Derivation developpement by Ech-charafi adil

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D´ erivation, convexit´ e, D´ eveloppements limit´ es Sommaire I

D´ erivabilit´ e d’une fonction num´ erique . . . . . . . . . I.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Dérivabilité à gauche ou à droite en un point . . . . . I.3 Opérations sur les applications dérivables en un point II D´ erivabilit´ e sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . II.1 Applications dérivables, applications de classe C1 . . . II.2 Extremums d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . II.3 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Monotonie des applications dérivables . . . . . . . . . III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Opérations sur les applications de classe Ck . . . . . . III.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Définitions équivalentes de la convexité . . . . . . . . IV.2 Régularité des applications convexes . . . . . . . . . . IV.3 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . V D´ eveloppements limit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Notion de développement limité . . . . . . . . . . . . . V.2 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . V.3 Opérations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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D´ erivabilit´ e d’une fonction num´ erique

Dans tout ce chapitre, on considère des applications qui sont définies sur un intervalle I de IR non réduit à un point, et qui sont a` valeurs dans IR.

I.1

D´ erivabilit´ e en un point

D´ efinition (Nombre dérivé en un point) f (x) − f (a) On dit que f est dérivable en un point a de I si lim existe dans IR. x→a x−a df Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est notée f 0 (a), ou D(f )(a), ou (a). dx Interpr´ etation g´ eom´ etrique Soient A = (a, f (a)) et M (x, f (x)) sur la courbe représentative Γ de f . f (x) − f (a) est le coefficient directeur de la corde AM . Le taux d’accroissement x−a Dire que f est dérivable en a, c’est dire que la corde AM possède une position limite non verticale ∆, de coefficient directeur f 0 (a), quand x tend vers a, c’est-à-dire quand M tend vers A sur Γ. On dit que ∆ est la tangente à Γ en son point d’abscisse a. Dire que f est dérivable en a, c’est donc dire que la courbe représentative Γ de f présente au point A(a, f (a)) une tangente ∆ non verticale. L’équation de ∆ est y = f (a) + (x − a)f 0 (a).

Proposition (Une autre définition de la dérivabilité) f est dérivable en un point a de I ⇔ il existe un réel ` et une application x 7→ ε(x) de I dans IR, vérifiant lim ε(x) = 0 et ε(a) = 0, et tels que : x→a

∀ x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)` + (x − a)ε(x) Le réel ` est alors égal à f 0 (a). La figure ci-dessus montre les quantités (x − a)f 0 (a) et (x − a)ε(x), relatives a` un point M (x, f (x)) assez “éloigné” de A. Au voisinage de A, et si f 0 (a) 6= 0 (c’est-à-dire si la tangente ∆ n’est pas horizontale), alors (x − a)ε(x) est négligeable devant (x − a)f 0 (a). 2

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Remarques et exemples

f (a + h) − f (a) . h→0 h

– Une translation permet de se ramener a` un calcul a` l’origine : f 0 (a) = lim – Si f d´erivable en a, f est continue en a. La r´eciproque est fausse.

Exemple : si f (0) = 0 et f (x) = x sin x1 si x 6= 0, f est continue mais non d´erivable en 0. – Si f est constante sur I, alors : ∀ a ∈ I, f 0 (a) = 0. – Si f est l’application x 7→ xn (avec n ∈ IN∗ ) alors : ∀ a ∈ IR, f 0 (a) = nan−1 . – Pour tout a de IR, exp0 (a) = exp(a) et ln0 (a) = a1 . – Pout tout a de IR, sin0 (a) = cos(a) et cos0 (a) = − sin(a). Si a 6= π2 (π), alors tan0 (a) = 1 + tan2 (a).

I.2

D´ erivabilit´ e` a gauche ou ` a droite en un point

On complète les définitions précédentes avec la notion de nombre dérivé à gauche ou à droite. D´ efinition (Nombre dérivé a` gauche) Soit a un point de I, distinct de l’extrémité gauche de I. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable à gauche en a si lim existe dans IR. x→a, x<a x−a Cette limite est appelée nombre dérivé à gauche de f en a et est notée fg0 (a). D´ efinition (Nombre dérivé a` droite) Soit a un point de I, distinct de l’extrémité droite de I. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable à droite en a si lim existe dans IR. x→a, x>a x−a Cette limite est appelée nombre dérivé à droite de f en a et est notée fd0 (a). Interpr´ etation g´ eom´ etrique Dire que f est dérivable a` droite (resp. à gauche) en a, c’est dire que la courbe Γ de f admet au point A(a, f (a)) une demi-tangente a` droite (resp. à gauche) non verticale. Le coefficient directeur de cette demi-tangente est fd0 (a) (resp. fg0 (a).)

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Sur l’exemple de gauche, f est dérivable a` gauche et à droite en a, avec fg0 (a) = −1 (demitangente oblique, parallèle à y = −x) et fd0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale.) Sur l’exemple de droite, on a fg0 (a) = 0 (demi-tangente horizontale), mais f n’est pas dérivable à droite en a (il y a bien une demi-tangente mais elle est verticale). Remarques – Soit a un point de I qui ne soit pas une extrémité de I. f est dérivable en a ⇔elle est dérivable à gauche et a` droite en a et fg0 (a) = fd0 (a). On a alors f 0 (a) = fg0 (a) = fd0 (a). – Si f dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (comme le montre l’exemple de x 7→ |x| en 0.) Si f est dérivable a` gauche (resp. à droite) en a, elle y est continue à gauche (resp. à droite.) – Si f co¨ıncide en a et a` droite de a avec une application g définie au voisinage de a et dérivable en a, alors f est dérivable a` droite en a et fd0 (a) = g 0 (a) (remarque analogue a` gauche de a.) Par exemple, si f est définie par f (x) = |x| + exp(x), elle co¨ıncide en 0 et a` droite de 0 avec g(x) = x + exp(x) qui est telle que g 0 (0) = 2. De même f co¨ıncide en 0 et à gauche de 0 avec h(x) = −x+exp(x) qui est telle que h0 (0) = 0. On en déduit que f est dérivable à droite et a` gauche en 0, avec fd0 (0) = 2 et fg0 (0) = 0.

I.3

Op´ erations sur les applications d´ erivables en un point

Proposition (Linéarité de la dérivation en un point) Soient f et g deux applications dérivables au point a. Pour tous scalaires α, β, l’application h = αf + βg est dérivable en a et h0 (a) = αf 0 (a) + βg 0 (a). Proposition (Produit d’applications dérivables en un point) Soient f et g deux applications dérivables en un point a. Alors l’application h = f g est dérivable en a et h0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a). Proposition (Dérivée de l’inverse) 1 g 0 (a) 0 Si g est dérivable en a, avec g(a) 6= 0, alors h = est dérivable en a, et h (a) = − 2 . g g (a) Supposons de plus que f soit dérivable en a. f 0 f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) f Alors est dérivable en a et (a) = . g g g 2 (a) Proposition (Composition et dérivation) Soit f : I → IR, une application dérivable en un point a de I. Soit J un intervalle contenant f (I) et non réduit à un point. Soit g : J → IR, une application dérivable au point b = f (a) de J. Alors g ◦ f est dérivable au point a et (g ◦ f4)0 (a) = f 0 (a)(g 0 ◦ f )(a). c Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Proposition (Dérivation et bijection réciproque) Soit f : I → IR une application dérivable, strictement monotone. f est donc bijective de I sur un intervalle J. Soit a dans I tel que f 0 (a) 6= 0. 1 1 = 0 . Alors g = f −1 est dérivable en b = f (a) et g 0 (b) = 0 f (b) f ◦ f −1 (a)

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II II.1

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D´ erivabilit´ e sur un intervalle Applications d´ erivables, applications de classe C1

D´ efinition On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. L’application f 0 : I → IR qui à tout a associe f 0 (a) est appelée application dérivée de f . df Cette application est également notée Df ou . dx On note D(I, IR) l’ensemble des applications dérivables de I dans IR. D´ efinition (Applications de classe C 1 ) On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et si f 0 est continue sur I. On note C 1 (I, IR) l’ensemble de ces applications. Op´ erations sur applications d´ erivables sur un intervalle I – Soient f et g deux applications dérivables sur l’intervalle I. Pour tous α, β dans IR, h = αf + βg est dérivable sur I et h0 = αf 0 + βg 0 . L’application f g est dérivable sur I et (f g)0 = f 0 g + f g 0 . f 0 f 0 g − f g 0 1 0 g0 = − 2 et = Si g ne s’annule pas sur I, alors g g g g2 – Soit f : I → IR et g : J → IR deux applications dérivables, avec f (I) ⊂ J. Alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f )0 = f 0 · (g 0 ◦ f ) – Soit f : I → IR une application dérivable, strictement monotone. L’application f réalise donc une bijection de I sur un intervalle J. 1 . ◦ f −1 – Tous les résultats précédents s’énoncent a` l’identique pour des applications de classe C 1 . Si f 0 ne s’annule pas sur I, alors g = f −1 est dérivable sur J et g 0 =

D´ erivation des fonctions trigonom´ etriques inverses – La dérivée de x → sin x sur [− π2 , π2 ] est x → cos x, nulle en ± π2 . On en déduit : 1 1 1 ∀ x ∈] − 1, 1[, arcsin0 x = = =√ 0 sin (arcsin x) cos(arcsin x) 1 − x2 – La dérivée de x → cos x sur [0, π] est x → sin x, nulle en x = 0 et x = π. On en déduit : ∀ x ∈] − 1, 1[, arccos0 x =

1 cos0 (arccos x)

−1 −1 =√ sin(arccos x) 1 − x2

– La dérivée de x → tan x sur ] − π2 , π2 [ est x → 1 + tan2 x, toujours non nulle. On en déduit : 1 1 1 ∀ x ∈ IR, arctan0 x = = = 0 2 tan (arctan x) 1 + tan (arctan x) 1 + x2 6

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D´ erivation des fonctions puissances – Par récurrence sur n ≥ 1, on sait que (xn )0 = nxn−1 pour tout x de IR. 1 0 −nx−n−1 n 0 – Si n est un entier négatif, (x ) = = − = nxn−1 . x−n x−2n L’égalité (xα )0 = αxα−1 est donc vraie pour les exposants α de ZZ. √ – Soit f : x → n x, bijection réciproque de g : IR+ → IR+ définie par g(x) = xn . L’application g est dérivable sur IR+ et sa dérivée g 0 (x) = nxn−1 est non nulle sur IR+∗ . 1 1 1 1 −1 Ainsi f est dérivable sur IR+∗ et f 0 (x) = 0 √ = xn . n−1 = n n g ( x) nx n 1 u n ∈ IN∗ . La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est de la forme α = , o` n p 1 p p Si α = (p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ ), alors : (xα )0 = ((xp )1/q )0 = 1q (xp )0 (xp ) q −1 = q xp−1+ q −p = αxα−1 . q La formule (xα )0 = αxα−1 est donc encore valable quand α est un rationnel. – Dans le cas d’un exposant α quelconque, en particulier non rationnel : α α ∀ x > 0, (xα )0 = (exp(α ln x))0 = exp(α ln x) = xα = αxα−1 x x

II.2

Extremums d’une fonction d´ erivable

Proposition Soit f : I → IR une application dérivable. Soit a un point intérieur a` I. Si f possède un extrémum local en a, alors f 0 (a) = 0. Remarques – La réciproque est fausse : si f (x) = x3 , f 0 (0) = 0 mais f n’a pas d’extrémum en 0. – En fait, les extrémums locaux d’une application f sur un intervalle I doivent être recherchés parmi les points o` u f n’est pas dérivable, parmi les extrémités de I, et parmi les points intérieurs a` I o` u f est dérivable de dérivée nulle. – Le graphe ci-dessous montre quelques cas possibles :

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II.3

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Rolle et accroissements finis

Th´ eor` eme (Théorème de Rolle) Soit f : [a, b] → IR une application définie sur le segment [a, b], avec a < b, à valeurs réelles. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et que f (a) = f (b). Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Th´ eor` eme (Egalité des accroissements finis) Soit f : [a, b] → IR une application définie sur le segment [a, b], avec a < b, à valeurs réelles. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c). Propri´ et´ es et remarques – Il n’y a pas nécessairement unicité du point c de ]a, b[ qui figure dans les deux théorèmes. – Soit f : [a, b] → IR une application continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ (a < b). On suppose que : ∀ x ∈]a, b[, m ≤ f 0 (x) ≤ M . Alors m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a). – Si f est de classe C 1 sur [a, b], alors |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|, avec M = sup |f 0 (x)|. x∈[a,b] – On peut aussi écrire, en posant b = a + h : Soit f une application continue sur [a, a + h] et dérivable sur ]a, a + h[. Alors il existe θ dans ]0, 1[ tel que : f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh). Dans cette version du “TAF”, le signe de h est quelconque (si f est dérivable sur un voisiange de a) et on peut considérer θ comme une fonction de h. Interpr´ etation g´ eom´ etrique Soit Γ la courbe de f . Soient A, B les points d’abscisse a, b de Γ. Avec les hypothèses du théorème de Rolle, il y a un point de Γ o` u la tangente est horizontale. Avec les hypothèses du théorème des accroissements finis, il existe un point de Γ o` u la tangente est parallèle a` la corde AB.

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Proposition (Caractérisation des applications lipschitziennes) Soit f une application continue de I dans IR, dérivable sur l’intérieur de I. f est k-lipschitzienne sur I ⇔ pour tout x de I, |f 0 (x)| ≤ k. Proposition (Prolongement d’une application de classe C 1 ) Soit f une application continue de [a, b[ dans IR, de classe C 1 sur ]a, b[. On suppose que f 0 possède une limite finie ` en a à droite. Alors f est de classe C 1 sur [a, b[, avec f 0 (a) = `. On a bien sˆ ur un résultat analogue au point b. Remarque Soit f : [a, b] → IR, continue sur [a, b[, de classe C 1 sur ]a, b[. On suppose que lim+ f 0 (x) = ∞. x→a

Alors la courbe repr´esentative de f admet au point (a, f (a)) une demi-tangente verticale.

II.4

Monotonie des applications d´ erivables

Proposition (Caractérisation des applications constantes) Toute application constante f de I dans IR est dérivable sur I et ∀ x ∈ I, f 0 (x) = 0. Réciproquement, si f est continue sur I, dérivable sur l’intérieur de I et si f 0 est l’application nulle, alors f est constante sur I. Proposition (Caractérisation des applications monotones) Soit f : I → IR une application dérivable. – L’application f est croissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0. – L’application f est décroissante sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0. Proposition (Caractérisation des applications strictement monotones) Soit f : I → IR une application dérivable et monotone. L’application f est strictement monotone sur I si et seulement si sa dérivée f 0 n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle de I d’intérieur non vide (ou encore si et seulement si f 0 ne s’annule qu’en des points isolés de I.) Proposition (Applications ayant la même dérivée) Soient f, g : I → IR, dérivables sur I. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : – Pour tout x de I, on a f 0 (x) = g 0 (x). – Il existe une constante λ telle que : ∀x ∈ I, g(x) = f (x) + λ. Remarque Tout ce qui découle de Rolle est valable sur un intervalle, et pas sur une réunion d’intervalles. Par exemple, si f (x) = x1 alors f 0 (x) = − x12 < 0 sur IR∗ , mais f n’est pas monotone sur IR∗ . De même, si deux applications dérivables sur IR∗ vérifient f 0 = g 0 sur IR∗ , alors elles diffèrent d’une constante λ sur IR−∗ et d’une constante µ sur IR+∗ . 9

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III

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Applications de classe Ck

On rappelle que I désigne un intervalle de IR non réduit à un point.

III.1

D´ eriv´ ees successives

D´ efinition (Applications n fois dérivables sur un intervalle) Soit f une application de I dans IR. On pose f (0) = f . On suppose que l’application f (n−1) existe et est dérivable de I dans IR. On définit alors l’application f (n) = (f (n−1) )0 . Si l’application f (n) : I → IR existe, on dit que f est n fois dérivable sur l’intervalle I, et f (n) est appelée application dérivée n-ième de f sur I. dn f L’application f (n) est peut également être notée Dn f ou encore . d xn Remarques – On note souvent f 00 et f 000 les applications dérivée seconde et dérivée troisième de f . – Nombre dérivé n-ième en un point : Soit f une application de I dans IR, a un point de I et n un entier naturel. On dit que f est n fois dérivable en a si f est n − 1 fois dérivable sur un voisinage de a et si f (n−1) est dérivable en a. On note encore f (n) (a) cette dérivée, appelée nombre dérivé n-ième de f au point a de I (il n’est pas nécessaire que f (n) existe sur I tout entier.) – Si f est n fois dérivable sur I, alors pour tout k de {0, . . . , n}, l’application f (k) est n − k fois dérivable sur I (et en particulier continue si k < n). Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors l’égalité : f (n) = (f (k) )(n−k) . D´ efinition (Applications de classe C k ) Soit f une application de I dans IR, k fois dérivable. Si de plus l’application f (k) est continue sur I, on dit que f est de classe C k sur I. On note C k (I, IR) l’ensemble des applications de classe C k de I dans IR. On dit que f est de classe C ∞ sur I si f est k fois dérivable sur I pour tout entier naturel k (c’est-à-dire en fait si f est de classe C k pour tout k). On note C ∞ (I, IR) l’ensemble de ces applications. Remarques – C 0 (I, IR) désigne l’ensemble des applications continues de I dans IR. On a les inclusions C 0 (I, IR) ⊃ C 1 (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C k (I, IR) ⊃ · · · ⊃ C ∞ (I, IR). \ De même on a : C ∞ (I, IR) = C k (I, IR). k∈IN

– On dit souvent d’une application de classe C k qu’elle est k fois continˆ ument d´erivable. (n) – On a f ≡ 0 sur I ⇔ f est une application polynomiale de degr´e ≤ n−1 sur I. 10

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III.2

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Op´ erations sur les applications de classe Ck

Dans les énoncés suivants, k est un élément de IN ∪ {+∞}. Les propriétés de ce paragraphe pourraient être énoncées de fa¸con analogue en termes de fonctions k fois dérivables sur un intervalle I. Proposition (Combinaisons linéaires d’applications de classe C k ) Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR. Soient α, β deux réels. Alors αf + βg est de classe C k sur I et : (αf + βg)(k) = αf (k) + βg (k) . Proposition (Formule de Leibniz) Soit k un élément de IN ∪ {+∞}. Soient f et g deux applications de classe C k de I dans IR. k P Alors f g est de classe C k sur I et : (f g)(k) = C jk f (j) g(k−j) . j=0

Proposition (Inverse d’une application de classe C k ) 1 Si f : I → IR est de classe C k sur I et ne s’annule pas, alors est de classe C k sur I. f Proposition (Composition d’applications de classe C k ) Soit f une application de classe C k de I dans IR. Soit J un intervalle de IR, non réduit a` un point et contenant f (I). Soit g une application de classe C k de J dans IR. Alors l’application g ◦ f est de classe C k de I dans IR. Proposition (Bijection réciproque d’une application de classe C k ) Soit f une application de classe C k de I dans IR. On suppose que f 0 (x) > 0 pour tout x de I, ou que f 0 (x) < 0 pour tout x de I. L’application f réalise donc une bijection de I sur un intervalle J. Dans ces condtions, la bijection réciproque f −1 est également de classe C k . Exemples d’applications de classe C ∞ – Les fonctions polynômiales sont de classe C ∞ sur IR. Il en est de même des fonctions rationnelles sur leur domaine de définition. – L’application x 7→ exp x est de classe C ∞ sur IR. L’application x → 7 ln x est de classe C ∞ sur IR+∗ . – De même les égalités sin0 = cos et cos0 = − sin montrent que les applications x 7→ sin x et x 7→ cos x sont de classe C ∞ sur IR. Il en découle que l’application x 7→ tan x est de classe C ∞ sur son domaine de définition. – Les applications x 7→ xα sont de classe C ∞ sur IR+∗ . – Les applications x 7→ ch x, x 7→ sh x et x 7→ th x sont de classe C ∞ sur IR. 11

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– Les applications x 7→ arcsin x, et x 7→ arccos x sont de classe C L’application x 7→ arctan x est de classe C ∞ sur IR.

∞

sur ] − 1, 1[.

– Les fonctions qui se déduisent des précédentes par somme, produit, quotient, puissance et composition sont de classe C ∞ sur leur domaine de définition.

III.3

Formules de Taylor

Proposition (formule de Taylor avec reste intégral) Soit f : [a, b] → IR une application de classe C n+1 . On a l’égalité : Z b n X (b − t)n (n+1) (b − a)k (k) f (a) + f (t) dt. f (b) = k! n! a k=0 | {z } Rn

Rn est appelé le reste intégral d’ordre n de la formule de Taylor de f sur [a, b]. Proposition (inégalité de Taylor-Lagrange) Soit f : I → IR une application de classe C n+1 . Soient a et b deux points de I. n

(b − a)k (k)

|b − a|n+1

Alors : f (b) − f (a) ≤ M , o` u M = sup f (n+1) . k! (n + 1)! [a,b] k=0 Exemples – Pour n = 0, on retrouve l’in´egalit´e des accroissements finis : u M1 = sup |f 0 | |f (b) − f (a)| ≤ M1 |b − a| o` [a,b]

Pour n = 1, on trouve : |f (b) − f (a) − (b − a)f 0 (a)| ≤ M2

(b − a)2 o` u M2 = sup |f 00 | 2! [a,b]

– Voici des exemples d’application de l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange aux fonctions t 7→ sin t et t 7→ cos t sur l’intervalle [0, x] :

|x|3

sin x − x ≤ 3!

cos x − 1 ≤ 2!

sin x − x + ≤ 3!

cos x − 1 + ≤ 2!

|x|5 5! x4 4!

x3 x5

− ≤

sin x − x + 3! 5!

x2 x4

− ≤

cos x − 1 + 2! 4!

|x|7 7! x6 6!

– En posant h = b − a, l’inégalité de Taylor-Lagrange au rang n s’écrit : n

hk (k)

|h|n+1

f (a) ≤ M , o` u M = sup f (n+1)

f (a + h) − k! (n + 1)! [a,a+h] k=0

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Proposition (formule de Taylor-Young) Soit f une application de classe C n de I dans IR, et soit a un point de I. Alors il existe une application ε d´efinie sur I, telle que : n X (x − a)k (k) f (a) + (x − a)n ε(x), avec lim ε(x) = 0. ∀ x ∈ I, f (x) = x→a k! k=0

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IV IV.1

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Applications convexes D´ efinitions ´ equivalentes de la convexit´ e

Comme d’habitude, I désigne un intervalle de IR non vide et non réduit a` un point. D´ efinition (application convexe) Une application f : I → IR est dite convexe si : ∀ (a, b) ∈ I 2 , ∀ λ ∈ [0, 1], f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b). Interpr´ etation g´ eom´ etrique Sur le schéma ci-dessous, on a fait figurer deux points A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)) de la courbe Γ de f , ainsi que les points Mλ et Nλ d’abscisse xλ = λa + (1 − λ)b et d’ordonnées respectives f (xλ ) et λf (a) + (1 − λ)f (b). La convexité de f signifie que pour tout λ de [0, 1], l’ordonnée de Mλ est inférieure ou égale à celle de Nλ . Or quand λ décrit [0, 1], le point Mλ décrit l’arc (AB) de la courbe Γ, alors que le point Nλ (qui est le barycentre de A et B affectés des poids respectifs λ et 1 − λ) parcourt la corde [AB] :

Dire que l’application f est convexe sur I, c’est donc dire que pour tous points A(a, f (a)) et B(b, f (b)) de la courbe Γ de f , la corde [AB] est “au-dessus” de l’arc (AB) de Γ. Exemples et remarques – Une application f : I → IR est dite concave si l’application −f est convexe. Dans toute la suite de cette section on considérera surtout des applications convexes, les propriétés des applications concaves s’en déduisant de manière évidente. – L’application x 7→| x| est convexe sur IR car | λa + (1 − λ)b | ≤ λ | a | +(1 − λ) | b | – Les fonctions affines f : x 7→ αx + β sont a` la fois convexes et concaves sur IR, car elles vérifient en effet f (λa + (1 − λ)b) = λf (a) + (1 − λ)f (b). Réciproquement si une application est a` la fois convexe et concave alors elle est affine (sa courbe représentative est une droite.) 14

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– Soient f1 , f2 , . . . , fn des applications convexes, et α1 , . . . , αn des réels ≥ 0. Alors l’application g = α1 f1 + α2 f2 + · · · + αn fn est convexe. D´ efinition (partie convexe du plan) Soit Ω une partie non vide du plan IR2 . On dit que Ω est une partie convexe si, pour tous points M, N de Ω, le segment [M, N ] est inclus dans Ω. Proposition (caractérisation par la convexité de l’épigraphe) Soit f : I → IR une application. L’ensemble Ω = {(x, y) ∈ IR2 , y ≥ f (x)} est appelé épigraphe de f sur I. L’application f est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de IR2 . On a représenté ici l’épigraphe Ω d’une application convexe f , deux points A et B de cet épigraphe, et le segment qui les joint, tout entier inclus dans Ω.

Remarque : f est concave sur I ⇔ la partie située sous la courbe y = f (x) est convexe. Proposition (une autre caractérisation de la convexité) Une application f : I → IR est convexe si et seulement si : f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b) Pour tout a < b < c de I, ≤ ≤ b−a c−a c−b Le schéma ci-dessous illustre la propriété précédente : l’application f est convexe si et seulement si, pour tous points A, B, C de la courbe Γ (avec a < b < c), alors la pente de la corde [AB] est inférieure à celle de la corde [AC], elle même inférieure a` la pente de la corde [BC].

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Proposition (encore une caractérisation de la convexité) Une application f : I → IR est convexe si et seulement si, pour tout a de I, l’application f (x) − f (a) Ta définie sur I \ {a} par Ta (x) = est croissante. x−a

IV.2

R´ egularit´ e des applications convexes

Proposition (dérivabilité à gauche et a` droite) Soit f : I → IR une application convexe. Soit a un point intérieur a` I. Alors f est dérivable à droite et a` gauche au point a, et fg0 (a) ≤ fd0 (a). De plus les applications fg0 et fd0 sont croissantes sur l’intérieur de I. Proposition (continuité des applications convexes) Soit f : I → IR une application convexe. Alors f est continue en tout point intérieur a` I. Un contre-exemple Une application convexe sur un intervalle I peut ne pas être continue aux extrémités de I. f (0) = f (1) = 1 On le voit bien avec l’application f définie sur [0, 1] par f (x) = 0 si x ∈]0, 1[ Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée première) Soit f une application dérivable de I dans IR. Alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante sur I. Proposition (Tangente à la courbe d’une application convexe) Soit f une application dérivable et convexe de I dans IR. Alors pour tout a de I, on a : ∀ x ∈ I, f (x) ≥ f (a) + (x − a)f 0 (a). Interpr´ etation g´ eom´ etrique La courbe représentative de f est, sur tout l’intervalle I, située “au-dessus” de n’importe laquelle de ses tangentes. On a en fait un résultat plus général. On sait en effet qu’une application convexe sur I est dérivable à droite et à gauche en tout point intérieur a` I. La courbe y = f (x) est alors partout au-dessus de chacune de ses demi-tangentes à gauche ou à droite.

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Pour les applications concaves – Une application concave sur I est continue en tous les points intérieurs à I. – Si f est dérivable, f est concave⇔ f 0 est décroissante. – Si f est dérivable et concave, la courbe y = f (x) est partout en dessous de ses tangentes. Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) Soit f une application deux fois dérivable de I dans IR. Alors f est convexe si et seulement si f 00 (x) ≥ 0 pour tout x de I. Propri´ et´ es et remarques – Une application f : I → IR deux fois dérivable est concave sur I ⇔ ∀ x ∈ I, f 00 (x) ≤ 0. – L’application x 7→ ex est convexe sur IR. L’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ . – Les applications x 7→ ax sont convexes sur IR. L’application x 7→ xα est concave si α ∈ [0, 1] et convexe si α ∈ IR− ∪ [1, +∞[. – L’application x 7→ sin x est concave sur [0, π2 ]. Il en découle : ∀ x ∈ [0, π2 ], π2 x ≤ sin x ≤ x. – Soit f : I → IR une application deux fois dérivable. Soit a un point intérieur a` I. On suppose que f 00 s’annule et change de signe au point a. Il y a donc un changement de concavité en a : la courbe y = f (x) “traverse” sa tangente. On dit que le point A(a, f (a)) est un point d’inflexion.

IV.3

In´ egalit´ es de convexit´ e

Proposition Soit f : I → IR une application convexe. Soit x1 , x2 , . . . , xn une famille de n points de I. n P On se donne également n scalaires λk de [0, 1] tels que λk = 1. k=1 P P n n Alors on a l’inégalité f λk x k ≤ λk f (xk ). k=1

k=1

Remarques et exemples – Un cas particulier classique est celui o` u les λk sont tous égaux a` n1 . P n n P 1 On obtient alors f n xk ≤ n1 f (xk ). n n P P k=1 k=1 λk f (xk ) λk x k k=1 k=1 – Si les λk sont ≥ 0 et non tous nuls, on peut écrire : f ≤ . n n P P λk λk k=1 – Si f est concave, les inégalités sont dans l’autre sens. k=1 Par exemple, l’application x 7→ ln x est concave sur IR+∗ . 17

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P n n P On en déduit que pour tous x1 , x2 , . . . , xn de IR+∗ , on a : ln n1 xk ≥ n1 ln(xk ). k=1 k=1 Q 1/n n n 1 P On en déduit n xk ≥ xk en prenant l’exponentielle membre à membre. k=1

k=1

La moyenne arithmétique des xk est donc supérieure ou égale à leur moyenne géométrique. – Des arguments de convexité permettent de démontrer l’inégalité de Minkowski : P 1/p P 1/p P 1/p n n n Pour tous xk , yk dans IR+∗ et p > 1, on a : (xk + yk )p ≤ xpk + ykp k=1

k=1

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V V.1

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D´ eveloppements limit´ es Notion de d´ eveloppement limit´ e

D´ efinition Soit f : I → IR une application, et soit x0 un réel élément ou extrémité de I. Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre n en x0 s’il existe des réels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x) tels que : n P ∀ x ∈ I, f (x) = ak (x − x0 )k + (x − x0 )n ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→x0

k=0

Avec les notations de Landau, cela peut s’´ecrire : f (x) =

n P

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k=0

Proposition (unicité du développement limité) Soit f une application admettant un DL d’ordre n en x0 : f (x) =

n P

ak (x − x0 )k + o((x −

k=0

x0 )n ). Alors les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont définis de fa¸con unique. n P Le polynôme P (x) = ak (x − x0 )k est appelé partie principale du développement limité. k=0

Troncature d’un d´ eveloppement limit´ e – Supposons que f admette un DL d’ordre n en x0 . Soit p un entier naturel, p ≤ n. Alors f admet un DL d’ordre p en x0 , obtenu par troncature. Plus pr´ecis´ement : p n P P f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇒ f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )p ). k=0

k=0

Par exemple, si f (x) = 1 − x + 2x3 + x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 − x + 2x3 + o(x3 ). – Il arrive qu’on utilise les notations “O” de Landau dans un développement limité. Par exemple, si f (x) = 1 + 2x2 + x3 − x4 + o(x4 ), alors f (x) = 1 + 2x2 + x3 + O(x4 ). Cette dernière écriture contient un peu plus d’informations que f (x) = 1 + 2x2 + x3 + o(x3 ). DL et ´ equivalents n P ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ). – On considère le développement f (x) = k=0

Si tous les ak sont nuls, alors f (x) est négligeable devant (x − x0 )n au voisinage de x0 . Sinon, et si m est l’indice minimum tel que am 6= 0, alors f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 . Inversement, si f (x) ∼ am (x − x0 )m en x0 , avec m ∈ IN, alors f (x) = am (x − x0 )m + o((x − x0 )m ). x2 x4 x2 x4 Par exemple : cos x = 1 − + + o(x4 ) ⇒ cos x − 1 + ∼ en 0. 2! 4! 2! 4! – Dans la pratique, on utilisera souvent les équivalents dans les recherches de limites, et les développements limités lorsqu’on cherche plus de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport a` celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes.) 19

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DL ` a gauche ou ` a droite en un point Soit f : I → IR une application définie au voisinage d’un point x0 . Il arrivera que seule la restriction de f à I∩]a, +∞[ ou à I∩] − ∞, a[ possède un DL en x0 . On parlera dans ce cas de développement limité à droite ou a` gauche en x0 . D´ efinition (développement limité au voisinage de ±∞) Soit f : I → IR une application définie au voisinage de +∞ (ou de −∞.) Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre n en +∞ (resp. en −∞) s’il existe des réels a0 , a1 , . . . , an et une fonction x 7→ ε(x) n a P ε(x) k tels que : ∀ x ∈ I, f (x) = + n , avec lim ε(x) = 0. k x→∞ x k=0 x 1 n a P k Avec les notations de Landau, cela peut s’écrire : f (x) = . + o k xn k=0 x Remarque Tant pour les DL a` droite o` u a` gauche que pour les DL en ±∞, on dispose de propriétés analogues a` celles qui ont déjà été vues (unicité, troncature, équivalents, etc.) Importance des d´ eveloppements ` a l’origine – f a un DL d’ordre n en x0 ⇔ g : x 7→ g(x) = f (x0 + x) a un DL d’ordre n en 0. n n P P Plus précisément : f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) ⇔ g(x) = ak xk + o(xn ). k=0

k=0

– De même, f a un DL d’ordre n en ±∞ ⇔ h : x 7→ h x1 a un DL d’ordre n en 0. 1 n n a P P k Plus précisément : f (x) = + o ⇔ h(x) = ak xk + o(xn ). k n x x k=0 k=0 – Ces deux remarques, et le fait que les calculs y sont plus simples, font que les DL sont généralement formés a` l’origine (c’est d’ailleurs le cas des DL usuels.) DL et continuit´ e, DL et d´ erivabilit´ e – Dire que f admet un DL f (x) = a0 + o(1) d’ordre 0 en x0 , c’est dire que f est continue (ou prolongeable par continuité) en x0 . Ce développement s’écrit nécessairement f (x) = f (x0 ) + o(1). – Dire que que f admet un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ) d’ordre 1 en x0 , c’est dire que f est dérivable (après prolongement éventuel en x0 ). Ce développement s’écrit nécessairement f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ). – En revanche un DL d’ordre n ≥ 2 en x0 n’implique pas que f soit deux fois dérivable en x0 . Un contre-exemple est donné par l’application f : x 7→ x3 sin x1 en 0. – Si f est de classe C n de I dans IR, et si x0 appartient a` I, alors l’égalité de Taylor-Young prouve l’existence du DL de f en x0 à l’ordre n. Ce DL s’écrit : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) 2! n! 20

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Placement par rapport ` a une tangente ou ` a une asymptote – On suppose que f admet un DL d’ordre n ≥ 3 en x0 : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n )). On sait que cela implique la dérivabilité de f en x0 , avec f (x0 ) = a0 et f 0 (x0 ) = a1 . L’équation de la tangente ∆ a` la courbe y = f (x) en x = x0 est donc y = a0 + a1 (x − x0 ). Remarque : si le DL n’est valable qu’à gauche ou à droite de x0 , c’est une demi-tangente. Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0. Alors f (x) − a0 − a1 (x − x0 ) ∼ am (x − x0 )m au voisinage de x0 . On en déduit le placement local de la courbe y = f (x) par rapport a` ∆. Si m est pair, le placement de y = f (x) par rapport a` ∆ est donné par le signe de am . Si am > 0, la courbe est localement “au-dessus” de sa tangente. Si am < 0, la courbe est localement “en-dessous” de sa tangente. Si m est impair, la courbe y = f (x) “traverse” ∆ au voisinage de M0 . ∆ est donc une tangente d’inflexion. f (x) a1 an 1 – On suppose qu’au voisinage de ±∞ on a le développement : = a0 + +· · ·+ n +o n . x x x x 1 an a2 Alors f (x) = a0 x+a1 + +· · ·+ n−1 +o n−1 (c’est un “développement asymptotique”.) x x x Ainsi lim (f (x) − a0 x − a1 ) = 0. On en déduit que la droite ∆ d’équation y = a0 x + a1 est x→±∞

asymptote a` la courbe y = f (x) au voisinage de ±∞. am . xm−1 On en d´eduit le placement de la courbe y = f (x) par rapport a` ∆ au voisinage de ±∞.

Soit m l’indice minimum tel que m ≥ 2 et am 6= 0. Alors f (x) − a0 x − a1 ∼

DL et parit´ e – Soit f une application d´efinie sur un intervalle de centre 0. On suppose que f admet un DL d’ordre n `a l’origine : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

Si f est paire, la partie principale du DL est paire. Autrement dit les coefficients a2k+1 sont nuls : f (x) = a0 + a2 x2 + · · · + a2k x2k + · · · Si f est impaire, alors la partie principale du DL de f est un polynôme impair. Autrement dit les coefficients a2k sont nuls : f (x) = a1 x + a3 x3 + · · · + a2k+1 x2k+1 + · · · – Si on forme le DL d’une fonction paire ou impaire, il pourra être utile d’utiliser cette parité et la notation “O” pour améliorer a` peu de frais la précision du développement. Supposons par exemple que f soit paire : f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + O(x6 ) est plus précis que f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x5 ), lui-même plus précis que f (x) = a0 + a2 x2 + a4 x4 + o(x4 ). Une derni` ere remarque Dans un DL f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x)k + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ), on ne développera jamais les termes ak (x − x0 )k , avec k ≥ 2. En revanche, on rappelle que y = a0 + a1 (x − x0 ) = a1 x + (a0 − a1 x0 ) est l’équation de la tangente en M0 (x0 , f (x0 )) à la courbe y = f (x). 21

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D´ eveloppements limit´ es usuels

Tous les développements ci-dessous sont valables a` l’origine, et peuvent être obtenus par la formule de Taylor-Young (ou par d’autres méthodes qui seront exposées plus loin.) n

X xk xn x2 x3 + + ··· + + o(xn ) = + o(xn ) e =1+x+ 2! 3! n! k! k=0 x

2n+1 2k+1 X x3 x5 k x n x 2n+2 sin x = x − + + · · · + (−1) + o(x )= (−1) + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0 n

cos x = 1 −

X x2 x4 x2n x2k + + · · · + (−1)n + o(x2n+1 ) = (−1)k + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0 n

sh x = x +

X x2k+1 x3 x5 x2n+1 + + ··· + + o(x2n+2 ) = + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0

ch x = 1 +

X x2k x2n x2 x4 + + ··· + + o(x2n+1 ) = + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0

tan x = x +

x3 2x5 + + o(x6 ) 3 15

th x = x −

x3 2x5 + + o(x6 ) 3 15 n

X 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o(xn ) = (−1)k xk + o(xn ) 1+x k=0 n

X 1 = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn ) = xk + o(xn ) 1−x k=0 (1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + o(xn ) 2! n! n

X xn xk x2 x3 ln(1 + x) = x − + + · · · + (−1)n+1 + o(xn ) = (−1)k+1 + o(xn ) 2 3 n k k=1 n X x2 x3 xn xk n ln(1 − x) = −x − − − ··· − + o(x ) = − + o(xn ) 2 3 n k k=1 n

X x3 x5 x2k+1 x2n+1 arctan x = x − + + · · · + (−1)n + o(x2n+2 ) = (−1)k + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 2k + 1 k=0 arcsin x = x +

1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7 + + + · · · + o(x2n+2 ) 2 3 2·4 5 2 · 4 · 6 7 22

arccos x =

π − arcsin x = · · · 2

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V.3

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Op´ erations sur les DL

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des DL a` l’origine, mais on peut facilement les adapter a` des développements en un autre point, voire en ±∞. Combinaisons lin´ eaires – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

Alors, pour tous scalaires α, β, on a : (αf + βg)(x) =

n P

bk xk + o(xn ).

k=0

(αak + βbk )xk + o(xn ).

k=0

– Exemples : √ √ π 2 2 x2 x3 x4 = (sin x + cos x) = 1+x− − + + o(x4 ) . sin x + 4 2 2 2! 3! 4! 5 3 1 1+x 1 x x x2n+1 ln = ln(1 + x) − ln(1 − x) = x + + + ··· + + o(x2n+2 ). 2 1−x 2 3 5 2n + 1 DL obtenu par primitivation – Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

Soit F une primitive de f sur l’intervalle I (donc une application dérivable telle que F 0 = f .) Alors F a en 0 un DL d’ordre n + 1 obtenu par intégration terme à terme de celui de f . n P ak k+1 Plus précisément : F (x) = F (0) + + o(xn+1 ) (ne pas oublier F (0)...) k+1 x k=0

– Exemples : x3 2x5 − + o(x6 ). Si f (x) = ln cos x, alors f 0 (x) = − tan x = −x − 3 15 x2 x4 x6 On en déduit f (x) = − − − + o(x7 ). 2 12 45 x+2 1 Si f (x) = arctan , alors f 0 (x) = = 1 − x2 + x4 − x6 + o(x7 ). 1 − 2x 1 + x2 x3 x5 x7 On en déduit f (x) = arctan 2 + x − + − + o(x8 ). 3 5 7 DL obtenu par d´ erivation – Soit f une application de classe C n+1 au voisinage de 0. Alors le développement limité de f 0 en 0 a` l’ordre n s’obtient en dérivant terme à terme le développement limité de f en 0 a` l’ordre n + 1 (ces deux développements résultent de la formule de Taylor-Young). Ce résultat est surtout utilisé pour des applications de classe C ∞ . 1 – Exemple : On sait que = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ). 1−x 1 Par dérivation, on en déduit : = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 · · · + (n + 1)xn + o(xn ). (1 − x)2 1 Un nouvelle dérivation donne : = 1 + 3x + 6x2 + · · · + (n + 2)(n + 1)xn + o(xn ). (1 − x)3 23

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Produit de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) = Alors (f g)(x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

bk xk + o(xn ).

k=0

ck xk + o(xn ), avec ck =

k=0

n P

ai b j .

i+j=k

– Exemples : 1 x2 x3 x4 + + + o(x4 ) et = 1 + x + x2 + x3 + x4 + o(x4 ). 2! 3! 4! 1−x ex 5 8 65 4 On en d´eduit = 1 + 2x + x2 + x3 + x + o(x4 ) 1−x 2 3 24

On a ex = 1 + x +

1 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) ⇒ = 1 + 2x + 3x2 + · · · + (n + 1)xn + o(xn ). 1−x (1 − x)2

Composition de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=1

n P

bk xk + o(xn ).

k=0

Remarque : il est important que le coefficient constant a0 du DL de f soit nul. Autrement dit l’application f doit être un infiniment petit quand x tend vers 0. Dans ces conditions, l’application g ◦ f admet un DL d’ordre n en 0. n n P P Si on note P = ak xk et Q = bk xk les parties régulières des DL de f et g, alors la partie k=1

k=0

régulière de celui de g ◦ f est obtenue en conservant les termes de degré ≤ n dans Q ◦ P . n P Dans la pratique, on pose g(X) = bk X k + o(X n ) et on remplace X par le DL de f (x). k=0

On calcule de proche en proche les DL des puissances successives X k = f (x)k , en ne gardant à chaque étape que les puissances xm avec m ≤ n. – Exemple : Supposons f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ) et g(X) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ). Posons X = f (x) = x − x2 + 2x3 + x4 + o(x4 ). On trouve X 2 = x2 − 2x3 + 5x4 + o(x4 ), puis X 3 = x3 − 3x4 + o(x4 ) et X 4 = x4 + o(x4 ). On en déduit le développement limité de g ◦ f à l’ordre 4 à l’origine : (g ◦ f )(x) = 1 + X + 3X 2 − X 3 − X 4 + o(X 4 ) = 1 + x + 2x2 − 5x3 + 18x4 + o(x4 ) Les calculs précédents peuvent avantageusement prendre place dans un tableau comme indiqué ci-contre. Un tel tableau est particulièrement indiqué quand aucun des deux DL a` composer n’est pair ou impair.

X x −x 2x x X2 x2 −2x3 5x4 X3 x3 −3x4 X4 x4 x 2x2 −5x3 18x4

coeff 1 3 −1 −1

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Inverse d’un DL – Soit f : I → IR admettant un DL d’ordre n en 0 : f (x) =

n P

ak xk + o(xn ).

k=0

On suppose que a0 6= 0 (autrement dit f possède une limite non nulle en 0.) 1 Dans ces conditions l’application x 7→ possède un DL d’ordre n en 0. f (x) 1 1 1 = o` u g(x) = − a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ) . Pour cela on écrit f (x) a0 (1 − g(x)) a0 1 On compose ensuite le DL de x 7→ g(x) par celui de x 7→ . 1−x – Exemple : 1 à l’origine, à l’ordre 7. On veut calculer le développement limité de x 7→ cos x 2 4 6 x x x + − + o(x7 ). On sait que cos x = 1 − 2! 4! 6! 1 1 x2 x4 x6 On pose donc = , avec X = g(x) = − + + o(x7 ). cos x 1 − g(x) 2! 4! 6! 1 = 1 + X + X 2 + X 3 + O(X 4 ). On utilise ensuite 1−X 4 x x6 x6 On trouve X 2 = − + o(x7 ) et X 3 = + o(x7 ). 4 24 8 x2 5x4 61x6 1 On obtient finalement : =1+ + + + o(x7 ). cos x 2 24 720 Quotient de deux DL – Soient f, g : I → IR telles que f (x) =

n P

ak xk + o(xn ) et g(x) =

k=0

n P

bk xk + o(xn ), avec b0 6= 0.

k=0

On suppose donc que l’application g ne tend vers 0 a` l’origine. f Dans ces conditions, admet un DL en 0 a` l’ordre n. g Ce d´eveloppement est obtenu en effectuant le produit de celui de f par celui de

1 . g

– Exemple : On peut obtenir le développement limité de tan x en 0 par quotient. x3 x5 x7 On sait que sin x = x − + − + o(x8 ). 3! 5! 7! 1 x2 5x4 61x6 On a vu précédemment que =1+ + + + o(x7 ). cos x 2 24 720 On en déduit le développement limité de x 7→ tan x en 0, à l’ordre 8 : sin x x2 x4 x6 x2 5x4 61x6 =x 1− + − + o(x7 ) 1 + + + + o(x7 ) cos x 6 120 5040 2 24 720 3 5 7 x 2x 17x =x+ + + + o(x8 ) 3 15 315

tan x =

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Quelques remarques pour finir – Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0. On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 0. De même, on suppose que g(x) = bq xq + bq+1 xq+1 + bq+2 xq+2 + · · ·, avec q ≥ 0. Pour former le DL du produit f g à l’ordre n, il suffit de former celui de f à l’ordre n − q et celui de g à l’ordre n − p. Par exemple, pour calculer le DL de (1 − cos x)(sin x − x) en 0 a` l’ordre 8 : x2 x4 x3 x5 On écrit 1 − cos x = − + o(x5 ) et sin x − x = − + + o(x6 ). 2! 4! 3! 5! On en déduit : x2 x4 x3 x5 x5 x7 (1 − cos x)(sin x − x) = − + o(x5 ) − + + o(x6 ) = − + + o(x8 ) 2 24 6 120 12 90 – Soient f, g : I → IR deux applications admettant un DL en 0. On suppose que f (x) = ap xp + ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 + · · ·, avec p ≥ 1. De même, on suppose que g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · ·. Pour former le DL de g ◦f en 0, on écrit : (g ◦f )(x) = b0 +b1 f (x)+b2 f 2 (x)+· · ·+bk f k (x)+· · · Mais le développement de f k (x) débute par (ap xp )k = akp xpk . On voit que pour obtenir le DL de g ◦ f en 0 a` l’ordre n, il faut porter celui de f à un ordre m tel que pm ≤ n < p(m + 1). Donc m = E( np ). Par exemple, pour calculer le DL de ln(1 + x − arctan x) en 0 a` l’ordre 6 : x3 x5 X2 On écrit X = x − arctan x = − + o(x6 ) et ln(1 + X) = X − + O(X 3 ). 3 5 2 x6 x3 x5 x6 On trouve X 2 = + o(x6 ) puis ln(1 + x − arctan x) = − − + o(x6 ) 18 3 5 18 – Quand on doit calculer le DL à un ordre déterminé d’une application f qui s’exprime en fonction d’autres applications g, h, . . . il faut prendre le temps de comprendre a` quel ordre les DL de g, h, . . . doivent être calculés. Il y a en effet deux risques : celui de partir avec des DL trop “longs” et de faire beaucoup de calculs inutiles, et celui au contraire de partir avec des DL trop “courts” ce qui oblige à tout recommencer. √ 1 Par exemple, pour calculer le DL en 0 (à droite) de f (x) = ln(cos x) a` l’ordre 2 : x √ x2 x4 x6 x x2 x3 + − + O(x8 ) puis cos x = 1 − + − + o(x3 ). On écrit cos x = 1 − 2! 4! 6! 2 24 720 x x2 x3 X2 X3 3 On pose X = − + − +o(x ) et on compose par ln(1+X) = X − + +o(X 3 ). 2 24 720 2 3 2 3 √ x x x Après calcul, on trouve : ln(cos x) = − − − + o(x3 ). 2 12 45 Finalement, la division par x fait chuter l’ordre du DL d’une unité. √ 1 1 x x2 Le développement cherché est donc : ln(cos x) = − − − + o(x2 ). x 2 12 45 Pour obtenir un résultat a` l’ordre 2, il a donc fallu développer x 7→ cos x à l’ordre 6. 26

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– Quand on veut calculer le DL de g ◦ f en 0 en composant les développements de f et de g à l’origine, il faut veiller a` ce que f (x) soit bien un infiniment petit lorsque x tend vers 0, afin que la substitution de X par f (x) soit justifiée dans le développement de g(X). Si ce n’est pas le cas, on peut souvent s’y ramener, comme dans les exemples suivants : exp f (x) = exp(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = exp(a0 ) exp(a1 x + a2 x2 + · · ·). X2 + ··· On pose alors X = a1 x + a2 x2 + · · · et on utilise exp(X) = 1 + X + 2! a2 a1 ln f (x) = ln(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·) = ln(a0 ) + ln 1 + x + x2 + · · · . a0 a0 a1 a2 2 X2 On pose alors X = x + x + · · · et on utilise ln(1 + X) = X − + ··· a0 a0 2 α a2 a1 f (x)α = (a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·)α = aα0 1 + x + x2 + · · · . a0 a0 a1 a2 2 α(α − 1) 2 On pose alors X = x + x + · · · et on utilise (1 + X)α = 1 + αX + X +··· a0 a0 2 α(α − 1) · · · (α − k + 1) – On sait que (1 + x)α = 1 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ), o` . u ak = k! Si on doit former un tel développement avec une valeur particulière de α, et plutôt que d’utiliser la formule donnant ak , il est préférable de calculer les ak de proche en proche, au moyen d’un tableau comme indiqué ci-dessous : ∗α

∗(α − 1) ∗ 21 ∗(α − 2) ∗ 13 ∗(α − 3) ∗ 14 ∗(α − 4) ∗ 15

a0 = a1

= a2

Par exemple, pour d´evelopper f (x) = ∗ 12

= a3 √

1 ∗ −1 2 ∗2

= a4

= a5

1+x : 1 ∗ −3 2 ∗3

1 ∗ −5 2 ∗4

1 ∗ −7 2 ∗5

1 −5 7 = a0 = a1 = 21 = a2 = −1 = a3 = 16 = a4 = 128 = a5 = 256 8

√

x x2 x3 5x4 7x5 − + − + + o(x5 ) 2 8 16 128 256 – Il arrive qu’on ait besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une expression (notamment quand cette expression est constituée de sommes). Par exemple, pour un équivalent de sin(sh x) − sh (sin x) en 0, il faut développer sin x et sh x à l’ordre 7 (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas) : x5 x7 On trouve d’abord sin(sh x) = x − − + o(x7 ). 15 90 x5 x7 On trouve ensuite sh (sin x) = x − + + o(x7 ). 15 90 x7 x7 On en déduit : sin(sh x) − sh (sin x) = − + o(x7 ) ∼ − . 45 45 On en déduit :

1+x=1+

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