382 E) 390

C) 381

Problema 14 (grĂĄfico) En la figura, AB es perpendicular al plano H; los puntos B, M y C estĂĄn en H. Si AB = 12 cm, BM = 9 cm y MC = 8 cm, hallar AC.

A

C) FVV

mĂĄximo

C

se

C) 700

Problema 10 Hallar el nĂşmero mĂĄximo de planos que determinan “nâ€? puntos en el espacio.

M

B H A) 19 cm D) 16 cm

B) 18 cm E) 20 cm

C) 17 cm

Problema 15 El plano H contiene a la circunferencia de centro O y radio 15 m; OA es perpendicular a H; CD estĂĄ en H y es tangente a la

circunferencia en C. Si AO = 20 m y CD = 60 m, hallar AD. A) 55 m D) 65 m

B) 60 m E) 75 m

C) 70 m

Problema 16 En la figura, AQ es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de diĂĄmetro Ě‚ = 90°, hallar AB. Si đ??´đ?‘„ = √2đ??ľđ?‘€ y la đ??ľđ?‘€ đ?‘šâˆĄđ?‘„đ??ľđ?‘€.

A) 4 m D) 3√2 m

B) 2√2 m E) 6 m

C) 5 m

Problema 19 Sea AP perpendicular al plano que contiene un hexĂĄgono regular ABCDEF. Si đ?‘šâˆĄđ??´đ??šđ?‘ƒ = 45°, halle la medida entre el ĂĄngulo PC y FD. A) 53° D) 36° A) 45° D) 75°

B) 53° E) 30°

C) 60°

Problema 17 En la figura, AP es perpendicular al plano que contiene al trapecio isĂłsceles ABCD (AB es la base mayor). Si AP = 5 m y BD = 12 m, halle PC.

B) 13 m E) 18 m

C) 16 m

Problema 18 En la figura, BP es perpendicular al plano que contiene al triĂĄngulo equilĂĄtero ABC. Si AM = MP y CN = NB = 3 m, halle PB.

C) 60°

Problema 20 En la figura, el cuadrado ABCD y el rectĂĄngulo ABPQ estĂĄn contenidos en planos perpendiculares. Si IQ = 4 m, IP = 8 m y AM = MQ, halle la đ?‘šâˆĄđ?‘€đ??ˇđ??´.

A) 60° D) 20°

A) 12 m D) 15 m

B) 45° E) 30°

B) 53° E) 30°

C) 45°

Problema 21 Sea PB, perpendicular al plano que contiene a un triĂĄngulo rectĂĄngulo isĂłsceles ABC. Si PB = AC y AB = 4 cm, halle la distancia de P a AC. A) 6 cm D) 3√10 c m

B) 2√10 cm E) 8 cm

C) 10 cm

Problema 22 En la figura, AQ es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de diĂĄmetro AB. Halle đ?‘šâˆĄđ?‘„đ??ľđ??ś.

Problema 26 Los segmentos BE y CF son perpendiculares al plano del cuadrado ABCD. Si AB = BE = CF, hallar la medida del ångulo determinado por las rectas EC y FD. A) 60° D) 53° A) 45° D) 60°

B) 53° E) 30°

C) 37°

Problema 23 En la figura, las semicircunferencias de diĂĄmetro AB y AP estĂĄn contenidas en planos perpendiculares. Si M y P son puntos Ě‚ đ?‘Ś đ??´đ??ľ Ě‚ , halle la đ?‘šâˆĄđ?‘€đ??´đ??ľ. medios de đ??´đ?‘ƒ

B) 45° E) 37°

C) 90°

Problema 27 El cuadrado ABEF cuyo lado mide 2√2 m y el rectĂĄngulo ABCD con BC = 3 m, estĂĄn en planos perpendiculares. Hallar la medida del ĂĄngulo que forma DE con el plano ABEF. A) 37°/2 D) 37°

B) 53°/2 E) 15°

C) 30°

Problema 28 Pr el incentro I de un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC se traza la perpendicular IP al plano del triĂĄngulo. Si AB = 6 m, BC = 8 m e IP = √5 m, hallar PA. A) 3m D) 2 m

A) 45° D) 60°

B) 53° E) 30°

C) 37°

Problema 24 Sea AB incluido en un plano H tal que AB = 8 cm, P es un punto distante 12 cm de H y AP = BP = 13 cm. Determinar la distancia de AB al pie de la perpendicular bajada de P al plano H. A) 3 cm D) 5 cm

B) 4 cm E) 6 cm

B) 4 m E) 6 m

C) 5 m

Problema 29 En la figura los rectĂĄngulos ABCD y ADEF Ě…Ě…Ě…Ě…2 + estĂĄn en planos perpendiculares y đ??śđ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ 2 = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š 2 = 27đ?‘š2 . Hallar la distancia de F a BE.

B

C

D

A

C) 3,5 cm

E

F

Problema 25 El segmento PA es perpendicular al plano đ??´đ??ľ đ??´đ??ˇ đ??´đ?‘ƒ del rectĂĄngulo ABCD. Si 3 = 4 = 5 y la distancia de A a DB es 4,8 cm, hallar PC. A) 12 cm D) 8√3 đ?‘?đ?‘š

B) 16 cm E) 7√5 cm

C) 10√2 đ?‘?đ?‘š

3 A) 2 √6 đ?‘š 3 D) 2 √3 đ?‘š

B) 3√6 đ?‘š E)

1 √3 2

1 C) 2 √6

đ?‘š

đ?‘š

Problema 30 En la figura, AB es diĂĄmetro de la circunferencia de radio 5 m, AD es perpendicular al plano H, AC = 8 m y đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??ˇđ??ś = 37°/2. Hallar el ĂĄrea de la regiĂłn triangular BDC.

A) 2√5 đ?‘š D) 5√3 đ?‘š

D

B) 3√5 đ?‘š E) 3√3 đ?‘š

C) √5 đ?‘š

Problema 34 En la figura, ABCD es un cuadrado y ADEF es un rectĂĄngulo, contenidos en planos perpendiculares. Si AD = 3 m y DE = 3√2 đ?‘š, hallar la medida del ĂĄngulo entre CF y AD.

C A

B C

H

B 2

2

A) 54 m D) 32 m2

B) 36 m E) 48 m2

C) 18 m

D

2

Problema 31 En un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, los catetos miden 15 cm y 20 cm; por B se levanta BP perpendicular al plano del triĂĄngulo luego se une “Pâ€? con A y C. Calcular el ĂĄrea de la regiĂłn triangular APC si BP = 16 cm.

A) 280 cm2 D) 240 cm2

B) 230 cm2 E) 250 cm2

C) 260 cm2

Problema 32 El segmento PA es perpendicular al plano del triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC. Si PB = AC, đ?‘šâˆ˘đ??´đ??śđ??ľ = 37° y AB = 9 cm, hallar PC. A) 3√42 đ?‘?đ?‘š D) 12√3 đ?‘?đ?‘š

B) 9√5 đ?‘?đ?‘š E) 21 cm

C) 3√41 đ?‘?đ?‘š

Problema 33 En la figura, el ĂĄrea de la regiĂłn triangular ABT es 32 m2, AB = 8 m y đ?‘šâˆ˘đ??żđ??ľđ?‘‡ = 60°.

Hallar BC.

T

A A) 53° D) 37°

L

đ?œś

đ?&#x;?đ?œś

B

A

F B) 60° E) 90°

C) 45°

Problema 35 PA es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de diĂĄmetro AC, centro O y radio R. Si B es un punto en la circunferencia tal que AB = 2.PA, đ?‘šâˆ˘đ??ľđ?‘‚đ??ś = 120° y M es punto medio de OB, hallar PM (en cm).

A) đ?‘…√5 D) đ?‘…√2

3

B) 2 đ?‘…

C) đ?‘…√3

E) R

Problema 36 (UNI – 2012 – I) Sean đ?‘ƒ1 , đ?‘ƒ2 , đ?‘ƒ3 planos paralelos. La recta đ??ż1 corta al plano đ?‘ƒ1 en A, al plano đ?‘ƒ2 en B y al Ě…Ě…Ě…Ě… = plano đ?‘ƒ3 en C, de tal manera que đ??´đ??ľ 1 Ě…Ě…Ě…Ě… + 1. Otra recta đ??ż2 corta al plano đ?‘ƒ1 en đ??ľđ??ś 3 Ě…Ě…Ě…Ě… = F, al plano đ?‘ƒ2 en E y al plano đ?‘ƒ3 en D. Si đ??šđ??¸ 1 Ě…Ě…Ě…Ě… . Ě…Ě…Ě…Ě… , halle đ??ľđ??ś đ??¸đ??ˇ 2 A) 2 D) 6

C

E

B) 3 E) 8

C) 4

Problema 37 (UNI – 2013 – I) Desde un punto exterior a un plano se trazan tres oblicuas congruentes de 14 m de longitud, de modo que sus pies son los vÊrtices de un triångulo equilåtero cuya

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ĂĄrea es 4 √3 đ?‘š2 . Calcule la distancia del punto al plano.

A) 9 D) 12

B) 10 E) 13

C) 11

Problema 38 (UNI – 2014 – I) Sea ABCD un rectĂĄngulo, M punto medio de BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro del rectĂĄngulo, si BC = 2(AB) = 8 y PM = AB, entonces el ĂĄrea de la regiĂłn triangular APO es: A) 2√6 D) 7√6

B) 3√6 E) 8√6

C) 4√6