IRREGULARES
PRISMAS, PIRAMIDES, PARALEPIPEDO
CUBO, OCTAEDRO, DODECAEDRO, ICOSAEDRO, TETRAEDRO
POLIEDROS
CUEPOS GEOMETRICOS
REGULARES
UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
CONO, ESFERA, CILINDRO
CUERPOS REDONDOS
PROFESOR: EDUARDO CANEO DONOSO
Algunos cuerpos ruedan
Pinta de un color los cuerpos que ruedan y de otro color los que no ruedan.
TE INVITO A DESARROLLAR ESTA GUÍA
Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro.
Corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.
CUERPOS GEOMETRICOS
Este cuerpo geométrico tiene 6 aristas, 3 aristas basales y 3 aristas laterales. Vértice Es el punto de intersección de 3 o más aristas.
Arista Es el segmento que se forma con la intersección de 2 caras. Hay aristas basales y aristas laterales
Los cuerpos poliedros se distinguen por tener todas sus superficies planas. En cualquier cuerpo poliedro podemos observar 3 elementos básicos: caras, aristas y vértices. Caras Son las superficies planas que forman el poliedro; corresponden siempre a polígonos que se intersectan entre sí, separando interior y exterior del cuerpo. En un poliedro encontramos caras basales y caras laterales. Se llaman caras basales a aquellas superficies que sirven de base al apoyar un cuerpo en un plano. Las caras laterales quedan en dirección oblicua o perpendicular a una cara basal. El número de caras laterales depende del polígono que actúa como base. Este cuerpo geométrico tiene 6 caras: 2 basales y 4 laterales.
LOS POLIEDROS
4 4 6 3 3
N° de vértices
N° de aristas
N° de lados de cada cara
N° aristas concurrentes en un vértice
3
4
12
8
6
6 caras (cuadrados)
4 caras (triángulos equiláteros)
N° de caras
Hexaedro (cubo)
Tetraedro
4
3
12
6
8
8 caras (triángulos equiláteros)
Octaedro
3
5
30
20
12
12 caras (pentágonos regulares)
Dodecaedro
5
3
30
12
20
20 caras (triángulos equiláteros)
Icosaedro
Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.
Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.
LOS POLIEDROS REGULARES
Arma el cubo pegando las pestañas a las caras correspondientes.
Dobla las pestañas y las aristas.
Recorta, con precisión, la siguiente figura siguiendo su borde exterior.
Pinta o completa con dibujos a tu gusto cada cara de la figura.
Armando el Cubo
Hexaedro regular: (cubo): está formado por 6 cuadrados.
Arma pegando las pestañas a las caras correspondientes.
Dobla las pestañas y las aristas.
Recorta, con precisión, la siguiente figura siguiendo su borde exterior.
Pinta o completa con dibujos a tu gusto cada cara de la figura.
Armando el Octaedro
Octaedro regular: está formado por 8 triángulos equiláteros.
Arma pegando las pestaĂąas a las caras correspondientes.
Dobla las pestaĂąas y las aristas.
Recorta, con precisiĂłn, la siguiente figura siguiendo su borde exterior.
Pinta o completa con dibujos a tu gusto cada cara de la figura.
Armando el Dodecaedro
Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales.
Recorta, con precisiรณn, la siguiente figura siguiendo su borde exterior.
Pinta o completa con dibujos a tu gusto cada cara de la figura.
Armando el Icosaedro
Icosaedro regular: estรก constituida por 20 triรกngulos equilรกteros.
Recorta, con precisión, la siguiente figura siguiendo su borde exterior.
Pinta o completa con dibujos a tu gusto cada cara de la figura.
Armando el Tetraedro
Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares.
Arma pegando las pestañas a las caras correspondientes.
Dobla las pestañas y las aristas.
LOS POLIEDROS IRREGULARES
Son aquellos que no tienen sus caras como polígonos regulares ni sus ángulos poliedros iguales.
Arma el tetraedro pegando las pestañas a las caras correspondientes.
Dobla las pestañas y las aristas.
Paralelepípedos
Este tipo de cuerpo tiene, en general, dos caras horizontales (bases inferior y superior, o piso y techo) rectangulares, cuatro caras laterales (paredes planas) verticales, paralelas entre sí y
Consideremos una caja, como las de jugo, de leche o de zapatos (con la tapa puesta), por ejemplo.
Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice.
Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos.
Supongamos que este cuerpo ha sido construido con un mazo de cartas dispuestas horizontalmente unas sobre las otras. Tomemos ahora ese mismo mazo de cartas y deformémoslo, deslizando horizontalmente las cartas, para formar el paralelepípedo de vértices A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, y J’, como se muestra en la figura de abajo.
Como se aprecia fácilmente, en algunos casos, los ejemplos también podrían incluir una habitación como un dormitorio o una sala de clases si cumplen con la definición precedente. Hay, por supuesto, habitaciones de este tipo con formas irregulares que no satisfacen los criterios de la definición.
Este cuerpo, como el de vértices A, B, C, D, E, F, G, y J, ilustrado más abajo, se llama paralelepípedo recto rectangular, ya quetodas sus caras opuestas son rectangulares y paralelas. Sus caras laterales son verticales y forman ángulos rectos con las bases. Las esquinas se llaman vértices y los segmentos de rectas AB, DC, EF, JG, AD, BC, EJ, FG, AE, DJ, BF, y CG, en las que se encuentran dos caras adyacentes se llaman aristas.
perpendiculares a las bases.
Los paralelepípedos pueden ser rectos u oblicuos dependiendo si las caras laterales son perpendiculares o no a las bases. En los paralelepípedos rectos todas las aristas laterales son perpendiculares a las bases. El volumen Vparalelepípedo de un paralelepípedo es el producto del área de su base b por su altura H (que es igual a la distancia entre sus bases que, en el caso de un paralelepípedo recto, coincide con la longitud de sus aristas laterales)
Un paralelepípedo es, en general, un cuerpo que tiene seis caras que son paralelogramos. Las caras opuestas son paralelas e idénticas entre sí (congruentes). Normalmente se orienta de modo que dos de sus caras paralelas sean horizontales y a estas caras se les llama bases. Es el análogo tridimensional del paralelogramo, que es una figura bidimensional.
Este nuevo cuerpo es también un paralelepípedo (sus caras opuestas son paralelogramos paralelos) pero no es recto (puede ser llamado oblicuo) porque sus caras laterales no son verticales. Sus bases inferior y superior siguen siendo rectangulares, pero algunas de sus caras laterales son paralelogramos, pero no rectángulos.
Las caras de un poliedro pueden ser basales o laterales. Las caras basales son las que se apoyan en un plano.
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Por ejemplo: un tarro de café es un cuerpo poliedro.
Imágenes
Cuerpo geométrico es aquel que ocupa un lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos se clasifican en regulares e irregulares. Los cuerpos geométricos regulares tienen 3 dimensiones y en ellos pueden medirse largo, ancho y alto. Dentro del conjunto de los cuerpos geométricos regulares encontramos 2 subconjuntos: cuerpos poliedros y cuerpos redondos. Los cuerpos poliedros tienen todas sus caras planas. Por ejemplo: una caja de remedios es un cuerpo poliedro.
¿Qué son los cuerpos redondos?
CUERPOS REDONDOS
Observa los elementos del cono recto en este esquema.
Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo. Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB). Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono. Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
En el dibujo anterior, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Elementos
Otra forma más sencilla de determinar la formación de un cono es decir que se genera al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
RED DE UN CONO
Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una recta oblicua desde un punto fijo del eje. A ese punto se le llama cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo de una circunferencia -directriz- que se encuentra en otro plano.
Cono
En el manto del cono, los radios son la generatriz, y el arco equivale al perímetro de la circunferencia basal.
- Llamamos sector circular a una parte del círculo formado por 2 radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos.
- La cara lateral o manto de un cono corresponde a un sector circular.
Red del cono: Al abrir un cono obtenemos su red, es decir, la plantilla dibujada en un mismo plano para poder construirlo.
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.
Tipos
Concluyendo: el cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.
Observa los elementos del cilindro en este esquema:
Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
Por medio del dibujo anterior, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son: Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
Elementos
Nuevamente obtendremos, de forma más sencilla, la formación de un cilindro recto. Haremos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
RED DE UN CILINDRO
Este cuerpo redondo se forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias congruentes ubicadas en planos paralelos.
Cilindro
Puedes observar que en esta red se nos forma un rectĂĄngulo para la cara lateral, cuyos lados son el perĂmetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.
Al abrir un cilindro y colocar todas las caras en un mismo plano, obtenemos su red. AsĂ:
Red
Resumiendo: el cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.
RED DE UNA ESFERA
Observa los elementos en este esquema:
Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.
Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.
Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:
Elementos
Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro.
Esfera
Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esféricos.
Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.
Cortes
Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.
La esfera tiene una sola cara curva.
Pinta, con colores diferentes, una cara, una arista y un vĂŠrtice en cada poliedro.
Coloca el nombre de cada cuerpo geomĂŠtrico
Nombrar y pintar
ACTIVIDADES
Cerrar, tapar y/o pintar las cajas recolectadas.
Clasifica libremente el material recolectado y explican los criterios utilizados para hacer la clasificaci贸n. Comparar y comentar criterios de clasificaci贸n dados por otros grupos y, en conjunto, determinar aquellos que son mas confiables.
1. Recolecta envases tipo caja de diferentes formas y tama帽os, en los cuales todas sus caras son planas.
ENVASES TIPO CAJA
Trae a la clase fotos, dibujos y objetos. Efectuar intercambios del material recolectado y conversar libremente sobre ellos: sus semejanzas y diferencias.
Dibuja en hojas blancas las caras de cada uno de ellos y escribe tus conclusiones en cuanto a formas y cantidad. Establece asociaciones entre las caras en cuanto a forma y cantidad.Por ejemplo, en un mismo cuerpo: cuántas caras son cuadradas. Elaboran una tabla para registrar los datos obtenidos. Por ejemplo:
Redacta algunas semejanzas y diferencias entre prismas y pirámides.
¿cuáles no tienen ninguna cara triangular?
¿cuáles tienen más de 2 caras triangulares?
¿cuál tiene más caras triangulares?
Analiza la tabla a partir de preguntas como las siguientes:
• • •
2. Escoge diferentes objetos, incluyendo prismas rectos y pirámides.
• •
1. Averigua sobre envases de productos, objetos, construcciones, etc. que tengan forma de prisma recto o de pirámide.
DIFERENCIANDO PRISMAS Y PIRÁMIDES
Juega a adivinar la caja que describe un compañero o compañera.
Forrar algunas cajas a su elección estimando previamente el tamaño y la forma del papel necesario para forrarlas.
Cuerpo Geométrico
Nombre
Aristas
Vertices
Identificando cuerpos geométricos Lados
Determina un viaje de 9 cm.
El viaje desde C hasta A pasando por B, E, G, H, y D es ________ cms.
El viaje desde H hasta B pasando por F, E, G y C es de _________ cms.
La suma de todas las aristas es __________ cms.
Si cada arista mide 2 cm.:
De A a G pasando por 7 aristas se pueden hacer _________ viajes.
De A a G pasando por 5 aristas se pueden hacer _________ viajes.
De A a G pasando por 4 aristas se pueden hacer _________ viajes.
De A a G pasando por 3 aristas se pueden hacer _________ viajes.
Observa el cubo y responde:
Viajando por el cubo
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