Κώστας Κουτσοβασίλης
Τάξη Γ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
ο
Κεφάλαιο 1
Διαφορικός Λογισμός Τεύχος Β
Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης Παράγωγος της f στο x=x0 Παράγωγος Συνάρτησης Εξίσωση Εφαπτομένης Ρυθμός Μεταβολής –Ταχύτητα -Επιτάχυνση Μονοτονία –Ακρότατα Συνάρτησης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Όριο-Συνέχεια Συνάρτησης y
Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι καθώς οι τιμές
f(x)
του x πλησιάζουν στο x 0 ( x x 0 ) , τα αντίστοιχα
Μ
σημεία της γραφικής παράστασης πλησιάζουν το
f(x)
σημείο Μ και οι τεταγμένες του πλησιάζουν (τείνουν) O f(x0)
στον αριθμό IR . Για συντομία γράφουμε lim f ( x )
x
x0
x
x
x x 0
Ιδιότητες ορίων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο x 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν lim f ( x ) 1 και lim g( x ) 2 όπου 1 και 2 πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύει: x x 0
xx 0
lim (f ( x ) g (x )) 1 2 x x 0
Επιπλέον ισχύουν: lim c c , lim x x 0 ,
lim (kf ( x )) k1 x x 0
xx0
lim (f ( x )g ( x )) 1 2
x x 0
lim (f ( x )) xx0
lim x x 0
xx0
0
x x 0
lim x x 0
xx0
f ( x ) 1 lim x x g( x) 2
lim
xx0
1
lim e x e x
0
xx0
f ( x ) 1 .
lim ln x ln x 0 , x0>0
xx
Για τον υπολογισμό ενός ορίου ακολουθούμε το παρακάτω διάγραμμα:
lim f ( x ) =; x x 0
Θέτουμε x=x0
Αν προκύπτει αριθμός εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων
Προκύπτει
Αν η συνάρτηση δεν περιέχει παράσταση του x μέσα σε ρίζα τότε παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή http:// perikentro. blogspot.gr
0 0
Αν υπάρχει παράσταση A τότε θα πολ/ζουμε και τους δυο όρους με τη συζυγή παράσταση -1-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός: (Συνέχεια σε σημείο) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, στο x 0 A αν ισχύει
lim f (x ) f ( x 0 ) .
x x 0
Ορισμός: (Συνεχής συνάρτηση) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής στο Α , αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίο ορισμού της. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής. Δηλαδή αν Ρ(x) πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει: lim ( x ) ( x 0 ) xx0
Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της . Δηλαδή αν ( x ) , όπου Ρ, Q πολυωνυμικές συναρτήσεις τότε ισχύει: f (x) Q( x ) ( x) ( x 0 ) lim f (x ) lim xx x x Q( x ) Q( x 0 ) 0
0
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς . Δηλαδή lim ημx ημx 0 . x x 0
lim συνx συνx 0 , lim εφx εφx 0 ( συνx 0 0 )
xx0
xx0
Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς Οι πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις Σχόλιο: Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη. Παρατηρήσεις σε όρια –συνέχεια 1. Για το όριο της f στο x0, το x0 δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Για τη συνέχεια της f στο x0 όμως είναι απαραίτητο το x0 να ανήκει στο πεδίο ορισμού της . 2. Η f λέγεται ασυνεχής στο x0 όταν το lim f ( x ) δεν υπάρχει ή όταν x x 0
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x 0
3. Το όριο της f στο x0 είναι ένας αριθμός που δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης 4. Το lim f ( x ) δεν υπάρχει όταν οι τιμές της f δεν τείνουν σε κάποιο x x 0
συγκεκριμένο αριθμό όταν x x 0 http:// perikentro. blogspot.gr
-2-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Παράγωγος της f στο x=x0 Παράγωγος της f στο x=x0 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού f (x 0 h) f (x 0 ) της όταν υπάρχει το όριο lim και είναι πραγματικός αριθμός. h 0 h Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 και συμβολίζεται f (x 0 ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) Δηλαδή: f ( x 0 ) lim h 0 h Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει: Το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x=x0. To συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf στο σημείο Α με τετμημένη x=x0. Δηλαδή λε=εφω= f ( x 0 ) Την ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x f ( t ) τη χρονική στιγμή t 0 Είναι ( t 0 ) f ( t 0 )
Παράγωγος Συνάρτηση Ορισμός Παραγώγου Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο των x A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε f ( x h ) f (x ) x B αντιστοιχίζεται στο f ( x ) lim . Η συνάρτηση αυτή λέγεται h 0 h πρώτη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f . Η παράγωγος της συνάρτησης f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f . Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( x ) c είναι f ( x ) =0 Απόδειξη:
http:// perikentro. blogspot.gr
-3-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός y
Έχουμε για h 0
Άρα
f (x h) f (x) cc lim lim 0 h 0 h 0 h h (c) 0 .
y=c c x
O
Να αποδείξετε ότι παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f ( x ) x είναι f ( x ) =1 Απόδειξη:
y
y=x
Έχουμε για h 0 ,
f (x h) f (x) xhx h lim lim 1 h 0 h 0 h 0 h h h Άρα (x ) 1 .
O
lim
x
Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f ( x ) x 2 είναι f ( x ) =2x Απόδειξη: Έχουμε για h 0
f (x h) f (x) (x h) 2 x 2 x 2 2 xh h 2 x 2 lim lim lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 xh h 2 h (2x h ) lim lim lim (2 x h ) 2 x. h 0 h 0 h 0 h h Κανόνες Παραγώγισης Έστω η συνάρτηση F(x)=cf(x). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη να αποδείξετε ότι: F( x ) cf ( x ) Απόδειξη: Έχουμε για h 0 F( x h ) F( x ) cf ( x h ) cf ( x ) f (x h) f (x) lim lim lim c h 0 h 0 h 0 h h h f (x h) f (x) = c lim cf ( x ) h 0 h Άρα (c f ( x )) c f (x ) .
http:// perikentro. blogspot.gr
-4-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Έστω η συνάρτηση F(x)= f ( x ) g( x ) Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες να αποδείξετε ότι: F( x ) f ( x ) g (x ) Απόδειξη: Έχουμε για h 0
F( x h ) F( x ) (f (x h ) g ( x h )) (f ( x ) g ( x )) lim h 0 h 0 h h f ( x h ) f ( x ) g(x h ) g( x ) lim h 0 h h f ( x h ) f (x ) g( x h ) g( x ) lim lim f ( x ) g ( x ). h 0 h 0 h h lim
Άρα (f ( x ) g ( x )) f ( x ) g( x ) Παράγωγος των συναρτήσεων f ( x ) g( x ) και
f (x) g( x )
Για το γινόμενο και το πηλίκο συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης:
(f ( x ) g (x )) f ( x )g ( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g( x ) . 2 g ( x ) ( g ( x ))
Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει:
f (g( x)) f (g( x)) g( x) . Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση f(g(x)) , σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g(x) και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g.
Θυμηθείτε:
http:// perikentro. blogspot.gr
,
0 , μ ακέραιος, ν θετικός ακέραιος.
-5-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Και αντίστοιχων Σύνθετων Συνάρτηση
Παράγωγος
f(x)=c, c IR
f ( x ) 0
f (x ) x
f ( x ) =1
f(x)=xα, α IR
f ( x ) x 1
f(x)= x
f ( x )
f(x)=ημx
Αντίστοιχη Σύνθετη
Παράγωγος
f(x)=(g(x))ρ
f ( x ) (f ( x ))1 f ( x )
f(x)= g ( x )
f ( x )
f ( x ) x
f(x)=ημg(x)
f ( x ) g ( x ) g( x )
f(x)=συνx
f ( x ) x
f(x)=συνg(x)
f ( x ) g ( x ) g ( x )
f(x)=ex
f ( x ) e x
f(x)=eg(x)
f ( x ) e g ( x ) g( x )
f(x)=lnx
f ( x )
1 x
f(x)=lng(x)
f ( x )
1 g ( x ) g( x )
f(x)=εφx
f ( x )
1 2 x
f(x)=εφg(x)
f ( x )
1 g ( x ) 2 g ( x )
f(x)=σφx
f ( x )
1 2 x
f(x)=σφg(x)
f ( x )
1 g (x ) g( x )
f ( x )
1 x2
f(x)=
f ( x )
1 g (x ) 2 g (x)
f(x)=
1 x
1 2 x
,x 0
1 g(x )
1 g ( x ) 2 g( x )
2
Κανόνες Παραγώγισης
[f ( x ) g ( x )] f ( x ) g (x )
[f ( x ) g (x )] f ( x ) g ( x )
[f ( x ) g (x )] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
(c f ( x )) c f ( x )
f ( x ) f ( x )g ( x ) f ( x )g (x ) g ( x ) g 2 (x)
1 g ( x ) 2 g (x) g( x )
(f (g (x ))) f (g (x )) g (x )
http:// perikentro. blogspot.gr
-6-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Εφαπτομένη Καμπύλης Συνάρτησης Σχόλιο 1: Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(x0,f(x0)) C f θα θεωρούμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση y=αx+β. Αρκεί να βρούμε τα α και β Ο συντελεστής διεύθυνσης α είναι α= f ( x 0 ) και επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Α έχουμε ότι f(x0)= f ( x 0 ) x0 +β οπότε βρίσκουμε το β Σχόλιο 2: Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που διέρχεται από το σημείο Μ(x1,y1) C f θα θεωρούμε Α(x0,f(x0)) το σημείο επαφής. Γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης ε: y= f ( x 0 ) x +β.(1) Επειδή η ε Διέρχεται από τα σημεία Α και Μ οι συντεταγμένες των σημείων θα επαληθεύουν την (1) οπότε βρίσκουμε το x0 και το β , άρα και την ε.
Ρυθμός Μεταβολής – Ταχύτητα – Επιτάχυνση
Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x=x0. Αν ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και η θέση του άξονα κίνησης του εκφράζεται από τη συνάρτηση x=f(t) τότε η ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t0 είναι ( t 0 ) f ( t 0 ) Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x ( t ) τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είναι ( t ) x ( t ) Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει
α( t ) υ( t ) ή ισοδύναμα
α( t ) x ( t ) .
Ισχύουν: ( Το κινητό είναι ακίνητο) υ(t)=0 (Το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση ) υ(t)>0 (Το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση) υ(t)<0 Η απόσταση που διανύει το κινητό από την χρονική στιγμή t=t1 έως τη χρονική στιγμή t=t2 με την προυπόθεση ότι έχει θετική ή αρνητική κατεύθυνση στο διάστημα [t1,t2] είναι S=|x(t2)-x(t1)|. Μονοτονία - Ακρότατα Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( x ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( x ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. http:// perikentro. blogspot.gr
-7-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( x 0 ) 0 για x 0 (, ) , f ( x ) 0 στο (, x 0 ) και f ( x ) 0 στο ( x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x x 0 μέγιστο. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( x 0 ) 0 για x 0 (, ) , f ( x ) 0 στο (, x 0 ) και f ( x ) 0 στο ( x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x x 0 ελάχιστο.
f ΄(x)<0
f ΄(x)>0
O
y
f ΄(x0)=0
y
f ΄(x)<0
f ΄(x)>0 f ΄(x0)=0
x0
x
O
x0
x
Σχόλιο: Αν θέλουμε να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία ή τα ακρότατα κάνουμε τα εξής βήματα; Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f Βρίσκουμε την παράγωγο της f Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f ( x ) 0 (αν έχει) Κάνουμε τον πίνακα προσήμων της f ( x ) Λύνουμε την ανίσωση f ( x ) 0 ή f ( x ) 0 Στα διαστήματα του x που η f ( x ) είναι θετική (αρνητική) η f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) Αν η f ( x ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της f ( x ) 0 , τότε η f παρουσιάζει ακρότατο. Προβλήματα ακροτάτων Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα , ακολουθούμε την εξής διαδικασία. α. Αν το πρόβλημα είναι γεωμετρικό κατασκευάζουμε ένα σχήμα. β. Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές , βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει και αντικαθιστούμε τη μια συναρτήσει της άλλης. γ. Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή , οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δ. Κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης και προκύπτει το αποτέλεσμα.
http:// perikentro. blogspot.gr
-8-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Προτεινόμενα Θέματα Θέμα 1. Να υπολογίσετε τα όρια: i. lim x 2
x2 4
x 2 81 ii. lim x 9 x 3
x 2 2x
iv. lim x 1
x3 x2 x 1
v. lim
x 2 4x 3
x 6
Θέμα 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=
x2 1 iii. lim 2 x 1 x x
x3 3 x6
x 2 3x f (x ) . Να βρείτε το όριο lim x0 x x2
2x 2 0 x 2 Αν η συνάρτηση f είναι Θέμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 2 x2 συνεχής στο σημείο x0=2,τότε το α ισούται με: i.
2 2
ii.
1 2
iii. 2
Θέμα 4. Α. Να υπολογισθεί το όριο lim
x 4 16
x3 8 Β. Να βρεθεί το lim (2x 3x ).
iv.
2 4
.
x 2
x
Γ. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση x2 1 f ( x ) x 1 x 1 είναι συνεχής στο x0=1 2 x 1 Θέμα 5. Α. Δίνεται η συνάρτηση x 2 5x 6 ,x 2 f (x) x 2 . Να βρεθεί το α ώστε η f να 2 2 1, x 2 είναι συνεχής στο x=2. Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(2-x)5. Nα βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1,f(1)). http:// perikentro. blogspot.gr
-9-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Θέμα 6. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: i. f ( x ) ln x ii. f(x)= x3+lnx+ 7 iii. . f(x)= lnx.συνx iv. . f(x)= x
v. f(x)=
vii. f(x)= x3lnx
6 4 x
vi. f(x)= συν(3x2+4) ix. f(x)= (5x-2)2
viii. f(x)= 2x
Θέμα 7. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:
x
ii. f(x)=
iv. f(x)= ln x 2 2
v. f ( x ) 2 4x.
vi. f(x)=ημx2
viii. f(x)= 2 x
ix. f(x)=ημ2x3
vii. f(x)= e x
2
x
iii. f(x)=
2 x 3 1
i. f(x)= x-lnx
e
Θέμα 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) και η εφαπτομένη της ε στο σημείο (x0,f(x0)) με εξίσωση y=αx+β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας όπως το πρώτο παράδειγμα. τύπος της
τετμημένη
τιμή
σημείο
συνάρτησης
σημείου
συνάρτησης
επαφής
f(x)
επαφής x0
στο x0 f(x0)
(x0,f(x0))
-1
2
f(x)=2x2 f(x)=
x 1 x 1
(-1,2)
f ΄(x)
f΄(x)=4x
τιμή της
εξίσωση
παραγώγου
εφαπτομένης
στο x0 f΄(x0)
στο x0
f΄(-1)=-4
y= - 4x-2
1
f(x)=x3-2x
4
10
f(x)=x3
y=3x+2
Θέμα 9. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ώστε η θέση του την τυχαία χρονική στιγμή t (σε sec) να δίνεται από τον τύπο x(t)=t3-12t2+45t σε μέτρα (m). Να βρείτε: α. την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t. β. τις χρονικές στιγμές που το σώμα είναι ακίνητο. http:// perikentro. blogspot.gr
- 10 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Θέμα 10. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=αx3+βx2-3x+ 1 . 2
α. Να βρείτε τους αριθμούς α, β για του οποίους ισχύει f (-1)= f (1)=0. β. Αν α=1 και β=0, τότε να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. 5 Β. Αν f(x)= (2 x ) f ( x o ) 34 =0 , όπου xo πραγματικός αριθμός, 5 τότε να υπολογίσετε το f(xo).
x . x 2 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.
Θέμα 11. Α. Δίνεται η συνάρτηση f ( x )
β. Να υπολογίσετε το lim x 1f ( x ). x 1
Β. Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f ( x ) είναι: Α. 1
Θέμα 12.
Β. ¼
Γ. 2
x 1 , τότε το lim f ( x ) x1 x2 1 Δ. 0
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συναx+ημαx. α. Να αποδειχθεί ότι 2 f ( x ) f ( x ) 0. β. Να βρεθεί το α ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0,f(0)), να είναι παράλληλη με την διχοτόμο της xοy. γ. Για την τιμή αυτή του α, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο (0,f(0)).
Θέμα 13. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx , x>0. A. Nα βρείτε τις παραγώγους f ( x ) και f ( x ) . Β. Να αποδειχθεί ότι f ( x ) =x f ( x ) +
1 f(x). x
f (x) x 1 x 2 x
Γ. Να βρεθεί το lim
http:// perikentro. blogspot.gr
- 11 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Θέμα 14.
2 +h, κ,h IR η οποία μηδενίζεται στο xo=1 και παρουσιάζει x τοπικό ακρότατο στο x1=2. A. Nα βρεθούν τα κ και h. Β. Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου, η τιμή του και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f. Δίνεται f(x)=x2+
Θέμα 15.
x2 3 x 1 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=λx -6x+μ. Αν lim και το 2 x 1 2 x 1 μέγιστο της συνάρτησης f είναι ίσο με 9, τότε: 3
Α. Δείξτε ότι λ=2. Β. Δείξτε ότι μ=5 Γ. Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον x x . Δ. Να βρείτε για ποια τιμή του x ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. Θέμα 16.
ln x . x A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=
Β. Να βρεθεί το α IR ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο xo=1 να είναι παράλληλη στον άξονα x’x. Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)), αν γνωρίζουμε ότι α=1. Θέμα 17. Η ενέργεια W(t) που αποδίδεται από ένα πηνίο μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον τύπο W(t)=6t2-t4 και μετριέται σε joules. A. Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας (ισχύς) ως προς το χρόνο, τη χρονική στιγμή t=to. Β. Σε ποια χρονική στιγμή το πηνίο έχει μέγιστη ισχύ; Γ. Ποια η μέγιστη ισχύς; http:// perikentro. blogspot.gr
- 12 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Θέμα 18. Έστω α IR . Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x2-αx-8, x IR . A. Nα βρεθεί το α αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,-2). Β. Αν α=-4, τότε: α. να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. β. να βρεθεί το xo IR στο οποίο η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο. γ. να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,-2). Θέμα 19. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2+λx+2, λ R Α. Να βρεθεί το f (1) B. Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο xo=1. Γ. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η παραπάνω εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο Β(2,-3). Δ. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της παραπάνω εφαπτομένης, όταν xo=1. Θέμα 20. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συνx. Nα βρείτε: Α. Tην f . B. την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α( ,f( )) 2 2 Γ. τα σημεία στα οποία η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες Δ. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τους άξονες. Θέμα 21. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = μx2-2xlnx , με x>0 A. Να βρείτε την f΄(x) και την f (x) . Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (1, f(1)). http:// perikentro. blogspot.gr
- 13 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Γ. Να βρείτε την τιμή μIR για την οποία η εφαπτομένη του Β ερωτήματος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Θέμα 22. Δίνεται η συνάρτηση f(x)
3x 2 4x 2 5
, όπου x IR . Να βρείτε:
α) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x, β) το
lim f(x)
x 0
γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f.
Θέμα 23. Η συνάρτηση f(x)=αx3+βx2+6x+1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x1=-3 και x2=2. Α. Να υπολογίσετε την f ( x ) Β. Να δείξετε ότι α=-
1 1 και β=- . 3 2
Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων. Θέμα 24. a 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2-6x+β, x IR . Αν γνωρίζετε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σο σημείο Κ(-3,14), τότε: Α. Να δείξετε ότι α=-2 και β=5. Β. Για τις τιμές αυτές των α και β, να βρείτε το είδος του ακροτάτου. http:// perikentro. blogspot.gr
- 14 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
Γ. Να βρείτε το όριο lim
f ( x )2
x 3 f ( x ) 14
.
Θέμα 25. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο IR. Έστω f(x)=exg(x), x IR . A. Να υπολογίσετε την f ( x ) , ως συνάρτηση των g και g Β. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xo=0, να δείξετε ότι g (0)=-g(0).
f ( x ) 3g ( x ) . x 0 g( x)
Γ. Να υπολογίσετε το όριο lim Θέμα 26.
x 3 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= . x Α. Να βρεθεί η παράγωγος της f. Β. Να βρεθούν τα α,β IR , ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(2,2) και η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό να έχει συντελεστή λ=5. Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της x3 4 συνάρτησης f(x)= στο σημείο Α(2,f(2)). x Θέμα 27. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x+2)2+1. A. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f, στο σημείο Α(-1,f(-1)). Γ. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη και τους άξονες.
Θέμα 28. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=α(2x+1)3 Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της f στο σημείο Α(-1,f(-1)) είναι -12 http:// perikentro. blogspot.gr
- 15 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Διαφορικός Λογισμός
α. Να βρείτε το α β. Για α=-2 i. Να βρείτε την εφαπτομένη ευθεία ε στο Α(-1,f(-1)) ii. Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα iii. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f ως προς x Θέμα 29. Α. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=-1 και η καμπύλη της διέρχεται από το σημείο Α(-1,2) να βρείτε το lim
f ( x )( x 2 x )
x2 x 2 Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=eλx. Nα βρείτε τις τιμές του λ ώστε: 2f ( x ) f ( x ) 3f ( x ) x 1
Θέμα 30.
x2 x2 3 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Δίνεται η συνάρτηση f(x)=
Β. Να βρείτε το lim f ( x ) x0 Γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της f ως προς x όταν x=2 Δ. Να βρείτε την εφαπτομένη στην καμπύλη της f στο σημείο x0=
http:// perikentro. blogspot.gr
- 16 -
1 2
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης