Κώστας Κουτσοβασίλης
Τάξη Γ
Ανάλυση ο Κεφάλαιο 1 Συναρτήσεις Πεδίο ορισμού Πράξεις με Συναρτήσεις-Ισότητα Συναρτήσεων Σύνθεση Συναρτήσεων Μονοτονία –Ακρότατα Συνάρτηση ¨1-1¨ Αντίστροφη Συνάρτηση
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Συναρτήσεις Η έννοια της Ορισμός πραγματικής συνάρτησης Έστω Α ένα υποσύνολο του IR Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x) Γράφουμε: f : A IR
x f (x ) Πεδίο
Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
Ορισμού
f συνήθως συμβολίζεται με D f ή A f
Το σύνολο που έχει για στοιχεία Σύνολο Τιμών του τις τιμές της f σε όλα τα x A , λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A) Είναι δηλαδή:
f (A ) {y | y f ( x ) για κάποιο x A} . Ισότητα Ορισμός συναρτήσεων Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
y Cf f (x) O
x
x
Το σύνολο των σημείων M ( x , y) για τα οποία ισχύει y f ( x ) , δηλαδή το σύνολο των σημείων M ( x , f ( x )) , x A , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C f. Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Οι γραφικές παραστάσεις δυο ίσων συναρτήσεων ταυτίζονται
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α για κάθε x A ισχύει f ( x ) g ( x ) . Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g .
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-1-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Πράξεις με συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Ορίζουμε ως άθροισμα f g ,διαφορά f-g , γινόμενο f fg,πηλίκο δυο συναρτήσεων f ,g g τις συναρτήσεις με τύπους;
(f g )( x ) f ( x ) g (x ) (f g )( x ) f ( x ) g ( x ) (fg )( x ) f ( x )g ( x )
f f (x ) (x ) . g g ( x ) Το πεδίο ορισμού των f g , f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, f ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το g A B , εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x), δηλαδή το σύνολο
{x | x A και x B , με g( x ) 0} . Σύνθεση συναρτήσεων
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g f , τη συνάρτηση με τύπο
f(A) f
B f(x) g(B)
A g x A1
g(f(x))
gf
(gof )( x ) g (f ( x )) . Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f ( x ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A1 {x A | f ( x ) B} . Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν A1 , δηλαδή αν f (A ) B . http://www.perikentro.blogspot.gr/
-2-
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές δ ε ν είναι υποχρεωτικά ίσες. Αν f , g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho (gof ) , τότε ορίζεται και η (hog )of και ισχύει
ho (gof ) (hog )of . Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Μονοτονία Συναρτήσεων
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις y
Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2 Δ με x1 x 2 ισχύει:
f (x 2) f (x1)
Ο
x x 1
x
2
Δ
f ( x1 ) f ( x 2 ) γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2 Δ με x1 x 2 ισχύει:
y f (x 1) f (x 2)
f ( x1 ) f ( x 2 ) Ο
x x 1
x
2
Δ
Ακρότατα Συνάρτησης
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) μέγιστο, το f ( x 0 ) , όταν
y f (x0) f(x) x
f ( x ) f ( x 0 ) για κάθε x A
για κάθε x A
x0 Cf
Παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) ελάχιστο, το f ( x 0 ) , όταν
f (x) f (x 0 )
x
O
y
Cf
f(x) f(x0)
x O
Συνάρτηση 1-1
Μια συνάρτηση f : A IR λέγεται συνάρτηση 1 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 x 2 ,
τότε
x0
x
y
y f(x1)
1 x
f(x2) O
x1
x2
x
f ( x1 ) f ( x 2 ) . “Aν x1 x 2 , τότε
f (x1 ) f ( x 2 ) ”, δηλαδή: “Τα διαφορετικά στοιχεία x1 , x 2 D f έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες”. http://www.perikentro.blogspot.gr/
-3-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:
y
Μια συνάρτηση f : A IR είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1 , x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f (x1 ) f ( x 2 ) ,
τότε
x
O συνάρτηση 1-1
x1 x 2 .
Σχόλια μια συνάρτηση f είναι 1 1 , αν και μόνο αν: — Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( x ) y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. — Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη.
y A
x1
Αντίστροφη συνάρτηση της f λέγεται η συνάρτηση g : f ( A ) IR με την οποία κάθε y f (A ) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A για το οποίο ισχύει f ( x ) y Ισχύει: f ( x ) y f 1 ( y) x
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-4-
x2
O
x
συνάρτηση όχι 1-1
y
— Ή κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση "1 1" . Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 1 1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση x , x 0 g(x ) 1 x , x 0 Αντίστροφη συνάρτηση
B
x
O συνάρτηση 1-1 y
y=g(x)
x
O
f(A)
A f g(y)=x
y=f(x) g
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Ισχύουν:
f 1 (f ( x )) x, x A και
f (f 1 ( y)) y, y f (A) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy . Απόδειξη: Ας πάρουμε τώρα μια 1 1 συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των f και της f 1 στο ίδιο σύστημα αξόνων Επειδή
f ( x ) y f 1 ( y ) x ,
y
M(α,β)
M΄(β,α) C O
x C΄
y=x
αν ένα σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f τότε το σημείο (, ) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της f 1 και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy .
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-5-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Μεθοδολογία-Συναρτήσεις Ονομασία
Περιγραφή Μεθόδου
Πεδίο
Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f απαιτούμε: 1. Οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός 2. Οι υπόριζες παραστάσεις μη αρνητικές δηλ. αν f ( x ) g ( x ) πρέπει g (x ) 0 3. Για την f(x)=ln(g(x)) πρέπει g(x)>0 4. Για την f(x)=εφ(g(x)) πρέπει g (x ) , Z 2 5. Για τις συναρτήσεις πολλαπλού τύπου πεδίο ορισμού είναι η ένωση όλων των διαστημάτων που αφορούν τον κάθε τύπο της f Για να εξετάσουμε αν f=g Βρίσκουμε Αf και Αg Αν Αf = Αg =Α και f(x)=g(x) για κάθε x A τότε f=g Αf Αg τότε f g Αν f A g τότε βρίσκουμε A f A g
Ορισμού
Ισότητα Συναρτήσεων
Αν για κάθε x A f A g είναι f(x)=g(x) τότε f=g στο ευρύτερο υποσύνολο του IR A f A g
Πράξεις με συναρτήσεις
Αν Αf = Αg τότε ορίζουμε το άθροισμα f g ,τη διαφορά f-g , f το γινόμενο fg, και το πηλίκο από τους τύπους; g (f g )( x ) f ( x ) g (x ) (f g )( x ) f ( x ) g ( x )
(fg )( x ) f ( x )g ( x )
f f (x ) (x ) g( x ) g
Αν f A g τότε βρίσκουμε A f A g Αν A f A g = τότε δεν ορίζονται οι πράξεις Αν A f A g τότε ορίζονται οι πράξεις Το πεδίο ορισμού των f g , f g και fg είναι το A f A g ενώ f το πεδίο ορισμού της είναι το A f A g , εξαιρουμένων των g τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή http://www.perikentro.blogspot.gr/
-6-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Σύνθεση Συναρτήσεων
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Για να ορίσουμε την g f Βρίσκουμε Αf και Αg Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g f από τον τύπο A g f x A f / f ( x ) A g
Αν A g f τότε δεν ορίζεται η g f Αν A g f τότε ορίζεται και έχει τύπο ( g f )(x)=g(f(x)) Για να ορίσουμε την f g Βρίσκουμε Αf και Αg Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f g από τον τύπο A f g x A g / g ( x ) A f
Αν A f g τότε δεν ορίζεται η f g Αν A f g τότε ορίζεται και έχει τύπο ( f g )(x)=f(g(x)) Όταν γνωρίζουμε τις f g και g και αναζητούμε την f θέτουμε g(x)=ω και λύνουμε ως προς x Όταν γνωρίζουμε τις f g και f και αναζητούμε την g (1) H f(g(x)) με μεταβλητή το x (2) Θέτουμε στον τύπο της f όπου x το g(x) και έχουμε f(g(x)) με μεταβλητή το g(x) Εξισώνουμε τις (1) και (2) και λύνουμε ως προς g(x).
Μονοτονία Συνάρτησης
Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη εργαζόμαστε ως εξής Θεωρούμε τυχαία x1 ,x2 A με x1<x2 ή x1>x2 και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια ανισοτική σχέση μεταξύ των f(x1) , f(x2) Αν καταλήξουμε σε f(x1) <f(x2) ή f(x1) >f(x2) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α Αν καταλήξουμε σε f(x1) >f(x2) ή f(x1) <f(x2) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α Έστω μια συνάρτηση f με y=f(x) ορισμένη στο Δ Βρίσκουμε το πρόσημο του λόγου f ( x1 ) f ( x 2 ) λ= , x1 x 2 , x 1 , x 2 x1 x 2 Αν λ>0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν λ<0 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Αν λ=0 η f είναι σταθερή στο Δ
Με παραγώγους
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-7-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Μονοτονία και Σύνθεση
Ακρότατα Συνάρτησης Συνάρτηση ¨1-1¨
Αντίστροφη Συνάρτηση
Επίλυση Εξισώσεων Επίλυση Ανισώσεων Κοινά Σημεία Cf και Cf-1
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Αν δυο συναρτήσεις f ,g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η σύνθεση τους είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση Αν δυο συναρτήσεις f ,g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε η σύνθεση τους είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Για να προσδιορίσουμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης f (αν έχει) εργαζόμαστε ως εξής: Προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών της f. Αν π.χ. f(A)=[κ, λ] τότε το κ είναι το ελάχιστο της f και το λ το μέγιστο ,ενώ αν f(A)=[κ, ) το κ είναι ελάχιστο ενώ μέγιστο δεν έχει. Ανάλογα ισχύουν για τις άλλες περιπτώσεις f(A)=(κ ,λ],…… Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι ¨1-1¨ Δεχόμαστε ότι f(x1)=f(x2) και δείχνουμε ότι x1=x2 ή δεχόμαστε ότι x 1 x 2 και δείχνουμε ότι f ( x1 ) f (x 2 ) Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Δείχνουμε ότι η εξίσωση y=f(x) έχει μοναδική λύση ως προς x για κάθε y που ανήκει στο σύνολο τιμών της f Εκμεταλλευόμαστε την γραφική παράσταση της f (αν είναι γνωστή). Για να ορίσουμε την f-1 Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f Εξετάζουμε αν η f είναι ¨1-1¨ (Αν δεν είναι ¨1-1¨ δεν αντιστρέφεται) Βρίσκουμε τον τύπο της f-1 (Θέτουμε y=f(x) και λύνουμε ως προς x ή κάνουμε εναλλαγή των x και y και λύνουμε ως προς y) Αν η f είναι ¨1-1¨ ισχύει η ισοδυναμία f (g ( x )) f (h ( x )) g ( x ) h ( x ) Αν η f είναι γνησίως μονότονη ισχύει η ισοδυναμία
g ( x ) h ( x ) f f (g ( x )) f (h ( x )) g ( x ) h ( x ) f
ί ύ ί ί
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα , τότε τα κοινά σημεία των Cf και C f τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης : f(x)=x ή f-1(x)=x Αν ένα σημείο Μ είναι κοινό σημείο των Cf και της ευθείας y=x τότε το Μ ανήκει και στην C f Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των Cf και C f τα βρίσκουμε από τη λύση του συστήματος: 1
1
1
y f (x) 1 x f ( x ) http://www.perikentro.blogspot.gr/
ή
y f 1 ( x ) y f (x) ή 1 x f ( y) x f ( y) -8-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Προτεινόμενες Ασκήσεις Διδακτική Ενότητα: Συναρτήσεις –Π.Ο. Ισότητα
Συναρτήσεις
1
1.1. Να βρείτε τα Π.Ο. των συναρτήσεων: x 5 2x ι).f(x)= 3 ιι).f(x)= ln(ln x ) x 3x 2 2x x 1 ιιι).f(x)= 2 ln( x 1) v). f(x)= ln
x 3 x x
ιv). f(x)=
x 1 x 1
vι). f(x)=
ex 2 x2 1
x 2 x x 2 1.2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α,β IR 2 x x 2 Να βρεθούν τα α, β ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία Α(-1,5), Β(3,7) 1.3. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=
x2 z x 2 z 1 x 2 2x
και g(x)=
x 1 x2 x
όπου z C . α). Να βρείτε το Π.Ο. των f και g β). Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες να δείξετε ότι Re(z)=
1 2
1.4. Έστω η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει : f(x+1) x f(x)+1 για κάθε x IR α). Να δείξετε ότι : f(x) x-1 β). Να βρείτε τον τύπο της f i 1 γ). Αν ισχύει f(|z|)=|z+ |-1 να δείξετε ότι Im(z)=- όπου z C . 2 4 1.5. Έστω f,g συναρτήσεις με Π.Ο. Α IR και [f(x)+g(x)][f(x)+g(x)-2]=2[f(x)g(x)-1]. Να δείξετε ότι: f=g. 1.6 Έστω f,g συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού IR . Αν ισχύει f2(x)-2f(x)+g2(x) 2(g(x)-1) για κάθε x IR να δείξετε ότι f=g. http://www.perikentro.blogspot.gr/
-9-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Ισότητα-Πράξεις -Σύνθεση
2.1. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=
2
x 1 x 2 5x 4 και g(x)= x 3 4 ( x 2 ) 2
Να βρεθεί το λ IR ώστε f=g 2.2. Δίνεται η συνάρτηση f με Π.Ο. το IR για την οποία ισχύει : f(x)+f(-x)=x5+x3-x για κάθε x IR α). Να υπολογίσετε το f(0). β). Να δείξετε ότι f(-x)=-f(x). 2.3. Έστω η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει : f(f(x))=3x+4 για κάθε x IR . α). Να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x)+4 β). Να υπολογίσετε το f(-2). 2.4. Έστω η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει : f(f(x))=x2-x+1 για κάθε x IR . Να βρείτε την f(1). 2.5. Έστω f(x)=κ ,για κάθε x IR , όπου κ σταθερός αριθμός και για κάθε x IR ορίζονται οι f g και g f . Αν για κάθε x IR ισχύει g f f g να υπολογίσετε το g(κ). 2.6. Δίνεται η συνάρτηση f:[-2,1] IR . Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων: α). g(x)=f(2x-3).
β). h(x)=f(x2)
γ). φ(x)=f(lnx)
2.7. Έστω η συνάρτηση f(x)=x2. Αν z είναι ένας μη μηδενικός μιγαδικός να αποδείξετε ότι: 1 i 1 2 f z if z (1 i) z (1 i) z 2 2 4 2.8 Μια συνάρτηση f : IR IR έχει την ιδιότητα (fof)(x) = x2 – 3x + 4 για κάθε xIR. Να αποδείξετε ότι f(2) = 2. 2.9. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g : IR IR με g(x) =x-2 και (fog)(x) = x2+x+1 για κάθε xIR. Να βρεθεί η συνάρτηση f. 2.10 Έστω f(ln2x) = x+3, x>0. Να βρεθεί η f.
http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 10 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Σύνθεση Συναρτήσεων
3
1 x και g(x)= . Να βρεθούν (αν ορίζονται) x x 1 οι συναρτήσεις : f g, g f , f f , g g
3.1. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=
3.2. Να βρεθεί η συνάρτηση g στις παρακάτω περιπτώσεις: α). (f g)(x)=ημx+x2 και f(x)=x+2 β). (f g)(x)=x+1 και f(x)=lnx, g(x)>0 3.3. Έστω f,g: IR IR με (f g)(x)=x2-7x+16 ,x IR και (g f)(4)=4. Να δείξετε ότι οι Cf,Cg έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. 3.4. Δίνεται η συνάρτηση f: IR * IR με f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y IR * Να δείξετε ότι: α). f(1)=0 1 β). f( ) f ( x ) x ν γ). f(x )=νf(x), ν IN* 3.5. Έστω η συνάρτηση y=f(x), x 0 και ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi z2 i α). Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 2 1 να βρείτε τη z 3i συνάρτηση f στη γραφική παράσταση της οποίας κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z β). Να ορίσετε τη συνάρτηση f f γ). Να αποδείξετε ότι: i(f f)(Re(iz))+(f f)(Im(iz))= z 3.6. Έστω η συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα: (fof)(x) = 4-x, για κάθε xIR. Να βρεθεί το f(2). 3.7 Έστω η συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα: (fof)(x) = x5, για κάθε xIR. Να αποδείξετε ότι f(x5) = f5(x) για κάθε xIR. 3.8. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [7,27] να βρεθεί το Π.Ο. της συνάρτησης g(x) = f(x3+x-3). 3.9. Να βρεθεί η συνάρτηση g, ώστε να ισχύει: (gof)(x) = http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 11 -
1 x , αν f(x)=ln(x). 1 x
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Μονοτονία
4
4.1.Έστω f,g: IR IR δυο γνησίως μονότονες συναρτήσεις. Να αποδειχθεί ότι: α). Αν οι f,g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η g f είναι γνησίως αύξουσα. β). Αν οι f,g δεν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η g f είναι γνησίως φθίνουσα 4.2. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0,+ ) για την οποία ισχύει: f(x)ef(x)=x για κάθε x (0,) . Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 4.3. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2005+x2003+1 α). Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β). Να λυθεί η ανίσωση x2005+x2003-2>0 γ). Να λυθεί η ανίσωση f(f(x))<3 4.4. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο IR και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημείαΑ(1,5) καιΒ(5,-2) α). Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β). Να δείξετε ότι η συνάρτηση f f είναι γνησίως αύξουσα γ). Να λύσετε την ανίσωση f(f(ex))<-2 4.5. Έστω z μιγαδικός αριθμός με z 0 Θεωρούμε τα σημεία Α(|z|,|z-1|) , B(|z|+1, z
1 ) της γ.π. μιας γνησίως φθίνουσας z
3 2
συνάρτησης f ορισμένης στο IR. Να δείξετε ότι Re(z)< . 4.6 Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h = 125f 3 -64g3 είναι γνησίως αύξουσα. f (1) 4 ii. Αν ισχύει: να λύσετε την εξίσωση 125f 3 ( x ) 64g 3 ( x ) g (1) 5 4.7.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x+x. i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λυθεί η ανίσωση 2 3x x x 2 2 6 2 x 5x 6. 2
http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 12 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Συνάρτηση ¨1-1¨
Συναρτήσεις
5
5.1. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις, είναι 1-1 και ποιες όχι: i. f(x) = 3x-5
vi. f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2007
ii. f(x) = 5x3+3
vii. f(x) = 3ex-1+2
iii. f(x) = x2-2x + 2010
viii. f(x) = x9+x7+x5+x3+x+2006.
iv. f(x) =
2 x . x 1
ix. f(x) = ln
x 1 x 1
x. f(x) = x2009-x2007 + 1
v. f(x) = 2lnx-3
5.2. Αν f: IR IR με (f f)(x)=f(x)+2x3 για κάθε x IR να αποδειχθεί ότι: α). Η f αντιστρέφεται β). Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5.3. Έστω η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει (f f)(x)=x για κάθε x IR και η συνάρτηση g(x)=ex+ef(x) ,για κάθε x IR , που είναι ¨1-1¨ α). Να δείξετε ότι η f είναι ¨1-1¨ β). Να δείξετε ότι (g f)(x)=g(x) γ). Να βρείτε τη συνάρτηση f 5.4. Έστω οι συναρτήσεις f,g: IR IR . Αν η συνάρτηση f g είναι ¨1-1¨να δείξετε ότι και η g είναι ¨1-1¨ 5.5. Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει f(f(x))=f(x)+ex-1 ,για κάθε x IR . α). Να δείξετε ότι η f είναι ¨1-1¨ β). Να λύσετε την εξίσωση f(x3-5x)=f(2x-6). 5.6. Έστω η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει (f f)(x)=3x+2 Να δείξετε ότι: α). f(-1)=-1 β). Η συνάρτηση g(x)=-6x3+5x2f(x)+x+1, x IR δεν είναι ¨1-1¨ 5.7. Έστω η συνάρτηση f: IR IR που ικανοποιεί τη σχέση f(x)-f(y)=f(x-y) για κάθε x,y IR και η εξίσωση f(x)=0 που έχει μοναδική λύση. α). Να βρείτε το f(0) β). Να δείξετε ότι η f είναι ¨1-1 http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 13 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Συνάρτηση ¨1-1¨-Αντίστροφη
6
x2 x 0 6.1. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2 x x 0 Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι ¨1-1¨ και να βρείτε την αντιστροφή της. 6.2. Έστω f(x)=αx-x, με 0<α<1 , x IR α). Να δείξετε ότι η f είναι ¨1-1¨ β). Να λυθεί η εξίσωση: (2 1) 1 3 3
2
6.3. Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει f3(x)+f(x)+x=0 x IR . Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f-1. 6.4. Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR γνησίως μονότονη που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3,4), Β(6,-2). α). Να λυθεί η εξίσωση f(-3+f-1(x2-3x))=4 β). Να λυθεί η ανίσωση f-1(x-5)<3 6.5. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x+x-4 α). Να λύσετε την εξίσωση f(x)=f-1(x) β). Να λύσετε την εξίσωση f(f(x))=f(2x) γ). Να λύσετε την ανίσωση f-1(x-2)<3 6.6. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6 α). Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β). Να ορίσετε την αντίστροφη της f γ). Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1 6.7. Η συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα ( f f )( x ) x f ( x ) για κάθε x IR . Να αποδείξετε ότι: α). Η είναι αντιστρέψιμη β). f(0)=0 γ).Αν η f έχει σύνολο τιμών το IR τότε για κάθε x IR ισχύει f(f(x)-x)=x δ). f(x)=x+f-1(x) 6.8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3+8x-8. i. Να αποδείξετε η f αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε, αν ορίζεται, το f -1(-8). iii. Nα λύσετε την ανίσωση f -1(x)>1 iv. Nα λύσετε την ανίσωση f(f(x))>1. http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 14 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Συνάρτηση ¨1-1¨-Αντίστροφη
7
7.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2-x-lnx i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f(1) iii) Να λύσετε την ανίσωση x+lnx1. 7.2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex+x3+x+1 i. Nα δείξετε ότι αντιστρέφεται. x ii. Να λύσετε την εξίσωση: e
2
x
(x 2 x)3 x 2 2x e x 3 (x 3)3 3 .
7.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e-x – x. i. Nα δείξετε ότι αντιστρέφεται. ii. Να λύσετε την εξίσωση f -1(x) = 1 – x iii. Να λύσετε την ανίσωση f -1(x) 1 – x.
7.4. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g : IR IR για τις οποίες ισχύει: e f ( x ) f ( x ) g( x ) για κάθε xIR. Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα στο IR τότε: i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR. ii. Να λυθεί η ανίσωση: f (g( x 2 x )) f (g( x 2)) 7.5. Αν η συνάρτηση f : IR IR είναι γν. μονότονη και η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(5,9) και Β(2,3) τότε: i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii. Να λυθεί η εξίσωση f(3+f -1(x2+2x)) = 9. 7.6. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3+x+2. i. Να αποδείξετε η f αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε, αν ορίζεται, το f -1(4). iii. Nα λύσετε τις εξισώσεις f(x) = 12 και f -1(x) = -2. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf-1 με τους άξονες καθώς και με την ευθεία ψ=x. v. Nα λύσετε τις ανισώσεις f -1(x)3 και f -1(x+1)x+5. 7.7. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : IR IR της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,8). i. Nα λύσετε την εξίσωση f -1(-1 + f -1(x2 + x)) = 1. ii. Nα λύσετε την ανίσωση f -1(-1 + f -1(x2 + x)) <1. http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 15 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Συναρτήσεις
Θεωρία –Μεθοδολογία Ασκήσεις
Διδακτική Ενότητα: Συνάρτηση ¨1-1¨-Αντίστροφη
8
8.1 Δίνεται η συνάρτηση f: με την ιδιότητα: f(f(x)) + x = 2f(x) για κάθε xIR και f(3) = 5. i. Να δείξετε η f αντιστρέφεται και να βρείτε την τιμή f -1(3). ii. Nα λύσετε την ανίσωση f -1(x) = 5 8.2 Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα: f(f(f(x))) = 2x - 7 για κάθε xIR και f(1) = 3 και f(3) = 9. i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε το f -1(1). iii. Nα λύσετε την εξίσωση f -1(x) = 9 8.3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x-2)2 με x≥2. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f -1 της f και να βρείτε τον τύπο της. iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f -1 με την ευθεία y=x. 8.4. Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : IR IR. Αν τα σημεία Α(1, 2) και Β( -1, 3) βρίσκονται στη γραφική παράσταση της f : α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, γ) Να βρείτε το λ IR ώστε f -1( 2 + f -1 ( eλ-1 ) ) = -1. 8.5. Έστω f:IR IR με f(f(x))=x+2006, x IR. Δείξτε ότι: i) η f αντιστρέφεται και βρείτε τον τύπο της f-1 συναρτήσει του τύπου της f ii)f(x+2006)=f(x)+2006, iii) η Cf δεν έχει κοινά σημεία με την ε: y=x. 8.6. Έστω η συνάρτηση f: IR(1,+ ), για την οποία ισχύει f 2(x) +1 = 2f(x) + e2x για κάθε xIR. i) Να βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι είναι «1-1». ii) Να βρείτε τον τύπο της f -1.
http://www.perikentro.blogspot.gr/
- 16 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης