Tipologio b

 1x  1y  1   2 x   2 y   2 log  ( 1   2 )  log  1  log   2 x

 

ln   x  e  

 

AB // 

Μαθηματικό

      |  |  |  | |    ||  |  |  |

Tυπολόγιο f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2 

log 



x1



log  1  0 x2

 x1  x 2

1  log  1  log   2 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ

log  



2

2

x y  2 1 2   Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Β Λυκείου Γραμμικά Συστήματα Γραμμικά Συστήματα

Γραμμικό Σύστημα 2x2

 1x  1 y  1   2 x   2 y   2 D=

1 2

1 2

D x=

1 2

1 2

Dy=

1 2

1 2

Dy Dx y D D  Αν D=0 και Dx  0 ή Dy  0 είναι αδύνατο  Αν D=Dx=Dy=0 έχει άπειρο πλήθος λύσεων  Αν D  0 έχει μοναδική λύση: x 

Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Συνάρτησης

 Ορισμός: Μια συνάρτηση f λέγεται  γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 )

y f (x 2) f (x 1)

Ο

x  x  1

2

x

Δ

y

 γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 )

f (x1) f (x2)

Ο

x x    1

2

Δ

 Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f   (αντιστοίχως f   ).

http://www.perikentro.blogspot.gr

-1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

x

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

 Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x)  x 2 :

ΚΚ

y

 είναι γνησίως αύξουσα στο [0,) , αφού για 0  x1  x 2 έχουμε x12  x 22 ,δηλαδή

y=x2

f ( x1 )  f ( x 2 ) O

x

 είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] , αφού για x1  x 2  0 έχουμε 0   x 2   x1 , οπότε

0  x 22  x12 , δηλαδή

f ( x1 )  f ( x 2 )

 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.  Μονοτονία της συνάρτησης f(x)=αx+β 1. Αν α>0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR 2. Αν α<0 τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR 3. Αν α=0 τότε η f είναι σταθερή στο IR 4. Αν α=0 και β=0 τότε η f είναι η μηδενική συνάρτηση και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας x x  Εύρεση είδους μονοτονίας μιας συνάρτησης Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη εργαζόμαστε ως εξής  Θεωρούμε τυχαία x1 ,x2  A με x1<x2 ή x1>x2 και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια ανισοτική σχέση μεταξύ των f(x1) , f(x2)  Αν καταλήξουμε σε f(x1) <f(x2) ή f(x1) >f(x2) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α  Αν καταλήξουμε σε f(x1) >f(x2) ή f(x1) <f(x2) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α  Έστω μια συνάρτηση f με y=f(x) ορισμένη στο Δ Βρίσκουμε το πρόσημο του λόγου f ( x1 )  f ( x 2 ) λ= , x1  x 2 , x 1 , x 2   x1  x 2  Αν λ>0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ  Αν λ<0 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ  Αν λ=0 η f είναι σταθερή στο Δ http://www.perikentro.blogspot.gr

-2-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

 Με τη βοήθεια της μονοτονίας μιας συνάρτησης μπορούμε  Να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις  Να αποδεικνύουμε ισότητες και ανισότητες Ισχύουν:  Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και x 1 , x 2  A τότε f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2  Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α και x 1 , x 2  A τότε f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2  Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε f ( x1 )  f ( x 2 )  x 1  x 2 Ακρότατα Συνάρτησης

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: y

 Παρουσιάζει στο x 0  A (ολικό) μέγιστο, το f ( x 0 ) , όταν

f( x 0 ) ) f(x)

f ( x )  f ( x 0 ) για κάθε x  A

x x

O

x0 Cf

στο x0  A  Παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο, το f ( x 0 ) , όταν f ( x )  f ( x 0 ) για κάθε x  A

y

Cf

f(x) f(x0)

x O

Άρτια-Περιττή Συνάρτηση

x0

x

 Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα αυτής  Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει ελάχιστο και μέγιστο ή μόνο ελάχιστο ή μόνο μέγιστο ή τίποτα από τα δυο.  Μια συνάρτηση ενδέχεται να παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε περισσότερα σημεία από ένα.  Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α λέγεται άρτια αν για κάθε x  A ισχύει: - x  A και f(-x)=f(x)  Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α λέγεται περιττή αν για κάθε x  A ισχύει: - x  A και f(-x)=-f(x)

http://www.perikentro.blogspot.gr

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

 Παρατήρηση 1: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας των άξονα των y  Παρατήρηση 2: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.  Παρατήρηση 3: Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή και ορίζεται στο 0 τότε f(0)=0 δηλαδή η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Κατακόρυφη Οριζόντια

o Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=φ(x)+c c>0 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω.

Μετατόπιση Καμπύλης

o Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=φ(x)-c c>0 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω.

o Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=φ(x-c) με c>0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά. o Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=φ(x+c) με c>0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά.

http://www.perikentro.blogspot.gr

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Τριγωνομετρία  Τριγωνομετρικοί Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(   90 0 ) αριθμοί οξείας Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β είναι γωνίας το ημίτονο (ημΒ) , το συνημίτονο(συνΒ), η εφαπτομένη (εφΒ), και η συνεφαπτομένη (σφΒ) Είναι:   έ ά        ί    ί ά  συνΒ=     ί    έ ά    εφΒ=   ί ά 

σφΒ=

 

Γ

α υποτείνουσα

β απέναντι

Α

Β

γ προσκείμενη

 ί ά     έ   ά   

Τριγωνομετρικοί Η γωνία ω παράγεται από τον ημιάξονα Οx όταν περιστραφεί κατά τη θετική φορά , αριθμοί γωνίας με 0 0    360 0 δηλαδή αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού. Αν Μ(x,y) είναι ένα σημείο (Μ  O ) της τελικής πλευράς οποιασδήποτε γωνίας ω, ορίζουμε: y x ημω= συνω=   y x εφω= , x  0 σφω= , y  0 x y

y

z

τελική πλευρά

Μ (x,y)

Β

αρχική πλευρά ω

Α

x

Ο

όπου ρ= x 2  y 2  0 Γωνίες  ημ(κ 3600+ω)=ημω εφ(κ 3600+ω)=εφω μεγαλύτερες των  συν(κ 3600+ω)=συνω σφ(κ 3600+ω)=σφω 0 360  Τριγωνομετρικό κύκλο λέμε τον κύκλο που έχει κέντρο την Τριγ. Κύκλος αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 Πρόσημο τριγωνομετρικών  Παρατήρηση 1: αριθμών Ισχύει:  1    1 και  1    1

http://www.perikentro.blogspot.gr

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

 Παρατήρηση 2: Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Τεταρτημόρια 0 1 20 30 40 ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Μνημονικός Ο Η Ε Σ κανόνας

Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών

Βασικό Θεώρημα

Γωνία ω σε σε μοίρες rad

ημω

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί συνω εφω

00

ημ00=0

συν00=1

0

30

0

 6

45

0

 4

60

0

90

0

 3

ημ

ημ

 1  6 2

 2  4 2

 2

 3  3 2  ημ  1 2

1800

π

ημπ=0

2700

3 2

|ημx|  1

συν

 3  6 2

εφ

συν

 2  4 2

εφ

συν

 1  3 2

εφ

συν

 0 2

εφ

ημ

ημ

3  1 2

|συνx| 1

εφ00=0

συνπ =-1 συν

3 0 2

 3  6 3

http://www.perikentro.blogspot.gr

-6-

σφ00=δεν ορίζεται  σφ  3 6

 1 4

σφ

 1 4

  3 3

σφ

 3  3 3

   δεν σφ  0 2 2 ορίζεται εφπ=0 σφπ δεν ορίζεται 3 3 εφ Δεν σφ 0 2 2 ορίζεται

ημ2x +συν2x=1

1 x εφx σφx=1 συν2x= x 1  2 x ημ(2κπ+x)=ημx συν(2κπ+x)=συνx κ Ζ σφx=

σφω

x x 2 x 2 ημ x= 1  2 x εφx=

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Αναγωγή στο 10 Τεταρτημόριο

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ημ(-x)=- ημx

συν(-x)=συνx

 2  ημ(  x )=συνx 2

εφ(-x)=-εφx

 2  συν(  x )= -ημx 2

ΚΚ

σφ(-x)=-σφx

 2  εφ(  x )= -σφx 2

 2  σφ(  x )= -εφx 2

ημ(  x )=συνx

συν(  x )=ημx

εφ(  x )=σφx

σφ(  x )=εφx

ημ(π-x)=ημx ημ(π+x)=-ημx

συν(π-x)=-συνx συν(π+x)=-συνx

εφ(π-x)=-εφx εφ(π+x)=εφx

σφ(π-x)=-σφx σφ(π+x)=σφx

3 3  x )= -συνx συν(  x )=-ημx 2 2 3 3 ημ(  x )= -συνx συν(  x )=ημx 2 2

ημ(

ημ(2π-x)=-ημx ημ(2π+x)=ημx

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

συν(2π-x)=συνx συν(2π+x)=συνx

f(x)=ημx

f(x)=σφx

3  x )=εφx 2 3 σφ(  x )=-εφx 2

σφ(

εφ(2π-x)=-εφx εφ(2π+x)=εφx

σφ(2π-x)=-σφx σφ(2π+x)=σφx

 Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημx=ημ(x rad) Όμοια ορίζονται οι συναρτήσεις συνημίτονο ,εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.

Πεδίο Ορισμού

f(x)=συνx f(x)=εφx

3  x )=σφx 2 3 εφ(  x )=-σφx 2

εφ(

Σύνολο τιμών Περιοδικότητα

Α=IR

f(A)=[-1,1]

T=2π

A=IR

f(A)= [-1,1]

T=2π

   Α =IR-  x  IR / x    ,    f(Α)=IR 2  

Τ=π.

Α =IR- x  IR / x  ,   

Τ=π.

f(Α)=IR

Γραφική παράσταση της f(x)=ημx 2 y

y=1

x 





















y=ημx

y=-1 -2

Γραφική παράσταση της f(x)=συνx http://www.perikentro.blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

2 y

y=1

y=συνx x























y=-1 -2

Γραφική παράσταση της f(x)=εφx y=εφx y 2

x 





















-2

Παρατήρηση

Οι συναρτήσεις f(x)=ρημ(ωx) και g(x)=ρσυν(ωx) , όπου ρ>0 ,ω>0 2 είναι περιοδικές με περίοδο Τ=  Μέγιστη τιμή είναι το ρ και Ελάχιστη το –ρ

http://www.perikentro.blogspot.gr

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

   

ημx=ημθ  x=2κπ+θ ή x=2κπ+(π-θ) συνx=συνθ  x=2κπ+θ ή x=2κπ-θ εφx=εφθ  x= κπ+θ κ Ζ σφx=σφθ  x= κπ+θ κ Ζ

ΚΚ

κ Ζ κ Ζ

 Ειδικές Μορφές 1). ημx=0  x=κπ 3). ημx=-1  x=2κπ-

 2

5). συνx=1  x=2κπ 7). εφx=0  x=κπ

 4  11). σφx=1  x=κπ+ 4 9). εφx=-1  x=κπ-

 2  4). συνx=0  x=κπ+ 2 6). συνx=-1  x=(2κ+1)π  8). εφx=1  x=κπ+ 4  10).σφx=0  x=κπ+ 2  12). σφx=-1  x=κπ4 κ Z 2). ημx=1  x=2κπ+

 Τριγωνομετρικοί αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Συνημίτονο

Εφαπτομένη

Αθροίσματος

συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ

Αθροίσματος

(  ) =

   1    

Διαφοράς

συν(α-β)=συνασυνβ+ημαημβ

Διαφοράς

(  ) =

   1    

Ημίτονο Αθροίσματος

Διαφοράς

Συνεφαπτομένη ημ(α+β)=ημασυνβ+συναημβ

ημ(α-β)=ημασυνβ-συναημβ

http://www.perikentro.blogspot.gr

-9-

Αθροίσματος

(  ) =

    1   

Διαφοράς

(  ) =

    1   

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α Τύποι που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς ημ2α=2ημασυνα αριθμούς της γωνίας 2α με αυτούς της γωνίας α 2 εφ2α= 2α  α 1   2 

Τύποι αποτετραγωνισμού

ημ2α=

εφ2α= Ημίτονο και Συνημίτονο της γωνίας 2α με βάση την εφα Ημίτονο και Συνημίτονο της γωνίας 3α

1   2 2

1   2 1   2

2 ημ2α= 1   2 

ημ3α=3ημα-4ημ3α

Τύποι που συνδέουν τους   τριγωνομετρικούς ημα=2ημ συν 2 2 αριθμούς της γωνίας α με αυτούς της γωνίας α/2  2 α  α/2 2 εφα=  1   2 2

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 10 -

ΚΚ

συν2α=συν2α-ημ2α=2συν2α-1 =1-2ημ2α σφ2α=

 2   1 2

συν2α=

σφ2α=

1   2 2

1   2 1   2

1   2  συν2α= 1   2 

συν3α=4συν3α-3συνα

  -  2 = 2 2   2  2 -1=1-2  2 2 2

συνα=  2

 1 2 σφα=  2 2  2

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Πολυώνυμα Πολυώνυμο του x

 Ορισμός Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής : ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0,α1,…,αν είναι πραγματικοί αριθμοί . Ένα πολυώνυμο του x συνήθως το συμβολίζουμε με P(x) ,Q(x), f(x) κ.λ.π.  Σταθερά πολυώνυμα Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή τα πολυώνυμα της μορφής α0.  Μηδενικό πολυώνυμο Λέγεται το σταθερό πολυώνυμο 0

Ισότητα Πολυωνύμων

Δύο πολυώνυμα του x λέγονται ίσα αν ,και μόνο αν, είναι του ίδιου βαθμού και οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι. Αν P(x)=αμxμ+αμ-1xμ-1+…+α1x+α0 και Q(x)=βνxν-1+βν-1xν-1+…+β1x+β0 είναι δύο πολυώνυμα του x με μ  ν, θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α0=β0, α1=β1, ...,αν=βν και αν+1=αν+2=…αμ=0

Αλγοριθμική Διαίρεση

Διαίρεση πολυωνύμου με x-ρ Θεώρημα (ακέραιων ριζών)

Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x)  0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε: Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x) όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

Δ(x) δ(x) π(x) υ(x)

Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x)

Θεώρημα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ . Είναι δηλαδή υ=P(ρ) Θεώρημα: Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ)=0.  Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0=0 ,με ακέραιους συντελεστές . Αν ο ακέραιος ρ  0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 11 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Εκθετική Και Λογαριθμική Συνάρτηση Εκθετική Συνάρτηση

Ορισμός: Ονομάζουμε εκθετική συνάρτηση με βάση α την συνάρτηση f: IR  IR με f(x)=αx , όπου 0    1 Αν α=1 , τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f(x)=1.

Παρατηρήσεις:

1. Αν α>0 τότε για κάθε x IR ισχύουν: αx>0 και αf(x)>0 2. Αν 0    1 τότε:   x   x  x1  x 2 1



x  x 1

Γραφική Παράσταση της Εκθετικής Συνάρτησης

2

2

 f ( x )   g ( x )  f ( x )  g( x)    1 x  x 2  1 x 1  x 2  0    1

α>1 1. Πεδίο ορισμού: Α= IR 2. Σύνολο τιμών: Β=(0,   ) 3. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. 4. Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,1)

y 2

x 0

0<α<1 1. Πεδίο ορισμού: Α= IR 2. Σύνολο τιμών: Β=(0,   ) 3. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR. 4. Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,1)

Λογάριθμοι

y

2

x 0

Ορισμός: Λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση α , με α>0 α  1 λέγεται ο εκθέτης που πρέπει να υψωθεί ο α ώστε να βρούμε το θ και συμβολίζεται log   . Δηλαδή:  x    x  log  

Δεκαδικοί Λογάριθμοι

Οι λογάριθμοι με βάση το 10 ονομάζονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι. Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ , συμβολίζεται με log  . Ισχύει: log   x  10 x  

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 12 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Φυσικοί λογάριθμοι

Συνέπειες

Ιδιότητες Λογάριθμων

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Οι λογάριθμοι με βάση το e ονομάζονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ , συμβολίζεται με ln  . Ισχύει: ln   x  e x  

Αν α>0 με α  1 και θ>0 ισχύουν για κάθε x IR οι ισότητες:  log   x  x  log     log  1  0 log    1 o Στους φυσικούς λογαρίθμους είναι: ln 1  0 , ln e  1 

Αν α>0 με α  1 τότε για οποιουσδήποτε θ1 ,θ2,θ > 0 , κ IR ισχύουν:  log  (1   2 )  log  1  log   2   log  1  log  1  log   2 2  log      log   1  log     log   

Λογαριθμική Συνάρτηση

Ορισμός: Αντιστοιχίζοντας κάθε x  (0,) στο log  x ορίζουμε μια συνάρτηση f: (0,)  IR με τύπο f(x)= log  x όπου α>0, α  1 Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α  Λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 10 λέμε τη συνάρτηση με την οποία κάθε θετικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο δεκαδικό του λογάριθμο.  Λογαριθμική συνάρτηση με βάση το e λέμε τη συνάρτηση με την οποία κάθε θετικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο φυσικό του λογάριθμο.

Σχόλιο

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y  log  x και y=αx είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις 



γωνίες xOy και x Oy .

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 13 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

α>1 Γραφική παράσταση 1. Πεδίο ορισμού: Α=(0,+  ) της 2. Σύνολο τιμών: Β=IR λογαριθμικής 3. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως συνάρτησης αύξουσα στο (0,+ )

ΚΚ

y

x 0

4. Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των Oy  0<α<1 1. Πεδίο ορισμού: Α= (0,) 2. Σύνολο τιμών: Β=IR 3. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως φθίνουσα (0,+ ) .

4. Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των Oy

y

x 0

Κωνικές Τομές Κύκλος

 Ορισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση ίση με την ακτίνα ρ.  Ένας κύκλος λέγεται μοναδιαίος όταν έχει κέντρο το σημείο Ο ε y (0,0) και ακτίνα ρ=1 y M(x,y) φ Ο

M(x,y)

Αν το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή των αξόνων τότε 2 2 2 x η εξίσωση είναι: x +y =ρ .

Α(x1,y1 )

Ο

x

Εξίσωση εφαπτομένης σε τυχαίο σημείο της Α(x1,y1) xx1+yy1=ρ2

Γενική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου:

x2+y2+Ax+Βy+Γ=0

 2   2  4 ρ= 2

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 14 -

Κ(-

  , ) 2 2

αρκεί: Α2+Β2-4Γ>0

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Παραβολή

Μαθηματικό Τυπολόγιο

Η εξίσωση της όταν η εστία είναι στον άξονα x  x είναι: y2=2px p Εστία: Ε( ,0 ) .

2 p Διευθετούσα: δ: x=2

Η εξίσωση της Παραβολής όταν η εστία βρίσκεται στον άξονα 1 y y είναι: x2=2py ή y= x 2 2p p Εστία: Ε( 0, ) 2 p Διευθετούσα: δ: y=2

Έλλειψη

y

M (x , y )

B

O

A΄

Α

E(  ,0)

E(  ,0)

x

p<0

y M(x,y)

ΚΚ

P

p  O Α E ,0  2 

: x

y

x

p 2

 :y  

p 2

O x

x2=2py p<0

 p E 0,   2

Η εξίσωση της έλλειψης όταν οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x x είναι: x2 y2 2 2 2   1 β =α -γ 2 2 Εστίες:  (-γ,0) Ε(γ,0).

B΄ y

Η εξίσωση της έλλειψης όταν οι εστίες της E (0,  ) βρίσκονται στον άξονα y y είναι: Α

B΄

x 2 y2  2  1 β2=α2-γ2 2   Εστίες: Ε(0 ,γ) ,  (0 ,-γ)

Β O

x

E ( 0 ,  ) A΄

Υπερβολή

y Μ(x,y) x

Ο Ε΄(-γ,0) Α΄

http://www.perikentro.blogspot.gr

Α

Ε(γ,0)

Η εξίσωση της υπερβολής όταν οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x 2 y2  x x είναι: 2  2  1 , β2=γ2-α2.   Εστίες:  (-γ,0) Ε(γ,0) (  )=2γ - 15 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ  Επίπεδα Σχήματα α/α Ονομασία 1.

Σχήμα α

Τετράγωνο

ΚΚ

Εμβαδόν Ε=α2

α β

Ορθογώνιο 2.

Ε=   

α

υ Τρίγωνο 3.

β

υ β

4.

Παραλληλόγραμμο

1 Ε=    2

E  

υ β δ1

5.

Ρόμβος

1 E  1   2 2

δ2

β 6.

Τραπέζιο υ

E Β

7.

  2

Κυκλικός Δίσκος Ε=πρ2

Για τη μέτρηση του κύκλου πρέπει ακόμη να ξέρουμε:  Γ=2πρ=πδ (Γ= μήκος κύκλου)  0  S (S=μήκος τόξου μ0) 0 180  2  0   ύ έ  360 0 http://www.perikentro.blogspot.gr

- 16 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου

 α/α

1.

Μαθηματικό Τυπολόγιο

ΚΚ

Στερεά Ονομασία

Κύβος

Σχήμα

Εμβαδόν

Όγκος

Ε= 6 2

V=α3

β γ

Ε=2(αβ+βγ+γα)

V=αβγ

υ

Εκυρτής =2πρυ Εολικής=2πρ(υ+ρ)

V=πρ2υ

α

α 2.

Παραλληλεπίπεδο

ρ 3.

Κύλινδρος

4.

1   h 1 2 V= E    Εολ.=Επαραπλ.+Εβ 3 Επαραπλ.=

Πυραμίδα

5.

Κώνος

λ

υ

E κυρτής=πρλ Εολ.=πρλ+πρ2

1 V=  2   3

ρ

ρ 6.

Εσφαίρας=4πρ

Σφαίρα

http://www.perikentro.blogspot.gr

- 17 -

2

4 V= 3 3

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης