Intégration sur un intervalle quelconque K désigne ℝ ou ℂ . a < b désignent des éléments de ℝ I. Intégrale impropre 1°) Intégrale sur un intervalle semi-ouvert Déf : Soit f : [a ,b[ → K continue par morceaux avec a < b ∈ ℝ . x
On dit que l’intégrale de f sur [a ,b[ converge ssi lim− ∫ f (t )dt existe dans ℂ . On pose alors x →b
a
x
∫[
a ,b[
f (t )dt := lim− ∫ f (t )dt . x →b
a
Si l’intégrale ne converge pas, on dit qu’elle diverge. Prop : Si F est une primitive de f alors
∫[
a ,b[
f converge ssi F converge en b − et alors
∫[
a ,b[
f = lim F − F (a ) . − b
Déf : Soit f : ]a ,b ] → K continue par morceaux avec a < b ∈ ℝ . b
On dit que l’intégrale de f sur ]a ,b ] converge ssi lim+ ∫ f (t )dt existe dans ℂ . On pose alors x →a
x
b
∫]
a ,b ]
f (t )dt := lim+ ∫ f (t )dt . x →a
x
Prop : Si F est une primitive de f alors
∫]
a ,b ]
f converge ssi F converge en a + et alors
∫]
a ,b ]
f = F (b ) − lim F. + a
Théorème : (localisation) Soit f : [a ,b[ → K continue par morceaux et c ∈ [a ,b[ . L’intégrale de f sur [a ,b[ converge ssi l’intégrale de f sur [c ,b[ converge. De plus si tel est le cas
∫[
a ,b[
c
f =∫ f +∫
[c ,b[
a
f .
2°) Intégrale sur un intervalle ouvert Déf : Soit f : ]a ,b[ → K continue par morceaux avec a < b ∈ ℝ . On dit que l’intégrale impropre
∫[
c ,b[
∫]
a ,b[
f converge ssi, pour c ∈ ]a ,b[ , les intégrales impropres
a ,c ]
f et
f convergent toutes deux.
On pose alors
∫]
a ,b[
f := ∫
]a ,c ]
f +∫
[c ,b[
f .
Prop : Si F désigne une primitive de f alors
∫]
∫]
∫]
a ,b[
f (t )dt converge ssi F converge en a + et b − et alors
f (t )dt = lim F − lim F = [F (t ) ]a . − + b
a ,b[
b
a
Déf : Afin d’homogénéiser le vocabulaire, on convient de dire qu’une intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment est convergente. 3°) Notation
∫
b
a
Théorème : Soit f : I → K continue par morceaux et c ∈ ]a ,b[ . On a équivalence entre : (i)
∫
I
f converge
x
(ii) x ֏ ∫ f (t )dt admet des limites en a + et b − . c
De plus si tel est le cas :
∫ f (t )dt = lim ∫ y →b
I
Cor :
∫
−
y
x
f (t )dt − lim+ ∫ f (t )dt . x →a
c
c
f ne dépend pas de la nature (ouverte/fermée) des extrémités de I .
I
Déf : Soit f : I → ℂ est continue par morceaux. En notant a < b ∈ ℝ les extrémités de I : Déf : Lorsque
∫
∫
b
a
f (t )dt := ∫ f et I
∫
b
a
f (t )dt := −∫ f . I
b
f ne désigne pas une intégrale sur un segment, on parle d’intégrale impropre.
a
Théorème : (Chasles) Soit f : I → ℂ continue par morceaux telle que
∫
f converge.
I
Pour tout α, β , γ points de I ou extrémités éventuellement infinies de I les intégrales qui suivent convergent et on a la relation
∫
β
α
γ
β
f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt . α
γ
4°) Propriétés I désigne un intervalle non singulier de ℝ . Théorème : Soit f , g : I → K continues par morceaux et λ ∈ K . Si
∫
I
f et
∫g
∫ λ f , ∫ f + g convergent. ∫ λf = λ ∫ f , ∫ f + g = ∫ f + ∫ g .
convergent alors
I
I
De plus on a alors
I
I
I
I
I
I
Théorème : Soit f : I → ℂ continue par morceaux.
∫
f converge ssi
∫
f converge ssi
∫f
I
Cor :
convergent et alors
I
∫ f =∫ I
f.
I
∫ Re f et ∫ Im f convergent. ∫ f = ∫ Re f + i.∫ Im f .
I
I
De plus on a alors
I
I
I
I
Théorème : Soit f , g : I → ℝ continues par morceaux. Si f ≤ g et que
∫
f et
I
∫g
convergent alors
I
∫ f ≤∫ g . I
I
Théorème : Soit f : I → ℝ continue et à valeurs positives. Si f est positive,
∫ f = 0 et I I
5°) Intégrales de Riemann Soit α ∈ ℝ . Théorème : Soit a > 0 . +∞ dt ∫a t α converge ssi α > 1 . Théorème : Soit a > 0 1 dt ∫0 t α converge ssi α < 1 . Théorème : Soit a < b ∈ ℝ .
non singulier alors f = 0 .
dt converge ssi α < 1 . (t −a )α b dt ∫a (b − t )α converge ssi α < 1 .
∫
b
a
(?)
Comment justifier la convergence de l’intégrale sans savoir calculer les intégrales partielles ?
II. Intégrabilité
I désigne un intervalle d’extrémités a < b ∈ ℝ . 1°) Fonctions à valeurs positives Théorème : Soit f : I → ℝ continue par morceaux et positive. On a équivalence entre : (i)
∫
f converge.
I
β
(ii) ∃M ∈ ℝ, ∀ [α, β ] ⊂ I , ∫ f ≤ M . α
∫ f = [ sup] ∫
De plus, si tel est le cas :
I
β
f .
α
α ,β ⊂I
Cor : Soit (J n ) une suite croissante de segments de réunion I . On a équivalence entre : (i)
∫
f converge.
I
(ii) ∃M ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ, ∫ f ≤ M . Jn
∫
De plus si tel est le cas :
b
a
f = sup ∫ f = lim n ∈ℕ
n →+∞
Jn
∫
Jn
f.
2°) Convergence par comparaison Théorème : Soit f , g : I → ℝ + continues par morceaux telles que f ≤ g . Si Si
∫g ∫f I
I
∫
f aussi.
∫g
aussi.
converge alors diverge alors
I
I
3°) Intégrabilité a) définition
∫
Déf : Une fonction f : I → ℂ est dite intégrable ssi On dit encore que l’intégrale
∫
I
I
f converge.
f est absolument convergente.
Prop : Soit f : [a ,b[ → K continue par morceaux.
f est intégrable sur [a ,b[ ssi elle l’est sur [c ,b[ . Prop : Soit f : ]a ,b[ → ℂ continue par morceaux et c ∈ ]a ,b[
f est intégrable ]a ,b[ ssi elle l’est sur ]a ,c ] et [c ,b[ Théorème : Si f est intégrable sur I alors l’intégrale
Déf : Si
∫
I
f CV alors que
∫
I
∫
f DV, on dit que
I
f converge et
∫
I
∫ f ≤∫ I
I
f .
f est semi-convergente (SCV).
b) domination Théorème : (domination) Soit f : I → K continue par morceaux. S’il existe ϕ : I → ℝ + intégrable telle que f ≤ ϕ alors f est intégrable. c) l’espace des fonctions intégrables Déf : On note L1 (I , K ) l’ensemble formé des fonctions de I vers K continues par morceaux et intégrables. Théorème : 0 L1 (I , K ) est un sous-espace vectoriel de Cpm (I , K ) et f ֏ ∫ f y définit une forme linéaire. I
d) outils de comparaison Théorème : Soit a < b avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ ∪ {+∞} et f : [a ,b[ → ℂ continue par morceaux. Si f =O (g ) avec g intégrable alors f est intégrable. b
Si f =o (g ) avec g intégrable alors f l’est aussi. b
Si f ∼ g alors f est intégrable ssi g l’est. ϕ
4°) Mise en pratique a) intégrabilité sur [a , +∞[ Soit f : [a , +∞[ → ℂ continue par morceaux.
Prop : S’il existe f (t ) ∼
C (avec C ≠ 0 ) alors f est intégrable sur [a , +∞[ ssi α > 1 . t
+∞ α
Prop : S’il existe α > 1 tel que t α f (t ) → 0 alors f est intégrable sur [a , +∞[ . t →+∞ b) intégrabilité sur ]0,a ] Soit f : ]0,a ] → ℂ continue par morceaux.
Prop : Si f admet une limite finie en 0, ou plus généralement, si f est bornée au voisinage de 0 alors f est intégrable sur ]0,a ] . Prop : Si f (t ) ∼ 0
C (avec C ≠ 0 ) alors f est intégrable ssi α < 1 . tα
Prop : S’il existe α < 1 tel que t α f (t ) → 0 alors f est intégrable sur ]0,a ] . t →0 c) intégrabilité sur ]a ,b ] Soit f : ]a ,b ] → ℂ continue par morceaux.
Prop : Si f admet une limite finie en a ou plus généralement, si f est bornée au voisinage de a alors f est intégrable sur ]a ,b ] .
C (avec C ≠ 0 ) alors f est intégrable sur ]a ,b ] ssi α < 1 . (t −a )α
Prop : Si f (t ) ∼ a
Prop : S’il existe α < 1 tel que (t −a )α f (t ) → 0 alors f est intégrable sur ]a ,b ] . t →a
III. Calculs d’intégrales 1°) Par calcul de primitive Pour calculer
∫
b
∫
b
a
Pour calculer
a
y → b− .
f (t )dt = ∫
f (t )dt , il suffit de calculer
∫
x
f (t )dt puis de passer à la limite quand x → b −
f (t )dt = ∫
f (t )dt , il suffit de calculer
∫
y
f (t )dt puis de passer à la limite quand x → a + et
[a ,b[
]a ,b[
a
x
Autrement dit, on calcule les intégrales partielles, puis on passe à la limite. Néanmoins, si f est continue et que F en désigne une primitive, on peut directement
∫
exploiter
b
a
f (t )dt = [F (t )]a . b
2°) Intégration par parties Théorème : Soit u , v : I → K de classe C 1 . Si deux des quantités :
∫
b
u ′v ,
a
relation
∫
b
a
∫
b
a
uv ′ et lim uv − lim uv convergent alors la troisième aussi et on a la b
a
b
u ′v = [uv ]a − ∫ uv ′ . b
a
3°) Changement de variable Théorème : Soit I un intervalle de ℝ et ϕ : I → J un C 1 difféomorphisme et f : J → ℂ une fonction continue par morceaux. Si l’une des intégrales qui suit est convergente alors l’autre aussi et on a la relation
∫
t =b
t =a
( f ϕ)(t ) × ϕ ′(t )dt =
∫
u = lim ϕ a
u = lim ϕ
f (u )du
b
4°) L’intégrale de Dirichlet Prop :
∫
+∞
0
sint dt CV alors que t
∫
+∞ 0
sint dt DV t