VECTORES 4ยบESO
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Indice 1.- IntroduccIón………………………….……. 3 2.-Definición……………………………….…….. 4 3.-Características ……………..…………. 4 4.-coordenadas de un vector……..… 5 5.-Módulo de un vector….…..…………... 6 6.-Vectores unitarios ………..………..… 6 7.- Vectores equipolentes …………….. 6 8.- Vector libre …………………………….….7 9.- vector opuesto ……………………..…….7 10.-coordenadas polares ………….……7 11.-operacIones con vectores ………..8 12.- Base vectorIal ……………………….…9 13.-Combinación lIneal …………………..10 14.-vectores paralelos ………………..11 15.- vectores perpendIculares……..12 16.- producto escalar………………..…..13 17.- Ángulo de dos vectores……………14
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Introducción Magnitudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa, Temperatura, Presión, Densidad,… Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan a demás de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación, como por ejemplo las fuerzas, el movimiento,…
El vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial.
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Definición Un vector es un objeto matemático que vamos a representar mediante un segmento semidirigido donde tiene un punto de inicio que es el origen y un punto final llamado extremo.
Características importantes Origen o punto de aplicación: es el punto del plano desde el que parte el vector
Extremo: es el punto donde acaba el vector, coincidente con la punta de la flecha
Argumento: cuando se represente el vector en coordenadas, es el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas
DIRECCIÓN (Es la recta sobre la que se encuentra el vector)
SENTIDO (Me lo indica la flecha del vector, si es creciente o decreciente)
MODULO (Es la longitud del vector, siempre positiva)
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cOordenadas de un vector Sea A el punto origen de un vector y B el punto extremo , para hallar las coordenadas del vector se resta extremo menos origen y se denota
ď‚Ž
AB
=B-A
Sea el punto A(a1,a2), y el punto B(b1,b2) ď‚Ž
AB
=B-A=(b1,b2)-(a1,a2)=(b1-a1,b2-a2)
Las coordenadas de un vector me indican el movimiento que tengo que hacer desde el origen para llegar al extremo. La primera coordenada del vector me indica el movimiento, derecha si es positiva y negativa a la izquierda. La segunda coordenada del vector me indica si vamos hacia arriba o hacia abajo (positiva hacia arriba, negativa hacia abajo) (2,-4) (-3,1)
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Cálculo del módulo de un vector (Es la longitud del vector, siempre positivo) B
AB
=(a1, a2)
a1 2 + a 2 2
| AB |= A
Modulo de AB se representa con | AB |
Vectores unitarios Un vector es unitario si su módulo es 1.
Vectores equipolentes Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo (por tanto las coordenadas de los vectores tienen que ser iguales). B D
A C
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Vector libre Es el representante de todos los vectores fijos equipolentes entre sí. Se denota con letra minúscula,
a
Vector opuesto a uno dado Se dice que un vector es opuesto a un vector dado
u
si tiene las
mismas características que éste, menos el sentido, que es el opuesto.
Coordenadas cartesianas y polares de un vector
a
=(xA, yA)cartesianas
k=| a |= xA2 + yA2
Kα , polares
YA XA
arctg
(argumento)
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Suma o resta de dos o más vectores Para sumar o restar vectores se suman las primeras coordenadas con las primeras y las segundas con las segundas. El vector resultante de este procedimiento es el vector suma (o resta) de
a
y b , que denotaremos por
a
b
(-1,4)+(2,1) = (1,5)
a b
a b
a b .
= (-1,4)-(2,1) = (-3,3)
Producto de un vector por un escalar Para multiplicar un vector
a
por un número real k, se construye un
nuevo vector que tenga: (1)
la misma dirección que
(2)
módulo
k
a
veces mayor que el de
a,
siendo
k
el valor
absoluto del número k (3)
sentido igual que el de a , si k > 0; opuesto al de a , si k < 0.
Sea
a
=(a1, a2),
Ka
= K(a1, a2)= (ka1, ka2) 8
Base vectorial. Componentes de un vector Consideremos una pareja de vectores, llamados
i
y
j
que
cumplan las condiciones siguientes: i j 1
(1)
los dos vectores son unitarios, es decir,
(2)
los vectores son perpendiculares entre sí, para que sus
direcciones coincidan con las de los ejes cartesianos y sus sentidos indiquen los semiejes positivos A dicha pareja de vectores se la llama base vectorial.
Una “base” es algo sobre lo que se construye otra cosa más compleja. Vamos a utilizar la base
i , j para construir cualquier otro vector.
El vector
v xi yj
v xi yj =x (1,0)+
se puede escribir como
v ( x, y) .
y .(0,1)= (x ,0)+ (y, a2 )= (x , y )
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Combinación lineal de vectores
Se dice que '' a '' es combinación lineal de '' b '' y '' c '' si se puede
expresar '' a '' como suma o resta de dichos vectores.
'' a '' es combinación lineal de '' b '' y '' c '' si Эm, nєR/
a
= mb + nc
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
Ejemplo: El vector
, ¿se puede expresar como
combinación lineal de los vectores
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?
Vectores paralelos Dos vectores con la misma dirección diremos que son paralelos, independientemente de que tengan igual o diferente sentido, o igual o diferente módulo. Si consideramos dos vectores
y
con la misma dirección, por lo
tanto paralelos, y los situamos con el mismo origen, vemos que podemos pasar de un al otro multiplicando por un escalar: o
= k' . Recíprocamente, si
=k
o
=k
=k' , los dos vectores
tienen la misma dirección y son paralelos. Por lo tanto, la condición de paralelismo de vectores es que se verifique: =k
o
= k'
Es interesante darse cuenta de que los escalares k y k' son inversos uno del otro. Si las componentes de
y
son
=(a1,a2) y
=(b1,b2), entonces
la condición de paralelismo es: (a1,a2)=k(b1,b2) es decir: a1=kb1 a2=kb2 aislando la k de las dos igualdades anteriores e igualando el resultado, se obtiene la condición de paralelismo de dos vectores:
es decir, las componentes han de ser proporcionales. 11
EJEMPLO: Hallar el valor de “c” para que los vectores paralelos. = (-2,5) = - 2c = 15 ; c= -15/2 =(3,c)
y
sean
Vectores perpendiculares Dos vectores son perpendiculares cuando sus direcciones forman un ángulo recto. Si las componentes de
y
son
=(a1,a2) y
=(b1,b2), entonces
la condición de perpendicularidad es: (a1,a2)=k(-b2,b1) es decir: a1=-kb2 a2=kb1 aislando la k de las dos igualdades anteriores e igualando el resultado, se obtiene la condición de perpendicularidad de dos vectores:
a1·b1 + a2·b2 = 0
EJEMPLO: Hallar el valor de “c” para que los vectores perpendiculares. =(-2,5) +5c=0 =(3,c) -6+5c=0 5c=6 ; c=6/5
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y
sean
Vectores ortogonales Los vectores que son perpendiculares se llaman vectores ortogonales.
Vectores ortonormales Los vectores que son perpendiculares y unitarios se llaman vectores ortonormales.
Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
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NOTA: Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero. El ángulo que forman es de 90º, y el coseno de 90º es cero.
Propiedades del producto escalar 1-Conmutativa
2- Asociativa
3- Distributiva
4 - El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Ángulo que forman dos vectores El ángulo que forman dos vectores expresión:
Ejemplo
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y
viene dado por la
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