integral des fonctions

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Int´ egration des fonctions num´ eriques Sommaire I

II

III

IV

V VI

VII

Int´ egrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . .

I.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 Int´egrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . .

Int´ egrale des fonctions continues par morceaux . . . .

II.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . .

II.2 Int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . .

II.3 Propri´et´es de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.4 Extension de la d´efinition et nouvelle notation . . . . .

Calcul approch´ e des int´ egrales . . . . . . . . . . . . . .

III.1 Convergence des sommes de Riemann . . . . . . . . . .

III.2 M´ethode des trap`ezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Primitives et int´ egrale d’une fonction continue . . . . .

IV.1 Le th´eor`eme fondamental et ses cons´equences . . . . . .

IV.2 M´ethodes de calcul des int´egrales . . . . . . . . . . . . .

IV.3 Tableau de primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . .

Compl´ ements sur le calcul des primitives . . . . . . . .

Fonctions ` a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . .

VI.1 Limites et continuit´e des fonctions `a valeurs complexes .

VI.2 D´erivabilit´e des fonctions `a valeurs complexes . . . . . .

VI.3 Int´egration des fonctions `a valeurs complexes . . . . . .

Int´ egration sur un intervalle quelconque . . . . . . . .

VII.1 Int´egrabilit´e des fonctions continues `a valeurs positives .

VII.2 Propri´et´es de l’int´egrale des fonctions positives . . . . .

VII.3 Op´erations sur les fonctions int´egrables positives . . . .

VII.4 Int´egrabilit´e des fonctions continues `a valeurs complexes VII.5 Utilisation des int´egrales de Riemann . . . . . . . . . .

VII.6 Int´egrale des fonctions `a valeurs r´eelles ou complexes . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 5 5 5 6 9 11 11 12 14 14 15 17 18 23 23 24 25 26 26 27 29 29 30 31

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I

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Int´ egrale des fonctions en escaliers

Dans ce chapitre, [a, b] d´esigne un segment de IR, avec a < b.

I.1

Fonctions en escaliers

D´ efinition (subdivisions) On appelle subdivision de [a, b] toute suite finie (x0 = a < x1 < . . . < xn−1 < xn = b).

L’ensemble {a = x0 , . . . , xk , . . . , xn = b} est appel´e le support de la subdivision.

La quantit´e h = max(xk+1 − xk ) est appel´ee le pas de la subdivision.

Remarque Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b].

On dit que σ est plus fine que σ 0 si le support de σ contient celui de σ 0 .

La subdivision not´ee σ ∪ σ 0 et dont le support est la r´eunion de ceux de σ et de σ 0 est plus fine que chacune des subdivisions σ et σ 0 . R´eciproquement si une subdivision de [a, b] est plus fine que σ et σ 0 , alors elle est plus fine que la subdivision σ ∪ σ 0 .

D´ efinition (applications en escaliers sur un segment) Soit ϕ une application de [a, b] dans IR. On dit que ϕ est en escaliers s’il existe une subdivision σ = (xk )0 ≤ k ≤ n de [a, b] et n r´eels λ0 , λ1 , . . . , λn−1 tels que : ∀ k = 0, . . . , n − 1, ∀ t ∈ ]xk , xk+1 [, ϕ(t) = λk .

On dit alors que la subdivision σ est adapt´ee (ou encore subordonn´ee) `a ϕ.

On note E([a, b], IR) l’ensemble des fonctions en escaliers sur [a, b].

Exemple La figure .1 repr´esente une fonction en escaliers ϕ sur le segment [a, b]. On n’a pas repr´esent´e les valeurs de ϕ aux points xk , car ces valeurs sont sans importance.

D´ efinition (applications en escaliers sur un intervalle quelconque) Soit I un intervalle de IR d’int´erieur non vide. Soit ϕ une application de I dans IR. On dit que ϕ est en escaliers sur I s’il existe un segment [a, b] de I tel que : – L’application ϕ est nulle en dehors du segment [a, b].

– La restriction ψ de ϕ `a [a, b] est en escaliers sur [a, b].

Une subdivision de [a, b] adapt´ee a` ψ est encore dite adapt´ee `a ϕ.

Remarques et propri´ et´ es – Dans la pratique, on consid´erera surtout des fonctions en escaliers sur un segment [a, b].

– Si σ est une subdivision adapt´ee `a ϕ, toute subdivision plus fine que σ est adapt´ee `a ϕ.

– Les fonctions constantes sur [a, b] sont des cas particuliers de fonctions en escaliers.

– Si ϕ, ψ sont en escaliers sur [a, b], alors : ∀ (α, β) ∈ IR2 , αϕ + βψ est en escaliers sur [a, b].

Plus g´en´eralement, toute combinaison lin´eaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers.

De mˆeme ϕψ est en escaliers sur [a, b] (comme tout produit de fonctions en escaliers.)

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Fig. .1 – Une fonction en escaliers

I.2

Int´ egrale des fonctions en escaliers

D´ efinition Soient ϕ : [a, b] → IR une fonction en escaliers et σ = (xk )0 ≤ k ≤ n une subdivision adapt´ee.

On suppose que : ∀ k ∈ {0, . . . , n − 1}, ∀ t ∈ ]xk , xk+1 [, ϕ(t) = λk .

Z n−1 X Le r´eel (xk+1 − xk )λk est appel´e int´egrale de ϕ et est not´e ϕ. [a,b]

k=0

Interpr´ etation graphique Comme le montre la figure .2, l’int´egrale de ϕ est ´egale a` la somme des “aires” alg´ebriques (compt´ees positivement ou n´egativement selon le signe des λk ) des zones rectangulaires d´efinies par le graphe de ϕ : Remarques et propri´ et´ es – L’int´egrale de ϕ ne d´epend pas de la subdivision adapt´ee `a ϕ choisie.

Z – Si ϕ est constante ´egale a` λ sur [a, b], alors ϕ = (b − a)λ. [a,b]

– Soient ϕ en escaliers sur [a, b] et ψ ne Z diff´erant Z de ϕ qu’en un nombre fini de points.

Alors ψ est en escaliers sur [a, b] et ψ= ϕ. [a,b]

[a,b]

– Soit ϕ une application nulle sur [a, b], Zsauf peut-ˆetre en un nombre fini de points.

Alors ϕ est ´el´ement de E([a, b], IR) et

ϕ = 0. [a,b]

– Soit ϕ un ´el´ement de E([a, b], IR). Soit c est un ´el´ement de ]a, b[.

Z Alors les restrictions de ϕ `a [a, c] et [c, b] sont en escaliers et : [a,b]

Z ϕ=

Z ϕ+

[a,c]

ϕ. [c,b]

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Fig. .2 – Int´egrale d’une fonction en escaliers

Lin´ earit´ e de l’int´ egrale Soient ϕ, ψ deux applications en escaliers sur [a, b], et soient α, β deux r´eels.

Z Z Z Alors on a l’´egalit´e (αϕ + βψ) = α ϕ+β ψ. [a,b] [a,b] [a,b] Z L’application qui `a ϕ associe ϕ est donc lin´eaire de E([a, b], IR) dans IR. [a,b]

Positivit´ e et croissance Z – Soient ϕ, ψ dans E([a, b], IR). Si ϕ ≥ 0 alors

Z ϕ ≥ 0. Si ϕ ≤ ψ alors :

[a,b]

Z ϕ≤

[a,b]

ψ. [a,b]

Z

Z

ϕ

≤ |ϕ|.

– Si ϕ ∈ E([a, b], IR), alors |ϕ| : t 7→ |ϕ(t)| ∈ E([a, b], IR) et

[a,b] [a,b]

Z

– Si ϕ est en escaliers de [a, b] dans IR, alors

ϕ

≤ (b − a) sup |ϕ(t)|. [a,b]

t∈[a,b]

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II II.1

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Int´ egrale des fonctions continues par morceaux Fonctions continues par morceaux

D´ efinition On dit qu’une application f : [a, b] → IR est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = {x0 = a, x1 , . . . , xn = b} de [a, b] (dite adapt´ee a` f , ou encore subordonn´ee `a f ) telle que, pour tout k de {0, . . . , n − 1} : – La restriction fk de f `a ]xk , xk+1 [ est continue.

– Cette restriction est prolongeable par continuit´e aux points xk et xk+1 .

On note Cm ([a, b], IR) l’ensemble des applications continues par morceaux sur [a, b].

Remarques et propri´ et´ es – Si σ est une subdivision adapt´ee `a f , toute subdivision plus fine que σ est adapt´ee `a f .

– Dire que f est continue par morceaux sur [a, b], c’est dire que f n’a au plus qu’un nombre fini de discontinuit´es sur [a, b], et que toutes sont de premi`ere esp`ece : en chaque point de discontinuit´e, il y a une limite `a gauche et une limite a` droite, et ces limites sont finies.

– Toute application continue par morceaux sur [a, b] est born´ee sur [a, b].

Toute application continue sur [a, b] est continue par morceaux.

Toute application en escaliers sur [a, b] est continue par morceaux.

– Soient f, g deux applications continues par morceaux sur [a, b].

Pour tous scalaires α et β, l’application αf + βg est continue par morceaux sur [a, b].

De mˆeme, l’application f g est continue par morceaux sur [a, b].

– Soit I un intervalle quelconque de IR, d’int´erieur non vide.

Soit f une application d´efinie sur I, `a valeurs r´eelles.

On dit que f est continue par morceaux sur I si elle l’est sur tout segment de I. Par exemple, l’application “partie enti`ere” est continue par morceaux sur IR. – Si f est continue par morceaux il en est de mˆeme de l’application |f | : x 7→ |f (x)|.

II.2

Int´ egrale des fonctions continues par morceaux

Proposition (approximation par des applications en escaliers) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Pour tout ε > 0, il existe deux applications en escaliers ϕ, ψ telles que : – Pour tout x de [a, b], ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x).

– Pour tout x de [a, b], 0 ≤ ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε.

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Proposition Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Il existe une suite (ϕn )n≥0 de fonctions en escaliers telles que lim

n→∞

sup |f − ϕn |

= 0.

[a,b]

On dit que la suite (ϕn ) converge uniform´ement vers f sur [a, b].

D’apr`es la proposition pr´ec´edente, on peut choisir la suite (ϕn ) telle que pour tout n de IN on ait ϕn ≤ f (ou au contraire telle que pour tout n de IN on ait f ≤ ϕn .)

Proposition (int´egrale sur Cm ([a, b], IR)) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Soit (ϕn )n≥0 une suite de fonctions en escaliers, uniform´ement convergente vers f sur [a, b].

Z Z Z Alors la suite des int´egrales ϕn est convergente. On pose f = lim ϕn . [a,b]

[a,b]

n→∞

[a,b]

Cette quantit´e est appel´ee int´egrale de f sur [a, b].

Remarques Z – La valeur de

f ne d´epend pas de la suite (ϕn ) de E([a, b], IR) utilis´ee pour approcher f .

[a,b]

– Si l’application f est en escaliers sur [a, b] elle est continue par morceaux.

L’int´egrale de f est ´evidemment la mˆeme selon les deux points de vue.

– Si f est `a valeurs positives, la suite (ϕn ) peut ˆetre choisie telle que ϕn ≥ 0 pour tout n.

Interpr´ etation en terme d’aire Soit f une application continue par morceaux sur [a, b]. L’int´egrale de f sur [a, b] repr´esente l’aire alg´ebrique du domaine situ´e entre la courbe y = f (x) et l’axe Ox, cette “aire” ´etant compt´ee positivement sur les intervalles o` u f ≥ 0 et n´egativement sur les intervalles o` uf ≤0 (voir figure .3).

Num´eriquement, le r´esultat est exprim´e en unit´es d’aire (ua).

II.3

Propri´ et´ es de l’int´ egrale

Elles d´ecoulent des propri´et´es analogues de E([a, b], IR) par passage `a la limite.

Proposition (lin´earit´e de l’int´egrale) Soient f, g deux applications continues par morceaux sur [a, b], et soient α, β deux scalaires.

Z Z Z Alors on a l’´egalit´e : (αf + βg) = α f +β g. [a,b] [a,b] [a,b] Z Ainsi l’application qui `a f associe f est lin´eaire de Cm ([a, b], IR) dans IR. [a,b]

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Fig. .3 – Interpr´etation de l’int´egrale

Proposition (positivit´e et croissance de l’int´egrale) Soient f et g deux applications continues par morceaux sur [a, b] (on rappelle que a < b.)

Z f ≥ 0.

– Si f est positive ou nulle sur [a, b], alors [a,b] Z Z f≤ g.

– Si f ≤ g sur [a, b], alors [a,b]

[a,b]

Proposition Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Z On suppose que l’application f garde un signe constant sur [a, b] et que

f = 0. [a,b]

Si f est continue en un point x0 de [a, b], alors f (x0 ) = 0.

En particulier, si f est continue sur [a, b], alors f est identiquement nulle.

Remarques Z – Si f ≥ 0 est continue en un point x0 de [a, b] et si f (x0 ) > 0, alors

f > 0.

Z Donc si f est continue ≥ 0 mais non identiquement nulle sur [a, b], alors f > 0.

Z Z [a,b] f< g.

– Si f et g sont continues, si f ≤ g sur [a, b] et si f 6= g, alors [a,b]

[a,b]

[a,b]

Proposition (in´egalit´e de la moyenne) Soient f, g deux applications continues par morceaux de [a, b] dans IR.

Z

Z

Alors on a l’in´egalit´e :

f g ≤ sup |f | |g|. [a,b] [a,b] [a,b]

Z

Z

En particulier :

f

≤ |f | ≤ (b − a) sup |f (x)|. [a,b]

[a,b]

x∈[a,b]

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D´ efinition (valeur moyenne d’une application) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Z 1 f est appel´e valeur moyenne de f sur [a, b].

La quantit´e b−a [a,b]

Remarques 1 – On a inf f ≤ b−a [a,b]

Z

Z f ≤ sup f . Si f est continue, ∃ c ∈ [a, b] tel que

[a,b]

[a,b]

f = (b − a)f (c). [a,b]

Z – La valeur moyenne λ de f v´erifie l’´egalit´e

Z f =

[a,b]

λ : c’est le r´eel par lequel on peut [a,b]

remplacer f sans changer l’int´egrale de f .

Sur la figure .4 les deux aires hachur´ees sont donc ´egales.

Fig. .4 – Interpr´etation de la valeur moyenne

Proposition (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz) Z Soient f, g : [a, b] → IR, continues par morceaux. Alors on a

2 fg

[a,b]

Z ≤

f [a,b]

2

Z

g2.

[a,b]

Si f, g sont continues, il y a ´egalit´e⇔ f, g sont proportionnelles.

Proposition (relation de Chasles) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux, et soit c un point de ]a, b[.

Z Z Z Alors f est continue par morceaux sur [a, c] et sur [c, b], et on a : f= f+ [a,b]

[a,c]

f.

[c,b]

Remarques diverses – Extension aux applications d´ efinies “presque partout” Si f est continue par morceaux sur [a, b] et si g ne diff`ere Z de f qu’en Z un nombre fini de points, alors g est encore continue par morceaux sur [a, b], et

f= [a,b]

g. [a,b]

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Si f est d´efinie sur [a, b] sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points x0 = a < x1 < . . . < xn = b, et si la restriction de f `a chaque ]xk , xk+1 [ est prolongeable par continuit´e a` [xk , xk+1 ], on peut donc encore d´efinir l’int´egrale de f , en donnant `a f une valeur quelconque en chacun des xk .

– Invariance de l’int´ egrale par translation Soit f : [a, b] → IR, continue par morceaux. Soit α un nombre r´eel.

On d´efinit l’application g de J = [a + α, b + α] dans IR par g(t) = f (t − α).

Z Z Alors g est continue par morceaux sur J et g= f.

J

II.4

I

Extension de la d´ efinition et nouvelle notation

Dans cette section, I d´esigne un intervalle de IR, d’int´erieur non vide.

D´ efinition Soit f : I → IR, continue par morceaux. Pour tous points a, b de I, on note : Z b Z Z b Z Z b Si a < b, f= f; Si a > b, f =− f; Si a = b, f = 0. a

[a,b]

a

[b,a]

a

Remarques Z b – La notation f est donc valable pour deux points quelconques Z ba, b d’un Z aintervalle I sur a lequel f est continue par morceaux. On v´erifie que ∀ (a, b) ∈ I 2 , f =− f. a

b

– Les propri´et´es relatives `a la lin´earit´e restent valables, mais celles qui sont relatives `a la positivit´e et a` la croissance d´ependent de la position respective des bornes de l’int´egrale (le mieux est de v´erifier que ces bornes sont “dans le bon sens”.)

R

b

Par exemple, l’in´egalit´e de la moyenne devient : ∀ (a, b) ∈ I 2 , a f ≤ |b − a| sup |f |. [a,b]

– Soit f : I → IR, continue par morceaux, et soient a, b, c trois points quelconques de I. Z b Z c Z b On a toujours la relation de Chasles : f= f+ f Z cn a a c n−1 Z ck+1 X On peut g´en´eraliser a` une suite finie c1 , . . . , cn de points de I : f= f. c1

k=1

ck

– L’in´egalit´e de Cauchy-Scharz sur [a, b] reste valable, ind´ependamment de la position de a, b.

Notation Z On note souvent

b

Z f (t) dt plutˆot que

a

b

f . Dans cette notation t est une variable muette. a

Cette notation s’av`ere pratique dans le calcul des int´egrales par changement de variable.

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Utilisation d’une translation, de la parit´ e, de la p´ eriodicit´ e Z b Z b+α – L’invariance de l’int´egrale par translation s’´ecrit : f (t) dt = f (t − α) dt. a a+α Z a Z a Z a – Si l’application f est paire, alors f =2 f . Si f est impaire, alors f = 0. −a 0 −a Z b+kT Z b – Si f est T -p´eriodique sur IR, alors pour tout k de ZZ : f= f. a+kT a Z a+T Z b+T On a ´egalement l’´egalit´e f= f. a

b

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III III.1

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Calcul approch´ e des int´ egrales Convergence des sommes de Riemann

D´ efinition (sommes de Riemann) Soit f une application, d´efinie sur le segment [a, b] et a` valeurs r´eelles.

Soit S = {x0 = a, x1 , . . . , xn = b} une subdivision de [a, b].

Pour chaque k de {0, . . . , n − 1}, on choisit un r´eel ξk dans [xk , xk+1 ]. n−1 P La quantit´e RS (f ) = (xk+1 − xk )f (ξk ) est appel´ee somme de Riemann de f associ´ee `a k=0

la subdivision S (et au choix des abscisses ξk .)

Remarque Un cas particulier classique est celui o` u la subdivision S est r´eguli`ere, c’est-`a-dire form´ee en divisant [a, b] en n sous-segments de mˆeme longueur h = b−a n .

Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors xk = a + kh.

On choisit souvent ξk = xk , o` u ξk = xk+1 , ou encore ξk = 12 (xk + xk+1 ). n−1 P Les sommes de Riemann ainsi construites s’´ecrivent RS = b−a f (ξk ) n k=0

Interpr´ etation g´ eom´ etrique RS (f ) est la somme des aires alg´ebriques des zones rectangulaires de base [xk , xk+1 ] et de hauteur f (ξk ). Sur la figure .5, toutes ces aires sont compt´ees positivement.

On imagine que lorsque le pas de S tend vers 0, la somme RS (f ) tend vers l’aire alg´ebrique comprise entre Ox et la courbe y = f (x), c’est-`a-dire vers l’int´egrale de f sur [a, b].

Fig. .5 – Interpr´etation g´eom´etrique d’une somme de Riemann 11 c Page 11 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Proposition (convergence des sommes de Riemann) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux.

Soit ε un r´eel strictement positif.

Alors il existe un r´eel δ > 0 tel que pour toute subdivision S de [a, b] de pas inf´erieur ou

Z b

´egal a` δ on ait :

f (x) dx − RS (f ) ≤ ε. a

Proposition (Cas particulier) Soit f : [a, b] → IR continue par morceaux.

Z b

n−1 1 P b−a 1 Alors on a l’´egalit´e lim n f a + k n = b−a f (x) dx. n→∞

k=0

a

Remarques – Dans ce r´esultat, on peut remplacer

n−1 P k=0

par

n P k=0

ou par

n P

: cela ne change rien.

k=1

– La proposition pr´ec´edente permet de calculer des limites de suites dont le terme g´en´eral peut ˆetre interpr´et´e comme une somme de Riemann.

Il est recommand´e de comparer un avec la forme g´en´erale d’une somme de Rimeann, pour ´eviter toute erreur sur le segment [a, b] et sur l’application f .

1 1 1 Posons par exemple : un = n+1 + n+2 + · · · + 2n .

n P 1 On constate que un = n1 f a + k b−a n , avec a = 0, b = 1 et f (x) = 1+x . k=1 Z b Z 1 dx 1 f (x) dx = On en d´eduit lim un = b−a 1+x = ln 2. n→∞

III.2

a

0

M´ ethode des trap` ezes

Proposition Soit f : [α, β] → IR une application de classe C 2 . Soit M2 (f ) = sup |f 00 |. [α,β]

Soit ϕ : [α, β] → IR l’application affine telle que ϕ(α) = f (α) et ϕ(β) = f (β).

(t − α)(β − t)

∀ t ∈ [α, β], f (t) − ϕ(t) ≤ M2 (f ).

2 Z β Z β f (α) + f (β) (β − α)3 On a ϕ(t) dt = (β − α) et (t − α)(β − t) dt = .

2 6 α α

Z β

(β − α)3 f (α) + f (β)

On en d´eduit

f (t) dt − (β − α) ≤ M2 (f ).

2 12 α

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Sur le sch´ema ci-contre, on voit comment on approche l’int´egrale de f sur [α, β] par celle de ϕ.

Graphiquement, on approche l’aire du domaine situ´e entre l’axe Ox et la courbe y = f (x) par celle du trap`eze construit sur les points (α, 0), (β, 0), (α, f (α)), (β, f (β)).

Soit f : [a, b] → IR une application de classe C 2 . Soit M2 (f ) = sup |f 00 |. [a,b]

La m´ethode des trap`ezes consiste a` d´ecomposer l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles ´egaux [xk , xk+1 ] et `a appliquer sur chacun d’eux l’approximation Z xk+1 Z xk+1 f (xk ) + f (xk+1 ) b−a f (t) dt ≈ (xk+1 −xk ) c’est-`a-dire f (t) dt ≈ (f (xk )+f (xk+1 )) 2 2n xk xk Apr`es sommation, on en d´eduit l’approximation suivante de l’int´egrale de f sur [a, b] : Z a

b

n−2 n−1

b−aX b − a f (a) + f (b) X f (xk ) (f (xk ) + f (xk+1 )) = + f (t) dt ≈ In (f ) avec In (f ) = 2n k=0 n 2 k=1

Un majorant de l’erreur commise sur [xk , xk+1 ] est

(b − a)3 (xk+1 − xk )3 M2 (f ) = M2 (f ).

12 12n3

Z b

(b − a)3

Une majoration de l’erreur globale sur [a, b] est donc

f (t) dt − In (f ) ≤ M2 (f ).

12n2 a Remarques Si f ne change pas de concavit´e, alors on connait le sens de l’erreur dans cette m´ethode : Z b Si f est concave sur [a, b], alors In (f ) ≤ f (t) dt (cf. figure ci-dessus) a Z b Si f est convexe, alors f (t) dt ≤ In (f ). a

Il y a bien d’autres m´ethodes d’approximation des int´egrales, mais seule la m´ethode des trap`ezes est explicitement au programme.

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IV

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Primitives et int´ egrale d’une fonction continue

Dans cette section, I est un intervalle de IR, d’int´erieur non vide.

IV.1

Le th´ eor` eme fondamental et ses cons´ equences

D´ efinition (primitive sur un intervalle) Soit f une application de I dans IR. On dit qu’une application F : I → IR est une primitive de f sur I si F est d´erivable sur I et si, pour tout x de I : F 0 (x) = f (x).

Proposition (relation entre les primitives d’une mˆeme fonction) Soit f une application I dans IR admettant une primitive F sur I. Soit G une application de I dans IR. G est une primitive de f sur I ⇔ il existe une constante λ telle que, pour tout x de I, G(x) = F (x) + λ.

Proposition (primitive prenant une valeur donn´ee en un point donn´e) Soit f : I → IR, admettant une primitive F sur I. Soient a dans I et λ dans IR. Il y a une seule primitive G de f telle que G(a) = λ. Elle est donn´ee par G = F − F (a) + λ.

En particulier, H = F − F (a) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

Th´ eor` eme (le th´eor`eme “fondamental”) Si f : I → IR est une application continue, elle admet des primitives sur I. Z

x

Celle de ces primitives qui s’annule en un point a de I est donn´ee par F : x 7→

f (t) dt. a

Proposition (expression d’une int´egrale a` l’aide d’une primitive quelconque) Soit f : I → IR une application continue.

Z b 2 Pour toute primitive F de f , on a : ∀ (a, b) ∈ I , f (t) dt = [F ]ba = F (b) − F (a). a

Remarque Z b 2 1 f 0 (t) dt = f (b) − f (a).

Si f est de classe C sur I, on a : ∀ (a, b) ∈ I , a

Proposition (int´egrale fonction de sa borne sup´erieure) Soit f : I → IR une application continue par morceaux. Soit a un point de I. Z x L’application F : x 7→ f (t) dt est appel´ee int´egrale fonction de sa borne sup´erieure. a

L’application F est continue sur l’intervalle I. Soit x0 un point de I (distinct de l’extr´emit´e droite de I).

Alors F est d´erivable `a droite en x0 et Fd0 (x0 ) = lim f (x). x→x0 +

Soit x0 un point de I (distinct de l’extr´emit´e gauche de I).

Alors F est d´erivable `a gauche en x0 et Fg0 (x0 ) = lim f (x). x→x0 −

On retrouve que si f est continue sur I, alors F est de classe C 1 sur I et F 0 = f .

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Exemples

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f (x) = 0 si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 1 si 1 < x ≤ 2 Z x Soit F l’application d´efinie sur [0, 2] par F (x) = f (t) dt.

– Soit f l’application d´efinie sur [0, 2] par

0

On constate que F (x) = 0 sur [0, 1] et que F (x) = x − 1 sur [1, 2].

L’application F est donc continue sur [0, 1].

Elle n’est pas d´erivable en x = 1 car f n’est pas continue en ce point.

On constate cependant que Fg0 (1) = 0 = lim f (x) et que Fd0 (1) = 1 = lim f (x). x→1−

x→1+

– L’application “partie enti`ere” f : x 7→ E(x) est continue par morceaux sur IR. Z x

E(x)+1 .

Pour tout x de IR, on a F (x) = f (t) dt = E(x) x − 2 0

L’application F est continue sur IR, mais n’est pas d´erivable aux points k de ZZ. On a cependant Fg0 (k) = k − 1 = lim f (x) et Fd0 (k) = k = lim f (x). x→k−

x→k+

Proposition (int´egrale fonction de ses bornes) Soit f une application continue de I dans IR. Soient u et v deux applications de classe C 1 , de J dans IR, telles ques u(J) ⊂ I et v(J) ⊂ I. Z

v(x)

f (t) dt est de classe C 1 .

L’application G de J dans IR d´efinie par G(x) = u(x)

Sa d´eriv´ee est : ∀ x ∈ J, G0 (x) = v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x)).

IV.2

M´ ethodes de calcul des int´ egrales

Si l’int´egrale cherch´ee ne peut pas ˆetre obtenue imm´ediatement par utilisation d’une primitive usuelle, on cherche souvent a` transformer l’int´egrale initiale en une ou plusieurs autres que l’on sait calculer. Voici `a cet effet un certain nombre de m´ethodes courantes.

Proposition (int´egration par parties) Z

1

b

Soient f, g : [a, b] → IR, de classe C . Alors

0

fg =

[f g]ba

a

Z −

b

f 0 g.

a

Proposition (int´egrations par parties r´ep´et´ees) Soient f et g deux applications de classe C n sur le segment [a, b]. n−1 b Z b Z b P (n) k (k) (n−1−k) n On a alors l’´egalit´e : fg = (−1) f g + (−1) f (n) g. k=0

a

Z

b

h

f g 00 = f g 0 − f 0 g

– Si n = 2 :

a

a

Z

ib

b 000

h

00

0 0

a

Z +

f 00 g.

a 00

fg = fg − f g + f g

– Si n = 3 : a

a

b

ib

Z −

a

15

b

f 000 g.

a

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Proposition (changement de variable) Soient I et J deux intervalles de IR d’int´erieur non vide. Soit f : I → IR, continue.

Soit ϕ : J → IR, de classe C 1 , telle que ϕ(J) ⊂ I. Z b Z ϕ(b) 0 Alors, pour tous points a et b de J, on a l’´egalit´e : (f ◦ ϕ) ϕ = f. a

ϕ(a)

Remarques – La formule s’´etend au cas o` u f est seulement continue par morceaux, mais il est alors n´ecessaire que ϕ soit strictement monotone sur [a, b].

Z d Z b c = ϕ(a) 0 f (x) dx, o` u – Le r´esultat pr´ec´edent peut aussi s’´ecrire : ϕ (t)f (ϕ(t)) dt = d = ϕ(b) c a Cette ´egalit´e peut ˆetre utilis´ee dans un sens ou dans l’autre selon les cas : Z b Z d 0 Dans le sens ϕ (t)f (ϕ(t)) dt ⇒ f (x) dx. a Z c b On veut calculer g(t) dt et on constate que g(t) se met sous la forme g(t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t). a

On pose alors x = ϕ(t), et on note que quand t = a et t = b alors x = c et x = d.

Z b Z b Z d 0 0 On ´ecrit dx = ϕ (t) dt puis g(t) dt = ϕ (t)f (ϕ(t)) dt = f (x) dx. a

a

c

Connaissant une primitive de F , on peut mˆeme ´ecrire directement : Z b h ib ϕ0 (t)f (ϕ(t)) dt = F ◦ ϕ(t) = F (ϕ(a)) − F (ϕ(b)) a

a

Voici trois situations classiques (le changement de variable est donc `a peine visible) : Z b Z b Z b 0 h ib h ϕr+1 (t) ib h ib ϕ (t) 0 r 0 ϕ(t) ϕ(t) ϕ (t) ϕ (t) dt = dt = ln |ϕ(t)| ; ϕ (t) e dt = e ; r+1 a a a a a a ϕ(t) Z d Z b Dans le sens f (x) dx ⇒ ϕ0 (t)f (ϕ(t)) dt. c Z a d On part donc de f (x) dx et on pose (indication, intuition, exp´erience, etc.) x = ϕ(t). c

Dans ce cas, il faut trouver a et b tels que ϕ(a) = c et ϕ(b) = d.

Il est pr´ef´erable de choisir ϕ et l’intervalle sur lequel cette application est d´efinie de mani`ere `a ce que ϕ soit bijective : on a alors a = ϕ−1 (c) et b = ϕ−1 (d).

Z 1√ h i Par exemple, pour calculer 1 − x2 dx, on pose x = ϕ(t) = sin t, avec t ∈ 0, π2 .

0 √ On a donc 1 − x2 = |cos t| = cos t, et dx = cos t dt.

D’autre part, quand x = 0 alors t = 0 et quand x = 1 alors t = π2 .

Z 1√ Z π/2 Z 1 π/2 π 2 2 On en d´eduit : 1 − x dx = cos t dt = (1 + cos(2t)) dt = .

2 0 4 0 0 Z 1√ Remarque : il y a un moyen encore plus simple de calculer 1 − x2 dx (lequel ?)

16

0

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– Un changement de variable affine permet de transformer une int´egrale sur un segment [a, b] en une int´egrale sur le segment [0, 1] ou sur [−1, 1].

Il suffit pour cela de poser x = a + t(b − a) : quand t parcourt [0, 1], x parcourt [a, b].

Z b Z 1 On obtient alors : f (x) dx = (b − a) g(t) dt, avec g(t) = f (a + t(b − a)). a

0

De mˆeme, en posant x = a+b + t b−a t parcourt [−1, 1], x parcourt [a, b].

2 : quand Z 2 Z b

On en d´eduit l’´egalit´e : a

IV.3

1

f (x) dx = b−a 2

−1

b−a h(t) dt, avec h(t) = f a+b 2 +t 2 .

Tableau de primitives usuelles

Les r´esultats qui figurent dans le tableau suivant doivent ˆetre parfaitement connus.

f (x)

F (x)

sur

f (x)

F (x)

sur

xα , (α 6= −1)

1 xα+1 α+1

IR+∗

1 1 + x2

arctan x

IR

1 x

ln |x|

IR−∗ , IR+∗

1 1 − x2

1

1 + x

ln

2 1−x

x 6= ±1

ex

ex

IR

√

a (a 6= 1)

ax ln a

IR

√

x

√

√ 1 ln(x + 1 + x2 ) 1 + x2

1 1 − x2 1

sin x

− cos x

IR

cos x

sin x

IR

tan x

sh x

ch x

IR

1 sin x

ch x

sh x

IR

1 cos x

1 cos2 x

tan x

π + kπ 2

1 ch 2 x

x 6=

x2 − 1

IR

arcsin x

] − 1, 1[

√

2 ln x + x − 1

|x| > 1

− ln |cos x|

x 6=

π + kπ 2

x

ln tan x 6= kπ

2

x π

π

ln tan +

x 6= + kπ 2 4 2 th x

IR

1 1 −cotan x x 6= kπ −coth x IR+∗ , IR−∗ 2 2 sin x sh x On peut g´en´eraliser quelques-uns des r´esultats ci-dessus, notamment : Z Z dx 1 x dx 1

x − a

= arctan + λ ; = ln

+λ x 2 + a2 a a x 2 − a2 2a x+a 17 c Page 17 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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V

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Compl´ ements sur le calcul des primitives

Tr`es souvent le calcul d’une int´egrale se ram`ene au calcul d’une primitive. Dans ce paragraphe, on va passer Z en revue quelques situations courantes.

On note

f (x) dx = F (x) + λ l’ensemble des primitives d’une application f .

1) Par lin´ earit´ eZ. On a bien sˆ ur

P

P

Z

λk fk (x) dx = λk fk (x) dx.

Z Z √ 1 2 1 x2 x− √ x−2+ dx = − 2x + ln |x| + λ.

Par exemple : dx = x 2 x 2) Primitives de sinZp x cosq x.

Si on veut calculer sinp x cosq x dx, avec p, q ∈ IN, tout d´epend de la parit´e de p et q.

Si p est impair, on peut poser t = cos x (donc dt = − sin x dx).

Z Z t7 t5 cos7 x cos5 x 3 4 2 4 Exemple : sin x cos x dx = (t − 1) t dt = − + λ = − + λ.

7 5 7 5 Si q est impair, on peut poser t = sin x (donc dt = cos x dx).

Z Z 2t3 t5 2 sin3 x sin5 x 5 + + λ = sin x − + + λ.

Exemple : cos x dx = (1 − t2 )2 dt = t − 3 5 3 5 Si p et q sont pairs, on lin´ Z earise.

1 sin 4x sin 2x 3x Exemple : cos4 x dx = (cos 4x + 4 cos 2x + 3) dx = + + + λ.

8 32 4 8 3) Primitives de P (x) eax , o` u P est un polynˆ ome.

On peut effectuer des int´egrations par parties successives (autant que le degr´e de P ), mais on doit r´eserver cette m´ethode au cas o` u deg P est “petit”.

Il est souvent pr´ef´erable d’utiliser une m´ethode de coefficients ind´etermin´es, et de chercher une primitive de P (x) eax sous la forme Q(x) eax , avec deg Q = deg P .

Z Exemple : On veut calculer (x3 − 2x + 1) e−x dx.

Z On pose (x3 − 2x + 1) e−x dx = Q(x) e−x + λ, avec Q(x) = αx3 + βx2 + γx + δ.

Par d´erivation et identification : (Q(x) e−x )0 = (Q0 (x) − Q(x)) e−x = (−αx3 + (3α − β)x2 + (2β − γ)x + γ − δ) e−x = (x3 − 2x + 1) e−x ⇒ α = −1, Z Ainsi

β = −3,

γ = −4,

δ = −5.

(x3 − 2x + 1) e−x dx = −(x3 + 3x2 + 4x + 5) e−x + λ.

18

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4) Primitives de P (x) sin ax, ou P (x) cos ax, ou P (x) sh ax ou P (x) ch ax.

On est ramen´e au cas pr´ec´edent en utilisant les formules d’Euler (dans les deux premiers cas, on obtient des int´egrales de fonctions `a valeurs complexes : ce sujet est trait´e un peu plus loin dans ce chapitre.)

Z ex + e−x Exemple : On veut calculer I = (x3 − 2x + 1) ch x dx. On remplace ch x par .

2 Z Z J +K 3 x On a donc I = , avec J = (x − 2x + 1) e dx et K = (x3 − 2x + 1) e−x dx.

2 On sait d´ej`a que J = −(x3 + 3x2 + 4x + 5) e−x + λ (voir exemple pr´ec´edent).

Une m´ethode analogue donne K = (x3 − 3x2 + 4x − 3)ex + λ.

On en d´eduit : I = 21 ex (x3 − 3x2 + 4x − 3) − 12 e−x (x3 + 3x2 + 4x + 5) + λ.

Dans le r´esultat, on peut remplacer ex par ch x + sh x et e−x par ch x − sh x.

Tout calcul fait, on trouve : I = −(3x2 + 4) ch x + (x3 + 4x + 1) sh x.

Remarque : Si les coefficients de P sont r´eels, on a int´erˆet `a ´ecrire : Z Z Z

Z

iax P (x) sin(ax) dx = Im P (x) e dx et P (x) cos(ax) dx = Re P(x) eiax dx Z Z

4 4 ix Exemple : On veut calculer J = x cos x dx. On ´ecrit J = Re x e dx .

Z La m´ethode d’identification donne x4 eix dx = −eix (ix4 − 4x3 − 12ix2 + 24x + 24i) + λ.

On en Z d´eduit : J = x4 cos x dx = x4 sin x + 4x3 cos x − 12x2 sin x − 24x cos x + 24 sin x + λ = (x4 − 12x2 + 24) sin x + 4(x3 − 6x) cos x + λ 5) Utilisation de r´ ecurrences.

Z Dans le calcul de In =

fn (x) dx, il est parfois possible de trouver une relation de r´ecurrence

entre In et In−1 et/ou In−2 (en g´en´eral par une int´egration par partie.)

Z Z n Exemple : calcul de In = sin x dx ou Jn = cosn x dx (int´egrales de Wallis) On suppose n ≥ 2 et on int`egre par partie sin x sinn−1 x en d´erivant sinn−1 x.

Z Z n n−1 On trouve : In = sin x dx = − cos x sin x + (n − 1) cos2 x sinn−2 x dx Z n−1 = − cos x sin x + (n − 1) (1 − sin2 x) sinn−2 x dx = − cos x sinn−1 x + (n − 1)(In−2 − In )

1 n−1 On en d´eduit : In = − cos x sin x + (n − 1)In−2 n Connaissant I0 = x + λ et I1 = − cos x + λ, on peut ainsi trouver tous les In .

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Z Exemple : calcul de In =

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dx (a2 + x2 )n

1 : On int`egre par parties, en int´egrant 1 et en d´erivant 2 (a + x2 )n Z Z x2 (a2 + x2 ) − a2 x x In = 2 + 2n dx = + 2n dx (a + x2 )n (a2 + x2 )n+1 (a2 + x2 )n (a2 + x2 )n+1 i x 1 h x 2 = 2 + 2n(In − a In+1 ) ⇒ In+1 = + (2n − 1)In (a + x2 )n 2na2 (a2 + x2 )n Connaissant I1 = a1 arctan xa + λ, on en d´eduit In pour tout n de IN∗ .

Z dx Remarque : autre m´ethode pour In = 2 (a + x2 )n On effectue le changement de variable x = a tan t. Ainsi dx = a(1 + tan2 t) dt.

Z Z dt 1 On trouve : In = = 2n−1 cos2n−2 t dt. a2n−1 (1 + t2 )n−1 a On est ainsi ramen´e au calcul d’une int´egrale de Wallis.

6) Primitives des fractions rationnelles.

On d´ecompose en ´el´ements simples dans IR, puis on int`egre ces ´el´ements simples. Seuls ceux qui sont de seconde esp`ece posent probl`eme. λx + µ On doit donc int´egrer des expressions comme f (x) = 2 , o` u b2 − 4c < 0. (x + bx + c)n λ(2x + b) 2µ − λb On ´ecrit f (x) = + .

2 n 2 2(x + bx + c) 2(x + bx + c)n 2x + b u0 (x) s’int` e gre facilement car elle est du type .

La fonction g(x) = 2(x2 + bx + c)n u(x)

1 b 2 1√ 2 2 2 Il reste a` int´egrer h(x) = 2 .

Or x + bx + c = x + + a , avec a = 2 2 4c − b . (x + bx + c)n Z Z dx dt b Le changement de variable x = t − 2 donne : = . (x2 + bx + c)n (t2 + a2 )n On est ainsi ramen´e a` une int´egrale qu’on sait calculer (exemple pr´ec´edent).

Remarque : si on ajoute a` ce calcul le temps de la d´ecomposition en ´el´ements simples, il est clair que tout cela peut prendre beaucoup de temps.

Z dx Exemple (tr`es simple) : calcul de I = 2 x(x + 2x + 5) 1 1 x+2 1 2x + 2 1 = − = − − x(x2 + 2x + 5) 5x 5(x2 + 2x + 5) 5x 10(x2 + 2x + 5) 5(x2 + 2x + 5) 1 2x + 2 1 = − − 2 5x 10(x + 2x + 5) 5((x + 1)2 + 22 ) Z dx 1 1 1 x+1 2 Conclusion : = ln |x| − ln(x + 2x + 5) − arctan + λ. x(x2 + 2x + 5) 5 10 10 2 20 c Page 20 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Cas des fractions rationnelles impaires A(x2 ) , o` u A, B sont des polynˆomes.

Une fraction rationnelle impaire R(x) s’´ecrit R(x) = x B(x2 ) Le changement de variable t = x2 permet alors d’abaisser le degr´e pratiquement de moiti´e.

Par exemple : Z Z Z

dx dt 1 1 1 − dt = = − x(x2 + 1)2 2t(t + 1)2 2t 2(t + 1)2 2(t + 1) 1 1 1 − ln(t + 1) + λ = ln t + 2 2(t + 1) 2 1 1 − ln(x2 + 1) + λ = ln |x| + 2 2(x + 1) 2 Autres possibilit´e d’abaisser le degr´e Il arrive qu’on puisse abaisser le degr´e de mani`ere plus spectaculaire.

Par exemple, avec le changement de variable t = x5 : Z Z dx dt 1 1 1 = = ln |t| + − ln(t + 1) + λ 5 2 2 x(x + 1) 5t(t + 1) 5 5(t + 1) 5 1 1 − ln(x5 + 1) + λ = ln |x| + 5 5(x + 1) 5 Exp´erience : calculer l’int´egrale pr´ec´edente avec Maple, ou une TI-89, et commenter.

7) “R` egles de Bioche”.

On consid`ere ici des expressions rationnelles R(sin x, cos x, tan x), c’est-`a-dire form´ees par des sommes, des produits et des puissances enti`eres.

Les r`egles de Bioche consistent `a proposer un changement de variable quand l’expression R(sin x, cos x, tan x) dx est invariante dans une certaine transformation.

Ces changements de variable conduisent `a une fraction rationnelle.

On a “l’invariant du cosinus” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchang´e dans x 7→ −x.

Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = cos x.

Z Z

dx dt 1

1 − t

1

1 − cos x

x

Exemple : = = ln

+ λ = ln

+ λ = ln tan + λ sin x t2 − 1 2 1+t 2 1 + cos x 2 On a “l’invariant du sinus” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchang´e dans x 7→ π − x.

Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = sin x.

Z Z Z 2 cos x dx cos x dx dt Exemple : = arctan t + λ = arctan sin x + λ. = = 2 3 − cos 2x 1 + t2 1 + sin x On a “l’invariant de la tangente” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchang´e dans x 7→ x + π.

Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = tan x.

Z Z dx dt Exemple : = = ln |t| + λ = ln |tan x| + λ. sin x cos x t 21 c Page 21 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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8) Fractions trigonom´ etriques R(sin x, cos x, tan x) sans invariant On se place dans le cas pr´ec´edent, mais on suppose que la fraction en sin x, cos x, tan x ne pr´esente pas d’invariant. Dans ce cas, on peut toujours effectuer le changement t = tan x2 , qui ram`ene a` une fraction rationnelle. l’inconv´enient est que le degr´e est doubl´e.

Les r`egles de Bioche sont donc prioritaires si elles sont applicables.

1 − t2 2t 2t x = On rappelle que sin x = , cos , tan x = .

2 2 1+t 1+t 1 − t2 1 x 1 2 dt x 1 + tan2 dx = (1 + t2 ) dx ⇒ dx = .

D’autre part, t = tan ⇒ dt = 2 Z 2 2 1 + t2 Z Z 2

dx 2 dt 2 dt 1 2 Exemple : = = =− x +λ 2 2 2t 1 + sin x 1+t (1 + t) 1 + tan 1+ 2 1 + t2 9) Fractions trigonom´ etriques R(sh x, ch x, th x) On peut s’inspirer des r`egles de Bioche.

Pour cela on imagine de remplacer les fonctions hyperboliques par les fonctions circulaires correspondantes, et s’il y a par exemple l’invariant du sinus alors on effectue le changement de variable t = sh x dans l’int´egrale initiale.

On peut aussi utiliser le changement de variable t = th x2 .

Le changement de variable u = ex ram`ene lui aussi a` une fraction rationnelle. u2 − 1 u2 − 1 u2 + 1 du On a sh x = , ch x = , th x = 2 , et u = ex⇒ du = u dx⇒ dx = .

2u 2u u +1 u r 10) Un premier type d’int´ egrale “ab´ elienne” ax + b On doit int´egrer une fraction rationnelle R(x, y), o` uy= n . cx + d On effectue le changement de variable d´efini par y.

11) Un second type d’int´ egrale “ab´ elienne” √ On doit int´egrer une fraction rationnelle R(x, y), o` u y = ax2 + bx + c.

On pose y 2 = ax2 + bx + c et on se ram`ene `a l’une des trois formes canoniques suivantes : y 2 = α2 ((x + λ)2 + µ2 ) ⇒changement de variable x + λ = µ sh t. y 2 = α2 ((x + λ)2 − µ2 ) ⇒changement de variable x + λ = ± µ ch t. y 2 = α2 (µ2 − (x + λ)2 ) ⇒changement de variable x + λ = µ sin t. √ √ √ On retiendra surtout que la pr´esence de 1 + x2 , 1 − x2 ou x2 − 1 incite `a effectuer les changements de variables d´efinis respectivement par x = sh t, x = sin t ou x = ± ch t.

Z dx Exemple : on veut calculer . (x(2 − x))3/2 p On ´ecrit y = x(2 − x) puis y 2 = x(2 − x) = 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 . √ On pose alors x − 1 = sin t. Ainsi dx = cos t dt et y = cos2 t = cos t.

Z Z Z dx dx dt x−1 On en d´eduit : = = = tan t + λ = p + λ.

3/2 3 2 y cos t x(2 − x) (x(2 − x)) 22 c Page 22 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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VI VI.1

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Fonctions ` a valeurs complexes Limites et continuit´ e des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application.

Soit a un ´el´ement ou une extr´emit´e de I (´eventuellement a = ±∞). Soit ` un nombre complexe. On dit que ` est limite de f en a si : Dans le cas a ∈ IR : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − `| ≤ ε.

Dans le cas a = +∞ : ∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≥ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε.

Dans le cas a = −∞ : ∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≤ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε.

Si a ∈ I, on dit que f est continue en a si lim f (x) = f (a), c’est-`a-dire si : x→a

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε.

Proposition Soit f : I → Cl une application.

Soient g = Re (f) : I → IR et h = Im (f ) : I → IR. Soit a un point de I ou une extr´emit´e de I. Soit ` = α + iβ ∈ C, l avec α, β ∈ IR. ( lim g(x) = α x→a Alors lim f (x) = ` ⇔ x→a lim h(x) = β x→a

En particulier, f est continue en a ⇔ g, h sont continues en a.

L’existence d’une limite et la continuit´e d’une fonction a` valeurs complexes se ram`enent donc `a l’existence de limites ou `a la continuit´e de deux applications a` valeurs r´eelles.

Il en d´ecoule que de nombreuses propri´et´es ´etablies pour des fonctions a` valeurs r´eelles s’´etendent sans difficult´e au cas des fonctions `a valeurs complexes.

Citons notamment : – Pour les limites : unicit´e, caract´erisation par les suites, op´erations.

– Pour la continuit´e : op´erations, caract´erisation par les suites. Notions d’application continue sur un intervalle. Notion d’application uniform´ement continue, ou d’application lipschitzienne : les rapports de ces deux notions entre elles et avec la continuit´e sont inchang´es.

Une application continue sur un segment est encore born´ee.

– On d´efinit encore la notion d’application continue par morceaux.

L’application f : I → Cl est continue par morceaux⇔ Re (f) et Im (f ) le sont.

En revanche, la sp´ecifit´e de IR fait qu’un certain nombre de propri´et´es ne sont pas conserv´ees.

Citons notamment : – Pour les limites : tout ce qui concerne la relation d’ordre dans l’ensemble d’arriv´ee (on pense au “th´eor`eme des gendarmes” par exemple.).

– Pour la continuit´e : l’image d’un intervalle n’est plus un intervalle. Il n’y a donc plus de th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, ni de th´eor`eme de la bijection r´eciproque.

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VI.2

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D´ erivabilit´ e des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application. f (x) − f (a) On dit que f est d´erivable en un point a de I si lim existe dans C. l x→a x−a df (a).

Cette limite est appel´ee nombre d´eriv´e de f en a et est not´ee f 0 (a), ou D(f )(a), ou dx Il revient au mˆeme de dire qu’il existe ` dans Cl et une application x 7→ ε(x) de I dans C, l v´erifiant lim ε(x) = 0 et ε(a) = 0, et tels que : x→a

∀ x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)` + (x − a)ε(x) Le nombre complexe ` est alors ´egal `a f 0 (a).

Proposition Soient f : I → C, l g = Re (f) : I → IR et h = Im (f ) : I → IR. Soit a un point de I. f est d´erivable en a ⇔ g, h sont d´erivables en a, et alors f 0 (a) = g 0 (a) + ih0 (a).

De nombreuses propri´et´es ´etablies pour des fonctions `a valeurs r´eelles s’´etendent sans difficult´e au cas des fonctions a` valeurs complexes.

Citons notamment : – Notion d’application d´erivable sur un intervalle, fonctions d´eriv´ees successives.

Notion d’application de classe C k .

Op´erations (sommes, produits, quotients) sur les applications d´erivables.

– Pour la composition des applications d´erivables, la propri´et´e subsiste `a condition de consid´erer g ◦ f , o` u f : I → IR et g : J → C, l avec f (I) ⊂ J. – La formule de Leibniz est toujours valable. Il y a toujours une formule de Taylor-Young, qui permet de g´en´eraliser la notion de d´eveloppement limit´e.

– Dans la pratique la partie r´eelle et la partie imaginaire du d´eveloppement limit´e de f : I → Cl sont les d´eveloppements limit´es de Re (f) et de Im (f ).

Voici des propri´et´es qui ne se g´en´eralisent pas aux fonctions `a valeurs complexes.

– Il n’y a plus de d´erivation de la “bijection r´eciproque”.

– La notion d’extr´emum local est li´ee a` la relation d’ordre dans l’ensemble d’arriv´ee et ne s’applique donc pas aux fonctions `a valeurs dans C. l – Important : le th´eor`eme de Rolle et celui des accroissements finis ne sont plus valables !

Exemple : on consid`ere l’application f : [0, 2π] → Cl d´efinie par f (t) = eit .

On a f (0) = f (2π) mais la d´eriv´ee f 0 (t) = ieit ne s’annule jamais.

– En revanche, on a toujours l’in´egalit´e des accroissements finis |f (a) − f (b)| ≤ |b − a| sup |f 0 |.

En particulier la caract´erisation des applications constantes par leur d´eriv´ee nulle, et celle des applications lipschitziennes par leur d´eriv´ee born´ee sont toujours valables.

– De la mˆeme mani`ere deux applications d´erivables f, g : I → Cl ont la mˆeme d´eriv´ee sur I si et seulement si elles diff`erent d’une constante sur I. 24 c Page 24 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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– Bien sˆ ur, parler de signe de la d´eriv´ee et de monotonie n’a pas de sens pour f : I → C. l – De mˆeme, tout ce qui concerne la convexit´e ne s’applique qu’aux fonctions `a valeurs r´eelles.

VI.3

Int´ egration des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application continue par morceaux.

Z Z Pour tous points a, b de I, avec a ≤ b on pose f= [a,b] b

Z Pour a, b quelconques dans I, on a donc

Re (f) + i

[a,b]

Z f (t) dt =

a

Z Im (f). [a,b]

b

b

Z Re (f)(t) dt + i

a

Im (f)(t) dt a

Voici un certain nombre de propri´et´es qui s’´etendent au cas des fonctions `a valeurs dans C. l – On a toujours la lin´earit´e de l’int´egrale – On a toujours les in´egalit´es de la moyenne (avec ici a ≤ b) :

Z

Z

Z Z

≤ sup |f |

≤

f g |g| et f |f | ≤ (b − a) sup |f (x)|

[a,b]

[a,b]

[a,b]

[a,b]

x∈[a,b]

[a,b]

– La relation de Chasles est encore valable.

– Les m´ethodes de calcul des int´egrales continuent `a s’appliquer (parit´e, p´eriodicit´e, int´egration par partie, changement de variable).

– On a toujours la propri´et´e de convergence des sommes de Riemann. L’approximation par la r`egle des trap`ezes s’applique encore (mˆeme si on ne peut plus gu`ere parler de “trap`eze”.)

– On a encore le “th´eor`eme fondamental” : Z x Si f : I → Cl est une application continue, elle admet des primitives sur I. Celle de ces primitives qui s’annule en un point a de I est donn´ee par F : x 7→ f (t) dt. a On en d´eduit les mˆemes cons´equences : Z b

Pour toute primitive F de f continue, on a : f (t) dt = [F ]ba = F (b) − F (a). a Z b En particulier, si f est de classe C 1 , f 0 (t) dt = f (b) − f (a). a

– La formule de Taylor avec reste int´egral est encore valable.

– Il en est de mˆeme de l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange. l En revanche voici des propri´et´es qui ne se g´en´eralisent pas aux fonctions a` valeurs dans C. – Il n’est plus question de positivit´e et de croissance de l’int´egrale.

– L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz doit ˆetre modifi´ee.

Z b 2 Z b Z b 2 On montre que cette in´egalit´e devient fg ≤ |f | |g|2 . a

a

a

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VII

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Int´ egration sur un intervalle quelconque

On consid`ere des applications d´efinies sur un intervalle I de IR, `a valeurs dans IK (IR ou C). l On note C(I, IK) l’ensemble des applications continues de I dans IK. Z Dans cette section, on cherche `a ´etendre la signification du symbole n’est pas un segment ou quand l’application f n’est pas born´ee.

f quand l’intervalle I I

Pour cela on commence par effectuer cette g´en´eralisation pour des fonctions a` valeurs dans IR+ .

VII.1

Int´ egrabilit´ e des fonctions continues ` a valeurs positives

Dans ce paragraphe on consid`ere des applications f de I dans IR+ .

D´ efinition Soit f un ´el´ement de C(I, IR+ ). On dit que f est int´egrable ou encoreZ sommable sur I s’il existe un r´eel M ≥ 0 tel que pour tout sous-segment J de I, on ait : f ≤ M. J Z Z On note alors f la borne sup´erieure des f , pour tous les sous-segments J de I. I J Z La quantit´e positive ou nulle f est appel´ee int´egrale de f sur l’intervalle I. I

Notation On note L1 (I, IR+ ) l’ensemble des fonctions int´egrables de I dans IR+ .

Exemples – L’application x 7→ f (x) = e

−x

+

Z

est int´egrable sur IR et

f = 1.

Z 1 – L’application x 7→ f (x) = √ est int´egrable sur I =]0, 1] et f = 2. x ]0,1] Z 1 – L’application x 7→ f (x) = est int´egrable sur IR et f = π.

1 + x2 IR 1 1 – L’application x 7→ f (x) = 2 est int´egrable sur IR+∗ , mais pas x 7→ f (x) = . x x Remarques – Supposons que l’intervalle I soit r´eduit a` un point a.

Alors toute application f d´efinie en a est int´egrable sur I = {a} et d’int´egrale nulle...

Z – Si I est un segment [a, b], on connait d´ej`a le sens de f.

IR+

[a,b]

L’application f est ur int´egrable sur [a, b] au sens de la d´efinition ci-dessus, et la valeur Z bien sˆ de son int´egrale f ne change pas ! [a,b]

26 c Page 26 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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VII.2

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Propri´ et´ es de l’int´ egrale des fonctions positives

Proposition (Int´egrabilit´e par r´eunion croissante) Soit f un ´el´ement de C(I, IR+ ).

On suppose qu’il existe une suite croissante (Jn )n≥0 de sous-segments de I tels que : [ Jn = J (on dit que la suite (Jn ) est exhaustive.)

– L’intervalle I est la r´eunion des Jn : Z Z n∈IN

+ – La suite f est major´ee : il existe M dans IR tel que f ≤ M pour tout n. n≥0 Jn Jn Z Z Alors f est int´egrable sur I et on a : f = sup f. n∈IN

I

Jn

Remarques Z Z – R´eciproquement, si f est int´egrable sur I, alors on a l’´egalit´e f = sup n∈IN

I

f pour toute

Kn

suite (Kn )n≥0 (croissante et exhaustive) de sous-segments de I. – Notons a et b les extr´emit´es gauche et droite de I avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞. f est int´egrable sur I ⇔ il existe une suite (an ) d´ecroissante de limite (bn ) Z Z a, et une suite Z croissante de limite b, telles que la suite f converge. On a alors : f = lim f. [an ,bn ]

I

n→+∞

[an ,bn ]

Proposition (Int´egrabilit´e par partition de l’intervalle) Soit f un ´el´ement de C(I, IR+ ).

Soit c un ´el´ement de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[.

Z Z Z f est int´egrable sur I ⇔elle l’est sur Ig et sur Id . On a alors f = f+ f.

I

Ig

Id

Cons´ equences – Supposons par exemple que l’application f soit continue sur IR+∗ .

Alors f est int´egrable sur IR+∗ ⇔ elle l’est sur ]0, 1] et sur [1, +∞[.

Z Z Z Dans ce cas on a : f= f+ f.

IR+∗

]0,1]

[1,+∞[

– Soit f un ´el´ement de C([a, b[, IR+ ), avec a < b ≤ +∞ (le “probl`eme” est donc en b).

Soit c un ´el´ement de [a, b[. L’application f est donc continue sur [a, c].

Dans ces conditions, f est int´egrable sur [a, b[ ⇔ elle l’est sur [c, b[.

Z Z Z On a alors l’´egalit´e f= f+ f. [a,b[

[a,c]

[c,b[

– De mˆeme, supposons que f soit continue sur ]a, b] (le “probl`eme” est en a.)

Soit c un ´el´ement de ]a, b] : f est int´egrable sur ]a, b] ⇔ elle l’est sur ]a, c].

Z Z Z On a alors l’´egalit´e f= f+ f. ]a,b]

]a,c]

[c,b]

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Proposition (Int´egrabilit´e par translation de l’intervalle) Soit f un ´el´ement C(I, IR+ ).

Soient α un r´eel et J l’intervalle se d´eduisant de I par la translation x → x + α.

Soit g l’application d´efinie sur J par : ∀x ∈ J, g(x) = f (x − α).

Z Z Alors g est continue sur J, int´egrable, et g = f.

J

I

Z Z Exemple 1 1 √ = 2.

– L’application g : x 7→ √ est int´egrable sur ]1, 2] et g= x x−1 ]1,2] ]0,1] Le changement de variable x → x + 1 a permis ici de se ramener “`a l’origine”.

Proposition (Int´egrabilit´e par utilisation d’une primitive) Soit f un ´el´ement de C([a, b[, IR+ ), avec a < b ≤ ∞.

Z Soit F la primitive de f qui s’annule en a : ∀x ∈ [a, b[, F (x) =

x

f (t) dt. a

Alors f est int´egrable sur I = [a, b[ ⇔ F (qui est croissante) est major´ee.

Z On a alors : f = sup F (x) = lim F (x).

I

x→b

x∈I

Remarques – On a un r´esultat analogue si f appartient `a C(]a, b], IR+ ), avec −∞ ≤ a < b.

Z b En effet, soit G : x → f (t) dt. On a G0 (x) = −f (x) ≤ 0 sur I =]a, b] et G(b) = 0. x

L’application G est donc d´ecroissante sur I =]a, b].

Z Alors f est int´egrable ⇔ G est major´ee, et on a : f = sup G(x) = lim G(x).

I

x∈I

x→a

– Une cons´equence des deux r´esultats pr´ec´edents est que si l’application f est continue sur [a, b] (donc int´egrable sur ce segment) alors elle est int´egrable sur chacun des intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[, l’int´egrale de f restant la mˆeme.

Les int´ egrales de Riemann 1 – L’application f : x 7→ α est int´egrable sur ]0, 1] ⇔ α < 1. x 1 – L’application f : x 7→ α est int´egrable sur [1, +∞[ si et seulement si α > 1. x 1 .

– Plus g´en´eralement, consid´erons l’application g : x 7→ x |ln x|β i 1i L’application g est int´egrable sur 0, , ou sur ]2, +∞[, si et seulement si β > 1.

2

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VII.3

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Op´ erations sur les fonctions int´ egrables positives

Proposition (Additivit´e de l’int´egrale) Soient f et g deux ´el´ements de L1 (I, IR+ ).

Z Alors l’application f + g est int´egrable sur I et :

Z (f + g) =

I

Z f+

I

g.

I

Proposition (Produit par un r´eel positif) Soit f un ´el´ement de L1 (I, IR+ ), et soit λ un r´eel positif. Z Z Alors l’application λf est int´egrable sur I et on a l’´egalit´e λf = λ f .

I

I

Proposition (Positivit´e de l’int´egrale) +

Soit f une Z application continue int´egrable de I dans IR . On sait que On a : f = 0 ⇔ f est l’application nulle sur I.

Z f ≥ 0.

I

I

Proposition (Croissance de l’int´egrale) Soit f et g deux applications continues de I dans IR+ .

On suppose que pour tout x de I, on a l’in´egalit´e : 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Z Z Si g est int´egrable sur I alors f est int´egrable sur I et on a l’in´egalit´e f ≤ g.

I

VII.4

I

Int´ egrabilit´ e des fonctions continues ` a valeurs complexes

Dans ce paragraphe, on d´efinit l’int´egrabilit´e d’une fonction continue sur un intervalle et a` valeurs complexes, mais dans un premier temps on ne d´efinit pas l’int´egrale d’une telle fonction.

D´ efinition Soit f une application de I dans C, l continue par morceaux.

On dit que f est int´egrable sur I si l’application |f | est int´egrable.

On note L1 (I, C) l l’ensemble des applications int´egrables sur I et `a valeurs dans C. l Proposition Si f, g sont int´egrables sur I, et si α, β ∈ C, l alors αf + βg est int´egrable sur I. 1 Autrement dit l’ensemble L (I, C) l est stable par combinaisons lin´eaires.

Proposition (Int´egrabilit´e par domination) Soit f : I → Cl une application continue. Soit ϕ : I → IR+ une application int´egrable.

On suppose que |f | ≤ ϕ sur I. Alors l’application f est int´egrable sur I. 29 c Page 29 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Cons´ equences Soient f et g deux applications continues de I = [a, b[ dans C. l – Si g est int´egrable sur [a, b[, et si f = Ob (g), alors f est int´egrable sur [a, b[.

– On suppose que les applications f et g sont ´equivalentes au voisinage de b.

Alors f est int´egrable sur [a, b[ ⇔ g est int´egrable sur [a, b[.

VII.5

Utilisation des int´ egrales de Riemann

Int´ egrabilit´ e sur ]a, b] Soient a et b deux nombres r´eels, avec a < b.

Soit f une application continue de ]a, b] dans Cl (le “probl`eme” est en a.)

– Si (x − a)α f (x) reste born´e au voisinage de a avec α < 1, alors f est int´egrable sur ]a, b].

C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)α f (x) = 0 (toujours avec α < 1). x→a √ Exemple : l’application x 7→ ln x est int´egrable sur ]0, 1] car lim+ x ln x = 0. x→0

– Si |(x − a)f (x)| ≥ M > 0 au voisinage de a, alors f n’est pas int´egrable sur ]a, b].

C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)f (x) = λ 6= 0. x→a

Exemple : l’application f : x 7→

ln x n’est pas int´egrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = ∞. x→0 x

Int´ egrabilit´ e sur [a, +∞[ Soient a un nombre r´eel, et f une application de [a, +∞[ dans C, l continue par morceaux.

– Si xα f (x) reste born´e au voisinage de +∞ avec α > 1, alors f est int´egrable sur [a, +∞[.

C’est le cas en particulier si lim xα f (x) = 0 (toujours avec α > 1). x→+∞ √ − x

Exemple : l’application x 7→ e

est int´egrable sur IR+ car lim x2 e−

√

x

= 0.

x→+∞

– Si |xf (x)| ≥ M > 0 au voisinage de +∞, alors f n’est pas int´egrable sur [a, +∞[.

C’est le cas en particulier si lim xf (x) = λ 6= 0. x→+∞

Exemple : l’application x 7→ sin x1 n’est pas int´egrable sur [1, +∞[ car lim xf (x) = 1. x→+∞

Int´ egrales de Bertrand Soient α et β deux r´eels, et soit f l’application d´efinie sur IR+∗ − {1} par f (x) = – f est int´egrable sur ]0, 21 ] ⇔ (α < 1) ou (α = 1, β > 1).

1

β . xα ln x

– f est int´egrable sur [2, +∞[ ⇔ (α > 1) ou (α = 1, β > 1).

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VII.6

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Int´ egrale des fonctions ` a valeurs r´ eelles ou complexes

On a d´efini ce qu’est une fonction int´egrable sur un intervalle I de IR et `a valeurs dans C, l mais on n’a pas encore d´efini ce qu’on appelle l’int´egrale sur I d’une telle fonction.

Proposition (fonctions `a valeurs r´eelles) Soit f une application continue sur I et `a valeurs dans IR. L’application f est int´egrable sur I ⇔ f + et f − sont int´egrables sur I. Z Z Z Z Z Z + − + On pose alors f = f − f . Dans ces conditions, on a : |f | = f + f − .

I

I

I

I

I

I

Proposition (fonctions `a valeurs complexes) Soit f une application continue sur I et `a valeurs dans C. l L’application f est int´egrable sur I ⇔ Re (f) et Im (f ) sont int´egrables sur I. Z Z Z On pose alors f = Re f + i Im f.

I

I

I

Remarques – Si I = {a}, toute application d´efinie en a est int´egrable sur I = {a} et d’int´egrale nulle...

– Si f : [a, b] → Cl est continue elle est int´egrable et son int´egrale a la valeur d´ej`a connue.

Proposition (Lin´earit´e de l’int´egrale) Soient f et g deux applications continues int´egrables de I dans C. l Soient α et β deux scalaires. On sait d´ej`a que αf + βg est int´egrable sur I. Z Z Z De plus on a l’´egalit´e : (αf + βg) = α f + β g.

I

I

J

Proposition (In´egalit´e de la valeur absolue) Soit f : I → C, l continue et int´egrable. Alors on a l’in´egalit´e :

Z Z

f ≤ |f |.

I

I

Proposition (Utilisation d’une suite exhaustive de sous-segments) Soit f une application continue int´egrable de I dans C. l Soit (Jn ) une suite croissante de Zsegments telle que I = ∪Jn .

Z Alors on a l’´egalit´e

f = lim I

n→+∞

f.

Jn

Exemple ln x sur IR+∗ . L’application f est continue sur IR+∗ .

1 + x2 √ Elle est int´egrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = 0, et sur [1, +∞[ car lim x3/2 f (x) = 0. x→+∞ x→0 Z On v´erifie que pour tout n de IN∗ , on a f = 0 (changement de variable t = x1 .)

On d´efinit f : x 7→ f (x) =

[1/n,n]

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La suite des Jn = [ n1 , n] est exhaustive dans IR+∗ .

Z On en d´eduit le r´esultat : f = 0.

IR∗

Proposition (Utilisation d’une partition de l’intervalle) Soit f une application continue de I dans C. l Soit c un ´el´ement de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[. f est int´egrable sur I ⇔ elle l’est sur Ig et sur Id .

Z Z Z On a alors : f = f+ f.

I

Ig

Id

Propri´ et´ es diverses – Int´egrale de la conjugu´ee d’une application Soit f : I → Cl une application continue et int´egrable.

Soit f¯ : I → Cl d´efinie par f¯(x) = f (x).

Z Z ¯ ¯ Alors f est int´egrable sur I et on a l’´egalit´e : f = f .

I

I

– Int´egrale sur un sous-intervalle Soit f une application continue et int´egrable de I dans C, l et J un sous-intervalle de I. n χJ (x) = 1 si x ∈ J .

On note χJ la fonction caract´eristique de J, d´ e finie par : Z Z 0 si x ∈ /J Alors f est int´egrable sur J et f = (χJ f ).

J

I

Notation Soit f une application int´egrable de I =]a, b[ dans IK, avec −∞ ≤ a < b ≤ ∞.

Z b Z Z a Z On note f= f . De mˆeme on pose f =− f. a

]a,b[

b

]a,b[

Remarques Z c – Pour tout c o` u f est d´efinie, on convient que f = 0. c Z b Z b – On note fr´equemment f (x) dx (x ou toute variable “muette”) plutˆot que f. a a Z b Z c Z b – On dispose encore de la relation de Chasles f= f+ f. a

a

c

Calcul des int´ egrales On peut en principe utiliser les m´ethodes classiques, notamment l’int´egration par parties et le changement de variables, `a condition de v´erifier `a priori (c’est-`a-dire avant d’´ecrire l’´egalit´e) que toutes les int´egrales qu’on va ´ecrire existent bien.

Il est plus prudent d’appliquer ces m´ethodes sur des segments et pour des applications continues, pour passer ensuite `a la limite dans les bornes sur le r´esultat.

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