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Dérivation, convexité, Développements limités Sommaire I

Dérivabilité d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Dérivabilité à gauche ou à droite en un point . . . . . . . . . . . . . . I.3 Opérations sur les applications dérivables en un point . . . . . . . . . II Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Applications dérivables, applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . II.2 Extremums d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Monotonie des applications dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Opérations sur les applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . III.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Définitions équivalentes de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Régularité des applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Notion de développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.3 Opérations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Dérivabilité d’une fonction numérique

Dans tout ce chapitre, on considère des applications qui sont définies sur un intervalle I de IR non réduit à un point, et qui sont à valeurs dans IR.

I.1

Dérivabilité en un point

Définition (Nombre dérivé en un point) f (x) − f (a) On dit que f est dérivable en un point a de I si lim existe dans IR. x→a x−a df Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est notée f 0 (a), ou D(f )(a), ou (a). dx Interprétation géométrique Soient A = (a, f (a)) et M (x, f (x)) sur la courbe représentative Γ de f . f (x) − f (a) est le coefficient directeur de la corde AM . Le taux d’accroissement x−a Dire que f est dérivable en a, c’est dire que la corde AM possède une position limite non verticale ∆, de coefficient directeur f 0 (a), quand x tend vers a, c’est-à-dire quand M tend vers A sur Γ. On dit que ∆ est la tangente à Γ en son point d’abscisse a. Dire que f est dérivable en a, c’est donc dire que la courbe représentative Γ de f présente au point A(a, f (a)) une tangente ∆ non verticale. L’équation de ∆ est y = f (a) + (x − a)f 0 (a).

Proposition (Une autre définition de la dérivabilité) f est dérivable en un point a de I ⇔ il existe un réel ` et une application x 7→ ε(x) de I dans IR, vérifiant lim ε(x) = 0 et ε(a) = 0, et tels que : x→a

∀ x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)` + (x − a)ε(x) Le réel ` est alors égal à f 0 (a). La figure ci-dessus montre les quantités (x − a)f 0 (a) et (x − a)ε(x), relatives à un point M (x, f (x)) assez “éloigné” de A. Au voisinage de A, et si f 0 (a) 6= 0 (c’est-à-dire si la tangente ∆ n’est pas horizontale), alors (x − a)ε(x) est négligeable devant (x − a)f 0 (a). 2

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Remarques et exemples

f (a + h) − f (a) . h→0 h

– Une translation permet de se ramener à un calcul à l’origine : f 0 (a) = lim – Si f dérivable en a, f est continue en a. La réciproque est fausse.

Exemple : si f (0) = 0 et f (x) = x sin x1 si x 6= 0, f est continue mais non dérivable en 0. – Si f est constante sur I, alors : ∀ a ∈ I, f 0 (a) = 0. – Si f est l’application x 7→ xn (avec n ∈ IN∗ ) alors : ∀ a ∈ IR, f 0 (a) = nan−1 . – Pour tout a de IR, exp0 (a) = exp(a) et ln0 (a) = a1 . – Pout tout a de IR, sin0 (a) = cos(a) et cos0 (a) = − sin(a). Si a 6= π2 (π), alors tan0 (a) = 1 + tan2 (a).

I.2

Dérivabilité à gauche ou à droite en un point

On complète les définitions précédentes avec la notion de nombre dérivé à gauche ou à droite. Définition (Nombre dérivé à gauche) Soit a un point de I, distinct de l’extrémité gauche de I. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable à gauche en a si lim existe dans IR. x→a, x<a x−a Cette limite est appelée nombre dérivé à gauche de f en a et est notée fg0 (a). Définition (Nombre dérivé à droite) Soit a un point de I, distinct de l’extrémité droite de I. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable à droite en a si lim existe dans IR. x→a, x>a x−a Cette limite est appelée nombre dérivé à droite de f en a et est notée fd0 (a). Interprétation géométrique Dire que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a, c’est dire que la courbe Γ de f admet au point A(a, f (a)) une demi-tangente à droite (resp. à gauche) non verticale. Le coefficient directeur de cette demi-tangente est fd0 (a) (resp. fg0 (a).)

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Sur l’exemple de gauche, f est dérivable à gauche et à droite en a, avec fg0 (a) = −1 (demitangente oblique, parallèle à y = −x) et fd0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale.) Sur l’exemple de droite, on a fg0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale), mais f n’est pas dérivable à droite en a (il y a bien une demi-tangente mais elle est verticale). Remarques – Soit a un point de I qui ne soit pas une extrémité de I. f est dérivable en a ⇔elle est dérivable à gauche et à droite en a et fg0 (a) = fd0 (a). On a alors f 0 (a) = fg0 (a) = fd0 (a). – Si f dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (comme le montre l’exemple de x 7→ |x| en 0.) Si f est dérivable à gauche (resp. à droite) en a, elle y est continue à gauche (resp. à droite.) – Si f coı̈ncide en a et à droite de a avec une application g définie au voisinage de a et dérivable en a, alors f est dérivable à droite en a et fd0 (a) = g 0 (a) (remarque analogue à gauche de a.) Par exemple, si f est définie par f (x) = |x| + exp(x), elle coı̈ncide en 0 et à droite de 0 avec g(x) = x + exp(x) qui est telle que g 0 (0) = 2. De même f coı̈ncide en 0 et à gauche de 0 avec h(x) = −x+exp(x) qui est telle que h0 (0) = 0. On en déduit que f est dérivable à droite et à gauche en 0, avec fd0 (0) = 2 et fg0 (0) = 0.

I.3

Opérations sur les applications dérivables en un point

Proposition (Linéarité de la dérivation en un point) Soient f et g deux applications dérivables au point a. Pour tous scalaires α, β, l’application h = αf + βg est dérivable en a et h0 (a) = αf 0 (a) + βg 0 (a). Proposition (Produit d’applications dérivables en un point) Soient f et g deux applications dérivables en un point a. Alors l’application h = f g est dérivable en a et h0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a). Proposition (Dérivée de l’inverse) 1 g 0 (a) 0 Si g est dérivable en a, avec g(a) 6= 0, alors h = est dérivable en a, et h (a) = − 2 . g g (a) Supposons de plus que f soit dérivable en a. f 0 f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) f Alors est dérivable en a et (a) = . g g g 2 (a) Proposition (Composition et dérivation) Soit f : I → IR, une application dérivable en un point a de I. Soit J un intervalle contenant f (I) et non réduit à un point. Soit g : J → IR, une application dérivable au point b = f (a) de J. Alors g ◦ f est dérivable au point a et (g ◦ f4)0 (a) = f 0 (a)(g 0 ◦ f )(a). c EduKlub S.A. Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites.

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Proposition (Dérivation et bijection réciproque) Soit f : I → IR une application dérivable, strictement monotone. f est donc bijective de I sur un intervalle J. Soit a dans I tel que f 0 (a) 6= 0. 1 1 = 0 . Alors g = f −1 est dérivable en b = f (a) et g 0 (b) = 0 f (b) f ◦ f −1 (a)

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Dérivabilité sur un intervalle

II.1

Applications dérivables, applications de classe C1

Définition On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. L’application f 0 : I → IR qui à tout a associe f 0 (a) est appelée application dérivée de f . df Cette application est également notée Df ou . dx On note D(I, IR) l’ensemble des applications dérivables de I dans IR. Définition (Applications de classe C 1 ) On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et si f 0 est continue sur I. On note C 1 (I, IR) l’ensemble de ces applications. Opérations sur applications dérivables sur un intervalle I – Soient f et g deux applications dérivables sur l’intervalle I. Pour tous α, β dans IR, h = αf + βg est dérivable sur I et h0 = αf 0 + βg 0 . L’application f g est dérivable sur I et (f g)0 = f 0 g + f g 0 . f 0 f 0 g − f g 0 1 0 g0 = − 2 et = Si g ne s’annule pas sur I, alors g g g g2 – Soit f : I → IR et g : J → IR deux applications dérivables, avec f (I) ⊂ J. Alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f )0 = f 0 · (g 0 ◦ f ) – Soit f : I → IR une application dérivable, strictement monotone. L’application f réalise donc une bijection de I sur un intervalle J. Si f 0 ne s’annule pas sur I, alors g = f −1 est dérivable sur J et g 0 =

1 f 0 ◦ f −1

– Tous les résultats précédents s’énoncent à l’identique pour des applications de classe C 1 . Dérivation des fonctions trigonométriques inverses – La dérivée de x → sin x sur [− π2 , π2 ] est x → cos x, nulle en ± π2 . On en déduit : ∀ x ∈] − 1, 1[, arcsin0 x =

1 1 1 = =√ sin (arcsin x) cos(arcsin x) 1 − x2 0

– La dérivée de x → cos x sur [0, π] est x → sin x, nulle en x = 0 et x = π. On en déduit : ∀ x ∈] − 1, 1[, arccos0 x =

1 cos0 (arccos x)

−1 −1 =√ sin(arccos x) 1 − x2

– La dérivée de x → tan x sur ] − π2 , π2 [ est x → 1 + tan2 x, toujours non nulle. On en déduit : ∀ x ∈ IR, arctan0 x =

1 1 1 = = 2 tan (arctan x) 1 + tan (arctan x) 1 + x2 0

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Dérivation des fonctions puissances – Par récurrence sur n ≥ 1, on sait que (xn )0 = nxn−1 pour tout x de IR. 1 0 −nx−n−1 n 0 – Si n est un entier négatif, (x ) = = − = nxn−1 . x−n x−2n L’égalité (xα )0 = αxα−1 est donc vraie pour les exposants α de ZZ. √ – Soit f : x → n x, bijection réciproque de g : IR+ → IR+ définie par g(x) = xn . L’application g est dérivable sur IR+ et sa dérivée g 0 (x) = nxn−1 est non nulle sur IR+∗ . 1 1 1 1 −1 Ainsi f est dérivable sur IR+∗ et f 0 (x) = 0 √ = xn . n−1 = n n g ( x) nx n 1 La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est de la forme α = , où n ∈ IN∗ . n p 1 p p Si α = (p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ ), alors : (xα )0 = ((xp )1/q )0 = 1q (xp )0 (xp ) q −1 = q xp−1+ q −p = αxα−1 . q La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est un rationnel. – Dans le cas d’un exposant α quelconque, en particulier non rationnel : α α ∀ x > 0, (xα )0 = (exp(α ln x))0 = exp(α ln x) = xα = αxα−1 x x

II.2

Extremums d’une fonction dérivable

Proposition Soit f : I → IR une application dérivable. Soit a un point intérieur à I. Si f possède un extrémum local en a, alors f 0 (a) = 0. Remarques – La réciproque est fausse : si f (x) = x3 , f 0 (0) = 0 mais f n’a pas d’extrémum en 0. – En fait, les extrémums locaux d’une application f sur un intervalle I doivent être recherchés parmi les points où f n’est pas dérivable, parmi les extrémités de I, et parmi les points intérieurs à I où f est dérivable de dérivée nulle. – Le graphe ci-dessous montre quelques cas possibles :

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II.3

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Rolle et accroissements finis

Théorème (Théorème de Rolle) Soit f : [a, b] → IR une application définie sur le segment [a, b], avec a < b, à valeurs réelles. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et que f (a) = f (b). Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Théorème (Egalité des accroissements finis) Soit f : [a, b] → IR une application définie sur le segment [a, b], avec a < b, à valeurs réelles. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c). Propriétés et remarques – Il n’y a pas nécessairement unicité du point c de ]a, b[ qui figure dans les deux théorèmes. – Soit f : [a, b] → IR une application continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ (a < b). On suppose que : ∀ x ∈]a, b[, m ≤ f 0 (x) ≤ M . Alors m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a). – Si f est de classe C 1 sur [a, b], alors |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|, avec M = sup |f 0 (x)|. x∈[a,b] – On peut aussi écrire, en posant b = a + h : Soit f une application continue sur [a, a + h] et dérivable sur ]a, a + h[. Alors il existe θ dans ]0, 1[ tel que : f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh). Dans cette version du “TAF”, le signe de h est quelconque (si f est dérivable sur un voisiange de a) et on peut considérer θ comme une fonction de h. Interprétation géométrique Soit Γ la courbe de f . Soient A, B les points d’abscisse a, b de Γ. Avec les hypothèses du théorème de Rolle, il y a un point de Γ où la tangente est horizontale. Avec les hypothèses du théorème des accroissements finis, il existe un point de Γ où la tangente est parallèle à la corde AB.

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Proposition (Caractérisation des applications lipschitziennes) Soit f une application continue de I dans IR, dérivable sur l’intérieur de I. f est k-lipschitzienne sur I ⇔ pour tout x de I, |f 0 (x)| ≤ k. Proposition (Prolongement d’une application de classe C 1 ) Soit f une application continue de [a, b[ dans IR, de classe C 1 sur ]a, b[. On suppose que f 0 possède une limite finie ` en a à droite. Alors f est de classe C 1 sur [a, b[, avec f 0 (a) = `. On a bien sûr un résultat analogue au point b. Remarque Soit f : [a, b] → IR, continue sur [a, b[, de classe C 1 sur ]a, b[. On suppose que lim+ f 0 (x) = ∞. x→a

Alors la courbe représentative de f admet au point (a, f (a)) une demi-tangente verticale.

II.4

Monotonie des applications dérivables

Proposition (Caractérisation des applications constantes) Toute application constante f de I dans IR est dérivable sur I et ∀ x ∈ I, f 0 (x) = 0. Réciproquement, si f est continue sur I, dérivable sur l’intérieur de I et si f 0 est l’application nulle, alors f est constante sur I. Proposition (Caractérisation des applications monotones) Soit f : I → IR une application dérivable. – L’application f est croissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0. – L’application f est décroissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0. Proposition (Caractérisation des applications strictement monotones) Soit f : I → IR une application dérivable et monotone. L’application f est strictement monotone sur I si et seulement si sa dérivée f 0 n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle de I d’intérieur non vide (ou encore si et seulement si f 0 ne s’annule qu’en des points isolés de I.) Proposition (Applications ayant la même dérivée) Soient f, g : I → IR, dérivables sur I. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : – Pour tout x de I, on a f 0 (x) = g 0 (x). – Il existe une constante λ telle que : ∀x ∈ I, g(x) = f (x) + λ. Remarque Tout ce qui découle de Rolle est valable sur un intervalle, et pas sur une réunion d’intervalles. Par exemple, si f (x) = x1 alors f 0 (x) = − x12 < 0 sur IR∗ , mais f n’est pas monotone sur IR∗ . De même, si deux applications dérivables sur IR∗ vérifient f 0 = g 0 sur IR∗ , alors elles diffèrent d’une constante λ sur IR−∗ et d’une constante µ sur IR+∗ . 9

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III

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Applications de classe Ck

On rappelle que I désigne un intervalle de IR non réduit à un point.

III.1

Dérivées successives

Définition (Applications n fois dérivables sur un intervalle) Soit f une application de I dans IR. On pose f (0) = f . On suppose que l’application f (n−1) existe et est dérivable de I dans IR. On définit alors l’application f (n) = (f (n−1) )0 . Si l’application f (n) : I → IR existe, on dit que f est n fois dérivable sur l’intervalle I, et f (n) est appelée application dérivée n-ième de f sur I. dn f L’application f (n) est peut également être notée Dn f ou encore . d xn Remarques – On note souvent f 00 et f 000 les applications dérivée seconde et dérivée troisième de f . – Nombre dérivé n-ième en un point : Soit f une application de I dans IR, a un point de I et n un entier naturel. On dit que f est n fois dérivable en a si f est n − 1 fois dérivable sur un voisinage de a et si f (n−1) est dérivable en a. On note encore f (n) (a) cette dérivée, appelée nombre dérivé n-ième de f au point a de I (il n’est pas nécessaire que f (n) existe sur I tout entier.) – Si f est n fois dérivable sur I, alors pour tout k de {0, . . . , n}, l’application f (k) est n − k fois dérivable sur I (et en particulier continue si k < n). Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors l’égalité : f (n) = (f (k) )(n−k) . Définition (Applications de classe C k ) Soit f une application de I dans IR, k fois dérivable. Si de plus l’application f (k) est continue sur I, on dit que f est de classe C k sur I. On note C k (I, IR) l’ensemble des applications de classe C k de I dans IR. On dit que f est de classe C ∞ sur I si f est k fois dérivable sur I pour tout entier naturel k (c’est-à-dire en fait si f est de classe C k pour tout k). On note C ∞ (I, IR) l’ensemble de ces applications. Remarques – C 0 (I, IR) désigne l’ensemble des applications continues de I dans IR. On a les inclusions C 0 (I, IR) ⊃ C 1 (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C k (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C ∞ (I, IR). \ De même on a : C ∞ (I, IR) = C k (I, IR). k∈IN

– On dit souvent d’une application de classe C k qu’elle est k fois continûment dérivable. – On a f (n) ≡ 0 sur I ⇔ f est une application polynomiale de degré ≤ n−1 sur I. 10

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III.2

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Opérations sur les applications de classe Ck

Dans les énoncés suivants, k est un élément de IN ∪ {+∞}. Les propriétés de ce paragraphe pourraient être énoncées de façon analogue en termes de fonctions k fois dérivables sur un intervalle I. Proposition (Combinaisons linéaires d’applications de classe C k ) Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR. Soient α, β deux réels. Alors αf + βg est de classe C k sur I et : (αf + βg)(k) = αf (k) + βg (k) . Proposition (Formule de Leibniz) Soit k un élément de IN ∪ {+∞}. Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR. k P Alors f g est de classe C k sur I et : (f g)(k) = C jk f (j) g(k−j) . j=0

Proposition (Inverse d’une application de classe C k ) 1 Si f : I → IR est de classe C k sur I et ne s’annule pas, alors est de classe C k sur I. f Proposition (Composition d’applications de classe C k ) Soit f une application de classe C k de I dans IR. Soit J un intervalle de IR, non réduit à un point et contenant f (I). Soit g une application de classe C k de J dans IR. Alors l’application g ◦ f est de classe C k de I dans IR. Proposition (Bijection réciproque d’une application de classe C k ) Soit f une application de classe C k de I dans IR. On suppose que f 0 (x) > 0 pour tout x de I, ou que f 0 (x) < 0 pour tout x de I. L’application f réalise donc une bijection de I sur un intervalle J. Dans ces condtions, la bijection réciproque f −1 est également de classe C k . Exemples d’applications de classe C ∞ – Les fonctions polynômiales sont de classe C ∞ sur IR. Il en est de même des fonctions rationnelles sur leur domaine de définition. – L’application x 7→ exp x est de classe C ∞ sur IR. L’application x 7→ ln x est de classe C ∞ sur IR+∗ . – De même les égalités sin0 = cos et cos0 = − sin montrent que les applications x 7→ sin x et x 7→ cos x sont de classe C ∞ sur IR. Il en découle que l’application x 7→ tan x est de classe C ∞ sur son domaine de définition. – Les applications x 7→ xα sont de classe C ∞ sur IR+∗ . – Les applications x 7→ ch x, x 7→ sh x et x 7→ th x sont de classe C ∞ sur IR. 11

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– Les applications x 7→ arcsin x, et x 7→ arccos x sont de classe C L’application x 7→ arctan x est de classe C ∞ sur IR.

∞

sur ] − 1, 1[.

– Les fonctions qui se déduisent des précédentes par somme, produit, quotient, puissance et composition sont de classe C ∞ sur leur domaine de définition.

III.3

Formules de Taylor

Proposition (formule de Taylor avec reste intégral) Soit f : [a, b] → IR une application de classe C n+1 . On a l’égalité : Z b n X (b − t)n (n+1) (b − a)k (k) f (a) + f (t) dt. f (b) = k! n! a k=0 | {z } Rn

Rn est appelé le reste intégral d’ordre n de la formule de Taylor de f sur [a, b]. Proposition (inégalité de Taylor-Lagrange) Soit f : I → IR une application de classe C n+1 . Soient a et b deux points de I. n X (b − a)k (k) |b − a|n+1 Alors : f (b) − f (a) ≤ M , où M = sup f (n+1) . k! (n + 1)! [a,b] k=0 Exemples – Pour n = 0, on retrouve l’inégalité des accroissements finis : |f (b) − f (a)| ≤ M1 |b − a| où M1 = sup |f 0 | [a,b]

Pour n = 1, on trouve : |f (b) − f (a) − (b − a)f 0 (a)| ≤ M2

(b − a)2 où M2 = sup |f 00 | 2! [a,b]

– Voici des exemples d’application de l’inégalité de Taylor-Lagrange aux fonctions t 7→ sin t et t 7→ cos t sur l’intervalle [0, x] : x3 |x|5 sin x − x + ≤ 3! 5!

|x|3 sin x − x ≤ 3! cos x − 1 ≤

x2 2!

cos x − 1 +

x2 x4 ≤ 2! 4!

x3 x5 |x|7 sin x − x + − ≤ 3! 5! 7! cos x − 1 +

x2 x4 x6 − ≤ 2! 4! 6!

– En posant h = b − a, l’inégalité de Taylor-Lagrange au rang n s’écrit : f (a + h) −

n X hk k=0

(k)

|h|n+1 (a) ≤ M , où M = sup f (n+1) (n + 1)! [a,a+h] 12

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Proposition (formule de Taylor-Young) Soit f une application de classe C n de I dans IR, et soit a un point de I. Alors il existe une application ε définie sur I, telle que : n X (x − a)k (k) f (a) + (x − a)n ε(x), avec lim ε(x) = 0. ∀ x ∈ I, f (x) = x→a k! k=0

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Applications convexes

IV.1

Définitions équivalentes de la convexité

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Comme d’habitude, I désigne un intervalle de IR non vide et non réduit à un point. Définition (application convexe) Une application f : I → IR est dite convexe si : ∀ (a, b) ∈ I 2 , ∀ λ ∈ [0, 1], f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b). Interprétation géométrique Sur le schéma ci-dessous, on a fait figurer deux points A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)) de la courbe Γ de f , ainsi que les points Mλ et Nλ d’abscisse xλ = λa + (1 − λ)b et d’ordonnées respectives f (xλ ) et λf (a) + (1 − λ)f (b). La convexité de f signifie que pour tout λ de [0, 1], l’ordonnée de Mλ est inférieure ou égale à celle de Nλ . Or quand λ décrit [0, 1], le point Mλ décrit l’arc (AB) de la courbe Γ, alors que le point Nλ (qui est le barycentre de A et B affectés des poids respectifs λ et 1 − λ) parcourt la corde [AB] :

Dire que l’application f est convexe sur I, c’est donc dire que pour tous points A(a, f (a)) et B(b, f (b)) de la courbe Γ de f , la corde [AB] est “au-dessus” de l’arc (AB) de Γ. Exemples et remarques – Une application f : I → IR est dite concave si l’application −f est convexe. Dans toute la suite de cette section on considérera surtout des applications convexes, les propriétés des applications concaves s’en déduisant de manière évidente. – L’application x 7→| x| est convexe sur IR car | λa + (1 − λ)b | ≤ λ | a | +(1 − λ) | b | – Les fonctions affines f : x 7→ αx + β sont à la fois convexes et concaves sur IR, car elles vérifient en effet f (λa + (1 − λ)b) = λf (a) + (1 − λ)f (b). Réciproquement si une application est à la fois convexe et concave alors elle est affine (sa courbe représentative est une droite.) 14

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– Soient f1 , f2 , . . . , fn des applications convexes, et α1 , . . . , αn des réels ≥ 0. Alors l’application g = α1 f1 + α2 f2 + · · · + αn fn est convexe. Définition (partie convexe du plan) Soit Ω une partie non vide du plan IR2 . On dit que Ω est une partie convexe si, pour tous points M, N de Ω, le segment [M, N ] est inclus dans Ω. Proposition (caractérisation par la convexité de l’épigraphe) Soit f : I → IR une application. L’ensemble Ω = {(x, y) ∈ IR2 , y ≥ f (x)} est appelé épigraphe de f sur I. L’application f est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de IR2 . On a représenté ici l’épigraphe Ω d’une application convexe f , deux points A et B de cet épigraphe, et le segment qui les joint, tout entier inclus dans Ω.

Remarque : f est concave sur I ⇔ la partie située sous la courbe y = f (x) est convexe. Proposition (une autre caractérisation de la convexité) Une application f : I → IR est convexe si et seulement si : f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b) Pour tout a < b < c de I, ≤ ≤ b−a c−a c−b Le schéma ci-dessous illustre la propriété précédente : l’application f est convexe si et seulement si, pour tous points A, B, C de la courbe Γ (avec a < b < c), alors la pente de la corde [AB] est inférieure à celle de la corde [AC], elle même inférieure à la pente de la corde [BC].

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Proposition (encore une caractérisation de la convexité) Une application f : I → IR est convexe si et seulement si, pour tout a de I, l’application f (x) − f (a) Ta définie sur I \ {a} par Ta (x) = est croissante. x−a

IV.2

Régularité des applications convexes

Proposition (dérivabilité à gauche et à droite) Soit f : I → IR une application convexe. Soit a un point intérieur à I. Alors f est dérivable à droite et à gauche au point a, et fg0 (a) ≤ fd0 (a). De plus les applications fg0 et fd0 sont croissantes sur l’intérieur de I. Proposition (continuité des applications convexes) Soit f : I → IR une application convexe. Alors f est continue en tout point intérieur à I. Un contre-exemple Une application convexe sur un intervalle I peut ne pas être continue aux extrémités de I. f (0) = f (1) = 1 On le voit bien avec l’application f définie sur [0, 1] par f (x) = 0 si x ∈]0, 1[ Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée première) Soit f une application dérivable de I dans IR. Alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante sur I. Proposition (Tangente à la courbe d’une application convexe) Soit f une application dérivable et convexe de I dans IR. Alors pour tout a de I, on a : ∀ x ∈ I, f (x) ≥ f (a) + (x − a)f 0 (a). Interprétation géométrique La courbe représentative de f est, sur tout l’intervalle I, située “au-dessus” de n’importe laquelle de ses tangentes. On a en fait un résultat plus général. On sait en effet qu’une application convexe sur I est dérivable à droite et à gauche en tout point intérieur à I. La courbe y = f (x) est alors partout au-dessus de chacune de ses demi-tangentes à gauche ou à droite.

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Pour les applications concaves – Une application concave sur I est continue en tous les points intérieurs à I. – Si f est dérivable, f est concave⇔ f 0 est décroissante. – Si f est dérivable et concave, la courbe y = f (x) est partout en dessous de ses tangentes. Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) Soit f une application deux fois dérivable de I dans IR. Alors f est convexe si et seulement si f 00 (x) ≥ 0 pour tout x de I. Propriétés et remarques – Une application f : I → IR deux fois dérivable est concave sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 00 (x) ≤ 0. – L’application x 7→ ex est convexe sur IR. L’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ . – Les applications x 7→ ax sont convexes sur IR. L’application x 7→ xα est concave si α ∈ [0, 1] et convexe si α ∈ IR− ∪ [1, +∞[. – L’application x 7→ sin x est concave sur [0, π2 ]. Il en découle : ∀ x ∈ [0, π2 ], π2 x ≤ sin x ≤ x. – Soit f : I → IR une application deux fois dérivable. Soit a un point intérieur à I. On suppose que f 00 s’annule et change de signe au point a. Il y a donc un changement de concavité en a : la courbe y = f (x) “traverse” sa tangente. On dit que le point A(a, f (a)) est un point d’inflexion.

IV.3

Inégalités de convexité

Proposition Soit f : I → IR une application convexe. Soit x1 , x2 , . . . , xn une famille de n points de I. n P On se donne également n scalaires λk de [0, 1] tels que λk = 1. k=1 P P n n Alors on a l’inégalité f λk x k ≤ λk f (xk ). k=1

k=1

Remarques et exemples – Un cas particulier classique est celui où les λk sont tous égaux à n1 . P n n P 1 On obtient alors f n xk ≤ n1 f (xk ). n n P P k=1 k=1 λk f (xk ) λk x k k=1 k=1 – Si les λk sont ≥ 0 et non tous nuls, on peut écrire : f ≤ . n n P P λk λk k=1 – Si f est concave, les inégalités sont dans l’autre sens. k=1 Par exemple, l’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ . 17

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P n n P On en déduit que pour tous x1 , x2 , . . . , xn de IR+∗ , on a : ln n1 xk ≥ n1 ln(xk ). k=1 k=1 Q 1/n n n 1 P On en déduit n xk ≥ xk en prenant l’exponentielle membre à membre. k=1

k=1

La moyenne arithmétique des xk est donc supérieure ou égale à leur moyenne géométrique. – Des arguments de convexité permettent de démontrer l’inégalité de Minkowski : P 1/p P 1/p P 1/p n n n Pour tous xk , yk dans IR+∗ et p > 1, on a : (xk + yk )p ≤ xpk + ykp k=1

k=1

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Développements limités

V.1

Notion de développement limité

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Définition Soit f : I → IR une application, et soit x0 un réel élément ou extrémité de I. Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre n en x0 s’il existe des réels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x) tels que : n P ∀ x ∈ I, f (x) = ak (x − x0 )k + (x − x0 )n ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→x0

k=0

Avec les notations de Landau, cela peut s’écrire : f (x) =

n P

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k=0

Proposition (unicité du développement limité) Soit f une application admettant un DL d’ordre n en x0 : f (x) =

n P

ak (x − x0 )k + o((x −

k=0

x0 )n ). Alors les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont définis de façon unique. n P Le polynôme P (x) = ak (x − x0 )k est appelé partie principale du développement limité. k=0

Troncature d’un développement limité – Supposons que f admette un DL d’ordre n en x0 . Soit p un entier naturel, p ≤ n. Alors f admet un DL d’ordre p en x0 , obtenu par troncature. Plus précisément : p n P P f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇒ f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )p ). k=0

k=0

Par exemple, si f (x) = 1 − x + 2x3 + x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 − x + 2x3 + o(x3 ). – Il arrive qu’on utilise les notations “O” de Landau dans un développement limité. Par exemple, si f (x) = 1 + 2x2 + x3 − x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 + 2x2 + x3 + O(x4 ). Cette dernière écriture contient un peu plus d’informations que f (x) = 1 + 2x2 + x3 + o(x3 ). DL et équivalents n P ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ). – On considère le développement f (x) = k=0

Si tous les ak sont nuls, alors f (x) est négligeable devant (x − x0 )n au voisinage de x0 . Sinon, et si m est l’indice minimum tel que am 6= 0, alors f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 . Inversement, si f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 , avec m ∈ IN, alors f (x) = am (x − x0 )m + o((x − x0 )m ). x2 x4 x2 x4 Par exemple : cos x = 1 − + + o(x4 ) ⇒ cos x − 1 + ∼ en 0. 2! 4! 2! 4! – Dans la pratique, on utilisera souvent les équivalents dans les recherches de limites, et les développements limités lorsqu’on cherche plus de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport à celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes.) 19

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DL à gauche ou à droite en un point Soit f : I → IR une application définie au voisinage d’un point x0 . Il arrivera que seule la restriction de f à I∩]a, +∞[ ou à I∩] − ∞, a[ possède un DL en x0 . On parlera dans ce cas de développement limité à droite ou à gauche en x0 . Définition (développement limité au voisinage de ±∞) Soit f : I → IR une application définie au voisinage de +∞ (ou de −∞.) Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre n en +∞ (resp. en −∞) s’il existe des réels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x) n a P ε(x) k tels que : ∀ x ∈ I, f (x) = + n , avec lim ε(x) = 0. k x→∞ x k=0 x 1 n a P k Avec les notations de Landau, cela peut s’écrire : f (x) = . + o k xn k=0 x Remarque Tant pour les DL à droite où à gauche que pour les DL en ±∞, on dispose de propriétés analogues à celles qui ont déjà été vues (unicité, troncature, équivalents, etc.) Importance des développements à l’origine – f a un DL d’ordre n en x0 ⇔ g : x 7→ g(x) = f (x0 + x) a un DL d’ordre n en 0. n n P P Plus précisément : f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇔ g(x) = ak xk + o(xn ). k=0

k=0

– De même, f a un DL d’ordre n en ±∞ ⇔ h : x 7→ h x1 a un DL d’ordre n en 0. 1 n n a P P k Plus précisément : f (x) = + o ⇔ h(x) = ak xk + o(xn ). k n x x k=0 k=0 – Ces deux remarques, et le fait que les calculs y sont plus simples, font que les DL sont généralement formés à l’origine (c’est d’ailleurs le cas des DL usuels.) DL et continuité, DL et dérivabilité – Dire que f admet un DL f (x) = a0 + o(1) d’ordre 0 en x0 , c’est dire que f est continue (ou prolongeable par continuité) en x0 . Ce développement s’écrit nécessairement f (x) = f (x0 ) + o(1). – Dire que que f admet un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ) d’ordre 1 en x0 , c’est dire que f est dérivable (après prolongement éventuel en x0 ). Ce développement s’écrit nécessairement f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ). – En revanche un DL d’ordre n ≥ 2 en x0 n’implique pas que f soit deux fois dérivable en x0 . Un contre-exemple est donné par l’application f : x 7→ x3 sin x1 en 0. – Si f est de classe C n de I dans IR, et si x0 appartient à I, alors l’égalité de Taylor-Young prouve l’existence du DL de f en x0 à l’ordre n. Ce DL s’écrit : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) 2! n! 20

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Placement par rapport à une tangente ou à une asymptote – On suppose que f admet un DL d’ordre n ≥ 3 en x0 : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n )). On sait que cela implique la dérivabilité de f en x0 , avec f (x0 ) = a0 et f 0 (x0 ) = a1 . L’équation de la tangente ∆ à la courbe y = f (x) en x = x0 est donc y = a0 + a1 (x − x0 ). Remarque : si le DL n’est valable qu’à gauche ou à droite de x0 , c’est une demi-tangente. Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0. Alors f (x) − a0 − a1 (x − x0 ) ∼ am (x − x0 )m au voisinage de x0 . On en déduit le placement local de la courbe y = f (x) par rapport à ∆. Si m est pair, le placement de y = f (x) par rapport à ∆ est donné par le signe de am . Si am > 0, la courbe est localement “au-dessus” de sa tangente. Si am < 0, la courbe est localement “en-dessous” de sa tangente. Si m est impair, la courbe y = f (x) “traverse” ∆ au voisinage de M0 . ∆ est donc une tangente d’inflexion. f (x) a1 an 1 – On suppose qu’au voisinage de ±∞ on a le développement : = a0 + +· · ·+ n +o n . x x x x 1 an a2 Alors f (x) = a0 x+a1 + +· · ·+ n−1 +o n−1 (c’est un “développement asymptotique”.) x x x Ainsi lim (f (x) − a0 x − a1 ) = 0. On en déduit que la droite ∆ d’équation y = a0 x + a1 est x→±∞

asymptote à la courbe y = f (x) au voisinage de ±∞. am . xm−1 On en déduit le placement de la courbe y = f (x) par rapport à ∆ au voisinage de ±∞.

Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0. Alors f (x) − a0 x − a1 ∼

DL et parité – Soit f une application définie sur un intervalle de centre 0. On suppose que f admet un DL d’ordre n à l’origine : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

Si f est paire, la partie principale du DL est paire. Autrement dit les coefficients a2k+1 sont nuls : f (x) = a0 + a2 x2 + · · · + a2k x2k + · · · Si f est impaire, alors la partie principale du DL de f est un polynôme impair. Autrement dit les coefficients a2k sont nuls : f (x) = a1 x + a3 x3 + · · · + a2k+1 x2k+1 + · · · – Si on forme le DL d’une fonction paire ou impaire, il pourra être utile d’utiliser cette parité et la notation “O” pour améliorer à peu de frais la précision du développement. Supposons par exemple que f soit paire : f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + O(x6 ) est plus précis que f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x5 ), lui-même plus précis que f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x4 ). Une dernière remarque Dans un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x)k + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ), on ne développera jamais les termes ak (x − x0 )k , avec k ≥ 2. En revanche, on rappelle que y = a0 + a1 (x − x0 ) = a1 x + (a0 − a1 x0 ) est l’équation de la tangente en M0 (x0 , f (x0 )) à la courbe y = f (x). 21

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Développements limités usuels

Tous les développements ci-dessous sont valables à l’origine, et peuvent être obtenus par la formule de Taylor-Young (ou par d’autres méthodes qui seront exposées plus loin.) n X xn xk x2 x3 n + + ··· + + o(x ) = + o(xn ) e =1+x+ 2! 3! n! k! k=0 x

n 2n+1 2k+1 X x3 x5 k x n x 2n+2 sin x = x − + + · · · + (−1) + o(x )= (−1) + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0

cos x = 1 −

n X x2 x4 x2n x2k + + · · · + (−1)n + o(x2n+1 ) = (−1)k + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0

sh x = x +

n X x3 x5 x2n+1 x2k+1 + + ··· + + o(x2n+2 ) = + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0

ch x = 1 +

n X x2n x2k x2 x4 + + ··· + + o(x2n+1 ) = + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0

tan x = x +

x3 2x5 + + o(x6 ) 3 15

th x = x −

x3 2x5 + + o(x6 ) 3 15

n X 1 2 3 n n n = 1 − x + x − x + · · · + (−1) x + o(x ) = (−1)k xk + o(xn ) 1+x k=0 n X 1 2 3 n n = 1 + x + x + x + · · · + x + o(x ) = xk + o(xn ) 1−x k=0

(1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + o(xn ) 2! n!

n n X xk x2 x3 n+1 x n ln(1 + x) = x − + + · · · + (−1) + o(x ) = (−1)k+1 + o(xn ) 2 3 n k k=1 n X x2 x3 xn xk n ln(1 − x) = −x − − − ··· − + o(x ) = − + o(xn ) 2 3 n k k=1 n 2n+1 X x3 x5 x2k+1 n x 2n+2 arctan x = x − + + · · · + (−1) + o(x )= (−1)k + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 2k + 1 k=0

arcsin x = x +

1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7 + + + · · · + o(x2n+2 ) 2 3 2·4 5 2 · 4 · 6 7 22

arccos x =

π − arcsin x = · · · 2

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Opérations sur les DL

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des DL à l’origine, mais on peut facilement les adapter à des développements en un autre point, voire en ±∞. Combinaisons linéaires – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

Alors, pour tous scalaires α, β, on a : (αf + βg)(x) =

n P

bk xk + o(xn ).

k=0

(αak + βbk )xk + o(xn ).

k=0

– Exemples : √ √ π 2 2 x2 x3 x4 = (sin x + cos x) = 1+x− − + + o(x4 ) . sin x + 4 2 2 2! 3! 4! 5 3 1 1+x 1 x x x2n+1 ln = ln(1 + x) − ln(1 − x) = x + + + ··· + + o(x2n+2 ). 2 1−x 2 3 5 2n + 1 DL obtenu par primitivation – Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

Soit F une primitive de f sur l’intervalle I (donc une application dérivable telle que F 0 = f .) Alors F a en 0 un DL d’ordre n + 1 obtenu par intégration terme à terme de celui de f . n P ak k+1 Plus précisément : F (x) = F (0) + + o(xn+1 ) (ne pas oublier F (0)...) k+1 x k=0

– Exemples : x3 2x5 − + o(x6 ). Si f (x) = ln cos x, alors f 0 (x) = − tan x = −x − 3 15 x2 x4 x6 On en déduit f (x) = − − − + o(x7 ). 2 12 45 x+2 1 Si f (x) = arctan , alors f 0 (x) = = 1 − x2 + x4 − x6 + o(x7 ). 1 − 2x 1 + x2 x3 x5 x7 On en déduit f (x) = arctan 2 + x − + − + o(x8 ). 3 5 7 DL obtenu par dérivation – Soit f une application de classe C n+1 au voisinage de 0. Alors le développement limité de f 0 en 0 à l’ordre n s’obtient en dérivant terme à terme le développement limité de f en 0 à l’ordre n + 1 (ces deux développements résultent de la formule de Taylor-Young). Ce résultat est surtout utilisé pour des applications de classe C ∞ . 1 – Exemple : On sait que = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ). 1−x 1 Par dérivation, on en déduit : = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 · · · + (n + 1)xn + o(xn ). (1 − x)2 1 Un nouvelle dérivation donne : = 1 + 3x + 6x2 + · · · + (n + 2)(n + 1)xn + o(xn ). (1 − x)3 23

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Produit de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) = Alors (f g)(x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

bk xk + o(xn ).

k=0

ck xk + o(xn ), avec ck =

k=0

n P

ai b j .

i+j=k

– Exemples : 1 x2 x3 x4 + + + o(x4 ) et = 1 + x + x2 + x3 + x4 + o(x4 ). 2! 3! 4! 1−x ex 5 8 65 4 On en déduit = 1 + 2x + x2 + x3 + x + o(x4 ) 1−x 2 3 24

On a ex = 1 + x +

1 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) ⇒ = 1 + 2x + 3x2 + · · · + (n + 1)xn + o(xn ). 1−x (1 − x)2

Composition de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=1

n P

bk xk + o(xn ).

k=0

Remarque : il est important que le coefficient constant a0 du DL de f soit nul. Autrement dit l’application f doit être un infiniment petit quand x tend vers 0. Dans ces conditions, l’application g ◦ f admet un DL d’ordre n en 0. n n P P Si on note P = ak xk et Q = bk xk les parties régulières des DL de f et g, alors la partie k=1

k=0

régulière de celui de g ◦ f est obtenue en conservant les termes de degré ≤ n dans Q ◦ P . n P Dans la pratique, on pose g(X) = bk X k + o(X n ) et on remplace X par le DL de f (x). k=0

On calcule de proche en proche les DL des puissances successives X k = f (x)k , en ne gardant à chaque étape que les puissances xm avec m ≤ n. – Exemple : Supposons f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ) et g(X) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ). Posons X = f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ). On trouve X 2 = x2 − 2x3 + 5x4 + o(x4 ), puis X 3 = x3 − 3x4 + o(x4 ) et X 4 = x4 + o(x4 ). On en déduit le développement limité de g ◦ f à l’ordre 4 à l’origine : (g ◦ f )(x) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ) = 1 + x + 2x2 − 5x3 + 18x4 + o(x4 ) Les calculs précédents peuvent avantageusement prendre place dans un tableau comme indiqué ci-contre. Un tel tableau est particulièrement indiqué quand aucun des deux DL à composer n’est pair ou impair.

X x −x 2x x X2 x2 −2x3 5x4 X3 x3 −3x4 X4 x4 x 2x2 −5x3 18x4

coeff 1 3 −1 −1

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Inverse d’un DL – Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

On suppose que a0 6= 0 (autrement dit f possède une limite non nulle en 0.) 1 Dans ces conditions l’application x 7→ possède un DL d’ordre n en 0. f (x) 1 1 1 = où g(x) = − a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ) . Pour cela on écrit f (x) a0 (1 − g(x)) a0 1 On compose ensuite le DL de x 7→ g(x) par celui de x 7→ . 1−x – Exemple : 1 à l’origine, à l’ordre 7. On veut calculer le développement limité de x 7→ cos x 2 4 6 x x x + − + o(x7 ). On sait que cos x = 1 − 2! 4! 6! 1 1 x2 x4 x6 On pose donc = , avec X = g(x) = − + + o(x7 ). cos x 1 − g(x) 2! 4! 6! 1 = 1 + X + X 2 + X 3 + O(X 4 ). On utilise ensuite 1−X 4 x x6 x6 On trouve X 2 = − + o(x7 ) et X 3 = + o(x7 ). 4 24 8 x2 5x4 61x6 1 On obtient finalement : =1+ + + + o(x7 ). cos x 2 24 720 Quotient de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

n P

bk xk + o(xn ), avec b0 6= 0.

k=0

On suppose donc que l’application g ne tend vers 0 à l’origine. f Dans ces conditions, admet un DL en 0 à l’ordre n. g Ce développement est obtenu en effectuant le produit de celui de f par celui de

1 . g

– Exemple : On peut obtenir le développement limité de tan x en 0 par quotient. x3 x5 x7 On sait que sin x = x − + − + o(x8 ). 3! 5! 7! 1 x2 5x4 61x6 On a vu précédemment que =1+ + + + o(x7 ). cos x 2 24 720 On en déduit le développement limité de x 7→ tan x en 0, à l’ordre 8 : sin x x2 x4 x6 x2 5x4 61x6 =x 1− + − + o(x7 ) 1 + + + + o(x7 ) cos x 6 120 5040 2 24 720 3 5 7 x 2x 17x =x+ + + + o(x8 ) 3 15 315

tan x =

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Quelques remarques pour finir – Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0. On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 0. De même, on suppose que g(x) = bq xq + bq+1 xq+1 + bq+2 xq+2 + · · ·, avec q ≥ 0. Pour former le DL du produit f g à l’ordre n, il suffit de former celui de f à l’ordre n − q et celui de g à l’ordre n − p. Par exemple, pour calculer le DL de (1 − cos x)(sin x − x) en 0 à l’ordre 8 : x2 x4 x3 x5 On écrit 1 − cos x = − + o(x5 ) et sin x − x = − + + o(x6 ). 2! 4! 3! 5! On en déduit : x2 x4 x3 x5 x5 x7 (1 − cos x)(sin x − x) = − + o(x5 ) − + + o(x6 ) = − + + o(x8 ) 2 24 6 120 12 90 – Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0. On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 1. De même, on suppose que g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · ·. Pour former le DL de g ◦f en 0, on écrit : (g ◦f )(x) = b0 +b1 f (x)+b2 f 2 (x)+· · ·+bk f k (x)+· · · Mais le développement de f k (x) débute par (ap xp )k = akp xpk . On voit que pour obtenir le DL de g ◦ f en 0 à l’ordre n, il faut porter celui de f à un ordre m tel que pm ≤ n < p(m + 1). Donc m = E( np ). Par exemple, pour calculer le DL de ln(1 + x − arctan x) en 0 à l’ordre 6 : x3 x5 X2 On écrit X = x − arctan x = − + o(x6 ) et ln(1 + X) = X − + O(X 3 ). 3 5 2 x6 x3 x5 x6 On trouve X 2 = + o(x6 ) puis ln(1 + x − arctan x) = − − + o(x6 ) 18 3 5 18 – Quand on doit calculer le DL à un ordre déterminé d’une application f qui s’exprime en fonction d’autres applications g, h, . . . il faut prendre le temps de comprendre à quel ordre les DL de g, h, . . . doivent être calculés. Il y a en effet deux risques : celui de partir avec des DL trop “longs” et de faire beaucoup de calculs inutiles, et celui au contraire de partir avec des DL trop “courts” ce qui oblige à tout recommencer. √ 1 Par exemple, pour calculer le DL en 0 (à droite) de f (x) = ln(cos x) à l’ordre 2 : x √ x2 x4 x6 x x2 x3 + − + O(x8 ) puis cos x = 1 − + − + o(x3 ). On écrit cos x = 1 − 2! 4! 6! 2 24 720 x x2 x3 X2 X3 3 On pose X = − + − +o(x ) et on compose par ln(1+X) = X − + +o(X 3 ). 2 24 720 2 3 2 3 √ x x x Après calcul, on trouve : ln(cos x) = − − − + o(x3 ). 2 12 45 Finalement, la division par x fait chuter l’ordre du DL d’une unité. √ 1 1 x x2 Le développement cherché est donc : ln(cos x) = − − − + o(x2 ). x 2 12 45 Pour obtenir un résultat à l’ordre 2, il a donc fallu développer x 7→ cos x à l’ordre 6. 26

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– Quand on veut calculer le DL de g ◦ f en 0 en composant les développements de f et de g à l’origine, il faut veiller à ce que f (x) soit bien un infiniment petit lorsque x tend vers 0, afin que la substitution de X par f (x) soit justifiée dans le développement de g(X). Si ce n’est pas le cas, on peut souvent s’y ramener, comme dans les exemples suivants : exp f (x) = exp(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = exp(a0 ) exp(a1 x + a2 x2 + · · ·). X2 + ··· On pose alors X = a1 x + a2 x2 + · · · et on utilise exp(X) = 1 + X + 2! a2 a1 ln f (x) = ln(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = ln(a0 ) + ln 1 + x + x2 + · · · . a0 a0 a1 a2 2 X2 On pose alors X = x + x + · · · et on utilise ln(1 + X) = X − + ··· a0 a0 2 α a2 a1 f (x)α = (a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·)α = aα0 1 + x + x2 + · · · . a0 a0 a1 a2 2 α(α − 1) 2 On pose alors X = x + x + · · · et on utilise (1 + X)α = 1 + αX + X +··· a0 a0 2 α(α − 1) · · · (α − k + 1) – On sait que (1 + x)α = 1 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ), où ak = . k! Si on doit former un tel développement avec une valeur particulière de α, et plutôt que d’utiliser la formule donnant ak , il est préférable de calculer les ak de proche en proche, au moyen d’un tableau comme indiqué ci-dessous : ∗α

∗(α − 1) ∗ 21 ∗(α − 2) ∗ 13 ∗(α − 3) ∗ 14 ∗(α − 4) ∗ 15

a0 = a1

= a2

Par exemple, pour développer f (x) = ∗ 12

= a3 √

1 ∗ −1 2 ∗2

= a4

= a5

1 ∗ −5 2 ∗4

1 ∗ −7 2 ∗5

1+x : 1 ∗ −3 2 ∗3

1 −5 7 = a0 = a1 = 21 = a2 = −1 = a3 = 16 = a4 = 128 = a5 = 256 8

√

x x2 x3 5x4 7x5 − + − + + o(x5 ) 2 8 16 128 256 – Il arrive qu’on ait besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une expression (notamment quand cette expression est constituée de sommes). Par exemple, pour un équivalent de sin(sh x) − sh (sin x) en 0, il faut développer sin x et sh x à l’ordre 7 (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas) : x5 x7 On trouve d’abord sin(sh x) = x − − + o(x7 ). 15 90 x5 x7 On trouve ensuite sh (sin x) = x − + + o(x7 ). 15 90 x7 x7 On en déduit : sin(sh x) − sh (sin x) = − + o(x7 ) ∼ − . 45 45 On en déduit :

1+x=1+

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