Tipologio γ

i  z1, 2  2 

(f (g ( x )))  f (g ( x ))  g( x )



 f ( x )dx    f ( x )dx

f ( x )  0

z1  z 2     i    i  (   )  (  )i

Μαθηματικό 1

f ( x )  y  f ( y)  x

Tυπολόγιο lim xx 0

f (x)  f (x 0) x  x0

2

|z|  zz

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

lim (f ( x )  g ( x ))  lim f ( x )  lim g ( x ) xx0

f ( )  f ()  0

xx0

xx0

f () 

f ()  f () 

Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Γ Λυκείου Μιγαδικοί Αριθμοί Μιγαδικός Αριθμός Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών

Συζυγής μιγαδικού

Είναι κάθε αριθμός της μορφής

z    i ,με ,  IR και i2 =-1

  i    i     και    . Ισχύει: z=0  Re(z)=0 και Im(z)=0

Αν z=α+βi τότε συζυγής του z λέγεται ο μιγαδικός α-βi και συμβολίζεται z , δηλαδή z    i .

z  z  2 z  z  2 i

Ιδιότητες των  Αν z1     i και z 2    i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, συζυγών τότε: μιγαδικών 

z1  z 2  z1  z 2 (1)



z1  z 2  z1  z 2



z1  z 2  z1  z 2



 z1  z1     z 2  z2

1 i   i   1  i

   0 ή

http://www.perikentro.blogspot.gr

-1-

Δυνάμεις του i

  4

   1 ή   4  1    2 ή   4  2 

  3 ή   4  3

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

Επίλυση της εξίσωσης αz2+βz+γ=0, α,β,γ IR , α  0

Αν Δ<0

Oι λύσεις είναι : z1,2 

ΚΚ

i  .

2

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

Έστω M ( x , y) η εικόνα του μιγαδικού z  x  yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την

Ιδιότητες



| z |  | z |  | z |



| z |2  z  z



| z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 | και γενικά | z1  z 2  ...  z  || z1 |  | z 2 | .... | z  | , ν  2



| z  || z |



z1 | z1 |  z2 | z2 |



|| z1 |  | z 2 | |  | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 |

Γεωμετρικοί Τόποι

αρχή O , δηλαδή: | z |  | OM |  x 2  y 2

 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους.  Η εξίσωση |z-z0|=ρ ,ρ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(z0) και ακτίνα ρ  Η εξίσωση |z-z1|=|z-z2| παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία Α(z1) και Β(z2)

Μέγιστη και Ελάχιστη Τιμή

 Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν την ευθεία ε και τον κύκλο (Κ,ρ) τότε min|z1-z2|=(AB)=|d(K,ε)-ρ|

Β ρ

Α

Κ ε

 Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν δυο κύκλους (Κ,ρ) και (Π,R) με (ΚΠ)>ρ+R τότε min|z1-z2|=(BΓ)=(ΚΠ)-ρmax|z1-z2|=(ΑΔ)=(ΚΠ)+ρ+R Α

http://www.perikentro.blogspot.gr

-2-

Π

R

Β

Γ

Κ

Δ

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Ανάλυση Βασικά Θεωρήματα Ανάλυσης

 Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] . Αν:  η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει  f ()  f ()  0 , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0  (, ) τέτοιο, ώστε f (x 0 )  0 Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f (x )  0 στο ανοικτό διάστημα (, ) .  Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] . Αν:  η f είναι συνεχής στο [, ] και  f ()  f () τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f () και f () υπάρχει ένας, τουλάχιστον x 0  (, ) τέτοιος, ώστε f ( x 0 )    Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ] , τότε η f παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν x1 , x 2  [, ] τέτοια, ώστε, αν m  f ( x1 ) και M  f ( x 2 ) , να ισχύει m  f ( x )  M , για κάθε x  [, ] .  Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι:  συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ]  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, )  f ()  f () τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,   (, ) τέτοιο, ώστε: f ()  0

http://www.perikentro.blogspot.gr

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Βασικά Θεωρήματα Ανάλυσης

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

 Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν μια συνάρτηση f είναι:  συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,   (, ) τέτοιο, ώστε: f ()  f () f ()    Θεώρημα Fermat Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( x 0 )  0  Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [, ] . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [, ] , τότε 

 f ( t )dt  G ()  G() Κανόνες Παραγώγισης

Αν f ,g παραγώγισιμες συναρτήσεις τότε:

[f ( x )  g ( x )]  f ( x )  g (x ) [f ( x )  g (x )]  f ( x )  g ( x ) [f ( x )  g (x )]  f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x ) (c  f ( x ))  c  f ( x )

  f ( x )  f ( x )g ( x )  f ( x )g (x )    g 2 (x)  g( x )    1  g ( x )     2 g (x)  g( x )  (f (g (x )))  f (g (x ))  g (x )

http://www.perikentro.blogspot.gr

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

 Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Και αντίστοιχων Σύνθετων Συνάρτηση

Παράγωγος

f(x)=c, c IR

f ( x )  0

f(x)=x

f ( x )  1

f(x)=xα, α IR

f ( x )  x  1

f(x)= x

f ( x ) 

1 2 x

,x  0

Αντίστοιχη Σύνθετη

Παράγωγος

f(x)=(g(x))ρ

f ( x )  (f ( x ))1  f ( x )

f(x)= g ( x )

f ( x ) 

1  g ( x ) 2 g( x )

f(x)=ημx

f ( x )  x

f(x)=ημg(x)

f ( x )   g ( x )  g( x )

f(x)=συνx

f ( x )  x

f(x)=συνg(x)

f ( x )  g ( x )  g ( x )

f(x)=ex

f ( x )  e x

f(x)=eg(x)

f ( x )  e g ( x )  g( x )

f(x)=ln|x| f(x)=εφx f(x)=σφx

f(x)=

1 x

f(x)=αx

f ( x ) 

1 x

f(x)=ln|g(x)|

f ( x ) 

1  2 x

f(x)=εφg(x)

f ( x )  

1  2 x

f(x)=σφg(x)

f ( x )  

1 x2

f ( x )   x ln 

f(x)=

1 g(x )

f(x)=αg(x)

f ( x ) 

1  g ( x ) g( x )

f ( x ) 

1  g ( x )  2 g ( x )

f ( x )  

1  g (x ) 2  g( x )

f ( x )  

1  g (x ) g 2 (x)

f ( x )   g ( x )  ln   g( x )

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

 0dx  c  1dx  x  c

6.

 ημxdx   συνx  c

7.

 συν 2 xdx  εφx  c

3.

1  x dx  ln | x |  c

8.

1  ημ 2 x dx  σφx  c

4.

x  1  x dx    1  c ,   1  συνxdx  ημx  c

9.

e

1.

2.

5.



http://www.perikentro.blogspot.gr

10.

-5-

1

x

dx  e x  c

x   dx 

x c ln 

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f τον άξονα x x και τις x=α, x=β είναι:

ΚΚ

y Cf

β Ο

α

x



E   | f ( x ) | dx 

y

 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τον άξονα x x είναι:

Cf ρ1

x ρ2

O

2

E   | f ( x ) | dx 1

Όπου ρ 1 η μικρότερη και ρ 2 η μεγαλύτερη ρίζα της f(x)=0

y

 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f , C g και τις x=α, x=β είναι:

Cg

x α

β

Ο Cf



E   | f ( x )  g ( x ) | dx 

 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f , C g είναι:

y Cg

2

E   | f ( x )  g ( x ) | dx 1

O

α

γ

δ

β

x

Cf

Όπου ρ 1 η μικρότερη και ρ 2 η μεγαλύτερη ρίζα της f(x)=g(x)

http://www.perikentro.blogspot.gr

-6-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ  Επίπεδα Σχήματα α/α Ονομασία 1.

Σχήμα α

Τετράγωνο

Εμβαδόν Ε=α2

α β

Ορθογώνιο 2.

Ε=   

α

υ Τρίγωνο 3.

β

1 Ε=    2

υ β

4.

Παραλληλόγραμμο

E  

υ β δ1

5.

Ρόμβος

1 E  1   2 2

δ2

β 6.

Τραπέζιο υ

E Β

7.

  2

Κυκλικός Δίσκος Ε=πρ2

Για τη μέτρηση του κύκλου πρέπει ακόμη να ξέρουμε:  Γ=2πρ=πδ (Γ= μήκος κύκλου)  0  S (S=μήκος τόξου μ0) 0 180  2  0   ύ έ  360 0 http://www.perikentro.blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου

 α/α

1.

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Στερεά Ονομασία

Κύβος

Σχήμα

Εμβαδόν

Όγκος

Ε= 6 2

V=α3

β γ

Ε=2(αβ+βγ+γα)

V=αβγ

υ

Εκυρτής =2πρυ Εολικής=2πρ(υ+ρ)

V=πρ2υ

α

α 2.

Παραλληλεπίπεδο

ρ 3.

Κύλινδρος

4.

1   h 1 2 V= E    Εολ.=Επαραπλ.+Εβ 3 Επαραπλ.=

Πυραμίδα

5.

Κώνος

λ

υ

E κυρτής=πρλ Εολ.=πρλ+πρ2

1 V=  2   3

ρ

ρ 6.

Εσφαίρας=4πρ

Σφαίρα

http://www.perikentro.blogspot.gr

-8-

2

4 V= 3 3

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης