G p a

Κώστας Κουτσοβασίλης

Τάξη Γ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ο

Κεφάλαιο 1

Διαφορικός Λογισμός Τεύχος Α

   

Ορισμός Συνάρτησης Πράξεις με Συναρτήσεις Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Μονοτονία –Ακρότατα Συνάρτησης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ  Ορισμός Συνάρτησης Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συμβολίζεται : f : A  B Για παράδειγμα , από τις παρακάτω αντιστοιχίσεις ,συναρτήσεις είναι η f και η g

Θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις στις οποίες το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R. Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις. Η συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα από τα μικρά γράμματα f, g, h, φ, κτλ. Έστω λοιπόν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν με τη συνάρτηση αυτή το x  A αντιστοιχίζεται στο y  B , τότε γράφουμε

y  f (x ) και διαβάζουμε “y ίσον f του x”. Το f ( x ) λέγεται τιμή της f στο x. Το γράμμα x, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x και εξαρτάται από την τιμή του x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Πεδίο ορισμού Έστω συνάρτηση : f : A  B . Επειδή η f κάθε x   το αντιστοιχεί σε μια μόνο τιμή του y=f(x) B , το πεδίο ορισμού (Π.Ο.) είναι το “ευρύτερο” υποσύνολο του R στο οποίο το f ( x ) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Πως βρίσκω το πεδίο ορισμού: Όταν σε μια συνάρτηση f δίνεται μόνο ο τύπος της , τότε για να έχει το f(x) νόημα πραγματικού αριθμού , θα βάζουμε κάποιους περιορισμούς από τους οποίους θα προκύπτει το πεδίο ορισμού της f.

http:// perikentro. blogspot.gr

-1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Έχουμε τον πίνακα Συνάρτηση f(x)=ανx +αν-1xν-1+…+α1x+α0 1 f (x)  g( x )

Περιορισμός Κανένας

Πεδίο Ορισμού A=IR

g( x )  0

A  IR  x  IR / g ( x )  0

f ( x )  g( x ) f(x)=lng(x) f(x)=eg(x) f(x)=ημx f(x)=συνx

g( x )  0

A  x  IR / g ( x )  0

g(x)>0 g ( x )  IR

A  x  IR / g ( x )  0 A  x  IR / g ( x )  IR Α=IR A=IR

ν

Σύνολο τιμών. Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές της f για κάθε x   , ονομάζεται σύνολο τιμών της συνάρτησης f και συμβολίζεται με f(Α). Σχόλιο: Αν και συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα f για το συμβολισμό μιας συνάρτησης και τα γράμματα x και y για το συμβολισμό της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής αντιστοίχως, ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και 1 1 άλλα γράμματα. Έτσι, για παράδειγμα, οι τύποι f ( x )  gx 2 και s( t )  gt 2 ορίζουν 2 2 την ίδια συνάρτηση.  Πράξεις με Συναρτήσεις Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις:  Το άθροισμα S  f  g , με (f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) , x A  Η διαφορά

D  f g,

με (f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) ,

x A

 Το γινόμενο

P  f g ,

με (f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) ,

x  A και

 Το πηλίκο

R

f , g

f  f (x) με  (x )  , όπου g( x ) g

x  A και g( x )  0 .

 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy λέγεται το σύνολο των σημείων M ( x , (f ( x )) για όλα τα x  A . Επομένως, ένα σημείο M ( x , y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της f, μόνο όταν y  f (x ) . http:// perikentro. blogspot.gr

-2-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων

y y=x

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x )  x είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

O

x

y 3

y=x2

2

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x )  x 2 είναι μια παραβολή.

1 -2

O

-1

2 x

1

y y

2

1 x

1 -2

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 f ( x )  είναι μια υπερβολή. x

-1

O

1

2

x

-1 -2

y 3

Η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης f ( x )  e x είναι “πάνω” από τον άξονα xx ,

2 1

αφού e x  0 για κάθε x  R .

-2

-1 O

y=ex

1

x

y 1

Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f (x )  ln x είναι “δεξιά” του άξονα yy , αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για x  0 .

http:// perikentro. blogspot.gr

O

y=lnx 1

x

-1

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

y

Οι συναρτήσεις f ( x )  ημx και g (x )  συνx είναι περιοδικές με περίοδο 2π.

y=συνx O

y

π

y=ημx O

2π x

2π

π

x

Παρατηρήσεις: 1. Αν δοθεί σε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων μια γραμμή και θέλουμε να εξετάσουμε αν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης , θα ελέγχουμε αν κάθε ευθεία κάθετη στον άξονα x x την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο.

2. Αν θέλουμε να βρούμε τις τιμές του x για τις οποίες η Cf είναι πάνω από τον άξονα x x θα λύνουμε την ανίσωση f(x)>0. Αντίστοιχα , για να είναι η Cf κάτω από τον άξονα x x θα λύνουμε την ανίσωση f(x)<0.

3. Αν θέλουμε να βρούμε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x x θα λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Αν θέλουμε να βρούμε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα y y θα υπολογίζουμε το f(0). Αν το 0 δεν ανήκει στο Π.Ο. της f , τότε η Cf δεν τέμνει τον y y 4. Αν μας δίνουν δυο συναρτήσεις f , g και θέλουμε να βρούμε: Τα σημεία τομής των Cf και Cg θα λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x) Τις τιμές του x για είναι η Cf πάνω από τη Cg θα λύνουμε την ανίσωση f(x)>g(x) Τις τιμές του x για είναι η Cf κάτω από τη Cg θα λύνουμε την ανίσωση f(x)<g(x) 5. Αν δοθεί η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f της οποίας δεν γνωρίζουμε τον τύπο της , τότε μέσω του σχήματος μπορούμε να βρούμε το Π.Ο. και το σύνολο τιμών της.  Για το Π.Ο. παίρνουμε τις προβολές όλων των σημείων της Cf στον άξονα x x  Για το σύνολο τιμών παίρνουμε τις προβολές όλων των σημείων της Cf στον άξονα y y

http:// perikentro. blogspot.gr

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Μονοτονία Συνάρτησης y

Ορισμός Μια συνάρτηση f λέγεται:  γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 )

f (x2) f (x1)

Ο

x  x  1

x

2

Δ

y

 γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ

f (x1)

του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

f (x2)

x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 )

Ο

x x    1

x

2

Δ

Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη  Ακρότατα συνάρτησης y f (x0) f (x)

Ορισμός Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:  Παρουσιάζει στο x 0  A (ολικό) μέγιστο,

x x

O

x0 Cf

το f (x 0 ) , όταν f ( x )  f ( x 0 ) για κάθε x  A y

 Παρουσιάζει στο x 0  A (ολικό) ελάχιστο, το f (x 0 ) , όταν f ( x )  f ( x 0 )

για κάθε x  A

Cf

f (x) f (x0)

x O

x0

x

Παρατηρήσεις: 1. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες y=fmin και y=fmax όπου fmin και fmax το ολικό ελάχιστο και το ολικό μέγιστο της f αντίστοιχα 2.Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν ολικό μέγιστο ή ολικό ελάχιστο ή και τα δύο 3. Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο ,αν υπάρχουν , λέγονται ολικά ακρότατα.

4. Τα ολικά ακρότατα είναι και τοπικά ακρότατα ,ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.

5. Μια συνάρτηση μπορεί να έχει ένα ή περισσότερα τοπικά μέγιστα (ή ελάχιστα) χωρίς να έχει ολικό μέγιστο (ή ελάχιστο).

6. Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. http:// perikentro. blogspot.gr

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να γράψετε στην τελευταία στήλη το γράμμα της σωστής απάντησης Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)= 9  x 2 και έστω Cf η γραφική της παράσταση

Α

Β

Γ

Δ

3

Δεν ορίζεται

1 f(3)=

6

2 H f έχει πεδίο ορισμού 3 Αν f(α)=0 τότε α= 4 Σε πόσα σημεία η Cf τέμνει τον άξονα x x 5 Η μέγιστη τιμή της f είναι: 6 Η ελάχιστη τιμή της f είναι: 7 Η Cf διέρχεται από το σημείο

0

Απάντηση

[9,) [3,) [-3,3]

(-3,3)

0

1

3

9

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

(1,3)

(0,3)

(3,1)

(-3,1)

y

2.Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το πλήθος των διακεκριμένων λύσεων της εξίσωσης

f ( x ) 2  f ( x ) Α. 2

Β. 3

είναι: Γ. 4

5

Ο

Δ. 5

x

Ε. 6 y 4

y=f(x)

3. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων f και g . Το άθροισμα f (2)  g (2) είναι:

3

y=g(x) 2 1

Α. 5

Β. 4

Γ. 3

Δ. 2 O

http:// perikentro. blogspot.gr

-6-

1

2

3

4

x

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Προτεινόμενες Ασκήσεις 1. Να βρεθεί το Π.Ο. των παρακάτω συναρτήσεων 2 3x  2 x i). f(x)=  ii). f(x)= iii). f(x)= | x | 2  5 | x | x 1 x  3 x 1 iv). f(x) =

3 2 x ln x

vii). f(x)= ln(ln x )

v). f(x) = ln( x  1)

vi ). f(x) = 12  x  x 2

viii). f(x)= ln[ln(4-x)]

ix). f(x)=

x  x2  2

2. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x2-9 i. Για ποιες τιμές του x IR είναι f(x)=0 ii. Για ποιες τιμές του x IR η f είναι θετική; iii. Να βρείτε α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=

x 1 x2  9

β. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h(x)= x 2  9 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + (2-α)x2 – (α+3)x + α2-5, αIR. i).Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η Cf να διέρχεται από το σημείο Μ(1,-6). ii).Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(1,-6), να βρεθούν τα κοινά σημεία της Cf και του άξονα x x .

4. Αν f ( x )  ln(x 2  1) και g (x )  ln x να βρείτε τις συναρτήσεις f+g, f-g

x2  9 f 5. Αν f ( x )  x και g( x )  να βρεθούν οι συναρτήσεις f-g και x2 g x |x| α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β. Να υπολογίσετε τις τιμές f(-2) , f(2), f(α2+4), f(3)+f(-3)

6. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) 

7. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες: α. f(x)=x3-x2-4x+4 β. f(x)=ln(x2-2x+2)

http:// perikentro. blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

8. Να βρείτε τις τιμές του α  IR για τις οποίες η συνάρτηση f ( x ) 

1 έχει x 2  x  1

πεδίο ορισμού το IR. 9. Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) α. Τέμνει τον άξονα x x ; β. Είναι κάτω από τον άξονα x x ; 2x 10. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= ln 2x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x  A ισχύει: f(x)+f(-x)=0

11. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Να βρεθούν: α. Το πεδίο ορισμού της f β. Τα διαστήματα μονοτονίας της f γ. Τα ακρότατα της f.

y 5

x -5

0

5

12. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x α. f(x)=ln(x2-4)-ln(x-4) β. f ( x )  x 2  x  3  x 2  5 13. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g x2 α. f ( x )  x  1 και g (x )  β. f(x)=x2-4x+2 και g(x)=2x2-x-8 x2 14. Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x2+2αx+3β και g(x)=αx2+βx+α να τέμνονται στον άξονα y y και επί της ευθείας x=2 15. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 cm. Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση της μιας κάθετης πλευράς x cm.

16. Για τις συναρτήσεις f ,g να δείξετε ότι: f  g ( x )2  f  g ( x )2  4(f  g)( x ) 17. Αν για τις συναρτήσεις f ,g ισχύει : f(x)>0 και g(x)>0 να δείξετε ότι: 1 1 (f  g )( x )  ( x )  4 f g http:// perikentro. blogspot.gr

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

18. Να βρεθεί η μονοτονία των συναρτήσεων: α. f(x)=2x-1 και g(x)=-3x+2 2 3 β. f ( x )  και g (x )  x x x 1 γ. f ( x )    και g(x)=3x 3 2 δ. f(x)=2x -4x+2 και g(x)=-3x2+12x-1

x 2  1, x  1 19. Δίνεται η συνάρτηση f ( x )    x  2, 1  x Να βρεθούν οι τιμές f(3) , f(-2), f(1), f(συνα) 1 ln x 2  1 2 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να υπολογίσετε τις τιμές f(-1) και f(e) γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x δ. Για ποιες τιμές του x είναι αρνητική η f;

20. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) 

21. Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο Δ και x1,x2,x3,x4,x5   με x1<x2<…<x5. Αν f(x1)+f(x2)+…+f(x5)=1 να δείξετε ότι f(x1)  0,2

http:// perikentro. blogspot.gr

-9-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης