Ă ngulos Diedros Aldo Felipe Huayanay Flores
Problemas Propuestos Problema 01 Una recta L y un plano P son perpendiculares. Dos puntos exteriores đ??´ đ?‘Ś đ??ľ se proyectan sobre L y P determinando los puntos đ??´1 , đ??ľ1 đ?‘Ś đ??´2 , đ??ľ2 respectivamente, si se sabe que la đ?‘‘(đ??´1 ; đ??ľ1 ) = 5, đ?‘‘(đ??´2 ; đ??ľ2 ) = 12. Calcule đ?‘‘(đ??´; đ??ľ ) A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
B) 9 E) 12
B) 3√2 E) 5√3
N
S1 A
C) 10
Problema 03 Un segmento Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ cuya longitud es 10đ?œ‡ estĂĄ al exterior del plano H. Si la recta que contiene al segmento Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ determina un ĂĄngulo que mide 30° con el plano H, determine la longitud de la proyecciĂłn ortogonal de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ sobre el plano H.
A) 5√2 D) 4√3
S2 S
B
C) 12
Problema 02 Se tiene una circunferencia de radio R y centro O. Se traza Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘ƒ perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de modo que Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘ƒ=R y, en dicha circunferencia, se tiene la Ě‚ que subtiende un arco cuya cuerda đ??´đ??ľ âƒĄ medida es 74°. Calcule la distancia entre đ?‘‚đ?‘ƒ y la recta tangente a la circunferencia trazada por B, si el ĂĄrea de la regiĂłn triangular ABP es 12√41đ?œ‡2 . A) 8 D) 11
C
M
A) 37°/2 D) 37°
B) 53°/2 E) 53°
C) 45°
Problema 05 Dado el cubo ABCD – EFGH, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ= 4. ÂżCuĂĄl es Ě…Ě…Ě…Ě… y đ??ľđ??ť Ě…Ě…Ě…Ě…? la distancia entre đ??´đ??¸ A) 2√2 (3/2)√2
B) 3√2 E) (1/4)√2
C) √2 D)
Problema 06 En el siguiente cubo de arista cuya longitud 2đ?œ‡, hallar la distancia entre las rectas L1 y L2 que pasan por los puntos medios M, N y P respectivamente. (en đ?œ‡)
M N L1
P
Q
L2
C) 5√5
Problema 04 En la figura, S1 y S2 son las proyecciones ortogonales de S sobre cada cara. Si las ĂĄreas de S, S1 y S2 son √30đ?œ‡2 , 2√6đ?œ‡2 y 3√3đ?œ‡2 respectivamente, hallar la medida del diedro A – MN – C.
A) √2 D) 2
B) √3 E) 1/2
C) 1
Problema 07 En un triĂĄngulo ABC, por el vĂŠrtice A se traza Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘ƒ perpendicular al plano del triĂĄngulo. Si AB=15, BC=14, AC=13 y AP=6. Calcular la medida del diedro P – BC – A. A) 37°/2 D) 37°
B) 53°/2 E) 53°
C) 45°
Problema 08 En la figura, Q es ortocentro del triĂĄngulo Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… , Ě…Ě…Ě…Ě… ABC, ademĂĄs se sabe que đ??´đ??ľ đ??ľđ?‘„ = Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 6, đ?‘„đ??ť = 2 đ?‘Ś đ?‘„đ?‘ƒ = đ??ľđ?‘‡. Halle la medida Ě…Ě…Ě…Ě… – B. del diedro T – đ??´đ?‘ƒ A) 15° D) 37/2°
B) 30° E) 53/2°
B) 30° E) 53°
B) 25° E) 60°
C) 45°
C) 45°
Problema 11 ABCD y ABPQ son dos cuadrados no coplanares, M es punto medio de PQ y O es centro del cuadrado ABCD. Si 2đ?‘‚đ?‘€ = √3đ??´đ??ľ, halle la medida del diedro P – AB – C. A) 45° D) 60°
B) 30° E) 37°
C) 53°
Problema 12 La proyecciĂłn de un segmento Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘„ a un plano H es 8m y la distancia del punto P al plano H es 15m. Hallar la distancia del punto Ě…Ě…Ě…Ě…=10m. Q al plano H si đ?‘ƒđ?‘„ A) 9 D) 11
B) 8 E) 7
E
B
Problema 10 En un triĂĄngulo equilĂĄtero ABC, se traza la mediana BM y la semi circunferencia de diĂĄmetro BM, tal que la semicircunferencia y el triĂĄngulo equilĂĄtero estĂĄn contenidos en planos perpendiculares. Si P es un punto de Ě‚ = 53°, halle la medida del BM tal que đ?‘šđ?‘ƒđ?‘€ diedro P – AB – M. A) 40° D) 53°
F
C) 45/2°
Problema 09 Una región triangular es proyectada sobre un plano, en el cual determina otra región cuya årea es los 4/5 del dado. Hallar la medida del ångulo diedro que forma la región triangular con el plano de proyección. A) 60° D) 37°
Problema 12 En la figura, los planos ABCD y BCEF son Ě…Ě…Ě…Ě…=4m rectĂĄngulos congruentes, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??¸ =12m, đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… =8√3m. Hallar la medida del ĂĄngulo y đ??´đ??¸ diedro BC.
C
A A) 150° D) 120°
D B) 130° E) 100°
C) 115°
Problema 13 Sobre el plano H se tiene el triĂĄngulo equilĂĄtero ABC cuyo lado mide 10m, por el Ě…Ě…Ě…Ě… al punto C se levanta una perpendicular đ??śđ??ˇ plano H. Hallar el ĂĄrea de la regiĂłn triangular Ě…Ě…Ě…Ě… – D mide 30°. ABD si el diedro C – đ??´đ??ľ A) 30 m2 D) 50 m2
B) 40 m2 E) 60 m2
C) 45 m2
Problema 14 Los puntos A y B, a uno y otro lado de un plano H, distan de dicho plano 4m y 8m. Si Ě…Ě…Ě…Ě… sobre el plano mide la proyecciĂłn de đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…. 16m, hallar đ??´đ??ľ A) 8m D) 20m
B) 25m E) 24m
C) 30m
Problema 15 Ě…Ě…Ě…Ě… es perpendicular al plano del En la figura, đ?‘‚đ?‘ƒ triĂĄngulo ABC (O en el plano). Hallar la Ě…Ě…Ě…Ě… , si đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = medida del ĂĄngulo diedro đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = 6đ?‘š, OP=1m y đ?‘ƒđ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘ƒđ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… . Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘ƒđ??ś đ??ľđ??ś
P
A
C) 10
O
B
C A) 60° D) 53°
B) 45° E) 37°
C) 30°
Problema 16 En la figura, el ĂĄngulo diedro formado por los Ě…Ě…Ě…Ě… = rectĂĄngulos ABCD y ABEF mide 60°, đ??ˇđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 2đ?‘š y đ??´đ??š = đ??´đ??ˇ = 1đ?‘š. Hallar đ??šđ??ś .
E F
B
C
A A) √6 m D) 3 m
D B) √5 m E) 3,5 m
C) 4 m
Problema 17 Ě…Ě…Ě…Ě… es perpendicular al plano El segmento đ?‘ƒđ??ľ que contiene al rectĂĄngulo ABCD, si Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ = Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 3đ??śđ??ˇ, đ?‘ƒđ??ľ = 1đ?‘š đ?‘Ś đ??ľđ??ˇ = 10đ?‘š. Hallar la Ě…Ě…Ě…Ě… – đ??ľ. medida del diedro đ?‘ƒ – đ??´đ??ś A) 18°30´ D) 26°30´
B) 15° E) 37°
C) 30°
Problema 18 Dos rectĂĄngulos ABCD y ABEF son congruentes y los planos que los contienen forman un ĂĄngulo diedro cuya medida es Ě…Ě…Ě…Ě…=4đ?œ‡, đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… =1đ?œ‡. Calcule CF (en đ?œ‡ ) 60°. Si đ??´đ??ľ A) √19 D) 3
B) √17 E) 4
C) √21
Problema 19 Se tiene un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, AB= 15đ?œ‡, BC= 20đ?œ‡, AC= 25đ?œ‡ por un punto P exterior al plano ABC. Se construye diedros congruentes AB, BC y AC. Si la distancia de P al plano mide 12đ?œ‡. Halle la distancia de P al Ě…Ě…Ě…Ě… . lado đ??´đ??ś A) 13đ?œ‡ D) 18đ?œ‡
B) 15đ?œ‡ E) 16đ?œ‡
C) 14đ?œ‡
Problema 20 Ě…Ě…Ě…Ě… = Sea el triĂĄngulo ABC recto en B tal que đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = 8, F es un punto exterior al plano 6, đ??ľđ??ś que contiene al triĂĄngulo, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??´ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??ľ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??ś = 13. Halle la medida del ĂĄngulo diedro
formado por los planos que contiene a los triĂĄngulos FBC y ABC. A) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” 4 D) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” 7
B) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” 5 E) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” 8
C) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” 6
Problema 21 Un cuadrado ABCD, una semicircunferencia Ě…Ě…Ě…Ě… y un triĂĄngulo PBC estĂĄn de diĂĄmetro đ??´đ??ľ contenidos en planos perpendiculares entre sĂ y en un mismo semiespacio. Halle la distancia del punto P hacia el punto medio Ě‚ , sabiendo que đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = 2đ?‘?đ?‘š. del arco đ??´đ??ľ A) √6 − 2√2 D) √6 − √3
B) √3√3 − 1 C) √6 − 2√3 E) √6 − √2
Problema 22 Ě…Ě…Ě…Ě… = En un triĂĄngulo AOB recto en O, đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = 4đ?œ‡. Si đ?‘‚đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… es perpendicular al plano 2đ??´đ?‘‚ del triĂĄngulo rectĂĄngulo AOB y m (diedro O – Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. AB – M)=60°, calcule đ?‘‚đ?‘€ A) 3/2đ?œ‡ D) (√3/2)đ?œ‡
B) 3đ?œ‡ E) 2đ?œ‡
C) √3đ?œ‡
Problema 23 Un cuadrado ABCD y un triĂĄngulo equilĂĄtero ABF estĂĄn contenidos en planos que forman un ĂĄngulo diedro de 120°. Sea M el punto Ě…Ě…Ě…Ě…. Si medio de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??ľ y N el punto medio de đ??śđ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. AB=4đ?œ‡. Calcular đ?‘€đ?‘ A) 2√5 − √3 D) 2√3
B) 2√5 + √3 C) 2√3 + √2 E) 2√3 − √3
Problema 24 En un plano H estĂĄ contenido una circunferencia C de 2 cm de radio. Un diĂĄmetro AB de C esta sobre una recta L lo que determina los semiplanos đ??ť1 đ?‘Ś đ??ť2 . Un semiplano đ??ť3 que contiene a L determina con đ??ť2 un ĂĄngulo diedro. En đ??ť3 estĂĄ contenida una semicircunferencia de diĂĄmetro AB y en đ??ť1 sobre un arco de C se Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ≅ đ?‘€đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Si F pertenece a ubica M tal que đ??´đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě… ≅ la semicircunferencia de đ??ť3 tal que đ??´đ??š Ě…Ě…Ě…Ě… y đ?‘€đ??š Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = 2√3, calcular la medida del đ??šđ??ľ diedro determinado por đ??ť2 đ?‘Ś đ??ť3 .
A) 75° D) 45°
B) 60° E) 30°
C) 50°
Problema 23 Se tienen dos cuadrados congruentes de lado 2t, ABCD y ABEF formando un ĂĄngulo diedro de medida 120°; halle la longitud de la proyecciĂłn del segmento que une el punto medio de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š y el punto C sobre el plano del cuadrado ABCD. A) √3đ?‘Ą D) √13đ?‘Ą
B) √10đ?‘Ą E) √11đ?‘Ą
C) 3√2đ?‘Ą
Problema 24 Se tiene los triĂĄngulos ABC y APC en semiplanos distintos, tales que la medida del ĂĄngulo diedro es 60°. Si đ?‘šâˆĄđ??´đ?‘ƒđ??ś = 90° y la Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = 4 đ?‘Ś đ??´đ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘ƒđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… , đ?‘šâˆĄđ??´đ??ľđ??ś = 30°, đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… halle đ?‘ƒđ??ľ. A) 2√2 D) 2√5
B) 2√3 E) 3√2
C) 4√3