ÍNDICE 1. ¿QUÉ ES UNA INECUACIÓN? ………………………….3 2. HISTORIA DE LAS INECUACIONES …………………4 3. PARA QUÉ SIRVEN……………………………………………5 4. PROPIEDADES………………………………………………….6 5. RESOLUCIÓN DE DISTINTOS TIPOS ……..…… 10 6. EJERCICIOS…………………………………………………….17
¿QUÉ ES UNA INECUACIÓN?
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Las soluciones de las inecuaciones son conjuntos de números reales que verifican la inecuación y se representan en la recta real. Se da en intervalos numéricos y en representación gráfica.
HISTORIA DE LAS INECUACIONES.
Una de las obras más antiguas de la Matemática que se conocen fue elaborada en Egipto, hace unos 3.600 años. Ahí surgió el álgebra, una ciencia que mezcla los números con las letras. Una variante del álgebra son las inecuaciones.
¿PARA QUÉ SIRVEN LAS INECUACIONES? Una de las principales utilidades de las inecuaciones es su aplicación a los problemas de decisión: se trata de programar una situación con el objetivo de decidirse por una alternativa que sea óptima. En general, el proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según convenga al problema planteado.
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES
Los dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos
< menor que
2x − 1 < 7
≤ menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
> mayor que
2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x<3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. −x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5
LA SOLUCIÓN DE CUALQUIER INECUACIÓN
Consiste en determinar todo el conjunto de valores para los que es cierta la desigualdad. La resolución está sometida a las leyes elementales de la aritmética, como para las ecuaciones, y además a las propiedades de las desigualdades.
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:
1. Una representación gráfica. 2. Un intervalo. ejemplo (-∞, 4)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones 5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 6º Despejamos la incógnita. De forma grafica En un intervalo
[3, +∞)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolución inecuaciones 2º grado: x2 − 6x + 8 > 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado
Representamos los valores en la recta real, tomamos puntos intermedios y evaluamos su signo La solución esta compuesta por los intervalos que tengan el mismo signo que la inecuación S = (-∞, 2) u (4, ∞)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE DOS.
Se resuelve la ecuación polinómica sacando las soluciones. ( factor común, Ruffini,…) Se toman puntos intermedios de los intervalos resultantes. Se sustituyen dichos puntos en la inecuación, tomando como resultado aquellos intervalos que cumplen el signo de la inecuación.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS.
A la derecha de la desigualdad hay que conseguir que aparezca el cero. La parte de la izquierda de la inecuación tiene que estar en una única fracción. Se resuelve el numerador por un lado y el denominador por otro, igualando a cero. Se coloca en la recta real las soluciones del numerador y del denominador. NOTA.1.: Nunca se quita el denominador. NOTA.2.: Los resultados del denominador son siempre abiertos. Tomamos puntos intermedios en los intervalos y se sustituye en la inecuación para estudiar el signo.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON UNA INCÓGNITA - Se resuelven por separado y se representan en la recta real:
El resultado será allí donde coincidan: [−1, 3]
INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS.
Se despeja ‘’y’’ en la inecuación. Se dan valores y se dibuja la recta. Si en la desigualdad de la inecuación aparece la recta se dibuja continua, si no aparece ‘’ igual’’ la recta aparece discontinua. Coger un punto a un lado de la recta y sustituir en la inecuación.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES I
x 22 x 2x 2 8 x 4x 4 x 2 8 2
2
2
x2 4x 4 x2 4 8 x2 x2 4x 4 4 8 0 4x 0 x0 XE ,0
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES II. x 52 x 42 x 32 x 2 10 x 25 x 2 8 x 16 x 2 6 x 9 x 2 8x 0 x x 8 x1 0 x 8 0; x2 8
XE ,0 8,
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES III. x 3x x 3 0 x 1x 1x 3 3
2
x1 1 x2 1 x3 3
XE ,1 1,3
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES IV x2 4 0 x6 x2 4 0 x2 4 x 4 x2 x 2 x 6 0 x 6 XE 6,2 2,
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES V
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES VI.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES VII. 2 x y 3 y 2 x 3 y 2 x 3 x y 2 y x 2 y 2x 3 puntos : A 1,1B0,3C 1,5 y x 2 puntos : A 1,3B0,2C 1,1
AUTORES Paula Cecilia García Fernández Miguel García Sánchez Paula García Suárez Paula Pardo Campillo Nicolás Pascual González Natalia Rodríguez Muñíz